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Apostila para Vestibular

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Apostila Preparat´oria para o Vestibular Vocacionado UDESC Aline Felizardo Gol¸calves Andr´e Alexandre Silveira Andr´e Ant^onio Bernardo C´esar Manchein Fl´abio Esteves Cordeiro Gisele Maria Leite Dalm^onico Marcio Rodrigo Loos Priscila Fischer Ricardo Fernandes da Silva Sidinei Schaefer Professores

MUNDO F´ISICO Nossa Apostila A edic¸a~o dessa apostila, concretiza os esforc¸os feitos desde o ano de 2003, quando os alunos do antigo Curso de Licenciatura Plena em F´?sica da UDESC mobilizaram-se por forc¸a e von- tade pr´opria no desenvolvimento e apresentac¸a~o de um Curso Pr´e-Vestibular aberto `a comunidade, gratuito, que preparasse melhor os alunos interessados nos cursos oferecidos pelo Centro de Ci^encias Tecnol´ogicas (CCT) da UDESC-Joinville.

Essa primeira tentativa de implantar o Curso Pr´e-Vestibular na~o chegou a se realizar, por razo~es puramente burocr´aticas, apesar dos esforc¸os gastos na preparac¸a~o das aulas e do mate- rial did´atico inicial.

Nos anos seguintes, a id´eia original foi abrac¸ada por um projeto de extens~ao o?cial, e so´ enta~o pode ser realizado com sucesso, j´a tendo atendido milhares de alunos desde enta~o.

Adaptada ao vestibular vocacionado da UDESC, esperamos que esse material seja su?ciente para a revis~ao dos conteu´dos exigidos pela Universidade.

Convidamos a todos para que visitem o nosso site! Nosso Endere¸co na Internet

v QU´IMICA 125 Qu´?mica ? Aula 1: Estrutura At^omica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Qu´?mica ? Aula 2: Modelos At^omicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Qu´?mica ? Aula 3: Liga¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Qu´?mica ? Aula 4: Liga¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Qu´?mica ? Aula 5: A Estrutura da Mat´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Qu´?mica ? Aula 6: Teoria Cin´etica dos Gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Qu´?mica ? Aula 7: A´ cidos e Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Qu´?mica ? Aula 8: Solu¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Qu´?mica ? Aula 9: Equil´?brio I^onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Qu´?mica B ? Aula 1: O que ´e Qu´?mica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Qu´?mica B ? Aula 2: Mat´eria e Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Qu´?mica B ? Aula 3: Metais, Semi-metais e Ametais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Qu´?mica B ? Aula 4: Propriedades Peri´odicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Qu´?mica B ? Aula 5: Liga¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Qu´?mica B ? Aula 6: Liga¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Qu´?mica B ? Aula 7: Equa¸c~oes e Rea¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Qu´?mica B ? Aula 8: Equa¸c~oes e Rea¸c~oes (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Qu´?mica B ? Aula 9: Solu¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Qu´?mica B ? Aula 10: Fun¸c~oes Qu´?micas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Qu´?mica B ? Aula 11: Propriedades Coligativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Qu´?mica B ? Aula 12: Eletroqu´?mica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Qu´?mica Org^anica ? Aula 1: Introdu¸c~ao `a Qu´?mica Org^anica . . . . . . . . . . 175 Qu´?mica Org^anica B ? Aula 2: Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

vi Matem´atica A ? Aula 9: Circunfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Matem´atica A ? Aula 10: Circunfer^encia - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Matem´atica B ? Aula 1: Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Matem´atica B ? Aula 2: Opera¸c~oes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Matem´atica B ? Aula 3: Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Matem´atica B ? Aula 4: Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Matem´atica B ? Aula 5: Discuss~ao de um Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . 218 Matem´atica B ? Aula 6: Progress~ao Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 Matem´atica B ? Aula 7: Progress~ao Geom´etrica (PG) . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Matem´atica C ? Aula 1: Teoria dos Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Matem´atica C ? Aula 2: Conjuntos Num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Matem´atica C ? Aula 3: Nu´meros complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Matem´atica C ? Aula 4: Raz~oes e Propor¸c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Matem´atica C ? Aula 5: Regras de Tr^es Simples e Composta . . . . . . . . . . 235 Matem´atica C ? Aula 6: Juros e Porcentagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Matem´atica C ? Aula 7: An´alise Combinat´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Matem´atica C ? Aula 8: Arranjo, Combina¸c~ao e Permuta¸c~ao . . . . . . . . . . 240 Matem´atica C ? Aula 9: Bin^omio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Matem´atica C ? Aula 10: Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Matem´atica C ? Aula 11: Inequa¸c~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Matem´atica C ? Aula 12: Equa¸c~oes Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Matem´atica C ? Aula 13: Introdu¸c~ao `a Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Matem´atica C ? Aula 14: Tri^angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Matem´atica C ? Aula 15: Quadril´ateros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Matem´atica C ? Aula 16: Circunfer^encia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Matem´atica C ? Aula 17: Pol´?gonos e Figuras Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Matem´atica C ? Aula 18: Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Matem´atica C ? Aula 19: Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Matem´atica C ? Aula 20: Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

vii L´?ngua Portuguesa ? 06: Crase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 L´?ngua Portuguesa ? 07: Interpreta¸c~ao de Textos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 L´?ngua Portuguesa ? 08: Sin^onimos, Ant^onimos e etc. . . . . . . . . . . . . . . . . 284

HISTO´ RIA 287 Hist´oria ? Aula 1: Hist´oria de Santa Catarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

F´?sica Mec^anica Aula 1 Grandezas F´?sicas Apesar de existirem muitas grandezas f´?sicas, sa~o estabelecidos padro~es e de?nidas unidades para que tenhamos um nu´mero m´?nimo de grandezas denominadas fundamentais. Utilizando as grandezas fundamentais de?nem-se unidades para todas as A partir de uma das grandezas fundamentais, o comprimento por exemplo, cuja unidade ´e o metro (m), pode-se de?nir as unidades derivadas, como a´rea (m2) e volume (m3). Utilizando o metro e outra grandeza fundamental, a de tempo, de?nem-se as unidades de velocidade (m/s) e acelerac¸a~o (m/s2).

Sistema Internacional(SI) At´e o ?nal do s´eculo XV III era muito grande a quantidade de padro~es existentes. Cada regi~ao escolhia arbitrariamente as suas unidades. Por motivos hist´oricos, os pa´?ses de l´?ngua inglesa utilizam at´e hoje os seus padro~es regionais. O elevado aumento nos interc^ambios econo^micos e culturais levou ao sur- gimento do Sistema Internacional de Unidades ou SI, o sistema m´etrico.

Grandeza Unidade S´?mbolo comprimento metro m massa quilograma kg tempo segundo s corrente el´etrica amp`ere A temperatura kelvin K quantidade de mat´eria mol mol intensidade luminosa candela cd Tabela 1.1: Unidades fundamentais do SI.

Em 1971, a 14a Confer^encia Geral de Pesos e Medidas escolheu sete grandezas como fundamentais, formando assim a base do SI. Al´em das grandezas, de?niu-se tamb´em os s´?mbolos, uni- dades derivadas e pre?xos. A tabela 1.1 mostra as unidades fundamentais do SI. A tabela 1.2 apresenta algumas unidades derivadas do SI.

Nota¸c~ao Cient´??ca A medida de uma determinada grandeza f´?sica pode resultar em um nu´mero que seja extremamente grande ou extrema- mente pequeno, por exemplos temos: · dist^ancia da Terra `a Lua: 384.000.000 m.

Grandeza Unidade S´?mbolo ´area metro qua- m2 drado volume metro cu´bico m3 densidade quilograma kg/m3 por metro cu´bico velocidade metro por se- m/s gundo acelerac¸a~o metro por m/s2 segundo ao quadrado forc¸a newton N = Kg m/s2 pressa~o pascal P a = N/m2 trabalho, energia, calor joule J pot^encia watt W = J/s carga el´etrica coulomb C = As diferenc¸a de potencial volt V = J/C resist^encia el´etrica ohm = V /A Tabela 1.2: Algumas unidades derivadas do SI.

Pre?xo S´?mbolo Pot^encia de dez correspondente pico p 10-12 nano n 10-9 micro µ 10-6 mili m 10-3 centi c 10-2 deci d 10-1 deca D 101 hecto H 102 quilo k 103 mega M 106 giga G 109 tera T 1012 Tabela 1.3: Pre?xos, s´?mbolos e pot^encias de dez.

Para manipular tais nu´meros, utilizamos a notac¸a~o cient´??ca, O m´odulo de qualquer nu´mero g pode ser escrito como um produto de uma mantissa a, entre um e dez, por outro, que ´e uma pot^encia de dez: g = a × 10n , onde devemos ter 1 ? a < 10.

· 5.315 = 5, 315 × 1000 = 5, 315 × 103 · 0, 00024 = 2, 4 × 0, 0001 = 2, 4 × 10-4 · 0, 00458 = 4, 58 × 0, 001 = 4, 58 × 10-3

Regra Pr´atica · Nu´meros maiores que 1: deslocamos a v´?rgula para a esquerda, at´e atingir o primeiro algarismo do nu´mero. O nu´mero de casas deslocadas para a esquerda corresponde ao expoente positivo da pot^encia de 10.

· Nu´meros menores do que 1: deslocamos a v´?rgula O nu´mero de casas deslocadas para a direita corresponde ao expoente negativo da pot^encia de 10.

Pense um Pouco! · Quais sa~o as unidades de Peso e de massa? por que elas na~o sa~o iguais?

· Um analg´esico deve ser inserido na quantidade de 3 mg/kg de massa corporal, mas a dose administrada na~o pode ex- ceder 200 mg. Cada gota cont´em 5 mg do rem´edio. Quan- tas gotas devem ser prescritas a um paciente de 80 kg?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UENF-RJ) A tabela abaixo mostra as dimens~oes e as unidades, no sistema internacional, Grandeza Dimens~ao Unidades SI Comprimento L m (metro) Massa M kg (quilograma) Tempo T s (segundo) das grandezas meca^nicas prima´rias: a) Sabendo que forc¸a = massa · acelerac¸a~o, expresse a unidade b) Determine os valores de n e p, se a expressa~o M LnT n-p corresponde `a dimens~ao de energia cin´etica.

2. (FGV-SP) A dimens~ao de pot^encia em func¸a~o das grande- zas fundamentais, massa (M ), comprimento (L) e tempo (T ) ´e: a) M L2T -2 b) M L2T -1 c) M L2T 2 d) M L2T -3 e) M LT -2 3. (Unifor-CE) Considerando que cada aula dura 50 min, o intervalo de tempo de duas aulas seguidas, expresso em segun- dos, ´e de: e) 7, 2 × 103.

Exerc´?cios Complementares 4. (UFPI) A nossa gala´xia, a Via La´ctea, cont´em cerca de 400 bilho~es de estrelas. Suponha que 0, 05% dessas estrelas possuam um sistema planeta´rio onde exista um planeta seme- lhante `a Terra. O nu´mero de planetas semelhantes `a Terra, na Via La´ctea, ´e: e) 2 × 1012.

5. Transforme em quilo^metros: 6. (Unifor-CE) Um livro de F´?sica tem 800 pa´ginas e 4, 0 cm de espessura. A espessura de uma folha do livro vale, em mil´?metros: e) 0, 20.

7. Escreva os seguintes nu´meros em notac¸a~o cient´??ca: a) 570.000 b) 12.500 c) 50.000.000 d) 0, 0000012 e) 0, 032 f) 0, 72 g) 82 × 103 h) 640 × 105 i) 9.150 × 10-3 j) 200 × 10-5 k) 0, 05 × 103 l) 0, 0025 × 10-4 Mec^anica Aula 2

Algarismos Signi?cativos A precis~ao de uma medida simples depende do instrumento utilizado em sua medic¸a~o. Uma medida igual a 2, 00 cm na~o Denominamos algarismos signi?cativos todos os algarismos co- nhecidos com certeza, acompanhados de um u´ltimo duvidoso, que expressam o valor da medida de uma grandeza, ou seja: to- dos os algarismos que representam a medida de uma grandeza sa~o algarismos signi?cativos, sendo chamados de corretos, com O algarismo duvidoso de uma medida sera´ sublinhado para destaca´-lo, quando for preciso.

Meca^nica ? Aula 2 Exemplos 1. A medida 2, 35 cm apresenta tr^es algarismos signi?cativos (2, 3 e 5), sendo dois algarismos corretos (2 e 3) e um algarismo duvidoso (5).

2. A medida 0, 00057 mm apresenta somente dois algaris- mos signi?cativos ( 5 e 7), sendo um correto (5) e um duvidoso (7). Observe que os zeros a` esquerda na~o sa~o algarismos signi?cativos, pois servem apenas para posi- cionar a v´?rgula no nu´mero. Nesse caso, ´e aconselha´vel escrever a medida em notac¸a~o cient´??ca: 5, 7 × 10-4 mm.

3. A medida 150, 00 km apresenta cinco algarismos signi?ca- tivos, sendo os quatro primeiros corretos, e o u´ltimo zero ´e o algarismo duvidoso. Em notac¸a~o cient´??ca escrevemos: 1, 5000 × 102 km. Note que ao escrevermos um nu´mero usando as pot^encias de 10 mantemos a quantidade de al- garismos signi?cativos deste nu´mero, ou seja, mantemos sua precis~ao.

4. Considere a medida do comprimento de uma haste com r´egua com divis~oes em cent´?metros: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Qual das opc¸o~es abaixo melhor representa o comprimento a) 5, 0 cm b) 5, 40 cm c) 5 cm d) 5, 5 cm e) 5, 2 cm 5. Considere a ?gura: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

A mesma haste do exemplo anterior, medida agora com uma r´egua milimetrada: a) 5, 2 cm b) 5, 240 cm c) 5, 45 cm d) 5, 24 cm e) 5, 21 cm 6. Indique o nu´mero de algarismos nu´mero abaixo: a) 7, 4 b) 0, 0007 c) 0, 034 d) 7, 40 × 10-10 signi?cativos de cada

2 signi?cativos 1 signi?cativo 2 signi?cativos 3 signi?cativos 3

Crit´erios de Arredondamento Como devemos proceder para escrever ?c? com um nu´mero me- nor de algarismos signi?cativos? Devemos utilizar os crit´erios Podemos escrever: c = 2, 998 × 108 m/s 4 signi?cativos c = 3, 00 × 108 m/s 3 signi?cativos c = 3, 0 × 108 m/s 2 signi?cativos

REGRAS · Se o algarismo a ser eliminado ´e menor que 5, ele ´e sim- ? Exemplo: 2 = 1, 41421 . . . = 1, 414 · Se o algarismo a ser eliminado ´e igual ou maior que 5, ele ´e eliminado, mas acrescentamos uma unidade no algarismo Exemplo: ? = 3, 1415926 . . . = 3, 1416

Opera¸c~oes com Algarismos Signi?cativos Adic¸~ao e Subtrac¸~ao O resultado da adic¸a~o e subtrac¸a~o de dois nu´meros na~o pode ter maior nu´mero de casas decimais, do que a parcela mais pobre (em casas decimais). Procede-se a operac¸a~o normal- Exemplos · 5, 3 m + 4, 38 m = 9, 68 m = 9, 7 m · 138, 95 m - 12, 3 m = 126, 65m = 126, 7 m Sublinhamos o algarismo duvidoso, identi?cando-o, para a se- guir procedermos o arredondamento.

grandezas (varia´vel dependente) em relac¸a~o a outra (varia´vel Consideremos o seguinte exemplo: Uma pessoa com febre foi medicada, ingerindo uma dose do medicamento `as 8 horas e uma outra dose a`s 12 horas da manha~. A temperatura da pessoa foi veri?cada de hora em hora e os resultados obtidos sa~o mostrados abaixo.

Tempo (h) Temperatura (?C) 0 39,0 1 39,0 2 38,5 3 38,0 4 38,5 5 37,5 6 37,0 7 36,5 8 36,5 9 36,5

A representac¸a~o gr´a?ca das varia´veis temperatura (varia´vel de- pendente: eixo vertical) e tempo (varia´vel independente: eixo horizontal) esta´ mostrada na Fig. 1.1.

40.0 39.0 T(oC) 38.0 37.0 36.0 35.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 t(h)

Figura 1.1: Gra´?co da temperatura em func¸a~o do tempo O gr´a?co cartesiano mostrado anteriormente, al´em de facilitar a visualizac¸a~o do comportamento da temperatura da pessoa durante as 9 horas de observac¸a~o, permite tamb´em, algumas conclus~oes.

Como Construir um Gr´a?co Para que gr´a?cos sejam constru´?dos de forma objetiva e clara ´e necessa´rio respeitar algumas regras simples: · O eixo vertical ´e chamado de eixo das abscissas e o hori- zontal de eixo das coordenadas;

· a varia´vel dependente deve ser colocada no eixo vertical e a varia´vel independente no eixo horizontal;

· os eixos devem se encontrar no canto inferior esquerdo do · as escalas sa~o independentes e devem ser constru´?das in- dependentemente;

· as divis~oes num´ericas das escalas (lineares) devem ser re- gulares;

· as escalas devem crescer da esquerda para a direita, e de · antes de iniciar a construc¸a~o de um gr´a?co deve-se ve- ri?car a escala a ser usada levando em considerac¸a~o os valores extremos, ou seja, o maior e o menor valor assu- mido por ambas as varia´veis do gr´a?co. Divide-se enta~o o espac¸o dispon´?vel, em cada eixo, para que acomode todos os pontos experimentais;

· o teste ?nal para saber se as escalas esta~o boas ´e feito veri?cando-se se ´e f´acil de ler as coordenadas de qualquer ponto nas escalas.

Pense um Pouco! · A func¸a~o da posic¸a~o x em relac¸a~o ao tempo t de um ponto material em movimento retil´?neo, expressa em unidades do SI, ´e x = 10 + 5, 0t Determine: b) o instante em que a posic¸a~o do ponto material ´e x = c) esboce o gr´a?co x × t do movimento.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Determine o comprimento de cada haste: 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 a) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7 b) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

c) 0 cm 1 2 3 4 5 6 7

Meca^nica ? Aula 3 entre dois trac¸os paralelos, muito ?nos, feitos por um estilete sobre uma superf´?cie plana e lisa. Considerando que na~o houve erro grosseiro, o resultado de uma so´ medic¸a~o, com o nu´mero correto de algarismos signi?cativos, ´e mais bem representado por: a) 2 m b) 21 dm c) 214 cm d) 2, 143 m e) 2.143, 4 m

Exerc´?cios Complementares 3. (Cesgranrio) Um estudante deseja medir o comprimento de sua mesa de trabalho. Na~o dispondo de r´egua, decide utilizar um toco de la´pis como padra~o de comprimento. Veri?ca enta~o Chegando ao col´egio, mede com uma r´egua o comprimento do seu toco de la´pis, achando 8, 9 cm. O comprimento da mesa sera´ corretamente expresso por: a) 120, 15 cm b) 120, 2 cm c) 1 × 102 cm d) 1, 2 × 102 cm e) 102 cm 4. (PUC-MG) Um estudante concluiu, apo´s realizar a medida necessa´ria, que o volume de um dado ´e 2, 36 cm3. Levando-se em conta os algarismos signi?cativos, o volume total de cinco dados, id^enticos ao primeiro, sera´ corretamente expresso por: a) 6, 8 cm3 b) 7 cm3 c) 13, 8 cm3 d) 16, 80 cm3 e) 17, 00 cm3 5. Medindo a espessura de um caderno comum de 100 folhas, sem considerar as capas, um estudante obteve a medida de 1, 0 cm. A ordem de grandeza da espessura m´edia de uma folha ´e: a) 10-1 mm b) 10-2 mm c) 10-3 mm d) 10-4 mm e) 10-5 mm

Mec^anica Aula 3 Grandezas Escalares e Vetoriais Na F´?sica tratamos de dois tipos principais de grandezas: as grandezas escalares e grandezas vetoriais.

Grandezas Escalares A grandeza escalar ´e aquela que ?ca perfeitamente carac- terizada quando conhecemos apenas sua intensidade acom- panhada pela correspondente unidade de medida. Como 5

exemplos de grandeza f´?sica escalar podemos citar a massa de um corpo (por exemplo, 50 kg), a temperatura (por exem- plo 36 oC), o volume (5 m3, por exemplo), a densidade (para a ´agua, 1000 kg/m3), a pressa~o (105 N/m2), a energia (por Para operar com grandezas escalares, segue-se as regras de operac¸o~es alg´ebricas comuns, arredondando-se quando ne- cess´ario.

Grandezas Vetoriais Dada a velocidade instanta^nea de um m´ovel qualquer (por exemplo, um avia~o a 380 km/h), constatamos que apenas essa indicac¸a~o ´e insu?ciente para dizermos a direc¸a~o em que o m´ovel segue. Isso acontece porque a velocidade ´e uma grandeza Para uma grandeza f´?sica vetorial ?car totalmente caracteri- zada, ´e necessa´rio saber na~o apenas a sua intensidade ou m´odulo mas tamb´em a sua direc¸~ao e o seu sentido. Geral- mente a grandeza vetorial ´e indicada por uma letra com uma setinha (por exemplo, v) e o m´odulo ou intensidade, por |v| ou A grandeza f´?sica vetorial pode ser representada gra?camente por um segmento de reta (indicando a direc¸a~o da grandeza) dotado de uma seta (indicativa de seu sentido) e trazendo ainda seu valor seguido da unidade de medida (indicac¸a~o de seu m´odulo ou intensidade). Tal representac¸a~o ´e denominada No exemplo anterior do avia~o, poder´?amos dizer, por exemplo, que ele se movimenta num certo instante com velocidade v, de m´odulo v = 380 km/h, na direc¸a~o norte-sul e sentido de sul para norte. Essa velocidade vetorial instanta^nea pode ser representada por um vetor, como mostra a ?gura 1.1.

380 km/h N OL S Figura 1.1: Exemplo de representac¸a~o vetorial Como a?rmamos anteriormente, para representar grandezas vetoriais ´e preciso indicar, al´em do m´odulo, a direc¸a~o e o sen- tido da grandeza. Podemos fazer essa indicac¸a~o utilizando um vetor (veja a ?gura 1.2). O vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado cujo tamanho - intensidade - ´e Para melhor entendermos o signi?cado e a representac¸a~o de Na ?gura de cima os vetores representados possuem mesma dire¸ca~o e sentido; na ?gura de baixo os vetores apresentam a mesma dire¸ca~o e sentidos opostos. Portanto, podemos notar que vetores de mesma direc¸a~o sa~o paralelos, o que na~o garante que tenham o mesmo sentido.

S Figura 1.2: A reta s, que cont´em o vetor, indica a dire¸ca~o e a seta indica o sentido

b d a c a b Figura 1.3: Representac¸a~o de alguns vetores Soma de Vetores Paralelos Quando os vetores tem a mesma direc¸a~o, podemos determi- nar o m´odulo do vetor soma estabelecendo convencionalmente um sentido como positivo e somando algebricamente os seus m´odulos. Observe: a

c b ab dc Figura 1.4: De acordo com a convenc¸a~o adotada, o mo´dulodo vetor sera´ d = a + b - c.

Assim, os vetores a e b sa~o positivos e o vetor c ´e negativo. O m´odulo do vetor soma, d, ´e dado por

d=a+b-c Se obtermos um valor positivo para d, isso signi?ca que seu se for negativo, o seu sentido ´e negativo, isto ´e, o vetor ´e hori- zontal para a esquerda.

Vetores Perpendiculares Imaginaremos agora, que um m´ovel parte de um ponto A e so- fre um deslocamento d1 no sentido leste, atingindo um ponto B e, em seguida, um deslocamento d2 no sentido norte, atingindo um ponto C (veja a ?gura 1.5)

C N OL d S d 2

A B d 1 Figura 1.5: O deslocamento d equivale aos deslocamentos d1 e d2. Portanto d = d1 + d2.

Podemos notar facilmente que o deslocamento d1, de A para B, e o d2, de B para C, equivalem a um u´nico deslocamento, d, de A para C. Desta forma, o deslocamento d ´e a soma vetorial ou resultante dos deslocamentos d1 e d2, ou seja, d = d1 + d2 Este resultado ´e v´alido para qualquer grandeza vetorial. Veja a ?gura 1.6.

b c b a Os vetores a e b tem como vetor soma resultante o vetor c. E´ crucial notar que a colocac¸a~o do vetor b na origem ou na extre- midade do vetor a na~o altera o vetor soma c. Deve-se observar que os vetores a, b e c formam um tria^ngulo reta^ngulo, em que c ´e a hipotenusa a e b sa~o catetos. Para obtermos o m´odulo do vetor resultante, basta aplicar o teorema de Pita´goras: c2 = a2 + b2

Soma de Vetores A soma de vetores perpendiculares entre si ou de direc¸o~es quaisquer na~o apresenta muita diferenc¸a. Para um m´ovel, par- tir de A e atingir B num deslocamento d1 e, em seguida, atingir C num deslocamento d2 equivale a partir de A e atingir C num deslocamento d (veja ?gura 1.7). Desta forma, d = d1 + d2

Meca^nica ? Aula 3 d A d 1 C d 2 B Figura 1.7: O deslocamento d equivale aos deslocamentos d1 e d2.

^angulo entre d1 e d2 na~o ´e reto (90o). Assim, aplicamos a regra Os vetores a e b formam um paralelogramo cuja diagonal ´e o vetor resultante c. De acordo com a regra do paralelogramo, se a e b formam entre si um ^angulo ?, o m´odulo do vetor resultante c sera´ dado pela expressa~o: c2 = a2 + b2 + 2ab · cos ?

Decomposic¸~ao de Vetores Ao somarmos dois vetores, podemos obter um u´nico vetor, o vetor resultante, equivalente aos dois vetores somados. Ao Dado um vetor a, obt´em-se outros dois vetores ax e ay tal que O vetor ay pode ser deslocado para a extremidade do vetor ax de tal forma que o vetor a e seus vetores componentes ax e ay formem um tria^ngulo reta^ngulo (?gura 1.10). Aplicando a trigonometria ao tria^ngulo reta^ngulo, podemos determinar o m´odulo dos componentes ax (horizontal) e ay (vertical) de a em func¸a~o do ^angulo ?. Desta forma, no tria^ngulo hachurado da ?gura 1.10, temos cateto adjacente ax cos ? = ? cos ? = hipotenusa a ax = a · cos ? Temos ainda cateto oposto ay sin ? = ? sin ? = hipotenusa a ay = a · sin ? Podemos relacionar o m´odulo do vetor e o m´odulo de seus componentes ortogonais, aplicando o teorema de Pita´goras no tria^ngulo formado por a e seus componentes ax e ay: a2 = a2 + a2 xy

Pense um Pouco! · O m´odulo da soma de dois vetores pode ser igual `a soma de seus m´odulos? Quando?

7 c b a c b a Figura 1.8: A diagonal do paralelogramo, cujos lados sa~o os vetores a e b, ´e o vetor resultante c. Podemos deslocar o vetor b para outra extremidade de a, reproduzindo a ?gura anterior.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Um m´ovel desloca-se 120 m no sentido oeste-leste, e em b) Determine o m´odulo do deslocamento resultante.

2. Na ?gura, F1 = F2 = 100 N . Determine o m´odulo da F 2o 120

F 1 3. Um proj´etil ´e atirado com velocidade de 400 m/s fazendo um ^angulo de 45? com a horizontal. Determine os componentes vertical e horizontal da velocidade do proj´etil.

y a y a x a x Figura 1.9: O vetor a pode ser decomposto em um componente horizontal, ax, e outro vertical, ay.

a y a a y a x Figura 1.10: O vetor a e seus componentes ax e ay formam um tria^ngulo reta^ngulo, onde a ´e a hipotenusa e ax e ay sa~o os catetos.

Exerc´?cios Complementares 4. Na ?gura abaixo esta~o representadas duas forc¸as: F1, de m´odulo F1 = 5,0 N e F2, de m´odulo F2 = 3,0 N, formando entre si um ^angulo ? = 60?. Determine a forc¸a resultante FR para o sistema de forc¸as mostrado.

5. Um vetor velocidade ´e decomposto em dois outros, perpen- diculares entre si. Sabendo que o m´odulo do vetor ´e 10, 0 m/s e que um dos componentes tem m´odulo igual a 8, 0 m/s, deter- mine o m´odulo do vetor correspondente ao outro componente.

6. Um proj´etil ´e lanc¸ado do solo segundo uma direc¸a~o que forma 53o com a horizontal com uma velocidade de 200 m/s (veja a ?gura a seguir). Determine o m´odulo dos componen- tes horizontal, vx, e vertical, vy, dessa velocidade. Dados: sin(53?) = 0, 80 e cos(53?) = 0, 60 v

o = 53 7. Um avia~o voa no sentido sul-norte com uma velocidade de 900 km/h. Num determinado instante passa a soprar um forte a) Fac¸a um esquema gr´a?co representando a velocidade do b) Determine o m´odulo da velocidade resultante. Dado: cos(45?) = 0, 71.

Mec^anica Aula 4 A Primeira Lei de Newton O Conceito de For¸ca Geralmente utilizamos uma forc¸a com o objetivo de empur- rar, puxar ou levantar objetos. Essa id´eia ´e correta, por´em incompleta. A id´eia de puxar ou empurrar esta´ quase sempre associada a id´eia de contato, o que exclui uma caracter´?stica fundamental da noc¸a~o de forc¸a: a ac¸a~o a` dista^ncia. A atrac¸a~o gravitacional entre o Sol e a Terra, por exemplo, ´e exercida a F 1

Meca^nica ? Aula 4 velocidade do corpo sobre o qual ela est´a sendo aplicada.

A Primeira Lei de Newton Antes de falarmos da Primeira Lei de Newton, devemos pen- sar em uma pergunta: ?o que acontece com o movimento de um corpo livre de qualquer forc¸a?? Essa pergunta pode ser respondida em duas partes. A primeira trata do efeito da ine- xist^encia de forc¸as sobre o corpo em repouso: se nenhuma A segunda parte trata do efeito da inexist^encia de forc¸as sobre o corpo em movimento: se nenhuma forc¸a atua sobre o corpo Mas que tipo de movimento? Ja´ que na~o existem forc¸as atu- ando sobre o corpo, sua velocidade na~o varia de m´odulo ou direc¸a~o. Desta forma, o u´nico movimento poss´?vel do corpo na aus^encia de qualquer forc¸a atuando sobre ele ´e o movimento A Primeira Lei de Newton reu´ne as duas respostas anteriores em um u´nico enunciado: Todo corpo tende a manter seu estado de re- pouso ou de movimento retil´?neo e uniforme, a menos que forc¸as externas provoquem va- riac¸~ao na sua velocidade.

De acordo com a primeira Lei de Newton, podemos a?rmar que na aus^encia de forc¸as, todo corpo tende a ?car como est´a: parado se estiver parado, em movimento retil´?neo uniforme, se estiver em movimento (retil´?neo uniforme). Por este motivo essa lei tamb´em ´e chamada de Princ´?pio da In´ercia.

Todos os corpos apresentam a tend^encia de se manter em re- pouso ou em movimento retil´?neo uniforme. Essa propriedade dos corpos ´e chamada in´ercia. A palavra in´ercia ´e derivada do latim inertia, que signi?ca indol^encia ou preguic¸a. Os corpos t^em uma esp´ecie de resist^encia `as modi?cac¸o~es de sua veloci- dade.

Equil´?brio de uma Part´?cula Dizemos que uma part´?cula se encontra em equil´?brio, quando a resultante das forc¸as atuando sobre ela for nula. Se a resultante ´e nula, na~o ocorre alterac¸a~o na velocidade do objeto. Assim,se ele estiver em repouso, chamamos o equil´?brio de esta´tico; se 9

Figura 1.2: Ao parar bruscamente, o cavaleiro continua seu ele estiver em movimento retil´?neo e uniforme, o equil´?brio sera´ chamado de din^amico.

Pense um Pouco! · Qual a relac¸a~o entre a Primeira Lei de Newton e o cinto de seguranc¸a? e o encosto para a cabec¸a no banco do carro?

· Por que quando um ^onibus freia repentinamente, os pas- sageiros sa~o ?arremessados? para a frente? e o que ocorre quando o ^onibus ´e acelerado?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFMG) Um corpo de massa m esta´ sujeito `a ac¸a~o de uma forc¸a F que o desloca segundo um eixo vertical em sentido contr´ario ao da gravidade. Se esse corpo se mover com veloci- dade constante ´e porque: e) a a?rmac¸a~o da questa~o esta´ errada, pois qualquer que seja F o corpo estara´ acelerado porque sempre existe a acelerac¸~ao da gravidade.

2. (UNESP-SP) Assinale a alternativa que representa o enun- ciado da Lei da In´ercia, tamb´em conhecida como primeira Lei a) Qualquer planeta gira em torno do Sol descrevendo uma b) Dois corpos quaisquer se atraem com uma forc¸a proporcio- nal ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao c) Quando um corpo exerce uma forc¸a sobre outro, este re- age sobre o primeiro com uma forc¸a de mesma intensidade e d) A acelerac¸a~o que um corpo adquire ´e diretamente propor- cional `a resultante das forc¸as que nele atuam, e tem mesma e) Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de mo- vimento uniforme em uma linha reta, a menos que sobre ele estejam agindo forc¸as com resultante na~o nula.

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3. (UNESP-SP) As estat´?sticas indicam que o uso do cinto de cada corpo, foi denominado pelos f´?sicos de massa do corpo. seguranc¸a deve ser obrigato´rio para prevenir leso~es mais graves Desta forma, podemos a?rmar: em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisicamente, a func¸a~o do cinto esta´ relacionada com a: A massa m de um corpo ´e o quociente entre o a) primeira Lei de Newton. m´odulo da forc¸a que atua num corpo e o valor b) lei de Snell. da acelerac¸~ao a que ela produz neste corpo. Assim, F e) primeira Lei de Kepler. m = a No sistema internacional (SI), a unidade para medida de massa Exerc´?cios Complementares ´e o quilograma: 1 quilograma = 1 kg = 1000 g 4. (Unitau-SP) Uma pedra gira em torno de um apoio ?xo, Pela Lei da In´ercia, conclui-se que: Massa e In´ercia Suponhamos que uma forc¸a F foi aplicada a tr^es corpos de b) a pedra sai em linha reta, segundo a direc¸a~o perpendicular massa diferentes, como tr^es blocos de ferro, com volumes di- versos. Imaginaremos que a superf´?cie na qual estes blocos c) a pedra sai em linha reta, segundo a direc¸a~o da corda no esta~o apoiados na~o apresenta atrito. Analisando a equac¸a~o m = F /a, percebemos facilmente que: e) a pedra na~o tem massa. - Quanto maior m ? menor a 5. (Ucsal-BA) Uma mesa, em movimento uniforme retil´?neo, - Quanto maior m ? maior a di?culdade de alterar a veloci- so´ pode estar sob a ac¸a~o de uma: dade do corpo. b) u´nica forc¸a horizontal. Podemos concluir que d) forc¸a nula de atrito. Quanto maior ´e a massa de um corpo, maior e) forc¸a vertical que equilibre o peso. ser´a sua in´ercia (di?culdade de ter sua velo- cidade alterada), isto ´e, a massa representa a 6. (Fiube-MG) Uma part´?cula se desloca ao longo de uma medida de in´ercia de um corpo. reta com acelerac¸a~o nula. Nessas condic¸o~es, podemos a?rmar corretamente que sua velocidade escalar ´e: As conclus~oes anteriormente, explicam porque um caminha~o a) nula. vazio (quando sujeito a uma forc¸a F) adquire uma acelerac¸a~o b) constante e diferente de zero. maior do que quando esta cheio, por exemplo. A Segunda Lei de Newton De acordo com o princ´?pio da in´ercia, um corpo so´ pode sair de seu estado de repouso ou de movimento retil´?neo com velo- Mec^anica Aula 5 cidade constante se sobre ele atuar uma forc¸a resultante ex- terna. Neste momento, poder´?amos perguntar: ?O que acon- tece se existir uma forc¸a resultante externa agindo no corpo?? Nesta situac¸a~o, o corpo ?ca sujeito a uma acelerac¸~ao, ou seja, um corpo sujeito a uma forc¸a resultante externa movimenta-se A Segunda Lei de Newton com velocidade vari´avel.

E´ muito comum encontrarmos a de?nic¸a~o de massa de um corpo da seguinte maneira: ?a massa de um corpo representa a quantidade de mat´eria que ele possui?. Em cursos elementa- res de ci^encias, esta de?nic¸a~o pode ser aceita como uma id´eia inicial da noc¸a~o de massa, embora na~o possa ser considerada uma de?nic¸a~o precisa dessa grandeza. De fato, a de?nic¸a~o apresentada na~o ´e adequada, pois pretende de?nir um novo conceito ? massa ? por meio de uma id´eia vaga, que na~o tem signi?cado f´?sico preciso ? quantidade de mat´eria. E´ f´acil perceber que, se quisermos acelerar um corpo, por Experimentalmente os f´?sicos constataram que entre a forc¸a F exemplo, desde o repouso at´e 30 km/h em um intervalo de aplicada a um corpo e a acelerac¸a~o a, que ele adquire, existe tempo de 30 s, a intensidade da forc¸a que teremos de aplicar uma proporc¸a~o direta. Desta forma, o quociente F/a ´e cons- depender´a da massa do corpo. Se, por exemplo, o corpo for um tante para um certo objeto. Este quociente, que ´e intr´?nseco a carro, ´e evidente que a forc¸a necessa´ria sera´ muito menor do F

Meca^nica ? Aula 5 que se tratasse de um caminha~o. Desta forma, quanto maior a massa do corpo, maior dever´a ser a intensidade da forc¸a Foi Isaac Newton quem obteve essa relac¸a~o entre massa e forc¸a, que constitui a segunda lei de Newton ou princ´?pio fun- damental da din^amica. Temos, enta~o que A acelerac¸~ao de um corpo submetido a uma forc¸a resultante externa ´e inversamente pro- porcional `a sua massa, e diretamente propor- cional a intensidade da forc¸a.

Assim, para uma dada forc¸a resultante externa F, quanto maior a massa m do corpo tanto menor sera´ a acelerac¸a~o a adquirida. Matematicamente, a segunda lei de Newton ´e dada por: F = ma Esta equac¸a~o vetorial impo~e que a forc¸a resultante e a ace- lerac¸a~o tenham a mesma direc¸a~o e o mesmo sentido. No SI a unidade de forc¸a ´e o newton ou (N ): 1 N = 1 kg · m/s2 Por de?nic¸a~o, o newton ´e a forc¸a que produz uma acelerac¸a~o de 1 m/s2 quando aplicada em uma massa de 1 kg.

Diagrama de Corpo Livre Antes de resolver qualquer problema de din^amica, ´e de fun- damental importa^ncia a identi?cac¸a~o de todas as forc¸as rele- vantes envolvidas no problema. Para facilitar a visualizac¸a~o destas forc¸as, isola-se cada corpo envolvido e desenha-se um diagrama de corpo livre ou diagrama de forc¸as para cada corpo, que ´e um esquema simpli?cado envolvendo todas Por exemplo, se um bloco escorrega, descendo um plano incli- nado com atrito, teremos o seguinte diagrama de corpo livre para o bloco: NF at m

P Figura 1.1: Diagrama de corpo livre para um bloco escorre- gando num plano inclinado.

Observe Nesse exemplo, o bloco ´e tratado como uma part´?cula, por sim- pli?cac¸a~o, na~o sendo relevante suas dimens~oes ou o ponto de aplicac¸a~o das forc¸as, colocadas todas no seu centro geom´etrico, por conveni^encia. Desprezou-se a forc¸a de empuxo do ar, a forc¸a de resist^encia viscosa ao movimento do bloco, tamb´em causada pelo ar, e outras forc¸as irrelevantes ao problema.

11 Pense um Pouco! · E´ muito comum nos depararmos com a situac¸a~o na qual um carro e um caminha~o esta~o emparelhados aguardando o sinal verde do sem´aforo. Voc^e sabe por qu^e, quando o sinal ?ca verde, o carro quase sempre sai na frente, apesar de o caminha~o ter um motor mais possante?

· Se o peso de um corpo ´e proporcional `a sua massa, enta~o podemos a?rmar que todos os corpos tera~o a mesma ace- lerac¸a~o, em queda livre?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Na ?gura abaixo os blocos A, B e C esta~o sobre um plano horizontal sem atrito.

A B Sendo F = 20 N , ma = 3, 0 kg, mb = 8, 0 kg e mc = 9, 0 kg, determine: Admitir a massa dos ?os desprez´?vel.

2. (Uneb-BA) Um elevador de 500 kg de massa sobe acelerado a 2 m/s2. Considerando g = 10 m s2, a trac¸a~o no cabo que o sustenta, ´e de: a) 6000 N b) 5000 N c) 4000 N d) 3000 N e) 2000 N

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao F C A B Admitindo g = 10 m/s2 e o ?o inextens´?vel de massa des- prez´?vel como a massa da polia, determine: b) a trac¸a~o no ?o.

4. No conjunto da ?gura abaixo, temos mA = 1, 0 kg, mB = 2, 0 kg e mC = 2, 0 kg. O bloco B se apo´ia num plano sem atrito. Sa~o desprez´?veis as massas da polia e do ?o, que ´e inextens´?vel.

C A B Admitindo g = 10 m/s2, determine: 5. Na ?gura, a forc¸a F tem intensidade 90 N . Despreze os atritos e as in´ercias do ?o e da roldana. Quais os valores da acelerac¸a~o do conjunto e da forc¸a que traciona o ?o?

F 6 kg 4 kg 6. (UEL-PR) Os tr^es corpos, A, B e C, representados na ?gura t^em massas iguais, m = 3, 0 kg C A B

O plano horizontal, onde se apo´iam A e B, na~o fornecem atrito, a roldana tem massa desprez´?vel e a acelerac¸a~o local da gravi- dade pode ser considerada g = 10 m/s2. A trac¸a~o no ?o que une os blocos A e B tem m´odulo: a) 10 N b) 15 N c) 20 N d) 25 N e) 30 N 7. (U. F. Lavras-MG) Um bloco de peso igual a 50 N encontra- se sobre uma balanc¸a no piso de um elevador. Se o elevador sobe com acelerac¸a~o igual, em m´odulo, `a metade da acelerac¸a~o da gravidade local, pode-se a?rmar que a leitura da balanc¸a: a) sera´ de 25 N b) permanece inalterada c) sera´ de 75 N d) sera´ de 100 N e) sera´ de 200 N Mec^anica Aula 6

Energia A energia se apresenta de diversas formas na natureza. Por exemplo os alimentos que nos proporcionam energia qu´?mica, a combusta~o da gasolina libera energia t´ermica, energia el´etrica ´e utilizados em diversos aparelhos, transformando-se em energia sonora, energia luminosa, etc. Para medir a quantidade de energia transferida de um corpo para outro vamos introduzir o conceito de trabalho.

Trabalho O signi?cado da palavra trabalho, na F´?sica, ´e diferente do seu signi?cado habitual, empregado na linguagem comum. O tra- balho, na F´?sica ´e sempre relacionado a uma forc¸a que desloca uma part´?cula ou um corpo. Dizemos que uma forc¸a F realiza trabalho quando atua sobre um determinado corpo que esta´ em movimento. A partir dessa descric¸a~o podemos dizer que so´ ha´ trabalho sendo realizado se houver deslocamento, caso contr´ario o trabalho realizado sera´ nulo. Assim, se uma pes- soa sustenta um objeto, sem desloca´-lo, ela na~o esta´ realizando Quando uma forc¸a F atua sobre um corpo no mesmo sentido de seu movimento (ou deslocamento) ela esta´ favorecendo o movimento desse corpo, considera-se positivo o trabalho reali- zado pela forc¸a.

Uma For¸ca Constante Quando a forc¸a F atua no sentido contra´rio ao movimento do corpo, contra o movimento (deslocamento), o trabalho reali- zado pela forc¸a ´e considerado negativo.

FF d Desta maneira podemos escrever que trabalho W realizado por uma forc¸a horizontal constante, durante um deslocamento horizontal d ´e: W = ±F d (1.1) onde F ´e o m´odulo da forc¸a constante e d ´e o deslocamento (em m´odulo). O sinal + ´e usado quando a forc¸a e o desloca- mento possuem o mesmo sentido, e o sinal -, quando possuem Importante Observe que o trabalho ´e uma grandeza escalar, apesar de ser Unidades

Meca^nica ? Aula 6 1 kJ = 103 J Quando a forc¸a for aplicada ao corpo formando um ^angulo ? com a horizontal, temos a seguinte f´ormula mais geral: W = F d cos ? (1.2) onde F ´e o m´odulo da forc¸a constante, d ´e o deslocamento (em m´odulo) e ? o ^angulo entre os vetores F e d, ou seja, entre a direc¸a~o da forc¸a e o deslocamento.

FF d 13 Tipos de For¸cas Existem diversos tipos de forc¸as que podem atuar em um corpo: forc¸a el´astica, forc¸a peso, forc¸a el´etrica, forc¸a de con- tato, etc...

Pot^encia P Consideramos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho. Se uma delas levar um tempo menor que a outra para a realizac¸a~o desse trabalho, tem de fazer um esforc¸o maior e, por tanto, dizemos que desenvolveu uma pot^encia maior.

Podemos tamb´em calcular o trabalho W realizado pela forc¸a F atrav´es da ´area sob a curva do gr´a?co F × x: F Area = Trabalho O xX

W ? A´ rea sob a curva Observe que neste caso deveremos descobrir o sinal do trabalho atrav´es da ana´lise do gr´a?co, e do sentido relativo entre a forc¸a e o deslocamento (ou do ^angulo ?).

Uma For¸ca Vari´avel 0 gr´a?co abaixo representa a ac¸a~o de uma forc¸a varia´vel que age sobre um corpo, provocando um deslocamento linear, F(x ) 2

F(x ) 1 Area = Trabalho O x xX 12 Neste caso, o trabalho pode ser determinado pela ´area sob a curva, desenhando-se o gr´a?co em papel quadriculado, ou de forma aproximada pela ´area de um trap´ezio: F ?? + F ? W = F d = (x?? - x?) 2 Observe que essa f´ormula considera a forc¸a m´edia (aproxi- mada) multiplicada pelo deslocamento.

Figura 1.1: James Watt (1736-1819) Um carro ´e mais potente que o outro quando ele ?arranca?mais ra´pido e atinge uma dada velocidade num intervalo de tempo Um aparelho de som ´e mais potente que o outro quando ele ele transforma mais energia el´etrica em sonora num menor intervalo de tempo. Uma m´aquina ´e caracterizada na~o so´ pelo trabalho que ela efetua, mas pelo trabalho que pode efetuar Enta~o podemos concluir que pot^encia ´e o trabalho realizado durante um determinado tempo, ou seja: P = W/t Em alguns casos, pode-se escrever W = F d e, substituindo na equac¸a~o acima temos W F dt tt Unidade de Pot^encia 1 J/s = 1 watt = 1 W

Energia cin´etica Para variar a velocidade de um corpo em movimento ´e preciso Esse trabalho ´e uma forma de energia que o corpo absorve (ou perde) pelo fato de estar em movimento em relac¸a~o a um dado Para uma part´?cula de massa m e velocidade v a energia cin´etica ´e: 1 Ec = mv2 2 e assim como o trabalho, mede-se a energia cin´etica em joules.

Teorema Trabalho-Energia Suponhamos que FR seja a resultante das forc¸as que atuam sobre uma part´?cula de massa m. O trabalho dessa resultante ´e igual `a diferenc¸a entre o valor ?nal e o valor inicial da energia cin´etica da part´?cula: 11 W = Ec = mv2 - mv2 2f2i

Esse enunciado, conhecido como teorema do trabalho-energia indica que o trabalho da resultante das forc¸as que atua sobre uma part´?cula modi?ca sua energia cin´etica.

Pense um Pouco! · Que trabalho realizamos sobre um corpo que ´e levantado a uma determinada altura? Esse trabalho seria positivo ou negativo?

· Se voc^e pudesse segurar um elefante a uma determinada · Um menino puxa um carrinho sem rodas, por um bar- bante.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ESAL-MG) Um homem esta´ em repouso com um caixote a) Como o caixote tem um peso, o homem esta´ realizando b) O homem esta´ realizando trabalho sobre o caixote pelo fato de o estar segurando c) O homem esta´ realizando trabalho pelo fato de estar fazendo d) O homem na~o realiza trabalho pelo fato de na~o estar se e) O homem na~o realiza trabalho pelo fato de o caixote estar sujeito `a acelerac¸a~o da gravidade.

2. (UFSE) Um corpo esta´ sendo arrastado por uma superf´?cie horizontal com atrito, em movimento uniforme. Considere as O trabalho da forc¸a peso ´e nulo. III. A forc¸a resultante que arrasta o corpo ´e nula. Dentre as a?rmac¸o~es: e) Sa~o corretas II e III.

3. (UMC-SP) Sobre trabalho, pot^encia e energia, pode-se a?r- mar que: c) para trabalho e energia usa-se a mesma unidade.

4. O produto da forc¸a pelo deslocamento do corpo em que ela atua esta´ associado com: a) trabalho b) pot^encia c) dist^ancia d) acelerac¸a~o e) velocidade

Exerc´?cios Complementares 5. (UFSC) O gr´a?co a seguir representa a resultante das forc¸as, em newtons, que atuam num corpo de massa igual a 10, 0 kg, em func¸a~o do deslocamento total em metros. Su- pondo que a sua velocidade inicial ´e de 14 1 m/s, determine, 2 F(N) 20 15 10 5 0 x(m) 0 10 20 30 40

6. Um proj´etil de massa 10, 0 g penetra com velocidade horizontal de 100 m/s e sai de uma ta´bua de espessura de 10, 0 mm, com velocidade de 90, 0 m/s. Calcule a forc¸a com m = 10 g F

v = 100 m/s ov = 90 m/s f x = 1,0 cm 7. Um m´ovel de massa 2, 90 kg ´e submetido `a uma forc¸a cons- tante e adquire, a partir do repouso, a velocidade de 20, 0 m/s em 8, 00 s. Calcule: b) a pot^encia P desenvolvida pela forc¸a;

Meca^nica ? Aula 7 Energia Potencial Suponha, enta~o, um corpo situado a uma certa altura acima do solo. Se este corpo for abandonado, chegando ao solo, ´e f´acil perceber que sera´ capaz de realizar um certo trabalho: amassar um objeto, perfurar o solo, etc. Pode-se pois concluir A energia que um corpo possui, em virtude de estar situado a uma certa altura acima da superf´?cie da Terra, ´e denominada energia potencial gravitacional. Ha´ outras situac¸o~es, seme- lhantes a essa, nas quais um corpo tamb´em possui energia em virtude da posic¸a~o que ele ocupa. Por exemplo, um corpo si- tuado na extremidade de uma mola comprimida (ou esticada) possui energia em virtude de sua posic¸a~o. Se um corpo com- primir uma mola e soltarmos esse corpo, ele sera´ empurrado pela mola e podera´ realizar trabalho. Neste caso, a energia que o corpo possui na ponta da mola comprimida ou esticada ´e denominada energia potencial el´astica.

Energia Potencial Gravitacional Para uma massa m a uma altura h acima do solo, nosso refe- rencial usual de energia zero, podemos de?nir a energia po- tencial gravitacional Ep como

Ep = mgh onde g ´e a acelerac¸a~o da gravidade. No SI, g vale aproxima- damente 9, 8 m/s2.

For¸ca El´astica Chamamos de corpos el´asticos aqueles que, ao serem defor- mados, tendem a retornar `a forma inicial.

Figura 1.1: Robert Hooke (1635-1703) Uma mola helicoidal, feita geralmente de ac¸o, como carac- ter´?stica pr´opria uma constante el´astica k, que de?ne a pro- porcionalidade entre a intensidade forc¸a F aplicada e a respec- tiva deformac¸a~o x causada na mola. A lei de Hooke relaciona essas quantidades na forma F = -kx Observe que x mede a deformac¸a~o linear da mola a partir do Atrav´es a equac¸a~o acima, pode-se ver que a unidade SI da constante el´astica deve ser N/m. Na pr´atica, a constante k 15

mede a ?dureza´´ da mola: quanto maior o valor de k, mais dif´?cil sera´ a sua deformac¸a~o, ou seja, mais forc¸a ser´a necessa´ria para deforma´-la uma certa quantidade x.

Energia Potencial El´astica Quando aplicamos uma forc¸a e deformamos uma mola estamos transferindo a ela uma energia, essa energia ?ca armazenada na mola. De?nimos que a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida ´e chamada de energia potencial el´astica, atrav´es de 12 Ep = kx 2

Pense um Pouco! · A energia potencial gravitacional depende da acelerac¸a~o da gravidade, enta~o em que situac¸o~es essa energia ´e posi- tiva, nula ou negativa?

· Se uma mola ´e comprimida por um objeto de massa grande, quando solto a mola na~o consegue se mover, o que acontece com a energia potencial el´astica?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao b) Que forma de energia possui a pedra quando atinge sua al- c) Existe energia no estilingue depois do lanc¸amento? Co- mente.

2. Um para-quedista desce com velocidade constante, depois 3. Um indiv´?duo encontra-se sobre uma balanc¸a de mola, pi- sando sobre ela com seus dois p´es. Se ele levantar um dos p´es e mantiver o outro apoiado, no interior de um elevador com- pletamente fechado, quando observa que o peso indicado na balanc¸a ´e zero. Enta~o, conclui que: a) esta´ descendo com velocidade constante b) o elevador esta´ em queda livre c) a forc¸a de atrac¸a~o gravitacional exercida sobre ele ´e anulada pela reac¸a~o normal do elevador d) a balanc¸a esta´ quebrada, visto que isto ´e imposs´?vel 4. Duas pedras, sendo uma de 20 kg e outra de 30 kg, esta~o a 500 m de altura em relac¸a~o ao solo. Voc^e diria que: b) a pedra de menor massa tem maior energia potencial c) nada podemos a?rmar com relac¸a~o `a energia potencial das pedras d) a pedra de massa menor tem maior capacidade de realizar trabalho e) a pedra de maior massa tem maior energia potencial 5. (UFRN) Uma mola helicoidal, de massa desprez´?vel, esta´ suspensa verticalmente e presa a um suporte horizontal.

Quando se pendura um corpo de 40 kg na extremidade livre dessa mola, ela apresenta deformac¸a~o de 2, 0 cm para o sis- tema em equil´?brio. Se acrescentarmos a essa massa outra de 10 kg, no ponto de equil´?brio, a deformac¸a~o total sera´ de: a) 3, 0 m b) 2, 5 cm c) 2, 0 m d) 1, 5 cm e) 1, 0 m

Exerc´?cios Complementares 6. Uma mola cuja constate el´astica ´e 1000 N/m encontra-se a) Determine a energia potencial el´astica armazenada na mola.

b) Se apenas energia da mola for utilizada integralmente para impulsionar um bloco de 100 g, qual ´e a velocidade m´axima adquirida pelo bloco?

7. Qual o trabalho necessa´rio para se comprimir uma mola, 8. Um menino situado no alto de um edif´?cio, segura um corpo a) Qual a energia potencial gravitacional do corpo naquela b) Qual a energia potencial gravitacional do mesmo corpo, quando situado a 6, 0 m do cha~o?

Mec^anica Aula 8 Trabalho e Energia Potencial

A energia potencial gravitacional esta´ relacionada `a posic¸a~o de um corpo no campo gravitacional. Em geral, quando movemos Para elevar um corpo em equil´?brio do solo at´e uma altura h, devemos aplicar uma forc¸a que realizar´a um trabalho (positivo) de mesmo m´odulo que o trabalho realizado pela forc¸a peso do corpo (negativo).

Fext.= -P m P O trabalho realizado pela forc¸a externa Fext., ´e armazenado no sistema corpo-Terra na forma de energia potencial gravita- cional Ep, e vale: Ep = mgh Ja´ para o sistema massa-mola, temos uma forc¸a externa sendo aplicada no sistema fazendo com que a mola sofra uma de- formac¸a~o, sendo essa forc¸a F = -kx o trabalho W externo necessa´rio para esticar a mola uma quan- tidade x sera´ 1 W = kx2 2 e chamamos essa energia, agora armazenada na mola, de ener- F=0

Meca^nica ? Aula 8 desse corpo se conserva. Por este motivo, as forc¸as citadas sa~o denominadas forc¸as conservativas. Exemplo: ao dar corda em um relo´gio, voc^e esta´ armazenando energia potencial el´astica numa mola, e essa energia estara´ dispon´?vel para fazer com que o relo´gio trabalhe durante um certo tempo. Isso so´ ´e Por outro lado, se existissem forc¸as de atrito atuando durante o deslocamento do corpo, sua energia meca^nica na~o se con- serva, por que parte dela (ou at´e ela toda) se dissipa sob forma de calor. Por isso dizemos que as forc¸as de atrito sa~o forc¸as dissipativas. Exemplo: se voc^e arrastar um caixote pelo cha~o horizontal, durante um longo percurso, ver´a que todo o traba- lho realizado foi perdido, pois nenhuma parte dessa energia gasta foi armazenada, ou esta´ dispon´?vel no caixote.

A Conserva¸c~ao da Energia Mec^anica Um sistema meca^nico no qual so´ atuam forc¸as conservativas ´e dito sistema conservativo, pois a sua energia mec^anica (E) se conserva, isto ´e, mant´em-se com o mesmo valor em qualquer momento ou posic¸a~o, podendo alternar-se nas suas formas cin´etica e potencial (gravitacional ou el´astica): E = Ec + Ep

Degrada¸c~ao da Energia A energia esta´ constantemente se transformando, mas na~o pode ser criada nem destru´?da.

· Em uma usina hidrel´etrica, a energia meca^nica da queda · Em uma locomotiva a vapor, a energia t´ermica ´e trans- formada em energia meca^nica para movimentar o trem.

· Em uma usina nuclear, a energia proveniente da ?ssa~o dos · Em um coletor solar, a energia das radiac¸o~es provenientes do sol se transforma em energia t´ermica para o aqueci- mento de ´agua.

Pense um Pouco! · Um corpo cai sobre uma plataforma apoiada numa mola e volta a subir. Ele pode atingir, na volta, altura maior do que aquela de que foi abandonado? Por qu^e?

· Indique algumas fontes de energia e explique a forma de · Quando se ergue um objeto a uma certa altura, como se realiza menor trabalho: suspendendo-o diretamente por uma corda, na vertical, ou transportando-o atrav´es de um plano inclinado (sem atrito) at´e a altura desejada? Por qu^e?

· Compare a energia necessa´ria para elevar de 10 m uma massa na Terra e a energia necessa´ria para elevar de 10 m a mesma massa na Lua. Explique a diferenc¸a.

17 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Quais as transformac¸o~es de energia que ocorrem quando um jogador chuta uma bola?

2. Quais as principais diferenc¸as entre energia potencial e energia cin´etica?

3. Uma forc¸a ´e dita conservativa quando: a) na~o realiza trabalho b) o trabalho por ela realizado na~o depende da trajet´oria de seu ponto de aplicac¸a~o c) realiza apenas trabalhos positivos d) o trabalho por ela realizado na~o depende da massa do corpo em que esta´ aplicada e) dissipa energia t´ermica 4. Um sistema f´?sico tem energia quando: d) possui grande quantidade de ´atomos e) perde calor

Exerc´?cios Complementares 5. O princ´?pio da conservac¸a~o da energia a?rma que: a) a energia cin´etica de um corpo ´e constante b) a energia potencial el´astica mais a energia cin´etica ´e sempre constante c) a energia na~o pode ser criada nem destru´?da, mas apenas transformada em calor devido aos atritos d) a energia total de um sistema, isolado ou na~o, permanece constante e) a energia na~o pode ser criada nem destru´?da, mas apenas transformada de uma modalidade para outra 6. A energia meca^nica de um corpo: a) ´e a soma da sua energia potencial e cin´etica b) depende apenas do referencial c) depende da acelerac¸a~o do corpo d) ´e sempre constante, independente do tipo de forc¸as atuantes sobre ele e) depende apenas da velocidade do corpo 7. Para esticar uma mola em 40 cm, ´e necessa´ria uma forc¸a de 20 N . Determine: b) O trabalho realizado pelo agente externo que estica a mola;

d) O trabalho que seria necessa´rio para deformar a mola em 8. Um corpo de massa 5, 0 kg ´e elevado do solo a um ponto si- tuado a 3, 0 m de altura. Considere g = 10 m/s2. Determine: a) o trabalho realizado pela forc¸a peso do corpo nesse desloca- b) o aumento na energia potencial gravitacional do corpo.

9. (Fatec-SP) Um corpo de massa 2, 0 kg escorrega, a partir do repouso do ponto A, por uma pista circular sem atrito.

Veja a ?gura. Na base da pista, o corpo comprime a mola de constante el´astica 800 N/m. Sendo h = 1, 8 m e g = 10 m/s2, qual a deformac¸a~o m´axima sofrida pela mola?

A o h Mec^anica Aula 9

Din^amica do Movimento Circular Consideremos um corpo de massa m, descrevendo uma circun- fer^encia de raio R, com movimento na~o uniforme.

v Sabemos que a velocidade do corpo ´e um vetor que, em cada instante, ´e tangente a` trajet´oria e que, no movimento circular na~o uniforme, o corpo esta´ sujeito a duas acelerac¸o~es.

a ta c a R O Na ?gura temos: at = acelerac¸a~o tangencial ac = acelerac¸a~o centr´?peta onde a = at + ac, sendo a = acelerac¸a~o total(resultante) Utilizando a Segunda Lei de Newton, vemos que as acelerac¸o~es que atuam no corpo devem ter a mesma direc¸a~o e o mesmo sentido da forc¸a. Portanto, existem forc¸as perpendiculares `a A forc¸a resultante que tem a mesma direc¸a~o e o mesmo sentido da acelerac¸a~o centr´?peta, isto ´e, dirigida para o centro da curva ´e denominada forc¸a centr´?peta (Fcp), e a que tem a mesma direc¸a~o e o mesmo sentido da acelerac¸a~o tangencial, isto ´e, tangente `a trajet´oria, ´e denominada forc¸a tangencial (Ft).

a t Ft a a c F c R O F Na ?gura temos: Ft = m · a Fc = m · ac onde Ft = forc¸a tangencial Fc = forc¸a centr´?peta F = Ft + Fc, sendo F = forc¸a resultante

As For¸cas no Movimento Circular Podemos expressar a forc¸a centr´?peta da seguinte maneira: Fc = mac

ou v2 Fc = m = m?2R R A forc¸a tangencial ´e dada por: Ft = mat

Observe que: · A forc¸a tangencial faz variar o m´odulo do vetor velocidade, isto ´e, produz acelerac¸a~o tangencial.

· A forc¸a centr´?peta faz variar a direc¸a~o do vetor velocidade, obrigando o corpo a descrever uma trajet´oria curva.

Meca^nica ? Aula 9 Terra Lua F C Figura 1.1: A Lua em sua o´rbita ao redor da Terra (fora de escala).

Como exemplo, considere o movimento da Lua em torno da A forc¸a que mant´em a Lua em ´orbita ´e uma forc¸a de origem gravitacional exercida pela Terra. Tal forc¸a ´e centr´?peta, isto ´e, dirigida para o centro da Terra.

Pense um Pouco! (Fuvest-SP) A melhor explicac¸a~o para o fato de a Lua na~o cair sobre a Terra ´e que: a) a gravidade terrestre na~o chega at´e a Lua b) a Lua gira em torno da Terra c) a Terra gira em torno do seu eixo d) a Lua tamb´em ´e atra´?da pelo Sol e) a gravidade da Lua ´e menor que a da Terra

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UEL-Pr) Num p^endulo co^nico, a massa m gira numa cir- cunfer^encia horizontal, estando submetida `as forc¸as peso P vetorial e trac¸a~o T vetorial, conforme a ?gura:

T m v P Nestas condic¸o~es a intensidade da forc¸a centr´?peta ´e: e) dada pela resultante T - P · sen ?.

2. Um garoto gira uma pedra de massa 0, 10 kg presa por um ?o de 0, 80 m de comprimento, fazendo com que ela descreva c´?rculos verticais com velocidade constante de 4, 0 m/s. Admi- tindo g = 10 m/s2, determine a trac¸a~o no ?o quando o corpo passa pelo ponto: b) mais baixo da trajet´oria.

19 3. Um automo´vel faz uma curva circular, plana e horizontal, de raio 50 m. Sabendo-se que o coe?ciente de atrito esta´tico entre os pneus e a pista ´e µe = 0, 80, qual a m´axima velocidade com que esse automo´vel pode fazer a curva sem derrapar? (Use a) v = 10 m/s b) v = 15 m/s c) v = 20 m/s d) v = 25 m/s e) v = 30 m/s

Exerc´?cios Complementares 4. (Fuvest-SP) A ?gura a seguir mostra, num plano vertical, parte dos trilhos do percurso circular de uma montanha-russa de um parque de diverso~es.

g r = 8,0 m A velocidade m´?nima que o carrinho deve ter, ao passar pelo ponto mais alto da trajet´oria, para na~o desgrudar dos trilhos vale, em metros por segundo: ? a) ?20 b) ?40 c) ? 80 d) ? 160 e) 320 5. (ITA-SP) Para executar uma curva nivelada (sem subir ou descer) e equilibrada o piloto de um avia~o deve inclina´-lo com respeito `a horizontal (a` maneira de um ciclista em uma curva) um ^angulo ?. Se ? = 60o, a velocidade da aeronave ´e 100 m/s e a acelerac¸a~o local da gravidade ´e de 9, 5 m/s2, qual a) 200 m b) 350 m c) 600 m d) 750 m e) 1000 m 6. (Fuvest-SP) Um caminha~o, com massa total de 10000 kg, esta´ percorrendo uma curva circular plana e horizontal a 72 km/k (ou seja, 20 m/s) quando encontra uma mancha de ´oleo na pista e perde completamente a ader^encia. O caminha~o encosta enta~o no muro lateral que acompanha a curva e que o mant´em em trajet´oria circular de raio igual a 90 m. O coe?ci- ente de atrito entre o caminha~o e o muro vale 0, 30. Podemos a?rmar que, ao encostar no muro, o caminha~o comec¸a a perder velocidade `a raza~o de, aproximadamente: a) 0, 07 m · s-2.

Mec^anica Aula 10 Quantidade de Movimento Quando uma pessoa tenta pegar uma bola em movimento, ´e f´acil perceber que ha´ uma diferenc¸a na ac¸a~o que ela deve de- senvolver se a velocidade da bola for grande ou pequena: a bola mais ra´pida, para ser parada, exige um esforc¸o maior e de maior durac¸a~o. Uma diferenc¸a semelhante tamb´em seria percebida se a pessoa tentasse parar duas bolas com a mesma velocidade, mas de massas diferentes: o maior esforc¸o, atuando durante um tempo maior, seria necessa´rio para fazer parar a Essas observac¸o~es levam a` de?nic¸a~o de uma nova grandeza f´?sica vetorial relacionada com a massa e a velocidade de Enta~o podemos escrever que quantidade de movimento de um ponto material de massa m e velocidade v Q = mv

Unidade SI Medimos a quantidade de movimento no Sistema Internacional (SI) na unidade Kg · m/s Exemplo Se um carro de 1.200 kg se desloca numa estrada com velo- cidade de 72 km/h, a sua quantidade de movimento sera´, em m´odulo, Q = mv = (1.200 kg)(20 m/s) = 2, 4 × 104 kg · m/s Lembre-se Para transformar a velocidade dada em km/h para a unidade SI (m/s) fazemos: 1000 m 72 v = 72 km/h = 72 × = m/s = 20 m/s 3.600 s 3, 6

Impulso Quando um jogador de futebol chuta uma bola ou quando um tenista, usando uma raquete, rebate uma bola,existe uma forc¸a que age num curto espac¸o de tempo que faz a bola ser impul- sionada. De?ne-se o impulso I de uma forc¸a como grandeza vetorial dada pelo produto da forc¸a F pelo intervalo de tempo t durante o qual ela atuou: I=F t Por exemplo, se ao chutar uma bola parada aplicamos nela uma forc¸a de 50 N durante um intervalo de tempo de 0, 12 s, o impulso transferido para a bola sera´ I = F t = (50 N )(0, 12 s) = 6, 0 N · s e esse impulso far´a com que a bola entre em movimento.

Unidade SI do Impulso Medimos o impulso na mesma unidade da quantidade de mo- vimento: 1 N · s = 1 kg · m/s Pense um Pouco! · E´ mais f´acil parar uma bola que tenha uma quantidade de movimento grande ou pequena? Por qu^e?

o .......... da ......... pelo(a) ......... . Marque V caso as opc¸o~es

a) ( ) produto; forc¸a aplicada ao corpo; tempo que o corpo ?ca em movimento b) ( ) produto; forc¸a aplicada ao corpo; tempo durante o qual a forc¸a atua c) ( ) quociente; forc¸a aplicada ao corpo; velocidade que ele adquire d) ( ) quociente; massa do corpo; velocidade que ele adquire e) ( ) produto; massa do corpo; acelerac¸a~o que ele adquire 3. Considere um corpo que esta´ se deslocando em movimento a) A quantidade de movimento deste corpo esta´ variando? Ex- b) Tendo em vista a resposta do ´?tem anterior, o que voc^e con- c) Enta~o, qual o valor da resultante das forc¸as aplicadas no corpo?

Meca^nica ? Aula 11 5. Determine a quantidade de movimento de um objeto de massa 50 kg que se movimenta com velocidade de 20 m/s?

6. (UEL-PR) Um corpo de massa m tem velocidade v, quan- tidade de movimento Q e energia cin´etica E. Uma forc¸a F , na mesma direc¸a~o e no mesmo sentido de v, ´e aplicada no corpo, at´e que a velocidade dele triplique. As novas quantidades de movimento e energia cin´etica sa~o, respectivamente: a) 3Q e 3E b) 3Q e 6E c) 3Q e 9E d) 6Q e 6E e) 6Q e 9E 7. (PUC-SP) Um carrinho de massa 2, 0 kg move-se ao longo de um trilho horizontal com velocidade 0, 50 m/s at´e chocar-se contra um pa´ra-choque ?xo na extremidade do trilho. Supondo que o carrinho volte com velocidade 0, 20 m/s e que o choque tenha durac¸a~o de 0, 10 s, calcule em newtons, o valor absoluto da forc¸a m´edia exercida pelo pa´ra-choque sobre o carrinho.

Mec^anica Aula 11 Impulso e Momento Teorema do Impulso-Momento Consideremos uma forc¸a resultante constante F atuando sobre uma part´?cula de massa m, durante um intervalo de tempo t, temos I=F t ou seja I = ma t = m v = Q ou I = Qf - Qi = m(vf - vi)

E concluimos que: O impulso determinado pela resultante de todas as forc¸as externas que agem durante certo intervalo de tempo sobre um ponto material ´e igual a variac¸~ao da quantidade de movimento do ponto durante o mesmo intervalo.

A BCDE 21 Sistemas de Part´?culas Para um sistema contendo N part´?culas a quantidade de mo- vimento desse sistema pode ser escrito na seguinte forma: QT OT AL = m1v1 + m2v2 + . . . + mN vN

CURIOSIDADE A luz tem quantidade de movimento? E´ poss´?vel um astro- Por mais intrigante que seja, a reposta ´e sim. Mas por que isso acontece? Pelo fato de a luz possuir quantidade de movi- mento. Normalmente na~o percebemos isso, pois a quantidade de movimento da luz ´e pequena e, assim, os seus efeitos sa~o, em geral, impercept´?veis. Mas quando o astronauta acende sua lanterna, a situac¸a~o ´e ana´loga `aquela em que um garoto sobre De acordo com a Mec^anica Qua^ntica, a luz ´e formada por pequenos ?pacotes?de energia, denominados f´otons, os quais, no v´acuo, movem-se `a velocidade c = 3, 0 × 108 m/s. Cada um desses f´otons, al´em de possuir energia, tem quantidade de movimento. Por´em ela na~o pode ser calculada pela expressa~o Q = mv, uma vez que os f´otons na~o t^em massa. Para que o Princ´?pio da Conservac¸a~o da Quantidade de Movimento seja mantido, os f´?sicos conclu´?ram que a quantidade de movimento (q) de um f´oton de energia E deve ser calculada por q = E/c Para ilustrar, considere que o nosso astronauta esteja a uma dist^ancia de 5 m de sua nave e tenha uma lanterna que emita luz com pot^encia de 1500 W . Suponha ainda que a massa total do astronauta juntamente com o traje espacial e a lan- terna seja 80 kg. Se o astronauta so´ pudesse aproximar-se Utilizando a expressa~o acima e os modelos simpli?cados da Isso mesmo: 3h18min para percorrer 5 metros. As primeiras evid^encias experimentais de que a luz tem quantidade de mo- vimento foram obtidas em 1899, pelo f´?sico russo P. Lebedev, e pelos americanos E. L. Nicholls e G. F. Hull, em 1901.

Pense um Pouco! · Colidindo-se frontalmente duas esferas id^enticas, sobre uma mesa de bilhar, uma em movimento e a outra ini- cialmente parada, observa-se que a esfera que estava em movimento ?ca parada e a outra, inicialmente padara, en- tra em movimento apo´s a colisa~o. Explique esse feno^meno sob o ponto de vista dos conceitos de impulso e momento.

Exerc´?cios Complementares 1. Uma bola de bilhar de 200 g se move a 3, 50 m/s colise e muda sua direc¸a~o de movimento em 90?. Determine o impulso aplicado sobre a bola na colisa~o.

b) Determine a variac¸a~o do momento do corpo, desde o ins- Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

3. Solta-se uma bola de futebol com massa igual a 500 g a 1, 25 m de altura acima do cha~o (piso) e observa-se que ela retorna (pula) at´e uma altura de apenas 0, 80 m, apo´s o a) Determine o impulso total sobre a bola at´e que ela toque a b) Determine o impulso total sobre a bola desde o instante em que ela deixa o solo at´e atingir a altura de 0, 80 m.

Mec^anica Aula 12 Conserva¸c~ao da Quantidade de Movi- mento Num sistema isolado, onde o impulso das forc¸as externas seja nulo, a quantidade de movimento ?nal ´e igual a inicial.

I = Qf - Qi = 0 =? Qf = Qi Resumindo, podemos enunciar o Teorema da Conservac¸a~o da Quantidade de Movimento: E´ constante a quantidade de movimento de um con- junto de pontos materiais que constituem um sistema isolado.

Exemplos Feno^menos que encontram explicac¸a~o no teorema da quanti- dade de movimento: · propuls~ao a jato.

Forc¸as Impulsivas A forc¸a de interac¸a~o que ocorre durante uma colisa~o, em ge- ral tem grande intensidade e curta durac¸a~o, como descrito no gr´a?co abaixo. Forc¸as como essa, que atuam durante um in- tervalo pequeno comparado com o tempo de observac¸a~o do sistema, sa~o chamadas de forc¸as impulsivas.

F(t) ttt itf Algumas vezes ´e mais interessante considerar o valor m´edio da forc¸a impulsiva que o seu valor a cada instante. Por de- ?nic¸a~o, o valor m´edio de uma forc¸a impulsiva ´e o valor da forc¸a constante que, no mesmo intervalo de tempo, produz o mesmo impulso sobre um dado corpo.

Pense um Pouco! · Como podemos analisar as forc¸as envolvidas em uma co- lis~ao entre duas part´?culas?

· Imagine-se no meio da superf´?cie lisa de um lago. Lem- brando na~o ser poss´?vel caminhar sobre a superf´?cie, em raza~o da total aus^encia de atrito, sugira um procedimento que permita alcanc¸ar a margem do lago.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UEA - Aprovar) Antonio (um pescador do Cambixe) esta´ com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoa como o pescador repousam em relac¸a~o `a ´agua que, por sua vez, na~o apresenta qualquer movimento em relac¸a~o `a Terra. Atritos Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a Calcule o m´odulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150 kg, imediatamente apo´s o disparo.

2. Uma arma de 3, 0 kg dispara um proj´etil de 0, 02 kg, a uma velocidade de 600 m/s. Qual ´e a velocidade de recuo dessa arma?

3. (FEI- SP) Um peixe de 4 kg esta´ nadando `a velocidade de 1 m/s para a direita, quando engole um outro, de massa 0, 2 kg que estava nadando para a esquerda, na sua direc¸a~o, a 6 m/s. Determine a velocidade do peixe maior depois de ter engolido o pobre peixinho.

4. Um canha~o de 800 kg, montado sobre rodas e na~o freado, Determine a velocidade de recuo do canha~o.

Meca^nica ? Aula 13 Exerc´?cios Complementares 5. Um remador e seu barco t^em juntos massa de 150 kg. O barco esta´ parado e o remador salta dele com velocidade de Calcule as massas do remador e do barco.

6. (PUC-PR) Dois patinadores, um de massa 100 kg e outro de massa 80 kg, esta~o de m~aos dadas em repouso sobre uma pista de gelo, onde o atrito ´e desprez´?vel. Eles empurram-se mutuamente e deslizam na mesma direc¸a~o, por´em em sentidos opostos. O patinador de 100 kg adquire uma velocidade de 4 m/s. A velocidade relativa de um dos patinadores em relac¸a~o ao outro ´e, em m´odulo, igual a: a) 5 m/s b) 4 m/s c) 1 m/s d) 9 m/s e) 20 m/s 7. Um astronauta de massa 70 kg encontra-se em repouso numa regi~ao do espac¸o em que as ac¸o~es gravitacionais sa~o desprez´?veis. Ele esta´ fora de sua nave, a 120 m da mesma, mas consegue mover-se com auxilio de uma pistola que dispara proj´eteis de massa 100 g, os quais sa~o expelidos com velocidade 1, 4×103 m/s. Dando um u´nico tiro, qual o tempo que o astro- Responda tamb´em qual o princ´?pio utilizado para responder `a pergunta.

Mec^anica Aula 13 Colis~oes An´alise de uma Colis~ao Uma das aplicac¸o~es mais importantes do conceito de quanti- dade de movimento ´e encontrada no estudo de interac¸o~es de curta durac¸a~o, entre as partes de um sistema (ou conjunto) de corpos, como ocorre em uma explos~ao ou em uma colisa~o.

FF BA AB

A B Considerando as duas esferas da ?gura A e B, deslocando-se ao Apo´s a colisa~o, as esferas passam a se mover em sentidos opos- tos.

23 v 1I mm 12 FF 21 12

vv 1F 2F

Como as part´?culas que constituem o sistema trocam forc¸as entre si, essas forc¸as sa~o consideradas internas e a resultante ´e sempre nula. Isso ocorre em coliso~es ou em explos~oes.

Pense um Pouco! · Choques meca^nicos podem ser considerados sistemas iso- lados. Assim, pode-se a?rmar que, em qualquer tipo de choque, ha´ conservac¸a~o da quantidade de movimento e da energia cin´etica?

· A seguinte declarac¸a~o foi extra´?da de uma prova realizada por um estudante de f´?sica de uma universidade: ?a colisa~o entre dois ´atomos de h´elio ´e perfeitamente el´astica, de forma que a quantidade de movimento se conserva?. A a?rmac¸a~o ´e logicamente correta? Explique.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFAL) Um pedac¸o de massa de modelar de 200 g ´e atirado horizontalmente com velocidade de 12 m/s contra um carri- nho de massa 600 g, inicialmente parado sobre uma superf´?cie horizontal. Se a massa se chocar contra o carrinho e nele per- manecer grudada, a velocidade com que o conjunto passa a mover-se ´e, em metros por segundo: a) 3 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 2. (UDESC) Considere a colisa~o frontal perfeitamente el´astica entre um n^eutron, de massa relativa igual a 1, deslocando-se com velocidade constante v0, e um d^euteron, de massa relativa igual a 2, em repouso.

b) Se a colisa~o fosse inel´astica, com as part´?culas se movendo juntas apo´s colidirem, os resultados para as velocidade calcu- ladas permaneceriam os mesmos? Justi?que a resposta.

3. Dois corpos A e B de massa iguais a 300 g e 150 g deslocam-se em sentidos contr´arios com velocidades respecti- vamente iguais a 1, 5 m/s e 1, 2 m/s. Determine a velocidade do corpo B apo´s o choque, sabendo que a velocidade do corpo A ´e de 0, 1 m/s e seu sentido ´e o mesmo da velocidade inicial.

4. Observa-se uma colisa~o el´astica e unidimensional, no refe- rencial do laborat´orio, de uma part´?cula de massa m e velo- cidade de m´odulo 5 m/s com outra part´?cula de massa m/4, inicialmente em repouso. Quais os valores dos m´odulos das velocidades das part´?culas apo´s a colisa~o?

Exerc´?cios Complementares 5. (Unicamp-SP) Ao bater o tiro de meta, um goleiro chuta a bola parada de forma que ela alcance a maior dist^ancia poss´?vel. No chute, o p´e do goleiro ?ca em contato com a bola durante 0, 10 s, e a bola, de 0, 5 kg, atinge o campo a c) Qual o impulso da forc¸a do p´e do goleiro na bola?

6. (UEL-PR) Um pequeno caminha~o, de massa 4 toneladas, colide frontalmente com um trator de 8 toneladas que estava a 36 km/h, e logo apo´s a colisa~o, os dois ve´?culos permanecem parados. Imediatamente antes da colisa~o, a velocidade do ca- minh~ao era, em m/s, de: a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30

Mec^anica Aula 14 Lei da A¸c~ao e Rea¸c~ao Provavelmente voc^e j´a assistiu a um jogo de sinuca. Nele, ocorrem coliso~es entre as bolas. Durante essas coliso~es, ha´ uma reac¸a~o mu´tua, uma interac¸a~o, que ´e responsa´vel pela mudanc¸a na velocidade das bolas. Este mudanc¸a produz alterac¸a~o na Se durante o tempo de interac¸a~o ha´ variac¸a~o da quantidade de movimento, signi?ca que existe uma forc¸a atuando em cada bola, como explica a 2a Lei de Newton. Mas quem exerce essa Enquanto ocorre a interac¸a~o, cada bola exerce uma forc¸a sobre a outra. Em um parque de diverso~es, ocorre a mesma coisa com os carrinhos ?bate-bate?: cada carro exerce e recebe uma Figura 1.1: Nos choques, ha´ uma interac¸a~o, que provoca mu- danc¸a na velocidade das bolas.

Figura 1.2: Cada carro exerce e recebe uma forc¸a durante a colisa~o.

forc¸a durante a colisa~o. Sera´ que podemos a?rmar que isso Neste caso, durante a interac¸a~o entre o caminha~o e o carro, uma forc¸a de mesma intensidade atua sobre cada um deles, o Podemos a?rmar que o efeito causado sera´ diferente, uma vez que a massa e a rigidez da lataria do carro e do caminha~o sa~o Isaac Newton estudou a interac¸a~o entre objetos. Ele formulou o princ´?pio da ac¸~ao e reac¸~ao, ou lei da ac¸~ao e reac¸~ao, que posteriormente ?cou conhecida como terceira Lei de New- ton. De acordo com esta lei, as forc¸as resultantes da interac¸~ao entre dois objetos sempre aparecem aos pares, t^em mesmo m´odulo, mesma direc¸a~o, sentidos opostos e sa~o denominadas ac¸~ao e reac¸~ao: a forc¸a de ac¸a~o ´e aplicada num objeto e a de reac¸a~o, no outro. Atualmente a 3a Lei de Newton costuma ser enunciada da seguinte forma: Para toda ac¸~ao existe uma reac¸~ao, de igual intensidade, na mesma direc¸~ao e sentido contr´ario.

Meca^nica ? Aula 14 Figura 1.3: O carro aplica no caminha~o uma forc¸a resultante de mesma intensidade daquela que o caminha~o aplica no carro.

fora, exerce uma forc¸a sobre o ga´s (ac¸a~o) e, simultaneamente, recebe do ga´s uma forc¸a igual e oposta (reac¸a~o). Desta forma, podemos chamar a forc¸a do ga´s sobre o foguete de ?ac¸a~o?e a do foguete sobre o ga´s de ?reac¸a~o?.

Figura 1.4: O avia~o empurra o ar para tra´s e este aplica uma forc¸a no avia~o que o empurra para frente.

Pense um Pouco! · Se ac¸a~o e reac¸a~o possuem a mesma intensidade e sentidos contr´arios, por que uma na~o anula o efeito da outra?

· E´ poss´?vel se caminhar sobre um cha~o sem atrito? Expli- que.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (FAAP - SP) A 3a Lei de Newton ´e o princ´?pio da ac¸a~o e reac¸a~o. Esse princ´?pio descreve as forc¸as que participam na interac¸a~o entre dois corpos. Podemos a?rmar que: a) duas forc¸as iguais em m´odulo e de sentidos opostos sa~o b) enquanto a ac¸a~o esta´ aplicada num dos corpos, a reac¸a~o e) a reac¸a~o, em alguns casos, pode ser maior que a ac¸a~o.

2. (VUNESP - SP) As estat´?sticas indicam que o uso do cinto de seguranc¸a deve ser obrigat´orio para prevenir leso~es mais 25

graves em motoristas e passageiros no caso de acidentes. Fisi- camente, a func¸a~o do cinto esta´ relacionada com a: e) 1a Lei de Kepler.

3. Um lutador de boxe atinge o adversa´rio com um murro no a) Na interac¸a~o luva-rosto, quem exerce maior forc¸a, a luva b) Enta~o por que a m~ao do pugilista que aplica o golpe na~o sofre os mesmos ?estragos?que o rosto do adversa´rio?

Exerc´?cios Complementares 4. Um automo´vel bate contra um caminha~o, exercendo nele a) Qual o m´odulo da reac¸a~o desta forc¸a, sabendo-se que a c) Em que corpo esta´ aplicada a reac¸a~o?

5. Dois blocos de massas mA = 3 kg e mB = 2 kg, apoiados sobre uma superf´?cie horizontal perfeitamente lisa, sa~o empur- rados por uma forc¸a F de 20 N , conforme indica a ?gura abaixo. Determine a acelerac¸a~o do conjunto.

F A B 6. De que modo voc^e explica o movimento de um barco a remo, utilizando a terceira lei de Newton?

7. Dois corpos A e B, de massas mA = 5 kg e mB = 10 kg esta~o interligados por um ?o ideal. A superf´?cie de apoio ´e horizontal e perfeitamente lisa. Aplica-se em B uma forc¸a horizontal de 30 N . Determine: b) a forc¸a de trac¸a~o no ?o.

8. (ITA - SP) No campeonato mundial de arco e ?echa dois concorrentes discutem sobre a f´?sica que esta´ contida no arco do arqueiro. Surge enta~o a seguinte du´vida: quando o arco esta´ esticado, no momento do lanc¸amento da ?echa, a forc¸a exercida sobre a corda pela m~ao do arqueiro ´e igual `a: III) forc¸a exercida sobre a ?echa pela corda no momento em Neste caso: e) somente II ´e verdadeira.

Mec^anica Aula 15 For¸ca de Atrito Ao lanc¸armos um corpo sobre uma superf´?cie horizontal, veri- ?camos que o corpo acaba parando.

v 12 Isto signi?ca que, enquanto o corpo se movimenta, ele adquire Ha´ portanto uma forc¸a que se opo~e ao deslocamento do bloco: Sempre que a superf´?cie de um corpo escorrega sobre a de outro corpo, um exerce sobre o outro (princ´?pio da ac¸a~o e reac¸a~o) Deve-se notar que a forc¸a de atrito atuando sobre cada corpo tem sentido oposto ao movimento do corpo em relac¸a~o ao outro O atrito ´e provocado pela aspereza existente nas superf´?cies em contato. As superf´?cies tendem a se interpenetrarem quando sa~o esfregadas uma na outra e isto oferece resist^encia ao mo- vimento relativo.

Uma das hip´oteses mais aceitas para a exist^encia do atrito ´e que ele prov´em da coes~ao das mol´eculas situadas nas su- perf´?cies que se acham em contato. Essa adesa~o super?cial ocorre porque nos pontos de contato as mol´eculas de cada su- perf´?cie esta~o ta~o pr´oximas que passam a exercer forc¸as inter- A forc¸a de atrito que se opo~e a um corpo que rola ´e menor que no movimento de deslizamento. O atrito pode ser reduzido com o polimento das superf´?cies em contato e com o uso de lubri?cantes O atrito esta presente em quase todos os movimentos e ele pode ser u´til ou nocivo. Se na~o existisse o atrito entre o sapato e o solo, uma pessoa na~o poderia andar; o p´e da pessoa empurra a Terra para tr´as e a Terra empurra o p´e da pessoa para frente Sem o atrito os ve´?culos na~o poderiam iniciar o seu movimento, pois, as rodas comec¸ariam a girar sem sair do lugar. O objetivo das sali^encias em pneus ´e aumentar o atrito.

Figura 1.1: Quando uma estrada de terra torna-se escorrega- dia, colocam-se correntes nas rodas dos automo´veis para au- mentar o atrito.

Tipos de Atrito Vamos estudar estes dois casos separadamente, pois existem diferenc¸as importantes a serem ressaltadas.

Forc¸as de Atrito Est´atico (FAE ) Apesar de parecer estranho, pode existir atrito entre su- perf´?cies em repouso. Um exemplo comum ´e o de um au- tomo´vel estacionado em uma ladeira. Este so´ consegue per- manecer parado grac¸as ao atrito entre os freios e as rodas. Em situac¸o~es como esta, dizemos que existe a chamada forc¸a de atrito esta´tico (FAE ). A forc¸a de atrito esta´tico ´e aquela que atua enquanto na~o ha´ deslizamento, e o seu m´odulo m´aximo ´e dado por: FAE ? µe · N Experimentalmente, podemos estabelecer as seguintes propri- edades gerais para o atrito esta´tico: · a intensidade da forc¸a de atrito esta´tico varia de zero at´e o valor m´aximo FAE ;

Meca^nica ? Aula 15 · o coe?ciente de atrito esta´tico (µe) depende do estado de polimento e da natureza das duas superf´?cies em contato;

· a intensidade da forc¸a de atrito esta´tico ´e independente da ´area de contato entre as superf´?cies so´lidas.

Forc¸as de Atrito Cin´etico (FAC ) Quando um carro ´e freado inesperadamente, ´e comum as rodas do automo´vel travarem e os pneus deslizarem no asfalto. Anti- gamente isso era ainda mais frequ¨ente, mas hoje, nos ve´?culos equipados com os chamados freios ABS, as rodas na~o travam O ABS (Antiblocking System) ´e um avanc¸ado sistema de freios desenvolvido para evitar o travamento das rodas nas freadas bruscas em velocidade. Sensores ?xados a cada uma das rodas enviam sinais eletro^nicos para um m´odulo de comando compu- tadorizado que reduz, em frac¸o~es de segundo, a pressa~o sobre as rodas prestes a se travarem. Com as rodas desbloqueadas, o carro permanece sob controle e tem menos possibilidade de derrapar ou deslizar, at´e em pistas molhadas. Mas, qual a Analise a ?gura a seguir; ela mostra o deslizamento entre duas superf´?cies.

Corpo Chao As irregularidades microsc´opicas apresentadas pelas su- perf´?cies fazem com que a movimentac¸a~o do bloco sofra uma resist^encia denominada forc¸a de atrito cin´etico. Obviamente, quanto maior a aspereza das superf´?cies, maior a intensidade dessa forc¸a. Para medir a rugosidade das partes em contato criou-se o coe?ciente de atrito cin´etico (µc). Mesmo existindo valores tabelados para uma grande quantidade de materiais, ´e muito dif´?cil conhec^e-los com precis~ao, pois dependem das condic¸o~es das superf´?cies em contato. Na~o sa~o apenas os mate- riais das superf´?cies em contato que interferem no valor da forc¸a de atrito cin´etico. A forc¸a normal entre os corpos tamb´em ´e de fundamental importa^ncia. Quanto maior a forc¸a normal mais O m´odulo da forc¸a de atrito cin´etico ´e dado pela expressa~o: FAC = µc · N Na pr´atica o coe?ciente de atrito esta´tico ´e sempre maior que o coe?ciente de atrito cin´etico.

Pense um Pouco! 2. Por que o gelo ´e muito deslizante e quase na~o apresenta atrito?

27 3. A m´axima acelerac¸a~o de um carro depende de alguma Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (UFES) O bloco da ?gura esta´ em movimento em uma superf´?cie horizontal em virtude da aplicac¸a~o de uma forc¸a F paralela `a superf´?cie: F = 60,0 N m =2,0 kg

O coe?ciente de atrito cin´etico entre o bloco e a superf´?cie ´e igual a 0, 2. A acelerac¸a~o do objeto ´e: (Dado g = 10 m/s2.) e) 36, 0 m/s2.

2. (UFMG) Um bloco ´e lanc¸ado no ponto A, sobre uma su- perf´?cie horizontal com atrito, e desloca-se para C: B

AC O diagrama que melhor representa as forc¸as que atuam sobre o bloco quando esse bloco esta´ passando pelo ponto B ´e:

a)d) b)e) c) 3. (UEL-PR) No sistema representado a seguir, o corpo A, de massa 3, 0 kg, esta´ em movimento uniforme. A massa do corpo B ´e de 10 kg. Adote g = 10 m/s2.

B A O coe?ciente de atrito dina^mico entre o corpo B e o plano sobre o qual se apo´ia vale: a) 0,15 b) 0,30 c) 0,50 d) 0,60 e) 0,70

Exerc´?cios Complementares 4. (Fuvest-SP) As duas forc¸as que agem sobre uma gota de chuva, a forc¸a peso e a forc¸a devida `a resist^encia do ar, t^em mesma direc¸a~o e sentidos opostos. A partir da altura de 125 m acima do solo, estando a gota com uma velocidade de 8 m/s, essas duas forc¸as passam a ter mesmo m´odulo. A gota atinge o solo com a velocidade de: a) 8 m/s b) 35 m/s c) 42 m/s d) 50 m/s e) 58 m/s 5. (Fuvest-SP) O sistema indicado na ?gura a seguir, onde as polias sa~o ideais, permanece em repouso grac¸a´s `a for¸ca de atrito entre o corpo de 10 kg e a superf´?cie de apoio.

10 kg 4 kg 6 kg

Podemos a?rmar que o valor da forc¸a de atrito ´e: a) 20 N b) 10 N c) 100 N d) 60 N e) 40 N

6. (UFMG) Na ?gura a seguir, esta´ representado um bloco de 2, 0 kg sendo pressionado contra a parede por uma forc¸a F . O coe?ciente de atrito esta´tico entre esses corpos vale 0, 5, e o cin´etico vale 0, 3. Considere g = 10 m/s2.

F Se F = 50 N , enta~o a reac¸a~o normal e a forc¸a de atrito que atuam sobre o bloco valem, respectivamente: e) 70 N e 35 N .

Gravitac¸a~o ? Aula 1 Gravita¸c~ao Aula 1 As Leis de Kepler A Lei das O´ rbitas (1609) A ´orbita de cada planeta ´e uma elipse, com o Sol em um dos focos. Como consequ¨^encia da ´orbita ser el´?ptica, a dist^ancia do Sol ao planeta varia ao longo de sua ´orbita.

Lembre-se, a elipse ´e uma linha plana, com focos no seu mesmo plano. Isso implica em que o movimento dos planetas ocorre sobre um plano bem de?nido, e cada planeta tem o seu plano orbital diferente, e todos esses planos devem ter pelo menos Planeta

Sol f f' A Lei da A´ reas (1609) A reta unindo o planeta ao Sol varre ´areas iguais em tempos iguais. O signi?cado f´?sico desta lei ´e que a velocidade orbital na~o ´e uniforme, mas varia de forma regular: quanto mais distante o planeta esta´ do Sol, mais devagar ele se move. Dizendo de outra maneira, esta lei estabelece que a velocidade areolar (referente a ´area) ´e constante.

v' Planeta A' Sol Af v 29 A Lei dos Per´?odos (1618) O quadrado do per´?odo orbital dos planetas ´e dire- tamente proporcional ao cubo de sua dist^ancia m´edia ao Sol.

Esta lei estabelece que planetas com ´orbitas maiores se movem mais lentamente em torno do Sol e, portanto, isso implica que Sendo P o per´?odo orbital do planeta, a o semi-eixo maior da ´orbita, que ´e igual `a dist^ancia m´edia do planeta ao Sol, e K uma constante, Podemos expressar a 3a lei como: P2 =K a3 Se medimos P em anos (o per´?odo orbital da Terra), e a em unidades astrono^micas (1 u.a. = dist^ancia m´edia da Terra ao Sol), enta~o K = 1, e podemos escrever a 3a lei como: P2 =1 a3 e podemos concluir que, para os planetas internos (a < 1 u.a.) o per´?odo orbital (ano) sera´ menor do que o ano terrestre. E para os planetas exteriores (a > 1 u.a.), o per´?odo ´e maior do que o terrestre.

Pense um Pouco! · Se um novo planeta for descoberto a meia dist^ancia entre o Sol e a Terra, qual o seu per´?odo orbital.

· Um sat´elite em ´orbita na Terra, passando pelo ponto mais pr´oximo da Terra, esta´ mais ra´pido ou mais lento se com- parado ao ponto em que esta´ mais afastado da Terra?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. A tabela abaixo mostra como ?ca a 3a Lei de Kepler para os planetas vis´?veis a olho nu´. Complete os dados que esta~o Planeta a(u.a.) P (ano) a3 P 2 Mercu´rio 0,387 0,241 0,058 0,058 V^enus 0,723 0,615 0,378 Terra 1,000 1,000 1,000 1,000 Marte 1,524 1,881 3,537 Ju´piter 5,203 11,862 140,700 Saturno 9,534 29,456 2. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que condiz com a 1a lei de Kepler da Gravitac¸a~o Universal (lei das ´orbitas): a) As ´orbitas planeta´rias sa~o curvas quaisquer, desde que fe- d) As ´orbitas planeta´rias sa~o el´?pticas, com o Sol ocupando o e) As ´orbitas planeta´rias sa~o el´?pticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse.

4. Assinale a alternativa que esta´ em desacordo com as Leis de Kepler da Gravitac¸a~o Universal: a) O quociente do cubo do raio m´edio da ´orbita pelo quadrado do per´?odo de revoluc¸a~o ´e constante para qualquer planeta de b) quadruplicando-se o raio m´edio da ´orbita de um sat´elite em c) Quanto mais pr´oximo de uma estrela (menor raio m´edio da ´orbita) gravita um planeta, menor ´e o seu per´?odo de re- d) Sat´elites diferentes gravitando em torno da Terra, na mesma e) Devido `a sua maior dist^ancia do Sol (maior raio m´edio da ´orbita) o ano de Pluta~o tem durac¸a~o menor que o da Terra.

Exerc´?cios Complementares 5. Com relac¸a~o `as leis de Kepler, podemos a?rmar que: a) Na~o se aplicam ao estudo da gravitac¸a~o da Lua em torno c) aplicam-se a` gravitac¸a~o de quaisquer corpos em torno de e) na~o prev^eem a possibilidade da exist^encia de ´orbitas circu- lares.

6. Considere dois sat´elites de massas ma e mb , sendo ma = 2mb, descrevendo a mesma ´orbita em torno da Terra. Com relac¸a~o `a velocidade dos dois teremos: a) va > vb b) va < vb c) va = vb d) va = vb/2 e) n.r.a O ponto A ´e o ponto da ´orbita mais pr´oximo do Sol; o ponto B ´e o ponto mais distante. No ponto A: e) n.r.a

Gravita¸c~ao Aula 2 Gravita¸c~ao Universal A lei da gravitac¸~ao universal, proposta por Newton, foi um dos maiores trabalhos desenvolvidos sobre a interac¸a~o en- tre massas, pois ´e capaz de explicar desde o mais simples feno^meno, como a queda de um corpo pr´oximo `a superf´?cie da Terra, at´e, o mais complexo, como as forc¸as trocadas entre corpos celestes, traduzindo com ?delidade suas ´orbitas e os di- ferentes movimentos. Segundo a lenda, Newton, ao observar a queda de uma mac¸a, concebeu a id´eia que ela seria causada pela atrac¸a~o exercida pela terra. A natureza desta forc¸a atra- tiva ´e a mesma que deve existir entre a Terra e a Lua ou entre o Sol e os planetas; portanto, a atrac¸a~o entre as massas ´e, com certeza, um feno^meno universal.

Uma For¸ca Elementar Sejam duas part´?culas de massas m1 e m2, separadas por uma dist^ancia r. Segundo Newton, a intensidade da forc¸a F de atrac¸a~o entre as massas ´e dada por m1m2 F=G r2 onde G ´e uma constante, a constante da gravitac¸a~o universal, sendo seu valor expresso, no Sistema Internacional, por G = 6, 67 × 10-11 N · m2/kg2

F 21 m 2 F 12 m 1 Figura 1.1: Duas part´?culas se massas m1 e m2 sempre se atraem mutuamente, dando origem a um par de forc¸as F12 e F21.

As forc¸as F12 e F21 ´e a da reta que une as part´?culas, e o sentido tal que as massas sempre se atraem mutuamente, com mesma intensidade de forc¸a, ou seja F12 = F21

Podemos, ainda, enunciar a lei da gravitac¸a~o universal do se- guinte modo: Dois corpos se atraem gravitacionalmente com forc¸a cuja intensidade ´e diretamente proporcional ao pro- duto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da dist^ancia entre seus centros de massa.

Gravitac¸a~o ? Aula 3 onde RT e MT sa~o o raio e a massa da Terra, respectivamente, Medidas atuais mostram que MT = 5, 98 × 1024 kg e RT = 6, 37 × 106 m. A constante g que aparece acima ´e justamente a acelerac¸a~o da gravidade na superf´?cie da Terra. Experimente calcular g com os dados fornecidos!

OBSERVAC¸ O~ ES 2. A forc¸a gravitacional na~o depende do meio onde os corpos se encontram imersos;

3. A constante da gravitac¸a~o universal G teve seu valor de- terminado experimentalmente por Henry Cavendish, em 1798, por meio de um instrumento denominado balanc¸a de torc¸a~o e esferas de chumbo.

Pense um Pouco! · Qual a direc¸a~o e o sentido da forc¸a de atrac¸a~o gravitacio- nal exercida pela Terra sobre os corpos que esta~o pr´oximos `a superf´?cie?

· A acelerac¸a~o da gravidade na Lua ´e 6 vezes menor do que O que acontece com o peso e a massa de um astronauta na Lua?

· O valor da acelerac¸a~o da gravidade ´e relevante para os Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Duas part´?culas de massas respectivamente iguais a M e m esta~o no v´acuo, separadas por uma dist^ancia d. A respeito das forc¸as de interac¸a~o gravitacional entre as part´?culas, podemos a?rmar que: b) t^em intensidades diretamente proporcional ao produto e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.

2. A raza~o entre os di^ametros dos planetas Marte e Terra ´e 1/2 e entre as respectivas massas ´e 1/10. Sendo de 160 N o peso de um garoto na Terra, pode-se concluir que seu peso em Marte sera´ de: a) 160 N b) 80 N c) 60 N d) 32 N e) 64 N 3. Uma menina pesa 400 N na superf´?cie da Terra, onde se adota g = 10m/s2. Se a menina fosse transportada at´e uma altura igual ao raio da Terra (6.400 km), sua massa e seu peso seriam, respectivamente: a) 40 kg e 100 N b) 40 kg e 200 N 31

c) 40 kg e 400 N d) 20 kg e 200 N e) 10 kg e 100 N 4. Um corpo ´e colocado na superf´?cie terrestre ´e atra´?do por esta com uma forc¸a F . O mesmo corpo colocado na superf´?cie de um planeta de mesma massa da Terra e raio duas vezes menor sera´ atra´?do pelo planeta com uma forc¸a cujo m´odulo ´e: a) 4F b) 2F c) F d) F/2 e) F/4

Exerc´?cios Complementares 5. Se a massa da Terra na~o se alterasse, mas o seu raio fosse reduzido `a metade, o nosso peso seria: a) reduzido `a quarta parte b) reduzido `a metade c) o mesmo d) dobrado e) quadruplicado 6. Um corpo de massa m gira em torno da Terra, em ´orbita circular, com velocidade escalar constante v. Sendo G a cons- tante gravitacional e M a massa da Terra, o raio da trajet´oria descrita pelo corpo sera´: a) G/M v2 b) G/mv2 c) Gm/v2 d) GM/v2 e) GM m/v2 7. Sabe-se que no interior de uma nave em ´orbita circular em torno da Terra um astronauta pode ?utuar, como se na~o ti- vesse peso. Esse fato ocorre porque: c) a atrac¸a~o exercida pela Lua ´e maior do que a atrac¸a~o exer- d) ambos, astronauta e nave, esta~o em queda livre no seu mo- e) ha´ uma reduc¸a~o na massa dos corpos.

Gravita¸c~ao Aula 3 Peso O peso de um corpo ´e a forc¸a de atrac¸a~o exercida pela terra sobre ele. Um paraquedista, por exemplo, cai por que ´e atra´?do Consideremos um corpo de massa m caindo em queda livre perto da superf´?cie da Terra.

Unidades SI Peso e Massa Se o corpo cai em queda livre ele possui acelerac¸a~o a igual `a da gravidade g. Desta forma, podemos usar o princ´?pio fun- damental da Dina^mica (2a Lei de Newton) para obter a forc¸a que age sobre esse corpo. Esta forc¸a ´e chamada de forc¸a peso P e ´e dada por: P = mg

Essa expressa~o mostra que o peso do corpo ´e diretamente pro- Massa ´e uma propriedade intr´?nseca do corpo, isto ´e, depende apenas do pr´oprio corpo, enquanto peso ´e a forc¸a de atrac¸a~o gravitacional que atua sobre ele, variando de acordo com o va- lor da acelerac¸a~o da gravidade. Por isso o peso do corpo pode variar. A massa, no entanto, ´e sempre a mesma em qualquer lugar do universo.

Peso e Gravita¸c~ao O peso de um corpo ´e uma grandeza vetorial que tem direc¸a~o A forc¸a peso ´e uma forc¸a que atua `a dist^ancia. Por isso, di- zemos que em torno da Terra ha´ uma regi~ao chamada campo Estando sob a ac¸a~o deste campo, os corpos sa~o atra´?dos por essa forc¸a peso e sofrem variac¸o~es de velocidade, uma vez que Como a acelerac¸a~o da gravidade num ponto ´e inversamente proporcional ao quadrado da dist^ancia desse ponto ao centro da Terra, e como os pontos de sua superf´?cie na~o esta~o `a mesma dist^ancia ao centro da terra, conclu´?mos que no topo de uma montanha um corpo pesar´a menos do que ao n´?vel do mar. E´ importante lembrar que existem variac¸o~es que v~ao desde 393 m abaixo do n´?vel do mar (Mar morto), a 8.848 m acima do n´?vel Como a Terra ´e achatada nos po´los, um homem pesar´a mais Em torno de qualquer planeta ou sat´elite existe um campo gravitacional. Assim, podemos falar em peso de um corpo em Ju´piter, Saturno ou Marte, por exemplo.

A unidade de peso no Sistema Internacional (SI) ´e o new- ton ou N . Outra unidade, muito utilizada na indu´stria, ´e o quilograma-for¸ca ou kgf .

1 kgf ´e o peso de um corpo de 1 kg de massa num local em que a acelerac¸~ao da gravidade ´e igual a 9, 8 m/s2.

Podemos relacionar newton e quilograma-for¸ca: P = mg ? 1 kgf = 1kg · 9, 8 m/s2 1 kgf = 9, 8 kg · m/s2 1 kgf = 9, 8 N

Pense um Pouco! · Por que na Lua os astronautas conseguem dar saltos mais altos do que na Terra?

· Quando uma pessoa salta em queda-livre o que acontece Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Na superf´?cie da Terra a acelerac¸a~o da gravidade vale 9, 8 m/s2 e, na superf´?cie da Lua, 1, 6 m/s2. Para um corpo de massa igual a 4 kg, calcule: b) o peso na superf´?cie da Lua.

2. Peso e massa sa~o a mesma coisa? quando voc^e sobe numa balanc¸a de uma farm´acia e permanece em repouso sobre ela, por exemplo, voc^e esta medindo sua massa ou seu peso?

Gravitac¸a~o ? Aula 4 ?bola ?utuante?. Considerando totalmente desprez´?vel a gra- vidade no local dessa experi^encia, duas ?bolas?de leite de mas- sas respectivamente iguais a m e 2m tera~o seus pesos: a) iguais a zero b) na proporc¸a~o PA/PB = 1/3 c) na proporc¸a~o PA/PB = 1/2 d) na proporc¸a~o PA/PB = 2 e) na proporc¸a~o PA/PB = 3 4. (UFSM - RS) Uma forc¸a F de m´odulo igual a 20 N ´e aplicada, verticalmente, sobre um corpo de 10 kg em repouso sobre uma superf´?cie horizontal. O m´odulo (em N ) da forc¸a normal sobre o corpo, considerando o m´odulo da acelerac¸a~o gravitacional como 10 m/s2 ´e: a) 120 b) 100 c) 90 d) 80 e) 0 5. Durante uma brincadeira, B´arbara arremessa uma bola de v^olei verticalmente para cima, como mostrado nesta ?gura: 33

para uma altitude onde a acelerac¸a~o da gravidade vale G, pergunta-se: c) qual sera´ a massa do corpo no novo local?

7. A acelerac¸a~o da gravidade na superf´?cie de Ju´piter ´e de 30 m/s2. Qual a massa de um corpo que na superf´?cie de Ju´piter pesa 120 N ?.

