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exercícios resolvidos-halliday 1

LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteu´ do 4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2

4 Vetores 2 4.1.2 Somando vetores atrave´s das 4.1 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 suas componentes . . . . . . . . 2

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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20

4 Vetores cujo mo´dulo e´

4.1 Problemas e Exerc´?cios 4.1.1 Soma de vetores P 3-6 (3-??/6 edic¸a~o) Um vetor tem mo´dulo unidades e esta´ dirigido para leste. Um outro vetor, , esta´ dirigido para a oeste do norte e tem mo´dulo de unidades. Construa diagra- mas vetoriais para calcular e . Estime o mo´dulo e a orientac¸a~o dos vetores e a partir desses diagramas.

Para resolver este problema como o livro deseja, necessita-se de papel milimetrado, re´gua e um transferi- Irei resolver o problema usando sua representac¸a~o alge´brica. As componentes dos vetores e sa~o

e sen O sinal de e´ negativo pois para fazer a soma algebri- camente, precisamos primeiro transladar o vetor para a origem do sistema de coordenadas. E´ claro que tal translac¸a~o na~o e´ necessa´ria no processo gra´?co utiliza- do para a soma. Entenda bem o que esta´ sendo feito, as Portanto, para a soma temos

cujo mo´dulo e´ O a^ngulo que a soma faz com a horizontal e´

arctan arctan Dito de modo equivalente, o vetor esta´ direcionado de um a^ngulo de a Oeste do Norte.

Para o vetor diferenc¸a temos http://www.if.ufrgs.br/ jgallas O a^ngulo que a diferenc¸a faz com a horizontal e´

arctan arctan Dito de modo equivalente, o vetor esta´ direcionado de um a^ngulo de a Norte do Oeste. Ou ainda, a a Oeste do Norte.

4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componen- tes P 3-29 (3-??/6 edic¸a~o) Uma estac¸a~o de radar detecta um avia~o que vem do Les- te. No momento em que e´ observado pela primeira vez, o avia~o esta´ a m de dista^ncia, acima do hori- zonte, O avia~o e´ acompanhado por mais no plano vertical Leste-Oeste e esta´ a m de dista^ncia quando e´ observado pela u´ltima vez. Calcule o deslocamento da aeronave durante o per´?odode observac¸a~o.

Chamemos de a origem do sistema de coordenadas, de a posic¸a~o inicial do avia~o, e de a sua posic¸a~o ?- nal. Portanto, o deslocamento procurado e´

Para temos, de?nindo , que sen sen

LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20

cuja magnitude e´ m O a^ngulo que o vetor faz com a parte negativa do

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas eixo e´ arctan rad

LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 20 de Novembro de 2004, a`s 11:51

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

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Conteu´ do 4.1 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 4.1.1 Ana´lise do Movimento de 4 Movimento em duas e tre^s dimenso~es 2 Proje´teis . . . . . . . . . . . . 2

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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 4 Movimento em duas e tre^s di- menso~es

4.1 Problemas e Exerc´?cios 4.1.1 Ana´lise do Movimento de Proje´teis

P 4-37 (4-29/6 edic¸a~o) Uma bola e´ jogada do solo para o ar. A uma altura de m a velocidade e´ em metros por se- gundo (i horizontal, j vertical). (a) Qual a altura ma´xima alcanc¸ada pela bola? (b) Qual sera´ a dista^ncia horizon- tal alcanc¸ada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola (mo´dulo e direc¸a~o), no instante em que bate no solo?

(a) Chame de o tempo necessa´rio para a bola atingir a velocidade dada. Neste caso teremos

Eliminando entre estas duas equac¸o~es obtemos http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 20 de Novembro de 2004, a`s 11:51

cujas ra´?zessa~o e . Substituin- do a raiz positiva na expressa~o

encontramos que m/s. Portanto a bola ira´ atingir uma altura ma´xima de

m (b) Como a componente horizontal da velocidade e´ sem- pre a mesma, temos

m (c) O mo´dulo da velocidade e´ m/s O a^ngulo que faz com a horizontal e´

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

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Conteu´ do 5.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 5.2.1 Segunda Lei de Newton . . . . 2 5 Forc¸as e Movimento ? I 2 5.2.2 Algumas Forc¸as Espec´??cas . . 2 5.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.2.3 Aplicac¸a~o das Leis de Newton . 3

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 5 Forc¸as e Movimento ? I

5.1 Questo~es 5.2 Problemas e Exerc´?cios 5.2.1 Segunda Lei de Newton

E 5-7 (5-7/6 edic¸a~o) Na caixa de kg da Fig. 5-36, sa~o aplicadas duas forc¸as, mas somente uma e´ mostrada. A acelerac¸a~o da cai- xa tambe´m e´ mostrada na ?gura. Determine a segun- da forc¸a (a) em notac¸a~o de vetores unita´rios e (b) em mo´dulo e sentido.

(a) Chamemos as duas forc¸as de e . De acordo com a segunda lei de Newton, , de modo que . Na notac¸a~o de vetores unita´rios temos e sen Portanto

N (b) O mo´dulo de e´ dado por N O a^ngulo que faz com o eixo positivo e´ dado por

tan O a^ngulo e´ ou ou . Como ambas componentes e sa~o negativas, o valor correto e´ .

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 5.2.2 Algumas Forc¸as Espec´??cas

E 5-11 (5-???/6 ) Quais sa~o a massa e o peso de (a) um treno´ de kg e (b) de uma bomba te´rmica de kg?

(a) A massa e´ igual a kg, enquanto que o peso e´ (b) A massa e´ igual a kg, enquanto que o peso e´ N.

E 5-14 (5-11/6 ) Uma determinada part´?culatem peso de N num pon- to onde m/s . (a) Quais sa~o o peso e a mas- sa da part´?cula,se ela for para um ponto do espac¸o on- de m/s ? (b) Quais sa~o o peso e a massa da part´?cula,se ela for deslocada para um ponto do espac¸o onde a acelerac¸a~o de queda livre seja nula?

(a) A massa e´ kg Num local onde m/s a massa continuara´ a ser kg, mas o peso passara´ a ser a metade: N (b) Num local onde m/s a massa continuara´ a ser kg, mas o peso sera´ ZERO.

E 5-18 (5-???/6 ) (a) Um salame de kg esta´ preso por uma corda a uma balanc¸a de mola, que esta´ presa ao teto por outra corda (Fig. 5-43a). Qual a leitura da balanc¸a? (b) Na Fig. 5- 43b, o salame esta´ suspenso por uma corda que passa por uma roldana e se prende a uma balanc¸a de mola Qual a leitura na balanc¸a? (c) Na Fig. 5-43c, a parede foi substitu´?dapor outro salame de kg, a` esquerda, e o conjunto ?cou equilibrado. Qual a leitura na balanc¸a agora?

Em todos os tre^s casos a balanc¸a na~o esta´ acelerando, o que signi?ca que as duas cordas exercem forc¸a de igual magnitude sobre ela. A balanc¸a mostra a magnitude de qualquer uma das duas forc¸as a ela ligadas. Em cada uma das situac¸o~es a tensa~o na corda ligada ao salame tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame pois o salame na~o esta´ acelerando. Portanto a leitura da balanc¸a e´ , onde e´ a massa do salame. Seu valor e´ N

5.2.3 Aplicac¸a~o das Leis de Newton P 5-21 (5-19/6 ) Um foguete experimental pode partir do repouso e alcanc¸ar a velocidade de km/h em s, com acelerac¸a~o constante. Qual a intensidade da forc¸a me´dia necessa´ria, se a massa do foguete e´ kg?

Basta usarmos , onde e´ a magnitude da A acelerac¸a~o e´ obtida usando-se uma relac¸a~o simples da cinema´tica, a saber, . Para km/h m/s, temos que m/s . Com isto a forc¸a me´dia e´ dada por

N E 5-23 (5-??/6 ) Se um ne^utron livre e´ capturado por um nu´cleo, ele po- Esta forc¸a forte, que mante´m o nu´cleo coeso, e´ nula fora do nu´cleo. Suponha que um ne^utron livre com veloci- dade inicial de m/s acaba de ser capturado por um nu´cleo com dia^metro m. Admitindo que a forc¸a sobre o ne^utron e´ constante, determine sua intensidade. A massa do ne^utron e´ kg.

A magnitude da forc¸a e´ , onde e´ a acelerac¸a~o do ne^utron. Para determinar a acelerac¸a~o que faz o ne^utron parar ao percorrer uma dista^ncia , usamos a fo´rmula

Desta equac¸a~o obtemos sem problemas m/s A magnitude da forc¸a e´

N E 5-28 (5-15/6 ) Veja a Fig. 5-27. Vamos considerar a massa do bloco igual a kg e o a^ngulo . Determine (a) a tensa~o na corda e (b) a forc¸a normal aplicada sobre o bloco. (c) Determine o mo´dulo da acelerac¸a~o do bloco se a corda for cortada.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (a) O diagrama de corpo isolado e´ mostrado na Fig. 5- 27 do livro texto. Como a acelerac¸a~o do bloco e´ zero, a segunda lei de Newton fornece-nos sen

A primeira destas equac¸o~es nos permite encontrar a tensa~o na corda: sen sen N (b) A segunda das equac¸o~es acima fornece-nos a forc¸a normal:

N (c) Quando a corda e´ cortada ela deixa de fazer forc¸a sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente da segunda lei de Newton ?ca sendo agora sen , de modo que sen sen m/s O sinal negativo indica que a acelerac¸a~o e´ plano abaixo.

E 5-33 (5-???/6 ) Um ele´tron e´ lanc¸ado horizontalmente com velocida- de de m/s no interior de um campo ele´trico, que exerce sobre ele uma forc¸a vertical constante de Determine a dista^ncia vertical de de?exa~o do ele´tron, no intervalo de tempo em que ele percorre mm, horizon- talmente.

A acelerac¸a~o do ele´tron e´ vertical e, para todos efei- tos, a u´nica forc¸a que nele atua e´ a forc¸a ele´trica; a forc¸a gravitacional e´ muito menor. Escolha o eixo no sen- tido da velocidade inicial e o eixo no sentido da forc¸a ele´trica. A origem e´ escolhida como sendo a posic¸a~o inicial do ele´tron. Como a acelerac¸a~o e forc¸a sa~o cons- tantes, as equac¸o~es cinema´ticas sa~o

e onde usamos para eliminar a acelerac¸a~o. O tempo que o ele´tron com velocidade leva para viajar uma dista^ncia horizontal de mm e´ e sua de?exa~o na direc¸a~o da forc¸a e´

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS E´ jogando ele´trons contra um tubo de imagens que sua TV funciona... Isto sera´ estudado nos cap´?tulos23 e 24 do livro.

P 5-38 (5-29/6 ) Uma esfera de massa kg esta´ suspensa por uma corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera de maneira que ela fac¸a um a^ngulo de com a verti- cal de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade da forc¸a aplicada e (b) a tensa~o na corda.

(a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado para a esfera tem tre^s forc¸as: a tensa~o na corda, apon- tando para cima e para a direita e fazendo um a^ngulo com a vertical, o peso apontando verti- calmente para baixo, e a forc¸a da brisa, apontando Como a esfera na~o esta´ acelerada, a forc¸a resultante de- ve ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as componentes horizontais e verticais das forc¸as satisfa- zem as relac¸o~es, respectivamente, sen

Eliminando entre estas duas equac¸o~es obtemos tan tan N

(b) A tensa~o pedida e´ N Perceba que talvez fosse mais simples ter-se primeiro determinado e, a seguir, , na ordem contra´ria do que pede o problema.

P 5-39 (5-??/6 ) Uma moc¸a de kg e um treno´ de kg esta~o sobre a superf´?ciede um lago gelado, separados por m. A moc¸a aplica sobre o treno´ uma forc¸a horizontal de N, puxando-o por uma corda, em sua direc¸a~o. (a) Qual a acelerac¸a~o do treno´? (b) Qual a acelerac¸a~o da moc¸a? (c) A que dista^ncia, em relac¸a~o a` posic¸a~o inicial da moc¸a, eles se juntam, supondo nulas as forc¸as de atrito?

(a) Como o atrito e´ desprez´?vel, a forc¸a da moc¸a no treno´ e´ a u´nica forc¸a horizontal que existe no treno´. As forc¸as verticais, a forc¸a da gravidade e a forc¸a normal do gelo, anulam-se.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas A acelerac¸a~o do treno´ e´

m/s (b) De acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a do treno´ na moc¸a tambe´m e´ de N. A acelerac¸a~o da moc¸a e´, portanto,

m/s (c) A acelerac¸a~o do treno´ e da moc¸a tem sentidos opos- tos. Suponhamos que a moc¸a parta da origem e mova-se na direc¸a~o positiva do eixo . Sua coordenada e´ dada por

O treno´ parte de m e move-se no sentido negativo de . Sua coordenada e´ dada por

Eles se encontram quando , ou seja quando donde tiramos facilmente o instante do encontro:

quando enta~o a moc¸a tera´ andado uma dista^ncia m P 5-40 (5-31/6 ) Dois blocos esta~o em contato sobre uma mesa sem atri- to. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada a um dos blocos, como mostrado na Fig. 5-45. (a) Se kg e kg e N, determine a forc¸a de contato entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forc¸a for aplicada a , ao inve´s de , a forc¸a de contato entre os dois blocos e´ N, que na~o e´ o mesmo valor obtido em (a). Explique a diferenc¸a.

(a) O diagrama de corpo isolado para a massa tem quatro forc¸as: na vertical, e , na horizontal, para

a direita a forc¸a aplicada e, para a esquerda, a forc¸a de contato que exerce sobre . O diagrama de corpo isolado para a massa conte´m tre^s forc¸as: na vertical, e e, na horizontal, apontando para a direita, a forc¸a . Note que o par de forc¸as e e´ um A segunda lei de Newton aplicada para fornece

onde e´ a acelerac¸a~o. A segunda lei de Newton aplica- da para fornece

Observe que como os blocos movem-se juntos com a mesma acelerac¸a~o, podemos usar o mesmo s´?mbolo Da segunda equac¸a~o obtemos que substitui- da na primeira equac¸a~o dos fornece :

N (b) Se for aplicada em em vez de , a forc¸a de contato e´

N A acelerac¸a~o dos blocos e´ a mesma nos dois casos. Co- mo a forc¸a de contato e´ a u´nica forc¸a aplicada a um dos blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco a mesma acelerac¸a~o que ao bloco ao qual e´ aplicada. No segun- do caso a forc¸a de contato acelera um bloco com maior massa do que no primeiro, de modo que deve ser maior.

P 5-44 (5-33/6 ) Um elevador e sua carga, juntos, te^m massa de kg. Determine a tensa~o no cabo de sustentac¸a~o quan- do o elevador, inicialmente descendo a m/s, e´ parado numa dista^ncia de m com acelerac¸a~o constante.

O diagrama de corpo isolado tem duas forc¸as: pa- ra cima, a tensa~o no cabo e, para baixo, a forc¸a da gravidade. Se escolhermos o sentido para ci- ma como positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que , onde e´ a acelerac¸a~o. Portanto, a tensa~o e´

Para determinar a acelerac¸a~o que aparece nesta equac¸a~o usamos a relac¸a~o

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas onde a velocidade ?nal e´ , a velocidade inicial e´ Com isto, encontramos

m/s ¢ Este resultado permite-nos determinar a tensa~o: N P 5-52 (5-35/6 ) Uma pessoa de kg salta de pa´ra-quedas e experimenta uma acelerac¸a~o, para baixo, de m/s . O pa´ra-quedas tem kg de massa. (a) Qual a forc¸a exercida, para cima, pelo ar sobre o pa´ra-quedas? (b) Qual a forc¸a exercida, para baixo, pela pessoa sobre o pa´ra-quedas?

