Apostila para Vestibular

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Apostila Preparat??oria para o Vestibular Vocacionado UDESC Aline Felizardo Gol?©calves Andr??e Alexandre Silveira Andr??e Ant^onio Bernardo C??esar Manchein Fl??abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalm^onico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores

MUNDO F??ISICO Nossa Apostila A edic?©a~o dessa apostila, concretiza os esforc?©os feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F???sica da UDESC mobilizaram-se por forc?©a e von- tade pr??opria no desenvolvimento e apresentac?©a~o de um Curso Pr??e-Vestibular aberto `a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ci^encias Tecnol??ogicas (CCT) da UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pr??e-Vestibular na~o chegou a se realizar, por razo~es puramente burocr??aticas, apesar dos esforc?©os gastos na preparac?©a~o das aulas e do mate- rial did??atico inicial.

Nos anos seguintes, a id??eia original foi abrac?©ada por um projeto de extens~ao o?cial, e so?? enta~o pode ser realizado com sucesso, j??a tendo atendido milhares de alunos desde enta~o.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamos que esse material seja su?ciente para a revis~ao dos conteu??dos exigidos pela Universidade.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site! Nosso Endere?©co na Internet

v QU??IMICA 125 Qu???mica ÔÇô Aula 1: Estrutura At^omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Qu???mica ÔÇô Aula 2: Modelos At^omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Qu???mica ÔÇô Aula 3: Liga?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Qu???mica ÔÇô Aula 4: Liga?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Qu???mica ÔÇô Aula 5: A Estrutura da Mat??eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Qu???mica ÔÇô Aula 6: Teoria Cin??etica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Qu???mica ÔÇô Aula 7: A?? cidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Qu???mica ÔÇô Aula 8: Solu?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Qu???mica ÔÇô Aula 9: Equil???brio I^onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Qu???mica B ÔÇô Aula 1: O que ??e Qu???mica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Qu???mica B ÔÇô Aula 2: Mat??eria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Qu???mica B ÔÇô Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Qu???mica B ÔÇô Aula 4: Propriedades Peri??odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Qu???mica B ÔÇô Aula 5: Liga?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Qu???mica B ÔÇô Aula 6: Liga?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Qu???mica B ÔÇô Aula 7: Equa?©c~oes e Rea?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Qu???mica B ÔÇô Aula 8: Equa?©c~oes e Rea?©c~oes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Qu???mica B ÔÇô Aula 9: Solu?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Qu???mica B ÔÇô Aula 10: Fun?©c~oes Qu???micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Qu???mica B ÔÇô Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Qu???mica B ÔÇô Aula 12: Eletroqu???mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Qu???mica Org^anica ÔÇô Aula 1: Introdu?©c~ao `a Qu???mica Org^anica . . . . . . . . . . 175 Qu???mica Org^anica B ÔÇô Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

vi Matem??atica A ÔÇô Aula 9: Circunfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Matem??atica A ÔÇô Aula 10: Circunfer^encia – II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Matem??atica B ÔÇô Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Matem??atica B ÔÇô Aula 2: Opera?©c~oes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Matem??atica B ÔÇô Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Matem??atica B ÔÇô Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Matem??atica B ÔÇô Aula 5: Discuss~ao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . 218 Matem??atica B ÔÇô Aula 6: Progress~ao Aritm??etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Matem??atica B ÔÇô Aula 7: Progress~ao Geom??etrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Matem??atica C ÔÇô Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Matem??atica C ÔÇô Aula 2: Conjuntos Num??ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Matem??atica C ÔÇô Aula 3: Nu??meros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Matem??atica C ÔÇô Aula 4: Raz~oes e Propor?©c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Matem??atica C ÔÇô Aula 5: Regras de Tr^es Simples e Composta . . . . . . . . . . 235 Matem??atica C ÔÇô Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Matem??atica C ÔÇô Aula 7: An??alise Combinat??oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Matem??atica C ÔÇô Aula 8: Arranjo, Combina?©c~ao e Permuta?©c~ao . . . . . . . . . . 240 Matem??atica C ÔÇô Aula 9: Bin^omio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Matem??atica C ÔÇô Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Matem??atica C ÔÇô Aula 11: Inequa?©c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Matem??atica C ÔÇô Aula 12: Equa?©c~oes Trigonom??etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Matem??atica C ÔÇô Aula 13: Introdu?©c~ao `a Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Matem??atica C ÔÇô Aula 14: Tri^angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Matem??atica C ÔÇô Aula 15: Quadril??ateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Matem??atica C ÔÇô Aula 16: Circunfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Matem??atica C ÔÇô Aula 17: Pol???gonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Matem??atica C ÔÇô Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Matem??atica C ÔÇô Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Matem??atica C ÔÇô Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

vii L???ngua Portuguesa ÔÇô 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 L???ngua Portuguesa ÔÇô 07: Interpreta?©c~ao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 L???ngua Portuguesa ÔÇô 08: Sin^onimos, Ant^onimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

HISTO?? RIA 287 Hist??oria ÔÇô Aula 1: Hist??oria de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

F???sica Mec^anica Aula 1 Grandezas F???sicas Apesar de existirem muitas grandezas f???sicas, sa~o estabelecidos padro~es e de?nidas unidades para que tenhamos um nu??mero m???nimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais de?nem-se unidades para todas as A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ??e o metro (m), pode-se de?nir as unidades derivadas, como a??rea (m2) e volume (m3). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, de?nem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelerac?©a~o (m/s2).

Sistema Internacional(SI) At??e o ?nal do s??eculo XV III era muito grande a quantidade de padro~es existentes. Cada regi~ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist??oricos, os pa???ses de l???ngua inglesa utilizam at??e hoje os seus padro~es regionais. O elevado aumento nos interc^ambios econo^micos e culturais levou ao sur- gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m??etrico.

Grandeza Unidade S???mbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente el??etrica amp`ere A temperatura kelvin K quantidade de mat??eria mol mol intensidade luminosa candela cd Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a Confer^encia Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al??em das grandezas, de?niu-se tamb??em os s???mbolos, uni- dades derivadas e pre?xos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.

Nota?©c~ao Cient????ca A medida de uma determinada grandeza f???sica pode resultar em um nu??mero que seja extremamente grande ou extrema- mente pequeno, por exemplos temos: ?À dist^ancia da Terra `a Lua: 384.000.000 m.

Grandeza Unidade S???mbolo ??area metro qua- m2 drado volume metro cu??bico m3 densidade quilograma kg/m3 por metro cu??bico velocidade metro por se- m/s gundo acelerac?©a~o metro por m/s2 segundo ao quadrado forc?©a newton N = Kg m/s2 pressa~o pascal P a = N/m2 trabalho, energia, calor joule J pot^encia watt W = J/s carga el??etrica coulomb C = As diferenc?©a de potencial volt V = J/C resist^encia el??etrica ohm = V /A Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Pre?xo S???mbolo Pot^encia de dez correspondente pico p 10-12 nano n 10-9 micro ?Á 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 Tabela 1.3: Pre?xos, s???mbolos e pot^encias de dez.

Para manipular tais nu??meros, utilizamos a notac?©a~o cient????ca, O m??odulo de qualquer nu??mero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ??e uma pot^encia de dez: g = a ?ù 10n , onde devemos ter 1 ? a < 10.

?À 5.315 = 5, 315 ?ù 1000 = 5, 315 ?ù 103 ?À 0, 00024 = 2, 4 ?ù 0, 0001 = 2, 4 ?ù 10-4 ?À 0, 00458 = 4, 58 ?ù 0, 001 = 4, 58 ?ù 10-3

Regra Pr??atica ?À Nu??meros maiores que 1: deslocamos a v???rgula para a esquerda, at??e atingir o primeiro algarismo do nu??mero. O nu??mero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da pot^encia de 10.

?À Nu??meros menores do que 1: deslocamos a v???rgula O nu??mero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da pot^encia de 10.

Pense um Pouco! ?À Quais sa~o as unidades de Peso e de massa? por que elas na~o sa~o iguais?

?À Um analg??esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada na~o pode ex- ceder 200 mg. Cada gota cont??em 5 mg do rem??edio. Quan- tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens~oes e as unidades, no sistema internacional, Grandeza Dimens~ao Unidades SI Comprimento L m (metro) Massa M kg (quilograma) Tempo T s (segundo) das grandezas meca^nicas prima??rias: a) Sabendo que forc?©a = massa ?À acelerac?©a~o, expresse a unidade b) Determine os valores de n e p, se a expressa~o M LnT n-p corresponde `a dimens~ao de energia cin??etica.

2. (FGV-SP) A dimens~ao de pot^encia em func?©a~o das grande- zas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ??e: a) M L2T -2 b) M L2T -1 c) M L2T 2 d) M L2T -3 e) M LT -2 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun- dos, ??e de: e) 7, 2 ?ù 103.

Exerc???cios Complementares 4. (UFPI) A nossa gala??xia, a Via La??ctea, cont??em cerca de 400 bilho~es de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planeta??rio onde exista um planeta seme- lhante `a Terra. O nu??mero de planetas semelhantes `a Terra, na Via La??ctea, ??e: e) 2 ?ù 1012.

5. Transforme em quilo^metros: 6. (Unifor-CE) Um livro de F???sica tem 800 pa??ginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em mil???metros: e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes nu??meros em notac?©a~o cient????ca: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82 ?ù 103 h) 640 ?ù 105 i) 9.150 ?ù 10-3 j) 200 ?ù 10-5 k) 0, 05 ?ù 103 l) 0, 0025 ?ù 10-4 Mec^anica Aula 2

Algarismos Signi?cativos A precis~ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medic?©a~o. Uma medida igual a 2, 00 cm na~o Denominamos algarismos signi?cativos todos os algarismos co- nhecidos com certeza, acompanhados de um u??ltimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to- dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza sa~o algarismos signi?cativos, sendo chamados de corretos, com O algarismo duvidoso de uma medida sera?? sublinhado para destaca??-lo, quando for preciso.

Meca^nica ÔÇô Aula 2 Exemplos 1. A medida 2, 35 cm apresenta tr^es algarismos signi?cativos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um algarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris- mos signi?cativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um duvidoso (7). Observe que os zeros a` esquerda na~o sa~o algarismos signi?cativos, pois servem apenas para posi- cionar a v???rgula no nu??mero. Nesse caso, ??e aconselha??vel escrever a medida em notac?©a~o cient????ca: 5, 7 ?ù 10-4 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi?ca- tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u??ltimo zero ??e o algarismo duvidoso. Em notac?©a~o cient????ca escrevemos: 1, 5000 ?ù 102 km. Note que ao escrevermos um nu??mero usando as pot^encias de 10 mantemos a quantidade de al- garismos signi?cativos deste nu??mero, ou seja, mantemos sua precis~ao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r??egua com divis~oes em cent???metros: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opc?©o~es abaixo melhor representa o comprimento a) 5, 0 cm b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm 5. Considere a ?gura: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com uma r??egua milimetrada: a) 5, 2 cm b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm 6. Indique o nu??mero de algarismos nu??mero abaixo: a) 7, 4 b) 0, 0007 c) 0, 034 d) 7, 40 ?ù 10-10 signi?cativos de cada

2 signi?cativos 1 signi?cativo 2 signi?cativos 3 signi?cativos 3

Crit??erios de Arredondamento Como devemos proceder para escrever ÔÇ£cÔÇØ com um nu??mero me- nor de algarismos signi?cativos? Devemos utilizar os crit??erios Podemos escrever: c = 2, 998 ?ù 108 m/s 4 signi?cativos c = 3, 00 ?ù 108 m/s 3 signi?cativos c = 3, 0 ?ù 108 m/s 2 signi?cativos

REGRAS ?À Se o algarismo a ser eliminado ??e menor que 5, ele ??e sim- ? Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 ?À Se o algarismo a ser eliminado ??e igual ou maior que 5, ele ??e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo Exemplo: ? = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Opera?©c~oes com Algarismos Signi?cativos Adic?©~ao e Subtrac?©~ao O resultado da adic?©a~o e subtrac?©a~o de dois nu??meros na~o pode ter maior nu??mero de casas decimais, do que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a operac?©a~o normal- Exemplos ?À 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m ?À 138, 95 m - 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m Sublinhamos o algarismo duvidoso, identi?cando-o, para a se- guir procedermos o arredondamento.

grandezas (varia??vel dependente) em relac?©a~o a outra (varia??vel Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento `as 8 horas e uma outra dose a`s 12 horas da manha~. A temperatura da pessoa foi veri?cada de hora em hora e os resultados obtidos sa~o mostrados abaixo.

Tempo (h) Temperatura (?C) 0 39,0 1 39,0 2 38,5 3 38,0 4 38,5 5 37,5 6 37,0 7 36,5 8 36,5 9 36,5

A representac?©a~o gr??a?ca das varia??veis temperatura (varia??vel de- pendente: eixo vertical) e tempo (varia??vel independente: eixo horizontal) esta?? mostrada na Fig. 1.1.

40.0 39.0 T(oC) 38.0 37.0 36.0 35.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 t(h)

Figura 1.1: Gra???co da temperatura em func?©a~o do tempo O gr??a?co cartesiano mostrado anteriormente, al??em de facilitar a visualizac?©a~o do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observac?©a~o, permite tamb??em, algumas conclus~oes.

Como Construir um Gr??a?co Para que gr??a?cos sejam constru???dos de forma objetiva e clara ??e necessa??rio respeitar algumas regras simples: ?À O eixo vertical ??e chamado de eixo das abscissas e o hori- zontal de eixo das coordenadas;

?À a varia??vel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a varia??vel independente no eixo horizontal;

?À os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do ?À as escalas sa~o independentes e devem ser constru???das in- dependentemente;

?À as divis~oes num??ericas das escalas (lineares) devem ser re- gulares;

?À as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de ?À antes de iniciar a construc?©a~o de um gr??a?co deve-se ve- ri?car a escala a ser usada levando em considerac?©a~o os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu- mido por ambas as varia??veis do gr??a?co. Divide-se enta~o o espac?©o dispon???vel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais;

?À o teste ?nal para saber se as escalas esta~o boas ??e feito veri?cando-se se ??e f??acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.

Pense um Pouco! ?À A func?©a~o da posic?©a~o x em relac?©a~o ao tempo t de um ponto material em movimento retil???neo, expressa em unidades do SI, ??e x = 10 + 5, 0t Determine: b) o instante em que a posic?©a~o do ponto material ??e x = c) esboce o gr??a?co x ?ù t do movimento.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Determine o comprimento de cada haste: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 a) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 b) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Meca^nica ÔÇô Aula 3 entre dois trac?©os paralelos, muito ?nos, feitos por um estilete sobre uma superf???cie plana e lisa. Considerando que na~o houve erro grosseiro, o resultado de uma so?? medic?©a~o, com o nu??mero correto de algarismos signi?cativos, ??e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m

Exerc???cios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. Na~o dispondo de r??egua, decide utilizar um toco de la??pis como padra~o de comprimento. Veri?ca enta~o Chegando ao col??egio, mede com uma r??egua o comprimento do seu toco de la??pis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa sera?? corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 ?ù 102 cm d) 1, 2 ?ù 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apo??s realizar a medida necessa??ria, que o volume de um dado ??e 2, 36 cm3. Levando-se em conta os algarismos signi?cativos, o volume total de cinco dados, id^enticos ao primeiro, sera?? corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3 b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m??edia de uma folha ??e: a) 10-1 mm b) 10-2 mm c) 10-3 mm d) 10-4 mm e) 10-5 mm

Mec^anica Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais Na F???sica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares A grandeza escalar ??e aquela que ?ca perfeitamente carac- terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom- panhada pela correspondente unidade de medida. Como 5

exemplos de grandeza f???sica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem- plo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a densidade (para a ??agua, 1000 kg/m3), a pressa~o (105 N/m2), a energia (por Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operac?©o~es alg??ebricas comuns, arredondando-se quando ne- cess??ario.

Grandezas Vetoriais Dada a velocidade instanta^nea de um m??ovel qualquer (por exemplo, um avia~o a 380 km/h), constatamos que apenas essa indicac?©a~o ??e insu?ciente para dizermos a direc?©a~o em que o m??ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ??e uma grandeza Para uma grandeza f???sica vetorial ?car totalmente caracteri- zada, ??e necessa??rio saber na~o apenas a sua intensidade ou m??odulo mas tamb??em a sua direc?©~ao e o seu sentido. Geral- mente a grandeza vetorial ??e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, v) e o m??odulo ou intensidade, por |v| ou A grandeza f???sica vetorial pode ser representada gra?camente por um segmento de reta (indicando a direc?©a~o da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicac?©a~o de seu m??odulo ou intensidade). Tal representac?©a~o ??e denominada No exemplo anterior do avia~o, poder???amos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade v, de m??odulo v = 380 km/h, na direc?©a~o norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instanta^nea pode ser representada por um vetor, como mostra a ?gura 1.1.

380 km/h N OL S Figura 1.1: Exemplo de representac?©a~o vetorial Como a?rmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ??e preciso indicar, al??em do m??odulo, a direc?©a~o e o sen- tido da grandeza. Podemos fazer essa indicac?©a~o utilizando um vetor (veja a ?gura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - ??e Para melhor entendermos o signi?cado e a representac?©a~o de Na ?gura de cima os vetores representados possuem mesma dire?©ca~o e sentido; na ?gura de baixo os vetores apresentam a mesma dire?©ca~o e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direc?©a~o sa~o paralelos, o que na~o garante que tenham o mesmo sentido.

S Figura 1.2: A reta s, que cont??em o vetor, indica a dire?©ca~o e a seta indica o sentido

b d a c a b Figura 1.3: Representac?©a~o de alguns vetores Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma direc?©a~o, podemos determi- nar o m??odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus m??odulos. Observe: a

c b ab dc Figura 1.4: De acordo com a convenc?©a~o adotada, o mo??dulodo vetor sera?? d = a + b - c.

Assim, os vetores a e b sa~o positivos e o vetor c ??e negativo. O m??odulo do vetor soma, d, ??e dado por

d=a+b-c Se obtermos um valor positivo para d, isso signi?ca que seu se for negativo, o seu sentido ??e negativo, isto ??e, o vetor ??e hori- zontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um m??ovel parte de um ponto A e so- fre um deslocamento d1 no sentido leste, atingindo um ponto B e, em seguida, um deslocamento d2 no sentido norte, atingindo um ponto C (veja a ?gura 1.5)

C N OL d S d 2

A B d 1 Figura 1.5: O deslocamento d equivale aos deslocamentos d1 e d2. Portanto d = d1 + d2.

Podemos notar facilmente que o deslocamento d1, de A para B, e o d2, de B para C, equivalem a um u??nico deslocamento, d, de A para C. Desta forma, o deslocamento d ??e a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos d1 e d2, ou seja, d = d1 + d2 Este resultado ??e v??alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a ?gura 1.6.

b c b a Os vetores a e b tem como vetor soma resultante o vetor c. E?? crucial notar que a colocac?©a~o do vetor b na origem ou na extre- midade do vetor a na~o altera o vetor soma c. Deve-se observar que os vetores a, b e c formam um tria^ngulo reta^ngulo, em que c ??e a hipotenusa a e b sa~o catetos. Para obtermos o m??odulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pita??goras: c2 = a2 + b2

Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direc?©o~es quaisquer na~o apresenta muita diferenc?©a. Para um m??ovel, par- tir de A e atingir B num deslocamento d1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d (veja ?gura 1.7). Desta forma, d = d1 + d2

Meca^nica ÔÇô Aula 3 d A d 1 C d 2 B Figura 1.7: O deslocamento d equivale aos deslocamentos d1 e d2.

^angulo entre d1 e d2 na~o ??e reto (90o). Assim, aplicamos a regra Os vetores a e b formam um paralelogramo cuja diagonal ??e o vetor resultante c. De acordo com a regra do paralelogramo, se a e b formam entre si um ^angulo ?, o m??odulo do vetor resultante c sera?? dado pela expressa~o: c2 = a2 + b2 + 2ab ?À cos ?

Decomposic?©~ao de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u??nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao Dado um vetor a, obt??em-se outros dois vetores ax e ay tal que O vetor ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ax de tal forma que o vetor a e seus vetores componentes ax e ay formem um tria^ngulo reta^ngulo (?gura 1.10). Aplicando a trigonometria ao tria^ngulo reta^ngulo, podemos determinar o m??odulo dos componentes ax (horizontal) e ay (vertical) de a em func?©a~o do ^angulo ?. Desta forma, no tria^ngulo hachurado da ?gura 1.10, temos cateto adjacente ax cos ? = ? cos ? = hipotenusa a ax = a ?À cos ? Temos ainda cateto oposto ay sin ? = ? sin ? = hipotenusa a ay = a ?À sin ? Podemos relacionar o m??odulo do vetor e o m??odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pita??goras no tria^ngulo formado por a e seus componentes ax e ay: a2 = a2 + a2 xy

Pense um Pouco! ?À O m??odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma de seus m??odulos? Quando?

7 c b a c b a Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sa~o os vetores a e b, ??e o vetor resultante c. Podemos deslocar o vetor b para outra extremidade de a, reproduzindo a ?gura anterior.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Um m??ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em b) Determine o m??odulo do deslocamento resultante.

2. Na ?gura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m??odulo da F 2o 120

F 1 3. Um proj??etil ??e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ^angulo de 45? com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do proj??etil.

y a y a x a x Figura 1.9: O vetor a pode ser decomposto em um componente horizontal, ax, e outro vertical, ay.

a y a a y a x Figura 1.10: O vetor a e seus componentes ax e ay formam um tria^ngulo reta^ngulo, onde a ??e a hipotenusa e ax e ay sa~o os catetos.

Exerc???cios Complementares 4. Na ?gura abaixo esta~o representadas duas forc?©as: F1, de m??odulo F1 = 5,0 N e F2, de m??odulo F2 = 3,0 N, formando entre si um ^angulo ? = 60?. Determine a forc?©a resultante FR para o sistema de forc?©as mostrado.

