01. cálculo diferencial e integral de uma variável (cálculo i)

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C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues

UNIP UNIDADE UNIVERSIT?üRIA DE SOROCABA ENGENHARIA MECATR?öNICA / EL?ëTRICA-1??ANO

C?üLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARI?üVEL (C?üLCULO I) ALUNO:_______________________________ RA.:___________

TURMA:______________________________ SALA:__________ PROF. MACHADO

1. Sistema Cartesiano Ortogonal…………………………………………………………………………02

2. Vari?íveis e Constantes…………………………………………………………………………………..02

3. Fun?º?Áes……………………………………………………………………………………………………….03

3.1. Fun?º?úo Constante…………………………………………………………………………………..03

3.2. Fun?º?úo Afim……………………………………………………………………………………………04

3.3. Equa?º?úo da reta que ÔÇ£passaÔÇØ por um ponto dado………………………………………..05

3.4. Fun?º?úo Quadr?ítica………………………………………………………………………………….06

3.5. Exerc?¡cios de Fun?º?Áes…………………………………………………………………………….07

3.6. Fun?º?Áes Trigonom?®tricas…………………………………………………………………………11

3.6.1. Fun?º?úo Seno…………………………………………………………………………………11

3.6.2. Fun?º?úo Co-seno…………………………………………………………………………….12

3.6.3. Fun?º?úo Tangente……………………………………………………………………………13

3.6.4. Fun?º?úo Co-tangente, Secante e Co-secante……………………………………..13

3.6.5. Exerc?¡cios propostos de trigonometria………………………………………………13

3.7. Fun?º?úo Exponencial………………………………………………………………………………..14

3.8. Logaritmo……………………………………………………………………………………………….15

3.9. Fun?º?úo Logaritmo……………………………………………………………………………………16

4. Derivadas……………………………………………………………………………………………………..17

4.1. Taxa de varia?º?úo…………………………………………………………………………………….17

4.2. No?º?Áes intuitiva de Derivada…………………………………………………………………….18

4.3. A Derivada como Velocidade……………………………………………………………………21

4.4. Regras de Deriva?º?úo……………………………………………………………………………….23

4.5. Exerc?¡cios resolvidos……………………………………………………………………………….24

4.6. Exerc?¡cios propostos……………………………………………………………………………….25

4.7. Regra da Cadeia……………………………………………………………………………………..26

4.8. Derivada Impl?¡cita……………………………………………………………………………………27

4.9. Exerc?¡cios propostos……………………………………………………………………………….28

5. No?º?Áes de Integra?º?úo…………………………………………………………………………………….30

5.1. Integral Indefinida……………………………………………………………………………………30

5.2. Regras de Integra?º?úo………………………………………………………………………………30

5.3. Exerc?¡cios Resolvidos………………………………………………………………………………31

5.4. Exerc?¡cios Propostos……………………………………………………………………………….32

5.5. M?®todo da Substitui?º?úo……………………………………………………………………………32

5.6. Exerc?¡cios Resolvidos………………………………………………………………………………33

5.7. M?®todo da Integra?º?úo por Partes………………………………………………………………34

5.8. Tabela de Integrais imediatas……………………………………………………………………36

5.9. Integrais Definidas…………………………………………………………………………………..36

5.10. Propriedades da Integral Definida……………………………………………………………38

5.11. Exerc?¡cios Resolvidos…………………………………………………………………………….39

5.12. Exerc?¡cios Propostos……………………………………………………………………………..40

5.13. Exerc?¡cios Gerais de Integral…………………………………………………………………..41

5.14. Exerc?¡cios Resolvidos…………………………………………………………………………….43

6. Gabarito dos Exerc?¡cios Propostos (livro indicado pela Unip)………………………………48

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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL* 1. Coordenadas cartesianas ortogonais Seja ? o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota- se a seguinte nomenclatura: c) Coordenadas de P s?úo os n??meros reais xP e yP indicados na forma de um par f) O plano formado pelo par de eixos Ox e Oy ser?í chamado plano cartesiano; g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy ?® chamado sistema cartesiano y

P2 xP (abscissa de P) P(x ; y) ?À yP (ordenada de P) O P1 x

? NOTA: Os eixos coordenados Ox e Oy dividem o plano cartesiano em quatro regi?Áes angulares que s?úo denominadas quadrantes: y