(a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+pa´ra- quedas conte´m duas forc¸as: verticalmente para cima a forc¸a do ar, e para baixo a forc¸a gravitacional de um objeto de massa kg, correspondente Considerando o sentido para baixo como positivo, A se- gunda lei de Newton diz-nos que

onde e´ a acelerac¸a~o de queda. Portanto, N (b) Consider£ emos agora o diagrama de corpo isolado apenas p£ ara o pa´ra-quedas. Para cima temos , e para baixo temos£ a forc¸a£ gravitacion£ al sobre o pa´ra-quedas de massa . Ale´m dela, para baixo atua tambe´m a forc¸a , da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos ££/ enta~o que , donde tiramos N

P 5-55 (5-???/6 ) Imagine um mo´dulo de aterrisagem se aproximando da superf´?ciede Callisto, uma das luas de Ju´piter. Se o motor fornece uma forc¸a para cima (empuxo) de N, o mo´dulo desce com velocidade constante; se o mo- tor fornece apenas N, o mo´dulo desce com uma acelerac¸a~o de m/s . (a) Qual o peso do mo´dulo de

(b) Qual a massa do mo´dulo? (c) Qual a acelerac¸a~o em Chamemos de a acelerac¸a~o da gravidade perto da superf´?ciede Callisto, de a massa do mo´dulo de ater- risagem, de a acelerac¸a~o do mo´dulo de aterrisagem, e de o empuxo (a forc¸a para cima). Consideremos o sentido para baixo como o sentido positivo. Enta~o . Se o empuxo for N, a acelerac¸a~o e´ zero, donde vemos que

Se o empuxo for N, a acelerac¸a~o e´ m/s , e temos

(a) A primeira equac¸a~o fornece o peso do mo´dulo de aterrisagem:

N (b) A segunda equac¸a~o fornece a massa: kg (c) O peso dividido pela massa fornece a acelerac¸a~o da gravidade no local, ou seja,

m/s P 5-58 (5-43/6 ) Um bloco de massa kg esta´ sobre um plano com de inclinac¸a~o, sem atrito, preso por uma corda que passa por uma polia, de massa e atrito desprez´?veis, e tem na outra extremidade um segundo bloco de mas- Quais sa~o (a) os mo´dulos das acelerac¸o~es de cada bloco e (b) o sentido da acelerac¸a~o de ? (c) Qual a tensa~o na corda?

(a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado Para , apontando para cima temos a magnitude da Para , temos tre^s forc¸as: (i) a tensa~o¥ apontando para cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal perpendicular ao plano inclinado e apontando para cima e para a esquerda, e (iii) a forc¸a peso , apontando

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas para baixo, fazendo um a^ngulo com o prolon- Para , escolhemos o eixo paralelo ao plano incli- nado e apontando para cima, e o eixo na direc¸a~o da normal ao plano. Para , escolhemos o eixo apon- tando para baixo. Com estas escolhas, a acelerac¸a~o dos As componentes e da segunda lei de Newton para sa~o, respectivamente, sen

A segunda lei de Newton para fornece-nos Substituindo-se sen (obtida da pri- meira equac¸a~o acima), nesta u´ltima equac¸a~o, obtemos a acelerac¸a~o: sen ? sen m/s (b) O valor de acima e´ positivo, indicando que a acelerac¸a~o de aponta para cima do plano inclinado, (c) A tensa~o na corda pode ser obtida ou de sen sen N ou, ainda, da outra equac¸a~o:

N P 5-63 (5-47/6 ) Um macaco de kg sobe por uma corda de massa des- prez´?vel, que passa sobre o galho de uma a´rvore, sem atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de kg, que esta´ no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o mo´dulo da acelerac¸a~o m´?nimaque o macaco deve ter para levan- tar a caixa do solo? Se, apo´s levantar a caixa, o macaco parar de subir e ?car agarrado a` corda, quais sa~o (b) sua acelerac¸a~o e (c) a tensa~o na corda?

(a) Consideremos ?para cima? como sendo os sen- tidos positivos tanto para o macaco quanto para a cai- xa. Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo

com uma forc¸a de magnitude . De acordo com a ter- ceira lei de Newton, a corda puxa o macaco com uma forc¸a de mesma magnitude, de modo que a segunda lei de Newton aplicada ao macaco fornece-nos

onde e representam a massa e a acelerac¸a~o do macaco, respectivamente. Como a corda tem massa des- A corda puxa a caixa para cima com uma forc¸a de mag- nitude , de modo que a segu£ nda lei £ de£ Newton aplicada a` caixa e´ ££ onde e ?§ ¤ § ¤ representam a massa e a acelerac¸a~o da caixa, respectivamente, e e´ a forc¸a normal exercida Suponhamos agora que , onde e´ a forc¸a m´?nima para levantar a caixa. Enta~o e , £pois a caixa apenas `descola' do cha~o, sem ter ainda comec¸ado a acelerar. Substituindo-se estes valo- res na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que que, quando substituida na segunda lei de £ Newton para o macaco (primeira equac¸a~o acima), nos permite obter a acelerac¸a~o sem problemas:

m/s (b) Para a caixa e par£ a o ma£cac£ o, a segunda lei de Newton sa~o, respectivamente, ?£ Agora a acelerac¸a~o do pacote e´ para baixo e a do ma- Eliminando entre as« duas equac«¸o~es acima encontra- caco para cima, de£ modo £ que £ . A primeira mos sem problemas que equac¸a~o nos fornece que quando substituida £n£ a segunda equac¸a~o acima nos permite obter :

m/s (c) Da segun£ da lei ne Newton para a caixa podemos ob- ter que

N Um bala~o de massa « , com ar quente, esta´ descendo, P 5-70 (5-53/6 )

verticalmente com uma acelerac¸a~o para baixo (Fig. 5- 59). Que quantidade de massa deve ser atirada para fora do bala~o, para que ele suba com uma acelerac¸a~o (mes- mo mo´dulo e sentido oposto)? Suponha que a forc¸a de As forc¸as que atuam no bala~o sa~o a forc¸a ? da gra- subida, devida ao ar, na~o varie em func¸a~o da massa (car- ga de estabilizac¸a~o) que ele perdeu.

vidade, para baixo, e a forc¸a do ar, para cima. Antes da massa de estabilizac¸a~« o ser fog« ada fora, a acelerac¸a~o e´ para baixo e a segunda lei de Newton fornece-nos « «? ou seja . Apo´s jogar-se fora uma massa , a massa do bala~o passa a ser e a acelerac¸a~o e´ para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos «? «? agora a seguinte expressa~o

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Conteu´ do 6.2.1 Propriedades do Atrito . . . . . 2 6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velo- 6 Forc¸as e Movimento ? II 2 cidade Limite . . . . . . . . . . 4 6.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 4 6.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 6.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 6

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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 6 Forc¸as e Movimento ? II

6.1 Questo~es Q 6-10 6.2 Problemas e Exerc´?cios 6.2.1 Propriedades do Atrito

E 6-1 (6-??/6 edic¸a~o) Um arma´rio de quarto com massa de kg, incluindo gavetas e roupas, esta´ em repouso sobre o assoalho. (a) Se o coe?ciente de atrito esta´tico entre o mo´vel e o cha~o for , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa devera´ aplicar sobre o arma´rio para coloca´-lo em movi- mento? (b) Se as gavetas e as roupas, que te^m kg de massa, forem removidas antes do arma´rio ser empurra- do, qual a nova forc¸a m´?nima?

(a) O diagrama de corpo livre deste problema tem quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita esta´ a forc¸a aplicada , para a esquerda a forc¸a de atri- to . Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a Como o arma´rio esta´ em equil´?brio(na~o se move), a se- gunda lei de Newton fornece-nos como componentes e as seguintes equac¸o~es

Quando aumenta, aumenta tambe´m, ate´ que A forc¸a m´?nima que deve ser aplicada para o arma´rio comec¸ar a mover-se e´

N (b) A equac¸a~o para continua a mesma, mas a massa e´ agora kg. Portanto

N http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 6-2 (6-???/6 ) Um jogador de massa kg escorrega no cam- po e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito N. Qual e´ o coe?ciente de atrito cine´tico entre o jogador e o campo?

Neste problema, o diagrama de corpo livre tem ape- nas tre^s forc¸as: Na horizontal, apontando para a esquer- da, a forc¸a de atrito. Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a normal do solo sobre o jogador, e para A forc¸a de atrito esta´ relacionada com a forc¸a normal atrave´s da relac¸a~o . A forc¸a normal e´ ob- tida considerando-se a segunda lei de Newton. Como a componete vertical da acelerac ca~o e´ zero, tambe´m o e´ a componente vertical da segunda lei de Newton, que nos diz que

ou seja, que . Portanto E 6-8 (?????/6 ) Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de kg, para move^-la sobre o cha~o, com uma forc¸a de N. O coe?ciente de atrito cine´tico e´ . (a) Qual o mo´dulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a~o da caixa?

(a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a que a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda a forc¸a de atrito . Na vertical, para cima a forc¸a normal A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por , onde e´ o coe?ciente de atrito cine´tico. Como a componente vertical da acelerac¸a~o e´ zero, a segunda lei de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo- nentes verticais da forc¸a deve ser zero: , ou seja, que . Portanto

N (b) A acelerac¸a~o e´ obtida da componente horizontal da segunda lei de Newton. Como , temos

LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS E 6-11 (6-9/6 ) Uma forc¸a horizontal de N comprime um bloco pesando N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O coe?ciente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´ , e o coe?ciente de atrito cine´tico e´ . Suponha que inicialmente o bloco na~o esteja em movimento. (a) O bloco se movera´? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede sobre o bloco, em notac¸a~o de vetores unita´rios?

(a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua- tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita, te- mos a forc¸a e apontando para a esquerda a forc¸a nor- mal . Na vertical, apontando verticalmente para baixo temos o peso , e apontando para cima a forc¸a de atri- Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a magnitude da forc¸a de fricc¸a~o nevessa´ria para mante- lo sem acelerar bem como encontrar a forc¸a da parede sobre o bloco. Se o bloco na~o desliza pela A componente horizontal da segunda lei de Newton re- quer que , de modo que N e, portanto, N. A componente vertical diz que , de modo que A forc¸a da parede no bloco e´

N P 6-22 (6-13/6 ) Uma caixa de kg e´ puxada pelo chaa~o por uma corda que faz um a^ngulo de acima da horizontal. (a) Se o coe?ciente de atrito esta´tico e´ , qual a tensa~o m´?nima necessa´ria para iniciar o movimento da caixa? (b) SE , qual a sua acelerac¸a~o inicial?

Apontando para a direita e fazendo um a^ngulo de com a horizontal temos a tensa~o na corda. Hori- Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal do cha~o Quando a caixa ainda na~o se move as acelerac¸o~es sa~o zero e, consequentemente, tambe´ o sa~o as respectivas componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda lei de Newton nos fornece para as componente horizon- tal e vertical as equac¸o~es, respectivamente,

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas sen Esta equac¸o~es nos dizem que e que Para a caixa permanecer em repouso tem que ser me- nor do que , ou seja, sen Desta expressa~o vemos que a caixa comec¸ara´ a mover- se quando a tensa~o for tal que os dois lados da equac¸a~o acima compemsem-se: sen donde tiramos facilmente que

sen sen N (b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton nos diz que

sen Agora, pore´m temos sen onde tiramos da segunda equac¸a~o acima. Substituin- do este na primeira das equac¸o~es acima temos sen de onde tiramos facilmente que sen

sen m/s P 6-24 (6-15/6 ) Na Fig. 6-24, A e B sa~o blocos com pesos de N e N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi- lo de deslizar, sabendo que o coe?ciente entre A e a

mesa e´ . (b) Se o bloco C for repentinamente retira- do, qual sera´ a acelerac¸a~o do bloco A, sabendo que entre A e a mesa e´ ?

(a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O diagrama para o corpo B tem apenas duas forc¸as: para cima, a magnitude da tensa~o na corda, e para baixo a magnitude do peso do bloco B. O diagrama pa- ra o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na horizontal, apontando para a direita temos a tensa~o na corda, e apontando para a esquerda a magnitude da forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o Vamos supor que os blocos esta~o parados (na~o acelera- dos), e escolher o eixo apontando para a direita e o eixo apontando para cima. As componentes e da segunda lei de Newton sa~o, respectivamente,

Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como sen- do positivo, obtendo que

Portanto temos que e, consequentemente, que Para que na~o ocorra deslizamento, e´ necessa´rio que seja menor que , isto e´ que . O me- nor valor que pode ter com os blocos ainda parados e´

N Como o peso do bloco A e´ N, vemos que o menor peso do bloco C e´

N (b) Quando existe movimento, a segunda lei de Newton aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos forne- ce as equac¸o~es

Ale´m destas, temos , onde (da segunda equac¸a~o acima). Da terceira acima tiramos

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas . Substituindo as duas u´ltimas ex- presso~es na primeira equac¸a~o acima obtemos

Isolando encontramos, ?nalmente, m/s 6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite

P 6-43 (6-33/6 ) Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um m´?ssil de cm de dia^metro, viajando na velocidade de cruzeiro de m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e´ kg/m . Suponha .

Use a Eq. 6-18 do livro texto: onde e´ a densidade do ar, e´ a a´rea da secc¸a~o reta do m´?ssil, e´ a velocidade do m´?ssil,e e´ o coe?cien- te de viscosidade. A a´rea e´a dada por , onde m e´ o raio do m´?ssil.Portanto,

N 6.2.3 Movimento Circular Uniforme E 6-47 (?????/6 ) Se o coe?ciente de atrito esta´tico dos pneus numa rodo- via e´ , com que velocidade ma´xima um carro pode fazer uma curva plana de m de raio, sem derrapar?

A acelerac¸a~o do carro quando faz a curva e´ , Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´nica forc¸a que evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada com os pneus. A componente horizontal da segunda lei de Newton e´ . Sendo a forc¸a normal da estrada sobre o carro e a massa do carro, a compo- Portanto, e . Se o carro na~o

derrapa, . Isto signi?ca que , ou A velocidade ma´xima com a qual o carro pode fazer a curva sem deslizar e´, portanto, quando a velocidade coincidir com o valor a´ direita na desigualdade acima, ou seja, quando

max m/s

E 6-55 (?????/6 ) No modelo de Bohr do a´tomo de hidroge^nio, o ele´tron descreve uma o´rbita circular em torno do nu´cleo. Se o raio e´ m e o ele´tron circula vezes por segundo, determine (a) a velocidade do ele´tron, (b) a acelerac¸a~o do ele´tron (mo´dulo e sentido) e (c) a forc¸a centr´?petaque atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante da atrac¸a~o entre o nu´cleo, positivamente carregado, e o ele´tron, negativamente carregado.) A massa do ele´tron (a) (b) (c)

E 6-56 (???/6 ) A massa esta´ sobre uma mesa, sem atrito, presa a um peso de massa , pendurado por uma corda que passa Determine a velocidade escalar com que deve se mo- ver para permanecer em repouso.

Para permanecer em repouso a tensa~o na cor- A tensa~o e´ fornecida pela forc¸a centr´?petaque mante´m em sua o´rbita circular: , onde e´ o raio da o´rbita. Portanto, , donde tiramos sem problemas que

P 6-62 (?????/6 ) Um estudante de kg, numa roda-gigante com velo- cidade constante, tem um peso aparente de N no ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade da roda-gigante dobrar?

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Atenc¸a~o: observe que o enunciado deste proble- ma na quarta edic¸a~o do livro fala em ?peso apa- rente de kg?, fazendo exatamente aquilo que na~o se deve fazer: confundir entre si, peso e mas- sa.

O livro original diz que ?um estudante de li- O tradutor na~o percebeu que, como se pode faci- lemente ver no Ape^ndice F, ?libra? e´ tanto uma unidade de massa, quanto de peso. E e´ preciso prestar atenc¸a~o para na~o confundir as coisas.

Assim, enquanto que as libras referem-se a uma massa de kg, as libras referem-se a um peso de N.

(a) No topo o acento empurra o estudante para cima com uma forc¸a de magnitude , igual a N. A Terra puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude , igual a N. A forc¸a l´?quidaapontando para o centro da o´rbita circular e´ e, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a , Portanto

N Chamemos de a magnitude da forc¸a do acento sobre o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a l´?quidaque aponta para o centro do c´?rculoe´ . Assim sendo, temos , donde tiramos

N que correspondem a uma massa aparente de kg (b) No topo temos , de modo que

Se a velocidade dobra, aumenta por um fator de , passando a ser N. Enta~o

P 6-65 (6-45/6 ) Um avia~o esta´ voando num c´?rculohorizontal com uma velocidade de km/h. Se as asas do avia~o esta~o incli- nadas sobre a horizontal, qual o raio do c´?rculoque o avia~o faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a ne- cessa´ria seja obtida da ?sustenta¸ca~o aerodina^mica?, que e´ perpendicular a` superf´?ciedas asas.