5. Um vetor velocidade ??e decomposto em dois outros, perpen- diculares entre si. Sabendo que o m??odulo do vetor ??e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m??odulo igual a 8, 0 m/s, deter- mine o m??odulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um proj??etil ??e lanc?©ado do solo segundo uma direc?©a~o que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a ?gura a seguir). Determine o m??odulo dos componen- tes horizontal, vx, e vertical, vy, dessa velocidade. Dados: sin(53?) = 0, 80 e cos(53?) = 0, 60 v

o = 53 7. Um avia~o voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte a) Fac?©a um esquema gr??a?co representando a velocidade do b) Determine o m??odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45?) = 0, 71.

Mec^anica Aula 4 A Primeira Lei de Newton O Conceito de For?©ca Geralmente utilizamos uma forc?©a com o objetivo de empur- rar, puxar ou levantar objetos. Essa id??eia ??e correta, por??em incompleta. A id??eia de puxar ou empurrar esta?? quase sempre associada a id??eia de contato, o que exclui uma caracter???stica fundamental da noc?©a~o de forc?©a: a ac?©a~o a` dista^ncia. A atrac?©a~o gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ??e exercida a F 1

Meca^nica ÔÇô Aula 4 velocidade do corpo sobre o qual ela est??a sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen- sar em uma pergunta: ÔÇ£o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer forc?©a?ÔÇØ Essa pergunta pode ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine- xist^encia de forc?©as sobre o corpo em repouso: se nenhuma A segunda parte trata do efeito da inexist^encia de forc?©as sobre o corpo em movimento: se nenhuma forc?©a atua sobre o corpo Mas que tipo de movimento? Ja?? que na~o existem forc?©as atu- ando sobre o corpo, sua velocidade na~o varia de m??odulo ou direc?©a~o. Desta forma, o u??nico movimento poss???vel do corpo na aus^encia de qualquer forc?©a atuando sobre ele ??e o movimento A Primeira Lei de Newton reu??ne as duas respostas anteriores em um u??nico enunciado: Todo corpo tende a manter seu estado de re- pouso ou de movimento retil???neo e uniforme, a menos que forc?©as externas provoquem va- riac?©~ao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos a?rmar que na aus^encia de forc?©as, todo corpo tende a ?car como est??a: parado se estiver parado, em movimento retil???neo uniforme, se estiver em movimento (retil???neo uniforme). Por este motivo essa lei tamb??em ??e chamada de Princ???pio da In??ercia.

Todos os corpos apresentam a tend^encia de se manter em re- pouso ou em movimento retil???neo uniforme. Essa propriedade dos corpos ??e chamada in??ercia. A palavra in??ercia ??e derivada do latim inertia, que signi?ca indol^encia ou preguic?©a. Os corpos t^em uma esp??ecie de resist^encia `as modi?cac?©o~es de sua veloci- dade.

Equil???brio de uma Part???cula Dizemos que uma part???cula se encontra em equil???brio, quando a resultante das forc?©as atuando sobre ela for nula. Se a resultante ??e nula, na~o ocorre alterac?©a~o na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil???brio de esta??tico; se 9

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu ele estiver em movimento retil???neo e uniforme, o equil???brio sera?? chamado de din^amico.

Pense um Pouco! ?À Qual a relac?©a~o entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguranc?©a? e o encosto para a cabec?©a no banco do carro?

?À Por que quando um ^onibus freia repentinamente, os pas- sageiros sa~o ÔÇ£arremessadosÔÇØ para a frente? e o que ocorre quando o ^onibus ??e acelerado?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UFMG) Um corpo de massa m esta?? sujeito `a ac?©a~o de uma forc?©a F que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contr??ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com veloci- dade constante ??e porque: e) a a?rmac?©a~o da questa~o esta?? errada, pois qualquer que seja F o corpo estara?? acelerado porque sempre existe a acelerac?©~ao da gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun- ciado da Lei da In??ercia, tamb??em conhecida como primeira Lei a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forc?©a proporcio- nal ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao c) Quando um corpo exerce uma forc?©a sobre outro, este re- age sobre o primeiro com uma forc?©a de mesma intensidade e d) A acelerac?©a~o que um corpo adquire ??e diretamente propor- cional `a resultante das forc?©as que nele atuam, e tem mesma e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo- vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo forc?©as com resultante na~o nula.

10 Apostila Preparato??ria para o Vestibular Vocacionado UDESC ÔÇö http://www.mundo?sico.joinville.udesc.br

3. (UNESP-SP) As estat???sticas indicam que o uso do cinto de cada corpo, foi denominado pelos f???sicos de massa do corpo. seguranc?©a deve ser obrigato??rio para prevenir leso~es mais graves Desta forma, podemos a?rmar: em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a func?©a~o do cinto esta?? relacionada com a: A massa m de um corpo ??e o quociente entre o a) primeira Lei de Newton. m??odulo da forc?©a que atua num corpo e o valor b) lei de Snell. da acelerac?©~ao a que ela produz neste corpo. Assim, F e) primeira Lei de Kepler. m = a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa Exerc???cios Complementares ??e o quilograma: 1 quilograma = 1 kg = 1000 g 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio ?xo, Pela Lei da In??ercia, conclui-se que: Massa e In??ercia Suponhamos que uma forc?©a F foi aplicada a tr^es corpos de b) a pedra sai em linha reta, segundo a direc?©a~o perpendicular massa diferentes, como tr^es blocos de ferro, com volumes di- versos. Imaginaremos que a superf???cie na qual estes blocos c) a pedra sai em linha reta, segundo a direc?©a~o da corda no esta~o apoiados na~o apresenta atrito. Analisando a equac?©a~o m = F /a, percebemos facilmente que: e) a pedra na~o tem massa. - Quanto maior m ? menor a 5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil???neo, - Quanto maior m ? maior a di?culdade de alterar a veloci- so?? pode estar sob a ac?©a~o de uma: dade do corpo. b) u??nica forc?©a horizontal. Podemos concluir que d) forc?©a nula de atrito. Quanto maior ??e a massa de um corpo, maior e) forc?©a vertical que equilibre o peso. ser??a sua in??ercia (di?culdade de ter sua velo- cidade alterada), isto ??e, a massa representa a 6. (Fiube-MG) Uma part???cula se desloca ao longo de uma medida de in??ercia de um corpo. reta com acelerac?©a~o nula. Nessas condic?©o~es, podemos a?rmar corretamente que sua velocidade escalar ??e: As conclus~oes anteriormente, explicam porque um caminha~o a) nula. vazio (quando sujeito a uma forc?©a F) adquire uma acelerac?©a~o b) constante e diferente de zero. maior do que quando esta cheio, por exemplo. A Segunda Lei de Newton De acordo com o princ???pio da in??ercia, um corpo so?? pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil???neo com velo- Mec^anica Aula 5 cidade constante se sobre ele atuar uma forc?©a resultante ex- terna. Neste momento, poder???amos perguntar: ÔÇ£O que acon- tece se existir uma forc?©a resultante externa agindo no corpo?ÔÇØ Nesta situac?©a~o, o corpo ?ca sujeito a uma acelerac?©~ao, ou seja, um corpo sujeito a uma forc?©a resultante externa movimenta-se A Segunda Lei de Newton com velocidade vari??avel.

E?? muito comum encontrarmos a de?nic?©a~o de massa de um corpo da seguinte maneira: ÔÇ£a massa de um corpo representa a quantidade de mat??eria que ele possuiÔÇØ. Em cursos elementa- res de ci^encias, esta de?nic?©a~o pode ser aceita como uma id??eia inicial da noc?©a~o de massa, embora na~o possa ser considerada uma de?nic?©a~o precisa dessa grandeza. De fato, a de?nic?©a~o apresentada na~o ??e adequada, pois pretende de?nir um novo conceito ÔÇô massa ÔÇô por meio de uma id??eia vaga, que na~o tem signi?cado f???sico preciso ÔÇô quantidade de mat??eria. E?? f??acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por Experimentalmente os f???sicos constataram que entre a forc?©a F exemplo, desde o repouso at??e 30 km/h em um intervalo de aplicada a um corpo e a acelerac?©a~o a, que ele adquire, existe tempo de 30 s, a intensidade da forc?©a que teremos de aplicar uma proporc?©a~o direta. Desta forma, o quociente F/a ??e cons- depender??a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um tante para um certo objeto. Este quociente, que ??e intr???nseco a carro, ??e evidente que a forc?©a necessa??ria sera?? muito menor do F

Meca^nica ÔÇô Aula 5 que se tratasse de um caminha~o. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever??a ser a intensidade da forc?©a Foi Isaac Newton quem obteve essa relac?©a~o entre massa e forc?©a, que constitui a segunda lei de Newton ou princ???pio fun- damental da din^amica. Temos, enta~o que A acelerac?©~ao de um corpo submetido a uma forc?©a resultante externa ??e inversamente pro- porcional `a sua massa, e diretamente propor- cional a intensidade da forc?©a.

Assim, para uma dada forc?©a resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor sera?? a acelerac?©a~o a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ??e dada por: F = ma Esta equac?©a~o vetorial impo~e que a forc?©a resultante e a ace- lerac?©a~o tenham a mesma direc?©a~o e o mesmo sentido. No SI a unidade de forc?©a ??e o newton ou (N ): 1 N = 1 kg ?À m/s2 Por de?nic?©a~o, o newton ??e a forc?©a que produz uma acelerac?©a~o de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Diagrama de Corpo Livre Antes de resolver qualquer problema de din^amica, ??e de fun- damental importa^ncia a identi?cac?©a~o de todas as forc?©as rele- vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualizac?©a~o destas forc?©as, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de forc?©as para cada corpo, que ??e um esquema simpli?cado envolvendo todas Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli- nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco: NF at m

P Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre- gando num plano inclinado.

Observe Nesse exemplo, o bloco ??e tratado como uma part???cula, por sim- pli?cac?©a~o, na~o sendo relevante suas dimens~oes ou o ponto de aplicac?©a~o das forc?©as, colocadas todas no seu centro geom??etrico, por conveni^encia. Desprezou-se a forc?©a de empuxo do ar, a forc?©a de resist^encia viscosa ao movimento do bloco, tamb??em causada pelo ar, e outras forc?©as irrelevantes ao problema.

11 Pense um Pouco! ?À E?? muito comum nos depararmos com a situac?©a~o na qual um carro e um caminha~o esta~o emparelhados aguardando o sinal verde do sem??aforo. Voc^e sabe por qu^e, quando o sinal ?ca verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminha~o ter um motor mais possante?

?À Se o peso de um corpo ??e proporcional `a sua massa, enta~o podemos a?rmar que todos os corpos tera~o a mesma ace- lerac?©a~o, em queda livre?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Na ?gura abaixo os blocos A, B e C esta~o sobre um plano horizontal sem atrito.

A B Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: Admitir a massa dos ?os desprez???vel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado a 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a trac?©a~o no cabo que o sustenta, ??e de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N

Exerc???cios de Aplica?©c~ao F C A B Admitindo g = 10 m/s2 e o ?o inextens???vel de massa des- prez???vel como a massa da polia, determine: b) a trac?©a~o no ?o.

4. No conjunto da ?gura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apo??ia num plano sem atrito. Sa~o desprez???veis as massas da polia e do ?o, que ??e inextens???vel.

C A B Admitindo g = 10 m/s2, determine: 5. Na ?gura, a forc?©a F tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as in??ercias do ?o e da roldana. Quais os valores da acelerac?©a~o do conjunto e da forc?©a que traciona o ?o?

F 6 kg 4 kg 6. (UEL-PR) Os tr^es corpos, A, B e C, representados na ?gura t^em massas iguais, m = 3, 0 kg C A B

O plano horizontal, onde se apo??iam A e B, na~o fornecem atrito, a roldana tem massa desprez???vel e a acelerac?©a~o local da gravi- dade pode ser considerada g = 10 m/s2. A trac?©a~o no ?o que une os blocos A e B tem m??odulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N 7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra- se sobre uma balanc?©a no piso de um elevador. Se o elevador sobe com acelerac?©a~o igual, em m??odulo, `a metade da acelerac?©a~o da gravidade local, pode-se a?rmar que a leitura da balanc?©a: a) sera?? de 25 N b) permanece inalterada c) sera?? de 75 N d) sera?? de 100 N e) sera?? de 200 N Mec^anica Aula 6

Energia A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu???mica, a combusta~o da gasolina libera energia t??ermica, energia el??etrica ??e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho O signi?cado da palavra trabalho, na F???sica, ??e diferente do seu signi?cado habitual, empregado na linguagem comum. O tra- balho, na F???sica ??e sempre relacionado a uma forc?©a que desloca uma part???cula ou um corpo. Dizemos que uma forc?©a F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que esta?? em movimento. A partir dessa descric?©a~o podemos dizer que so?? ha?? trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr??ario o trabalho realizado sera?? nulo. Assim, se uma pes- soa sustenta um objeto, sem desloca??-lo, ela na~o esta?? realizando Quando uma forc?©a F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela esta?? favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho reali- zado pela forc?©a.

Uma For?©ca Constante Quando a forc?©a F atua no sentido contra??rio ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali- zado pela forc?©a ??e considerado negativo.

FF d Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma forc?©a horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ??e: W = ??F d (1.1) onde F ??e o m??odulo da forc?©a constante e d ??e o deslocamento (em m??odulo). O sinal + ??e usado quando a forc?©a e o desloca- mento possuem o mesmo sentido, e o sinal -, quando possuem Importante Observe que o trabalho ??e uma grandeza escalar, apesar de ser Unidades

Meca^nica ÔÇô Aula 6 1 kJ = 103 J Quando a forc?©a for aplicada ao corpo formando um ^angulo ? com a horizontal, temos a seguinte f??ormula mais geral: W = F d cos ? (1.2) onde F ??e o m??odulo da forc?©a constante, d ??e o deslocamento (em m??odulo) e ? o ^angulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a direc?©a~o da forc?©a e o deslocamento.

FF d 13 Tipos de For?©cas Existem diversos tipos de forc?©as que podem atuar em um corpo: forc?©a el??astica, forc?©a peso, forc?©a el??etrica, forc?©a de con- tato, etc...

Pot^encia P Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realizac?©a~o desse trabalho, tem de fazer um esforc?©o maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma pot^encia maior.

Podemos tamb??em calcular o trabalho W realizado pela forc?©a F atrav??es da ??area sob a curva do gr??a?co F ?ù x: F Area = Trabalho O xX

W ? A?? rea sob a curva Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho atrav??es da ana??lise do gr??a?co, e do sentido relativo entre a forc?©a e o deslocamento (ou do ^angulo ?).

Uma For?©ca Vari??avel 0 gr??a?co abaixo representa a ac?©a~o de uma forc?©a varia??vel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, F(x ) 2

F(x ) 1 Area = Trabalho O x xX 12 Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela ??area sob a curva, desenhando-se o gr??a?co em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ??area de um trap??ezio: F ?? + F ? W = F d = (x?? - x?) 2 Observe que essa f??ormula considera a forc?©a m??edia (aproxi- mada) multiplicada pelo deslocamento.

Figura 1.1: James Watt (1736-1819) Um carro ??e mais potente que o outro quando ele ÔÇ£arrancaÔÇØmais ra??pido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo Um aparelho de som ??e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el??etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m??aquina ??e caracterizada na~o so?? pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar Enta~o podemos concluir que pot^encia ??e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja: P = W/t Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equac?©a~o acima temos W F dt tt Unidade de Pot^encia 1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cin??etica Para variar a velocidade de um corpo em movimento ??e preciso Esse trabalho ??e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em relac?©a~o a um dado Para uma part???cula de massa m e velocidade v a energia cin??etica ??e: 1 Ec = mv2 2 e assim como o trabalho, mede-se a energia cin??etica em joules.

Teorema Trabalho-Energia Suponhamos que FR seja a resultante das forc?©as que atuam sobre uma part???cula de massa m. O trabalho dessa resultante ??e igual `a diferenc?©a entre o valor ?nal e o valor inicial da energia cin??etica da part???cula: 11 W = Ec = mv2 - mv2 2f2i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forc?©as que atua sobre uma part???cula modi?ca sua energia cin??etica.

Pense um Pouco! ?À Que trabalho realizamos sobre um corpo que ??e levantado a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo ou negativo?

?À Se voc^e pudesse segurar um elefante a uma determinada ?À Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar- bante.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (ESAL-MG) Um homem esta?? em repouso com um caixote a) Como o caixote tem um peso, o homem esta?? realizando b) O homem esta?? realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem esta?? realizando trabalho pelo fato de estar fazendo d) O homem na~o realiza trabalho pelo fato de na~o estar se e) O homem na~o realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito `a acelerac?©a~o da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta?? sendo arrastado por uma superf???cie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as O trabalho da forc?©a peso ??e nulo. III. A forc?©a resultante que arrasta o corpo ??e nula. Dentre as a?rmac?©o~es: e) Sa~o corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, pot^encia e energia, pode-se a?r- mar que: c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

4. O produto da forc?©a pelo deslocamento do corpo em que ela atua esta?? associado com: a) trabalho b) pot^encia c) dist^ancia d) acelerac?©a~o e) velocidade

Exerc???cios Complementares 5. (UFSC) O gr??a?co a seguir representa a resultante das forc?©as, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em func?©a~o do deslocamento total em metros. Su- pondo que a sua velocidade inicial ??e de 14 1 m/s, determine, 2 F(N) 20 15 10 5 0 x(m) 0 10 20 30 40

6. Um proj??etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma ta??bua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forc?©a com m = 10 g F

v = 100 m/s ov = 90 m/s f x = 1,0 cm 7. Um m??ovel de massa 2, 90 kg ??e submetido `a uma forc?©a cons- tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: b) a pot^encia P desenvolvida pela forc?©a;

Meca^nica ÔÇô Aula 7 Energia Potencial Suponha, enta~o, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ??e f??acil perceber que sera?? capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf???cie da Terra, ??e denominada energia potencial gravitacional. Ha?? outras situac?©o~es, seme- lhantes a essa, nas quais um corpo tamb??em possui energia em virtude da posic?©a~o que ele ocupa. Por exemplo, um corpo si- tuado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posic?©a~o. Se um corpo com- primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele sera?? empurrado pela mola e podera?? realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ??e denominada energia potencial el??astica.

Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso refe- rencial usual de energia zero, podemos de?nir a energia po- tencial gravitacional Ep como

Ep = mgh onde g ??e a acelerac?©a~o da gravidade. No SI, g vale aproxima- damente 9, 8 m/s2.

For?©ca El??astica Chamamos de corpos el??asticos aqueles que, ao serem defor- mados, tendem a retornar `a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703) Uma mola helicoidal, feita geralmente de ac?©o, como carac- ter???stica pr??opria uma constante el??astica k, que de?ne a pro- porcionalidade entre a intensidade forc?©a F aplicada e a respec- tiva deformac?©a~o x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma F = -kx Observe que x mede a deformac?©a~o linear da mola a partir do Atrav??es a equac?©a~o acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el??astica deve ser N/m. Na pr??atica, a constante k 15

mede a ÔÇ£dureza???? da mola: quanto maior o valor de k, mais dif???cil sera?? a sua deformac?©a~o, ou seja, mais forc?©a ser??a necessa??ria para deforma??-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial El??astica Quando aplicamos uma forc?©a e deformamos uma mola estamos transferindo a ela uma energia, essa energia ?ca armazenada na mola. De?nimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida ??e chamada de energia potencial el??astica, atrav??es de 12 Ep = kx 2

Pense um Pouco! ?À A energia potencial gravitacional depende da acelerac?©a~o da gravidade, enta~o em que situac?©o~es essa energia ??e posi- tiva, nula ou negativa?

?À Se uma mola ??e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola na~o consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el??astica?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua al- c) Existe energia no estilingue depois do lanc?©amento? Co- mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois 3. Um indiv???duo encontra-se sobre uma balanc?©a de mola, pi- sando sobre ela com seus dois p??es. Se ele levantar um dos p??es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador com- pletamente fechado, quando observa que o peso indicado na balanc?©a ??e zero. Enta~o, conclui que: a) esta?? descendo com velocidade constante b) o elevador esta?? em queda livre c) a forc?©a de atrac?©a~o gravitacional exercida sobre ele ??e anulada pela reac?©a~o normal do elevador d) a balanc?©a esta?? quebrada, visto que isto ??e imposs???vel 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, esta~o a 500 m de altura em relac?©a~o ao solo. Voc^e diria que: b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos a?rmar com relac?©a~o `a energia potencial das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez???vel, esta?? suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deformac?©a~o de 2, 0 cm para o sis- tema em equil???brio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil???brio, a deformac?©a~o total sera?? de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m

Exerc???cios Complementares 6. Uma mola cuja constate el??astica ??e 1000 N/m encontra-se a) Determine a energia potencial el??astica armazenada na mola.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ??e a velocidade m??axima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessa??rio para se comprimir uma mola, 8. Um menino situado no alto de um edif???cio, segura um corpo a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do cha~o?

Mec^anica Aula 8 Trabalho e Energia Potencial

A energia potencial gravitacional esta?? relacionada `a posic?©a~o de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos Para elevar um corpo em equil???brio do solo at??e uma altura h, devemos aplicar uma forc?©a que realizar??a um trabalho (positivo) de mesmo m??odulo que o trabalho realizado pela forc?©a peso do corpo (negativo).