Gravita¸c~ao Aula 4 Centro de Gravidade Os corpos materiais podem ser considerados como um sistema de part´?culas, cada uma das quais atra´?da pela Terra com uma forc¸a igual ao peso da part´?cula.

P 1 P 2 P 4G P 3 P A resultante de todas essas forc¸as parciais ´e o peso total do corpo. Seja G o ponto no qual podemos considerar aplicado todo o peso do corpo. O ponto G ´e denominado centro de gravidade do corpo. Resumindo, temos: centro de gravidade de um corpo ´e o ponto de aplicac¸~ao da forc¸a peso

Assinale a alternativa cujo diagrama melhor representa a(s) forc¸a(s) que atua(m) na bola no ponto mais alto de sua tra- jet´oria.

a) b) c) d) Nenhuma força atua sobre a bola neste ponto 6. (Vunesp-SP) Se o quilograma padra~o for transportado de Paris, onde a acelerac¸a~o da gravidade vale g (valor normal), A terra atrai o corpo como se toda sua massa estivesse locali- Para corpos homog^eneos, isto ´e, de massa uniformemente dis- tribu´?da, que admitem um eixo de simetria, seus centros de gravidade esta~o sobre esse eixo.

G P G P G P Se o corpo tiver forma irregular e na~o for homog^eneo, utiliza-se Em um suporte, pendura-se o objeto por um ponto qualquer e, quando ele estiver em repouso, trac¸a-se um vertical sobre o ponto em que ele esta´ suspenso. Como o objeto esta´ em equil´?brio, seu peso e a forc¸a exercida sobre ele pelo suporte que o sustenta t^em mesmo m´odulo, mesma direc¸a~o e sentidos opostos. Logo, a direc¸a~o da reta que cont´em o centro de gra- vidade ´e essa vertical. Agora pendura-se o objeto por outro ponto e trac¸a-se uma nova vertical; a intersecc¸a~o dessa vertical com a anterior determina o centro de gravidade (CG).

T CG P T CG P Antes de prosseguirmos, vale apena relembrar a de?nic¸a~o de Imagine um carro de 3, 00 m de comprimento viajando de Join- ville `a Blumenau. O comprimento do carro ´e muito pequeno se comparado com a dist^ancia Jvlle - Bnu, ? 90 km, e suas dimens~oes, enta~o, na~o precisar~ao ser consideradas ao analisar- mos o seu movimento. Em situac¸o~es como essa, nas quais o objeto apresenta dimens~oes consideradas desprez´?veis, diante do feno^meno observado, podemos considera´-lo como um ponto No caso do movimento de um ^onibus, de 20 m de comprimento, deslocando-se entre duas paradas (pontos) distantes entre si 500 m, por exemplo, ´e necessa´rio que levemos em conta as suas E ele estara´ se comportando como um corpo extenso.

Equil´?brio de um Ponto Material Um ponto material pode estar em equil´?brio est´atico ou din^amico. No equil´?brio esta´tico, o ponto material esta´ em repouso (v = 0). No equil´?brio din^amico o ponto material esta´ em movimento retil´?neo uniforme (v = constante = 0).

Analisando os dois tipos de equil´?brio, notas uma semelhanc¸a: em ambos a acelerac¸a~o ´e nula (a = 0). Utilizando a Segunda Lei de Newton, temos FR = m · a FR = m · 0 FR = 0

Assim, conclu´?mos que Para que um ponto material esteja em equil´?brio ´e necess´ario e su?ciente que a re- sultante de todas as forc¸as que nele agem seja nula.

Momento de uma For¸ca Considere uma pessoas tentando girar uma porca com uma chave.

Utilizando forc¸as de mesmo valor, sera´ mais f´acil girar a porca em torno de seu centro O se a forc¸a aplicada no ponto A, ao inv´es de ser aplicada no ponto B. Quanto maior for a dista^ncia do ponto de aplicac¸a~o da forc¸a at´e o centro O da porca, maior O mesmo ocorre quando tentamos fechar uma porta. Se exer- cemos a forc¸a em A a facilidade ´e maior do que se exercermos a forc¸a em B.

Consideramos que o eixo de rotac¸a~o ´e o que cont´em as do- Analisando os casos anteriores, notamos que ha´ uma relac¸~ao entre a forc¸a aplicada e a dist^ancia do ponto de aplicac¸a~o dessa A grandeza f´?sica que relaciona essas duas grandezas ´e cha- mada momento de uma forc¸a ou torque.

O momento de uma forc¸a ´e a capacidade dessa Para de?nirmos a grandeza momento, consideremos uma forc¸a F e um ponto O, chamado po´lo.

Gravitac¸a~o ? Aula 4 Unidade SI A unidade de momento na~o tem nome espec´??co. Ela ´e dada pelo produto da unidade da forc¸a, em newtons, pela unidade de dist^ancia, em metro. Portanto a unidade de momento ´e Observac¸~ao Sabemos que o produto N · m ´e chamado de joule J . En- tretanto, o joule na~o ´e uma unidade utilizada para medir o momento de uma forc¸a, porque momento ´e uma grandeza de natureza diferente de trabalho e energia.

Direc¸~ao e Sentido A partir do sentido de rotac¸a~o (hora´rio ou anti-hor´ario) que uma ou mais forc¸as tendem a produzir, podemos determinar a direc¸a~o e o sentido do torque. Por exemplo, um saca-rolhas, ao girar, produz efeitos contr´arios: no sentido hora´rio, entra na rolha (avanc¸a verticalmente para baixo); no sentido anti- hora´rio, sai dela (retorna verticalmente para cima). O sentido do deslocamento do saca-rolhas coincide com o sentido do vetor momento (MF,O), e sua direc¸a~o esta´ sempre paralela ao eixo de rotac¸a~o.

35 eixo de rotaçao Figura 1.2: Regra da ma~o direita: o vetor indica o sentido do momento. A dire¸ca~o ´e sempre paralela ao eixo de rotac¸a~o do objeto.

Outra maneira pr´atica de determinar a direc¸a~o e o sentido do vetor torque ´e utilizar a regra da m~ao direita. Os quatro dedos dessa m~ao devem acompanhar o sentido da rotac¸a~o do objeto. O polegar indicar´a a direc¸a~o e o sentido do vetor mo- O momento pode ser positivo ou negativo. Adotamos a se- guinte conversa~o: rotac¸a~o no sentido anti-hor´ario ? momento positivo rotac¸a~o no sentido hora´rio ? momento negativo

Equil´?brio de um Corpo Extenso As condic¸o~es necessa´rias e su?cientes para que um corpo se mantenha em equil´?brio sa~o: 1. A resultante de todas as forc¸as que nele agem seja nula.

2. A soma alg´ebrica dos momentos de todas as forc¸as que nele atuam, em relac¸~ao ao mesmo ponto, seja nula.

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Uma lumina´ria cujo peso ´e 100 N esta´ suspensa por duas cordas, AC e BC, conforme indica a ?gura. Determine a forc¸a de trac¸a~o em cada corda.

A 60 o 30 o B C 2. (UFCO) Um bloco A de 10 kg de massa encontra-se em repouso sobre um plano horizontal liso, conforme mostra a ?gura. Considerando as polias e os ?os ideais e tomando g = 10 m/s2: a) mostre em um diagrama todas as forc¸as que agem no bloco A.

b) sabendo que a massa do bloco C que equilibra o sistema ´e 2 kg, calcule, neste caso, a massa do bloco B.

60 o B C A 6. A barra AB da ?gura tem peso desprez´?vel. Sabendo que F1 = F2 = F3 = F4 = 6 N , calcule o momento resultante dessas forc¸as em relac¸a~o aos pontos: a) A b) B c) C

Exerc´?cios Complementares 3. (Vest. RJ) Um menino, de massa igual a 40 kg, esta´ sobre uma ta´bua de 2, 00 m de comprimento, a 0, 500 m do apoio A, Desprezando os pesos da ta´bua e da vara de pescar e conside- rando g = 10 m/s2, determine a intensidade das reac¸o~es nos apoios A e B.

4. (UFMT) A barra xy ´e homog^enea, de 100 kg de massa, e esta´ apoiada em suas extremidades, suportando as massas de (considere a barra horizontal e g = 10 m/s2).

3,0 m 0,5 m 0,5 m

O´ tica ? Aula 1 O´ tica Aula 1 O´ tica A Luz O estudo de luz e cor deve ser iniciado pela F´?sica elementar, Desta forma, pode-se enta~o exempli?car as ondas ele- tromagn´eticas de maior importa^ncia nas pesquisas e nas aplicac¸o~es pr´aticas, em func¸a~o do comprimento de onda (pro- priedade que fornece uma das principais caracter´?sticas da onda): Raios-X (faixa de 0, 1 a 1 nm, ondas ultra-violetas (faixa de 1 at´e 400 mm), o espectro de luz vis´?vel (faixa de 400 at´e 700 nm), ondas infra-vermelhas (faixa de 700 nm at´e 1 mm) e faixas de radiofrequ¨^encia que variam de 20 cm at´e Todas as ondas eletromagn´eticas se propagam no v´acuo com a mesma velocidade c com o valor de 3, 0 × 108 m/s (velocidade da luz).

Re?ex~ao da Luz Quando a luz atinge uma superf´?cie separadora S de dois meios de propagac¸a~o (A e B), ela sofrera´ re?exa~o se retornar ao meio A quantidade de luz re?etida depende do material que ´e feita a superf´?cie S, do seu polimento entre outros fatores.

Tipos de Re?ex~ao Consideramos raios paralelos de luz incidente sobre uma su- perf´?cie. Ocorrer´a re?exa~o especular ou regular se os raios re?etidos forem tamb´em paralelos entre si. Em caso contr´ario, A re?exa~o regular sera´ predominante quando a superf´?cie re- E´ a difusa~o (ou espalhamento) da luz, pelo pr´oprio ar, pela poeira, pelas paredes e outros corpos, que torna o ambiente iluminado.

Leis da Re?ex~ao 1a Lei: O raio de luz incidente, o raio de luz re?etido e a reta normal `a superf´?cie pelo ponto de incid^encia da luz esta~o num Temos: r = ^angulo de re?exa~o.

i=r N raio incidente i 37 raio refletido r superfície refletora plana

Espelho Plano Espelho plano ´e a superf´?cie plana polida onde ocorre predo- minantemente a re?exa~o da luz.

Formac¸~ao de Imagens nos Espelhos Planos Observemos um ponto objeto luminoso O diante de um espelho plano enviando luz em todas as direc¸o~es, conforme indica a ?gura.

espelho plano eixo otico objeto real imagem virtual o i

Repare que a parte de tr´as do espelho (a` direita neste exemplo) ´e marcada pelas hachuras. A imagem encontrada ´e fruto do prolongamento dos raios re?etidos, isso caracteriza uma ima- gem virtual.

Propriedades dos Espelhos Planos 1. Se chamarmos de x `a dist^ancia do objeto ao espelho, a dist^ancia entre o espelho e a imagem sera´ tamb´em x. Isto signi?ca que o objeto e a imagem sa~o sim´etricos em relac¸a~o ao espelho.

2. As imagens formadas num espelho plano sa~o enantio- morfas, ou seja, existe uma inversa~o ?direita para a es- querda?, mas na~o de ?baixo para cima?. Assim a imagem especular da m~ao esquerda ´e a m~ao direita, mas a imagem dos p´es na~o esta´ na cabec¸a.

lho (virtual). Logo, o objeto e a imagem sa~o de naturezas 4. Finalmente, podemos notar que o objeto e a imagem pos- suem o mesmo tamanho, e, em caso de movimento relativo ao espelho, possuir~ao iguais velocidades.

Campo Visual Campo Visual de um espelho plano ´e a regi~ao do espac¸o que Para determinarmos o campo visual, basta tomar o ponto O?, Veja a ?gura. [?g:ot013] O O'

campo visual E Figura 1.3: Pense um Pouco! 3. Por que as ambul^ancias geralmente trazem escrito na frente ?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. A estrela Vega esta´ situada a cerca de 26 anos-luz (ano luz ´e a dist^ancia que a luz percorre em 1 ano) da Terra. Determine a ordem de grandeza da dist^ancia de Vega at´e a Terra, em metros.

2. Um observador nota que um edif´?cio projeta no solo uma sombra de 30 m de comprimento, no instante em que um muro de 1, 5 m de altura projeta uma sombra de 50 cm. Determine a altura do edif´?cio.

3. Um feixe de luz, partindo de uma fonte puntiforme, incide sobre um disco de 10 cm de di^ametro. Sabendo que a dist^ancia da fonte ao disco ´e 1/3 da dist^ancia deste ao anteparo e que os planos da fonte, do disco e do anteparo sa~o paralelos, determine o raio da sombra projetada sobre o anteparo.

Exerc´?cios Complementares Determine o ^angulo formado entre o raio incidente e o espelho, sabendo que o ^angulo formado entre o raio incidente e o raio re?etido ´e igual a 700.

5. Um rapaz esta´ sentado na cadeira de uma barbearia de frente para um espelho plano, tendo atra´s de si o barbeiro em p´e. A dist^ancia entre o rapaz e o espelho ´e D e entre o rapaz e o barbeiro ´e d. Qual ´e a dist^ancia x (horizontal) entre o rapaz e a imagem do barbeiro ?

6. Daniela, uma linda menininha de oito anos, ?cou comple- tamente desconcertada quando, ao chegar em frente do espe- lho de seu arm´ario, vestindo uma blusa onde havia seu nome escrito, viu a imagem de seu nome re?etida, desenhe essa ima- gem?

O´ tica Aula 2 Espelhos Esf´ericos Os espelhos esf´ericos sa~o superf´?cies re?etoras que tem forma Calota Esferica

V C Temos dois tipos de espelho esf´erico: Esquematicamente: Temos: F = Foco do Espelho (ponto m´edio do eixo principal no trecho A = reta que passa por C e V ´e o eixo ´optico principal.

O´ tica ? Aula 2 Côncavo Convexo N i

r eixo ótico CFVVFC r N i Condi¸c~oes de Nitidez de Gauss · Os raios de luz devem ser pouco inclinados em relac¸a~o ao eixo ´optico principal;

· os raios de luz devem incidir pr´oximos ao v´ertice do espe- lho;

A partir de agora estaremos, apenas considerando os espe- lhos esf´ericos de Gauss, ou seja, espelhos que satisfazem as condic¸o~es de Gauss.

Raios Not´aveis de Luz Os Raios Nota´veis na~o sa~o os u´nicos que ocorrem num sistema ´optico, mas como o pr´oprio nome diz, eles se destacam dos outros pela facilidade de trac¸a´-los. Nosso objetivo sera´ desenhar pelo menos dois deles em cada situac¸a~o. Vejamos quais sa~o estes raios: 1. Todo raio que incide numa direc¸~ao que passa pelo centro de curvatura, re?ete-se sobre si mesmo.

C F V eixo ótico VFC

(a) (b) Figura 1.3: Raio nota´vel passando pelo centro de curvatura C de um espelho esf´ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

2. Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal re?ete-se numa direc¸~ao que passa pelo foco principal 3. Todo raio que incide numa direc¸~ao que passa pelo foco re?ete-se paralelamente ao eixo principal.

Importante Forma¸c~ao de Imagens Para formarmos imagens, basta trac¸armos dois raios quaisquer de luz entre os nota´veis que acabamos de aprender. Usaremos 39

C F V eixo ótico VFC

(a) (b) Figura 1.4: Raio nota´vel incidindo paralelo ao eixo principal de um espelho esf´ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

C F V eixo ótico VFC

(a) (b) Figura 1.5: Raio nota´vel passando pelo foco F de um espelho esf´ericos co^ncavo (a) e convexo (b).

a notac¸a~o i e O signi?cando, respectivamente, a medida da Espelho C^oncavo (1) Objeto situado antes do centro de curvatura C:

C F V eixo ótico

(2) Objeto situado sobre o centro de curvatura C: (3) Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F : Imagem: Real, Invertida e Maior.

(4) Objeto situado sobre o foco F : (5) Objeto situado entre o foco F e o v´ertice: Imagem:Virtual, Direita e Maior.

C F V eixo ótico

C F V eixo ótico

Espelho Convexo Neste caso temos apenas um caso: Observac¸~ao O espelho convexo ´e usado como espelho retrovisor de motocicletas e em portas de garagens devido ao maior campo visual que oferece.

Concluso~es: · Uma imagem real esta´ localizada na frente do espelho e podera´ ser projetada sobre um anteparo (uma tela) colo- cada na posic¸a~o em que ela se forma, pois ´e constitu´?da pela intersecc¸a~o dos pr´oprios raios de luz;

· Uma imagem virtual esta´ localizada atra´s do espelho e, embora possa ser visualizada, na~o ´e constitu´?da por luz e, sim pelos prolongamentos dos raios.

Determina¸c~ao Anal´?tica da Imagem Agora procuraremos expressar de forma matem´atica algumas expresso~es que nos permita determinar a posic¸a~o e o tamanho Equac¸~ao Conjugada de Gauss 111 =+ f p p? Temos que a dist^ancia focal f ´e dada por: f=R 2 C F V eixo ótico

C F V eixo ótico

Aumento Linear Transversal Por de?nic¸a~o, o aumento linear transversal A ´e a raza~o entre a altura da imagem i e a altura do objeto o.

i P? A= = OP Convenc¸~ao de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p? > 0 Virtual p? < 0 Espelho C^onc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h? Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

Pense um Pouco! 1. Numa esfera espelhada nos vemos maiores ou menores do que somos? Por qu^e?

2. Cite exemplos de objetos do dia-a-dia que sa~o espelhos 3. Por que os caminho~es e ^onibus usam um pequeno espelho convexo colado no canto do retrovisor plano?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Um objeto real de altura 5 cm esta´ a 3 m diante de um espelho esf´erico co^ncavo, de dist^ancia focal 1 m.

O´ tica ? Aula 3 eixo ótico VFC b) Determine, analiticamente, a posic¸a~o e o tamanho da ima- gem.

2. Diante de um espelho esf´erico convexo, de raio de curvatura de 60 cm, ´e colocado, perpendicularmente ao eixo principal do mesmo, um objeto de 2 cm de altura. O objeto dista 40 cm do espelho. Determine: b) o tamanho da imagem.

3. Mediante a utilizac¸a~o de um espelho esf´erico co^ncavo, de dist^ancia focal 20 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem tr^es vezes maior que o objeto. Determine: b) a posic¸a~o da imagem.

Exerc´?cios Complementares 4. Um espelho esf´erico fornece, de um objeto real, uma ima- gem virtual e duas vezes menor do que o objeto. Sabendo que a dist^ancia do objeto ao espelho ´e de 60 cm, determine: b) a dist^ancia focal do espelho.

5. Deseja-se obter a imagem de uma la^mpada, ampliada 5 vezes, sobre uma parede situada a 12 cm de dist^ancia. Quais as caracter´?sticas e a posic¸a~o do espelho esf´erico que se pode utilizar ? Ele dever´a ser: e) convexo, com 6 cm de raio, a 4 cm da la^mpada;

6. Mediante a utilizac¸a~o de um espelho esf´erico co^ncavo, de dist^ancia focal 30 cm, quer se projetar sobre um anteparo uma imagem seis vezes maior que o objeto. Determine: b) a posic¸a~o da imagem.

O´ tica Aula 3 41 Refra¸c~ao da Luz A velocidade de uma dada luz monocroma´tica assume valores diferentes em diferentes meios de propagac¸a~o tais como: v´acuo, A luz sofre refrac¸a~o quando passa de um meio para outro, mo- di?cando sua velocidade. Em geral, a refrac¸a~o ´e acompanhada por um desvio na trajet´oria da luz, consequ¨^encia da mudanc¸a de velocidade. O u´nico caso de refrac¸a~o no qual a luz na~o so- fre desvio ´e quando incide perpendicularmente `a superf´?cie de separac¸a~o dos meios S.

N meio A meio B S meio A meio B S Figura 1.2: Raio entrando perpendicular a superf´?cie S, sem desvio de sua trajeto´ria.

Dioptro Plano Os dois meios de propagac¸a~o, A e B, e a superf´?cie de separac¸a~o Nos dioptros reais, o feno^meno da refrac¸a~o ´e acompanhado pela re?exa~o da luz. Assim, o raio de luz incidente na superf´?cie S E´ importante tamb´em dizer que ocorre em S o feno^meno da absorc¸a~o da luz, onde parcela da energia luminosa ´e transfor- No dioptro ideal s´o ocorre refrac¸~ao da luz.

raio incidente raio N refletido meio A meio B raio refratado S

´Indice de Refra¸c~ao Absoluto Seja c a velocidade da luz no v´acuo e v a velocidade da luz em um meio qualquer, de?nimos ´?ndice de refrac¸a~o absoluto n de um meio a raza~o entre as velocidades da luz no v´acuo e no meio considerado: c n= v O ´?ndice de refrac¸a~o absoluto do v´acuo ´e naturalmente igual a 1 (v = c). Como a velocidade da luz no v´acuo ´e uma velocidade limite, em qualquer outro meio ela sera´ inferior: v < c =? n > 1

Conclus~oes 1. O ´?ndice de refrac¸a~o absoluto de qualquer meio material ´e sempre maior que 1;

2. Quanto maior for o ´?ndice de refrac¸a~o absoluto do meio, menor ´e a velocidade da luz nesse meio.

´Indice de Refra¸c~ao Relativo Se nA e nB sa~o, respectivamente, os ´?ndices de refrac¸a~o absolu- tos dos meios A e B para uma dada luz monocroma´tica, enta~o de?nimos o ´?ndice de refrac¸a~o relativo do meio A em relac¸a~o ao meio B, nA,B como sendo a raza~o dos ´?ndices de refrac¸a~o absolutos do meio A e B: nA nA,B = nB

Leis de Refra¸c~ao Considerando um raio de luz monocroma´tico incidente numa superf´?cie separadora de dois meios de propagac¸a~o e o cor- respondente raio de luz refratado. Tracemos a reta normal `a r = ^angulo de refrac¸a~o.

N i meio A meio B r S Figura 1.4: Raio entrando perpendicular a superf´?cie S, sem desvio em sua trajeto´ria.

As Leis · 1a Lei: O raio de luz incidente RI , a reta normal N e o raio de luz refratado RR esta~o situados num mesmo plano, ou seja, sa~o coplanares. E´ importante notar que os raios de luz incidente e refratado ?cam em lados opostos em relac¸a~o `a reta normal;

· 2a Lei ou Lei de Snell-Descartes: ?E´ constante a relac¸a~o Podemos escrever que: sen(i) = constante sen(r) e essa constante ´e o ´?ndice de refrac¸a~o relativo do meio B em relac¸a~o ao meio A, assim: sen(i) nA = sen(r) nB ou: Lei de Snell-Descartes nAsen(i) = nBsen(r)

Podemos concluir que: ? Quando a luz passa de um meio menos refringente (me- nor ´?ndice de refrac¸a~o) para um meio mais refringente (maior ´?ndice de refrac¸a~o), o raio de luz se aproxima da ? Reciprocamente, quando a luz passa de um meio mais refringente para um meio menos refringente, o raio de luz se afasta da normal e a velocidade de propagac¸a~o da luz aumenta.

1.0.1 Pense um pouco! 1. Se voc^e v^e um peixe sob a superf´?cie da ´agua e tenta acerta´-lo com uma ?echa, mirando a imagem do peixe, provavelmente na~o ira´ captura´-lo. Explique.

O´ tica ? Aula 4 43

N i meio A meio B r S N i meio C meio D r A B S Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Passando do v´acuo para o interior de um certo meio trans- parente, o valor da velocidade de propagac¸a~o de uma luz mo- nocroma´tica diminui de 20%. Determine o ´?ndice de refrac¸a~o absoluto do meio para essa luz monocroma´tica.

2. A velocidade de propagac¸a~o da luz em certo l´?quido mede 1/2 da velocidade de propagac¸a~o da luz no v´acuo. Determine o ´?ndice de refrac¸a~o absoluto do l´?quido.

Determine: b) a relac¸a~o entre a velocidade de propagac¸a~o da luz no vidro c) comente os resultados obtidos.

Exerc´?cios Complementares 4. Sob um ^angulo de incid^encia de 60?, faz-se incidir sobre uma superf´?cie de um material transparente um raio de luz monocroma´tica. Observa-se que o raio refratado ´e perpendi- (O 1o meio onde a luz se propaga ´e o ar) 5. Um observador, quando colocado numa posic¸a~o adequada, pode no m´aximo ver o canto do recipiente, como representado na ?gura abaixo. Enchendo o recipiente com um l´?quido, o observador passa a ver a moeda que esta´ colocada no centro:

1m 1m ? Qual o ´?ndice de refrac¸a~o do l´?quido? dado sen(45?) = 2/2 6. Um raio de luz monocroma´tica passa de um meio A para um meio B. Veja a ?gura e responda: b) Em que meio a luz possui maior velocidade ? Justi?que.

O´ tica Aula 4 Lentes Esf´ericas As lentes esf´ericas constituem sistemas ´opticos de amplas aplicac¸o~es na atualidade. Elas desempenham um papel um papel important´?ssimo, desde os so?sticados LASERS at´e os Podemos de?ni-las como sendo um meio transparente e ho- mog^eneo, limitado por duas superf´?cies curvas, ou por uma A lente sera´ denominada esf´erica, quando pelo menos uma de suas faces for esf´erica.

Elementos Geom´etricos Vejamos os principais elementos geom´etricos de uma lente esf´erica:

Observac¸~ao Uma lente ´e delgada quando a sua espessura e for desprez´?vel em relac¸a~o aos raios de curvatura, ou seja, quando e << R.

Classi?ca¸c~ao das Lentes Podemos classi?car as lentes quanto a dois aspectos: tipos de faces e comportamento ´optico.

Quanto `as faces BORDOS FINOS biconvexa plano-convexa concavo-convexa

BORDOS GROSSOS biconcava plano-concava convexo-concava

Figura 1.2: Classi?cac¸a~o de uma lente esf´erica quanto a`s suas faces.

Observac¸~ao Os nomes das lentes segue a convenc¸a~o de que devemos citar em primeiro lugar a face de maior raio de curvatura.

Quanto ao Comportamento O´ ptico Nessas ?guras consideramos que as lentes sa~o de vidro e est~ao imersas no ar (nvidro ¿ nar), que ´e o caso mais comum na Nessas condic¸o~es, as lentes de bordas ?nas s~ao convergen- tes e as lentes de bordas grossas s~ao divergentes.

Tipos de Foco Vamos considerar neste estudo, lentes delgadas e raios de luz dentro das condic¸o~es de Gauss, como vimos no estudo de es- Foco Imagem E´ o ponto imagem que a lente conjuga de um objeto impro´prio, Lente Convergente & Lente Divergente Lente Convergente Esquema

F Esquema Lente Divergente F Figura 1.3: Classi?cac¸a~o de uma lente esf´erica quanto ao seu comportamento o´ptico.

F Observac¸~ao Na lente Convergente o foco ´e real, e na lente divergente Foco Objeto E´ o ponto objeto associado pela lente, a uma imagem Lente Convergente & Lente Divergente

Observac¸~ao Na lente convergente o foco ´e real, na Lente divergente o foco ´e virtual.

Raios Not´aveis Assim como foi feito para os espelhos esf´ericos, iremos agora descrever alguns raios que sa~o f´aceis de serem utilizados na Todo raio que incide no centro ´optico atravessa a lente Todo raio que incide paralelamente ao eixo principal emerge numa direc¸~ao que passa pelo foco imagem.

O´ tica ? Aula 4 45

F F F Todo raio que incide sob o foco objeto emerge paralelo ao eixo principal.

Determina¸c~ao Gr´a?ca da Imagem De maneira ana´loga ao que ?zemos para espelhos esf´ericos ire- mos proceder agora para lentes.

Lentes Convergentes 1) Objeto situado antes do Centro de Curvatura: 2) Objeto situado no Centro de Curvatura: 3) Objeto situado entre o Centro de Curvatura e o Foco: Este caso corresponde `a imagem produzida por projetores, 4) Objeto situado no Foco: 5) Objeto situado entre o Foco e o Centro O´ ptico: Este ´e o caso da lupa.

Lente Divergente Existe apenas um caso que devemos considerar: Imagem: Virtual, Direita e Menor.

Determina¸c~ao Anal´?tica da Imagem As equac¸o~es que utilizaremos para a determinac¸a~o da posic¸a~o e tamanho da imagem sa~o ana´logas `as utilizadas no estudo de espelhos esf´ericos.

Equac¸~ao de Gauss 111 =+ f p p? Temos: Equac¸~ao do Aumento Linear Transversal A i p? A= = op Temos: i = altura da imagem;

Convenc¸~ao de Sinais Objeto Real p > 0 Virtual p < 0 Imagem Real p? > 0 Virtual p? < 0 Espelho C^onc. R > 0 e f > 0 Conv. R < 0 e f < 0 h? Direita i > 0 Invertida i < 0 (*) Altura da imagem para o > 0.

F eixo ótico F Verg^encia V de uma Lente Veri?ca-se que, quanto menor a dist^ancia focal de uma lente, mais ela converge ou diverge um feixe de luz. Essa ?pot^encia?da lente de convergir ou divergir a luz ´e caracte- rizada por uma grandeza denominada Verg^encia, que ´e comu- mente chamada de grau do ´oculos. A verg^encia V de uma lente de dist^ancia focal f ´e de?nida como: 1 V= f

Se f ´e medido em metros (m), a unidade de V ´e m-1, que recebe o nome de dioptria (di), que popularmente ´e chamado de grau.

1 di = 1 m-1 = 1 grau Pense um Pouco! 1. Se uma pessoa possui dois graus de miopia, que tipo (grau) de lente dever´a usar?

2. O antigos ´oculos ?fundo de garrafa?tinham esse nome por Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Um objeto ´e colocado a 60 cm de uma lente divergente de dist^ancia 20 cm. Determine, gra?camente e analiticamente, as caracter´?sticas da imagem.

eixo ótico F eixo ótico F 2. Um objeto de 2 cm de altura esta´ disposto frontalmente a b) determine, analiticamente, a posic¸a~o e o tamanho da ima- gem.

3. Um estudante usa uma lente biconvexa de 20 di para olhar uma ?or que esta´ a 4 cm da lente. Determine de quanto a lente aumenta a ?or.

Exerc´?cios Complementares 4. Um objeto luminoso de 1 cm de altura esta´ a 5 cm de uma b) Fac¸o trac¸ado dos raios.

6. Uma pessoa m´?ope so´ ´e capaz de ver nitidamente objetos a) Qual o tipo de lente adequada para a correc¸a~o da miopia: b) Qual deve ser a dist^ancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no in?nito?

O´ tica ? Aula 5 F C eixo ótico CF

eixo ótico CF F C

O´ tica Aula 5 O´ tica da Vis~ao O olho humano assemelha-se a uma ?lmadora (ou a uma m´aquina fotogra´?ca) de grande so?sticac¸a~o. E o c´erebro tem a func¸a~o de reprojetar a imagem obtida pelo olho fornecendo Dispensaremos esse sistema, extremamente complexo, do olho humano e utilizaremos uma representac¸a~o mais simples ? o olho reduzido.

Elementos do Olho Humano Analisaremos algumas partes que consideramos de grande im- porta^ncia em nosso olho reduzido.

´Iris Anel colorido de forma circular, que se comporta como um di- Na sua parte central existe um orif´?cio de di^ametro varia´vel, chamado pupila.

Cristalino E´ uma lente convergente de material ?ex´?vel, do tipo bicon- vexa. Fornecer´a de um objeto real uma imagem real, invertida e menor sobre a retina. Pode assumir diferentes formas em func¸a~o da dist^ancia do objeto ao olho.

Mu´sculos Ciliares Sa~o responsa´veis pela mudanc¸a na forma do cristalino, comprimindo-o convenientemente, de maneira a alterar sua dist^ancia focal e permitir uma melhor acomodac¸a~o da imagem sobre a retina.

47 eixo ótico CF FC

Figura 1.15: Objeto situado entre o centro de curvatura C e o foco F .

eixo ótico CF FC Quando o objeto esta´ in?nitamente afastado, os mu´sculos ci- liares e o cristalino esta~o relaxados, ou seja, o olho na~o realiza nenhum esforc¸o de acomodac¸a~o. A` medida que o objeto se aproxima, os mu´sculos ciliares v~ao se contraindo, diminuindo a dist^ancia focal do cristalino e mantendo a imagem acomo- Em S´?ntese O trabalho realizado pelos mu´sculos ciliares, fazendo variar a dist^ancia focal do cristalino ´e chamado de acomodac¸a~o visual.

Retina E´ a parte sens´?vel `a luz, onde deve se formar a imagem para ser n´?tida. A dist^ancia do cristalino a retina ´e da ordem de 1, 5 cm. Composta por c´elulas nervosas chamadas bastonetes (visa~o preto e branco) e cones (visa~o a cores), a retina possui uma ´area mais sens´?vel `a luz sob condic¸o~es normais. Esta ´area consiste uma depress~ao na parte posterior do olho no eixo do cristalino, e ´e denominada f´ovea.

eixo ótico CF FC eixo ótico C F FC Problemas da Vis~ao Miopia A de?ci^encia de um olho m´?ope esta´ na visualizac¸a~o de obje- tos distantes. Ou seja, o seu ponto remoto (PR) na~o esta´ no in?nito e sim a uma dist^ancia ?nita (dPR). Isso ocorre, pelo Para corrigir esse defeito, demos tornar o olho m´?ope menos convergente. Para tanto, associamos a ele uma lente diver- gente:

Hipermetropia A de?ci^encia de um olho hiperm´etrope esta´ na visualizac¸a~o de objetos pr´oximos. Ou seja, o seu ponto pr´oximo (PP ) esta´ mais afastado do que o olho normal. Logo a dist^ancia do ponto No olho hiperm´etrope, a imagem de um objeto recai apo´s a Para corrigir este defeito demos tornar o olho hiperm´etrope A lente corretora devera´, de um objeto colocado a 25 cm do olho, fornecer uma imagem no ponto pr´oximo (PP ) do hi- Assim a dist^ancia focal da lente corretiva da hipermetropia ´e calculada da seguinte forma: 111111 =+==+ f p p? fc 25cm dpp

O sinal negativo se deve ao fato da imagem, fornecida pela eixo ótico CF F C

ff oi Co´rnea ´ Nervo Optico

Lente Ma´cula I´ris Conjuntiva Retina

Anatomia do Olho Presbiopia E´ um defeito determinado pela fadiga dos mu´sculos que efe- Tal defeito acentua-se com a idade. O olho se acomoda mal para objetos pr´oximos e, em consequ¨^encia, a dist^ancia m´?nima da vis~ao distinta aumenta. A correc¸a~o ´e feita com uso de lentes bifocais, que t^em uma parte para ver objetos distantes e outra para ver objetos pr´oximos.

Astigmatismo E´ um defeito determinado pela forma na~o esf´erica da co´rnea ou do cristalino, causando uma deformac¸a~o na imagem. A correc¸a~o ´e feita mediante o uso de lentes cil´?ndricas, que com- pensam a falta de simetria do sistema ´optica ocular.

Estrabismo Consiste na incapacidade de se dirigir a vis~ao de ambos os olhos para um mesmo ponto. A correc¸a~o ´e feita por gina´stica ocular para recuperar os mu´sculos, ou atrav´es de cirurgia, ou atrav´es de lentes prism´aticas.

Daltonismo E´ um defeito gen´etico que faz com que seu portador na~o consiga distinguir certas cores. Na~o existe, ainda, correc¸a~o poss´?vel para esse defeito.

O´ tica ? Aula 5 Olho simplificado Formaçao de imagens na Entrada RETINA de Luz Lente Convergente

PP PR 25 cm Zona de Acomodaçao Pense um Pouco! · Uma pessoa lhe diz que enxerga perfeitamente embaixo da ´agua de uma piscina, mas na~o fora da ´agua. Isso ´e Qual?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. As lentes dos ´oculos de um m´?ope sa~o de -5 graus?. Qual ´e a m´axima dist^ancia de seus olhos, sem ´oculos, que ele v^e com imagem n´?tida?

2. O ponto pr´oximo de um indiv´?duo A e o ponto remoto de um indiv´?duo B valem, ambos, 50 cm. Indique o tipo e a verg^encia das lentes corretoras para esses indiv´?duos.

3. Uma lente esf´erica de vidro, cujo ´?ndice de refrac¸a~o ´e 1, 5, tem uma face plana e outra co^ncava, com raio de curvatura 50 cm. Sabendo-se que a lente esta´ imersa no ar, determine sua verg^encia em dioptrias.

4. Uma pessoa m´?ope so´ ´e capaz de ver nitidamente objetos a) Qual o tipo de lente adequada para a correc¸a~o da miopia: b) Qual deve ser a dist^ancia focal da lente para que esta pessoa possa ver nitidamente objetos localizados no in?nito ?

49 Hipermetropia Correçao com lente convergente

Hipermetropia Correçao com lente convergente

Fluidos ? Aula 1 Fluidos Aula 1 Fluidos Chegou o momento de descrevermos o comportamento dos ?ui- dos, para isso falaremos de temas como densidade, pressa~o, empuxo e outros temas que nos levar~ao a um aprofundamento da Hidrosta´tica.

Densidade e Massa espec´??ca Massa espec´??ca ? de uma subst^ancia ´e a raza~o entre deter- Temos enta~o: m ?= v Para um corpo homog^eneo, ? sera´ a pr´opria densidade do ma- terial. Para um corpo na~o homog^eneo, como por exemplo uma corpo oco, a expressa~o acima resulta na densidade m´edia do corpo.

Unidades SI m: massa em quilogramas (kg) V : volume em metro cu´bico (m3) ?: massa espec´??ca em quilogramas por metro cu´bico (kg/m3)

Observac¸~ao No caso da ´agua, cuja massa espec´??ca vale 1 g/cm3, obser- vamos que cada cm3 de ´agua tem massa de 1 g. Assim ´e que, numericamente, massa e volume sera~o iguais para a ´agua, desde que medidos em gramas e em cent´?metros cu´bicos res- pectivamente. Como 1 litro corresponde a 1000cm3, no caso da ´agua temos uma densidade de 1 kg/l. E com um metro cu´bico equivale a 1000 litros, teremos tamb´em para a ´agua, a densidade 1000 kg/m3.

Press~ao Pressa~o p ´e a forc¸a normal, por unidade de ´area, que um ?uido em equil´?brio exerce em contato com uma parede. Podemos representar matematicamente por: F p= A

Unidades SI p: pressa~o em N/m2 = pascal = P a F : forc¸a normal (ortogonal) em newtons ou N A: ´area onde ´e exercida a forc¸a, em metros quadrados m2

Press~ao Atmosf´erica Pressa~o exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superf´?cie da Terra. Ao n´?vel do mar, `a temperatura de 0 ?C ´e igual a 1 atm.

51 E´ comum o uso de unidades de pressa~o na~o pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e mil´?metros de mercu´rio (mmH g): 1atm=760mmHg=1,01×105Pa

Press~ao Hidrost´atica No estudo da hidrost´atica, que faremos a seguir, vamos consi- Suponhamos um recipiente cil´?ndrico de ´area de base A, con- tendo um l´?quido de massa espec´??ca ?. Qual a pressa~o que o l´?quido exerce no fundo do recipiente ?

h A Figura 1.1: Vaso cil´?ndrico de a´rea A e altura h, cheio de um l´?quido de densidade ?.

Da de?nic¸a~o de massa espec´??ca, temos: m ?= v V = Ah m ?= Ah e portanto: m = ?Ah Por outro lado, a forc¸a que o l´?quido exerce sobre a ´area A ´e o seu pr´oprio peso: F = P = mg mas como m = ?Ah enta~o temos F = ?Ahg e ?nalmente, pela de?nic¸a~o de pressa~o, F A A pressa~o que o l´?quido exerce no fundo do recipiente depende da massa espec´??ca do l´?quido (?), da acelerac¸a~o da gravidade Na pr´atica esse resultado e geral, e pode ser usado para a de- terminac¸a~o da pressa~o hidrost´atica em qualquer ?uido (l´?quido Observe que a pressa~o total dentro de um ?uido homog^eneo em equil´?brio sera´ enta~o: p = patm + ?gh onde patm ´e a pressa~o atmosf´erica, que atua sobre todos os corpos imersos no ar.

Press~ao Manom´etrica e Absoluta A press~ao absoluta ´e a pressa~o total exercida em uma dada Em muitos casos, como na calibrac¸a~o de um pneu, estamos interessados apenas na diferenc¸a entre a pressa~o interna de um reservat´orio (o pneu) e a pressa~o externa (o ar, que esta´ na pressa~o atmosf´erica local). A essa diferenc¸a chamamos press~ao manom´etrica, e os aparelhos que a medem cha- mamos de mano^metros.

Sera´ negativa quando a pressa~o interna de um reservat´orio for menor do que a pressa~o atmosf´erica externa. Exemplos: quando retiramos ar de um recipiente, fazendo-se um v´acuo parcial; ou quando sugamos um canudinho de refrigerante, baixamos a pressa~o interna da boca, criando uma ?press~ao negativa?.

Pense um Pouco! · Porque na~o sentimos a pressa~o atmosf´erica normal, j´a que ela ´e ta~o grande?

· Um barco ?utua no mar. Quais as forc¸as relevantes para · Como ´e poss´?vel se deitar numa cama de pregos sem se machucar?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Uma massa de 1 kg de ´agua ocupa um volume de 1 litro a 40?C. Determine sua massa espec´??ca em g/cm3, kg/m3 e kg/l.

2. Determine a massa de um bloco cu´bico de chumbo que tem arestas de 10 cm, sendo que a densidade do chumbo ´e igual 11, 2 g/cm3.

3. Uma esfera oca, de 1.200 g de massa, possui raio externo de 10, 0 cm e raio interno de 9, 0 cm. Sabendo que o volume de uma esfera de raio R ´e dado por V = 4 ?R3. Usando ? = 3, 14, 3 determine: b) a densidade do material de que ´e feita a esfera.

4. Um cubo macic¸o com densidade igual a 2, 1 g/cm3, de Qual ´e a pressa~o, em P a e em atm, exercida pelo cubo sobre a superf´?cie?

Exerc´?cios Complementares 5. Existe uma unidade inglesa de pressa~o ? a libra-forc¸a por polegada quadrada ? que se abrevia lbf /pol2, a qual ´e indevi- damente chamada de libra. Assim, quando calibram os pneus de um automo´vel, algumas pessoas dizem que colocaram ?26 libras? de ar nos pneus. Agora responda: a) por que num pneu de automo´vel se coloca mais ou menos 25lbf /pol2 enquanto que no de uma bicicleta de corrida (cujos pneus sa~o bem ?nos) se coloca aproximadamente 70 lbf /pol2 b) Sendo 1 lbf /pol2 = 0, 07 atm, qual a pressa~o t´?pica (em c) A pressa~o que nos interessa, neste caso do pneu, ´e a pressa~o manom´etrica ou a pressa~o absoluta. Por qu^e?

Fluidos Aula 2 Hidrost´atica Lei de Stevin Consideremos um recipiente contendo um l´?quido homog^eneo de densidade ?, em equil´?brio esta´tico. As presso~es que o l´?quido exerce nos pontos A e B sa~o, respectivamente: pa = ?gha e pb = ?ghb

Fluidos ? Aula 2 pabs = patm + ?gh Consequ¨^encias da Lei de Stevin No interior de um l´?quido em equil´?brio esta´tico: 1. pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma pressa~o;

2. a superf´?cie de separac¸a~o entre l´?quidos na~o misc´?veis ´e um plano horizontal;

3. em vasos comunicantes quando temos dois l´?quidos na~o misc´?veis temos que a altura de cada l´?quido ´e inversa- mente proporcional `as suas massas espec´??cas (densida- des);

y h y h x x Figura 1.2: Vasos comunicantes, com dois l´?quidos na~o misc´?veis em equil´?brio.

py = px patm + ?yghy = patm + ?xghx ?yhy = ?xhx ?y hx = ?x hy

4. a diferenc¸a de pressa~o entre dois pontos dentro do ?u´?do, depende apenas do seu desn´?vel vertical ( h), e na~o da profundidade dos pontos.

Princ´?pio de Pascal Pascal fez estudos em ?u´?dos e enunciou o seguinte princ´?pio:

A press~ao aplicada a um ?u´?do em equil´?brio transmite-se integral e instantaneamente `a to- dos os pontos do ?u´?do e `as paredes do recipi- ente que o cont´em.

53 F 1 F 2 A A2 1 A Prensa Hidr´aulica Uma das aplicac¸o~es deste princ´?pio ´e a prensa hidra´ulica como mostramos a seguir: Observe que: p1 = p2 F1 F2 = A1 A2 F1 A1 = F2 A2 Isso mostra que uma forc¸a pequena F1 ´e capaz de suportar, no outro ^embolo, um peso muito grande (F2), isso ´e muito A prensa hidra´ulica ´e o equivalente hidra´ulico do princ´?pio da alavanca, de Arquimedes, usado na Mec^anica. E´ bom lembrar que estas ?engenhocas?multiplicam realmente a forc¸a, mas na~o a energia. O trabalho m´?nimo necessa´rio para elevar um carro ´e o mesmo, independente da m´aquina que se utilize (Wmin = Na prensa mostrada na Fig. 1.3, uma forc¸a -F2 (para baixo) dever´a ser feita no ^embolo da direita, para manter o equil´?brio do sistema. Em geral, usa-se o ^embolo maior para suspender uma carga externa, ou levantar um objeto do cha~o (macaco hidra´ulico).

Princ´?pio de Arquimedes Arquimedes, ha´ mais de 200 anos a.C., estabeleceu que a perda aparente do peso do corpo ´e devido ao surgimento do empuxo, quando estamos mergulhados num l´?quido, como a ´agua, por exemplo.

Os corpos mergulhados totalmente ou parci- almente, num ?uido, recebem do mesmo uma forc¸a vertical, de baixo para cima, de intensi- dade igual ao peso do ?uido deslocado, deno- minada empuxo.

Ou seja, se um corpo esta´ mergulhado num ?uido de densidade ?f e desloca volume Vfd do ?uido, num local onde a acelerac¸a~o da gravidade ´e g, temos: Pf = mf g

a massa do ?uido deslocado sera´ mf = ?fVfd e portanto Pf = ?fVfdg e, de acordo com o Princ´?pio de Arquimedes E = ?fVfdg

ou simplesmente E = ?V g ?cando a nosso cargo a interpretac¸a~o correta dos termos en- volvidos.

Flutuac¸~ao Segundo o princ´?pio de Arquimedes, quando temos um corpo na superf´?cie de um ?u´?do cujo peso (do corpo) ´e anulado (igual em m´odulo) pelo empuxo que ele sofre antes de estar completa- mente submerso, o corpo ira´ ?utuar sobre ele, quando abando- nado. Baseado nessa aplicac¸a~o sa~o constru´?dos todos os tipos Para um corpo de peso P ?utuando, a condic¸a~o de equil´?brio deve ser satisfeita: Fy = +E - P = 0

ou seja P=E Pode-se mostrar tamb´em que se um corpo tiver uma densidade m´edia ?c maior que a densidade ?f de um certo ?uido, ele na~o podera´ ?utuar nesse ?u´?do, e acabara´ afundando se for solto na sua superf´?cie.

Pense um Pouco! · Como pode um navio de ferro ?utuar na ´agua, j´a que ?F e > ?H2O ?

· Quando fechamos a porta de um pequeno quarto a janela · Mergulhando na ´agua um objeto suspenso por um ?o, voc^e observa que a trac¸a~o no ?o muda. Explique.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFRJ) O impacto de uma part´?cula de lixo que atingiu a Nessas condic¸o~es e tendo a part´?cula 2 cm2, a nave sofreu uma forc¸a de: a) 100 N b) 200 N c) 400 N d) 800 N e) 1600N 2. Uma piscina com 5, 0 m de profundidade esta´ cheia com ´agua. Considere g = 10 m/s2 e p = 1, 0 × 105 P a e deter- atm mine: c) a diferenc¸a de pressa~o entre dois pontos separados, vertical- mente, por 80 cm.

3. (Cl´assico) Para determinar a pressa~o atmosf´erica, Torri- celli fez a seguinte experi^encia: um tubo de vidro, de 1 m de comprimento, foi cheio de mercu´rio e depois emborcado num recipiente contendo mercu´rio; constatou que, ao n´?vel do mar, o mercu´rio no tubo mant´em uma altura de 760 mm acima da sua superf´?cie livre (no recipiente). Se a densidade do mercu´rio ´e 13, 6 g/cm3 e a acelerac¸a~o da gravidade local ´e de 9, 8 m/s2, qual a pressa~o atmosf´erica constatada por Torricelli?

4. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automo´vel de massa 1.000 kg, o mesmo ´e erguido a uma certa altura. O sistema utilizado ´e uma prensa hidra´ulica. Sendo os ^embolos de ´areas 10 cm2 e 2.000 cm2, e a acelerac¸a~o da gravidade local de 10 m/s2, pergunta-se: b) em qual ^embolo deve-se pressionar para se sustentar o carro?

1.1 Exerc´?cios Complementares 5. A´ gua e ´oleo de densidades 1, 0 e 0, 8, respectivamente, sa~o colocados em um tubo em ?U?. Sendo de 16 cm a altura da coluna de ´oleo, determine a altura da coluna de ´agua medida acima do n´?vel de separac¸a~o entre os l´?quidos.

6. Os icebergs sa~o grandes blocos de gelo que vagam em la- titudes elevadas, constituindo um s´erio problema para a na- vegac¸a~o, sobretudo porque deles emerge apenas uma pequena parte, ?cando o restante submerso. Sendo V o volume total do iceberg e ?g = 0, 92 g/cm3 a densidade do gelo, determine a porcentagem do iceberg que ?ca acima da superf´?cie livre da ´agua, considerada com densidade igual a ?f = 1, 0 g/cm3.

7. Uma bola com volume de 0, 002 m3 e densidade m´edia de 200 kg/m3 encontra-se presa ao fundo de um recipiente que cont´em ´agua, atrav´es de um ?o conforme a ?gura. Determine a intensidade da trac¸a~o T no ?o que segura a bola (Considere g = 10 m/s2).

Cinema´tica ? Aula 1 Cinem´atica Aula 1 Cinem´atica A Cinem´atica ´e a parte da Mec^anica que estuda e descreve o movimento dos corpos, sem se preocupar com suas causas (forc¸as).

Movimento Observando os corpos a nossa volta, podemos ter intuitiva- mente uma id´eia do que sa~o os estados de movimento e re- pouso. Mas esses dois conceitos (movimento e repouso) sa~o relativos: ao dormir voc^e pode estar em repouso em relac¸a~o `as paredes de seu quarto; entretanto, em relac¸a~o ao sol, voc^e ´e um viajante espacial. A parte da F´?sica que trata do movimento ´e a Mec^anica. Ela procura compreender as causas que pro- duzem e modi?cam os movimentos. A seguir, vamos estudar uma subdivis~ao da Mec^anica chamada Cinem´atica, que trata do movimento sem se referir `as causas que o produzem.

Ponto Material Em determinadas situac¸o~es, ponto material pode representar qualquer corpo, como um trem, um avia~o, um carro, uma bala Ponto, porque, na resoluc¸a~o de problemas, estaremos despre- zando as dimens~oes do corpo em movimento, sempre que as dist^ancias envolvidas forem muito grandes em relac¸a~o `as di- mens~oes do corpo. Material, porque, embora as dimens~oes do corpo sejam desprezadas, sua massa sera´ considerada.

Repouso, Movimento e Referencial Examine as seguintes situac¸o~es: · Quando estamos dentro de um ve´?culo em movimento, a paisagem circundante ´e fundamental para estabelecermos os conceitos de movimento e repouso · Quando observamos o movimento do sol atrav´es da esfera celeste, podemos concluir que a Terra se movimenta ao redor do Sol.

· Uma pessoa nasce e cresce em um ambiente fechado, sem Nesse caso, pode ser que essa pessoa na~o tenha condic¸o~es de a?rmar se aquele ambiente esta´ em repouso ou em mo- vimento.

Em todos esses casos, percebemos que o movimento ´e determi- nado a partir de um referencial: a paisagem ´e o referencial do carro e o Sol ´e o referencial da Terra; se uma pessoa passar a sua vida toda num ambiente absolutamente fechado, na~o tera´ referencial para perceber qualquer movimento, a na~o ser o de seu pr´oprio corpo.

55 Trajet´oria Este ´e outro conceito importante no estudo do movimento. Va- mos partir da ?gura abaixo. Ela representa uma esfera aban- donada de um avia~o que voa com velocidade constante: A8-132

Em relac¸a~o ao solo, a trajet´oria da esfera ´e um arco de para´bola; e em relac¸a~o ao avia~o, a trajet´oria ´e um segmento Enta~o, podemos concluir que a trajet´oria: · ´e a linha descrita ou percorrida por um corpo em movi- mento;

Deslocamento × Dist^ancia Percorrida A dist^ancia percorrida por um corpo durante um movimento ´e a grandeza escalar que corresponde ao comprimento do seg- mento que representa a trajet´oria descrita pelo corpo neste mo- vimento, em relac¸a~o ao referencial adotado. O deslocamento de um corpo ´e uma grandeza vetorial, cujo m´odulo equivale ao comprimento do segmento de reta, compreendidos entre os pontos inicial e ?nal do movimento.

A 5m 3m B C 4m Na ?gura, uma part´?cula, saindo do ponto A, percorre a tra- jet´oria ABC. A dist^ancia percorrida pela part´?cula ´e a soma dos trechos AB (3 metros) e BC (4 metros), totalizando 7 me- tros. Ja´ o deslocamento ´e representado pela dist^ancia entre o ponto A e ponto C, que ´e igual a 5 metros.

Observac¸o~es · O deslocamento foi representado por um segmento de reta orientado que denominamos de vetor; os vetores represen- tam as grandezas vetoriais.

· O deslocamento ´e a menor dist^ancia entre o ponto de sa´?da e o ponto de chegada do corpo.

· Numa trajet´oria retil´?nea a dist^ancia percorrida e o des- locamento podem ser iguais.

Deslocamento Escalar s E´ a variac¸a~o de espac¸o s. E´ medido em metros, quilo^metros, cent´?metros, etc. Ou seja:

s = s - s0 Quando s > 0 o movimento ´e a favor da orientac¸a~o da tra- jet´oria; quando s < 0 o movimento ´e contra a orientac¸a~o da trajet´oria, mas se s = 0 a posic¸a~o ?nal ´e igual a inicial.

Importante Ha´ duas possibilidades para s = 0: · o corpo pode ter se movimentado mas retornado a posic¸a~o inicial;

Velocidade Escalar M´edia Quando falamos que um ve´?culo percorreu 100 km em 2 h ´e f´acil determinar que em m´edia ele 50 km a cada 1 h. No´s dividimos a dist^ancia total e o tempo total da viagem. Isso na~o signi?ca que o ve´?culo andou sempre na mesma velocidade, pois o ve´?culo pode ter parado em um posto de combust´?vel para No´s sabemos apenas a dist^ancia total e o tempo total da vi- Mas se o motorista quisesse a viagem no mesmo tempo e an- dando sempre na mesma velocidade ele deveria andar sempre a 50 km/h. E´ a velocidade escalar m´edia. Normalmente na~o usaremos o termo dist^ancia e sim deslocamento escalar ( s) e, para indicarmos o tempo decorrido usaremos intervalo de tempo ( t). Dessa maneira: s s - s0 Vm = = t t - t0 Para transformar velocidades em km/h em m/s fazemos: 1000 m 1 1 km/h = = m/s 3600 s 3, 6 e tamb´em 1 m/s = 3, 6 km/h Velocidade Escalar Vamos recordar: a velocidade indica a rapidez e o sentido do movimento.

Exemplos 1. Va = +10 m/s: a cada segundo o m´ovel anda 10 m e indica movimento no sentido da orientac¸a~o da trajet´oria.

2. Vb = -10 m/s: a rapidez ´e a mesma do m´ovel anterior e o movimento ´e no sentido oposto ao da orientac¸a~o da trajet´oria.

Acelera¸c~ao Mede a rapidez da mudanc¸a da velocidade, ´e a variac¸a~o da velocidade em func¸a~o do tempo. Imagine um movimento com a velocidade mudando a cada segundo: t(s) 0 1 2 3 v(km/h) 10,0 13,6 17,2 21,8

A cada segundo a velocidade aumenta 3, 6 km/h, ou seja, a velocidade varia +3, 6 (km/h) a cada segundo. Isso ´e, a ace- lerac¸a~o ´e: 3, 6 km/h 1, 0 m/s a = + = = 1 m/s2 ss Aqui temos uma acelerac¸a~o positiva, pois a velocidade vai au- mentando (em m´odulo) com o tempo.

Outro Exemplo Imagine o seguinte movimento: t(s) 0 1 2 3 v(m/s) 50 45 40 35 A cada segundo a velocidade varia (diminui) em -5 m/s, ou seja: -5 m/s a = = -5 m/s2 s Nesse caso a acelerac¸a~o ´e negativa, pois a velocidade vai dimi- nuindo (em m´odulo) com o tempo.

Acelera¸c~ao Escalar M´edia (am) E´ a variac¸a~o total da velocidade em relac¸a~o ao intervalo total de tempo.

v v - v0 am = = t t - t0 Unidades SI No SI medimos a velocidade em m/s, o tempo em segundos (s), e a acelerac¸a~o em m/s2.

Cinema´tica ? Aula 2 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (PUC) Um atleta fez um percurso de 800 m num tempo de 1 min e 40 s. A velocidade escalar m´edia do atleta ´e de: a) 8, 0 km/h b) 28, 8 m/s c) 28, 8 km/h d) 20, 0 m/s e) 15, 0 km/h 2. (UEL) Um m´ovel percorreu 60, 0 m com velocidade de 15, 0 m/s e os pr´oximos 60, 0 m a 30, 0 m/s. A velocidade m´edia durante as duas fases foi de: a) 15, 0 m/s b) 20, 0 m/s c) 22, 5 m/s d) 25, 0 m/s e) 30, 0 m/s 3. (VUNESP) Ao passar pelo marco ?km 200?de uma rodo- via, um motorista v^e um anu´ncio com a inscric¸a~o ?ABASTE- CIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS?. Conside- rando que esse posto de servic¸os se encontra junto ao marco ?km 245?dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prev^e, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velo- cidade m´edia, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120

Exerc´?cios Complementares 4. (FUVEST) Partindo do repouso, um avia~o percorre a pista com acelerac¸a~o constante e atinge a velocidade de 360 km/h a) 9,8 b) 7,2 c) 6,0 d) 4,0 e) 2,0 5. (PUC) Um trem esta´ com velocidade escalar de 72 km/h quando freia com acelerac¸a~o escalar constante de m´odulo igual a 0, 40 m/s2. O intervalo de tempo que o trem gasta para parar, em segundos, ´e de: a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 6. (ACAFE) Um carro inicia a travessia de uma ponte com uma velocidade de 36 km/h , ao passar a ponte o motorista ob- serva que o ponteiro do veloc´?metro marca 72 km/h. Sabendo que a travessia dura 5, 0 segundos, a acelerac¸a~o do carro du- rante a travessia ´e de: a) 1 m/s2 b) 2 m/s2 c) 3 m/s2 d) 4 m/s2 e) n.d.a 57

Cinem´atica Aula 2 Movimento Uniforme (MU) Suponhamos que voc^e esteja dirigindo um carro de tal forma que o ponteiro do veloc´?metro ?que sempre na mesma posic¸a~o, por exemplo 80 km/h, no decorrer do tempo. Nessa condic¸a~o, voc^e ira´ percorrer 80 km a cada hora de viagem, em duas horas percorrer´a 160 km, e assim por diante. O movimento descrito Voc^e j´a deve ter notado, enta~o, que no movimento uniforme o valor do m´odulo da velocidade ´e constante e na~o nulo, isto ´e, Se, al´em da velocidade apresentar valor constante e a trajet´oria for retil´?nea, o movimento ´e dito movimento retil´?neo uni- forme (MRU).

Equa¸c~ao Hor´aria do MU Ao longo de um movimento, a posic¸a~o de um m´ovel varia no decorrer do tempo. E´ u´til, portanto, encontrar uma equac¸a~o que fornec¸a a posic¸a~o de um m´ovel em um movimento uniforme no decorrer do tempo. A esta equac¸a~o denominamos equac¸a~o Considere enta~o, o nosso amigo corredor percorrendo com ve- tt 0

Ox X 0x

Onde: x0 ´e a sua posic¸a~o inicial no instante t0 = 0 e x ´e a sua nova posic¸a~o no instante t posterior. A velocidade do corredor no intervalo de tempo t = t - t0 = t ´e x v - v0 v= = tt e se v ´e sempre constante, para qualquer instante t, enta~o temos um movimento uniforme (MU). Neste caso, como a trajet´oria do movimento ´e retil´?nea, temos um movimento re- Invertendo-se a equac¸a~o acima, podemos escrever a equac¸~ao hor´aria do movimento: x(t) = x0 + vt que nos da´ a posic¸a~o x(t) em cada instante t > 0, para todo o movimento.

uma vez que a velocidade ´e constante e na~o varia ao longo v v v v>0 v=0 O tO tO t v<0

Importante · Quando o movimento ´e na direc¸a~o positiva do eixo orien- tado (o sentido positivo usual ´e para a direita) a veloci- dade do m´ovel ´e positiva (v > 0). Neste caso x cresce com o tempo;

· Quando o movimento ´e na direc¸a~o negativa do eixo orien- tado (sentido negativo usual ´e para a esquerda) a veloci- dade do m´ovel ´e negativa (v < 0), e neste caso, x decresce Neste caso como a velocidade esta´ abaixo do eixo das abs- cissas, esta possui valor negativo, ou seja esta´ em sentido contr´ario ao da trajet´oria.

· E´ importante notar que a velocidade corresponde a altura · A ´area de um reta^ngulo ´e dada pelo produto da base pela altura: o deslocamento, pelo produto da velocidade pelo tempo.

v x = vt = Área O t

Figura 1.3: O deslocamento ´e igual a a´rea sob a curva do Gr´a?co da Posi¸c~ao x × t Como a equac¸a~o hora´ria no movimento uniforme ´e uma equac¸a~o do primeiro grau, podemos dizer que, para o movi- mento uniforme, todo gr´a?co x × t ´e uma reta inclinada em relac¸a~o aos eixos. Quando o movimento ´e progressivo (para a direita) a reta ´e inclinada para cima, indicando que os va- lores da posic¸a~o aumentam no decorrer do tempo; quando o movimento ´e retr´ogrado (para a esquerda), a reta ´e inclinada para baixo indicando que os valores da posic¸a~o diminuem no decorrer do tempo.

Observe no gr´a?co que, de acordo com a equac¸a~o hora´ria, a velocidade pode ser dada pela inclinac¸a~o da reta, ou seja v = tan ? A inclinac¸a~o da reta tamb´em denominada ´e chamada de de- clividade ou coe?ciente angular da reta.

a b c Lembre-se de que a tangente de um ^angulo, num tria^ngulo reta^ngulo, ´e dada pela relac¸a~o entre cateto oposto e o cateto adjacente: Para o movimento progressivo temos o seguinte gr´a?co: x v>0

x o O t Figura 1.5: Gra´?co x × t para o movimento uniforme (MU) progressivo.

E para o movimento retr´ogrado observa-se que: x v<0 x o O t

Figura 1.6: [Gra´?co x × t para o movimento uniforme (MU) Pense um Pouco! · Um trem com 1 km de extens~ao viaja `a velocidade de 1 km/min. Quanto tempo leva o trem para atravessar um tu´nel de 2 km de comprimento?

Cinema´tica ? Aula 3 · No gr´a?co x × t, qual a interpretac¸a~o f´?sica da intersecc¸a~o da reta com o eixo do tempo t?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UEL) Um automo´vel mant´em uma velocidade escalar cons- tante de 72, 0 km/h. Em 1h:10min ele percorre uma dist^ancia igual a: a) 79, 2 km b) 80, 8 km c) 82, 4 km d) 84, 0 km e) 90, 9 km 2. (ITAU´ NA-RJ) A equac¸a~o hora´ria de um certo movimento ´e x(t) = 40 - 8t no SI. O instante t, em que o m´ovel passa pela origem de sua trajet´oria, sera´: a) 4 s b) 8 s c) 32 s d) 5 s e) 10 s 3. (UEL) Duas pessoas partem simultaneamente de um mesmo local com velocidades constantes e iguais a 2 m/s e a) 1, 5 m b) 60, 0 m c) 150, 0 m d) 30, 0 m e) 90, 0 m

Exerc´?cios Complementares 4. (UEPG-PR) Um trem de 25 m de comprimento, com velo- cidade constante de 36 km/h, leva 15s para atravessar total- mente uma ponte. O comprimento da ponte ´e: a) 120 m b) 100 m c) 125 m d) 80 m e) nenhuma resposta ´e correta 5. (TUIUTI-PR) Um motorista passa, sem perceber, em um radar da pol´?cia a 108 km/h. Se uma viatura esta´, logo adi- ante a uma dist^ancia de 300 m do radar, em quanto tempo o a) 7 s b) 13 s c) 20 s d) 10 s e) 16 s 6. (UESBA) Se dois movimentos seguem as func¸o~es hora´rias de posic¸a~o x1(t) = 100 + 4t e x2(t) = 5t, com unidades do SI, o encontro dos m´oveis se da´ no instante: a) 0 s b) 400 s c) 10 s d) 500 s e) 100 s 59

Cinem´atica Aula 3 Movimento Uniformemente Variado (MUV) Analisando um movimento de queda livre, podemos veri?car que o deslocamento escalar vai aumentando com o decorrer do tempo, isso mostra que a velocidade escalar do corpo varia Galileu j´a havia descoberto esse movimento e concluiu que, desprezando a resist^encia do ar, quando abandonamos do re- pouso os corpos pr´oximos a superf´?cie da terra caem com velo- cidades crescentes, e que a variac¸a~o da velocidade ´e constante em intervalos de tempos iguais. Podemos enta~o concluir que Observamos um MUV quando o m´odulo da velocidade de um corpo varia de quantidades iguais em intervalos de tempos iguais, isto ´e, apresenta acelerac¸a~o constante e diferente de No caso da trajet´oria ser retil´?nea, o movimento ´e denominado Portanto em um movimento retil´?neo uniforme.

Acelera¸c~ao e Velocidade no MRUV a = constante = 0 Como a acelerac¸a~o escalar ´e constante, ela coincide com a ace- lerac¸a~o escalar m´edia: v v - v0 a = am = = t t - t0 fazendo t0 = 0, podemos escrever a equac¸a~o hora´ria da veloci- dade, ou seja

v = v0 + at v MRUV vMRUV vMRU

O a>0 t O a>0 t O a=0 t v >0 v <0 v >0 ooo

v MRUV a < 0 v v >0 o MRUV a < 0 v v =0 o MRU a = 0 v <0 o

O tO tO t A Equa¸c~ao de Torricelli O f´?sico italiano Evangelista Torricelli estudou matem´atica em Roma. Nos u´ltimos meses de vida de Galileu, Torricelli se tor- nou seu aluno e amigo ´?ntimo, o que lhe proporcionou a opor- tunidade de rever algumas teorias do mestre. Uma das con- sequ¨^encias disso foi a uni?cac¸a~o que Torricelli fez das func¸o~es hora´rias estabelecidas por Galileu para o movimento unifor- Figura 1.2: v × t para o MRUV com a ? 0. Torricelli eliminou o tempo da func¸a~o v = v0 + at v + v0 obtendo s= t 2 t = (v - v0)/a como: e substituindo o valor de t na func¸a~o hora´ria dos espac¸os, temos v + v0 v - v0 s = s - s0 s = s0 + vmt = s0 + 2 a

e onde vm ´e a velocidade m´edia do movimento. Finalmente, obtemos a equac¸a~o de Torricelli: v = v0 + at v2 = v2 + 2a s 0 temos Pense um Pouco! 1 s - s0 = (v0 + at + v0)t 2 · Imagine que voc^e esta´ no interior de um automo´vel em mo- vimento. O automo´vel ´e su?cientemente silencioso e ma- 1 1 cio para que voc^e na~o perceba sua velocidade e variac¸o~es s - s0 = (2v0 + at)t = v0t + at2 2 2 de velocidade. Apenas olhando para o veloc´?metro do au- tomo´vel, sem olhar pelas janelas e pa´ra-brisas, ´e poss´?vel logo, classi?car o movimento do automo´vel?

1 · Pode-se usar a equac¸a~o de Torricelli para se determinar s(t) = s0 + v0t + at2 a altura atingida por um proj´etil lanc¸ado verticalmente 2 ´e a func¸a~o hora´ria dos espac¸os s(t).

x x x a>0 v =0 o a>0 v <0 o x =0 o a>0 v <0 o x <0 o

O tO tO t x =0 o Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (UEL) Uma part´?cula parte do repouso e, em 5 segun- dos percorre 100 metros. Considerando o movimento retil´?neo uniformemente variado, podemos a?rmar que a acelerac¸a~o da part´?cula ´e de: a) 8, 0 m/s2 b) 4, 0 m/s2 c) 20 m/s2 d) 4, 5 m/s2 e) n.d.a.

x a<0 x v =0 o x =0 o x O t Oa<0 t Oa<0 t v >0 v =0 oo x =0 x >0 oo 2. (UFPR) Um carro transitando com velocidade de 15 m/s, tem, seu freio acionado. A desacelerac¸a~o produzida pelo freio ´e de 10 m/s2. O carro pa´ra apo´s percorrer: a) 15, 5 m b) 13, 35 m c) 12, 15 m d) 11, 25 m e) 10, 50 m 3. (ACFE-SC) A velocidade de um certo corpo em movimento Figura 1.4: x × t para o MRUV com a < 0. retil´?neo ´e dada pela expressa~o v(t) = 10 - 2t, no SI. Calcule o espac¸o percorrido pelo corpo entre os instantes 2 s e 3 s.

Cinema´tica ? Aula 4 a) 3 m b) 5 m c) 8 m d) 16 m e) 21 m Exerc´?cios Complementares

4. (CEFET) Na decolagem, um certo avia~o partindo do re- pouso, percorre 500 m em 10, 0 s. Considerando-se sua ace- lerac¸a~o constante, a velocidade com que o avia~o levanta v^oo ´e: a) 100 m/s b) 200 m/s c) 125 m/s d) 50 m/s e) 144 m/s 5. (UNESP) Um m´ovel descreve um movimento retil´?neo obe- decendo a func¸a~o hora´ria x(t) = 8 + 6t - t2 no SI. Esse movi- mento tem inversa~o de seu sentido no instante: a) 8 s b) 3 s c) 6 s d) 2 s e) 4/3 s 6. (UNESP) No instante em que o sinal de tr^ansito auto- riza a passagem, um caminha~o de 24 m de comprimento que estava parado comec¸a atravessar uma ponte de 145 m de comprimento, movendo-se com uma acelerac¸a~o constante de 2, 0 m/s2. O tempo que o caminha~o necessita para atravessar completamente a ponte ´e: a) 12 s b) 145 s c) 13 s d) 169 s e) 14 s

Cinem´atica Aula 4 Queda Livre Um corpo ´e dito em queda livre quando esta sob ac¸a~o exclusiva Foi Galileu quem estudou corretamente pela primeira vez, a Galileu concluiu que todos os corpos em queda livre, isto ´e, livres do efeito da resist^encia do ar, tem uma propriedade co- Corpos em queda livre t^em a mesma acelerac¸a~o quaisquer que Esta acelerac¸a~o de queda livre ´e denominada acelerac¸~ao da gravidade e, nas proximidades da terra, ´e suposta constante e com m´odulo g = 9.8 m/s2, valor este que por praticidade, ´e usualmente aproximado para g = 10 m/s2.

61 Na realidade, a acelerac¸a~o da gravidade, embora seja indepen- dente da massa do corpo em queda livre, varia com o local, Se o corpo em queda livre tiver uma trajet´oria retil´?nea, seu movimento sera´ uniformemente variado; neste caso, a ace- lerac¸a~o escalar do corpo sera´ constante e valer´a sempre a = -g, independente do sentido do movimento. Desta forma, se um objeto for lanc¸ado para cima (v0 > 0), ele ira´ frear (desacele- rar) at´e parar (v = 0) e depois seu sentido de movimento sera´ invertido (v > 0).

Conven¸c~oes · quando a e v possuem o mesmo sinal, o movimento ´e acelerado (v cresce em m´odulo);

· quando a e v possuem o sinais contr´arios, o movimento ´e desacelerado, freado ou enta~o dito tamb´em retardado (v diminui em m´odulo);

Velocidade Escalar Final Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´?vel e a acelerac¸a~o da gravidade ´e constante e com m´odulo g, um corpo ´e abandonado Vamos obter a velocidade escalar ?nal de um corpo ao solto (v0 = 0), atingir o solo. Pela equac¸a~o de Torricelli: v2 = v2 + 2a s = v2 + 2a(s - s ) 000 sendo s0 = h e s = 0, temos: v2 = 0 + 2(-g)(0 - h) = 2gh enta~o v = - 2gh sera´ a sua velocidade escalar ao atingir o cha~o. Escolhemos o sinal negativo (-) porque o corpo esta´ descendo, contra o Observe que quanto maior a altura inicial h, maior a velocidade ?nal v, como era de se esperar, mas que v na~o ´e proporcional a h.

Tempo de Queda Vamos obter agora o tempo de queda livre desde que um corpo ´e solto (v0 = 0) de uma altura h, at´e atingir o solo. Pela equac¸a~o hora´ria da velocidade do MRUV, temos: v(t) = v0 + at e para a queda livre sera´ v(t) = v0 - gt ? e sendo v0 = 0 e v = - 2gh temos - 2gh = 0 - gt e ?nalmente ? 2gh 2h t= = gg Observe que quanto maior a altura inicial h, maior o tempo de queda t, como tamb´em era de se esperar, e que t tamb´em na~o ´e proporcional a h.

v a = -g v =0 o t q 0 t x h a = -g v =0 o x =h o

0 tq t Lan¸camento Vertical Em um local onde o efeito do ar ´e desprez´?vel e a acelerac¸a~o da gravidade ´e constante e com m´odulo igual a g, um proj´etil ´e lanc¸ado verticalmente para cima com velocidade de m´odulo Estudemos as propriedades associadas a este movimento: 12 s(t) = s0 + v0t - gt 2 e v(t) = v0 - gt Observa-se que: · o movimento do proj´etil ´e uniformemente variado porque a acelerac¸a~o escalar ´e constante e diferente de zero;

· como foi lanc¸ado para cima, a velocidade inicial do proj´etil ´e positiva (v0 > 0);

· orientando-se o eixo vertical para cima, como de costume, · A partir do ponto mais alto da trajet´oria, o proj´etil inverte o sentido de seu movimento e , portanto, sua velocidade ´e nula no ponto mais alto (ponto de inversa~o);

· O tempo de subida ts do proj´etil ´e calculado como se segue: se v(t) = v0 - gt e v(ts) = 0 para a posic¸a~o mais alta, temos

0 = v0 - gts e ?nalmente v0 ts = g Pode-se mostrar que o tempo de descida ´e igual ao tempo de subida. Mostre voc^e mesmo.

· a velocidade escalar de retorno ao solo ´e calculada como se segue: como o tempo total de v^oo ´e 2ts, temos 2v0 v(2ts) = v0 - g(2ts) = v0 - g g ou seja, a velocidade de retorno sera´ v = -v0

A mesma acelerac¸a~o que retarda a subida do proj´etil ´e a que o acelera na descida e tem m´odulo constante g, portanto conclu´?mos que que ao retornar ao solo, o proj´etil chaga com a mesma velocidade inicial de lanc¸amento, em m´odulo.

· A altura m´axima atingida pelo proj´etil ´e calculada a partir da equac¸a~o de Torricelli: v2 = v02 + 2a s e como v = 0 e s = h, temos 0 = v2 + 2(-g)h 0

donde v02 h= 2g Observe que quanto maior a velocidade inicial v0, maior a altura h atingida pelo proj´etil, como era de se esperar, e que h na~o ´e proporcional a v0.

Pense um Pouco! · Por que uma folha inteira e outra amassada na~o chegam juntas ao cha~o, quando soltas simultaneamente de uma mesma altura?

· Um corpo pode estar subindo (v > 0) e acelerando para · por que na~o se deve dar um tiro para cima com uma arma de fogo?

Cinema´tica ? Aula 5 e adote g = 10 m/s2. O tempo de queda at´e o solo e o m´odulo da velocidade com que o corpo atinge o solo sa~o: a) 4, 0 s e 72 km/h b) 2, 0 s e 72 km/h c) 2, 0 s e 144 km/h d) 4, 0 s e 144 km/h e) 4, 0 s e 40 km/h 3. (FUVEST) Um corpo ´e disparado do solo, vertical- mente para cima, com velocidade inicial de m´odulo igual a 2, 0.102 m/s. Desprezando a resist^encia do ar e adotando g = 10 m/s2, a altura m´axima alcanc¸ada pelo proj´etil e o tempo necessa´rio para alcanc¸a´-la sa~o respectivamente: a) 4, 0 km e 40 s b) 2, 0 km e 40 s c) 2, 0 km e 10 s d) 4, 0 km e 20 s e) 2, 0 km e 20 s

Exerc´?cios Complementares 4. (FMTM-MG) As gaivotas utilizam um m´etodo interessante para conseguir degustar uma de suas presas favoritas ? o caran- guejo. Consiste em suspend^e-lo a uma determinada altura e a´? abandonar sua v´?tima para que chegue ao solo com uma velo- cidade de m´odulo igual a 30 m/s, su?ciente para que se quebre A altura de elevac¸a~o utilizada por essas aves ´e: a) 15 m b) 45 m c) 90 m d) 30 m e) 60 m 5. (UNICAMP) Uma atrac¸a~o que esta´ se tornando muito po- pular nos parques de diversa~o consiste em uma plataforma que despenca, a partir do repouso, em queda livre de uma altura de 75 m. Quando a plataforma se encontra a 30 m do solo, ela passa a ser freada por uma forc¸a constante e atinge o repouso quando chega ao solo. A velocidade da plataforma quando o freio ´e acionado ´e dada por : a) 10 m/s b) 30 m/s c) 75 m/s d) 20 m/s e) 40 m/s 6. (CEFET-PR) Um bala~o meteorol´ogico esta´ subindo com velocidade constante de 10 m/s e se encontra a uma altura de 75 m, quando dele se solta um aparelho. O tempo que o aparelho leva para chegar ao solo ´e: a) 2 s b) 4 s c) 5 s d) 3 s e) 7 s

Cinem´atica Aula 5 63 111111101 Movimento Circular Uniforme (MCU) Em um movimento onde a trajet´oria ´e uma circunfer^encia (ou arco de uma circunfer^encia) e a velocidade escalar ´e cons- tante, este ´e denominado como movimento circular uni- forme (MCU). Neste movimento a part´?cula ´e localizada pela 11111 11 111101 010101010101010101 0000000 00000v00 2 0000000 0000000 0000000 00 00 11111 00 00 R00 v 00000 1 00000 00 00000 00 0101010101010101 00000 00 00v000 00 00000 00 3 00000 00 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

v 4 No movimento circular uniforme o vetor velocidade muda o tempo todo, por´em mant´em ?xo o seu m´odulo (velocidade es- calar).

Movimento Peri´odico Um movimento ´e chamado perio´dico quando todas as suas caracter´?sticas (posic¸a~o, velocidade e acelerac¸a~o) se repetem O movimento circular e uniforme ´e um exemplo de movimento perio´dico, pois, a cada volta, o m´ovel repete a posic¸a~o, a velo- cidade e a acelerac¸a~o.

Per´?odo (T ) De?ne-se como per´?odo (T ) o menor intervalo de tempo para que haja repetic¸a~o das caracter´?sticas do movimento. No mo- vimento circular e uniforme, o per´?odo ´e o intervalo de tempo Como ´e uma medida de tempo, a unidade SI do per´?odo ´e o segundo.

e por de?nic¸a~o, como no MCU o tempo de uma volta completa (n = 1) ´e o pr´oprio per´?odo do movimento, temos que 1 f= T A unidade SI da frequ¨^encia f ´e s-1 ou tamb´em chamado de hertz, cuja abreviac¸a~o ´e Hz. Pode-se tamb´em medir a frequ¨^encia em rotac¸o~es por minuto ou rpm.

Exemplo Seummovimentotemfrequ¨^enciade2,0Hz,enta~osa~odadas duas voltas completas por segundo, ou seja, o per´?odo do mo- vimento deve ser de 1/2 s. Como o minuto tem 60 segundos, esse movimento tera´ uma frequ¨^encia de 120 rpm.

Velocidade Escalar v Para uma volta completa, em uma circunfer^encia de raio R, temos que s 2?R v= = tT logo, para o MCU temos v = 2?Rf

Velocidade Angular De?ne a velocidade angular ? de forma semelhante `a de?nic¸a~o de velocidade v, so´ que nesse caso estamos interessados na variac¸a~o da posic¸a~o angular ocorrida no MCU. Enta~o: ? ? - theta0 ?= = tt Para uma volta completa, temos que o deslocamento angular sera´ 2? e t = T , temos 2? ? = = 2?f T

Unidades SI Relac¸~ao entre v e ? Como a velocidade escalar no MCU ´e v = 2?Rf e ? = 2?f , enta~o v = ?R Ou seja, a velocidade escalar v ´e proporcional `a velocidade angular ?.

Vetores no MCU Ja´ vimos que no movimento circular e uniforme, a velocidade vetorial tem m´odulo constante, por´em direc¸a~o varia´vel e, por- tanto o vetor v ´e varia´vel. Sendo a velocidade vetorial varia´vel, Sendo o movimento uniforme, a componente tangencial at da acelerac¸a~o vetorial ´e nula: v at = = 0 t Sendo a trajet´oria curva, a componente normal an da ace- lerac¸a~o, ou tamb´em chamada de acelerac¸a~o centr´?peta na~o ´e O m´odulo da acelerac¸a~o centr´?peta pode ser calculado pela seguinte expressa~o: v 2v sin( ?/2) ac = = tt e como ? = ? t, e o ^angulo ? ´e pequeno para t pequeno, temos ?? sin ? 22 e 2?R ?/2 ac = = ?2R ?/? ou enta~o, como v = ?R v2 ac = R

v(t) v (t+ t) av c =t =t R v(t) =t v (t+ t) Pense um Pouco! · Certos feno^menos da natureza, como a trajet´oria da Terra em torno do Sol e o movimento dos sat´elites apresentam movimento circular uniforme? D^e exemplos.

· Imagine um disco girando em torno do seu centro. As · Como sa~o os vetores de velocidade de diferentes pontos de uma mesma roda (disco) que gira? Fac¸a um esboc¸o dos vetores.

· Qual a velocidade angular do ponteiro dos segundos de Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

Cinema´tica ? Aula 5 65

do movimento, em segundos, valem, respectivamente : a) 4,0 e 0,25 b) 1,0 e 1,0 c) 0,25 e 4,0 d) 2,0 e 0,5 e) 0,5 e 2,0 2. (UFES) Uma pessoa esta´ em uma roda-gigante que tem raio de 5 m e gira em rotac¸a~o uniforme. A pessoa passa pelo ponto mais pr´oximo do cha~o a cada 20 segundos. Podemos a?rmar que a frequ¨^encia do movimento dessa pessoa, em rpm, ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. (ITA) Um automo´vel percorre uma trajet´oria com velo- cidade escalar constante. A roda do automo´vel, cujo raio ´e 30 cm, da´ 40 voltas em 2, 0 s. A Velocidade angular da roda ´e, em rad/s: a) 20? rad/s b) 30? rad/s c) 40? rad/s d) 50? rad/s e) 60? rad/s

Ondas ? Aula 1 Ondas Aula 1 Ondas Movimento Harm^onico Simples O movimento harm^onico simples (MHS) ´e um movimento re- petitivo ao longo do tempo, por exemplo, quando observamos um peso suspenso por uma mola bastante ?ex´?vel (movimento na vertical); ou enta~o suspenso por um ?o longo (movimento Todo MHS pode ser pensado como sendo a projec¸a~o de um movimento circular e uniforme num dos di^ametros da circun- fer^encia percorrida. Para isto, admita um eixo cartesiano com origem no centro da circunfer^encia correspondente ao movi- Voc^e podera´ estudar a projec¸a~o sobre o eixo dos x, obtendo uma equac¸a~o do tipo x(t) = R cos(?t + ?0)

ou sobre o eixo dos y, obtendo a equac¸a~o ana´loga y(t) = Rsen (?t + ?0)

Para o movimento circular sabemos que R ´e o raio da circun- fer^encia, ? a velocidade angular do objeto em movimento cir- cular e uniforme, e ?0 ´e a posic¸a~o angular inicial ocupada pelo objeto no instante t0 = 0 (?0 equivale, em termos angulares, Assim, podemos entender o signi?cado das constantes do MHS: R = A ´e a amplitude do movimento a partir do centro de ? recebe tamb´em a denominac¸a~o de frequ¨^encia angular (´e T ?t + ?0, o argumento do seno (ou cosseno), ´e a chamada fase do movimento, e depende do tempo t e, desta forma, quando Depois desse entendimento, podemos reescrever as equac¸o~es anteriores em termos das amplitudes A ao inv´es do raio R, enta~o: x(t) = A cos(?t + ?0) y(t) = Asen (?t + ?0)

P^endulo Simples Vamos estudar com maiores detalhes o MHS que se observa em um p^endulo simples. O p^endulo simples consiste em uma part´?cula de massa m suspensa por um ?o inextens´?vel, de massa desprez´?vel e comprimento L, que oscila num plano ver- tical, ?xo na extremidade superior do ?o, como vemos na ?gura abaixo: Esse problema pode ser considerado um problema de MHS somente para pequenos ^angulos de abertura, ou seja, afasta-se Observa-se que a part´?cula executa um movimento circular de raio L, por´em de vai-e-vem, portanto com velocidade varia´vel.

67 mgcos L T mgsin x mg O Ignorando a resist^encia do ar, as forc¸as que atuam sobre a part´?cula sa~o a forc¸a peso, exercida pela Terra, e a tensa~o, exercida pelo ?o. Como o ?o ´e inextens´?vel, a componente do peso ao longo do ?o cancela a forc¸a de tensa~o. A resultante das forc¸as que atuam sobre a part´?cula ´e, portanto, a componente do peso na direc¸a~o do movimento da part´?cula, cujo m´odulo Mas, se a amplitude do movimento ´e muito menor que o com- primento L do ?o, ou seja, se o ^angulo ? ´e pequeno, podemos aproximar o arco por um segmento de reta horizontal sobre o qual ?xamos o eixo x, com origem onde a vertical tirada do Enta~o, fazendo x sen ? = , L o m´odulo da forc¸a resultante sobre a part´?cula ?ca: mg F (x) = - x L

esquerda (x < 0), a forc¸a a ?empurra?de volta par a direita Observe que a forc¸a dada acima tem a forma geral F (x) = -kx, onde k = mg/L nesse caso. Essa forc¸a lembra alguma outra lei ou sistema f´?sico j´a estudado? Qual?

Dica de Vestibular DICA: normalmente as grandezas que mais se pedem em ves- tibulares sa~o o per´?odo (T ) e a frequ¨^encia (f ) de um p^endulo simples, na~o que as outras grandezas na~o tenham importa^ncia e sim pela sua simplicidade matem´atica e conteu´do te´orico, enta~o, resumidamente em termos do per´?odo temos: 2? T= ? T = 2?f 1 T= f

L T = 2? g E em termos da frequ¨^encia temos: w f= 2? 1 f= T 1g f= 2? L

Pense um Pouco! 1. Como podemos determinar a acelerac¸a~o da gravidade com um p^endulo Simples?

2. O movimento de translac¸a~o da terra em torno do sol ´e um MHS?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Um p^endulo oscila, na Terra com per´?odo igual a 4 se- gundos. Determinar o per´?odo desse mesmo p^endulo em um planeta onde a acelerac¸a~o da gravidade ´e quatro vezes maior que a da Terra.

2. Um MHS (movimento harm^onico simples) ´e descrito pela func¸a~o hora´ria x(t) = 5cos(?t/2 + 3?/2), com x em metros e t em segundos. E´ correto a?rmar que: e) a fase inicial ´e 3? radianos.

3. Um p^endulo simples de massa m executa oscilac¸o~es de pe- quena abertura angular e realiza um MHS. Enta~o o seu per´?odo de oscilac¸a~o: b) ´e proporcional ao comprimento do p^endulo.

d) ´e inversamente proporcional ao valor da acelerac¸a~o da gra- e) independe da massa m.

Exerc´?cios Complementares 4. Fac¸a testes num´ericos para estimar at´e onde vale a relac¸a~o sen ? ? ?, para ^angulos theta dados em rad, com a precis~ao de at´e duas casas decimais.

5. Para dobrar a frequ¨^encia de oscilac¸a~o de um p^endulo sim- ples ´e su?ciente: a) transporta´-lo para um planeta de acelerac¸a~o da gravidade b) transporta´-lo para um planeta de acelerac¸a~o da gravidade e) dobrar a massa pendular.

6. Ache a relac¸a~o entre o comprimento de dois p^endulos para que um realize nove oscilac¸o~es enquanto o outro realiza dezes- seis oscilac¸o~es.

7. Determine o comprimento de um p^endulo simples que pos- Ondas Aula 2

Ondas Denomina-se onda ao movimento coletivo causado por uma perturbac¸a~o que se propaga atrav´es de um meio.

Tipos de Ondas Quanto `a necessidade ou na~o de um meio meca^nico, as ondas se classi?cam em dois grandes grupos: as ondas mec^anicas e as ondas eletromagn´eticas.

Onda Mec^anica Precisa de um meio meca^nico natural para se propagar (na~o Exemplos Uma onda numa corda, ondas sonoras (sons), ondas na su- perf´?cie da ´agua ou numa membrana esticada (tambor).

Onda Eletromagn´etica Na~o necessita de um meio meca^nico para se propagar, e pode Exemplos Ondas de ra´dio, ondas luminosas, raios X, ondas de calor, como aquelas que vem do Sol at´e a Terra pelo v´acuo interestelar.

Ondas ? Aula 2 Classi?ca¸c~ao das Ondas Quanto ao tipo de perturbac¸a~o propagada pela onda, elas sa~o classi?cadas em transversais ou longitudinais.

Ondas Transversais Sa~o aquelas em que a direc¸a~o das oscilac¸o~es ´e perpendicular (ou transversal) `a direc¸a~o da propagac¸a~o da onda.

Vibraçao corda Propagaçao T T

Exemplos Nas ondas eletromagn´eticas, um campo el´etrico e um magn´etico oscilam em planos perpendiculares `a direc¸a~o de pro- pagac¸a~o da onda. Por esta raza~o, por exemplo, convencionou- se posicionar as antenas de ra´dio em p´e, para que o campo el´etrico seja emitido verticalmente, enquanto a onda se pro- paga horizontalmente, e desta forma possa ser captado pelas Quando sacudimos a extremidade de uma corda esticada, ou mesmo de uma mangueira de jardim, produzimos um pulso de deslocamento vertical, que se propaga ao longo da direc¸a~o da corda, horizontalmente. Se observarmos de perto, veremos que cada ponto da corda (mangueira) apenas sobe e desce, quando o pulso passa pela corda. Na~o ha´ um deslocamento horizontal Em campos de futebol, pode-se ver um belo efeito ondulato´rio causado pelos espectadores, a ?o^la?. Num movimento coorde- nado, os espectadores levantam e sentam, provocando a pro- pagac¸a~o de uma onda pelas arquibancadas, que tamb´em ´e uma onda transversal. Observe que, se todos levantassem e sentas- sem ao mesmo tempo, nenhuma onda seria observada.

Ondas Longitudinais Como o pr´oprio nome diz, a onda longitudinal transporta oscilac¸o~es (vibrac¸o~es) cuja direc¸a~o coincide com a direc¸a~o da propagac¸a~o, ou seja, ao longo da direc¸a~o de propagac¸a~o.

propagação da onda empurrar compressões para a ponta fixa

oscilações rarefações puchar Exemplos As ondas sonoras sa~o ondas de pressa~o que se propagam lon- gitudinalmente em meios so´lidos, l´?quidos ou gasosos. Quando voc^e da´ uma martelada na extremidade de uma longa barra de ferro (de construc¸a~o), a compress~ao causada na direc¸a~o da barra se propaga, fazendo os pontos da barra oscilarem na 69

direc¸a~o da barra. E´ claro que uma barra de ferro pode propa- gar, ao mesmo tempo, tanto ondas longitudinais quanto ondas Se tomarmos uma mola helicoidal bem longa e mole, com uma extremidade presa ao teto, por exemplo, poderemos veri?car que, ao comprimirmos ligeiramente a sua extremidade livre, batendo verticalmente, um pulso de compress~ao sera´ propa- Quando um pescador convencional estica sua linha (espera ou espinhel) para pescar, ele percebe a ?beliscada?do peixe pelas ondas longitudinais transportadas at´e a sua m~ao, pela linha tensa. Quando usa uma bo´ia, ou rolha, ele v^e as ondas trans- versais causadas na superf´?cie da ´agua pelas beliscadas dos peixes. Em ambos os casos, as ondas esta~o sendo usadas para transmitir informac¸~ao, compreendeu?

Ondas no Espa¸co Quanto ao tipo de propagac¸a~o e a complexidade do movimento espacial das ondas, podemos classi?c´a-las em unidimensio- nais, bidimensionais ou tridimensionais.

Ondas Unidimensionais Em alguns casos simples, podemos supor que uma onda se propaga de forma unidimensional, pois simpli?camos a sua descric¸a~o reduzindo o movimento ondulato´rio `a uma dimens~ao Exemplo Por exemplo, ao estudar a propagac¸a~o de uma onda sonora dentro de um tubo longo, podemos considerar a onda unidi- mensional, dentro do tubo.

Ondas Bidimensionais Em outros casos, ´e evidente que o movimento ondulato´rio na~o pode ser restrito `a uma direc¸a~o (dimensa~o), pois ocorre sobre Exemplos No caso de ondas na superf´?cie de uma piscina ou lago, ou mesmo ondas num tambor (membrana). Neste caso temos ondas bidimensionais.

Ondas Tridimensionais Sa~o aquelas que se propagam em todas as tr^es direc¸o~es do Exemplos Na explos~ao de uma ?bombinha?, aquelas que a gente sol- tava quando moleque, sa~o produzidas ondas sonoras que se propagam a partir de um ponto (pequena regi~ao do espac¸o) para todas as direc¸o~es, formando verdadeiras ondas esf´ericas, que podera~o ser percebidas por pessoas no cha~o, ou mesmo pa´ssaros no ar, pois se propagam tridimensionalmente.

Energia Transmitida Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, pode- mos classi?c´a-la em ondas sonoras, ondas luminosas, ondas t´ermicas, etc.

Elementos de uma Onda Ondas Peri´odicas Sa~o aquelas que recebem pulsos perio´dicos, ou seja, recebem pulsos em intervalos de tempo iguais. Portanto, passam por um mesmo ponto com a mesma frequ¨^encia.

Unidades SI As ondas perio´dicas possuem alguns elementos ba´sicos, que sa~o: que podem ser veri?cados na ?gura abaixo.

Comprimento de Onda Amplitude x Relac¸~ao Matem´aticas v = ?f onde v ´e = velocidade de propagac¸a~o da onda no meio ? ´e o comprimento da onda f ´e a frequ¨^encia da onda.

Pense um Pouco! · Uma pessoa toca numa corda de um viola~o uma nota e voc^e ouve o som. Identi?que os v´arios tipos de ondas envolvidos no processo completo. Comente.

· No´s enxergamos usando luz. Seria poss´?vel se enxergar com outro tipo de ondas como o som, por exemplo? Jus- ti?que.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. A dist^ancia entre o n´?vel de repouso da ´agua e a ?crista?de uma onda, ´e chamada de: a) timbre b) per´?odo c) amplitude d) resson^ancia e) comprimento de onda 2. Ondas que oscilam na mesma direc¸a~o em que se propagam sa~o chamadas de ondas: a) transversais b) eletromagn´eticas c) tensoriais d) gravitacionais e) longitudinais 3. Quando uma pequena pedra cai num lago tranqu¨ilo, formam-se ondas circulares. O fato de as ondas serem cir- culares ´e uma evid^encia de que: a) as ondas transportam energia b) as ondas transportam mat´eria c) a velocidade de propagac¸a~o das ondas ´e a mesma em todas as direc¸o~es d) a velocidade de propagac¸a~o das ondas depende da densi- dade da pedra e) a pedra afundou depois de atingir a ´agua.

Exerc´?cios Complementares 4. As ondas eletromagn´eticas, como as ondas luminosas, propagam-se independentemente do meio. No v´acuo, todas as ondas eletromagn´eticas possuem: a) a mesma amplitude b) a mesma frequ¨^encia c) a mesma velocidade d) o mesmo comprimento de onda e) a mesma energia 5. Considere as a?rmac¸o~es abaixo: I. As ondas luminosas sa~o constitu´?das pelas oscilac¸o~es de um II. As ondas sonoras precisam de um meio material para se propagar III. As ondas eletromagn´eticas na~o precisam de um meio ma- a) apenas I b) apenas I e II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III 6. A onda sonora ´e classi?cada como ........ pois a sua pro- pagac¸a~o ocorre somente em meio ........, que vibra com a onda a) meca^nica ? material ? paralela b) meca^nica ? gasoso ? paralela c) meca^nica ? so´lido ? perpendicular d) eletromagn´etica ? material ? perpendicular e) eletromagn´etica ? material ? paralela 7. Um pescador observa que a ponta de sua canoa, parada num lago, oscila cinco vezes em quatro segundos, num movimento sobe-e-desce. Ele conclui que a frequ¨^encia das ondas ´e: a) 1 1 s 4 b) 1, 25 m c) 0, 80 s-1 d) 1,25Hz e) 20/s

Ondas ? Aula 3 Ondas e Interfer^encia Quando duas ondas resolvem ocupar a mesma regi~ao do espac¸o da´-se o que chamamos de interfer^encia. O resultado da in- terfer^encia entre duas ondas depende da diferenc¸a de fase entre Para se entender o efeito combinado de duas ou mais ondas se propagando no mesmo meio, e no mesmo instante, assumimos como v´alido o princ´?pio de superposic¸~ao: ?Os deslocamentos causados no meio pela presenc¸a de duas ou mais ondas sa~o somados, ou seja, superpostos, como se cada onda continuasse se propagando como se as outras na~o existissem.? Ou seja, uma na~o afeta as outras, mas o que observamos ´e o Quando se tratarem de ondas unidimensionais, no caso sim- ples, os deslocamentos do meio sera~o somados algebricamente, podendo-se obter interfer^encia destrutiva e construtiva.

Interfer^encia Destrutiva Na ?gura abaixo, vemos duas ondas, praticamente coinciden- tes. As duas t^em a mesma amplitude, o mesmo comprimento e a mesma fase, ou seja, os pontos de deslocamento m´aximo coincidem, e dizemos neste caso que a diferenc¸a de fase entre Nesse caso, a interfer^encia ´e chamada de construtiva, pois uma onda soma-se `a outra, reforc¸ando-a, e o resultado ´e uma u´nica onda cuja amplitude ´e a soma das duas amplitudes.

Interfer^encia Destrutiva Quando superpomos duas ondas, sendo que um deslocamento m´aximo positivo de uma corresponde com o deslocamento m´aximo negativo da outra, os efeitos (amplitude resultante) Na outra ?gura abaixo, as duas ondas t^em uma diferenc¸a de fase de ?meia onda?. Isso faz com que um alto de uma delas coincida com um baixo da outra. Acontece, enta~o, uma in- terfer^encia destrutiva entre elas. O resultado ´e que uma anula ¯ completamente o efeito da outra. Nessa regi~ao na~o haver´a mais onda nenhuma.

Caso Geral de Interfer^encia Em geral, podemos observar num mesmo meio a propagac¸a~o de ondas de comprimentos e amplitudes diferentes, na~o sendo 71

poss´?vel a observac¸a~o da interfer^encia construtiva e nem da destrutiva, mas a onda resultante ´e resultado da interfer^encia Na ?gura a seguir, as duas ondas t^em uma diferenc¸a de fase gen´erica. A interfer^encia entre elas na~o ´e totalmente cons- trutiva nem totalmente destrutiva. O resultado ´e uma onda u´nica cuja amplitude tem qualquer valor entre zero e a soma das amplitudes das ondas, dependendo da diferenc¸a de fase entre elas.

Quando partes de uma onda sa~o atrapalhadas pela presenc¸a de obsta´culos, sua propagac¸a~o no meio considerado torna-se bem mais complicada, fugindo ao que o bom senso esperaria. Isto pode ser exempli?cado imaginando-se um tanque cheio d'´agua Veja ?gura abaixo:

Natureza Ondulato´ria da Luz O estudo da difrac¸a~o ´e importante nos dias de hoje para es- tudar a natureza de defeitos pontuais, intersticiais e mesmo a cristalinidade em materiais, possibilitando desta maneira es- tudar se um material ´e ou na~o adequado ao emprego em pes- quisas, experimentos ou mesmo em indu´strias.

Para Saber Mais! Como vimos na sec¸a~o anterior, sempre que a diferenc¸a de fase entre duas ondas for zero, 1 comprimento de onda, 2 compri- mentos de onda etc, as ondas interferem construtivamente e suas amplitudes se somam. Mas, se a diferenc¸a de fase for de meio comprimento de onda, tr^es meios comprimentos de onda etc, elas interferem destrutivamente e suas amplitudes se Como o espac¸amento entre os ´atomos do cristal tem um valor compra´vel com o comprimento de onda do raio-X, o feixe se re?etira´ nos planos dos ´atomos como em um espelho. Veja Os m´aximos (?altos?) de cada onda sa~o assinalado com uns tracinhos.Um dos raios, incide no plano de baixo e percorre uma dist^ancia um pouco maior que o outro. A diferenc¸a entre os dois caminhos ´e mostrada. Nesse desenho, essa diferenc¸a ´e exatamente um comprimento de onda. Portanto, os raios re?etidos (ou ?difratados?, no caso) saem em fase e tera~o in- terfer^encia construtiva. E´ claro que isso so´ acontece para um Se voc^e sabe um pouco de trigonometria pode ver, na ?gura, que a diferenc¸a de caminhos ´e 2dsen ?, onde ´e o ^angulo entre A interfer^encia sera´ construtiva e, portanto, haver´a um feixe difratado apenas no caso em que essa diferenc¸a de caminhos Isto ´e, se 2dsen(?) = n? com n ? N, haver´a um feixe difratado.

O que ´e a luz? A luz ´e uma radiac¸a~o eletromagn´etica dual, que se comporta, ora como onda, ora como mat´eria, e viaja `a Na verdade, as radiac¸o~es eletromagn´eticas cobrem uma ex- tensa faixa de comprimentos de onda, desde os raios co´smicos, com comprimentos de onda menores que 10-18 metros (at- tometros), at´e as VLF (ondas de ra´dio de frequ¨^encia muito baixa) com comprimento de milho~es de quilo^metros, da ordem Dentro desta enorme faixa, apenas uma estreita janela com- porta os comprimentos de onda que sensibilizam nossos olhos ´e a denominada luz vis´?vel. Esta faixa vai desde o violeta (4 × 10-7 m) ao vermelho (7 × 10-7 m). Entre estes dois valores esta~o as cores do espectro vis´?vel, onde operam os telesc´opios ´opticos, por exemplo.

Ondas ? Aula 4 sangue quente) enxergando-os no escuro, j´a que emitem ondas t´ermicas, que para no´s sa~o invis´?veis.

Pense um Pouco! · Quando uma banda de rock toca, observa-se o feno^meno da interfer^encia? Explique.

· Se a luz difratasse em qualquer condic¸a~o, quais feno^menos do nosso cotidiano seriam alterados?

· Porque na~o conseguimos sintonizar as ra´dios FM atra´s de morros, e as ra´dios AM sim? Determine o comprimento de onda t´?pico de cada uma dessas faixas de ra´dio, compare e explique.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Observa-se a interfer^encia de duas ondas quando: a) elas possuem a mesma frequ¨^encia b) elas possuem a mesma amplitude c) elas se propagam em sentidos opostos d) elas sa~o transversais e) elas se propagam no mesmo meio e no mesmo instante 2. Sa~o feno^menos ondulato´rios comuns `a qualquer tipo de onda: a) interfer^encia ? aniquilac¸a~o ? transporte b) difrac¸a~o ? amortecimento ? in´ercia c) interfer^encia ? difrac¸a~o ? re?exa~o d) refrac¸a~o ? dispersa~o ? simetria e) energia ? momento ? resson^ancia 3. Um apito produz um som de frequ¨^encia igual a 1.360 Hz Enta~o, o comprimento das ondas geradas ´e: a) 4 m b) 25 m c) 40 cm d) 25 cm e) 0, 25 km

Exerc´?cios Complementares 4. O ouvido humano normal pode perceber sons de frequ¨^encia Assinale a u´nica alternativa correta: a) pode-se em geral ouvir sons de 25.000 Hz b) o som ´e uma onda meca^nica longitudinal c) o som ´e uma onda longitudinal d) o som ´e uma onda eletromagn´etica e) todo som na faixa aud´?vel se propaga no v´acuo 5. Numa corda propagam-se dois pulsos de amplitudes igual a 30 cm e 40 cm, um em direc¸a~o ao outro. No instante em que eles se superpo~em, pode-se dizer que: a) ocorrer´a interfer^encia destrutiva b) a amplitude observada sera´ 70 cm c) ocorrer´a interfer^encia destrutiva d) a amplitude resultante dever´a estar no intervalo 73

[10 cm, 70 cm] 6. Um motor el´etrico desbalanceado gira a 1.800 rpm e pro- voca um ru´?do grave e cont´?nuo, que ´e ampli?cado pelo mesa onde esta´ ?xo e pode ser ouvido claramente. Pode-se a?rmar que: a) a frequ¨^encia do ru´?do ´e cerca de 30 Hz b) o motor esta´ com os rolamentos gastos c) a mesa na~o ´e de boa qualidade d) ´e melhor desligar o motor e chamar a CELESC e) a mesa comec¸ara´ a ?andar?por trepidac¸a~o

Ondas Aula 4 Som Fontes Sonoras Em geral, ao estudo da produc¸a~o (fontes sonoras), propagac¸a~o e feno^menos correlatos sofridos pela onda meca^nica sonora ou aud´?vel, denomina-se Acu´stica, denominaremos por som `a toda onda meca^nica sonora (intensidade su?ciente e frequ¨^encia li- mitada num certo intervalo).

Som Aud´?vel Se a frequ¨^encia da onda sonora pertence ao intervalo de, 16 Hz a 20 kHz, esse som ´e aud´?vel para o ser humano.

Ultra-som e Infra-som Ondas longitudinais de frequ¨^encias superiores a 20 kHz, carac- Aquelas de frequ¨^encias inferiores a 16 Hz, tamb´em inaud´?veis, sa~o ditas infra-sons.

Velocidade de Propaga¸c~ao do Som O som possui velocidades de propagac¸a~o de?nidas para cada meio de propagac¸a~o, podendo este ser o ar, ´agua, metais entre outros, a velocidade de propagac¸a~o do som no ar nas condic¸o~es normais de temperatura e pressa~o ´e a mais conhecida de todas: vsom = 343 m/s = 1234 km/h

som?pela primeira vez. Mas, somente em outubro de 1997, ela Vejamos a velocidade do som em alguns meios materiais:

Meio Temperatura (?C) Velocidade (m/s) ar 0 331,4 hidrog^enio 0 1.286 oxig^enio 0 317,2 ´agua pura 15 1.450 chumbo 20 1.230 alum´?nio 20 5.100 cobre 20 3.560 ferro 20 5.130 granito 0 6.000 borracha 0 54

Pense um Pouco! · Porque na~o escutamos o som que os morcegos emitem para ?enxergar??

· Porque os ´?ndios norte-americanos colocavam o ouvido no · Ao observarmos um pedreiro de longe, martelando algo, percebemos que sua imagem na~o esta´ sincronizada com os sons que ele produz (com as marteladas). Por qu^e?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Ao observar uma grande explos~ao em uma pedreira, de longe, uma pessoa percebe, nessa ordem: a) a luz - o ru´?do - as oscilac¸o~es do cha~o b) o ru´?do - a luz - as oscilac¸o~es do cha~o c) as oscilac¸o~es do cha~o - o ru´?do - a luz d) as oscilac¸o~es do cha~o - a luz - o ru´?do e) a luz - as oscilac¸o~es do cha~o - o ru´?do 2. Um m´etodo antigo de se determinar a profundidade de um poc¸o fundo e escuro ´e soltar-se uma pedra na sua boca, disparar-se um relo´gio (ou crono^metro) e medir-se o intervalo de tempo at´e que se ouc¸a o barulho. Sendo vsom a velocidade do som no ar, h a profundidade do poc¸o e g a acelerac¸a~o da gravidade, o intervalo de tempo medido no relo´gio sera´: a) t = 2h/vsom ? b) t = 2gh + h/vsom c) t = 2h/g + h/vsom d) t = 2h/g e) n. d. a.