O diagrama de corpo isolado do avia~o conte´m duas forc¸as: a forc¸a da gravidade, para baixo, e a forc¸a , apontando para a direita e fazendo um a^ngulo de com a horizontal. Como as asas esta~o inclinadas com a horizontal, a forc¸a de sutentac¸a~o e´ perpendicular Como o centro da o´rbita esta para a direita do avia~o, es- A componente e da segunda lei de Newton sa~o, res- pectivamente,

sen onde e´ o raio da o´rbita. Eliminando entre as duas equac¸o~es e rearranjando o resultado, obtemos

tan Para km/h m/s, encontramos tan m

P 6-70 (6-47/6 ) A Fig. 6-42 mostra uma bola de kg presa a um eixo As cordas esta~o esticadas e formam os lados de um tria^ngulo equila´tero. A tensa~o na corda superior e´ de N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a bola. (b) Qual a tensa~o na corda inferior? (c) Qual a forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na ?gura? (d) Qual a velocidade da bola?

(a) Chame de e as tenso~es nas cordas de cima e de baixo respectivamente. Enta~o o diagrama de corpo isolado para a bola conte´m tre^s forc¸as: para baixo atua o peso da bola. Para a esquerda, fazendo um a^ngulo para cima, temos . Tambe´m para a esquerda, pore´m fazendo um a^ngulo para baixo, temos a forc¸a . Como o tria^gulo e´ equila´tero, perceba que o

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas a^ngulo entre e tem que ser de sendo , como Observe ainda que a relac¸a~o entre as magnitudes de e e´ , pois deve contrabalanc¸ar na~o ape- nas o peso da bola mas tambe´m a componente vertical (b) Escolhendo o eixo horizontal apontando para a es- querda, no sentido do centro da o´rbita circular, e o eixo para cima temos, para a componente da segunda lei de Newton

A componente e´ sen sen Esta u´ltima equac¸a~o fornece a tensa~o na corda de baixo: sen . Portanto

N sen ¢ (c) A forc¸a l´?quidae´ para a esquerda e tem magnitude N

(d) A velocidade e´ obtida da equac¸a~o , observando-se que o raio da o´rbita e´ ( tan , veja a ?gura do livro):

m tan £ Portanto m/s 6.2.4 Problemas Adicionais / 6-72 (?????/6 ) Uma forc¸a , paralela a uma superf´?cieinclinada acima da horizontal, age sobre um bloco de N, como mostra a Fig. 6-43. Os coe?cientes de atrito entre o blo- co e a superf´?ciesa~o e . Se o bloco inicialmente esta´ em repouso, determine o mo´dulo e o sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as seguinte intensidades de P: (a) N, (b) N, (c) N.

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteu´ do 7.2.2 7 Trabalho e Energia Cine´tica 2 7.2.3 7.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7.2.4 7.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 7.2.5 7.2.1 Trabalho: movimento com 7.2.6 forc¸a constante . . . . . . . . . 2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel . . . . . . . . . . . . . 3 Trabalho realizado por uma mola 4 Energia Cine´tica . . . . . . . . 4 Pote^ncia . . . . . . . . . . . . . 5 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas . . . . . . . . . . . . 7

Comenta´rios/Sugesto~es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex)

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 7 Trabalho e Energia Cine´tica

7.1 Questo~es Q 7-13 As molas A e B sa~o ide^nticas, exceto pelo fato de que A e´ mais r´?gidado que B, isto e´ . Qual das duas molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa~o distendi- das por forc¸as iguais.

(a) Temos e , onde representa o deslocamento comum a ambas molas. Por- tanto,

(b) Agora temos e , onde e representam os delocamentos provocados pela forc¸a ide^ntica que atua sobre ambas as molas e que implica ter-se, em magnitude,

donte tiramos . Portanto 7.2 Problemas e Exerc´?cios 7.2.1 Trabalho: movimento com forc¸a constan- te

E 7-2 (7-7/6 edic¸a~o) Para empurrar um caixote de kg num piso sem atrito, um opera´rio aplica uma forc¸a de N, dirigida aci- ma da horizontal. Se o caixote se desloca de m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio, (b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exerci- da pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total executado sobre o caixote?

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por ela e´

onde e´ a forc¸a, e´ o deslocamento do caixote, e e´ o a^ngulo entre a forc¸a e o deslocamento . Portanto,

J (b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendi- cular ao deslocamento do caixote. O a^ngulo entre esta forc¸a e o deslocamento e´ e, como , o (c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per- pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra- (d) As tre^s forc¸as acima mencionadas sa~o as u´nicas que atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma das tre^s forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ J.

P 7-9 (???/6 ) A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para facilitar o levantamento de um peso . Suponha que o atrito seja desprez´?vel e que as duas polias de baixo, a`s quais esta´ presa a carga, pesem juntas N. Uma car- ga de N deve ser levantada m. (a) Qual a forc¸a m´?nima necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o trabalho executado para levantar a carga de m? (c) Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d) Qual o trabalho executado pela forc¸a para realizar esta tarefa?

(a) Supondo que o peso da corda e´ desprez´?vel (isto e´, que a massa da corda seja nula), a tensa~o nela e´ a mes- ma ao longo de todo seu comprimento. Considerando as duas polias mo´veis (as duas que esta~o ligadas ao peso ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com uma forc¸a aplicada em quatro pontos, de modo que a Se for a forc¸a m´?nimapara levantar a carga (com ve- locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta~o a segunda lei de Newton nos diz que devemos ter

onde representa o peso total da carga mais polias mo´veis, ou seja, N. Assim, encontra- mos que

(b) O trabalho feito pela corda e´ , onde e´ a dista^ncia de levantamento da carga. Portanto, o trabalho feito pela corda e´

J (A resposta na traduc¸a~o do livro esta´ incorreta.) (c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da corda entre o conjunto superior e inferior de polias di- minui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da cor- da abaixo de metros. Portanto, no total a extremidade (d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela extremidade livre e´ , onde e´ a dista^ncia que a extremidade livre se move. Portanto,

J Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d) devem coincidir, o que na~o ocorre com as respostas for- necidas no livro.

P 7-12 (???/6 ) Um bloco de kg e´ puxado com velocidade constan- te por uma dista^ncia de m em um piso horizontal por uma corda que exerce uma forc¸a de N fazen- do um a^ngulo de acima da horizontal. Calcule (a) o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o coe?ciente de atrito dina^mico entre o bloco e o piso.

(a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o traba- lho e´ dado por , onde e´ a forc¸a exercida pela corda, e´ a dista^ncia do deslocamento, e e´ o a^ngulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto

J (b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro) Desenhe um ponto representando o bloco. Em , de- senhe a forc¸a normal apontando para cima, a forc¸a peso apontando para baixo. Apontando horizontal- mente para a esquerda desenhe a forc¸a de atrito. Dese- nhe a forc¸a que puxa o bloco apontando para a direita e para cima, fazendo um a^ngulo com a horizontal, Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equil´?brio tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece as equac¸o~es, respectivamente,

sen http://www.if.ufrgs.br/ jgallas A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por

sen Substituindo o valor de na primeira das equac¸o~es aci- ma e resolvendo-a para encontramos sem problemas que

sen sen 7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel P 7-16 (???/6 ) A forc¸a exercida num objeto e´ . Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de ate´ (a) fazendo um gra´?co de e determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte- gral analiticamente.

(a) A expressa~o de diz-nos que a forc¸a varia li- nearmente com . Supondo , escolhemos dois pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma Para temos enquanto que para temos , ou seja devemos desenhar uma linha re- ta que passe pelos pontos e . Fac¸a a ?gura! Olhando para a ?gura vemos que o trabalho total e´ da- do pela soma da a´rea de dois tria^ngulos: um que vai de Como os dois tria^ngulos tem a mesma a´rea, sendo uma positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´ (b) Analiticamente, a integral nos diz que

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 7.2.3 Trabalho realizado por uma mola

E 7-18 (7-21/6 ) Uma mola com uma constante de mola de N/cm esta´ presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o tra- balho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´ distendida de mm em relac¸a~o ao seu estado relaxa- do? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola se ela e´ distendida por mais mm?

(a) Quando a gaiola move-se de para o trabalho feito pela mola e´ dado por

onde e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo m e m encontramos

J (b) Agora basta substituir-se m e m na expressa~o para o trabalho:

J Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho rea- lizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no pri- meiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido ide^ntico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante o segundo intervalo.

7.2.4 Energia Cine´tica E 7-21 (7-???/6 ) Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo acoplada tem uma massa total de kg e atinge uma velociade de km/s, qual a sua energia cine´tica neste instante?

Usando a de?nic¸a~o de energia cone´tica temos que J http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.

E 7-22 (7-1/6 ) Um ele´tron de conduc¸a~o (massa kg) do cobre, numa temperatura pro´xima do zero absoluto, tem uma energia cine´tica de J. Qual a velo- A energia cine´tica e´ dada por , onde e´ a massa do ele´tron e a sua velocidade. Portanto

m/s E 7-29 (???/6 ) Um carro de kg esta´ viajando a km/h numa es- trada plana. Os freios sa~o aplicados por um tempo su?- (a) Qual a velocidade ?nal do carro? (b) Qual a reduc¸a~o adicional de energia cine´tica necessa´ria para faze^-lo pa- rar?

(a) A energia cine´tica inicial do carro e´ , onde e´ a massa do carro e km/h m/s e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece

J Apo´s reduzir em kJ a energia cine´tica teremos J Com isto, a velocidade ?nal do carro sera´

m/s km/h (b) Como ao parar a energia cine´tica ?nal do carro sera´ ZERO, teremos que ainda remover J para faze- lo parar.

P 7-35 (7-17/6 ) Um helico´ptero levanta verticalmente um astronauta de kg ate´ m de altura acima do oceano com o aux´?lio de um cabo. A acelerac¸a~o do astronauta e´ . Qual o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo he- lico´ptero e (b) pelo seu pro´prio peso? Quais sa~o (c) a energia cine´tica e (d) a velocidade do astronauta no mo- mento em que chega ao helico´ptero?

(a) Chame de a magnitude da forc¸a exercida pelo cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e o peso do astronauta aponta para baixo. Ale´m disto, a acelerac¸a~o do astronauta e´ , para cima. De acordo com a segunda lei de Newton,

de modo que . Como a forc¸a e o deslo- camento esta~o na mesma direc¸a~o, o trabalho feito pela forc¸a e´

J (b) O peso tem magnitude e aponta na direc¸a~o opos- ta do deslocamento. Ele executa um trabalho

J (c) O trabalho total feito e´ J Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cine´tica ?nal devera´ ser igual a (d) Como , a velocidade ?nal do astronauta sera´

m/s km/h P 7-36 (7-19/6 ) Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um bloco, inicialmente em repouso, de massa com uma acelerac¸a~o constante . Depois que o bloco desceu uma dista^ncia , calcule (a) o trabalho realizado pela corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o bloco pelo seu peso, (c) a energia cine´tica do bloco e (d) a velocidade do bloco.

(a) Chame de a magnitude da forc¸a da corda sobre o bloco. A forc¸a aponta para cima, enquanto que a forc¸a da gravidade, de magnitude , aponta para bai- xo. A acelerac¸a~o e´ , para baixo. Considere o sentido para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda lei de Newton diz-nos que , de modo que . A forc¸a esta´ direcionada no sentido oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela faz e´

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho .

(c) O trabalho total feito sobre o bloco e´ Como o bloco parte do repouso, o valor acima coinci- de com sua energia cine´tica apo´s haver baixado uma (d) A velocidade apo´s haver baixado uma dista^ncia e´

7.2.5 Pote^ncia P 7-43 (???/6 ) Um bloco de granito de kg e´ puxado por um guin- daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade constante de m/s (Fig. 7-38). O coe?ciente de atrito dina^mico entre o bloco e a rampa e´ . Qual a pote^ncia do guindaste?

Para determinar a magnitude da forc¸a com que o guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de cor- Chamemos de a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao de . A normal aponta perpendicularmente a` ram- pa, enquanto que a magnitude da forc¸a da gravidade O a^ngulo do plano inclinado vale

tan Tomemos o eixo na direc¸a~o do plano inclinado, apon- tando para cima e o eixo apontando no mesmo sentido Como a acelerac¸a~o e´ zero, as componentes e da se- gunda lei de Newton sa~o, respectivamente, sen

Da segunda equac¸a~o obtemos que , de modo que . Substiutindo es- te resultado na primeira equac¸a~o e resolvendo-a para obtemos sen

A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve- locidade do bloco, de modo que a pote^ncia do guindaste e´

sen sen kW P 7-47 (???/6 ) Uma forc¸a de N age sobre um corpo de kg inicial- mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e (b) a pote^ncia instanta^nea aplicada pela forc¸a no ?nal do terceiro segundo.

(a) A pote^ncia e´ dada por e o trabalho feito por entre o instante e e´

Como e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a~o e´ e a velocidade em func¸a~o do tempo e´ dada por . Portanto ¢£ Para s e s temos

J ¢£ Para s e s temos J ¢£ Para s e s temos

J (b) Substitua em obtendo enta~o Ao ?nal do terceiro segundo temos

W http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 7-48 (7-35/6 ) Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa total de kg e deve subir m em min. O con- trapeso do elevador tem uma massa de kg. Calcu- le a pote^ncia (em cavalos-vapor) que o motor do eleva- dor deve desenvolver. Ignore o trabalho necessa´rio para colocar o elevador em movimento e para frea´-lo, isto e´, suponha que se mova o tempo todo com velocidade constante.

O trabalho total e´ / a som¥ a dos ? trabalhos feitos pela gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi- dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre o sistema: . Como o elevador mo/ ve-se ¥com ve? locidade constante, sua energia cine´tica na~o muda e, de acordo com o teorema do Trabalho- Energia, o trabalho total feito e´ zero. Isto signi?ca que .

O e/ levador /move-se m para cima, de modo que o tra- balho feito pela gravidade sobre ele e´

J O cont¥ rapeso¥ move-se para baixo pela mesma dista^ncia, de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´

J ? / ¥§ Como , o trabalho feito pelo motor e´ Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo ¤ J ¤? min s e, portanto, a pote^ncia fornecida pelo motor para levantar o elevador e´

W Este valor corresponde a W hp W/hp P 7-49 (???/6 ) A forc¸a (mas na~o a pote^ncia) necessa´ria para rebocar um barco com velocidade constante e´ proporcional a`veloci- dade. Se sa~o necessa´rios hp para manter uma veloci- dade de km/h, quantos cavalos-vapor sa~o necessa´rios para manter uma velocidade de km/h?

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m. ?? ?? Como o problema a?rma que a forc¸a e´ proporcional Como a velocidade da luz e´ m/s, temos a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por , onde e´ a velocidade e e´ uma constante de proporcionalidade. A pote^ncia necessa´ria e´ «? Esta fo´rmula nos diz que a pote^ncia associada a uma velocidade e´ e a uma velocidade e´ . Portanto, dividindo-se por podemos nos livrar da constante desconhecida, obtendo que

Para hp e , vemos sem problemas que hp Observe que e´ poss´?vel determinar-se explicitamente o valor de a partir dos dados do problema. Pore´m, tal soluc¸a~o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde determinamos implicitamente.

7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas E 7-50 (???/6 ) Um ele´tron se desloca de cm em ns. (a) Qual e´ a relac¸a~o entre a velocidade do ele´tron e a velocidade da (c) Qual o erro percentual que voce^ cometeria se usas- se a fo´rmula cla´ssica para calcular a energia cine´tica do ? (a) A velocidade do ele´tron e´

m/s (b) Como a velocidade do ele´tron e´ pro´xima da veloci- dade da luz,devemos usar expressa~o relativ´?sticapara a energia cine´tica:? ? ? ? ? J ? Este valor e´ equivalente a

keV ?? (c) Classicamente a energia cine´tica e´ dada por J Portanto, o erro percentual e´, simpli?cando ja´ a pote^ncia comum que aparece no numerador e denomina- dor, ou seja, ? . Perceba que na~o erro percentual

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteu´ do 8.2.2 8 Conservac¸a~o da Energia 2 8.2.3 8.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8.2.4 8.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 8.2.1 Determinac¸a~o da Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 2 8.2.5 Usando a Curva de Energia Po- tencial . . . . . . . . . . . . . . 7 Conservac¸a~o da Energia . . . . 8 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito . . . . . . . . . . . . 8 Massa e Energia . . . . . . . . 11

Comenta´rios/Sugesto~es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex)

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 8 Conservac¸a~o da Energia

8.1 Questo~es Q 8-10 Cite alguns exemplos pra´ticos de equil´?brio insta´vel, neutro e esta´vel.

8.2 Problemas e Exerc´?cios 8.2.1 Determinac¸a~o da Energia Potencial

E 8-1 (8-??/6 edic¸a~o) Uma determinada mola armazena J de energia po- tencial quando sofre uma compressa~o de cm. Qual a constante da mola?