Fext.= -P m P O trabalho realizado pela forc?©a externa Fext., ??e armazenado no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita- cional Ep, e vale: Ep = mgh Ja?? para o sistema massa-mola, temos uma forc?©a externa sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma de- formac?©a~o, sendo essa forc?©a F = -kx o trabalho W externo necessa??rio para esticar a mola uma quan- tidade x sera?? 1 W = kx2 2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener- F=0

Meca^nica ÔÇô Aula 8 desse corpo se conserva. Por este motivo, as forc?©as citadas sa~o denominadas forc?©as conservativas. Exemplo: ao dar corda em um relo??gio, voc^e esta?? armazenando energia potencial el??astica numa mola, e essa energia estara?? dispon???vel para fazer com que o relo??gio trabalhe durante um certo tempo. Isso so?? ??e Por outro lado, se existissem forc?©as de atrito atuando durante o deslocamento do corpo, sua energia meca^nica na~o se con- serva, por que parte dela (ou at??e ela toda) se dissipa sob forma de calor. Por isso dizemos que as forc?©as de atrito sa~o forc?©as dissipativas. Exemplo: se voc^e arrastar um caixote pelo cha~o horizontal, durante um longo percurso, ver??a que todo o traba- lho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energia gasta foi armazenada, ou esta?? dispon???vel no caixote.

A Conserva?©c~ao da Energia Mec^anica Um sistema meca^nico no qual so?? atuam forc?©as conservativas ??e dito sistema conservativo, pois a sua energia mec^anica (E) se conserva, isto ??e, mant??em-se com o mesmo valor em qualquer momento ou posic?©a~o, podendo alternar-se nas suas formas cin??etica e potencial (gravitacional ou el??astica): E = Ec + Ep

Degrada?©c~ao da Energia A energia esta?? constantemente se transformando, mas na~o pode ser criada nem destru???da.

?À Em uma usina hidrel??etrica, a energia meca^nica da queda ?À Em uma locomotiva a vapor, a energia t??ermica ??e trans- formada em energia meca^nica para movimentar o trem.

?À Em uma usina nuclear, a energia proveniente da ?ssa~o dos ?À Em um coletor solar, a energia das radiac?©o~es provenientes do sol se transforma em energia t??ermica para o aqueci- mento de ??agua.

Pense um Pouco! ?À Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por qu^e?

?À Indique algumas fontes de energia e explique a forma de ?À Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o atrav??es de um plano inclinado (sem atrito) at??e a altura desejada? Por qu^e?

?À Compare a energia necessa??ria para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necessa??ria para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferenc?©a.

17 Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Quais as transformac?©o~es de energia que ocorrem quando um jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferenc?©as entre energia potencial e energia cin??etica?

3. Uma forc?©a ??e dita conservativa quando: a) na~o realiza trabalho b) o trabalho por ela realizado na~o depende da trajet??oria de seu ponto de aplicac?©a~o c) realiza apenas trabalhos positivos d) o trabalho por ela realizado na~o depende da massa do corpo em que esta?? aplicada e) dissipa energia t??ermica 4. Um sistema f???sico tem energia quando: d) possui grande quantidade de ??atomos e) perde calor

Exerc???cios Complementares 5. O princ???pio da conservac?©a~o da energia a?rma que: a) a energia cin??etica de um corpo ??e constante b) a energia potencial el??astica mais a energia cin??etica ??e sempre constante c) a energia na~o pode ser criada nem destru???da, mas apenas transformada em calor devido aos atritos d) a energia total de um sistema, isolado ou na~o, permanece constante e) a energia na~o pode ser criada nem destru???da, mas apenas transformada de uma modalidade para outra 6. A energia meca^nica de um corpo: a) ??e a soma da sua energia potencial e cin??etica b) depende apenas do referencial c) depende da acelerac?©a~o do corpo d) ??e sempre constante, independente do tipo de forc?©as atuantes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo 7. Para esticar uma mola em 40 cm, ??e necessa??ria uma forc?©a de 20 N . Determine: b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola;

d) O trabalho que seria necessa??rio para deformar a mola em 8. Um corpo de massa 5, 0 kg ??e elevado do solo a um ponto si- tuado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Determine: a) o trabalho realizado pela forc?©a peso do corpo nesse desloca- b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir do repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.

Veja a ?gura. Na base da pista, o corpo comprime a mola de constante el??astica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2, qual a deformac?©a~o m??axima sofrida pela mola?

A o h Mec^anica Aula 9

Din^amica do Movimento Circular Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circun- fer^encia de raio R, com movimento na~o uniforme.

v Sabemos que a velocidade do corpo ??e um vetor que, em cada instante, ??e tangente a` trajet??oria e que, no movimento circular na~o uniforme, o corpo esta?? sujeito a duas acelerac?©o~es.

a ta c a R O Na ?gura temos: at = acelerac?©a~o tangencial ac = acelerac?©a~o centr???peta onde a = at + ac, sendo a = acelerac?©a~o total(resultante) Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as acelerac?©o~es que atuam no corpo devem ter a mesma direc?©a~o e o mesmo sentido da forc?©a. Portanto, existem forc?©as perpendiculares `a A forc?©a resultante que tem a mesma direc?©a~o e o mesmo sentido da acelerac?©a~o centr???peta, isto ??e, dirigida para o centro da curva ??e denominada forc?©a centr???peta (Fcp), e a que tem a mesma direc?©a~o e o mesmo sentido da acelerac?©a~o tangencial, isto ??e, tangente `a trajet??oria, ??e denominada forc?©a tangencial (Ft).

a t Ft a a c F c R O F Na ?gura temos: Ft = m ?À a Fc = m ?À ac onde Ft = forc?©a tangencial Fc = forc?©a centr???peta F = Ft + Fc, sendo F = forc?©a resultante

As For?©cas no Movimento Circular Podemos expressar a forc?©a centr???peta da seguinte maneira: Fc = mac

ou v2 Fc = m = m?2R R A forc?©a tangencial ??e dada por: Ft = mat

Observe que: ?À A forc?©a tangencial faz variar o m??odulo do vetor velocidade, isto ??e, produz acelerac?©a~o tangencial.

?À A forc?©a centr???peta faz variar a direc?©a~o do vetor velocidade, obrigando o corpo a descrever uma trajet??oria curva.

Meca^nica ÔÇô Aula 9 Terra Lua F C Figura 1.1: A Lua em sua o??rbita ao redor da Terra (fora de escala).

Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno da A forc?©a que mant??em a Lua em ??orbita ??e uma forc?©a de origem gravitacional exercida pela Terra. Tal forc?©a ??e centr???peta, isto ??e, dirigida para o centro da Terra.

Pense um Pouco! (Fuvest-SP) A melhor explicac?©a~o para o fato de a Lua na~o cair sobre a Terra ??e que: a) a gravidade terrestre na~o chega at??e a Lua b) a Lua gira em torno da Terra c) a Terra gira em torno do seu eixo d) a Lua tamb??em ??e atra???da pelo Sol e) a gravidade da Lua ??e menor que a da Terra

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UEL-Pr) Num p^endulo co^nico, a massa m gira numa cir- cunfer^encia horizontal, estando submetida `as forc?©as peso P vetorial e trac?©a~o T vetorial, conforme a ?gura:

T m v P Nestas condic?©o~es a intensidade da forc?©a centr???peta ??e: e) dada pela resultante T - P ?À sen ?.

2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por um ?o de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que ela descreva c???rculos verticais com velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi- tindo g = 10 m/s2, determine a trac?©a~o no ?o quando o corpo passa pelo ponto: b) mais baixo da trajet??oria.

19 3. Um automo??vel faz uma curva circular, plana e horizontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coe?ciente de atrito esta??tico entre os pneus e a pista ??e ?Áe = 0, 80, qual a m??axima velocidade com que esse automo??vel pode fazer a curva sem derrapar? (Use a) v = 10 m/s b) v = 15 m/s c) v = 20 m/s d) v = 25 m/s e) v = 30 m/s

Exerc???cios Complementares 4. (Fuvest-SP) A ?gura a seguir mostra, num plano vertical, parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russa de um parque de diverso~es.

g r = 8,0 m A velocidade m???nima que o carrinho deve ter, ao passar pelo ponto mais alto da trajet??oria, para na~o desgrudar dos trilhos vale, em metros por segundo: ? a) ?20 b) ?40 c) ? 80 d) ? 160 e) 320 5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subir ou descer) e equilibrada o piloto de um avia~o deve inclina??-lo com respeito `a horizontal (a` maneira de um ciclista em uma curva) um ^angulo ?. Se ? = 60o, a velocidade da aeronave ??e 100 m/s e a acelerac?©a~o local da gravidade ??e de 9, 5 m/s2, qual a) 200 m b) 350 m c) 600 m d) 750 m e) 1000 m 6. (Fuvest-SP) Um caminha~o, com massa total de 10000 kg, esta?? percorrendo uma curva circular plana e horizontal a 72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha de ??oleo na pista e perde completamente a ader^encia. O caminha~o encosta enta~o no muro lateral que acompanha a curva e que o mant??em em trajet??oria circular de raio igual a 90 m. O coe?ci- ente de atrito entre o caminha~o e o muro vale 0, 30. Podemos a?rmar que, ao encostar no muro, o caminha~o comec?©a a perder velocidade `a raza~o de, aproximadamente: a) 0, 07 m ?À s-2.

Mec^anica Aula 10 Quantidade de Movimento Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, ??e f??acil perceber que ha?? uma diferenc?©a na ac?©a~o que ela deve de- senvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: a bola mais ra??pida, para ser parada, exige um esforc?©o maior e de maior durac?©a~o. Uma diferenc?©a semelhante tamb??em seria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maior esforc?©o, atuando durante um tempo maior, seria necessa??rio para fazer parar a Essas observac?©o~es levam a` de?nic?©a~o de uma nova grandeza f???sica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de Enta~o podemos escrever que quantidade de movimento de um ponto material de massa m e velocidade v Q = mv

Unidade SI Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional (SI) na unidade Kg ?À m/s Exemplo Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com velo- cidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera??, em m??odulo, Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 ?ù 104 kg ?À m/s Lembre-se Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidade SI (m/s) fazemos: 1000 m 72 v = 72 km/h = 72 ?ù = m/s = 20 m/s 3.600 s 3, 6

Impulso Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando um tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma forc?©a que age num curto espac?©o de tempo que faz a bola ser impul- sionada. De?ne-se o impulso I de uma forc?©a como grandeza vetorial dada pelo produto da forc?©a F pelo intervalo de tempo t durante o qual ela atuou: I=F t Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela uma forc?©a de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s, o impulso transferido para a bola sera?? I = F t = (50 N )(0, 12 s) = 6, 0 N ?À s e esse impulso far??a com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de mo- vimento: 1 N ?À s = 1 kg ?À m/s Pense um Pouco! ?À E?? mais f??acil parar uma bola que tenha uma quantidade de movimento grande ou pequena? Por qu^e?

o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as opc?©o~es

a) ( ) produto; forc?©a aplicada ao corpo; tempo que o corpo ?ca em movimento b) ( ) produto; forc?©a aplicada ao corpo; tempo durante o qual a forc?©a atua c) ( ) quociente; forc?©a aplicada ao corpo; velocidade que ele adquire d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire e) ( ) produto; massa do corpo; acelerac?©a~o que ele adquire 3. Considere um corpo que esta?? se deslocando em movimento a) A quantidade de movimento deste corpo esta?? variando? Ex- b) Tendo em vista a resposta do ???tem anterior, o que voc^e con- c) Enta~o, qual o valor da resultante das forc?©as aplicadas no corpo?

Meca^nica ÔÇô Aula 11 5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?

6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quan- tidade de movimento Q e energia cin??etica E. Uma forc?©a F , na mesma direc?©a~o e no mesmo sentido de v, ??e aplicada no corpo, at??e que a velocidade dele triplique. As novas quantidades de movimento e energia cin??etica sa~o, respectivamente: a) 3Q e 3E b) 3Q e 6E c) 3Q e 9E d) 6Q e 6E e) 6Q e 9E 7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s at??e chocar-se contra um pa??ra-choque ?xo na extremidade do trilho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choque tenha durac?©a~o de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absoluto da forc?©a m??edia exercida pelo pa??ra-choque sobre o carrinho.

Mec^anica Aula 11 Impulso e Momento Teorema do Impulso-Momento Consideremos uma forc?©a resultante constante F atuando sobre uma part???cula de massa m, durante um intervalo de tempo t, temos I=F t ou seja I = ma t = m v = Q ou I = Qf - Qi = m(vf - vi)

E concluimos que: O impulso determinado pela resultante de todas as forc?©as externas que agem durante certo intervalo de tempo sobre um ponto material ??e igual a variac?©~ao da quantidade de movimento do ponto durante o mesmo intervalo.

A BCDE 21 Sistemas de Part???culas Para um sistema contendo N part???culas a quantidade de mo- vimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma: QT OT AL = m1v1 + m2v2 + . . . + mN vN

CURIOSIDADE A luz tem quantidade de movimento? E?? poss???vel um astro- Por mais intrigante que seja, a reposta ??e sim. Mas por que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movi- mento. Normalmente na~o percebemos isso, pois a quantidade de movimento da luz ??e pequena e, assim, os seus efeitos sa~o, em geral, impercept???veis. Mas quando o astronauta acende sua lanterna, a situac?©a~o ??e ana??loga `aquela em que um garoto sobre De acordo com a Mec^anica Qua^ntica, a luz ??e formada por pequenos ÔÇØpacotesÔÇØde energia, denominados f??otons, os quais, no v??acuo, movem-se `a velocidade c = 3, 0 ?ù 108 m/s. Cada um desses f??otons, al??em de possuir energia, tem quantidade de movimento. Por??em ela na~o pode ser calculada pela expressa~o Q = mv, uma vez que os f??otons na~o t^em massa. Para que o Princ???pio da Conservac?©a~o da Quantidade de Movimento seja mantido, os f???sicos conclu???ram que a quantidade de movimento (q) de um f??oton de energia E deve ser calculada por q = E/c Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma dist^ancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita luz com pot^encia de 1500 W . Suponha ainda que a massa total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan- terna seja 80 kg. Se o astronauta so?? pudesse aproximar-se Utilizando a expressa~o acima e os modelos simpli?cados da Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeiras evid^encias experimentais de que a luz tem quantidade de mo- vimento foram obtidas em 1899, pelo f???sico russo P. Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901.

Pense um Pouco! ?À Colidindo-se frontalmente duas esferas id^enticas, sobre uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini- cialmente parada, observa-se que a esfera que estava em movimento ?ca parada e a outra, inicialmente padara, en- tra em movimento apo??s a colisa~o. Explique esse feno^meno sob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento.

Exerc???cios Complementares 1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise e muda sua direc?©a~o de movimento em 90?. Determine o impulso aplicado sobre a bola na colisa~o.

b) Determine a variac?©a~o do momento do corpo, desde o ins- Exerc???cios de Aplica?©c~ao

3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g a 1, 25 m de altura acima do cha~o (piso) e observa-se que ela retorna (pula) at??e uma altura de apenas 0, 80 m, apo??s o a) Determine o impulso total sobre a bola at??e que ela toque a b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante em que ela deixa o solo at??e atingir a altura de 0, 80 m.

Mec^anica Aula 12 Conserva?©c~ao da Quantidade de Movi- mento Num sistema isolado, onde o impulso das forc?©as externas seja nulo, a quantidade de movimento ?nal ??e igual a inicial.

I = Qf - Qi = 0 =? Qf = Qi Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservac?©a~o da Quantidade de Movimento: E?? constante a quantidade de movimento de um con- junto de pontos materiais que constituem um sistema isolado.

Exemplos Feno^menos que encontram explicac?©a~o no teorema da quanti- dade de movimento: ?À propuls~ao a jato.

Forc?©as Impulsivas A forc?©a de interac?©a~o que ocorre durante uma colisa~o, em ge- ral tem grande intensidade e curta durac?©a~o, como descrito no gr??a?co abaixo. Forc?©as como essa, que atuam durante um in- tervalo pequeno comparado com o tempo de observac?©a~o do sistema, sa~o chamadas de forc?©as impulsivas.

F(t) ttt itf Algumas vezes ??e mais interessante considerar o valor m??edio da forc?©a impulsiva que o seu valor a cada instante. Por de- ?nic?©a~o, o valor m??edio de uma forc?©a impulsiva ??e o valor da forc?©a constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo impulso sobre um dado corpo.

Pense um Pouco! ?À Como podemos analisar as forc?©as envolvidas em uma co- lis~ao entre duas part???culas?

?À Imagine-se no meio da superf???cie lisa de um lago. Lem- brando na~o ser poss???vel caminhar sobre a superf???cie, em raza~o da total aus^encia de atrito, sugira um procedimento que permita alcanc?©ar a margem do lago.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) esta?? com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoa como o pescador repousam em relac?©a~o `a ??agua que, por sua vez, na~o apresenta qualquer movimento em relac?©a~o `a Terra. Atritos Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a Calcule o m??odulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg, imediatamente apo??s o disparo.

2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um proj??etil de 0, 02 kg, a uma velocidade de 600 m/s. Qual ??e a velocidade de recuo dessa arma?

3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta?? nadando `a velocidade de 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa 0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direc?©a~o, a 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de ter engolido o pobre peixinho.

4. Um canha~o de 800 kg, montado sobre rodas e na~o freado, Determine a velocidade de recuo do canha~o.

Meca^nica ÔÇô Aula 13 Exerc???cios Complementares 5. Um remador e seu barco t^em juntos massa de 150 kg. O barco esta?? parado e o remador salta dele com velocidade de Calcule as massas do remador e do barco.

6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outro de massa 80 kg, esta~o de m~aos dadas em repouso sobre uma pista de gelo, onde o atrito ??e desprez???vel. Eles empurram-se mutuamente e deslizam na mesma direc?©a~o, por??em em sentidos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade de 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em relac?©a~o ao outro ??e, em m??odulo, igual a: a) 5 m/s b) 4 m/s c) 1 m/s d) 9 m/s e) 20 m/s 7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repouso numa regi~ao do espac?©o em que as ac?©o~es gravitacionais sa~o desprez???veis. Ele esta?? fora de sua nave, a 120 m da mesma, mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dispara proj??eteis de massa 100 g, os quais sa~o expelidos com velocidade 1, 4?ù103 m/s. Dando um u??nico tiro, qual o tempo que o astro- Responda tamb??em qual o princ???pio utilizado para responder `a pergunta.

Mec^anica Aula 13 Colis~oes An??alise de uma Colis~ao Uma das aplicac?©o~es mais importantes do conceito de quanti- dade de movimento ??e encontrada no estudo de interac?©o~es de curta durac?©a~o, entre as partes de um sistema (ou conjunto) de corpos, como ocorre em uma explos~ao ou em uma colisa~o.

FF BA AB

A B Considerando as duas esferas da ?gura A e B, deslocando-se ao Apo??s a colisa~o, as esferas passam a se mover em sentidos opos- tos.

23 v 1I mm 12 FF 21 12

vv 1F 2F

Como as part???culas que constituem o sistema trocam forc?©as entre si, essas forc?©as sa~o consideradas internas e a resultante ??e sempre nula. Isso ocorre em coliso~es ou em explos~oes.

Pense um Pouco! ?À Choques meca^nicos podem ser considerados sistemas iso- lados. Assim, pode-se a?rmar que, em qualquer tipo de choque, ha?? conservac?©a~o da quantidade de movimento e da energia cin??etica?

?À A seguinte declarac?©a~o foi extra???da de uma prova realizada por um estudante de f???sica de uma universidade: ÔÇ£a colisa~o entre dois ??atomos de h??elio ??e perfeitamente el??astica, de forma que a quantidade de movimento se conservaÔÇØ. A a?rmac?©a~o ??e logicamente correta? Explique.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UFAL) Um pedac?©o de massa de modelar de 200 g ??e atirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contra um carri- nho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma superf???cie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho e nele per- manecer grudada, a velocidade com que o conjunto passa a mover-se ??e, em metros por segundo: a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 2. (UDESC) Considere a colisa~o frontal perfeitamente el??astica entre um n^eutron, de massa relativa igual a 1, deslocando-se com velocidade constante v0, e um d^euteron, de massa relativa igual a 2, em repouso.

b) Se a colisa~o fosse inel??astica, com as part???culas se movendo juntas apo??s colidirem, os resultados para as velocidade calcu- ladas permaneceriam os mesmos? Justi?que a resposta.

3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 g deslocam-se em sentidos contr??arios com velocidades respecti- vamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidade do corpo B apo??s o choque, sabendo que a velocidade do corpo A ??e de 0, 1 m/s e seu sentido ??e o mesmo da velocidade inicial.

4. Observa-se uma colisa~o el??astica e unidimensional, no refe- rencial do laborat??orio, de uma part???cula de massa m e velo- cidade de m??odulo 5 m/s com outra part???cula de massa m/4, inicialmente em repouso. Quais os valores dos m??odulos das velocidades das part???culas apo??s a colisa~o?

Exerc???cios Complementares 5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior dist^ancia poss???vel. No chute, o p??e do goleiro ?ca em contato com a bola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo a c) Qual o impulso da forc?©a do p??e do goleiro na bola?

6. (UEL-PR) Um pequeno caminha~o, de massa 4 toneladas, colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estava a 36 km/h, e logo apo??s a colisa~o, os dois ve???culos permanecem parados. Imediatamente antes da colisa~o, a velocidade do ca- minh~ao era, em m/s, de: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Mec^anica Aula 14 Lei da A?©c~ao e Rea?©c~ao Provavelmente voc^e j??a assistiu a um jogo de sinuca. Nele, ocorrem coliso~es entre as bolas. Durante essas coliso~es, ha?? uma reac?©a~o mu??tua, uma interac?©a~o, que ??e responsa??vel pela mudanc?©a na velocidade das bolas. Este mudanc?©a produz alterac?©a~o na Se durante o tempo de interac?©a~o ha?? variac?©a~o da quantidade de movimento, signi?ca que existe uma forc?©a atuando em cada bola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quem exerce essa Enquanto ocorre a interac?©a~o, cada bola exerce uma forc?©a sobre a outra. Em um parque de diverso~es, ocorre a mesma coisa com os carrinhos ÔÇ£bate-bateÔÇØ: cada carro exerce e recebe uma Figura 1.1: Nos choques, ha?? uma interac?©a~o, que provoca mu- danc?©a na velocidade das bolas.