3. Um m´etodo popular para determinar-se a que dist^ancia x, em kil^ometros, caiu um raio ´e, observar-se o rela^mpago e medir-se o tempo t em segundos, que temos de esperar para ouvimos o estrondo. Pode-se a?rmar que: a) x ? t/2 b) x ? t/3 c) x ? t/4 d) x ? t/5 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. O ditado popular de que ?as paredes tem ouvidos?est´a re- lacionado diretamente com o feno^meno ondulato´rio chamado: a) resson^ancia b) re?exa~o c) difrac¸a~o d) absorc¸a~o e) n. d. a.

5. Uma onda sonora no ar possui um comprimento de onda de 1/2 m e velocidade de 330 m/s. Ao passar para um meio onde sua velocidade triplica, qual o seu novo comprimento de a) 2/3 m b) 3/2 m c) 1/2 m d) 1/6 m e) n. d. a.

6. Uma certa esp´ecie de morcego utiliza ultra-sons de 33.000 Hz para localizar insetos e se orientar no seu v^oo no- turno. Sendo a velocidade do som no ar igual a 330 m/s, pode-se a?rmar que: a) ele usa ondas com 0, 1 m de comprimento b) ele usa ondas com 0, 1 cm de comprimento c) ele usa ondas com 100 mm de comprimento d) ele usa ondas com 1, 0 cm de comprimento e) n. d. a.

Ondas Aula 5 Efeito Doppler Qualidades Fisiol´ogicas do Som A todo instante distinguimos os mais diferentes sons. Essa diferenc¸as que nossos ouvidos percebem se devem `as qualidades ?siolo´gicas do som: altura, intensidade e timbre.

Ondas ? Aula 5 emitidos pelo cart~ao: o som agudo, produzido pelos dentes ?- nos (maior frequ¨^encia), e o som grave, produzido pelos dentes mais grossos (menor frequ¨^encia).

Intensidade E´ a qualidade que permite distinguir um som forte (intenso) de um som fraco (suave). A intensidade depende da amplitude de vibrac¸a~o: quanto maior a amplitude mais forte ´e o som e vice-versa. Quanto mais energia pudermos captar de uma onda sonora, com mais intensidade ela sera´ percebida. Por exemplo, quando o m´edico vai ouvir o corac¸a~o de um paciente, ele precisa concentrar mais energia para aumentar a intensidade do som a ser ouvido, e por isso ele usa aquele famoso aparelho que capta Na pr´atica na~o interessa aos nossos ouvidos diretamente a in- tensidade intensidade de uma onda sonora, mas sim o n´?vel sonoro, uma grandeza relacionada a` intensidade sonora e `a forma como o nosso ouvido reage a essa intensidade. Essas unidades sa~o o bel e o seu submu´ltiplo o decibel (dB), que vale O ouvido humano ´e capaz de suportar sons de at´e 120 dB, como num show de rock, por exemplo. O ru´?do produzido por um motor de avia~o `a jato a poucos metros do observador pro- duz um som de cerca de 140 dB, e ´e capaz de causar est´?mulos A agitac¸a~o das grandes cidades provocam a chamada poluic¸a~o sonora composta dos mais variados ru´?dos: motores e buzinas de automo´veis, martelos de ar comprimido, ra´dios, televisores e etc. Ja´ foi comprovado que uma exposic¸a~o prolongada a n´?veis maiores que 80 dB pode causar dano permanente ao A intensidade de uma onda sonora diminui `a medida que o som se propaga ou seja, quanto mais distante da fonte, menos intenso ´e o som.

Timbre Imagine a seguinte situac¸a~o: um ouvinte que na~o entende de mu´sica esta´ numa sala, ao lado da qual existe outra sala onde se encontram um piano e um violino. Se uma pessoa tocar a nota do´ no piano e logo a seguir outra pessoa tocar a mesma nota do´ no violino, ambas com a mesma ?forc¸a?, os dois sons Mesmo sem ver os instrumentos, o ouvinte da outra sala sa- ber´a distinguir facilmente um som de outro, porque cada ins- Podemos a?rmar, portanto, que timbre ´e a qualidade que nos permite perceber a diferenc¸a entre dois sons de mesma altura e intensidade produzidos por fontes sonoras diferentes.

Efeito Doppler Na ?gura abaixo os an´eis simbolizam os m´aximos da onda sonora. O intervalo de tempo entre as emiss~oes sucessivas ´e T , o per´?odo da onda. Quanto maior o c´?rculo, mais tempo faz que a emiss~ao foi feita. Todos os c´?rculos expandem com a mesma velocidade. Se um observador estiver estaciona´rio, enta~o o intervalo de tempo entre a chegada dos c´?rculos sucessivos ao O efeito Doppler ´e um feno^meno observado com todo o tipo de 75

Fonte Sonora em repouso Observador em repouso Figura 1.1: Fonte e observador em repouso: na~o ha´ efeito Dop- pler.

onda, e possui o nome do cientista austr´?aco Christian Doppler (1803-1853) que o descobriu. Ele descobriu que a frequ¨^encia com que uma onda ´e percebida depende tamb´em do movimento relativo da fonte sonora e do observador, o que pode ocasionar uma mudanc¸a signi?cativa entre a frequ¨^encia emitida e a per- cebida por um detector ou pessoa. Por exemplo, numa corrida de f´ormula I, quando um carro passa por no´s, percebe-se clara- mente que o som passa de agudo (carro se aproximando de no´s) `a grave (se afastando de no´s). Qualquer crianc¸a sabe disso, e quando brinca de carrinho imita o famoso som da f´ormula I: ?uu´oo´o´o´mmmm?. Eis o efeito Doppler!

Normalmente na~o observamos o efeito Doppler quando nos movemos a p´e, j´a que a velocidade do som ´e muito maior do que a nossa. Mas, movendo-se em uma motocicleta a 90 km/h = 25 m/s na direc¸a~o de uma fonte, temos que 340 + 25 f = f0 = 1, 07 · f0 340 Movendo-se para longe da fonte da´ 340 - 25 f = f0 = 0, 93 · f0 340 http://www.mundo?sico.joinville.udesc.br

Fonte Sonora se afastando do observador Observador em repouso

Quando passa pela fonte, o motoqueiro observa enta~o uma va- riac¸a~o de frequ¨^encia da ordem de 0, 14 · f0, ou seja, de 14%, uma variac¸a~o razo´avel e bem percept´?vel. So´ para comparac¸a~o, as teclas vizinhas de um piano geram sons com aproximada- mente 6% de diferenc¸a na frequ¨^encia ? os chamados intervalos de semi-tom. Um tom completo sendo enta~o de cerca de 12%, por exemplo, a dist^ancia de do´ at´e r´e.

Fonte em Movimento A frequ¨^encia observada de uma onda sonora tamb´em varia se A frequ¨^encia aparente neste caso ´e dada por v f = f0 v - vs

onde vs ´e a componente da velocidade da fonte na direc¸a~o do observador (vs ´e negativo se a fonte se mover para longe do Nesta ?gura a fonte esta´ se movendo para o observador. O centro de cada c´?rculo esta´ na posic¸a~o da fonte no momento em que ela emite o m´aximo. Como a fonte esta´ se movendo para a direita, o centro dos c´?rculos sucessivos move-se para a direita. Se o observador estiver parado, enta~o o intervalo de tempo entre a chegada dos c´?rculos sucessivos ao ouvido ´e menor do que T , e portanto, ele percebe f > f0.

Fonte Sonora se aproximando do observador Observador em repouso

Figura 1.2: Fonte se aproximando do observador em repouso: Nesta ?gura a fonte esta´ movendo-se para longe do observa- dor. Como a fonte move-se para a esquerda, o centro dos c´?rculos sucessivos move-se para a esquerda. Se o observador esta´ estaciona´rio, enta~o o intervalo de tempo ente a chegada dos c´?rculos sucessivos ´e maior do que T , ou seja, f <0.

Figura 1.3: Fonte se afastando do observador em repouso: f < f0.

Pense um Pouco! · O que um bom violonista faz para produzir sons de dife- rentes intensidades, timbres e alturas?

· Se as ondas sonoras se propagam no ar, enta~o o vento Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Um trem apita com frequ¨^encia de 400 Hz. Voc^e ´e um obser- vador estaciona´rio e ouve o apito, mas o ouve com frequ¨^encia c) Qual a variac¸a~o percentual no comprimento de onda que voc^e percebe, em relac¸a~o ao som emitido pelo trem?

2. O efeito Doppler esta´ relacionado com: a) a intensidade do som b) a alterac¸a~o da frequ¨^encia do som c) o n´?vel sonoro d) o timbre do som e) n. d. a.

3. Um apito para ca~es emitem um som de 25 kHz, e ´e a) Seria poss´?vel testar se um tal apito esta´ funcionando, uti- b) Fac¸a os ca´lculos necessa´rios e veri?que se isto ´e via´vel/poss´?vel.

Exerc´?cios Complementares 4. Se dois carros andam numa auto estrada reta, com a mesma velocidade, um logo atra´s do outro por um certo tempo, e o de tr´as aciona a buzina frequ¨^encia f0, podemos a?rmar que, o motorista do carro da frente: a) escuta um som mais agudo ainda b) escuta um som mais grave ainda c) ambos escutam a mesma frequ¨^encia f0 d) ningu´em escuta nada e) n. d. a.

Ondas ? Aula 5 77

5. Uma avia~o se move com velocidade igual a 1/4 da veloci- dade do som, passando numa demonstrac¸a~o sobre uma cidade num v^oo rasante. Um observador parado no cha~o perceber´a, na frequ¨^encia dos sons emitidos pelo avia~o que se aproxima: a) Um aumento de cerca de 25% b) Uma reduc¸a~o de cerca de 25% c) Um aumento de cerca de 33% d) Uma reduc¸a~o de cerca de 33% e) n. d. a.

6. Um avia~o militar desgovernado, voa em direc¸a~o a um pa- reda~o vertical de pedra que esta´ `a sua frente, em rota de colisa~o frontal. O piloto percebe que o som emitido pelo avia~o e re- a) 1/2 da velocidade do som no ar b) 1/3 da velocidade do som no ar c) 1/4 da velocidade do som no ar d) 1/5 da velocidade do som no ar e) n. d. a.

Termodina^mica ? Aula 1 Termodin^amica Aula 1 Termodin^amica A Termodin^amica ´e a parte da F´?sica Cla´ssica que estuda os sistemas t´ermicos, os processos de transformac¸o~es f´?sicas que ocorrem em tais sistemas, bem como as trocas de energia, calor e o trabalho meca^nico.

Temperatura Temperatura e calor sa~o grandezas ba´sicas no estudo da ter- mof´?sica e tanto a sua compreens~ao como a sua perfeita dis- tinc¸a~o sa~o de importa^ncia vital para o entendimento de toda a termof´?sica. De maneira simpli?cada pode-se de?nir que tem- peratura como uma grandeza que permite avaliar o n´?vel de agitac¸a~o das mol´eculas de um corpo. De acordo com a teo- ria cin´etica dos gases, as mol´eculas de um ga´s movem-se livre e desordenadamente em seu interior, separadas umas das ou- A medida que se aquece o ga´s, a velocidade com que suas mol´eculas se movem aumenta, caracterizando um aumento na energia cin´etica dessas mol´eculas, da mesma forma um resfria- mento do ga´s provoca a diminuic¸a~o da velocidade e da energia cin´etica de suas mol´eculas. Como a velocidade e consequ¨en- temente a energia cin´etica de cada ´atomo que constitui uma mol´ecula na~o ´e a mesma, o estado t´ermico de um corpo ´e avali- ado pela energia cin´etica m´edia de seus ´atomos: quanto maior for a energia cin´etica m´edia das part´?culas que comp~oem um corpo, maior sera´ a sua temperatura.

Calor Colocando dois corpos de temperaturas diferentes em contato t´ermico, observamos o mais quente esfriar e o mais frio es- quentar. O corpo mais quente perde calor e o corpo mais frio ganha calor. Os corpo trocara~o calor at´e a atingirem a mesma temperatura, neste caso estara~o em equil´?brio t´ermico. Essa ´e Portanto o calor ´e a energia em tr^ansito do corpo mais quente para o corpo mais frio por causa da diferenc¸a de temperatura dos corpos em contato t´ermico. Enta~o, a unidade de medida No Sistema Internacional, a unidade de energia ´e o joule ou J , e na Qu´?mica se usa a caloria ou cal. A equival^encia entre as unidades ´e: 1 cal = 4, 186 J

Escalas Termom´etricas Dentre os diversos tipos, estudaremos as escalas termom´etricas E´ constitu´?do de uma haste oca de vidro, ligada a um bulbo contendo mercu´rio. Ao ser colocado em contato com um corpo ou ambiente cuja temperatura se quer medir, o mercu´rio se di- lata ou contrai, de forma que cada comprimento de sua coluna 79

corresponde a um valor de temperatura. A parede da haste ´e graduada convenientemente, para indicar a temperatura cor- As escalas termom´etricas mais importantes sa~o a C´elsius, a Fahrenheit e a Kelvin, e sa~o atribu´?dos aos pontos ?xos (ponto de fus~ao PF e ponto de ebulic¸a~o da ´agua PE ), os valores abaixo: Ebulicao o 212 F o 100 C373 K da Agua

Fusao do Gelo T F Zero o 32 F o 0C T C T o -459 F o -273 C 273 K

0K Absoluto Fahrenheit Celsius Kelvin Convers~ao de Temperaturas Embora usualmente se empregue o grau c´elsius (?C) como uni- dade pr´atica de temperatura, a conversa~o entre escalas ´e muito importante, pois o kelvin ´e a unidade de temperatura do SI, e o grau Fahrenheit (?F ) ainda ´e bastante utilizado em livros e ?l- mes de l´?ngua inglesa. A relac¸a~o entre as escalas termom´etricas Imagine-se tr^es termo^metros de construc¸a~o id^entica, cada um graduado em uma das escalas (C´elsius , Fahrenheit e Kelvin), em equil´?brio t´ermico com um mesmo corpo. Obviamente, os tr^es termo^metros estara~o indicando o mesmo estado t´ermico e, Observando-se os pontos ?xos j´a de?nidos para cada escala, e chamando de TC ,TF e T , as temperaturas do corpo nas es- calas C´elsius, Fahrenheit e Kelvin, respectivamente, podem-se estabelecer as proporc¸o~es:

TC - 0 ?C TF - 32 ?F T - 273 K == 100 ?C - 0 ?C 212 ?F - 32 ?F 373 K - 273 K logo: TC TF - 32 ?F T - 273 K == 5 ?C 9 ?F 5 K Observe que ambas as escalas C´elsius e Kelvin sa~o cent´?gradas, pois o intervalo e calibrac¸a~o (do ponto de fus~ao do gelo ao de ebulic¸a~o da ´agua) ´e dividido em 100 graus, ou 100 partes. Na escala Fahrenheit, este intervalo ´e subdividido em 180 partes (graus frahrenheit).

Intervalos de Temperatura Converter temperaturas de uma escala para a outra na~o ´e o mesmo que converter intervalos de temperatura entre as es- calas. Exemplo, um intervalo de temperatura de 10 ?C cor- responde, na escala absoluta (ou Kelvin) a um intervalo de 10 K , e na escala Fahrenheit, o intervalo correspondente sera´ de 18 ?F , pois para cada grau c´elsius, temos 1,8 grau fahre- A menor temperatura que existe na natureza ´e o chamado zero absoluto ou seja, 0 K. Por isso a escala Kelvin ´e dita absoluta. Nas outras escalas, os zeros foram escolhidos arbi- trariamente, na~o levando em conta a possibilidade de haver uma menor temperatura poss´?vel na natureza, o que so´ foi descoberto depois da criac¸a~o das primeiras escalas t´ermicas.

Pense um Pouco! · A temperatura ideal da cerveja ´e em torno de 4 ?C, antes de beber. Se dispomos apenas de um termo^metro com es- cala Kelvin, qual a temperatura absoluta correspondente ao mesmo estado t´ermico da cerveja ideal?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Ao tomar a temperatura de um paciente, um m´edico so´ Se o paciente estava com febre de 42 ?C, a leitura feita pelo m´edico no termo^metro por ele utilizado foi de : a) 104 ?F b) 107, 6 ?F c) 72 ?F d) 40 ?F e) 106, 2 ?F 2. (URCAMP-SP) No interior de um forno, um termo^metro C´elsius marca 120?C. Um termo^metro Fahrenheit e um Kelvin marcariam na mesma situac¸a~o, respectivamente: a) 248 ?F e 393 K b) 198 ?F e 153 K c) 298 ?F e 153 K d) 393 ?F e 298 K e) nenhuma resposta ´e correta 3. (ACAFE) Uma determinada quantidade de ´agua esta´ a uma temperatura de 55 ?C. Essa temperatura corresponde a: a) 55 ?F b) 328 ?F c) 459 ?K d) 131 ?F e) 383 ?K

Exerc´?cios Complementares 4. (UEL) Um termo^metro foi graduado, em graus C´elsius, incorretamente. Ele assinala 1 ?C para o gelo em fus~ao e 97 ?C para a ´agua em ebulic¸a~o, sob pressa~o normal. Pode-se a?rmar que a u´nica temperatura que esse termo^metro assinala corretamente, em graus C´elsius ´e: a) 12 b) 49 c) 75 d) 25 e) 64 5. (CENTET-BA) Num termo^metro de escala X, 20 ?X cor- respondem a 25 ?C, da escala C´elsius, e 40 ?X correspondem a 122 ?F , na escala Fahrenheit. Esse termo^metro apresentara´, para a fus~ao do gelo e a ebulic¸a~o da ´agua, os respectivos valo- res, em ?X: a) 0 e 60 b) 0 e 80 c) 20 e 60 d) 20 e 80 e) 60 e 80 6. (PUC) Uma revista cient´??ca publicou certa vez um artigo sobre o planeta Pluta~o que, entre outras informac¸o~es, dizia ?...sua temperatura atinge -380 ? ...?. Embora o autor na~o especi?casse a escala termom´etrica utilizada, certamente se refere `a escala: a) Kelvin b) C´elsius c) Fahrenheit d) Kelvin ou C´elsius e) Fahrenheit ou C´elsius

Termodin^amica Aula 2 Dilata¸c~ao T´ermica Quando aquecemos um so´lido, geralmente suas dimens~oes au- mentam. Quando esfriamos, geralmente suas dimens~oes dimi- nuem. A esse aumento e a essa diminuic¸a~o de dimens~oes de um so´lido, devido ao aquecimento ou ao resfriamento, chamamos Para os so´lidos, temos tr^es tipos de dilatac¸a~o: · Dilatac¸a~o linear (ou unidimensional)

· Dilatac¸a~o super?cial (ou bidimensional) · Dilatac¸a~o volum´etrica (ou tridimensional)

Termodina^mica ? Aula 2 L 0 T 0 T>T 0 L L Veri?ca-se experimentalmente que L ´e proporcional ao com- primento inicial L0 e a variac¸a~o de temperatura T , podendo se expressar essa relac¸a~o por: L = ?L0 T

em que ? ´e um coe?ciente de proporcionalidade caracter´?stico do material que constitui a barra, chamado de coe?ciente di- Assim, o comprimento ?nal da barra sera´ L = L0 + L = L0(1 + ? T )

Dilata¸c~ao Super?cial e Volum´etrica Para essas dilatac¸o~es, valem considerac¸o~es ana´logas `as vistas na dilatac¸a~o linear, ou seja: A = ?A0 T

e V = ?V0 T onde ? ´e o coe?ciente de dilata¸ca~o super?cial e ? ´e o coe?ciente de dilata¸ca~o volum´etrica.

L L 0 L 0 L antes de aquecer 2 A =L0 0 e depois 2 A=L =A + A 0 22 A = L + 2L L + ( L) 00 e como L= L T 0 temos que 2 2 22 2 A = L + 2 L T + L ( T) 000 e finalmente 0 2 22 A = L [1 + 2 T + ( T) ] 0 A = A (1 + 2 T) 0 e A=A 2 T 0

Pode-se mostrar que estes novos coe?cientes ? e ? podem ser escritos em func¸a~o do coe?ciente de dilatac¸a~o linear ? como: ? = 2? e ? = 3?

Dilata¸c~ao dos l´?quidos A dilatac¸a~o t´ermica de um l´?quido corresponde ao aumento ou a diminuic¸a~o de volume desse l´?quido quando este ´e aquecido ou resfriado. Ao estudar a dilatac¸a~o dos l´?quidos, j´a que na~o possuem forma pr´opria, na~o se de?nem comprimento e ´area 81

do l´?quido, o que na~o tem signi?cado. Neste caso estuda-se Para tanto, usamos a mesma relac¸a~o de?nida para os so´lidos, j´a que a lei ´e a mesma para ambos: V = V0(1 + ? T ) Os l´?quidos so´ podem ser estudados dentro de recipientes so´lidos. E´ pois, imposs´?vel estudar dilatac¸a~o dos l´?quidos sem considerar a dilatac¸a~o dos recipientes que os cont´em. Isso im- plica dois tipos de dilatac¸a~o para um l´?quido; uma dilata¸ca~o real, que depende apenas do l´?quido, e a outra aparente, que Assim consideremos um recipiente totalmente cheio de um l´?quido, numa temperatura inicial T0. Ao levarmos o con- junto (l´?quido mais frasco) para uma temperatura ?nal T , com T > T0, notamos que ocorre um extravasamento parcial do l´?quido. O volume extravasado fornece a dilatac¸a~o aparente Vap. do l´?quido, pois como o frasco tamb´em dilatou, o vo- lume que esta no interior do frasco no ?nal ´e maior que no in´?cio. Portanto a dilatac¸a~o real do l´?quido ´e a soma da sua dilatac¸a~o aparente e a do frasco: Vreal = Vaparente + Vf rasco

como V = V0? T enta~o V0?r T = V0?a T + V0?f T logo ?r = ?a + ?f

Enta~o, devemos observar que a dilatac¸a~o do l´?quido compensou a dilatac¸a~o do frasco e ainda nos forneceu a dilatac¸a~o aparente.

Dilatac¸~ao An^omala da A´ gua A 4 ?C o volume da ´agua ´e m´?nimo e a sua densidade ´e m´axima. Isto ocorre devido ao fortalecimento das pontes de hidrog^enio, abaixo de 4 ?C, quando as mol´eculas de H2O comec¸am a se reorganizar para a formac¸a~o dos cristais de gelo, Esse comportamento da ´agua explica por que num lago, quando a temperatura cai a valores extremamente baixos, a ´agua se solidi?ca apenas na superf´?cie. Isto ocorre porque at´e 4 ?C, no resfriamento, a ´agua da superf´?cie torna-se mais densa e afunda, subindo a ´agua mais quente do fundo que ´e menos densa. Ao atingir uma temperatura abaixo de 4 ?C, a ´agua da superf´?cie se expande, diminuindo a sua densidade, assim E´ isto que preserva a vida animal e vegetal existente no fundo do lago.

Pense um Pouco! · Os mu´sicos geralmente deixam para a?nar seus instru- mentos no local da apresentac¸a~o, a diferenc¸a de tempera- tura entre o ambiente que esta~o , e o local do show, podem desa?nar seus instrumentos?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao O corpo parte-se. Uma poss´?vel explicac¸a~o seria: b) O ponto de fus~ao do vidro ´e pr´oximo ao de ebulic¸a~o do c) Sendo o vidro transparente, o calor passa atrav´es dele com facilidade d) A capacidade T´ermica do vidro ´e menor que a do caf´e e) O calor espec´??co do vidro ´e menor que o do caf´e 2. (PUC) Um ?o de cobre de 100 m sofre aumento de tempe- ratura de 10 ?C. O coe?ciente de dilatac¸a~o linear do cobre ´e 17 × 10-6 ?C-1. A variac¸a~o do comprimento foi de: a) 17 mm b) 17 m c) 100, 17 m d) 17 cm e) 1, 7 m 3. (UNITAU) Um orif´?cio numa panela de ferro, a 0 ?C tem 5 cm2 de ´area. Se o coe?ciente de dilatac¸a~o linear do ferro ´e de 1, 2 × 10-5 ?C-1, a ´area desse orif´?cio a 300 ?C sera´, em cm2: a) 5,018 b) 10,072 c) 4,964 d) 10,036 e) 5,036

Exerc´?cios Complementares 4. (UNESP-SP) A dilatac¸a~o t´ermica dos so´lidos ´e um feno^meno importante em diversas aplicac¸o~es de engenharia, como construc¸o~es de pontes, pr´edios e estradas de ferro. Con- sidere o caso dos trilhos de trem serem de ac¸o, cujo coe?ciente de dilatac¸a~o ´e 11 × 10-6 ?C-1. Se a 10 ?C o comprimento de um trilho ´e de 30 m, de quanto aumentaria o seu comprimento a) 11 × 10-4 m b) 33 × 10-4 m c) 99 × 10-4 m d) 132 × 10-4 m e) 165 × 10-4 m

5. (UFLA-MG) O tanque de combust´?vel de um carro de f´ormula 1 tem capacidade de 120 litros e sa~o colocados 100 litros de combust´?vel a 5, 0 ?C. Considerando o coe?ciente de dilatac¸a~o volum´etrica do combust´?vel 1, 2 × 10-3 ?C-1 e a variac¸a~o de volume do tanque desprez´?vel, enta~o a 45 ?C o volume colocado tera´ um acr´escimo, em litros, de: a) 4,8 litros b) 3,6 litros c) 2,4 litros d) 1,2 litros e) 20,0 litros 6. (MACKENZIE) Uma barra meta´lica, ao variar sua tempe- O coe?ciente de dilatac¸a~o volum´etrica do material dessa barra ´e, em ?C-1: a) 6 × 10-5 b) 5 × 10-5 c) 4 × 10-5 d) 3 × 10-5 e) 2 × 10-5

Termodin^amica Aula 3 Transforma¸c~oes Gasosas Considera¸c~oes iniciais G´as Perfeito (ou ideal) ´e um modelo te´orico de ga´s que obe- dece, em seu comportamento, as leis estabelecida por Robert Boyle, Jacques Charles, Joseph Louis Gay-Lussac e Paul Emile Um G´as real tem seu comportamento tanto mais pr´oximo do ideal quanto mais elevada for sua temperatura e quanto mais baixa for sua pressa~o.

Vari´aveis de estado de um g´as Algumas grandezas que de?nem e caracterizam o estado ter- modina^mico de uma dada massa de ga´s sa~o chamadas varia´veis de estado. Sa~o por exemplo, a temperatura, a pressa~o, o vo- lume, a energia interna, etc. Destas, as que nos interessam, por enquanto, sa~o a temperatura, a pressa~o e o volume.

Volume (V ) Os gases na~o tem volume nem forma pr´oprios. Por de?nic¸a~o, As unidades usuais de volume sa~o: L (litro), cm3 e m3.

Press~ao (P ) A pressa~o exercida por um ga´s ´e devida aos choques das suas part´?culas contra as paredes do recipiente. As unidades usu- ais de pressa~o sa~o: N/m2, Pa, atm e mmHg, onde valem as seguintes relac¸o~es: 1 N/m2 = 1 P a 1 atm = 105 N/m2 1 atm = 760 mmHg

Temperatura (T ) Mede o estado de movimento das part´?culas do ga´s. Na teoria dos gases perfeitos, ´e usada a temperatura absoluta (escala Kelvin).

Termodina^mica ? Aula 3 · Isot´ermicas: sa~o as que ocorrem a temperatura cons- tante;

· Isom´etricas (ou Isoco´ricas): sa~o as que ocorrem a vo- · Adiab´aticas: sa~o as que ocorrem sem troca de calor com o meio externo.

Leis dos Gases As leis f´?sicas dos gases sa~o leis de cara´ter experimental que regem as principais transformac¸o~es gasosas.

Lei de Boyle e Mariotte Rege as transformac¸o~es Isot´ermicas e pode ser enunciada as- sim: ?Quando uma dada massa de ga´s perfeito ´e mantida a tem- peratura constante, a pressa~o ´e inversamente proporcional ao volume? ou seja, pV = constante

Lei de Gay -Lussac Rege as transformac¸o~es Isoba´ricas e pode ser enunciada assim: ?Quando uma dada massa de ga´s perfeito ´e mantida a pressa~o constante, o volume ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta? ou seja, V = constante × T

Lei de Charles Rege as transformac¸o~es Isom´etricas e pode ser enunciada as- sim: ?Quando uma dada massa de ga´s perfeito ´e mantida a volume constante, a pressa~o ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta? ou seja, p = constante × T Equa¸c~ao de Clapeyron Das leis de Boyle e Mariotte e de Charles, observamos que a pressa~o exercida por um ga´s perfeito ´e inversamente proporci- onal ao seu volume e diretamente proporcional a sua tempe- ratura absoluta. E´ f´acil observar tamb´em que essa pressa~o ´e proporcional ao nu´mero de part´?culas de ga´s existente no reci- piente. Convertendo esse nu´mero de part´?culas em nu´mero de moles (n) , podemos equacionar tudo isso, obtendo a seguinte relac¸a~o: pV = nRT onde R ´e uma constante de proporcionalidade, igual para todos os gases, denominada constante universal dos gases perfeitos e no SI temos R = 8, 31 J/mol · K 83

Quando a pressa~o p ´e dada em atm, o volume V ´e dado em litros (L), o nu´mero de moles n ´e dado em mol, a temperatura T ´e dada em kelvin, a constante R sera´ dada por: R = 0, 0831 atm · L/mol · K j´a que a unidade de energia atm · L = (105 N/m2) × (10-3 m3 = 100 J , ou seja, 1 J = 0, 01 atm · L Pense um Pouco! · Por que na~o devemos incineram latas de spray vazias?

· Por quem um bala~o de ga´s abandonado explode ao subir Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (UFU-MG) Uma panela de pressa~o de volume 8, 3 litros ´e dotada de uma v´alvula de seguranc¸a, cuja abertura ocorre quando a pressa~o interna ultrapassa 20 atm. Se no recipiente existem 5, 0 mol de um ga´s perfeito, qual a m´axima tempe- ratura poss´?vel, em graus Celsius, para que o ga´s na~o escape a) 200 b) 300 c) 400 d) 500 e) 600 2. (MACKENZIE) Um pesquisador transferiu uma massa de ga´s perfeito a temperatura de 27 ?C para outro recipiente de volume 20% maior. Para que a pressa~o do ga´s nesse novo recipiente seja igual a inicial, o pesquisador teve de aquecer o ga´s de: a) 60 ?C b) 50 ?C c) 40 ?C d) 30 ?C e) 20 ?C 3. (USC-BA) Certa massa de uma ga´s ocupa o volume de 100 L sob pressa~o de 3, 0 atm e temperatura de 27 ?C. A constante universal dos gases perfeitos vale R = 0, 0831 atm · L/mol · ?C. A massa do ga´s, sabendo que a sua mol´ecula grama ´e de 27, 7 g, ´e: a) 111, 1 g b) 222, 2 g c) 333, 3 g d) 444, 4 g e) 555, 5 g

b) cal/(g · ?C) c) J/(kg · K) d) J/(mol · K) e) J/kg 5. (FUVEST) Certa massa de um ga´s ideal sofre uma trans- formac¸a~o na qual a sua pressa~o ´e triplicada e seu volume ´e reduzido a metade. A temperatura absoluta ?nal do ga´s sera´: a) 1/3 do seu valor inicial b) 2/3 do seu valor inicial c) 3/2 do seu valor inicial d) 2 vezes o seu valor inicial e) 3 do seu valor inicial 6. (PUC) Uma amostra com 5, 0 mol de um ga´s perfeito esta´ num recipiente de volume constante 8, 3 L. Se o ga´s se encontra numa temperatura de 127 ?C, podemos a?rmar que a pressa~o a que o ga´s esta´ submetido sera´ aproximadamente : a) 40 atm b) 12 atm c) 18 atm d) 20 atm e) 24 atm

Termodin^amica Aula 4 Lei de Avogrado At´e o in´?cio do s´eculo passado, os cientistas j´a haviam adqui- rido uma razo´avel quantidade de informac¸o~es sobre as reac¸o~es qu´?micas observadas entre gases. O cientista italiano Ame- deo Avogrado, baseando-se nestas informac¸o~es e em resulta- dos de experi^encias realizadas por ele pr´oprio, formulou em 1811 uma hip´otese muito importante, relacionando o nu´mero de mol´eculas existentes em duas amostras gasosas. Segundo Avogrado, se tomarmos dois recipientes, de mesmo volume, con- tendo gases diferentes, ambos a mesma temperatura e press~ao, o nu´mero de mol´eculas contidas em cada Posteriormente, um grande nu´mero de con?rmac¸o~es experi- mentais desta a?rmativa ?zeram com que ela passasse a ser conhecida como a lei de Avogrado: Volumes iguais, de gases diferentes, `a mesma tempera- tura e press~ao, contem o mesmo nu´mero de mol´eculas.

Con?rma¸c~oes Experimentais Uma das veri?cac¸o~es desta lei pode ser feita quando analisa- mos, no laborat´orio, a decomposic¸a~o de alguns gases. Tome- mos, por exemplo, volumes iguais de HCl, H2O e NH3, sob a forma gasosa, a mesma pressa~o e temperatura. De acordo com a Lei de Avogrado, as tr^es amostras dos gases considerados de- vem Ter o mesmo nu´mero N de mol´eculas. Decompondo estes gases e recolhendo o hidrog^enio liberado em cada amostra, de- ver´?amos, enta~o, obter: Para o HCl: N ´atomos de H para o H2O: 2N ´atomos de H A experi^encia con?rma este resultado pois, enquanto se recolhe uma massa m de hidrog^enio na decomposic¸a~o do HCl, veri?ca- se que uma massa 2m ´e recolhida na decomposic¸a~o do H2O e uma massa 3m na decomposic¸a~o do N H3.

O Nu´mero de Avogrado (NA) Uma vez conhecida a lei de Avogrado, precisamos medir qual ´e o nu´mero de mol´eculas que existe em uma dada massa do ga´s. Suponha, por exemplo, que se tome 1 mol de v´arios gases diferentes (2 g de H2, 32 g de O2, 28 g de N2, etc...). De seus conhecimentos de qu´?mica, voc^e j´a deve saber que o nu´mero de mol´eculas, em cada uma dessas amostras, ´e o mesmo. Este nu´mero ´e denominado Nu´mero de Avogrado e ´e representado O cientista Perrin, no in´?cio do s´eculo, realizou uma s´erie de ex- peri^encias, procurando determinar o valor de NA, concluindo que este valor estaria compreendido entre 6, 5×1023 e 7, 2×1023 mol´eculas em cada mol. Por esta medida, Perrin recebeu o Pr^emio Nobel de F´?sica, em 1926. Posteriormente, medidas mais precisas mostraram que o valor NA ´e mais pr´oximo de

NA = 6, 02 × 1023 mol´eculas/mol Densidade e Massa Molecular De?ne-se a densidade ? volum'etrica de uma amostra de vo- lume V e massa m de qualquer subst^ancia homog^enea como m ?= V

Tomemos duas amostras gasosas A e B, ambas ocupando o mesmo volume, a mesma pressa~o e temperatura. Pela lei de Avogrado, sabemos que estas amostras contem o mesmo nu´mero de mol´eculas. Supondo que a massa molecular de A, MA, seja o dobro da massa molecular de B, MB, evidente- mente a massa da amostra A, mA, tamb´em sera´ o dobro da massa sa amostra B, mB. Mas, como as amostras tem vo- lumes iguais, concluimos que a densidade de A, ?A, sera´ o dobro da densidade de B, ?B. Do mesmo modo, se tiv´essemos MA = 3MB, ter´?amos, tamb´em, ?A = 3?B. Enta~o, podemos concluir que ?A MA = ?B MB isto ´e, a densidade de um ga´s ´e diretamente proporcional a sua massa molecular.

Pense um Pouco! · Escreva o nu´mero de avogadro por extenso, com os seus 23 zeros, e observe como ele ´e enorme! · Quando um ga´s ´e comprimido, o que aontece com a sua densidade?

Termodina^mica ? Aula 5 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFSE) Constata-se experimentalmente que, nas mesmas condic¸o~es de temperatura e pressa~o, 3 volumes de hidrog^enio reagem com um volume de oz^onio, produzindo 3 volumes de vapor de ´agua. Essa informac¸a~o nos permite deduzir - a partir da Lei de Avogrado - que o nu´mero de ´atomos na mol´ecula de oz^onio ´e igual a: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 2. (UCS-BA) Sob as mesmas condic¸o~es de temperatura e pressa~o, o volume de qualquer ga´s ´e diretamente proporcional ao seu nu´mero de mol´eculas. Essa ´e uma forma de enunciar a Lei de: a) Avogrado b) Gay-Lussac c) Lavoisier d) Faraday e) Einstein 3. (UFRS) Um recipiente de 2 litros contem um ga´s per- feito a temperatura de 17 ?C e pressa~o de 50 P a. Dado R = 8, 31 J/mol · K, podemos a?rmar que o nu´mero de mol´eculas nesse recipiente ´e de: a) 2, 7 × 107 mol´eculas b) 3, 7 × 107 mol´eculas c) 5, 0 × 107 mol´eculas d) 2, 7 × 1018 mol´eculas e) n.d.a.

Exerc´?cios Complementares 4. (FUVEST) A 25 ?C e 1 atm, o volume de 1 mol de ´atomos de n´?quel (massa at^omica: A = 59 e ? = 8, 9 g/cm3) ´e aproxi- madamente igual a: a) 33 cm3 b) 26 cm3 c) 20 cm3 d) 6, 6 cm3 e) 13 cm3 5. (ACAFE) Um estudante informa a seu colega que, para ?matar?a sua sede, teve que tomar 20 moles de ´agua, o outro estudante baseando-se na Lei de Avogrado, calculou o nu´mero de mol´eculas ingerida pelo seu colega, que foi de: a) 1, 2 × 1025 mol´eculas b) 2, 2 × 1025 mol´eculas c) 3, 2 × 1025 mol´eculas d) 4, 2 × 1025 mol´eculas e) 5, 2 × 1025 mol´eculas 6. (UFES) Tr^es recipientes, A, B e C, de volumes iguais, cont^em respectivamente, HCl, H2O e NH3, todos no estado gasoso, a mesma pressa~o e temperatura. Suponha que o re- cipienteAcontenha1,0×1024mol´eculasdeHCl.Podemos a?rmar que o nu´mero de mol´eculas de vapor de H2O existen- tes no recipiente B ´e: a) 1, 0 × 1024 mol´eculas 85

b) 6, 02 × 1023 mol´eculas c) 2, 0 × 1024 mol´eculas d) 3, 0 × 1024 mol´eculas e) 4, 0 × 1024 mol´eculas

Termodin^amica Aula 5 Modelo Molecular de um G´as As leis que descrevem o comportamento dos gases, foram ob- tidas experimentalmente. Vamos agora tentar relacionar estas leis com o comportamento das part´?culas que constituem o g´as, isto ´e, seus ´atomos ou suas mol´eculas. Os cientistas intensi- ?caram seus estudos sobre a estrutura molecular dos gases, baseando-se nas seguintes suposic¸o~es: 1. um ga´s ´e constituido de pequenas part´?culas, ´atomos ou mol´eculas;

2. o nu´mero de mol´eculas existentes em uma dada massa 3. a dist^ancia m´edia entre as mol´eculas ´e muito maior do que as dimens~oes de uma mol´ecula;

4. as mol´eculas de um ga´s esta~o em constante movimento, e este movimento ´e inteitamente ao acaso, isto ´e as mol´eculas se movimentam em qualquer direc¸a~o.

Ao estabelecerem estas hip´oteses, os cientistas estavam ten- tando descrever o comportamento de um ga´s atrav´es do mo- vimento de suas mol´eculas, isto ´e, estavam supondo que as leis dos gases poderiam ser obtidas aplicando-se as leis da Mec^anica ao movimento das mol´eculas, tratando-as como se fossem part´?culas. Desta maneira, os cientistas estruturaram Este modelo ´e denominado modelo cin´etico em virtude de se basear no movimento das mol´eculas do ga´s.

m - massa de cada mol´ecula v2 - m´edia dos quadrados das velocidades das mol´eculas A expressa~o a que chegaram foi a seguinte: 1 p = (N/V )mv2 3 Analisando esta expressa~o vemos que: · p ? N : este resultado ´e intuitivo pois, quanto maior for o nu´mero total de mol´eculas, maior sera´ o nu´mero de co- lis~oes contra as paredes e, portanto, maior sera´ a pressa~o exercida pelo ga´s;

· p ? 1/V : de fato, quanto maior for o volume, maior sera´ a dist^ancia que uma mol´ecula tera´ que percorrer para co- lidir contra as paredes e, consequentemente, menor sera´ o nu´mero de coliso~es, isto ´e, menor sera´ a pressa~o exercida pelo ga´s;

· p ? m: este resultado era esperado pois, quanto maior for a massa de um mol´ecula, maior sera´ a sua quantidade de movimento (q = mv) e assim, maior sera´ a forc¸a que ela exerce ao colidir contra a parede do recipiente;

· p ? v2: realmente, quanto maior for v2, mais rapida- mente as mol´eculas estara~o se movimentando. E´ f´acil per- ceber que, nestas condic¸o~es, maior sera´ a forc¸a que cada mol´ecula exercera´ ao colidir contra a parede e, al´em disso, maior sera´ o nu´mero de coliso~es.

Interpreta¸c~ao Cin´etica da Temperatura (T ) Como j´a mencionamos em outra ocasi~ao, a temperatura de um corpo se relaciona com a energia de agitac¸a~o dos ´atomos e Mostraremos agora como os f´?sicos do s´eculo passado, baseados no modelo cin´etico de um ga´s, chegaram a esta conclus~ao. A expressa~o p = N mv2/3V , que havia sido obtida baseando-se no modelo cin´etico, pode ser escrita como Nmv2 pV = 3 Comparando-a com a equac¸a~o de estado de um ga´s ideal, pV = nRT , que havia sido obtida experimentalmente, conclui-se que Nmv2 = nRT 3 Mas sendo NA (o nu´mero de Avogrado) o nu´mero de mol´eculas que existe em 1 mol e sendo n o nu´mero de moles que corres- ponde a N mol´eculas, ´e claro que N = nNA

e com este valor de N na igualdade anterior, vir´a nNAmv2 = nRT 3 ou, simpli?cando e reescrevendo mv2 = 3(R/NA)T

e dividindo-se os dois menbros desta igualdade por 2, temos 13 mv2 = (R/NA)T 22 Observe que o primeiro membro desta expressa~o representa a energia cin´etica m´edia das mol´eculas. Esta energia cin´etica m´edia sera´ representada por EC . O quociente R/NA que apa- rece no segundo membro, ´e constante, pois, como j´a sabemos, tanto R quanto NA sa~o constantes. Este quociente ´e muito importante, ´e representado por kB e ´e a famosa constante de Boltzmann: kB = 1, 38 × 10-23 J/K

Desta maneira, chegamos a seguinte expressa~o: 3 EC = kBT 2 que mostra ser a energia cin´etica m´edia das mol´eculas de um ga´s diretamente proporcional a sua temperatura absoluta, isto ´e, quanto maior for a energia cin´etica m´edia das mol´eculas, maior sera´ a temperatura do ga´s. Destacamos, enta~o que: a temperatura absoluta, T de um ga´s esta´ relacionada com a Em uma amostra, podemos dizer que a u´nica energia exitente ´e a energia de cada part´?cula, sendo N o nu´mero de part´?culas, a energia meca^nica total da amostra ´e E = N EC . Essa ener- da amostra. Logo, substituindo essa relac¸a~o na expressa~o da energia cin´etica temos: 3 Eint. = N kBT 2

ou, como N = nNA e kB = R/NA, temos 3 Eint. = nRT 2 Pense um Pouco! · Quando um ga´s absorve calor e seu volume ´e mantido ?xo, para onde vai a energia ganha? Explique.

· Se um ga´s num pist~ao isolado se expande e realiza um Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

Termodina^mica ? Aula 6 3. (UFRN) Uma certa massa gasosa se encontra a uma tem- peratura de 36 ?C, podemos a?rmar que a energia cin´etica m´edia de suas mol´eculas ´e de: a) 6, 4 × 10-21 J b) 1, 2 × 10-21 J c) 2, 5 × 10-21 J d) 4, 3 × 10-21 J e) 5, 3 × 10-21 J

Exerc´?cios Complementares 4. (ACAFE) Quando aumentamos a temperatura de um ga´s ´e correto a?rmar que: a) a velocidade de suas mol´eculas permanece constante b) a velocidade de suas mol´eculas aumenta c) a velocidade de suas mol´eculas diminui d) nada podemos a?rmar a respeito da velocidade e) a energia cin´etica das mol´eculas diminui

5. (UFCE) Um recipiente A cont´em 5 mol de H2 a 32 ?C, e um outro recipiente B possui 6 mol de O2 `a mesma tempera- tura. Podemos a?rmar que: a) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas ´e a mesma nos dois recipientes b) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e maior do que as do recipiente B c) a energia cin´etica m´edia das mol´eculas do recipiente A ´e menor do que as do recipiente B d) depende do tamanho dos recipientes e) na~o ´e possivel determinar nada a respeito das energias cin´eticas das mol´eculas 6. (UEM-PR) As mol´eculas de um certo ga´s possuem uma energia cin´etica m´edia de 20, 7 × 10-23 J , podemos a?rmar que a temperatura em ?C desse ga´s: a) ´e 243 b) esta´ acima de 243 c) ´e 200 d) ´e zero e) esta´ abaixo de -243

Termodin^amica Aula 6 Calor e Temperatura A Lei Zero da Termodin^amica Vamos supor que, num sistema isolado (que na~o perde nem ganha energia em relac¸a~o ao meio exterior) foram colocados dois blocos. Um bloco A a uma temperatura de 200 ?C, e um bloco B, a temperatura de 20 ?C, como esta´ representado na ?gura: 87

A B o 200 C o 20 C Como os blocos esta~o em um sistema isolado, so´ trocam ener- A lei Zero da Termodin^amica garante que, com o decorrer do tempo, a temperatura do bloco A (mais quente) diminui en- quanto a temperatura do bloco B (mais frio) aumenta, at´e que Como o sistema ´e isolado, pode-se explicar esse feno^meno admitindo-se que parte da energia interna do bloco A foi trans- ferida para o bloco B. A essa energia transferida de um corpo para o outro, devida apenas a diferenc¸a de temperatura entre eles, chamamos calor ou energia t´ermica. Portanto: CALOR ´e energia t´ermica em tr^ansito entre dois cor- pos a diferentes temperaturas.

Unidade SI A unidade SI com que se mede o calor ´e o joule ou J . Usu- almente mede-se o calor em calorias ou cal, e sabe-se que o equivalente meca^nico do calor ´e 1 cal = 4, 186 J

Temperatura × Calor O conceito de calor tem uma simplicidade enganosa, a dis- tinc¸a~o entre os conceitos de calor e temperatura foi um pro- cesso historicamente demorado. Podemos de?nir que: TEMPERATURA ´e a grandeza que mede o grau de A temperatura ´e uma grandeza que caracteriza um corpo em equil´?brio t´ermico, o calor na~o. Por exemplo, na~o ´e correto se dizer ?um corpo cont´ema calor?.

Tr^ansmiss~ao de Calor Existem tr^es processos de transfer^encia de calor: condu¸ca~o, convecc¸a~o e radiac¸a~o

atrav´es de um meio mec^anico. No exemplo dado, utilizou-se Lei da Conduc¸~ao T´ermica Considere dois ambientes a temperaturas T1 e T2 tais que T1 > T2, separados por uma parede de ´area A e espessura L.

T 1 A T 2 Fluxo Térmico L Depois de atingir o regime estacion´ario, o ?uxo de calor H (quantidade de calor que atravessa uma superf´?cie por unidade de tempo) depende da ´area A da parede, da espessura L, da diferenc¸a de temperatura T = T 1 - T 2 e do material que constitui a parede. Segundo a lei de Fourier: Q T1-T2 H = = kA tL onde a constante de proporcionalidade k depende da natureza do material, sendo denominada coe?ciente de condutividade t´ermica, seu valor ´e elevado para bons condutores t´ermicos, como metais, e baixo para isolantes t´ermicos, como a ar, por Chama-se de ?uxo de calor ou ?uxo t´ermixo a quantidade H Unidades do Fluxo T´?rmico (H) A unidade usual em que se mede a quantidade H ´e ´e cal/s, ou no SI, J/s ou W . Lembre-se que 1 J/s = 1 watt = 1 W .

Convecc¸~ao A convecc¸a~o ´e um processo de transmiss~ao de calor que ocorre apenas em ?uidos. O calor ´e transferido de uma regi~ao para A descric¸a~o e explicac¸a~o desse processo ´e simples: nas regi~oes onde a temperatura ´e mais alta, o ?uido se expande e ?ca menos denso e tende a subir, por causa do empuxo. Nas regio~es onde a temperatura ´e mais baixa, ?uido ´e mais denso e tende a descer. Este sobe e desce di?cilmente ´e apenas vertical. Nesse caso, quase sempre a convecc¸a~o provoca o aparecimento de correntes de ar que se movimentam lateralmente das regio~es mais aquecidas e de baixa pressa~o para as regi~oes mais frias e de alta pressa~o. Esse movimento ´e o que se observa numa panela de ´agua fervendo, a ´agua sobe pr´oximo `as paredes (mais quente) e desce no centro (mais frio).

Radiac¸~ao A radiac¸a~o ´e o processo mais importante de propagac¸a~o de ca- lor. Sem ela na~o haveria vida em nosso planeta, j´a que ´e por radiac¸a~o que o calor do Sol chega at´e a Terra. Na verdade, a u´nica diferenc¸a entre calor e luz ´e a frequ^encia da radiac¸a~o. As radiac¸o~es de calor (infravermelhas) esta~o possuem frequ^encias logo abaixo do espectro das radiac¸o~es luminosas (luz vis´?vel).

Na verdade o que chamamos de luz sa~o as radiac¸o~es que nos- sos olhos podem ver. Existem atualmente ca^mara fotogra´?cas que registram a ?luz?do calor, tornando evidente a limitac¸a~o da nossa vis~ao e tamb´em da nosso conceito de luz e calor. E´ por isso que muitos aquecedores de ambiente t^em a forma de espelhos curvos e as garrafas t´ermicas sa~o espelhadas interna- mente, para re?etir essa luz de calor.

Pense um Pouco! · As correntes ascendentes utilizadas pelos balonistas ´e um exemplo de transmiss~ao de calor? Qual?

· Se colocarmos gelo e garrafas de refrigerante numa caixa de isopor, quais as formas de transmiss~ao de calor sera~o observadas at´e que o sistema atinja o equil´?brio t´ermico?

· No caso anterior, a lei Zero da Termodin^amica garante Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (UFRS) A seguir sa~o feitas tr^es a?rmac¸o~es sobre proces- sos termodin^amicos envolvendo transfer^encia de energia de um I. A radiac¸a~o ´e um processo de transfer^encia de energia que II. A convecc¸a~o ´e um processo de transfer^encia de energia que III. A conduc¸a~o ´e um processo de transfer^encia de energia que Sa~o a?rmativas corretas: a) Apenas I b) Apenas II c) Apenas III d) Apenas I e II e) Apenas II e III 2. (PUC-MG) Analise ?sicamente as a?rmativas seguintes: I. Para derreter um bloco de gelo rapidamente, uma pessoa II. Para se conservar o chope geladinho por mais tempo, III. Um aparelho de refrigerac¸a~o de ar deve ser instalado em um local alto num escrit´orio.

Termodina^mica ? Aula 7 c) 3,0 d) 4,0 e) 5,5 f) n.d.a Exerc´?cios Complementares

4. (FUVEST) Para melhor isolamento t´ermico de um ambi- ente, mantendo o material de que sa~o feitas as paredes, deve- se: a) aumentar o volume das paredes b) aumentar a ´area externa das paredes e manter a espessura c) diminuir a espessura das paredes d) aumentar a espessura e diminuir a ´area das paredes e) reduzir a ´area externa e a espessura das paredes 5. (ACAFE) Nas geladeiras, o congelador ?ca sempre na parte de cima para: a) manter a parte de baixo mais fria que o congelador b) que o ar frio ?que com congelador c) que o ar quente v´a para o congelador d) acelerar a produc¸a~o de cubos de gelo e) que o ar frio v´a para o congelador 6. (FMU) As roupas indicadas para se usar no deserto devem ser: a) escuras e ?nas b) claras e ?nas c) escuras e grossas d) claras e grossas e) independentes da cor e da espessura

Termodin^amica Aula 7 Capacidade T´ermica (C) Nem todos os corpos variam sua temperatura da mesma forma ao receberem calor. Ao se esquentar ´agua na chama de um fog~ao, por exemplo, observa-se que, quanto maior a massa de ´agua a aquecer, maior a quantidade de calor necessa´ria para produzir a mesma variac¸a~o de temperatura. Do mesmo modo, materiais diferentes necessitam de quantidades de calor dife- rentes para sofrerem a mesma variac¸a~o de temperatura. Uma colher de metal, por exemplo, necessita de menos calor do que a mesma massa de a´gua, para o mesmo aumento de tempera- tura. A grandeza que mede a quantidade de calor Q necessa´ria para produzir determinada variac¸a~o de temperatura T num corpo ´e a capacidade t´ermica ou capacidade calor´??ca, de?nida como a quantidade de calor necessa´ria para variar de 1 ?C a sua temperatura.

Q C? T Unidade SI No SI, a capacidade t´ermica ´e medida em J/K, embora na pr´atica se use cal/?C.

89 Substa^ncia c(cal/g · ?C) Substa^ncia c(cal/g · ?C) Amo^nia 1,13 A´ gua 1,00 A´ lcool 0,58 Gelo 0,55 Vapor d'´agua 0,48 Madeira 0,42 Alum´?nio 0,22 Vidro 0,16 Ferro 0,11 Cobre 0,092 Prata 0,056 Mercu´rio 0,033 Ouro 0,032 Chumbo 0,031 Tabela 1.4: O calor espec´??co c de algumas subst^ancias.

A capacidade t´ermica de um corpo depende da sua massa e da natureza do material de que ´e constituido. Ela permanece constante durante o seu aquecimento ou resfriamento, desde que na~o ocorra mudanc¸a de estado f´?sico.

Calor Espec´??co (c) Analisando-se o comportamento de corpos diferentes, mas constitu´?dos do mesmo material, quando submetidos a um aquecimento, observa-se que a quantidade de calor absorvida ´e diretamente proporcional a sua massa. Pode-se concluir, por- tanto, que a capacidade t´ermica de um corpo ´e diretamente proporcional a sua massa. Assim, a relac¸a~o entre a capaci- dade t´ermica C de um corpo e sua massa ´e uma constante m, denominada calor espec´??co (c) c = C/m

Unidade SI No SI, o calor espec´??co ´e medido em J/kg · K, embora na O calor espec´??co de um corpo depende do material que o cons- titui, do seu estado f´?sico e da sua temperatura, esta por´em, sem in?u^encia considera´vel no estudo. O conhecimento do va- lor do calor espec´??co tem importa^ncia fundamental na f´?sica, pois identi?ca a quantidade de calor necessa´ria para elevar de O elevado calor espec´??co da ´agua, comparado ao de outras subst^ancias ´e importante, pois faz com que seja necessa´ria Por essa raza~o, a ´agua demora mais para esquentar e tamb´em para esfriar, o que explica a estabilidade do clima das regio~es Em contra-partida , a amplitude t´ermica de regi~oes des´erticas pode ultrapassar os 60 ?C em menos de 12 horas.

Essa equac¸a~o permite calcular a quantidade de energia na forma de calor, necessa´ria para variar a temperatura de uma determinada massa de qualquer subst^ancia, desde que na~o Neste caso, quando um corpo absorve (perde) calor e aumenta (diminui) sua temperatura, o calor trocado chama-se de calor sens´?vel.

Convens~ao · Quando um sistema absorve calor num processo qual- quer, associamos ao processo um calor Q > 0;

· Quando um sistema perde calor num processo qualquer, · Quando um sistema n~ao troca calor (na~o ganha e nem perde) num processo qualquer, associamos ao processo um calor Q = 0.

Esquematicamente: Calor (Q) Sinal Absorvido + Perdido -

Trabalho Um sistema pode trocar energia com sua vizinhanc¸a na forma de calor ou pela realizac¸a~o de trabalho. Realmente, se ha´ uma diferenc¸a de temperatura entre o sistema e a vizinhanc¸a, uma certa quantidade de calor podera´ ser transferida de um para o outro. Al´em disso, o sistema pode se expandir, vencendo uma pressa~o e portanto, realizando trabalho sobre a vizinhanc¸a ou, ainda, o sistema podera´ ter o volume reduzido, com a realizac¸a~o de um trabalho da vizinhanc¸a sobre ele.

Trabalho realizado numa EXPANSA~ O Consideremos como sistema termodin^amico um ga´s ideal, en- cerrado em um cilindro provido de um ^embolo (pista~o) que pode se deslocar livremente. Suponha que o ga´s se encontre em um estado inicial i, ocupando um volume Vi. Em virtude da pressa~o do ga´s, ele exerce uma forc¸a F sobre o pist~ao que, estando livre, desloca-se de uma dist^ancia d. Assim, o ga´s se expandiu at´e o estado ?nal f , onde o seu volume ´e Vf , e realizou um trabalho W . Se a pressa~o p do ga´s permanecer constante, o valor da forc¸a F tamb´em sera´ constante durante a expansa~o e o trabalho W , realizado pelo ga´s, pode ser facil- mente calculado. De fato, para este caso, temos: W=Fd Mas sendo F = pA, onde A ´e a ´area da sec¸a~o reta do pist~ao, temos W = pAd Mas observe que Ad ´e o volume varrido pelo pist~ao durante a expansa~o, que ´e igual a variac¸a~o do volume do ga´s, isto ´e, Ad = Vf - Vi, logo W = p(Vf - Vi) = p V

Portanto esta expressa~o nos permite calcular o trabalho que um ga´s realiza, ao sofrer uma variac¸a~o de volume a pressa~o constante.

Trabalho realizado numa COMPRESSA~ O Numa compress~ao, o procedimento para o ca´lculo do trabalho ´e o mesmo do caso da expansa~o, mudando apenas o sinal ?nal do trabalho, j´a que forc¸a que o ga´s exerce sobre o pist~ao ´e no Como no caso de uma compress~ao o volume ?nal Vf do ga´s sera´ menor do que o seu volume inicial Vi, enta~o a variac¸a~o de volume sera´ negativa e o trabalho pode ser obtido pela mesma Convens~ao · Quando um ga´s se expande num processo qualquer, di- zemos que o ga´s realiza um trabalho W > 0;

· Quando um ga´s ´e comprimido num processo qualquer, · Quando um ga´s permanece com volume constante num processo qualquer, dizemos que o trabalho que o ga´s realiza no processo ´e nulo, W = 0.

Esquematicamente: Trabalho do G´as (W ) Sinal Expansa~o + Compressa~o - Unidade SI Sendo uma forma de energia, assim como o calor o trabalho realizado por um ga´s ´e medido em joule ou J no SI. Lembrando: 1J=1N·m Pense um Pouco! · A unidade de calor estudada, a caloria ou cal, ´e a mesma registrada nos alimentos?

· Qual a relac¸a~o existente entre a caloria alimentar e o es- tudo do calor?

Termodina^mica ? Aula 8 3. (UEPB) A massa de um corpo ´e igual a 2 kg. Recebendo 10 kcal, a sua temperatura passa de 40 ?C para 90 ?C. O calor espec´??co desse corpo ´e: a) 0, 1 ?C b) 0, 2 ?C c) 0, 3 ?C d) 0, 4 ?C e) 0, 5 ?C

Exerc´?cios Complementares 4. (ITA) A capacidade t´ermica de uma caneca de alum´?nio ´e de 16 cal/?C. Sabendo-se que o calor espec´??co do alum´?nio ´e de 0, 2 cal/g · ?C, pode-se a?rmar que a massa dessa caneca, em gramas, ´e: a) 3,2 b) 32 c) 90 d) 160 e) 800 5. (FURG) Uma fonte calor´??ca fornece calor, com pot^encia constante, para 600 g de ´agua durante 10 min e observa-se a temperatura desta elevar-se em 15 ?C. Substituindo-se a ´agua por 300 g de outro l´?quido, veri?ca-se que a temperatura deste se eleva tamb´em de 15 ?C, por´em em 2 min. O calor espec´??co do l´?quido ´e de : a) 0,1 cal/g · ?C b) 0,2 cal/g · ?C c) 0,3 cal/g · ?C d) 0,4 cal/g · ?C e) 0,5 cal/g · ?C 6. (ACAFE) A capacidade t´ermica de um corpo homog^eneo depende: a) so´ de sua massa b) de sua massa e de seu volume c) so´ de sua massa e do calor espec´??co do material que o constitui d) de sua massa e de sua temperatura e) so´ do calor espec´??co do material que o constitui

Termodin^amica Aula 8 Primeira Lei da Termodin^amica A primeira lei da Termodin^amica nada mais ´e que o princ´?pio da Conservac¸a~o da energia aplicado `a termodin^amica. O princ´?pio da conservac¸a~o da energia, em linhas gerais, diz que num sistema isolado a energia total ´e conservada, ou seja ´e constante, e jamais pode ser criada ou destru´?da dentro do Sendo assim, se um sistema recebe energia ele tem de dar conta desta energia, ou se ele cede energia, esta energia tem de ter sa´?do de algum lugar. Por exemplo, admitamos que um sistema receba 100 J de calor. Estes 100 J de energia na~o podem desaparecer e nem serem destru´?dos no sistema. Eles tem de ir para algum lugar. Admitamos, em continuac¸a~o, que o sistema 91

realiza 80 J de trabalho. Notamos que o sistema recebeu 100 J Estes joules restantes ?caram dentro do sistema, armazenados sob a forma de energia interna. Portanto, a energia interna do sistema aumentou em 20 J . Podemos fazer um esquema desta troca de energia

Meio Externo Sistema U = +20 J int Q = +100 J W = +80 J

Sendo: Calor recebido pelo sistema (Q): ´e energia que entra no sis- tema e a representamos por uma seta entrando, pois o calor ´? Trabalho cedido pelo sistema (W ): ´e energia que sai do sistema na forma de trabalho e o representamos por uma seta para fora, Aumento de energia interna ( Uint): representamos por uma quantidade Uint > 0, quando ela aumenta, ou po uma quan- Temos: Q = W + Uint

Para obtermos esta relac¸a~o entre Q, W e Uint, basta impor- mos que ?a soma das energia entram (sinal positivo) com as energias que saem (sinal negativo) do sistema Esta ´e a primeira lei da Termodin^amica.

Aplica¸c~oes da Primeira Lei Vamos aplicar a primeira lei para algums processos termo- din^amicos particulares. Dizemos que um sistema t´ermico passa por um processo de equil´?brio, ou quase-esta´tico, quando evo- lui ?sicamente de forma lenta, fazendo com as varia´veis que o descrevem (p, V , T , Uint, etc) mudem suavemente, fazendo o sistema evoluir de forma cont´?a de um estado inicial i, digamos, para um estado ?nal f .

Transformac¸~ao Isot´ermica (T = cte) Para um processo termodin^amico em que a temperatura na~o varia, a variac¸a~o de energia interna do ga´s ´e nula. Ou seja, pela primeira lei concluimos que Q=W ou seja, numa transformac¸a~o isot´ermica, o calor trocado pelo ga´s com o exterior ´e igual ao trabalho realizado no mesmo processo.

Transformac¸~ao Isob´arica (p = cte) No processo isob´arico de um ga´s ideal, o volume V ´e dire- tamente proporcional a temperatura T . Portanto, numa ex- pansa~o isob´arica, o volume e a temperatura aumentam, ocor- rendo tamb´em aumento da energia interna do ga´s: Uint > 0

e pela primeira lei concluimos que para uma expansa~o isob´arica Q>W ou seja, numa expansa~o isob´arica, a quantidade de calor rece- bida ´e maior que o trabalho realizado.

Transformac¸~ao Isom´etrica (V = cte) Como na~o ha´ variac¸a~o de volume nesse tipo de processo, o trabalho realizado ´e nulo e, pela primeira lei: Uint = Q

ou seja, todo o calor recebido (cedido) pelo sistema faz com Numa transformac¸a~o isom´etrica, a variac¸a~o de energia interna do ga´s ´e igual a quantidade de calor trocada com o meio exte- A transformac¸a~o `a volume constante tamb´em ´e chamada de ¯

Transformac¸~ao Adiab´atica (Q = 0) Um ga´s sofre uma transformac¸a~o adiab´atica quando na~o troca calor com o meio exterior, ou seja, quando Q=0 Aplicando a primeira lei temos neste caso Uint = -W

Numa transformac¸a~o adiab´atica, a variac¸a~o de energia interna ´e igual em m´odulo e sinal contr´ario ao trabalho realizado na transformac¸a~o. Ou seja, se um sistema realiza trabalho adia- baticamente, tera´ de consumir sua energia interna, j´a que na~o absorveu calor.

Segunda Lei da Termodin^amica A segunda lei da Termodin^amica, a exemplo da primeira, tem diferentes enunciados que se equivalem. O mais comum deles decorre da conclus~ao das aulas anteriores e da aceitac¸a~o da irreversibilidade das transformac¸o~es da natureza: Nenhuma m´aquina t´ermica, operando em ciclos, pode retirar calor de uma fonte e transform´a-lo integral- ou noutra forma mais moderna O calor ?ui expontaneamente de um corpo mais quente Vamos ver os detalhes desta lei e suas aplicac¸o~es mais adiante.

Pense um Pouco! · Ao ser comprimido, um ga´s ganha ou perde energia in- terna?

· Fac¸a uma analogia da compress~ao de um ga´s e de uma · Um moto perp´etuo de primeira esp´ecie seria uma m´aquina que realizasse trabalho inde?nidamente, sem utilizar ne- nhuma fonte de energia. Futuramente sera´ poss´?vel a cons- truc¸a~o de uma tal m´aquina?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UNICENTRO-SP) Marque a alternativa que descreve a a) O aumento de energia interna de um ga´s ´e dado pela dife- b) O trabalho realizado ´e dado pela soma do calor recebido c) O calor recebido ´e dado pela diferenc¸a entre o trabalho re- d) Se um sistema realiza trabalho, sua energia interna na~o se e) Se um sistema recebe trabalho, sua energia interna diminui.

2. (FATEC) Haver´a trabalho realizado sempre que uma massa gasosa: a) sofrer variac¸a~o em sua pressa~o b) sofrer variac¸a~o em seu volume c) sofrer variac¸a~o em sua temperatura d) receber calor de fonte externa e) sofrer variac¸a~o de energia interna 3. (FATEC) Uma fonte t´ermica cede 100 J de calor a um sistema, ao mesmo tempo em que este realiza um trabalho meca^nico de 20 J . Durante esse processo, na~o ocorrem outras trocas de energia com o meio externo. A variac¸a~o da energia interna do sistema, medida em joules, ´e igual a: a) zero b) 20 c) 80 d) 100 e) 120

Termodina^mica ? Aula 9 conserva c) Sim, porque o calor pode ser transformado em energia in- terna do ga´s d) Sim, porque o calor pode resultar num aumento da agitac¸a~o t´ermica das mol´eculas do ga´s e) Sim , basta que o ga´s realize trabalho igual ao calor que recebeu 6. (ACAFE) Numa expansa~o adiab´atica, a temperatura de um mol de ga´s perfeito diminui de 200 K. Podemos a?rmar que a quantidade de calor trocada com o ambiente ´e de: a) 73 cal b) 200 cal c) 20 cal d) 0 J e) na~o pode ser determinado

Termodin^amica Aula 9 M´aquinas T´ermicas Uma m´aquina t´ermica opera em ciclos entre duas fontes t´ermicas de temperaturas diferentes, uma chamada de fonte quente e a outra, de fonte fria. A m´aquina retira calor da fonte quente Q1, transforma parte desse calor em trabalho W e rejeita a outra parte Q2 para a fonte fria, assim W = Q1 - Q2 Fonte Quente Q 1 Máquina Térmica W

Q 2 Fonte Fria Para o caso das m´aquinas t´ermicas, a Segunda Lei da Termo- din^amica assume a forma: E´ imposs´?vel um dispositivo operando em ciclos con- Assim, podemos de?nir o rendimento ? de uma m´aquina t´ermica como W ?= Q1 e como W = Q1 - Q2 temos: Q2 ?=1- Q1 93

Ciclo de Carnot Estudando as m´aquinas t´ermicas, o cientista Sadi Carnot propo^s, em 1824, um ciclo te´orico composto de quatro trans- formac¸o~es revers´?veis - duas isot´ermicas e duas adiab´aticas, que proporciona o m´aximo rendimento para uma m´aquina t´ermica, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria. O desenho a seguir representa o ciclo de Carnot.

p a adiabático d isotérmico b T 1 adiabático isotérmicocT 2 O VVVVV adbc

Processo A ? B: o ga´s sofre uma expansa~o isot´ermica, rece- bendo calor da fonte quente Q1 e realizando trabalho. A ener- gia interna do ga´s se mant´em constante nesta transformac¸a~o.

absolutas dessas fontes, ou seja: Q2 T2 = Q1 T1 Como Q2 ?=1- Q1 enta~o o rendimento ?C de uma m´aquina de Carnot ´e dado por:

T2 ?C = 1 - T1 Da´? tiramos uma importante conclus~ao: O rendimento da m´aquina de Carnot n~ao depende da subst^ancia de trabalho utilizada (g´as): ´e func¸~ao exclu- siva das temperaturas absolutas das fontes quente e Estabelece o Teorema de Carnot que, entre duas temperaturas T1 e T2 das fontes quente e fria, a m´aquina de Carnot ´e a que apresenta o m´aximo rendimento. Portanto, nenhuma m´aquina t´ermica, entre as mesmas temperaturas, pode apresentar ren- dimento superior ao previsto para a m´aquina de Carnot.

Pense um Pouco! · O que aconteceria com uma m´aquina t´ermica se o ren- dimento alcanc¸ado fosse de 100%? Sera´ que no futuro, teremos uma m´aquina assim?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ACAFE) Uma m´aquina t´ermica, que opera segundo o ciclo de Carnot, absorve 200 calorias da fonte quente em cada ciclo e abandona 120 calorias para a fonte fria. A alternativa, abaixo que representa o rendimento desta m´aquina t´ermica ´e: a) 100 % b) 80 % c) 60 % d) 40 % e) 20 % 2. (ACAFE) Complete o enunciado que segue, com a alter- nativa verdadeira, dentre as relacionadas abaixo. O ciclo de Carnot ´e constitu´?do de transformac¸o~es: a) adiab´aticas e isot´ermicas b) adiab´aticas e isob´aricas c) isovolum´etrica e isot´ermicas d) isovolum´etricas e isob´aricas e) isovolum´etricas e adiab´aticas 3. (ACAFE) Uma m´aquina de Carnot, cuja fonte quente esta´ a 300 K, absorve 100 cal de calor desta fonte, em cada ciclo, e abandona 70 cal para a fonte fria. A temperatura da fonte fria ´e de : a) 210 K b) 190 K c) 150 K d) 120 K e) 100 K Exerc´?cios Complementares

4. (Mackenzie) Uma m´aquina t´ermica executa um ciclo entre as temperaturas 500 K (fonte quente) e 400 K (fonte fria). O m´aximo rendimento que essa m´aquina poderia ter ´e: a) 10 % b) 20 % c) 25 % d) 30 % e) 80 % 5. (UEL) O rendimento de certa m´aquina t´ermica de Carnot ´e de 25% e a fonte fria ´e a pr´opria atmosfera a 27 ?C. A temperatura da fonte quente ´e: a) 5, 4 ?C b) 52 ?C c) 104 ?C d) 127 ?C e) 227 ?C A temperatura da fonte fria ´e 127 ?C e a da fonte quente ´e 427 ?C. O rendimento do ciclo ´e: a) 3,4 % b) 70 % c) 43 % d) 57 % e) n.d.a

Termodin^amica Aula 10 Mudan¸cas de Fase A mat´eria pode se apresentar-se nos estados so´lido, l´?quido e gasoso. Estes estados se distinguem pelo seguinte: L´?quido na~o tem forma pr´opria (assume a forma do recipiente G´as na~o tem forma pr´opria nem volume de?nido. Tomam a forma e o volume do recipiente que os cont´em, dependendo da pressa~o externa.

Tipos No nosso estudo estaremos sempre nos referindo a subst^ancias puras, e faremos algumas de?nic¸o~es: · Fus~ao: ´e a passagem de uma subst^ancia do estado so´lido para o estado l´?quido.

· Solidi?cac¸a~o: ´e a passagem de uma subst^ancia do estado l´?quido para o estado so´lido .

Termodina^mica ? Aula 10 ? Evaporac¸a~o: ocorre mediante um processo lento que se veri?ca apenas na superf´?cie do l´?quido. E´ o que acontece com a ´agua de um tanque , ou de uma bacia ao ar livre. A evaporac¸a~o pode ocorrer a qualquer ? Ebulic¸a~o: ocorre mediante a um processo turbu- lento que se veri?ca em toda a massa l´?quida. Isso ocorre quando a pressa~o de vapor do l´?quido se iguala a pressa~o externa, a´? o vapor escapa produzindo o borbulhar caracter´?stico da ebulic¸a~o. E´ o que ocorre com a ´agua de uma chaleira quando esta ´e colocada ao fogo e comec¸a a fervura. A ebulic¸a~o so´ ocorre em uma determinada temperatura, ca- racter´?stica do l´?quido, chamada temperatura (ou ponto) de ebulic¸a~o, que depende d a pressa~o exer- ? Calefac¸a~o: ocorre apo´s um aquecimento muito brusco. Por exemplo quando uma porc¸a~o de ´agua ´e jogada na chapa quente de um fog~ao, ha´ um aque- cimento brusco da ´agua, seguido do feno^meno de ca- lefac¸a~o .

· Liquefac¸a~o (condensac¸a~o): ´e a passagem de uma subst^ancia do estado de vapor para o estado l´?quido.

Temperatura de Mudan¸ca de Estado A fus~ao e a solidi?cac¸a~o se processam na mesma temperatura chamada temperatura (ou ponto) de fus~ao ou de solidi?cac¸a~o (TF ). Por exemplo, a ´agua, sob pressa~o atmosf´erica normal, A ebulic¸a~o e a liquefac¸a~o se processam na mesma temperatura, chamada temperatura (ou ponto) de ebulic¸a~o ou de liquefac¸a~o (TE ). Por exemplo, sob pressa~o atmosf´erica normal, a ´agua sempre entra em ebulic¸a~o e se liqu¨efaz a 100 ?C.

Calor Latente Seja Q a quantidade de calor latente necessa´ria para provocar uma dada mudanc¸a de estado na massa m de um subst^ancia Veri?ca-se experimentalmente que Q ´e proporcional `a massa m, podendo-se escrever: Q = mL Sendo L um coe?ciente de proporcionalidade chamado ca- lor espec´??co latente da referida mudanc¸a de estado da Sendo LF o calor espec´??co latente de fus~ao ou de solidi?cac¸a~o, temos QF = mLF E sendo LV o calor espec´??co latente de vaporizac¸a~o ou de liquefac¸a~o, temos: QV = mLV Observamos que o calor espec´??co latente de uma subst^ancia ´e Observamos tamb´em que o calor espec´??co latente de fus~ao e de solidi?cac¸a~o ´e o mesmo, porque a quantidade de calor que um corpo recebe para se fundir ´e a mesma que cede ao se solidi?car. O mesmo se pode dizer do calor espec´??co latente de vaporizac¸a~o e de liquefac¸a~o.

95 Pense um Pouco! · Quando deixamos uma pedrinha de Naftalina no guarda- roupas ,depois de algum tempo ela some. Como se chama esse processo?

· O que acontece com o calor absorvido por uma subst^ancia durante uma mudanc¸a de fase, j´a que sua temperatura na~o muda?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (FUVEST) Para fundir 50 gramas de uma subst^ancia, sem variac¸a~o de temperatura, foram necessa´rias 1, 4 kcal. Qual o a) 12 b) 24 c) 26 d) 28 e) 30 2. (ACAFE) Sendo o calor latente espec´??co de fus~ao do gelo igual a 80 cal/g, a quantidade de calor necessa´ria para fundir 100 gramas de gelo a 0 ?C ´e: a) 8 kcal b) 4 kcal c) 125 cal d) 80 cal e) 1, 25 cal 3. (PUC) Um bloco de gelo, inicialmente a -10 ?C, tem massa de 500 g. Qual a quantidade de calor necessa´ria para transform´a-lo em igual quantidade de ´agua, a 20 ?C? Dados : cGELO = 0, 5 cal/g · ?C, cAGUA = 1, 0 cal/g · C e LF = ? a) 0, 05 kcal b) 0, 52 kcal c) 5, 25 kcal d) 525 kcal e) 52, 5 kcal

6. (UNIJU´I) A vantagem do uso da panela de pressa~o em relac¸a~o as panelas comuns para cozinhar alimentos relaciona- se com: a) a ´agua demora mais a ferver e atinge uma temperatura menor b) a ´agua ferve rapidamente e atinge maior temperatura c) a ´agua ferve rapidamente e atinge menor temperatura d) a ´agua demora mais a ferver e atinge maior temperatura e) n.d.a

Termodin^amica Aula 11 Sublima¸c~ao e Diagrama de Fases Se colocarmos uma bola de naftalina em uma gaveta, sabemos que ela passa pelo estado de vapor, sem passar pelo estado l´?quido, isto ´e, ocorre a sublimac¸~ao da naftalina. Este fato tamb´em ocorre com o CO2 so´lido e, por isto, ele ´e denominado ?gelo seco?. Embora sejam poucas as subst^ancias que se su- blimam nas condic¸o~es ambientes, veri?ca-se que este fen^omeno pode ocorrer com qualquer subst^ancia, dependendo da tempe- ratura e da pressa~o a que ela estiver submetida. O estudo do diagrama de fases, que faremos a seguir, nos permitir´a de?- nir em que condic¸o~es a sublimac¸a~o de um subst^ancia podera´ ocorrer.

Diagrama de Fases Em um laborat´orio ´e poss´?vel determinar, para cada subst^ancia, os valores da pressa~o p e da temperatura T cor- respondentes a cada um dos seus poss´?veis estados. Com estes valores podemos construir um gr´a?co, denominado diagrama de fases, que tem aspecto semelhante ao da ?gura abaixo: Pressao (atm) 1,0

0,0006 Liquida Solida Ponto triplo Vapor 0,01 100 Temperatura ( C) Observa-se que este diagrama esta´ dividido em tr^es regi~oes, indicando a fase So´lida, L´?quida e Vapor. Se nos forem for- necidos os valores da pressa~o e da temperatura em que uma subst^ancia se encontra, o seu diagrama de fases nos permitir´a determinar se ela esta so´lida, l´?quida ou gasosa. Para isto, devemos localizar, neste diagrama, o ponto correspondente ao par de valores de p e T fornecidos. Se este ponto estiver loca- lizado na regi~ao So´lida, a subst^ancia estara´ na fase so´lida, se estiver na regi~ao L´?quida, estara´ na fase l´?quida e se estiver na regi~ao Vapor, na fase gasosa.

Ponto Triplo As linhas que aparecem no diagrama de fases e que os dividem nas regi~oes So´lida, L´?quida e Vapor correspondem a valores de p e T nos quais podemos encontrar a subst^ancia, simultanea- mente, em dois estados. Assim, qualquer ponto da linha T M corresponde a um par de valores de p e T no qual a subst^ancia se apresenta, simultaneamente, nos estados so´lido e l´?quido. A linha T N corresponde ao equil´?brio entre l´?quido e vapor e a li- nha OT , entre so´lido e vapor. O ponto de encontro dessas tr^es linhas (ponto T da ?gura) nos fornece os valores da pressa~o e da temperatura nos quais a subst^ancia pode se apresentar, simultaneamente, nos tr^es estados. Este ponto ´e denominado ponto triplo da subst^ancia. A ´agua, por exemplo, a pressa~o de4,6mmHgeaumatemperaturade0,01?C,podeseren- contrada, simultaneamente, nos estados so´lido, l´?quido e gasoso e, portanto, estes valores correspondem ao seu ponto triplo.

Termodina^mica ? Aula 11 inicialmente, o ga´s real se comporta como um ga´s ideal, isto ´e, Entretanto, apo´s o pist~ao atingir uma certa posic¸a~o, na qual a pressa~o j´a ´e um pouco mais elevada, observa-se que o ga´s real deixa de se comportar como um ga´s ideal. Seu comportamento torna-se mais complexo, exigindo, para descrev^e-lo, equac¸o~es mais so?sticadas do que a equac¸a~o de estado de um ga´s ideal.

Pense um Pouco! · Quanto tempo leva uma naftalina para sumir completa- mente?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (PUC-RS) Se, ao fornecermos calor a um sistema, sob pressa~o constante, observarmos que a temperatura permanece inalterada, podemos a?rmar que o sistema: e) esta´ sofrendo uma mudanc¸a de fase.

2. (UFV) Utilizando-se uma fonte de fornecimento cont´?nuo de calor, aquece-se, `a pressa~o constante de 1 atmosfera, 100 g de gelo, que sa~o transformados em vapor superaquecido. A ?gura seguinte ilustra a variac¸a~o da temperatura do sistema c) Considerando o calor espec´??co do gelo igual a 0, 55 cal/g·?C e o calor latente de fus~ao igual a 80 cal/g, qual ´e a quantidade de calor absorvida pelo sistema, do instante inicial ao instante t2?

T(oC) 0 t t t t t(s) 1234 -40 97

II - Se mA = mB , certamente o calor espec´??co de A ´e maior III - Esta situac¸a~o so´ foi poss´?vel porque os corpos possuem Esta~o CORRETAS: a) I e II b) apenas II c) apenas III d) I, II e III e) SOLUC¸ A~ O A soluc¸a~o desse item ´e uma ana´lise das relac¸o~es abaixo: 1) Q = mc t 2) C = mc 3) Q = C T Onde: c - calor espec´??co Analisemos as a?rmac¸o~es: como A sofreu maior variac¸a~o de temperatura, a massa de A II - Pela equac¸a~o 1), massas iguais =¿ sofre maior variac¸~ao de temperatura o corpo de menor calor espec´??co. Portanto o calor espec´??co de A ´e menor que o de B, pois A sofreu maior III - Pela equac¸a~o 3) veri?ca-se que quantidades de calor iguais, as variac¸o~es de temperaturas sera~o diferentes se as capacida- des t´ermicas forem diferentes. A?rmac¸a~o correta. Portanto, apenas III ´e correta.

Exerc´?cios Complementares 3. (UFV-MG) Sejam dois so´lidos A e B, de massas respecti- vamente a mA e mB, em equil´?brio t´ermico. Cedendo-lhes a mesma quantidade de calor, observa-se que a temperatura do corpo A torna-se maior que a temperatura do corpo B. Na~o se observa mudanc¸a de fase. Sobre essa situac¸a~o sa~o feitas tr^es a?rmativas: I - Se os corpos forem feitos do mesmo material, certamente mA > mB.

Eletricidade ? Aula 1 Eletricidade Aula 1 Carga El´etrica No s´eculo XVIII, Benjamin Franklin veri?cou experimental- mente que existem dois tipos de cargas diferentes, a as batizou como cargas negativas (-) e positivas (+). Nesta ´epoca os cientistas pensavam que a carga era um ?u´?do que podia ser Atualmente, dizer-se que carga el´etrica ´e uma propriedade intr´?nseca de algumas part´?culas. Assim como massa, a carga A experi^encia realizada por Harvey Fletcher e Robert Millikan demonstrou que a quantidade de carga el´etrica ´e uma grandeza quantizada, ou seja, na~o pode assumir qualquer valor. Essa descoberta levou `a conclus~ao de que a quantidade de carga el´etrica Q ´e sempre um nu´mero inteiro n vezes a quantidade de carga elementar e: Q = ne onde e = 1, 60 × 10-19 C. A unidade SI da carga el´etrica ´e o coulomb ou C.

Tipos de Materiais Em relac¸a~o `a eletricidade, os materiais sa~o classi?cados como Para que um material seja condutor de energia el´etrica, ´e necessa´rio que ele possua portadores de carga el´etrica livres (el´etrons, ´?ons positivos ou ´?ons negativos) e mobilidade para esses portadores. Os metais sa~o bons condutores de eletrici- dade, pois possuem el´etrons ?livres?e mobilidade para esses el´etrons; o mesmo acontece com as soluc¸o~es eletrol´?ticas, que apresentam os ´?ons como portadores de carga el´etrica, e com os gases ionizados, que possuem el´etrons e ´?ons como portadores O vidro, a ´agua pura, a madeira e os pl´asticos de modo geral sa~o bons isolantes de eletricidade. Al´em dos condutores e dos isolantes, existem os materiais semi-condutores, como o sil´?cio e o germa^nio.

Eletriza¸c~ao por Atrito Ao atritar vigorosamente dois corpos, A e B, estamos forne- cendo energia e pode haver transfer^encia de el´etrons de um para o outro. Se os corpos atritados esta~o isolados, ou seja, na~o sofrem a in?u^encia de quaisquer outros corpos, as cargas el´etricas cedidas por um sa~o exatamente as adquiridas pelo outro: QA = -QB

Isto ´e, A e B adquirem quantidades de carga el´etrica iguais em m´odulo, mas de sinais contr´arios. A ?gura representa o que acontece quando um pedac¸o de metal ´e atritado com um pano de la~.

99 La La + + + Atrito + + ++ + + + + +

(a) (b) Para que haja eletrizac¸a~o por atrito, uma condic¸a~o necessa´ria ´e que os corpos sejam de materiais diferentes, isto ´e, eles na~o Em Qu´?mica, essa tend^encia ´e traduzida por uma grandeza de- nominada de eletroa?nidade. Os materiais podem ser classi?- cados de acordo com essa tend^encia, elaborando-se a chamada s´erie tribo-el´etricas: + + + Vidro ? Mica ? L~a ? Seda ? Algod~ao ? Ma- deira ? A^ mbar ? Enxofre ? Metais - - - Ao atritarmos dois materiais quaisquer de uma s´erie tribo- el´etrica, o que estiver posicionado `a esquerda ?cara´ eletrizado positivamente; o que estiver `a direita ?cara´ eletrizado negati- vamente. Na eletrizac¸a~o por atrito, pelo menos um dos corpos deve ser isolante. Se atritarmos dois condutores, eles na~o v~ao manter a eletrizac¸a~o.

Eletriza¸c~ao por Contato A e?ci^encia nessa forma de eletrizac¸a~o depende de os corpos serem condutores ou isolantes. Se um dos corpos for isolante, Se os dois corpos forem condutores - um eletrizado e o outro neutro - e colocados em contato, poderemos imagin´a-los como um u´nico corpo eletrizado. A separac¸a~o entre eles resultar´a em dois corpos eletrizados com cargas de mesmo sinal. Na ?- gura, um dos condutores esta´ inicialmente neutro (a eletrizac¸a~o por contato pode ocorrer tamb´em com dois condutores inici- almente eletrizados).

Antes + ++ + + +++ + + + ++ + +++ + + + ++ + + ++ + + ++ + + + + ++ + ++ + Depois ++ + + ++ + ++ ++ + + + ++ + ++ +

(a) (b) (c) Generalizando, podemos a?rmar que, na eletrizac¸a~o por con- tato: · os corpos ?cam ou eletricamente neutros ou com cargas de mesmo sinal;

· quando o sistema ´e formado por corpos isolados das in- ?u^encias externas, a quantidade de carga el´etrica total ?nal ´e igual `a quantidade de carga el´etrica total inicial (princ´?pio da conservac¸a~o de carga el´etrica):

Q?A = Q?B = (QA + QB)/2 Podemos ainda observar que: 1. se os corpos colocados em contato sa~o de tamanhos diferentes, a divis~ao de cargas ´e proporcional `as di- 2. quando um corpo eletrizado ´e colocado em contato com a Terra, ele se torna neutro, uma vez que sua di- Simbolicamente, a ligac¸a~o `a Terra ´e representada conforme a ?gura.

Terra (a) (b) Em (a), o corpo esta´ isolado da Terra e, portanto, mant´em sua carga el´etrica. Quando o contato com a Terra ´e estabelecido (b), o corpo se neutraliza

Eletriza¸c~ao por Indu¸c~ao Nesse tipo de eletrizac¸a~o na~o ha´ contato entre os corpos. Ve- jamos como acontece.

++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + ++ + (a) (b) Primeiramente, precisamos de um corpo eletrizado (a), cha- mado de indutor, que pode ser condutor ou isolante, pois na~o tera´ contato com o outro. O segundo corpo (b) a ser eletri- zado, chamado de induzido, dever´a ser condutor, podendo ser uma soluc¸a~o eletrol´?tica ou dois corpos B1 e B2 ligados eletri- camente.

++ ++ + + + + + + + + ++ ++ + + + + + + + + B1 B2

(a) (b) O indutor (a) eletrizado positivamente, atrai as cargas el´etricas negativas do induzido (b). Assim, na face do induzido mais pr´oxima do indutor, temos acu´mulo de cargas negativas, que na~o chegam ao indutor porque o ar entre eles ´e isolante. Por outro lado, a face do induzido mais afastada do indutor ?ca positiva. A essa altura, podemos nos perguntar se o corpo (b) esta´ eletrizado. Ele na~o esta´, pois o nu´mero de pr´otons no corpo continua igual ao nu´mero de el´etrons. Dizemos que o corpo (b) esta´ induzido, porque houve apenas uma separac¸a~o das cargas. Quando retiramos o indutor, as cargas no induzido se reagrupam e ele volta `a situac¸a~o neutra. Para eletrizar o induzido, devemos, na presenc¸a do indutor, estabelecer o con- tato do induzido (corpo b) com um terceiro corpo, chamado de terra. Esse terceiro corpo pode ser um outro corpo qualquer, at´e mesmo o planeta Terra.

+ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++++ ++++ ++ ++ ++ A - Indutor + + + + +

+ + + B (a) (b) em seguida, afastamos os corpos: o corpo b ?ca eletrizado com carga oposta `a do indutor a.

Pense um Pouco! · Uma pessoa pode levar um pequeno choque ao descer de um carro num dia seco. Explique.

· Atritando-se dois materiais diferentes criamos carga Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Disp~oe-se de tr^es esferas meta´licas id^enticas e isoladas uma da outra. Duas delas, A e B, esta~o neutras, enquanto a es- fera C cont´em uma carga el´etrica Q. Faz-se a esfera C tocar primeiro a esfera A e depois a esfera B. No ?nal desse proce- dimento, qual a carga el´etrica das esferas A, B e C, respecti- vamente?

2. ?S´erie tribo-el´etrica ´e um conjunto de subst^ancias orde- nadas de tal forma que cada uma se eletriza negativamente quando atritada com qualquer uma que a antecede e posi- Exemplo: vidro - mica - la~ - seda - algoda~o - cobre.?Baseado na informac¸a~o acima, responda: a) Atrita-se um pano de la~ numa barra de vidro, inicialmente b) E se o pano de la~ fosse atritado numa esfera de cobre, tamb´em inicialmente neutro?

Eletricidade ? Aula 2 ligada `a terra por um ?o meta´lico. Em seguida, desliga-se o e) A esfera na~o se eletriza, pois na~o houve contato com o basta~o eletrizado.

4. Disp~oe-se de uma esfera condutora eletrizada positiva- mente. Duas outras esferas condutoras, B e C, encontram-se Utilizando os processos de eletrizac¸a~o por induc¸a~o e por con- tato, descreva procedimentos pr´aticos que permitam obter: a) as tr^es esferas eletrizadas positivamente II. A eletrizada po- sitivamente e B negativamente III. A eletrizada negativamente e B positivamente

Exerc´?cios Complementares 101 esfera, ambas condutoras. O isolante impede a passagem de cargas el´etricas da haste para a esfera. Normalmente, as fo- lhas meta´licas sa~o mantidas dentro de um frasco transparente, Eletrostato + ++ + ++ (a) (b) 5. (U. Fortaleza-CE) Um basta~o ´e atritado com um pano. A seguir, repele uma esfera eletrizada negativamente. Pode-se a?rmar corretamente que o basta~o foi eletrizado e) neutralizado, ao aproximar-se da esfera 6. (PUCC-SP) Dispo~e-se de uma barra de vidro, um pano de la~ e duas pequenas esferas condutoras, A e B, apoiadas em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se a barra de vidro com o pano de la~; a seguir coloca-se a barra Apo´s essas operac¸o~es: e) as esferas A e B continuara~o neutras.

7. (UNIRIO-RJ) Uma esfera meta´lica, sustentada por uma haste isolante, encontra-se eletrizada com uma pequena carga el´etrica Q. Uma segunda esfera id^entica e inicialmente descar- regada aproxima-se dela, at´e toca´-la. Apo´s o contato, a carga el´etrica adquirida pela segunda esfera ´e: a) Q/2 b) Q c) 2Q d) 0 e) -Q Eletricidade Aula 2

Eletrosc´opio de Folhas E´ constitu´?do de duas folhas meta´licas, ?nas e ?ex´?veis, liga- das em sua parte superior a uma haste, que se prende a uma Figura 1.1: O eletrosco´pio de folhas (a) na presenc¸a de um basta~o eletrizado negativamente (b) Aproximando-se da esfera o corpo que se quer veri?car, se ele estiver eletrizado, ocorrer´a a induc¸a~o eletrost´atica, ou seja: se o corpo estiver carregado negativamente, ele repele os el´etrons livres da esfera para as la^minas, fazendo com que elas se abram devido `a repulsa~o; se o corpo estiver com cargas positivas, ele atrai os el´etrons livres das la^minas, fazendo tamb´em com que elas se abram, novamente, devido `a repulsa~o.

+ + + + + + ++ Figura 1.2: Na presenc¸a de um basta~o eletrizado positivamente A determinac¸a~o do sinal da carga do corpo em teste, que j´a se sabe estar eletrizado, ´e obtida carregando-se anteriormente o eletrosc´opio com cargas de sinal conhecido. Dessa forma, as la^minas tera~o uma determinada abertura inicial.

acontece devido `a ac¸a~o de forc¸as de natureza el´etrica sobre Essas forc¸as sa~o de ac¸a~o e reac¸a~o e, portanto, t^em a mesma intensidade, a mesma direc¸a~o e sentidos opostos. Deve-se notar tamb´em que, de acordo com o princ´?pio da ac¸a~o e reac¸a~o, elas sa~o forc¸as que agem em corpos diferentes e, portanto, na~o se Charles de Coulomb veri?cou experimentalmente que: As forc¸as de atrac¸a~o ou de repulsa~o entre duas cargas el´etricas puntiformes sa~o diretamente proporcionais ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da dist^ancia que as separa.

A expressa~o matem´atica dessa forc¸a ´e: q1q2 F=k r2 onde q1 e q2 sa~o os m´odulos das cargas el´etricas envolvidas, e k uma constante eletrost´atica que, no SI, para as cargas situadas no v´acuo ´e k = 9 × 109 N · m2/C2

Pense um Pouco! · Baseado na lei de Coulomb, explique como funciona o eletrosc´opio;

· Se dobrarmos a dist^ancia r entre duas cargas dadas, o que acontece com a forc¸a el´etrica entre elas?

· Se colocarmos muitos el´etrons no centro de uma chapa Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Duas esferas condutoras eletrizadas, de pequenas di- mens~oes, atraem-se mutuamente no v´acuo com forc¸a de inten- sidade F ao estarem separadas por certa dist^ancia r. Como se modi?ca intensidade da forc¸a quando a dist^ancia entre as esferas ´e aumentada para 4r?

2. As cargas el´etricas -q e +q?, puntiformes, atraem-se com forc¸a de intensidade F , estando `a distancia r uma da outra no v´acuo. Se a carga q? for substitu´?da por outra -3q? e a dist^ancia entre as cargas for duplicada, como se modi?ca a forc¸a de interac¸a~o el´etrica entre elas?

3. Considere um eletrosc´opio de folhas descarregado. Explique o que acontece quando um corpo eletrizado negativamente ´e: b) encostado na esfera do eletrosc´opio.

Exerc´?cios Complementares 4. Duas part´?culas eletrizadas com cargas el´etricas de mesmo valor absoluto mas sinais contr´arios atraem-se no v´acuo com forc¸a de intensidade 4, 0 × 10-3 N , quando situadas a 9, 0 cm uma da outra. Determine o valor das cargas, sendo k = 9 × 109 N · m2/C2.

5. (Santa Casa-SP) A ?gura representa um eletrosc´opio de folhas inicialmente descarregado. A esfera E, o suporte S e as folhas F sa~o meta´licos. Inicialmente, o eletrosc´opio esta´ eletricamente descarregado. Uma esfera meta´lica, positiva- mente carregada, ´e aproximada, sem encostar, da esfera do eletrosc´opio. Em qual das seguintes alternativas melhor se representa a con?gurac¸a~o das folhas do eletrosc´opio (e suas cargas), enquanto a esfera positiva estiver perto de sua esfera?

a) E S F blindagem metalica b) c) d)e) 6. Duas cargas puntiformes q1 = -5, 0 µC e q2 = +8, 0 µC Assinale a alternativa correta: a) As cargas se repelem mutuamente b) q2 atrai q1 com mais intensidade do que q1 atrai q2 c) o sistema forma um dipolo d) As cargas se atraem eletricamente e) A forc¸a sobre as cargas sa~o verticais

Eletricidade Aula 3 Campo El´etrico Quando empurramos uma caixa, estamos aplicando sobre ela uma certa forc¸a. Na~o ´e dif´?cil imaginar de que forma essa forc¸a foi transmitida `a caixa, pois de imediato associamos `a aplicac¸a~o da forc¸a o contato travado com a caixa. Pensemos agora na interac¸a~o entre cargas el´etricas: conforme estudamos anteriormente, se aproximarmos de uma carga Q uma outra carga q, que denominaremos carga de prova, veri?caremos a ac¸a~o de uma forc¸a F (atrativa ou repulsiva, conforme os sinais das cargas) sobre a carga q. Nesse caso, na~o ha´ contato entre os corpos, o que torna mais dif´?cil a compreens~ao da forma de transmiss~ao da forc¸a. Durante muito tempo a?rmou-se que a forc¸a eletrost´atica era uma interac¸a~o direta e instanta^nea entre um par de part´?culas eletrizadas, conceito este denominado ac¸a~o a dist^ancia.

Eletricidade ? Aula 3 Se trabalh´assemos apenas com cargas em repouso, a ac¸a~o a dist^ancia nos bastaria para que resolv^essemos a maioria dos problemas do eletromagnetismo. No entanto, o estudo de car- gas em movimento na~o pode ser deixado de lado e nesse caso a teoria da ac¸a~o a dist^ancia ´e falha, sendo necessa´rio buscarmos outra forma de explicar a interac¸a~o el´etrica. E foi com Faraday (1791-1867) que nasceu a id´eia que constitui hoje um dos mais Dizemos que a presenc¸a da carga Q afeta a regi~ao do espac¸o pr´oxima a ela, ou seja, que a carga Q cria nas suas vizinhanc¸as uma ?propriedade?que da´ a essa regi~ao ?algo?mais que atri- butos geom´etricos, ?algo?que transmitira´ a qualquer carga de prova colocada nessa regi~ao a forc¸a el´etrica exercida pela carga Q. Designamos por campo el´etrico tal propriedade. Assim, a Esquematicamente teremos: Ac¸a~o `a dist^ancia: carga ?? carga Teoria de campo: carga ?? campo ?? carga A noc¸a~o de campo ´e utilizada em muitas outras situac¸o~es f´?sicas, como por exemplo a interac¸a~o gravitacional. Na ?gura a seguir, em vez de pensarmos numa atrac¸a~o direta da Terra sobre o corpo de massa m, podemos dizer que a Terra cria em torno de si um campo gravitacional; em outras palavras, a pre- senc¸a da Terra faz com que todos os pontos de sua vizinhanc¸a possuam uma propriedade segundo a qual todo corpo colocado Uma observac¸a~o muito importante deve ser feita: o campo el´etrico num ponto P qualquer da vizinhanc¸a da carga Q, assim como o campo gravitacional num ponto qualquer nas vizinhanc¸as da Terra, existe independentemente da presenc¸a da carga de prova q ou da massa m. Estas apenas testam a exist^encia dos campos el´etrico e gravitacional nos pontos con- siderados.

O Vetor Campo El´etrico O campo el´etrico ´e melhor caracterizado em cada ponto do espac¸o por um vetor E^ , denominado vetor campo el´etrico. A de?nic¸a~o do vetor campo el´etrico ´e tal, que por seu interm´edio poderemos estudar muitas caracter´?sticas do campo el´etrico, a partir do estuco desse vetor num ponto. Consideremos P um ponto gen´erico de um campo el´etrico gerado por uma fonte qualquer. Coloquemos em P , sucessivamente, cargas de prova q1, q2, q3, ..., q. A intensidade da forc¸a el´etrica atuante nas cargas de prova ira´ variar, mas a direc¸a~o da forc¸a sera´ a mesma, conforme indicamos na sequ¨^encia de ?guras seguintes:

F P 2P P

FF 1 qq q 1 2 (a) (b) (c) Conclu´?mos que a relac¸a~o entre a forc¸a e a carga em que ela atua ´e uma caracter´?stica do ponto P considerado, denominada vetor campo el´etrico. Assim, teremos: E = F /q 103

Quanto ao sentido do vetor E, distinguimos dois casos: Podemos concluir, da equac¸a~o, que as unidades de intensidade do vetor campo el´etrico sera~o unidades de forc¸a por unidades de carga. Assim, no sistema internacional de unidades, tere- mos:

Unidade SI por de?nic¸a~o, a unidade de de campo el´etrico ´e E sera´ newton/coulomb, ou seja N/C.

Linhas de Campo A denominac¸a~o linhas de campo ou linhas de forc¸a designa uma Esse artif´?cio foi empregado por Faraday e mesmo hoje pode ser conveniente seu uso.

EE E E E E Apresentamos a seguir a signi?cac¸a~o das linhas de forc¸a:

1. Sa~o linhas trac¸adas de forma que a tangente a cada ponto nos fornece a direc¸a~o de E. Sa~o orientadas no sentido do vetor campo.

2. As linhas de campo sa~o trac¸adas de forma que o nu´mero de linhas que atravessa a unidade de ´area de uma secc¸a~o Dessa forma, onde elas estiverem mais pr´oximas, |E| ´e maior; onde elas estiverem mais afastadas, |E| ´e menor.

E menos intenso E mais intenso As ?guras seguintes mostram linhas de campo de alguns campos el´etricos particulares:

P Q · carga puntiforme negativa: As linhas de campo ?morrem?nas cargas negativas · duas cargas de sinais iguais:

3. Observe que, por de?nic¸a~o, o campo el´etrico ´e u´nico em cada ponto do espac¸o, e portanto, duas linhas de campo nunca se cruzam.

C´alculo do Campo El´etrico Campo de uma Carga Puntiforme O campo el´etrico devido a uma carga puntiforme Q ?xa ´e facilmente determinado analisando-se a ?gura seguinte: No ponto P da ?gura, colocamos urna carga de prova q, o vetor campo el´etrico no ponto P tem intensidade dada por: O campo gerado por uma carga puntiforme Q num ponto P qualquer do espac¸o tem intensidade dada por: FQ E= =k q r2

Utilizando uma linguagem na~o muito rigorosa, podemos dizer que as cargas positivas geram campos de afastamento e as cargas negativas geram campos de aproximac¸a~o.

Campo El´etrico para V´arias de Cargas Se cada uma das cargas estivesse sozinha, originaria no ponto P um campo el´etrico devido `a sua presenc¸a individual. Dado o efeito aditivo da forc¸a el´etrica, o campo el´etrico devido `a pre- senc¸a de n cargas puntiformes sera´ a soma vetorial dos campos produzidos individualmente por cada uma das cargas, isto ´e:

n E = E1 + E2 + E3 + . . . = Ei i=1 Importante: esta soma deve ser feita usando-se a soma de vetores.

E4 Q E2 1 PE 1 Q E3 2E 5

Q 3 QQ 45 Se todas as cargas Qi estiverem sobre uma mesma linha reta, que tamb´em cont´em o ponto P , enta~o a intensidade do campo em P sera´

n Q1 Q2 Q3 E = k + k + k + . . . = kQiri2 r2 r2 r2 1 2 3 i=1

Esta ´e uma soma escalar, mais f´acil de fazer do que a necess´aria no caso anterior.

Eletricidade ? Aula 4 Campo El´etrico Uniforme Trata-se de um campo el´etrico em que o vetor campo el´etrico ´e o mesmo em todos os pontos, o que equivale a dizer que em cada ponto o m´odulo, a direc¸a~o e o sentido do vetor E sera~o os mesmos. Em consequ¨^encia dessa de?nic¸a~o, conclu´?mos que as linhas de campo devem ser retas paralelas orientadas todas Por exemplo, para uma pequena regi~ao do espac¸o, muito longe de uma carga puntiforme, o campo el´etrico se torna quase uni- forme. Pr´oximo `a superf´?cie da Terra, existe um campo el´etrico Este campo ´e quase uniforme, visto em pequena escala (al- guns metros), sobre o cha~o plano.

Pense um Pouco! · Qual as semelhanc¸as e diferenc¸as entre a forc¸a el´etrica e a gravitacional? Fac¸a um paralelo.

· Num sistema de cargas puntiformes ´e poss´?vel se encon- trar algum ponto P onde o campo el´etrico seja nulo? D^e exemplos.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (Fatec-SP) Em um ponto P do espac¸o existe um campo a) Se uma carga de prova de l, 5 µC, positiva, ´e colocada em b) Em que sentido a carga de prova tendera´ a se mover, se for c) Responda `as questo~es a) e b) supondo que a carga de prova seja negativa.

2. (ITA-SP) Uma placa vertical isolante, de dimens~oes muito grandes, esta´ uniformemente carregada. Sabendo-se que o campo el´etrico por ela gerado ´e o mesmo em todos os pon- tos pr´oximos `a placa e que uma pequena esfera de massa 25 gramas, presa por um ?o leve na placa forma o ^angulo de afastamento entre a esfera e a placa ´e de 30??, determinar: a) a forc¸a el´etrica que atua na esfera, supondo que ela se en- b) o campo el´etrico da placa, sabendo-se que a carga na esfera 3. (USP-SP) Uma carga el´etrica puntiforme q = 2 × 10-6 C e de massa 10-5 kg ´e abandonada em repouso num campo b) Qual a velocidade da part´?cula no instante 8, 0 s?

Exerc´?cios Complementares 4. (FUVEST-SP) O diagrama da ?gura seguinte representa a intensidade do campo el´etrico gerado por uma carga punti- forme ?xa no v´acuo, em func¸a~o da dist^ancia d `a carga.

105 b) Determine a intensidade do campo el´etrico em um ponto que dista 30 cm da carga ?xa.

1000 800 600 E(N/C) 400 200 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 d (m)

5. (PUC-SP) Numa certa regi~ao da terra, nas proximidades da superf´?cie, a acelerac¸a~o da gravidade vale 9, 8 m/s2 e o campo eletrost´atico do planeta (que possui carga negativa na regi~ao) vale 100 N/C, e ´e na direc¸a~o vertical, sentido de cima para baixo. Determine o sinal e o valor da carga el´etrica que uma bolinha de gude, de massa 50 g, deveria ter para permane- cer suspensa em repouso, acima do solo. Considere o campo el´etrico praticamente uniforme no local e despreze qualquer outra forc¸a atuando sobre a bolinha.

6. (Mackenzie-SP) Existe um campo el´etrico E apontando para baixo, na atmosfera terrestre, com uma intensidade m´edia de 100 N/C. Deseja-se fazer ?utuar nesse campo uma esfera de enxofre de 0, 5kg. Que carga (mo´dulo e sinal) precisa ter a esfera?

Eletricidade Aula 4 Potencial El´etrico Diferen¸ca de Potencial Consideremos positiva uma carga que se desloca de A para B, em equil´?brio, ou seja, faz-se uma forc¸a externa Fext. tal que anule a forc¸a el´etrica FE sobre a carga:

Fext. = -FE Ao trabalho realizado pelo agente externo Wext. por unidade de carga que se desloca de A para B, denominamos diferenc¸a de potencial ou tensa~o el´etrica de A para B, habitualmente Assim, matematicamente teremos: W A?B W A?B VB - VA = ext. = - E qq Sendo o trabalho W e q grandezas escalares, a diferenc¸a de O trabalho W A?B independe da trajet´oria escolhida entre os E pontos A e B, e isso ´e um resultado decorrente do fato de a forc¸a el´etrica ser conservativa.

Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de diferenc¸a de potencial (d.d.p.) sera´ o joule/ coulomb, que ´e denominada Assim, uma d.d.p. de 110 V entre dois pontos indica que o campo (forc¸a el´etrica) realiza um trabalho de 110 J sobre cada Para analisar o sinal da d.d.p., tente imaginar voc^e realizando o movimento de uma carga de prova entre os pontos A e B, e observe os sentidos da forc¸a externa e do deslocamento. Por exemplo, se voc^e deslocar uma carga positiva, contra o campo el´etrico numa determinada regi~ao, observar´a que sera´ realizado um trabalho externo positivo, e o potencial da carga deslocada aumenta, porque ela foi deslocada para uma regi~ao de maior potencial.