Como sabemos que a energia potencial ela´stica arma- zenada numa mola e´ , obtemos facilmen- te que

N/m E 8-6 (8-3/6 ) Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma tac¸a hemisfe´rica sem atrito com cm de raio (Fig. 8- 22). Com que velocidade o gelo esta´ se movendo ao chegar ao fundo da tac¸a?

A u´nica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo e´ a forc¸a da gravidade, que e´ uma forc¸a conservati- Chamando de a energia cine´tica do pedacinho de ge- lo na borda da tac¸a, de a sua energia cine´tica no fundo da tac¸a, de sua energia potencial da borda e de sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos enta~o

Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co- mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale , onde representa o raio da tac¸a e

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23

representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- mando de a velocidade do pedacinho de gelo ao atin- gir o fundo, temos enta~o, da equac¸a~o da conservac¸a~o da energia acima que , o que nos fornece m/s

E 8-8 (8-13/6 ) Um caminha~o que perdeu os freios esta´ descendo uma estrada em declive a km/h. Felizmente a estrada dispo~e de uma rampa de escape, com uma inclinac¸a~o de (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminha~o chegue a zero an- tes do ?nal da rampa? As rampas de escape sa~o quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou Nota: uso o valor km/h da sexta edic¸a~o do livro, em vez dos km/h da quarta, ja´ que na quarta edic¸a~o na~o e´ fornecida nenhuma resposta.

Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de fricc¸a~o. Neste caso a u´nica forc¸a a realizar trabalho e´ a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja a energia cine´tica do caminha~o no in´?cioda rampa de es- cape e sua energia cine´tica no topo da rampa. Seja e os respectivos valores da energia potencial no in´?cioe no topo da rampa. Enta~o

Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no in´?cioda rampa, enta~o , onde e´ a altura ?nal do caminha~o em relac¸a~o a` sua posic¸a~o inicial. Te- mos que , onde e´ a velocidade inicial do caminha~o, e ja´ que o caminha~o para. Portanto , donde tiramos que

m Se chamarmos de o comprimento da rampa, enta~o te- remos que sen , donde tiramos ?nalmente que

m sen sen Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um ??uido?,tem mais atrito que uma pista so´lida, aju- dando a diminuir mais a dista^ncia necessa´ria para parar o ve´?culo.

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E 8-10 (8-??/6 ) Um proje´til com uma massa de kg e´ disparado pa- ra cima do alto de uma colina de m de altura, com uma velocidade de m/s e numa direc¸a~o que faz um a^ngulo de com a horizontal. (a) Qual a energia (b) Qual a energia potencial do proje´til no mesmo mo- mento? Suponha que a energia potencial e´ nula na ba- se da colina ( ). (c) Determine a velocidade do proje´til no momento em que atinge o solo. Supondo que a resiste^ncia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do proje´til?

(a) Se for a massa do proje´til e sua velocidade apo´s o lanc¸amento, enta~o sua energia cine´tica imediata- mente apo´s o lanc¸amento e´

J (b) Se a energia potencial e´ tomada como zero quando o proje´til atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de , enta~o sua energia potencial inicial e´

J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po- tencial e´ zero e a energia cine´tica pode ser escrita co- mo sendo , onde e´ a velocidade do proje´til. A energia meca^nica e´ conservada durante o voo do proje´til de modo que donde tiramos facilmente que

m/s Os valores de e dependem todos da mas- sa do proje´til, pore´m a velocidade ?nal na~o depende da massa se a resiste^ncia do ar puder ser considerada Observe que o tal a^ngulo de na~o foi usado para na- da! Talvez seja por isto que este exerc´?cioja´ na~o mais aparec¸a nas edic¸o~es subsequentes do livro...

E 8-12 (8-17/6 ) Uma bola de gude de g e´ disparada verticalmente pa- ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de cm para que a bola de gude apenas al- cance um alvo situado a m de dista^ncia. (a) Qual a

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas variac¸a~o da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?

(a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial ela´stica da mola e energia po- Considere o zero da energia potencial gravitacional co- mo sendo a posic¸a~o da bola de gude quando a mola esta´ comprimida. Enta~o, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela esta´ no topo da o´rbita (i.e. no ponto mais alto) e´ , onde e´ a altura do pon- to mais elevado. Tal altura e´ m. Portanto

J (b) Como a energia meca^nica e´ conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a ener- gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja, Portanto,

N/m Observe que N/m N/m N/cm que e´ a resposta oferecida pelo livro-texto.

E 8-13 (8-5/6 ) Uma bola de massa esta´ presa a` extremidade de uma barra de comprimento e massa desprez´?vel. A outra extremidade da barra e´ articulada, de modo que a bo- la pode descrever um c´?rculoplano vertical. A barra e´ mantida na posic¸a~o horizontal, como na Fig. 8-26, ate´ receber um impulso para baixo su?ciente para chegar ao ponto mais alto do c´?rculocom velocidade zero. (a) Qual a variac¸a~o da energia potencial da bola? (b) Qual (a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola esta´ inicialmente a uma dista^ncia vertical acima do pon- to mais baixo, a energia potencial inicial e´ , A variac¸a~o da energia potencial e´, portanto,

(b) A energia cine´tica ?nal e´ zero. Chamemos de a energia cine´tica inicial, onde e´ a velocidade inicial procurada. A barra na~o faz traba- lho algum e a forc¸a da gravidade e´ conservativa, de

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modo que a energia meca^nica e´ conservada. Isto sig- ni?ca que ou, em outras palavras, que de modo que temos

P 8-17 (8-21/6 ) Uma mola pode ser comprimida cm por uma forc¸a de N. Um bloco de kg de massa e´ liberado a par- tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸a~o e´ . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola cm antes de parar. (a) Qual a dista^ncia total percorrida pelo bloco ate´ parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola?

A informac¸a~o dada na primeira frase nos permite cal- cular a constante da mola: N/m (a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cine´tica e´ zero e sua energia potencial gravitacional inicial e´ , onde e´ a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tambe´m a energia poten- cial inicial armazenada na mola como sendo zero. Su- ponha que o bloco comprima a mola uma dista^ncia antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener- gia cine´tica ?nal e´ zero, a energia potencial gravitacio- nal ?nal e´ zero, e a energia potencial ?nal da mola e´ . O plano inclinado na~o tem atrito e a forc¸a nor- mal que ele exerce sobre o bloco na~o efetua trabalho (pois e´ perpendicular a` direc¸a~o do movimento), de mo- do que a energia meca^nica e´ conservada. Isto signi?ca que , donde tiramos que

m Se o bloco viajasse uma dista^ncia pelo plano inclinado abaixo, enta~o sen , de modo que

m sen sen (b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis- ta m do ponto onde ira´ estar em repouso, e as- sim esta´ a uma dista^ncia vertical de sen m acima da sua posic¸a~o ?nal. A energia po- tencial e´ enta~o J.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Por outro lado, sua energia potencial inicial e´ J. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cine´tica ?nal: J. Sua velocidade ?nal e´, portanto,

m/s P 8-21 (8-??/6 ) Uma bala de morteiro de kg e´ disparada para cima com uma velocidade inicial de m/s e um a^ngulo de em relac¸a~o a` horizontal. (a) Qual a energia cine´tica da bala no momento do disparo? (b) Qual e´ a variac¸a~o na energia potencial da bala ate´ o momento em que atinge o ponto mais alto da trajeto´ria? (c) Qual a altura atingida pela bala?

A energia cine´tica inicial e´ enta~o J (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de a energia potencial no topo da trajeto´ria. coincide enta~o com a variac¸a~o da energia potencial deste o instante do tiro ate´ o instan- te em que o topo da trajeto´ria e´ alcanc¸ada. Neste ponto a velocidade da bala e´ horizontal e tem o mesmo valor que tinha no in´?cio: , onde e´ o a^ngulo de tiro. A energia cine´tica no topo e´

Como a energia meca^nica e´ conservada Portanto sen sen J (c) A energia potencial no topo da trajeto´ria e´ tambe´m dada por , onde e´ a altura (desn´?vel) do

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23

topo em relac¸a~o ao ponto de tiro. Resolvendo para , encontramos:

m P 8-23 (8-23/6 ) A corda da Fig. 8-31 tem cm de comprimento e a dista^ncia ate´ o pino ?xo e´ de cm. Quando a bola e´ liberada em repouso na posic¸a~o indicada na ?- Qual e´ a velocidade da bola (a) quando esta´ passando pelo ponto mais baixo da trajeto´ria e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajeto´ria depois que a corda toca o pino?

Chame de o ponto mais baixo que a bola atinge e de o ponto mais alto da trajeto´ria apo´s a bola to- car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixo originando-se no ponto e apontando para ci- ma. A energia inicial da bola de massa no campo Conservac¸a~o da energia fornece-nos enta~o uma equac¸a~o para a velocidade da bola em qualquer lugar especi?- cado pela coordenada :

(a) Com em , obtemos facilmente que m/s (b) Importante aqui e´ perceber que o tal ponto mais alto da trajeto´ria depois que a corda toca o pino na~o e´ o pon- to (como a ?gura parece querer indicar) mas sim o ponto , pois a bola tem energia su?ciente para chegar ate´ ele! E´ neste detalhezito que mora o pe- rigo... :-) Substituindo em , obtemos enta~o facilmente que

m/s Qual a raza~o deste u´ltimo valor ser a metade do ante- P 8-25 (8-25/6 ) Deixa-se cair um bloco de kg de uma altura de cm sobre uma mola cuja constante e´ N/m (Fig. 8- 32). Determine a compressa~o ma´xima da mola.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Seja a massa do bloco, a altura da queda e a compressa~o da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posic¸a~o inicial do bloco. O bloco cai uma dista^ncia e sua energia potencial gravitacional ?nal e´ . Valores positivos de indicam ter ha- vido compressa~o da mola. A energia potencial da mola e´ inicialmente zero e no ?nal. A energia cine´tica e´ zero tanto no in´?cioquanto no ?m. Como a energia e´ conservada, temos

As soluc¸o~es desta equac¸a~o quadra´tica sa~o Como procuramos uma compressa~o, o valor desejado e´ m.

P 8-27 (8-27/6 ) Duas crianc¸as esta~o competindo para ver quem conse- gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu- le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A dista^ncia horizontal entre a borda da mesa e a caixa e´ de m (Fig. 8-34). Joa~o comprime a mola cm e a bola cai cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa?

A dista^ncia que a bola de gude viaja e´ determina- da pela sua velocidade inicial, que e´ determinada pela Seja a altura da mesa e a dista^ncia horizontal ate´ o ponto onde a bola de gude aterrisa. Enta~o e , onde e´ a velocidade inicial da bola de gude e e´ o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸a~o fornece de modo que A dista^ncia ate´ o ponto de aterrisagem e´ diretamente proporcional a` velocidade inicial pois . Seja a velocidade inicial do primeiro tiro e a dista^ncia horizontal ate´ seu ponto de aterrisagem; seja a velo- cidade inicial do segundo tiro e a dista^ncia horizontal ate´ seu ponto de aterrisagem. Enta~o

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS Quando a mola e´ comprimida a energia potencial e´ , onde e´ a compressa~o. Quando a bola de gude perde contato da mola a energia potencial e´ zero e sua energia cine´tica e´ . Como a energia meca^nica e´ conservada, temos

de modo que a velocidade inicial da bola de gude e´ dire- tamente proporcional a`compressa~o original da mola. Se ¢£ for a compressa~o do primeiro tiro e a do segundo, ¢ enta~o . Combinando isto com o resul- tado anterior encontramos . Tomando agora m, cm, e ¥/ m, encontramos a compressa~o desejada: ? m cm cm m

P 8-31 (8-26/6 ) Tarzan, que pesa N, decide usar um cipo´ de m Do ponto de partida ate´ o ponto mais baixo da trajeto´ria, desce m. O cipo´ e´ capaz de resitir a uma forc¸a ma´xima de N. Tarzan consegue chegar ao outro la- do?

Chamando de a massa do Tarzan e de a sua ve- locidade no ponto mais baixo temos que

onde e´ a altura que Tarzan desce. Desta expressa~o £ tiramos que Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a forc¸a centr´?petaesta´ relacionada §¤ com a tensa~o no cipo´ atrave´s da equac¸a~o § ¤§§ onde e´ o raio da trajeto´ria. Portanto, temos que /? N

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23 ¤ Como N, vemos que Tarzan consegue atra- vessar, pore´m estirando o cipo´ muito perto do limite ma´ximo que ele agu¨ enta! P 8-32 (8-29/6 ) ? Na Fig. 8-31 mostre que se a bola ?zer uma volta com- pleta em torno do pino, enta~o . (Sugesta~o: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajeto´ria. Voce^saberia explicar por que^?) Antes de mais nada, este problema e´ uma continuac¸a~o Use conservac¸a~o da energia. A energia meca^nica deve ser a mesma no topo da oscilac¸a~o quanto o era no in´?cio ¤ do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve- locidade (energia cine´tica) no topo. No topo a tensa~o na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸a~o ao centro do c´?rculo.Note que o raio ¤ do c´?rculoe´ , de modo que temos

onde e´ a velocidade e e´ a massa da bola. Quan- do a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade poss´?vel) a tensa~o e´ zero. Portanto, Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸a~o. Enta~o a ener- gia potencial inicial e´ . A energia cine´tica inicial « e´ pois a bola parte do repouso. A energia potencial ?nal, no topo da oscilac¸a~o, e´ e a energia cine´tica ?nal e´ . O princ´?pioda ? conservac¸a~o da energia fornece-nos Desta expressa~o obtemos sem problemas que

Se for maior do que , de modo que o ponto mais alto da trajeto´ria ?ca mais abaixo, enta~o a velocidade da Se for menor a bola na~o pode dar a volta. Portanto o P 8-35? (8-33? /6 ) Uma corrente e´ mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com- primento e uma massa , qual o trabalho necessa´rio para puxa´-la totalmente para cima da mesa?

O trabalho necessa´rio e´ igual a` variac¸a~o da energia potencial gravitacional a medida que a corrente e´ pu- xada para cima da mesa. Considere a energia poten- cial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente ? num nu´mero grande de segmentos in?nitesimais, ca- da um com comprimento . A massa de um tal seg- ?£ mento e´ e a energia potencial do segmen- to a uma dista^ncia abaixo do topo da mesa e´ ?? / ? . A energia potencial total e´ da mesa e´, portanto, ? O trabalho necessa´rio para puxar a corrente para cima P 8-37? (8-35? /6 ) .

Um menino esta´ sentado no alto de um monte he- misfe´rico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um § pequen´?ssimoempurra~o e comec¸a a escorregar para bai- xo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des- prezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja altura e´ . (Sugesta~o: A forc¸a normal desaparece · no momento em que o menino perde o contato como o gelo.) Chame de a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no · menino. Chamando de o a^ngulo entre a vertical e o § raio que passa pela posic¸a~o do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro e´ que, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual · a forc¸a centr´?peta , onde e´ a velocidade do me- nino. No ponto em que o menino se desprende do gelo § temos , de modo que Precisamos agora determinar a velocidade . Tomando § a energia potencial como zero quando o menino esta´ no topo do iglu, teremos para a expressa~o

O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia cine´tica na hora que se desprende vale . Portan- to, a conservac¸a~o da energia nos fornece

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23 § § , ou seja,

Substituindo este resultado na expressa~o acima, obtida da forc¸a centr´?peta,temos

ou, em outras palavras, que A altura do menino § acima do pl§ano horizontal quando se desprende e´

8.2.2 Usando a Curva de Energia Potencial P 8-39 (8-37/6 ) A energia potencial de uma mole´cula diato^mica (H ou O , por exemplo) e´ dada por ¶ onde e´ a dista^ncia entre os a´tomos que formam a mole´cula e e sa~o constantes positivas. Esta energia (a) Calcule a dista^ncia de equil´?brio,isto e´, a dista^ncia entre os a´tomos para a qual a forc¸a a que esta~o subme- tidos e´ zero. Veri?que se a forc¸a e´ repulsiva (os a´tomos tendem a se separar) ou atrativa (os a´tomos tendem a se aproximar) se a dista^ncia entre eles e´ (b) menor e (c) maior do que a dista^ncia de equil´?brio.