Figura 1.2: Cada carro exerce e recebe uma forc?©a durante a colisa~o.

forc?©a durante a colisa~o. Sera?? que podemos a?rmar que isso Neste caso, durante a interac?©a~o entre o caminha~o e o carro, uma forc?©a de mesma intensidade atua sobre cada um deles, o Podemos a?rmar que o efeito causado sera?? diferente, uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e do caminha~o sa~o Isaac Newton estudou a interac?©a~o entre objetos. Ele formulou o princ???pio da ac?©~ao e reac?©~ao, ou lei da ac?©~ao e reac?©~ao, que posteriormente ?cou conhecida como terceira Lei de New- ton. De acordo com esta lei, as forc?©as resultantes da interac?©~ao entre dois objetos sempre aparecem aos pares, t^em mesmo m??odulo, mesma direc?©a~o, sentidos opostos e sa~o denominadas ac?©~ao e reac?©~ao: a forc?©a de ac?©a~o ??e aplicada num objeto e a de reac?©a~o, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma: Para toda ac?©~ao existe uma reac?©~ao, de igual intensidade, na mesma direc?©~ao e sentido contr??ario.

Meca^nica ÔÇô Aula 14 Figura 1.3: O carro aplica no caminha~o uma forc?©a resultante de mesma intensidade daquela que o caminha~o aplica no carro.

fora, exerce uma forc?©a sobre o ga??s (ac?©a~o) e, simultaneamente, recebe do ga??s uma forc?©a igual e oposta (reac?©a~o). Desta forma, podemos chamar a forc?©a do ga??s sobre o foguete de ÔÇ£ac?©a~oÔÇØe a do foguete sobre o ga??s de ÔÇ£reac?©a~oÔÇØ.

Figura 1.4: O avia~o empurra o ar para tra??s e este aplica uma forc?©a no avia~o que o empurra para frente.

Pense um Pouco! ?À Se ac?©a~o e reac?©a~o possuem a mesma intensidade e sentidos contr??arios, por que uma na~o anula o efeito da outra?

?À E?? poss???vel se caminhar sobre um cha~o sem atrito? Expli- que.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton ??e o princ???pio da ac?©a~o e reac?©a~o. Esse princ???pio descreve as forc?©as que participam na interac?©a~o entre dois corpos. Podemos a?rmar que: a) duas forc?©as iguais em m??odulo e de sentidos opostos sa~o b) enquanto a ac?©a~o esta?? aplicada num dos corpos, a reac?©a~o e) a reac?©a~o, em alguns casos, pode ser maior que a ac?©a~o.

2. (VUNESP - SP) As estat???sticas indicam que o uso do cinto de seguranc?©a deve ser obrigat??orio para prevenir leso~es mais 25

graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisi- camente, a func?©a~o do cinto esta?? relacionada com a: e) 1a Lei de Kepler.

3. Um lutador de boxe atinge o adversa??rio com um murro no a) Na interac?©a~o luva-rosto, quem exerce maior forc?©a, a luva b) Enta~o por que a m~ao do pugilista que aplica o golpe na~o sofre os mesmos ÔÇ£estragosÔÇØque o rosto do adversa??rio?

Exerc???cios Complementares 4. Um automo??vel bate contra um caminha~o, exercendo nele a) Qual o m??odulo da reac?©a~o desta forc?©a, sabendo-se que a c) Em que corpo esta?? aplicada a reac?©a~o?

5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiados sobre uma superf???cie horizontal perfeitamente lisa, sa~o empur- rados por uma forc?©a F de 20 N , conforme indica a ?gura abaixo. Determine a acelerac?©a~o do conjunto.

F A B 6. De que modo voc^e explica o movimento de um barco a remo, utilizando a terceira lei de Newton?

7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg esta~o interligados por um ?o ideal. A superf???cie de apoio ??e horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma forc?©a horizontal de 30 N . Determine: b) a forc?©a de trac?©a~o no ?o.

8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e ?echa dois concorrentes discutem sobre a f???sica que esta?? contida no arco do arqueiro. Surge enta~o a seguinte du??vida: quando o arco esta?? esticado, no momento do lanc?©amento da ?echa, a forc?©a exercida sobre a corda pela m~ao do arqueiro ??e igual `a: III) forc?©a exercida sobre a ?echa pela corda no momento em Neste caso: e) somente II ??e verdadeira.

Mec^anica Aula 15 For?©ca de Atrito Ao lanc?©armos um corpo sobre uma superf???cie horizontal, veri- ?camos que o corpo acaba parando.

v 12 Isto signi?ca que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquire Ha?? portanto uma forc?©a que se opo~e ao deslocamento do bloco: Sempre que a superf???cie de um corpo escorrega sobre a de outro corpo, um exerce sobre o outro (princ???pio da ac?©a~o e reac?©a~o) Deve-se notar que a forc?©a de atrito atuando sobre cada corpo tem sentido oposto ao movimento do corpo em relac?©a~o ao outro O atrito ??e provocado pela aspereza existente nas superf???cies em contato. As superf???cies tendem a se interpenetrarem quando sa~o esfregadas uma na outra e isto oferece resist^encia ao mo- vimento relativo.

Uma das hip??oteses mais aceitas para a exist^encia do atrito ??e que ele prov??em da coes~ao das mol??eculas situadas nas su- perf???cies que se acham em contato. Essa adesa~o super?cial ocorre porque nos pontos de contato as mol??eculas de cada su- perf???cie esta~o ta~o pr??oximas que passam a exercer forc?©as inter- A forc?©a de atrito que se opo~e a um corpo que rola ??e menor que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser reduzido com o polimento das superf???cies em contato e com o uso de lubri?cantes O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele pode ser u??til ou nocivo. Se na~o existisse o atrito entre o sapato e o solo, uma pessoa na~o poderia andar; o p??e da pessoa empurra a Terra para tr??as e a Terra empurra o p??e da pessoa para frente Sem o atrito os ve???culos na~o poderiam iniciar o seu movimento, pois, as rodas comec?©ariam a girar sem sair do lugar. O objetivo das sali^encias em pneus ??e aumentar o atrito.

Figura 1.1: Quando uma estrada de terra torna-se escorrega- dia, colocam-se correntes nas rodas dos automo??veis para au- mentar o atrito.

Tipos de Atrito Vamos estudar estes dois casos separadamente, pois existem diferenc?©as importantes a serem ressaltadas.

Forc?©as de Atrito Est??atico (FAE ) Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre su- perf???cies em repouso. Um exemplo comum ??e o de um au- tomo??vel estacionado em uma ladeira. Este so?? consegue per- manecer parado grac?©as ao atrito entre os freios e as rodas. Em situac?©o~es como esta, dizemos que existe a chamada forc?©a de atrito esta??tico (FAE ). A forc?©a de atrito esta??tico ??e aquela que atua enquanto na~o ha?? deslizamento, e o seu m??odulo m??aximo ??e dado por: FAE ? ?Áe ?À N Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes propri- edades gerais para o atrito esta??tico: ?À a intensidade da forc?©a de atrito esta??tico varia de zero at??e o valor m??aximo FAE ;

Meca^nica ÔÇô Aula 15 ?À o coe?ciente de atrito esta??tico (?Áe) depende do estado de polimento e da natureza das duas superf???cies em contato;

?À a intensidade da forc?©a de atrito esta??tico ??e independente da ??area de contato entre as superf???cies so??lidas.

Forc?©as de Atrito Cin??etico (FAC ) Quando um carro ??e freado inesperadamente, ??e comum as rodas do automo??vel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. Anti- gamente isso era ainda mais frequ?¿ente, mas hoje, nos ve???culos equipados com os chamados freios ABS, as rodas na~o travam O ABS (Antiblocking System) ??e um avanc?©ado sistema de freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadas bruscas em velocidade. Sensores ?xados a cada uma das rodas enviam sinais eletro^nicos para um m??odulo de comando compu- tadorizado que reduz, em frac?©o~es de segundo, a pressa~o sobre as rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade de derrapar ou deslizar, at??e em pistas molhadas. Mas, qual a Analise a ?gura a seguir; ela mostra o deslizamento entre duas superf???cies.

Corpo Chao As irregularidades microsc??opicas apresentadas pelas su- perf???cies fazem com que a movimentac?©a~o do bloco sofra uma resist^encia denominada forc?©a de atrito cin??etico. Obviamente, quanto maior a aspereza das superf???cies, maior a intensidade dessa forc?©a. Para medir a rugosidade das partes em contato criou-se o coe?ciente de atrito cin??etico (?Ác). Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quantidade de materiais, ??e muito dif???cil conhec^e-los com precis~ao, pois dependem das condic?©o~es das superf???cies em contato. Na~o sa~o apenas os mate- riais das superf???cies em contato que interferem no valor da forc?©a de atrito cin??etico. A forc?©a normal entre os corpos tamb??em ??e de fundamental importa^ncia. Quanto maior a forc?©a normal mais O m??odulo da forc?©a de atrito cin??etico ??e dado pela expressa~o: FAC = ?Ác ?À N Na pr??atica o coe?ciente de atrito esta??tico ??e sempre maior que o coe?ciente de atrito cin??etico.

Pense um Pouco! 2. Por que o gelo ??e muito deslizante e quase na~o apresenta atrito?

27 3. A m??axima acelerac?©a~o de um carro depende de alguma Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. (UFES) O bloco da ?gura esta?? em movimento em uma superf???cie horizontal em virtude da aplicac?©a~o de uma forc?©a F paralela `a superf???cie: F = 60,0 N m =2,0 kg

O coe?ciente de atrito cin??etico entre o bloco e a superf???cie ??e igual a 0, 2. A acelerac?©a~o do objeto ??e: (Dado g = 10 m/s2.) e) 36, 0 m/s2.

2. (UFMG) Um bloco ??e lanc?©ado no ponto A, sobre uma su- perf???cie horizontal com atrito, e desloca-se para C: B

AC O diagrama que melhor representa as forc?©as que atuam sobre o bloco quando esse bloco esta?? passando pelo ponto B ??e:

a)d) b)e) c) 3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3, 0 kg, esta?? em movimento uniforme. A massa do corpo B ??e de 10 kg. Adote g = 10 m/s2.

B A O coe?ciente de atrito dina^mico entre o corpo B e o plano sobre o qual se apo??ia vale: a) 0,15 b) 0,30 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70

Exerc???cios Complementares 4. (Fuvest-SP) As duas forc?©as que agem sobre uma gota de chuva, a forc?©a peso e a forc?©a devida `a resist^encia do ar, t^em mesma direc?©a~o e sentidos opostos. A partir da altura de 125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidade de 8 m/s, essas duas forc?©as passam a ter mesmo m??odulo. A gota atinge o solo com a velocidade de: a) 8 m/s b) 35 m/s c) 42 m/s d) 50 m/s e) 58 m/s 5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na ?gura a seguir, onde as polias sa~o ideais, permanece em repouso grac?©a??s `a for?©ca de atrito entre o corpo de 10 kg e a superf???cie de apoio.

10 kg 4 kg 6 kg

Podemos a?rmar que o valor da forc?©a de atrito ??e: a) 20 N b) 10 N c) 100 N d) 60 N e) 40 N

6. (UFMG) Na ?gura a seguir, esta?? representado um bloco de 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma forc?©a F . O coe?ciente de atrito esta??tico entre esses corpos vale 0, 5, e o cin??etico vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2.

F Se F = 50 N , enta~o a reac?©a~o normal e a forc?©a de atrito que atuam sobre o bloco valem, respectivamente: e) 70 N e 35 N .

Gravitac?©a~o ÔÇô Aula 1 Gravita?©c~ao Aula 1 As Leis de Kepler A Lei das O?? rbitas (1609) A ??orbita de cada planeta ??e uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como consequ?¿^encia da ??orbita ser el???ptica, a dist^ancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ??orbita.

Lembre-se, a elipse ??e uma linha plana, com focos no seu mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorre sobre um plano bem de?nido, e cada planeta tem o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menos Planeta

Sol f f' A Lei da A?? reas (1609) A reta unindo o planeta ao Sol varre ??areas iguais em tempos iguais. O signi?cado f???sico desta lei ??e que a velocidade orbital na~o ??e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta esta?? do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a ??area) ??e constante.

v' Planeta A' Sol Af v 29 A Lei dos Per???odos (1618) O quadrado do per???odo orbital dos planetas ??e dire- tamente proporcional ao cubo de sua dist^ancia m??edia ao Sol.

Esta lei estabelece que planetas com ??orbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que Sendo P o per???odo orbital do planeta, a o semi-eixo maior da ??orbita, que ??e igual `a dist^ancia m??edia do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar a 3a lei como: P2 =K a3 Se medimos P em anos (o per???odo orbital da Terra), e a em unidades astrono^micas (1 u.a. = dist^ancia m??edia da Terra ao Sol), enta~o K = 1, e podemos escrever a 3a lei como: P2 =1 a3 e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.) o per???odo orbital (ano) sera?? menor do que o ano terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o per???odo ??e maior do que o terrestre.

Pense um Pouco! ?À Se um novo planeta for descoberto a meia dist^ancia entre o Sol e a Terra, qual o seu per???odo orbital.

?À Um sat??elite em ??orbita na Terra, passando pelo ponto mais pr??oximo da Terra, esta?? mais ra??pido ou mais lento se com- parado ao ponto em que esta?? mais afastado da Terra?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. A tabela abaixo mostra como ?ca a 3a Lei de Kepler para os planetas vis???veis a olho nu??. Complete os dados que esta~o Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P 2 Mercu??rio 0,387 0,241 0,058 0,058 V^enus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 Ju??piter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitac?©a~o Universal (lei das ??orbitas): a) As ??orbitas planeta??rias sa~o curvas quaisquer, desde que fe- d) As ??orbitas planeta??rias sa~o el???pticas, com o Sol ocupando o e) As ??orbitas planeta??rias sa~o el???pticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse.

4. Assinale a alternativa que esta?? em desacordo com as Leis de Kepler da Gravitac?©a~o Universal: a) O quociente do cubo do raio m??edio da ??orbita pelo quadrado do per???odo de revoluc?©a~o ??e constante para qualquer planeta de b) quadruplicando-se o raio m??edio da ??orbita de um sat??elite em c) Quanto mais pr??oximo de uma estrela (menor raio m??edio da ??orbita) gravita um planeta, menor ??e o seu per???odo de re- d) Sat??elites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesma e) Devido `a sua maior dist^ancia do Sol (maior raio m??edio da ??orbita) o ano de Pluta~o tem durac?©a~o menor que o da Terra.

Exerc???cios Complementares 5. Com relac?©a~o `as leis de Kepler, podemos a?rmar que: a) Na~o se aplicam ao estudo da gravitac?©a~o da Lua em torno c) aplicam-se a` gravitac?©a~o de quaisquer corpos em torno de e) na~o prev^eem a possibilidade da exist^encia de ??orbitas circu- lares.

6. Considere dois sat??elites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb, descrevendo a mesma ??orbita em torno da Terra. Com relac?©a~o `a velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb/2 e) n.r.a O ponto A ??e o ponto da ??orbita mais pr??oximo do Sol; o ponto B ??e o ponto mais distante. No ponto A: e) n.r.a

Gravita?©c~ao Aula 2 Gravita?©c~ao Universal A lei da gravitac?©~ao universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interac?©a~o en- tre massas, pois ??e capaz de explicar desde o mais simples feno^meno, como a queda de um corpo pr??oximo `a superf???cie da Terra, at??e, o mais complexo, como as forc?©as trocadas entre corpos celestes, traduzindo com ?delidade suas ??orbitas e os di- ferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma mac?©a, concebeu a id??eia que ela seria causada pela atrac?©a~o exercida pela terra. A natureza desta forc?©a atra- tiva ??e a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atrac?©a~o entre as massas ??e, com certeza, um feno^meno universal.

Uma For?©ca Elementar Sejam duas part???culas de massas m1 e m2, separadas por uma dist^ancia r. Segundo Newton, a intensidade da forc?©a F de atrac?©a~o entre as massas ??e dada por m1m2 F=G r2 onde G ??e uma constante, a constante da gravitac?©a~o universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 ?ù 10-11 N ?À m2/kg2

F 21 m 2 F 12 m 1 Figura 1.1: Duas part???culas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de forc?©as F12 e F21.

As forc?©as F12 e F21 ??e a da reta que une as part???culas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de forc?©a, ou seja F12 = F21

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitac?©a~o universal do se- guinte modo: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forc?©a cuja intensidade ??e diretamente proporcional ao pro- duto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da dist^ancia entre seus centros de massa.

Gravitac?©a~o ÔÇô Aula 3 onde RT e MT sa~o o raio e a massa da Terra, respectivamente, Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 ?ù 1024 kg e RT = 6, 37 ?ù 106 m. A constante g que aparece acima ??e justamente a acelerac?©a~o da gravidade na superf???cie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos!

OBSERVAC?© O~ ES 2. A forc?©a gravitacional na~o depende do meio onde os corpos se encontram imersos;

3. A constante da gravitac?©a~o universal G teve seu valor de- terminado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balanc?©a de torc?©a~o e esferas de chumbo.

Pense um Pouco! ?À Qual a direc?©a~o e o sentido da forc?©a de atrac?©a~o gravitacio- nal exercida pela Terra sobre os corpos que esta~o pr??oximos `a superf???cie?

?À A acelerac?©a~o da gravidade na Lua ??e 6 vezes menor do que O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua?

?À O valor da acelerac?©a~o da gravidade ??e relevante para os Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. Duas part???culas de massas respectivamente iguais a M e m esta~o no v??acuo, separadas por uma dist^ancia d. A respeito das forc?©as de interac?©a~o gravitacional entre as part???culas, podemos a?rmar que: b) t^em intensidades diretamente proporcional ao produto e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.

2. A raza~o entre os di^ametros dos planetas Marte e Terra ??e 1/2 e entre as respectivas massas ??e 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte sera?? de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf???cie da Terra, onde se adota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada at??e uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N 31

c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N 4. Um corpo ??e colocado na superf???cie terrestre ??e atra???do por esta com uma forc?©a F . O mesmo corpo colocado na superf???cie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor sera?? atra???do pelo planeta com uma forc?©a cujo m??odulo ??e: a) 4F b) 2F c) F d) F/2 e) F/4

Exerc???cios Complementares 5. Se a massa da Terra na~o se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido `a metade, o nosso peso seria: a) reduzido `a quarta parte b) reduzido `a metade c) o mesmo d) dobrado e) quadruplicado 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em ??orbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a cons- tante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajet??oria descrita pelo corpo sera??: a) G/M v2 b) G/mv2 c) Gm/v2 d) GM/v2 e) GM m/v2 7. Sabe-se que no interior de uma nave em ??orbita circular em torno da Terra um astronauta pode ?utuar, como se na~o ti- vesse peso. Esse fato ocorre porque: c) a atrac?©a~o exercida pela Lua ??e maior do que a atrac?©a~o exer- d) ambos, astronauta e nave, esta~o em queda livre no seu mo- e) ha?? uma reduc?©a~o na massa dos corpos.

Gravita?©c~ao Aula 3 Peso O peso de um corpo ??e a forc?©a de atrac?©a~o exercida pela terra sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que ??e atra???do Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superf???cie da Terra.

Unidades SI Peso e Massa Se o corpo cai em queda livre ele possui acelerac?©a~o a igual `a da gravidade g. Desta forma, podemos usar o princ???pio fun- damental da Dina^mica (2a Lei de Newton) para obter a forc?©a que age sobre esse corpo. Esta forc?©a ??e chamada de forc?©a peso P e ??e dada por: P = mg

Essa expressa~o mostra que o peso do corpo ??e diretamente pro- Massa ??e uma propriedade intr???nseca do corpo, isto ??e, depende apenas do pr??oprio corpo, enquanto peso ??e a forc?©a de atrac?©a~o gravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o va- lor da acelerac?©a~o da gravidade. Por isso o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, ??e sempre a mesma em qualquer lugar do universo.

Peso e Gravita?©c~ao O peso de um corpo ??e uma grandeza vetorial que tem direc?©a~o A forc?©a peso ??e uma forc?©a que atua `a dist^ancia. Por isso, di- zemos que em torno da Terra ha?? uma regi~ao chamada campo Estando sob a ac?©a~o deste campo, os corpos sa~o atra???dos por essa forc?©a peso e sofrem variac?©o~es de velocidade, uma vez que Como a acelerac?©a~o da gravidade num ponto ??e inversamente proporcional ao quadrado da dist^ancia desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf???cie na~o esta~o `a mesma dist^ancia ao centro da terra, conclu???mos que no topo de uma montanha um corpo pesar??a menos do que ao n???vel do mar. E?? importante lembrar que existem variac?©o~es que v~ao desde 393 m abaixo do n???vel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do n???vel Como a Terra ??e achatada nos po??los, um homem pesar??a mais Em torno de qualquer planeta ou sat??elite existe um campo gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em Ju??piter, Saturno ou Marte, por exemplo.

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) ??e o new- ton ou N . Outra unidade, muito utilizada na indu??stria, ??e o quilograma-for?©ca ou kgf .

1 kgf ??e o peso de um corpo de 1 kg de massa num local em que a acelerac?©~ao da gravidade ??e igual a 9, 8 m/s2.

Podemos relacionar newton e quilograma-for?©ca: P = mg ? 1 kgf = 1kg ?À 9, 8 m/s2 1 kgf = 9, 8 kg ?À m/s2 1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco! ?À Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra?

?À Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acontece Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. Na superf???cie da Terra a acelerac?©a~o da gravidade vale 9, 8 m/s2 e, na superf???cie da Lua, 1, 6 m/s2. Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: b) o peso na superf???cie da Lua.