2?? quadrante (- ; +) 1?? quadrante (+ ; +) O x

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Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A(4 ; 3) , B(?1; 3) , C(?3 ; ?4) , D(4 ; ?2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4) y

x VARI?üVEIS E CONSTANTES A grande finalidade dos n??meros ?® sua utiliza?º?úo no sistema de medidas das Uma constante ?® uma quantidade cujo valor permanece invari?ível num problema particular, como por exemplo: altitude de uma regi?úo, temperatura em que a ?ígua Uma vari?ível ?® uma quantidade que assume diversos valores num determinado problema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma dist?óncia A matem?ítica trabalha basicamente com vari?íveis e constantes. As vari?íveis ou quantidades que mudam na realidade ou nas nossas simula?º?Áes s?úo em geral representadas pelas ??ltimas letras do alfabeto: x, y, z, …. . As constantes s?úo em geral Existem dois tipos de constantes: a) constantes absolutas que sempre t?¬m o mesmo valor: n??meros ou s?¡mbolos denotando n??meros (ex. temperatura em que a ?ígua ferve, valor de ?, etc.); b) constantes param?®tricas que t?¬m o mesmo valor em cada problema dado, mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Tais Exemplo: 1) Na equa?º?úo da ?írea de um c?¡rculo, A = ?r2 temos que: A e r s?úo vari?íveis .

xy 2) Na equa?º?úo segmentaria da reta + = 1 , temos: ab x e y s?úo vari?íveis

NOTA: Na matem?ítica aplicada freq??entemente convenciona-se representar uma vari?ível pela primeira letra do seu nome ÔÇô por exemplo: p para pre?ºo, q para quantidade, c para custo, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante.

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FUN?ç?òES 1. Defini?º?úo ÔÇô dizemos que uma rela?º?úo f de um conjunto A em um conjunto B, n?úo vazios, ?® uma fun?º?úo de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A se relaciona com um ??nico elemento (y) de B. Essa rela?º?úo ?® denotada por y = f(x). Nota?º?úo: f:A B x y = f(x) NOTA: x ?® denominado de vari?ível independente e y de vari?ível dependente, ou seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente ?® expresso por uma lei de forma?º?úo ou lei de depend?¬ncia, por exemplo: y = 2.x + 3 2. Dom?¡nio ÔÇô o conjunto A ?® denominado de dom?¡nio da fun?º?úo , indicado por D(f) e 3. Contradom?¡nio ÔÇô o conjunto B ?® denominado contradom?¡nio da fun?º?úo, indicado 4. Imagem ÔÇô o conjunto imagem da fun?º?úo ?® o conjunto de valores que a vari?ível AB A ?® o dom?¡nio ou seja, conjunto de partida B ?® o contradom?¡nioÔÇô conjunto de chegada xfy Conjunto Imagem da fun?º?úo : Im (f) y ?® a imagem do dom?¡nio x Im(f) = { y ? B | ? x ? A com y = f(x) } Observa?º?Áes: 1. Uma fun?º?úo definida em valores reais f: A B , A e B s?úo subconjuntos reais; 2. Por simplifica?º?úo, deixamos muitas vezes de explicitar o dom?¡nio e o contradom?¡nio da fun?º?úo f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica impl?¡cito que o contradom?¡nio ?® real e o dom?¡nio o ÔÇ£maiorÔÇØ subconjunto dos reais para o qual a 3. Algumas fun?º?Áes que comumente s?úo usadas na matem?ítica e por serem utilizadas muitas vezes em opera?º?Áes na pr??pria matem?ítica ou nas aplica?º?Áes de fen??menos f?¡sicos, qu?¡micos ou biol??gicos, ou na ?írea econ??mica, s?úo denominadas fun?º?Áes elementares. No estudo de tais fun?º?Áes, necessitamos sempre de informa?º?Áes, tais como: Dom?¡nio, Imagem, Ra?¡zes, gr?íficos e suas principais propriedades.

I. FUN?ç?âO CONSTANTE 1. Defini?º?úo ÔÇô f: R R ?® uma fun?º?úo constante se para cada x ? D(f) existe um ??nico y tal que f(x) = k ou y = k, k ?® uma constante real f: R R x y=k 2. O gr?ífico da fun?º?úo constante ?® uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k) y

k (0; k) ? Im(f) = { k }

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II. FUN?ç?âO AFIM (ou fun?º?úo polinomial do 1?? grau) 1. Defini?º?úo ÔÇô denomina-se fun?º?úo afim a fun?º?úo f: R R x y = ax + b , com a ? 0

2. Gr?ífico ÔÇô o gr?ífico da fun?º?úo afim ?® uma reta (n?úo vertical)de coeficiente angular a e coeficiente linear b, ou seja, a reta que ÔÇ£passaÔÇØ pelos pontos (0 ; b) e (?b/a ; 0). Para y a>0 (f ?® estritamente Para crescente) y

?b/a ? (?b/a ; 0) x b ? b ? (0 ; b) a<0 (f ?® estritamente decrescente) (0 ; b)

(?b/a ; 0) ? ?b/a x Nota: o ponto onde a reta ÔÇ£cortaÔÇ£ o eixo x recebe o nome de raiz da fun?º?úo e ?® obtido fazendo y = o Temos: y = ax + b se y = 0 ax + b = 0 ax = ? b x = ? b/a que ?® a raiz ou zero da fun?º?úo se x = 0 y = 0.x + b y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta ÔÇ£cortaÔÇØ o eixo dos y .