Potencial El´etrico Gerado por uma Carga Puntiforme Para calcularmos o trabalho W A?B realizado sobre a carga E +q, sendo deslocada pr´oximo a` uma carga puntiforme Q, de- vemos utilizar conceitos matem´aticos que o estudante ver´a em seu curso superior: trata-se do ca´lculo integral, que, utilizado neste caso, nos fornecera´ como resultado:

11 WEA?B = -kQq - rB rA Dessa maneira a diferenc¸a de potencial no caminho de A para B sera´:

W A?B 1 1 VA?B = VB - VA = - ext. = kQ - q rB rA

Se quisermos determinar o potencial de um dos pontos, por exemplo, B, fac¸amos rA tender ao in?nito, onde supomos que o potencial seja nulo. Quando isso acontece

Q VB = k rB Essa equac¸a~o fornece o potencial de B em relac¸a~o a um ponto no in?nito. Se nos depararmos com uma con?gurac¸a~o de n cargas puntiformes, o potencial num ponto P dessa regi~ao sera´ a soma alg´ebrica dos potenciais devidos a cada carga, isto ´e:

n Q1 Q2 Qn Qi VP = k + + . . . + = k r1 r2 rn ri i=1

Potencial dentro de um Campo El´etrico Seja q uma carga positiva que se desloca de A para B sobre uma linha de forc¸a do campo uniforme mostrado na ?gura seguinte: F A extF EB +q

E Como o campo ´e uniforme, a forc¸a el´etrica que atua na carga q ´e constante e tera´ intensidade dada por: F = qE Sabemos, da meca^nica, que o trabalho realizado por uma forc¸a constante e paralela ao deslocamento e dado por W A?B = -FE · d ext.

Enta~o a d.d.p. entre os pontos A e B, de A para B, sera´: VB - VA = -E · d

e neste caso dizemos que a tensa~o cai de A para B. Em geral, A relac¸a~o obtida acima ´e de grande utilidade, uma vez que, conhecida a d.d.p. e o deslocamento, obteremos facilmente o campo el´etrico. Observe que o campo el´etrico podera´ ser expresso tamb´em em volt/metro. Procure demonstrar que l N/C = l V /m.

Rigidez Diel´etrica Sabe-se que o ar ´e isolante, por´em quando submetido a um grande campo el´etrico, algumas mol´eculas sa~o ionizadas e o ar se torna condutor. A esse limite de campo el´etrico m´aximo que um isolante suporta chamamos de rigidez diel´etrica ou Emax. Para o ar de Jonville, sempre muito u´mido, temos Emax ? 800 v/mm.

Pense um Pouco! · Voc^e saberia responder o valor da d.d.p. (diferenc¸a de potencial) entre o cha~o e uma nuvem, num raio?

· Qual a d.d.p. m´axima entre dois ?os paralelos, separados · Num dado instante, a d.d.p. entre os eletrodos de uma tomada ´e de 200 V . O que signi?ca isso ?sicamente?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Qual o potencial de um ponto P , situado a 20 cm de uma carga positiva de campo cujo valor ´e 4, 0 × l0-6 C?

Eletricidade ? Aula 5 a) Calcule o potencial no ponto P , situado na metade do seg- b) Calcule o m´odulo, a direc¸a~o e o sentido do vetor campo c) O que se pode concluir dos resultados obtidos com esses ca´lculos?

3. (UFSC-SC) O campo el´etrico no interior de um sistema de placas paralelas eletrizadas com cargas de sinais contr´arios ´e um bom exemplo de campo el´etrico uniforme. Na ?gura seguinte, a dist^ancia entre os pontos A e B vale 5 cm e a b) Se o ponto A for tomado como n´?vel de refer^encia para o potencial (V = 0), qual sera´ o potencial do ponto B?

E AB Exerc´?cios Complementares 4. (ACAFE-SC) No v´acuo, um pequeno corpo eletrizado com carga el´etrica Q cria um potencial igual a +3000 V num ponto A, situado a 30 cm de Q. Sendo k = 9 × 109 N · m2/C2, determine: b) a intensidade do vetor campo el´etrico no ponto A.

5. (UFRS-RS) Temos as cargas Q1, Q2 e Q3 dispostas nos v´ertices de um reta^ngulo de lados 6 cm e 8 cm. Calcule o potencial el´etrico total no v´ertice A, que na~o cont´em nenhuma carga. Dados: Q1 = 8 µC, Q2 = 16 µC, Q3 = -12 µC e k = 9 × 109 N · m2/C2.

6. (IME-RJ) Calcular o trabalho das forc¸as do campo el´etrico de uma carga puntiforme Q = 5 µC para transportar ou- tra carga puntiforme q = 2, 0 µC de um ponto A a ou- tro B, distantes 1, 0 m e 2, 0 m da carga Q, respectiva- mente. Esse trabalho ´e positivo ou negativo? Explique. Dado: k = 9 × 109 N · m2/C2.

Eletricidade Aula 5 Superf´?cies Equipotenciais Denomina-se superf´?cie equipotencial ao lugar geom´etrico dos pontos que t^em mesmo potencial el´etrico. Nenhum trabalho ´e realizado no deslocamento de uma carga de prova entre dois Para aumentar a separac¸a~o entre as cargas, ´e preciso que um agente externo realize um trabalho, cujo sinal podera´ ser po- sitivo ou negativo, conforme sejam as cargas de sinais iguais 107

ou opostos. Como sabemos, a esse trabalho corresponde uma energia armazenada no sistema sob a forma de energia poten- cial el´etrica. Assim, de?niremos a energia potencial el´etrica de um sistema de cargas el´etricas puntiformes como sendo o trabalho externo realizado para traz^e-las em equil´?brio de uma separac¸a~o in?nita at´e a con?gurac¸a~o atual.

equipotencial linha de campo E V 1 V 2 V 3 V 4 O potencial el´etrico que uma carga q1 origina no ponto P , a uma dist^ancia r da carga, ´e dado por: kq1 V1 = r Imaginemos, agora, que uma segunda carga q2 foi trazida do in?nito at´e o ponto P . O trabalho realizado para tal ´e, segundo a de?nic¸a~o de potencial el´etrico: W2 = q2V1

Como o trabalho ´e a pr´opria energia potencial el´etrica Epot do sistema de cargas {q1, q2}, enta~o

kq1q2 Epot = r12 Pense um Pouco! · Como seriam as superf´?cies equipotenciais de uma carga puntiforme?

· Qual o trabalho necessa´rio para se deslocar uma carga q? em torno de uma carga ?xa q, mantendo-se a dist^ancia ?xa entre elas?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (FATEC-SP) Sabe-se que a carga do pr´oton ´e igual em valor absoluto `a do el´etron, tendo no entanto sinal contr´ario ao da referida carga. Um pr´oton tem velocidade relativa zero em relac¸a~o a um el´etron. Quando eles estiverem separados pela dist^ancia 10-13 cm, calcule a energia potencial do sistema.

V (volts) 150 100 50 0 -1.0 -0.5 0.0 x (m) 0.5 1.0 0.5 0.0 y (m) -0.5 -1.0 1.0

Figura 1.1: O potencial el´etrico em torno de uma carga pun- tual positiva q = +1 nC. Na base esta~o as equipotenciais, indicando no c´?rculo maior onde V = +10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

V (volts) 0 -50 -100 -150 1.0 0.5 -1.0 -0.5-0.5 0.0 x (m) 0.5 -1.0 1.0 0.0 y (m)

Figura 1.2: O potencial el´etrico em torno de uma carga pun- tual positiva q = -1 nC. Na base esta~o as equipotenciais, indicando no c´?rculo maior onde V = -10 V . Masca-se as equipotenciais a cada 20 V .

2. (IME-RJ) Tr^es cargas q1, q2 e q3 esta~o dispostas, uma em cada v´ertice de um tria^ngulo equila´tero de lado a. Qual a energia potencial do sistema? Suponha em q1 = 1, 0 µC, q2 = -4, 0 µC, q3 = 2, 0 µC e a = 10 cm.

3. No esquema abaixo representamos as superf´?cies equipoten- ciais e as linhas de forc¸a no campo de uma carga el´etrica pun- V2 = 30 V ; V3 = 20 V , e do centro da carga at´e V2 a dist^ancia r = 0, 30 m. Determine: b) a d.d.p. encontrada no caminho da superf´?cie com V1 at´e a c) o trabalho da forc¸a el´etrica que atua sobre uma carga de prova q? = +1, 0 µC ao ser deslocada de V2 para V3.

Eletricidade ? Aula 6 Exerc´?cios Complementares 4. (USP-SP) Uma part´?cula de massa m e carga el´etrica q > 0 esta´ em equil´?brio entre duas placas planas, paralelas e hori- zontais, e eletrizadas com cargas de sinais opostos. A dist^ancia a) Determine a diferenc¸a de potencial entre as placas em func¸a~o b) Qual placa tem o maior potencial? Explique.

5. (FEI-SP) Uma part´?cula da massa m = 200 mg e carga q = +1µC ´e abandonada num ponto A e se dirige a outro B. Sendo de -100 V a diferenc¸a de potencial de A e B, a velocidade com que a part´?cula alcanc¸a B ´e: a) 5, 0 m/s b) 4, 0 m/s c) 3, 0 m/s d) 2, 0 m/s e) 1, 0 m/s 6. (Santa Casa-SP) Sabe-se que a massa do el´etron ´e 9, 1 × 10-31 kg, que sua carga el´etrica vale -1, 6 × 10-19 C e que a diferenc¸a de potencial entre os ponto A at´e B ´e 100 V . Um el´etron ´e abandonado em B sob a ac¸a~o exclusiva do campo el´etrico. O m´odulo da velocidade do el´etron ao atingir o ponto A ´e um valor mais pr´oximo de: a) 36 × 1012 m/s b) 6, 0 × 1012m/s c) 6, 0 × 106 m/s d) 35 × 106m/s e) 6, 0m/s

Eletricidade Aula 6 Condutores em Equil´?brio Vamos estudar o campo el´etrico e o potencial el´etrico de uma distribuic¸a~o de cargas em um condutor em equil´?brio ele- Para estudar os campos el´etricos, vamos usar na~o sistemas de cargas puntiformes e sim distribuic¸o~es de cargas em conduto- res. Deve-se considerar que estes esta~o em equil´?brio ele- trost´atico, ou seja, nenhuma carga esta´ sendo colocada ou retirada do condutor, e todo o movimento interno de cargas ja´ cessou.

Equil´?brio Eletrost´atico Um condutor esta´ em equil´?brio eletrost´atico quando nele na~o ocorre movimento ordenado de cargas el´etricas. Fornecendo-se ao condutor representado em corte da Fig. 1.1, uma a carga el´etrica Q, a repulsa~o mu´tua das cargas elementares que cons- tituem Q faz com que elas ?quem ta~o longe uma da outra quanto poss´?vel. O maior afastamento poss´?vel corresponde a uma distribuic¸a~o de cargas na superf´?cie externa do condu- tor, situac¸a~o, alia´s, que destacamos nas ?guras de condutores que at´e agora apareceram em nossas aulas. Nessa con?gurac¸a~o de cargas, todas na superf´?cie, o condutor possui a sua menor energia potencial el´etrica.

109 + + linha de C + campo + B+ + ++ metal eletrizado ++ ++ ++ ++ + + tangente `a E A + superficie + ++ ++

+ ++++ O Campo Interno No interior de um condutor eletrizado, de qualquer formato, o Isso pode ser constatado simplesmente notando que, se hou- vesse campo el´etrico no interior do condutor, ele agiria nos el´etrons livres, os quais teriam um movimento ordenado sob sua in?u^encia, contrariando o conceito de condutor em equil´?brio eletrost´atico.

O Campo Externo Contudo, da sua superf´?cie para fora, o campo el´etrico na~o sera´ nulo. Por´em, nesses pontos, o vetor campo el´etrico E deve ser normal `a superf´?cie, como em A, na Fig. 1.1. Se o vetor campo fosse como E? no ponto B da mesma ?gura, ele teria uma componente tangencial `a superf´?cie do condutor, o que provocaria movimento ordenado de cargas ao longo da superf´?cie.

O Poder das Pontas Nas regi~oes pontiagudas de um condutor carregado (regia~o C da Fig. 1.1), a densidade de carga, isto ´e, a concentrac¸a~o de Por isso, nas pontas e em suas vizinhanc¸as o campo el´etrico ´e Quando o campo el´etrico nas vizinhanc¸as da ponta atinge de- terminado valor, o ar em sua volta se ioniza e o condutor se descarrega atrav´es da ponta. Esse feno^meno recebe o nome de ?poder das pontas?. E´ nele que se baseia, por exemplo, o funcionamento dos pa´ra-raios.

Condutor Oco Evidentemente, na~o importa se o condutor ´e macic¸o ou oco (Fig. 1.2): o campo el´etrico no interior do metal ´e sempre nulo e as cargas se distribuem na sua superf´?cie externa.

++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ ++ + + + + + + + ++ ++ Uma tela meta´lica envolvendo certa regi~ao do espac¸o tamb´em constitui uma blindagem satisfato´ria ? a chamada ?gaiola de A blindagem eletrost´atica ´e muito utilizada para a protec¸a~o de aparelhos el´etricos e eletro^nicos contra efeitos externos per- turbadores. Os aparelhos de medidas sens´?veis esta~o acondici- onados em caixas meta´licas, para que as medidas na~o sofram in?u^encias externas. As estruturas meta´licas de um avia~o, de um automo´vel e de um pr´edio constituem blindagens ele- trosta´ticas.

Condutor Esf´erico Para se determinar o vetor campo el´etrico e o potencial el´etrico em pontos externos a um condutor esf´erico eletrizado, sup~oe-se sua carga Q puntiforme e concentrada no centro: Q Eext = k r2 e Q Vext = k r O potencial el´etrico do condutor esf´erico de raio R ´e o potencial de qualquer ponto interno ou super?cial, sendo dado pelo valor ?xo: Q Vint, sup = k R

Blindagem Eletrost´atica Considere um condutor oco A em equil´?brio eletrost´atico e, em seu interior, o corpo C (Fig. 1.3). Como o campo el´etrico no interior de qualquer condutor em equil´?brio eletrost´atico ´e nulo, decorre que A protege o corpo C, no seu interior, de qualquer ac¸a~o el´etrica externa. Mesmo um corpo eletrizado B externo induz cargas em A, mas na~o em C. Desse modo, o condutor A constitui uma blindagem eletrost´atica para o corpo C.

A C O pa´ra-raios tem por ?nalidade oferecer um caminho mais e?- ciente para as descargas el´etricas, protegendo casas, edif´?cios, dep´ositos de combust´?veis, linhas de transmiss~ao de energia el´etrica, etc.

Saiba Mais O pa´ra-raio foi criado por BENJAMIN FRANKLIN (l706- 1790). pol´?tico, escritor e cientista norte-americano. Atual- mente, ´e constitu´?do essencialmente de uma haste condutora disposta verticalmente na parte mais alta da estrutura a ser protegida. A extremidade superior da haste apresenta uma ou mais pontas de material com elevado ponto de fus~ao, a outra extremidade da haste ´e ligada, atrav´es de condutores meta´licos, a barras meta´licas que se encontram cravadas, pro- fundamente no solo. Se uma nuvem eletrizada estiver sobre as pontas do pa´ra-raios, induz nelas cargas el´etricas inten- Produz-se a descarga principal atrav´es do pa´ra-raios.

Eletricidade ? Aula 7 Pense um Pouco! · Por que durante uma tempestade para se proteger das chuvas ´e mais seguro ?car dentro do carro que debaixo de uma ´arvore?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (Cefet-BA) Considere um condutor meta´lico com a forma indicada na ?gura. O condutor esta´ eletrizado positivamente b) ( ) A densidade de cargas el´etricas ´e maior em C do que e) ( ) As cargas el´etricas em excesso distribuem-se na superf´?cie ++ ++ ++ ++A C + ++ B+ + + + +++ 111

2. Considere uma esfera meta´lica oca provida de um orif´?cio e eletrizada com carga Q. Uma pequena esfera meta´lica neutra ´e colocada em contato com a primeira. Quais sa~o as a?rmac¸o~es c) ( ) Se a pequena esfera estivesse eletrizada, apo´s um contato d) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, sem tocar na esfera e) ( ) Se aproximarmos a pequena esfera, a distribuic¸a~o de cargas na esfera oca se altera.

3. (Efei-MG) Um condutor esf´erico de raio R = 30 cm esta´ eletrizado com carga el´etrica Q = 6, 0 nC. O meio ´e o v´acuo (k = 9, 0 × 109 N · m2/C2). Determine: a) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico b) o potencial el´etrico e a intensidade do vetor campo el´etrico num ponto externo e situado a 50 cm do centro da esfera.

Exerc´?cios Complementares 4. (Efei-MG) Duas esferas meta´licas, A e B, de raios R e 3R, esta~o eletrizadas com cargas 2Q e Q, respectivamente. As esferas esta~o separadas de modo a na~o haver induc¸a~o entre elas b) Qual o potencial el´etrico de cada esfera, depois do contato?

5. (ACAFE-SC) Duas esferas meta´licas, A e B, de raios 10 cm e 20 cm, esta~o eletrizadas com cargas el´etricas 5, 0 nC e Determine, apo´s atingir o equil´?brio eletrost´atico: Explique.

6. (UNICAMP-SP) Conhecidas duas esferas meta´licas id^enticas, A e B, de cargas el´etricas 5, 0 × 10-6 C e 3, 0 × 10-6 C, respectivamente. As esferas sa~o colocadas em con- a) Determine o nu´mero de el´etrons que passou de um condutor b) Qual das esferas recebe el´etrons?

7. Sabendo-se que existe um campo el´etrico na superf´?cie da Terra, vertical para baixo igual a 100 N/C. Dado o raio da Terra R = 6.400 km, determine: b) A carga el´etrica total da Terra.

Capacidade El´etrica Denomina-se capacidade el´etrica ou capacit^ancia de um corpo Da mesma forma que a quantidade de moles de um ga´s que um bala~o pode conter depende da pressa~o a que o ga´s estiver submetido e tamb´em das dimens~oes e forma do bala~o, a capa- A experi^encia mostra que, se fornecemos a um condutor cargas Q1, Q2, Q3, ..., Q, o potencial adquirido pelo mesmo sera´ V1, V2, V3, ..., V , sempre proporcionais `a carga Q fornecida. Isso ++ + + + +Q + + + + +V + + +- ++ + ++

Figura 1.1: Capacitor meta´lico carregado com carga positiva +Q.

Essa constante de proporcionalidade C ´e denominada capa- Unidades SI No Sistema Internacional de Unidades (SI), temos: 1 F = 1 f araday = 1 coulomb/1 volt = 1 F arad A capacit^ancia de um condutor que recebe uma carga de Na pr´atica, os capacitores tem capacit^ancia da ordem t´?pica de µF arad.

Capacitores Na pr´atica, ´e imposs´?vel obter condutores de capacit^ancia elevada, sem que suas dimens~oes sejam extraordinariamente grandes. No entanto, ´e poss´?vel obtermos dispositivos, de di- mens~oes pequenas, capazes de armazenar uma razo´avel quanti- Esses dispositivos sa~o denominados capacitares ou conden- Um capacitor ´e um par de condutores, separados por um iso- Os condutores que constituem o capacitor sa~o denominados A classi?cac¸a~o dos capacitores ´e dada em func¸a~o da forma de suas armaduras e da natureza do diel´etrico que existe entre as Em todo capacitor, existe uma relac¸a~o constante entre o m´odulo da carga (que ´e a mesma em valor absoluto nas duas armaduras) e a d.d.p. V entre as armaduras. Essa relac¸a~o ´e denominada capacit^ancia do condensador.

C = Q/V Num circuito, os capacitores sera~o representados por duas bar- ras paralelas.

Capacitores Planos O capacitor plano ´e constitu´?do por placas condutoras planas e paralelas, separadas por um diel´etrico qualquer (ar, mica, papel, pol´?meros, etc.)

Placa Condutora Material Isolante Placa Condutora Seja A a ´area de cada armadura e d a dist^ancia entre as mes- mas. Consideremos inicialmente que haja v´acuo entre as pla- cas. E´ poss´?vel demonstrar, mediante a aplicac¸a~o da lei de Gauss, que o campo uniforme que existe entre as placas ´e dado por: Q E= ?0A onde ?0 ´e a constante de permissividade el´etrica do v´acuo, ?0 = 8, 85 × 1O-12 F/m

Relac¸~ao Entre k e ?0 As constantes k, a constante el´etrica da lei de Faraday, e ?0, a permissividade el´etrica do v´acuo, esta~o intimamente relaci- onadas, e pode-se mostrar que: 1 k= 4??0

e como ?0 ´e dado em F/m, enta~o pode-se escrever a constante k em m/F , j´a que estas constantes sa~o inversamente propor- ++ + +A+ + + + + ++ +Q + + + + + + + + + + +d

Eletricidade ? Aula 8 Observe que a capacit^ancia obtida ´e diretamente proporcio- nal `a ´area A das placas, e inversamente proporcional `a sua Se, em vez de ar ou v´acuo, houver entre as armaduras um diel´etrico de constante diel´etrica b, a capacit^ancia de um con- densador plano sera´ maior, dada por: b?0A C= d Para que o diel´etrico tenha efeito sobre a capacit^ancia, ele Alguns diel´etricos como a mica e poli´ester chegam a aumentar a capacit^ancia em at´e 100 vezes o seu valor no v´acuo (sem diel´etrico).

Capacitor Esf´erico Simples Se construirmos um capacitor com uma esfera simples condu- tora de raio R, sua capacit^ancia sera´ QQR C = = = = 4??0R V kQ/R k ou seja, a capacit^ancia da esfera ´e diretamente proporcional + + + Q + ++ ++ +R ++ ++ + +++ ++ +++ Capacitor Es´ferico + + Exemplo Vamos calcular a capacit^ancia de uma esfera condutora de raio R 1, 0 m C = = ? 0, 11 nF k 9, 0 × 109 m/F Como C = R/k enta~o R = kC = (9, 0 × 109 m/F )(1, 0 F ) = 9, 0 × 109 m Se compararmos esse valor com o raio da Terra, cerca de 6.4 × 106 m, veremos que o capacitor teria que ter um raio com aproximadamente 1.400 vezes maior que a Terra!

Pense um Pouco! · Se tentarmos afastar as placas (armaduras) de um capa- citor carregado, realizaremos algum trabalho?

· Se conectarmos duas esferas meta´licas id^enticas de capa- Comente.

· A capacit^ancia de um corpo meta´lico depende dele ser oco ou macic¸o? Explique.

113 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Tr^es condutores, de capacidades 2 pF , 3 pF e 5 pF , esta~o eletrizados com cargas de 4 µC, 12 µC e -20 µC, respectiva- a) Determine os potenciais el´etricos desses corpos.

2. (FUVEST-SP) Um capacitor plano tem uma capacit^ancia C. Entre suas armaduras ha´ uma dist^ancia d. Qual sera´ sua capacidade se a dist^ancia entre suas placas for aumentada para 2d?

3. (UFBA) Um capacitor plano possui capacidade C = 100 pF , ´area das armaduras A = 100 cm2, e diel´etrico com ? = 5. Quando a ddp entre as armaduras for igual a 50V , cal- Dado: ?0 = 8, 85 × 1O-12 F/m.

Exerc´?cios Complementares 4. (UFPR) Uma part´?cula de massa 2, 0 × 10-10 kg com carga positiva e igual a 2, 0 × 1O-6 C penetra atrav´es de um orif´?cio, com velocidade de 1, 0 × 104 m/s, numa regi~ao onde A dist^ancia entre as placas vale 10 cm. Determine a energia cin´etica com que a part´?cula atinge a segunda placa, andando contra o campo el´etrico.

5. (UEL-PR) Um capacitor de capacidade C exibe, entre seus terminais, uma diferenc¸a de potencial V . A carga el´etrica ar- mazenada nesse capacitor ´e dada por: a) C/V b) V /C c) C2V d) CV 2 e) CV 6. (Puccamp-SP) Um capacitor de 8, 0 × 10-6 F ´e sujeito a uma diferenc¸a de potencial de 30 V . A carga que ele acumulou vale: a) 1, 2 × 10-4 C b) 2, 4 × 10-4 C c) 2, 7 × 10-7 C d) 3, 7 × 106 C e) 7, 4 × 106 C 7. (UF-ES) Um equipamento el´etrico cont´em duas pilhas de 1, 5 V em s´erie, que carregam um capacitor de capacit^ancia 6, 0 × 10-5 F . Qual a carga el´etrica que se acumula no capa- citor, em coulombs?

Eletricidade Aula 8 Associa¸c~ao de Capacitores Assim como os aparelhos em geral, os capacitores podem ser associados de v´arios modos, sendo os principais em s´erie e em paralelo. Se numa associac¸a~o encontramos ambos os tipos, chamaremos de associac¸a~o mista.

Associa¸c~ao de Capacitores em S´erie CC 12 a b

Série C 1 a b C 2 Paralelo C 1C 3

a b C 2 Misto (a) (b) (c)

Figura 1.1: Associa¸ca~o de capacitores em s´erie (a), em paralelo (b) e mista (c).

Na associac¸a~o em s´erie, ver Fig. 1.1 (a), quando uma fonte bateria de tensa~o V ´e ligada nos terminais a e b, as cargas removidas de um terminal sera~o deslocadas para o outro, ou seja, as cargas em ambos os terminais sa~o de mesmo m´odulo: Q1 = Q2 = Q

. Enta~o QQ V1 = e V2 = C1 C2 Os capacitores adquirem diferentes d.d.p. V1 e V2, respectiva- mente, tal que V = V1 + V2 e assim QQQ =+ Cser. C1 C2 e enta~o a capacidade equivalente ´e dada por: 111 =+ Cser. C1 C2 Propriedades · Na associac¸a~o em s´erie, a capacit^ancia equivalente do con- junto, Cser. sera´ menor do que a menor das capacit^ancias utilizadas;

· Como as cargas sa~o iguais nos dois capacitores em s´erie, a d.d.p. do maior capacitor sera´ a menor;

· Se os capacitores ligados em s´erie forem iguais C1 = C2 = C, a d.d.p. de ambos sera´ igual a V/2 e a capacit^ancia equivalente sera´ Cser. = C/2, a metade da capacit^ancia de um dos capacitores;

· Para uma associac¸a~o em s´erie de n capacitores teremos n 11111 = + +...+ = Cser. C1 C2 Cn Ci i=1

Associa¸c~ao de Capacitores em Paralelo Neste caso, como os terminais de ambos os capacitores sa~o ligados nos mesmo pontos a e b, conectados a uma bateria de tensa~o V , a placa positiva de cada capacitor esta´ ligada `a placa positiva do outro, o mesmo acontecendo com as placas negativas.

Observamos que a mesma d.d.p. V ´e aplicada aos capacitores V = V1 = V2 Cada capacitor adquire uma carga parcial: Q = Q1 + Q2 A capacidade equivalente ´e dada por: Cpar. = C1 + C2

Propriedades · Na associac¸a~o em paralelo, a capacit^ancia equivalente do conjunto, Cpar. sera´ maior do que a maior das capa- cita^ncias utilizadas;

· Como as tenso~es sa~o iguais nos dois capacitores em para- lelo, a carga do maior capacitor sera´ a maior das cargas;

· Se os capacitores ligados em paralelo forem iguais C1 = C2 = C, a carga de ambos sera´ a mesma e a capacit^ancia equivalente sera´ Cpar. = 2C, o dobro da capacit^ancia de um dos capacitores;

· Para uma associac¸a~o em paralelo de n capacitores teremos

Eletricidade ? Aula 9 Pense um Pouco! · Algu´em disse que os ?os usados em circuitos el´etricos ser- vem para igualar o potencial el´etrico nas partes conecta- das nas suas duas pontas. O que voc^e acha disso?

· Na ?gura 1.1, imagine que se conecte nos terminais a e b, os terminais (po´los) de uma bateria de tensa~o V . Sobre a ?gura, pinte de uma cor todas as partes que tem o mesmo potencial el´etrico de a, e de outra cor as partes que tem o mesmo potencial de b. Observe o conclua voc^e mesmo.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UERJ) Uma associac¸a~o de l.000 capacitores de 10 µF cada um, associados em paralelo, ´e utilizada para armaze- nar energia. Qual o custo para se carregar esse conjunto at´e 50.000 volts, supondo-se R$ l,00 o prec¸o do kW · h?

2. (FAAP-SP) Associam-se em s´erie tr^es capacitores neutros Calcule a capacit^ancia equivalente do sistema.

3. Calcule a capacit^ancia equivalente da associac¸a~o mista mostrada na Fig. 1.1 (c), para os capacitores C1 = 20 µF , C2 = 10 µF e C3 = 40 µF .

Exerc´?cios Complementares 4. (FCC-BA) Determine a energia acumulada num conjunto de capacitores com capacit^ancia total de 2.000 µF e sob tensa~o de 900 V .

5. (UCS-RS) Dois capacitores de capacit^ancia C1 = 6, 0 µF e C2 = 3, 0 µF sa~o associados em paralelo e a associac¸a~o ´e submetida a uma d.d.p. V. O capacitor de capacit^ancia C1 se eletriza com carga el´etrica Q1 = 1, 2 × 10-4 C, e o de capacit^ancia C2, com carga el´etrica Q2. Determine V e Q2.

6. (Acafe-SC) Qual a d.d.p. que deve ser aplicada a um capa- citor, de capacit^ancia 2, 0 µF , a ?m de que armazene energia potencial el´etrica de 2, 5 × 10-3 J ?

7. (UESB-BA) Um capacitor de um circuito de televis~ao tem uma capacit^ancia de 1, 2 µF . Sendo a diferenc¸a de potencial entre seus terminais de 3.000 V , a energia que ele armazena ´e de: a) 6, 7 J b) 5, 4 J c) 4, 6 J d) 3, 9 J e) 2, 8 J

Eletricidade Aula 9 115 Corrente El´etrica Num material condutor, mesmo descarregado do ponto de vista el´etrico, existem alguns el´etrons chamados livres que podem se deslocar dentro do material, passando de um ´atomo para outro. Mesmo havendo equil´?brio de cargas dentro de um condutor, os el´etrons livres ?cam o tempo o todo em mo- vimento aleato´rio dentro do material, mantendo em m´edia, o Quando todos os el´etrons livres forem forc¸ados a se deslocar numa dada direc¸a~o espec´??ca, ao longo de um ?o condutor, por exemplo, enta~o teremos uma corrente el´etrica i.

+++ +R + + +Q ++ ++ ++ i Figura 1.1: O sentido da corrente i, e o movimento dos el´etrons num ?o.

Por convenc¸a~o, indica-se num ?o o sentido da corrente i por uma ?echa, no sentido contr´ario ao movimento dos el´etrons! Isto porque, historicamente, as cargas foram batizadas por Benjamin Franklin no s´ec. XVIII, como positivas e nega- tivas, e se acreditava que as cargas positivas ´e que se moviam Do ponto de vista f´?sico, ´e equivalente se pensar em el´etrons se movendo num sentido, ou pr´otons se movendo no sentido contr´ario.

Unidade de Corrente No Sistema Internacional, medimos a corrente em amp`eres ou A: 1 A = 1 coulomb/s = 1 C/s ou seja, para uma corrente de 1 amp`ere, ha´ um ?uxo de carga de 1 coulomb por segundo, atravessando a secc¸a~o reta de um condutor.

Lei de Ohm De?ne-se a resist^encia el´etrica R de um condutor, ligando suas extremidades numa diferenc¸a de potencial V e medindo a cor- Segundo a lei de Ohm, quanto menor a corrente el´etrica obtida, maior a resist^encia do condutor, e vice-versa: R = V /i Se a resist^encia R assim de?nida for independente da tensa~o e da corrente usada, ou seja, se for constante, o resistor ´e Para os materiais considerados bons condutores, como os me- tais, a resist^encia el´etrica sera´ baixa, em geral pr´oxima de zero.

Para os materiais isolantes, como a borracha, a resist^encia A resist^encia de um resistor depende de sua forma f´?sica, de suas dimens~oes e do material de que ´e feito. Em geral, quanto mais ?no e longo um ?o, maior sua resist^encia el´etrica.

Unidade de Resist^encia No Sistema Internacional, medimos a resist^encia el´etrica em ohms ou : 1 = 1 volt/amp`ere = 1 V /A ou seja, se para uma tensa~o de 1 volt se obt´em uma corrente de 1 amp`ere, enta~o o resistor tem resist^encia de 1 ohm.

Circuitos Simples Quando ligamos uma bateria de d.d.p. E num circuito simples com uma resist^encia el´etrica total R, a corrente na bateria sera´, pela lei de Ohm: E i= R

Exemplo Considere o circuito abaixo, onde uma la^mpada de resist^encia R = 5 esta´ conectada numa fonte (bateria) de 12 V atrav´es de ?os ideais, de resist^encia nula.

R + i Resoluc¸a~o: E 12 V i = = = 2, 4 A R5

Pense um Pouco! · Se dobrarmos a tensa~o aplicada `a um resistor ^ohmico, o que acontecera´ com sua corrente?

· Para um resistor ^ohmico, que tipo de gr´a?co V × i ter´?amos?

Exerc´?cios Complementares 1. Um ?o condutor transporta uma carga de 30 C em dois minutos. Qual a corrente m´edia no ?o, durante esse processo?

a) 0, 2 A b) 4, 0 A c) 1/4 A d) 0, 3 mA e) 0, 25 mA 2. Durante um banho de chuveiro, utilizou-se uma corrente de 10 A durante 15 minutos. Qual a carga el´etrica total utilizada a) 150 C b) 9 C c) 1, 5 C d) 9.000 C e) 9 mC 3. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resist^encia a) 500 b) 50 c) 5 d) 0, 5 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. A resist^encia el´etrica de um ?o condutor depende: a) apenas da corrente aplicada b) da tensa~o aplicada c) de suas dimens~oes e do material de que ´e feito d) da corrente m´axima que ele suporta e) da tensa~o e da corrente m´aximas 5. Um fus´?vel ´e um resistor preparado para se romper quando a corrente nele excede um determinado valor. Para um fus´?vel de carro que suporta at´e 2, 0A, e opera em 12 V , qual a sua a) 24 b) 12 c) 4 d) 0, 17 e) n. d. a.

6. Uma la^mpada de 60 W , constru´?da para operar em 110 V onde ela conduz 2, 0 A de corrente, ´e ligada por engano em 220 V e queima depois de 5, 0 s. Qual a quantidade de carga a) 5 C b) 10 C c) 15 C d) 20 C e) n. d. a.

Eletricidade ? Aula 10 Para um circuito qualquer com apenas uma fonte (ou bateria) de f. e. m., a determinac¸a~o da corrente el´etrica i na fonte ´e a todos os elementos do circuito. Ou seja, determinamos qual o valor Req. da resist^encia que, substituindo o circuito todo, conduz a mesma corrente. Pela lei de Ohm: E i= Req.

Associa¸c~ao de Resistores Para um circuito com uma fonte e v´arios resistores, podemos calcular facilmente a resist^encia equivalente, a corrente que passa na fonte e, a seguir, as correntes e tenso~es em cada um dos resistores.

Resistores em S´erie Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ^ohmicos em s´erie, R1, R2, R3, etc., a resist^encia equivalente sera´ a soma das resist^encias, ou seja: Req. = R1 + R2 + R3 + . . . = Ri i

12 6 4 ab Na associac¸a~o em s´erie da ?gura acima, a resist^encia equiva- lente ´e Req. = 12 + 6 + 4 = 22 Quando mais resistores ligarmos em s´erie, maior sera´ a re- sist^encia equivalente.

Resistores em Paralelo Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ^ohmicos em paralelo, R1, R2, R3, etc., o inverso da resist^encia equiva- lente sera´ a soma dos inversos das resist^encias, ou seja: 1111 1 = + + +...= Req. R1 R2 R3 Ri i

Na associac¸a~o em paralelo da ?gura acima, a resist^encia equi- valente ´e 11116 =++= Req. 12 6 4 12 ou seja Req. = 2 Observe que quando mais resistores ligarmos em paralelo, me- Todos os objetos que ligamos na tomada de nossa casa sa~o ligados em paralelo, por exemplo.

117 a 12 6 4 b Associa¸c~oes Mistas Quando num circuito simples ligamos v´arios resistores ^ohmicos, alguns em s´erie e outros em paralelo, devemos ir cal- culando as resist^encias equivalentes das partes em s´erie e em paralelo, at´e se chegar numa resist^encia equivalente geral para todo o circuito.

4 6 a 12 Passo 1 63 a Passo 2

9 b b ab Na associac¸a~o mista de resistores mostrada na ?gura acima, a resist^encia equivalente ´e calculada em dois passos: Passo 1) Observa-se que os resistores de 4 e 12 esta~o em paralelo, logo a resist^encia R? equivalente a estes resistores sera´: 1114 = + = =? R? = 3 R? 12 4 12 Passo 2) Substituindo-se enta~o os resistores de 4 e 12 por um equivalente de 3 , temos uma associac¸a~o em s´erie, entre resistores agora de 6 e 3 , e a resist^encia ?nal equivalente R?? sera´: R?? = 6 + 3 = 9

+ i - 6 ac 45 V i´ 4 12 i´´ d b Como a resist^encia equivalente desta associac¸a~o mista ´e 9 , a corrente i que passa na fonte sera´: E 45 V i= = =5A Req. 9

Esta ´e a corrente que sai da fonte e passa pelo resistor de 6 , e aplicando-se a lei de Ohm para este resistor, achamos a tens~ao Vac entre os pontos a e c, onde o resistor esta´ conectado:

Vac = Ri = (6 )(5 A) = 30 V Ao chegar ao n´o c, vemos que a corrente se divide em duas partes, na associac¸a~o em paralelo: uma que passa pelo resistor Como o resistor equivalente a essa parte em paralelo ´e de 3 , conforme calculado anteriormente, a queda de tensa~o Vcd, entre os pontos c e d, que ´e a mesma tensa~o entre os pontos c e b, sera´, pela lei de Ohm: Vcd = R?i = (3 )(5 A) = 15 V ? Observe que a queda de tensa~o no primeiro resistor somada `a queda de tensa~o no conjunto em paralelo da´ exatamente a tensa~o da fonte: E = Vac + V cb Finalmente, como a tensa~o Vcd = 15 V , temos as correntes nos outros dois resistores: 15 V i? = = 3, 75 A 4 e 15 V i?? = = 1, 25 A 12 ? Observe que a soma das correntes el´etricas no conjunto em paralelo, ´e igual a corrente total que passa na fonte: i = i? + i?? ? Observe tamb´em que, como ambos os resistores em paralelo esta~o ligados na mesma tensa~o, o resistor de menor resist^encia conduz a maior corrente, e vice-versa.

Curto-circuito e Circuito Aberto Quando um ?o de um circuito se rompe, como no caso de um fus´?vel queimar, dizemos que o circuito esta´ aberto, e nenhuma Esta situac¸a~o ´e equivalente ao uso de um resistor in?nito, na pr´atica, uma grande resist^encia ´e equivalente ao circuito Quando um ?o ?o condutor perfeito, ou seja, que na~o possui resist^encia, for ligado num circuito no lugar de um resistor normal, teremos o que se chama de ?curto-circuito´´. Se nos extremos desse ?o houver uma tensa~o qualquer, teremos uma corrente enorme passando pelo ?o, j´a que i = V /R, e para R pr´oximos de zero a corrente se torna muito alta. Normalmente ha´ algum problema com o circuito quando um curto-circuito ´e formado. Nunca fac¸a isso! Mesmo uma pilha de bolso pode produzir correntes enormes por um curto intervalo de tempo, Se numa associac¸a~o em paralelo, um dos resistores entrar em curto-circuito, por aquecimento ou outra raza~o qualquer, enta~o a resist^encia equivalente do conjunto todo de resistores sera´ 12

6 a b curto Ja´ numa associac¸a~o em s´erie, havendo curto num resistor, a resist^encia equivalente do conjunto sera´ a soma das resist^encias 12 6

a i i´ = 0 4 curto i b Pense um Pouco! · Se conectarmos N resistores id^enticos de resist^encia R em s´erie, qual a resist^encia equivalente do conjunto?

· Quantas resist^encias diferentes podemos formar, se dispo- mos de apenas tr^es resistores: R1 = 1 , R2 = 2 e R3 = 4 ?

Exerc´?cios Complementares 1. Sobre associac¸o~es de resistores ^ohmicos, considere as se- guintes a?rmativas: I. A m´axima resist^encia equivalente de um conjunto de resis- tores ´e obtida quando todos esta~o em paralelo;

Eletricidade ? Aula 11 II. A resist^encia equivalente para uma associac¸a~o em s´erie ´e III. Se um resistor estiver em curto e a resist^encia equivalente do conjunto de resistores na~o se anular, ´e porque a associac¸a~o IV. Se a corrente for a mesma em todos os resistores, a asso- a) esta~o corretas I e III b) esta~o corretas I, III e III c) esta~o corretas II, III e IV d) esta~o corretas III e IV e) n. d. a.

2. Ligou-se em s´erie num circuito: uma bateria de 1, 5 V , um resistor de 10 e outro de 5 . A corrente e a tensa~o no resistor de 5 sera~o, respectivamente: a) 0, 1 A e 1, 5 V b) 0, 5 A e 0, 1 V c) 0, 1 A e 0, 5 V d) 3, 0 A e 0, 5 V e) n. d. a.

3. Ligou-se em paralelo numa mesma bateria de 1, 5 V , um resistor de 10 e outro de 5 . A corrente e a tensa~o no resistor de 10 sera~o, respectivamente: a) 0, 45 A e 1, 5 V b) 0, 15 A e 1, 5 V c) 0, 15 A e 0, 5 V d) 0, 45 A e 0, 5 V e) n. d. a.

4. Uma pilha de 1, 5 V ´e conectada num LED, que passa a conduzir uma corrente el´etrica de 3 mA. Qual a resist^encia a) 500 b) 50 c) 5 d) 0, 5 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 5. A corrente el´etrica i3 no resistor R3 do circuito da ?gura

R =4 2 R=1 1 + 12 V R = 12 3 - ´e: a) 2/3 A b) 4/3 A c) 8/3 A d) 5, 0 A e) 1, 0 A 119

6. Liga-se os terminais de uma bateria de 12; V aos pontos a e b de um conjunto de 3 resistores em paralelo, conforme a ?gura:

1 2 a b 3 Pode-se a?rmar que: a) a corrente el´etrica em R1 ´e de 10 A b) a tensa~o el´etrica em R2 ´e de 6 V c) a corrente el´etrica em R3 ´e de 4 A d) a tensa~o el´etrica em R1 ´e maior do que em R3 e) n. d. a.

7. A resist^encia el´etrica entre os pontos a e b da associac¸a~o de seis resistores ^ohmicos iguais a R:

R R R R a ´e: a) R b) 2R c) 6R d) 3R/2 e) 3R/4 R R Eletricidade

Instrumentos de Medida b Aula 11 Dois instrumentos ba´sicos sa~o utilizados para a medic¸a~o de correntes el´etricas e tenso~es nos elementos de um circuito: o Na maioria dos medidores modernos, v´arios medidores esta~o dispon´?veis num aparelho so´, os chamados mult´?metros.

O Amper´?metro Para a medic¸a~o do valor de uma corrente el´etrica que atra- vessa um ?o, num circuito, liga-se em s´erie nesse ?o um am- per´?metro, a ?m de que a corrente atravesse tamb´em o am- per´?metro.

Para que o amper´?metro na~o altere o valor da corrente no pr´oprio ?o onde sera´ ligado, ele deve ter uma resist^encia in- terna muito pequena, no caso ideal, nula.

i + +- A - R O Volt´?metro Para a medic¸a~o do valor da d.d.p. entre dois pontos num circuito, liga-se em paralelo nesses pontos um volt´?metro, a ?m de que os seus terminais atinjam os mesmos potenciais el´etricos dos pontos do circuito, e a diferenc¸a de potencial entre Para que o volt´?metro na~o altere o valor da tensa~o entre os pontos onde ele ´e conectado, o que se quer medir, ele deve ter uma resist^encia interna muito alta, no caso ideal, in?nita. Com isso, a corrente desviada para o amper´?metro sera´ muito menor do que a que possa haver entre os pontos do circuito onde ele esta´ conectado. Isto mesmo, para medir a tensa~o entre os seus terminais o volt´?metro usa uma pequena corrente. Na verdade este aparelho ´e um amper´?metro adaptado para medir tenso~es.

+ - i R -+ V Lei de Joule Quando uma corrente el´etrica atravessa um condutor de re- sist^encia el´etrica R, haver´a uma queda de tensa~o dada pela lei de Ohm V = Ri no sentido da corrente, ou seja, a corrente sempre ocorre no sentido do maior para o menor potencial el´etrico. Vale aqui o ana´logo hidra´ulico, pois a correnteza de um rio sempre ´e no sentido do maior potencial gravitacional (ponto mais alto do terreno) para o de menor (ponto mais baixo). E quando a ´agua desce uma cascata, converte sua energia potencial em cin´etica e pode gerar calor, se for dissipada, ou mover uma roda, por No caso el´etrico, a resist^encia faz com que as cargas per- cam energia cin´etica, atrav´es das coliso~es que ocorrem entre os el´etrons livres e os ´atomos do material, produzindo mais agitac¸a~o nestas part´?culas, ou seja, a energia cin´etica se trans- No caso das la^mpadas de ?lamento, usa-se esse calor para pro- duzir luz, atingindo-se a incandesc^encia do metal condutor, em No chuveiro el´etrico comum, usa-se uma resist^encia para pro- duzir calor e aquecer a ´agua do banho que passa pelo no seu interior. Existem muitas aplicac¸o~es desse tipo, e voc^e mesmo A esse efeito de liberac¸a~o de calor pela passagem de uma cor- Em alguns casos o efeito Joule ´e um problema, pois colabora na perda de energia em linhas de transmiss~ao e motores, por exemplo, transformando parte da energia el´etrica em calor, que A quantidade de calor gerada dentro de um resistor, por uni- dade de tempo, de?ne a pot^encia com que o resistor converte energia el´etrica em calor, e ´e dada pela lei de Joule: P = iV ou seja, como i = V /R, podemos reescrev^e-la como V2 P= R ou ainda, como V = Ri, P = Ri2

Unidades SI A pot^encia dissipada num resistor ´e medida em watts no SI, onde 1 watt = 1 W = 1 J/s

Pense um Pouco! · Num chuveiro normalmente temos uma chave in- verno/ver~ao, que muda a resist^encia do chuveiro, e pode ser usada para esquentar mais/menos a ´agua. Qual das resist^encia deve ser maior, a usada no inverno, para es- quentar mais, ou a usada no ver~ao, para esquentar menos?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Qual a corrente el´etrica num chuveiro el´etrico que ligado a) 15 A b) 10 A c) 5 A d) 0, 5 A e) n. d. a.

Eletricidade ? Aula 12 d) 3, 6 J 3. Dois resistores, um de resist^encia R1 = 2 e outro de resist^encia R2 = 8 esta~o ligados em s´erie com uma bateria de f.e.m. E = 24 V . A tensa~o no resistor R1 e a pot^encia dissipada no resistor R2 sa~o, respectivamente: a) 2 V e 16 W b) 16 V e 32 W c) 8 V e 3, 2 W d) 4 V e 32 W e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. No circuito da ?gura abaixo, as chaves CH1 e CH2 esta~o abertas e o amper´?metro A indica que existe passagem de cor- rente. Quando as duas chaves esta~o fechadas, a indicac¸a~o do amper´?metro A na~o se altera. Dados: Determinar: b) a pot^encia dissipada por efeito Joule na resist^encia R2 quando CH1 e CH2 esta~o fechadas.

+ R2 R1 + E2 - E1 - A CH2 CH1 Eletricidade Aula 12 Geradores e For¸ca Eletromotriz Geradores ou baterias de tensa~o cont´?nua sa~o dispositivos ca- pazes de converter energia qu´?mica em energia el´etrica, des- locando cargas entre seus po´los de forma a aumentar a ener- gia potencial el´etrica dispon´?vel para que as cargas el´etricas possam circular por um circuito, mantendo uma corrente de cargas em movimento. Essas cargas, ou seja, a corrente, ao passar por um resistor, por exemplo, perde energia e tende a cessar o seu movimento, a menos que um agente externo ? o E´ bom destacar o fato de que o gerador na~o ?cria?ou ?gera?cargas, mas apenas transfere energia para que elas man- tenham seu movimento, formando uma corrente el´etrica num Usando uma analogia com os sistemas hidra´ulicos, podemos pensar num gerador como sendo equivalente a uma bomba d'´agua, que eleva a ´agua at´e uma caixa d'´agua, fornecendo Imagine que a ´agua cai da caixa d'´agua por um cano na parte 121

inferior desta, diretamente dentro de um barril, transformando sua energia potencial em cin´etica e essa, ?nalmente, em calor, aquecendo a ´agua no barril. Nessa analogia, o barril seria um resistor el´etrico. A seguir, a ´agua do barril ´e captada pela bomba e rebombeada para a caixa d'´agua. A bomba d'´agua nesse caso, realiza um trabalho cont´?nuo sobre a ´agua, transformando energia el´etrica em trabalho e, atrav´es deste, No caso el´etrico, de?ne-se a forc¸a eletromotriz (f.e.m.) de um gerador, ou bateria, como sendo a energia qu´?mica consumida, por unidade de carga deslocada, desde o po´lo negativo at´e o po´lo positivo do gerador. Como se v^e, a f.e.m. na~o ´e uma forc¸a, mas sua de?nic¸a~o ´e muito parecida com a de?nic¸a~o de De?nimos a diferenc¸a de potencial el´etrico entre dois pontos como o trabalho realizado por um agente externo, por unidade de carga, para deslocar em equil´?brio uma pequena carga de prova +q desde um ponto A at´e outro ponto B, dentro de uma Relembrando: Wext. WE VA?B = VB - VA = = - +q +q onde WE ´e o trabalho realizado pela forc¸a el´etrica, j´a que, para o equil´?brio da carga q?, segundo a Primeira Lei de Newton, Assim, por analogia, a f.e.m. de uma bateria sera´ f.e.m. = E ? q e por de?nic¸a~o, esta nova grandeza sera´ tamb´em medida em volts ou V no Sistema Internacional (SI).

Simbologia Nos esquemas simpli?cados usados nos circuitos, indicamos uma bateria pelo s´?mbolo + + ou - -

Convenciona-se que, a placa maior representada na fonte o potencial el´etrico ´e maior (+) e na placa menor, e mais espessa, Quando ligada a um resistor ^ohmico, por exemplo, a fonte produzir´a uma corrente (positiva) no sentido indicado pela seta ao lado do s´?mbolo da f.e.m (E), ou seja, da placa positiva em direc¸a~o ao resistor e retornando pela placa negativa. Pela parte interna da fonte, a direc¸a~o da corrente ´e da placa negativa (-) para a positiva (+), sendo este o sentido normal da corrente dentro da fonte. Sendo assim, a fonte transfere energia para as cargas, elevando o seu potencial el´etrico de uma quantidade +E.

quatro baterias de 1, 5 V cada. Normalmente se usa v´arios geradores num mesmo circuito para se obter uma f.e.m. total na mesma direc¸a~o.

N 1 2 3 N i=1 i

- + - + - + - + - + N geradores em´serie Para se obter mais carga dispon´?vel, e fazer um circuito fun- cionar por mais tempo, v´arias baterias de mesma f.e.m. sa~o das baterias usadas.

+ + + + + - - - - - N geradores em paralelo

a Lei das Malhas ? 1 lei de Kirchho? De?nimos como uma malha, qualquer caminho fechado dentro de um circuito el´etrico, que possa ser percorrido passando-se O circuito el´etrico mais simples possui apenas uma malha, ou seja, so´ um caminho poss´?vel para a corrente, que portanto, dever´a ser a mesma em todos os elementos do circuito: re- sistores, fontes, bobinas, etc. O circuito de uma malha mais simples poss´?vel, ´e aquele ja´ visto, com apenas uma fonte e um circulando-se a malha de um circuito, o somat´orio das ou seja Vi = 0 i

Para fazer-se o somato´rio acima, precisamos escolher um sen- tido qualquer para a corrente na malha e outro, na~o necessa- riamente o mesmo, para circularmos a malha, sentido hora´rio ou anti-hor´ario, e observar as seguintes regras:

Fontes ? se passarmos por uma fonte de f.e.m. E, indo da placa ? se passarmos por uma fonte de f.e.m. E, indo da placa positiva (+) para a negativa (-) temos V = -E.

Resistores ? se passarmos por um resistor R, indo no sentido da suposta ? se passarmos por um resistor R, indo em sentido contr´ario ao da suposta corrente i temos V = +Ri.

Fios, Chaves e Conectores Fios, chaves, soldas e outros conectores ideais na~o possuem resist^encia el´etrica e portanto na~o apresentam queda de tensa~o, ou seja, V = 0 para esses elementos. Na~o contribuem para Assim, tendo-se todos os Vi no circuito, somam-se todos os termos e iguala-se a zero. Se a corrente encontrada for ne- gativa, o sentido escolhido arbitrariamente par ela esta´ tro- cado. O sentido f´?sico correto da corrente enta~o sera´ o sentido contr´ario ao sentido arbitrado.

Lei de Ohm-Pouillet Com base na lei das malhas, podemos ver que todo circuito de uma so´ malha, mesmo com v´arias fontes de tensa~o cont´?nua (baterias) e v´arios resistores, todos eles em s´erie portanto, pode ser reduzido a um circuito simples do tipo: uma ateria e um resistor. Para isso, devemos encontrar a f.e.m. total E no circuito e a resist^encia equivalente Req., e da´?, obteremos a corrente i no circuito:

E i = lei de Ohm-Pouillet Biogra?a Gustav Rupert Kirchho?, (1824 ? 1861), foi um dos maiores Viveu numa ´epoca em que a F´?sica estava tendo desenvol- vimento extraordina´rio em v´arios setores diferentes, pois na segunda metade do s´eculo passado a meca^nica, elasticidade, teoria dos gases, eletricidade, magnetismo e termodin^amica tiveram grande impulso. Kirchho?, que desde muito jovem esteve em contacto com f´?sicos bastante experimentados, teve oportunidade de trabalhar em assuntos muito variados. Al´em de um nu´mero muito grande de trabalhos isolados, ha´ tr^es ramos da F´?sica nos quais os trabalhos de Kirchho? se torna- ram fundamentais: ´otica, termodin^amica e eletricidade. Em ´otica, foi grande conhecedor de espectroscopia, tendo sido um dos fundadores da ana´lise espectral. Em termodin^amica, foi Em eletricidade estabeleceu as leis fundamentais das malhas el´etricas, leis que estudamos neste u´ltimo cap´?tulo.

Pense um Pouco! · Ligando-se duas pilhas comuns, com os po´los trocados, a um pequena la^mpada o que se observa?

· E´ poss´?vel que a corrente (positiva) entre pelo po´lo posi- tivo de uma fonte e saia pelo negativo?

Eletricidade ? Aula 12 123

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UEPR) Um gerador funcionar´a em regime de pot^encia u´til m´axima, quando sua resist^encia interna for igual: a) `a metade da resist^encia equivalente do circuito que ele ali- b) ao dobro da resist^encia equivalente do circuito que ele ali- c) ao qu´adruplo da resist^encia equivalente do circuito que ele e) `a quarta parte da resist^encia equivalente do circuito que ele alimenta.

Qu´?mica Qu´?mica Aula 1 Estrutura At^omica Modelos At^omicos A primeira abordagem sobre a constituic¸a~o da mat´eria data de ± 400 anos a.C. Os ?l´osofos gregos Dem´ocrito e Leucipo conceberam o ´atomo como a menor part´?cula constituinte da Lavoisier: em 1780, ´e considerado o pai da Qu´?mica por ter criado o m´etodo cient´??co: as leis surgem da observac¸a~o da regularidade das teorias, como tentativas de explicac¸a~o dessas regularidades. Provou que ?na natureza nada se cria, nada se perde, tudo se transforma?, ou seja, numa transformac¸a~o John Dalton: em 1808, criou a Teoria Ato^mica Cla´ssica (base- ado em modelos experimentais), considerando os ´atomos como J. J. Thomson: em 1897, atrav´es de experimentos sobre des- cargas el´etricas em gases rarefeitos, admitiu a exist^encia de Propo^s um modelo em que o ´atomo seria uma esfera de ele- tricidade positiva, incrustada de el´etrons com carga negativa (Modelo do Pudim de Passas).

Substancia radioativa fonte de particulas Folha de ouro Colimador do feixe Tela sintilante para detecçao das particulas desviadas

Ernest Rutherford: em 1911, bombardeou uma lamina meta´lica delgada com um feixe de part´?culas ?. Estas part´?culas eram positivas. A maior parte das part´?culas atra- vessava a lamina meta´lica sem sofrer desvio detecta´vel, al- gumas part´?culas atravessavam sofrendo desvio e um nu´mero ´?n?mo de part´?culas re?etiam. Se os ´atomos fossem bolhas de gel´eia carregados positivamente as part´?culas ? deveriam passar facilmente atrav´es das folhas com uma ligeira de?ex~ao ocasional de seus caminhos. Mas, percebeu-se que algumas destas part´?culas de?etiam mais de 90? e umas poucas retor- Estes resultados sugerem um modelo de ´atomo no qual ha´ uma densa carga positiva central circundada por um grande volume vazio. Rutherford chamou esta regi~ao carregada positivamente As part´?culas carregadas positivamente sa~o chamadas As part´?culas carregadas negativamente continuam sendo cha- Assim, o modelo de Rutherford consta de nu´cleo denso, di- minuto, carregado positivamente, e de uma parte envolvendo esse nu´cleo, uma regi~ao rarefeita e proporcionalmente muito grande chamada eletrosfera, com el´etrons, de carga negativa.

Resumo do Modelo de Rutherford Este foi o modelo proposto por Rutherford. Basicamente tinha os seguintes fundamentos: · O ´atomo ´e dividido em duas regi~oes, nu´cleo e eletrosfera, no nu´cleo encontramos os pr´otons e os n^eutrons, na ele- trosfera encontramos os el´etrons;

· Os pr´otons apresentam carga positiva, os el´etrons apre- sentam carga negativa e os n^eutrons apresentam carga nula;

· A massa de um pr´oton e de um n^eutron equivalem a 1 u.m.a enquanto a massa do el´etron ´e 1836 vezes menor que a massa do pr´oton ou do n^eutron.

O nu´mero de pr´otons em um nu´cleo at^omico ´e chamado de O nu´mero total (soma) de pr´otons e n^eutrons no nu´cleo ´e cha- mado de nu´mero de massa, A, do elemento.

A=Z+N Representa¸c~ao ZXA Mas, o modelo planeta´rio de Rutherford apresenta duas falhas cruciais: · Uma carga negativa colocada em movimento ao redor de uma carga positiva estaciona´ria, adquire movimento espi- ral at´e colidir com ela;

· Essa carga perde energia emitindo radiac¸a~o, violando o Pense um Pouco! 1. Voc^e sabe dizer o que signi?ca ?tempo de meia-vida??

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. A palavra ´atomo ´e origin´aria do grego e signi?ca ?indi- vis´?vel?, ou seja, segundo os ?l´osofos gregos, o ´atomo seria a menor part´?cula da mat´eria que na~o poderia ser mais divi- dida. atualmente essa id´eia na~o ´e mais aceita. A respeito dos ´atomos, ´e verdadeiro a?rmar que: b) ( ) Sa~o formados por pelo menos tr^es part´?culas fundamen- f) ( ) Cont´em part´?culas sem carga el´etrica, os n^eutrons.

2. (UFSC) Analise as a?rmativas a seguir e assinale como V ou F: a) ( ) O primeiro modelo at^omico baseado em resultados expe- b) ( ) Segundo Dalton, a mat´eria ´e formada de part´?culas in- c) ( ) Thomson foi o primeiro a provar que que o ´atomo na~o d) ( ) O modelo at^omico proposto por Thomson ´e o da bola e) ( ) O modelo at^omico de Dalton teve como suporte experi- mental para a sua criac¸a~o a interpretac¸a~o das leis das reac¸o~es qu´?micas.

3. (UFSC) Assinale a(s) alternativa(s) correta(s): b) ( ) Os ´atomos sa~o quimicamente diferentes quando t^em d) ( ) Os pr´otons e os el´etrons possuem massas iguais e cargas e) ( ) Os ´atomos apresentam part´?culas de carga nula deno- f) ( ) Os ´atomos sa~o part´?culas inteiramente macic¸as.

Exerc´?cios Complementares 4. (ACE) Assinale a alternativa falsa: a) o nu´mero de massa de um ´atomo ´e dado pela soma do b) um elemento qu´?mico deve ter seus ´atomos sempre como mesmo nu´mero de n^eutrons;(c) o nu´mero de pr´otons perma- nece constante, mesmo que os nu´meros de massa dos ´atomos c) o nu´mero at^omico ´e dado pelo nu´mero de pr´otons existentes d) n.d.a 5. (UEL) O ur^anio-238 difere do ur^anio-235 por que o primeiro possui: e) 3 n^eutrons a mais.

6. (ACAFE) Um sistema ´e formado por part´?culas que apre- sentam a composic¸a~o at^omica de 10 pr´otons, 10 el´etrons, 11 n^eutrons. Ao sistema foram adicionadas novas part´?culas. O sistema resultante sera´ quimicamente puro se as part´?culas adi- cionadas apresentarem a seguinte composic¸a~o at^omica: e) 11 pr´otons, 11 el´etrons e 11 n^eutrons;

7. (FUVEST) As seguintes representac¸o~es: 2X2,2X3e2X4, referem-se a ´atomos com: e) diferentes nu´meros de pr´otons e el´etrons;

Qu´?mica Aula 2 Modelos At^omicos O Modelo At^omico de Bohr Com o objetivo de solucionar estas limitac¸o~es do modelo de Niels Bohr: em 1913, propo^s que o ´atomo ´e constitu´?do por um nu´cleo positivo, onde se concentra praticamente toda massa do ´atomo, e por el´etrons que giram ao seu redor em ´orbitas circulares bem de?nidas, formando camadas, designadas pelas letras K, L, M, N, O, P, Q.

_ ~ eletron _ ~ eletron excitado _ _ _ _ foton emitido foton absorvido

Qu´?mica ? Aula 2 · Um el´etron so´ pode ter certas energias espec´??cas, e cada uma destas energias corresponde a uma ´orbita particu- lar. Quanto mais afastado do nu´cleo maior a energia do el´etron;

· Se o el´etron receber energia ele pula para uma ´orbita mais afastada do nu´cleo;

· Como esta ´orbita na~o ´e natural ele tende a retornar para sua ´orbita de maior estabilidade, assim sendo, ocorre li- berac¸a~o de energia;

· Para calcular a energia emitida pelo el´etron, Max Planck estabeleceu que a energia se propaga em ?pacotes?de quantidades m´?nimas e descont´?nuas. A essa quantidade m´?nima chamou de fo´ton ou quantum. O valor do quan- tum ´e proporcional a frequ¨^encia da onda ?, cuja magni- tude pode ser calculada por E = h? onde h ´e a famosa constante de Planck, que tem valor de Se os ´atomos oscilantes transferem uma energia E para a vizinhanc¸a, radiac¸a~o de frequ¨^encia ? = E/h sera´ detec- tada. E´ importante notar que a intensidade da radiac¸a~o ´e uma indicac¸a~o do nu´mero de pacotes de energia gerados, enquanto E ´e a medida de energia de cada pacote.

Sommerfeld: em 1916, estabeleceu que os el´etrons descrevem ´orbitas circulares e el´?pticas em torno do nu´cleo.

O Modelo At^omico Atual Louis de Broglie: em 1924, foi quem lanc¸ou as as bases de uma nova meca^nica chamada ondulato´ria ou qu^antica, atrav´es do Princ´?pio da Dualidade mat´eria-onda para o el´etron: ?Toda part´?cula em movimento, o el´etron, no caso, tem associado a A meca^nica cl´assica prev^e, para cada corpo, sua trajet´oria, A meca^nica qu^antica, que trata do universo microsc´opico das part´?culas, na~o se descreve perfeitamente o ´atomo.

127 Heisenberg: em 1927, estabeleceu o Princ´?pio da Incerteza, segundo o qual ?na~o ´e poss´?vel predizer, ao mesmo tempo, a posic¸a~o e a quantidade de movimento de um el´etron? Tudo que no´s podemos conhecer sobre o movimento de um sistema de part´?culas se reduz a uma func¸a~o complexa de Esta func¸a~o ´e chamada Func¸a~o de Onda, criada por Schr¨odin- O quadrado do m´odulo da func¸a~o de onda | |2 representa a probabilidade de se encontrar no instante t a determinada Na concepc¸a~o cl´assica, uma part´?cula se encontra ou na~o num determinado instante em um dado ponto do espac¸o. Pela meca^nica qu^antica no´s so´ podemos conhecer a probabilidade Schr¨odinger deduziu matematicamente regi~oes com probabi- lidades de se encontrar o el´etron, simpli?cadas por meio de Sommerfeld, de Broglie e Schr¨odinger formaram a Mec^anica Qua^ntica, que nos levou ao modelo at^omico atual. O ´atomo Orbital ´e a regi~ao, em torno do nu´cleo, com maior probabili- dade de se encontrar o el´etron. O el´etron move-se em torno do nu´cleo.

Is´otopos, Is´obaros, Is´otonos e Isoeletro^nicos Is´otopos: sa~o ´atomos de um mesmo elemento qu´?mico que apresentam diferentes nu´mero de massa e diferentes nu´mero de n^eutrons, ou seja sa~o ´atomos de mesmo nu´mero at^omico e diferentes nu´mero de massa.

6C12 6C13 6C14 Iso´topos de Carbono

8O16 8O17 8O17 Iso´topos de Oxig^enio Is´obaros: sa~o ´atomos de elementos qu´?micos diferentes mas com mesmo nu´mero de massa.

Ca40 1840 20 Ar Is´otonos: sa~o ´atomos de elementos qu´?micos diferentes, mas com mesmo numero de n^eutrons.

5B11 6C12 Isoeletro^nicos: sa~o ´atomos ou ´?ons que apresentam o mesmo nu´mero de el´etrons.

12Mg2+ 11Na1+Ne F 10 9 1- 7N 3-

K (2), L(8), M (18), N (32), O(50), P (72), Q(98) Mas para os 112 elementos qu´?micos existentes temos: K (2), L(8), M (18), N (32), O(32), P (18), Q(2) Existem 7 sub-n´?veis de energia (s, p, d, f, g, h, i) que esta~o den- tro das camadas. Mas para os 112 elementos existentes na~o sa~o ocupados todos os sub-n´?veis de energia e sim somente qua- tro, s, p, d, f , que sa~o representados pela letra l que signi?ca nu´mero qu^antico secunda´rio e sa~o nu´meros que v~ao de 0 a 3, ou seja, 0, 1, 2, 3 para os sub-n´?veis s, p, d, f , cada sub-n´?vel com- porta um nu´mero m´aximo de el´etrons s(2), p(6), d(10), f (14).

Con?gurac¸~ao Eletr^onica Diagrama de Linus Pauling K(2) 1s2 L(8) 2s2 2p6 M(18) 3s2 3p6 3d10 N(32) 4s2 4p6 4d10 4f 14 O(32) 5s2 5p6 5d10 5f 14 P(18) 6s2 6p6 6d10 Q(2) 7s2 Representamos a distribuic¸a~o eletro^nica de duas formas: 1. ordem energ´etica, seguindo as diagonais do diagrama de Pauling: 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d10, 4p6, 5s2, 4d10, 5p6, 6s2, 4f 14, 5d10, 6p6, 7s2, 5f 14, 6d10 2. ordem geom´etrica, agrupando os sub-n´?veis em camadas:

1s2 K 2 2s2, 2p6 L 8 3s2, 3p6, 3d10 M 18 4s2, 4p6, 4d10, 4f 14 N 32 5s2, 5p6, 5d10, 5f 14 O 32 6s2, 6p6, 6d10 P 18 7s2 Q 2

Orbitais Ato^micos Como vimos, orbital ´e a regi~ao, em torno do nu´cleo, com m´axima probabilidade de se encontrar el´etrons. As formas dessas regi~oes sa~o calculadas matematicamente e t^em o nu´cleo As formas dos orbitais mais importantes sa~o: 1. esf´erica - chamado orbital s: 2. halter - chamado orbital p:

Princ´?pio de Exclus~ao Certas experi^encias, em particular a ac¸a~o de um campo magn´etico, mostram que as func¸o~es de onda constru´?das uni- camente sobre as coordenadas de espac¸o na~o sa~o aptas para explicar totalmente os feno^menos, o que levou a se introduzir uma nova coordenada chamada spin. Trata-se de uma coorde- nada suplementar associada `a rotac¸a~o do el´etron. Os valores permitidos para a func¸a~o de spin sa~o - 1 e 1 , e sa~o de spins 22 opostos.

Y X Z Y .... X Z Dois el´etrons podem ocupar um mesmo or- bital desde que possuam spins opostos.

Este enunciado ´e conhecido por ?Princ´?pio de Exclus~ao, de Cada sub-n´?vel comporta um nu´mero m´aximo de el´etrons (como visto anteriormente). Se cada orbital comporta no m´aximo dois el´etrons, temos enta~o: Representac¸a~o do Orbital f 14 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 7 orbit.

Pense um Pouco! 1. Voc^e sabe quais sa~o os tipos de radiac¸o~es existentes e quais as caracter´?sticas particulares de cada uma?

2. Quais sa~o os efeitos causados pelas radiac¸o~es? E quais as principais aplicac¸o~es das reac¸o~es nucleares?

Qu´?mica ? Aula 3 + Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ACAFE-99) A vitamina B12, anti-an^emica, cont´em ´?ons de cobalto Co+2. Dado: Co(Z = 27). A con?gurac¸a~o eletro^nica nos orbitais 4s e 3d do Co+2, ´e: e) 4s0, 3d7.

2. (UDESC) Uma ´atomo com nu´mero at^omico igual a 38, apresentara´ em seu antepenu´ltimo n´?vel: e) 6 el´etrons.

Exerc´?cios Complementares 3. (FUVEST) De acordo com os postulados de Bohr ´e correto a?rmar que: a) ( ) Os el´etrons se movem ao redor do nu´cleo em ´orbitas b) ( ) Movendo-se numa ´orbita estaciona´ria, o el´etron na~o c) ( ) Ao saltar de uma ´orbita mais pr´oxima do nu´cleo para d) ( ) Quando o el´etron de um ´atomo salta de uma camada mais externa para outra mais pr´oxima do nu´cleo, ha´ emissa~o e) ( ) No nu´cleo de um ´atomo existem pr´otons e n^eutrons.

4. (UEL) A´ tomos neutros e ´?ons de um mesmo elemento qu´?mico tem, necessariamente, o mesmo nu´mero: e) de iso^meros.

5. Sejam dois ´atomos A de nu´mero at^omico 2x + 4 e nu´mero de mass 5x e B de mu´mero at^omico 3x - 6 e nu´mero de massa 5x - 1. Determine quantos n^eutrons tem A e B, sabendo que a) NA = 25 e NB = 26 b) NA = 26 e NB = 25 c) NA = 27 e NB = 26 d) NA = 26 e NB = 27 e) NA = 25 e NB = 25 129

Qu´?mica Aula 3 Liga¸c~oes Qu´?micas Estabilidade dos A´ tomos Os gases nobres sa~o os u´nicos encontrados na natureza na forma mono-ato^mica, ou seja, na~o se ligam se, apresentam na forma de ´atomos. Isto signi?ca que o ´atomo ´e totalmente Os gases nobres (Coluna 8A da Tabela Perio´dica), com excec¸a~o do h´elio, apresentam oito el´etrons na camada de val^encia.

Gases Nobres He(Z=2) 2 Ne(Z=10) 2 8 Ar(Z=18) 2 8 18 8 Xr(Z=36) 2 8 18 18 8 Xe(Z=54) 2 8 18 32 18 8 Rn(Z=86) 2 8 18 32 32 18 8 Camada de val^encia ´e a camada eletro^nica mais externa. Pode A val^encia de um ´atomo ´e o nu´mero de ligac¸o~es que um ´atomo precisa fazer para adquirir a con?gurac¸a~o de um ga´s nobre.

Teoria do Octeto Foi feita uma associac¸a~o entre a estabilidade dos gases nobres e o fato de possu´?rem 8 el´etrons na u´ltima camada. Surgiu enta~o a Teoria do Octeto: Para atingir uma situac¸~ao est´avel, h´a uma tend^encia dos ´atomos para conseguir estrutura eletro^nica de 8 el´etrons na camada de val^encia igual ao g´as nobre de nu´mero at^omico mais pro´ximo.

No caso de ´atomos menores em nu´mero de el´etrons, a tend^encia ´e alcanc¸ar o dueto, isto ´e, conseguir dois el´etrons na u´ltima camada, como o h´elio (Z = 2) : 1s2. E´ o caso do hidrog^enio e do l´?tio.

na camada de val^encia podem ceder ou receber el´etrons nas O carbono por exemplo, tera´ comportamento de na~o-metal, O sil´?cio e o germa^nio sa~o semi-metais: ora cedem el´etrons, ora recebem.

Estruturas de Lewis Um s´?mbolo de Lewis ´e um s´?mbolo no qual os el´etrons da camada de val^encia de um ´atomo ou de um ´?on simples sa~o representados por pontos colocados ao redor do s´?mbolo do elemento. Cada ponto representa um el´etron. Por exemplo:

(a) (b) Figura 2.1: Con?gurac¸a~o eletro^nica e estrutura de Lewis para o a´tomo neutro de cloro (a) e para o ´?on de cloro (b).

Repare nos exemplos acima que o cloro possui sete el´etrons de Uma ligac¸a~o co-valente ´e aquela ligac¸a~o qu´?mica formada pelo compartilhamento de um par de el´etrons entre dois ´atomos. A Estrutura de Lewis de um composto co-valente ou de um ´?on poli-at^omico mostra como os el´etrons esta~o distribu´?dos entre os ´atomos, de formas a mostrar a conectividade entre eles. No caso do metano, por exemplo, quatro el´etrons, um de cada hidrog^enio, mais os quatro el´etrons de val^encia do carbono, sa~o emparelhados na Estrutura, mostrando como cada ´atomo se conecta a outro por um par de el´etrons.

Ao inv´es de utilizarmos dois pontos para indicar o par de el´etrons que perpetuam a ligac¸a~o co-valente, podemos utili- zar um trac¸o. Assim, o trac¸o ira´ representar os dois el´etrons Vamos representar na Figura (2.4) a estrutura de Lewis da ´agua. Dois hidrog^enios sa~o ligados ao ´atomo de oxig^enio cen- tral. Os el´etrons de ligac¸a~o sa~o indicados pelas linhas entre o oxig^enio e cada um dos hidrog^enios. Os el´etrons remanescentes - dois pares - que constituem o octeto do oxig^enio, sa~o chama- dos de na~o-ligantes, por na~o estarem envolvidos em ligac¸o~es O primeiro passo para se desenhar uma estrutura de Lewis ´e determinar o nu´mero de el´etrons de val^encia dos ´atomos que sera~o conectados. Depois ´e necessa´rio determinar qual ´e o pares de ele´trons na~o ligantes H O H pares de ele´trons ligantes

´atomo central, e liga´-lo aos ´atomos perif´ericos por pares de Considere o di´oxido de carbono CO2

carbono(C) ? tem 4e- de val^encia × 1 carbono = 4e- oxig^enio(O) ? tem 6e- de val^encia × 2 oxig^enio = 12e- Existe um total de 16 e- para serem colocados na Estrutura Conecte o ´atomo central aos outros ´atomos na mol´ecula com O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxig^enios sa~o ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar Conecte o ´atomo central aos outros ´atomos na mol´ecula com O carbono ´e o ´atomo central, os dois oxig^enios sa~o ligados a ele; mais tarde iremos adicionar mais el´etrons para completar os octetos dos ´atomos perif´ericos.

Complete a camada de val^encia dos ´atomos da periferia da Foram utilizados todos os 16 el´etrons dispon´?veis. Coloque quaisquer el´etrons remanescentes sobre o ´atomo central. ?N~ao existem mais el´etrons dispon´?veis nesse exemplo?.

· Se a camada de val^encia do ´atomo central esta´ completa, voc^e acaba de desenhar uma Estrutura de Lewis aceita´vel.

Qu´?mica ? Aula 4 ?O carbono esta´ de?ciente de el´etrons - ele tem so´ quatro el´etrons em sua volta. Esta na~o ´e uma estrutura de Lewis aceita´vel?.

· Se a camada de val^encia do ´atomo central na~o esta´ com- pleta, use um par solita´rio de um dos ´atomos da peri- feria para formar uma dupla ligac¸a~o daquele ´atomo com o ´atomo central. Continue o processo de fazer mu´ltiplas ligac¸o~es dos ´atomos perif´ericos com o ´atomo central, at´e que a camada de val^encia do ´atomo central esteja com- pleta.

Torna-se, O ´atomo central ainda esta´ de?ciente de el´etrons, portanto compartilhe outro par.

Torna-se, Certi?que-se que voc^e tenha utilizado do nu´mero correto de el´etrons na Estrutura de Lewis. Lembre-se que alguns elementos, como o enxofre, por exemplo, podem ampliar sua camada de val^encia para al´em de oito el´etrons.

A melhor Estrutura de Lewis que pode ser escrita para o di´oxido de carbono ´e: 131

Pense um Pouco! · D^e uma poss´?vel aplicac¸a~o para a mesma f´ormula qu´?mica escrita de formas diferentes. Ou seja, qual ´e a utilidade de escrevermos a f´ormula estrutural e eletro^nica de um mesmo elemento?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Indique a f´ormula estrutural das seguintes mol´eculas: Da- dos: Cl (Z = 17), C (Z = 12), N (Z = 7), H (Z = a) CCl4 b) N H3 c) CO2 d) HNO3

Exerc´?cios Complementares 2. D^e as f´ormulas estruturais e eletro^nicas das seguintes a) H2S b) SO2 c) SO3 d) HNO3

Ax+By- ? AyBx Caracter´?sticas da Ligac¸~ao Io^nica Figura 2.11: Melhor estrutura de Lewis para o CO2

Ligac¸~oes Qu´?micas Como consequ¨^encia da tend^encia dos ´atomos de formar sis- temas eletro^nicos esta´veis, pela doac¸a~o ou recebimento de Existem tr^es tipos de ligac¸o~es qu´?micas;

Liga¸c~ao I^onica ou Eletrovalente A ligac¸a~o io^nica ocorre quando um metal se liga a um na~o metal ou ao hidrog^enio. O metal doa el´etrons formando o ca´tion. O na~o-metal ou o hidrog^enio recebe el´etrons formando A consequ¨^encia da atrac¸a~o entre os ´?ons positivos (c´ations) e negativos (a^nions) ´e um agrupamento organizado de ´?ons, a que chamamos de cristal io^nico.

(a) (b) O cristal io^nico ´e representado por uma f´ormula m´?nima, ou seja, o nu´mero m´?nimo de ca´tions e ^anions necessa´rios para que ambas as cargas sejam neutralizadas. Por exemplo a F´ormula M´?nima do sal de cozinha ´e dada por: NaCl Esta estrutura de alta coes~ao de natureza el´etrica confere ao composto io^nico alto ponto de fus~ao. No estado so´lido na~o conduz eletricidade. Isso so´ ocorre se os ´?ons estiverem livres, Montamos uma fo´rmula de composto io^nico colocando `a es- querda o ca´tion e a direita o ^anion. Veri?camos se as cargas positiva e negativa se anulam. Se as cargas se anularem, a f´ormula sera´ de um ca´tion para um ^anion. Caso as cargas se anulem, usaremos o seguinte artif´?cio: invertemos a carga do ca´tion para ´?ndice do ^anion e a carga do ^anion para ´?ndice do ca´tion: · Transfer^encia de el´etrons;

· Os compostos io^nicos quando em meio aquoso conduzem Ligac¸~ao Met´alica Ocorre entre metais. Como sabemos, um metal tem tend^encia de doar el´etrons formando ca´tions. A ligac¸a~o meta´lica ocorre quando muitos ´atomos de um metal perdem el´etrons ao mesmo tempo, e os ca´tions formados se estabilizam pela ?nuvem? de Analisando um ?o de cobre, excelente condutor de eletrici- dade e calor, encontraremos nos el´etrons livres que o material apresenta a explicac¸a~o desta condutibilidade. Os ?n? ´atomos de cobre cedem seus el´etrons perif´ericos e se tornam ca´tions envoltos por muitos el´etrons livres.

Ligac¸~ao Co-valente ou Molecular Ligac¸a~o co-valente ´e aquela formada como consequ¨^encia do Haver´a formac¸a~o de uma mol´ecula, no sentido em que os Por exemplo: o cloro apresenta 7 el´etrons na u´ltima camada O par compartilhado ´e formado por dois el´etrons, um de cada H Cl

Representac¸~ao Molecular Ha´ diferentes maneiras de representar uma mol´ecula. Tome- mos a mol´ecula de ga´s oxig^enio, formada por dois ´atomos de oxig^enio.

Qu´?mica ? Aula 4 · F´ormula estrutural: cada par de el´etron compartilhado ´e representado por um trac¸o.

O=O · F´ormula molecular: indica apenas o tipo e o nu´mero O2

Ligac¸~ao Dativa ou Coordenada E´ o caso de ligac¸a~o co-valente que ocorre quando o par de el´etrons compartilhado entre dois ´atomos prov´em apenas de Para que o ´atomo possa fazer uma ligac¸a~o coordenada ele tem A ligac¸a~o coordenada ´e indicada por uma seta do ´atomo que O nu´mero m´aximo de ligac¸o~es coordenadas que os na~o-metais podem oferecer ´e: No caso do mono´xido de carbono, temos um bom exemplo: o oxig^enio faz uma ligac¸a~o dativa com o carbono, isto ´e, com- partilha coordenadamente com ele seus pares eletro^nicos. Con- forme podemos ver na Fig. (2.3):

Orbitais Moleculares Para visualizarmos melhor as ligac¸o~es co-valentes (a´tomos for- mando mol´eculas), estudaremos as ligac¸o~es sob o ponto de Orbital molecular ´e a regi~ao em torno dos nu´cleos de maior pro- Ha´ dois tipos de orbital molecular: Orbital Molecular ? (sigma), ou simplesmente ligac¸a~o ?, ´e aquele formado na interpenetrac¸a~o de orbitais at^omicos se- Orbital Molecular ?, ou simplesmente ligac¸a~o ?, ´e aquele for- mado na interpenetrac¸a~o de orbitais at^omicos p exclusivamente segundo os eixos paralelos.

Exemplo H2 (mol´ecula H : H ou H - H) O hidrog^enio apresenta apenas um el´etron no orbital s, que sabemos ser esf´erico: 1s1, e precisa de mais um el´etron para Quando ocorre a aproximac¸a~o de outro ´atomo de hidrog^enio, o nu´cleo positivo de um atrai a eletrosfera do outro.

133 -- ++ Como consequ¨^encia dessa atrac¸a~o, teremos a aproximac¸a~o re- Overlap ´e a interpenetrac¸a~o dos orbitais at^omicos formando Na formac¸a~o do overlap ha´ uma dist^ancia ideal entre os nu´cleos de cada ´atomo, onde a repulsa~o das cargas de mesmo sinal compensa a atrac¸a~o das cargas de sinais diferentes.

NocasodoH2,H-H,temosorbital?(s-s).Anotac¸a~o?(s- s) signi?ca orbital molecular ? feito atrav´es de dois orbitais at^omicos do tipo s.

Pense um Pouco! · Quais sa~o as principais utilidades das Ligac¸o~es Qu´?micas na natureza?

· Como os elementos qu´?micos sa~o encontrados na natureza, Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

mosf´erico). Assinale a alternativa que descreve os tipos de ligac¸o~es qu´?micas encontradas neste ga´s: a) 2 io^nicas e 2 co-valentes b) 2 ligac¸o~es dativas c) 4 ligac¸o~es duplas d) 2 sigmas e 2 pi e) 4 ligac¸o~es sigmas

Exerc´?cios Complementares 4. (ACAFE-99) Um metal alcalino terroso (M) apresenta dois el´etrons na sua camada de val^encia. A alternativa que indica a f´ormula de um o´xido e de cloreto desse metal, respectivamente ´e: a) M2O - M2Cl b)M2O-MCl c)MO2-MCl2 d)MO-MCl2 e)MO-MCl4 5. (UFSC) Na mol´ecula H - O - O - H, existe: a) nenhuma ligac¸a~o io^nica b) tr^es ligac¸o~es co-valentes c) tr^es ligac¸o~es sigmas d) tr^es ligac¸o~es io^nicas e) duas ligac¸o~es meta´licas

Qu´?mica Aula 5 A Estrutura da Mat´eria Propriedades Gerais De acordo com a teoria cin´etica molecular, todas as formas de mat´eria sa~o compostas de part´?culas pequenas e que se mo- vem rapidamente. Ha´ duas razo~es principais por que os gases, l´?quidos e so´lidos diferem tanto uns dos outros. Uma ´e a rigidez do empacotamento das part´?culas e outra ´e a intensidade das forc¸as atrativas entre elas. Podemos listar como propriedades in?uenciadas por estas duas razo~es o seguinte:

Compressibilidade Num ga´s, as mol´eculas esta~o bastante separadas, de forma que ha´ muito espac¸o vazio dentro do qual elas podem ser comprimi- das, por isso os gases sa~o bastante compress´?veis. Entretanto, as mol´eculas num l´?quido ou so´lido esta~o rigidamente empaco- tada se ha´ muito pouco espac¸o vazio entre elas, sendo enta~o virtualmente incompress´?veis.

Difus~ao Comparadas com as mol´eculas de um l´?quido ou so´lido, as mol´eculas de um ga´s se difundem rapidamente, uma vez que as dist^ancias que elas se movem entre as coliso~es sa~o relati- vamente grandes. Em virtude de as mol´eculas num l´?quido estarem ta~o pr´oximas, a dist^ancia m´edia que elas percorrem entre as coliso~es ? o seu livre caminho m´edio ? ´e muito pe- quena, onde estas sofrem bilho~es de coliso~es antes de percorrer uma dist^ancia muito grande e essas interrupc¸o~es impedem-nas de espalhar-se atrav´es do l´?quido. A difusa~o dentro dos so´lidos ´e muito mais lenta que nos l´?quidos. Na~o so´ as mol´eculas esta~o fortemente compactadas como, tamb´em, sa~o mantidas rigida- mente no mesmo lugar.

Volume e Forma A propriedade mais ´obvia dos gases, l´?quidos e so´lidos ´e a forma como eles se comportam quando transferidos de um frasco para outro. Ambos, gases e l´?quidos sa~o ?u´?dos; eles escoam e podem ser bombeados de um lugar para outro. Um so´lido, por´em, na~o ´e um ?u´?do e mant´em tanto sua forma quanto seu volume. As forc¸as inter-moleculares de um ga´s sa~o ta~o fracas que as mol´eculas podem facilmente superar essa forc¸a e expan- dir para encher o recipiente. O que na~o acontece num so´lido, cujas forc¸as atrativas mant´em as mol´eculas mais ou menos ?r- mes num lugar, de modo que elas na~o podem se mover umas em torno das outras.

Tens~ao Super?cial Num l´?quido cada mol´ecula move-se sempre sob in?u^encia das mol´eculas vizinhas. As mol´eculas na superf´?cie de um certo re- Para uma mol´ecula chegar a superf´?cie ela deve superar esta atrac¸a~o. Ou seja, a energia potencial deve aumentar, enta~o deve-se realizar trabalho para lev´a-las at´e a superf´?cie. Por- tanto, tornar a superf´?cie de um l´?quido maior requer um gasto de energia e a quantidade de energia necessa´ria ´e enta~o a tensa~o super?cial.

Evaporac¸~ao Num l´?quido ou num so´lido, assim como num ga´s, as mol´eculas esta~o constantemente sofrendo coliso~es, dando assim origem a uma distribuic¸a~o de velocidades moleculares individuais e, evi- dentemente, de energias cin´eticas. se algumas dessas mol´eculas possu´?rem energia cin´etica su?ciente para superar as forc¸as atrativas dentro do l´?quido ou do so´lido, elas podera~o escapar atrav´es da superf´?cie para o estado gasoso ? elas evaporam. No l´?quido existem tr^es fatores que in?uenciam na velocidade de evaporac¸a~o: a temperatura, a ´area super?cial e a intensidade das atrac¸o~es super?ciais.

Forc¸as de Atrac¸~ao Inter-moleculares As atrac¸o~es dipolo-dipolo sa~o, normalmente, consideravel- A sua forc¸a tamb´em diminui muito rapidamente `a medida que a dist^ancia entre os dipolos aumenta, de forma que a dist^ancia entre os dipolos aumenta, de forma que o seu efeito entre as mol´eculas bastante afastadas de um ga´s ´e muito menor do que entre mol´eculas fortemente compactadas num l´?quido ou num so´lido. E´ por isso que as mol´eculas de um ga´s comportam-se quase como se na~o houvesse atrac¸a~o nenhuma entre elas.

Qu´?mica ? Aula 5 tremidades da ?ponte?. No estado l´?quido ha´ pontes de hi- drog^enio entre mol´eculas de ´agua. Como ha´ movimento das mol´eculas, as pontes de hidrog^enio se quebram e se restabe- lecem em seguida. No estado so´lido as pontes de hidrog^enio entre as mol´eculas de ´agua sa~o ?xas e direcionadas segundo um ^angulo de 104, 5? entre suas ligac¸o~es. Devido `a direc¸a~o das pontes de hidrog^enio na ´agua so´lida, ?cam espac¸os vazios entre as mol´eculas, responsa´veis pelo aumento de volume ao congelar.

Forc¸a de Van der Waals (ou de London) Essa forc¸a pode aparecer entre ´atomos de um ga´s nobre (por exemplo, h´elio l´?quido) ou entre mol´eculas apolares (CH4, CO2). O gelo seco quando sublima, passa do estado so´lido para o estado gasoso, rompendo as forc¸as de Van der Waals e liberando as mol´eculas das in?u^encias das outras. Sa~o as forc¸as inter-moleculares, tipo Van der Waals, que justi?cam a possi- bilidade de liqu¨efazer os gases nobres. As mol´eculas podem se unir atrav´es de polarizac¸a~o induzida temporariamente.

Os Gases Muitos gases sa~o capazes de sofrer reac¸o~es qu´?micas uns com outros. Observac¸o~es experimentais feitas por Gay-Lussac for- maram a base da Lei de Combinac¸~ao dos Volumes

A Lei de Combinac¸~ao de Volumes os volumes das subst^ancias gasosas que s~ao produzidas e consumidas numa reac¸~ao qu´?mica est~ao numa raz~ao de nu´meros inteiros pequenos, desde que os volumes sejam medidos nas mesmas condic¸o~es de temperatura A importa^ncia das observac¸o~es de Gay-Lussac foi posterior- mente reconhecida por Amadeo Avogadro. Ele propo^s que agora ´e conhecido como princ´?pio de Avogadro.

O Princ´?pio de Avogadro sob condic¸o~es de temperatura e press~ao constantes, volumes iguais de gases cont´em nu´meros iguais de Uma vez que nu´meros de iguais de mol´eculas signi?cam nu´meros iguais de mols, o nu´mero de mols de qualquer ga´s esta´ relacionado com o seu volume: V?n onde n ´e o nu´mero de mols do ga´s. Assim, a lei de Gay- Lussac ´e facilmente compreendida, uma vez que os volumes dos gases, reagentes e produtos, ocorrem nas mesmas razo~es que os coe?cientes na equac¸a~o balanceada.

O Mol Sabemos que os a´tomos reagem para formar mol´eculas, man- tendo entre si razo~es simples de nu´meros inteiros. Os ´atomos de hidrog^enio e oxig^enio, por exemplo, combinam-se numa raza~o de 2 para 1 a ?m de formar a ´agua, H2O. Entretanto ´e imposs´?vel trabalhar com os ´atomos individualmente, devido `as suas dimens~oes minu´sculas. Assim, em qualquer laborat´orio 135

da vida real, devemos aumentar o tamanho destas quantidades Infelizmente, por exemplo, uma du´zia de ´atomos ou mol´eculas deve-se, portanto, encontrar uma unidade maior ainda. A ?du´zia de qu´?mico?chama-se mol (unidade mol). Ele ´e com- posto de 6, 022 × 1023 objetos. Enta~o: 1 du´zia = 12 objetos 1 mol = 6, 02 × 1023 objetos

O Volume Molar E´ o volume ocupado por um mol de qualquer ga´s em condic¸o~es CNTP: · pressa~o de 1 atm ou 760 mmHg).

Veri?ca-se experimentalmente que o volume molar ´e de 22, 4 l Conclusa~o: M M g ? 6, 02 × 1023 mol´eculas ? 22, 4 l.

Observe que 1 mol ? 602.000.000.000.000.000.000.000 Pense um Pouco! Ou que um freio tem em comum com o assunto que esta- mos tratando?

· D^e exemplos de elementos qu´?micos so´lidos que evaporam, sem que haja fus~ao.

Exerc´?cios Complementares 4. (Osec-SP) Tem-se 1 litro de He; 1 litro de H2; 1 litro de CO2; e 1 litro de NH3, todos estes gases nas CNTP em recipientes separados. O recipiente que possui maior nu´mero de mol´eculas ´e o que cont´em: a) He b) H2 c) CO2 d) N H3 e) o nu´mero de mol´eculas ´e o mesmo em cada um dos quatro recipientes.

5. (PUC-RS) Os elevados pontos de ebulic¸a~o da ´agua, do ´alcool et´?lico e do ?uoreto de hidrog^enio sa~o explicados: a) atrav´es das pontes de hidrog^enio inter-moleculares b) pelas macro-mol´eculas formadas c) atrav´es de forc¸as de Van der Waals d) pelas ligac¸o~es co-valentes dativas que se formam entre mol´eculas destes compostos e) atrav´es das pontes de hidrog^enio intra-moleculares 6. (PUC) Qual a massa total da seguinte mistura: 0, 25 mol de oxig^enio mais 3 × 1022 mol´eculas de oxig^enio mais 3 g de a) 11, 8 g b) 12, 6 g c) 23, 6 g d) 32 g e) 34 g

Qu´?mica Aula 6 Teoria Cin´etica dos Gases As mol´eculas de um ga´s ocupam o volume do recipiente que as cont´em. A energia que mant´em as mol´eculas de um ga´s em movimento ´e a energia cin´etica, que ´e diretamente proporcional a temperatura absoluta (Kelvin).

Ec ? T onde Ec = energia cin´etica T = temperatura de Kelvin

G´as Ideal Um ga´s ´e considerado perfeito (ideal) quando obedece `as se- guintes condic¸o~es: · No estado gasoso o movimento das mol´eculas ocorre de maneira cont´?nua e ca´otica, descrevendo trajet´orias re- til´?neas;

· O volume da mol´ecula ´e desprez´?vel em relac¸a~o ao volume do recipiente que a cont´em;

· Uma mol´ecula na~o sente a presenc¸a da outra (na~o ha´ in- terac¸a~o, forc¸as de Van der Waals, entre as mol´eculas);

· Os choques entre as mol´eculas, se ocorrerem, sa~o perfeita- mente el´asticos (a mol´ecula na~o ganha nem perde energia cin´etica)

G´as Real Um ga´s real se aproxima do comportamento de um ga´s perfeito `a medida que se torna mais rarefeito (diminui o nu´mero de mol´eculas) e se encontra a baixa pressa~o e a alta temperatura.

Leis dos Gases Ideais O estado de um ga´s ´e de?nido quando sabemos sua pressa~o, temperatura, e volume Essas grandezas sa~o as varia´veis de Se mantivermos constante uma de suas varia´veis, poderemos estudar de que maneira variam as outras.

Transformac¸~ao Isot´ermica (Lei de Boyle-Mariotte) a uma temperatura constante, o volume ocupado por uma quantidade ?xa de g´as ´e inversamente proporci- Isso pode ser expresso matematicamente como:

1 V ? (2.1) P A proporcionalidade pode ser transformada numa igualdade pela introduc¸a~o de uma constante de proporcionalidade. As- sim,

1 V? P P V = constante p1V1 = p2V2 Desta forma, a temperatura constante, se aumentarmos a pressa~o, o volume diminui; se diminuirmos a pressa~o o volume aumenta.

Transformac¸~ao Isob´arica (Lei de Charles) `a press~ao constante, o volume de uma dada quantidade de um g´as ´e diretamente proporcional ´a sua tempera- Escrevendo esta Lei matematicamente, temos: V ? T (2.2) Transformando a proporcionalidade em igualdade e rearran- jando, obtemos

V = constante (2.3) T V1 V2 = (2.4) T1 T2

Desta forma, se a pressa~o ´e constante, ´a medida que aumen- diminuindo a temperatura, o volume diminuira´.

Qu´?mica ? Aula 6 Transformac¸~ao Isoco´rica, Isom´etrica ou Isovo- lum´etrica (Lei de Charles-Gay Lussac) a volume constante, a press~ao ´e diretamente propor- Matematicamente temos que: P ? T (2.5) ou tamb´em,

P = constante (2.6) T p1 p2 = (2.7) T1 T2

Se aumentarmos a temperatura, a pressa~o aumentara´; se di- Lei Combinada dos Gases As equac¸o~es correspondentes `as leis de Boyle-Mariotte e Charles-Gay Lussac podem ser incorporadas em uma u´nica equac¸a~o, que ´e u´til para muitos ca´lculos. Esta ´e PiVi Pf Vf = (2.8) Ti Tf Da mesma forma que para as leis separadas, a lei combinada dos gases veri?ca-se somente se a quantidade de ga´s for cons- tante. Onde o ga´s deve estar submetido `as CNTP.

Lei dos Gases Ideais Discutimos, assim, tr^es relac¸o~es (2.1, 2.2, 2.5) de volume a que Podemos combina´-las, para obter 1 V ? n (T ) ou (2.9) P nT V ? (2.10) P

Casos Particulares · Se n e T forem constantes na equac¸a~o (2.10) teremos a lei de Boyle-Mariotte;

· Se n e P forem constantes na equac¸a~o (2.10) teremos a lei de Charles-Gay Lussac;

· Se P e T forem constantes na equac¸a~o (2.10) teremos o A proporcionalidade na equac¸a~o (2.10) pode ser transformada numa igualdade, pela introduc¸a~o de uma constante de propor- Da´?, temos: nRT V = ou (2.11) P P V = nRT (2.12) onde R = 8, 31J/mol · K.

137 A equac¸a~o (2.12) ´e obedecida por apenas um ga´s ideal hi- pot´etico e ´e uma expressa~o matem´atica da lei dos gases ide- ais. E´ tamb´em chamada equac¸a~o de estado do ga´s ideal, por- que relaciona as varia´veis (P, V, n, T ) que especi?cam as pro- priedades f´?sicas do sistema.

Lei das Press~oes Parciais de Dalton E´ simplesmente a pressa~o que o ga´s exerceria se estivesse so- zinho no recipiente, ocupando o volume total da mistura na mesma temperatura. Segundo as observac¸o~es de John Dalton, a pressa~o total ´e igual `a soma das presso~es parciais de cada ga´s, na mistura. Esta a?rmativa ´e conhecida como a lei das presso~es parciais de Dalton que pode ser expressa por: PT = pa + pb + pc + · · · (2.13) onde PT ´e a pressa~o total da mistura e pa , pb , pc sa~o as Pressa~o parcial (P ?) ´e o produto da frac¸a~o molar pela pressa~o total dos gases.

P ? = Xga´s · Ptotal mistura (2.14) ga´s Volumes Parciais Volume parcial ´e o volume que o ga´s ocuparia estando sozinho O volume total ´e a soma dos volumes parciais de cada ga´s, na O volume parcial (V) ´e dado pelo produto de frac¸a~o molar do ga´s pelo volume total da mistura.

V ? = Xga´s · Vtotal mistura (2.15) ga´s Mudan¸cas de Estado F´?sico Uma subst^ancia pura pode apresentar-se sob tr^es formas de agregac¸a~o da mat´eria: s´olido, l´?quido, gasoso (aceita-se o quarto estado da mat´eria: plasma). Cada fase depende das condic¸o~es f´?sicas de pressa~o e temperatura.

Fus~ao e Solidi?ca¸c~ao Na fase so´lida, as mol´eculas de uma subst^ancia esta~o forte- Fornecendo calor a um so´lido, as mol´eculas absorver~ao a ener- gia, aumentando a amplitude de sua vibrac¸a~o, rompendo o reticulado cristalino e passando para a fase l´?quida, onde as mol´eculas esta~o ligadas entre si com menor intensidade do que na fase so´lida.

· A temperatura em que ocorre a passagem de fase · A temperatura em que ocorre a passagem de fase l´?quida para a s´olida ´e denominada ponto de solidi- ?cac¸a~o.

Vaporiza¸c~ao e Condensac¸~ao p 2 Existem tr^es maneiras de se efetuar a vaporizac¸a~o:Liquido 1. Vaporizac¸~ao t´?pica ou ebulic¸~ao: mudanc¸a de fase a determinada pressa~o e temperatura. Por exemplo, a ´agua entra em ebulic¸a~o a 100 ?C e `a pressa~o de 1 atm.

2. Evaporac¸~ao: feno^meno que se observa a qualquer tem- Isso ocorre porque as mol´eculas com maior velocidade es- capam atrav´es da superf´?cie livre do l´?quido. Ao ocorrer uma evaporac¸a~o, a temperatura do l´?quido diminui pois ao escaparem as mol´eculas com maior velocidade, dimi- nui a energia cin´etica. Quanto maior a ´area livre maior a evaporac¸a~o.

3. Calefac¸~ao: feno^meno que ocorre a temperaturas acima da temperatura normal de vaporizac¸a~o. E´ observ´avel, por exemplo, ao se deixar cair uma gota d'´agua numa chapa de metal, a uma temperatura acima de do ponto de vapo- rizac¸a~o.

A condensac¸a~o ´e a passagem de uma subst^ancia da fase ga- sosa para a l´?quida. Ela pode ocorrer, tamb´em, `a temperatura ambiente. Por exemplo, ao se colocar ´agua gelada num copo, observa-se a condensac¸a~o do vapor de ´agua do ar na sua parede externa.

Solidificacao Fusao Sublimacao Liquido Condensacao Vaporizacao Solido Gasoso Sublimacao Inversa

Diagrama de Fases Colocando-se em um u´nico diagrama, as curvas de equil´?brio entre as fases de uma subst^ancia pura, tem-se o diagrama de O ponto de equil´?brio entre as tr^es fases ´e denominado ponto Para o di´oxido de carbono (CO2), o ponto triplo ´e de?nido por: · temperatura: -56, 6 ?C · pressa~o: 5 atm A ´agua tem o seu ponto triplo de?nido por: Para o di´oxido de carbono (CO2), o ponto triplo ´e de?nido por: · temperatura: 0, 01 ?C ·pressa~o:4,58mmHg P C Solido P T3 1 Vapor Gas

p 2 Liquido P C Solido P T3 1 Vapor Gas Sublima¸c~ao Abaixo da temperatura do ponto triplo, existe uma curva de- nominada curva de sublimac¸~ao, que representa as condic¸o~es de pressa~o e temperatura nas quais uma subst^ancia pode pas- sar diretamente da fase so´lida para fase gasosa ou vice-versa sem se transformar em l´?quido.

Pense um Pouco! · Por que dentro de uma panela de pressa~o, ´e poss´?vel manter-se a ´agua na fase l´?quida acima dos 100 C ? Quais sa~o os benef´?cios que isso nos traz?

Qu´?mica ? Aula 7 d) O ponto de fus~ao da ´agua aumenta e o ponto de ebulic¸a~o e) O ponto de fus~ao e o ponto de ebulic¸a~o da ´agua na~o sa~o alterados com o aumento da pressa~o.

2. (STA. CASA-SP) Quando voc^e assopra a sua pele u´mida de ´agua, sente que a pele esfria. Isto se deve ao fato de: e) a ´agua absorve calor da pele para evaporar-se.

3. (ACAFE) Bolinhas de naftalina sa~o colocadas nos roupeiros para combater as trac¸as pois elas dani?cam as roupas. Com o tempo as bolinhas diminuem de tamanho. A causa disso deve-se: e) a sua sublimac¸a~o.

Exerc´?cios Complementares 4. (VUNESP) Indique a alternativa que indica um feno^meno qu´?mico: e) Evaporac¸a~o da ´agua do mar.

5. (ACAFE) Do petro´leo podemos extrair v´arios materiais importantes para o homem, como a gasolina, o GLP, a para- ?na, o metano e outros. Sobre o petro´leo e seus derivados na~o podemos a?rmar: b) GLP ´e a sigla para G´as Liqu¨efeito de Petro´leo e ´e basica- c) a para?na ´e uma mistura de alcanos superiores ou seja de e) o ga´s metano principal componente do ga´s natural, conhe- (ACAFE) Algumas subst^ancias em contato com a pele, nos da~o uma sensac¸a~o de estarem frias. Dentre elas podemos des- tacar o ´eter comum. Isso ocorre por que: f) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo g) o ´eter ao cair na pele, evapora, e este ´e um processo en- j) o ´eter ´e resfriado.

Qu´?mica Aula 7 139 A´ cidos e Bases Nesta aula sera~o apresentados dois conceitos qu´?micos funda- mentais: ´acido e base.

A´ cidos e Bases de Arrhenius Func¸o~es Qu´?micas sa~o grupos de subst^ancias com propriedades semelhantes. As func¸o~es inorga^nicas sa~o quatro: ´acidos, bases, A´ cidos sa~o compostos com sabor azedo (vinagre, frutas Bases sa~o compostos de sabor adstringente (leite de magn´esia A´ cidos e Bases atuam sobre indicadores coloridos - subst^ancias que possuem duas colorac¸o~es, dependendo do meio em que se encontram.

Indicador Meio A´ cido Meio B´asico Tornassol Vermelho Azul Fenolftale´?na Incolor Vermelho

De?nic¸o~es de Arrhenius A´cido ´e qualquer composto molecular que em soluc¸a~o aquosa sofreionizac¸a~oliberandocomou´nicoca´tiono´?onH+ouH3O+ Exemplos

HCl + H2O ? H+ + Cl - HNO3+H2O?H++NO - 3 H SO + H O ? 2H+ + SO-2 242 4 HPO+H2O?3H++PO-3 34 4

Dizemos que o ´acido, que era um composto co-valente, na pre- Grau de ionizac¸a~o (?) ´e a raza~o do nu´mero de mol´eculas ioni- zadas para um total de mol´eculas inicialmente dissolvidas em ´agua. A forc¸a de um ´acido esta´ associada ao maior ou menor grau de ionizac¸a~o do mesmo.

n.o de mol´eculas ionizadas ?= total de mol´eculas dissolvidas Caracter´?sticas · Apresentam sabor azedo;

· Tornam vermelho o papel tornassol azul e a fenolftale´?na · Quando adicionados ao m´armore ou carbonatos, produ- zem uma efervesc^encia com liberac¸a~o de ga´s carbo^nico.

HCl,HCN,H2S HNO3,H2SO4,H3PO4 Nu´mero de Hidrog^enios Ioniz´aveis HCl,HCN,HNO3 · Dia´cidos: dois hidrog^enios ioniza´veis; H2S, H2SO4, H2CO3 · Tria´cidos: tr^es hidrog^enios ioniza´veis. H3SO3, H3P O4

Mas tome cuidado: H3P O2 ? mono-a´cido (um hidrog^enio ioniza´vel) H3P O3 ? di´acido (dois hidrog^enios ioniza´veis)

Volatilidade Estabilidade H2CO3 ? H2O + CO2 H2SO3 ? H2O + SO2

· Esta´veis: todos com excessa~o dos ´acidos carbo^nico e sul- furoso.

Forc¸a · Para Hidra´cidos: ? Fortes: HCl,HI,HBr ? Moderado ou Semi-Forte: HF ? Fracos: HCN,H2S · Para Oxia´cidos: m = N0 - NH+

? Exemplos: HCl ? m = 0 fraco H2CO3 ? m = 1 moderado H2SO4 ? m = 2 forte HClO4 ? m = 3 muito forte Nomenclatura dos A´ cidos Hidr´acidos Quando ionizado, um hidra´cido produz ao lado do ca´tion H+ ou H3O+, um ^anion com terminac¸a~o eto. Conforme exemplo abaixo: HCl:A´cidoClor´?drico?H++Cl-:Cloreto.(napresenc¸a de H2O)

Oxi´acidos Nomenclatura: A´cido (nome do elemento) oso(menos oxigenado) ico(mais oxigenado) Conforme podemos ver no exemplo abaixo: H SO : A´cido Sulfuroso ? 2H+ + SO-2: Sulfito. (na pre- 23 3 senc¸a de H2O) H SO : A´cido Sulfu´rico ? 2H+ + SO-2: Sulfato. (na pre- 24 4 senc¸a de H2O)

Bases Bases ou Hidr´oxidos sa~o subst^ancias que, ao serem dis- solvidas em ´agua, sofrem dissociac¸a~o io^nica, originando o ?a^nion?OH-, denominado hidroxila ou oxidrila. Os hidro´xidos sa~o compostos formados por um metal ou um ´?on positivo, ligado a hidroxila. Observe abaixo a dissociac¸a~o io^nica de algumas bases em soluc¸a~o aquosa:

NaOH?Na++OH- Fe(OH)3?Fe+3+3OH - NH4OH?NH++OH - 4 Caracter´?sticas das Bases · Apresentam sabor amargo;

· Tornam azul o papel tornassol vermelho e a fenolftale´?na Classi?ca¸c~ao das Bases Classi?ca-se as bases quanto `a:

Nu´mero de Hidroxilas (OH-) · Mono-base: possui apenas uma hidroxila. Exemplo: KOH;

· Dibase: possui apenas duas hidroxilas. Exemplo: Ca(OH)2;

Qu´?mica ? Aula 7 · Tetrabase; possui apenas quatro hidroxilas. Exemplo: Pb(OH)4.