2. Peso e massa sa~o a mesma coisa? quando voc^e sobe numa balanc?©a de uma farm??acia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, voc^e esta medindo sua massa ou seu peso?

Gravitac?©a~o ÔÇô Aula 4 ÔÇ£bola ?utuanteÔÇØ. Considerando totalmente desprez???vel a gra- vidade no local dessa experi^encia, duas ÔÇ£bolasÔÇØde leite de mas- sas respectivamente iguais a m e 2m tera~o seus pesos: a) iguais a zero b) na proporc?©a~o PA/PB = 1/3 c) na proporc?©a~o PA/PB = 1/2 d) na proporc?©a~o PA/PB = 2 e) na proporc?©a~o PA/PB = 3 4. (UFSM - RS) Uma forc?©a F de m??odulo igual a 20 N ??e aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em repouso sobre uma superf???cie horizontal. O m??odulo (em N ) da forc?©a normal sobre o corpo, considerando o m??odulo da acelerac?©a~o gravitacional como 10 m/s2 ??e: a) 120 b) 100 c) 90 d) 80 e) 0 5. Durante uma brincadeira, B??arbara arremessa uma bola de v^olei verticalmente para cima, como mostrado nesta ?gura: 33

para uma altitude onde a acelerac?©a~o da gravidade vale G, pergunta-se: c) qual sera?? a massa do corpo no novo local?

7. A acelerac?©a~o da gravidade na superf???cie de Ju??piter ??e de 30 m/s2. Qual a massa de um corpo que na superf???cie de Ju??piter pesa 120 N ?.

Gravita?©c~ao Aula 4 Centro de Gravidade Os corpos materiais podem ser considerados como um sistema de part???culas, cada uma das quais atra???da pela Terra com uma forc?©a igual ao peso da part???cula.

P 1 P 2 P 4G P 3 P A resultante de todas essas forc?©as parciais ??e o peso total do corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado todo o peso do corpo. O ponto G ??e denominado centro de gravidade do corpo. Resumindo, temos: centro de gravidade de um corpo ??e o ponto de aplicac?©~ao da forc?©a peso

Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s) forc?©a(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua tra- jet??oria.

a) b) c) d) Nenhuma for?ºa atua sobre a bola neste ponto 6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padra~o for transportado de Paris, onde a acelerac?©a~o da gravidade vale g (valor normal), A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse locali- Para corpos homog^eneos, isto ??e, de massa uniformemente dis- tribu???da, que admitem um eixo de simetria, seus centros de gravidade esta~o sobre esse eixo.

G P G P G P Se o corpo tiver forma irregular e na~o for homog^eneo, utiliza-se Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, trac?©a-se um vertical sobre o ponto em que ele esta?? suspenso. Como o objeto esta?? em equil???brio, seu peso e a forc?©a exercida sobre ele pelo suporte que o sustenta t^em mesmo m??odulo, mesma direc?©a~o e sentidos opostos. Logo, a direc?©a~o da reta que cont??em o centro de gra- vidade ??e essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outro ponto e trac?©a-se uma nova vertical; a intersecc?©a~o dessa vertical com a anterior determina o centro de gravidade (CG).

T CG P T CG P Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a de?nic?©a~o de Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Join- ville `a Blumenau. O comprimento do carro ??e muito pequeno se comparado com a dist^ancia Jvlle - Bnu, ? 90 km, e suas dimens~oes, enta~o, na~o precisar~ao ser consideradas ao analisar- mos o seu movimento. Em situac?©o~es como essa, nas quais o objeto apresenta dimens~oes consideradas desprez???veis, diante do feno^meno observado, podemos considera??-lo como um ponto No caso do movimento de um ^onibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, ??e necessa??rio que levemos em conta as suas E ele estara?? se comportando como um corpo extenso.

Equil???brio de um Ponto Material Um ponto material pode estar em equil???brio est??atico ou din^amico. No equil???brio esta??tico, o ponto material esta?? em repouso (v = 0). No equil???brio din^amico o ponto material esta?? em movimento retil???neo uniforme (v = constante = 0).

Analisando os dois tipos de equil???brio, notas uma semelhanc?©a: em ambos a acelerac?©a~o ??e nula (a = 0). Utilizando a Segunda Lei de Newton, temos FR = m ?À a FR = m ?À 0 FR = 0

Assim, conclu???mos que Para que um ponto material esteja em equil???brio ??e necess??ario e su?ciente que a re- sultante de todas as forc?©as que nele agem seja nula.

Momento de uma For?©ca Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma chave.

Utilizando forc?©as de mesmo valor, sera?? mais f??acil girar a porca em torno de seu centro O se a forc?©a aplicada no ponto A, ao inv??es de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a dista^ncia do ponto de aplicac?©a~o da forc?©a at??e o centro O da porca, maior O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se exer- cemos a forc?©a em A a facilidade ??e maior do que se exercermos a forc?©a em B.

Consideramos que o eixo de rotac?©a~o ??e o que cont??em as do- Analisando os casos anteriores, notamos que ha?? uma relac?©~ao entre a forc?©a aplicada e a dist^ancia do ponto de aplicac?©a~o dessa A grandeza f???sica que relaciona essas duas grandezas ??e cha- mada momento de uma forc?©a ou torque.

O momento de uma forc?©a ??e a capacidade dessa Para de?nirmos a grandeza momento, consideremos uma forc?©a F e um ponto O, chamado po??lo.

Gravitac?©a~o ÔÇô Aula 4 Unidade SI A unidade de momento na~o tem nome espec????co. Ela ??e dada pelo produto da unidade da forc?©a, em newtons, pela unidade de dist^ancia, em metro. Portanto a unidade de momento ??e Observac?©~ao Sabemos que o produto N ?À m ??e chamado de joule J . En- tretanto, o joule na~o ??e uma unidade utilizada para medir o momento de uma forc?©a, porque momento ??e uma grandeza de natureza diferente de trabalho e energia.

Direc?©~ao e Sentido A partir do sentido de rotac?©a~o (hora??rio ou anti-hor??ario) que uma ou mais forc?©as tendem a produzir, podemos determinar a direc?©a~o e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas, ao girar, produz efeitos contr??arios: no sentido hora??rio, entra na rolha (avanc?©a verticalmente para baixo); no sentido anti- hora??rio, sai dela (retorna verticalmente para cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide com o sentido do vetor momento (MF,O), e sua direc?©a~o esta?? sempre paralela ao eixo de rotac?©a~o.

35 eixo de rota?ºao Figura 1.2: Regra da ma~o direita: o vetor indica o sentido do momento. A dire?©ca~o ??e sempre paralela ao eixo de rotac?©a~o do objeto.

Outra maneira pr??atica de determinar a direc?©a~o e o sentido do vetor torque ??e utilizar a regra da m~ao direita. Os quatro dedos dessa m~ao devem acompanhar o sentido da rotac?©a~o do objeto. O polegar indicar??a a direc?©a~o e o sentido do vetor mo- O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a se- guinte conversa~o: rotac?©a~o no sentido anti-hor??ario ? momento positivo rotac?©a~o no sentido hora??rio ? momento negativo

Equil???brio de um Corpo Extenso As condic?©o~es necessa??rias e su?cientes para que um corpo se mantenha em equil???brio sa~o: 1. A resultante de todas as forc?©as que nele agem seja nula.

2. A soma alg??ebrica dos momentos de todas as forc?©as que nele atuam, em relac?©~ao ao mesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco! Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Uma lumina??ria cujo peso ??e 100 N esta?? suspensa por duas cordas, AC e BC, conforme indica a ?gura. Determine a forc?©a de trac?©a~o em cada corda.

A 60 o 30 o B C 2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a ?gura. Considerando as polias e os ?os ideais e tomando g = 10 m/s2: a) mostre em um diagrama todas as forc?©as que agem no bloco A.

b) sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema ??e 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.

60 o B C A 6. A barra AB da ?gura tem peso desprez???vel. Sabendo que F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante dessas forc?©as em relac?©a~o aos pontos: a) A b) B c) C

Exerc???cios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, esta?? sobre uma ta??bua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, Desprezando os pesos da ta??bua e da vara de pescar e conside- rando g = 10 m/s2, determine a intensidade das reac?©o~es nos apoios A e B.

4. (UFMT) A barra xy ??e homog^enea, de 100 kg de massa, e esta?? apoiada em suas extremidades, suportando as massas de (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2).

3,0 m 0,5 m 0,5 m

O?? tica ÔÇô Aula 1 O?? tica Aula 1 O?? tica A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F???sica elementar, Desta forma, pode-se enta~o exempli?car as ondas ele- tromagn??eticas de maior importa^ncia nas pesquisas e nas aplicac?©o~es pr??aticas, em func?©a~o do comprimento de onda (pro- priedade que fornece uma das principais caracter???sticas da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas (faixa de 1 at??e 400 mm), o espectro de luz vis???vel (faixa de 400 at??e 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm at??e 1 mm) e faixas de radiofrequ?¿^encia que variam de 20 cm at??e Todas as ondas eletromagn??eticas se propagam no v??acuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 ?ù 108 m/s (velocidade da luz).

Re?ex~ao da Luz Quando a luz atinge uma superf???cie separadora S de dois meios de propagac?©a~o (A e B), ela sofrera?? re?exa~o se retornar ao meio A quantidade de luz re?etida depende do material que ??e feita a superf???cie S, do seu polimento entre outros fatores.

Tipos de Re?ex~ao Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma su- perf???cie. Ocorrer??a re?exa~o especular ou regular se os raios re?etidos forem tamb??em paralelos entre si. Em caso contr??ario, A re?exa~o regular sera?? predominante quando a superf???cie re- E?? a difusa~o (ou espalhamento) da luz, pelo pr??oprio ar, pela poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente iluminado.

Leis da Re?ex~ao 1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz re?etido e a reta normal `a superf???cie pelo ponto de incid^encia da luz esta~o num Temos: r = ^angulo de re?exa~o.

i=r N raio incidente i 37 raio refletido r superf?¡cie refletora plana

Espelho Plano Espelho plano ??e a superf???cie plana polida onde ocorre predo- minantemente a re?exa~o da luz.

Formac?©~ao de Imagens nos Espelhos Planos Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as direc?©o~es, conforme indica a ?gura.

espelho plano eixo otico objeto real imagem virtual o i

Repare que a parte de tr??as do espelho (a` direita neste exemplo) ??e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada ??e fruto do prolongamento dos raios re?etidos, isso caracteriza uma ima- gem virtual.

Propriedades dos Espelhos Planos 1. Se chamarmos de x `a dist^ancia do objeto ao espelho, a dist^ancia entre o espelho e a imagem sera?? tamb??em x. Isto signi?ca que o objeto e a imagem sa~o sim??etricos em relac?©a~o ao espelho.

2. As imagens formadas num espelho plano sa~o enantio- morfas, ou seja, existe uma inversa~o ÔÇØdireita para a es- querdaÔÇØ, mas na~o de ÔÇØbaixo para cimaÔÇØ. Assim a imagem especular da m~ao esquerda ??e a m~ao direita, mas a imagem dos p??es na~o esta?? na cabec?©a.

lho (virtual). Logo, o objeto e a imagem sa~o de naturezas 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem pos- suem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo ao espelho, possuir~ao iguais velocidades.

Campo Visual Campo Visual de um espelho plano ??e a regi~ao do espac?©o que Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O?, Veja a ?gura. [?g:ot013] O O'

campo visual E Figura 1.3: Pense um Pouco! 3. Por que as ambul^ancias geralmente trazem escrito na frente ?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. A estrela Vega esta?? situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz ??e a dist^ancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine a ordem de grandeza da dist^ancia de Vega at??e a Terra, em metros.

2. Um observador nota que um edif???cio projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um muro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determine a altura do edif???cio.

3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de di^ametro. Sabendo que a dist^ancia da fonte ao disco ??e 1/3 da dist^ancia deste ao anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo sa~o paralelos, determine o raio da sombra projetada sobre o anteparo.

Exerc???cios Complementares Determine o ^angulo formado entre o raio incidente e o espelho, sabendo que o ^angulo formado entre o raio incidente e o raio re?etido ??e igual a 700.

5. Um rapaz esta?? sentado na cadeira de uma barbearia de frente para um espelho plano, tendo atra??s de si o barbeiro em p??e. A dist^ancia entre o rapaz e o espelho ??e D e entre o rapaz e o barbeiro ??e d. Qual ??e a dist^ancia x (horizontal) entre o rapaz e a imagem do barbeiro ?

6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ?cou comple- tamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espe- lho de seu arm??ario, vestindo uma blusa onde havia seu nome escrito, viu a imagem de seu nome re?etida, desenhe essa ima- gem?

O?? tica Aula 2 Espelhos Esf??ericos Os espelhos esf??ericos sa~o superf???cies re?etoras que tem forma Calota Esferica

V C Temos dois tipos de espelho esf??erico: Esquematicamente: Temos: F = Foco do Espelho (ponto m??edio do eixo principal no trecho A = reta que passa por C e V ??e o eixo ??optico principal.

O?? tica ÔÇô Aula 2 C??ncavo Convexo N i

r eixo ??tico CFVVFC r N i Condi?©c~oes de Nitidez de Gauss ?À Os raios de luz devem ser pouco inclinados em relac?©a~o ao eixo ??optico principal;

?À os raios de luz devem incidir pr??oximos ao v??ertice do espe- lho;

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espe- lhos esf??ericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as condic?©o~es de Gauss.

Raios Not??aveis de Luz Os Raios Nota??veis na~o sa~o os u??nicos que ocorrem num sistema ??optico, mas como o pr??oprio nome diz, eles se destacam dos outros pela facilidade de trac?©a??-los. Nosso objetivo sera?? desenhar pelo menos dois deles em cada situac?©a~o. Vejamos quais sa~o estes raios: 1. Todo raio que incide numa direc?©~ao que passa pelo centro de curvatura, re?ete-se sobre si mesmo.

C F V eixo ??tico VFC

(a) (b) Figura 1.3: Raio nota??vel passando pelo centro de curvatura C de um espelho esf??ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal re?ete-se numa direc?©~ao que passa pelo foco principal 3. Todo raio que incide numa direc?©~ao que passa pelo foco re?ete-se paralelamente ao eixo principal.

Importante Forma?©c~ao de Imagens Para formarmos imagens, basta trac?©armos dois raios quaisquer de luz entre os nota??veis que acabamos de aprender. Usaremos 39

C F V eixo ??tico VFC

(a) (b) Figura 1.4: Raio nota??vel incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esf??ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

C F V eixo ??tico VFC

(a) (b) Figura 1.5: Raio nota??vel passando pelo foco F de um espelho esf??ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

a notac?©a~o i e O signi?cando, respectivamente, a medida da Espelho C^oncavo (1) Objeto situado antes do centro de curvatura C:

C F V eixo ??tico

(2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C: (3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F : Imagem: Real, Invertida e Maior.

(4) Objeto situado sobre o foco F : (5) Objeto situado entre o foco F e o v??ertice: Imagem:Virtual, Direita e Maior.

C F V eixo ??tico

C F V eixo ??tico

Espelho Convexo Neste caso temos apenas um caso: Observac?©~ao O espelho convexo ??e usado como espelho retrovisor de motocicletas e em portas de garagens devido ao maior campo visual que oferece.

Concluso~es: ?À Uma imagem real esta?? localizada na frente do espelho e podera?? ser projetada sobre um anteparo (uma tela) colo- cada na posic?©a~o em que ela se forma, pois ??e constitu???da pela intersecc?©a~o dos pr??oprios raios de luz;

?À Uma imagem virtual esta?? localizada atra??s do espelho e, embora possa ser visualizada, na~o ??e constitu???da por luz e, sim pelos prolongamentos dos raios.

Determina?©c~ao Anal???tica da Imagem Agora procuraremos expressar de forma matem??atica algumas expresso~es que nos permita determinar a posic?©a~o e o tamanho Equac?©~ao Conjugada de Gauss 111 =+ f p p? Temos que a dist^ancia focal f ??e dada por: f=R 2 C F V eixo ??tico

C F V eixo ??tico

Aumento Linear Transversal Por de?nic?©a~o, o aumento linear transversal A ??e a raza~o entre a altura da imagem i e a altura do objeto o.

i P? A= = OP Convenc?©~ao de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p? > 0 Virtual p? < 0 Espelho C^onc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h? Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por qu^e?

2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que sa~o espelhos 3. Por que os caminho~es e ^onibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Um objeto real de altura 5 cm esta?? a 3 m diante de um espelho esf??erico co^ncavo, de dist^ancia focal 1 m.

O?? tica ÔÇô Aula 3 eixo ??tico VFC b) Determine, analiticamente, a posic?©a~o e o tamanho da ima- gem.

2. Diante de um espelho esf??erico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, ??e colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: b) o tamanho da imagem.

3. Mediante a utilizac?©a~o de um espelho esf??erico co^ncavo, de dist^ancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem tr^es vezes maior que o objeto. Determine: b) a posic?©a~o da imagem.

Exerc???cios Complementares 4. Um espelho esf??erico fornece, de um objeto real, uma ima- gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo que a dist^ancia do objeto ao espelho ??e de 60 cm, determine: b) a dist^ancia focal do espelho.

5. Deseja-se obter a imagem de uma la^mpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de dist^ancia. Quais as caracter???sticas e a posic?©a~o do espelho esf??erico que se pode utilizar ? Ele dever??a ser: e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da la^mpada;

6. Mediante a utilizac?©a~o de um espelho esf??erico co^ncavo, de dist^ancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: b) a posic?©a~o da imagem.

O?? tica Aula 3 41 Refra?©c~ao da Luz A velocidade de uma dada luz monocroma??tica assume valores diferentes em diferentes meios de propagac?©a~o tais como: v??acuo, A luz sofre refrac?©a~o quando passa de um meio para outro, mo- di?cando sua velocidade. Em geral, a refrac?©a~o ??e acompanhada por um desvio na trajet??oria da luz, consequ?¿^encia da mudanc?©a de velocidade. O u??nico caso de refrac?©a~o no qual a luz na~o so- fre desvio ??e quando incide perpendicularmente `a superf???cie de separac?©a~o dos meios S.

N meio A meio B S meio A meio B S Figura 1.2: Raio entrando perpendicular a superf???cie S, sem desvio de sua trajeto??ria.

Dioptro Plano Os dois meios de propagac?©a~o, A e B, e a superf???cie de separac?©a~o Nos dioptros reais, o feno^meno da refrac?©a~o ??e acompanhado pela re?exa~o da luz. Assim, o raio de luz incidente na superf???cie S E?? importante tamb??em dizer que ocorre em S o feno^meno da absorc?©a~o da luz, onde parcela da energia luminosa ??e transfor- No dioptro ideal s??o ocorre refrac?©~ao da luz.

raio incidente raio N refletido meio A meio B raio refratado S

??Indice de Refra?©c~ao Absoluto Seja c a velocidade da luz no v??acuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, de?nimos ???ndice de refrac?©a~o absoluto n de um meio a raza~o entre as velocidades da luz no v??acuo e no meio considerado: c n= v O ???ndice de refrac?©a~o absoluto do v??acuo ??e naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no v??acuo ??e uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela sera?? inferior: v < c =? n > 1

Conclus~oes 1. O ???ndice de refrac?©a~o absoluto de qualquer meio material ??e sempre maior que 1;

2. Quanto maior for o ???ndice de refrac?©a~o absoluto do meio, menor ??e a velocidade da luz nesse meio.

??Indice de Refra?©c~ao Relativo Se nA e nB sa~o, respectivamente, os ???ndices de refrac?©a~o absolu- tos dos meios A e B para uma dada luz monocroma??tica, enta~o de?nimos o ???ndice de refrac?©a~o relativo do meio A em relac?©a~o ao meio B, nA,B como sendo a raza~o dos ???ndices de refrac?©a~o absolutos do meio A e B: nA nA,B = nB

Leis de Refra?©c~ao Considerando um raio de luz monocroma??tico incidente numa superf???cie separadora de dois meios de propagac?©a~o e o cor- respondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal `a r = ^angulo de refrac?©a~o.

N i meio A meio B r S Figura 1.4: Raio entrando perpendicular a superf???cie S, sem desvio em sua trajeto??ria.

As Leis ?À 1a Lei: O raio de luz incidente RI , a reta normal N e o raio de luz refratado RR esta~o situados num mesmo plano, ou seja, sa~o coplanares. E?? importante notar que os raios de luz incidente e refratado ?cam em lados opostos em relac?©a~o `a reta normal;

?À 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: ÔÇ£E?? constante a relac?©a~o Podemos escrever que: sen(i) = constante sen(r) e essa constante ??e o ???ndice de refrac?©a~o relativo do meio B em relac?©a~o ao meio A, assim: sen(i) nA = sen(r) nB ou: Lei de Snell-Descartes nAsen(i) = nBsen(r)

Podemos concluir que: ÔÇô Quando a luz passa de um meio menos refringente (me- nor ???ndice de refrac?©a~o) para um meio mais refringente (maior ???ndice de refrac?©a~o), o raio de luz se aproxima da ÔÇô Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propagac?©a~o da luz aumenta.

1.0.1 Pense um pouco! 1. Se voc^e v^e um peixe sob a superf???cie da ??agua e tenta acerta??-lo com uma ?echa, mirando a imagem do peixe, provavelmente na~o ira?? captura??-lo. Explique.

O?? tica ÔÇô Aula 4 43

N i meio A meio B r S N i meio C meio D r A B S Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. Passando do v??acuo para o interior de um certo meio trans- parente, o valor da velocidade de propagac?©a~o de uma luz mo- nocroma??tica diminui de 20%. Determine o ???ndice de refrac?©a~o absoluto do meio para essa luz monocroma??tica.

2. A velocidade de propagac?©a~o da luz em certo l???quido mede 1/2 da velocidade de propagac?©a~o da luz no v??acuo. Determine o ???ndice de refrac?©a~o absoluto do l???quido.