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23 (b) A derivada da forc¸a em??relac¸a~o a , computada na E 8-50 (8-??/6 ) separac¸a~o de equil´?briovale ?¶ Um menino de kg sobe, com velocidade constante, por uma corda de m em s. (a) Qual o aumento da energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a (a)

J ¶ onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que . A derivada e´ negativa, de modo que a forc¸a e´ positiva se for um pouco menor que , indi- (c) Se for um pouco maior que a forc¸a e´ negativa, indicando que a forc¸a e´ de atrac¸a~o.

8.2.3 Conservac¸a~o da Energia 8.2.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito Aproximadamente ¶ kg de a´gua caem por se- E 8-45 (8-48/6 )

gundo nas cataratas de Nia´gara a partir de uma altura de m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun- do pela a´gua que cai? (b) Qual seria a pote^ncia gerada por uma usina hidrele´trica se toda a energia potencial da a´gua fosse convertida em energia ele´trica? (c) Se a companhia de energia ele´trica vendesse essa energia pe- lo prec¸o industrial de centavo de do´lar por quilowatt- hora, qual seria a sua receita anual?

(a) O decre´scimo na energia potencial gravitacional ¶? por segundo e´

J ?? (b) A pote^ncia seria Js W ¶ (c) Como a energia total gerada em um ano e´ ? kW ano h/ano kW h ? o custo anual seria do´lares ou seja, milho~es de do´lares.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (b) W E 8-51 (8-??/6 ) Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada de m de altura em s. Qual a pote^ncia desenvol- vida pela mulher?

W E 8-55 (8-??/6 ) Um nadador se desloca na a´gua com uma velocidade me´dia de m/s. A forc¸a me´dia de arrasto que se opo~e a esse movimento e´ de N. Qual a pote^ncia me´dia de- senvolvida pelo nadador?

Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a a´gua com uma forc¸a de N. Em relac¸a~o a ele, a a´gua passa a m/s no sentido dos seus pe´s, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua pote^ncia » ?? ? e´

W E 8-64 (8-43/6 ) Um urso de kg escorrega para baixo num troco de a´rvore a partir do repouso. O tronco tem m de al- tura e a velocidade do urso ao chegar ao cha~o e´ de (b) Qual a energia cine´tica do urso no momento em que chega ao cha~o? (c) Qual a forc¸a me´dia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida?

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23

(a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo . Enta~o a energia potencial gravita- cional ?nal e´ , onde e´ o comprimento da a´rvore. A variac¸a~o e´, portanto,

J (b) A energia cine´tica e´ J (c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸a~o da energia meca^nica e´ ig¿ual a , onde e´ a forc¸a de atrito ? me´dia. Portanto

N P 8-66 (8-51/6 ) Um bloco de kg e´ empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola e´ N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra total- mente relaxada, o bloco viaja por uma superf´?ciehori- zontal com um coe?ciente de atrito dina^mico de , percorrendo uma dista^ncia de m antes de parar. (a) (b) Qual a energia cine´tica ma´xima possu´?dapelo blo- co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o ` (a) A magnitude da forc¸a de fricc¸a~o e´ ` · e´ o coe?ciente de atrito dina^mico e · , onde e´ a forc¸a nor- mal da superf´?ciesobre o bloco. As u´nicas forc¸as verti- cais atuantes no bloco sa~o a forc¸a normal, para cima, e · a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente ´` vertical da acelerac¸a~o do bloco e´ zero, a segunda lei de ^¥ ` Newton nos diz que , onde e´ a massa do blo- co. Portanto . A energia meca^nica dissipada e´ dada por , onde e´ a dista^ncia £ que o bloco anda antes de parar. Seu valor e´

J (b) O bloco tem sua energia cine´tica ma´xima quando perde contato com a mola e entra na parte da superf´?cie onde a fricc¸a~o atua. A energia cine´tica ma´xima e´ igual a` energia meca^nica dissipada pela fricc¸a~o, ou seja, (c) A energia que aparece como energia cine´tica esta- va ariginalmente armazenada como energia potencial

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ¥ ela´stica, da mola comprimida. Portanto , onde e´ a constante da mola e e´ a compressa~o. Logo,

m cm P 8-69 (8-55/6 ) Dois montes nevados te^m altitudes de m e m em relac¸a~o ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis- ta de esqui vai do alto do monte maior ate´ o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento to- tal da pista e´ km e a inclinac¸a~o me´dia e´ . (a) Com que velovidade chegara´ ao alto do monte menor sem se impulsionar com os basto~es? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coe?ciente de atrito dina^mico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor?

(a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co- mo estando no vale entre os dois picos. Enta~o a energia potencial e´ , onde e´ a massa do esquiador ~ e e´ a altura do pico mais alto. A energia potencial Escrevamos a energia cine´tica ?nal como , onde e´ a velocidade do esquiador no topo do pico me- nor. A forc¸a normal da superf´?ciedos montes sobre o esquiador na~o faz trabalho (pois e´ perpendicular ao mo- ? vimento) e o atrito e´ desprez´?vel, de modo que a energia meca^nica e´ conservada: , ou seja, ¯ , donde tiramos

m s · (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´?ciein- clinada dos montes no esquiador e´ dada por , onde e´ o a^ngulo da superf´?cieinclinada em ? `· ` relac¸a~o a` horizontal, para cada uma das superf´?cies `´ em questa~o. A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por . A energia meca^nica dissipa- da pela forc¸a de atrito e´ , onde e´ o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cine´tica, a ener- gia meca^nica dissipada pelo atrito e´ igual a`diferenc¸a de energia potencial entre os pontos inicial e ?nal da tra- ` jeto´ria. Ou seja,

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23 donde tiramos ? P 8-74 (8-??/6 ) Uma determinada mola na~o obedece a` lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma dista^ncia (em metros) e´ de , no sentido oposto ao da distensa~o. (a) Calcule o traba- lho necessa´rio para distender a mola de m ate´ m. (b) Com uma das extremidades da mola ¨ mantida ?xa, uma part´?cula de kg e´ presa a` ou- tra extremidade e a mola e´ distendida de uma dista^ncia . Em seguida, a part´?culae´ liberada sem velo- cidade inicial. Calcule sua velocidade no instante em (c) A forc¸a exercida pela mola e´ conservativa ou na~o- conservativa? Explique sua resposta.

(a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual Como a uma distensa~o no sentido positivo de exerce uma forc¸a no sentido negativo de , a forc¸a aplicada tem que ser , no sentido positivo de . ° O trabalho que ela realiza e´ ° ¸ ? °° ¸ J (b) A mola faz J de trabalho e este deve ser o au- mento da energia cine´tica da part´?cula. Sua velocidade e´ enta~o

m/s (c) A forc¸a e´ conservativa pois o trabalho que ela faz quando a part´?culavai de um ponto para outro pon- to depende apenas de e , na~o dos detalhes do ? P 8-79 (8-61/6 ) Uma pedra de peso e´ jogada verticalmente para cima com velocidade inicial . Se uma forc¸a constante de- vido a`resiste^ncia do ar age sobre a pedra durante todo o

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ` :percurso, (a) mostre que a altura ma´xima atingida pela pedra e´ dada por ?? (b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo e´ dada por / ?? ? ? (a) Seja a altura ma´xima alcanc¸ada. A energia meca^nica dissipada no ar quando a pedra sobe ate´ a altu- ra e´, de acordo com a Eq. 8-26, . Sabemos que

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS / ?? ? Perceba que para ¥ / a?? mbos ?res? ultados reduzem-se de onde obtemos o resultado ?nal procurado:

8.2.5 Massa e Energia E 8-92 (8-??/6 ) (a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa de g? (b) Durante quantos anos esta energia aten- ? deria a`s necessidades de uma fam´?liaque consome em ? ¸J (a) Usamos a fo´rmula : ¸ (b) Usamos agora , onde e´ a taxa de consumo de energia e e´ o tempo. Portanto,

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23 ¸ anos! segundos

P 8-96 (8-??/6 ) ? Os Estados Unidos produziram cerca de kW h de energia ele´trica em 1983. Qual a massa equi- ^? ? ? ? ? valente a esta energia?

Para determinar tal massa, usamos a relac¸a~o ?? Primeiro precisamos converter kW h para Joules: ? kW h W s J ?? Portanto ? kg

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

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Conteu´ do 9.2.2 O Momento Linear . . . . . . . 5 9.2.3 Conservac¸a~o do Momento Linear 6 9 Sistemas de Part´?culas 2 9.2.4 Sistemas de Massa Varia´vel: 9.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Um Foguete . . . . . . . . . . . 8 9.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 9.2.5 Sistemas de Part´?culas: Varia- 9.2.1 O Centro de Massa . . . . . . . 2 c¸o~es na Energia Cine´tica . . . . 8

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 9 Sistemas de Part´?culas

9.1 Questo~es Q 9-2 Qual a localizac¸a~o do centro de massa da atmosfera da Terra?

9.2 Problemas e Exerc´?cios 9.2.1 O Centro de Massa E 9-1 (9-1/6 edic¸a~o) (a) A que dista^ncia o centro de massa do sistema Terra- Lua se encontra do centro da Terra? (Use os valores das massas da Terra e da Lua e da dista^ncia entre os dois astros que aparecem no Ape^ndice C.) (b) Expresse a resposta do item (a) como uma frac¸a~o do raio da Terra.

(a) Escolha a origem no centro da Terra. Enta~o a dista^ncia do centro de massa do sistema Terra-Lua e´ dada por

onde e´ a massa da Lua, e´ a massa da Terra, a e´ a separac¸a~o me´dia entre Terra e Lua. Tais valores encontram-se no Ape^ndice C. Em nu´meros temos,

m (b) O raio da Terra e´ m, de modo que temos

E 9-3 (9-3/6 ) (a) Quais sa~o as coordenadas do centro de massa das tre^s part´?culasque aparecem na Fig. 9-22? (b) O que acon- tece com o centro de massa quando a massa da part´?cula de cima aumenta gradualmente?

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (a) Sejam , e as coordenadas (em metros) das tre^s part´?culascujas respectivas massas designamos por , e . Enta~o a coordenada do centro de massa e´

m enquanto que a coordenada e´ m (b) A medida que a massa da part´?culade cima e´ aumen- tada o centro de massa desloca-se em direc¸a~o a aquela part´?cula.No limite, quando a part´?culade cima for mui- to mais massiva que as outras, o centro de massa coin- cidira´ com a posic¸a~o dela.

E 9-12 (9-9/6 ) Uma lata em forma de cilindro reto de massa , al- tura e densidade uniforme esta´ cheia de refrigerante (Fig. 9-30). A massa total do refrigerante e´ . Fazemos pequenos furos na base e na tampa da lata para drenar o conteu´do e medimos o valor de , a dista^ncia verti- cal entre o centro de massa e a base da lata, para va´rias situac¸o~es. Qual e´ o valor de para (a) a lata cheia e (b) a lata vazia? (c) O que acontece com enquanto a lata esta´ sendo esvaziada? (d) Se e´ a altura do l´?quido que resta em um determinado instante, determine o va- lor de (em func¸a~o de , e ) no momento em que o centro de massa se encontra o mais pro´ximo poss´?vel da base da lata.

(a) Como a lata e´ uniforme seu centro de massa esta´ localizado no seu centro geome´trico, a uma dista^ncia acima da sua base. O centro de massa do refri- gerante esta´ no seu centro geome´trico, a uma dista^ncia acima da base da lata. Quando a lata esta´ cheia tal posic¸a~o coincide com . Portanto o centro de massa da lata e com o refrigerante que ela conte´m esta´ a uma dista^ncia

(b) Consideramos agora a lata sozinha. O centro de massa esta´ em acima da base, sobre o eixo do ci- (c) A medida que decresce o centro de massa do re- frigerante na lata primeiramente diminui, depois cresce (d) Quando a superf´?ciesuperior do refrigerante esta´ a uma dista^ncia acima da base da lata a massa do fre- frigerante na lata e´ , onde e´ a massa quando a lata esta´ cheia ( ). O centro de massa do refrigerante apenas esta´ a uma dista^ncia da base da lata. Logo

Encontramos a posic¸a~o mais baixa do centro de massa da lata com refrigerante igualando a zero a derivada de em relac¸a~o a e resolvendo em relac¸a~o a . A derivada e´ dada por

A soluc¸a~o de e´

Substituindo-se agora o valor de ne expressa~o de acima, ou seja, em

e simpli?cando, encontramos ?nalmente que E 9-14 (9-11/6 ) Um velho Galaxy com uma massa de kg esta´ via- jando por uma estrada reta a km/h. Ele e´ seguido por um Escort com uma massa de kg viajando a

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas km/h. Qual a velocidade do centro de massa dos dois carros?

Sejam e a massa e a velocidade do Galaxy e e a massa e velocidade do Escort. Enta~o, con- forme a Eq. (9-19), a velocidade do centro de massa e´ dada por

km/h Note que as duas velocidades esta~o no mesmo sentido, de modo que ambos termos no numerador tem o mesmo sinal. As unidades usadas na~o sa~o do Sistema Interna- cional.

E 9-20 (9-15/6 ) Um proje´til e´ disparado por um canha~o com uma velo- cidade inicial de m/s. O a^ngulo do disparo e´ em relac¸a~o a` horizontal. Quando chega ao ponto mais al- to da trajeto´ria, o proje´til explode em dois fragmentos de massas iguais (Fig. 9-33). Um dos fragmentos, cu- ja velocidade imediatamente apo´s a explosa~o e´ zero, cai verticalmente. A que dista^ncia do canha~o o outro frag- mento atinge o solo, supondo que o terreno seja plano e a resiste^ncia do ar possa ser desprezada?

Precisamos determinar as coordenadas do ponto de explosa~o e a velocidade do fragmento que na~o cai reto para baixo. Tais dados sa~o as condic¸o~es iniciais para um problema de movimento de proje´teis, para determi- Consideremos primeiramente o movimento do proje´til original, ate´ o instante da explosa~o. Tomemos como ori- gem o ponto de disparo, com o eixo tomado horizontal e o eixo vertical, positivo para cima. A componente da velocidade e´ dada por e e´ zero no instante de tempo sen , onde e´ a velocidade inicial e e´ o a^ngulo de disparo. As coordenadas do ponto mais alto sa~o

sen sen m Como enta~o nenhuma forc¸a horizontal atua, a compo- nente horizontal do momento e´ conservada. Como um dos fragmentos tem velocidade zero apo´s a explosa~o, o momento do outro fragmento tem que ser igual ao mo- A componente horizontal da velocidade do proje´til ori- ginal e´ . Chamemos de a massa do proje´til inicial e de a velocidade do fragmento que se move horizontalmente apo´s a explosa~o. Assim sendo, temos

Isto signi?ca que m/s Agora considere um proje´til lanc¸ado horizontalmente no instante com velocidade de m/s a partir do ponto com coordenadas m. Sua coordenada e´ dada por , e quando ele aterrisa temos . O tempo ate´ a aterrisagem e´ e a coordenada do ponto de aterrisagem e´

m E 9-21 (9-17/6 ) Dois sacos ide^nticos de ac¸u´car sa~o ligados por uma cor- da de massa desprez´?vel que passa por uma roldana sem Os dois sacos esta~o no mesmo n´?vel e cada um possui originalmente uma massa de g. (a) Determine a posic¸a~o horizontal do centro de massa do sistema. (b) Suponha que g de ac¸u´car sa~o transferidos de um saco para o outro, mas os sacos sa~o mantidos nas posic¸ oes originais. Determina a nova posic¸a~o horizontal do cen- tro de massa. (c) Os dois sacos sa~o liberados. Em que direc¸a~o se move o centro de massa? (d) Qual e´ a sua acelerac¸a~o?