3. Inclina?º?úo A inclina?º?úo da reta ?® o ?óngulo ÔÇ£convexoÔÇØ? entre o eixo x e a reta r, sempre medido de x para r no sentido anti-hor?írio. As ??nicas situa?º?Áes poss?¡veis s?úo: Reta Horizontal

y ?r x ? = 0?? Reta ÔÇ£CrescenteÔÇØ y r ? x 0?? < ? < 90?? Reta Vertical

y r ? ? x ? = 90?? Reta ÔÇ£DecrescenteÔÇØ y r ? x 90?? < ? < 180?? 4. Coeficiente angular da reta O coeficiente angular, ou declividade da reta r, n?úo vertical, ?® a tangente trigonom?®trica do ?óngulo ?, ou seja, a = tg ? NOTA: Alguns autores denotam a fun?º?úo do 1?? grau por y = mx + n, neste caso: m = tg ?

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y P y (0 ; n) ? ?À y=yÔÇôn ? x 0 xx A partir do ponto (0 ; n), para uma varia?º?úo x de x haver?í uma correspondente No tri?óngulo ret?óngulo do gr?ífico acima temos que: y y-n tg ? = = x . tg ? = y ÔÇô n y = tg ? . x + n xx m Portanto, m = tg ? 4.1. Como obter o coeficiente angular ÔÇ£mÔÇØ sendo dados dois pontos: y r P2 y2 ?

y2 ÔÇô y1 y1 P1 ? ? ?À ? x2 ÔÇô x1 x1 x2 x

Seja r uma reta, n?úo vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r. No tri?óngulo ret?óngulo da figura, temos: y-y tg ? = 2 1 x2 - x1 y2 - y1 m= x2 - x1

5. Equa?º?úo da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo) Se Q(x ; y) ?® qualquer outro ponto da reta (isto ?®, um ponto gen?®rico), ent?úo pode ser usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou y - yo declividade da reta: m = e, como a declividade ?® constante, podemos x - xo escrever: y ÔÇô yo = m . (x ÔÇô xo)

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III. FUN?ç?âO QUADR?üTICA (ou polinomial do 2?? grau) 1. Defini?º?úo ÔÇô denomina-se fun?º?úo quadr?ítica ou fun?º?úo polinomial do 2?? grau a fun?º?úo f:R R x y = ax2 + bx + c , com a ? 0

2. Gr?ífico ÔÇô o gr?ífico da fun?º?úo polinomial do 2?? grau ?® uma par?íbola nas seguintes condi?º?Áes: >0 =0 <0 a>0

a<0 y x1 x2 x x1 ? x2 y x x1 ? x2 y x1 = x2 x

y x1 = x2 x y x ?x? R y ?x? R x Os pontos onde o gr?ífico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-se interceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto (0 ; c).

= b2 ÔÇô 4ac ?® o discriminante (determina o n?? de ra?¡zes reais da fun?º?úo). As ra?¡zes ou zeros da fun?º?úo polinomial do 2?? grau s?úo obtidas atrav?®s da f??rmula de -b ?? B?íscara : x = 2a NOTA 1: Se > 0, a fun?º?úo tem duas ra?¡zes reais e distintas: -b+ -b- x1 = e x2 = , podemos escrever: 2a 2a f(x) = a . (x ÔÇô x1) . (x ÔÇô x2)

NOTA 2: Se = 0, a fun?º?úo tem uma ??nica raiz real de multiplicidade 2: -b x1 = x2 = , neste caso, podemos escrever: 2a f(x) = a . (x ÔÇô x1)2

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NOTA 3 : y a>0 y a<0 (Concavidade para baixo) (Concavidade para cima) yV V(xV ; yV) ?

xV xV x yV x ? V (xV ; yV) eixo de simetria As coordenadas do v?®rtice da par?íbola s?úo : -b - xV = e yV = 2a 4a ?-b - ? , logo: V = ? ; ? ? 2a 4a ? OBSERVA?ç?âO: 1. Se a > 0 , V ?® ponto de m?¡nimo (ou minimante) da fun?º?úo. A imagem da ?- ? fun?º?úo neste caso, ser?í: Im(f) = ? ; + ? ? ? 4a ? 2. Se a < 0 , V ?® ponto de m?íximo (ou maximante) da fun?º?úo. A imagem da ? -? fun?º?úo neste caso, ser?í: Im(f) = ? – ? ; ? ? 4a ? EXERC?ìCIOS GERAIS DE FUN?ç?âO 1. Se (a + 2b, a ÔÇô 4) e (2 ÔÇô a, 2b) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, determine o valor de ab.

2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de flechas as seguintes rela?º?Áes bin?írias de A em B: c. h = { (x; y) ? A x B | y = 2x ÔÇô 1} 3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gr?ífico cartesiano de A x B a rela?º?úo y = x + 1, com x ? A e y ? B.

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6. ÔÇ£Quando uma m?íquina tem t anos de idade, seu valor de revenda ?® de: v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.ÔÇØ Qual era o pre?ºo, em reais, da m?íquina nova?

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