Determine: b) a relac?©a~o entre a velocidade de propagac?©a~o da luz no vidro c) comente os resultados obtidos.

Exerc???cios Complementares 4. Sob um ^angulo de incid^encia de 60?, faz-se incidir sobre uma superf???cie de um material transparente um raio de luz monocroma??tica. Observa-se que o raio refratado ??e perpendi- (O 1o meio onde a luz se propaga ??e o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posic?©a~o adequada, pode no m??aximo ver o canto do recipiente, como representado na ?gura abaixo. Enchendo o recipiente com um l???quido, o observador passa a ver a moeda que esta?? colocada no centro:

1m 1m ? Qual o ???ndice de refrac?©a~o do l???quido? dado sen(45?) = 2/2 6. Um raio de luz monocroma??tica passa de um meio A para um meio B. Veja a ?gura e responda: b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justi?que.

O?? tica Aula 4 Lentes Esf??ericas As lentes esf??ericas constituem sistemas ??opticos de amplas aplicac?©o~es na atualidade. Elas desempenham um papel um papel important???ssimo, desde os so?sticados LASERS at??e os Podemos de?ni-las como sendo um meio transparente e ho- mog^eneo, limitado por duas superf???cies curvas, ou por uma A lente sera?? denominada esf??erica, quando pelo menos uma de suas faces for esf??erica.

Elementos Geom??etricos Vejamos os principais elementos geom??etricos de uma lente esf??erica:

Observac?©~ao Uma lente ??e delgada quando a sua espessura e for desprez???vel em relac?©a~o aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R.

Classi?ca?©c~ao das Lentes Podemos classi?car as lentes quanto a dois aspectos: tipos de faces e comportamento ??optico.

Quanto `as faces BORDOS FINOS biconvexa plano-convexa concavo-convexa

BORDOS GROSSOS biconcava plano-concava convexo-concava

Figura 1.2: Classi?cac?©a~o de uma lente esf??erica quanto a`s suas faces.

Observac?©~ao Os nomes das lentes segue a convenc?©a~o de que devemos citar em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.

Quanto ao Comportamento O?? ptico Nessas ?guras consideramos que as lentes sa~o de vidro e est~ao imersas no ar (nvidro ?? nar), que ??e o caso mais comum na Nessas condic?©o~es, as lentes de bordas ?nas s~ao convergen- tes e as lentes de bordas grossas s~ao divergentes.

Tipos de Foco Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de luz dentro das condic?©o~es de Gauss, como vimos no estudo de es- Foco Imagem E?? o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto impro??prio, Lente Convergente & Lente Divergente Lente Convergente Esquema

F Esquema Lente Divergente F Figura 1.3: Classi?cac?©a~o de uma lente esf??erica quanto ao seu comportamento o??ptico.

F Observac?©~ao Na lente Convergente o foco ??e real, e na lente divergente Foco Objeto E?? o ponto objeto associado pela lente, a uma imagem Lente Convergente & Lente Divergente

Observac?©~ao Na lente convergente o foco ??e real, na Lente divergente o foco ??e virtual.

Raios Not??aveis Assim como foi feito para os espelhos esf??ericos, iremos agora descrever alguns raios que sa~o f??aceis de serem utilizados na Todo raio que incide no centro ??optico atravessa a lente Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal emerge numa direc?©~ao que passa pelo foco imagem.

O?? tica ÔÇô Aula 4 45

F F F Todo raio que incide sob o foco objeto emerge paralelo ao eixo principal.

Determina?©c~ao Gr??a?ca da Imagem De maneira ana??loga ao que ?zemos para espelhos esf??ericos ire- mos proceder agora para lentes.

Lentes Convergentes 1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura: 2) Objeto situado no Centro de Curvatura: 3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco: Este caso corresponde `a imagem produzida por projetores, 4) Objeto situado no Foco: 5) Objeto situado entre o Foco e o Centro O?? ptico: Este ??e o caso da lupa.

Lente Divergente Existe apenas um caso que devemos considerar: Imagem: Virtual, Direita e Menor.

Determina?©c~ao Anal???tica da Imagem As equac?©o~es que utilizaremos para a determinac?©a~o da posic?©a~o e tamanho da imagem sa~o ana??logas `as utilizadas no estudo de espelhos esf??ericos.

Equac?©~ao de Gauss 111 =+ f p p? Temos: Equac?©~ao do Aumento Linear Transversal A i p? A= = op Temos: i = altura da imagem;

Convenc?©~ao de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p? > 0 Virtual p? < 0 Espelho C^onc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h? Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

F eixo ??tico F Verg^encia V de uma Lente Veri?ca-se que, quanto menor a dist^ancia focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ÔÇØpot^enciaÔÇØda lente de convergir ou divergir a luz ??e caracte- rizada por uma grandeza denominada Verg^encia, que ??e comu- mente chamada de grau do ??oculos. A verg^encia V de uma lente de dist^ancia focal f ??e de?nida como: 1 V= f

Se f ??e medido em metros (m), a unidade de V ??e m-1, que recebe o nome de dioptria (di), que popularmente ??e chamado de grau.

1 di = 1 m-1 = 1 grau Pense um Pouco! 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) de lente dever??a usar?

2. O antigos ??oculos ÔÇ£fundo de garrafaÔÇØtinham esse nome por Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. Um objeto ??e colocado a 60 cm de uma lente divergente de dist^ancia 20 cm. Determine, gra?camente e analiticamente, as caracter???sticas da imagem.

eixo ??tico F eixo ??tico F 2. Um objeto de 2 cm de altura esta?? disposto frontalmente a b) determine, analiticamente, a posic?©a~o e o tamanho da ima- gem.

3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar uma ?or que esta?? a 4 cm da lente. Determine de quanto a lente aumenta a ?or.

Exerc???cios Complementares 4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura esta?? a 5 cm de uma b) Fac?©o trac?©ado dos raios.

6. Uma pessoa m???ope so?? ??e capaz de ver nitidamente objetos a) Qual o tipo de lente adequada para a correc?©a~o da miopia: b) Qual deve ser a dist^ancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no in?nito?

O?? tica ÔÇô Aula 5 F C eixo ??tico CF

eixo ??tico CF F C

O?? tica Aula 5 O?? tica da Vis~ao O olho humano assemelha-se a uma ?lmadora (ou a uma m??aquina fotogra???ca) de grande so?sticac?©a~o. E o c??erebro tem a func?©a~o de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olho humano e utilizaremos uma representac?©a~o mais simples ÔÇô o olho reduzido.

Elementos do Olho Humano Analisaremos algumas partes que consideramos de grande im- porta^ncia em nosso olho reduzido.

??Iris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um di- Na sua parte central existe um orif???cio de di^ametro varia??vel, chamado pupila.

Cristalino E?? uma lente convergente de material ?ex???vel, do tipo bicon- vexa. Fornecer??a de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas em func?©a~o da dist^ancia do objeto ao olho.

Mu??sculos Ciliares Sa~o responsa??veis pela mudanc?©a na forma do cristalino, comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua dist^ancia focal e permitir uma melhor acomodac?©a~o da imagem sobre a retina.

47 eixo ??tico CF FC

Figura 1.15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F .

eixo ??tico CF FC Quando o objeto esta?? in?nitamente afastado, os mu??sculos ci- liares e o cristalino esta~o relaxados, ou seja, o olho na~o realiza nenhum esforc?©o de acomodac?©a~o. A` medida que o objeto se aproxima, os mu??sculos ciliares v~ao se contraindo, diminuindo a dist^ancia focal do cristalino e mantendo a imagem acomo- Em S???ntese O trabalho realizado pelos mu??sculos ciliares, fazendo variar a dist^ancia focal do cristalino ??e chamado de acomodac?©a~o visual.

Retina E?? a parte sens???vel `a luz, onde deve se formar a imagem para ser n???tida. A dist^ancia do cristalino a retina ??e da ordem de 1, 5 cm. Composta por c??elulas nervosas chamadas bastonetes (visa~o preto e branco) e cones (visa~o a cores), a retina possui uma ??area mais sens???vel `a luz sob condic?©o~es normais. Esta ??area consiste uma depress~ao na parte posterior do olho no eixo do cristalino, e ??e denominada f??ovea.

eixo ??tico CF FC eixo ??tico C F FC Problemas da Vis~ao Miopia A de?ci^encia de um olho m???ope esta?? na visualizac?©a~o de obje- tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR) na~o esta?? no in?nito e sim a uma dist^ancia ?nita (dPR). Isso ocorre, pelo Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho m???ope menos convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente diver- gente:

Hipermetropia A de?ci^encia de um olho hiperm??etrope esta?? na visualizac?©a~o de objetos pr??oximos. Ou seja, o seu ponto pr??oximo (PP ) esta?? mais afastado do que o olho normal. Logo a dist^ancia do ponto No olho hiperm??etrope, a imagem de um objeto recai apo??s a Para corrigir este defeito demos tornar o olho hiperm??etrope A lente corretora devera??, de um objeto colocado a 25 cm do olho, fornecer uma imagem no ponto pr??oximo (PP ) do hi- Assim a dist^ancia focal da lente corretiva da hipermetropia ??e calculada da seguinte forma: 111111 =+==+ f p p? fc 25cm dpp

O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela eixo ??tico CF F C

ff oi Co??rnea ?? Nervo Optico

Lente Ma??cula I??ris Conjuntiva Retina

Anatomia do Olho Presbiopia E?? um defeito determinado pela fadiga dos mu??sculos que efe- Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda mal para objetos pr??oximos e, em consequ?¿^encia, a dist^ancia m???nima da vis~ao distinta aumenta. A correc?©a~o ??e feita com uso de lentes bifocais, que t^em uma parte para ver objetos distantes e outra para ver objetos pr??oximos.

Astigmatismo E?? um defeito determinado pela forma na~o esf??erica da co??rnea ou do cristalino, causando uma deformac?©a~o na imagem. A correc?©a~o ??e feita mediante o uso de lentes cil???ndricas, que com- pensam a falta de simetria do sistema ??optica ocular.

Estrabismo Consiste na incapacidade de se dirigir a vis~ao de ambos os olhos para um mesmo ponto. A correc?©a~o ??e feita por gina??stica ocular para recuperar os mu??sculos, ou atrav??es de cirurgia, ou atrav??es de lentes prism??aticas.

Daltonismo E?? um defeito gen??etico que faz com que seu portador na~o consiga distinguir certas cores. Na~o existe, ainda, correc?©a~o poss???vel para esse defeito.

O?? tica ÔÇô Aula 5 Olho simplificado Forma?ºao de imagens na Entrada RETINA de Luz Lente Convergente

PP PR 25 cm Zona de Acomoda?ºao Pense um Pouco! ?À Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo da ??agua de uma piscina, mas na~o fora da ??agua. Isso ??e Qual?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. As lentes dos ??oculos de um m???ope sa~o de -5 grausÔÇØ. Qual ??e a m??axima dist^ancia de seus olhos, sem ??oculos, que ele v^e com imagem n???tida?

2. O ponto pr??oximo de um indiv???duo A e o ponto remoto de um indiv???duo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e a verg^encia das lentes corretoras para esses indiv???duos.

3. Uma lente esf??erica de vidro, cujo ???ndice de refrac?©a~o ??e 1, 5, tem uma face plana e outra co^ncava, com raio de curvatura 50 cm. Sabendo-se que a lente esta?? imersa no ar, determine sua verg^encia em dioptrias.

4. Uma pessoa m???ope so?? ??e capaz de ver nitidamente objetos a) Qual o tipo de lente adequada para a correc?©a~o da miopia: b) Qual deve ser a dist^ancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no in?nito ?

49 Hipermetropia Corre?ºao com lente convergente

Hipermetropia Corre?ºao com lente convergente

Fluidos ÔÇô Aula 1 Fluidos Aula 1 Fluidos Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos ?ui- dos, para isso falaremos de temas como densidade, pressa~o, empuxo e outros temas que nos levar~ao a um aprofundamento da Hidrosta??tica.

Densidade e Massa espec????ca Massa espec????ca ? de uma subst^ancia ??e a raza~o entre deter- Temos enta~o: m ?= v Para um corpo homog^eneo, ? sera?? a pr??opria densidade do ma- terial. Para um corpo na~o homog^eneo, como por exemplo uma corpo oco, a expressa~o acima resulta na densidade m??edia do corpo.

Unidades SI m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro cu??bico (m3) ?: massa espec????ca em quilogramas por metro cu??bico (kg/m3)

Observac?©~ao No caso da ??agua, cuja massa espec????ca vale 1 g/cm3, obser- vamos que cada cm3 de ??agua tem massa de 1 g. Assim ??e que, numericamente, massa e volume sera~o iguais para a ??agua, desde que medidos em gramas e em cent???metros cu??bicos res- pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3, no caso da ??agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro cu??bico equivale a 1000 litros, teremos tamb??em para a ??agua, a densidade 1000 kg/m3.

Press~ao Pressa~o p ??e a forc?©a normal, por unidade de ??area, que um ?uido em equil???brio exerce em contato com uma parede. Podemos representar matematicamente por: F p= A

Unidades SI p: pressa~o em N/m2 = pascal = P a F : forc?©a normal (ortogonal) em newtons ou N A: ??area onde ??e exercida a forc?©a, em metros quadrados m2

Press~ao Atmosf??erica Pressa~o exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superf???cie da Terra. Ao n???vel do mar, `a temperatura de 0 ?C ??e igual a 1 atm.

51 E?? comum o uso de unidades de pressa~o na~o pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil???metros de mercu??rio (mmH g): 1atm=760mmHg=1,01?ù105Pa

Press~ao Hidrost??atica No estudo da hidrost??atica, que faremos a seguir, vamos consi- Suponhamos um recipiente cil???ndrico de ??area de base A, con- tendo um l???quido de massa espec????ca ?. Qual a pressa~o que o l???quido exerce no fundo do recipiente ?

h A Figura 1.1: Vaso cil???ndrico de a??rea A e altura h, cheio de um l???quido de densidade ?.

Da de?nic?©a~o de massa espec????ca, temos: m ?= v V = Ah m ?= Ah e portanto: m = ?Ah Por outro lado, a forc?©a que o l???quido exerce sobre a ??area A ??e o seu pr??oprio peso: F = P = mg mas como m = ?Ah enta~o temos F = ?Ahg e ?nalmente, pela de?nic?©a~o de pressa~o, F A A pressa~o que o l???quido exerce no fundo do recipiente depende da massa espec????ca do l???quido (?), da acelerac?©a~o da gravidade Na pr??atica esse resultado e geral, e pode ser usado para a de- terminac?©a~o da pressa~o hidrost??atica em qualquer ?uido (l???quido Observe que a pressa~o total dentro de um ?uido homog^eneo em equil???brio sera?? enta~o: p = patm + ?gh onde patm ??e a pressa~o atmosf??erica, que atua sobre todos os corpos imersos no ar.

Press~ao Manom??etrica e Absoluta A press~ao absoluta ??e a pressa~o total exercida em uma dada Em muitos casos, como na calibrac?©a~o de um pneu, estamos interessados apenas na diferenc?©a entre a pressa~o interna de um reservat??orio (o pneu) e a pressa~o externa (o ar, que esta?? na pressa~o atmosf??erica local). A essa diferenc?©a chamamos press~ao manom??etrica, e os aparelhos que a medem cha- mamos de mano^metros.

Sera?? negativa quando a pressa~o interna de um reservat??orio for menor do que a pressa~o atmosf??erica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um v??acuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a pressa~o interna da boca, criando uma ÔÇ£press~ao negativaÔÇØ.

Pense um Pouco! ?À Porque na~o sentimos a pressa~o atmosf??erica normal, j??a que ela ??e ta~o grande?

?À Um barco ?utua no mar. Quais as forc?©as relevantes para ?À Como ??e poss???vel se deitar numa cama de pregos sem se machucar?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Uma massa de 1 kg de ??agua ocupa um volume de 1 litro a 40?C. Determine sua massa espec????ca em g/cm3, kg/m3 e kg/l.

2. Determine a massa de um bloco cu??bico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo ??e igual 11, 2 g/cm3.

3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de uma esfera de raio R ??e dado por V = 4 ?R3. Usando ? = 3, 14, 3 determine: b) a densidade do material de que ??e feita a esfera.

4. Um cubo macic?©o com densidade igual a 2, 1 g/cm3, de Qual ??e a pressa~o, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre a superf???cie?

Exerc???cios Complementares 5. Existe uma unidade inglesa de pressa~o ÔÇô a libra-forc?©a por polegada quadrada ÔÇô que se abrevia lbf /pol2, a qual ??e indevi- damente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus de um automo??vel, algumas pessoas dizem que colocaram ÔÇ£26 librasÔÇØ de ar nos pneus. Agora responda: a) por que num pneu de automo??vel se coloca mais ou menos 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos pneus sa~o bem ?nos) se coloca aproximadamente 70 lbf /pol2 b) Sendo 1 lbf /pol2 = 0, 07 atm, qual a pressa~o t???pica (em c) A pressa~o que nos interessa, neste caso do pneu, ??e a pressa~o manom??etrica ou a pressa~o absoluta. Por qu^e?

Fluidos Aula 2 Hidrost??atica Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um l???quido homog^eneo de densidade ?, em equil???brio esta??tico. As presso~es que o l???quido exerce nos pontos A e B sa~o, respectivamente: pa = ?gha e pb = ?ghb

Fluidos ÔÇô Aula 2 pabs = patm + ?gh Consequ?¿^encias da Lei de Stevin No interior de um l???quido em equil???brio esta??tico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma pressa~o;

2. a superf???cie de separac?©a~o entre l???quidos na~o misc???veis ??e um plano horizontal;

3. em vasos comunicantes quando temos dois l???quidos na~o misc???veis temos que a altura de cada l???quido ??e inversa- mente proporcional `as suas massas espec????cas (densida- des);

y h y h x x Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois l???quidos na~o misc???veis em equil???brio.

py = px patm + ?yghy = patm + ?xghx ?yhy = ?xhx ?y hx = ?x hy

4. a diferenc?©a de pressa~o entre dois pontos dentro do ?u???do, depende apenas do seu desn???vel vertical ( h), e na~o da profundidade dos pontos.

Princ???pio de Pascal Pascal fez estudos em ?u???dos e enunciou o seguinte princ???pio:

A press~ao aplicada a um ?u???do em equil???brio transmite-se integral e instantaneamente `a to- dos os pontos do ?u???do e `as paredes do recipi- ente que o cont??em.

53 F 1 F 2 A A2 1 A Prensa Hidr??aulica Uma das aplicac?©o~es deste princ???pio ??e a prensa hidra??ulica como mostramos a seguir: Observe que: p1 = p2 F1 F2 = A1 A2 F1 A1 = F2 A2 Isso mostra que uma forc?©a pequena F1 ??e capaz de suportar, no outro ^embolo, um peso muito grande (F2), isso ??e muito A prensa hidra??ulica ??e o equivalente hidra??ulico do princ???pio da alavanca, de Arquimedes, usado na Mec^anica. E?? bom lembrar que estas ÔÇ£engenhocasÔÇØmultiplicam realmente a forc?©a, mas na~o a energia. O trabalho m???nimo necessa??rio para elevar um carro ??e o mesmo, independente da m??aquina que se utilize (Wmin = Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma forc?©a -F2 (para baixo) dever??a ser feita no ^embolo da direita, para manter o equil???brio do sistema. Em geral, usa-se o ^embolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do cha~o (macaco hidra??ulico).

Princ???pio de Arquimedes Arquimedes, ha?? mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo ??e devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l???quido, como a ??agua, por exemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou parci- almente, num ?uido, recebem do mesmo uma forc?©a vertical, de baixo para cima, de intensi- dade igual ao peso do ?uido deslocado, deno- minada empuxo.

Ou seja, se um corpo esta?? mergulhado num ?uido de densidade ?f e desloca volume Vfd do ?uido, num local onde a acelerac?©a~o da gravidade ??e g, temos: Pf = mf g

a massa do ?uido deslocado sera?? mf = ?fVfd e portanto Pf = ?fVfdg e, de acordo com o Princ???pio de Arquimedes E = ?fVfdg

ou simplesmente E = ?V g ?cando a nosso cargo a interpretac?©a~o correta dos termos en- volvidos.

Flutuac?©~ao Segundo o princ???pio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf???cie de um ?u???do cujo peso (do corpo) ??e anulado (igual em m??odulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completa- mente submerso, o corpo ira?? ?utuar sobre ele, quando abando- nado. Baseado nessa aplicac?©a~o sa~o constru???dos todos os tipos Para um corpo de peso P ?utuando, a condic?©a~o de equil???brio deve ser satisfeita: Fy = +E – P = 0

ou seja P=E Pode-se mostrar tamb??em que se um corpo tiver uma densidade m??edia ?c maior que a densidade ?f de um certo ?uido, ele na~o podera?? ?utuar nesse ?u???do, e acabara?? afundando se for solto na sua superf???cie.

Pense um Pouco! ?À Como pode um navio de ferro ?utuar na ??agua, j??a que ?F e > ?H2O ?

?À Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela ?À Mergulhando na ??agua um objeto suspenso por um ?o, voc^e observa que a trac?©a~o no ?o muda. Explique.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UFRJ) O impacto de uma part???cula de lixo que atingiu a Nessas condic?©o~es e tendo a part???cula 2 cm2, a nave sofreu uma forc?©a de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N 2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade esta?? cheia com ??agua. Considere g = 10 m/s2 e p = 1, 0 ?ù 105 P a e deter- atm mine: c) a diferenc?©a de pressa~o entre dois pontos separados, vertical- mente, por 80 cm.