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (a) Escolha o centro do sistema de coordenadas co- mo sendo o centro da roldana, com o eixo horizontal e para a direita e com o eixo para baixo. O centro de massa esta´ a meio caminho entre os sacos, em e , onde e´ a dista^ncia vertical desde o centro da (b) Suponha g transferidas do saco da esquerda para o saco da direita. O saco da esquerda tem massa g e esta´ em mm. O saco a` direita tem massa g e esta´ em mm. A coordenada do centro de massa e´ enta~o

mm A coordenada ainda e´ . O centro de massa esta´ a mm do saco mais leve, ao longo da linha que une os dois (c) Quando soltos, o saco maispesado move-se para bai- xo e o saco mais leve move-se para cima, de modo que o centro de massa, que deve permanecer mais perto do (d) Como os sacos esta~o conectados pela corda, que pas- sa pela rolsdana, suas acelerac¸o~es tem a mesma magni- tude mas direc¸o~es opostas. Se e´ a acelerac¸a~o de , enta~o e´ a acelerac¸a~o de . A acelerac¸a~o do centro de massa e´

Precisamos recorrer s`egunda lei de Newton para encon- trar a acelerac¸a~o de cada saco. A forc¸a da gravidade , para baixo, e a tensa~o na corda, para cima, atuam no saco mais leve. A segunda lei para tal saco e´

O sinal negativo aparece no lado direito porque e´ a acelerac¸a~o do saco mais pesado (que qa~o e´ o que esta- mos considerando!). As mesma forc¸as atuam no saco mais pesado e para ele a segunda lei de Newton fornece

A primeira equac¸a~o fornece-nos que quando substituida na segunda equac¸a~o produz

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS Portanto, substituindo na equac¸a~o para , encontra- mos que

m/s E 9-22 (9-19/6 ) Um cachorro de kg esta´ em um bote de kg que se encontra a m da margem (que ?ca a`esquerda na Fig. 9- 34a). Ele anda m no barco, em direc¸a~o a` margem, e A que dista^ncia da margem esta´ o cachorro depois da caminhada? (Sugesta~o: Veja a Fig. 9-34b. O cachorro se move para a esquerda; o bote se desloca para a di- Sera´ que ele se move?) Escolha o eixo como sendo horizontal, com a ori- gem na margem, e apontanto para a direita na Fig. 9- 34a. Seja a massa do bote e sua coordenada ini- cial. Seja a massa do cachorro e sua coordenada inicial. A coordenada do centro de massa e´ enta~o

Agora o cachorro caminha uma dista^ncia para a es- querda do bote. Como a diferenc¸a entre a coordenada ?nal do bote e a coordenada ?nal do cachorro e´ , ou seja , a coordenada do centro de massa pode tambe´m ser escrita como

Como nenhuma forc¸a horizontal externa atua no siste- ma bote-cachorro, a velocidade do centro de massa na~o pode mudar. Como o bote e o cachorro estavam inicial- mente em repouso, a velocidade do centro de massa e´ zero. O centro de massa permance na mesma posic¸a~o e, portanto, as duas expresso~es acima para devem ser iguais. Isto signi?ca que

Isolando-se obtemos http://www.if.ufrgs.br/ jgallas 24 de Junho de 2003, a`s 2:00 p.m.

m Observe que usamos . E´ estritamente ne- cessa´rio fazer-se isto? Se na~o for, qual a vantagem de se faze-lo?...

9.2.2 O Momento Linear E 9-23 (9-??/6 ) Qual o momento linear de um automo´vel que pesa N e esta´ viajando a km/h?

A ?moral?deste problema e´ cuidar com as unidades empregadas:

kg m/s E 9-24 (9-21/6 ) Suponha que sua massa e´ de kg. Com que veloci- dade teria que correr para ter o mesmo momento linear que um automo´vel de kg viajando a km/h?

Chamando de e a massa e a velocidade do car- ro, e de e a ?sua?massa e velocidade temos, grac¸as a`conservac¸a~o do momento linear,

m/s Poder´?amostambe´m deixar a resposta em km/h: km/h Perceba a importa^ncia de fornecer as unidades ao dar sua resposta. Este u´ltimo valor na~o esta´ no SI, claro.

E 9-25 (9-20/6 ) Com que velocidade deve viajar um Volkswagen de kg (a) para ter o mesmo momento linear que um Ca- dillac de kg viajando a km/h e (b) para ter a mesma energia cine´tica?

(a) O momento sera´ o mesmo se , donde tiramos que

(b) Desconsiderando o fator , igualdade de energia cina´tica implica termos , ou seja,

km/h E 9-26 (9-??/6 ) Qual o momento linear de um ele´tron viajando a uma velocidade de ( m/s)?

Como a velocidade do ele´tron na~o e´ de modo algum pequena comparada com a velocidade da luz, faz-se necessa´rio aqui usar a equac¸a~o relativistica para o mo- mento linear, conforme dada pela Eq. 9-24:

kg m/s Sem o fator relativ´?sticoter´?amosachado kg m/s ou seja, um valor vezes menor:

9.2.3 Conservac¸a~o do Momento Linear E 9-33 (9-27/6 ) Um homem de kg, de pe´ em uma superf´?ciede atrito desprez´?vel, da´ um chute em uma pedra de kg, fa- Qual a velocidade do homem depois do chute?

Como nenhuma forc¸a com componente horizontal atua no sistema homem-pedra, o momento total e´ conserva- do. Como tanto o homem como a pedra esta~o em repou- so no in´?cio, o momento total e´ zero antes bem como depois do chute, ou seja

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas onde o sub´?ndice refere-se a` pedra e o sub´?ndice refere-se ao homem. Desta expressa~o vemos que

m/s onde o sinal negativo indica que o homem move-se no sentido oposto ao da pedra. Note que o sentido da pedra foi implicitamente tomado como positivo. Note ainda que a raza~o das massas coincide com a raza~o dos pesos.

E 9-36 (9-29/6 ) Um homem de kg esta´ viajando em uma carroc¸a a m/s. Ele salta para fora da carroc¸a de modo a ?car com velocidade horizontal zero. Qual a variac¸a~o resultante na velocidade da carroc¸a?

O momento linear total do sistema home-carroc¸a e´ conservado pois na~o atuam forc¸as externas com com- ponentes horizontais no sistema. Chamemos de a massa da carroc¸a, a sua velocidade inicial, e sua velocidade ?nal (apo´s o homem haver pulado fora). Se- ja a massa do homem. Sua velocidade inicial e´ a mesma da carroc¸a e sua velocidade ?nal e´ zero. Portan- to a conservac¸a~o do momento nos fornece

de onde tiramos a velocidade ?nal da carroc¸a: ¢ m/s A velocidade da carroc¸a aumenta por m/s. De modo a reduzir sua velocidade o homem faz com que a carroc¸a puxe-o para tra´s, de modo que a carroc¸a seja impulsionada para a frente.

E 9-38 (9-33/6 ) O u´ltimo esta´gio de um foguete esta´ viajando com uma velocidade de m/s. Este u´ltimo esta´gio e´ feito de duas partes presas por uma trava: um tanque de com- bust´?vel com uma massa de kg e uma ca´psula de instrumentos com uma massa de kg. Quando a tra- va e´ acionada, uma mola comprimida faz com que as duas partes se separem com uma velocidade relativa de m/s. (a) Qual a velocidade das duas partes depois

que elas se separam? Suponha que todas as velocida- des te^m a mesma direc¸a~o. (b) Calcule a energia cine´tica total das duas partes antes e depois de se separarem e £ (a) Suponha que nenhuma forc¸a externa atue no site- ma composto pelas duas partes no u´ltimo esta´gio. O mo- mento total do s£istema e´ conservado. Se£ ja a massa do tanque e a massa da ca´psula. Inicialmente ambas esta~o viajando com a mesma velocidade . Apo´s a trava ser acionada, tem uma velocidade enquanto que £ ££ tem uma velocidade . Conservac¸a~o do momento / fornece-nos £¥ ? § Apo´s a trava ser solta, a ca´psula (que tem menos massa) viaja com maior velocidade e podemos escrever ?§ onde e´ a velocidade relativa. Substituindo esta ex- £ £ £¥ ? § pressa~o na equac¸a~o da conservac¸a~o do momento obte- / mos de modo que £ £ ? § £ £ ?§ m/s £ ?§ A velocidade ?nal da ca´psula e´ m/s ¤£ (b) A energia cine´tica total antes da soltura da trava e´

J ¤ ££ A energia cine´tica total apo´s a soltura da trava e´

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas J A energia cine´tica total aumentou levemente. Isto deve- se a`conversa~o da energia potencial ela´stica armazenada na trava (mola comprimida) em energia cine´tica das par- tes do foguete.

E 9-39 (9-39/6 ) Dois pedac¸os, de massas iguais, sa~o arremessados em trajeto´rias perpendiculares entre si, com a mesma velo- cidade de m/s. O terceiro pedac¸o tem uma massa tre^s vezes a de um dos outros pedac¸os. Qual o mo´dulo, direc¸a~o e sentido de sua velocidade logo apo´s a ex- plosa~o?

Suponha que na~o haja forc¸a externa atuando, de modo que o momento linear do sistema de tre^s pec¸as seja con- servado. Como o momentum antes da explosa~o era zero, ele tambe´m o e´ apo´s a explosa~o. Isto signi?ca que o ve- tor velocidade dos tre^s pedac¸os esta~o todos num mesmo Escolha um sistema de coordenadas XY, com o eixo ver- tical sendo o eixo , positivo para cima. A partir da origem deste diagrama, des? enhe na direc¸a~o negativa do eixo X o vetor , correspondente ao momento da par´?culamais pesada. Os dois outros momentos sa~o re- presentados por vetores apontando num a^ngulo no primeiro quadrante e no quarto quadrante, de mo- Como a componente vertical do momento deve conser- var-se, temos com as convenc¸o~es acima, que sen sen « onde e´ a velocidade dos pedac¸os menores. Portan- to devemos necessariamente ter que e, como ? Conservac¸a~o da componente do momento produz ? Consequentemente, a velocidade do pedac¸o maior e´

m/s no sentido negativo do eixo . O a^ngulo entre o vetor velocidade do pedac¸o maior e qualquer um dos pedac¸os menores e´

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 9.2.4 Sistemas de Massa Varia´vel: Um Foguete

E 9-48 (9-41/6 ) Uma sonda espacial de kg, viajando para Ju´piter com uma velocidade de m/s em relac¸a~o ao Sol, acio- na o motor, ejetando kg de gases com uma velocidade de m/s em relac¸a~o a` sonda. Supondo que os gases sa~o ejetados no sentido oposto ao do movimento inicial da sonda, qual a sua velocidade ?nal?

Ignore a forc¸a gravitacional de Ju´piter e use a Eq. (9- e? 47) do livro texto. Se e´ a velocidade inicial, e´ a massa inicial, e´ velocidade ?nal, e´ a massa ?nal, ?? e´ a velocidade do ga´s de exausta~o, enta~o

Neste problema temos kg e ?? kg. Portanto

m/s E 9-49 (9-43/6 ) ?? Um foguete em repouso no espac¸o, em uma regia~o em que a forc¸a gravitacional e´ desprez´?vel, tem uma massa O consumo de combust´?vel do motor e´ de kg/s e a velocidade de escapamento dos gases e´ de km/s. O motor e´ acionado durante s. (a) Determine o em- puxo do foguete. (b) Qual e´ a massa do foguete depois que o motor e´ desligado? (c) Qual e´ a velocidade ?nal do foguete? ? ? ·? (a) Como se ve no texto logo abaixo da Eq. 9-46, o empuxo do foguete e´ dado por , onde e´ a taxa ? de consumo de combust´?vel e e´ a velocidade do gas exaustado. No presente problema temos kg e ? ·? m/s, de modo que ¶¶ N (b) A massa do combust´?vel ejetado e´ dada por ? , onde e´ o intervalo de tempo da quei- ma de combust´?vel. Portanto kg

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas · ?? A massa do foguete apo´s a queima e´ ? kg (c) Como a velocidade inicial e´ zero, a velocidade ?nal ??? e´ dada por ? ?? m/s

E 9-56 (9-47/6 ) Duas longas barcac¸as esta~o viajando na mesma direc¸a~o e no mesmo sentido em a´guas tranqu¨ ilas; uma com uma velocidade de km/h, a outro com velocidade de km/h. Quando esta~o passando uma pela outra, opera´rios jogam carva~o da mais lenta para a mais ra´pida, a` raza~o de kg por minuto; veja a Fig. 9-38. Qual a forc¸a adicional que deve ser fornecida pelos motores das duas barcac¸as para que continuem a viajar com as mesmas velocidades? Suponha que a transfere^ncia de carva~o se da´ perpendicularmente a`direc¸a~o de movimen- to da barcac¸a mais lenta e que a forc¸a de atrito entre as embarcac¸o~es e a a´gua na~o depende do seu peso.

9.2.5 Sistemas de Part´?culas:Variac¸o~es na Energia Cine´tica

E 9-60 (9-55/6 ) Uma mulher de kg se agacha e depois salta para cima na vertical. Na posic¸a~o agachada, seu centro de massa esta´ cm acima do piso; quando seus pe´s deixam o cha~o, o centro de massa esta´ cm acima do piso; no ponto mais alto do salto, esta´ cm acima do piso. (a) Qual a forc¸a me´dia exercida sobre a mulher pelo piso, enquanto ha´ contato entre ambos? (b) Qual a velocida- de ma´xima atingida pela mulher?

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 30 de Outubro de 2003, a`s 10:17

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

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Conteu´ do 10.2.2 Coliso~es Ela´sticas em Uma Di- mensa~o . . . . . . . . . . . . . 4 10 Coliso~es 2 10.2.3 Coliso~es Inela´sticas em Uma 10.1 Questo~es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Dimensa~o . . . . . . . . . . . . 6 10.2 Problemas e Exerc´?cios . . . . . . . . . 2 10.2.4 Coliso~es em Duas Dimenso~es . 7 10.2.1 Impulso e Momento Linear . . . 2 10.2.5 Problemas Adicionais . . . . . 7

Comenta´rios/Sugesto~es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex)

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 30 de Outubro de 2003, a`s 10:17

10 Coliso~es Resolvendo para obtemos

10.1 Questo~es m/s

Q 10-1 Explique como a conservac¸a~o de energia se aplica a uma bola quicando numa parede.

10.2 Problemas e Exerc´?cios 10.2.1 Impulso e Momento Linear

E 10-3 (10-1/6 edic¸a~o) Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma forc¸a me´dia de N em um intervalo de ms. Se a bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria apo´s o impacto?

Se for a magnitude da forc¸a me´dia enta~o a magni- tude do impulso e´ , onde e´ o intervalo de Este impulso iguala a magnitude da troca de momen- tum da bola e como a bola esta´ inicialmente em repouso, iguala a magnitude do momento ?nal. Resolvendo a euqac¸a~o para encontramos

m/s E 10-9 (10-5/6 ) Uma forc¸a com valor me´dio de N e´ aplicada a uma bola de ac¸o de kg, que se desloca a m/s, em uma colisa~o que dura ms. Se a forc¸a estivesse no senti- do oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a velocidade ?nal da bola.

Considere a direc¸a~o inicial do movimento como po- sitiva e chame de a magnitude da forc¸a me´dia, a durac¸a~o da forc¸a, a massa da bola, a velocidade inicial da bola, a velocidade ?nal da bola. Enta~o a forc¸a atua na direc¸a~o negativa e o teorema do impulso- momento fornece

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas P 10-12 (10-9/6 ) Um carro de kg, deslocando-se a m/s, esta´ ini- cialmente viajando para o norte, no sentido positivo do eixo . Apo´s completar uma curva a`direita de para o sentido positivo do eixo em s, o distraido moto- rista investe para cima de uma a´rvore, que pa´ra o carro em ms. Em notac¸a~o de vetores unita´rios, qual e´ o impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a colisa~o? Qual a intensidade da forc¸a me´dia que age sobre o carro (c) durante a colisa~o? (e) Qual e´ o a^ngulo entre a forc¸a me´dia em (c) e o sentido positivo do eixo ?

(a) O momento inicial do carro e´ kg m/s e o momento ?nal e´ kg m/s . O impulso que nele atua e´ igual a` variac¸a~o de momento: kg m/s (b) O momento inicial do carro e´ kg m/s e o momento ?nal e´ . O impulso atuando sobre ele e´ kg m/s (c) A forc¸a me´dia que atua no carro e´

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N (e) A forc¸a me´dia e´ dada acima em notac¸a~o vetorial unita´ria. Suas componentes e tem magnitudes iguais. A componente e´ positiva e a componente e´ negativa, de modo que a forc¸a esta´ a abaixo do eixo .

P 10-13 (10-??/6 ) A forc¸a sobre um objeto de kg aumenta uniforme- mente de zero a N em s. Qual e´ a velocidade ?nal do objeto se ele partiu do repouso?