Solubilidade em A´ gua · Solu´veis: bases formadas pelas fam´?lias 1A, 2A e NH4OH;

Forc¸a · Forte: quando a base ´e dissolvida em ´agua, ocorre dis- sociac¸a~o io^nica quase que totalmente. Bases de metais alcalinos (1A) e de metais alcalinos terrosos (2A);

Outros Conceitos de A´ cidos e Bases Conceitos de Br¨onsted-Lowry A´ cido E´ toda esp´ecie qu´?mica (mol´ecula ou ´?on) capaz de doar um pr´oton na forma de H+.

Base E´ toda esp´ecie qu´?mica (mol´ecula ou ´?on) capaz de receber um pr´oton na forma de H+.

Exemplos HCl(A´cido)+H2O(Base)? H3O+(A´cido)+Cl-(Base) (2.16) NH3(A´cido)+H2O(Base)? NH4(A´cido)+OH-(Base) (2.17) Par Conjugado A´ cido?Base Chamamos de par conjugado as esp´ecies qu´?micas que diferem entre si por um H+. No exemplo (2.16) temos o seguinte par conjugado ´acido-base:

? ? HCl - (a´cido forte) ? ? (grande facilidade doar el´etrons) ? Cl- - (base fraca) ? ? (pequena facilidade de receber el´etrons) Isso explica por que a reac¸a~o tende para o sentido direito, ou seja, da esquerda para direita.

Conceito de Lewis A´ cido E´ toda esp´ecie qu´?mica (mol´ecula ou ´?on) capaz de aceitar um par de el´etrons atrav´es da ligac¸a~o coordenada dativa.

141 Base E´ toda esp´ecie qu´?mica (mol´ecula ou ´?on) capaz de doar um par de el´etrons atrav´es da ligac¸a~o coordenada dativa.

Exemplo AlCl3(A´cido)+:Cl-(Base)?AlCl- 4 Comparando Conceitos · Lewis: o mais geral;

· Um ´acido ou base de Arrhenius sera´ tamb´em de Bro¨nnsted-Lowry e de Lewis;

· Um ´acido ou base de Bro¨nnsted-Lowry pode ou na~o ser · Existem ´acidos e bases de Lewis que na~o sa~o de Bro¨nnsted- Lowry nem de Arhenius.

Estequiometria E´ o ca´lculo da quantidade de reagentes necessa´rios e de produ- tos obtidos numa determinada reac¸a~o qu´?mica. Baseia-se nas Leis de Lavoisier (conservac¸a~o das massas), Proust (proporc¸a~o Fundamenta-se no fato de que a proporc¸a~o de mols entre rea- gentes e produtos numa reac¸a~o ´e constante, dada pelos coe?- Outro fundamento do ca´lculo estequiom´etrico ´e a de?nic¸a~o de mol.

O mol Exemplo Dada a reac¸a~o de combusta~o da acetona: C3H6O ? CO2 + H2O

Balanceando a equac¸a~o pelo m´etodo das tentativas, chegare- mos aos seguintes coe?cientes menores e inteiros:

Pense um Pouco! · O que voc^e entende por chuva ´acida? Ela pode trazer algum malef´?cio `a vida humana?

· Enumere algumas subst^ancias ´acidas e ba´sicas de uso di´ario.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Um tanque de automo´vel esta´ cheio com 60 litros de ´alcool hidratado (96% ´alcool). A densidade ´e de 0, 9 g/ml. Dada sua equac¸a~o de combusta~o completa 1C2H5OH + 3O2 ? 2CO2 + 3H2O

indique: a) a massa da ´agua obtida ao queimar-se todo o ´alcool do b) o volume de ga´s carbo^nico que sai do escapamento, supondo combusta~o completa.

2. (ACAFE) Em regi~oes industriais o anidrido sulfuroso (SO2), resultante da queima de combust´?veis f´osseis, da´ origem `a chuva ´acida na atmosfera devido a sua oxidac¸a~o e contato com a precipitac¸a~o pluviom´etrica. Em relac¸a~o a estas regi~oes, a alternativa falsa ´e: a) Sa~o Paulo e Cubata~o sa~o exemplos de cidades onde a in- b) Ocorre uma oxidac¸a~o dos porto~es de ferro com uma inten- sidade bem maior que em regi~oes distantes das regi~oes indus- c) As plantac¸o~es sa~o bastante afetadas, pois a chuva diminui d) A vegetac¸a~o pode vir a secar completamente, caso o per´?odo e) Na~o ´e recomendada a utilizac¸a~o de porto~es de alum´?nio por- que este ´e atacado pela chuva ´acida.

3. (FUVEST) Um elemento meta´lico M forma um cloreto de f´ormula MCl3. A f´ormula de seu sulfato ´e: a) M2SO4 b) MSO4 c) M2(SO)3 d) M(SO)4 e) M(SO)3

Exerc´?cios Complementares 4. (COMVESUMC) O a´cido que corresponde `a classi?cac¸a~o mono-a´cida, oxia´cido, e terna´rio ´e: a) HNO3 b) H2SO4 c) H3P O4 d) HCl e) HCNO 5. O amon´?aco usado para ?ns de limpeza ´e uma soluc¸a~o aquosa de amo^nia que cont´em ´?ons: a) hidroxila b) sulfato c) nitrato d) ca´lcio e) so´dio 6. Temos a seguinte equac¸a~o: 2O3 ? 3O2 Os nu´meros 2 e 3 que aparecem ao lado esquerdo da equac¸a~o representam, respectivamente: a) coe?ciente estequiom´etrico e nu´mero de ´atomos da mol´ecula b) coe?ciente estequiom´etrico e nu´mero de mol´eculas c) nu´mero de mol´eculas e coe?ciente estequiom´etrico d) nu´mero de ´atomos da mol´ecula e coe?ciente este- quiom´etrico e) nu´mero de ´atomos da mol´ecula e nu´mero de mol´eculas

Qu´?mica Aula 8 Solu¸c~oes Qu´?micas Concentra¸c~ao Voc^e j´a reparou, por exemplo, que numa dada quantidade de ´agua podemos dissolver quantidades menores ou maiores de sal comum, desde que evidentemente, na~o ultrapassemos o ponto Pois bem, chama-se concentrac¸~ao de uma soluc¸a~o a toda e qualquer maneira de expressar a proporc¸a~o existente numa Usaremos a seguinte convenc¸a~o: ms ? massa do soluto msv ? massa do solvente mt ? massa do soluc¸a~o onde mt = ms + msv (2.18)

T´?tulo E´ o quociente de massa do soluto pela massa total da soluc¸a~o (soluto + solvente).

ms T = (2.19) msv ou ms ? = (2.20) ms + msv sendo o t´?tulo uma grandeza adimensional.

Porcentagem em Massa P E´ o quociente da massa do soluto (multiplicado por 100) pela massa total da soluc¸a~o (soluto + solvente).

Qu´?mica ? Aula 8 143

Concentra¸c~ao Comum C Normalidade E´ o quociente da massa do soluto (emgramas), pelo volume E´ o nu´mero de equivalentes-gramas do soluto dividido pelo da soluc¸a~o (emlitros). volume da soluc¸a~o em litros.

ms NE C = (2.23) N = (2.29) VV

onde a relac¸a~o entre a concentrac¸a~o comum, t´?tulo e densidade Observac¸~ao: a melhor maneira de se calcular a normalidade da soluc¸a~o ´e ´e a partir da molaridade, usando a expressa~o: C = d · ? · 1000 (2.24) N = M · x (2.30) Onde: Resumo das Principais Equa¸c~oes C ? Concentrac¸a~o Comum (g/l) Relac¸o~es das Massas d ? Densidade (g/ml) ? ? T´?tulo m = m1 2 +m Nu´mero de Mols Molaridade M m1 n1 = Concentrac¸a~o em M ol/l ou Molaridade M ´e o quociente do mol1 Sendo: Densidade m ns ? nu´mero de mols do soluto d = V d ? massa do soluto (g) Ms ? massa molar do soluto (g) T´?tulo V ? volume da soluc¸a~o (l) m1 T= M ? molaridade (mols) m Porcentagem em Massa m1 ns P = 100 · M = (2.25) m V onde ms Concentrac¸~ao (g/l) ns = (2.26) Ms m 1 C= V Equivalente-Grama Molaridade E´ a massa molar do soluto dividida pela carga total do ca´tion n1 ou do ^anion de uma subst^ancia. M = V

Pense um Pouco! · Pense em poss´?veis aplicac¸o~es dos conceitos apresentados at´e aqui, referentes a soluc¸o~es e cite alguns exemplos.

· Se fervermos uma soluc¸a~o de ´agua+sal, e a ´agua for eva- porando, o que acontece com as propriedades da soluc¸a~o (M , ? , P , etc)?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ACAFE) A massa de BaCl2 necessa´ria para preparar 25 litros de soluc¸a~o 0, 1 M deste sal sera´: a) 208 g b) 520 g c) 260 g d) 416 g e) 71 g 2. (ACAFE) A ur´eia, NH2CONH2, ´e um produto do meta- bolismo de prote´?nas. Que massa de ur´eia ´e necessa´ria para a) 5, 1 g b) 12, 0 g c) 18, 0 g d) 24, 0 g e) 6, 0 g 3. (ACAFE) A concentrac¸a~o de NaCl na ´agua do mar ´e de 0, 43 mol/l. O volume em l, de ´agua do mar que deve ser evaporado completamente para a produc¸a~o de 5 kg de sal de cozinha ´e aproximadamente: a) 12 l b) 25 l c) 40 l d) 200 l e) 430 l

Exerc´?cios Complementares 4. (ACAFE) Para uma soluc¸a~o a 20 % em massa e densidade a) 80 g/l b) 800 g/l c) 8 g/l d) 8000 g/l e) 400 g/l 5. (ACAFE) Uma gota de ´agua ocupa um volume aproxi- mado de 0, 0500 ml. Sabendo-se que a densidade da ´agua ´e 1, 00 g/cm3. O nu´mero de mol´eculas por gota de ´agua sera´: a) 1, 67 × 1021 b) 1, 67 × 1023 c) 6, 00 × 1023 d) 6, 00 × 1021 e) 3, 00 × 1021 6. Uma soluc¸a~o de AgN O3 a 1, 00 % em ´agua ´e utilizada para tratar os olhos de rec´em-nascidos. Sendo a densidade da soluc¸a~o 1, 08 g/ml, a sua molaridade em mol/l ´e: a) 1, 0 mol/l b) 0, 10 mol/l c) 20 mol/l d) 0, 5 mol/l e) 0, 06 mol/l

Qu´?mica Aula 9 Equil´?brio I^onico E´ um equil´?brio qu´?mico em que aparecem ´?ons. Ocorre com ´acidos bases e os sais, considerados eletro´litos.

Exemplos HCN??H++CN- no de moles dissociados ?= no inicial de moles ou seja ? = grau de dissociac¸a~o io^nica A constante de ionizac¸a~o segue a Lei de Guldeberg-Waage.

HCN??H++CN- [H + ].[C N ] Ka = [HCN] Ka = constante de dissociac¸a~o io^nica para ´acidos, Kb = para bases pKa = -logKa Ka = 4, 0 × 10-10 pKa = -log(4, 0 × 10-10) pKa = 9, 4 Quanto maior ? ? maior ionizac¸a~o ? maior ´e o numerador A partir da expressa~o de Ka, quanto mais ionizado o ´acido se encontra: - maior a quantidade de ´?ons em soluc¸a~o;

A forc¸a de um ´acido ´e medida pela sua capacidade de produzir ´?ons H+ em soluc¸a~o aquosa. Portanto, quanto maior o valor de Ka:

Qu´?mica ? Aula 9 Lei da Dilui¸c~ao de Ostwald Vamos ver o que ocorre com o grau de ionizac¸a~o (?) ao fazer- mos uma diluic¸a~o da soluc¸a~o por acr´escimo de solvente. Para isso, consideremos a ionizac¸a~o de um ´acido HA:

HA(aq) ?? H+ + A-(aq) (aq) In´?cio n 0 0 Equil´?brio n - x x x no de mole´culas ionizadas ?= no de mole´culas adicionadas x/n = x = ?n [H+] = x/V = n?/V [A-] = x/V = n?/V [HA] = n - x/V = n - n?/V = n(1 - ?)/V [H+] [A-] n?/V ? n?/V Ka = = [H A] n(1- ) V

n? ? n? V Ka = ? V V n(1 - ?) n?2 Ka = -(1 - ?) Cn?2 Ka = 1-? Esta expressa~o representa a Lei de Diluic¸a~o de Wilhelm Considerando uma diluic¸a~o por acr´escimo de solvente, temos que, se o volume aumenta, devido ao acr´escimo de solvente, a concentrac¸a~o em quantidade de mat´eria diminui:

n/V = Cn -? V aumenta ?? Cn diminui admitindo um aumento inde?nido de volume, ou seja, V ten- dendo ao in?nito, Cn vai tender a zero. Enta~o, na expressa~o da lei, se Cn tende `a zero, Cn?2 tamb´em tende `a zero: Cn?2 Ka = = Cn?2 = Ka(1 - ?) 1-? se Cn?2 tende a zero, enta~o Ka(1 - ?) tamb´em tende `a zero (Ka ´e constante). Logo: Ka(1 - ?) tende a 0 -? 1 - ? tende a zero -? -? tende a O fato de o grau de ionizac¸a~o tender a 1 signi?ca que a ionizac¸a~o tende a ser total (100%), ou seja, o nu´mero de mol´eculas ionizadas tende a ser igual ao de mol´eculas adici- onadas: ? = x/n, x = n?, x = n, (? = 1) ?O acr´escimo de solvente de uma soluc¸a~o, ou seja, uma di- luic¸a~o, provoca um aumento do grau de ionizac¸a~o?.

145 O odor do peixe ´e causado pela presenc¸a de aminas proveni- entes da decomposic¸a~o de algumas prote´?nas do peixe. Estes compostos orga^nicos sa~o ba´sicos e, portanto, para retirar o seu cheiro desagrada´vel das m~aos, basta adicionar um ´acido, como o vinagre ou lim~ao. Uma das aminas causadoras do odor ´e a metilamina, que apresenta o seguinte equil´?brio: CH3-NH2+H2O??CH3-NH3++OH- Metilamina Base

A adic¸a~o de ´acidos desloca o equil´?brio para a direita, elimi- nando o odor causado pela amina.

Pense um Pouco! · O grau de dissociac¸a~o io^nica do ´acido ac´etico, em solu¸ca~o 0,02 molar, ´e de 3% a 25 ?C. Calcule a constante de ionizac¸a~o ? desse ´acido `a 25 ?C.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (Acafe-SC) Assinale a alternativa que corresponde ao grau de ionizac¸a~o do ´acido cian´?drico, HCN, numa soluc¸a~o 0,01 mo- lar, sabendo que a sua constante de ionizac¸a~o ´e de 4.10-10 ( a) 0, 02 b) 2 × 104 c) 2 × 10-4 d) 4 × 10-2 e) 4 × 10-4 2. (UFSM-RS) Considere as constantes de ionizac¸a~o dos ´acidos I, II e III: KI = 7, 0 × 10-5, KII = 1, 0 × 10-7, KIII = 2, 0 × 10-9 Colocando-se em ordem crescente de acidez, tem-se: e) III, II e I.

3. (UDESC) Somente tem signi?cado de?nir constante de io- nizac¸a~o para: e) Eletro´litos fracos em soluc¸o~es dilu´?das.

c) 5, 82 × 10-4 molar d) 5, 40 × 10-5 molar e) 5, 40 × 10-7 molar 5. (USP-SP) O grau de ionizac¸a~o do ´acido ac´etico (HAc), numa soluc¸a~o 0,5M, ´e de 6 × 10-1%. Calcule a constante de ionizac¸a~o desse ´acido.

6. (UDESC) O peixe cru´, preparado com suco de lim~ao ou vinagre, ´e consumido em diversos pa´?ses. Esse prato ´e fa´cil digesta~o, porque o suco de lim~ao ou vinagre: d) Forma a soluc¸a~o ´acida e hidrolisa as prote´?nas do peixe.

Qu´?mica B ? Aula 1 Qu´?mica B Aula 1 Qu´?mica ´e a ci^encia que estuda a natureza da mat´eria, suas propriedades, suas transformac¸o~es e a energia envolvida nesses A qu´?mica esta´ presente em toda mat´eria orga^nica e inorga^nica, natural e arti?cial e tem contato di´ario e direto com o homem.

147 M´etodo Cient´??co Desenvolvido por Galileu Galilei o m´etodo cient´??co ´e a base de ¯ toda a Ci^encia, pois sintetiza o conjunto de atividades que vi- sam observar, experimentar, explicar e relacionar os feno^menos da natureza, criando leis, teorias e modelos cada vez mais ge- rais, que nos permitam prever e controlar os feno^menos futu- Observac¸~ao ? Hip´oteses ? Experimentac¸~ao ? Medic¸~ao ? Leis experimentais ? Modelo cient´??co Fen^omenos Qu´?micos e F´?sicos Feno^meno ´e qualquer acontecimento da natureza. Quando ocorre um feno^meno, uma transformac¸a~o, ha´ alterac¸a~o no sis- tema do estado inicial ao estado ?nal.

Antoine Lavoisier (1743-1794) Podemos dizer que tudo comec¸ou com o homem primitivo, quando ele aprendeu a ?produzir o fogo?, a coser seus alimen- tos, a fazer tintas para se pintar, a usar plantas como rem´edio para suas doenc¸as, etc. No comec¸o da era crista~, surgiram os chamados alquimistas, que sonhavam em descobrir o ?elixir da longa vida?, aperfeic¸oaram t´ecnicas de metalurgia, intro- duziram a qu´?mica medicinal, sintetizaram v´arias substa^ncias, isolaram outras, al´em de terem registrado um grande nu´mero A partir do s´eculo XVII, a ci^encia se transforma, tornando-se mais experimental e menos ?los´o?ca. Dentre os cientistas com essa nova proposta, destacam-se o ingl^es Robert Boyle(1627- 1691)- com seus estudos sobre o comportamento dos gases, a distinc¸a~o entre mistura e ?combinac¸a~o?, e o franc^es Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794) publicou (Tratado elementar de Qu´?mica) que estabeleceu um marco na qu´?mica moderna, no qual podemos destacar o Princ´?pio da Conservac¸a~o da Massa, a descoberta do elemento oxig^enio e sua ana´lise quantitativa da composic¸a~o da ´agua. Por seu trabalho, Lavoisier ´e considerado o ?pai da Qu´?mica?.

A Import^ancia da Qu´?mica Podemos dizer que tudo `a nossa volta ´e qu´?mica, pois todos os materiais que nos cercam passaram ou passam por algum tipo de transformac¸a~o. A qu´?mica proporciona progresso, desenvol- vimento e atrav´es do uso dela que suprimos as necessidades: O uso de materiais de limpeza e higiene, roupas de ?os arti?ci- ais, desenvolvimento da indu´stria farmac^eutica, fertilizantes e pesticidas para plantac¸a~o, produtos industrializados cuja ob- tenc¸a~o depende de transformac¸o~es qu´?micas como pl´asticos, vidros, tintas, cimento etc.

Figura 2.1: O pai da Qu´?mica: Lavoisier (1743-1794) Feno^meno F´?sico E´ qualquer transformac¸a~o sofrida por um material sem que ocorra alterac¸~ao de sua constituic¸a~o ´?ntima de seus consti- tuintes. Ex: o amassar do papel, evaporac¸a~o da ´agua, quebra de um objeto.

Feno^meno Qu´?mico E´ qualquer transformac¸a~o sofrida por um material de modo que haja alterac¸~ao na sua constituic¸a~o ´?ntima de seus cons- tituintes. Ex: oxidac¸a~o do ferro (formac¸a~o da ferrugem), apo- drecimento de um alimento.

Pense um Pouco! · Fatos comuns envolvendo materiais e transformac¸o~es qu´?micas sa~o de conhecimento recente ou antigo?

· Quais as atividades do seu dia em que a qu´?mica esta´ Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

2. (UFSC) Indique na relac¸a~o abaixo os feno^menos f´?sicos (F) a) ( ) Queima da gasolina nos motores dos carros b) ( ) Digest~ao dos alimentos ingeridos c) ( ) Formac¸a~o de ferrugem d) ( ) Quebra de um objeto e) ( ) En?ar um prego na madeira f) ( ) Derretimento de um iceberg 3. (UFPR) Aquecer uma barra de ferro at´e o ponto de fus~ao, recolher o l´?quido em uma forma esf´erica, transformando a barra em uma bola de ferro, ´e exemplo de feno^meno: e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. (F.E.-SP) Sejam os seguintes feno^menos: I. sublimac¸a~o da naftalina, II. formac¸a~o da ferrugem, III.queima do ´alcool comum, IV.fus~ao do gelo. Sa~o qu´?micos: a) todos b) nenhum c) somente II e III d) somente I e III e) somente II e IV 5. (MACKENZIE-SP) I. Fus~ao do gelo, II. Sublimac¸a~o do iodo, III. Digest~ao dos alimentos, IV. Queima de madeira. Sa~o exemplos de feno^menos: a) I e II qu´?micos b) I e IV f´?sicos c) II e III f´?sicos d) II e IV qu´?micos e) III e IV qu´?micos 6. (UDESC) Aquecendo uma ?ta de magn´esio at´e a com- busta~o, notamos o desprendimento de fumac¸a, restando um po´ branco. Isso ´e exemplo de feno^meno: c) F´?sico, pois podemos juntar o po´ branco e a fumac¸a, recu- e) n. d. a.

Qu´?mica B Aula 2 Mat´eria e Energia Mat´eria ´e tudo aquilo que tem massa e ocupa lugar no espac¸o, ou seja, t^em volume.

Corpo ´e qualquer porc¸a~o limitada da mat´eria. Se uma porc¸a~o de mat´eria se presta a um certo uso, ela ´e chamada de objeto Durante a queima de uma vela (mat´eria), ela se desgasta, pro- duzindo fumac¸a (mat´eria: fuligem e gases) e liberando energia Desse modo, podemos conceituar energia como tudo aquilo que pode modi?car a estrutura da mat´eria, provocar ou anular mo- vimentos e, ainda, iluminar aquecer e resfriar pode at´e causar Princ´?pio da conservac¸a~o de mat´eria e energia: A mat´eria e energia na~o podem ser criadas nem destru´?das; podem somente ser transformadas.

Lei da Conserva¸c~ao da Massa ?A soma das massas dos reagentes ´e igual a soma das Ou ainda, ?Na natureza, nada se cria, nada se perde; tudo se transforma?.

Estados da Mat´eria Existem v´arios tipos de mat´eria e cada um ´e chamado de subst^ancias que podem se apresentar num dos tr^es estados f´?sicos:

S´olido (S) A subst^ancia apresenta forma e volume constantes (part´?culas fortemente unidas, bem arrumadas e com movimento vi- brato´rio discreto);

L´?quido (L) A subst^ancia apresenta forma varia´vel e volume constante (part´?culas levemente unidas, havendo certa liberdade de mo- vimento);

Gasoso (G) A subst^ancia apresenta forma e volume variados (part´?culas li- vres umas das outras, havendo total liberdade de movimento);

Mudan¸cas de Estado · Fus~ao (S ? L): a subst^ancia funde `a temperatura ?xa (ponto de fus~ao) a uma certa pressa~o. Ex.: o gelo funde `a 0?C ao n´?vel do mar.

· Solidi?cac¸~ao (L ? S): a subst^ancia solidi?ca `a uma temperatura ?xa igual ao ponto de fus~ao, j´a que o pro- cesso ´e inverso ao da fus~ao. Ex.: o congelamento da ´agua tamb´em ocorre `a 0?C ao n´?vel do mar, quando a tempe- ratura esta´ baixando;

Qu´?mica B ? Aula 2 1. Evaporac¸a~o: ocorre `a temperatura ambiente ´e lenta e esponta^nea (ex: a ´agua de um lago evapora com o 2. Ebuli¸ca~o: ocorre quando fornecemos calor ao l´?quido, ´e ra´pida e violenta (ex: uma chaleira d'´agua fer- 3. Calefac¸a~o: ocorre quando se borrifa um l´?quido numa chapa aquecida acima do seu ponto de ebulic¸a~o (ex.: pingar uma gota d'´agua numa chapa de ferro muito quente).

· Condensac¸~ao G ? L: a subst^ancia no estado gasoso ´e resultado de um l´?quido vaporizado que, ao sofrer um res- friamento, retorna ao estado l´?quido por condensac¸a~o. (ex: Outro processo similar ´e a Liquefac¸~ao: ´e a condensac¸a~o de uma subst^ancia que em condic¸o~es ambientes, ´e um ga´s que ao comprimi-la (aumentar a pressa~o) passa para o estado l´?quido (ex.: o ga´s de cozinha ´e comprinido num botija~o e se liquefaz ? ga´s liquefeito de petro´leo (GLP)).

· Sublimac¸~ao S ? G: a subst^ancia passa da forma so´lida diretamente para o estado gasoso (ex: naftalina, iodo, ca^nfora).

Part´?culas e A´ tomos Toda a mat´eria conhecida ´e formada por tr^es tipos de part´?culas elementares fundamentais: · Pr´oton: part´?cula massiva que possui uma carga el´etrica elementar positiva (+e) e participa da formac¸a~o do nu´cleo dos ´atomos;

· N^eutron: part´?cula tamb´em massiva que na~o possui carga el´etrica, mas desempenha um importante papel na estrutura e estabilidade interna do nu´cleo dos ´atomos, re- duzindo a repulsa~o coulombiana entre os pr´otons;

· El´etron: part´?cula muito leve que possui uma carga ele- mentar negativa (-e) e circula o nu´cleo at^omico, for- mando uma esp´ecie de nuvem (orbital). No seu movi- mento ao redor do nu´cleo, apresenta um ?comportamento duplo? de part´?cula e onda; da´? dizer-se que a natureza do O princ´?pio da incerteza, de Heisenberg, diz que: ?E´ imposs´?vel se determinar simultaneamente a posic¸a~o e a velocidade de um el´etron.? Com base nesse princ´?pio, criou-se modernamente a id´eia de orbital, como sendo a regi~ao onde ha´ grande possi- bilidade (probabilidade) do el´etron ser encontrado. Na pr´atica, podemos pensar no el´etron como uma ?nuvem? que circunda o nu´cleo.

Elementos e Subst^ancias Todos as subst^ancias encontradas na natureza sa~o constitu´?das por combinac¸o~es de ´atomos, que por sua vez, sa~o as estruturas f´?sico-qu´?micas esta´veis elementares.

· Elemento qu´?mico: ´e o conjunto de todos os ´atomos 149 · Subst^ancia Simples: sa~o subst^ancias formadas por ´atomos de um amesmo mesmo elemento qu´?mico, e que por ac¸a~o de agentes f´?sicos na~o se decompo~e, e portanto, Chama-se de alotropia o feno^meno pelo qual um u´nico elemento qu´?mico forma duas ou mais subst^ancias sim- ples diferentes. Exemplo: o carbono pode ser encontrado na natureza em duas formas diferentes: o gra?te e o dia- mante.

· Subst^ancias Compostas: sa~o formadas por ´atomos de dois ou mais elementos qu´?micos diferentes, e que por ac¸a~o de agentes f´?sicos, se decompo~em formando duas ou mais subst^ancias novas. Exemplos: ´agua + eletricidade ? ga´s oxig^enio + ga´s hidrog^enio.

Sistemas e Misturas Para acilitar o estudo da Qu´?mica de?nimos: · Sistema: ´e uma parte do universo f´?sico que cont´em ou na~o mat´eria, cujas propriedades esta~o sob investigac¸o~es cient´??cas.

· Mistura Homog^enea: mistura de subst^ancias que apre- senta u´nico aspecto e as mesmas caracter´?sticas em toda a sua extens~ao. A mistura homog^enea pode ser uma soluc¸a~o monofa´sica, por exemplo ´agua + ac¸u´car, ou uma liga meta´lica, como exemplos temos o lata~o (cobre (Cu) + zinco (Zn)) ou o bronze (cobre (Cu) + estanho (Sn)).

· Mistura Heterog^enea: mistura que apresenta v´arios aspectos f´?sicos, sendo poss´?vel de distinguir seus compo- nentes (polifa´sica). Exemplo: ´agua + ´oleo + areia.

Pense um Pouco! · O iodo (I) ´e um so´lido de cor castanha. Ao ser aquecido libera vapores violeta, que se transformam em iodo so´lido ao encontrarem uma superf´?cie fria. Explique e d^e o nome dos feno^menos observados.

· Durante a ebulic¸a~o da ´agua destilada (a´gua pura) a tem- peratura na~o se modi?ca, ao passo que, durante a ebulic¸a~o Pense um pouco e explique esse fato.

c) ´?on d) subst^ancia pura e) mistura 3. (UDESC) Assinale a opc¸a~o que apresenta apenas subst^ancia simples: a) H2, Cl2, N2, CH4 b) MgCl2, H2O, H2O2, CCl4 c) Na2O, NaCl, H2, O2 d) CCl4, H2O, Cl2, HCl e) H2, Cl2, O2, N2

Exerc´?cios Complementares 4. (UFMG) Considerando-se completa aus^encia de poluic¸a~o entre os materiais citados a seguir, a subst^ancia pura ´e: a) ar b) ´agua c) madeira d) cinza e) terra 5. (Acafe-SC) A passagem turbulenta de um l´?quido para o estado de vapor, com agitac¸a~o em toda sua massa l´?quida, denomina-se: a) ebulic¸a~o b) evaporac¸a~o c) sublimac¸a~o d) calefac¸a~o e) irradiac¸a~o 6. (UDESC) A liberac¸a~o ou consumo de energia: c) Em geral, ´e menor nos feno^menos f´?sicos do que nos d) Em geral, ´e maior nos feno^menos f´?sicos do que nos e) Nunca ocorre nas transformac¸o~es materiais.

Qu´?mica B Aula 3 Metais, Semi-metais e Ametais Para distinguir diferentes tipos de ´atomos usamos: · Nu´mero Ato^mico ou Z: ´e o nu´mero correspondente a carga nuclear, ou seja, o nu´mero de pr´otons (P ) existente no nu´cleo. Enta~o: Z = P ;

· Nu´mero de Massa ou A: ´e o total de pr´otons P e de n^eutrons N existente no nu´cleo. Assim: A = P + N . O nu´mero de massa A de?ne em si a massa do ´atomo, j´a que os el´etrons possuem uma massa desprez´?vel.

Exemplos Considerando um elemento no estado natural, com ´atomos ele- tricamente neutros, temos: N ode pr´otons = Z

N ode el´etrons = Z N ode neutros = A - Z Para um ´atomo de elemento X qualquer representamos, usa- mos a seguinte notac¸a~o: ZXA

Is´otopos e Is´obaros · Is´otopos: sa~o ´atomos com mesmo nu´mero de pro´tons (Z) e diferente do nu´mero de massa (A); apresentam pro- Exemplo O hidrog^enio (H) possui tr^es iso´topos conhecidos: 1. o hidrog^enio comum (pro´tio): 1H1, com N = 0 e 3. o tr´?tio: 1H1, com N = 2 e Z = 1;

Qu´?mica B ? Aula 3 · Is´otonos: sa~o ´atomos que possuem o mesmo nu´mero de n^eutrons (elementos diferentes), apresentando A e Z di- ferentes; apresentam propriedades qu´?micas e f´?sicas dife- Exemplo Boro e Carbono: B11 (N = 6) e C12 (N = 6) 56

Classi?ca¸c~ao dos Elementos Do¨bereiner, em 1817, demonstrou a exist^encia de Tr´?ades de elementos com propriedades qu´?micas semelhantes, onde o peso at^omico de um elemento era aproximadamente a m´edia aritm´etica dos pesos at^omicos dos outros dois. Ex: cloro, Newlands, em 1863, dividiu os elementos de ordem crescente de pesos at^omicos, em grupos de sete, ana´logo `as oitavas musicais, Dmitri Mendeleyev, em 1869, propo^s uma tabela muito seme- lhante `a atual, mas que apresentava os elementos dispostos em ordem crescente de pesos at^omicos, essa classi?cac¸a~o de?niu Moseley, em 1913, veri?cou que os elementos qu´?micos na Ta- bela Perio´dica deveriam obedecer a uma ordem crescente de Na tabela atual al´em de os elementos serem colocados em or- dem crescente de nu´mero at^omico, observa-se a seguinte dis- posic¸a~o (veja Ap^endice): · Per´?odos ou S´eries: sa~o as ?las horizontais em nu´mero de 7 e indicam os n´?veis ( K, L, M, N, O, P, Q ); elemen- tos do mesmo per´?odo apresentam propriedades qu´?micas diferentes.

· Fam´?lias: sa~o as colunas verticais da tabela, elementos da mesma fam´?lia apresentam propriedades qu´?micas se- Algumas fam´?lias importantes: ? Na~o-metal: possui de 5 a 7 el´etrons na camada ex- ? Elementos Representativos: apresentam sub-n´?veis mais energ´eticos s e p, fam´?lia A e gases nobres com ? Elementos de Transi¸ca~o: apresentam sub-n´?vel mais ? Elementos de Transi¸ca~o Interna: apresentam sub- n´?vel mais energ´etico f . Os lantan´?dios e actin´?dios;

´Ions e Val^encia Quando um ´atomo esta´ com falta ou excesso de el´etrons, sua carga l´?quida na~o ´e mais zero, e o chamamos de ´?on: · C´ation: ´?on positivo ou ´atomo que perdeu um ou mais el´etrons;

· A^ nion: ´?on negativo ou ´atomo que ganhou um ou mais 151

A val^encia de um ´atomo ionizado (´?on) ´e de?nida pelo nu´mero de el´etrons removidos ou adicionados ao ´atomo (´?on).

· tetravalente: ´?on com excesso (ou falta) de quatro el´etrons;

Exemplos Propriedades Peri´odicas Sa~o as propriedades que dependem da posic¸a~o do ´atomo na tabela perio´dica, e que variam suavemente entre ´atomos vizi- nhos.

Exemplos Pense um Pouco! · O que ocorre quando um el´etron de um ´atomo ´e capturado por outro ´atomo diferente?

· Seria poss´?vel produzirmos ´agua (H2O) com deut´erio ou tr´?tio? Ela teria um gosto diferente? O que seria diferente nessa nova ´agua?

· O nu´mero at^omico de um ´atomo de nitrog^enio ´e 7 e seu nu´mero de massa ´e 14. Qual ´e o nu´mero de pr´otons, de el´etrons e n^eutrons desse ´atomo neutro?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UDESC) Um determinado ´atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 16 n^eutrons; outro ´atomo apresenta 16 pr´otons, 16 el´etrons e 17 n^eutrons.?Sobre eles, sa~o feitas as seguintes a?rmativas: Em relac¸a~o `as a?rmac¸o~es acima, podemos dizer que sa~o corre- tas apenas: a) I e V b) II e III c) III e IV d) I e IV e) II e V 2. (UFSC) Um determinado ´atomo apresenta 20 pr´otons, 20 n^eutrons e 20 el´etrons; outro, apresenta 20 pr´otons, 21 n^eutrons e 20 el´etrons. Marque V ou F: b) ( ) Sa~o iso´baros c) ( ) Sa~o iso´topos d) ( ) T^em o mesmo nu´mero at^omico e) ( ) O nu´mero de massa de ambos ´e de 41 Ca40 e Ar38 representam, respectivamente, a ocorr^encia de: e) isobaria, isotonia, isotopia.

Exerc´?cios Complementares 4. (UNIFOR) O ´atomo desconhecido 17X37 tem igual nu´mero de n^eutrons que o a´tomo de ca´lcio 20Ca. O nu´mero de massa A do ´atomo de Ca ´e igual a: a) 10 b) 17 c) 20 d) 37 e) 40 5. (CESGRANRIO) Um certo ´atomo X ´e iso´baro do Ca40 e iso´topo do 18Ar36. O nu´mero de n^eutrons do ´atomo X ´e: a) 4 b) 18 c) 22 d) 36 e) 40 6. (FEI-SP) Um ca´tion meta´lico trivalente tem 76 el´etrons e 118 n^eutrons. O a´tomo de elemento qu´?mico do qual se originou tem nu´mero at^omico e nu´mero de massa, respectiva- mente: a) 76 e 194 b) 76 e 197 c) 79 e 200 d) 79 e 194 e) 79 e 197

Qu´?mica B Aula 4 Propriedades Peri´odicas A Tabela Perio´dica foi elaborada com base nas propriedades qu´?micas e f´?sicas dos elementos, analisando-a, podemos ob- ter informac¸o~es sobre eles, chegando-se assim a propriedades importantes dos per´?odos e fam´?lias (ou grupos) qu´?micos:

CLASSIFICAÇ Ã O PERIÓ DICA DOS ELEMENTOS 1A Com massas atômicas referidas ao isótopo 12 do carbono 0 1 I H DROGÊN O H I 1,008 2A 3A 4A 5A 6A 7A 2 HÉL O I He

4,003 I II III IV V VI VII 3 LÍTO I Li 6,941 4 BERÍLO I Be 9,012 5 BORO B 10,81 N TROGÊN O OX GÊN O

CARBONO FLÚ OR 6789 I I C N IO F I 12,01 14,01 16,00 19,00 10 NEÔ N O I

Ne 20,18 11 SÓ D O I Na 23,00 I 12 MAGNÉS O Mg 24,30 13 I ALUMÍNO Al 26,98 14 S LÍCO I

I Si 28,08 15 16 17 ENXOFRE

FÓ SFORO CLORO P S Cl 30,97 32,06 35,45 18 ARGÔ N O I

Ar 39,95 19 SO I POT S ÁK 39,10 37 RUBÍDO I Rb 85,47 20 LC O I

Á Ca C 40,08 38 I ESTRÔ NC O Sr 87,62 21 ND O I Â Sc ESC 44,96 39 ÍTR O IY

88,91 22 NO ÂI Ti I TT 47,88 40 Z RCÔ N O I Zr I 91,22 23 DO I

ÁV VAN 50,94 41 NÓBO II Nb 92,91 24 CRÔ M O I Cr 52,00 I 42 MOL BDÊN O I Mo

95,94 25 MANGANÊS Mn 54,94 43 I TECNÉC O Tc (98) 26 FERRO Fe 55,85 44 RUTÊN O I

Ru 101,1 27 COBALTO Co 58,93 45 RÓ D O I Rh 102,9 28 NÍQUEL Ni 58,69 46 DO I

Á Pd PAL 106,4 29 COBRE Cu 63,55 47 PRATA Ag 107,9 30 Z NCO I Zn

65,38 48 I DM O Á Cd C 112,4 31 LO ÁI Ga G 69,72 49 ÍND O I In

114.8 34 3532 33 NO ARSÊN O

GERM I I Â Ge As SELÊN O BROMO I Se Br 72,59 74,92 78,96 79,90 5051 52 53 ESTANHO Sn ANT MÔ N O TELÚ R O I I

I Sb Te ODO I I 126.9118,7121,7 127,6 36 I CR PTÔ N O I Kr

83,80 54 XENÔ N O I Xe 131,3 55 O I CÉS Cs 132,9 56 O I Á Ba R B 137,3 57 - 71 SÉRIE DOS LANTANÍDIOS 72 O I Á Hf FN H 178,5 73 O I L Á Ta TANT 180,9 I 74 NO TUNGSTÊ W 183,8 75 O I RÊN Re 186,2 76 O I Ó SM Os 190,2 77 O RÍD I Ir I

192,2 78 NA I PLAT Pt 195,1 79 O OUR Au 197,0 I 80 RO MERCÚ Hg 200,6 81 O I Á TI L T 204,4 82 O CHUMB Pb 207.2 83 O B SMUT Bi I

209,0 84 O I POLÔ N Po (209) 85 O ASTAT At (210) I 86 NO RADÔ Rn (222) 87 NC O ÂI Fr FR (223) 88 DO I

Á Ra R (226) 89 - 103 SÉRIE DOS ACTINÍDIOS I 104 KURCHATÓ V O Ku (261) 105 HN O I

 Ha H (260) 106 UN LHÉX O I I Unh 107 UN LSÉPT O I I Uns 108 UN LÓ CT O I

I Uno 109 UN LÊN O I I Une 3B 4B 5B 6B 7B 8B 1B 2B

Série dos Lantanídios VI 57 NO I Â La LANT 138,9 58 CÉR O I Ce 140,1 PRASEODÍM O I 59

Pr 140,9 60 NEODÍMO I Nd 144,2 61 PROMÉC O I Pm (145) 62 RO I

Á Sm SAM 150,4 63 EURÓ P O I Eu 152,0 64 GADOLÍNO I Gd 157,3 65 TÉRB O I Tb 158,9 66 D SPRÓ S O I

Dy I 162,5 67 HÓ LM O I Ho 164,9 68 ÉRB O I Er 167,3 69 TÚ L O I Tm

168,9 70 TÉRB O I Yb I 173,0 71 LUTÉC O I Lu 175,0 Série dos Actinídios Número Atômico NOME DO ELEMENTO Símbolo

Massa Atômica ( ) - elemento radioativo VII 89 ACTÍNO I Ac (227) 90 TÓ R O I Th

232,0 I 91 PROTACTÍN O Pa (231) 92 NO I ÂU UR 238,0 93 NETÚ N O I

Np (237) 94 PLUTÔ N O I Pu (244) 95 AMERÍCO I Am (243) 96 CÚR O I

Cm (247) 97 I BERQUÉL O Bk (247) 98 CAL FÓ RN O I I Cf (251) 99 E NSTÊ N O I I

Es I (252) 100 FÉRM O I Fm (257) I 101 MENDELÉV O Md (258) 102 NOBÉL O I

No (259) 103 LAURÊNC O I Lr (260) CONVENÇÕE S:(s) = estado sólido ( ) = estado líquido (g)= estado gasoso (aq) = meio aquoso N = normal M = molar H = variação de entalpia L = litro R = 0,082 atm . L / K mol N : 6,02 x 1023 A

Tamanho do A´ tomo Os fatores determinantes do tamanho de um ´atomo sa~o o Nas fam´?lias: `a medida que o Z aumenta, o nu´mero de camadas aumenta, o que leva ao aumento do tamanho do ´atomo (de Nos per´?odos: `a medida que o Z aumenta, o nu´mero de ca- madas permanece igual, mas a carga nuclear aumenta, Z aumenta, a atrac¸a~o do nu´cleo sobre os el´etrons perif´ericos tamb´em aumenta, resultando ´atomos menores. Num per´?odo, o tamanho do ´atomo aumenta da direita para a esquerda.

Potencial de Ioniza¸c~ao E´ a medida de energia fornecida a um ´atomo isolado no estado gasoso para retirar ou desprender um el´etron, formando um ´?on gasoso positivo(ca´tion). Quanto maior o tamanho do ´atomo, menor energia de ionizac¸a~o (Ei), numa fam´?lia a (Ei) aumenta debaixo para cima. Nos per´?odos (Ei) aumenta da esquerda para direita.

Exemplo Considere uma amostra de so´dio gasoso (P = 11, Z = 11): N a(g) + E = +119 kcal/mol ? N a+(g) + e-(g) i

Neste caso, a energia de ionizac¸a~o (Ei) do so´dio ´e de 119 kcal/mol, e o sinal positivo indica que a energia deve ser absorvida.

Qu´?mica B ? Aula 4 Potencial de Ionizacao Eletroa?nidade E´ a medida de energia liberada por um ´atomo isolado no es- tado gasoso ao receber um el´etron, formando o ´?on gasoso ne- gativo(^anion).

Exemplo Ionizac¸a~o do cloro (Cl): Cl(g) + e- ? Cl-(g) + 83, 3Kcal/mol Nas fam´?lias a eletroa?nidade aumenta debaixo para cima; e nos per´?odos aumenta da esquerda para direita.

Eletronegatividade Propriedade que o ´atomo apresenta maior ou menor tend^encia de atrair el´etrons para si, resultando da ac¸a~o conjunta da (Ei) e da eletroa?nidade, ou seja, compara a forc¸a de atrac¸a~o exercida pelo ´atomo sobre seus el´etrons.

Eletronegatividade 153 Nas fam´?lias aumenta debaixo para cima e nos per´?odos au- menta da esquerda para direita.

Reatividade Qu´?mica Esta´ relacionada com o cara´ter meta´lico ou na~o-met´alico de um elemento, quanto maior a capacidade de perder el´etrons Quanto maior o tamanho do ´atomo menor o potencial de io- nizac¸a~o (Ei) e menor a eletronegatividade = maior cara´ter Quanto menor o tamanho do ´atomo maior a eletroa?nidade, maior a eletronegatividade e maior cara´ter na~o-met´alico = maior a reatividade qu´?mica do na~o-metal.

Reatividade Densidade ( ) A densidade ou massa espec´??ca de um corpo ´e a raza~o entre sua massa m e seu volume V , ou seja, m ?= V

e sera´ medida em kg/m3 no SI, ou tamb´em em g/cm3. Exem- plo: a densidade do alum´?nio (Al) ´e ?Al = 2, 700 g/cm3 = Nas fam´?lias aumenta de cima para baixo, e nos per´?odos au- menta das laterais para o centro.

Volume At^omico v Mede o volume molar espec´??co do material so´lido, e esta´ re- lacionado com a estrutura cristalina do elemento (distribuic¸a~o dos ´atomos no espac¸o): massa molar M v= = densidade ? .

Nas fam´?lias o volume at^omico aumenta de cima para baixo, e nos per´?odos aumenta do centro para as laterais.

Densidade ? http://www.mundo?sico.joinville.udesc.br Ponto de Fusao

Volatilidade Ponto de Fus~ao (PF ) E´ a temperatura em que um so´lido passa do estado so´lido para Nas fam´?lias, o PF aumenta de cima para baixo, exceto em 1(1A) e 2(2A), que ´e o contr´ario; nos per´?odos, aumenta das laterais para o centro.

Pense um Pouco! · Dentre as propriedades perio´dicas estudadas, quais sa~o f´?sicas e quais sa~o qu´?micas?

· Qual o elemento mais denso que voc^e j´a viu? Consulte a tabela perio´dica do Ap^endice e veri?que se existe algum elemento ainda mais denso.

Qu´?mica B ? Aula 5 c) o potencial de ionizac¸a~o do ?u´or d) a eletroa?nidade do ?u´or e) a polaridade do ?u´or

Exerc´?cios Complementares 4. Para que o ´?on 7N-3 se transforme no ´atomo neutro de nitrog^enio, ele deve: a) receber 3 pr´otons b) perder 3 el´etrons c) receber 3 el´etrons d) perder 7 pr´otons e) receber 7 el´etrons 5. Para que um ´atomo neutro de ca´lcio se transforme no ´?on Ca+2, ele deve: a) perder 2 pr´otons b) receber 2 el´etrons c) perder 2 el´etrons d) receber 2 pr´otons e) perder 1 pr´oton

Qu´?mica B Aula 5 Liga¸c~oes Qu´?micas Compostos I^onicos e Moleculares A uni~ao de ´atomos formam diversas subst^ancias, essa unia~o (ligac¸a~o qu´?mica) pode ocorrer de tr^es formas: 1. ligac¸a~o io^nica;

Os gases nobres sa~o elementos esta´veis, pois apresentam oito el´etrons na sua camada de val^encia, excec¸a~o do ga´s h´elio.

Estabilidade Eletr^onica Ligac¸~ao Io^nica Ocorre entre metal que tem tend^encia de perder el´etron, com na~o-metal, que tem tend^encia de receber el´etron, formando Exemplos Fazer o esquema de Lewis: Na+Cl- :

K+ + Cl- : ´Ion F´ormula 155 Conhecendo as val^encias dos elementos cujos ´atomos v~ao se ligar para formar um composto io^nico, podemos calcular a ´?on f´ormula: Ca = 1s22s22p63s23p64s2 perde 2e- 20 P = 1s22s22p63s23p3 ganha 3e- 15 Escrevemos os s´?mbolos na ordem crescente de eletronegativi- dade, de modo que o ´?ndice corresponda `a val^encia do outro (regra de 3): Ca ? val^encia 2 + P ? val^encia 3 = Ca3P2

Ligac¸~ao Covalente Simples Ocorre entre na~o-metais, e entre na~o-metal e hidrog^enio, e seu O conjunto esta´vel de ´atomos ligados entre si apenas por ligac¸o~es covalentes, ou seja por pares eletro^nicos, recebe o Exemplos Cl + Cl ? Cl2 H + Cl ? HCl H + O ? HO O + O ? O2 F´ormula eletro^nica:

F´ormula Estrutural Plana: F´ormula Molecular: Ligac¸~ao Covalente Dativa So´ ocorre se o ´atomo que vai contribuir com o par de el´etrons estiver estabilizado pela covalente simples e tiver pares eletro^nicos dispon´?veis: Exemplos HNO3 H2SO4 H3P O4 Ligac¸~ao Covalente Apolar Ocorre entre ametais de mesmo elemento qu´?mico (solu´veis em Ligac¸~ao Covalente Polar Ocorre entre ametais de elementos diferentes (insolu´veis em ´agua) (eletronegatividade diferentes). Exemplo: mol´ecula HCl, pois o cloro ´e mais eletronegativo que o hidrog^enio, ou seja, apresenta maior capacidade de atrair el´etrons; portanto o par de el´etrons da ligac¸a~o ´e atra´?do por ele, criando-se nesse extremo uma maior densidade eletro^nica. Assim, surgem po´los distintos (representado pela letra ?), formando uma ligac¸a~o co- valente polar: +HCl -.

Pense um Pouco! · Analisando a variac¸a~o da eletronegatividade na tabela perio´dica, indique a ligac¸a~o menos polar e a mais polar: H?O: H?H: H?I: H?P: H?N: H?F:

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFSC) Considerando-se a ligac¸a~o qu´?mica entre oxig^enio e o alum´?nio, sob a luz da teoria do octeto, para a formac¸a~o do ´oxido de alum´?nio, ´e correto a?rmar (some os nu´meros cor- respondentes a`s alternativas corretas): 02. O Oxig^enio sera´ o a^nion, com carga negativa igual a tr^es 64. A f´ormula m´?nima do ´oxido de alum´?nio contera´ quatro ´atomos no total.

2. (UniRio-RJ) A´ tomos de um elemento X (nu´mero at^omico 20) e de outro elemento Y (nu´mero at^omico 7) unem-se por ligac¸o~es io^nicas, originando o composto de f´ormula: a) XY b) X2Y c) X3Y2 d) X2Y3 e) X3Y4 3. (Acafe-SC) A forc¸a de atrac¸a~o entre ´?ons positivos e nega- tivos caracteriza a ligac¸a~o: a) coordenada b) covalente c) meta´lica d) dativa e) io^nica

Exerc´?cios Complementares 4. (Supra-SC) No cloreto de magn´esio, a uni~ao entre magn´esio e cloro ocorre atrav´es de ligac¸a~o: a) molecular b) covalente c) meta´lica d) io^nica e) dativa 5. (UFRGS) O conceito de ligac¸a~o covalente se refere `a id´eia de: a) atrac¸a~o eletrost´atica b) par io^nico c) atrac¸a~o inter-molecular d) el´etrons livres e) emparelhamento de el´etrons 6. (Supra-SC) Entre os ´atomos dos compostos KBr, NH3, e HCN, as ligac¸o~es qu´?micas predominantes sa~o, respectiva- mente: a) covalente, io^nica, io^nica b) covalente, io^nica, covalente c) covalente, covalente, io^nica d) I^onica, io^nica, covalente e) I^onica, covalente, covalente

Qu´?mica B Aula 6 Liga¸c~oes Qu´?micas Geometria Molecular Teoria da Repulsa~o dos pares eletro^nicos, desenvolvida na d´ecada 1960: ?Os pares de el´etrons ao redor do ´atomo central distribuem-se no espac¸o de tal forma que a repuls~ao entre eles ´e a menor poss´?vel, garantindo maior esta- Quando os el´etrons sa~o ligantes, os pares podem constituir As posic¸o~es relativas dos ´atomos ligantes s~ao dadas pela disposic¸~ao de todos os pares de el´etrons, mas a ge- ometria da mol´ecula ´e considerada apenas pela posic¸~ao relativa de seus nu´cleos.

Exemplos Figura 2.1: O ga´s carbo^nico (CO2) apresenta geometria mole- cular linear, distribuic¸a~o espacial dos pares eletro^nicos ´e linear e possui 2 a´tomos ao ligados ao a´tomo central.

Qu´?mica B ? Aula 6 157

Figura 2.2: O composto SO3 apresenta geometria molecular ´e trigonal plana, a distribuic¸a~o espacial dos pares eletro^nicos forma um tria^ngulo equila´tero e possui 3 a´tomos ligados ao a´tomo central.

For¸cas Inter-moleculares As subst^ancias moleculares podem ser encontradas nos tr^es es- tados f´?sicos, o que nos leva a concluir que, entre as mol´eculas, existem forc¸as de atrac¸a~o de diferentes intensidades. A essas forc¸as damos o nome de forc¸as inter-moleculares, elas podem ser de dois tipos: · forc¸as de Van der Waals · pontes de hidrog^enio

Forc¸as de Van der Waals Sa~o forc¸as de fraca intensidade que se classi?cam em dipolo? A polaridade da ligac¸a~o apresenta uma direc¸a~o, um sentido e uma intensidade, podendo ser representada por um vetor (p : vetor momento dipolo), este vetor se orienta sempre no sentido do po´lo negativo para o positivo. Para mol´eculas com mais de dois ´atomos, conhecendo-se a geometria molecular, ´e poss´?vel determinar se a mol´ecula apresenta dipolo, ou seja, se na mol´ecula ha´ distribuic¸a~o desigual de carga negativa e positiva. Essa determinac¸a~o ´e feita levando-se em conta os vetores momento de cada ligac¸a~o. Conforme tenham ou na~o dipolo el´etrico, as mol´eculas sa~o classi?cadas em polares ou Exemplos Forc¸as de Van der Waals dipolo?dipolo Exemplo A formac¸a~o do dipolo ocorre devido `a diferenc¸a de eletronega- tividade entre o hidrog^enio e o cloro. A extremidade negativa Figura 2.3: A a´gua (H2O) apresenta geometria molecular an- gular, mas a distribuic¸a~o dos pares de el´etrons ´e tetra´edrica e possui 2 a´tomos ligados ao a´tomo central.

de uma mol´ecula atrai a extremidade positiva da mol´ecula vi- zinha. Esse tipo de atrac¸a~o ´e o mesmo que ocorre na ligac¸~ao Forc¸as de Van der Waals dipolo instant^aneo?dipolo induzido Sa~o forc¸as de atrac¸a~o que aparecem nas subst^ancias forma- das por mol´eculas apolares, no estado so´lido ou l´?quido. A nuvem eletro^nica nas mol´eculas apolares ´e uniforme, na~o apa- recendo cargas. Essa nuvem pode sofrer deformac¸a~o por ac¸a~o externa, ou ?utuac¸o~es estat´?sticas (colis~oes), ou com o aumento da pressa~o e diminuic¸a~o de temperatura, provocando, enta~o, uma distribuic¸a~o desigual de cargas, o que faz com que surja um dipolo tempor´ario. O dipolo instanta^neo induz a pola- rizac¸a~o da mol´ecula vizinha, resultando uma ac¸a~o fraca en- tre elas. Esse tipo de interac¸a~o tamb´em ´e chamado de forc¸a de London, em homenagem ao cientista Fritz London (1900- 1957), que elaborou todo o desenvolvimento te´orico.

Figura 2.4: O metano (CH4) apresenta geometria molecular tetra´edrica e distribuic¸a~o dos pares eletro^nicos tamb´em ´e te- tra´edrica e possui 4 a´tomos ligados ao a´tomo central

cial, criando uma pel´?cula el´astica. Quanto mais intensas as Os icebergs sa~o massa de gelo ?utuante que geralmente se des- prende numa geleira polar e, portanto, sa~o constitu´?dos por ´agua doce. Eles ?utuam por que a densidade da ´agua so´lida ´e menor do que a da ´agua l´?quida. Na ´agua l´?quida, as mol´eculas esta~o unidas por pontes de hidrog^enio e dispostas de forma menos organizada do que no estado so´lido. Neste estado, a or- ganizac¸a~o ´e maior, formando estruturas hexagonais tridimensi- onais, mais espac¸adas, que diminuem a densidade, permitindo assim que o gelo ?utue sobre a ´agua. Esta propriedade ex- plica tamb´em a quebra de garrafa de bebidas esquecidas no Forc¸as Inter-moleculares e Ponto de Ebulic¸~ao : O importante fator que in?uencia o ponto de ebulic¸a~o de uma subst^ancia ´e o tamanho da mol´ecula, pois quanto maior a mol´ecula, mais f´acil a ocorr^encia de distorc¸a~o da nuvem eletro^nica; consequ¨entemente, mais f´acil a formac¸a~o de po´los, ou seja, a medida que o tamanho da mol´ecula aumenta (au- mento da massa molecular), o ponto de ebulic¸a~o tamb´em deve aumentar. OBS: Na passagem do estado liquido para o ga- soso ocorre uma separac¸a~o das mol´eculas assim, quanto maior a atrac¸a~o entre as mol´eculas no liquido, maior sera´ o ponto de ebulic¸a~o. Quanto maior a mol´ecula mais f´acil ´e a formac¸a~o de po´los.

Pense um Pouco! · Quando se ferve a a´gua, qual o tipo de ligac¸a~o ´e rompida na mudanc¸a de estado?

· Temos duas subst^ancias, HX e HY. O que podemos dizer com relac¸a~o ao ponto de ebulic¸a~o (PE) dessas subst^ancias, sabendo que em HX ocorrem forc¸as de Van der Waals e em HY ocorrem pontes de hidrog^enio?

Figura 2.5: O P Cl5 apresenta geometria molecular bipira^mide trigonal e possui 5 a´tomos ligantes.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao a) eletrovalente b) covalente c) ponte de hidrog^enio d) Van der Waals e) io^nica 2. (Acafe-SC) Cada mol´ecula de ´agua ´e capaz de efetuar, no m´aximo: e) 3 pontes de hidrog^enio.

3. (UFSM-RS) Dentre os compostos abaixo: I. H3C?CH2?O?CH3 II. H3C?CH2?NH2 III. H3C?CH2?OH Apresentam pontes de Hidrog^enio entre suas mol´eculas: a) apenas I b) apenas II c) apenas I e III d) apenas II e III e) I, II e III

Qu´?mica B ? Aula 7 do oxig^enio sa~o todos gasosos em condic¸o~es ambientais, com excec¸a~o do hidreto de oxig^enio. Esta situac¸a~o ´e consequ¨^encia: a) da baixa massa molecular da ´agua b) das ligac¸o~es covalentes c) das pontes de hidrog^enio entre as mol´eculas d) do fato de o oxig^enio ter o maior raio at^omico dessa fam´?lia e) do fato de que o gelo ´e menos denso que a ´agua l´?quida 6. Dentre as seguintes subst^ancias, qual apresenta pontes de a) metano (CH4) b) clorofo´rmio (CHCl3) d) E´ter-et´?lico (H2C2?O?C2H5) e) A´ gua (H2O)

Qu´?mica B Aula 7 Equa¸c~oes e Rea¸c~oes Qu´?micas Uma reac¸a~o qu´?mica ´e representada pela equac¸a~o geral c R + c R + . . . + c R ? c? P + c? P + . . . + c? P 11 22 nn 11 22 mm

onde n reagentes R1, R2,. . .,Rn foram usados para formar os m produtos P1, P2,. . .,Pm. Os coe?cientes {ci} indicam o nu´mero de mol´eculas de cada reagente utilizado na reac¸a~o, e os coe?ci- entes {c? }, o nu´mero de mol´eculas de cada produto resultante j Como cada mol´ecula, de reagente ou produto, pode conter v´arios a´tomos de diferentes elementos qu´?micos, o nu´mero total de ´atomos de cada esp´ecie qu´?mica deve ser o mesmo em ambos os lados da equac¸a~o acima, e chamamos de balanceamento qu´?mico o ca´lculo dos menores coe?cientes {ci} e {c? } para j que essa igualdade seja satisfeita.

Exemplos A s´?ntese (formac¸a~o) da ´agua ´e descrita pela equac¸a~o 2H2(g) (reagente) + O2(g) (reagente) ? 2H2O(l) (produto)

onde a proporc¸a~o da reac¸a~o de s´?ntese da ´agua ´e 2:1:2, o que signi?ca que, para cada duas mol´eculas de H2O formadas, reagiram duas mol´eculas H2 e uma mol´ecula de O2. Cada reac¸a~o tem a sua proporc¸a~o, que, como vimos pela lei das Proporc¸o~es Constantes.

Determina¸c~ao dos Coe?cientes Na reac¸a~o de combusta~o: C2H6O + O2 ? CO2 + H2O

No primeiro membro, existem seis (C2H6O), e no segundo, dois (H2O). Para igualar o nu´mero de ´atomos, fazemos a transposic¸a~o dos ´?ndices, obtendo: 2C2H6O + O2 ? CO2 + 6H2O 159

Vamos agora acertar a quantidade de ´atomos de carbono. No no segundo, um (CO2). Enta~o, devemos multiplicar CO2, no lado direito da equac¸a~o, por 4.

2C2H6O + O2 ? 4CO2 + 6H2O No segundo membro, j´a acertado, existem quatorze ´atomos de oxig^enio (4CO2 e 6H2O), e no primeiro, quatro (2C2H6O e O2). Enta~o o coe?ciente da mol´ecula O2 sera´ 6, para se obter 12 ´atomos que, com outros dois perfazem os quatorze: 2C2H6O + 6O2 ? 4CO2 + 6H2O

Observe que em ambos os lados da reac¸a~o (reagentes e produ- tos) temos um total de 4 ´atomos de C, 12 ´atomos de H e 14 ´atomos de O. Como todos os coe?cientes sa~o mu´ltiplos de 2, enta~o podemos reduz´?-los, dividindo-os por 2: C2H6O + 3O2 ? 2CO2 + 3H2O

e obtemos os menores coe?cientes para o balanc¸o qu´?mico da reac¸a~o dada.

Dicas Algumas considerac¸a~o para o balanceamento de uma equac¸~ao qu´?mica: 1. Deve-se comec¸ar o acerto dos coe?cientes pelo elemento que aparece uma u´nica vez nos dois membros;

2. Se os ´?ndices do elemento escolhido forem mu´ltiplos, a por isso, nunca coloque nu´meros entre os s´?mbolos de uma mesma f´ormula.

Tipos de Rea¸c~oes Quanto ao Calor Quanto ao envolvimento (absorc¸a~o ou liberac¸a~o) de calor: Reac¸o~es Endot´ermicas Veja que endo=para dentro e t´ermica = calor. E´ toda reac¸a~o Por exemplo, a decomposic¸a~o do calc´ario: CaCO3@ >> > CaO + CO? 2

Quanto `a Velocidade Reac¸o~es R´apidas As que ocorrem rapidamente e de forma explosiva, por exem- plo, a combusta~o (queima) do ´alcool et´?lico: C2H6O + 3O2 ? 2CO2 + 3H2O + calor?

Reac¸o~es Lentas Ocorrem devagar, por exemplo, a formac¸a~o da ferrugem (oxidac¸a~o do ferro): 4F e + 3O2 ? 2F e2O3 + calor?

Quanto `a Reversibilidade Reac¸o~es Revers´?veis Ocorrem simultaneamente nos dois sentidos (indicado pela du- pla seta): CaO + CO2 ? CaCO3

Reac¸o~es Irrevers´?veis Por exemplo: NaCl+AgNO3?AgCl+NaNO3 Quanto aos Reagentes e Produtos S´?ntese ou Adic¸~ao Reac¸a~o entre duas ou mais subst^ancias (simples ou composta) que originam uma u´nica subst^ancia composta: 2CO + O2 ? 2CO2

neste caso a reac¸a~o ´e do tipo composta + simples ? composta

An´alise ou Decomposic¸~ao Reac¸a~o em que uma u´nica subst^ancia composta se desdobra em outras subst^ancias simples ou compostas: 2HCl ? H2 + Cl2

Dupla Troca Reac¸a~o em que as duas subst^ancias compostas produzem duas outras subst^ancias compostas (o nome resulta no fato de as subst^ancias permutarem entre si parte de suas estruturas): HCl+NaOH?NaCl+H2O

ou NaCl+AgNO3?AgCl+NaNO3 Deslocamento ou Simples Troca Reac¸a~o em que uma subst^ancia simples reage com outra com- posta, produzindo outra subst^ancia composta e outra simples: F e + CuSO4 ? F eSO4 + Cu Para Saber Mais! O oxig^enio e o hidrog^enio liquefeitos sa~o os combust´?veis l´?quidos mais comuns, usados para impulsionar os foguetes pela expuls~ao dos gases de combusta~o, gerados pela reac¸~ao de s´?ntese: 2H2 + O2 ? 2H2O nos motores de combust´?vel l´?quido, tamb´em usados na operac¸a~o de m´?sseis, o combust´?vel e o comburente devem ser armazenados isoladamente e a reac¸a~o so´ ocorre na ca^mara de combusta~o, o que torna esses motores bastante complexos.

Para combater a acidez estomacal, causada pelo suco ga´strico existente (HCl ou ´acido clor´?drico) que em excesso so´ causa azia. O uso de leite de magn´esia, uma suspensa~o de hidro´xido de magn´esio, ou medicamentos `a base de hidro´xido de alum´?nio, diminuem a acidez, aliviando a azia. As reac¸o~es que ocorrem sa~o: Mg(OH)2+2HCl?MgCl2+2H2O

Al(OH)3 + 3HCl ? AlCl3 + 3H2O Tamb´em pode-se usar o bicarbonato de so´dio: NaHCO3+HCl?NaCl+H2O+CO2

Pense um Pouco! · Explique porque o bicarbonato de amo^nia misturado em uma massa de bolo, ao ser aquecido, faz a massa do bolo Fac¸a a reac¸a~o.

Qu´?mica B ? Aula 8 161

3. Dadas as equac¸o~es das reac¸o~es: I. H2SO4 + H2O ? H3O + HSO- + calor 4 II. C2H5OH + 3O2 ? 2CO2 + 3H2O + calor 4Cl(s)+H2O(l)+calor?NH4+ III.NH (aq)+Cl IV.C2H2+32O2?CO2+H2O+C+calor · 2 V. 2F e2O3 + 3C + calor ? 4F e + 3CO2 Consideram-se as reac¸o~es endot´ermicas: a) III e V b) I , II e IV c) II, III e V d) I, III e IV e) II e III ·

Exerc´?cios Complementares 4. A ana´lise da reac¸a~o H2(g) + 1 O2(g) ? H2O(l) + 68 kcal 2 permite concluir que: · a) a reac¸a~o ´e endot´ermica b) a reac¸a~o tem H positivo c) a entalpia dos reagentes ´e maior que a dos produtos d) a entalpia dos reagentes ´e menos que a dos produtos e) a entalpia dos reagentes ´e igual a dos produtos 5. (PUC-RS) A equac¸a~o a seguir representa: HNO3(aq) + NaOH(aq) ? NaNO3(aq) + H2O(l) com H = · -13, 69 kcal/mol a) um processo endot´ermico b) a neutralizac¸a~o parcial de um ´acido c) um processo que ha´ a liberac¸a~o de calor d) um processo na~o esponta^neo e) uma reac¸a~o de ana´lise 6. As reac¸o~es endot´ermicas caracterizam-se por: I. serem esponta^neas · II. ocorrerem com absorc¸a~o de calor III. apresentam sinal positivo para a variac¸a~o da entalpia a) somente a a?rmativa I ´e correta b) somente a a?rmativa II ´e correta c) somente a a?rmativa III ´e correta d) somente as a?rmativas I e II sa~o corretas e) somente as a?rmativas II e III sa~o corretas

· Qu´?mica B Aula 8 Equa¸c~oes e Rea¸c~oes (II) · NOX Nu´mero que designa a carga el´etrica real ou aparente (teo´rica) de um ´atomo em func¸a~o da diferenc¸a de eletronegatividade entre ele e seus ligantes; o Nox esta´ associado ´a perda ou ao ganho de el´etrons por um ´atomo numa ligac¸a~o qu´?mica.

e) Ocorre a liberac¸a~o de 236 kcal, uma vez que a reac¸a~o ´e Exemplo exot´ermica Na+Cl-: Na carga real = +1, Cl carga real= -1 H2O: H carga te´orica = +1, O carga te´orica = -2 Voc^e Deve Saber! - (aq) Se a ligac¸a~o ocorre entre ´atomos do mesmo elemento ( subst^ancias simples), na~o havendo, portanto, diferenc¸a de eletronegatividade e sendo a mol´ecula apolar, o Nox ´e sempre zero: Exemplos H2, Cl2, O2: Nox = 0 O Nox de um ´?on simples ´e igual a sua carga (´e a pr´opria Exemplos N a+: Nox N a = +1 S-2: Nox S = -2 Al+3: Nox Al = +3 O Nox do hidrog^enio em compostos ´e +1, com excec¸a~o dos compostos meta´licos (hidretos meta´licos), em que o Exemplos H2O: Nox H = +1 NaH : Nox H = -1 O Nox do oxig^enio nos compostos ´e -2, com excec¸a~o dos Exemplos H2O: Nox O = -2 H2O2: Nox O = -1 O2F2: Nox O = +1 OF2: Nox O = +2 A soma alg´ebrica dos Nox de todos os ´atomos de uma mol´ecula ´e sempre igual a zero (o nu´mero de el´etrons ce- Exemplos H2O: Nox H = +1, O = -2, mol´ecula: +2 - 2 = 0 Na2S:NoxNa=+1,S=-2,mol´ecula:+2-2=0 H2SO4: Nox H = +1, S = +6, O = -2, mol´ecula: +2 + 6-8=0 A soma alg´ebrica dos Nox dos elementos em um ´?on com- posto ´e igual sua carga (a carga do ´?on indica que houve Exemplos CO-2: Nox: C = +4, O = -2, soma: +4 - 6 = -2 3 NH+:Nox:N=-3,H=+1,soma:-3+4=+1 4

Para se determinar o Nox de algum ´atomo numa mol´ecula, Exemplo H4P2O7 Nox: H = +1, P = x, O = -2, soma: +4 + 2x - 14 = 0 ? 2x = 10 ? x = 5 Enta~o temos que Nox P = +5 nesta mol´ecula.

Nox M´?nimo e Nox M´aximo Veri?ca-se que ´atomos de um mesmo elemento podem apre- sentar v´arios nu´meros de oxidac¸a~o, que dependem dos outros ´atomos da mol´ecula. Veja o caso do cloro, em alguns compos- tos: HCl Cl2 HClO HClO2 HClO3 HClO4 -1 0 +1 +3 +5 +7 o Nox m´?nimo representa o nu´mero de el´etrons que o ´atomo precisa receber, de acordo com a regra do octeto; o Nox m´aximo representa o nu´mero m´aximo de el´etrons da u´ltima camada que o ´atomo pode perder.

Rea¸c~oes De Oxi-Redu¸c~ao Reac¸a~o em que ocorrem variac¸o~es dos nu´meros de oxidac¸a~o Em uma soluc¸a~o de sulfato de cobre (CuSO4) em ´agua, mer- gulhamos uma la^mina de zinco (Zn0). apo´s algum tempo ve- ri?camos que essa la^mina esta´ recoberta por uma camada de Os ´atomos de zinco (Zn0) se transformam em ´?ons de zinco (Zn+2), ou seja, perdem 2 el´etrons: ocorre uma oxidac¸a~o, perda de el´etrons, aumento no Nox: Zn0 -? Zn+2 + 2e- Os ´?ons cobre (Cu+2) se transformam em ´atomos neutros de cobre (Cu0), ou sejam, ganham 2 el´etrons: reduc¸a~o (ganho de el´etrons), diminui Nox: Cu+2 + 2e- -? Cu0 Assim o que ocorreu foi uma transfer^encia de el´etrons dos ´atomos de zinco (Zn0) para o ´?on cobre (Cu+2): Zn0 + Cu+2 -? Zn+2 + Cu0 Oxidac¸a~o e Reduc¸a~o sa~o feno^menos paralelos, ou seja, na~o pode ocorrer oxidac¸a~o sem que ocorra uma reduc¸a~o. Desse modo podemos somar as equac¸o~es dos dois processos e obter a equac¸a~o do processo global: Zn0 -? Zn+2 + 2e-semi-equac¸a~o de oxi-reduc¸a~o Cu+2 + 2e- -? Cu0 Zn0 + Cu+2 -? Zn+2 + Cu0

Redutor e Oxidante Esse processo global constitui uma reac¸a~o de oxi-reduc¸~ao. A esp´ecie doadora de el´etrons, sofre oxidac¸a~o, provoca a reduc¸a~o (diminuic¸a~o de Nox) da outra esp´ecie, por isso ´e chamado de A esp´ecie receptora de el´etrons, que se reduz, provoca a oxidac¸a~o (aumento de Nox) da outra, sendo chamada de agente Agente Oxidante Provoca oxidac¸a~o de outra esp´ecie qu´?mica, sofre reduc¸a~o (ga- Agente Redutor Provoca reduc¸a~o de outra esp´ecie qu´?mica, sofre oxidac¸a~o (perda de el´etrons) e a variac¸a~o do Nox aumenta.

Balanceamento Procedimento 3. determinar (variac¸a~o do Nox) e multiplicar pelo ´?ndice ou atomicidade maior, obtendo-se t (variac¸a~o total do Nox);

4. inverter t, isto ´e, colocar o valor daquele que sofreu oxidac¸a~o na frete da subst^ancia cujo elemento sofreu reduc¸a~o e vice-versa.

Exemplo 1 HI + H2SO4 -? +1 - 1 +1 + 6 - 2 -? H2S + H2O + I2 +1 - 2 +1 - 2 0 Determinac¸a~o do : · oxidac¸a~o: variac¸a~o 1 e atomicidade 1 = 1 × 1 = = 1 · reduc¸a~o: variac¸a~o 8 e atomicidade 1 = 8 × 1 = = 8 Igualando o nu´mero de el´etrons cedidos e recebidos, temos: 8HI + 1H2SO4 -? H2S + H2O + I2

estabelecemos a proporc¸a~o da reac¸a~o , agora, completamos os outros coe?cientes por tentativa: 8HI + 1H2SO4 -? 1H2S + 4H2O + 4I2

Exemplo 2 K2Cr2O7 + HCl -? +1 + 6 - 2 +1 - 1 -? KCl + CrCl3 + H2O + Cl2 +1 - 1 +3 - 1 +1 - 2 0

· oxidac¸a~o: = 1 × 2 = 2 · reduc¸a~o: = 3 × 2 = 6 observe que no ca´lculo do de oxidac¸a~o consideramos a ato- micidade 2, em vez de 1, isso porque nem todos os ´atomos de cloro se oxidam (uma parte se manteve, pois seus Nox na~o se alteraram). Assim, usamos a atomicidade do Cl2, pois este ´e formado pelos ´atomos de cloro que se oxidaram: 2K2Cr2O7 + HCl -? KCl + CrCl + H2O + 6Cl2

Por tentativa, acertamos os outros coe?cientes: 2K2Cr2O7 + 28HCl -? 4KCl + 4CrCl + H2O + 6Cl2

Qu´?mica B ? Aula 9 Pense um Pouco! · Como sabemos se uma reac¸a~o qu´?mica ´e uma reac¸a~o de oxi-reduc¸a~o?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UDESC) Dada a reac¸a~o: S+6HNO3-?6NO2+2H2O+H2SO4

A variac¸a~o do nu´mero de oxidac¸a~o do enxofre ´e: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 6 2. (Fuvest-SP) O cobre pode ser encontrado, na natureza, no mineral denominado atacamita: CuCl2 · 3Cu(OH)2. Na f´ormula da atacamita , identi?ca-se o cobre com Nox, respec- tivamente: a) +1 e +1 b) +1 e +2 c) +1 e +3 d) +2 e +1 e) +2 e +2 3. (UFSM) O nitrog^enio apresenta estado de oxidac¸a~o -2 em: a) N O3 b) N H3 c) N H4 d) N2O3 e) NH4OH

Exerc´?cios Complementares 4. (UDESC) Qual das seguintes proposic¸o~es ´e falsa, quando se analisa a reac¸a~o de oxirreduc¸a~o abaixo?

F e2O3 + CO -? 2F eO + CO2 a) O Nox (nu´mero de oxidac¸a~o) do C no CO2 ´e +4 b) Cada unidade de fo´rmula F e2O3 ganha 1 e- c) Cada unidade de f´ormula CO2 perde 2 e- d) O CO2 ´e agente redutor de F e2O3 e) O F e sofre reduc¸a~o 5. (UDESC) A soma dos menores coe?cientes inteiros da reac¸a~odeoxirreduc¸a~oP+HNO3+H2O?H3PO4+NO,o agente oxidante e o agente redutor sa~o, respectivamente: a) 18, P, HNO3 b) 20, P, HNO3 c) 13, P, HNO3 d) 18, HNO3, P e) 10, HNO3, P

6. (UDESC) Seja a reac¸a~o abaixo 163 Assinale o ´?tem com a soma correta dos coe?cientes: a) a + b = 4 b) x + y = 3 c) a + x = 7 d) b + y = 7 e) a + b + x + y = 7

Qu´?mica B Aula 9 Solu¸c~oes Qu´?micas Disperso~es sa~o sistemas nos quais uma subst^ancia esta´ dis- seminada, sob forma de pequenas part´?culas, numa segunda subst^ancia. A primeira subst^ancia chama-se disperso ou fase ¯

Classi?ca¸c~ao das Dispers~oes A classi?cac¸a~o das disperso~es ´e feita de acordo com o tamanho m´edio das part´?culas dispersas: · soluc¸o~es verdadeiras: part´?culas com di^ametro de 0 a 1 nm, isto ´e, de 0 a 10°A;

· soluc¸o~es coloidais: part´?culas com di^ametro de 1 a 100 nm, isto ´e, de 10 a 1000 °A;

· suspens~oes: part´?culas com di^ametro acima de 100 nm, Lembre que: 1 nm (nanometro) = 10-7 cm = 10-9 m 1 °A (angstrom) = 10-8 cm = 10-10 m

Solu¸c~oes O disperso recebe o nome de soluto, e o dispersante, o nome ¯¯ de solvente.

Classi?cac¸~ao das Soluc¸o~es Classi?cam-se as soluc¸o~es de acordo os seguintes crit´erios: Estado de Agregac¸~ao da Soluc¸~ao · soluc¸o~es s´olidas: certas ligas meta´licas, tamb´em chama- das de ama´lgamas, por exemplo CuNi;

· soluc¸o~es l´?quidas: possuem o solvente l´?quido, como a salmora (sal+´agua);

· soluc¸o~es gasosas: mistura de dois ou mais gases, por exem- ¯ plo, ar atmosf´erico.

Estado de Agregac¸~ao dos Componentes · Soluc¸o~es s´olido-s´olido: algumas ligas meta´licas (C uN i);

· Soluc¸o~es l´?quido-s´olido: ´agua em so´lidos higrosco´picos (CaCl2);

· Soluc¸o~es g´as-s´olido: hidrog^enio retido em platina em po´;

Proporc¸~ao Entre Soluto e Solvente · soluc¸o~es dilu´?das: cont´em pouco soluto em relac¸a~o ao solvente (10 g de NaCl por litro de ´agua);

· soluc¸o~es concentradas: caso contr´ario (300 g de sal por litro de ´agua).

Natureza do Soluto · soluc¸o~es moleculares: quando as part´?culas disper- sas sa~o mol´eculas. Por exemplo, mol´eculas de ac¸u´car (C12H22O11) em ´agua;

· soluc¸o~es io^nicas: quando as part´?culas dispersas sa~o ´?ons. ´Ions do sal comum (Na+ e Cl-) em ´agua, por exem- plo;

Importante · Ha´ muitas soluc¸o~es que apresentam simultaneamente mol´eculas e ´?ons dispersos, por exemplo, numa soluc¸a~o aquosa de ´acido ac´etico (a´cido fraco) existem muitas mol´eculas (CH3COOH) e poucos ´?ons (CH3COO- e H+) em soluc¸a~o.

· Semelhente dissolve Semelhante: subst^ancias inorga^nicas sa~o polares, enquanto que as orga^nicas sa~o apolares.

O Fen^omeno da Satura¸c~ao da Solu¸c~ao Juntando-se gradativamente NaCl `a ´agua, em temperatura ambiente e sob agitac¸a~o cont´?nua, veri?ca-se que em dado mo- mento o sal na~o se dissolve mais. Neste caso isto ocorre quando ha´ aproximadamente 360 g de NaCl por litro de ´agua. Da´? em diante toda a quantidade adicional de sal que for colocada no sistema ira´ se depositar ou precipitar no fundo do recipi- ente; dizemos enta~o, que a soluc¸a~o esta´ saturada. O ponto de saturac¸a~o (coe?ciente ou grau de solubilidade ?S) depende do soluto, do solvente e das condic¸o~es f´?sicas, como a tempe- ratura. A pressa~o passa a ser importante em soluc¸o~es onde existem gases.

Grau de Solubilidade (?S) O grau de solubilidade ´e a quantidade de soluto (em gra- mas) necessa´ria para saturar uma quantidade padra~o (em ge- ral 100 g, 1000 g ou 1 litro) de solvente, em determinadas Exemplo · ?S = 357 g de NaCl por litro de ´agua a 0?C;

Col´oides Soluc¸a~o coloidal ´e uma dispersa~o onde as part´?culas disper- sas t^em um tamanho m´edio compreendido entre 1 a 100 nm (lembre-se 1 nm = 10-7 cm = 10-9 m).

Classi?ca¸c~ao dos Col´oides Classi?cam-se os Col´oides segundo v´arios crit´erios:

Natureza do Disperso · colo´ides micelares: as part´?culas dispersas sa~o agrega- dos de ´atomos, de mol´eculas ou de ´?ons. por exemplo, enxofre em ´agua;

· colo´ides moleculares: as part´?culas dispersas sa~o mol´eculas gigantes. Por exemplo, amido em ´agua;

· colo´ides io^nicos: as part´?culas dispersas sa~o ´?ons gigan- tes. Por exemplo: prote´?na em ´agua.

Estado F´?sico do Disperso e do Dispersante nome disperso dispersante exemplo sol so´lido so´lido rubi, sa?ra sol so´lido l´?quido cola gel l´?quido so´lido gel´eias emulsa~o l´?quido l´?quido leite, maionese aerossol l´?quido gasoso neblina, spray ar so´lido gasoso fumac¸a espuma gasoso so´lido pedra-pomes espuma gasoso l´?quido chantilly, saba~o Observac¸~ao Quando os colo´ides do tipo sol possuem como dispersante a ´agua, eles sa~o chamados do hidrosso´is.

Reversibilidade · revers´?veis: a?nidade muito grande entre o disperso e o dispersante (lio´?los-amigos do l´?quido) uma vez o gel obtido, podemos conseguir o sol e voltar ao sistema gel: Peptizac¸a~o ? adic¸a~o de l´?quido GEL ?? SOL Pectizac¸a~o ? retirada de l´?quido · Irrevers´?veis: na~o ha´ intensa a?nidade entre as fases, da´? serem chamados de lio´fobos. Ex: enxofre coloidal, metais coloidais.

Col´oides Protetores (Li´o?los) Os colo´ides lio´fobos apresentam disperso e dispersante com E´ poss´?vel aumentar a estabilidade desse tipo de colo´ide adi- cionando pequena quantidade de um colo´ide lio´?lo que tenha carga micelar de mesmo sinal.

Qu´?mica B ? Aula 9 A estabilidade aumenta porque as micelas do colo´ide lio´fobo sa~o envolvidas por uma pel´?cula de colo´ide lio´?lo, passando a ¯

Exemplos · A tinta nanquim ´e um colo´ide lio´fobo inst´avel, protegido por um colo´ide aquoso de gelatina;

· Na fabricac¸a~o de ?lmes fotogra´?cos, o AgBr ´e estabilizado por gelatina na forma de gel;

· No leite, a manteiga que esta´ dispersa na forma coloidal · Na maionese, a gema do ovo constitui um colo´ide protetor que estabiliza a emulsa~o de azeite e vinagre;

· A clara de ovo atua como estabilizante dos complexos sis- Para Aprender Mais! As entidades dispersas (micelas) em uma disposic¸a~o coloidal sa~o constantemente bombardeadas pelas mol´eculas do disper- sante e assim ?cam em movimento totalmente desordenado que podem ser visto num ultra-microsco´pio. Tal movimento chama-se movimento Browniano, descrito por Robert Brown, em 1827.

A p´erola ´e um exemplo de gel, ou seja, uma dispersa~o coloidal de ´agua (disperso) em carbonato de ca´lcio (dispersante). Ela ´e produzida por moluscos bivalves, isto ´e, moluscos com uma concha de dois pedac¸os articulados. Existem esp´ecies marinhas e de ´agua doce. A p´erola ´e produzida quando algum elemento estranho penetra entre o corpo do molusco e a camada da concha, um gra~o de areia, por exemplo. Para defender-se, o molusco produz v´arias camadas de na´car ao redor do corpo estranho, formando a p´erola.

Pense um Pouco! · O nome que se da´ ao sistema coloidal de um disperso so´lido num dispersante l´?quido, de modo que o sistema na~o tome uma forma de?nida?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao a) leite, fumac¸a, neblina b) leite, fumac¸a, o´leo-diesel c) fumac¸a, neblina, gasolina d) gelatina , neblina, cloreto de so´dio e) borracha, cola, ac¸u´car 2. (UFRS) A uma soluc¸a~o de cloreto de so´dio foi adicionado um cristal desse sal e veri?cou-se que este na~o se dissolveu, pro- vocando ainda, um aumento de volume do precipitado. Pode- se inferir que a soluc¸a~o original era: 165

a) esta´vel b) dilu´?da c) saturada d) concentrada e) super saturada 3. (OBJETIVO-SP) Quais as soluc¸o~es aquosas, contendo uma u´nica subst^ancia dissolvida, que podem apresentar corpo de a) saturadas e super saturadas b) somente as saturadas c) insaturadas dilu´?das d) somente as supersaturadas e) insaturadas concentradas 4. (UDESC) Em uma emulsa~o, a fase dispersa e a fase disper- sante sa~o, respectivamente: a) so´lida e so´lida b) l´?quida e so´lida c) gasosa e gasosa d) so´lida e l´?quida e) l´?quida e l´?quida

Qu´?mica B Aula 10 Fun¸c~oes Qu´?micas Sais Sal ´e toda subst^ancia io^nica que resulta da reac¸a~o (reac¸a~o de neutralizac¸a~o) de um ´acido com uma base.

Exemplo HCl + NaOH -? NaCl + H2O ´acido base sal ´agua

Classi?ca¸c~ao dos Sais Classi?cam-se os sais segundo os seguintes crit´erios:

Presenc¸a de Oxig^enio ¯ ¯ Nu´mero de Elementos Constituintes · sal bin´ario: sal constitu´?do por dois elementos. Exem- plos: KCl, Na2S;

· sal tern´ario: sal constitu´?do por tr^es elementos. Exem- plos: NaNO3, K2CO3;

Natureza dos ´Ions · sal normal: na~o apresenta hidrog^enio ioniza´vel, nem ´?ons OH-. E´ obtido por reac¸o~es de neutralizac¸a~o totais, ou seja, em que a quantidade de ´?ons H+ do ´acido ´e igual a Exemplo HCl + NaOH -? NaCl + H2O ´acido base sal normal ´agua Forma-se quando so´ alguns dos hidrog^enios ioniza´veis sa~o neutralizados pela base, ocorrendo uma reac¸a~o de neutra- Exemplo H2SO4 + NaOH -? NaHSO4 + H2O ´acido base hidrogenosal ´agua · hidroxissal: sal que apresenta ´?ons OH-. Forma-se por ¯ reac¸a~o de neutralizac¸a~o parcial da base, na qual nem todos Exemplo HCl + CaOHOH -? Ca(OH)Cl + H2O ´acido base hidroxissal ´agua

Presenc¸a de A´ gua no Cristal ? sal hidratado: sal que apresenta mol´eculas de ´agua intercaladas em seu ret´?culo cristalino; as mol´eculas de ´agua constituem a chamada ´agua de cristalizac¸a~o ou ´agua de hidratac¸a~o. Exemplos: CaCl2 · 2H2O, Exemplos: NaCl, MgSO4, NaKCO3, BaClBr.

Nomenclatura dos Sais Os sais podem ser representados pela f´ormula geral B+yA-x, xy sendo B um ca´tion diferente de H+ e A um ^anion diferente de OH-. O ´?ndice de ca´tion ´e dado pela carga do ^anion, o ´?ndice do ^anion ´e dado pela carga do ca´tion, de tal forma que Assim, para obtermos o nome de um sal a partir de sua f´ormula, basta escrevermos o nome do ^anion seguido da pre- posic¸a~o ?de?e do nome ca´tion.

Exemplo Zn(NO2)2 ? nitrito de zinco onde: Zn+2 ´e o ca´tion zinco 2 Como ocorre com as bases, se um elemento formar ca´tions com cargas diferentes, usamos algarismos romanos para diferencia- los ou, ainda, as terminac¸o~es ?oso?para o de menor carga e ?ico?para o de maior carga.

Exemplo Por exemplo, o n´?quel (N i) forma os ca´tions N i+2, que recebe o nome de ca´tion niqueloso ou n´?quel II; e N i+3, ca´tion niqu´elico Assim: Ni+2 (c´ation niqueloso ou n´?quel II) com CO-2 (a^nion carbo- 3 nato) forma o sal NiCO3 chamado de carbonato de n´?quel II Ni+3 (c´ation niqu´elico ou n´?quel III) com SO-2 (a^nion sul- 3 ?to) forma o sal Ni2(SO3) chamado de sul?to de n´?quel III ou sul?to niqu´elico.

Qu´?mica B ? Aula 10 Nomenclatura dos O´ xidos Nomeamos os ´atomos de acordo com os grupos de divis~ao: O´ xidos Moleculares O ´oxido liga-se a um na~o metal ou hidrog^enio: escrevemos a palavra ´oxido seguida da preposic¸a~o ?de?e do nome do ele- mento associado ao oxig^enio. Antes da palavra ´oxido e do nome do elemento, colocamos os pre?xos mono, di , tri, tetra, penta, etc. para indicar a quantidade de ´atomos de oxig^enio e Exemplos CO2: di´oxido de carbono N2O5: pento´xido de dinitrog^enio Cl2O7: hepto´xido de dicloro CO: mono´xido de carbono ou ´oxido de carbono O´ xidos Io^nicos O ´oxido liga-se a um metal: Exemplos N a2O: ´oxido de so´dio CaO: ´oxido de ca´lcio F eO: ´oxido de ferro II

Classi?cac¸~ao dos O´ xidos O´ xidos B´asicos Reagem com ´agua, formando uma base, e reagem com ´acidos, formando sal e ´agua. Para formar uma base, ´e necessa´rio um Exemplos K2O + H2O =? 2KOH K2O + 2HCl =? 2KCl + H2O O´ xidos A´ cidos Sa~o os ´oxidos que reagem com ´agua, formando ´acido, e rea- gem com base, formando sal e ´agua; estes ´oxidos sa~o todos Exemplos SO3 + H2O =? H2SO4 SO3+2NaOH=?Na2SO4+H2O Podemos considerar os ´oxidos ´acidos como ´acidos que perde- ram ´agua; por isso eles sa~o tamb´em chamados de anidridos (sem ´agua): Exemplo H2SO4 - H2O = SO3

Hidretos Sa~o os compostos bin´arios do hidrog^enio de f´ormula geral ExHy se o H for o elemento mais eletronegativo, ou HyEx se o H for o elemento menos eletronegativo.

Nomenclatura Exemplos HCl: hidreto de cloro ou cloridreto HBr: hidreto de bromo ou bromidreto CaH2: hidreto de ca´lcio N H3: amo^nia P H3: fos?na 167

Classi?cac¸~ao Dependendo do elemento ligado ao hidrog^enio, o hidreto pode ser: Io^nico Sa~o os hidretos de metais mais eletropositivos, ou seja, alca- linos e alcalinos terrosos. Sa~o tamb´em chamados de hidretos Apresentam cara´ter ba´sico, pois reagem com a ´agua, produ- Exemplo NaH+HOH=?NaOH+H? 2 Molecular Exemplos H2S: sul?dreto HF: ?uoridreto N H3: amo^nia Os hidretos moleculares dos elementos das fam´?lias 6A (16) e 7 Exemplo HF+HO=?HO++F- 23

Os galinhos do tempo sa~o feitos de pl´astico, revestidos com um sal de cobalto. O cloreto de cobalto anidro (CoCl2) ´e azul e o Em dias chuvosos, quando a umidade relativa do ar ´e maior, o sal, naturalmente, absorve mol´eculas de ´agua da atmosfera, deixando o galinho rosa. Quando a umidade relativa do ar diminui, o sal perde gradativamente as mol´eculas de ´agua e volta a ser azul.

Para Aprender Mais! O cloreto de so´dio ´e encontrado na natureza, em jazidas na crosta terrestre, constituindo o salgema, e nas ´aguas do mar, A ´agua do mar ´e canalizada para reservat´orios de pouca pro- fundidade e grande superf´?cie, denominados salinas. Os reser- vat´orios sa~o dispostos de tal forma que a ´agua passa sucessi- vamente por todos e, pela ac¸a~o do sol e do vento, ´e evaporada, deixando depositados os sais menos solu´veis, como o carbo- nato de ca´lcio, o sulfato de ca´lcio e o sulfato de magn´esio. O cloreto de so´dio deposita-se junto com o cloreto de magn´esio, que absorve vapor de ´agua do meio ambiente e se solubiliza, restando cloreto de so´dio com alto grau de pureza. No Brasil, o sal de cozinha, conhecido como sal iodado, cont´em iodeto de so´dio ou pot´assio para evitar o bo´cio (hipertire´oide). Al´em disso, cont´em pequenas quantidades de outros sais que podem se hidratar, como o cloreto de magn´esio (MgCl2). Nos dias em que a umidade relativa do ar ´e maior, ele se transforma em cloreto de magn´esio hidratado, que deixa o sal com aspecto A soluc¸a~o contendo 0,92% de cloreto de so´dio ´e conhecida como soro ?siolo´gico e ´e usada no combate `a desidratac¸a~o.

Pense um Pouco! · A acidez estomacal, provocada pelo ´acido clor´?drico, pode Propriedades Coligativas Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (OSEC-SP) Qual das alternativas abaixo cont´em a f´ormula a) NaNO3 e HBr b) NaNO3 e HBrO c) NaNO2 e HBrO4 d) NaNO2 e HBrO3 e) NaNO2 e HBrO2

a) KNO3 ? nitrato de pot´assio b) Ca(P O4)3 ? fosfato de ca´lcio c) Al2(SO4)3 ? sulfato de alum´?nio d) Mg(ClO4) ? perclorato de magn´esio e) n. d. a.

3. (FEMPAR) Qual a subst^ancia que apresenta oxig^enio em a) ´acido clor´?drico b) ´acido sulf´?drico c) cloreto de f´osforo d) ?uoreto de zinco e) nitrato de prata

Exerc´?cios Complementares 4. Todas as alternativas apresentam um ´oxido ba´sico, exceto: a) N a2O b) CaO c) BaO d) F e3O4 e) SrO 5. (UEM-PR) A cal viva, a soda ca´ustica, o vinagre, o leite de magn´esia e o bicarbonato de so´dio sa~o produtos comerciais usados em nosso cotidiano. Quimicamente, podemos classi?ca- los, respectivamente, como: a) ´oxido, base, ´acido, base, sal b) ´oxido, sal, base, o´xido, sal c) base, sal, ´acido, ´oxido, sal d) ´oxido, base, a´cido, ´oxido, ´acido e) sal, base, ´acido, base, sal 6. (Acafe-SC) O ´oxido de magn´esio ´e muito usado como anti- ´acido, neutralizando o excesso de HCl no esto^mago. Com base apenas neste fato, podemos classi?c´a-lo como ´oxido: a) ´acido b) ba´sico c) neutro d) salino e) n. d. a.

Qu´?mica B Aula 11 Sabemos que a ´agua pura congela-se a 0 ?C e ferve a 100 ?C, sob pressa~o normal de 1 atmosfera. No entanto, dissolvendo um pouco de sal comum em ´agua, ela passar´a a congelar-se abaixo de 0 ?C e a ferver acima de 100 ?C, sob pressa~o de 1 atmosfera. Esses feno^menos sa~o denominados Efeitos ou Propriedades Coligativas das soluc¸o~es sa~o propriedades que dependem apenas do nu´mero de part´?culas dispersas na soluc¸a~o, independentemente da natureza dessas part´?culas.

Tanometria E´ o estudo de abaixamento da press~ao m´axima de va- por de um l´?quido, que ´e ocasionado pela dissoluc¸~ao Quando um l´?quido ´e colocado num recipiente hermeticamente fechado, onde havia v´acuo, ele vai evaporando at´e chegar a uma situac¸a~o na qual a velocidade de evaporac¸a~o torna-se igual A partir desse instante tudo se passa como se a evaporac¸a~o tivesse parado. Nessa situac¸a~o dizemos que os vapores sa~o vapores saturados ou saturantes e dizemos tamb´em que foi atingida a tensa~o ou pressa~o m´axima dos vapores. Evidente- mente essa pressa~o m´axima sera´ maior ou menor, dependendo da natureza do l´?quido e da temperatura em que foi feita a experi^encia. Pois bem, se no l´?quido anterior for dissolvido um soluto na~o-vol´atil observa-se que a pressa~o m´axima de vapores do l´?quido diminui. De?nimos enta~o: p0: pressa~o m´axima de vapor do l´?quido puro, `a temperatura p: pressa~o m´axima de vapor da soluc¸a~o, na mesma tempera- p - p0 = p: abaixamento absoluto da pressa~o m´axima de p0-p : abaixamento relativo da pressa~o m´axima da vapor da p0 O abaixamento relativo da pressa~o m´axima de vapor de uma soluc¸a~o pode ser calculado pela Lei de Raoult: Numa soluc¸~ao bastante dilu´?da de um soluto qual- quer, n~ao-vol´atil e n~ao-i^onico, o abaixamento relativo da press~ao m´axima de vapor ´e diretamente proporci- p0 - p 1.000m1 = KtW = Kt p0 m2M1 A constante Kt, que aparece nas f´ormulas acima, chama-se constante tonosco´pica (ou tonom´etrica) molal do sol- vente e pode ser calculada pela equac¸a~o: M2 Kt = 1.000 onde, M2 representa a mol´ecula-grama do solvente.

Qu´?mica B ? Aula 11 um l´?quido, ocasionado pela dissoluc¸~ao de um soluto A ´agua ferve a 100? C, sob pressa~o de 1 atmosfera. Se dis- solvermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, ela demorara´ mais para ferver (ou melhor, so´ ira´ ferver em tem- peratura mais alta), como se o sal estivesse di?cultando sua evaporac¸a~o e sua ebulic¸a~o. Esse feno^meno ´e chamado ebuli- Elevac¸a~o da temperatura de ebulic¸a~o da soluc¸a~o ( Te) ´e a diferenc¸a entre a temperatura inicial de ebulic¸a~o da soluc¸a~o (T ) e a temperatura de ebulic¸a~o do l´?quido puro (T0), sob mesma pressa~o externa.

Te = T - T0 Note que devemos dizer temperatura inicial de ebulic¸a~o da soluc¸a~o porque a` medida que a soluc¸a~o ferve o solvente vai evaporando, a concentrac¸a~o da soluc¸a~o vai aumentando a sua temperatura de ebulic¸a~o (T ) tamb´em ira´ aumentar. Essa pre- ocupac¸a~o na~o existe em relac¸a~o ao l´?quido puro, pois durante toda a ebulic¸a~o sua temperatura (T0) se mant´em constante.

Lei de Raoult Numa soluc¸~ao dilu´?da de um soluto qualquer, n~ao- vol´atil e n~ao-i^onico, a elevac¸~ao da temperatura de ebulic¸~ao ´e diretamente proporcional `a molalidade da 1.000m1 Te = KeW = Ke m2M1 A constante Ke, que aparece nas f´ormulas anteriores, ´e deno- minada constante ebuliosco´pica (ou ebuliom´etrica) mo- lal do solvente e pode ser calculada pela relac¸a~o: RT 2 Ke = 1.000LV onde: R ´e a constante universal dos gases perfeitos = 2 cal/mol · K T ´e a temperatura absoluta de ebulic¸a~o do solvente puro (em K) LV ´e o calor latente de vaporizac¸a~o do solvente puro (em cal/g)

Exemplo A temperatura de ebulic¸a~o da ´agua ao n´?vel do mar ´e 100? C Consequ¨entemente: K = f rac(2)(373)2(1.000)(538) = 0, 52 ?C e

Criometria E´ o estudo do abaixamento da temperatura de congelamento de um l´?quido, provocado pela dissoluc¸a~o de outra substa^ncia A ´agua pura congela a 0 ?C, sob pressa~o normal. Se dissol- vermos, por exemplo, um pouco de sal comum na ´agua, ela demorara´ mais para se congelar (ou melhor, so´ ira´ congelar em temperatura mais baixa), como se o sal estivesse di?cul- Esse feno^meno chamado criosco´pico ou croim´etrico, que tem certa analogia com o feno^meno ebuliom´etrico, descrito no ´?tem anterior.

169 De?nimos o baixamento da temperatura de congelamento da soluc¸a~o como Tc = T0 - T , que ´e chamado de efeito criosco´pico ou criom´etrico.

Lei de Raoult Numa soluc¸a~o dilu´?da de um soluto qualquer, na~o-i^onico, o abaixamento da temperatura de congelac¸a~o ´e diretamente pro- porcional `a molalidade da soluc¸a~o: 1.000m1 Tc = KcW = Kc m2M1 onde a constante Kc ´e denominada constante criosco´pica molal do solvente pode ser calculada pela relac¸a~o: RT 2 Kc = 1.000LF onde: T ´e a temperatura absoluta de congelamento do solvente puro (em K) LF ´e o calor latente de fus~ao do solvente puro (em cal/g).

Osmoscopia Entende-se por difusa~o entre l´?quidos o feno^meno da disse- minac¸a~o esponta^nea de um l´?quido em outro e vice-versa, de modo a se obter uma mistura homog^enea ou sistema mo- nofa´sico. Este feno^meno pode se dar tamb´em atrav´es de mem- branas: · perme´aveis ? sa~o aquelas que permitem a passagem tanto do solvente como do soluto;

· semi-permea´veis ? sa~o aquelas que permitem a passagem ¯ · imperme´aveis ? sa~o aquelas que na~o permitem a passa- gem de soluto e solvente.

Conclus~oes de Van't Ho? Van't Ho? veri?cou existir uma not´avel analogia entre pressa~o dos gases e a pressa~o osm´otica das soluc¸o~es dilu´?das. A partir dos estudos de Pfe?er, observou-se incr´?vel semelhanc¸a com a ?A press~ao osmo´tica de uma soluc¸~ao ´e igual `a press~ao que o soluto exerceria no estado gasoso, ocupando o mesmo volume da soluc¸~ao, na mesma temperatura.? Equac¸~ao Tipo Gases Perfeitos Como para os gases perfeitos, ou ideais, a pressa~o osm´otica pode ser escrita como pV = nRT onde, p ´e a pressa~o osm´otica, V o volume da soluc¸a~o, n o nu´mero de moles do soluto, R a constante dos gases perfeitos Equac¸~ao da Press~ao Osm´otica

e como n/V ´e a molaridade M da soluc¸a~o, temos p = MRT Para se obter a pressa~o osm´otica em atm, o valor de R a ser Para as soluc¸o~es io^nicas p=MRTi

Em condic¸o~es normais, a ´agua entra e sai continuamente das c´elulas, difundindo-se em direc¸a~o `a regi~ao em que ha´ me- nor nu´mero de mol´eculas de ´agua, estabelecendo o equil´?brio osm´otico. Se uma c´elula viva, por exemplo uma hema´cia, for colocada em soluc¸a~o salina, que apresente concentrac¸a~o supe- rior `a da c´elula, havera´ um ?uxo de ´agua, atrav´es da membrana plasma´tica, de dentro da c´elula (menor concentrac¸a~o) para fora Ao contr´ario se o meio for hipot^onico, a c´elula ?cara´ intumes- cida. Isso faz com que a administrac¸a~o de soro deva ser feita com soluc¸a~o isoto^nica. Nos vegetais existe, al´em da membrana plasma´tica, outra membrana (celulo´sica) que limita a entrada de ´agua, evitando que as c´elulas se rompam.

Para Aprender Mais! A dessalinizac¸a~o ´e um processo para obtenc¸a~o de ´agua pot´avel, a partir da ´agua do mar, em locais onde as fontes de ´agua doce sa~o insu?cientes, como algumas regi~oes do Oriente M´edio. A remoc¸a~o do sal ´e feita por osmose reversa, ou seja, o solvente (a´gua) far´a o caminho inverso ao natural, pela aplicac¸a~o de uma pressa~o superior `a pressa~o osm´otica. Uma das di?culda- des desse processo ´e a obtenc¸a~o de membranas semipermea´veis que resistam a altas presso~es.

Brincadeira de Crian¸ca Ao jogar sal de cozinha em uma lesma. O sal de cozinha ab- sorve toda a ´agua da lesma e o animal morre ocorrendo uma osmose vis´?vel (a passagem de um solvente por uma mem- brana semi-impermea´vel). Voc^e deve j´a deve ter feito essa experi^encia peralta quando crianc¸a!

Pense um Pouco! · A pressa~o m´axima de vapor de ´agua pura, a 20 ?C, ´e 17,54 mmHg. Dissolvendo-se 36 gramas de glicose (massa molecular=180) em 500 gramas de ´agua, quais sera~o os abaixamentos absoluto e relativo da pressa~o m´axima de vapor da soluc¸a~o?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Dez gramas de uma subst^ancia de massa molecular 266 Qual a temperatura de ebulic¸a~o da soluc¸a~o, sob pressa~o nor- mal? Dados: Te = 77 ?C (sob pressa~o normal); LV = 46 cal/g.

2. Qual a temperatura de congelamento de uma soluc¸a~o con- tendo 8, 9 g de antraceno (C14H10) em 256 g de benzeno? Da- dos: Tc = 5, 42 ?C para o benzeno puro, constante criom´etrica molal do benzeno = 5,12 ?C, massas at^omicas: H = 1 e C = 12.

3. (ITA-SP) Uma soluc¸a~o de NaCl em ´agua ´e aquecida num recipiente aberto. Qual das a?rmac¸o~es abaixo ´e falsa em a) A soluc¸a~o entrar´a em ebulic¸a~o quando sua pressa~o de vapor b) A molaridade da soluc¸a~o aumentara´ a medida que prosse- c) A temperatura de in´?cio de ebulic¸a~o ´e maior que a da ´agua d) A temperatura aumenta `a medida que a ebulic¸a~o prosse- e) A composic¸a~o do vapor desprendido ´e a mesma da soluc¸a~o residual.

4. (UFSC) Ao colocar-se uma c´elula vegetal normal, numa soluc¸a~o salina concentrada, observar-se-a´ que ela comec¸ara´ a ?enrugar? e a ?murchar?. Sobre esse feno^meno, ´e correto a?r- mar: 01. A c´elula vegetal encontra-se num meio hipot^onico em 02. Ha´ uma diferenc¸a de pressa~o, dita osm´otica, entre a soluc¸a~o 04. Ha´ um ?uxo de solvente do interior da c´elula para a soluc¸a~o 08. Quanto maior for a concentrac¸a~o da soluc¸a~o salina externa, 26. O ?uxo de solvente ocorre atrav´es de membranas semi- permea´veis.

5. (UDESC) Folhas de alface em contato com a ´agua perma- necem frescas. Quando imersas em vinagre com sal (tempero de saladas) elas ?cam murchas apo´s algum tempo, devido: a) somente `a passagem dos ´?ons cloreto atrav´es da membrana b) `a osmose inversa, passagem da ´agua da soluc¸a~o de vinagre d) `a osmose, passagem da ´agua do interior das c´elulas do al- e) somente `a passagem dos ´?ons so´dio atrav´es da membrana das c´elulas do alface.

Exerc´?cios Complementares 6. (Puccamp-SP) Num local em que a ´agua congela a 0 ?C e ferve a 100 ?C, uma soluc¸a~o aquosa de glicose ira´: b) congelar abaixo de 0 ?C e iniciar a ebulic¸a~o abaixo de 100 c) congelar acima de 0 ?C e iniciar a ebulic¸a~o abaixo de 100 d) congelar abaixo de 0 ?C e iniciar a ebulic¸a~o acima de 100 e) congelar acima de 0 ?C e iniciar a ebulic¸a~o acima de 100 ?C.