3. (Cl??assico) Para determinar a pressa~o atmosf??erica, Torri- celli fez a seguinte experi^encia: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de mercu??rio e depois emborcado num recipiente contendo mercu??rio; constatou que, ao n???vel do mar, o mercu??rio no tubo mant??em uma altura de 760 mm acima da sua superf???cie livre (no recipiente). Se a densidade do mercu??rio ??e 13, 6 g/cm3 e a acelerac?©a~o da gravidade local ??e de 9, 8 m/s2, qual a pressa~o atmosf??erica constatada por Torricelli?

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automo??vel de massa 1.000 kg, o mesmo ??e erguido a uma certa altura. O sistema utilizado ??e uma prensa hidra??ulica. Sendo os ^embolos de ??areas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a acelerac?©a~o da gravidade local de 10 m/s2, pergunta-se: b) em qual ^embolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?

1.1 Exerc???cios Complementares 5. A?? gua e ??oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, sa~o colocados em um tubo em ÔÇ£UÔÇØ. Sendo de 16 cm a altura da coluna de ??oleo, determine a altura da coluna de ??agua medida acima do n???vel de separac?©a~o entre os l???quidos.

6. Os icebergs sa~o grandes blocos de gelo que vagam em la- titudes elevadas, constituindo um s??erio problema para a na- vegac?©a~o, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena parte, ?cando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ?g = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determine a porcentagem do iceberg que ?ca acima da superf???cie livre da ??agua, considerada com densidade igual a ?f = 1, 0 g/cm3.

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade m??edia de 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente que cont??em ??agua, atrav??es de um ?o conforme a ?gura. Determine a intensidade da trac?©a~o T no ?o que segura a bola (Considere g = 10 m/s2).

Cinema??tica ÔÇô Aula 1 Cinem??atica Aula 1 Cinem??atica A Cinem??atica ??e a parte da Mec^anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (forc?©as).

Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitiva- mente uma id??eia do que sa~o os estados de movimento e re- pouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) sa~o relativos: ao dormir voc^e pode estar em repouso em relac?©a~o `as paredes de seu quarto; entretanto, em relac?©a~o ao sol, voc^e ??e um viajante espacial. A parte da F???sica que trata do movimento ??e a Mec^anica. Ela procura compreender as causas que pro- duzem e modi?cam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivis~ao da Mec^anica chamada Cinem??atica, que trata do movimento sem se referir `as causas que o produzem.

Ponto Material Em determinadas situac?©o~es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avia~o, um carro, uma bala Ponto, porque, na resoluc?©a~o de problemas, estaremos despre- zando as dimens~oes do corpo em movimento, sempre que as dist^ancias envolvidas forem muito grandes em relac?©a~o `as di- mens~oes do corpo. Material, porque, embora as dimens~oes do corpo sejam desprezadas, sua massa sera?? considerada.

Repouso, Movimento e Referencial Examine as seguintes situac?©o~es: ?À Quando estamos dentro de um ve???culo em movimento, a paisagem circundante ??e fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso ?À Quando observamos o movimento do sol atrav??es da esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao redor do Sol.

?À Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, sem Nesse caso, pode ser que essa pessoa na~o tenha condic?©o~es de a?rmar se aquele ambiente esta?? em repouso ou em mo- vimento.

Em todos esses casos, percebemos que o movimento ??e determi- nado a partir de um referencial: a paisagem ??e o referencial do carro e o Sol ??e o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, na~o tera?? referencial para perceber qualquer movimento, a na~o ser o de seu pr??oprio corpo.

55 Trajet??oria Este ??e outro conceito importante no estudo do movimento. Va- mos partir da ?gura abaixo. Ela representa uma esfera aban- donada de um avia~o que voa com velocidade constante: A8-132

Em relac?©a~o ao solo, a trajet??oria da esfera ??e um arco de para??bola; e em relac?©a~o ao avia~o, a trajet??oria ??e um segmento Enta~o, podemos concluir que a trajet??oria: ?À ??e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movi- mento;

Deslocamento ?ù Dist^ancia Percorrida A dist^ancia percorrida por um corpo durante um movimento ??e a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do seg- mento que representa a trajet??oria descrita pelo corpo neste mo- vimento, em relac?©a~o ao referencial adotado. O deslocamento de um corpo ??e uma grandeza vetorial, cujo m??odulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e ?nal do movimento.

A 5m 3m B C 4m Na ?gura, uma part???cula, saindo do ponto A, percorre a tra- jet??oria ABC. A dist^ancia percorrida pela part???cula ??e a soma dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 me- tros. Ja?? o deslocamento ??e representado pela dist^ancia entre o ponto A e ponto C, que ??e igual a 5 metros.

Observac?©o~es ?À O deslocamento foi representado por um segmento de reta orientado que denominamos de vetor; os vetores represen- tam as grandezas vetoriais.

?À O deslocamento ??e a menor dist^ancia entre o ponto de sa???da e o ponto de chegada do corpo.

?À Numa trajet??oria retil???nea a dist^ancia percorrida e o des- locamento podem ser iguais.

Deslocamento Escalar s E?? a variac?©a~o de espac?©o s. E?? medido em metros, quilo^metros, cent???metros, etc. Ou seja:

s = s – s0 Quando s > 0 o movimento ??e a favor da orientac?©a~o da tra- jet??oria; quando s < 0 o movimento ??e contra a orientac?©a~o da trajet??oria, mas se s = 0 a posic?©a~o ?nal ??e igual a inicial.

Importante Ha?? duas possibilidades para s = 0: ?À o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posic?©a~o inicial;

Velocidade Escalar M??edia Quando falamos que um ve???culo percorreu 100 km em 2 h ??e f??acil determinar que em m??edia ele 50 km a cada 1 h. No??s dividimos a dist^ancia total e o tempo total da viagem. Isso na~o signi?ca que o ve???culo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve???culo pode ter parado em um posto de combust???vel para No??s sabemos apenas a dist^ancia total e o tempo total da vi- Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e an- dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sempre a 50 km/h. E?? a velocidade escalar m??edia. Normalmente na~o usaremos o termo dist^ancia e sim deslocamento escalar ( s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo ( t). Dessa maneira: s s - s0 Vm = = t t - t0 Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: 1000 m 1 1 km/h = = m/s 3600 s 3, 6 e tamb??em 1 m/s = 3, 6 km/h Velocidade Escalar Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido do movimento.

Exemplos 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o m??ovel anda 10 m e indica movimento no sentido da orientac?©a~o da trajet??oria.

2. Vb = -10 m/s: a rapidez ??e a mesma do m??ovel anterior e o movimento ??e no sentido oposto ao da orientac?©a~o da trajet??oria.

Acelera?©c~ao Mede a rapidez da mudanc?©a da velocidade, ??e a variac?©a~o da velocidade em func?©a~o do tempo. Imagine um movimento com a velocidade mudando a cada segundo: t(s) 0 1 2 3 v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso ??e, a ace- lerac?©a~o ??e: 3, 6 km/h 1, 0 m/s a = + = = 1 m/s2 ss Aqui temos uma acelerac?©a~o positiva, pois a velocidade vai au- mentando (em m??odulo) com o tempo.

Outro Exemplo Imagine o seguinte movimento: t(s) 0 1 2 3 v(m/s) 50 45 40 35 A cada segundo a velocidade varia (diminui) em -5 m/s, ou seja: -5 m/s a = = -5 m/s2 s Nesse caso a acelerac?©a~o ??e negativa, pois a velocidade vai dimi- nuindo (em m??odulo) com o tempo.

Acelera?©c~ao Escalar M??edia (am) E?? a variac?©a~o total da velocidade em relac?©a~o ao intervalo total de tempo.

v v - v0 am = = t t - t0 Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a acelerac?©a~o em m/s2.

Cinema??tica ÔÇô Aula 2 Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar m??edia do atleta ??e de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h 2. (UEL) Um m??ovel percorreu 60, 0 m com velocidade de 15, 0 m/s e os pr??oximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade m??edia durante as duas fases foi de: a) 15, 0 m/s b) 20, 0 m/s c) 22, 5 m/s d) 25, 0 m/s e) 30, 0 m/s 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco ÔÇ£km 200ÔÇØde uma rodo- via, um motorista v^e um anu??ncio com a inscric?©a~o ÔÇ£ABASTE- CIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOSÔÇØ. Conside- rando que esse posto de servic?©os se encontra junto ao marco ÔÇ£km 245ÔÇØdessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prev^e, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velo- cidade m??edia, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120

Exerc???cios Complementares 4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avia~o percorre a pista com acelerac?©a~o constante e atinge a velocidade de 360 km/h a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 5. (PUC) Um trem esta?? com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelerac?©a~o escalar constante de m??odulo igual a 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gasta para parar, em segundos, ??e de: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista ob- serva que o ponteiro do veloc???metro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a acelerac?©a~o do carro du- rante a travessia ??e de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) n.d.a 57

Cinem??atica Aula 2 Movimento Uniforme (MU) Suponhamos que voc^e esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc???metro ?que sempre na mesma posic?©a~o, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condic?©a~o, voc^e ira?? percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas percorrer??a 160 km, e assim por diante. O movimento descrito Voc^e j??a deve ter notado, enta~o, que no movimento uniforme o valor do m??odulo da velocidade ??e constante e na~o nulo, isto ??e, Se, al??em da velocidade apresentar valor constante e a trajet??oria for retil???nea, o movimento ??e dito movimento retil???neo uni- forme (MRU).

Equa?©c~ao Hor??aria do MU Ao longo de um movimento, a posic?©a~o de um m??ovel varia no decorrer do tempo. E?? u??til, portanto, encontrar uma equac?©a~o que fornec?©a a posic?©a~o de um m??ovel em um movimento uniforme no decorrer do tempo. A esta equac?©a~o denominamos equac?©a~o Considere enta~o, o nosso amigo corredor percorrendo com ve- tt 0

Ox X 0x

Onde: x0 ??e a sua posic?©a~o inicial no instante t0 = 0 e x ??e a sua nova posic?©a~o no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo t = t - t0 = t ??e x v - v0 v= = tt e se v ??e sempre constante, para qualquer instante t, enta~o temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a trajet??oria do movimento ??e retil???nea, temos um movimento re- Invertendo-se a equac?©a~o acima, podemos escrever a equac?©~ao hor??aria do movimento: x(t) = x0 + vt que nos da?? a posic?©a~o x(t) em cada instante t > 0, para todo o movimento.

uma vez que a velocidade ??e constante e na~o varia ao longo v v v v>0 v=0 O tO tO t v<0

Importante ?À Quando o movimento ??e na direc?©a~o positiva do eixo orien- tado (o sentido positivo usual ??e para a direita) a veloci- dade do m??ovel ??e positiva (v > 0). Neste caso x cresce com o tempo;

?À Quando o movimento ??e na direc?©a~o negativa do eixo orien- tado (sentido negativo usual ??e para a esquerda) a veloci- dade do m??ovel ??e negativa (v < 0), e neste caso, x decresce Neste caso como a velocidade esta?? abaixo do eixo das abs- cissas, esta possui valor negativo, ou seja esta?? em sentido contr??ario ao da trajet??oria.

?À E?? importante notar que a velocidade corresponde a altura ?À A ??area de um reta^ngulo ??e dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.

v x = vt = ?ürea O t

Figura 1.3: O deslocamento ??e igual a a??rea sob a curva do Gr??a?co da Posi?©c~ao x ?ù t Como a equac?©a~o hora??ria no movimento uniforme ??e uma equac?©a~o do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi- mento uniforme, todo gr??a?co x ?ù t ??e uma reta inclinada em relac?©a~o aos eixos. Quando o movimento ??e progressivo (para a direita) a reta ??e inclinada para cima, indicando que os va- lores da posic?©a~o aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento ??e retr??ogrado (para a esquerda), a reta ??e inclinada para baixo indicando que os valores da posic?©a~o diminuem no decorrer do tempo.

Observe no gr??a?co que, de acordo com a equac?©a~o hora??ria, a velocidade pode ser dada pela inclinac?©a~o da reta, ou seja v = tan ? A inclinac?©a~o da reta tamb??em denominada ??e chamada de de- clividade ou coe?ciente angular da reta.

a b c Lembre-se de que a tangente de um ^angulo, num tria^ngulo reta^ngulo, ??e dada pela relac?©a~o entre cateto oposto e o cateto adjacente: Para o movimento progressivo temos o seguinte gr??a?co: x v>0

x o O t Figura 1.5: Gra???co x ?ù t para o movimento uniforme (MU) progressivo.

E para o movimento retr??ogrado observa-se que: x v<0 x o O t

Figura 1.6: [Gra???co x ?ù t para o movimento uniforme (MU) Pense um Pouco! ?À Um trem com 1 km de extens~ao viaja `a velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um tu??nel de 2 km de comprimento?

Cinema??tica ÔÇô Aula 3 ?À No gr??a?co x ?ù t, qual a interpretac?©a~o f???sica da intersecc?©a~o da reta com o eixo do tempo t?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. (UEL) Um automo??vel mant??em uma velocidade escalar cons- tante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma dist^ancia igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km 2. (ITAU?? NA-RJ) A equac?©a~o hora??ria de um certo movimento ??e x(t) = 40 - 8t no SI. O instante t, em que o m??ovel passa pela origem de sua trajet??oria, sera??: a) 4 s b) 8 s c) 32 s d) 5 s e) 10 s 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e a) 1, 5 m b) 60, 0 m c) 150, 0 m d) 30, 0 m e) 90, 0 m

Exerc???cios Complementares 4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velo- cidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar total- mente uma ponte. O comprimento da ponte ??e: a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta ??e correta 5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em um radar da pol???cia a 108 km/h. Se uma viatura esta??, logo adi- ante a uma dist^ancia de 300 m do radar, em quanto tempo o a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s 6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as func?©o~es hora??rias de posic?©a~o x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades do SI, o encontro dos m??oveis se da?? no instante: a) 0 s b) 400 s c) 10 s d) 500 s e) 100 s 59

Cinem??atica Aula 3 Movimento Uniformemente Variado (MUV) Analisando um movimento de queda livre, podemos veri?car que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia Galileu j??a havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resist^encia do ar, quando abandonamos do re- pouso os corpos pr??oximos a superf???cie da terra caem com velo- cidades crescentes, e que a variac?©a~o da velocidade ??e constante em intervalos de tempos iguais. Podemos enta~o concluir que Observamos um MUV quando o m??odulo da velocidade de um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos iguais, isto ??e, apresenta acelerac?©a~o constante e diferente de No caso da trajet??oria ser retil???nea, o movimento ??e denominado Portanto em um movimento retil???neo uniforme.

Acelera?©c~ao e Velocidade no MRUV a = constante = 0 Como a acelerac?©a~o escalar ??e constante, ela coincide com a ace- lerac?©a~o escalar m??edia: v v - v0 a = am = = t t - t0 fazendo t0 = 0, podemos escrever a equac?©a~o hora??ria da veloci- dade, ou seja

v = v0 + at v MRUV vMRUV vMRU

O a>0 t O a>0 t O a=0 t v >0 v <0 v >0 ooo

v MRUV a < 0 v v >0 o MRUV a < 0 v v =0 o MRU a = 0 v <0 o

O tO tO t A Equa?©c~ao de Torricelli O f???sico italiano Evangelista Torricelli estudou matem??atica em Roma. Nos u??ltimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tor- nou seu aluno e amigo ???ntimo, o que lhe proporcionou a opor- tunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das con- sequ?¿^encias disso foi a uni?cac?©a~o que Torricelli fez das func?©o~es hora??rias estabelecidas por Galileu para o movimento unifor- Figura 1.2: v ?ù t para o MRUV com a ? 0. Torricelli eliminou o tempo da func?©a~o v = v0 + at v + v0 obtendo s= t 2 t = (v - v0)/a como: e substituindo o valor de t na func?©a~o hora??ria dos espac?©os, temos v + v0 v - v0 s = s - s0 s = s0 + vmt = s0 + 2 a

e onde vm ??e a velocidade m??edia do movimento. Finalmente, obtemos a equac?©a~o de Torricelli: v = v0 + at v2 = v2 + 2a s 0 temos Pense um Pouco! 1 s - s0 = (v0 + at + v0)t 2 ?À Imagine que voc^e esta?? no interior de um automo??vel em mo- vimento. O automo??vel ??e su?cientemente silencioso e ma- 1 1 cio para que voc^e na~o perceba sua velocidade e variac?©o~es s - s0 = (2v0 + at)t = v0t + at2 2 2 de velocidade. Apenas olhando para o veloc???metro do au- tomo??vel, sem olhar pelas janelas e pa??ra-brisas, ??e poss???vel logo, classi?car o movimento do automo??vel?

1 ?À Pode-se usar a equac?©a~o de Torricelli para se determinar s(t) = s0 + v0t + at2 a altura atingida por um proj??etil lanc?©ado verticalmente 2 ??e a func?©a~o hora??ria dos espac?©os s(t).

x x x a>0 v =0 o a>0 v <0 o x =0 o a>0 v <0 o x <0 o

O tO tO t x =0 o Exerc???cios de Aplica?©c~ao

1. (UEL) Uma part???cula parte do repouso e, em 5 segun- dos percorre 100 metros. Considerando o movimento retil???neo uniformemente variado, podemos a?rmar que a acelerac?©a~o da part???cula ??e de: a) 8, 0 m/s2 b) 4, 0 m/s2 c) 20 m/s2 d) 4, 5 m/s2 e) n.d.a.

x a<0 x v =0 o x =0 o x O t Oa<0 t Oa<0 t v >0 v =0 oo x =0 x >0 oo 2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s, tem, seu freio acionado. A desacelerac?©a~o produzida pelo freio ??e de 10 m/s2. O carro pa??ra apo??s percorrer: a) 15, 5 m b) 13, 35 m c) 12, 15 m d) 11, 25 m e) 10, 50 m 3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento Figura 1.4: x ?ù t para o MRUV com a < 0. retil???neo ??e dada pela expressa~o v(t) = 10 - 2t, no SI. Calcule o espac?©o percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s e 3 s.

Cinema??tica ÔÇô Aula 4 a) 3 m b) 5 m c) 8 m d) 16 m e) 21 m Exerc???cios Complementares

4. (CEFET) Na decolagem, um certo avia~o partindo do re- pouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua ace- lerac?©a~o constante, a velocidade com que o avia~o levanta v^oo ??e: a) 100 m/s b) 200 m/s c) 125 m/s d) 50 m/s e) 144 m/s 5. (UNESP) Um m??ovel descreve um movimento retil???neo obe- decendo a func?©a~o hora??ria x(t) = 8 + 6t - t2 no SI. Esse movi- mento tem inversa~o de seu sentido no instante: a) 8 s b) 3 s c) 6 s d) 2 s e) 4/3 s 6. (UNESP) No instante em que o sinal de tr^ansito auto- riza a passagem, um caminha~o de 24 m de comprimento que estava parado comec?©a atravessar uma ponte de 145 m de comprimento, movendo-se com uma acelerac?©a~o constante de 2, 0 m/s2. O tempo que o caminha~o necessita para atravessar completamente a ponte ??e: a) 12 s b) 145 s c) 13 s d) 169 s e) 14 s

Cinem??atica Aula 4 Queda Livre Um corpo ??e dito em queda livre quando esta sob ac?©a~o exclusiva Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto ??e, livres do efeito da resist^encia do ar, tem uma propriedade co- Corpos em queda livre t^em a mesma acelerac?©a~o quaisquer que Esta acelerac?©a~o de queda livre ??e denominada acelerac?©~ao da gravidade e, nas proximidades da terra, ??e suposta constante e com m??odulo g = 9.8 m/s2, valor este que por praticidade, ??e usualmente aproximado para g = 10 m/s2.

61 Na realidade, a acelerac?©a~o da gravidade, embora seja indepen- dente da massa do corpo em queda livre, varia com o local, Se o corpo em queda livre tiver uma trajet??oria retil???nea, seu movimento sera?? uniformemente variado; neste caso, a ace- lerac?©a~o escalar do corpo sera?? constante e valer??a sempre a = -g, independente do sentido do movimento. Desta forma, se um objeto for lanc?©ado para cima (v0 > 0), ele ira?? frear (desacele- rar) at??e parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento sera?? invertido (v > 0).

Conven?©c~oes ?À quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento ??e acelerado (v cresce em m??odulo);

?À quando a e v possuem o sinais contr??arios, o movimento ??e desacelerado, freado ou enta~o dito tamb??em retardado (v diminui em m??odulo);

Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar ??e desprez???vel e a acelerac?©a~o da gravidade ??e constante e com m??odulo g, um corpo ??e abandonado Vamos obter a velocidade escalar ?nal de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equac?©a~o de Torricelli: v2 = v2 + 2a s = v2 + 2a(s – s ) 000 sendo s0 = h e s = 0, temos: v2 = 0 + 2(-g)(0 – h) = 2gh enta~o v = – 2gh sera?? a sua velocidade escalar ao atingir o cha~o. Escolhemos o sinal negativo (-) porque o corpo esta?? descendo, contra o Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade ?nal v, como era de se esperar, mas que v na~o ??e proporcional a h.

Tempo de Queda Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo ??e solto (v0 = 0) de uma altura h, at??e atingir o solo. Pela equac?©a~o hora??ria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at e para a queda livre sera?? v(t) = v0 – gt ? e sendo v0 = 0 e v = – 2gh temos – 2gh = 0 – gt e ?nalmente ? 2gh 2h t= = gg Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como tamb??em era de se esperar, e que t tamb??em na~o ??e proporcional a h.

v a = -g v =0 o t q 0 t x h a = -g v =0 o x =h o

0 tq t Lan?©camento Vertical Em um local onde o efeito do ar ??e desprez???vel e a acelerac?©a~o da gravidade ??e constante e com m??odulo igual a g, um proj??etil ??e lanc?©ado verticalmente para cima com velocidade de m??odulo Estudemos as propriedades associadas a este movimento: 12 s(t) = s0 + v0t – gt 2 e v(t) = v0 – gt Observa-se que: ?À o movimento do proj??etil ??e uniformemente variado porque a acelerac?©a~o escalar ??e constante e diferente de zero;

?À como foi lanc?©ado para cima, a velocidade inicial do proj??etil ??e positiva (v0 > 0);

?À orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, ?À A partir do ponto mais alto da trajet??oria, o proj??etil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade ??e nula no ponto mais alto (ponto de inversa~o);

?À O tempo de subida ts do proj??etil ??e calculado como se segue: se v(t) = v0 – gt e v(ts) = 0 para a posic?©a~o mais alta, temos

0 = v0 – gts e ?nalmente v0 ts = g Pode-se mostrar que o tempo de descida ??e igual ao tempo de subida. Mostre voc^e mesmo.