Tome a magnitude da forc¸a como sendo , on- de e´ uma constante de proporcionalidade. A condic¸a~o que N quando s conduz a N s N/s A magnitude do impulso exercido no objeto e´

Ns A magnitude deste impulso e´ igual a` magnitude da variac¸a~o do momento do objeto ou, como o objeto par- tiu do repouso, e´ igual m`agnitude do momento ?nal: . Portanto m/s

P 10-14 (10-13/6 ) Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos de g por segundo com uma velocidade de m/s, que sa~o detidos por uma parede r´?gida. (a) Qual e´ o mo- mento linear de cada chumbinho? (b) Qual e´ a energia cine´tica de cada um? (c) Qual e´ a forc¸a me´dia exercida pelo ?uxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se ca- da chumbinho permanecer em contato com a parede por ms, qual sera´ a forc¸a me´dia exercida sobre a parede por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por que esta forc¸a e´ ta~o diferente da forc¸a em (c)?

(a) Se for a massa dum chumbinho e for sua ve- locidade quando ele atinge a parede, enta~o o momento e´ kg m/s

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas (b) A energia cine´tica dum chumbinho e´

J (c) A forc¸a na parede e´ dada pela taxa na qual o momen- to e´ transferido dos chumbinhos para a parede. Como os chumbinhos na~o voltam para tra´s, cada chumbinho transfere kg m/s. Se chumbinhos colidem num tempo enta~o a taxa me´dia com que o momento e´ transferido e´

N A forc¸a na parede tem a direc¸a~o da velocidade inicial (d) Se e´ o intervalo de tempo para um chumbinho ser freado pela parede, enta~o a forc¸a me´dia exercida na parede por chumbinho e´

N A forc¸a tem a direc¸a~o da velocidade inicial do chumbi- (e) Na parte (d) a forc¸a foi mediada durante o interva- lo em que um chumbinho esta´ em contato com a parede, enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo Na maior parte do tempo nenhum chumbinho esta´ em contato com a parede, de modo que a forc¸a me´dia na parte (c) e´ muito menor que a me´dia em (d).

P 10-26 (10-15/6 ) Uma espac¸onave e´ separada em duas partes detonando- se as ligac¸o~es explosivas que as mantinham juntas. As massas das partes sa~o e kg; o mo´dulo do im- pulso sobre cada parte e´ de N s. Com que velocida- de relativa as duas partes se separam?

Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha que o impulso tenha magnitude e esteja no sentido po- sitivo. Seja , a massa e a velocidade da parte mais leve apo´s as ligac¸o~es explodirem. Suponha que ambas as partes esta~o em repouso antes da explosa~o. Enta~o, , de modo que

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O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu- de mas no sentido oposto, de modo que , onde , sa~o a massa e a velocidade da parte mais pesada. Portanto

m/s A velocidade relativa das partes apo´s a explosa~o e´ m/s

P 10-28 (10-38/6 ) A espac¸onave Voyager 2 (de massa e velocidade relativa ao Sol) aproxima-se do planeta Ju´piter (de mas- sa e velocidade relativa ao Sol) como mostra a Fig. 10-33. A espac¸onave rodeia o planeta e parte no sentido oposto. Qual e´ a sua velocidade, em relac¸a~o ao Sol, apo´s este encontro com efeito estilingue? Conside- ra km/s e km/s (a velocidade orbital de Ju´piter). A massa de Ju´piter e´ muito maior do que a da espac¸onave; . (Para informac¸o~es adicionais, veja ?The slingshot effect: explanation and analogies?, de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics Teacher, novembro de 1985.) Considere o encontro num sistema de refere^ncia ?xo em Ju´piter. Quando eventuais perdas de energia forem desprez´?veis, o encontro pode ser pensado como uma colisa~o ela´stica na qual a espac¸onave emerge da ?co- lisa~o? com uma velocidade de mesma magnitude que a velocidade que possuia antes do encontro. Como a ve- locidade inicial da espac¸onave e´ km/s medida a partir de Ju´piter, ela se afastara´ de Ju´piter com km/s. Passando para o sistema original de re- fere^ncia no qual o Sol esta´ em repouso, tal velocidade e´ dada por km/s

10.2.2 Coliso~es Ela´sticas em Uma Dimensa~o E 10-29 (10-35/6 ) Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual e´ a velocidade do bloco de kg apo´s a colisa~o? (b)

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Suponha que a velocidade inicial do bloco de kg se- ja oposta a` exibida. Apo´s a colisa~o, a velocidade do bloco de kg pode estar no sentido ilustrado?

(a) Seja , e a massa e a velocidade inicial e ?nal do bloco a` esquerda, e , e as corres- pondentes grandezas do bloco a` direita. O momento do sistema composto pelos dois blocos e´ conservado, de modo que

donde tiramos que m/s (b) Para ver se a colisa~o e´ inela´stica, comparamos os va- A energia cine´tica total ANTES da colisa~o e´

J A energia cine´tica total DEPOIS da colisa~o e´ J Como , vemos que a colisa~o e´ ela´stica, (c) Agora m/s e

m/s Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sen- E 10-33 (10-37/6 ) Um carro de g de massa, deslocando-se em um tri- lho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de m/s, atinge um segundo carro de massa desconhe- cida, inicialmente em repouso. A colisa~o entre eles e´ ela´stica. Apo´s a mesma, o primeiro carro continua em seu sentido original a m/s. (a) Qual e´ a massa do segundo carro? (b) Qual e´ a sua velocidade apo´s o im- pacto? (c) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos?

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(a) Seja , , a massa e as velocidades inicial e ?nal do carro que originalmente se move. Seja e a massa e a velocidade ?nal do carro originalmente parado ( . Enta~o, de acordo com a Eq. 10-18, temos

Desta expressa~o obtemos para : gg (b) A velocidade do segundo carro e´ dada por

m/s (c) A velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois carrinhos satisfaz a equac¸a~o

Lembrando que , temos m/s E 10-34 (10-41/6 ) Um corpo de kg de massa colide elasticamente com outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido original com um quarto de sua velocidade original. (a) Qual e´ a massa do corpo atingido? (b) Qual a veloci- dade do centro de massa do sistema formado pelos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de kg era de m/s?

(a) Sejam , , a massa e as velocidades antes e depois da colisa~o do corpo que se move originalmen- te. Sejam e a massa e a volcidade ?nal do corpo originalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 temos

Resolvendo para obtemos, para , http://www.if.ufrgs.br/ jgallas kg (b) A velocidade do centro de massa do sistem formado pelos dois corpos satisfaz a equac¸a~o

Resolvendo para com encontramos m/s E 10-37 (10-43/6 ) Duas esferas de tita^nio se aproximam frontalmente com Apo´s a colisa~o, uma das esferas, cuja massa e´ de g, permanece em repouso. Qual e´ a massa da outra esfera?

Seja , , a massa e as velocidades antes e depois da colisa~o de uma das part´?culase , , a massa e as velocidades antes e depois da colisa~o, da ou- tra part´?cula.Enta~o, de acordo com a Eq. 10-28, temos

Suponha que a esfera esteja viajando originalmente no sentido positivo e ?que parada apo´s a colisa~o. A esfera esta´ viajando originalmente no sentido negativo. Subs- tituindo , e na expressa~o acima, obtemos . Ou seja, g g

E 10-40 (10-??/6 ) ATENC¸A~O: ESTE PROBLEMA FOI MAL TRADUZIDO NO LIVRO TEXTO. USE A TRADUC¸A~O QUE SEGUE: Um elevador esta´ deslocando-se para cima num poc¸o a ft/s ( m/s). No instante em que o elevador esta´ a ft ( m) do topo, larga-se uma bola do topo do (a) A que altura ela pode elevar-se em relac¸a~o ao topo do poc¸o? (b) Fac¸a o mesmo problema supondo que o elevador esteja descendo a ft/s ( m/s). (Dica: a velocidade da bola em relac¸a~o ao elevador e´ meramente revertida pela colisa~o.) Nota: no sistema de unidades em questa~o, a acelerac¸a~o da gravidade vale ft/s .

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10.2.3 Coliso~es Inela´sticas em Uma Dimensa~o E 10-41 (10-23/6 ) Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um me- teoro com a Terra ha´ cerca de 20.000 anos. Estima-se a massa do meteoro em kg e sua velocidade em m/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti- ria a` Terra numa colisa~o frontal?

Seja a velocidade do meteoro imediatamente antes da colisa~o e a velocidade da Terra (com o meteoro) apo´s a colisa~o. O momento do sistema Terra-meteoro e´ conservado durante a colisa~o. Portanto, no sistema de refere^ncia Terra antes da colisa~o temos

de modo que encontramos para m/s Para ?car mais fa´cil de imaginar o que seja esta velo- cidade note que, como , temos m/s m/ano m/ano mm/ano E´ uma velocidade MUITO dif´?cilde se medir, na~o?...

E 10-42 (10-21/6 ) Um treno´ em forma de caixa de kg esta´ deslocando-se sobre o gelo a uma velocidade de m/s, quando um pa- cote de kg e´ largado de cima para dentro dele. Qual e´ a nova velocidade do treno´?

Precisamos considerar apenas a componente horizon- tal do momento do treno´ e do pacote. Seja , a mas- sa e a velocidade inicial do treno´. Seja , a massa do A componente horizontal do momento deste conjunto conserva-se de modo que

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas de onde tiramos m/s P 10-53 (10-29/6 ) Um vaga~o de carga de t colide com um carrinho auxi- liar que esta´ em repouso. Eles se unem e da energia Encontre o peso do carrinho auxiliar.

Seja e a massa e a velocidade inicial do vaga~o, a massa do carrinho auxiliar e a velocidade ?- nal dos dois, depois de grudarem-se. Conservac¸a~o do momento total do sistema formado pelos dois carros fornece-nos donde tiramos

A energia cine´tica inicial do sistema e´ enquanto que a energia cine´tica ?nal e´

Como da energia cine´tica original e´ perdida, temos , ou seja,

que, simpli?cada, fornece-nos . Resolvendo para encontramos

toneladas kg A raza~o das massas e´, obviamente, a mesma raza~o dos pesos e, chamando de o peso do vaga~o, temos que o peso do carrinho auxiliar e´

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 10.2.4 Coliso~es em Duas Dimenso~es

E 10-63 (10-49/6 ) Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra ini- cialmente em repouso. Apo´s a colisa~o, a branca desloca- se a m/s ao longo de uma reta em a^ngulo de com a sua direc¸a~o original de movimento, e o mo´dulo da ve- locidade da segunda bola e´ de m/s. Encontre (a) o a^ngulo entre a direc¸a~o de movimento da segunda bola e a direc¸a~o de movimento original da bola branca e (b) a velocidade original da branca. (c) A energia cine´tica se conserva?

(a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo- la branca como sendo a massa e a outra bola como sendo a massa . Conservac¸a~o das componentes e do momento total do sistema formado pelas duas bolas ¢£/¥ ¢£/¥ nos fornece duas equac¸o~es, respectivamente: sen¥ sen¥ Observe que as massa podem ser simpli?cadas em am- bas equac¸o~es. Usando a segunda equac¸a~o obtemos que ¥¥ sen sen sen 30 de Outubro de 2003, a`s 10:17 ¥ (b) Resolvendo a primeria das equac¸o~es de conservac¸a~o acima para encontramos ¢£/¥ ¢£/¥ ¢£/ ¢£/ m/s

(c) A energia cine´tica inicial e´ A energia cine´tica ?nal e´ ?§ Portanto a energia cine´tica na~o e´ conservada.

Exerc´?ciosResolvidos de Dina^mica Cla´ssica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f´?sicateo´rica, Doutor em F´?sicapela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de F´?sica

Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a~o conforme a quarta edic¸a~o do livro ?Fundamentos de F´?sica?,Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conteu´ do 11.1 Questiona´rio . . . . . . . . . . . . . . . 2 11.2 Exerc´?ciose Problemas . . . . . . . . . 2 11 ROTAC¸A~O 2 11.3 Problemas Adicionais . . . . . . . . . . 9

Comenta´rios/Sugesto~es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br (listam2.tex)

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 11 ROTAC¸A~O 11.1 Questiona´rio

O vetor que representa a velocidade angular de rotac¸a~o de uma roda em torno de um eixo ?xo tem de estar ne- cessariamente sobre este eixo?

Sim, o vetor velocidade angular de?ne o eixo de rotac¸a~o. Mesmo quando o eixo na~o e´ ?xo, o vetor esta´ dirigido ao longo desse eixo, como no caso do movi- mento de um pia~o. A velocidade angular de precessa~o tambe´m e´ um vetor dirigido ao longo da direc¸a~o em torno da qual o eixo do pia~o precessiona.

Por que e´ conveniente expressar em revoluc¸o~es por segundo ao quadrado na expressa~o e na~o na expressa~o ?

Porque na equac¸a~o , e tambe´m sa~o quantidades mensura´veis em revoluc¸o~es e revo- luc¸o~es por segundo, respectivamente. Mas na equac¸a~o , para se obter a acelerac¸a~o linear em m/s , deve ser expressa em radianos/s .

Um corpo r´?gidopode girar livremente em torno de um eixo ?xo. E´ poss´?vel que a acelerac¸a~o angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua veloci- dade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situac¸a~o? Ilustre ambas as situac¸o~es com exemplos.

Sim. Se o corpo r´?gido for submetido a uma desacelerac¸a~o, sua velocidade angular eventualmente sera´ nula, e depois comec¸ra´ a crscer no sentido con- tra´rio. O equivalente linear dessa situac¸a~o pode ser a de um corpo jogado verticalmente para cima; sua velocida- de zera no ponto mais alto da trajeto´ria e ele torna a cair.

Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem acelerac¸a~o radial, quando a roda gira com velocidade angular constan- te? Tem acelerac¸a~o tangencial? Quando ela gira com

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas acelerac¸a~o angular constante, o ponto tem acelerac¸a~o radial? Tem acelerac¸a~o tangencial? Os mo´dulos dessas acelerac¸o~es variam com o tempo?

Sim, a acelerac¸a~o radial e´ . A acelerac¸a~o tangencial e´ nula nesse caso. Girando com acelerac¸a~o angular constante, o ponto da borda tem acelerac¸a~o ra- dial e acelerac¸a~o tangencial , constante.

Qual a relac¸a~o entre as velocidades angulares de um par Pontos da borda das engrenagens tem a mesma velo- cidade linear: . Assim, a engrenagem que tem o menor raio, tem a maior velocidade angular.

A Fig. mostra uma barra de m, sendo metade de madeira e metade de metal, ?xada por um eixo no ponto O da extremidade de madeira. Uma forc¸a F e´ , a barra e´ ?xada por um eixo em na extremi- dade de metal e a mesma forc¸a e´ aplicada ao ponto da extremidade de madeira. A acelerac¸a~o angular e´ a mes- ma para os dois casos? Se na~o, em que caso ela e´ maior?

A densidade dos metais e´ maior do que das ma- deiras, tal que na situac¸a~o (b), o momento de ine´rcia da barra em relac¸a~o ao ponto e´ maior do que no caso (a). Assim, pela relac¸a~o , vem que . As acelerac¸o~es angulares na~o sa~o iguais nos dois casos, sendo .

11.2 Exerc´?ciose Problemas Sec¸a~o 11-2 As Varia´veis de Rotac¸a~o 11-6P.

Uma roda gira com uma acelerac¸a~o angular dada por , onde t e´ o tempo, e a e b sa~o cons- tantes. Se e´ a velocidade inicial da roda, deduza as equac¸o~es para (a) a velocidade angular e (b) o desloca- mento angular em func¸a~o do tempo.

(a) Para obter a velocidade angular, basta integrar a acelerac¸a~o angular dada:

(b) O deslocamento angular e´ obtido integrando a velo- cidade angular:

Uma roda tem oito raios de cm. Esta´ montada sobre um eixo ?xo e gira a rev/s. Voce^ pretende atirar uma ?echa de cm de comprimento atrave´s da ro- da, paralelamente ao seu eixo, sem que a ?echa colida com qualquer raio. Suponha que tanto a ?echa quan- to os raios sejam muito ?nos; veja a Fig. . (a) Qual a velocidade m´?nima que a ?echa deve ter? (b) A localizac¸a~o do ponto que voce^ mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importa^ncia? Em caso a?rmativo, qual a melhor localizac¸a~o?