Qu´?mica B ? Aula 12 uma ferida com po´ de caf´e, para acelerar sua cicatrizac¸a~o. O efeito coligativo, envolvido na retirada de l´?quido que favoreceu a cicatrizac¸a~o, ´e: a) tanom´etrico b) criom´etrico c) ebuliom´etrico d) isom´etrico e) osm´otico 8. (UDESC) A pressa~o osm´otica do sangue na temperatura do corpo, 37 ?C, ´e de 7,626 atm. Considerando os solutos no sangue como na~o-eletr´olitos, a sua molaridade total sera´ de: a) 0,50 mol/L b) 0,30 mol/L c) 1,00 mol/L d) 0,10 mol/L e) 0,80 mol/L

Qu´?mica B Aula 12 Eletroqu´?mica Eletroqu´?mica ´e o estuda da relac¸a~o de oxi-reduc¸a~o que pro- As pilhas el´etricas funcionam com base em reac¸o~es qu´?micas Transformac¸a~o de energia qu´?mica em energia el´etrica.

Potencial de Oxida¸c~ao Cada metal tem uma capacidade diferente de doar el´etrons. A O valor num´erico do potencial de oxidac¸a~o ´e medido pela vol- A voltagem da pilha de Zn e ga´s hidrog^enio fornece o potencial de oxidac¸a~o do zinco.

Lembre-se! · oxidac¸~ao: ´e a perda de el´etrons por um elemento qu´?mico, ou seja, aumento do NOX;

· reduc¸~ao: ´e o ganho de el´etrons por um elemento qu´?mico, ou seja, diminuic¸a~o do NOX;

· agente oxidante: ´e o elemento ou subst^ancia que pro- · agente redutor: ´e o elemento ou subst^ancia que provoca reduc¸o~es (ele pr´oprio se oxidando).

Pilha de Daniell Se baseia na seguinte reac¸a~o de oxi-reduc¸a~o: Zn + CuSO4 -? ZnSO4 + Cu

Os el´etrons que passam do Zn para o Cu+2, que produzem a 171

Montagem Experimental Para melhor entendimento do sistema (pilha de Daniel) ´e poss´?vel monta´-la experimentalmente:

(a) (b) (c) Lista de Materiais · Recipiente grande transparente (para mergulhar as cha- pas) com uma placa de porcelana porosa para separar as meias c´elulas e sua respectivas soluc¸o~es;

· Soluc¸a~o aquosa de sulfato de zinco (ZnSO4) · Soluc¸a~o aquosa de sulfato cu´prico (CuSO4) · La^mpada pequena Procedimento Experimental 1. Em um dos compartimentos coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em soluc¸a~o aquosa de sulfato de zinco, no outro coloca-se uma chapa de zinco mergulhada em soluc¸a~o aquosa 2. Liga-se as placas meta´licas ao ?o condutor e `a la^mpada ou An´alise das Reac¸o~es Qu´?micas Com a chapa de zinco, ocorre a seguinte semi-reac¸a~o de oxidac¸a~o;

Zn =? Zn+2 + 2e- semi-reac¸a~o de oxidac¸a~o desse modo a chapa de zinco ?solta?el´etrons para o circuito externo (?o), a chapa de zinco ´e chamada de eletrodo negativo Com a chapa de cobre, ocorre a seguinte semi-reac¸a~o de reduc¸a~o, Cu+2 + 2e- =? Cu semi-reac¸a~o de reduc¸a~o desse modo o ´?on Cu+2 captura os el´etrons do circuito ex- terno (?o), a chapa de cobre ´e chamada de eletrodo positivo A soma das duas equac¸o~es anteriores, fornece a equac¸a~o geral da pilha de Daniell: Zn + Cu+2 =? Zn+2 + Cu A porcelana porosa deve impedir a mistura das soluc¸o~es, mas deve permitir a passagem dos ´?ons que esta~o sendo atra´?dos ou Apo´s um certo tempo de funcionamento da pilha, a chapa de zinco estara´ corro´?da, a chapa de cobre aumentou devido `a de- posic¸a~o de cobre e as concentrac¸o~es das soluc¸o~es se alteram.

Tudo isso ´e consequ¨^encia da pr´opria reac¸a~o geral de funciona- mento da pilha: Zn + CuSO4 =? ZnSO4 + Cu

onde: ? o sulfato de cobre formado pela reac¸a~o aumentou a concen- ? o cobre depositou-se sobre a chapa de Cu, aumentando sua Convencionou-se representar a pilha da seguinte maneira: Zn,Zn+2(1M)|Cu+2(1M),Cu(25?C) onde esta~o indicados os eletrodos, as molaridades das soluc¸o~es Conclus~ao Podemos dizer, que a pilha ou c´elula eletrol´?tica ´e um disposi- tivo que transforma energia qu´?mica em energia el´etrica. Isso ´e conseguindo, por meio de uma reac¸a~o de oxi-reduc¸a~o, com o oxidante e o redutor separados com compartimentos diferen- tes, de modo que o redutor seja obrigado a entregar os el´etrons Montagem #2 Outra montagem muito comum de uma pilha ´e a seguinte: Num copo de vidro ou (b´equer) ´e colocada uma chapa de zinco mergulhada em uma soluc¸a~o de sulfato de zinco; em outro colocamos a chapa de cobre mergulhada em uma soluc¸a~o de sulfato cu´prico. As duas chapas esta~o ligadas pelo ?o condutor externo e as duas soluc¸o~es sa~o ligadas pela ponte de salina, que ´e um tubo simples de vidro recurvado, como vemos na ?gura, totalmente cheio com soluc¸a~o de um sal (eletr´olito) e tendo nas duas extremidades um pouco de algoda~o para impedir o C´alculo da Diferenc¸a de Potencial (ddp) E? = E?oxid + E?red forc¸a eletromotriz (V) Assim para a pilha de Daniel temos : Eletrodo de Zn?/Zn+2 : E?oxid = +0, 76 V Eletrodo de Cu+2/Cu? : E?red = +0, 34 V E? = 0, 76 V + 0, 34 V = 1, 10 V

Aplica¸c~oes Pr´aticas das Pilhas Cada pilha ou elemento apresenta uma forc¸a eletromotriz de aproximadamente 1, 5 V . desse modo, uma associac¸a~o em s´erie de quatro elementos nos da´ uma bateria de 6, 0 V ; uma de seis Como o chumbo (a^nodo), o ´oxido de chumbo IV impregnado de chumbo (c´atodo), e o sulfato de chumbo sa~o so´lidos, a forc¸a ele- tromotriz do acumulador depende exclusivamente da soluc¸a~o de ´acido sulfu´rico. Por esse motivo, devemos mater constante A descarga consome o a´cido sulfu´rico, mas durante a recarga, feita automaticamente pelo gerador ou alternador no motor do ve´?culo, o ´acido sulfu´rico ´e regenerado e o sulfato de chumbo volta `a condic¸a~o de chumbo e ´oxido de chumbo IV.

Nota As reac¸o~es das baterias (acumulador de chumbo) e N´?quel- E a pilha de Leclanch´e (seca) com eletrodo central de gra?te, pilhas alcalinas e as pilhas de mercu´rio sera~o apresentadas e A vantagem das pilhas ´e que elas podem ser recarregadas mui- tas vezes, sendo utilizadas em telefones, calculadoras, brinque- As pilhas alcalinas sa~o usadas em relo´gios de pulso e aparelhos de surdez, por serem muito pequenas. Elas na~o sa~o recar- rega´veis, mais apresentam grande durabilidade.

Eletr´olise E´ o feno^meno inverso `aquele que ocorre numa pilha, isto ´e, a corrente el´etrica provocando uma reac¸a~o de oxi-reduc¸a~o ? um Logo, o po´lo positivo ´e o ^anodo e o negativo ´e o ca´todo.

Eletr´olise ´Ignea E´ a eletro´lise de um eletro´lito no estado fundido. Nela, o so´lido io^nico deve ser liquefeito por aquecimento (fusa~o), pois assim os ´?ons tem livre movimento, podendo se deslocar at´e os eletrodos e a´? descarregarem (ganhar ou perder el´etrons).

Eletr´olise por via Aquosa com Eletrodos Inertes Em uma soluc¸a~o aquosa, al´em dos ´?ons resultantes da disso- ciac¸a~o io^nica do eletro´lito, ha´ tamb´em ca´tions H+ e ^anions Dessa forma podemos ter em soluc¸a~o ca´tions C+ e H+ e ^anions A- e OH-, de modo que ha´ uma disputa para a descarga nos eletrodos. Entre os ca´tions, descarrega primeiro aquele com maior E?red (maior tend^encia em receber el´etrons). Entre ^anions, descarrega primeiro aquele com menor E?red (maior tend^encia em doar el´etrons).

Estudo Quantitativo da Eletr´olise As pesquisas feitas pelo cientista ingl^es Michael Faraday (1791- 1867) estabeleceram as bases para se determinar as quanti- dades das subst^ancias formadas e da subst^ancia decomposta Assim, as relac¸o~es entre a carga que atravessa a soluc¸a~o e as massas dos participantes sa~o: ? a massa da subst^ancia formada no eletrodo e a massa da subst^ancia decomposta sa~o diretamente proporcionais `a carga el´etrica que atravessa a soluc¸a~o dada por: Q = it sendo Q a carga el´etrica (em coulombs) i a intensidade da corrente (em amp`eres) t o tempo (em segundos).

Qu´?mica B ? Aula 12 A vida vegetal e animal na ´agua depende de seu cara´ter oxi- dante ou redutor, o que ´e dado pela equac¸a~o: O2 + 4H+ + 4e- =? 2H2O

cujo E? varia aproximadamente de +0, 3 V (para ´agua aerada) a -0, 6 V (para ´agua com pouco ar). Quanto maior o E? mais oxidante sera´ o meio aquoso.

Para Aprender Mais! Eletr´olise Industrial do NaCl A eletro´lise aquosa do sal produz hidrog^enio (H2), cloro (Cl2) e soda ca´ustica (NaOH). Esse processo envolve o consumo de grandes quantidades de energia, por isso as indu´strias instalam-se preferencialmente em regi~oes onde a fonte de clo- reto de so´dio e a energia el´etrica sa~o custo mais baixo. O hidro´xido de so´dio, conhecido como soda ca´ustica, ´e o prin- cipal produto dessa eletro´lise, ´e a base mais barata e mais importante como mat´eria prima, sendo usada na fabricac¸a~o de saba~o, detergentes, papel, sais de so´dio, re?nac¸a~o de petro´leo, puri?cac¸a~o de ´oleos vegetais, indu´stria t^extil, entre outros. O cloro ´e usado como desinfetante por ser um agente bactericida, no tratamento da ´agua e esgotos, no branqueamento da celu- lose, na fabricac¸a~o de inseticidas como BHC, na preparac¸a~o de O Hidrog^enio ´e extremamente reativo e perigosos de ser ma- nipulado, pois ´e explosivo e in?ama´vel. Ele ´e usado na hi- drogenac¸a~o de ´oleos vegetais (produc¸a~o de margarinas), na produc¸a~o de amon´?acos (N H3), como combust´?vel de fogue- A reac¸a~o entre o hidrog^enio e cloro produz o cloreto de hidrog^enio (HCl), que dissolvido em ´agua produz ´acido clor´?drico, usado na limpeza de superf´?cies meta´licas que sera~o galvanizadas. O ´acido muria´tico ´e o ´acido clor´?drico contendo O hipoclorito de so´dio ´e obtido pela passagem de uma corrente de ga´s cloro pela soluc¸a~o de hidro´xido de so´dio e ´e usado como alvejante e desinfetante.

Brasil Pesquisa `a Hidrog^enio Imagine um automo´vel que funciona alimentado por uma fonte de energia ta~o limpa que o u´nico res´?duo que produz ´e va- por de ´agua. Parece sonho, mas j´a existem no mundo al- guns proto´tipos desse ve´?culo. Trata-se do carro movido a hi- drog^enio. E´ um grande problema tecnolo´gico que ainda precisa ser resolvido para que sua produc¸a~o em grande escala possa ser pensada ´e uma forma segura e economicamente via´vel de armazenar o ?combust´?vel?. Isso porque o hidrog^enio ´e um ga´s altamente combust´?vel e inst´avel. Basta lembrar que o Zeppe- lin incendiou-se com hidrog^enio gasoso e a Challenger explodiu A soluc¸a~o tem grandes chances de nascer no Brasil. Para isso, a Coordenac¸a~o de Programas de Po´s-Graduac¸a~o em Engenharia (Coope) da Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ), esta´ desenvolvendo, uma parceria com a Renault, uma das mais promissoras linhas de pesquisa em curso no mundo: o ?tanque?macic¸o no qual a´tomos de hidrog^enio sa~o ?embuti- dos?dentro da estrutura at^omica do metal. A parceria repre- 173

senta a primeira vez que a Renault transfere parte de sua pes- O carro de hidrog^enio na~o polui porque na~o queima com- bust´?vel. Seu motor ?arranca?energia el´etrica do hidrog^enio por meio de reac¸o~es qu´?micas limpas. Nesse automo´vel, uma c´elula (ou pilha) combust´?vel realiza o inverso da eletro´lise, combinando ´atomos de hidrog^enio e de oxig^enio. O processo Al´em de limpo, o motor a hidrog^enio ´e muito mais e?ciente que os motores convencionais a explos~ao usados hoje nos au- tomo´veis. Enquanto um motor el´etrico transforma em ener- gia meca^nica (movimento) quase 100% da energia que produz, um motor a explos~ao converte em movimento menos de 30% da energia gerada pela queima do combust´?vel. O restante perde-se sob a forma do calor produzido pelo movimento dos O Laborat´orio de Hidrog^enio da Coppe esta´ investido numa al- ternativa bem diferente, que permitiria armazenar num espac¸o pequeno grandes quantidades de hidrog^enio destitu´?do do seu potencial explosivo. Para isso, os cientistas quebram as mol´eculas de hidrog^enio, separando seus dois ´atomos, que por serem muito pequenos, podem ser ?embutidos?dentro da estru- tura do metal de um ?tanque?macic¸o. Parece ?cc¸a~o, mas, no laborat´orio da Coope, os cientistas conseguem com ^exito ?em- butir?o hidrog^enio no metal e regata-lo novamente na forma gasosa.

Pense um Pouco! · De acordo com as reac¸o~es do Al e do Co: Al+3 + 3e- =? Al -1,66 V Co+2 + 2e- =? Co -0,28 V Responda: d) Qual o melhor agente oxidante?

Ag =? Ag+ + e- E?= -0,80V ´e correto a?rmar que: 08. Entre os eletrodos de Zn e Ag existe uma diferenc¸a de 32. O sentido esponta^neo do processo sera´: 64. n+2 + 2Ag =? Zn + 2Ag+ 3. (UFRGS) Um jovem, apo´s utilizar uma soluc¸a~o de sulfato de cobre II para proteger sua parreira, armazenou-a em um balde de ferro. Depois de algum tempo observou que o balde estava furado e que havia se formado um dep´osito averme- lhado. O metal avermelhado pode ser: a) ´oxido de cobre II b) sulfeto de cobre II c) sulfeto de ferro II d) ferro meta´lico e) cobre meta´lico

Qu´?mica Orga^nica ? Aula 1 Qu´?mica Org^anica Aula 1 Introdu¸c~ao `a Qu´?mica Org^anica BERZELIUS ?Somente os seres vivos podem transformar subst^ancias mine- rais em orga^nicas? (Teoria da Forc¸a Vital) WHO¨ LLER S´?ntese da ur´eia (composto orga^nico) a partir do cianato de amo^nio (composto inorga^nico) em laborat´orio.

NH2 NH4CNO --- C = O / NH2 Caracter´?sticas do Carbono Postulados de Kekul´e: 1. E´ tetracovalente.

2. Os ^angulos entre as val^encias sa~o de 109?28?, adquirindo a forma de um tetraedro regular.

4. Um ´atomo de carbono pode formar uma, duas ou at´e tr^es ligac¸o~es com um segundo ´atomo, realizando, assim, res- pectivamente, ligac¸o~es simples, duplas ou triplas.

Assim, classi?camos as ligac¸o~es do carbono em: Ocorre, neste caso, uma superposic¸a~o de orbitais (over- lap).

· Pi (?): Sa~o as segundas e terceiras ligac¸o~es entre dois ´atomos. Agora, o que ocorre ´e uma aproximac¸a~o entre os orbitais.

Liga¸c~oes Quanto ao nu´mero de ´atomos de C unidos diretamente a ele: · carbono prima´rio: liga-se a 1 ´atomo de carbono;

Satura¸c~ao C?C?C?C INSATURADO, aquele que apresenta dupla ou tripla ligac¸a~o: C == C ? C ? C 175

Hibridiza¸c~ao do Carbono 1. sp3 (tetra´edrica) · ´e a fus~ao de quatro orbitais (um do tipo s e tr^es do · carbono liga-se a outros quatro ´atomos.

2. sp2 (trigonal) · ´e a fus~ao de um orbital s com dois orbitais p, for- · carbono liga-se a outros tr^es ´atomos.

3. sp (linear) · ´e a fus~ao de um orbital s com um p formando dois · pode formar duas ligac¸o~es duplas ou uma tripla e · carbono liga-se a outros dois ´atomos.

Resumo Tipo de ligação Representação Só ligaçoes simples Uma dupla ligação Uma tripla ligação Duas duplas ligações Hibridação C sp3 C sp2 C sp C sp Ângulo entre as valências 109 28´ 120 180 180

Elementos Organ´ogenos Sa~o os elementos que formam os compostos orga^nicos. Os mais frequ¨entes sa~o: C, H, O, N.

Cadeia Principal E´ a maior sequ¨^encia de carbonos, ininterrupta, que abrange a principal caracter´?stica do composto.

Radicais Org^anicos Sa~o grupamentos de ´atomos contendo carbono, que se unem `a cadeia principal por ligac¸o~es (val^encias). O composto acima, separado nas duas partes descritas, ?caria: CH3 CH3 CH3 | || CH2 - CH2 - CH - CH - CH - C - CH2 - CH3 || CH2 CH3 | CH3 Ou seja, a Cadeia Principal possui 8 carbonos, e um total de 5 radicais, sendo 4 constitu´?dos por um carbono e 1 constitu´?do por 2 carbonos.

CLASSIFICAC¸ A~ O DAS CADEIAS 1. SATURADA: Cadeia cujos carbonos, se unem por simples ligac¸a~o: Ex. CH3 ? CH2 ? CH3 2. INSATURADA: Cadeia cujos carbonos se unem por du- plas e/ou triplas ligac¸o~es: Ex. CH2 == CH ? CH3 3. HOMOGE^ NEA: Cadeia cujo nu´cleo so´ ´e constitu´?do por Ex. CH3 ? CH2 ? CH3 4. HETEROGE^ NEA: Cadeia que apresenta um heteroa´tomo (N, O, S), ou seja, ´atomo diferente de carbono unido a pelo Ex. CH3 ? O ? CH2 ? CH3 5. NORMAL: Cadeia na~o rami?cada, ou seja, constitu´?da por carbonos prima´rios e secund´arios somente. Ex. CH3 ? CH2 ? CH == CH2 6. RAMIFICADA: cadeia que apresenta ramos ou rami- ?cac¸o~es (radicais).

CH3 | CH3 - CH - CH2 7. MISTA: cadeia c´?clica rami?cada, ou seja, apresentando parte c´?clica e parte ac´?clica.

CH - CH3 || CH3 - CH - CH2 8. HOMOC´ICLICA: cadeia cujo nu´cleo so´ apresenta ´atomos de carbono: 9. HETEROC´ICLICA: cadeia c´?clica com heteroa´tomo.

CH2 --- CH2 || CH2 - O - CH2 10. AROMA´ TICA: cadeia c´?clica, contendo um anel de ben- zeno, que apresenta efeito de resson^ancia.

· POLINUCLEADA DE NU´ CLEOS CONDENSA- · POLINUCLEADA DE NU´ CLEOS ISOLADOS: mais de um nu´cleo separado entre si.

CH 3 (a) (b) (c)

Figura 2.1: Cadeias aroma´ticas mononucleada (a), polinucle- ada com nu´cleos condensados (b) e com nu´cleos isolados (c)

Radicais derivados do Benzeno Regra adicional: se contiver 2 val^encias, as mesmas sa~o indica- das por ORTO (posic¸a~o 1 e 2), META (posic¸a~o 1 e 3) e PARA (posic¸a~o 1 e 4): Exemplo:

CH CH CH 333

111 2 CH 3 3 CH 4 3 CH 3 O-dimetil-benzeno M-dimetil-benzeno P-dimetil-benzeno

Resumo HIDROCARBONETOS ALIFÁTICOS Saturados Insaturados Alcanos Radicais Alquilo

Pense um Pouco! AROMÁTICOS Alcenos -- ligações duplas Alcinos -- ligações triplas

Qu´?mica Orga^nica ? Aula 1 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (PUC-SP) Na f´ormula:

H3C H | CH - C - CH2 - CH - CH3 /||| H3C H CH3 CH3

as quantidades totais de ´atomo de carbonos prima´rio, se- cund´ario e tercia´rio sa~o, respectivamente: e) 5, 2 e 2.

2. Sabe-se que uma cadeia carbo^nica alifa´tica, homog^enea e saturada apresenta dois ´atomos de carbono secund´ario, dois ´atomos de carbono quatern´ario e tr^es ´atomos de carbono tercia´rio. Logo, essa cadeia apresenta: e) 15 ´atomos de C.

3. Carbono quatern´ario ´e aquele que: 4. O nu´mero de ligac¸o~es (sigma) e o de ligac¸o~es (pi) na mol´ecula do ciclopenteno sa~o,

respectivamente: 177 5. Um composto c´?clico, com 3 carbonos e uma dupla ligac¸a~o, a) C3H2 b) C3H3 c) C3H4 d) C3H5 e) C3H6 6. (CARLOS CHAGAS) O modelo espacial cl´assico do ´atomo de carbono, um tetraedro regular cujo centro ´e ocupado pelo ´atomo e cujos v´ertices representam as val^encias, ´e devido a: e) Kekul´e.

7. (CARLOS CHAGAS) Um composto aberto, com 4 carbo- nos e uma dupla ligac¸a~o, sendo constitu´?do apenas por carbo- nos e hidrog^enios, tera´ f´ormula molecular: a) C4H10 b) C4H8 c) C4H6 d) C4H4 e) C4H5

Exerc´?cios Complementares 8. Qu´?mica orga^nica ´e a parte da Qu´?mica que estuda: e) n.d.a.

9. Os principais elementos organ´ogenos, sa~o: a) C, H, O, N b) C, H, O, S c) C, H, O, I d) C, H, S, N e) C, H, O, Cl 10. (PUC) Classi?que a cadeia

HOHHO | || || | // H-C-C-C-C-C ||| H H CH3 OH

segundo suas caracter´?sticas: e) aberta, rami?cada, heterog^enea e insaturada 11. (UFCE) A ?nicotina´´ pode ser representada pela f´ormula.

A informac¸a~o do nu´mero de ´atomos de carbono que se encon- tram representados na cadeia principal ´e dada pelo pre?xo do nome do composto em estudo.

Tabela de Pre?xos N CH N3 Quantos ´atomos de carbono e quantos ´atomos de hidrog^enio a) 10 e 13 b) 10 e 14 c) 9 e 12 d) 8 e 14 e) n.d.a.

12. (CARLOS CHAGAS) O naftaleno, cuja estrutura ´e: Apresenta cadeia: e) ac´?clica, homog^enea, insaturada.

Qu´?mica Org^anica B Aula 2 Nomenclatura A nomenclatura atualmente adaptada pela comunidade ci- ent´??ca, a IUPAC, os compostos orga^nicos mais simples e que constituem a base de todos os outros sa~o os hidrocarbonetos, Estruturalmente, os hidrocarbonetos podem ser divididos em dois grandes grupos: hidrocarbonetos alifa´ticos e hidrocarbo- netos aroma´ticos, caracterizando-se estes u´ltimos por apresen- tarem um ciclo de 6 a´tomos de carbono com caracter´?sticas muito espec´??cas.

Carbonos Pre?xo Estrutura 1 MET C 2 ET C-C 3 PROP C-C -C 4 BUT C-C-C-C 5 PENT C-C-C-C-C 6 HEX C-C-C-C-C-C 7 HEPT C-C-C-C-C-C-C Em compostos que apresentem um nu´mero de ´atomos de car- bono superior a 7, ´e adaptado o pre?xo da numerac¸a~o grega correspondente `a mesma, de modo ana´logo ao pre?xo das ca- Alcanos (para?nas): sa~o hidrocarbonetos de cadeia aberta, sa- turada e de f´ormula geral: CnH2n+2

Em condic¸o~es ambientais alcanos apresentam os estados f´?sicos: gasoso (1 a 4 carbonos), l´?quido (5 a 18 carbonos) e so´lido Alcenos e alcinos apresentam propriedades f´?sicas semelhantes aos alcanos.

Nomenclatura Org^anica Nome = PREFIXO + AFIXO + SUFIXO · Pre?xo: indica o nu´mero de ´atomos de carbono perten- Ex. met (1), et (2), prop (3), but (4), etc.

· A?xo ou in?xo: indica o tipo de ligac¸a~o entre os carbo- nos: Todas simples = an uma dupla = em duas duplas = dien tr^es duplas = trien

uma tripla = in duas triplas = diin · Su?xo: indica a func¸a~o qu´?mica do composto orga^nico: hidrocarboneto = no ´alcool = ol alde´?do = al cetona = ona ´acido carbox´?lico = o´ico amina = amina ´eter = o´xi

Alcanos de Cadeia Normal Exemplo Metano, etano, propano, butano, pentano, hexano, heptano, octano, nonano, decano, undecano, dodecano, etc.

Qu´?mica Orga^nica B ? Aula 2 Alcenos (ole?nas) Sa~o hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma ligac¸a~o dupla entre carbonos e de f´ormula geral: CnH2n em que n ´e o nu´mero de carbonos.

Alcenos Para os alcenos de cadeia normal e de cadeia rami?cada a nomenclatura ´e muito semelhante `a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se `a terminac¸a~o ano do alcano por eno.

Regras 1. A cadeia principal ´e a mais longa que cont´em a dupla 2. A numerac¸a~o da cadeia principal ´e sempre feita a partir da extremidade mais pr´oxima da dupla ligac¸a~o, independen- temente das rami?cac¸o~es presentes na cadeia. No nome do alceno a posic¸a~o da dupla ´e dada pelo nu´mero do primeiro carbono da dupla; esse nu´mero ´e escrito antes do nome do 3. Se houver mais de uma possibilidade para a cadeia principal adota-se a regra dos menores nu´meros.

Alcinos Sa~o hidrocarbonetos de cadeia aberta, insaturada por uma ligac¸a~o tripla entre carbonos e de f´ormula geral: CnH2n-2 em que n ´e o nu´mero de carbonos.

Nomenclatura dos Alcinos Para os alcino de cadeia normal e de cadeia rami?cada ´e muito semelhante `a nomenclatura utilizada para os alcanos. Troca-se `a terminac¸a~o ano do alcano por ino.

Ciclanos (ciclopara?nas) Sa~o hidrocarbonetos de cadeia fechada, saturada, so´ apresen- tam ligac¸o~es entre os ´atomos de carbono do ciclo, e de f´ormula geral: CnH2n em que n ´e o nu´mero de carbonos.

Ciclenos Nomenclatura dos ciclenos de cadeia normal e de cadeia rami- ?cada: I. O nome ´e dado adicionando-se o pre?xo CICLO ao nome do II. Quando a cadeia for rami?cada, a numerac¸a~o da cadeia se inicia a partir do carbono da ligac¸a~o dupla (a dupla deve ?car entre o carbono 1 e 2) e segue-se o sentido hora´rio ou anti-hor´ario, de maneira a se respeitar `a regra dos menores III. As rami?cac¸o~es devem ser citadas em ordem alfab´etica;

179 Fun¸c~oes Oxigenadas A´ lcoois Sa~o compostos orga^nicos que apresentam um ou mais grupos hidroxilas (OH) ligados a ´atomos de carbono saturados. Os ´alcoois sa~o mais reativos que os hidrocarbonetos e apresentam cara´ter praticamente neutro. Na nomenclatura dos ´alcoois uti- Classi?cac¸~ao dos A´ lcoois Quanto `a posic¸a~o do grupo OH: I. A´ lcool prima´rio: a hidroxila esta´ ligada a um ´atomo de II. A´ lcool secund´ario: a hidroxila esta´ ligada a um ´atomo de III. A´ lcool tercia´rio: a hidroxila esta´ ligada a um ´atomo de carbono tercia´rio Quanto ao nu´mero de hidroxilas: I. Monoa´lcool : possui somente 1 grupo funcional OH II. Dia´lcool: possui 2 grupos funcionais OH III. Tria´lcool: possui 3 grupos funcionais OH

Feno´is Sa~o compostos orga^nicos em que o grupo OH se liga direta- mente ao anel benz^enico. Os feno´is apresentam cara´ter ´acido, em sua nomenclatura usamos o pre?xo hidroxi.

Alde´?dos Sa~o compostos orga^nicos que apresentam o grupo carbonila na extremidade do composto. Os alde´?dos sa~o desidratantes, em F´ormula Geral

O // R-C H Cetonas sa~o compostos orga^nicos que apresentam o grupo carbonila F´ormula Geral

O // R-C -R Haletos Org^anicos Sa~o compostos derivados dos hidrocarbonetos pela troca de F´ormula Geral

E´teres O // Ss~ao compostos orga^nicos que apresentam um oxig^enio ligado a dois radicais orga^nicos. Os ´eteres sa~o obtidos a partir da desidratac¸a~o intermolecular dos ´alcoois. Sua nomenclatura ´e composta pelo radical menor escrito com a terminac¸a~o oxi, seguido do nome do hidrocarboneto correspondente ao radical F´ormula Geral R-O-R

A´ cidos Carbox´?licos : sa~o compostos orga^nicos que apresentam a hidroxila ligada ao grupo carbonila. Os ´acidos carbox´?licos tem cara´ter a´cido, F´ormula Geral

O // R-C OH Sa~o obtidos a partir da reac¸a~o entre ´alcool ou fenol e ´acido carbox´?lico. Sua nomenclatura ´e composta pelo nome do ´acido formador trocando a terminac¸a~o ico por ato seguido pela pre- posic¸a~o de e pelo nome do radical correspondente ao ´alcool ou F´ormula Geral

O // R-C O-R Sais de A´ cidos Carbox´?licos Sa~o compostos orga^nicos que derivam dos ´acidos carbox´?licos Em sua nomenclatura, da´-se o su?xo ato ao nome da cadeia de origem (igual aos ´esteres) seguido da preposic¸a~o de e do nome metal. Os sais de ´acidos carbox´?licos de cadeia longa sa~o F´ormula Geral

O // R-C + ONa Haletos de A´ cidos Sa~o compostos orga^nicos que derivam dos ´acidos carbox´?licos pela substituic¸a~o da hidroxila por um halog^enio. Em sua no- menclatura, o nome do ^anion correspondente ao haleto seguido da preposic¸a~o de e do nome do acido de origem com a ter- F´ormula Geral R-C X

Anidridos de A´ cido Carbox´?lico Sa~o compostos orga^nicos obtidos pela desidratac¸a~o inter- mo- lecular de dois ´acidos carbox´?licos. Sua nomenclatura ´e com- posta pela palavra anidrido seguido do nome do menor ´acido e por ?m o nome do maior ´acido. Caso o anidrido possuir F´ormula Geral

O // R-C O / R-C \ O Fun¸c~oes Nitrogenadas Aminas Sa~o compostos orga^nicos derivados da amo^nia (N H3) pela substituic¸a~o de um ou mais hidrog^enios por radicais alquila ou arila. As aminas sa~o usadas como corantes. Em sua no- menclatura usa-se o nome do radical F´ormula Geral

H / R-N H (amina prima´ria) H / R-N R (amina secund´aria)

R / R-N R (amina terci´aria) Amidas Sa~o compostos orga^nicos obtidos normalmente da reac¸a~o de um ´acido carbox´?lico e uma amina. Em sua nomenclatura, F´ormula Geral

Qu´?mica Orga^nica B ? Aula 2 R-C NH2 Nitrilas Sa~o compostos orga^nicos obtidos do ´acido cian´?drico pela subs- tituic¸a~o do hidrog^enio por um radical derivado de hidrocarbo- neto. Em sua nomenclatura, usa-se o nome do hidrocarboneto F´ormula Geral

R-C \ N Nitro Compostos Sa~o compostos orga^nicos derivados do ´acido n´?trico pela subs- tituic¸a~o da hidroxila por um radical alquila ou arila. Em sua nomenclatura, usa-se o pre?xo nitro seguido do nome do hi- F´ormula Geral

O // R - N ou R - NO2 `O Curiosidade Computadores orga^nicos atualmente estudados, tem processa- dores ultra-pequenos, 100 bilho~es de vezes mais ra´pidos que os atuais. a tecnologia adotada emprega ?Molecular Switches?, que, na verdade, sa~o mol´eculas orga^nicas que desempenham o papel dos mais variados componentes eletro^nicos de um micro- processador.

Pense um Pouco! · Os compostos orga^nicos sa~o usados largamente pela indus- tria qu´?mica. Voc^e conhece alguns compostos? Comente e d^e suas respectivas f´ormulas estruturais.

· Uma das aminas responsa´veis pelo cheiro de peixe ´e a Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (ITA-2004) A estrutura molecular da mor?na esta´ repre- 181

Assinale a opc¸a~o que apresenta dois dos grupos funcionais pre- e) Amida e ´ester.

2. Escreva as f´ormulas de estrutura dos seguintes compostos: a) 2,2,4-trimetil pentano b) 2-bromopropeno c) propino d) 2,2-dicloro-1-?uoro-3-iodobutano e) 2,5-hexanodiol f) ´eter etilfen´?lico g) ´eter diprop´?lico h) etanol i) 5-etil-5-metil-heptanona-3 j) benzalde´?do k) ´acido 2-cloro-2-metil propan´oico l) etanoato de butilo m) pentanamida n) etilfenilmetilamina o) ciclopentano p) ciclobuteno 3. O te?on ´e usado em panelas como frigideiras com ?nalida- des de na~o permitir a ader^encia de gordura FF || F-C-C-F Sua nomenclatura o?cial sera´: a) ?u´or-etano b) di?u´or-metano c) tetra?u´or-eteno d) butano-?u´or e) n. d. a.

5. (UNESP-2004) Durante a guerra do Vietn~a (d´ecada de 60 do s´eculo passado), foi usado um composto chamado agente laranja (ou 2,4-D) que, atuando como desfolhante das ´arvores, impedia que os soldados vietnamitas (os vietcongues) se ocul- Esse material continha uma impureza, resultante do processo As f´ormulas estruturais para estes compostos sa~o apresenta- das a seguir.

Esses compostos apresentam em comum as func¸o~es: a) amina e ´acido carbox´?lico e) haleto orga^nico e amida.

6. O Biodigestor promove, atrav´es da atividade de bact´erias, a conversa~o dos esgotos em material inerte e em bioga´s. O principal bioga´s obtido neste reator ´e: a) CH4 b) CH3CH2OH c) NO2 d) SO2 e) C2H6

Exerc´?cios Complementares 7. (UFMA) A reac¸a~o: ´alcool + ´acido carbox´?lico, produz: a) ´eter b) haleto de alco´?la c) anidrido de a´cido d) ´ester e ´agua e) sal e ´agua 8. Os grupos orga^nicos obtidos a partir dos alcanos pela perda dos ´atomos de hidrog^enio

CH3 - CH2 - CH - CH3 | H* CH3 - CH - CH3 | H* assinalados com asterisco, denominam-se respectivamente: c) s-butil e isopropil;

9. D^e a nomenclatura (IUPAC) do composto abaixo: 10. (SUPRA-98) A partir de novembro do pr´oximo ano 1999, chegar´a ao estado de santa Catarina ga´s natural proveniente da Bol´?via, via Mato Grosso do Sul passando por Sa~o Paulo, Parana´, Santa Catarina e Rio Grande do Sul. O ga´s natural ´e utilizado com ^exito nos pa´?ses desenvolvidos e estara´ dis- pon´?vel para uso industrial, comercial e residencial. A m´edio prazo trar´a economia aos seus usu´arios substituindo o emprego de ´oleo diesel nas indu´strias. As vantagens ecol´ogicas sa~o as primeiras destacadas por quem conhece os resultados do uso do ga´s natural. O ga´s na~o ´e poluente, porque na~o emite cinzas e tem queima de 97%, na~o necessita de tratamento e?uentes gasoso e na~o interfere na colorac¸a~o dos produtos fabricados (es- pecialmente a cera^mica). Registros da Petrobra´s responsa´vel Este texto refere-se ao ga´s: a) etano b) propano c) benzeno d) metano e) acetileno 11. (ACE) A gasolina ´e constitu´?da principalmente por: b) Mistura de hidretos c) Mistura de ´alcoois d) Mistura de compostos de chumbo e) n. d. a.

Matem´atica Matem´atica A Aula 1 Rela¸c~oes e Fun¸c~oes Rela¸c~oes De?nimos relac¸a~o como: Dados dois conjuntos na~o vazios S e T chama-se relac¸a~o R de S em T qualquer subconjunto de Sxt. Assim, R esta´ contido em Sxt (R ? SxT ).

Exemplo R = {(x, y)/x < y} B A 1 0 3 2 4 65 Notac¸~ao Podemos escrever uma relac¸a~o de A em B das seguintes formas: · Nomeando os pares ordenados, por exemplo: R = · Atrav´es de uma sentenc¸a matem´atica, por exemplo: R = {(x, y) ? AxB/y = x + 1}, sendo que A = {0, 1, 1, 2, 3} e B = {1, 3, 4, 9}.

Dom´?nio e Imagem Ao conjunto formado por todos os primeiros elementos dos pa- res ordenados (x, y) de uma relac¸a~o damos o nome de dom´?nio Os segundos elementos desses pares formam o conjunto imagem da relac¸a~o: Im(R). Assim, na relac¸a~o R = {(-1, 3), (0, 4), (1, 5)}, D(R) = {-1, 0, 1} e Im(R) = {3, 4, 5}.

Representac¸~ao Podemos representar uma relac¸a~o por um diagrama de se- tas ou no plano cartesiano: Consideremos os conjuntos A = {-1, 0, 1, 2} e B = {1, 0, 1, 4} e a relac¸a~o R = {(x, y) ? AxB/y = x2}.

Fun¸c~oes O conceito ba´sico de func¸a~o ´e o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associac¸a~o entre eles, que fac¸a corresponder a todo o elemento do primeiro conjunto um u´nico elemento do segundo conjunto, ocorre uma func¸a~o. Observe- mos os pares de conjuntos abaixo.

Exemplos 1. Dados L = {2, 5, 9, 12} e A = {4, 25, 81, 144} e a relac¸a~o R = {(x, y) ? LxA/y = x2}.

A L 24 25 5 9 81 12 144 2. Dados A = {10, 12, 15, 16, 13} e B = {20, 24, 30, 26} e a 3. Dados A = {5, 12, 23} e B = {7, 14, 25} e a relac¸a~o R = 4. Dados A = {16, 81} e B = {-2, 2, 3} e a relac¸a~o R = {(x, y) ? AxB/y4 = x} Sera~o reconhecidas como func¸a~o as relac¸o~es que tiverem todos os elementos de A associados a elementos de B, sendo que cada elemento de A deve estar ligado somente a um u´nico elemento de B.

B A 20 10 24 12 30 15 16 26 13 A 16 81 B -2 2 3 B A 7 6 5 14 15 12 16 26 25 23 Para ambos os exemplos, chamamos de dom´?nio o conjunto A, indicado pela letra D: A imagem sera´ o conjunto dos elementos y que t^em corres- O contradom´?nio sera´ o conjunto B: EX01: CD = {2, 4, 6}; Ex03: CD = {5, 7, 14, 15, 16, 25, 26}.

Tipos de Fun¸c~oes Func¸~ao Par E´ a func¸a~o em que qualquer que seja o valor de x ? D ocorre Exemplos A L 24 25 5

9 81 12 144 f (x) = x2 f (x) = |x| f (x) = cos(x)

B A 7 6 5 14 15 12 16 26 25 23 y Parabola

Matema´tica A ? Aula 1 f (x) = sin(x) f (x) = x3 y O x

Func¸~ao Crescente Uma func¸a~o y = f (x) ´e crescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto A, com Exemplos

f (x) = x + 2 f (x) = 10x f (x) = x3 y f(x ) 2 f(x ) 1 O xxx 12

Func¸~ao Decrescente Uma func¸a~o y = f (x) ´e decrescente num conjunto A se, somente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes ao conjunto Exemplos

f (x) = -x + 2 f (x) = 10-x f (f ) = -2x 185 y f(x ) 1 f(x ) 2

O xxx 12 A L 24 25 5 9 81 144

Figura 3.7: Func¸a~o injetora Func¸~ao Injetora Uma func¸a~o y = f (x) : A ? B ´e injetora, se somente se, num conjunto A, dois elementos distintos quaisquer do dom´?nio de Exemplos

Func¸~ao Sobrejetora Uma func¸a~o y = f (x) : A ? B ´e sobrejetora se, e somente se, o seu conjunto imagem ´e igual ao contradom´?nio: Im(f) = B Exemplos

Func¸~ao Bijetora Uma func¸a~o y = f (x) : A ? B ´e bijetora, se somente se, ´e Na ?gura 3.11 temos que a func¸a~o: · E´ injetora, pois quaisquer elementos distintos de A pos- suem imagens distintas em B;

B A 1 4 2 5 3 Figura 3.8: Func¸a~o na~o injetora B A 1 1 2 2 3 3 4

Figura 3.9: Func¸a~o sobrejetora Func¸~ao Inversa Considere uma func¸a~o y de L ? A, sendo que D = L e Im = A. A func¸a~o inversa de y sera´ aquela func¸a~o que ?- Ou seja, a func¸a~o inversa ?transforma? o que antes era dom´?nio em imagem e imagem em dom´?nio. Por´em, isto so´ podera´ Enta~o, podemos de?nir: Dada func¸a~o bijetora y = f (x) : A ? B, chama-se func¸a~o inversa de f a func¸a~o f -1 : B ? A tal que (a, b) ?? (b, a) ? Exemplos D = {2, 5, 9, 12} Im = {4, 25, 81, 144} A func¸a~o inversa sera´: y = f (x) = (x) D = {4, 25, 81, 144} Im = {2, 5, 9, 12}

Func¸~ao Composta Dados os conjuntos A = {1, 2}, B = {2, 4}, C = {4, 16}, vamos considerar as func¸o~es: Observamos que: B A 1 1 2 2 3 3

Figura 3.10: Func¸a~o na~o sobrejetora A L 24 25 5 9 81 12 144

Figura 3.11: Func¸a~o bijetora · A cada x pertencente a A associa-se um u´nico y perten- cente a B tal que y = 2x;

· A cada y pertencente a B associa-se um u´nico z perten- · A cada x pertencente a A associa-se um u´nico z pertence C tal que z = y2 = (2x)2 = 4x2.

Enta~o, podemos a?rmar que vai existir uma func¸a~o h de A em C de?nida por h(x) = 4x2, que indicamos por gof ou g(f(x)) Logo: h(x) = gof = g(f (x)) = {(1, 4), (2, 16)}.

Func¸~ao De?nida por Partes Exemplo ? ? 2, se x < -2

Func¸~ao Constante Toda func¸a~o f : R ? R, de?nida por f(x) = C, com C perten- cendo ao conjunto dos reais, ´e denominada func¸a~o constante.

Matema´tica A ? Aula 2 A L 24 25 5 9 81 12 144 A L 24 25 5

9 81 12 144 (a) (b)

Figura 3.12: Fique atento ao sentido das setas! C A 1 h4 2 16

f g 2 4 B Figura 3.13: f = {(1, 2), (2, 4)}; g = {(2, 4), (4, 16)}

y y y

C>0 C=) O xO xO x C<0

Pense um Pouco! A func¸a~o n : A ? R, de?nida por n(t) = 6t + t2, expressa o nu´mero de colo^nias de bact´erias em uma placa, onde n ´e o nu´mero de colo^nias, t ´e tempo em horas e A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem seus elementos representando os instantes em que as colo^nias foram contadas. Com esses dados, determine: c) O conjunto imagem (I m(n)).

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFRGS) Se a func¸a~o f : R? em R ´e tal que f (x) = 2x+2 , x enta~o f (2x) ´e: a) 2 b) 2x c) 2x+1 x d) 4x+1 x

2. (FCC-SP) A func¸a~o inversa da func¸a~o 2x-1 ´e: x+3 a) f -1(x) = x+3 2x-1 b) f -1(x) = 3x-1 x-2 187

c) f -1(x) = 3x+1 2-x d) f -1(x) = 1-2x 3-x Exerc´?cios Complementares

3. (UFSC) Dada a func¸a~o f : R em R+, de?nida por f (x) = x2+1,determineasomadosnu´merosassociados`asa?rmac¸o~es ? 32. A func¸a~o ´e par.

4. (UA) Se f e g sa~o func¸o~es tais que f (x) = 2x-3 e f (g(x)) = x, enta~o ´e igual a: a) (x + 3)/2 b) 3x + 2 c) 1/(2x - 3) d) 2x + 3

5. (UDESC) Seja f(x) = c - ax2. Se f(-1) = 1 e f(2) = 2, enta~o f (5) ´e igual a: a) 3 b) 11/3 c) 7/3 d) 9 e) -3

Matem´atica A Aula 2 Fun¸c~oes Polinomiais Fun¸c~ao Polinomial de 10 Grau Uma func¸a~o f com A,B ? R ´e uma func¸a~o polinomial do 10 grau se a cada x ? A se associa o elemento (ax + b) ? B, com a pertencendo a R? e b pertencendo a R:

f : A ? B de?nida por f (x) = ax + b ou y = ax + b Na sentenc¸a matem´atica y = ax+b, as letras x e y representam Na func¸a~o real f (x) = ax + b, a ´e o coe?ciente angular e b ´e o coe?ciente linear. Pelo coe?ciente angular, sabemos se a func¸a~o ´e crescente (a > 0) ou decrescente (a < 0). O coe?ci- ente linear indica a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo 0y.

f(x) = -2x - 1 Y 1 -1 X 1 -1 Gr´a?co Para construirmos gr´a?cos de func¸o~es devemos seguir os se- guintes passos: · encontramos o valor de f (x), ou seja, o valor de y.

Tendo encontrado o y, temos agora o par ordenado (x, y) que x y = x - 2 (x, y) 0 y = 0 - 2 = -2 (0, -2) 1 y = 1 - 2 = -1 (1, -1) 2 y = 2 - 2 = 0 (2, 0)

Y 1 f(x) = x - 1 -1 X 1 -1 Zero da Func¸~ao de 1o Grau Denomina-se zero ou raiz da func¸a~o f (x) = ax + b o valor x que anula a func¸a~o, isto ´e, torna f (x) = 0. O zero da func¸a~o de primeiro grau ´e u´nico e corresponde a abscissa do ponto em que a reta corta o eixo x. Observando o gr´a?co, veri?camos x y = x - 2 (x, y) 0 y = 0 - 2 = -2 (0, -2) 1 y = 1 - 2 = -1 (1, -1) 2 y = 2 - 2 = 0 (2, 0) que: f (x) = 0 para x = 2.

Y f(x) = x - 2 0 X 2 -2 ~ Zero da funçao (x=2)

Estudo do Sinal Para fazermos o estudo dos sinais vamos considerar um exem- plo: Dada a func¸a~o f (x) = 2x - 4, determinar os valores reais de x para os quais: a) f (x) = 0 b) f (x) > 0 c) f (x) < 0 Soluc¸~ao: Podemos veri?car que a func¸a~o ´e crescente pois a = 2 > 0. O zero da func¸a~o ´e: 2x - 4 = 0 ? 2x = 4 ? x = 2 A reta corta o eixo x no ponto de abscissa x = 2. Obser- vando essas considerac¸o~es, vamos fazer um esboc¸o do gr´a?co da func¸a~o: Y f(x) = x - 2

f(x)>0 0 X 2 f(x)<0 -2 f(x)=0 Figura 3.1: A` direita do eixo y os pontos da reta t^em ordenada positiva e a` esquerda os pontos da reta t^em ordenada negativa.

Matema´tica A ? Aula 2 Exemplos: f (x) = x2 - 4x - 3 (a = 1, b = -4, c = -3) f (x) = -2x2 + 5x + 1(a = -2, b = 5, c = 1) O gr´a?co da func¸a~o de 1o grau ´e uma curva aberta chamada para´bola. Se o gr´a?co da func¸a~o tem a para´bola com concavi- dade voltada para cima, a > 0.

Y a>0 0 X Se o gr´a?co da func¸a~o tem a para´bola com concavidade voltada para baixo, a < 0.

Y a<0 0 X Zero da Func¸~ao de 2?Grau Denominam-se zeros ou ra´?zes de uma func¸a~o quadra´tica os valores de x que anulam a func¸a~o, ou seja, que tornam f (x) = Para determinar os zeros de f (x) = ax2 + bx + c, basta fazer f (x) = 0: ? ax2 + bx + c = 0 ? x = -b? ? ?2a ? x = -b+ ? x = -b- 2a 2a Assim, x1 e x2 sa~o as abscissas nas quais a para´bola corta o eixo x, ou seja, (x1, 0) e (x2, 0) sa~o os pontos de intersecc¸a~o da para´bola com o eixo x.

· Quando > 0, x1 = x2 e a para´bola intercepta o eixo x 189

· = 0, x1 = x2 e a para´bola intercepta o eixo x em um · > 0, na~o existem ra´?zes reais e a para´bola na~o inter- cepta o eixo x.

Gr´a?co Parab´olico No gr´a?co abaixo, da func¸a~o f (x) = x2 - 8x + 12, marcamos As coordenadas de V (xv, yv) sa~o dadas por:

Y 0 3X Ve´rtice -4 V(3,-4) xv = - 2ba b v - ,- yv = - 4a 2a 4a

xv = - -28 v (4, -4) yv = - 146 Se trac¸armos uma reta paralela ao eixo y que passe pelo v´ertice, estaremos determinando o eixo de simetria da para´bola.

Intersecc¸~ao com o Eixo y Para determinar as coordenadas desse ponto, basta substituir x por 0 (zero) na func¸a~o: y = ax2 + bx + c ? y = a(0)2 + b(0) + c ? y = c Exemplo Para f (x) = x2 - 8x + 12 as coordenadas para o ponto de intersecc¸a~o com o eixo y: y = x2 - 8x + 12 ? y = (0)2 - 8(0) + 12 ? y = 12 Enta~o, encontramos (0, 12).

Y Eixo de simetria 0 3X -4 V Quando y assume o maior valor da func¸a~o, ele ´e a ordenada do ponto m´aximo da func¸a~o (yv):

Y V y V 0 xX V Estudo do Sinal Para estudar o sinal da func¸a~o f (x) = ax2 + bx + c, a = 0, temos que considerar o valor do discriminante ( ) e o sinal do coe?ciente a. Assim: · > 0, f (x) possui duas ra´?zes reais e diferentes: x = x1 ou x = x2 ? f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ? f (x) > 0 x1 < x < x2 ? f (x) < 0 a<0

xxX 12 x = x1 ou x = x2 ? f (x) = 0 x < x1 ou x > x2 ? f (x) < 0 x1 < x < x2 ? f (x) > 0

· > 0, f (x) possui raiz dupla: a>0 x=x 12 X

x = x1 = x2 ? f (x) = 0 x = x1 = x2 ? f (x) > 0 x=x 12 X a<0 x = x1 = x2 ? f (x) = 0 x = x1 = x2 ? f (x) < 0

· > 0, f (x) possui duas ra´?zes reais: a>0 X Qualquer x pertencente aos reais ? f (x) > 0 X

a<0 Qualquer x pertencente aos reais ? f (x) < 0 Pense um Pouco! · O gr´a?co de um polin^omio de primeiro grau ´e sempre uma reta?

· O gr´a?co de um polin^omio de segundo grau ´e sempre uma · Quantos zeros pode ter, no m´aximo, uma func¸a~o de pri- meiro grau? E a de segundo grau?

· A` esquerda e `a direita de um zero, a func¸a~o de segundo grau tem sempre sinais contr´arios?

Matema´tica A ? Aula 3 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (FGV-SP) O gr´a?co da func¸a~o f (x) = mx + n passa pelos pontos A(1, -2) e B(4, 2). Podemos enta~o a?rmar que: a) m + n = -2 b) m - n = -2 c) m = 3/4 d) n = 5/2 e) m.n = -1 2. (PUC-SP) Para que a func¸a~o do 1o grau dada por f (x) = (2 - 3k)x + 2 seja crescente, devemos ter: a) k = 2/3 b) k < 2/3 c) k > 2/3 d) k < -2/3 e) k > -2/3 3. (UFC-CE) Considere a func¸a~o f : R ? R, de?nida por f (x) = x2 - 2x + 5. Pode-se a?rmar corretamente que: d) O gr´a?co de f ´e tangente ao eixo das abscissas.

Exerc´?cios Complementares 4. (UFPA) A func¸a~o y = ax + b passa pelo ponto (1, 2) e intercepta o eixo y no ponto de ordenada 3. Enta~o, a - 2b ´e igual a: a) -12 b) -10 c) -9 d) -7 e) 0 5. (Mack-SP) Um valor k para que uma das ra´?zes da equac¸a~o x2 - 4kx + 6k = 0 seja o triplo da outra ´e: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. (Santa Casa-SP) As dimens~oes de um reta^ngulo sa~o nu- mericamente iguais a`s coordenadas do v´ertice da para´bola de equac¸a~o y = -128x2 + 32x + 6. A ´area do reta^ngulo ´e: a) 1 b) 8 c) 64 d) 128 e) 256 7. O lucro mensal de uma empresa ´e dado por L = -x2 + b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no m´?nimo igual a 195?

Matem´atica A Aula 3 191 Fun¸c~oes Especiais Fun¸c~ao Modular O m´odulo, ou valor absoluto, de um nu´mero real x, indicado por |x|, ´e de?nido assim: x, se, x ? 0 |x| = -x, se, x < 0 Pela de?nic¸a~o, podemos concluir que o m´odulo de um nu´mero real ´e sempre maior ou igual a zero.

Cuidado! ? x2 = ±|x| Exemplos | - 10| = 10 |1| = 1 |1/3| = 1/3 |0| = 0 De?nimos enta~o a unc¸a~o modular se a cada x real se associa |x|, ou seja: f (x) = |x|

Observa-se que o dom´?nio da func¸a~o m´odulo ´e R e a imagem R+.

Representac¸~ao Gr´a?ca Pela de?nic¸a~o de |x|, temos de considerar duas sentenc¸as para f (x), de RemR: x, se, x ? 0 f (x) = -x, se, x < 0 Construindo os dois gr´a?cos num u´nico plano cartesiano, ob- temos o gr´a?co de f (x) = |x|:

Y 3 f(x) = |x| 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 X

Fun¸c~ao Exponencial A func¸a~o f : R ? R dada por f (x) = ax (com a = 1 e a > 0) ´e denominada func¸a~o exponencial de base a e de?nida para todo x real. Assim, sa~o func¸o~es exponenciais: f (x) = 2x g(x) = (1/3)x

Gr´a?co da Func¸~ao Exponencial Vamos representar no plano cartesiano o gr´a?cos das func¸o~es f (x) = 2x e f (x) = (1/2)x.

Y 2 1 x 2 x (1/2) 0 0 1/4 1/2 3/4 1 X

Caracter´?sticas · D(ax) = R · Im(ax) = R+ · ax ´e uma func¸a~o crescente se a > 1 1o- caso: a > 1 x f(x) = a Y a x2

a x1 1 0 x xX 12 x < x ax < ax 12 12

· ax ´e uma func¸a~o decrescente se 0 < a < 1 · ax) passa pelo ponto (0, 1) pois a0 = 1 2o- caso: 0 < a < 1

Y 1 a x1 a x2 x f(x) = a x x0 12X x < x ax > ax 12 12

Pense um Pouco! · O nu´mero de bact´erias em um meio de cultura cresce apro- ximadamente segundo a func¸a~o , sendo t o nu´mero de dias apo´s o in´?cio do experimento. Calcule: b)em quantos dias o nu´mero inicial de bact´erias ira´ tripli- car.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ITA-SP) Considere a equac¸a~o |x| = x - 6. Com respeito `a soluc¸a~o real dessa equac¸a~o, podemos a?rmar que: a) a soluc¸a~o pertence ao intervalo [1,2] b) a soluc¸a~o pertence ao intervalo [-2,-1] c) a soluc¸a~o pertence ao intervalo ]-1,1[ d) a soluc¸a~o pertence ao intervalo [3,4] e) nenhuma resposta ´e correta 2. (PUC-SP) A equac¸a~o |2x - 1| = 5 admite: a) duas ra´?zes positivas b) das ra´?zes negativas c) uma raiz positiva e outra negativa d) somente uma raiz real e positiva e) somente uma raiz real e negativa 3. (PUC-PR) A equac¸a~o 16 · 52x = 25 · 20x, onde x pertence aos reais, admite: a) os nu´meros -2 e 2 como soluc¸o~es b) apenas o nu´mero 2 como soluc¸a~o c) apenas o nu´mero 1 como soluc¸a~o 2 d) os nu´meros 2 e 1 como soluc¸o~es 2 e) apenas o nu´mero como soluc¸a~o

Matema´tica A ? Aula 4 b) |xy| = |x||y| c) |x + y| = |x| + |y| d) | - |x|| = -x e) se x < 0, enta~o |x| < x 5. (PUC-SP) Resolvendo a equac¸a~o 4 + 4 = 5 · 2x , obtemos: a) x1 = 0 e x2 = 1 b) x1 = 1 e x2 = 4 c) x1 = 0 e x2 = 2 d) x1 = -1 e x2 = -2 e) x1 = -4 e x2 = -5 6. (PUC-MG) Se 2x = 4y e 25x = 25 · 5y, o valor de x + y ´e: a) 4/3 b) 2/3 c) 1/3 d) 1 e) 2 f) -3

Matem´atica A Aula 4 Fun¸c~oes Especiais (II) Fun¸c~ao Logar´?tmica O logaritmo de um nu´mero real e positivo a, na base b, positiva e diferente de 1, ´e o nu´mero x ao qual se deve elevar a base b para se obter a logb a = x ?? bx = a

Observac¸~ao Aos logaritmos que se indicam com loga chamamos de sistema de logaritmos de base a. Existe uma in?nidade de sistemas de logaritmos. Dentre todos os sistemas, o mais importante ´e o sistema de logaritmos decimais, ou de base 10. Indica-se: log10 ou log. Quando o sistema ´e de base 10, ´e comum omitir-se a base na sua representac¸a~o.

Exemplo Considerando a de?nic¸a~o dada, calcular o valor dos logaritmos: log6 36 = 2

log2 16 = 4 log3 0 = 1 log1 01000 = 3 Propriedades dos Logaritmos · O logaritmo de um produto ´e igual `a soma dos logaritmos dos fatores tomados na mesma base, isto ´e: logb(x · y) = logb x + logb y 193

· O logaritmo de um quociente ´e igual ao logaritmo do nu- merador menos o logaritmo do denominador tomados na mesma base, isto ´e: logb(x/y) = logb x - logb y

· O logaritmo de uma pot^encia ´e igual ao produto do expo- ente pelo logaritmo da base da pot^encia, isto ´e: logb xn = n logb x

Caso particular ?1 logb n x = logb x(1/n) = logb x n Mudanc¸a de Base Suponha que aparec¸am logaritmos de bases diferentes e que precisamos reduzir os logaritmos de bases diferentes para uma base conveniente. Essa operac¸a~o ´e chamada mudanc¸a de base: logc a logb a = logc b onde c ´e a nova base.

Exemplo log1 010 1 log2 10 = = log1 02 log1 02 Representac¸~ao Gr´a?ca Ao estudar a func¸a~o exponencial, vimos que ela ´e bijetora, portanto admite func¸a~o inversa, que ´e a logar´?tmica. Do estudo das func¸o~es inversas, descobrimos que, no plano cartesiano, seus gr´a?cos sa~o sim´etricos em relac¸a~o a bissetriz do 1? e 3? quadrantes. Assim, para as func¸o~es exponencial e logar´?tmica, de base 0 < a < 1 e a > 1, temos: a>1

Y y=x y=a x log x a2 1 x 1 x2 X 1

0

0 < a < 1 f(x) e´ decrescente Figura 3.2: Func¸a~o logar´?tmica com base 0 < a < 1

Fun¸c~oes Trigonom´etricas Arco de Circunfer^encia Observemos que os pontos A e B dividem a circunfer^encia em duas partes. Cada uma dessas partes ´e denominado arco de circunfer^encia. Assim, temos: arco AB= arco BA B

Sentido do Movimento A Medida de um arco Grau ´e o arco unita´rio equivalente a 1/360 da circunfer^encia que o cont´em.

o 90 10 o 180 10 oo 0 = 360 1 0 o 270 1o Observac¸a~o: 1? = 60? e 1? = 60?? Radiano ´e o arco cujo comprimento ´e igual ao comprimento do raio da circunfer^encia que o cont´em.

B BA = 1 rad r A r Observac¸a~o: O raio da circunfer^encia quando utilizado como instrumento de medida ´e denominado raio unita´rio, isto ´e, se Lembrando que qualquer circunfer^encia tem 360?, temos que: A^ ngulo Plano A^ ngulo Central de uma Circunfer^encia E´ o ^angulo que tem o v´ertice no centro dessa circunfer^encia.

B ^ e´ a^ngulo ^ central A Circunfer^encia Trigonom´etrica Uma circunfer^encia orientada, de raio unita´rio (r = 1), sobre a qual um ponto A ´e a origem de medida de todos os arcos nela contidos, ´e uma circunfer^encia trigonom´etrica. Vamos consi- derar uma circunfer^encia cujo centre coincide com a origem do sistema cartesiano e o ponto A(1, 0), que ´e a origem de todos os arcos, como mostra a ?gura a seguir:

o 90 ou /2 rad B 2 o quadrante -1 o quadrante + -

C o 0 ou 0 rad oO 180 ou radA 3 o quadrante - o 360 ou 2 rad 4 o quadrante -

Matema´tica A ? Aula 4 hora´rio. Esses eixos dividem o plano em quatro regi~oes, de- nominadas quadrantes, tamb´em numeradas no sentido anti- hora´rio.

Func¸~ao Seno Chamamos de func¸a~o seno a func¸a~o f : R ? R que, a cada nu´mero real x, associa o seno desse nu´mero: f (x) = sen x O dom´?nio dessa func¸a~o ´e R e a imagem ´e intervalo [-1,1], visto Sinal da func¸~ao seno O sinal da func¸a~o seno ´e dada seguindo o esquema abaixo: Y

sen + (-1,0) sen (0,1) + (1,0) O X _ _ (0,-1) Func¸~ao Cosseno Chamamos de func¸a~o cosseno a func¸a~o f : R ? R que, a cada nu´mero real x, associa o cosseno desse nu´mero.

f (x) = cos x O dom´?nio dessa func¸a~o ´e R e a imagem ´e o intervalo real [-1,1], Sinal da Func¸~ao Cosseno O sinal da func¸a~o cosseno ´e dada seguindo o esquema abaixo: Y

_ (-1,0) (0,1) + cos (1,0) O cos X _ +

(0,-1) 195 Func¸~ao Tangente A func¸a~o f de?nida em R que a cada nu´mero x associa a tangente desse nu´mero: f (x) = tan x O dom´?nio da func¸a~o tan x ´e R - {n?/2}, com n = Sinal da Func¸~ao Tangente O sinal da func¸a~o tangente ´e dada seguindo o esquema abaixo: Y

_ (-1,0) (0,1) + tag tag (1,0) O X + _ (0,-1)

Co-tangente Por de?nic¸a~o temos: 1 cotg x = tan x para todo x|tan x = 0 Secante Por de?nic¸a~o temos:

1 sec x = cos x para todo x|cos x = 0 Cossecante Por de?nic¸a~o temos:

Transforma¸c~oes Trigonom´etricas F´ormulas da Adic¸~ao Sejam a e b dois arcos positivos, do primeiro quadrante, cuja soma ainda pertence ao primeiro quadrante. Valem para esses arcos as seguintes identidades: sen (a ± b) = sen a · cos b ± sen b · cos a cos (a ± b) = cos a · cos b ± sen a · sen b tan a ± tabb tan (a ± b) = 1 ? tan a · tan b Lei dos Senos E´ a relac¸a~o v´alida para qualquer tria^ngulo que se traduz pela seguinte f´ormula: abc == sen A sen B sen C cBa C A b

abc == sen A sen B sen C Lei dos Cossenos E´ a relac¸a~o v´alida para qualquer tria^ngulo que se traduz pela seguinte f´ormula: a2 = b2 + c2 - 2bc · cos A Com essa f´ormula, dadas as medidas de dois lados e do ^angulo compreendido entre eles, calcula-se o terceiro lado de qualquer tria^ngulo. Como se pode ver, ´e uma generalizac¸a~o do Teorema de Pita´goras.

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (FCC-Ba) Indica-se por log x o logaritmo do nu´mero x na base 10. A equac¸a~o xlog x = 10000 admite duas ra´?zes: a) iguais b) opostas entre si c) inteiras d) cujo produto ´e 1 e) cuja soma ´e 101 2. (MACK-SP) Se 111 + + =2 log2 x log3 x log6 x enta~o x2 ´e igual a: a) 25 b) 36 c) 16 d) 81 e) 100

Exerc´?cios Complementares 3. (FGV-SP) Determine a de forma que se tenha simultanea- ? mente sem x = 1/a e cos x = 1 + a/a a) a = -1 ou a = -2 b) a = 1 e a = 2 c) a = -1 e a = 2 d) a = 2 e a = -2 e) a = 1 ou a = -1 4. (UEL-PR) Para todo nu´mero real, tal que que 0 < x < 1/2, a expressa~o sec x + tg x cos x + cot x ´e equivalente a: a) (sen x)(cotg x) b) (sec x)(cotg x) c) (cos x)(tg x) d) (sec x)(tg x) e) (sen x)(tg x)

Matem´atica A Aula 5 Polin^omios De?ni¸c~ao Dados n ? N nu´meros complexos {ai, i = 0, 1, 2, . . . , n} ? C, chamamos de func¸~ao polinomial ou polin^omio na varia´vel x a func¸a~o P (x) : C ? C tal que: P (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 onde cada parcela do polin^omio ´e chamada de termo e cada nu´mero complexo que multiplica a varia´vel x ´e um coe?ci- ente.

Matema´tica A ? Aula 5 P (x) = x5 + 1 ´e um polin^omio de 5? grau, isto ´e, gr(P ) = 5.

Valor Num´erico O valor num´erico de um polin^omio P (x), para x = a, ´e o nu´mero que se obt´em substituindo x por a e efetuando todas as operac¸o~es indicadas pela relac¸a~o que de?ne o polin^omio.

Exemplo Se P (x) = x3 + 2x2 - x - 1, o valor num´erico de P (x), para x = 2, ´e: P (2) = 23 + 2 · 22 - 2 - 1 = 13

Ra´?zes de um Polin^omio Igualdade de Polin^omios Dois polin^omios A(x) e B(x) sa~o iguais ou id^enticos quando assumem valores num´ericos iguais para qualquer valor comum atribu´?do `a varia´vel x. A condic¸a~o necessa´ria e su?ciente para que dois polin^omios A(x) e B(x) sejam iguais ou id^enticos ´e que os coe?cientes dos termos correspondentes sejam iguais.

Divis~ao de Polin^omios Sejam dois polin^omios A(x) e B(x), com B(x) = 0, e gr(A) > Efetuar a divis~ao de A(x) por B(x) ´e determinar dois po- lino^mios Q(x) e R(x) que satisfac¸am a seguinte condic¸a~o: A(x) = Q(X)B(x) + R(x) onde A(x) ´e o dividendo B(x) ´e o divisor Q(x) ´e o quociente R(x) ´e o resto da divis~ao

Observac¸~ao Quando A(x) ´e divis´?vel por B(x), dizemos que a divis~ao ´e Exemplo Dividir A(x) = x4 + x3 - 7x2 + 9x - 1 por B(x) = x2 + 3x - 2: +x4 + x3 - 7x2 + 9x - 1 x2 + 3x - 2 -x4 - 3x2 + 2x2 x2 - 2x + 1 ? Q(x) -2x3 - 5x2 + 9x - 1 +2x3 + 6x2 - 4x -x2 + 5x - 1 -x2 - 3x + 2 2x + 1 ? R(x) 197

Divis~ao de P (x) por (x - a) Teorema do Resto Como o divisor x - a ´e de grau 1, o resto sera´ de grau zero, ou seja, uma constante. Fazendo R(x) = r, constante, temos: P (x) = (x - a)Q(x) + r. Para x = a, vem: P (a) = (a - a)Q(a) + r = r Exemplo O resto da divis~ao de P (x) = x3 + x2 - 4x + 5 por x - 1 ´e: r = P (1) = 13 + 12 - 4 · 1 + 5 = 3

Teorema de D'Alembert Um polin^omio P (x) ´e divis´?vel por x - a se, e somente Se P (x) ´e divis´?vel por x - a, enta~o, pelo Teorema do Resto, r = P (a) = 0, e, de outra forma, se P (a) = 0, como, pelo Teorema do Resto, r = P (a), temos r = 0, ou seja, P (x) ´e Exemplo P (x) = x3 + 3x2 - 8x - 4 ´e divis´?vel por x - 2, pois P (2) = 23 + 3 · 22 - 8 · 2 - 4 = 8 + 12 - 16 - 4 = 0

Divis~ao de P (x) por ax + b, com a = 0 Temos P (x) = (ax + b)Q(x) + r. Como ax + b ´e de grau 1, r Fazendo x = -b/a em P (x) = (ax + b)Q(x) + r, vem: P (-b/a) = [a(-b/a) + b]Q(-b/a) + r P (-b/a) = (-b + b)Q(-b/a) + r P (-b/a) = 0 + r =? r = P (-b/a) Conclus~ao: o resto da divis~ao de P (x) por ax + b ´e r = P (-b/a).

Exemplo Determinar o resto da divis~ao de P (x) = x3 + 5x2 - 2x - 1 por Temos que -b/a = 1/2, enta~o r = P (1/2): r = (1/2)3 + 5(1/2)2 - 2(1/2) - 1 = (1/8) + (5/4) - 1 - 1 r = (11/8) - 2 = -5/8 Divis~ao de P (x) por (x - a)(x - b), (a = b) Temos o seguinte Teorema: Se P (x) ´e divis´?vel por x - a e por x - b, com a = b, ent~ao ´e divis´?vel por (x - a)(x - b).

Exemplo Soluc¸a~o: como x2 - 1 = (x + 1)(x - 1), basta mostrar que P (x) ´e divis´?vel por x - 1 e por x + 1, isto ´e, que P (+1) = 0 e P (-1) = 0: P (+1) = 14 - 5 · 12 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 P (-1) = (-1)4 - 5 · (-1)2 + 4 = 1 - 5 + 4 = 0 Portanto,P(x)´edivis´?velpor(x-1)(x+1),ouseja,porx2-1.

Algoritmo de Briot-Ru?ni Para facilitar a divis~ao de polin^omios podemos utilizar o algo- Consideremos o seguinte exemplo para compreens~ao do dispo- sitivo: Determinar o quociente e o resto da divis~ao de P (x) = 3x3 - 5x2 + x - 2 por (x - 2).

Raiz do Coeficientes do dividendo P(x) divisor 2 3 -5 +1 -2 3 (3)(2)-5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)-2=4 Coeficientes do quociente Q(x) Resto R(x)

Resposta: Q(x) = 3x2 + x + 3 e R(x) = 4 A seguir esta´ descrito o roteiro para a resoluc¸a~o desse pro- I. Colocamos a raiz do divisor 2 e os coe?cientes do dividendo {3, -5, 1, -2} na linha de cima: Raiz do Coeficientes do dividendo P(x) divisor 2 3 -5 +1 -2 3 (3)(2)-5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)-2=4

Note que, se o polin^omio na~o tivesse um dado termo, o coe?- II.Repetimos o primeiro coe?ciente do dividendo: Copiar o primeiro coeficiente para a linha de baixo

2 3 -5 +1 -2 3 (3)(2)-5=1 (1)(2)+1=3 (3)(2)-2=4

III.Multiplicamos a raiz do divisor pelo coe?ciente repetido e somando o produto com o segundo coe?ciente do dividendo, colocando o resultado abaixo deste.

somar 2 3 -5 +1 -2 3 1 (1)(2)+1=3 (3)(2)-2=4 resultado multiplicar (3)(2)-5=

IV.Multiplicamos a raiz do divisor pelo nu´mero colocado abaixo do segundo coe?ciente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.

somar 2 3 -5 +1 -2 3 (3)(2)-5=1 3 (3)(2)-2=4 resultado multiplicar (1)(2)+1=

V. Separamos o u´ltimo nu´mero formado, que ´e igual ao resto da divis~ao, e os nu´meros que ?cam `a esquerda deste sa~o os coe?cientes do quociente.

Decomposi¸c~ao de um Polin^omio Podemos aplicar o teorema do resto na decomposic¸a~o de um polin^omio em fatores. Para tanto, se a ´e uma raiz ou zero do polin^omio P (x), este ´e divis´?vel por (x - a); logo: P (x) = (x - a)Q(x) Polin^omio de 2? grau De uma forma geral, o polin^omio do 2? grau que admite as ra´?zes a1 e a2 pode ser decomposto em fatores do 1? grau, da seguinte forma: P (x) = (x - a1)(x - a2)

Exemplo Fatoraropolin^omioP(x)=x2-7x+10.Resolvendoaequac¸a~o x2 - 7x + 10 = 0 encontramos as ra´?zes a1 = 5 e a2 = 2, logo,

P (x) = (x - 5)(x - 2) Polin^omio de 3? grau Conhecendo uma das ra´?zes de um polin^omio do 3? grau, po- demos decompo^-lo num produto de um polin^omio do 1? grau por um do 2?grau e, se este tiver ra´?zes, podemos, em seguida decompo^-lo tamb´em.

Matema´tica A ? Aula 6 Pense um Pouco! · (UFPA) Se F (x) = 2p + q + (p + 3)x - 2px2 + x3 ´e id^entico a P (x) = x3 - 4x2 + 5x + 2 ,enta~o: f) p2 + q2 = 4 g) p2 - q2 = 0 h) p = q i) p + q = 4 j) p - q = 0 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. (PUC-MG) Os valores de a e b que tornam o polin^omio P (x) = x3 + 4x2 + ax + b divis´?vel por (x + 1)2 sa~o, respecti- vamente: a) 1 e 2 b) 3 e 2 c) 4 e 5 d) 5 e 2 e) 5 e 3 2. (UnB-DF) O resto da divis~ao de P (x) = 3x5 + 2x4 + 3px3 + x - 1 por x - 1 ´e 4 se p ´e igual a: a) 5/3 b) -2 c) -3 d) -10 e) -7/3 3. (OSEC-SP) Os valores reais de m e n para os quais o polin^omio x4 - 4x3 + mx2 + 4x + n ´e divis´?vel por (x - 1)(x - 5) sa~o, respectivamente: a) -6 e -5 b) 6 e -5 c) 6 e 5 d) -6 e 5 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4.(Fuvest-SP)Dividindo-seopolin^omiop(x)por2x2+3x+1, obt´em-se o quociente 3x2 + 1 e resto -x + 2. Nessas condic¸o~es, o resto da divis~ao de p(x) por x - 1 ´e: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2 5. (UnB-DF) O nu´mero 1 ´e uma das ra´?zes da equac¸a~o x3 - 7x + 6 = 0. A soma das outras duas ra´?zes ´e: a) -7 b) -1 c) 0 d) 1 e) n. d. a 6. (UFRJ) O polin^omio P (x) = x3 - 2x2 - 5x + d, com d ? R, b) Calcule as ra´?zes da equac¸a~o P (x) = 0 199

Matem´atica A Aula 6 Equa¸c~oes Alg´ebricas Teorema fundamental da A´ lgebra Toda equac¸~ao alg´ebrica P (x) = 0, de grau n ? 1, tem pelo menos uma raiz real ou complexa.

De?nic¸~ao Chamamos de equac¸a~o polinomial ou alg´ebrica toda equac¸a~o da forma P (x) = 0, em que P (x) ´e um polin^omio de grau n: Dados n ? N nu´meros complexos {ai, i = 0, 1, 2, . . . , n} ? C, chamamos de func¸~ao polinomial ou polin^omio na varia´vel x a func¸a~o P (x) : C ? C tal que: P (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0

onde cada parcela do polin^omio ´e chamada de termo e cada nu´mero complexo que multiplica a varia´vel x ´e um coe?ci- ente.

Exemplo x3 + 3x2 + 2x - 3 = 0 Raiz Chama-se raiz de zero ou raiz de uma equac¸a~o polinomial P (x) = 0 todo nu´mero complexo a tal que P (a) = 0.

Exemplos a) 1 ´e raiz de P (x) = x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 pois P (1) = b) i ´e raiz de P (x) = x3 + x2 + x + 1 = 0 pois P (i) = i3 + i2 + i + 1 = -i - 1 + i + 1 = 0 Forma Fatorada Todo polin^omio P (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0

de grau n pode ser decomposto em n fatores da forma (x - a), onde a ´e raiz de P (x) e ´e tamb´em um fator igual ao coe?ciente de xn.

Exemplo Resoluc¸a~o: O polin^omio tem tr^es ra´?zes diferentes; logo, P (x) ´e do terceiro grau.

Multiplicidade de uma Raiz As ra´?zes de uma equac¸a~o alg´ebrica podem ser todas distintas Se uma equac¸a~o alg´ebrica tiver tr^es ra´?zes iguais, a raiz tera´ multiplicidade 2, isto ´e, sera´ uma raiz dupla; se tiver tr^es ra´?zes tera´ multiplicidade 3, isto ´e, sera´ uma raiz tripla, e assim su- Se um nu´mero a for uma so´ vez raiz de uma equac¸a~o alg´ebrica, ele sera´ chamado raiz simples.

Exemplo Sabendo-se que -1 ´e raiz dupla da equac¸a~o P (x) = x4 - 3x3 - Resoluc¸a~o: a equac¸a~o dada pode ser indicada da seguinte Para determinarmos Q(x), que ´e do segundo grau, aplicaremos duas vezes o dispositivo pr´atico de Briot-Ru?ni, abaixando Primeira divis~ao por (x + 1): -1 1 -3 -3 7 6 1 -4 1 6 0 Segunda divis~ao por (x + 1): -1 1 -4 1 6 1 -5 6 0 Logo: Q(x) = x2 - 5x + 6, onde para Q(x) = 0 temos as ra´?zes a1 = 2 e a2 = 3.

Exemplo Resolva a equac¸a~o x4 + x3 - x2 + x - 2 = 0, sabendo que uma Resoluc¸a~o: Como i ´e raiz da equac¸a~o, -i tamb´em ´e, pois as ra´?zes complexas sempre aparecem aos pares (ra´?zes conjuga- das). Dividindo sucessivamente por x - i e x + i, temos: i 1 1 -1 1 -2 1 1+i -2+i -2i 0 Segunda divis~ao por (x + 1): -i 1 1+i -2+i -2i 1 1 -2 0 Logo, Q(x) = x2 + x - 2 e P (x) = (x - i)(x + i)Q(x). Enta~o para Q(x) = 0 temos as ra´?zes a1 = -2 e a2 = 1.

Ra´?zes Mu´ltiplas Dados a equac¸a~o alg´ebrica, P (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a2x2 + a1x + a0 = 0 de coe?cientes inteiros, com an = 0 e a0 = 0, e o nu´mero racional p/q , com p e q primos entre si, p ? Z e q ? N?, se p/q ´e raiz de P (x) = 0, enta~o p ´e divisor de a0 e q ´e divisor de an.

Exemplo Na equac¸a~o x3-6x2+11x-6 = 0, temos an = 1 e a0 = -6. Se p ? Z ´e divisor de a0, enta~o p ? {±1, ±2, ±3, ±6}. Se q ? N ´e ? divisor de a3, enta~o q ? {1}. Dividindo todo os valores de p por todos os valores de q, obtemos {±1, ±2, ±3, ±6}. Portanto, se existem ra´?zes racionais, elas pertencem a esse conjunto. A veri?cac¸a~o ´e feita usando-se o dispositivo de Briot-Ru?ni.

Pense um Pouco! · Uma equac¸a~o polinomial de coe?cientes reais tem o nu´mero 3 como raiz dupla, o nu´mero 5 como raiz tripla e 1 + i como raiz dupla. Qual ´e grau da equac¸a~o?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UEL-PR) Se -1 ´e raiz de multiplicidade 3 da equac¸a~o x5 - 2x4 - 6x3 + 4x2 + 13x + 6 = 0, enta~o a soma das outras duas ra´?zes vale: a) 1 b) 3 c) 5 d) -1 e) -3 2. (UFPE) Qual a maior raiz inteira da equac¸a~o x4 - 20x3 + a) 1 b) -i c) 10 d) 13 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 3. (PUC-SP) Em relac¸a~o ao polin^omio P (x) = (x - 1)2(x + 1), a) E´ uma raiz simples b) E´ raiz dupla c) E´ raiz tripla d) E´ raiz qu´adrupla e) Na~o ´e uma raiz 4. (USF-SP) Se -2 ´e raiz da equac¸a~o x3 + bx2 + cx + d = 0, enta~o b + c + d vale: a) 26 b) -2 c) 14 d) 10 e) -10

Matem´atica A Aula 7 Geometria Anal´?tica Sistema Cartesiano Ortogonal A Geometria Anal´?tica teve como principal idealizador o ?l´osofo franc^es Ren´e Descartes (1596-1650). Com aux´?lio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz correspon- der a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Matema´tica A ? Aula 7 Quando os eixos desse sistema sa~o perpendiculares na origem, eles determinam um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Enta~o, observemos o plano cartesiano dividido nos quatro quadrantes:

Y Segundo Quadrante x<0 y>0 Primeiro Quadrante x>0 y>0 0 Terceiro Quadrante x<0 y<0 X Quarto Quadrante x>0 y<0

1o quadrante: x > 0 e y > 0. 2o quadrante: x < 0 e y > 0. 3o quadrante: x < 0 e y < 0. 4o quadrante: x > 0 e y < 0.

Dist^ancia entre Dois Pontos Quando se conhece as coordenadas de dois pontos A e B do plano, sabemos localizar esses pontos num sistema cartesiano ortogonal e, assim, podemos calcular a dist^ancia d(A, B). Apli- cando o Teorema de Pita´goras ao tria^ngulo ABC, vem:

Y y B B y A d A xx BA yy BA C 0 x xX AB

d2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 logo d = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 Exemplo Analiticamente, temos d = sqrt(4 - 1)2 + (-5 - (-1))2 = 32 + 42 ?? d = 9 + 16 = 25 = 5 ou gra?camente, 201 Y

-1 -2 -3 -4 -5 12345 X A3C d 4 B d2 = 32 + 42 =? d = 5

Divis~ao de um Segmento Dados os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) de uma reta (ABC), o ponto C divide o segmento AB numa determi- nada raza~o, denominada raz~ao de secc¸~ao e indicada por: AC rC = CB ou seja xC - xA yC - yA rC = = xB - xC yB - yC Y y 3 C

A´ rea de um Tri^angulo xP - xA 3 - 2 1 rP = = = Na geometria anal´?tica podemos calcular a ´area de um xB - xP 5 - 3 2 tria^ngulo a partir das coordenadas de seus v´ertices. A ´area e S do tria^ngulo de v´ertices A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) xQ - xA 1 - 2 1 ´e dada por: rQ = = = - xB - xQ 5 - 1 4 1 S = |D| 2 onde D ´e o determinante da matriz de coordenadas Baricentro de um Tri^angulo xA yA 1 Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecc¸a~o das me- D = xB yB 1 dianas de um tria^ngulo. Esse ponto divide a mediana relativa xC yC 1 a um lado em duas partes.

Condic¸~ao de Alinhamento de 3 Pontos A u MvuP w wv G wu v B NC A?guramostratr^esponto,A(xA,yA),B(xB,yB)eC(xC,yC), que esta~o alinhados, ou seja, sa~o pontos de uma mesma reta.

C´alculo das Coordenadas do Baricentro (G) Sendo A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) v´ertices de um tria^ngulo, se N ´e ponto m´edio de BC, temos: xC + xB yC + yB N= , 22 Y y C C

y B y A B D AE 0 xxxX ABC Para que tr^es pontos estejam alinhados, devemos ter:

· O que acontece com a dist^ancia entre dois pontos A(xA,yA)eB(xB,yB)seascoordenadasdeambospon- tos forem: Mas: AG xG - xA rG = = b) multiplicadas por 2? GN xN - xG c) multiplicadas por -1?

A MP G B NC AB AE EB == AC AD DC ou seja: xB - xA yB - yA = xC - xA yC - yA

Matema´tica A ? Aula 8 2. (FAAP-SP) Se os ponto A(2, -1), B(x, 4) e C(4, 9) perten- a) 2 b) -6 c) 1 d) 3 e) 4 3. (MACK-SP) No tria^ngulo ABC, A(1, 1) ´e um dos v´ertices, N (5, 4) ´e o ponto m´edio do segmento BC e M (4, 2) ´e o ponto m´edio do segmento AB. Calcule as coordenadas do baricentro a) G(3, 11/3) b) G(4/5, 3) c) G(11/3, 3) d) G(3, 3) e) G(11, 6)

Exerc´?cios Complementares 4. (PUC-SP) A(3, 5), B(1, -1) e C(x, -16) pertencem a uma mesma reta se x ´e igual a: a) -5 b) -1 c) -3 d) -4 e) -2 5. O ponto m´edio de um segmento AB, sendo A(6, 4) e B(1, 2) ´e: a) (3, 7/2) b) (7/2, 4) c) (5, 3) d) (6, 2) e) (7/2, 3) 6. Calcule a dist^ancia entre os pontos A e M , sabendo que A(5, 1), B(1, 3) e M ´e ponto m´edio do segmento AB ? a) ?20 b) ?3 c) ?5 d) 5 2 e) 2

Matem´atica A Aula 8 Geometria Anal´?tica Equa¸c~oes da Reta Equac¸~ao Geral A partir de uma condic¸a~o de alinhamento de tr^es pontos po- demos determinar: y = ax + b onde a ´e o chamado coe?ciente angular da reta, e b o coe?ciente Para x = 0 vemos que a reta cruza o eixo Y na altura y = b.

203 Exemplo Determinar a equac¸a~o geral da reta que passa nos pontos A(1, 2) e B(7, 6).

Y B(7,6) 6 5 4 3 A(1 (0,4/3) 2 1 ,2) 6 4 C(7,2) 01234567X

Para que um ponto qualquer (x, y) pertenc¸a `a reta AB, temos que ter xy1 D= 1 2 1 =0 761 e desenvolvendo o determinante temos 24 D = (2x + 6 + 7y) - (14 + 6x + y) = 0 -? y = x + 33 Con?ra a ?gura (3.1).

Equac¸~ao Segment´aria Considere a reta r na~o-paralela a nenhum dos eixos e que in- tercepta os eixos nos pontos P (p, 0) e Q(0, q), com p = 0 e q = 0.

ou reescrevendo 3y x - =1 42 Equac¸o~es na Param´etrica Sa~o equac¸o~es da forma x = f (t) e y = g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com o para^metro Exemplo As equac¸o~es x(t) = t + 2 e y(t) = 1 - t de?nem uma reta, na Para se obter a equac¸a~o geral da reta, pode-se eliminar o para^metro t, isolando-o na primeira equac¸a~o: t=x-2 e substituindo-o na segunda: y = 1 - (x - 2) = -x + 3

Coe?ciente Angular ou Declividade Nu´mero real m que expressa a tangente trigonom´etrica de sua inclinac¸a~o ?, ou seja: m = tan ?

Podemos observar que: Y r 0 X Se ? = 0? ? tan ? = 0 ? m = 0 Y

r 0 X Se 0? < ? < 90? ? tan ? > 0 ? m > 0 Y r 0 X Se 90? < ? < 180? ? tan ? < 0 ? m < 0 Y

r 0 X Se ? = 90? ? ? tan ? ? m ´e inde?nido. Nesse caso, a reta r Podemos determinar o coe?ciente angular de uma reta r que passapordoispontosA(xA,yA)eB(xB,yB): Y y 2 B

y 1 A C 0 x xX 12 yB - yA m= xB - xA Posi¸c~oes Relativas entre Duas Retas Paralelismo Duas retas r e s, distintas e na~o-verticais, sa~o paralelas se, somente se, t^em coe?cientes angulares iguais. Se r e s sa~o paralelas ?r = ?s e enta~o mr = ms Exemplo Determinar a posic¸a~o da reta r, da equac¸a~o 2x - 3y + 5 = 0, em relac¸a~o `a reta s, de equac¸a~o 4x - 6y - 1 = 0 Resoluc¸a~o: vamos determinar o coe?ciente angular mr da reta r, reescrevendo a sua equac¸a~o na forma geral y = (2x + 5)/3, Para a reta s, temos: y = (4x - 1)/6, de onde ms = 4/6 = 2/3, ou seja as retas r e s sa~o paralelas.

Matema´tica A ? Aula 8 Concorr^encia Duas retas r e s sera~o concorrentes se tiverem coe?cientes dife- rentes, isto ´e, r e s sa~o concorrentes Longlef trightarrowmr = As retas sa~o ditas concorrentes porque concorrem para um, e apenas um, ponto em comum.

Y 0 P l 1l 2 2 A1 BX Perpendicularismo Se r e s sa~o duas retas na~o-verticais, enta~o r ´e perpendicular a s se, somente se, o produto de seus coe?cientes angulares ´e igual a -1.

Y P l 1 l 2 A 0 B X Exemplo Veri?car se as retas f e g, de equac¸o~es 10x + 3y - 5 = 0 e C´alculo de mf , coe?ciente angular f : Reescrevemos a equac¸a~o da reta f, e obtemos, y = (5-10x)/3, C´alculo de mg, coe?ciente angular g: Reescrevemos a equac¸a~o da reta g, e obtemos, y = (3x-4)/10, Veri?cando a condic¸a~o de perpendicularismo: mf × mg = (-10/3)(3/10) = -1

A^ ngulo Formado por Duas Retas Se duas retas l1 e l2, na~o perpendiculares, t^em coe?cientes angulares m1 e m2, respectivamente, o ^angulo ?, medido no sentido anti-hor´ario, desde a reta l1 at´e l2, ´e considerando o Se tan ?1 = m1 e tan ?2 = m2 e ? ´e agudo, temos:

m2 - m1 tan ? = 1 - m1m2 205 Caso a reta 2 seja vertical: Se tan ?1 = m1 e ? ´e agudo, temos:

1 tan ? = m1 Dist^ancia entre um Ponto e uma Reta Dados um ponto P (xP , yP ) e uma reta r de equac¸a~o ax + by + c = 0 , a dist^ancia entre P e r ´e dada pela f´ormula: axP + byP + c d(P, r) = ? a2 + b2 Exemplo Determinar a dist^ancia entre o ponto A(2, 1) e a reta r, de 2 + 2 · 1 - 14 10 d(A, r) = ? = ? 12 + 22 5 ? d(A, r) = 2 5

Pense um Pouco! · A equac¸a~o da reta j´a foi estudada em outro conteu´do da matem´atica, com uma outra ?apar^encia?. Qual era esse assunto?

Exerc´?cios Complementares 5. (Cesgranrio-RJ) A equac¸a~o da reta mostrada na ?gura abaixo Y

3 -4 0 X ´e: a) 3x + 4y - 12 = 0 b) 3x - 4y + 12 = 0 c) 4x + 3y + 12 = 0 d) 4x - 3y - 12 = 0 e) 4x - 3y + 12 = 0 6. (Fuvest-SP) A reta r tem equac¸a~o 2x + y = 3 e intercepta o eixo x no ponto A. A reta s passa pelo ponto P (1, 2) e ´e perpendicular a r. Sendo B e C os pontos onde s intercepta o eixo x e a reta r, respectivamente: b) calcule a ´area do tria^ngulo ABC.

7. Se o ponto P (k, -2) satisfaz `a relac¸a~o x + 2y - 10 = 0, enta~o o valor de k2 ´e: a) 200 b) 196 c) 144 d) 36 e) 0

Matem´atica A Aula 9 Circunfer^encia Conceito E´ o conjunto de todos os pontos de um plano equ¨idistantes de um ponto ?xo, desse mesmo plano, denominado centro da circunfer^encia.

Raio E´ o segmento de reta que vai do centro a um ponto qualquer da circunfer^encia.

Equa¸c~ao Reduzida da Circunfer^encia Sendo C(xC,yC) o centro e P(x,y) um ponto qualquer da circunfer^encia, a dist^ancia de C a P , chamada d(C, P ), ´e uma constante R, o raio da circunfer^encia.

d(C, P ) = (x - xC )2 + (y - yC )2 = R ou seja, (x - xC)2 + (y - yC)2 = R2 ´e a equac¸a~o reduzida da circunfer^encia.

Y yP(x,y) y C R C( x , y ) CC xx C yy C 0 x xX C

Figura 3.1: Uma circunfer^encia de raio R, com centro no ponto C(xC,yC).

A equac¸a~o reduzida da circunfer^encia e permite determinar diretamente os elementos essenciais para a construc¸a~o da cir- Quando o centro da circunfer^encia estiver na origem, O(0, 0), a equac¸a~o da circunfer^encia sera´ simplesmente x2 + y2 = R2

Exemplo Determinar as coordenadas do centro C e o raio R da circun- Comparando a equac¸a~o dada, com a equac¸a~o reduzida da cir- cunfer^encia temos: x - 3 = x - xC =? xC = 3

y + 1 = y - yC =? yC = -1 16 = R2 =? R = 4 enta~o o centro da circunfer^encia ´e o ponto C(3, -1), e o possui raio R = 4.

Equa¸c~ao Geral da Circunfer^encia Desenvolvendo a equac¸a~o reduzida, obtemos a equac¸a~o geral da circunfer^encia:

(x - xC )2 + (y - yC )2 = R2 =? x + y2 - 2xCx - 2yCy + x2C + yC2 - R = 0 22

Para determinar o centre e o raio de uma circunfer^encia, co- nhecendo a equac¸a~o geral, basta compar´a-la com a equac¸~ao geral da circunfer^encia em sua forma gen´erica.

Matema´tica A ? Aula 10 Exemplo Determine o centro e raio da circunfer^encia com equac¸a~o geral igual a x2 + y2 - 6x + 4y - 3 = 0 Comparando com a equac¸a~o geral da circunfer^encia temos: -2xC = -6 =? xC = 3 -2yC = 4 =? yC = -2

x2C + y2 - R2 = -3 =? 32 + (-2)2 + 3 = R2 C ? Pense um Pouco! · De que elementos da circunfer^encia precisamos conhecer para escrever a equac¸a~o geral da circunfer^encia?

· Como podemos saber se um ponto dado esta´ dentro ou Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Qual a equac¸a~o geral da circunfer^encia com centro no ponto a) (x - 3)2 + (y - 2)2 = 10 b) (x - 2)2 + (y - 3)2 = 10 c) (x - 2)2 + (y - 10)2 = 15 d) (x - 2/3)2 + (y - 1)2 = 10 e) (x - 10)2 + (y - 2)2 = 3 2. (PUC-RS) O ponto P (-3, b) pertence `a circunfer^encia de centro C(0, 3) e raio R = 5. Quais sa~o os valores poss´?veis de a) 14 e 20 b) -20 e 14 c) 8 e 2 d) -7 e 1 e) 7 e -1 3. A circunfer^encia com centro na origem (0, 0) e que passa no ponto (-3, -4) tem equac¸a~o: a) (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5 b) (x + 3)2 + (y + 4)2 = 25 c) x2 + y2 = -5 d) x2 - y2 = 25 e) x2 + y2 - 25 = 0

Exerc´?cios Complementares 4. (UFAL) Para a questa~o utilize os seguintes dados: reta r de equac¸a~o x - 2y + 2 = 0 reta s de equac¸a~o 2x + y - 6 = 0 Seja C o ponto de intersecc¸a~o de r e s. A equac¸a~o da circun- fer^encia de centro C e raio de medida igual a AB ´e: a) x2 + y2 - 4x + 4y + 17 = 0 b) x2 + y2 + 4x - 4y + 3 = 0 c) x2 + y2 - 4x - 4y - 17 = 0 207

d) x2 + y2 + 4x + 4y + 3 = 0 5. (UEL-PR) Considere, no plano cartesiano, todos os pontos que distam 2 unidades da reta de equac¸a~o x - y - 3 = 0. Esses pontos pertencem todos: a) `as retas de equac¸o~es -x + y + 5 = 0 ou -x + y + 1 = 0 ? c) `as retas de equac¸o~es -x + y + 3 = ±2 2 d) `a circunfer^encia de equac¸a~o x2 + y2 - 9 = 0 e) `as retas de equac¸a~o -x - y - 3/2 = 0 ou -x - y + 3/2 = 0

Matem´atica A Aula 10 Circunfer^encia - II Posi¸c~ao Relativa a uma Reta Uma reta l e uma circunfer^encia podem ocupar as seguintes posic¸o~es relativas:

Reta Secante A d C B f Nesse caso, a reta e a circunfer^encia sa~o secantes. Pode-se veri?car, facilmente, que a dist^ancia do centro C at´e a reta l ´e menor que o raio r, ou seja d(C, l) < r.

Reta Tangente A reta l intercepta a circunfer^encia em apenas um ponto.

C d A l Nesse caso, a reta e a circunfer^encia sa~o tangentes. Pode-se veri?car, facilmente, que a dist^ancia do centro at´e a reta l ´e igual ao raio r, ou seja, d(C, l) = r

Exterior d Cl Nesse caso, a reta e a circunfer^encia sa~o n~ao-secantes ou exteriores. Pode-se veri?car, facilmente, que a dist^ancia do centro C at´e a reta l ´e maior que o raio r, ou seja, d(C, l) > r.

C´alculo da Posi¸c~ao Pode-se determinar a posic¸a~o de uma reta em relac¸a~o a uma circunfer^encia calculando a dist^ancia da reta ao cen- tro da circunfer^encia. Assim, dadas a reta l de?nida pela equac¸a~o ax + by + c = 0 e a circunfer^encia ? de?nida por (x-xC)2+(y-yC)2=r2,comcentroC(xC,yC)eraior, temos: axC + byC + c d(C, l) = ? a2 + b2 E uma vez determinada essa dist^ancia, fazemos a sua com- parac¸a~o com r e classi?camos a posic¸a~o em um dos tr^es casos vistos acima: secante, tangente ou exterior.

Exemplo Vamos determinar a posic¸a~o relativa da reta s : x + y - 4 = 0 em relac¸a~o `a circunfer^encia ? : x2 + y2 = 1.

Vamos calcular a dist^ancia do centro de C at´e s e compar´a- la com o raio de ?. Da equac¸a~o da circunfer^encia temos que C(0, 0) e r = 1, e enta~o: 1·0+1·0-4 d(C, s) = ? 12 + 12 4? d(C, s) = ? = 2 2 2 Como d(C, s) > r, a reta s ´e exterior a ?.

Posi¸c~ao Relativa entre Circunfer^encias Para determinar a posic¸a~o relativa entre duas circunfer^encias quaisquer de raios R1 e R2, com centros C1 e C2, respectiva- mente, determinamos a dist^ancia d(C1, C2) entre seus centros e comparamos com R1 + R2 ou com |R1 - R2|, e classi?camos os seguintes casos:

Circunfer^encias Exteriores Quando d(C1, C2) > (R1 + R2) as circunfer^encias sa~o exteri- ores.

R 1 C 1 C 2 R 2 d(C ,C ) > R + R 1212 Circunfer^encias Secantes Quando |R1 - R2| < d(C1, C2) < (R1 + R2) as circunfer^encias sa~o secantes.

R 1 C 2 C 1 R 2 |R - R | < d(C ,C ) < R + R 121212 Circunfer^encias Tangentes Quando d(C1, C2) = |R1 - R2| ou d(C1, C2) = (R1 + R2) as circunfer^encias sa~o tangentes.

Circunfer^encias Internas Quando 0 < d(C1, C2) < |R1 - R2| as circunfer^encias sa~o in- ternas.

Matema´tica A ? Aula 10 R 1 C 2 C 1 R 2 d(C ,C ) = R + R 1212 R 1

C 2 C 1 R 2 d(C ,C ) = |R - R | 1212 (a) (b)

Figura 3.1: Circunfer^encias tangentes exteriores (a) e interi- ores (b).

R 1 C 2 C 1 R 2 d(C ,C ) < |R - R | 1212 R 1 C1= C2 R 2

d(C ,C ) = 0 12 (a) (b)

Circunfer^encias Conc^entricas No caso especial em que d(C1, C2) = 0 as circunfer^encias sa~o conc^entricas.

Pense um Pouco! · De que elementos da circunfer^encia precisamos conhecer para escrever a equac¸a~o geral da circunfer^encia?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFSC) Determine o raio da circunfer^encia C1, cujo centro ´eopontodeintersecc¸a~odaretardeequac¸a~ox-y-1=0com reta s de equac¸a~o 2x - y + 1 = 0, sabendo que C1 ´e tangente exteriormente a` circunfer^encia C de equac¸a~o x2 + y2 - 12x - 2 a) 10 b) 2 c) 3 d) 6 e) 1 2. (ITA-SP) Sabendo que o ponto (2, 1) ´e o ponto m´edio de uma corda AB da circunfer^encia (x - 1)2 + y2 = 4, enta~o a equac¸a~o da reta que cont´em A e B ´e dada por: a) y = 2x - 3 b) y = x - 1 c) y = -x + 3 d) y = (3/2)x - 2 e) y = -x/2 + 2 209

Exerc´?cios Complementares 3. (Fuvest-SP) A reta s passa pelo ponto (0, 3) e ´e perpendi- cular `a reta AB, onde A(0, 0) e B ´e o centro da circunfer^encia x2 + y2 - 2x - 4y = 20. Enta~o a equac¸a~o de s ´e: a) x - 2y = -6 b) x + 2y = 6 c) x + y = 3 d) y - x = 3 e) 2x + y = 6 4. (MACK-SP) Em relac¸a~o `a circunfer^encia (x-1)2+(y-2)2 = 169, a reta 5x + 12y - 198 = 0 a) ´e secante b) ´e tangente c) ´e externa d) coincide com reta que cont´em o di^ametro e) n. d. a.

Matema´tica B ? Aula 1 211

Tipos de matrizes Matem´atica B Aula 1 Algumas matrizes recebem nomes especiais, devido suas ca- racter´?sticas.

· Matrizes Uma tabela de nu´meros dispostos em linhas e colunas, como · por exemplo: ?? 3142 ? 6 -5 0 -1 ? 7 11 -3 5 · Se essa tabela ´e formada por m linhas e por n colunas, dizemos que a matriz ´e do tipo m por n, e indicamos m×n. No exemplo, a matriz A tem 3 linhas e 3 colunas; enta~o, A ´e do tipo 3 × 4: De modo geral, apresentamos uma matriz cercando as linhas e as colunas por par^enteses como na matriz A acima. Podemos tamb´em utilizar colchetes ou duplas barras.

· Exemplos 2 1/2 -3 1. B = ´e uma matriz (2 × 3) 5 0 -1

14 · 2. C = ´e uma matriz de ordem 2 5 -1

3. D = -1 0 3 5 ´e uma matriz (1 × 4) Nota¸c~ao Geral Normalmente representamos as matrizes por letras maiu´sculas · e seus elementos por letras minu´sculas, acompanhadas por dois ´?ndices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m × n ´e representada por: ?? a11 a12 a13 · · · a1n ? a21 a22 a23 · · · a2n ? ?? A=? a a a ··· a ? 31 32 33 3n ?? ?....? ? . . . ··· . ? am1 am2 am3 · · · amn ou, abreviadamente, A = [aij ] , em que i e j representam, m×n respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. · Por exemplo, na matriz anterior, a31 ´e o elemento da 3a linha e da 1a coluna.

Exemplo Na matriz: 26 A= · -5 0 temos ? ? a11 = 2 ? ? a12 = 6 ? a21 = -5 ? ? a22 = 0 Matriz linha : matriz do tipo 1 × n, ou seja, com uma u´nica linha. Por exemplo, a matriz A = 5 8 -2 3 , do tipo 1 × 4.

Matriz coluna : matriz do tipo m × 1, ou seja, com uma ?? 3 2 Matriz quadrada : matriz do tipo n × n, ou seja, com o mesmo nu´mero de linhas e colunas; dizemos que a matriz ´e de ordem n. Os elementos da forma aii constituem a diagonal principal. Os elementos aij em que i + j = n + 1 constituem a diagonal secund´aria. Por exemplo, a matriz 7 -9 C= 24 ´e do tipo 2 × 2, isto ´e, quadrada de ordem 2.

Matriz nula: matriz em que todos os elementos sa~o nu- los; ´e representada por 0m×n. Por exemplo, 000 02×3 = 000 .

Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os ele- mentos que na~o esta~o na diagonal principal sa~o nulos. Por exemplo: ?? 400 B3×3 = ? 0 5 0 ? 0 0 -3 .

Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal sa~o iguais a 1 e os demais sa~o nulos; ´e representada por In, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo: ?? 100 I3 = ? 0 1 0 ? 001 Para uma matriz identidade aij = 1 se i = j aij = 0 se i = j

Matriz transposta: Dada uma matriz A(m × n), a ma- triz que se obt´em trocando ordenadamente as linhas pelas colunas chama-se transposta de A, e ´e indicada por At (ou por At). Por exemplo ?? 23 250 A = ? 5 -1 ? =? At = 3 -1 6 06 Matriz sim´etrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = At. Por exemplo ?? 356 A=?524? 648 ´e sim´etrica pois temos aij = aji.

· Matriz anti-sim´etrica: Uma matriz quadrada A = [aij ] ´e anti-sim´etrica se At = -A. Por exemplo ?? 034 A = ? -3 0 -6 ? -4 6 0

· Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exem- plo, se 30 A= 4 -1 enta~o -3 0 -A = -4 1 Igualdade de Matrizes Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m × n, sa~o iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posic¸a~o sa~o iguais. Por exemplo, se x y 8 -1 A= eB= zt 53 A = B se, e somente se, x = 8, y = -1, z = 5 e t = 3.

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 2. Escreva a matriz A(2 × 2) = [aij ] onde aij = 2i, se i = j aij = j - 10 se i = j

3. (ACAFE) Seja A = B, onde x2 + 1 0 10 y - 2 log 81 y2 e B = 4 4 A= x enta~o os valores de x e y sera~o, respectivamente: a) 2 e 3 b) ±2 e ±3 c) 3 e 2 d) -3 e -2 e) ±3 e ±2

Exerc´?cios Complementares 4. Sendo A = [aij] tal que aij = i + j, determine x, y e z 2×3 2 y-1 4 xz5 5.DadaamatrizA=(aij)3×3talqueaij=i2+2j-5,calcule a12 + a31.

6. Calcule a soma dos elementos da 2a coluna da matriz B = (bij ) , em que bij = 2i + j - 1 2×3

Matem´atica B Aula 2 Opera¸c~oes com Matrizes Adic¸~ao Dadas as matrizes A e B, ambas do mesmo tipo (m×n), somar A com B ´e obter a matriz A + B, do tipo m × n, onde cada Por exemplo: 2 3 5 8 -7 3 Se A = e B = -1 4 -2 2 4 6 enta~o 2+8 3-7 5+3 A+B= -1 + 2 4 + 4 -2 + 6 10 -4 8 A+B= 184

Propriedades da Adic¸~ao Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo (m × n), temos as seguintes propriedades para a adic¸a~o: a) comutativa: A + B = B + A b) associativa: (A + B) + C = A + (B + C) c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m×n d) elemento oposto: A + (-A) = (-A) + A = 0

Subtra¸c~ao Para entendermos a subtrac¸a~o de matrizes devemos saber o que ´e uma matriz oposta. A oposta de uma matriz M ´e a matriz -M , cujos elementos sa~o os nu´meros opostos de mesma posic¸a~o de M . Por exemplo: 2 -3 -2 3 M = =? -M = -5 7 5 -7

Matema´tica B ? Aula 2 Multiplica¸c~ao por um Nu´mero Real Multiplicar um nu´mero k por uma matriz A ´e obter a matriz kA, cujos elementos sa~o os elementos de A multiplicados, todos ???? 21 63 A = ? 4 -3 ? =? 3A = ? 12 -9 ? -1 5 -3 15

Propriedades Sendo A e B matrizes do mesmo tipo m × n e x e y nu´meros reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: a) associativa: x · (yA) = (xy) · A b) distributiva de um nu´mero real em relac¸a~o `a adic¸a~o de ma- trizes: x · (A + B) = xA + xB c) distributiva de uma matriz em relac¸a~o `a adic¸a~o de dois nu´meros reais: (x + y) · A = xA + yA d) elemento neutro: xA = A, para x = 1, ou seja, 1 · A = A

Multiplica¸c~ao de Matrizes DadasasmatrizesA=(aik)m×neB=(bik)m×p,de?ne-se como produto de A por B a matriz C = (cij )m × p tal que o elemento cij ´e a soma dos produtos da i-´esima linha de A pelos elementos correspondentes da j-´esima coluna de B.