?À a velocidade escalar de retorno ao solo ??e calculada como se segue: como o tempo total de v^oo ??e 2ts, temos 2v0 v(2ts) = v0 – g(2ts) = v0 – g g ou seja, a velocidade de retorno sera?? v = -v0

A mesma acelerac?©a~o que retarda a subida do proj??etil ??e a que o acelera na descida e tem m??odulo constante g, portanto conclu???mos que que ao retornar ao solo, o proj??etil chaga com a mesma velocidade inicial de lanc?©amento, em m??odulo.

?À A altura m??axima atingida pelo proj??etil ??e calculada a partir da equac?©a~o de Torricelli: v2 = v02 + 2a s e como v = 0 e s = h, temos 0 = v2 + 2(-g)h 0

donde v02 h= 2g Observe que quanto maior a velocidade inicial v0, maior a altura h atingida pelo proj??etil, como era de se esperar, e que h na~o ??e proporcional a v0.

Pense um Pouco! ?À Por que uma folha inteira e outra amassada na~o chegam juntas ao cha~o, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura?

?À Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para ?À por que na~o se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo?

Cinema??tica ÔÇô Aula 5 e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda at??e o solo e o m??odulo da velocidade com que o corpo atinge o solo sa~o: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo ??e disparado do solo, vertical- mente para cima, com velocidade inicial de m??odulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resist^encia do ar e adotando g = 10 m/s2, a altura m??axima alcanc?©ada pelo proj??etil e o tempo necessa??rio para alcanc?©a??-la sa~o respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s

Exerc???cios Complementares 4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um m??etodo interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas ÔÇô o caran- guejo. Consiste em suspend^e-lo a uma determinada altura e a??? abandonar sua v???tima para que chegue ao solo com uma velo- cidade de m??odulo igual a 30 m/s, su?ciente para que se quebre A altura de elevac?©a~o utilizada por essas aves ??e: a) 15 m b) 45 m c) 90 m d) 30 m e) 60 m 5. (UNICAMP) Uma atrac?©a~o que esta?? se tornando muito po- pular nos parques de diversa~o consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma forc?©a constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio ??e acionado ??e dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s 6. (CEFET-PR) Um bala~o meteorol??ogico esta?? subindo com velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o aparelho leva para chegar ao solo ??e: a) 2 s b) 4 s c) 5 s d) 3 s e) 7 s

Cinem??atica Aula 5 63 111111101 Movimento Circular Uniforme (MCU) Em um movimento onde a trajet??oria ??e uma circunfer^encia (ou arco de uma circunfer^encia) e a velocidade escalar ??e cons- tante, este ??e denominado como movimento circular uni- forme (MCU). Neste movimento a part???cula ??e localizada pela 11111 11 111101 010101010101010101 0000000 00000v00 2 0000000 0000000 0000000 00 00 11111 00 00 R00 v 00000 1 00000 00 00000 00 0101010101010101 00000 00 00v000 00 00000 00 3 00000 00 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

v 4 No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, por??em mant??em ?xo o seu m??odulo (velocidade es- calar).

Movimento Peri??odico Um movimento ??e chamado perio??dico quando todas as suas caracter???sticas (posic?©a~o, velocidade e acelerac?©a~o) se repetem O movimento circular e uniforme ??e um exemplo de movimento perio??dico, pois, a cada volta, o m??ovel repete a posic?©a~o, a velo- cidade e a acelerac?©a~o.

Per???odo (T ) De?ne-se como per???odo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repetic?©a~o das caracter???sticas do movimento. No mo- vimento circular e uniforme, o per???odo ??e o intervalo de tempo Como ??e uma medida de tempo, a unidade SI do per???odo ??e o segundo.

e por de?nic?©a~o, como no MCU o tempo de uma volta completa (n = 1) ??e o pr??oprio per???odo do movimento, temos que 1 f= T A unidade SI da frequ?¿^encia f ??e s-1 ou tamb??em chamado de hertz, cuja abreviac?©a~o ??e Hz. Pode-se tamb??em medir a frequ?¿^encia em rotac?©o~es por minuto ou rpm.

Exemplo Seummovimentotemfrequ?¿^enciade2,0Hz,enta~osa~odadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o per???odo do mo- vimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, esse movimento tera?? uma frequ?¿^encia de 120 rpm.

Velocidade Escalar v Para uma volta completa, em uma circunfer^encia de raio R, temos que s 2?R v= = tT logo, para o MCU temos v = 2?Rf

Velocidade Angular De?ne a velocidade angular ? de forma semelhante `a de?nic?©a~o de velocidade v, so?? que nesse caso estamos interessados na variac?©a~o da posic?©a~o angular ocorrida no MCU. Enta~o: ? ? – theta0 ?= = tt Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular sera?? 2? e t = T , temos 2? ? = = 2?f T

Unidades SI Relac?©~ao entre v e ? Como a velocidade escalar no MCU ??e v = 2?Rf e ? = 2?f , enta~o v = ?R Ou seja, a velocidade escalar v ??e proporcional `a velocidade angular ?.

Vetores no MCU Ja?? vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem m??odulo constante, por??em direc?©a~o varia??vel e, por- tanto o vetor v ??e varia??vel. Sendo a velocidade vetorial varia??vel, Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da acelerac?©a~o vetorial ??e nula: v at = = 0 t Sendo a trajet??oria curva, a componente normal an da ace- lerac?©a~o, ou tamb??em chamada de acelerac?©a~o centr???peta na~o ??e O m??odulo da acelerac?©a~o centr???peta pode ser calculado pela seguinte expressa~o: v 2v sin( ?/2) ac = = tt e como ? = ? t, e o ^angulo ? ??e pequeno para t pequeno, temos ?? sin ? 22 e 2?R ?/2 ac = = ?2R ?/? ou enta~o, como v = ?R v2 ac = R

v(t) v (t+ t) av c =t =t R v(t) =t v (t+ t) Pense um Pouco! ?À Certos feno^menos da natureza, como a trajet??oria da Terra em torno do Sol e o movimento dos sat??elites apresentam movimento circular uniforme? D^e exemplos.

?À Imagine um disco girando em torno do seu centro. As ?À Como sa~o os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fac?©a um esboc?©o dos vetores.

?À Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de Exerc???cios de Aplica?©c~ao

Cinema??tica ÔÇô Aula 5 65

do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 2. (UFES) Uma pessoa esta?? em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rotac?©a~o uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais pr??oximo do cha~o a cada 20 segundos. Podemos a?rmar que a frequ?¿^encia do movimento dessa pessoa, em rpm, ??e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (ITA) Um automo??vel percorre uma trajet??oria com velo- cidade escalar constante. A roda do automo??vel, cujo raio ??e 30 cm, da?? 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da roda ??e, em rad/s: a) 20? rad/s b) 30? rad/s c) 40? rad/s d) 50? rad/s e) 60? rad/s

Ondas ÔÇô Aula 1 Ondas Aula 1 Ondas Movimento Harm^onico Simples O movimento harm^onico simples (MHS) ??e um movimento re- petitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante ?ex???vel (movimento na vertical); ou enta~o suspenso por um ?o longo (movimento Todo MHS pode ser pensado como sendo a projec?©a~o de um movimento circular e uniforme num dos di^ametros da circun- fer^encia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunfer^encia correspondente ao movi- Voc^e podera?? estudar a projec?©a~o sobre o eixo dos x, obtendo uma equac?©a~o do tipo x(t) = R cos(?t + ?0)

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equac?©a~o ana??loga y(t) = Rsen (?t + ?0)

Para o movimento circular sabemos que R ??e o raio da circun- fer^encia, ? a velocidade angular do objeto em movimento cir- cular e uniforme, e ?0 ??e a posic?©a~o angular inicial ocupada pelo objeto no instante t0 = 0 (?0 equivale, em termos angulares, Assim, podemos entender o signi?cado das constantes do MHS: R = A ??e a amplitude do movimento a partir do centro de ? recebe tamb??em a denominac?©a~o de frequ?¿^encia angular (??e T ?t + ?0, o argumento do seno (ou cosseno), ??e a chamada fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quando Depois desse entendimento, podemos reescrever as equac?©o~es anteriores em termos das amplitudes A ao inv??es do raio R, enta~o: x(t) = A cos(?t + ?0) y(t) = Asen (?t + ?0)

P^endulo Simples Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa em um p^endulo simples. O p^endulo simples consiste em uma part???cula de massa m suspensa por um ?o inextens???vel, de massa desprez???vel e comprimento L, que oscila num plano ver- tical, ?xo na extremidade superior do ?o, como vemos na ?gura abaixo: Esse problema pode ser considerado um problema de MHS somente para pequenos ^angulos de abertura, ou seja, afasta-se Observa-se que a part???cula executa um movimento circular de raio L, por??em de vai-e-vem, portanto com velocidade varia??vel.

67 mgcos L T mgsin x mg O Ignorando a resist^encia do ar, as forc?©as que atuam sobre a part???cula sa~o a forc?©a peso, exercida pela Terra, e a tensa~o, exercida pelo ?o. Como o ?o ??e inextens???vel, a componente do peso ao longo do ?o cancela a forc?©a de tensa~o. A resultante das forc?©as que atuam sobre a part???cula ??e, portanto, a componente do peso na direc?©a~o do movimento da part???cula, cujo m??odulo Mas, se a amplitude do movimento ??e muito menor que o com- primento L do ?o, ou seja, se o ^angulo ? ??e pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal sobre o qual ?xamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada do Enta~o, fazendo x sen ? = , L o m??odulo da forc?©a resultante sobre a part???cula ?ca: mg F (x) = – x L

esquerda (x < 0), a forc?©a a ÔÇ£empurraÔÇØde volta par a direita Observe que a forc?©a dada acima tem a forma geral F (x) = -kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa forc?©a lembra alguma outra lei ou sistema f???sico j??a estudado? Qual?

Dica de Vestibular DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em ves- tibulares sa~o o per???odo (T ) e a frequ?¿^encia (f ) de um p^endulo simples, na~o que as outras grandezas na~o tenham importa^ncia e sim pela sua simplicidade matem??atica e conteu??do te??orico, enta~o, resumidamente em termos do per???odo temos: 2? T= ? T = 2?f 1 T= f

L T = 2? g E em termos da frequ?¿^encia temos: w f= 2? 1 f= T 1g f= 2? L

Pense um Pouco! 1. Como podemos determinar a acelerac?©a~o da gravidade com um p^endulo Simples?

2. O movimento de translac?©a~o da terra em torno do sol ??e um MHS?

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. Um p^endulo oscila, na Terra com per???odo igual a 4 se- gundos. Determinar o per???odo desse mesmo p^endulo em um planeta onde a acelerac?©a~o da gravidade ??e quatro vezes maior que a da Terra.

2. Um MHS (movimento harm^onico simples) ??e descrito pela func?©a~o hora??ria x(t) = 5cos(?t/2 + 3?/2), com x em metros e t em segundos. E?? correto a?rmar que: e) a fase inicial ??e 3? radianos.

3. Um p^endulo simples de massa m executa oscilac?©o~es de pe- quena abertura angular e realiza um MHS. Enta~o o seu per???odo de oscilac?©a~o: b) ??e proporcional ao comprimento do p^endulo.

d) ??e inversamente proporcional ao valor da acelerac?©a~o da gra- e) independe da massa m.

Exerc???cios Complementares 4. Fac?©a testes num??ericos para estimar at??e onde vale a relac?©a~o sen ? ? ?, para ^angulos theta dados em rad, com a precis~ao de at??e duas casas decimais.

5. Para dobrar a frequ?¿^encia de oscilac?©a~o de um p^endulo sim- ples ??e su?ciente: a) transporta??-lo para um planeta de acelerac?©a~o da gravidade b) transporta??-lo para um planeta de acelerac?©a~o da gravidade e) dobrar a massa pendular.

6. Ache a relac?©a~o entre o comprimento de dois p^endulos para que um realize nove oscilac?©o~es enquanto o outro realiza dezes- seis oscilac?©o~es.

7. Determine o comprimento de um p^endulo simples que pos- Ondas Aula 2

Ondas Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma perturbac?©a~o que se propaga atrav??es de um meio.

Tipos de Ondas Quanto `a necessidade ou na~o de um meio meca^nico, as ondas se classi?cam em dois grandes grupos: as ondas mec^anicas e as ondas eletromagn??eticas.

Onda Mec^anica Precisa de um meio meca^nico natural para se propagar (na~o Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na su- perf???cie da ??agua ou numa membrana esticada (tambor).

Onda Eletromagn??etica Na~o necessita de um meio meca^nico para se propagar, e pode Exemplos Ondas de ra??dio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, como aquelas que vem do Sol at??e a Terra pelo v??acuo interestelar.

Ondas ÔÇô Aula 2 Classi?ca?©c~ao das Ondas Quanto ao tipo de perturbac?©a~o propagada pela onda, elas sa~o classi?cadas em transversais ou longitudinais.

Ondas Transversais Sa~o aquelas em que a direc?©a~o das oscilac?©o~es ??e perpendicular (ou transversal) `a direc?©a~o da propagac?©a~o da onda.

Vibra?ºao corda Propaga?ºao T T

Exemplos Nas ondas eletromagn??eticas, um campo el??etrico e um magn??etico oscilam em planos perpendiculares `a direc?©a~o de pro- pagac?©a~o da onda. Por esta raza~o, por exemplo, convencionou- se posicionar as antenas de ra??dio em p??e, para que o campo el??etrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se pro- paga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelas Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da direc?©a~o da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. Na~o ha?? um deslocamento horizontal Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulato??rio causado pelos espectadores, a ÔÇ£o^laÔÇØ. Num movimento coorde- nado, os espectadores levantam e sentam, provocando a pro- pagac?©a~o de uma onda pelas arquibancadas, que tamb??em ??e uma onda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentas- sem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada.

Ondas Longitudinais Como o pr??oprio nome diz, a onda longitudinal transporta oscilac?©o~es (vibrac?©o~es) cuja direc?©a~o coincide com a direc?©a~o da propagac?©a~o, ou seja, ao longo da direc?©a~o de propagac?©a~o.

propaga?º?úo da onda empurrar compress?Áes para a ponta fixa

oscila?º?Áes rarefa?º?Áes puchar Exemplos As ondas sonoras sa~o ondas de pressa~o que se propagam lon- gitudinalmente em meios so??lidos, l???quidos ou gasosos. Quando voc^e da?? uma martelada na extremidade de uma longa barra de ferro (de construc?©a~o), a compress~ao causada na direc?©a~o da barra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na 69

direc?©a~o da barra. E?? claro que uma barra de ferro pode propa- gar, ao mesmo tempo, tanto ondas longitudinais quanto ondas Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos veri?car que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre, batendo verticalmente, um pulso de compress~ao sera?? propa- Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ou espinhel) para pescar, ele percebe a ÔÇ£beliscadaÔÇØdo peixe pelas ondas longitudinais transportadas at??e a sua m~ao, pela linha tensa. Quando usa uma bo??ia, ou rolha, ele v^e as ondas trans- versais causadas na superf???cie da ??agua pelas beliscadas dos peixes. Em ambos os casos, as ondas esta~o sendo usadas para transmitir informac?©~ao, compreendeu?

Ondas no Espa?©co Quanto ao tipo de propagac?©a~o e a complexidade do movimento espacial das ondas, podemos classi?c??a-las em unidimensio- nais, bidimensionais ou tridimensionais.

Ondas Unidimensionais Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simpli?camos a sua descric?©a~o reduzindo o movimento ondulato??rio `a uma dimens~ao Exemplo Por exemplo, ao estudar a propagac?©a~o de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidi- mensional, dentro do tubo.

Ondas Bidimensionais Em outros casos, ??e evidente que o movimento ondulato??rio na~o pode ser restrito `a uma direc?©a~o (dimensa~o), pois ocorre sobre Exemplos No caso de ondas na superf???cie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos ondas bidimensionais.

Ondas Tridimensionais Sa~o aquelas que se propagam em todas as tr^es direc?©o~es do Exemplos Na explos~ao de uma ÔÇ£bombinhaÔÇØ, aquelas que a gente sol- tava quando moleque, sa~o produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena regi~ao do espac?©o) para todas as direc?©o~es, formando verdadeiras ondas esf??ericas, que podera~o ser percebidas por pessoas no cha~o, ou mesmo pa??ssaros no ar, pois se propagam tridimensionalmente.

Energia Transmitida Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode- mos classi?c??a-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas t??ermicas, etc.

Elementos de uma Onda Ondas Peri??odicas Sa~o aquelas que recebem pulsos perio??dicos, ou seja, recebem pulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por um mesmo ponto com a mesma frequ?¿^encia.

Unidades SI As ondas perio??dicas possuem alguns elementos ba??sicos, que sa~o: que podem ser veri?cados na ?gura abaixo.

Comprimento de Onda Amplitude x Relac?©~ao Matem??aticas v = ?f onde v ??e = velocidade de propagac?©a~o da onda no meio ? ??e o comprimento da onda f ??e a frequ?¿^encia da onda.

Pense um Pouco! ?À Uma pessoa toca numa corda de um viola~o uma nota e voc^e ouve o som. Identi?que os v??arios tipos de ondas envolvidos no processo completo. Comente.

?À No??s enxergamos usando luz. Seria poss???vel se enxergar com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Jus- ti?que.

Exerc???cios de Aplica?©c~ao 1. A dist^ancia entre o n???vel de repouso da ??agua e a ÔÇ£cristaÔÇØde uma onda, ??e chamada de: a) timbre b) per???odo c) amplitude d) resson^ancia e) comprimento de onda 2. Ondas que oscilam na mesma direc?©a~o em que se propagam sa~o chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagn??eticas c) tensoriais d) gravitacionais e) longitudinais 3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranqu?¿ilo, formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir- culares ??e uma evid^encia de que: a) as ondas transportam energia b) as ondas transportam mat??eria c) a velocidade de propagac?©a~o das ondas ??e a mesma em todas as direc?©o~es d) a velocidade de propagac?©a~o das ondas depende da densi- dade da pedra e) a pedra afundou depois de atingir a ??agua.

Exerc???cios Complementares 4. As ondas eletromagn??eticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No v??acuo, todas as ondas eletromagn??eticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma frequ?¿^encia c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as a?rmac?©o~es abaixo: I. As ondas luminosas sa~o constitu???das pelas oscilac?©o~es de um II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagn??eticas na~o precisam de um meio ma- a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III 6. A onda sonora ??e classi?cada como …….. pois a sua pro- pagac?©a~o ocorre somente em meio …….., que vibra com a onda a) meca^nica ÔÇô material ÔÇô paralela b) meca^nica ÔÇô gasoso ÔÇô paralela c) meca^nica ÔÇô so??lido ÔÇô perpendicular d) eletromagn??etica ÔÇô material ÔÇô perpendicular e) eletromagn??etica ÔÇô material ÔÇô paralela 7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada num lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequ?¿^encia das ondas ??e: a) 1 1 s 4 b) 1, 25 m c) 0, 80 s-1 d) 1,25Hz e) 20/s

Ondas ÔÇô Aula 3 Ondas e Interfer^encia Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regi~ao do espac?©o da??-se o que chamamos de interfer^encia. O resultado da in- terfer^encia entre duas ondas depende da diferenc?©a de fase entre Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como v??alido o princ???pio de superposic?©~ao: ÔÇ£Os deslocamentos causados no meio pela presenc?©a de duas ou mais ondas sa~o somados, ou seja, superpostos, como se cada onda continuasse se propagando como se as outras na~o existissem.ÔÇØ Ou seja, uma na~o afeta as outras, mas o que observamos ??e o Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso sim- ples, os deslocamentos do meio sera~o somados algebricamente, podendo-se obter interfer^encia destrutiva e construtiva.

Interfer^encia Destrutiva Na ?gura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinciden- tes. As duas t^em a mesma amplitude, o mesmo comprimento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento m??aximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferenc?©a de fase entre Nesse caso, a interfer^encia ??e chamada de construtiva, pois uma onda soma-se `a outra, reforc?©ando-a, e o resultado ??e uma u??nica onda cuja amplitude ??e a soma das duas amplitudes.

Interfer^encia Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento m??aximo positivo de uma corresponde com o deslocamento m??aximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante) Na outra ?gura abaixo, as duas ondas t^em uma diferenc?©a de fase de ÔÇ£meia ondaÔÇØ. Isso faz com que um alto de uma delas coincida com um baixo da outra. Acontece, enta~o, uma in- terfer^encia destrutiva entre elas. O resultado ??e que uma anula ?» completamente o efeito da outra. Nessa regi~ao na~o haver??a mais onda nenhuma.

Caso Geral de Interfer^encia Em geral, podemos observar num mesmo meio a propagac?©a~o de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, na~o sendo 71

poss???vel a observac?©a~o da interfer^encia construtiva e nem da destrutiva, mas a onda resultante ??e resultado da interfer^encia Na ?gura a seguir, as duas ondas t^em uma diferenc?©a de fase gen??erica. A interfer^encia entre elas na~o ??e totalmente cons- trutiva nem totalmente destrutiva. O resultado ??e uma onda u??nica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a soma das amplitudes das ondas, dependendo da diferenc?©a de fase entre elas.

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