(a) O a^ngulo entre dois raios consecutivos e´ e o tempo necessa´rio para percorre^-lo e´

A velocidade m´?nimada ?echa deve ser enta~o O volante de um motor esta´ girando a rad/s. Quan- do o motor e´ desligado, o volante desacelera a uma taxa constante ate´ parar em s. Calcule (a) a acelerac¸a~o

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas angular do volante (em rad/s ), (b) o a^ngulo percorrido (em rad) ate´ parar e (c) o nu´mero de revoluc¸o~es comple- tadas pelo volante ate´ parar.

(a) Sendo rad/s, tem-se rad/s (b) O a^ngulo percorrido e´

(c) Para o nu´mero de revoluc¸o~es , temos revoluc¸o~es Um disco gira em torno de um eixo ?xo, partin- do do repouso com acelerac¸a~o angular constante ate´ alcanc¸ar a rotac¸a~o de rev/s. Depois de completar revoluc¸o~es, sua velocidade angular e´ rev/s. Calcule (a) a acelerac¸a~o angular, (b) o tempo necessa´rio para completar as revoluc¸o~es, (c) o tempo necessa´rio para alcanc¸ar a velocidade angular de rev/s e (d) o nu´mero de revoluc¸o~es desde o repouso ate´ a velocidade de rev/s.

(a) A velocidade angular do disco aumenta de rad/s para rad/s no intervalo necessa´rio para comple- tar as revoluc¸o~es.

rev/s (b) O tempo necessa´rio para as voltas e´ (c) O tempo ate´ alcanc¸ar rad/s e´ s.

(d) E o nu´mero de voltas dadas no intervalo e´ Sec¸a~o 11-5 As Varia´veis Lineares e Angulares Uma turbina com m de dia^metro esta´ girando a rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que acelerac¸a~o angular constante (rev/min ) (d) Quantas revoluc¸o~es completara´ durante esse interva- lo de s?

(a) A velocidade angular em rad/s e´ (b) Qualquer ponto da borda da turbina move-se a`velo- cidade m/s.

(c) A acelerac¸a~o angular necessa´ria e´ (d) O nu´mero do voltas no intervalo de minuto e´

Uma certa moeda de massa M e´ colocada a uma dista^ncia R do centro do prato de um toca-discos. O coe?ciente de atrito esta´tico e´ . A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente ate´ , quan- (b) Fac¸a um esboc¸o mostrando a trajeto´ria aproximada da moeda, quando e´ projetada para fora do toca-discos.

(a) A moeda esta´ sob a ac¸a~o da forc¸a centr´?peta Quando o prato atinge a velocidade , a forc¸a cen- tr´?petae´ igual a` ma´xima forc¸a de atrito esta´tico:

o http://www.if.ufrgs.br/ jgallas o o (b) A moeda e´ projetada tangencilamente, seguindo uma trajeto´ ria retil´?nea.

A turbina de um motor a vapor gira com uma velocida- de angular constante de rev/min. Quando o vapor e´ desligado, o atrito nos mancais e a resiste^ncia do ar param a turbina em h. (a) Qual a acelerac¸a~o angular constante da turbina, em rev/min , durante a parada? (b) Quantas revoluc¸o~es realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da acelerac¸a~o linear da part´?cula situada a cm do eixo de rotac¸a~o, quando a turbina esta´ girando a rev/min? (d) Em relac¸a~o a`part´?culado ´?tem(c), qual o mo´dulo da acelerac¸a~o linear resultante?

(a) O intervalo dado corresponde a min. A acelerac¸a~o angular e´

o (b) O nu´mero de voltas ate´ parar e´ (c) Para obter a acelerac¸a~o linear tangencial em uni- dades SI, a acelerac¸a~o angular deve estar expressa em rad/s . Fazendo a conversa~o, obtemos rad/s e t m/s .

(d) A velocidade angular rev/min corresponde a rad/s e r m/s .

Portanto, o mo´dulo da acelerac¸a~o linear resultante e´ tr Quatro polias esta~o conectadas por duas correias con- forme mostrado na Fig. . A polia A ( cm de raio) e´ a polia motriz e gira a rad/s. A B ( cm de raio) esta´ conectada a` A pela correia . A ( cm de raio) e´ conce^ntrica a` B e esta´ rigidamente ligada a ela. A polia C ( cm de raio) esta´ conectada a` pela

correia . Calcule (a) a velocidade linear de um ponto na correia , (b) a velocidade angular da polia B, (c) a velocidade angular da polia , (d) a velocidade linear de um ponto na correia e (e) a velocidade angular da polia C.

(a) A velocidade linear de qualquer ponto da correia e´ (b) A velocidade e´ a velocidade dos pontos da borda da polia , cuja velocidade angular e´ enta~o

B (c) As polias e giram em torno do mesmo eixo, de modo que B' B rad/s.

(d) A velocidade linear de qualquer ponto da correia e´ (e) Os pontos da borda da polia tem velocidade linear . Portanto, C rad/s.

C Sec¸a~o 11-6 Energia Cine´tica de Rotac¸a~o A mole´cula de oxige^nio, , tem massa total de kg e um momento de ine´rcia de kg m , em relac¸a~o ao eixo que atravessa perpendicular- mente a linha de junc¸a~o dos dois a´tomos. Suponha que essa mole´cula tenha em um ga´s a velocidade de m/s e que sua energia cine´tica de rotac¸a~o seja dois terc¸os da energia cine´tica de transla c ca~o. Determine sua veloci- dade angular.

Com a relac¸a~o dada entre as energias cine´ticas, temos Introduzindo os valores de , e , obtemos rad/s.

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Sec¸a~o 11-7 Ca´lculo do Momento de Ine´rcia £/11-49E. ¢ £/¢£ ¥ ?£ As massas e as coordenadas de quatro part´?culassa~o as seguintes: g, cm, cm; g, , cm; g, cm, cm; g, cm, cm. Qual o momento de ine´rcia do conjunto em relac¸a~o (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e (c) ao eixo z? (d) Se as respostas para (a) e (b) forem, respectivamente, A e B, enta~o qual a resposta para (c) em func¸a~o de A e B?

Este exerc´?cioe´ uma aplicac¸a~o do teorema dos ei- £ £ Este teorema e´ va´lido para distribuic¸o~es de massa con- tidas num plano, como placas ?nas. Aqui temos uma distribuic¸a~o discreta da massa no plano . Vamos indi- dista^ncia das part´?culasao eixo e´ medida no eixo £ car as massas por i e coordenadas i e i na ordem em §£ (a) Momento de ine´rcia em relac¸a~o ao eixo : a ££££ x ii

i £ kg m (b) Para o ca´lculo do momento de ine´rcia em relac¸a~o § ao eixo , a dista^ncia da part´?culaao eixo e´ medida ao longo do eixo :

y ii i ¤ kg m §£ (c) Para o eixo , temos

z i i com i i i

i (d) Somando os valores obtidos para x e y, con?rma- mos a relac¸a~o

Duas part´?culas, de massa m cada uma, esta~o ligadas entre si e a um eixo de rotac¸a~o em O por dois basto~es delgados de comprimento l e massa M cada um, confor- me mostrado na Fig. . O conjunto gira em torno do eixo de rotac¸a~o com velocidade angular . Determi- ne, algebricamente, as expresso~es (a) para o momento de ine´rcia do conjunto em relac¸a~o a O e (b) para a ener- gia cine´tica de rotac¸a~o em relac¸a~o a O.

(a) O momento de ine´rcia para o eixo passando por e´ O (b) A energia cine´tica de rotac¸a~o e´

? (a) Mostre que o momento de ine´rcia de um cilindro so´lido, de massa M e raio R, em relac¸a~o a seu eixo cen- tral e´ igual ao momento de ine´rcia de um aro ?no de massa M e raio em relac¸a~o a seu eixo central. (b) Mostre que o momento de ine´rcia I de um corpo qual- «? quer de massa M em relac¸a~o a qualquer eixo e´ igual ao momento de ine´rcia de um aro equivalente em relac¸a~o a esse eixo, se o aro tiver a mesma massa M e raio k dado por

O raio k do aro equivalente e´ chamado de raio de (a) Os momentos de ine´rcia, em relac¸a~o aos eixos mencionados, do aro e do cilindro sa~o

A eA Para que estes momentos de ine´rcia sejam iguais, o aro deve ter um certo raio :

AC http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ? « (b) Igualando os momentos de ine´rcia mencionados, te- mos « A

Do que obtemos diretamente Sec¸a~o 11-8 Torque ? , o c? orpo esta´ ?xado? a um eixo no ponto O. Tre^s forc¸as sa~o aplicadas nas direc¸o~es mostradas na ?gura: no ponto A, a m de O, N; no ponto B, a m de O, N; no ponto C, a m de ?? Calculamos o torque produzido por cada uma das forc¸as dadas: ?? A A A N m, anti-hora´rio ?? B B B N m, hora´rio C C C N m, anti-hora´rio

Tomando o sentido positivo para fora do plano da pa´gina, somamos os valores obtidos acima para ter o torque resultante:

RABC N m, anti-hora´rio Sec¸a~o 11-9 A Segunda Lei de Newton para a Rotac¸a~o

¢? Uma forc¸a e´ aplicada tangencialmente a` borda de uma polia que tem cm de raio e momento de ine´rcia de kg m em relac¸a~o ao seu eixo. A forc¸a tem mo´dulo varia´vel com o tempo, segundo a relac¸a~o , com F em Newtons e t em segun- dos. A polia esta´ inicialmente em repouso. Em

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 19 de Setembro de 2003, a`s 9:44 a.m. · · s, quais sa~o (a) a sua acelerac¸a~o angular e (b) sua velo- Com a acelerac¸a~o obtida acima, a tensa~o e´ ? (a) O torque atuando sobre a polia no instante consi- derado e´ Nm A acelerac¸a~o angular neste instante e´ rad/s

(b) Obtemos a velocidade angular integrando a func¸a~o : Dois blocos ide^nticos, de massa M cada um, esta~o liga- dos por uma corda de massa desprez´?vel, que passa por ). A corda na~o desliza sobre a polia; desconhece- se existir ou na~o atrito entre o bloco e a mesa; na~o ha´ atrito no eixo da polia. Quando esse sistema e´ liberado, a polia gira de um a^ngulo , num tempo t, e a acelerac¸a~o dos blocos e´ constante. (a) Qual a acelerac¸a~o angular da polia? (b) Qual a acelerac¸a~o dos dois blocos? (c) Quais as tenso~es na parte superior e inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em func¸a~o de M, I, R, , g e t.

(a) Se o sistema parte do repouso e a acelerac¸a~o e´ constante, enta~o e

(b) Desconsiderando qualquer atrito, a acelerac¸a~o das massas e´ a acelerac¸a~o dos pontos da borda da polia: · · Tomando o sentido para baixo como positivo, escreve- mos

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas ·· Aplicando a segunda Lei rotacional para a polia ( esco- lhendo o· sentido hora´rio como positivo), temos ·¢ Tirando , vem

Uma chamine´ alta, de forma cil´?ndrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chamine´ como um basta~o ?no, de altura h, expresse (a) a componente ra- dial da acelerac¸a~o linear do topo da chamine´, em func¸a~o do a^ngulo que ela faz com a vertical, e (b) a compo- nente tangencial dessa¶ mesma acelerac¸a~o. (c) Em que a^ngulo a acelerac¸a~o e´ igual a g?

(a) A componente radial da acelerac¸a~o do topo da ¶ ¶·?? ¶ chamine´ e´ r . Podemos obter usando o princ´?pioda conservac¸a~o da energia. Para um a^ngulo qualquer, temos ? ¶·?? Com , obtemos ? ·?? e acelerac¸a~o radial do topo enta~o e´

r (b) Para obter a componente tangencial da acelerac¸a~o do topo, usamos agora¶ a? s? egunda Lei na ¶ forma rotacional: ?? ¶¶ ?? Com , chegamos a` acelerac¸a~o pedida

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS ? ·?? Fazendo , e alguma a´lgebra, obtemos uma equac¸a~o do segundo grau para a varia´vel , cuja raiz fornece .

Sec¸a~o 11-10 Trabalho, Pote^ncia e Teorema do Trabalho-Energia Cine´tica 11-82P.

Uma re´gua, apoiada no cha~o verticalmente por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra ex- tremidade quando bate no cha~o, supondo que o extremo apoiado na~o deslize. (Sugesta~o: considere a re´gua co- mo um basta~o ?no e use o princ´?piode conservac¸a~o de energia.) Seguindo a sugesta~o dada, temos

que fornece . Portanto, a velocidade da ex- tremidade da re´gua, quando bate no cha~o, e´

Um corpo r´?gido e´ composto por tre^s hastes ?nas, ide^nticas, de igual comprimento l, soldadas em forma de H (veja Fig. ). O corpo gira livremente em volta de um eixo horizontal que passa ao longo de uma das pernas do H. Quando o plano de H e´ horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade angular do corpo quando o plano do H passa pela posic¸a~o vertival?

O momento de ine´rcia do corpo r´?gidopara o eixo mencionado e´

Usando o princ´?pioda conservac¸a~o da energia, temos e, tirando a velocidade angular, resulta

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Uma casca esfe´rica uniforme, de massa M e raio R, gira Uma corda, de massa desprez´?vel, passa em volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa m, que pode cair livremente sob a ac¸a~o da gravidade. A corda prende o corpo atrave´s de uma polia de momento de ine´rcia I e raio r. O atrito da polia em relac¸a~o ao eixo e´ nulo e a corda na~o desliza na polia. Qual a velocidade do corpo, depois de cair de uma altura h, partindo do ?¶ » Seguindo a sugesta~o do enunciado, o trabalho rea- Como o sistema parte do repouso, a variac¸a~o da energia cine´tica e´

p CC onde p e´ a velocidade angular da polia e C e C sa~o o momento de ine´rcia e a velocidade angular da casca esfe´rica. A velocidade de e´ tambe´m a velocidade li- near dos pontos da borda da polia e dos pontos do equa- dor da casca esfe´rica. Enta~o podemos expressar as ve- locidades angulares em termos da velocidade linear da massa : » p eC ? Apo´s essas considerac¸o~es, temos, ?nalmente ¶ ¶ Tirando a velocidade , obtemos ¶ Lembrando a equac¸a~o de movimento , pode- mos facilmente destacar a acelerac¸a~o do resultado obti- do, a` qual chegamos se resolvemos o problema usando a segunda Lei.

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF?UFRGS 11.3 Problemas Adicionais

Uma polia de m de raio esta´ montada sobre um eixo horizontal sem atrito. Uma corda, de massa des- prez´?vel, esta´ enrolada em volta da polia e presa a um corpo de kg, que desliza sem atrito sobre uma su- perf´?cie inclinada de com a horizontal, confor- me mostrado na Fig. 11-43. O corpo desce com uma acelerac¸a~o de m/s . Qual o momento de ine´rcia da polia em torno do eixo de rotac¸a~o?

Vamos usar aqui a segunda Lei, nas formas trans- ?? · lacional e rotacional. Tomando o sentido positivo para baixo do plano inclinado temos Para o mov· imento d· a polia, escrevemos ?? Trazendo da primeira para a segunda equac¸a~o, e ex- plicitando , temos kg m

Dois discos delgados, cada um de kg de massa e 11-44 para formar um corpo r´?gido. Qual o momen- to de ine´rcia desse corpo em volta do eixo A, ortogonal ao plano dos discos e passando pelo centro de um deles?

Temos aqui uma aplicac¸a~o do teorema dos eixos pa- ralelos. O momento de ine´rcia do conjunto escrevemos como

onde e´ o momento de ine´rcia do disco pelo qual passa o eixo. Para obter o momento do outro disco em relac¸a~o a esse eixo, usamos o teorema:

http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Para o corpo r´?gidotodo temos enta~o

kg m Um cilindro uniforme de cm de raio e kg de mas- sa esta´ montado de forma a girar livrmente em torno de um eixo horizontal paralelo ao seu eixo longitudi- nal e distando cm deste. (a) Qual o momento de ine´rcia do cilindro em torno do eixo de rotac¸a~o? (b) Se o cilindro partir do repouso, com seu eixo alinhado na mesma altura do eixo de rotac¸a~o, qual a sua velocidade (Sugesta~o: use o princ´?piode conservac¸a~o da energia.) ¶ (a) Usamos o teorema dos eixos paralelos para obter o momento de ine´rcia: ?? CM

kg m ¿ (b) Colocando o referencial de energia potencial nula no ponto mais baixo pelo qual passa o centro de massa do cilindro, temos

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