C = A · B ? cij = p (Aik · Bik) k=1 Observac¸~ao Somente existe o produto de uma matriz A por outra matriz B se o nu´mero de colunas de A ´e igual ao nu´mero de linhas de B. Se existir o produto de A por B, o tipo da matriz produto ´e dado pelo nu´mero de linhas de A e pelo nu´mero de colunas de B. Pode existir o produto de A por B, mas na~o existir o produto de B por A.

Propriedades Veri?cadas as condic¸o~es de exist^encia para a multiplicac¸a~o de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: (A · B) · C = A · (B · C) b)distributivaemrelac¸a~o`aadic¸a~o:A·(B+C)=A·B+A·C ou (A + B) · C = A · C + B · C c) elemento neutro: A · In = In · A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n Geralmente a propriedade comutativa na~o vale para a mul- tiplicac¸a~o de matrizes (A · B = B · A). Na~o vale tamb´em o anulamento do produto, ou seja: sendo 0m×n uma matriz nula, A · B = 0m×n na~o implica, necessariamente, que A = 0m×n ou B = 0m×n.

Invers~ao de Matrizes Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A?, de mesma ordem, tal que A · A? = A? · A = In, enta~o A? ´e matriz inversa de A. Representamos a matriz inversa por A-1.

213 Pense um Pouco! · Sempre podemos multiplicar matrizes de mesma ordem (iguais) ?

· (ACAFE) Sejam as matrizes A3×2, B3×3 e C2×3. A alter- nativa em que a expressa~o ´e poss´?vel de ser determinada ´e: a) B2 · (A + C) b) (B · A) + C c) (C · B) + A d) (A · C) + B e) A · (B + C) Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

12 -2 1 1/5 -2/5 A= 2/5 1/5 01 t 2. (ACAFE) Dada a matriz A = , seja A a sua 2 -2 matriz transposta. O produto A · At ´e a matriz: 01 a) 2 -2 02 b) 1 -2 1 -2 c) -2 0 10 d) 21 1 -2 e -2 8 3. (ACAFE) Considere as matrizes 12 x A= ,B= e -2 -1 y 6 C = . Sabendo que A · B = C, o valor de |x| + |y| ´e: 9 a) 15 b) 1 c) 57 d) 9 e) 39

Exerc´?cios Complementares ?? 10 4. Dadas as matrizes A = ? 3 2 ? e 54 2 -1 0 t 134 5. A matriz A = (aij ) ´e de?nida, de tal forma que: 3×3 i-j se i>j aij = i?j se i=j i + j se i < j Determinar a matriz inversa de A.

6. Dada a matriz ?? cos ? -sen ? 0 M = ? sen ? cos ? 0 ? 001 Calcule M · M t.

7. (ITA-SP) Considere P a matriz inversa da matriz M = 1/3 0 . A soma dos elementos da diagonal principal da 1/7 1 matriz P ´e: a) 9 4 b) 4 9 c) 4 d) 5 9 e) - 1 9

8. (UECE) O produto da inversa da matriz 11 10 A = pela matriz I = ´e igual a: 12 01 -2 1 a) -1 1 2 -1 b) 1 -1 -2 1 c) 1 -1 2 -1 d) -1 1

Matem´atica B Aula 3 Determinantes Determinante ´e um nu´mero que se associa a uma matriz quadrada. De modo geral, um determinante ´e indicado escrevendo-se os elementos da matriz entre barras ou ante- ab Assim, se A = , o determinante de A ´e indicado por: cd ab ab detA = det = cd cd O ca´lculo de um determinante ´e efetuado atrav´es de regras espec´??cas que estudaremos mais adiante. E´ importante res- saltarmos alguns pontos: 1. Somente `as matrizes quadradas ´e que associamos deter- minantes.

Lembre-se, matriz ´e uma tabela, e na~o ha´ signi?cado falar em valor de uma tabela.

Determinante de 1a Ordem Dada uma matriz quadrada de 1a ordem M = [a11], o seu determinante ´e o nu´mero real a11: det M = |a11| = a11 Exemplo M = [5] ? det M = 5 ou |5| = 5

Determinante de 2a Ordem Dada a matriz M = a11 a12 , de ordem 2, por de?nic¸a~o a21 a22 o determinante associado a M , determinante de 2a ordem, ´e dado por: a11 a12 = a11a22 - a12a21 a21 a22

Determinante de 3a Ordem Para o ca´lculo de determinantes de ordem 3 podemos utilizar uma regra pr´atica, conhecida como Regra de Sarrus, que so´ se aplica a determinantes de ordem 3. A seguir, explicaremos detalhadamente como utilizar a Regra de Sarrus para calcular o determinante a11 a12 a13 D = a21 a22 a23 a31 a32 a33

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira: aaa 11 12 13 aaa 21 22 23 aaa 31 32 33 aa 11 12 aa 21 22 aa 31 32

2o passo: Devemos encontrar a soma do produto dos elemen- tos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicac¸a~o dos elementos das paralelas a essa diagonal: aaa 11 12 13 aaa 21 22 23 aaa 31 32 33 aa 11 12 aa 21 22 aa 31 32

Matema´tica B ? Aula 3 aaa 11 12 13 aaa 21 22 23 aaa 31 32 33 aa 11 12 aa 21 22 aa 31 32

multiplicar e subtrair Assim, subtraindo o segundo produto do primeiro, podemos escrever o determinante como: D = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) - (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)

Menor Complementar Chamamos de menor complementar relativo a um elemento aij de uma matriz M , quadrada de ordem n > 1, o determi- nanteMCij,deordemn-1,associado`amatrizobtidadeM quando suprimimos a linha e a coluna que passam por aij . Por exemplo, dada a matriz

M = a11 a12 a21 a22 de ordem 2, para determinar o menor complementar relativo ao elemento a11 (MC11), eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

a11 a12 ? MC11 = |a22| = a22 a21 a22 De modo ana´logo, para obtermos o menor complementar rela- tivo ao elemento a12, eliminamos a linha 1 e a coluna 2:

a11 a12 ? MC12 = |a21| = a21 a21 a22 Para um determinante de ordem 3, o processo de obtenc¸a~o do menor complementar ´e o mesmo utilizado anteriormente, por exemplo, sendo ?? a11 a12 a13 M = ? a21 a22 a23 ? a31 a32 a33

de ordem 3, temos: a22 a23 MC11= a32 a33 =a22a33-a23a32

Co-fator Chama-se de co-fator de um elemento aij de uma matriz qua- drada o nu´mero Aij tal que

Aij = (-1)i+j · M Cij 215 Exemplo ?? a11 a12 a13 Considerando M = ? a21 a22 a23 ? a31 a32 a33 calcularemos o co-fator A23. Temos que i = 2 e j = 3, logo: A23 = (-1)2+3 · M C23. Devemos calcular M C23.

a11 a12 MC23= =a11a32-a12a31 a31 a32

Assim A23 = (-1) · (a11a32 - a12a31) Teorema de Laplace ij m×n (m ? O determinante de uma matriz quadrada M = [a ] 2) pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma ?la qualquer (linha ou coluna) da matriz M pelos respec- Desta forma, ?xando j ? N, tal que 1 ? j ? m, temos:

m det M = aij Aij i=1 m em que ´e o somato´rio de todos os termos de ´?ndice i, i=1 variando de 1 at´e m, m ? N.

Exemplo: Calcule o determinante a seguir utilizando o Te- orema de Laplace: 2 3 -4 D = -2 1 2 056 Aplicando o Teorema de Laplace na coluna 1, te- mos: D = 2(-1)1+1 1 2 + (-2)(-1)2+1 3 -4 + 56 56 3+1 3 -4 0(-1) 12 D = 2(+1)(-4) + (-2)(-1)38 + 0 = -8 + 76 = 68

Observac¸~ao Se calcularmos o determinante utilizando a Regra de Sarrus, obteremos o mesmo nu´mero real.

Propriedades dos determinantes P1) Quando todos os elementos de uma ?la (linha ou coluna) P2) Se duas ?las de uma matriz sa~o iguais, enta~o seu determi- P3) Se duas ?las paralelas de uma matriz sa~o proporcionais, P4) Se os elementos de uma matriz sa~o combinac¸o~es lineares dos elementos correspondentes de ?las paralelas, enta~o seu de- P5) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz na~o se altera quando somamos aos elementos de uma ?la, uma combinac¸a~o linear dos elementos correspondentes de ?las pa- P6) O determinante de uma matriz e o de sua transposta sa~o iguais.

P7) Multiplicando-se por um nu´mero real todos os elementos de uma ?la em uma matriz, o determinante dessa matriz ?ca P8) Quando trocamos as posic¸o~es de duas ?las paralelas, o de- P9) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal sa~o todos nulos, o determinante ´e igual P10) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secunda´ria sa~o todos nulos, o determinante ´e igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicados por n(n-1) P11) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det(AB) = det A · det B. Como A · A-1 = I, det A-1 = P12) Se k ? R, enta~o det (k · A) = kn · det A.

Pense um Pouco! · Podemos associar um determinante apenas a matrizes quadradas?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao log28 log10 1. (ACAFE) O valor do determinante 312 ´e: 4-1/2 a) 0 b) 4 c) 7 d) 17 2 e) 53 2

2. (UDESC) Sejam as matrizes quadradas de ordem 2, A = (a ) com a = i2 - j2 e B = (b ) com b = a - 3 se i > j, ij ij ij ij ij Determine: a) a matriz A b) a matriz B c) a matriz A · B d) o determinante da matriz A · B (UDESC) ij 2×2 ij 3. A partir da matriz A = [a ] , onde a = -1 se i?j i+j se i

Exerc´?cios Complementares 10 4. (UNIFENAS) Dada a matriz A = o determi- 2 -4 nante de sua matriz inversa A-1 ´e: a) -2 b) -4 c) 1 2 d) 4 e) - 1 4

5. (MACK) A e B sa~o matrizes quadradas de ordem 3 e B = k · A. Sabe-se que det A = 1, 5 e det B = 96. Enta~o: a) k = 64 b) k = 96 c) k = 1 4 d) k = 3 2 e) k = 4 6. (PUC) O co-fator do elemento a23 da matriz A = 213 1 2 2 ´e: 012 a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3 7. (UDESC) Seja A uma matriz quadrada de ordem 3, apre- sentada abaixo, cujo determinante ´e igual a 0, 75.

?? sen x 0 1 A = ? 0 -1 2 ? 2 sen x 0 Considerando ?/2 < x < ?, determinar o valor de tg x.

Matem´atica B Aula 4 Sistemas Lineares Equa¸c~ao Linear Chamamos de equac¸a~o linear toda equac¸a~o da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b

onde a1, a2, a3, . . ., an sa~o nu´meros reais, que recebem o nome de coe?cientes das inco´gnitas x1, x2, x3, . . ., xn, e b ´e um nu´mero real chamado termo independente (quando b = 0, a equac¸a~o recebe o nome de linear homog^enea).

Exemplos de Equac¸o~es Lineares 3x - 2y + 4z = 7 -2x + 4z = 3t - y + 4 ? x + y - 3z - 7t = 0(homog^enea)

Matema´tica B ? Aula 4 Sistema Linear Um conjunto de equac¸o~es lineares considerados simultanea- mente, como por exemplo: ? a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1 ? ? a21x1 + a22x2 + a2nxn b2 ··· + = ?. . . . ? am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

A sequ¨^encia (r1, r2, r3, · · · ,) ´e a soluc¸a~o do sistema, se ´e soluc¸a~o para todas as m equac¸o~es do sistema.

Matrizes Associada a um Sistema Linear Podemos associar dois tipos de matrizes a um sistema linear: Matriz incompleta ´e a matriz A formada pelos coe?cientes das inco´gnitas do sistema. Por exemplo, em relac¸a~o ao sistema: ? ? 2x + 3y - z = 0 4x + y + z = 7 ? -2x + y + z = 4 a matriz incompleta ´e: ?? 2 3 -1 ?411? -2 1 1 Matriz completa ´e a matriz B que se obt´em acrescentando `a matriz incompleta uma u´ltima coluna formada pelos termos independentes das equac¸o~es do sistema. Desta forma, para o sistema anterior, a matriz completa ´e: ?? 2 3 -1 0 ?4117? -2 1 1 4 Podemos ainda escrever o sistema anterior de uma forma dife- rente: ? ? ? ? ? ? 2 3 -1 x 0 ?411?·?y?=?7? -2 1 1 z 4 E´ comum nas questo~es de vestibulares cobrarem a descric¸a~o matricial de um sistema. A forma acima ´e a mais correta.

Sistemas Homog^eneos Um sistema linear ´e dito homog^eneo quando todos os termos independentes das equac¸o~es sa~o iguais a zero (nulos): ? a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 ? a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 ? ?. . . 0 ? am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = 0

Exemplo ? ? 3x - 2y + z = 0 -x + 4y - 3z = 0 ? ? 2x + 3y = 0 A sequ¨^encia (0, 0, 0, ..., 0) ´e sempre soluc¸a~o de um sistema ho- Quando existem, as demais soluc¸o~es sa~o chamadas de na~o- triviais.

217 Classi?ca¸c~ao de um Sistema Podemos classi?car um sistema de equac¸o~es quanto ao nu´mero Resolvendo o sistema x + 2y = 5 2x + 5y = 12 encontramos uma u´nica soluc¸a~o: o par ordenado (1, 2). Assim, dizemos que o sistema ´e poss´?vel (tem soluc¸a~o) e determinado Para x + 2y = 1 2x + 4y = 2 veri?camos que os pares ordenados (5, -2), (3, -1), (1, 0), (-1, 1), · · · sa~o algumas das in?nitas soluc¸o~es. Por isso, di- zemos que o sistema ´e poss´?vel (tem soluc¸a~o) e indeterminado No caso do sistema 2x + 2y = 6 -3x - 3y = 2 veri?camos que nenhum par ordenado satisfaz simultanea- mente as equac¸o~es. Portanto, o sistema ´e imposs´?vel (na~o tem soluc¸a~o). Em resumo, um sistema linear pode ser: poss´?vel e determinado ? soluc¸a~o u´nica poss´?vel e indeterminado ? in?nitas soluc¸o~es imposs´?vel ? na~o tem soluc¸a~o Sistema Normal Dizemos que um sistema ´e normal quando possui o mesmo nu´mero de equac¸o~es (m) e de inco´gnitas (n) e o determinante Portanto m = n e detA = 0 ? sistema normal

Regra de Cramer Qualquer sistema normal possui uma u´nica soluc¸a~o, dada por: Dxi xi = D onde i ? {1, 2, 3, ·, n}, D = det A ´e o determinante da ma- triz incompleta associada ao sistema, e Dx ´e o determinante i

obtido pela substituic¸a~o, na matriz incompleta, da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes.

Exemplo Resolva, com o aux´?lio da regra de Cramer, o sistema: 2x + y = 7 2x - 3y = 3 Analisando o sistema, temos que m = n = 2.

21 D = = -6 - 2 = -8 = 0 2 -3 como D = 0, o sistema ´e normal e podemos utilizar a regra de Cramer para resolv^e-lo.

Substituindo, na matriz incompleta 21 2 -3 a coluna C1 pela coluna formada pelos termos independentes, encontramos: 71 Dx = = -21 - 3 = -24 1 -3

Substituindo, agora, C2 pela coluna dos termos independentes, encontramos: 27 Dy = = 6 - 14 = -8 23 Assim: Dx -24 Dy -8 x= = =3 y= = =1 D -8 D -8 Logo, a soluc¸a~o do sistema ´e x = 3 e y = 1.

Pense um Pouco! O sistema de equac¸o~es lineares bx - y - 4 = 0 x + ay - 1 = 0 ´e homog^eneo?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Escreva O sistema ? ? 3x - 2y + 2z = 7 x+y-z=4 ? -2x + 3y - 3z = -3 na forma matricial.

? ?x+y=0 a) 2x + 3y - z = 2 ? 3x + -z = 4 ? ?x+y+z=4 b) 2x + 3y - 5z = 1 ? 3x + 4y - 4z = 7 kx + y = 3 3. Determine k ? R de modo que o sistema x + ky = 5 seja normal

Exerc´?cios Complementares 4. Resolva os seguintes sistemas lineares, com o aux´?lio da regra de Cramer: 3x + y = 5 a) 2x - 3y = -4 ? ? 2x + y - 8z = -5 b) x + y - 2z = 0 ? x + 2y - 3z = 6 ? ? x + 2y + -3z = 9 c) 3x - y + 4z = -5 ? 2x + y + z = 0 ?1+1+1=0 ?x y z d) 1 + 3 - 5 = 0 xyz ?1+2-3=1 xyz

Matem´atica B Aula 5 Discuss~ao de um Sistema Linear Se um sistema linear tem n equac¸o~es e n inco´gnitas, ele pode ser: 1. poss´?vel e determinado, se D = detA = 0; caso em Exemplo: ? ?x-y+z=3 2x + y - z = 0 ? 3x - y + 2z = 6 m=n=3 1 -1 1 D = 2 1 -1 = 3 = 0 3 -1 2 Enta~o, o sistema ´e poss´?vel e determinado, tendo soluc¸~ao u´nica.

2. poss´?vel e indeterminado, se 123n Se n ? 3, essa condic¸a~o so´ sera´ v´alida se na~o houver equac¸o~es com coe?cientes das inco´gnitas respectivamente Um sistema poss´?vel e indeterminado apresenta in?nitas soluc¸o~es: Exemplo: ? ? x + 3y + 2z = 1 -2x + y + z = -2 ? -x + 4y + 3z = -1 D = 0, Dx = 0, Dy = 0 e Dz = 0 Assim, o sistema ´e poss´?vel e indeterminado, tendo in?ni- tas soluc¸o~es.

imposs´?vel, se D = 0 e ? Dxi 3. = 0, 1 ? i ? n; caso em que o sistema na~o tem soluc¸a~o. Exemplo: ? ? x + 2y + z = 1 2x + y - 3z = 4 ? 3x + 3y - 2z = 0 121 D = 2 1 -3 = 0 3 3 -2 121 Dx = 4 1 -3 = 35 = 0 0 3 -2 Como D = 0 e Dx = 0, o sistema ´e imposs´?vel e na~o apresenta soluc¸a~o.

Matema´tica B ? Aula 6 Pense um Pouco! Descreva as condic¸o~es que devem ser satisfeitas por um sistema para que ele seja: c) imposs´?vel.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Classi?que o sistema ? ?x+z=5 2x + y + 3z = -1 ? -2x - 2z = 1 Exerc´?cios Complementares

2. (UDESC) Considere o sistema de equac¸o~es lineares bx - y - b = 0 x + ay - a = 0 Pede-se: b) determinar os valores de a e b, para que: b.3) - 0 sistema seja imposs´?vel ou incompat´?vel.

3. Discuta o sistema x + 2ky = k kx + 2y = p 4. (UDESC) Considere o sistema de equac¸o~es lineares 2x + 2y = b 3x + ay = 6 Pede-se: b) determinar os valores de a e b, para que: b.3) - 0 sistema seja imposs´?vel ou incompat´?vel.

5. (UDESC) Discuta, segundo os valores dos para^metros a e b, o sistema: ? ? ax + y + 2z = b 2ax - y + 2z = 1 ? 2x + y + 2z = 3

Matem´atica B Aula 6 219 Progress~ao Aritm´etica Sequ¨^encias Imagine que na pa´gina de passatempos de uma revista voc^e encontre o seguinte problema: Descubra o elemento que completa a sequ¨encia: Na~o haveria di?culdade para voc^e entender o que foi pedido, pois a noc¸a~o de sequ¨encia lhe ´e familiar: uma lista onde os elementos esta~o numa certa ordem. Em um calenda´rio, por Para resolver o problema, voc^e precisa descobrir a lei de formac¸a~o da sequ¨^encia. No caso da questa~o acima, na~o ´e dif´?cil perceber que cada elemento, a partir do terceiro, ´e igual `a soma dos dois elementos anteriores: 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 5 = 2 + 3, 8 = 3 + 5, etc., assim, o elemento que completa a sequ¨encia ´e E´ usual indicar os elementos de uma sequ¨^encia (que ´e tamb´em chamada de progress~ao) por letra, em geral minu´scula, acom- panhada de um ´?ndice que localiza a posic¸a~o do elemento; as- sim a1 indica o primeiro elemento, a2 indica o segundo, a3 o terceiro, e assim por diante. O s´?mbolo an ´e usado para indi- car o en´esimo elemento, isto ´e, o termo de posic¸a~o n. Como n pode ser igual a 1,2,3, etc, conforme a posic¸a~o do elemento ao qual queremos nos referir, dizemos que an representa o termo geral da progress~ao. Utilizando esta nomenclatura podemos descrever, em linguagem matem´atica, a lei de formac¸a~o da Por exemplo, na sequ¨^encia dos quadrados dos nu´meros inteiros positivos 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

vemos que o termo geral desta sequ¨^encia ´e an = n2 Progress~ao Aritm´etica (PA) Chama-se Progress~ao Aritm´etica (PA) `a toda sequ¨^encia num´erica cujos termos a partir do segundo, sa~o iguais ao ante- rior somado com um valor constante denominado raza~o. De- pendendo da raza~o r da PA, ela pode ser classi?cada como crescente, decrescente ou constante.

Classi?ca¸c~ao Uma PA ?ca perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raza~o r, pois conhecemos a sua lei de Para uma PA sobre os nu´meros reais, ou seja, se {a1, r} ? R podemos usar a seguinte classi?cac¸a~o geral: r PA r > 0 progress~ao aritm´etica crescente r < 0 progress~ao aritm´etica decrescente r = 0 progress~ao aritm´etica constante

B = (3, 12, 21, 30, 39, 48, . . .) raza~o = 9, PA crescente C = (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, . . .) raza~o = 0, PA constante D = (100, 90, 80, 70, 60, 50, . . .) raza~o = -10, PA decrescente

Termo Geral de uma PA Seja a PA gen´erica (a1, a2, a3, a4 . . . , an-1, an, . . .) de raza~o r. Podemos escrever: a2 = a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r Podemos generalizar das igualdades acima que o termo geral de uma PA ´e: an = a1 + (n - 1)r

, onde an ´e o termo de ordem n (n-´esimo termo), r ´e a raza~o E´ f´acil perceber que uma PA esta´ perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raza~o r.

Exemplos Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . . ) onde o primeiro termo ´e a1 = 1, a raza~o ´e r = 2 e queremos calcular o mil´esimo Nestas condic¸o~es, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 - 1) · 2 a1000 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999 Portanto, 1999 ´e o mil´esimo nu´mero ´?mpar.

Temos a1 = 100, r = 98 - 100 = -2 e an = 224 e deseja- mos calcular n. Substituindo na f´ormula do termo geral, temos: 22 = 100 + (n - 1) · (-2) logo, 22 - 100 = -2n + 2 e 22 - 100 - 2 = -2n de onde conclui-se que Portanto, a PA possui 40 termos.

Propriedades da PA M´edia dos Vizinhos Numa PA, cada termo (a partir do segundo) ´e a m´edia Exemplo Observe a PA de 9 termos: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 e note que: 222 Termos Equ¨idistantes Numa PA, a soma dos termos equ¨idistantes dos extre- Exemplo Observe a PA: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33 , e note que: 1 + 33 = 34, 5 + 29 = 34, 9 + 25 = 34, 13 + 21 = 34, etc.

Soma dos Termos de uma PA Considerando a PA (a1, a2, a3, . . . , an-2, an-1, an), a soma Sn dos n primeiros termos dessa progress~ao pode ser escrita assim: Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an-2 + an-1 + an

Sn = a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + . . . + an (3.1) Sn = an + (an - r) + (an - 2r) + . . . + a1 (3.2)

Como a soma dos termos equ¨idistantes dos extremos ´e sem- pre constante, somando (3.1) com (3.2) membro a membro, obtemos: 2sn = (a1 + an) + (a1 + an) + . . . + (a1 + an) = (a1 + an)n

?nalmente: (a1 + an)n Sn = 2 Esta ´e a expressa~o que nos da´ a soma dos n primeiro termos de uma PA.

Exemplo Vamos calcular a soma dos 200 primeiros nu´meros ´?mpares positivos: Temos a PA: (1, 3, 5, 7, 9, . . .) e precisamos conhecer o valor de Mas, a200 = a1 + (200 - 1) · r = 1 + 199 · 2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399) · 200]/2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros nu´meros ´?mpares po- sitivos ´e igual a 40.000 .

Pense um Pouco! · Compare a f´ormula do termo geral de uma PA com a equac¸a~o da reta. Comente.

· Se ?zermos um gr´a?co an × n de alguns termos de uma Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Determine a soma dos trinta primeiros termos da PA (-4, -2, 0, 2, 4, 6, . . .).

Matema´tica B ? Aula 7 2. Encontre a soma dos sete primeiros termos de uma PA em que o 5o termo ´e 17 e o 3o ´e 11.

3. Calcule o nu´mero de termos da PA (7,9,11,13, . . . ), sabendo que a soma deles ´e 160.

Exerc´?cios Complementares 4. As medidas dos lados de um tria^ngulo sa~o expressas por x + 1, 2x, x2 - 5 e esta~o em PA, nesta ordem. O per´?metro do tria^ngulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 d) 24 e) 33 5. (UFBA) - Um relo´gio que bate de hora em hora o nu´mero de vezes correspondente a cada hora, bater´a, de zero `as 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terc¸a parte de x.

6. (UFBA) - Numa progress~ao aritm´etica, o primeiro termo 7. Determinar o cent´esimo termo da progress~ao aritm´etica na qual a soma do terceiro termo com o s´etimo ´e igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono ´e igual a 60.

Matem´atica B Aula 7 Progress~ao Geom´etrica (PG) Entenderemos por progress~ao geom´etrica (PG) qualquer sequ¨^encia de nu´meros reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo, ´e igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada raz~ao. A partir da de?nic¸a~o anterior, podemos escrever: an = an-1r , onde an = 0 A raza~o r pode ser obtida de dois termos consecutivos da PG: an r= an-1 Chama-se progress~ao geom´etrica ou PG `a toda sequ¨^encia num´erica cujos termos a partir do segundo, sa~o iguais ao anterior multiplicado por um valor constante denominado raza~o. Dependendo a raza~o r da PG e do primeiro termo a1 a sequ¨^encia de valores obtidos pode ser crescente, decrescente ou constante.

Classi?ca¸c~ao Uma PG esta´ perfeitamente determinada se conhecermos seu primeiro termo a1 e sua raza~o r, pois conhecemos a lei de Para uma PG sobre os nu´meros reais, ou seja, se {a1, r} ? R podemos usar a seguinte classi?cac¸a~o geral: 221

a1 r PG a1 > 0 r > 1 progress~ao geom´etrica crescente a1 > 0 r < 1 progress~ao geom´etrica decrescente a1 < 0 r > 1 progress~ao geom´etrica decrescente a1 < 0 r < 1 progress~ao geom´etrica crescente ?a1 ? R r = 1 progress~ao geom´etrica constante a1 = 0 r = 0 progress~ao geom´etrica nula

Exemplos PG crescente de raza~o 3 PG decrescente raza~o 1/2 PG constante de raza~o 1 (1, -3, 9, -27, 81, -243, . . .) PG alternada (ou oscilante) de raza~o -3 Termo Geral da PG Numa PG (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) de raza~o r, pela de?nic¸a~o, temos: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r)r = a1 · r2 a4 = a3 · r = (a1 · r2)r = a1 · r3

Portanto: an = a1rn-1 Observac¸o~es 1. Note que sa~o necessa´rios pelo menos tr^es termos para identi?car e diferenciar uma PA de uma PG, por exemplo.

2. Uma PG gen´erica de 3 termos, pode ser expressa como: 3. Uma PA gen´erica de 3 termos, pode ser expressa como: (x - r, x, x + r), onde r ´e a sua raza~o.

4 a8 r= a4 320 r4 = 20 Produto dos Termos de uma PG Dada a PG (a1, a2, a3, . . . , an), com r = 0, podemos calcular o produto Pn de seus n primeiros termos assim: Pn = a1 · a2 · a3 · . . . · an = a (a · r)(a · r2) · . . . · (a · rn-1) = 11 1 1 (a · a · a · . . . · a )(r · r2 · r3 · . . . · rn-1) 111 1 n fatores Aplicando a propriedade das pot^encias de mesma base, temos: Pn = a1n · r1+2+3+...+n-1

Como 1 + 2 + 3 + n + . . . + n - 1 representa a soma dos termos de uma PA, temos

n(n-1) Pn = a1n · r 2 Soma dos Termos de uma PG Vamos indicar por Sn a soma dos n primeiros termos da PG (a1, a2, a3, . . . , an-1, an, . . .):

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an-1 + an (3.3) Se multiplicarmos ambos os membros da equac¸a~o acima por r, vem r · Sn = a1 · r + a2 · r + a3 · r + . . . + an-1 · r +an · r a2 a3 a4 an

r · Sn = a1 + a2 + a3 + a4 . . . + an + an · r (3.4)

Efetuando, agora, a subtrac¸a~o 3.4 - 3.3, obtemos (para r = 1), a f´ormula da soma: a1(rn - 1) Sn = r-1

Exemplo Calculemos a soma dos 10 primeiros termos da PG Temos: 1·(210-1) Sn = = 1023 2-1 Observe que neste caso a1 = 1.

Soma dos Termos de uma PG constante Neste caso trivial, como a PG ´e constante, temos r = 1. Enta~o Sn = a1 + a1 + a1 + . . . + a1 ? Sn = n · a1 Soma dos Termos de uma PG in?nita Dada a PG in?nita (a1, a2, a3, . . .) de raza~o r, r = 0, para determinar a soma S dos seus in?nitos termos, temos: a) se r ? -1 ou r ? 1, S tende a ±? (o que signi?ca que S ´e A partir da f´ormula da soma dos n primeiros termos de uma PG, S = a1(rn-1) , temos que, quando n tende a +?, rn n r-1 tende a zero, portanto, a f´ormula para calcular S, com |r| < 1, ´e: a1(0 - 1) -a1 S= = r-1 r-1 logo, a1 S= 1-r Propriedades Principais da PG Produto de Termos Vizinhos Em toda PG, um termo qualquer, com excec¸a~o do primeiro e do u´ltimo, tem seu quadrado igual ao produto dos termos n Exemplo Na PG (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, . . .) temos: 102 = 5 · 20 = 100 202 = 10 · 40 = 400 402 = 20 · 80 = 1.600 802 = 40 · 160 = 6.400 .

Produto de Termos Equ¨idistantes O produto dos termos equ¨idistantes dos extremos de uma PG Exemplo Na PG alternada com 6 termos -2, 2/3, -2/9, 2/27, -2/81, 2/243 temos: -2 · 2/243 = 2/3 · -2/81 = -2/9 · 2/27 = -4/243 Pense um Pouco! · Dada a PG (5, 10, 20, 40, 80, . . .), determine sua raza~o.

· Fazendo-se um gr´a?co dos termos de uma PG an × n, que Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. Veri?que se cada uma das sequ¨encias ´e PG, determinando, 422 5 5 15 2. Determine o produto dos 53 termos iniciais da PG (2-26, -2-25, 2-24, . . .).

Matema´tica B ? Aula 7 223

´e: a) 1 b) 3 5 c) 4 3 d) 5 2 e) 45 8 Exerc´?cios Complementares

4. (UFRS) A cada balanc¸o uma ?rma tem apresentado um aumento de 10 % em seu capital. A raza~o de progress~ao for- mada pelos capitais nos balanc¸os ´e: a) 10 b) 11 10 c) 10 11 d) 9 10 e) 1 10 5. Sabe-se que x - 16, x - 10 e x + 14 sa~o os tr^es primeiros termos de uma PG. Calcule o seu 14o termo.

6. (Ucsal-BA) A soma dos tr^es primeiros termos de uma pro- gressa~o geom´etrica ´e - 3 e a soma dos tr^es termos seguintes ´e 4 6. A raza~o dessa progress~ao ´e: 2 8

7. (UGF-RJ) Calcule a raza~o de uma PG, na qual o 1o termo 2 27 Determine a soma dos tr^es primeiros termos dessa progress~ao.

Matema´tica C ? Aula 1 Matem´atica C Aula 1 Teoria dos Conjuntos Hist´oria As noc¸o~es que deram origem `a Teoria dos conjuntos, esta~o diretamente ligadas aos estudos dos matem´aticos ingleses Au- gustus De Morgan (1806 - 1871) e George Boole (1815 - 1864), considerados fundadores da lo´gica moderna. Boole publicou em 1854 uma obra onde eram apresentados os fundamentos de uma ´algebra espec´??ca para o estudo da lo´gica. Em seus traba- lhos, ele utilizou frequ¨entemente relac¸o~es entre ?conjuntos?de objetos. Entretanto, na~o chegou a desenvolver o conceito de conjunto de modo adequado.

(a) (b) Figura 3.1: George Boole (1815?1864) (a) e George Cantor (1845-1918) (b) Somente em 1890, o matem´atico russo George Cantor (1845 - 1918), que desenvolvia estudos sobre a Teoria dos Nu´meros, publicou na Alemanha uma s´erie de proposic¸o~es e de?nic¸o~es que vieram a se constituir na linguagem simbo´lica para a Em func¸a~o disso, Cantor ´e conhecido como o criador da Te- oria dos Conjuntos. Na formulac¸a~o dessa teoria, Cantor uti- lizou tamb´em formas de representac¸a~o em diagramas que j´a tinham sido utilizadas no estudo da Lo´gica por Leonhard Eu- ler (1707 - 1783) e por John Venn (1834 - 1923).

Conjunto A noc¸a~o de conjunto ´e aceita sem de?nic¸a~o, como conceito pri- mitivo, formada a partir da id´eia de colec¸a~o: Assim, podemos nos referir a conjunto de animais, pessoas, objetos, nu´meros, letras, etc . . . Existem certos conjuntos que t^em um nome es- pecial chamado coletivo. Exemplo: O coletivo de cavalos ´e manada, o coletivo de estrelas ´e constelac¸a~o, o coletivo de lo- bos ´e alcat´eia. Cada um dos integrantes de um conjunto ´e chamado de elemento do conjunto. Em geral, indicamos o nome de um conjunto por letras maiu´sculas (A,B,C,. . . ,Z) e o de seus elementos, que se sup~oe distintos entre si, dois a dois, A` noc¸a~o de constituir associamos, em matem´atica, o conceito Dessa forma, tomando o conjunto V das vogais, dizemos que o elemento a pertence ao conjunto V . Simbolizamos essa relac¸a~o por: a?V 225

Para indicar que a consoante m na~o pertence a V , escrevemos: m ?/ V Os s´?mbolos ? (pertence) e ?/ (na~o pertence), sa~o sempre uti- lizados no sentido do elemento para o conjunto.

Representa¸c~ao de Conjuntos Um conjunto pode ser representado de v´arias formas distintas: por enumerac¸a~o, por uma propriedade caracter´?stica ou por di- agramas. Enumerac¸a~o: Neste caso, escrevemos seus elementos entre chaves, separados por v´?rgulas e sem repetic¸a~o.

Exemplo: O conjunto P dos nu´meros inteiros e positivos, Propriedade Caracter´?stica Para representar um conjunto atrav´es de uma propriedade ca- racter´?stica ? , escrevemos: Exemplo Para o conjunto do exemplo anterior, temos: P = {x/x ´e Natural maior do que 7}.

Diagramas de Venn Na representac¸a~o por diagrama, trac¸amos uma linha fechada Exemplo O diagrama abaixo representa o conjunto A das vogais.

A a ei o u U = alfabeto Em geral, o diagrama de Venn representa tamb´em o conjunto universo U , que cont´em o conjunto representado. Para isso, desenha-se em torno do diagrama um reta^ngulo representando o conjunto U .

junto vazio se na~o possui elementos. Isto ´e: n(D) = 0 ? vazio Representamos o conjunto vazio por: D = { } ou D = Ø Por outro lado, um conjunto D ´e dito conjunto unita´rio, quando tiver apenas um elemento, isto ´e: n(D) = 1.

n(D) = 1 ? D ´e unita´rio Ainda: Quando na~o se pode contar o nu´mero de elementos, temos um conjunto in?nito, caso contr´ario, temos um conjunto ?nito.

Igualdade Um conjunto A sera´ igual a um conjunto B, se ambos possu´?rem os mesmos elementos, isto ´e, se cada elemento que pertence a A pertencer tamb´em a B e vice-versa.

A = B ? ? x, x ? A e x ? B Exemplo Seja A = {5, 7, 9} e B = {5, 7, 9}. Veja que: A = B, pois todo elemento que pertence a A ´e tamb´em elemento de B, e todo elemento de B ´e elemento de A.

Subconjunto Se cada elemento de um conjunto A pertence a um outro con- junto B, dizemos que A ´e subconjunto de B. Assim: A ? B, que se l^e: A esta´ contido em B. Simbolicamente escrevemos: A ? B ? (? x) (x ? A e x ? B)

Exemplos O conjunto A = {2, 3, 4, 5} ´e um subconjunto de B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, pois cada um dos elementos de A se acha em B (note que a rec´?proca na~o ´e verdadeira). Quando dois con- juntos C e D t^em todos os elementos em comum (C = D), implica em: C?DeD?C O conjunto C = {3, 6, 9} esta´ contido em D = {9, 3, 6} e vice- versa. Caso exista pelo menos um elemento de A que na~o pertenc¸a a B, dizemos que A na~o esta´ contido em B, ou que A na~o ´e subconjunto de B.

(?x/x ? A e x ? B) ? A ? B Conjunto das Partes Em geral, para qualquer conjunto A, pode-se construir um novo conjunto, cujos elementos sejam todos os subconjuntos poss´?veis de A. A esse novo conjunto chamamos de: Conjunto das partes de A, que ´e representado por P (A).

P (A) = {x/x ? A} Exemplo Sendo o conjunto A = {2, 3, 5}, podemos escrever seus subconjuntos como segue: Com zero elemento - ? Com um elemento - {2},{3},{5} Com dois elementos - {2, 3},{2, 5},{3, 5} Com tr^es elementos - {2, 3, 5} Assim, temos: P (A) = {?, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} Pode-se demonstrar que, se n(A) = k enta~o, o nu´mero de elementos que formam o conjunto das partes de A n(P (A)), ´e dado por 2k.

Opera¸c~oes com Conjuntos Uni~ao A uni~ao entre dois conjuntos A e B consiste num outro con- junto C de todos os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. Simbolicamente, temos: C = A ? B, l^e-se: C ´e igual a A uni~ao B. De uma maneira mais concisa a de?nic¸a~o dada acima pode ser escrita simbolicamente por: A ? B = {x/x ? A ou x ? B}

Exemplo Fazendo a uni~ao dos conjuntos A = {2, 4, 7} e B = {1, 3, 4}, temos: A ? B = {1, 2, 3, 4, 7} Tamb´em podemos representar a uni~ao usando diagramas: B 1 3 A4 27 U=N

Obs.: Na~o ´e necessa´rio que se repitam os elementos comuns aos dois conjuntos. Assim, no exemplo anterior o 4 ´e comum tanto a A como a B, no conjunto uni~ao ele deve ser escrito Propriedades da Uni~ao · A ? B = B ? A, ou seja a uni~ao ´e comutativa, visto que: A ? B = {x/x ? A ou x ? B} = {x/x ? Bou x ? A} = · A ? (A ? B) = B ? (A ? B), isto ´e: Tanto A como B sa~o subconjuntos do conjunto A ? B.

Matema´tica C ? Aula 1 · ? ? A = A , visto que: ? ? A = {x/x ? ? ou x ? A}, resta-nos que x ? A, o que implica que ? ? A = A.

Intersecc¸~ao Chamamos de intersecc¸a~o de um conjunto A com outro con- junto B, ao conjunto constitu´?do pelos elementos x que perten- cem tanto a A como a B, simultaneamente. A esse conjunto indicamos:A ? B, l^e-se: ?A intersecc¸~ao B?, ou por simpli- cidade ?A inter B?. Esquematicamente temos: A ? B = {x/x ? A e x ? B} Exemplo Sejam L = {c, a, r, l, o, s} e V = {a, e, i, o, u}, temos: L ? V = {a, o}. Em diagramas: L csl r a o e ui V U={a,b,c,...,x,y,z}

Propriedades da Intersecc¸~ao Complemento e Universo Em muitos casos, faz-se necessa´rio que consideremos um con- junto mais amplo que os demais. A esse conjunto (que cont´em todos os outros como subconjuntos) ´e denominado de conjunto Universo. Para representa-lo, usamos a letra maiu´scula U . Obs.: A noc¸a~o de conjunto Universo ´e relativa, dependendo das circunsta^ncias e amplitude do contexto que Exemplos · para os conjuntos de nu´meros inteiros, Z o conjunto uni- verso;

· para os conjuntos de letras, o alfabeto ´e o conjunto uni- verso;

· para o conjunto das ra´?zes de 4, {+2, -2} ´e o conjunto Na maioria dos assuntos estudados em matem´atica, o conjunto dos nu´meros reais ´e o conjunto universo.

227 Diferenc¸a Denominamos diferenc¸a A - B (l^e-se: A menos B), o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e na~o a B, ou seja: A - B = {x/x ? A e x ? B} Exemplo Considerando os conjuntos: L = {c, a, r, l, o, s} e V = Em diagramas: L csl r ao e ui V U={a,b,c,...,x,y,z}

Propriedades ·A-A=? ·A-?=A ·?-A=? ·A?B?A-B=? Complementar de um Conjunto Sejam dois conjuntos A e B, tais que: B ? A. Chamamos `a Exemplo Temos os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e B = {5, 6}. Note que B ? A; Assim, temos que A - B sera´: A 3 1B 5 6 4 2 U=N

Pense um Pouco! · Qual o conjunto universo para os resultados de um lanc¸amentos de um dado?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (OSEC) Numa escola de 360 alunos, onde as u´nicas mat´erias dadas sa~o portugu^es e matem´atica, 240 alunos estu- dam portugu^es e 180 alunos estudam matem´atica. O nu´mero de alunos que estudam portugu^es e matem´atica ´e: a) 120 b) 60 c) 90 d) 120 e) 180 2. Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, enta~o o a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 e) 10 3. (ACAFE-SC) Dados os conjuntos A = {x ? R|-3 < x < 5} a) in?nitos b) 8 c) 7 d) 6 e) 5

Exerc´?cios Complementares 4. (PUC-CAMPINAS) Numa indu´stria, 120 oper´arios traba- 60 trabalham de manha~ e `a tarde, 50 trabalham de manha~ e a noite, 40 trabalham a` tarde e `a noite e 20 trabalham nos tr^es per´?odos. Assim: e) N.d.a.

5. (PUC-SP) - Se A = ? e B = {?}, enta~o: a) A ? B b) A ? B = ? c) A = B d) A ? B = B e) B ? A 6. Em uma pesquisa sobre o consumo de dois produtos A e B, foram entrevistas ?n?pessoas, das quais descobriu-se que: 40 consomem o produto A, 27 consomem B, 15 consomem A e B e 20 pessoas na~o consomem o produto A. Qual o nu´mero de a) 85 b) 75 c) 60 d) 90 e) n.d.a 7. (CESGRANRIO) Em uma universidade sa~o lidos dois jor- nais A e B; exatamente 80% dos alunos l^eem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno ´e leitor de pelo menos um dos jornais, o percentual de alunos que l^eem ambos ´e: a) 48% b) 60% c) 40% d) 140% e) 80%

Matem´atica C Aula 2 Conjuntos Num´ericos O Nascimento do Nu´mero A noc¸a~o de nu´mero tem provavelmente a idade do homem e certamente sempre esteve ligada `a sua necessidade de registrar Os primeiros s´?mbolos num´ericos conhecidos surgiram com o intuito de representar a variac¸a~o num´erica em conjuntos com poucos elementos. Com a ampliac¸a~o e a diversi?cac¸a~o de suas atividades, o homem sentiu a necessidade de criar no- vos s´?mbolos num´ericos e processos de contagem e desenvolver A maioria dos sistemas de numerac¸a~o tinha como base os nu´meros 5 ou 10, numa clara referencia ao numero de dedos que temos nas m~aos. Esses sistemas ainda na~o possu´?am a Os primeiros registros da utilizac¸a~o da notac¸a~o posicional ocor- reram na Babilo^nia, por volta de 2500 a.C. Ja´ o aparecimento Tamb´em se atribuiu aos hindus o atual sistema de numerac¸a~o posicional decimal, que foi introduzido e difundido na Europa pelos ´arabes. Por essa raza~o, esse sistema ´e costumeiramente Deve-se a Leonardo de Pisa (1175-1240), tamb´em chamado Fibonacci, a difusa~o do sistema indo-ar´abico na Europa, atrav´es de sua obra L´?ber Abacci, de 1202.

Matema´tica C ? Aula 2 3. Conjunto dos nu´meros racionais (Q): Todo nu´mero que puder ser representado na forma de uma frac¸a~o com numerador e denominador inteiros ´e chamado ?nu´mero racional?.

a Q = {x|x = , a ? Z, b ? Z?} b Exemplos 351 4. Conjunto dos nu´meros irracionais (Q?): Todo nu´mero que na~o pode ser representado na forma de uma frac¸a~o, com numerador e denominador inteiros ´e chamado ?nu´mero irracional?.

Exemplos ? ? Observac¸~ao Note que as d´?zimas perio´dicas sa~o nu´meros racionais, en- quanto as d´?zimas na~o perio´dicas sa~o nu´meros irracionais.

5. Conjunto dos nu´meros reais (R): E´ o conjunto obtido com a uni~ao do conjunto dos nu´meros racionais com o dos Representando em diagramas temos:

Opera¸c~oes com Nu´meros Inteiros I) Adic¸~ao e Subtrac¸~ao 229 Q´

QZN U=R II) Multiplicac¸~ao e Divis~ao: Aplica-se a regra dos sinais: ? ?++=+ ? ?-+=- ?+-=- ? ?--=+ Exerc´?cio resolvido: -3 · {14 ÷ (-7) - 3 · [4 - (10 - 12 + 9 - 7 - 4) ÷ 2]} -3 · {-2 - 3 · [4 - (-4) ÷ 2]} -3 · {-2 - 3 · [4 + 2]} -3.{-2 - 3 · [+6]} -3.{-2 - 18} -3.{-20} +6

Potencia¸c~ao An = X onde: Casos Especiais X1 = X 1n = 1 0n = 0 X0 = 1

3. (am)n = am·n 4. (am · bn)n = am·x · bn·x 5. (am/an)x = amx/bnx 6. a-m = 1/am

Pot^encias de ?Base 10? A) 10n = 1 000 . . . 0 ?n?zeros B) 10-n = 1/1 000 . . . 0 ?n?zeros ? 0, 000 . . . 01 ?n?casas

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. O valor de ((23)3)3 ´e: a) 212 b) 1024 c) 281 d) 1 e) n.d.a.

2. O valor de: [13 - (8 ÷ 2 - 3 - 7 + 2 · 3)] ÷ [25 ÷ (-3 - 22)], ´e: a) -13 b) 14 c) 13 d) 0 e) n.d.a.

3. A expressa~o (a7 · b3 · c5 · b4)/(c3 · b6 · a7 · c) ´e igual a: a) a2 · b b) b · c c) b c d) 1 e) n.d.a.

Exerc´?cios Complementares 4. Resolvendo 108·102·105·104 103·10·108 a) 5 · 1012 b) 100 c) 103 d) 107 e) n.d.a.

5. O valor da expressa~o {72 ÷ (-12) + 2 · [4 · (-2) + (30 - 20 + 10) ÷ 5]} ´e: a) +20 b) -20 c) -14 d) +14 e) n.d.a.

6. O valor de 16 3 - 232 ´e: 22 a) 0 b) 9 4 c) 1 d) 2 7. 223 · (23) 2 : a) 215 b) 229 c) 1024 d) 214 e) n.d.a.

8. O valor de (24)5 · 2-8 ´e: a) 218 b) 212 c) 215 d) 20 Matem´atica C Aula 3

Nu´meros complexos (C) No conjunto dos nu´meros reais algumas equac¸o~es na~o possuem soluc¸a~o, por exemplo, a equac¸a~o: 2x2 + 18 = 0 Como se trata de uma equac¸a~o incompleta (b = 0), podemos resolv^e-la isolando a varia´vel. Assim: -18 ? x2 = ? x = -9 2 Como na~o existe raiz quadrada de nu´mero negativo no con- junto dos reais, a equac¸a~o acima dada na~o tem soluc¸a~o. Para que equac¸o~es sem soluc¸o~es reais, como a dada acima, os ma- tema´ticos comec¸aram a utilizar novos entes matem´aticos. Essa representac¸a~o foi considerada, a princ´?pio, como um passa- ? Particularmente, o nu´mero -1 foi denominado unidade imagin´aria, devido `a descon?anc¸a que os matem´aticos ti- nham dessa nova criac¸a~o.

Unidade Imagin´aria Para simpli?car a notac¸a~o, criou-se ?i?para designar o nu´mero ? -1, isto ´e: ? i = -1 ? i2 = -1 Com isso, a soluc¸a~o da equac¸a~o proposta acima ´e: X = ± 9 · (-1) ? x = ±3 · i Logo, S = {+3i, -3i}.

Matema´tica C ? Aula 3 Pot^encias Naturais de i Vejamos alguns exemplos: n in 01 1i 2 -1 3 -i 41 5i 6 -1 7 -i 81 Resumindo: i4n = 1 i4n+1 = i 4i4n+2 = -1 i4n+3 = -i

Assim: i4n + i4n+1 + i4n+2 + i4n+3 = 0 Ou seja: A soma das quatro pot^encias de i cujos expoentes Note que, `a medida que n cresce, os resultados de in, v~ao se repetindo periodicamente, assumindo sempre um dos quatro valores da sequ¨^encia:1, i, -1, -i.Ou seja: in ? {1, i, -1, -i}, (n ? N)

Para n ? 4, temos: N4 ?n=4·q+rer<4 Rq Enta~o, in = i4·q+r = i4·q · ir = (i4)q · ir = (1)q · ir = ir, ou seja:

in = ir Exemplo 3795 4 3795 3 , como r = 3 temos i = i = -i 3 3948

Forma Alg´ebrica Todo nu´mero complexo pode ser escrito na forma z = a + b · i, O nu´mero real a ´e denominado parte real de z, e o nu´mero real b ´e denominada parte imagin´aria de z.

z = a + 0i ? z = a z=a+b·i? z=0+b·i?z=b·i Igualdade de Complexos Dois nu´meros complexos sa~o iguais quando suas partes reais e imagin´arias forem respectivamente iguais.

a=c a+b·i=c+d·i? b=d 231 Exemplo Determinar x e y de modo que: Para que os complexos sejam iguais devemos ter: 2x + 3 = 7 ? x = 2 e 2 + 4y = 6 ? y = 1 Logo, para que (2x + 3) + 6 · i = 7 + (2 + 4y) · i, devemos ter x = 2 e y = 1.

Opera¸c~oes com Complexos Adic¸~ao e Subtrac¸~ao Para somarmos ou subtrairmos dois ou mais nu´meros com- plexos, somamos ou subtra´?mos, respectivamente, suas partes reais e imagin´arias, separadamente. Ou seja: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Exemplo Seja z1 = 5 - 3i z2 = 2 + 4i z3 = -3 - 5i

calcule: a) z2 - z3 z2 - z3 = (2 + 4i) - (-3 - 5i) z2 - z3 = (2 + 3) + (4 + 5)i = 5 + 9i b) z1 + z2 z1 + z2 = (5 - 3i) + (2 + 4i) z1 + z2 = 7 + i

Multiplicac¸~ao por um Real Para multiplicar um complexo por um nu´mero real basta multiplicar a parte real e a parte imagin´aria pelo respectivo Exemplo Sejam os complexos: z1 = 6 - 3i e z2 = 3 + 2i. Determinar o 3 · z1 - 5 · z2 = 3 · (6 - 3i) - 5 · (3 + 2i) 3 · z1 - 5 · z2 = 18 - 9i - 15 - 10i 3 · z1 - 5 · z2 = 3 - 19i

b) (5 - 3i)2: (5 - 3i)2 = (5 - 3i) · (5 - 3i) (5 - 3i)2 = 25 - 15i - 15i + 9i2 (5 - 3i)2 = 25 - 15i - 15i - 9 (5 - 3i)2 = 16 - 30i

Conjugado de um Complexo Sendo z = a+bi um nu´mero complexo qualquer, de?ni-se como Exemplos 1. Sendo z = 6 - 5i, temos que: z = 6 + 5i.

Observac¸~ao O produto de um nu´mero complexo z pelo seu conjugado Z ´e sempre um nu´mero real e positivo. Esse produto chama-se Exemplo Sendo z = 5 - 3i, o produto z · Z ´e: (5 - 3i) · (5 + 3i) = 25 + 15i - 15i - 9i2 Lembrando que i2 = -1, temos que: z · Z = 25 + 9 = 34

Divis~ao de Complexos Para dividirmos dois complexos, escrevemos o quociente sob a forma de uma frac¸a~o, a seguir, usando o procedimento de raci- onalizac¸a~o de denominadores, multiplicamos ambos os termos da frac¸a~o pelo conjugado do denominador. Ou seja: z1 z1 z1 =· z2 z2 z2 Exemplo z2

z1 3 + 2i = z2 -2 - 3i z1 3 + 2i -3 + 2i =· z2 -2 - 3i -2 + 3i

-6 + 9i - 4i + 6i2 -6 + 9i - 4i - 6 = -22 - (3i)2 4 + 9 logo, z1 -12 + 5i z1 -12 5i =?=+ z2 13 z2 13 13 Representa¸c~ao Geom´etrica Consideremos num plano, chamado plano de Argand-Gauss ou plano complexo, um sistema de coordenadas cartesianas Lembrando que um nu´mero complexo na forma alg´ebrica tem a forma de: z = (x, y) = x + yi, podemos estabelecer uma cor- respond^encia entre os pontos do plano e os nu´meros complexos.

Im y z = x + yi x Re

Ou seja: Podemos representar os complexos geometricamente, O ponto P ´e a imagem geom´etrica de z ou a?xo de z. Ob- servac¸~ao eixo real.

- A parte imagin´aria de um complexo ´e representada no eixo Im, que por essa raza~o ´e chamado de: eixo imagin´ario.

M´odulo de um nu´mero complexo Na representac¸a~o geom´etrica de um nu´mero complexo z = x + yi, vamos considerar a dist^ancia entre o a?xo P desse nu´mero e a origem. A essa dist^ancia denominamos m´odulo Calculando a referida dist^ancia, temos: dop = (x - 0)2 + (y - 0)2 = x2 + y2 Portanto,temos: |z| = ? = x2 + y2

Exemplo Calcular o m´odulo do nu´mero complexo z = 3 + 4i. Como vimos: ?? |z| = ? = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 logo: |z| = ? = 5

Matema´tica C ? Aula 4 Forma Trigonom´etrica Com as de?nic¸o~es de m´odulo e argumento, podemos represen- tar os nu´meros complexos de outra forma, al´em da alg´ebrica, Assim, para o complexo z = x + yi, temos: x cos ? = ? x = ? cos ? ? e y sen ? = ? y = ? sen ? ? Como z = x + yi z = ? cos ? + i? sen ? De outra forma: z = ?(cos ? + i sen ?) A igualdade acima ´e denominada forma trigonom´etrica ou O nu´mero complexo z = 0, para o qual na~o ´e poss´?vel de- terminar o argumento ?, na~o pode ser escrito na forma trigo- Observe que, quando multiplicamos um nu´mero complexo por i, ele gira 90? no sentido anti-hor´ario, no plano complexo.

Pense um Pouco! · Existe alguma semelhanc¸a entre o plano complexo e o plano cartesiano? Quais?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFPA-PA) O nu´mero complexo z = x + (x2 - 4)i ´e real se, e somente se: a) x = 0 b) x = 0 c) x = ±2 d) x = ±2 e) x = 0 e x = 2 2. (UFRN-RN) Se z = 4 + 2i, enta~o z - 3z vale : a) 6 + i b) 1 + 8i c) -8 + 8i d) 1 - 8i e) 12 + 6i 3. (UFSE-SE) Se o nu´mero complexo z ´e tal que z = 3 - 2i, 2 enta~o (z) ´e igual a: a) 5 b) 5 - 6i c) 5 + 12i d) 9 + 4i e) 13 + 12i 4. Sendo i2 = -1, o valor de i58 + i85 ´e: a) 0 233

b) 1 + i c) -1 + i d) 1 - i e) -1 - i 5. (Sta Casa -SP) O valor de 2-i ´e igual a: 2+i a) 3 + 4 i 55 b) 2 - 4 i 33 c) 3 - 4 i 55 d) 3 - 4i e) 4 + 3i

Exerc´?cios Complementares 6. (PUC-SP) O conjugado do nu´mero complexo 1+3i ´e: 2-i a) (-1 - 7i)/5 b) (1 - i)/5 c) (1 + 2i)/7 d) (-1 + 7i)/5 e) (1 + i)/5 7. A soma S = i7 + i8 + i9 + . . . + i93 + i94 + i95 ´e: a) 1 b) i c) -1 d) -i e) 1 - i 8. (UFRG-RG) Efetuando as operac¸o~es indicadas na equac¸a~o 5-i - 4-3i , obtemos : 1+i 2+i a) 1 - i b) 1 + i c) -1 - i d) i e) -i 9. (U.C.SALVADOR-BA) Sejam os nu´meros x e y tais que 12 - x + (4 + y)i = y + xi. O conjugado do nu´mero complexo z = x + yi ´e: a) 4 + 8i b) 4 - 8i c) 8 + 4i d) 8 - 4i e) -8 - 4i 10. (FATEC-SP) Se i ´e a unidade imagin´aria e z = (2 - i)2/(1 + i), enta~o: a) z = (5 - 5i)/2 b) z = (7 - i)/2 c) z = (5 + 5i)/2 d) z = (7 + i)/2 e) z = (-5 - 5i)/2

Raz~oes e Propor¸c~oes Raz~ao A raza~o entre dois nu´meros a e b (com a e b reais e b = 0), nessa ordem, ´e o quociente a . O nu´mero a ´e chamado b antecedente e o nu´mero b ´e chamado consequ¨ente.

Exemplos 1. A raza~o entre 4 e 6 ´e: 42 = 63 2. A raza~o entre 2 m e 30 cm ´e: 2 m 200 cm 20 == 30 cm 30 cm 3 Observe que a raza~o deve ser calculada numa unidade co- mum, a ?m de ser cancelada. Finalmente, a raza~o obtida na~o depender´a da unidade escolhida, pois ´e adimensional.

Escala E´ a raza~o entre um comprimento no desenho e o correspon- dente comprimento real.

Exemplo Um edif´?cio tem 30 m de altura. Essa medida foi representada no projeto por 15 cm. Qual foi a escala usada nesse projeto?

comprimento no desenho 15 cm 15 cm == comprimento real 30 m 3000 cm E = 1 ou E = 1 : 200 100

Propor¸c~ao Os nu´meros a, b, c e d, com b e d na~o nulos (= 0, formam nessa ordem, uma proporc¸a~o se, e somente se, a raza~o entre a e b ´e igual a raza~o entre c e d. Ou seja: ac = bd Os nu´meros a e d sa~o chamados de extremos e os nu´meros b e c sa~o chamados de meios.

Propriedades I) O produto dos meios ´e igual ao produto dos extremos ac = ?a·d=b·c bd II) A soma dos dois primeiros termos esta´ para o segundo, a c a+b c+d =? = bdbd III) Cada antecedente esta´ para o seu consequ¨ente, assim como; a soma dos antecedentes esta´ para a soma dos con- a c a+c == b d b+d Grandezas Diretamente Proporcionais: (GDP) Uma grandeza A ´e diretamente proporcional a uma grandeza B, se, e somente se, as razo~es entre os valores de A e os cor- Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas diretamente proporcionais, enta~o a1 a2 a3 = = =...=k b1 b2 b3

Exemplo Se considerarmos a dist^ancia percorrida por um m´ovel com velocidade constante de 50 km/h viajando a 3 horas teremos a seguinte tabela : como 50 = 100 = 150 = 50, temos que 123

Dista^ncia (km) 50 100 150 tempo (h) 1 2 3 dist^ancia e tempo, neste exemplo, sa~o grandezas diretamente proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) Uma grandeza A ´e inversamente proporcional a uma grandeza B se, e somente se, os produtos entre os valores de A e os Se A = (a1, a2, a3, . . .) e B = (b1, b2, b3, . . .), forem grandezas inversamente proporcionais, enta~o: a1 · b1 = a2 · b2 = a3 · b3 = . . . = k

Exemplo Se considerarmos que a dist^ancia que separa duas cidades A e B ´e de 300 km e que um m´ovel viaja de A para B com uma certa velocidade, vamos observar pela tabela abaixo que o tempo gasto para percorrer essa dist^ancia varia conforme a velocidade do m´ovel.

Velocidade (km/h) 50 60 100 Tempo (h) 6 5 3

Temos que 50 · 6 = 60 · 5 = 100 · 3, logo as grandezas velo- cidade e tempo, neste exemplo, sa~o grandezas inversamente proporcionais.

Pense um Pouco! · Determine o valor de x nas proporc¸o~es: a) x = 9 46 b) 3x+2 = 24 2x-1 9 · Calcule o valor de x e y na proporc¸a~o x = 2 , sabendo que y5 x + y = 42.

Matema´tica C ? Aula 5 Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Determine m e n, sabendo que as sucess~oes num´ericas sa~o inversamente proporcionais: 3m9 12 4 n

2. Anto^nio, Jo~ao e Pedro trabalham na mesma ?rma ha´ 10, 4 e 6 anos, respectivamente. A ?rma distribuiu uma grati?cac¸a~o de R$ 80.000,00 entre os tr^es, em partes diretamente propor- cionais ao tempo de servic¸o de cada um. Quantos reais cada um ira´ receber?

3. Divida 210 em partes inversamente proporcionais a 1/2, Exerc´?cios Complementares

4. Represente a raza~o entre: a) 18 e 12 = b) 6 m e 4 m = c) 150 g e 2 kg = d) 750 litros e 1 m3 = e) 600 s e 1 hora = f) 8 km e 1600 m = 5. Um comprimento real de 25 m foi representado num dese- a) 1 : 250 b) 1 : 300 c) 1 : 150 d) 1 : 500 e) n. d. a.

6. A dist^ancia entre duas cidades, em linha reta, ´e 120 km e foi representada num mapa rodovia´rio por um segmento de a) 2 : 125 b) 1 : 120.000 c) 1 : 200.000 d) 1 : 12.000 e) n. d. a.

7. Em geral, num adulto, a altura da cabec¸a esta´ para a altura do restante do corpo, assim como 1 esta´ para 7. Quanto mede a) 1,54m b) 1,60m c) 1,76m d) 1,82m e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 5 235 Regras de Tr^es Simples e Composta Regra de Tr^es Simples Sendo a e b dois valores da grandeza A e, c e d os valores cor- respondentes da grandeza B, chama-se de regra de tr^es simples ao m´etodo pr´atico para determinar um desses quatro valores, sendo conhecidos os outros tr^es.

T´ecnica Operato´ria Conforme a de?nic¸a~o acima temos: GRANDEZA A GRANDEZA B ac bd

Se A e B forem grandezas diretamente proporcionais enta~o: abac =?= cdbd Se A e B forem grandezas inversamente proporcionais enta~o: ad a·c=b·d? = bc Exemplos 1. Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em 80 min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, em Temos um exemplo que envolve grandezas inversamente proporcionais, pois; ao aumentarmos a vaz~ao, o tempo necessa´rio para encher o mesmo tanque diminuira´. Com isso: 15 X 15 · 80 = 25 · X ? = ? X = 48 25 80 Logo, enchera´ o tanque em 48 min.

2. Um automo´vel percorre 132 km com 12 litros de com- bust´?vel. Quantos litros de combust´?vel sera~o necessa´rios Neste exemplo temos grandezas diretamente proporcio- nais, pois; aumentando a dist^ancia, tamb´em aumentara´ o consumo de combust´?vel. Com isso: 132 550 = ? 132 · x = 550 · 12 ? x = 50 12 x logo, sera~o necessa´rios 50 litros de combust´?vel.

[Regra de Tr^es Composta Chama-se regra de tr^es composta, ao m´etodo pr´atico empre- gado para resolver problemas que envolvem mais de duas gran- dezas, diretamente ou inversamente proporcionais.

Exemplo 3.1 Exerc´?cios Complementares Com 16 m´aquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 3 dias de trabalho. Quantas m´aquinas sera~o necessa´rias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias.

N o de Ma´quinas Uniformes Dias 16 720 3 x 2160 24 A grandeza N o de m´aquinas, onde esta´ a varia´vel deve ser comparada com as grandezas Uniformes e Dias. Assim temos que: 1. N o de m´aquinas e Uniformes sa~o grandezas diretamente proporcionais, pois mais m´aquinas produzem mais unifor- mes.

2. N o de m´aquinas e Dias sa~o grandezas inversamente pro- porcionais, pois, quanto maior o nu´mero de m´aquinas, menor o nu´mero de dias necessa´rios. Com isso 16 = x 2160 3

Pense um Pouco! · Se uma co´pia xerogra´?ca custa 9 centavos, quanto custou essa apostila (s´o o xerox)?

· Cite exemplos de onde voc^e j´a usou as regras de tr^es es- tudadas?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Na merenda escolar, 320 crianc¸as consumiram 1440 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite dever~ao ser consumidos a) 2500 b) 3600 c) 7200 d) 4440 e) n.d.a 2. Calcular a altura de uma torre que projeta uma sombra de 45 m, o mesmo instante em que uma ´arvore de 6 m de altura, a) 75m b) 90 m c) 55 m d) 70 m e) n.d.a 3. (PUC-MG)Uma pessoa viajando de automo´vel, com veloci- dade m´edia de 88 km/h, leva 5 horas para ir de Belo Horizonte Portanto, a velocidade m´edia, em km/h, ao retornar foi de: a) 93 b) 96 c) 100 d) 110 e) 120 4. Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de 12 oper´arios em 20 dias de trabalho de 8 horas di´arias. Se esse mesmo trabalho tivesse que ser feito em apenas 16 dias, com 16 oper´arios igualmente e?cientes, quantas horas por dia eles a) 7,5 h/d b) 6,0 h/d c) 8,5 h/d d) 9,0 h/d e) n.d.a 5. Em uma fabrica de refrigerante, uma m´aquina encheu 4000 garrafas em 8 dias, funcionando 8 horas por dia. Quantos dias s essa m´aquina levar´a, para encher 6000 garrafas, trabalhando a) 9 b) 5 c) 11 d) 6 e) n.d.a 6. Em um zool´ogico, a alimentac¸a~o de 15 animais durante 90 dias custa R$ 2.700,00. Qual sera´ o custo da alimentac¸a~o de a) R$ 900,00 b) R$ 750,00 c) R$ 600,00 d) R$ 450,00 e) n.d.a

Matem´atica C Aula 6 Juros e Porcentagens Juros Simples Juro ´e a importa^ncia cobrada por unidade de tempo, pelo empr´estimo de dinheiro, expressa como porcentagem da soma emprestada.

Noc¸~ao Intuitiva e Nomenclatura Usual Em ?A quantia de R$ 2.000,00, emprestada a 10% ao ano, O racioc´?nio ´e: Se o capital 100 produz 10 em um ano, enta~o o capital 2.000 Temos os seguintes dados: O Capital ´e C = 2.000 A Taxa ´e i = 10(em % ao ano) O tempo ´e t = 5(em anos) Os juros sa~o J = 600 Observac¸o~es: Denominamos juros simples aqueles que na~o sa~o somados ao capital, durante o tempo em que foi empregado.

Matema´tica C ? Aula 6 Se a taxa ?i?for referida ao ano, m^es, dia etc, o tempo ?t?tamb´em devera´ ser tomado correspondentemente em anos, Para efeito de ca´lculo o ano ´e considerado de 12 meses de 30 dias cada.

T´ecnica Operato´ria Os problemas envolvendo juros simples, na verdade sa~o de Re- gra de tr^es composta, que obedecem ao seguinte esquema;

Grandezas 100 . . . i . . . l C... j... t Interpretac¸~ao Se o capital 100 produz i em 1 ano, enta~o; o capital Quando resolvemos isolando ?j?, temos: C·i·t J= 100 Exemplos 1. Quanto rendera´ um capital de R$ 5.000,00 empregado `a taxa de 5% a.a, em regime de juros simples, durante 3 Temos: Substituindo os respectivos valores na f´ormula, temos: 5000 · 5 · 3 J = = 750 100 Assim, tera´ um rendimento de R$ 750, 00.

2. Calcular os juros de R$ 8.500,00 `a taxa de 36% a.a, du- Observe que a taxa esta´ expressa em anos, enquanto o tempo em meses. Como devemos trabalhar com as duas grandezas em unidades de tempos iguais, tomaremos o 12 Assim: 8500 · 36 · 6 8500 · 36 · 6 J = 12 ? J = = 1530 100 1200 Portanto, os juros sa~o de R$ 1.530,00.

3. Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 25.000,00 durante 2 meses e 15 dias, a uma taxa de Como na~o ha´ concorda^ncia entre a taxa e o tempo, deve- mos fazer algumas modi?cac¸o~es para que possamos resol- ver o problema. Faremos as seguintes transformac¸o~es: 2 meses e 15 dias correspondem a 75 dias, ou enta~o: 75 360 anos. Ainda; a taxa 1% ao m^es, corresponde a 1% vezes Aplicando a f´ormula, temos: 2500 · 12 · 75 2500 · 12 · 75 J = 360 = = 625 100 36000 Logo, os juros produzidos sa~o de R$ 625,00.

237 Porcentagem Comumente usamos expresso~es que re?etem acr´escimos ou reduc¸o~es em prec¸os, nu´meros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades.

Exemplos Signi?ca que em cada R$ 100,00 haver´a um acr´escimo de R$ 10,00.

2. Numa pesquisa de intenc¸a~o de votos, o candidato A apa- rece em 2o lugar, com 25% da prefer^encia dos eleitores, ao Quer dizer que; em m´edia, a cada 100 pessoas que foram entrevistadas, 25 preferem o candidato A.

Raz~ao Centesimal Toda a raza~o que tem por denominador o nu´mero 100 denomina-se raz~ao centesimal.

Exemplos a) 25 = 25% (l^e-se: 25 por cento) 100 b) 47 = 47% (l^e-se: 47 por cento) 100 c) 125 = 125% (l^e-se:125 por cento) 100 Chamamos as expresso~es 25% ; 47% ; 9% de taxas centesi- Porcentagem ´e o valor obtido ao aplicarmos uma taxa per- centual a um determinado valor. Dessa forma; podemos resol- ves problemas de porcentagem, utilizando taxas percentuais.

Exemplos 1. Um jogador de voleibol efetuou 25 ?nalizac¸o~es no decor- 80 80% de 25 = · 25 = 20 100 Logo, ele obteve 20 sucessos.

2. Um investidor comprou um lote de ac¸o~es por R$ 1.500,00 e as revendeu um m^es depois, por R$ 2.100,00. Qual foi Para resolver o problema, vamos montar um esquema em que somaremos o percentual de lucro obtido, aos R$ 1.500,00 investidos inicialmente, chegando assim ao valor 1.500 + x · 1.500 = 2.100 100 15x = 2.100 - 1.500 x = 600 ? x = 40 15

Fator de Multiplica¸c~ao Quando um dado valor sofre um acr´escimo percentual, pode- mos incorporar tal acr´escimo, obtendo assim o que chamamos de ?fator de multiplicac¸~ao?.

Exemplo Exerc´?cios de Aplica¸c~ao Um valor que sofre um aumento de 25%, tera´ um fator de multiplicac¸a~o igual a 1, 25, pois: 100% + 25% = 125%, ou seja: 125% = 125 = 1, 25 100 Da mesma forma, podemos estender esse racioc´?nio para outros valores, como mostra a tabela abaixo: Lucro ou Acr´escimo Fator de Multiplicac¸a~o 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67

Exemplo Quanto passar´a a receber um funcion´ario, que tem um sala´rio Para chegarmos ao valor do novo sala´rio, basta que usemos um fator multiplicativo igual a 1,35 sobre o valor atual, assim: 950 · 1, 35 = 1.282, 50 Para os casos em que ocorrem decr´escimos, o fator de multi- plicac¸a~o sera´ dado por: Fator de Multiplicac¸a~o = 1 - taxa de desconto (na forma deci- Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicac¸a~o 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10

Exemplo Qual sera´ o valor do desconto de um produto, que custa R$ 350,00 , mas que em promoc¸a~o ´e vendido por 22% abaixo do Nesse caso, o fator de multiplicac¸a~o ´e: Fator = 1 - 0,22 = 0,78 Assim 350 · 0, 78 = 273 Portanto, quando descontados 22%, o produto passa a custar R$ 273,00.

Pense um Pouco! · Tomando-se uma quantidade inicial X e adicionando-se Se tomarmos agora o valor X ? e descontarmos o mesmo percentual p obteremos o valor X ? Discuta.

1. Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve- a) 1350 b) 1300 c) 1250 d) 1200 e) n.d.a 2. Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorizac¸a~o (acr´escimo) de 10% sobre o seu prec¸o. Quanto ele passou a a) 12.400,00 b) 13.200,00 c) 13.800,00 d) 14.600,00 e) n.d.a 3. Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gr´a?ca. No per´?odo de um m^es, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o prec¸o de a) 5 b) 10 c) 6 d) 11 e) n.d.a

Matema´tica C ? Aula 7 c) 1 d) 0,1 e) n.d.a Matem´atica C Aula 7

An´alise Combinat´oria Princ´?pio Fundamental da Contagem O princ´?pio fundamental da contagem nos mostra um m´etodo alg´ebrico, para determinar o nu´mero de possibilidades de ocorr^encia de um acontecimento, sem precisarmos descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento pode ocorrer por v´arias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: p ´e o no de possibilidades da 1a etapa 1 p ´e o no de possibilidades da 2a etapa 2 .

pn ´e o no de possibilidades da n-´esima etapa Enta~o, o nu´mero total P de possibilidades do acontecimento ocorrer ´e dado por: P = p1 × p2 × p3 × . . . × pn

Exemplos 1) Quantas placas (distintas) de automo´veis, podera~o ser emi- O atual sistema de emplacamento de automo´veis no Brasil utiliza tr^es letras e quatro algarismos. No novo alfabeto sa~o Logo o nu´mero de possibilidades sera´ : P = 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175.760.000 2) Obtenha o total de linhas telef^onicas que podem ser insta- ladas, com o pre?xo 436: Para resolver este problema, ´e preciso escolher um algarismo para a casa das milhares, outro para as centenas, outro para as dezenas e um outro para as unidades. Os algarismos a serem utilizados em cada uma das casas, podem ser escolhidos entre Como cada uma das casas podem ser preenchidas com um dos 10 algarismos acima, temos que: O total de linhas poss´?veis com o pre?xo 436 ´e o produto das possibilidades que se tem para preencher cada uma das casas. Logo: As linhas podem ter nu´meros no formato 436-ABCD, onde os quatro d´?gitos ABCD de 0 a 9 indicam que podemos ter nu´meros de 0000 a 9999, ou seja, 10 mil linhas diferentes. Ou, de outro modo: P = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000 3) Quantos nu´meros ´?mpares de 3 algarismos distintos, sa~o Ao iniciar a resoluc¸a~o de um problema de ana´lise combinat´oria, ´e aconselha´vel que se fac¸a alguns grupos dos quais queremos calcular o total. No caso do nosso atual problema, veja alguns exemplos de nu´meros ´?mpares de 3 algarismos distintos: 347, 239

815, 135, 451,etc. Note que o nu´mero 533 na~o nos serve, pois houve repetic¸a~o do algarismo 3; o nu´mero 534 tamb´em na~o serve, pois ´e par. Um outro ponto importante ´e, por onde comec¸ar a resolver o problema. Procure sempre atacar o pro- blema, por onde houver um maior nu´mero de restric¸o~es. Veja: centena dezenas unidades Em nosso caso, temos a restric¸a~o de que os nu´meros devem ser Logo, para a casa das unidades, temos 4 possibilidades (1,3,5,7). A seguir, vamos analisar a casa das centenas, na qual; podemos usar qualquer um do 6 algarismos dados pelo problema, por´em eliminando-se um deles (aquele que estiver na casa das unidades), j´a que na~o pode haver repetic¸a~o. Portanto, temos para a casa das centenas 5 possibilidades. Finalmente, analisando a casa das dezenas, conclu´?mos que restaram 4 pos- sibilidades, pois: na~o podemos repetir o algarismo que estiver Portanto: O total de possibilidades ´e: P = 5 × 4 × 4 = 80, o que da´ um total de 80 nu´meros.

Fatorial Sendo n um nu´mero natural, de?ne-se fatorial de n, e indica-se ?n!?`a expressa~o n! = n × (n - 1) × (n - 2) × . . . × 3 × 2 × 1

Propriedade Para ?ns de ca´lculo, de?ne-se que: 0! = 1 1! = 1 Observe que: fatorial ´e uma de?nic¸a~o por recorr^encia, ou seja: Assim: 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 n! = n · (n - 1) · (n - 2) · · · 3 · 2 · 1

Exemplos 10! 10 × 9 × 8! = = 90 8! 8! (x + 3)! (x + 3)(x + 2)(x + 1)! = = (x+3)(x+2) = x2+5x+6 (x + 1)! (x + 1)!

Pense um Pouco! · De quantas formas diferentes pode resultar o lanc¸amento de dois dados simulta^neos?

· Quantos nu´meros pares se pode formar com os algarismos Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

1. O resultado de 22!8! 11!19! ´e: a) 25 b) 28/3 c) 31/7 d) 15 e) n.d.a 2. Numa eleic¸a~o de uma empresa, ha´ 4 candidatos a presi- a) 120 b) 180 c) 150 d) 210 e) n.d.a 3. Simpli?que as expresso~es: a) (x + 5)!/(x + 3)! b) (3x + 1)!/(3x - 1)! 4. (Mack-SP) Quantos nu´meros de 5 d´?gitos podem ser escritos com os algarismos {1, 2, 3, 4}, sem que aparec¸am algarismos a) 20 b) 32 c) 40 d) 120 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 5. Sobre uma circunfer^encia marcam-se 6 pontos, igualmente espac¸ados. Quantas retas eles determinam: a) 21 b) 16 c) 5 d) 12 e) n.d.a.

6. (Saem) A quantidade de nu´meros que podemos formar com os algarismos {3, 4, 5, 6}, sem repeti-los, maiores que 4000, ´e: a) 64 b) 09 c) 06 d) 18 e) n.d.a 7. Quantos carros podem ser licenciados, se cada placa cont´em a) 125.000 b) 110.000 c) 95.000 d) 154.000 e) n.d.a 8. Resolvendo a equac¸a~o, (x + 3)!/(x + 1)! = 12, temos que: a) x = 0 b) x = 1 c) x = 2 d) x = 3 e) n.d.a 9. (Ufes) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar t´erreo, 5 escadas rolantes ligando o t´erreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o se- gundo pavimento. De quantas maneias diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo a) 25 b) 30 c) 45 d) 125 e) n.d.a 10. (Puc-SP) Chamam-se pol´?ndromos os nu´meros inteiros que na~o se alteram quando ´e invertida a ordem de seus alga- rismos (por exemplo: 383, 4224, 74847). O nu´mero total de pol´?ndromos de cinco algarismos ´e: a) 900 b) 780 c) 560 d) 640 e) n.d.a

Matem´atica C Aula 8 Arranjo, Combina¸c~ao e Permuta¸c~ao Arranjos Simples Arranjo simples ´e o tipo de agrupamento sem repetic¸a~o em que um grupo ´e diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O nu´mero de arranjos simples de n elementos em grupos de p elementos ´e dado por: n! An,p = (n - p)! Esta f´ormula mostra que os arranjos dos n elementos tomados p a p podem ser escritos utilizando-se fatoriais.

Matema´tica C ? Aula 8 devem obrigatoriamente terminar em 5, logo, dos 6 algarismos que t´?nhamos para trabalhar nos restam 5, dos quais vamos tomar 3 a 3. Se tomarmos uma das poss´?veis respostas, por exemplo 2345 e invertermos a ordem dos seus elementos tere- mos o nu´mero 4325, que ´e outra resposta do problema. Logo o problema proposto ´e de arranjos simples. Com isso temos que: 5! 5 · 4 · 3 · 2! A5,3 = = = 60 (5 - 3)! 2!

Combina¸c~oes Simples Combinac¸a~o simples ´e o tipo de agrupamento, sem repetic¸a~o em que um grupo ´e diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes. O nu´mero de combinac¸o~es de n elementos de grupos de p elementos ´e igual ao nu´mero de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto ´e: An,p n! Cn,p = = p! p!(n - p)! Exemplos 1) Quantas comisso~es constitu´?das de 3 pessoas podem ser for- As comisso~es formadas devem Ter 3 pessoas, por exemplo A , B e C. Invertendo-se a ordem destas pessoas, obtemos a mesma comissa~o. Portanto, o problema ´e de combinac¸a~o.

5! 5 · 4 · 3! C5,3 = = = 10 3!2! 3!2! 2) Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela `a primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos tria^ngulos Se tomarmos os tr^es pontos sobre a mesma reta, na~o forma- remos um tria^ngulo, com isso, o total de tria^ngulos obtidos ´e dado por C13,3 - C8,3 - C5,3 = 286 - 56 - 10 = 220

Permuta¸c~oes Simples Permutac¸o~es simples ´e o tipo de agrupamento ordenado, sem O nu´mero de permutac¸o~es simples que se pode formar com n elementos ´e igual ao fatorial de n, ou seja: Pn = n!

Exemplos 1) Quantos nu´meros de 5 algarismos distintos podem ser for- Como usaremos todos os algarismos dados, em cada resposta do problema, temos agrupamentos do tipo permutac¸o~es sim- ples, logo o nu´mero de algarismos ´e igual a P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

241 Qualquer ordenac¸a~o das letras de uma palavra ´e denominada anagrama. Como a palavra MITO tem 4 letras, temos: P4 = 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

Pense um Pouco! · Se houverem elementos repetidos num conjunto, qual o nu´mero de permutac¸o~es diferentes poss´?veis? Exemplo: quantos anagramas tem a palavra MARIA?

7. Quantos nu´meros de 7 algarismos distintos podem ser for- a) 5040 b) 3640 c) 2320 d) 720 e) n.d.a 8. Quantos sa~o os nu´meros compreendidos entre 2.000 e 3.000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, a) 210 b) 175 c) 336 d) 218 e) n.d.a

Exerc´?cios Complementares 9. Quantas comisso~es com 6 membros podemos formar com a) 210 b) 120 c) 75 d) 144 e) n.d.a 10. Uma empresa ´e formada por 6 so´cios brasileiros e 4 japo- neses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 a) 10 b) 15 c) 6 d) 12 e) n.d.a 11. (PUC-SP) Numa sala ha´ 5 lugares e 7 pessoas. De quantos modos diferentes essas pessoas podem ser colocadas, ?cando 5 a) 5.040 b) 21 c) 120 d) 2.520 e) n.d.a.

12. Quantos anagramas da palavra EDITORA, comec¸am com a) 120 b) 720 c) 840 d) 24 e) n.d.a 13. (UFCE) A quantidade de nu´meros pares de 4 algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 5, 7, 8 e 9 ´e: a) 20 b) 60 c) 240 d) 360 e) n.d.a.

14. (Aman-RJ) As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 so´cios de uma empresa sa~o: a) 5.040 b) 40 c) 2 d) 210 e) n.d.a.

15. (UFPA-PA) Quantos sa~o os anagramas da palavra BRA- a) 24 b) 120 c) 720 d) 240 e) 1.440 16. (UEMT) Sobre uma circunfer^encia marcam-se 7 pontos, distintos 2 a 2. Calcule o nu´mero de tria^ngulos que podemos a) 3 b) 7 c) 30 d) 35 e) 210

Matem´atica C Aula 9 Bin^omio de Newton Nu´meros Binomiais Nu´meros Binomiais: Dados dois nu´meros naturais, n e p, cha- mamos nu´mero binomial, ao par de valores: n p Chamamos n de numerador e p de denominador do nu´mero binomial, onde n n! = p p!(n - p)! Consequ¨^encias da de?nic¸a~o: n a) = 1, ?ninN 0 n b) = n, ?ninN 1 n c) = 1, ?ninN n

Matema´tica C ? Aula 9 Nu´meros Binomiais Complementares Dois nu´meros binomiais sa~o chamados complementares quando possuem o mesmo numerador e a soma dos denomina- pk

Exemplo Os nu´meros binomiais 7 e 7 sa~o complementares, pois 25 2 + 5 = 7.

Propriedade Tri^angulo de Pascal Os nu´meros binomiais podem ser agrupados ordenada- mente em um quadro denominado Tria^ngulo de Pascal: 0 0

11 01 222 012 3333 0123 44444 01234 Observac¸o~es Importantes · Os nu´meros binomiais de mesmo numerador esta~o coloca- dos na mesma linha;

· Os nu´meros binomiais de mesmo denominador esta~o co- · Se no tria^ngulo de Pascal substituirmos cada binomial pelo respectivo valor, obteremos:

1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 Propriedades do Tri^angulo de Pascal 1. Todos os elementos da 1a. coluna sa~o iguais a 1;

3. Numa linha qualquer, os nu´meros equ¨idistantes dos extre- mos sa~o iguais;

4. A soma dos nu´meros binomiais de uma mesma linha ´e uma pot^encia de base 2 cujo expoente ´e a ordem da linha (numerador);

243 5. Cada binomial da linha n ´e igual a soma de dois binomiais da linha (n - 1): aquele que esta´ na mesma coluna com aquele que esta´ na coluna anterior.

EXERC´ICIOS 1) Calcule: 8 + 8 + 8 + . . . + 8 012 8

2) Calcule n, sabendo que n + n + n + . . . + n = 256 012n

3) Calcule o valor de 8 9 p=2 p F´ormula do Bin^omio de Newton (x + a)n = n xna0 + n xn-1a1 + n xn-2a2+ 012 + . . . + n x0an n

Observac¸~ao · No desenvolvimento do bin^omio (x + a)n, os termos sa~o todos positivos;

· No desenvolvimento do bin^omio (x-a)n, os sinais de cada termo do desenvolvimento sa~o alternados, isto ´e, os termos de ordem ´?mpar (1, 3, 5, . . .) sa~o positivos e os de ordem par (2, 4, 6, . . .) sa~o negativos.

Exemplos resolvidos 1) Desenvolver o bin^omio (x + 3)4: 44444 x430 + x341 + x242 + xa3 + a4 01234 logo (x + 3)4 = x4 + 12x3 + 54x2 + 108x + 81 2) Desenvolver o bin^omio (a - 2b)5:

1·a5·1-5·a4·2b+10·a3·4b2-10·a2·8b3+5·a·16b4-1·1·32b5 e ?nalmente podemos escrever (a - 2b)5 = a5 - 10a4b + 40a3b2 - 80a2b3 + 80ab4 - 32b5

Soma dos Coe?cientes Binomiais A soma dos coe?cientes num´ericos do desenvolvimento de (ax± by)n, com a e b constantes, se obt´em fazendo x = y = 1. A soma vale, portanto

(a ± b)n F´ormula do Termo Geral Para determinar um termo qualquer de ordem (p + 1) no de- senvolvimento de um bino^mio do tipo (x + a)n, temos:

n Tp+1 = apxn-p p O termo geral no desenvolvimento de (x - a)n, ´e dado pela expressa~o:

n Tp+1 = (-1)p apxn-p p Exemplos Resoluc¸a~o: Para o quarto termo, temos que p + 1 = 4, logo p = 3. Assim:

7 T4 = T3+1 = a3x7-3 = 35 · 8 · x4 = 280x4 3 No desenvolvimento do bin^omio (2x - 3)6, teremos um total de 7 termos. Com isso o termo m´edio sera´ o 4o termo. Logo temos:

6 T4 = T3+1 = (-1)3 33(2x)6-3 = (-1) · 20 · 27 · 8x3 3

logo o termo procurado sera´ T4 = -4.320x3 Pense um Pouco! · O que devemos fazer para encontrarmos o termo indepen- dente de x, no desenvolvimento de um bin^omio?

· O que ocorrer´a com os termos do desenvolvimento de um bin^omio (x + a)n, se invertermos as posic¸o~es do primeiro e do segundo termo, ou seja (a + x)n?

· Por que alguns desenvolvimentos de nu´meros binomiais Exerc´?cios de Aplica¸c~ao

2. Calcule o quarto termo no desenvolvimento de (x-3 - 4. Encontre o termo independente de x no desenvolvimento de (2x-3 - 2x4)7.

5. Determine a soma dos coe?cientes dos termos do desenvol- Exerc´?cios Complementares

6. (UFPA-PA) Qual o valor do termo m´edio do desenvolvi- a) 70 · x4y4 b) 70 · 16 · 81 · x4y4 c) 70 · 16 · 81 · x5y4 d) 70 · 16 · 81 · x4y5 e) 70 · 16 · 81 · x5y5 7. (Santo Andr´e-SP) O termo independente de x no desenvol- vimento de (2x-2 - 3x)6 ´e o: a) 2o b) 3o c) 4o d) 5o e) 6o 8. (UFRN-RN) A expressa~o 7 + 7 - 35 ´e igual a : 34 a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 9. A soma dos valores que x pode assumir na igualdade 13 = 13 ´e: 2x-3 x+1 a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 ? 10. O quarto termo do desenvolvimento (x + y)6 ´e: a) 6x3?y b) 15x4y ? c) 20x3y y d) 6x6y3 e) n. d. a.

Matema´tica C ? Aula 10 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Matem´atica C Aula 10

Probabilidade Espa¸cos Amostrais Equiprov´aveis Finitos Dado um experimento aleato´rio, no qual cada resultado tenha as mesmas chances de ocorrer que os demais. Seja U o conjunto de todos os eventos poss´?veis como resultado do experimento e seja E o conjunto dos resultados que nos interessam, de?nimos a probabilidade do(s) evento(s) E como sendo: Nu´mero de resultados favor´aveis P (E) = Nu´mero de resultados poss´?veis Se o experimento for repetido N vezes, esperamos que a frac¸a~o de sucessos seja dada por P (E), no limite onde N ? ?.

Interpreta¸c~ao Gr´a?ca Podemos usar os diagramas de Venn para facilitar a visua- lizac¸a~o e at´e a soluc¸a~o de muitos problemas sobre o ca´lculo de probabilidades.

E U No gr´a?co, U ´e o conjunto de todos os resultados poss´?veis (espac¸o amostral) e E ´e o conjunto dos resultados favor´aveis (os eventos de sucesso).

Exerc´?cios Resolvidos 1. No lanc¸amento de um dado na~o viciado, qual a probabili- Resoluc¸a~o: Neste caso temos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e E = {2, 3, 5}, pois estes sa~o os nu´meros primos entre 1 e 6. Enta~o: 31 P (E) = = 62 Observe que nesse caso o dado se comporta como se fosse uma 245

moeda, onde se quisesse tirar por sorteio uma determinada 2. Entre seis pessoas A, B, C, D, E e F, quatro sa~o escolhidas para formar uma comissa~o. Qual a probabilidade de A e B Resoluc¸a~o: Primeiramente, vamos determinar o total de comisso~es que se pode formar com quatro elementos: 6! C6,4 = = 15 4!2! que ´e o nu´mero de resultados poss´?veis do conjunto universo Agora, vamos determinar o nu´mero de vezes que A e B com- parecem nas comisso~es com quatro elementos, ou seja, 4! C4,2 = = 6 2!2! Finalmente, a probabilidade de A e B pertencerem `a comissa~o ´e dada por: 62 P (E) = = = 0, 40 = 40% 15 5 Eventos Complementares A Probabilidade de na~o ocorrer um evento pode ser determi- Seja E, um evento em um experimento aleato´rio. A probabi- lidade de na~o ocorrer o evento E, isto ´e, a probabilidade de ocorrer o evento E, complementar de E, ´e dado por: P ( E) = 1 - P (E)

- a probabilidade de se obter as 6 coroas sucessivas ´e pequena (1/64), ou seja, ´e grande a probabilidade de isso na~o ocorrer - esta mesma experi^encia pode ser feita com seis moedas 2. Ao se retirar uma bola de uma urna que cont´em tr^es bolas brancas b1, b2, b3, numeradas de 1 a 3 e cinco bolas pretas p1, p2, p3, p4, p5, numeradas de 1 a 5. Qual a probabilidade de que essa bola na~o seja preta e nem de nu´mero par, ao mesmo tempo: Resoluc¸a~o: Neste caso U = {b1, b2, b3, p1, p2, p3, p4, p5} e E = {p2, p4), enta~o a probabilidade complementar, de se tirar uma bola preta de nu´mero par sera´: 21 P ( E) = = 84 e como: 3 P (E) = 1 - P ( E) = 4 esta sera´ a probabilidade de se tirar uma bola na~o preta e na~o par, simultaneamente.

Pense um Pouco! · Em alguns jogos com dado o jogador pode avisar ?vale o debaixo?, querendo dizer que o nu´mero tirado sera´ o da face que cair voltada para baixo. Se um jogador usar desse artif´?cio, antes de jogar o dado, mudam suas chances no jogo?

· Acertar 5 nu´meros num cart~ao com 50 nu´meros, como nos jogos de loto ´e realmente muito dif´?cil, mas se marca´ssemos no cart~ao 45 nu´meros e fossem sorteados, na~o 5, mas 45 nu´meros. Melhoraria a nossa chance?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Joga-se um dado ?honesto?de seis faces e l^e-se o nu´mero da face voltada para cima. Calcular probabilidade de se obter: a) O nu´mero 5 b) Um nu´mero ´?mpar c) Um nu´mero maior que 4 d) Um nu´mero menor que 8 e) Um nu´mero maior que 6 2. Retirando-se uma carta de um baralho comum, de 52 cartas, qual ´e a probabilidade de se obter uma carta de copas?

3. Qual o ?espac¸o amostral?ou ?conjunto universo?U nos se- guintes feno^menos aleato´rios: a) lanc¸amento de duas moedas b) lanc¸amento de dois dados c) lanc¸amento de uma moeda e um dado d) embaralhar os 8 bits de um byte e) embaralhar as letras da palavra ?PROVA?

Exerc´?cios Complementares 4. (CESGRANRIO) Os 240 cart~oes de um conjunto, sa~o nu- merados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um cart~ao desse conjunto, a probabilidade de obter um carta~o numerado com um mu´ltiplo de 13 ´e: a) 3/240 b) 3/40 c) 1/26 d) 1/13 e) 1/6

5. (MACK) Num grupo de 10 pessoas esta~o X e Y . Escolhidas ao acaso 5 pessoas do grupo, a probabilidade de X e Y serem escolhidas ´e: a) 1/5 b) 1/10 c) 2/9 d) 5/9 e) 9/10

6. (MARINGA´ ) Um nu´mero ´e escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o nu´mero escolhido ser primo ou quadrado perfeito ´e: a) 1/5 b) 2/25 c) 4/25 d) 2/5 e) 3/5

7. (CESGRANRIO) Um pr´edio de tr^es andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas tr^es apartamentos ocu- pados. A probabilidade de que cada um dos tr^es andares tenha exatamente um apartamento ocupado ´e: a) 1/2 b) 2/5 c) 4/5 d) 1/5 e) 3/8

8. (MOGI DAS CRUZES) Jogamos dois dados. A probabili- dade de obtermos pontos iguais nos dois ´e: a) 1/3 b) 5/36 c) 1/36 d) 1/6 e) 7/36

9. (LORENA) Uma urna cont´em 4 bolas vermelhas numera- das de 1 a 4; tr^es bolas azuis numeradas de 1 a 3 e tr^es bolas brancas numeradas de 1 a 3. Retiramos uma u´nica bola. Qual a) 3/10 b) 2/5 c) 3/5 d) 2/10 e) n. d. a.

Matema´tica C ? Aula 11 Inequa¸c~oes Inequa¸c~oes do Primeiro Grau Relacionadas com as equac¸o~es de 1o grau, temos as desigualda- des de primeiro grau (ou inequac¸o~es), que sa~o expresso~es ma- tema´ticas em que os termos esta~o ligados por um dos quatro <>?? sinais: menor maior menor ou igual maior ou igual Nas inequac¸o~es, deseja-se obter um conjunto de todas os poss´?veis valores que pode assumir uma ou mais inco´gnitas Uma propriedade importante das inequac¸o~es ´e: a > b ?? -a < -b Ou seja, multiplicando-se ou dividindo-se uma desigualdade por um nu´mero negativo ?inverte-se o sentido?da desigual- dade.

Exemplo Resolvido Resoluc¸a~o: 3x + 6 > 5x - 4 3x - 5x > -4 - 6 -2x > -10 e multiplicando-se por -1 2x < 10 ?nalmente x<5 ou seja, existe um conjunto in?nito de valores (intervalo) que Gra?camente: 05x

A ?gura representa gra?camente o intervalo de soluc¸a~o obtido: S = {x ? R | /x < 5} Inequa¸c~ao-Produto Sendo f (x) e g(x) duas func¸o~es da varia´vel x, as inequac¸o~es: f (x) · g(x) > 0 f (x) · g(x) < 0 f (x) · g(x) ? 0 f (x) · g(x) ? 0 sa~o denominadas inequac¸o~es-produto.

Exerc´?cio Resolvido Resolver a inequac¸a~o: (2x - 1)(x + 4) > 0 Resoluc¸a~o: Para resolver essa inequac¸a~o, vamos analisar as duas possibi- lidades em que (2x - 1)(x + 4) > 0, ou seja: 247

1a)2x - 1 > 0 e x + 4 > 0 a) 2x - 1 > 0 =? x > 1/2 b) x + 4 > 0 =? x > -4 a) e b) simultaneamente nos da´ que a soluc¸a~o ´e x > 1/2 Sa 0 1/2 x Sb -4 0 x Sa 0 1/2 x Sb

2a) 2x - 1 < 0 e x + 4 < 0 a) 2x - 1 < 0 =? x < 1/2 b) x + 4 < 0 =? x < -4 a) e b) simultaneamente nos da´ que a soluc¸a~o ´e x < -4 S´a 0 1/2 x S´b -4 0 x S´a -4 0 x S´b

Portanto o conjunto soluc¸a~o da inequac¸a~o ´e a uni~ao das soluc¸o~es obtidas:

1 S = {x ? R | x < -4 ou x > } 2 Podemos, entretanto, resolver este problema com o seguinte quadro de sinais no qual estudamos nas primeiras linhas o sinal de cada um dos fatores e na u´ltima linha, o sinal do produto: f(x) 0 1/2 x g(x) -4 0 x f(x)g(x) -4 0 1/2 x

Observe que os valores x = -4 e x = 1/2 que anulam o produto na~o veri?cam a inequac¸a~o e esse fato foi indicado por ???(bola vazia), usado para representar o intervalo aberto.

Inequa¸c~oes-Quociente Sendo f (x) e g(x) duas func¸o~es da varia´vel x, as inequac¸o~es: f (x) ÷ g(x) > 0 f (x) ÷ g(x) < 0 f (x) ÷ g(x) ? 0 f (x) ÷ g(x) ? 0 Notando que as regras de sinais do produto e do quociente para nu´meros reais, sa~o ana´logas, por exemplo: f (x) > 0 ?? f (x) · g(x) > 0 g(x) f (x) ??? f (x) · g(x) ? 0 g(x) esta u´ltima para g(x) = 0 Isso signi?ca que, na resoluc¸a~o de uma inequac¸a~o-quociente, podemos usar o mesmo quadro de sinais, empregado na ine- quac¸a~o-produto.

Exerc´?cio Resolvido Resolva a inequac¸a~o: (x + 3)(1 - x) ?0 (x - 2) Resoluc¸a~o: Vamos chamar de f (x) = x + 3, g(x) = 1 - x e h(x) = x - 2 e analisar os sinais individuais de cada func¸a~o:

f(x) -3 x g(x) 1x h(x) 2x f(x)g(x) h(x) -3 1 2 x

Inequa¸c~oes do Segundo Grau As desigualdades ax2+bx+c > 0, ax2+bx+c < 0, ax2+bx+c ? 0 e ax2 + bx + c ? 0, com a = 0 sa~o chamadas inequac¸o~es do Para resolvermos essas inequac¸o~es, devemos estudar a variac¸a~o Seja a func¸a~o f : R ? R dada por f (x) = ax2 + bx + c, com Seu gr´a?co ´e uma para´bola que se comporta conforme a tabela abaixo: >0 =0 <0 a>0 x x x a<0 x x x

Exerc´?cios Resolvidos 1. Resolva a inequac¸a~o do 2o grau: -x2 + 5x - 6 > 0 Resoluc¸a~o: Para resolver a inequac¸a~o acima, devemos determinar os va- lores de x para os quais a func¸a~o f (x) = -x2 + 5x - 6 tem Como a = -1 e = (+5) - 4 · (-1) · 6 = +1 > 0 e as ra´?zes de f (x) sa~o: x? = 2 e x?? = 3 temos o gr´a?co: Y

23X Como devemos ter y > 0, os valores de x sa~o: S = {x ? R | 2 < 2. Resolva o sistema de inequac¸o~es do 2o grau.

2x2 - 18 < 0 -x2 + 5x - 4 ? 0 Resoluc¸a~o: Para resolvermos o sistema de inequac¸o~es acima, vamos anali- sar cada uma das inequac¸o~es, separadamente. Assim: a) 2x2 - 18 < 0 Temos a = 2 e = 0 - 4 · 2 · (-18) = 144 > 0, e as ra´?zes: b) -x2 + 5x - 4 ? 0 Neste caso a = -1 e = 5 - 4 · (-1) · (-4) = 9 > 0, com ra´?zes: x? = +1 e x? = +4 c) Finalmente, a soluc¸a~o geral do sistema ´e obtida pela inter- secc¸a~o dos intervalos-soluc¸a~o obtidos: S = Sa ? §b = {x ? R | 1 ? x < 3}.

Inequa¸c~oes Exponenciais Denomina-se inequac¸~ao exponencial, `aquela que apresenta uma inco´gnita no expoente. Como por exemplo: 3x > 81

52x - 6 · 5x + 5 < 0 8x2 ? 16 Importante · Quando a > 0, a func¸a~o exponencial f (x) = ax ´e cres- cente, isto ´e:

ax1 > ax2 ?? x1 > x2 · Quando 0 < a < 1, a func¸a~o exponencial f (x) = ax ´e decrescente, isto ´e:

Matema´tica C ? Aula 11 Exerc´?cios Resolvidos Resolva as equac¸o~es exponenciais: a) 4x > 1/4 Resoluc¸a~o: Devemos procurar obter desigualdades de pot^encias de mesma 1 4x > ?? 4x > 4-1 4 Como a base ´e maior do que 1, vem: x > -1

e S = {x ? R | x > -1} b) (1/2)2x < (1/2)3x-1 Resoluc¸a~o: Como a base esta´ compreendida entre 0 e 1, temos que ter: 2x > 3x - 1 -x > -1 e enta~o x<1 logo S = {x ? R | x < 1} Inequa¸c~oes Modulares Notemos que se a > 0, valem as seguintes propriedades: 1. |x| > a ?? x < -a ou x > a -a 0 a x

2. |x| < a ?? -a < x < a -a 0 a x

Exerc´?cio Resolvido Resolva a inequac¸a~o: |3x - 4| < 2 Resoluc¸a~o: De acordo com a propriedade 2 vista acima, temos: |3x - 4| < 2 ? -2 < 3x - 4 < 2 ou seja, temos de resolver o sistema de inequac¸o~es -2 < 3x - 4 ? x > 2/3 3x - 4 < 2 ? x < 2 Fazendo a intersecc¸a~o dos intervalos de soluc¸a~o, vem: 2 S = {x ? R | < x < 2} 3 249

Pense um Pouco! · E´ poss´?vel se ter um sistema de inequac¸o~es cujo conjunto soluc¸a~o seja ?? Explique.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. A soluc¸a~o da inequac¸a~o (2x + 3)/(x + 2) ? 1 ´e: a) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 ? x < 2} b) S = {x ? R | 1 ? x < 2} c) S = {x ? R | x < -3 ou x > 2} d) S = {x ? R | x < -2 ou x ? 1} 2) O conjunto soluc¸a~o do sistema de inequac¸o~es x2 - 5x + 6 ? 0 2x2 - 8x > 0 ´e: f) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 ? x < 2} g) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 ? x ? 2} h) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 < x < 2} i) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 < x < 2} j) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 2. (VUNESP) Quantos nu´meros inteiros satisfazem a ine- quac¸a~o: x2 - 6x + 8 < 0 a) nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 3. Resolvendo, em R, a inequac¸a~o: x - 4 5x - 1 3 -? 344 temos que: a) S = {x ? R | x < -2} b) S = {x ? R | x > -2} c) S = {x ? R | x ? -2} d) S = {x ? R | x ? -2} e) n. d. a.

temos que: a) S = {x ? R | x ? -3 ou 1 ? x < 2} b) S = {x ? R | x < -2 ou x ? 1} c) S = {x ? R | x ? -1 ou x ? 2} d) S = {x ? R | x < -3 ou - 1 ? x ? 2/5} e) n. d. a.

6. Ao resolver x-2 <1 x+3 obtemos: a) S = {x ? R | x > 2} b) S = {x ? R | x < -2} c) S = {x ? R | x > -1/2} d) S = {x ? R | x ? -2} e) n. d. a.

7. Qual a soluc¸a~o da inequac¸a~o abaixo: x2-5x+1 11 ? 22 a) S = {x ? R | - 5 < x ? 0} b) S = {x ? R | - 5 ? x ? 0} c) S = {x ? R | - 5 ? x ? 0} d) S = {x ? R | - 5 < x < 0} e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 12 Equa¸c~oes Trigonom´etricas Sa~o equac¸o~es que envolvem pelo menos uma func¸a~o trigo- nom´etrica operando em alguma de suas varia´veis. Por exem- plo, cos ? = 1/3, onde se quer, em geral, determinar o ^angulo ?.

Tipos Fundamentais Sa~o elas: a) sen x = sen ? b) cos x = cos ? c) tan x = tan ? Equac¸o~es de outro tipo devem ser reduzidas a uma dessas fun- damentais. Vejamos como resolver cada uma delas.

Equac¸o~es Envolvendo sen ? Y 1 sen -

0 1X Se dois arcos trigonom´etricos x e ? t^em senos iguais, enta~o: ? ? x = ? ± 2k? sen x = sen ? ?? ou ? x = ? - ? ± 2k? com k ? N

Equac¸o~es Envolvendo cos ? Y cos 1

- 0 2 - =- 1X Se dois arcos trigonom´etricos x e ? t^em cossenos iguais, enta~o: cos x = cos ? ?? x = ±? ± 2k? com k ? N

Equac¸o~es Envolvendo tan ? Se dois arcos trigonom´etricos x e ? t^em tangentes iguais, enta~o: tan x = tan ? ?? x = ? ± k? com k ? N As equac¸o~es a seguir t^em suas soluc¸o~es mais facilmente obti- das pela representac¸a~o dos seus valores na circunfer^encia tri- gonom´etrica.

Matema´tica C ? Aula 12 Exemplos Resolvidos sen x = -1 Como o seno de 3?/2 ´e igual a -1, temos a soluc¸a~o geral 3? x = ± 2k? k ? N 2

logo 3? S = {x ? R | x = ± 2k?, k ? N 2 sen x = 0 Como o seno de 0 ´e igual a 0, temos a soluc¸a~o geral x = ±? k ? N logo S = {x ? R | x = ±k?, k ? N

sen x = 1 Como o seno de ?/2 ´e igual a 1, temos a soluc¸a~o geral

? x = ± 2k? k ? N 2 logo ? S = {x ? R | x = ± 2k?, k ? N 2

cos x = -1 Como o cosseno de ? ´e igual a -1, temos a soluc¸a~o geral x = ? ± k? k ? N logo S = {x ? R | x = ? ± k?, k ? N

cos x = 0 Como o cosseno de ?/2 ´e igual a 0, temos a soluc¸a~o geral

? x = ± k? k ? N 2 logo ? S = {x ? R | x = ± k?, k ? N 2

cos x = 1 Como o cosseno de 0 ´e igual a 1, temos a soluc¸a~o geral x = 2k? k ? N logo S = {x ? R | x = 2k?, k ? N 251

cos x = 1/2 Como o cosseno de ?/3 ´e igual a 1/2, temos a soluc¸a~o geral x = ?/3 ± k? k ? N logo S = {x ? R | x = ?/3 ± k?, k ? N Exerc´?cios Resolva em R as equac¸o~es: 1) sen3x - senx = 0

? 2) cos x = 3 2 ? 3) tan x = 3 3 Pense um Pouco! Exerc´?cios Complementares 1. A soluc¸a~o da equac¸a~o cos(2x) - cos(x - ?) = 0, ´e: a) {x ? R | x = -? + 2k? ou x = ?/3 + 2k?/3, kZ} b) {x ? R | x = -? + k? ou x = +k, kZ} c) {x ? R | x = ? + 2k? ou x = +k, kZ} d) {x ? R | x = -? + k? ou x = +k, kZ} e) n. d. a.

g) S = {x ? R | x = ±?/3 + 2k?, k ? Z} h) S = {x ? R | x = ±?/6 + 2k?, k ? Z} i) S = {x ? R | x = ±?/2 + 2k?, k ? Z} j) n. d. a.

? 3. A equac¸a~o trigonom´etrica 3 tan x - 3 = 0 , tem soluc¸a~o: a) S = {x ? R | x = ±?/6 + k?, k ? Z} b) S = {x ? R | x = ±3?/2 + 2k?, k ? Z} c) S = {x ? R | x = ±?/4 + k?, k ? Z} d) S = {x ? R | x = ±?/3 + 2k?, k ? Z} e) n. d. a.

4. Resolva a equac¸a~o cos(x - ?/2) = cos(?/2) em R: a) S = {x ? R | x = ?/4 + k?, k ? Z} b) S = {x ? R | x = ?/3 + k?, k ? Z} c) S = {x ? R | x = 2?/3 + k?, k ? Z} d) S = {x ? R | x = ?/2 + k?, k ? Z} e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 13 Introdu¸c~ao `a Geometria A Geometria Plana estuda as ?guras planas. Entendemos por Quando dizemos que S ´e uma ?gura plana, estamos a?rmando Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos na~o de?nidos, dos quais temos a intuic¸a~o clara e, um sistema de axiomas ou postulados, que sa~o proposic¸o~es n~ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que da~o caracter´?sticas aos elementos na~o de?nidos.

Entes Geom´etricos Fundamentais Ponto, reta e plano: sa~o id´eias primitivas, entes que na~o possuem de?nic¸a~o.

Representa¸c~ao Por convenc¸a~o, usaremos a seguinte nomenclatura geral para - retas: r, s, t, . . . - planos: ?, ?, ?, . . .

De?ni¸c~oes · A reta ´e in?nita, ou seja, cont´em in?nitos pontos, e na~o possui in´?cio nem ?m.

r · Um ponto A de uma reta r, divide a mesma em dois con- juntos, chamados semi-retas. O ponto A ´e origem das semi-retas e pertence a ambas.

r A · segmento de reta ´e a porc¸a~o de uma reta entre dois r

B A sr C B A Propriedades Gerais · toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regi~oes chamadas semi-planos;

Matema´tica C ? Aula 13 Regi~ao Angular E´ a uni~ao do conjunto dos pontos interiores com o conjunto dos pontos do ^angulo. Indica-se por AOC.

A E ponto ponto exterior interior I OB A^ ngulos Adjacentes Dois ^angulos sa~o adjacentes, quando possuem mesma origem e um lado em comum.

C B O A A^ ngulos Congruentes Dois ^angulos sa~o congruentes quando possuem mesma me- dida, ou seja, sa~o coincidentes.

C O´ C´ B ´= O B´ Bissetriz E´ a semi-reta de origem no v´ertice do ^angulo, que o divide em dois ^angulos congruentes.

C B O A Neste caso AOC ? BOC 253 A^ ngulos Opostos pelo V´ertice Dois ^angulos sa~o opostos pelo v´ertice quando os lados de um sa~o semi-retas opostas aos lados do outro.

r s O A^ ngulo Raso De?ne-se um ^angulo raso quando os tr^es pontos A, O e B pertencem `a mesma reta. Por de?nic¸a~o o ^angulo plano mede 180?.

o = 180 O A^ ngulo Reto Chama-se de ^angulo reto o ^angulo obtido pela bissecc¸a~o de um ^angulo plano. O ^angulo reto mede 90?.

A^ ngulos Complementares Dois ^angulos sa~o complementares, quando a soma de suas medidas ´e um ^angulo reto (90?).

= 90 - O A^ ngulos Suplementares Dois ^angulos sa~o suplementares, quando a soma de suas me- didas ´e um ^angulo raso (180?).

Exerc´?cios o 2 +10 o a+20 O 3. Determine a medida do ^angulo ? na ?gura:

r o 3 +10 s oO 6 -20 Pol´?gonos De?nic¸~ao: Consideremos, num mesmo plano, N ? 3 pontos A1, A2, A3, . . . , AN , ordenados de modo que tr^es consecutivos na~o sejam colineares. Chama-se pol´?gono A1, A2, A3, . . . , AN , A1 `a ?gura formada pela uni~ao dos N seg- mentos consecutivos entre os pontos: A 2

A 1 A 3 A 5 A 4 Regi~ao Poligonal E´ a regi~ao do plano formada pela uni~ao dos pontos do pol´?gono De?ne-se que uma regi~ao do plano ´e convexa quando quais- quer dois pontos dessa regi~ao puderem ser unidas por segmen- tos de retas cujos in?nitos pontos pertenc¸am `a essa regi~ao. Se Se a regi~ao poligonal for convexa, o pol´?gono sera´ denominado pol´?gono convexo.

D C Se a regi~ao poligonal for co^ncava, o pol´?gono sera´ denominado pol´?gono co^ncavo.

D C Classi?cac¸~ao Pol´?gono Equ¨il´atero E´ o pol´?gono que tem todos os lados congruentes: Pol´?gono Equ¨i^angulo Pol´?gono Regular Exemplo: quadrado.

Matema´tica C ? Aula 13 3 4 56 7 8 9 10

11 12 13 14

15 20 25 30 Nomenclatura De acordo com o nu´mero de lados, temos: Nome Nu´mero de Lados Tria^ngulo 3 lados Quadrila´tero 4 lados Penta´gono 5 lados Hexa´gono 6 lados Hepta´gono 7 lados Oct´ogono 8 lados Ene´agono 9 lados Deca´gono 10 lados Undeca´gono 11 lados Dodec´agono 12 lados Pentadec´agono 15 lados Icosa´gono 20 lados

Nu´mero de Diagonais Chama-se diagonal de um pol´?gono a todo segmento de reta cujas extremidades sa~o v´ertices na~o consecutivos. O nu´mero de diagonais D de um pol´?gono convexo de N lados (N ? 3) ´e dado por: N(N-3) D= 2

Soma dos A^ ngulos Em todo pol´?gono convexo de N lados (N ? 3), sendo Si a soma dos ^angulos internos e Se a soma dos ^angulos externos tem-se: Si = (N - 2) · 180?

e Se = 360? Circunfer^encia Dado um ponto C de um plano (centro) e uma dist^ancia R na~o nula (raio), chama-se circunfer^encia o conjunto dos pontos do plano que distam R do ponto C.

255 R C Comprimento da Circunfer^encia O comprimento de uma circunfer^encia, ou per´?metro ´e dado por L = 2?R

C´?rculo E´ a regi~ao limitada pela circunfer^encia, ou seja, ´e a unia~o do conjunto dos pontos interiores e dos pontos pertencentes `a cir- cunfer^encia.

A´ rea do C´?rculo A ´area A de um c´?rculo ´e dada por A = ?R2

Pense um Pouco! · Arquimedes considerava que a circunfer^encia poderia ser de?nida como um pol´?gono regular com um grande nu´mero de lados (muito pequenos). O que voc^e acha disso?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao a) 150 b) 110 c) 210 d) 170 2. Qual o nu´mero de lados de um pol´?gono que possui 14 a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) n. d. a.

3. Determine a ´area do c´?rculo limitado pela circunfer^encia a) 25? cm2 b) 16? cm2 c) 49? cm2 d) 36? cm2 e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. (FEI) Num pol´?gono regular, o nu´mero de diagonais ´e o tri- plo do nu´mero de lados. A quantidade de lados desse pol´?gono ´e: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 5. (MACK) A soma dos ^angulos internos de um hepta´gono convexo ´e igual a: a) 540? b) 720? c) 900? d) 1.080? e) 1.260? 6. Num pol´?gono convexo, a soma dos ^angulos internos ´e cinco vezes a soma dos ^angulos externos. Calcule o nu´mero de dia- a) 35 b) 44 c) 54 d) 90 e) n. d. a.

7. Dois ^angulos sa~o complementares, sendo que um ´e o qu´?ntuplo do outro. Qual o valor do menor desses ^angulos: a) 10? b) 12? c) 17? d) 20? e) n. d. a.

8. Qual ´e o ^angulo cujo suplemento ´e o triplo do seu comple- mento: a) 35? b) 45? c) 60? d) 15? e) n. d. a.

9. Cada um dos ^angulos externos de um pol´?gono regular mede a) 170 b) 252 c) 90 d) 144 e) n. d. a.

10. Cada um dos a^ngulos internos de um pol´?gono regular a) oct´ogono b) deca´gono c) dodec´agono d) icos´agono e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 14 Tri^angulos De?ni¸c~ao Dados tr^es pontos na~o colineares A, B e C, chama-se tria^ngulo a uni~ao dos tr^es segmentos AB, AC, BC.

ABC = AB + AC + BC Elementos do Tri^angulo · A^ ngulos externos: sa~o os ^angulos suplementares aos in- ternos. Na ?gura, para o ^angulo interno ?, por exemplo, ?ex. ´e o ^angulo externo.

Classi?ca¸c~ao Quanto aos Lados Equ¨il´atero 8 cm A B mh 6 cm

Matema´tica C ? Aula 14 Quanto aos A^ ngulos Ret^angulo Obtus^angulo Possui um ^angulo obtuso, ou seja, maior do que um ^angulo > 90

Acut^angulo Possui todos os ^angulos agudos, ou seja, menor do que um ^angulo reto.

Observac¸o~es 1. Se o ABC ´e iso´celes, enta~o os ^angulos da base sa~o con- gruentes;

2. Se o ABC ´e equ¨ila´tero, enta~o os tr^es ^angulos internos sa~o congruentes.

Propriedades 1. exist^encia de tria^ngulo: para existir o tria^ngulo, cada um dos tr^es lados deve ser menor do que a soma dos outros dois;

2. soma dos ^angulos internos: a soma dos ^angulos internos de qualquer tria^ngulo ´e 180?, ou dois ^angulos retos;

3. soma dos ^angulos externos: em qualquer tria^ngulo, cada 257 =+

Tri^angulo Ret^angulo Elementos Observe a ?gura abaixo: A c b h

m n B Ca Nesse tria^ngulo ABC, reta^ngulo em A, temos: · m e n sa~o as projec¸o~es dos catetos b e c sobre a base (hipotenusa), respectivamente.

Relac¸o~es M´etricas As relac¸o~es entre essas medidas sa~o chamadas de relac¸o~es m´etricas nos tria^ngulos reta^ngulos. As principais sa~o: a2 = b2 + c2 h2 = mn a = m+n b2 = am ah = bc c2 = an

B o 75 c=2,0 cm a o 60 A Resoluc¸a~o: Como A^ + B^ + C^ = 180?, A = 60? e B = 75?, segue que C = 180? - A^ - B^ = 45?. Enta~o: a c a 2, 0 cm =?= sen A^ sen C^ sen 60? sen 45? 1/2 ? a = (2, 0 cm) ? = (2, 0 cm)/ 2 = 1, 4 cm 2/2 Lei dos Cossenos Num tria^ngulo qualquer, o quadrado da medida de um lado ´e igual `a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo cosseno do ^angulo formado entre eles. Por exemplo, para o lado a, oposto ao ^angulo A^, temos: a2 = b2 + c2 - 2bc cos A^ Exemplo Resolvido Calcule a diagonal x do paralelogramo, cujos lados medem A 10 cm B o 60 x 5 cm

DC Resoluc¸a~o: Calculamos a diagonal x, aplicando a lei dos cossenos ao tria^ngulo ABC: x2 = (10 cm)2 + (5 cm)2 - 2(10 cm)(5 cm) cos 60? x2 = (100 + 25 - 100 · (1/2)) cm2 ?? x = 175 cm2 = 5 7 cm

Exerc´?cios 1) No tria^ngulo ABC, reta^ngulo em A, sabe-se que os catetos b e c, medem 6 cm e 8 cm, respectivamente. Calcule o valor das medidas:

8 cm A B mh 6 cm a n C Pense um Pouco! · Como podemos obter quatro tria^ngulos equ¨ila´teros, usando apenas seis palitos de f´osforo?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Determine a medida do menor cateto de um tria^ngulo reta^ngulo, cuja hipotenusa mede 7 cm e a altura relativa `a ? ? a) 2 7 cm ? b) ?21 cm c) 3 ?7 cm d) 2 21 cm e) n. d. a.

2. Qual a altura relativa `a hipotenusa, de um tria^ngulo ? a) x?2 b) x ?2/2 c) 2x? 2 d) x 2/3 e) n. d. a.

3. Determine a diagonal de um reta^ngulo cuja ´area mede a) 45?2 m b) 30? 2 m c) 20 ?10 m d) 30 10 m e) n. d. a.

4. Calcule a altura de um tria^ngulo equ¨ila´tero cujos lados ? a) a?2/3 b) a? 3/4 c) a ?3/3 d) a 2/2 e) n. d. a.

Matema´tica C ? Aula 15 a) 13 m b) 14 m c) 15 m d) 16 m 6. Um tria^ngulo possui lados com medidas 5 cm e 3 cm, formando um a^ngulo 30?. Qual a medida do outro lado, em ? a) ?19 b) ? 13 c) ?11 d) 7 e) n. d. a.

7. A ?gura mostra, em planta, o trecho de um rio onde se deseja construir uma ponte AB. De um ponto C, a 100 m de B, mediu-se o ^angulo ACB = 45? e, do ponto A, mediu-se o a) 100 m b) 75 m c) 100 m d) 75 m e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 15 Quadril´ateros Dados quatro pontos de um mesmo plano A, B, C e D or- denados de modo que tr^es consecutivos na~o sejam colineares, chama-se quadril´atero a uni~ao dos quatro segmentos AB, BC, CD e DA.

ABCD = AB ? BC ? CD ? DA Quadril´ateros Not´aveis Trap´ezio r D C

s r AB AB CD (bases) AD e CB (lados transversais) Observac¸o~es · se houver 1 ^angulo reto enta~o temos um trap´ezio ret^angulo;

· se os lados transversais forem congruentes temos um trap´ezio is´oceles.

259 Paralelogramo Quadrila´tero com lados opostos paralelos e congruentes (iguais), dois a dois.

D C AB Propriedades Ret^angulo DC AB Losango ou Rombo C D B A

Quadrado Tri^angulo Equ¨il´atero E´ um losango reta^ngulo.

R DC AB l l h

r=a l Elementos: l = lado h = altura R = raio da circunfer^encia circunscrita a = apo´tema (=r raio da circunfer^encia inscrita) F´ormulas: ? · as diagonais se cortam ao meio, mutuamente; h = l 3/2

· as diagonais esta~o nas bissetrizes dos ^angulos internos. R = 2h/3 r = h/3 Hierarquia entre Quadril´ateros R = 2r Relac¸o~es de inclusa~o entre os conjuntos dos quadrila´teros ? not´aveis: A ´area = l2 3/4

Quadrilateros Trapezios Paralelogramos Retangulos Quadrados Losangos Quadrado

L L R d a =L / 2 L L Exerc´?cio a) Todo quadrado ´e um reta^ngulo b) Todo quadrado ´e um losango c) Todo losango ´e um paralelogramo d) Todo reta^ngulo ´e um paralelogramo e) todo trap´ezio ´e um paralelogramo

Pol´?gonos Regulares Sa~o aqueles que possuem todos os lados e todos os ^angulos iguais.

Elementos: l = lado d = diagonal a = apo´tema (= r raio da circunfer^encia inscrita) F´ormulas: ? d=l 2

Matema´tica C ? Aula 15 Hex´agono Regular l lRl L l al l Elementos: l = lado a = apo´tema (raio da circunfer^encia inscrita) F´ormulas: R=l a=h ? A ´area = 3l2 3/2 Exerc´?cio Resolvido Calcule a raza~o entre as ´areas dos c´?rculos circunscrito e ins- Resoluc¸a~o: Sendo A1 a ´area do c´?rculo circunscrito e A2 a ´area do circulo inscrito, temos: A1 ?R2 (2a)2 = = =4 A2 ?r2 a2

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. O lado de um hexa´gono regular inscrito em uma circun- fer^encia mede 4 cm. Calcule: d) A ´area do circulo inscrito.

2. Qual a ´area do c´?rculo que esta´ circunscrito a um quadrado de ´area igual a 100 cm2?

Exerc´?cios Complementares 3. A raza~o entre os comprimentos das circunfer^encias circuns- crita e inscrita em um quadrado de lado 2 ´e: ? a) ?2 b) 2/2 c) 2 ? d) 2 2 e) n. d. a.

261 4. Assinale a a?rmac¸a~o falsa: a) As diagonais de um paralelogramo sa~o congruentes b) as diagonais de um losango sa~o perpendiculares c) as diagonais de um losango sa~o bissetrizes dos ^angulos in- ternos d) As diagonais de um reta^ngulo sa~o congruentes e) As diagonais de um paralelogramo interceptam-se no ponto m´edio 5. Calcule a ´area de um tria^ngulo equ¨ila´tero circunscrito em ? a) 25?3 cm2 b) 15? 3 cm2 c) 10? 3 cm2 d) 5 3 cm2 e) n. d. a.

a) 9? b) 8? c) 7? d) 6? 7. O valor da ´area sombreada na ?gura abaixo

´e: a) 12 cm2 b) 14 cm2 c) 20?cm2 d) 6 7 cm2 7 cm 1 cm 8. Qual a ´area do hexa´gono inscrito num c´?rculo cuja ´area ? a) 36?3 cm2 b) 25? 3 cm2 c) 24 ?3 cm2 d) 20 3 cm2 7) A ´area da regi~ao sombreada na ?gura abaixo

´e: Determina¸c~ao do Centro e do Raio f) 50? cm2 g) 35? cm2 h) 25? cm2 i) 15? cm2 j) n. d. a.

Matem´atica C Aula 16 Circunfer^encia De?nic¸a~o: Dado um ponto C de um plano (centro) e uma dist^ancia R na~o nula (raio), chama-se circunfer^encia o conjunto dos pontos do plano que distam R do ponto C.

Equa¸c~ao Reduzida Seja a circunfer^encia de centro C(xC,yC) e raio R e seja O ponto P pertence `a circunfer^encia se, e somente se, a dist^ancia de P a C for igual a R. Da´? teremos: (x - xC)2 + (y - yC)2 = R2

Caso Particular Se C = (0, 0), enta~o a equac¸a~o reduzida sera´: x2 + y2 = R2 Exemplos: 1. Obter a equac¸a~o reduzida da circunfer^encia de centro Resposta: (x - 3)2 + (y + 2)2 = 25 2. Obter a equac¸a~o reduzida da circunfer^encia de centro Resposta: x2 + y2 = 9

Equa¸c~ao Geral Desenvolvendo-se a equac¸a~o reduzida (x - xC )2 + (y - yC )2 = R2, obtemos: x2 - 2xxC + x2C + y2 - 2yy + y2 = R2 CC

x2 + y2 - 2xxC - 2yy + x2C + y2 - R2 = 0 CC Fazendo-se: x2C + y2 - R2 = p C

resulta x2 + y2 - 2xxC - 2yyC + p = 0 a) Dada a equac¸a~o (x - xC )2 + (y - yC )2 = R2 na forma reduzida,deimediatoconclui-sequeocentro´eC(xC,yC)eo b) Dada a equac¸a~o x2+y2+mx+ny+p = 0 na forma normal, o centro e o raio sa~o determinados comparando-se coma equac¸a~o: x2 + y2 - 2xx - 2yy + p = 0 CC Centro: m m = -2xC =? xC = - 2 n n = -2yC =? yC = - 2 ?nalmente mn C = - ,- 22 Raio: p = x2C + yC2 - R2 =? R2 = x2C + yC2 - p

ou seja R = + x2 + y2 - p CC Exemplos Resolvidos 1. Determinar o centro e raio da circunfer^encia de equac¸a~o: Soluc¸a~o: A partir da equac¸a~o, temos: M=-6a===3N=-2b===1r=+==2 m -6 m = -6 =? xC = - = - = 3 22 n -2 n = -2 =? yC = - = - = 1 22

p = 6 =? R = + 32 + 12 - 6 = 2 2. Determine a equac¸a~o da circunfer^encia que esta´ represen- tada no sistema de eixos cartesianos.

Pense um Pouco! Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Determine o centro e o raio da circunfer^encia de equac¸a~o (x - 5)2 + (y + 3)2 = 10.

2. Dar a equac¸a~o cartesiana de circunfer^encia de raio R = 4 e que esta´ centrada na origem.

3. Determine a equac¸a~o geral da circunfer^encia de centro C = ? (-2, 2), cujo raio R = 5.

Matema´tica C ? Aula 17 Exerc´?cios Complementares 4. Determine o centro C e o raio R da circunfer^encia x2 + y2 - 8x - 6y + 21 = 0: a) C(4, 3) e R = 2 b) C(-2, 5) e R = 3 c) C(4, -2) e R = 2 d) C(-2, 3) e R = 3 e) n. d. a.

5. (FIC/FACEM) A equac¸a~o da circunfer^encia cujo centro esta´ na origem do sistema cartesiano e cujo raio ´e igual a 1/5 ´e: a) 25x2 + 25y2 - 1 = 0 b) x2 + y2 = 25 c) 25x2 + 25y2 = 5 d) x2 + y2 = 1/5 e) 25x2 + 25y2 + 1 = 0 6. (PUC) Uma circunfer^encia de centro C(-2, 5) limita um a) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3 ? b) (x - 2)2 + (y + 5)2 = 3 c) (x + 2)2 + (y - 5)2 = 3 d) (x - 2)2 + (y + 5)2 = 3 ? e) (x + 2)2 + (y + 5)2 = 3

7. Qual ´e a equac¸a~o reduzida da circunfer^encia, cuja equac¸a~o a) (x + 4)2 + (y - 1)2 = 4 b) (x - 4)2 + (y - 1)2 = 9 c) (x + 4)2 + y2 = 4 d) (x - 4)2 + y2 = 9 e) n. d. a.

8. O di^ametro da circunfer^encia x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0, ´e: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) n. d. a.

9. (UFSC) Assinale a equac¸a~o que representa uma circun- fer^encia: a) 2x2 + 5y2 - 2x + 10y + 1 = 0 b) x2 + y2 + 2xy + 4x - 2y + 6 = 0 c) x2 + y + 2x - 1 = 0 d) x2 + y2 + 4 = 0 e) x2 + y2 - x = 0 10.?(UFPA) O raio da circunfer^encia x2 + y2 - 2x = 3 ´e: a) ?2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 4 11. (UFSC) Em coordenadas cartesianas, a circunfer^encia 2x2 + 2y2 - 4x + 2y = 0, tem centro C e raio r, respecti- vamente iguais a: ? a) C = (-2, 1) e r = 5? b) C = (-1, 1/2) e r = 5 c) C = (2, 1) e r = 5 263 ? d) C = (2, -1) e r = 5/2 ? e) C = (1, -1/2) e r = 5/2

Matem´atica C Aula 17 Pol´?gonos e Figuras Planas Per´?metro Chamamos de per´?metro de um pol´?gono `a soma dos compri- mentos de seus lados. Geralmente, representa-se o per´?metro por 2p, isto porque chama-se de p o semi-per´?metro do Quando o pol´?gono tem todos os lados iguais, o per´?metro ´e igual ao produto do nu´mero de lados pelo comprimento de um deles.

A´ reas de Figuras Planas A ´area A de uma ?gura ´e um nu´mero (medida), associado `a sua superf´?cie, que exprime a relac¸a~o existente entre esta superf´?cie e a superf´?cie de um quadrado de lado unita´rio.

Ret^angulo Dado um reta^ngulo de comprimento (base) b e altura h:

h b A = bh e 2p = 2(b + h) Quadrado Como um caso particular de reta^ngulo temos o quadrado de lado l

onde: A = l2 e 2p = 4l Como nem tudo a nossa volta sa~o reta^ngulos e quadrados, tivemos a necessidade de calcular a ´area de outras ?guras. E o mais interessante, ´e que atrav´es da ´area do reta^ngulo, podemos obter ´areas de outras ?guras. Veja:

Tri^angulo Dado o tria^ngulo de base b e altura h a c h b Comparando-se o tria^ngulo com um reta^ngulo com o compri- mento b e altura h, temos, encaixando o tria^ngulo no reta^ngulo Enta~o, ?ca f´acil calcular a a´rea do tria^ngulo, pois esta ´e a metade da ´area do reta^ngulo. Assim: bh A= 2 e 2p = a + b + c

Paralelogramo Observe o paralelogramo de altura h e base b: a h

b Recortando a parte sombreada do paralelogramo e colocando-a Logo, conclu´?mos que a a´rea do paralelogramo ´e a mesma ´area A = bh

e 2p = 2(a + b) Losango Veja o losango de lado l, inscrito num reta^ngulo de base b e altura h: l l d l D

l h b A diagonal maior do losango tem medida igual ao comprimento A diagonal menor tem medida igual a altura do reta^ngulo, Se recortarmos o losango em quatro tria^ngulos, vemos que a sua ´area ´e a metade da ´area do reta^ngulo.

Dd A= 2 e 2p = 4l Trap´ezio O trap´ezio ´e composto por dois tria^ngulos, um de base B e outro de base b, ambos com altura h.

b c a h B Assim a ´area sua ´area: B+b A= h 2 e 2p = a + b + c + B

Matema´tica C ? Aula 18 Pense um Pouco! · (Unicamp-SP) Em um restaurante, qual fam´?lia que come mais pizza: aquela que pede uma grande de 43 cm de di^ametro ou aquela que pede duas m´edias de 30 cm de di^ametro?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (ACAFE) Em um quadrado, se aumentarmos em 2 m um lado e em 3 m o outro, obteremos um reta^ngulo cuja ´area ´e 56 m2. A medida do lado do quadrado ´e: a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 7 m e) n. d. a.

2. A ?gura abaixo mostra um quadrado inscrito em uma cir- cunfer^encia de raio igual a 5 cm. A ´area desse quadrado, em cm2 ´e: a) 64 b) 81 c) 100 d) 121 e) n. d. a.

3. Qual o per´?metro de uma circunfer^encia cuja ´area do c´?rculo a) 16? m2 b) 8? m2 c) 16? m2 d) 5? m2 e) n. d. a.

4. A ´area sombreada na ?gura abaixo: 10 m 10 m ´e: a) 25 · (4 - ?) m2 b) 75 m2 c) 100(.4 - ?) m2 d) 50 m2 e) n. d. a.

5. O per´?metro de uma circunfer^encia inscrita em um qua- drado de ´area 36 cm2 ´e: a) 12? cm b) 6? cm c) 9? cm d) 15? cm e) n. d. a.

265 6. Qual a ´area de um losango, cuja soma das diagonais ´e igual a) 50 cm2 b) 70 cm2 c) 85 cm2 d) 90 cm2 e) n. d. a.

7. (Desa?o) A ´area da parte hachurada da ?gura 10 m 10 m ´e: a) (50? - 100) m2 b) (50? - 75) m2 c) (75? - 50) m2 d) (75? - 25) m2 e) n. d. a.

Matem´atica C Aula 18 Retas e Planos Para o estudo da Geometria Plana, aceitamos um conjunto de conceitos na~o de?nidos, dos quais temos a intuic¸a~o clara, e um sistema de axiomas ou postulados, que sa~o proposic¸o~es n~ao demonstradas, aceitas intuitivamente, que da~o caracter´?sticas aos elementos na~o de?nidos.

Elementos Fundamentais Ponto, reta e plano: Sa~o id´eias primitivas, entes que na~o pos- Temos id´eias de ponto, por exemplo, um la´pis tocando o papel, Analogamente, possu´?mos a intuic¸a~o de reta e de plano.

Axiomas Axiomas ou postulados, sa~o proposic¸o~es aceitas como verda- deiras sem demonstrac¸a~o e que servem de base para o desen- Temos como axioma fundamental: existem in?nitos pontos, retas e planos.

Representa¸c~ao Postulados: Pontos e Retas 5. A intersecc¸a~o de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra, de?ne um segmento de reta.

Postulados: Plano 4. Toda reta pertencente a um plano divide-o em dois semi- planos.

Posi¸c~oes Relativas de Duas Retas 1. Duas retas sa~o paralelas se, e somente se, forem coplanares 2. Duas retas sa~o concorrentes, quando elas se interceptam 3. Sa~o retas que na~o se interceptam e na~o sa~o paralelas, pois esta~o em planos diferentes.

Determina¸c~ao de um Plano Al´em do postulado que diz: ?tr^es pontos na~o-colineares determinam um u´nico plano?, um plano tamb´em pode ser determinado por: 3. Duas retas paralelas distintas.

Exerc´?cio Classi?que em verdadeira (V) ou falsa (F) cada a?rmac¸a~o abaixo: ( ) Dados dois pontos distintos, existe um u´nico plano ( ) Os v´ertices de um tria^ngulo sa~o coplanares (est~ao no ( ) Uma reta qualquer, separa um plano que a cont´em em ( ) Por tr^es pontos distintos quaisquer, passa sempre um ( ) O nu´mero m´aximo de retas que quatro pontos podem ( ) Se duas retas distintas na~o sa~o paralelas, enta~o elas sa~o ( ) Se a intersecc¸a~o entre duas retas ´e o conjunto vazio, enta~o ( ) Duas retas na~o coplanares sa~o reversas.

Posi¸c~oes Relativas de Dois Planos 1. Dois planos podem ser coincidentes quando forem iguais 2. Dois planos sa~o concorrentes quando sua intersecc¸a~o ´e 3. Dois planos sa~o paralelos quando sua intersecc¸a~o ´e vazia.

Pense um Pouco! · Qual a quantidade m´?nima de pontos que se deve ter para que se obtenha 15 retas diferentes?

· Quantos planos distintos, podem ser determinados, utilizando-se os v´ertices de um cubo?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao b) Existem in?nitos pontos. c) Todo plano tem in?nitos pontos d) Podemos de?nir ponto. e) Por dois pontos distintos passa uma u´nica reta. f) Toda reta tem in?nitos pontos. g) Todo tria^ngulo esta´ contido em u´nico plano.

2. Classi?que cada a?rmac¸a~o como verdadeira (V) ou falsa (F): ( ) Na~o existe plano que contenha duas retas reversas. ( ) Se uma reta intercepta um plano , enta~o todo plano paralelo a essa reta intercepta. ( ) Dois planos podem ser iguais, concorrentes ou paralelos ( ) Se tr^es retas sa~o paralelas entre si, existe um u´nico plano que as cont´em. ( ) Duas retas quaisquer determinam um plano.

3. Sobe uma circunfer^encia sa~o marcados 8 pontos igual- mente espac¸ados. Quantas retas diferentes eles determinam, a) 56 b) 44 c) 28 d) 36 e) n. d. a.

I) Se dois planos sa~o secantes, todas as retas de um deles sem- II) Dados dois planos, se num deles existem duas retas distin- III) Em dois planos paralelos, todas as retas de um sa~o para- IV) Se uma reta ´e paralela a um plano, em tal plano existe V) Se uma reta ´e paralela a um plano, ´e paralela a todas as a) I, II e III b) I, II e V c) I, III e IV d) II, III e IV e) n. d. a.

Matema´tica C ? Aula 19 5. (MACK-SP) Uma reta r ´e paralela a um plano ?. Enta~o: a) todas as retas de ? sa~o paralelas a r b) a reta r na~o pode ser coplanar com nenhuma reta de ? c) existem em ? retas paralelas a r e tamb´em retas reversas a e) todo plano que cont´em r ´e paralelo a ?.

Matem´atica C Aula 19 Poliedros A^ ngulo poli´edrico Sejam n (n ? 3) semi-retas de mesma origem tais que nunca ?que tr^es num mesmo semiplano. Essas semi-retas determi- nam n ^angulos em que o plano de cada uma deixa as outras semi-retas em um mesmo semi-espac¸o. A ?gura formada por esses ^angulos ´e o ^angulo poli´edrico.

S´olidos Poli´edricos Veja alguns exemplos: (a) (b)

(a) (b) Elementos Faces (F ) Arestas (A) Sa~o os lados dos pol´?gonos (segmento e reta que une dois V´ertices (V ) Diagonais Sa~o os segmentos de reta que unem dois v´ertices opostos situ- ados ou na~o na mesma face.

Tipos Poliedros Convexos 267 Um poliedro ´e dito convexo se o plano de cada pol´?gono (face) deixa o poliedro em um so´ semi-espac¸o, e portanto, na~o o sec- ciona (divide) em dois so´lidos menores.

(a) (b) Classi?cac¸~ao Os poliedros convexos possuem nomes especiais de acordo com o nu´mero de faces, como por exemplo:

Nome Nu´mero de Faces (F ) tetraedro 4 pentaedro 5 hexaedro 6 heptaedro 7 octaedro 8 dodecaedro 12 icosaedro 20

Relac¸~ao de Euler Em todo poliedro convexo ´e v´alida a relac¸a~o seguinte:

V-A+F=2 em que V ´e o nu´mero de v´ertices, A ´e o nu´mero de arestas e Exemplos

V = 12, A = 18, F = 8: 12 - 18 + 8 = 2 Exemplo Resolvido Qual o nu´mero de arestas e de v´ertices que tem um poliedro Resoluc¸a~o: Nas 20 faces triangulares temos 20 × 3 = 60 arestas. Por´em, cada aresta, por ser comum a duas faces, foi contada duas Temos: F = 20 e A = 30 e da relac¸a~o de Euler, V = A - F + 2 = 30 - 20 + 2 = 12

Poliedros Regulares ou de Plata~o Diz-se que um poliedro ´e regular (ou plato^nico) se, e somente se: d) for v´alida a relac¸a~o de Euler.

(a) (b) Assim, nas ?guras acima, o primeiro poliedro ´e plato^nico e o Existem cinco, e somente cinco tipos de poliedros regulares ou de Plat~ao (THODI): Poliedro F V A n P Tetraedro 4 4 6 3 3 Hexaedro 6 8 12 4 3 Octaedro 8 6 12 3 4 Dodecaedro 12 20 30 5 3 Icosaedro 20 12 30 3 5 Onde: p ´e nu´mero de arestas que saem de cada v´ertice.

Pense um Pouco! · Uma pira^mide com base quadrada (tipo aquelas do Egito) podem ser um so´lido de Plat~ao? Justi?que.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Um poliedro convexo tem 8 faces e 12 v´ertices. Calcule o a) 12 b) 15 c) 18 d) 20 e) n. d. a.

2. Determine o nu´mero de arestas de um poliedro convexo a) 20 b) 19 c) 18 d) 17 e) n. d. a.

3. Em um poliedro regular o nu´mero de arestas excede o nu´mero de v´ertices em 10 unidades. Sabendo que o nu´mero de a) 8 b) 6 c) 20 d) 12 e) n. d. a.

4. Um poliedro plato^nico tem 12 v´ertices e em cada v´ertice concorrem 5 arestas. Calcule o nu´mero total de arestas e de a) 20 e 30 b) 30 e 20 c) 20 e 15 d) 15 e 20 e) n. d. a.

5. Determine o nu´mero de v´ertices de um poliedro convexo sabendo que ele apresenta 2 faces hexagonais e 6 faces trian- a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) n. d. a.

6. Determine o nu´mero de arestas e v´ertices de um poliedro convexo de 20 faces, das quais 11 sa~o triangulares, 2 quadran- a) A = 36 e V = 20 b) A = 30 e V = 25 c) A = 38 e V = 20 d) A = 20 e V = 36 e) n. d. a.

Matema´tica C ? Aula 20 h Elementos: Natureza Os prismas sa~o triangulares, quadrangulares, pentagonais, he- xagonais etc., conforme suas bases sejam tria^ngulos, qua- dril´ateros, penta´gonos, hexa´gonos, etc...

Classi?ca¸c~ao Prisma Reto Prisma Obl´?quo As arestas laterais sa~o obl´?quas em relac¸a~o aos planos das ba- ses.

h o =90 Prisma regular A´ reas e Volumes Sendo Al a ´area lateral de um prisma (soma das ´areas de cada face lateral). Ab a ´area de uma de suas bases e At a sua ´area total, temos: At = Al + 2Ab Num prisma cuja a´rea da base ´e Ab e altura h, o volume ´e dado por: V = Abh 269

Paralelep´?pedos Paralelep´?pedo Reto-Ret^angulo Ou paralelep´?pedo reta^ngulo ´e todo paralelep´?pedo reto cujas bases sa~o reta^ngulos.

D d c b a Num paralelep´?pedo reta^ngulo de dimens~oes a, b, e c, sendo D a medida de uma de suas diagonais principais (internas), tem-se: D = a2 + b2 + c2 At = 2(ab + ac + bc) V = abc

Hexaedro Regular (CUBO) E´ o paralelep´?pedo reto-ret^angulo cujas seis faces sa~o quadra- das.

Pir^amides Conceito e Elementos Consideremos um pol´?gono A, B, C, . . ., situado num plano ? e um ponto V fora de ?. Chama-se pir^amide `a uni~ao dos segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos do pol´?gono. Uma pira^mide na~o ´e um prisma.

V aa pl h a b onde: Natureza A pira^mide pode ser triangular, quadrangular, pentagonal, etc..., conforme sua base seja um tria^ngulo, quadrila´tero, Pir^amide Regular E´ aquela cuja base ´e um pol´?gono regular e a projec¸a~o do A´ rea e Volume : Sendo: Tem-se que:

Al = pap At = Al + Ab Abh V= 3 Cilindro Circular Reto Conceito e Elementos Cilindro de revoluc¸a~o ou cilindro circular reto ´e o so´lido obtido pela rotac¸a~o completa de um reta^ngulo em torno de um dos seus lados.

eg R h Elementos Secc¸o~es de um Cilindro Secc¸~ao Transversal E´ a intersecc¸a~o do cilindro por um plano paralelo `as bases, Secc¸~ao Meridiana E´ a intersecc¸a~o do cilindro por um plano que cont´em o cont´em A´ reas e Volumes

Al = 2?Rh Ab = ?R2 At = Al + 2Ab = ?R(R + 2h) V = Abh = ?R2h

Cone Conceito Cone circular reto ´e o so´lido de revoluc¸a~o ´e obtido pela rotac¸a~o completa de um tria^ngulo reta^ngulo em torno de um dos seus catetos.

Matema´tica C ? Aula 20 h O e V g R Considere a ?gura acima, tem-se: Relac¸o~es, A´ reas e Volumes

g2 = R2 + h2 Ab = ?R2 Al = 2?Rg At = Ab + Al = ?R(R + 2g) Abh ?R2h V= = 33 Cone Obl´?quo Possui o eixo obl´?quo em relac¸a~o ao plano da base.

V h g Esfera De?nic¸a~o: E´ o conjunto dos pontos do espac¸o cuja dist^ancia ao centro O sa~o menores ou iguais ao raio R.

271 e R Superf´?cie Esf´erica E´ o conjunto dos pontos do espac¸o cuja dist^ancia ao cento O ´e igual ao raio R.

A´ rea e Volume At = 4?R2 4?R3 V= 3 Pense um Pouco! Quantas esferas menores de raio R/2 poderemos fazer, com o mesmo volume total de massinha?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (PUC) Com uma lata de tinta ´e poss´?vel pintar 50 m2 de parede. Para pintar as paredes de uma sala (forma de prisma) de 8 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura, gasta-se uma lata e mais uma parte da segunda lata. Qual a a) 22% b) 30% c) 48% d) 56% e) 72% 2. Um tria^ngulo reta^ngulo com hipotenusa de 13 cm e com a) 150 cm2 b) 270 cm2 c) 240 cm2 d) 300 cm2 e) n. d. a.

3. Calcule o volume de uma caixa d'´agua em forma de prisma reto, de aresta lateral de 6 m, sabendo que a base ´e um losango a) 190.000 litros b) 19.000 litros c) 210.000 litros d) 21.000 litros e) n. d. a.

Exerc´?cios Complementares 4. (MACK-SP) Um prisma regular triangular tem todas as arestas congruentes e 48 m2 de ´area lateral. Seu volume vale: a) 16 m3 b) 32 m3 c) 64?m3 d) 4 ?3 m3 e) 16 3 m3 5. Qual o volume de uma esfera cuja ´area de sua superf´?cie a) 25 cm3 b) 16 cm3 c) 36 cm3 d) 49 cm3 e) n. d. a.

6. Qual deve se a altura de um cone circular reto, para que tenha seu volume igual ao de uma esfera de mesmo raio do a) 8 cm b) 12 cm c) 15 cm d) 21 cm e) n. d. a.

7. Qual o volume de uma pira^mide quadrangular reta cuja ´area da base mede 100 cm2 e possui altura igual ao triplo da a) 750 cm3 b) 1000 cm3 c) 1250 cm3 d) 1500 cm3 e) n. d. a.

L´?ngua Portuguesa L´?ngua Portuguesa 01 Variantes Lingu¨´?sticas

Mesmo intuitivamente, todos sabemos que uma l´?ngua, como a portuguesa, na~o ´e falada do mesmo modo por todos os seus falantes. Ao contr´ario, a l´?ngua varia conforme varie a classe social do falante, o local onde ele nasceu ou reside, a situac¸a~o em que ele deve falar ou escrever, etc. A descric¸a~o de um idioma na~o pode desconsiderar esse tipo de feno^meno e deve, portanto, englobar a noc¸a~o de variantes lingu¨´?sticas. Basica- Uma variac¸a~o inicial diz respeito `as modalidades escrita e fa- lada. Normalmente, parece pedante falar como se escreve, e infantil escrever como se fala. Em segundo lugar, existe a variac¸a~o regional, que de?ne, por exemplo, o sotaque e as ex- presso~es t´?picas de cada lugar do pa´?s. Bastante importante ´e a variac¸a~o social, que determina duas normas ba´sicas: a norma Existe tamb´em a variac¸a~o de ´epoca. Como se sabe, a l´?ngua sofre transformac¸o~es com o tempo. As pessoas, inclusive, fa- lam de modo diferente de acordo com a idade. Por ?m, ha´ o eixo da variac¸a~o de estilo, que de?ne, por exemplo, o modo formal e o modo informal de falar. Note que a variac¸a~o for- mal/informal na~o ´e id^entica `a variac¸a~o culto/popular. Um advogado, por exemplo, fala de modo formal com o juiz num tribunal e de modo informal com a fam´?lia em casa, mas sera´ sempre um falante culto.

Resumindo, as variantes lingu¨´?sticas sa~o: Pense um Pouco! O conhecido anu´ncio publicita´rio a seguir, publicado em revis- tas de informac¸a~o, faz uso intencional de variante coloquial da l´?ngua portuguesa. Que marcas, presentes no texto do anu´ncio poderiam caracterizar essa variante?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. (UFV-MG) Suponha um aluno se dirigindo ao colega de classe nestes ternos: ?Venho respeitosamente solicitar-lhe se digne emprestar-me o livro?. A atitude desse aluno se asseme- lha `a atitude do indiv´?duo que: c) vai `a praia de terno e gravata;

INSTRUC¸ A~ O. Texto para as duas questo~es seguintes. Observe uma pessoa contando para outra o procedimento para usar a nova impressora: ?Primeiro a gente pega as folhas e po~e aqui, nessa parte de baixo. Da´?, a gente liga nesse bot~aozinho e da´ o comando no computador. Da´? a gente ?ca esperando um pouco e logo ela imprime. E´ super f´acil?.

2. (UNITAU - SP) Quanto ao uso de ?a gente?, responda: a) Esta´ adequado tanto na l´?ngua oral informal quanto na b) Esta´ adequado na l´?ngua oral informal por ser a forma usual de se dizer ?no´s?, mas esta´ inadequado na l´?ngua escrita c) E´ o mais adequado na l´?ngua oral informal e na l´?ngua es- d) E´ o mais adequado na l´?ngua oral informal e na l´?ngua es- e) Esta´ adequado na l´?ngua oral formal, mas na~o na l´?ngua escrita formal por querer dizer ?no´s?.

Da´?...?, comuns na l´?ngua oral informal, podem ser substitu´?das a contento na l´?ngua escrita formal pelos seguintes marcadores, respectivamente: e) A princ´?pio... Finalmente... Logo...

Exerc´?cios Complementares 4. (ENEM) O texto mostra uma situac¸a~o em que a linguagem usada ´e inadequada ao contexto. Considerando as diferenc¸as entre l´?ngua oral e l´?ngua escrita, assinale a opc¸a~o que repre- senta tamb´em o uso da linguagem inadequada ao contexto: a) ?O carro bateu e capot^o, mas num deu pra v^e direito.- um pedestre que assistiu ao acidente comenta com o outro que vai b) ?E a´?, ^o meu! Como vai essa forc¸a?- um jovem que fala para c) ?So´ um instante, por favor. Eu gostaria de fazer uma ob- d) ?Venho manifestar meu interesse em candidatar-me ao cargo de Secreta´ria Executiva desta conceituada empresa.- e) ?Porque se a gente na~o resolve as coisas como t^em que ser, a gente corre o risco de termos, num futuro pr´oximo, muito pouca comida nos lares brasileiros.- um professor universita´rio em um congresso internacional.

5. (UFU-MG) Assinale a u´nica alternativa em que na~o ocorre o emprego de expresso~es coloquiais: a) ? Ele pode decidir... - disse P´e-de-Vento. Tinha esperanc¸as de ser escolhido por Quincas para herdar Quit´eria, seu u´nico bem. (J. Amado) Amado) c) ? Boa tarde, damas e cavalheiros. A gente queria ver ele...

(J. Amado) d) ? Apesar dos pesares, ´e meu pai. Na~o quero que seja en- terrado como um vagabundo. Se fosse seu pai, Leonardo, voc^e gostava? (J. Amado) e) ? Fala tamb´em, desgrac¸ado... -Negro Pastinha, sem se le- vantar, espichava o poderoso brac¸o, sacudia o rec´em-chegado, Amado) 6. (UEL-PR) A frase que cont´em uma marca de oralidade ´e: d) Mas, como sou sertanejo, e ?lho de uma fam´?lia metade e) ... talvez eu possa fazer algumas armadilhas para que voc^es me fac¸am perguntas...

L´?ngua Portuguesa 02 Acentua¸c~ao Gr´a?ca Princ´?pios da Acentua¸c~ao Gr´a?ca Na l´?ngua portuguesa, segundo o crit´erio de tonicidade, ou seja, a posic¸a~o da s´?laba to^nica como sendo a u´ltima, a penu´ltima ou a ante-penu´ltima, as palavras sa~o classi?cadas como ox´?tonas, parox´?tonas ou proparox´?tonas, respectivamente. Quando a pa- lavra levar acento gr´a?co, este cair´a sempre sobre a vogal da s´?laba to^nica.

Proparox´?tonas TÔ - NI - CA é uma palavra proparoxítona Exemplos V´?tima, m´edico, ^animo, tita^nico, ra´pido, rid´?culo, m´odulo, ca- tastro´?co, hiperbo´lico.

L´?ngua Portuguesa ? 02 · i ou is: ta´xi, ta´xis, ju´ri · u ou us: ^anus, bo^nus, ^onus · um ou uns: ´albuns, f´orum · ps: b´?ceps, f´orceps · a~ ou a~s: ´?ma~, ´orf~a · - o^o ou o^os: v^oos, enjo^o, ento^o Acentuam-se tamb´em as parox´?tonas terminadas em ditongo oral ou nasal, seguido ou na~o de s. (o´rf~ao, ´orga~os, col´egio, Na~o se acentuam as parox´?tonas terminadas pelas vogais a, e Como particularidade, na~o se acentuam as parox´?tonas termi- nadas em ns, o que faz com que certos termos se acentuem no singular, mas na~o no plural. (h´?fen, hifens, po´len, polens).

Ox´?tonas Acentuam-se as ox´?tonas terminadas em: · a ou as: sof´as, Par´a, Corumba´ e futuros, como amara´ e morrera´s.

Na~o se acentuam, portanto, ox´?tonas terminadas com as vogais i(s) e u(s), de modo que, apesar de bastante frequ¨entes, na~o sa~o adequados escritos em que se leia Pacaembu´, Itu´ ou Barigu¨´?, Ressalte-se tamb´em que as palavras terminadas em z na~o esta~o contempladas pelas regras por serem sempre ox´?tonas: capaz, Monoss´?labos To^nicos Recebem acento os monoss´?labos to^nicos terminados em a, e, Exemplos 1. a(s): pa´, m´a, la´, tr´as;

Pense um Pouco! Diante da vis~ao de um pr´edio com uma placa indicando SA- PATARIA PAPALIA, um jovem deparou com a du´vida: como Levado o problema `a sua sala de aula, a discussa~o girou em torno da utilidade de conhecer as regras de acentuac¸a~o e, espe- cialmente, do aux´?lio que elas podem dar `a correta pronu´ncia de palavras. Apo´s discutirem pronu´ncia, regras de acentuac¸a~o e escrita, tr^es alunos apresentaram as seguintes conclus~oes a respeito da palavra PAPALIA: 275

I. Se a s´?laba to^nica for o segundo PA, a escrita deveria ser PAPA´ LIA, pois a palavra seria parox´?tona terminada em di- II. Se a s´?laba to^nica for LI, a escrita deveria ser PAPAL´IA, pois na~o haveria raza~o para o uso de acento gr´a?co.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Acentue, se necessa´rio, os voca´bulos destacados nas frases a seguir: a) Na~o posso atend^e-lo no momento, mas minha secretaria, dona Vanessa, agendara´ uma reuni~ao para a pr´oxima semana.

b) O aluno Bruno de Alencar deve comparecer imediatamente c) Lu´?s, que agora retornava `a casa paterna, com 30 anos f) E que o arroz na~o falte alem do tolera´vel. (Jos´e Saramago, Memorial do convento) i) Acho desagrada´vel rever velhos albuns de familia.

2. (CESGRANRIO-RJ) Indique o item no qual os voca´bulos obedecem `a mesma regra de acentuac¸a~o da palavra no´doa: e) viu´vo, arg^enteo, so´rdido.

3. O trecho a seguir foi copiado sem acentuac¸a~o. Leia-o aten- tamente e acentue os voca´bulos que assim o exigirem: ?Ainda hoje existe no sagua~o do pac¸o imperial, que no tempo em que se passou esta nossa historia se chamava Palacio del- rei, uma saleta ou quarto que os gaiatos e o povo com eles denominavam o Patio dos Bichos. Este apelido lhe fora dado em consequencia do ?m para que ele enta~o servia: passavam ali todos os dias do ano tres ou quatro o?ciais superiores, ve- lhos, incapazes para a guerra e inuteis na paz, que o rei tinha a seu servic¸o na~o sabendo se com mais alguma vantagem de soldo, ou se so com mais a honra de serem empregados no real servic¸o.?(Manuel Anto´nio de Almeida, Memo´rias de um sargento de mil´?cias).

Exerc´?cios Complementares 4. (UFRGS-RS) A gra?a dos nomes pr´oprios nem sempre se- gue as regras ortogr´a?cas da l´?ngua portuguesa. O nome L´?via, por exemplo, de acordo com a pronu´ncia com que ocorre usu- almente, deve receber acento gr´a?co. A regra que determina o uso do acento neste caso ´e a mesma responsa´vel pelo acento gr´a?co em: e) no´s.

5. O trecho a seguir foi copiado sem acentuac¸a~o. Leia-o aten- tamente e acentue os voca´bulos que assim o exigirem: cupula propriamente dita, surgida nas tres reuni~oes prepara- torias. Apos a ultima delas, em janeiro, um grupo de ONGs (Organizac¸o~es Na~o-Governamentais) lanc¸ou documento con- denando o texto da declarac¸a~o ?nal da Cupula do Homem, ja enta~o em versa~o praticamente de?nitiva. Diziam as ONGs: ?A con?anc¸a exagerada colocada p^elos documentos em forc¸as de mercado inde?nidas e na~o reguladas, como base para a or- ganizac¸a~o das economias nacionais, contradiz nossa opini~ao, segundo a qual tais forc¸as na~o sa~o soluc¸a~o, mas fatores que contribuem para as crises sociais do mundo atual?. Uma das ONGs signatarias ´e o Ibase, o instituto brasileiro dirigido pelo sociologo Herbert de Souza, o Betinho, agora membro do co- mite do Programa Comunidade Solidaria, do governo Fernando Henrique Cardoso. As ONGs na~o esta~o sozinhas na critica ao mercado. No seu discurso na inaugurac¸a~o da reuni~ao, o pre- mie dinamarques Poul Nyrup Rasmussen (social-democrata) foi claro: ?Nos aprendemos que o progresso social na~o se re- aliza simplesmente por meio das forc¸as de mercado?. Ate o presidente da cupula, Juan Somavia, embaixador chileno nas Nac¸o~es Unidas, expressa duvidas na~o sobre o mercado pro- priamente mas sobre a austeridade ?scal, outro preceito zelo- samente guardado pelo FMI. ?Equilibrar o orc¸amento e uma boa coisa, mas por que deve-se alcanc¸ar um equil´?brio macroe- conomico baseado em desequilibrios nas vidas das pessoas??, Folha, 07 mar. 1995.)

L´?ngua Portuguesa 03 Concord^ancia Nominal REGRA GERAL Os termos que dependem do nome (substantivo) com ele con- cordam em g^enero e nu´mero.

Exemplos 1. Adjetivo = Adjunto Adnominal em relac¸a~o a dois ou mais substantivos: A vontade e a intelig^encia humana(s). As conquistas · De g^eneros diferentes: adjetivo concorda com o mais Observac¸a~o: Adjetivo anteposto concorda com o mais pr´oximo.

Um substantivo com dois ou mais adjetivos, temos tr^es possibilidades: Estudamos as civiliza¸co~es grega e romana.

Mesmo, pro´prio, so´, anexo, incluso, junto, bastante, ne- nhum, leso, meio e partic´?pios verbais: concordam em g^enero e nu´mero com o termo a que se referem.

Observac¸a~o: Meio e bastante como adv´erbios ?cam in- Um e outro, nem um nem outro: substantivo no singular + adjetivo no plural.

O(s) mais, menos, melhor(es) ... poss´?vel(eis), pior(es), maior(es) e menor(es): Havia mestres os mais inteligentes poss´?veis.

Adjetivo = Predicativo do Sujeito · Sujeito composto posposto: adjetivo concorda com o Estavam mortos o amor e a compreensa~o humanos.

· Sujeito determinado: adjetivo concorda em g^enero e Adjetivo = Predicativo do Objeto · Objeto simples: adjetivo concorda em g^enero e Encontrei tristonha a mulher abandonada.

Encontrei tristonhos a mulher e o jovem abandona- Dois ou mais numerais + substantivo no singular ou plu- ral.

L´?ngua Portuguesa ? 04 Pense um Pouco! A placa a seguir apresenta erro de concorda^ncia entre o subs- tantivo e o adjetivo em func¸a~o do adjunto adnominal?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Assinale a opc¸a~o em que o emprego do voca´bulo meio na~o obedece `as regras do portugu^es culto: a) Eles estavam meio confusos, agiram de acordo com os co- b) O soldado foi punido porque se apresentou meio b^ebado ao c) As moc¸as estavam meias desatentas `a explicac¸a~o do pro- d) Na~o me venha com meias palavras: exijo que voc^e se ex- e) Era cedo, mas a sala j´a se encontrava meio escura.

2. (UEL-PR) Ao esforc¸o e `a seriedade .......... ao estudo ´e que

3. (UEPG-PR)Acho que a menina ?cara´ ........ aborrecida e) meio - vir - menos.

4. (UEL-PR) Nos debates que .......... durante o torneio, al-

guns dos jovens pareciam ............ desanimados

5. (UEL-PR)-........ que ........ as propostas, na~o ..........

6. (UEL-PR) Esta´ adequadamente ?exionada a forma desta- cada na frase: b) Todos achamos dif´?ceis, nas provas de F´?sica e Matema´tica, c) O sof´a e a banqueta ganharam outro aspecto depois de con- d) A culpa deles aparecia como que inscritas em suas feic¸o~es, e) Ele considerou inu´teis, na atual circunsta^ncia, as medidas que ela sugeria.

7. (UEL-PR) Que ...... das lembranc¸as felizes se entre elas e) seria - houvesse - copiosas.

L´?ngua Portuguesa 04 Concord^ancia Verbal REGRA GERAL Verbo concorda com o sujeito em nu´mero e pessoa.

Exemplos CASOS ESPECIAIS 1. Sujeito Composto b) Posposto: verbo concorda com o mais pr´oximo ou ?ca c) De pessoas diferentes: verbo no plural da pessoa pre- d) Com nu´cleos em correlac¸a~o: verbo concorda com o mais O cientista assim como o m´edico pesquisa(m) a causa do mal.

e) Ligado por COM: verbo concorda com antecedente do f) Ligado por NEM: verbo no plural e, `as vezes, no singu- Nem Paulo, nem Maria conquistaram a simpatia de Ca- g) Ligado por OU: verbo no singular ou plural dependendo Joa~o ou Maria resolveram o problema.

2. Sujeito constitu´?do por a) Um e outro, nem um nem outro: verbo no singular ou d) Expresso~es que indicam quantidade aproximada se- f) Pronomes (inde?nidos ou interrogativos) seguidos de j) Palavras sino^nimas: verbo concorda com o mais A E´tica ou a Moral preocupa-se com o comportamento humano.

3. Verbo acompanhado da palavra se a) se = pronome apas- b) se = ´?ndice de indeterminac¸a~o do sujeito: verbo sempre Necessitava-se naqueles dias de novas ideias.

4. Verbos Impessoais: Verbos que indicam feno^menos da na- tureza, verbo haver indicando exist^encia ou tempo, verbos fazer, ir indicando tempo: esses verbos ?cam sempre na Ontem fez dez anos que ela se foi.

5. Verbo SER a) Indicando tempo, dist^ancia: concorda com o predica- tivo.

Hoje ´e dia 3 de outubro, pois ontem foram 2 e amanha~ b) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o que prevalecer.

c) Com sujeito e predicativo do sujeito: concorda com o d) DAR (bater e soar) + hora(s): concordam com o su- jeito.

6. Sujeito = nome pr´oprio plural: a) Com artigo no singular ou sem artigo: verbo no singu- lar.

Pense um Pouco! EDUCAC¸ A~O: Governo diz que houve erro de interpreta¸ca~o por causa da inclusa~o da palavra ?semestralidade?Reajuste de O t´?tulo da not´?cia acima esta´ inadequado `a norma culta da escrita do portugu^es. Por qu^e?

1. (UEL-PR) .......... as provid^encias necessa´rias para o sane-

2. (UEL-PR) At´e ontem, j´a .... duas mil pessoas desabrigadas e) existiam - haver´a - continuarem.

3. (PUC-SP) Indique a alternativa em que na~o ha´ con- corda^ncia inadequada `a norma culta: e) Devem fazer dois anos que aconteceu um desastre desse tipo.

Exerc´?cios Complementares 4. (PUC-SP) Indique a alternativa em que na~o ha´ con- corda^ncia inadequada `a norma culta: a) Devem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como b) Deve existir poetas que pensam no desastre a´ereo como c) Pode existir poetas que pensam no desastre a´ereo como d) Pode haver poetas que pensam no desastre a´ereo como e) Podem haver poetas que pensam no desastre a´ereo como sendo o arrebol.

5. (UEL-PR) Assinale a alternativa que preenche adequada- mente as lacunas: ...... trabalhadores ociosos porque ...... a produc¸a~o e a exportac¸a~o, e ...... funcion´arios treinados em se- e) Existe - ca´?ram - faltam.

L´?ngua Portuguesa 05 Coloca¸c~ao Pronominal Pr´oclise O pronome ´e colocado antes do verbo. E´ considerada obri- gato´ria em, basicamente, duas situac¸o~es: 279

a) Tipos de orac¸o~es: ? Orac¸o~es interrogativas, quando iniciadas por palavra ou ex- pressa~o interrogativa (?quem?, ?o que?, ?como?, ?onde?, ?por- que?, etc.): ? Orac¸o~es exclamativas: Deus lhe fale n'alma! b) Palavras ?atrativas?: sa~o aquelas que, quando aparecem antes do verbo, obrigam a pr´oclise. Sa~o as seguintes: Palavras negativas (?n~ao?, ?nem?, ?nada?, ?nenhum?, ?ningu´em?, ?ja- mais?, etc.): Canudos na~o se rendeu. (Euclides da Cunha) Conjunc¸o~es subordinativas e pronomes relativos (?que?, ?como?, ?onde?, ?se?, ?cujo?, ?quando?, ?embora?, ?porque?, ?enquanto?, etc.): Trabalho para homem que me respeite. (Jos´e Lins do Rego) Adv´erbios ?agora?, ?ainda?, ?amanha~?, ?antes?, ?breve?, ?de- pois?, ?hoje?, ?ja´?, ?jamais?, ?logo?, ?nunca?, ?ontem?, ?sem- pre?, ?bem?, ?mal?, ?demais?, ?muito?, ?pouco?, ?quase?, ?assim?, ?melhor?, ?pior?, al´em das palavras com su?xo - menterapidamente?, ?certamente?, etc.: Mal se movia, com medo de espantar a pro´pria aten¸ca~o. (Cla- rice Lispector) Se souberem que o autor sou eu, naturalmente me chamara~o potoqueiro. (Graciliano Ramos) Pronomes inde?nidos ?algum?, ?algu´em?, ?todo?, ?tudo?, ?certo?, ?outro?, 'va´rios?, ?qualquer?, etc.: E tudo se passa como eles querem. (P^ero Vaz de Caminha) Geru´ndios precedidos da preposic¸a~o ?em?: Em se tratando de futebol, o Brasil ´e um pa´?s de primeiro mundo.

Mes´oclise O pronome ´e colocado no meio do verbo. So´ sera´ empregada no futuro do presente e no futuro do pret´erito, desde que na~o haja palavra que exija a pr´oclise: As gerac¸o~es futuras perguntar-se-a~o como foi poss´?vel perdurar um governo de generais durante 21 anos. (Imprensa) Repetir-se-a´, assim, o que neste ano ja´ aconteceu com tantos outros feriados. (Visa~o) Agora veja: (As palavras ?ainda?e ?na~o? exigem a pr´oclise)

consolando-o e ouvindo-o com interesse. (Folha de S.Paulo) d) Com verbos no in?nitivo impessoal: A poesia esta´ na cidade, no campo, no mar. O problema ´e descobri-la, surpreend^e-la, ?agra´-la. (Ferreira Gullar)

Pense um Pouco! Pronominais D^e-me um cigarro Diz a grama´tica Do professor e do aluno E do mulato sabido Mas o bom negro e o bom branco Da Na¸ca~o Brasileira Dizem todos os dias Deixa disso camarada Me da´ um cigarro Oswald de Andrade

Figura 4.1: Retrato a` o´leo de Oswald de Andrade, por Tarcila do Amaral.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Preencha as lacunas das frases a seguir com os pronomes entre par^enteses, de acordo com a norma culta da l´?ngua por- tuguesa: a) (se) ?Ningu´em ... arrepiava .., ningu´em manobrava para ?car.?(Jos´e Lins do Rego) b) (se) ?N~ao .. ouvia .. um barulho.?(Jo~ao Anto´nio) c) (lhe) ?A espac¸os, quando o aborrecimento .. vinha .., sa´?a.? d) (se)?.. Lembrou .. enta~o do sangue do prea´, sujando o verde do capim.?(Jos´e Lins do Rego) e) (lhe) ?Que .. importava .. a riqueza do velho Jos´e Pau- lino??(Jos´e Lins do Rego) f) (se) ?Depois, .. escutou .. um tiro seco, no sil^encio.?(Jos´e Lins do Rego) g) (se)?.. Levanta .. e passa os brac¸os no pescoc¸o de Guma.?(Jorge Amado) h) (se) ?E que porcarias .. vendem .. por a´?!?(Jos´e Lins do Rego) i) (me) Na~o conhec¸o ao certo o local onde .. levaram .. na j) (se) ?Os demais .. babando .., sem desgrudar o olhi- nho.?(Dalton Trevisan) 2. (UDESC-SC) Assinale com V a colocac¸a~o verdadeira e com F a colocac¸a~o falsa dos pronomes obl´?quos ´atonos nos per´?odos abaixo: ( ) Talvez a luz cont´?nua e ofuscante tenha-me afetado a ( ) Tudo me parecia bem at´e que me alertaram do perigo que ( ) Em se tratando de artes, preferimos sempre a divina ( ) Dir-se-ia que fatos dessa natureza na~o mais ocorreriam.

A sequ¨^encia correta de letras, de cima para baixo, ´e: a) F, F, V, F, V, V b) V, V, F, V, F, F c) F, V, F, V, V, V d) F, V, V, F, V, V e) V, F, F, V, F, F 3. (UFSC) Assinale as alternativas gramaticalmente correias e em seguida fac¸a a adic¸a~o dos valores a elas atribu´?dos: 01) Vi ontem nosso mais jovem poeta ilh´eu. 02) Re?ro-me `aquele jovem poeta cac¸adorense. 04) Ele na~o queixa-se nunca de seu trabalho. 08) Corri para ajuda´-lo, quando o vi `a porta. 16) Pouco conhece-se a respeito de Let´?cia. 32) Jamais te diria tamanha mentira!

L´?ngua Portuguesa ? 06 Dos itens acima expostos esta~o corretos: a) 1, 2 e 5 b) 3 e 4 c) 2 e 4 d) 4 e 5 e) todos esta~o certos 6. (PUC-PR) Assinale a alternativa em que o pronome LHE na~o pode ser colocado depois do verbo CONTAR: e) Tenho de lhe contar esse epis´odio.

L´?ngua Portuguesa 06 Crase Crase ´e fus~ao de duas vogais id^enticas. Representa-se gra?ca- A crase pode ser representada nos casos: a) A preposic¸a~o a e os artigos a e as: b) A preposic¸a~o a e os pronomes demonstrativos aquele(s), c) A preposic¸a~o a e aos pronomes demonstrativos a e as: Sua opinia~o ´e semelhante a` de Rog´erio.

Outros casos 1. Diante de palavra feminina que admita o artigo a e outra palavra que exija a preposic¸a~o a: Debate aponta risco a` liberdade de expressa~o.

2. Nas locuc¸o~es femininas: · adverbiais: 281 · prepositivas: Capita~o Am´erica e Homem Aranha esta~o a` beira da · conjuntivas: Os alimentos estocados foram vendidos a` medida que crescia o consumo.

Casos em que a crase NA~ O ocorre 1. Diante de palavras masculinas, as quais na~o admitem o artigo a: O passeio foi feito a cavalo.

2. Diante de verbos: 3. Diante de nome de cidade: Observac¸~ao: Se o nome da cidade vier acompanhado de um adjetivo ocorre a crase: Vou frequentemente a` antiga Ouro Preto.

· pronomes pessoais: · pronomes de tratamento: Mandou dizer a Vossa Senhoria que na~o viria ao en- Observac¸~ao: Emprega-se geralmente o acento indi- cados da crase diante dos pronomes senhora e senho- · pronomes demonstrativos: · pronomes inde?nidos: · pronomes relativos: Aquela ´e a senhora a quem apresentamos nossas con- dol^encias.

5. Diante da palavra casa quando na~o vier determinada por adjunto adnominal: Observac¸~ao: Quando a palavra casa vier determinada Chegamos a` casa da cunhada.

6. Diante da palavra terra, quando esta designar terra ?rme: Os marinheiros chegaram a terra.

7. Diante de palavra no plural se o a estiver no singular: 8. Nas locuc¸o~es formadas por palavras repetidas: Ficamos face a face com o inimigo.

9. Diante do artigo inde?nido uma: Os alunos na~o devem submeter-se a uma avalia¸ca~o como esta.

10. Diante da expressa~o Nossa Senhora e de nomes de santos: Ela faz preces dia´rias a Nossa Senhora Aparecida.

Pense um Pouco! Qual o efeito que esta frase pode causar sem o acento indicador da crase?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Nas frases a seguir, assinale o acento indicativo de crase onde for necessa´rio: a) ?Madalena foi a janela e esteve algum tempo debruc¸ada, olhando a rua.?(Graciliano Ramos, Sa~o Bernardo) b) No in´?cio do s´eculo, muitos jogadores aluavam apenas por c) Os bons treinadores de futebol costumam ser in?ex´?veis d) O Departamento de Tra^nsito recomenda cautela ao moto- rista que vai descer a serra hoje para assistir a virada do ano e) ?Enta~o eu perguntava a mim mesmo se alguma daquelas na~o teria amado algu´em que jazesse agora no cemit´erio.?(Machado de Assis, Dom Casmurro) f) ?O padre saiu para o pa´tio, aspirou profundamente o ar, de- pois contemplou a estrada luminosa que atravessava a abo´bada celeste de um lado a outro.?(Jos´e Saramago) g) ?Qualquer lei nova ´e sujeita a cr´?ticas.?(Walter Ceneviva, Folha de S. Paulo, 6/4/95) h) Qualquer lei nova ´e sujeita as cr´?ticas dos membros do Poder Judicia´rio.

2. (UEM-PR) Indicar o per´?odo em que voc^e colocaria o acento grave, indicativo da crase: e) De Vieira a Drummond, muitos voca´bulos descansam em paz.

3. (FUVEST-SP) Indique a alternativa correta: Exerc´?cios Complementares

4. Preencha as lacunas com A ou A` : a) Em uma viagem ......... Ita´lia, Godard conheceu Martin b) Minha u´nica chance de voltar ..... Europa seria ganhar a c) Quando visitei ......Inglaterra, ?quei bastante decepcionado d) Retornei.........Bras´?lia apo´s ter sido derrotado em duas e) .... Am´erica que eu conheci na~o ´e esta que se v^e por a´? f) Apo´s anos, o pintor Michela^ngelo voltou ....... Roma para admirar a pintura que tanto lhe dera fama e prest´?gio em toda a Europa.

5. (UNICENP-PR) Qual a alternativa que aponta a frase in- a) Uma mulher da´ `a luz sobre uma pia enquanto dinheiro do SUS (Sistema U´ nico de Sau´de) ´e desviado para comprar chope c) A` absoluta ine?ci^encia do sistema de arrecadac¸a~o, soma-se d) Na d´ecada de 70, a imagem externa do Brasil era frequen- e) A questa~o social continua priorita´ria demais para ser rele- gada `a segundo plano.

6. (UNIFOR-CE) Marque a alternativa em que o sinal de crase esta´ empregado em todos os casos em que ´e necessa´rio: a) A fam´?lia ?cou `a merc^e do frio, a despeito do fogo que b) O vento entrava `a vontade, restando a fam´?lia a expectativa e) A falta de melhor expressa~o, recorriam `a discursos en´ergicos.

L´?ngua Portuguesa 07 Interpreta¸c~ao de Textos (UDESC - 2005) O que caracteriza a linguagem ?correta?? Na~o uso essa ex- pressa~o. Falo de adequac¸a~o lingu¨´?stica. E´ mais ou menos como roupa. A gente usa de acordo com a situac¸a~o. O ideal seria que todos tivessem um guarda-roupa lingu¨´?stico bem recheado: Seria necessa´rio que o sujeito tivesse dom´?nio da l´?ngua que usa no dia-a-dia, mas fosse tamb´em buscar as variedades. Da´? a func¸a~o da escola, do Estado: prover as pessoas do dom´?nio das variedades formais da l´?ngua. No´s somos um pa´?s essenci- almente monoglota. Na~o me re?ro ao conhecimento de l´?nguas E´ ser capaz de ler o editorial do jornal, mais rebuscado, de E´ ser capaz de ler um cl´assico, ouvir um rap, ler o Almanaque, e por a´? vai. O grosso da populac¸a~o ´e monoglota: domina so´ a l´?ngua do dia-a-dia. Po~e o sujeito para ler um recado do banco, ele na~o entende.

L´?ngua Portuguesa ? 07 Pense um Pouco! A alternativa que melhor resume a id´eia central do texto ´e: f) A l´?ngua padra~o ´e formada por um conjunto de formas con- sideradas como modo correto e socialmente aceita´vel de falar g) A adequac¸a~o lingu¨´?stica ´e como um guarda-roupa bem va- riado, quanto a`s formas lingu¨´?sticas e revelador, ao mesmo h) E´ func¸a~o da escola e do Estado prover as pessoas dos i) O falante brasileiro ´e monoglota, por na~o ter o conhecimento j) A adequac¸a~o lingu¨´?stica se da´ quando o falante ´e capaz de ler editorial do jornal, mais rebuscado, de conversar com o vizinho e de conversar com uma pessoa estranha.

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao 1. Assinale a alternativa que rea?rma a id´eia de que quem a) A id´eia de poliglotismo esta´ associada ao conhecimento de v´arias l´?nguas estrangeiras que sa~o faladas em algumas regi~oes b) Quem domina apenas a l´?ngua que se usa no dia-a-dia, na~o tera´ di?culdades para ler e produzir um texto em l´?ngua c) O falante que tem envolvimento mu´ltiplo nas relac¸o~es sociais d) A atividade educacional na~o ´e coordenada de forma devida pelo Estado; por isso, somos um pa´?s essencialmente mono- e) Buscar as variedades da l´?ngua ´e o mesmo que saber usar a roupa adequada `a situac¸a~o, ´e saber que ha´ uma variedade lingu¨´?stica.

2. Em relac¸a~o ao trecho: ?O grosso da populac¸a~o ´e mono- glota: domina so´ a l´?ngua do dia-a-dia. Po~e o sujeito para ler um recado do banco, ele na~o entende.?(linhas 10 a 12), ´e INCORRETO a?rmar: b) a ?exa~o do verbo po^r foi usada com o sentido de deparar- d) a palavra grosso foi empregada como um recurso indicador 283

3. De acordo com o texto, marque V ou F , conforme a ( ) Quem ´e capaz de ler um cl´assico, ouvir um rap, ler o ( ) O grosso da populac¸a~o ´e monoglota, porque domina ( ) De acordo com o autor, na~o existe linguagem correta, por- que as l´?nguas sa~o um conjunto variado de formas lingu¨´?sticas e cabe ao falante adequar seu uso `as diferentes situac¸o~es de ( ) A escola na~o tem cumprido seu papel; por isso, na~o conseguimos ler um editorial de jornal rebuscado.

Assinale a alternativa que apresenta a sequ¨^encia CORRETA, a) V - F - F - F b) V - F - V - F c) F - V - F - V d) V - V - F - V e) V - F - F - V

Exerc´?cios Complementares fustiguei-o, ele deu dois corcovos, depois mais tr^es, en?m mais um, que me sacudiu fora da sela, com tal desastre, que o p´e esquerdo me ?cou preso no estribo; tento agarrar-me ao ven- tre do animal, mas j´a enta~o, espantado, disparou pela estrada fora. Digo mal: tentou disparar e efetivamente deu dois saltos, mas um almocreve, que ali estava, acudiu a tempo de lhe pegar na r´edea e det^e-lo, na~o sem esforc¸o nem perigo. Dominado o ? Olhe do que vosmec^e escapou, disse o almocreve. E era verdade; se o jumento corre por ali fora, contundia-me deveras, e na~o sei se a morte na~o estaria no ?m do desastre; cabec¸a partida, uma congest~ao, qualquer transtorno ca´ dentro, la´ se Bom almocreve! Enquanto eu tornava `a consci^encia de mim mesmo, ele cuidava de consertar os arreios do jumento, com muito zelo e arte. Resolvi dar-lhe tr^es moedas de ouro das cinco que trazia comigo; na~o porque tal fosse o prec¸o da minha vida - essa era inestima´vel; mas porque era uma recompensa digna da dedicac¸a~o com que ele me salvou. Esta´ dito, dou-lhe Machado de Assis, Memo´rias Po´stumas de Bra´s Cubas.

5. Em ?...mas j´a enta~o, espantado, disparou pela estrada fora.?e ?...contundia-me deveras...?, as palavras destacadas in- dicam, respectivamente: e) tempo e du´vida.

6. Assinale a alternativa em que a palavra que esta´ empregada de forma diferente das demais: c) ?...com tal desastre, que o p´e esquerdo me ?cou preso no e) ?...mas porque era uma recompensa digna da dedicac¸a~o com que ele me salvou.?

L´?ngua Portuguesa 08 Sin^onimos Exemplos Ant^onimos Voca´bulos que apresentam signi?cados opostos.

Exemplos Par^onimos Voca´bulos semelhantes na escrita e na pronu´ncia e que t^em signi?cados diferentes.

Exemplos Hom^onimos Palavras que t^em a mesma pronu´ncia ou gra?a, mas com signi?cados diferentes. Dividem-se em: · Hom´ografos - Heter´ofonos: possuem mesma escrita e o controle - talvez controle.

· Hom´ofonos - Heter´ografos: possuem mesma · Hom´ografos - Hom´ofonos (ou homo^nimos perfei- cedo (verbo ceder) - cedo (adv´erbio).

Pense um Pouco! Mandei meus sapatos para o concerto A cessa~o responsa´vel pela produc¸a~o deste produto ?ca no ?nal Quais os erros nas frases acima?

Exerc´?cios de Aplica¸c~ao O fato passou ..... at´e o momento. Os faltosos foram pegos A alternativa que preenche corretamente, e em sequ¨^encia, as lacunas das frases acima ´e: b) Eminente ? sessa~o ? acendermos ? desapercebido ? fra- c) Eminente ? cess~ao ? ascendermos ? despercebido ? fra- d) Iminente ? sessa~o ? ascendermos ? desapercebido ? ?a- e) n. d. a.

L´?ngua Portuguesa ? 08 2. (UDESC-2005) A alternativa que as palavras em negrito apresentam sentidos diferentes ´e: b) Os rom^anticos atuais divergem dos rom^anticos cen- c) Os velhos casaro~es situam-se ao lado do velho supermer- d) As cenas sa~o centen´arias, bem como centen´aria ´e a pec¸a e) Os grandes homens sa~o avaliados por grandes ac¸o~es.

3. (UDESC-2005) A palavra mesmo pode assumir diferentes signi?cados, de acordo com sua func¸a~o na frase. Assinale a alternativa em que o sentido de mesmo equivale ao que se Aos poucos, as id´eias iam ?cando mais claras, mesmo que ainda sentisse fortes dores de cabe¸ca e no corpo.

a) Os pais agiram com muita ............ . (discric¸a~o/descric¸a~o)

b) Procurei ............ o erro cometido pelo meu auxiliar. (reti-

tia ............. (vultuosa/vultosa)

d) O ............. orador conseguiu convencer a multid~ao de ou-

e) Como ............. uma das leis de tr^ansito, ele acabou rece-

f) O professor foi ...............de louco pelos alunos. (ta-

g) Perdi ............. da minha conta banca´ria. (estrato/extrato)

6. Preencha as lacunas com ante ou anti: a) Ha´ um nu´mero cada vez maior de pessoas que tomam (Jornal do Com´ercio) b) Luiz Mott faz cr´?ticas `a nova lei ......-racismo. (Jornal do 285

Com´ercio) c) As tumbas eg´?pcias eram constitu´?das de uma .......ca^mara, onde as oferendas eram depositadas, e outras salas e corre- (Globo Ci^encia) 7. Associe as colunas, de acordo com a norma, colocando: (A) para sino^nimos (B) para anto^nimos (C) para paro^nimos (D) para homo´grafos - homo´fonos (ou homo^nimos perfeitos) (E) para homo´grafos - heter´ofonos (F) para homo´fonos - heter´ografos

a) ( ) apressar ? aprec¸ar b) ( ) eminente ? iminente c) ( ) ´odio ? amor d) ( ) asco ? nojo e) ( ) a ´agua ? ele ´agua f) ( ) o acordo ? eu acordo 8. Complete os espac¸os com ha´ ou a de acordo com o exigido pela frase: a) Daqui.........tr^es semanas ele vir´a trazer o material que lhe d) Daqui....... Ribeira~o Preto, sa~o 300 km.

Hist´oria Hist´oria Aula 1 Hist´oria de Santa Catarina Colonizadores A hist´oria de Corupa´ esta´ vinculada `as de Jaragua´ do Sul e Joinville. As terras em que foi constru´?da a atual cidade de Corupa´ pertenciam ao espo´lio da Companhia Hamburguesa de Colonizac¸a~o, contratada para ocupar as terras do Pr´?ncipe de Joinville, Franc¸ois de Orleans e da Princesa Francisca Carolina, ?lha de D. Pedro I; e do Conde d'Eu com a Princesa Impe- rial Dona Isabel (herdeira do trono brasileiro). O espo´lio da Hamburguesa foi assumido, em 30 de marc¸o de 1897 pela Com- panhia Hanse´atica de Colonizac¸a~o, que sob a direc¸a~o de Karl Fabri fundou a Col^onia Hansa Humbold. No dia 7 de julho de 1897 foram entregues os primeiros t´?tulos de propriedade aos colonizadores pioneiros. Otto Hillbrecht e Otto Hillbrecht ?lho (lotes 6 e 7) e o taxidermista Wilhelm Ehrahrdt e sua esposa Dorethea (lotes 2 e 3) chegaram da Europa na mesma canoa e foram recebidos pelo agrimensor da Col^onia Hansa, Edu- ard Krish. Os primeiros colonizadores, de posse dos t´?tulos de propriedade, foram acomodados no galpa~o de recepc¸a~o e usando fac~oes, machadinhas e machados, iniciaram a derru- bada da mata para dar in´?cio `a construc¸a~o da atual cidade de Corupa´. As duas fam´?lias, juntamente com a Companhia Co- lonizadora, recepcionaram a segunda leva de imigrantes, cinco meses mais tarde. No dia 5 de dezembro de 1897, chegavam `a Hansa os novos proprieta´rios Wilhelm Ro¨sch, Heinrich Groth e fam´?lia, Josef Mischka e fam´?lia. Cinco dias depois Emil Au- gust Rosenberg tomava posse o?cialmente de seu lote. Com eles chegou tamb´em L´eo Eschweiler. Vinte dias depois, no dia primeiro de janeiro de 1898, chegavam Bruno Muller e Hein- rich Harm. Um total de 787 lotes foram vendidos a europeus na Col^onia Hansa. Os lotes eram pagos a longo prazo em pe- quenas parcelas. O contrato entre a empresa colonizadora e o governo da prov´?ncia determinava que a quantidade de imi- grantes sem recursos para adquirir lotes, que viajavam com as despesas pagas pelo governo brasileiro, fosse equilibrada com a de imigrantes com dinheiro su?ciente para pagar seu lote e ainda oferecer trabalho remunerado aos compatriotas. Os imigrantes que na~o tinham recursos para saldar as d´?vidas ou pagar as prestac¸o~es das terras, trabalhavam para a Sociedade Colonizadora ou para os compatriotas.

´Indios e Caboclos Assim como em todo o pa´?s, os primeiros habitantes da regi~ao eram os ´?ndios Xokleng (ou Botocudos), tamb´em conhecidos pela denominac¸a~o de bugres. Na primeira metade do S´eculo XIX, houve um aumento da colonizac¸a~o europ´eia, levando os ´?ndios Xokleng a se ?xarem pr´oximos aos limites de Santa Ca- tarina e Parana´. Na disputa por terras entre os ind´?genas e os europeus emigrados, a ´area agr´?cola aumentava para os co- lonizadores e diminu´?a para os bugres que foram ?cando con- ?nados e sem alimentos. Mesmo assim, a hist´oria da regi~ao na~o registrou grandes con?itos entre os ind´?genas, os caboclos brasileiros e os colonizadores que, no ato da posse provis´oria da terra, ganhavam naturalidade brasileira. Esta era uma das vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eu- ropeus esponta^neos. Poucos brasileiros moravam nesta regi~ao no tempo da colonizac¸a~o. Na foz do rio Isabel, encontravam- se os ranchos de Manoel Cipriano e de Manoel Floriano. Em Poc¸o d'Anta moravam Alexandre Siqueira, Domingos Siqueira, Jos´e Afonso Moreira, Jo~ao Custo´dio, Romualdo Leopoldino, Maneco do Rosa´rio e Anto^nio Felisbino. Muitos desses bra- sileiros ajudaram a transportar os primeiros imigrantes e os alimentos pelo rio Itapocu. Pouco antes da chegada dos colo- nizadores alema~es, fam´?lias italianas estabeleceram-se nas ime- diac¸o~es do Rio Novo e Itapocu: Domenico Minatti, David de Pauli e Francisco Bagattoli vieram de Blumenau. Logo em seguida, Anto^nio Moretti passou a residir na comunjdiade de Poc¸o d'Anta. E construiu a primeira capela em honra de Santo Anto^nio, do qual havia trazido uma imagem da Ita´lia. O ter- reno foi doado, a 23 de dezembro de 1900, pela Companhia Colonizadora Hanse´atica.

campo tornava-se invia´vel. A grande maioria da populac¸a~o europ´eia eram os exclu´?dos e eram explorados pelos grandes senhores de terras. O empobrecimento da populac¸a~o levou ao ^exodo rural aumentando a urbanizac¸a~o. Com a tecnologia e a mecanizac¸a~o da economia, a Europa deparou-se com um ba- talha~o de desempregados fazendo com que no per´?odo de 1815 a 1920 cerca de 60 milho~es de pessoas emigrassem da Europa, sendo desse total 10% de Alema~es. Aproximadamente 100 a 200 mil vieram para o Brasil em busca de melhores condic¸o~es de vida. As vantagens oferecidas pelo governo brasileiro aos imigrantes eram atrativas, tendo agradado at´e pessoas de si- tuac¸a~o econo^mica razo´avel. Muitos camponeses venderam suas propriedades para custear a viagem e tentarem a vida com maiores facilidades na Am´erica. Um dos principais interesses do governo imperial brasileiro era o de resolver o problema da Para isso, eram enviadas a` Europa agentes que eram remune- rados de acordo com o nu´mero de emigrantes e isto despertou tamb´em o interesse das companhias de navegac¸a~o ciosas de lucro. Aliada a estes fatores, a dif´?cil situac¸a~o ?nanceira da Fam´?lia Real Brasileira leva a negociar para colonizac¸a~o, as terras localizadas na Prov´?ncia de Santa Catarina. Firmando contrato com o Senador Alema~o Christian Mathias Schoroe- Schoroeder & Cia parte da sociedade fundada em 1842 cha- mada ?Sociedade de Protec¸a~o aos Imigrantes no Sul do Bra- sil?que procurava regularizar a emigrac¸a~o esponta^nea para o Brasil. O Governo Central aprovou, a 24 de dezembro de 1757, projeto de uma estrada para interligar Sa~o Francisco do Sul a Curitiba. Os caminhos, verdadeiras picadas abertas em meio `a Mata Atl^antica, delinearam o percurso da futura ferrovia Sa~o Francisco do Sul - Rio Negro-Curitiba.

Antes da Cidade Os primeiros europeus a passarem por terras catarinenses te- riam sido o alema~o Hans Staden, em 1547 e o tamb´em alema~o, o agricultor Johan Ferdinand, enviado pelos espanh´ois com o propo´sito de ensinar agricultura os ´?ndios Carijo´s. Este se- gundo, na verdade, teria percorrido o c´elebre caminho de Pe- abiru, que se iniciava em Barra Velha e que ligava os Andes ao Oceano Atl^antico. Os aventureiros, guiados pelos ´?ndios, estavam interessados nos tesouros Incaicos dos Altiplanos An- dinos. A` ´epoca da colonizac¸a~o de Jaragua´, em 1878, tropas de Em´?lio Carlos Jourdan, passaram por Corupa´ com gado adquirido no Parana´. O pr´oprio Jordan, em 1876, atribuiu nomes a acidentes geogra´?cos da cidade. Em 9 de maio de 1879, uma expedic¸a~o che?ada pelo engenheiro alema~o Albert Kro¨hne, partiu de Sa~o Bento do Sul com a incumb^encia de trac¸ar um caminho entre Sa~o Bento do Sul e Jaragua´, estabe- lecendo assim, a ligac¸a~o entre Curitiba e Sa~o Francisco do Sul e explorando a regi~ao. Em 1883, o agrimensor, top´ografo, en- genheiro meca^nico e cac¸ador de bugres Anto^nio Ferreira Lima, proprieta´rio de terras em Rio Negrinho foi morto pelos ´?ndios botocudos. Entretanto, as picadas abertas pelas expedic¸o~es e pela Companhia Hanse´atica na~o permitiam a passagem de carroc¸as ou carros de boi. At´e mesmo animais eram raros na ´epoca da colonizac¸a~o de Corupa´. Atra´?dos pelas ofertas alardeadas pelas companhias colonizadoras, os europeus atra- vessaram o atla^ntico em busca de uma vida digna e melhor em sua nova pa´tria. Mas apo´s chegarem sentiram-se abandonados `a pr´opria sorte e como na~o tinham os recursos para voltar a` Pa´tria Ma~e, tomaram as provid^encias necessa´rias para ofere- cer escola, igreja, lazer e sustento para si e para os familiares e empregados. A ajuda vinha principalmente da pa´tria-m~ae, distante, mas presente em solidariedade.

Casa e Comida Dif´?cil A condic¸o~es de vida dos primeiros colonizadores era muito preca´ria. As di?culdades iam desde a adaptac¸a~o ao clima tro- pical e `a cultura dos caboclos posseiros, `a presenc¸a invis´?vel dos bugres, at´e `as di?culdades para conseguir alimentos e manti- mentos, visto que precisavam ser transportados de Jaragua´ de canoa, via rio Itapocu, u´nico acesso `a Hansa at´e 1900. O casal Ehrhard abriu, em 1899, a primeira casa comercial da Col^onia. A casa comercial logo foi vendida para o comerciante Georg Czerniewicz, de Jaragua´. E em seguida, para o comer- ciante Heinrich Meyer, de Joinville. A ?lial era gerenciada por Leo Eschweiler. E, mais tarde, em 1907 por Otto Hillbre- cht Jr., que a adquiriu e transformou em empo´rio. Tamb´em em l899, o casal Wilhelm e Maria Pieper fundou o Hotel Sch- raut, o primeiro de Corupa´. Este hotel foi transformado, mais tarde, num hospital pela ?Frauenverein?. Enquanto Pieper E ainda hoje la´ funciona o Hotel Krelling. Um dos primei- ros colonizadores, em seu relato´rio, descreveu as di?culdades iniciais. ?O que foi dif´?cil no primeiro ano, era conseguir ali- mentos. Dependia-se da turma de agrimensores quando eles, T´?nhamos que aproveitar a oportunidade e pedir que trouxes- sem as mercadorias. A` s vezes acontecia de a canoa virar e as mercadorias se encharcarem?. O historiador Jos´e Kormann, no livro Hansa Humbolt ontem, hoje Corupa´ , na pa´gina 57, ?Os troncos rolic¸os do palmito eram enterrados por uma das extremidades para servirem de esteio. Para fazer paredes, os palmitos eram rachados em quatro ou seis partes, formando Essas ripas eram amarradas com cipo´, que tamb´em eram cor- tados em duas partes, de ponta a ponta. Na cobertura usavam caibros e ripas de palmito. A cobertura era feita de folhas de palmeira Guaricana. Isto o imigrante aprendeu de moradores locais, anteriores ao imigrante?. Conseguir fogo era dif´?cil, era preciso mant^e-lo acesso. Por isso o cha~o era de barro batido.

Histo´ria ? Aula 1 fam´?lias residentes. O professor Ernesto Globig, mais tarde nomeada intendente de Hansa, iniciou as aulas na sede da Casa do Imigrante em 1900. Em 1909, foi constru´?do o pr´edio pr´oprio, em alvenaria. Em 5 de novembro de 1899 era fundada a comunidade evang´elica de Hansa Humbold. Os primeiros cul- tos eram realizados nas casas dos imigrantes. E, ?nalmente, no dia 16 de dezembro de 1906 foi lanc¸ada a pedra fundamental Assim, em 1902, Heinrich Meyer fundava o terceiro neg´ocio de Hansa Humboldt. Otto Lo¨?er, com um pequeno capital, construiu a primeira cervejaria na estrada Itapocu. Na estrada Bomplandt, assim nomeada em homenagem ao amigo do natu- ralista alema~o Alexander Von Humboldt (homenageado com o nome da Col^onia), foi instalada a primeira atafona que per- tencia a Gustav Ho?mann.Luiz Schroeder abriu o primeiro ac¸ougue. At´e 1906, os cultos das con?sso~es Cat´olica e Lu- Em 1906, o imigrante Roberto Seidel, abre sua ?arbori?e ?ori- cultura. A localizac¸a~o ´e a mesma de onde ainda hoje funciona o Orquida´rio Catarinense. Seu ?lho Alvim Seidel dedica-se, desde o ano de 1950 ao orquid´ario, que al´em de comercializar e cultivar, desenvolve pesquisas, j´a tendo descoberto e regis- trado mundialmente, quase uma centena de novas esp´ecies de orqu´?deas e brom´elias em suas incurso~es pela mata da regi~ao.

Autonomia Administrativa Em 1908, Hansa foi elevada `a categoria de distrito de Join- ville e ´e nomeado seu intendente, Ernst Rucker. Somente em 1910 teve in´?cio a iluminac¸a~o pu´blica `a querosene .Os lampio~es pendurados em postes de madeira, eram acesos ao anoitecer e apagados `as 22 horas diariamente por Christian Hunold. Num sala~o de sua propriedade funcionou, tamb´em, a primeira es- cola. A primeira professora foi Ju´lia Fernandes. Neste per´?odo um primeiro susto acometeu a comunidade de Hansa. A admi- nistrac¸a~o central de Joinville recomendava que toda a corres- pond^encia fosse escrita em Portugu^es e al´em de ser habitada praticamente so´ por alema~es, Hansa na~o tinha escola em Por- tugu^es que possibilitasse aos imigrantes ou mesmo a seus ?lhos, aprenderem a L´?ngua Nacional. O primeiro trem chegou em julho de 19l0, vindo de Sa~o Francisco do Sul. Com o trem chegou a esperanc¸a de um progresso mais ra´pido. Mas al´em de facilitar o transporte de toda sorte de produtos, desde ali- mentos a produtos para comercializac¸a~o, o trem trazia e levava Alguns foram trabalhar na construc¸a~o da ferrovia e outros se- Ha´ cem anos, Hansa Humbold experimentava um crescimento surpreendente. No Distrito havia v´arias indu´strias, serrarias, olarias, moinhos e atafonas, ferrarias, f´abricas de carroc¸as, bar- ris, tamancos, chicotes, lac¸os, canoas, charutos e cigarilhas, instrumentos musicais, pinc´eis e escovas, m´oveis e refrigeran- tes; cervejarias, selarias, funilarias, construtores (pedreiros), queijarias, alfaitarias, tecelagens e dezenas de pequenos co- merciantes de produtos artesanais e aliment´?cios, bem como engenhos de arroz atendiam as necessidades dos habitantes e rendiam boas somas na comercializac¸a~o com outras localida- des. Aumentava consideravelmente nu´meros de sociedades e ligas formadas pelos moradores com o intuito de promover a educac¸a~o, a cultura, o lazer e assist^encia aos habitantes.

289 Come¸car Tudo de Novo No entanto, entrecortada por rios, Hansa sofreu, em 1910, a primeira grande enchente. Sociedades promoveram concertos, teatros, quermesses e recitais com o propo´sito de angariar fun- dos para socorrer as fam´?lias atingidas. Os preju´?zos foram enormes. As rec´em-constru´?das pontes sobre os rios Humbold e Novo foram levadas pelas ´aguas. Reconstru´?-las exigiu, al´em da doac¸a~o de 75% do sala´rio do intendente, doac¸o~es dos mora- dores.Em outubro de 1917, o Brasil declarou guerra `a Alema- nha e as relac¸o~es entre os dois pa´?ses prejudicou francamente os imigrantes em solo brasileiro. Iniciou-se o movimento naci- onalista e a l´?ngua estrangeira foi gradativa, mas efusivamente proibida em solo nacional. Os imigrantes, embora tivessem sido nacionalizados no ato da colonizac¸a~o, eram brasileiros sem governo e alema~es sem Pa´tria. Logo apo´s a 1a. Guerra Mun- dial (1914-1918) o movimento de nacionalizac¸a~o provocou o fechamento das escolas alema~s. E´ fundada, enta~o a primeira escola pu´blica e brasileira. A vida cultural voltou a mover as sociedades de atiradores, a gina´stica, a mu´sica do Jazz Elite, corais e grupos teatrais. As sociedades das senhoras, bem como a produc¸a~o e comercializac¸a~o dos produtos locais estavam em alta. En?m, a tranqu¨ilidade voltou a reinar e o progresso acompanhava o crescimento do distrito. Em ?ns de 1931, foi conclu´?da a Escola Aposto´lica Semina´rio Sagrado Corac¸a~o de Jesus. Entretanto, os imigrantes alema~es naturalizados bra- sileiros, ainda sofreram com nova investida do movimento de nacionalizac¸a~o, em 1943, durante a 2a. Guerra Mundial. Al´em da mudanc¸a do nome do enta~o Distrito Hansa Humbold para Corupa´, muitos de seus moradores, que constru´?ram com as pr´oprias m~aos e dinheiro a cidade, foram perseguidos como se fossem inimigos da nac¸a~o brasileira. Alguns tiveram que mudar o pr´oprio nome. Escolas, sociedades e igrejas foram fe- A emancipac¸a~o pol´?tica de Corupa´ se deu pela Lei 348, de 21 de julho, de 1958. A instalac¸a~o no novo munic´?pio foi no dia 25 de julho de 1958. Conforme dados do censo de1950, Corupa´ contava com 1592 habitantes (761 homens e 831 mulheres).

Os Dias Atuais A economia esta´ baseada na agricultura e pecu´aria, explorada por minifu´ndios. Corupa´ ocupa o 94o lugar na arrecadac¸a~o de ICM do Estado e 25o em qualidade de vida. A agricultura baseia-se principalmente na produc¸a~o de banana, arroz, milho, mandioca, fumo e olericultura (hortalic¸as). Corupa´ ´e o maior produtor de bananas do Estado. Possui cerca de 68 indu´strias de pequeno e m´edio porte, destacando-se as de vestua´rio, me- talurgia, artefatos de madeira e m´oveis. A cidade, que j´a pos- suiu uma esp´ecie de Spa na d´ecada de trinta, se prepara para liderar o roteiro tur´?stico da regi~ao. As belas paisagens, a rota das cachoeiras, o clima tranqu¨ilo de cidade interiorana e tranqu¨ila, grutas, orqu´?deas, vit´oria r´egia gigante e as cons- truc¸o~es do in´?cio do s´eculo passado e os jardins cuidados com carinho e esmero pelos habitantes, sa~o algumas das atrac¸~oes tur´?sticas de Corupa´.

?? 1 0, 700 kg · m/s a 135? com a direc¸~ao inicial da bola. 2 A) I = -m 2gh , B) Q = -m 2gh , C) S~ao iguais, pois I = Q 3 A) Sendo m = 500 g e hi = 1, 25 m temos I = -2, 5 N · s , B) Sendo m = 500 g e hf = 0, 80 m temos I = -2, 0 N · s Mec^anica ? Aula 12 1 0, 133 m/s 2 4, 0 m/s 3 0, 67 m/s 4 3, 75 m/s 5 70 kg 6 D) 7 ) 60 s , ) Conservac¸~ao do momento linear num sistema isolado.

Mec^anica ? Aula 13 1 A) 2 A) vn = -v0/3 e vd = 2v0/3 , B) vn = vf = v0/3. N~ao, pois a energia cin´etica n~ao ´e mais conservada. 3 vb = 1, 6 m/s, invertendo o seu sentido. 4 v1 = 3, 0 m/s e v2 = 8, 0 m/s, respectivamente. 5 A) 45? com a horizontal. , B) v0 = 20 m/s , C) I = 10 kg · m/s 6 C) Mec^anica ? Aula 14 1 B) 2 A) 3 A) Ambas as forc¸as tem mesma intensidade pois s~ao do tipo ac¸~ao-reac¸~ao. , B) Porque a m~ao est´a protegida pela luva. 4 A) 20.000 N , B) O caminh~ao. , C) No autom´ovel. 5 4, 0 m/s2 6 O remo empurra a ´agua para tr´as, sofrendo uma reac¸~ao para frente, que ´e ransmitida ao barco. 7 A) 2, 0 m/s2 , B) 10 N 8 C) Mec^anica ? Aula 15 1 B) 2 c) 3 B) 4 A) 5 A) 6 C) Gravitac¸~ao ? Aula 1 2 E) 3 B) 4 E) 5 C) 6 C) 7 C) Gravitac¸~ao ? Aula 2 1 B) 2 E) 3 A) 4 A) 5 E) 6 D) 7 D) Gravitac¸~ao ? Aula 3 1 A) 39, 2 N , B) 6, 4 N 2 N~ao. A balanc¸a de farm´acia compara massas e portanto mede a massa do indiv´?duo. 3 A) 4 D) 5 c) 6 A) Sim. , B) P = (1 kg) ? G , C) A mesma (1 kg) 7 4, 0 kg Gravitac¸~ao ? Aula 4 ? 1 TAC = 50 3 N e TBC = 50 N 2 B) 4 kg 3 FA = 300 N e FB = 100 N 4 Ny = 1833, 3 N e Nx = 1166, 7 N 5 -3, 6 N · m, 0 e 4 N · m 6 A) 0 N , B) 48 N · m , C) 24 N · m O´ tica ? Aula 1 1 9, 46 × 1015 m 2 H = 90m 3 D = 30cm 4 i = 55? 5 x = 2d + D O´ tica ? Aula 2 1 B) p? = 3/2 m e i = 2, 5 cm 2 A) p = 12 cm , B) 0, 6 cm 3 A) 26, 7 cm , B) 80 cm 4 A) -30 cm , B) -60 cm 5 B) 6 A) 35 cm do espelho. , B) 210 cm O´ tica ? Aula 3 1 n = 1, 25 2 n = 2 3 A) na/nv = 8/9 , B) vv/va = 8/9 , C) O ´?ndice de refrac¸~ao de um meio ´e inversamente proporcional `a velocidade da luz no meio. 4 n = 1, 732 5 n = 1, 58 6 A) O meio A. Ao passar de B para A o feixe se aproxima da normal. , B) No meio B, pois ´e menos refringente que o A.

Histo´ria ? Aula 1 293

O´ tica ? Aula 5 1 20 cm 2 A: +2 di (convergente) e B: -2 di (divergente) 3 +1 di 4 A) Divergente. , B) -5 di Fluidos ? Aula 1 1 1 g/cm3, 103 kg/m3, 1 kg/l 2 11, 2 kg 3 A) 0, 3 g/cm3 , B) 1, 1 g/cm3 4 1, 05 × 104 P a, 0, 1 atm 5 A) Porque a ´area de contato do pneu de bicicleta com o ch~ao ´e muito pequena, a press~ao deve ser grande. , B) ptotal ? 2, 75 atm , C) A manom´etrica, pois mede a diferenc¸a de press~ao entre o interior e o exterior do pneu.

Termodin^amica ? Aula 4 1 B) 2 A) 3 E) 4 D) 5 A) 6 A) Termodin^amica ? Aula 5 1 C) 2 B) 3 A) 4 B) 5 A) 6 E) Termodin^amica ? Aula 6 1 E) 2 B) 3 A) 4 D) 5 B) 6 B) Termodin^amica ? Aula 7 1 D) 2 E) 3 A) 4 C) , E) 90 g 5 D) 6 C) Termodin^amica ? Aula 8 1 A) 2 B) 3 C) 4 B) 5 E) 6 D) Termodin^amica ? Aula 9 1 D) 2 A) 3 A) 4 B) 5 D) 6 C) Termodin^amica ? Aula 10 1 D) 2 A) 3 E) 4 C) 5 A) 6 B) Termodin^amica ? Aula 11 1 E) 2 A) No intervalo de t1 at´e t2. , B) No intervalo de t3 at´e t4. , C) 10, 2 kcal 3 C) Eletricidade ? Aula 1 1 qA = Q/2, qB = qC = Q/4 2 A) L~a (-), vidro (+) , B) L~a (+), cobre (-) 3 D) 4 A) Enconstar as tr^es esferas simultaneamente e afast´a-las. , A) Enconsta-se B e C, aproxima-se A de B, afasta-se C. , A) Imposs´?vel. 5 D) 6 C) 7 A) Eletricidade ? Aula 2 1 Diminui para F/16 2 F? = 3F/4 3 A) Empurra os el´etrons do eletrosc´opio para as extremidades (hastes), afastando-as. , B) Parte da carga do corpo passa para o eletrosc´opio, afastando suas hastes. 4 2, 0 × 10-7 C 5 ) c) 6 D) Eletricidade ? Aula 3 1 A) +7, 5 × 10-2 N , B) Para a direita, no sentido da forc¸a el´etrica. 1 C) -7, 5 × 10-2 N , para a esquerda. 2 A) 0, 144 N , B) 28, 9 kN/C 3 A) 2 × 103 m/s2 , B) 16.000 m/s 4 A) 4, 44 × 10-10 C , B) 44, 4 N/C 5 4, 9 mC 6 -0, 05 C Eletricidade ? Aula 4 1 8 × 10-7 V 2 A) V = 0 , B) E = 9, 0 × 105 N/C, da carga positiva para a negativa. , C) Que a soma de grandezas escalares e vetoriais ´e diferente. 3 A) 1 kV , B) -1 kV 4 A) 1, 0 × 10-7 C , B) 900 V /m 5 5, 4 × 105 V , se a carga negativa e o v´ertice A, pertencerem ao mesmo lado, sen~ao, 2, 22 × 106 V . 6 W = -45 mJ , negativo porque as cargas se repelem, e a forc¸a esterna deve ser contr´aria ao deslocamento.

Histo´ria ? Aula 1 295

a esfera B tinha excesso de el´etrons. 6 A) 6, 25 × 1012 , B) A esfera A, pois a esfera B tem mais el´etrons do que a esfera A. 7 A) 6, 4 × 108 V , B) 4, 55 × 105 C Eletricidade ? Aula 7 1 A) V1 = 2 kV , V2 = 4 kV e V3 = -4 kV 2 ) C/2 3 56, 5 kV /m 4 A part´?cula n~ao tem energia su?ciente para atingir a segunda placa. 5 E) 6 B) 7 1, 8 × 10-4 C Eletricidade ? Aula 8 1 R$ 3,47 2 12, 5 µF 3 17, 1 µF 4 810 J 5 V1 = V2 = 20 V e Q2 = 6, 0 × 10-5 C 6 50 V 7 B) Eletricidade ? Aula 9 1 C) 2 D) 3 A) 4 C) 5 E) , E) R = 6 6 D) Eletricidade ? Aula 10 1 D) 2 C) 3 B) 4 A) 5 C) 6 C) 7 E) Eletricidade ? Aula 11 1 C) 2 B) 3 D) 4 A) R2 = {101, 8 , 0, 2 } , B) P2 = {101, 7 W, 4, 1 W } Eletricidade ? Aula 12 1 D) 2 C) QU´IMICA Qu´?mica ? Aula 1 1FVFVVV Qu´?mica ? Aula 2 5 B) Qu´?mica ? Aula 3

Qu´?mica ? Aula 4 Qu´?mica ? Aula 5 Qu´?mica ? Aula 6 Qu´?mica ? Aula 7

Qu´?mica B ? Aula 4 1 C) 3 C) 4 B) 5 B) Qu´?mica B ? Aula 5 1 61 2 C) 3 E) 4 D) 5 E) 6 E) Qu´?mica B ? Aula 6 1 D) 2 C) 3 D) 4 E) 5 C) 6 E) Qu´?mica B ? Aula 7 1 C) 2 E) 3 A) 4 C) 5 C) 6 E) Qu´?mica B ? Aula 8 1 E) 2 E) 3 D) 4 B) 5 D) 6 B) Qu´?mica B ? Aula 9 1 E) 2 B) 3 E) 5 C) 6 E) 7 C) Qu´?mica B ? Aula 10 1 D) 2 B) 3 E) 5 A) 6 B) Qu´?mica B ? Aula 11 3 E) 5 D) 6 D) 7 E) 8 B) Qu´?mica B ? Aula 12 2 21 Qu´?mica Org^anica ? Aula 1

Qu´?mica Org^anica B ? Aula 2 MATEMA´ TICA Matem´atica A ? Aula 1

Matem´atica A ? Aula 2 Matem´atica A ? Aula 3 Matem´atica A ? Aula 4

Histo´ria ? Aula 1 297

Matem´atica A ? Aula 9 Matem´atica A ? Aula 10 Matem´atica B ? Aula 1

Matem´atica B ? Aula 2 Matem´atica B ? Aula 3 Matem´atica B ? Aula 4

Matem´atica B ? Aula 5 Matem´atica B ? Aula 6 Matem´atica B ? Aula 7

Matem´atica C ? Aula 1 Matem´atica C ? Aula 2 Matem´atica C ? Aula 3

Matem´atica C ? Aula 4 Matem´atica C ? Aula 5 Matem´atica C ? Aula 6

Matem´atica C ? Aula 7 Matem´atica C ? Aula 8 Matem´atica C ? Aula 9

Matem´atica C ? Aula 10 Matem´atica C ? Aula 11 Matem´atica C ? Aula 12

Matem´atica C ? Aula 13 Matem´atica C ? Aula 14 Matem´atica C ? Aula 15

Matem´atica C ? Aula 17 Matem´atica C ? Aula 18 Matem´atica C ? Aula 19

Matem´atica C ? Aula 20 L´INGUA PORTUGUESA L´?ngua Portuguesa ? 01 1 C) 2 B) 3 D) 4 E) 5 A) 6 D) L´?ngua Portuguesa ? 02 1 A) secret´aria , D) partir´a , F) al´em , G) v^oo , H) f´orceps , I) ´albuns ? fam´?lia 2 C) 3 hist´oria, Pal´acio, P´atio, consequ¨^encia, tr^es, inu´teis, s´o. 4 A) 5 pol^emica, cu´pula, preparato´rias, Ap´os, u´ltima, Cu´pula, j´a, signat´arias, soci´ologo, comit^e, Solid´aria, cr´?tica, dinamarqu^es, N´os, At´e, cu´pula, du´vidas, equil´?brio, macro-econ^omico, desequil´?brios.

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