01. cálculo diferencial e integral de uma variável (cálculo i)

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C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues

UNIP UNIDADE UNIVERSIT?üRIA DE SOROCABA ENGENHARIA MECATR?öNICA / EL?ëTRICA-1??ANO

C?üLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARI?üVEL (C?üLCULO I) ALUNO:_______________________________ RA.:___________

TURMA:______________________________ SALA:__________ PROF. MACHADO

1. Sistema Cartesiano Ortogonal…………………………………………………………………………02

2. Vari?íveis e Constantes…………………………………………………………………………………..02

3. Fun?º?Áes……………………………………………………………………………………………………….03

3.1. Fun?º?úo Constante…………………………………………………………………………………..03

3.2. Fun?º?úo Afim……………………………………………………………………………………………04

3.3. Equa?º?úo da reta que ÔÇ£passaÔÇØ por um ponto dado………………………………………..05

3.4. Fun?º?úo Quadr?ítica………………………………………………………………………………….06

3.5. Exerc?¡cios de Fun?º?Áes…………………………………………………………………………….07

3.6. Fun?º?Áes Trigonom?®tricas…………………………………………………………………………11

3.6.1. Fun?º?úo Seno…………………………………………………………………………………11

3.6.2. Fun?º?úo Co-seno…………………………………………………………………………….12

3.6.3. Fun?º?úo Tangente……………………………………………………………………………13

3.6.4. Fun?º?úo Co-tangente, Secante e Co-secante……………………………………..13

3.6.5. Exerc?¡cios propostos de trigonometria………………………………………………13

3.7. Fun?º?úo Exponencial………………………………………………………………………………..14

3.8. Logaritmo……………………………………………………………………………………………….15

3.9. Fun?º?úo Logaritmo……………………………………………………………………………………16

4. Derivadas……………………………………………………………………………………………………..17

4.1. Taxa de varia?º?úo…………………………………………………………………………………….17

4.2. No?º?Áes intuitiva de Derivada…………………………………………………………………….18

4.3. A Derivada como Velocidade……………………………………………………………………21

4.4. Regras de Deriva?º?úo……………………………………………………………………………….23

4.5. Exerc?¡cios resolvidos……………………………………………………………………………….24

4.6. Exerc?¡cios propostos……………………………………………………………………………….25

4.7. Regra da Cadeia……………………………………………………………………………………..26

4.8. Derivada Impl?¡cita……………………………………………………………………………………27

4.9. Exerc?¡cios propostos……………………………………………………………………………….28

5. No?º?Áes de Integra?º?úo…………………………………………………………………………………….30

5.1. Integral Indefinida……………………………………………………………………………………30

5.2. Regras de Integra?º?úo………………………………………………………………………………30

5.3. Exerc?¡cios Resolvidos………………………………………………………………………………31

5.4. Exerc?¡cios Propostos……………………………………………………………………………….32

5.5. M?®todo da Substitui?º?úo……………………………………………………………………………32

5.6. Exerc?¡cios Resolvidos………………………………………………………………………………33

5.7. M?®todo da Integra?º?úo por Partes………………………………………………………………34

5.8. Tabela de Integrais imediatas……………………………………………………………………36

5.9. Integrais Definidas…………………………………………………………………………………..36

5.10. Propriedades da Integral Definida……………………………………………………………38

5.11. Exerc?¡cios Resolvidos…………………………………………………………………………….39

5.12. Exerc?¡cios Propostos……………………………………………………………………………..40

5.13. Exerc?¡cios Gerais de Integral…………………………………………………………………..41

5.14. Exerc?¡cios Resolvidos…………………………………………………………………………….43

6. Gabarito dos Exerc?¡cios Propostos (livro indicado pela Unip)………………………………48

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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL* 1. Coordenadas cartesianas ortogonais Seja ? o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota- se a seguinte nomenclatura: c) Coordenadas de P s?úo os n??meros reais xP e yP indicados na forma de um par f) O plano formado pelo par de eixos Ox e Oy ser?í chamado plano cartesiano; g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy ?® chamado sistema cartesiano y

P2 xP (abscissa de P) P(x ; y) ?À yP (ordenada de P) O P1 x

? NOTA: Os eixos coordenados Ox e Oy dividem o plano cartesiano em quatro regi?Áes angulares que s?úo denominadas quadrantes: y

2?? quadrante (- ; +) 1?? quadrante (+ ; +) O x

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Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A(4 ; 3) , B(?1; 3) , C(?3 ; ?4) , D(4 ; ?2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4) y

x VARI?üVEIS E CONSTANTES A grande finalidade dos n??meros ?® sua utiliza?º?úo no sistema de medidas das Uma constante ?® uma quantidade cujo valor permanece invari?ível num problema particular, como por exemplo: altitude de uma regi?úo, temperatura em que a ?ígua Uma vari?ível ?® uma quantidade que assume diversos valores num determinado problema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma dist?óncia A matem?ítica trabalha basicamente com vari?íveis e constantes. As vari?íveis ou quantidades que mudam na realidade ou nas nossas simula?º?Áes s?úo em geral representadas pelas ??ltimas letras do alfabeto: x, y, z, …. . As constantes s?úo em geral Existem dois tipos de constantes: a) constantes absolutas que sempre t?¬m o mesmo valor: n??meros ou s?¡mbolos denotando n??meros (ex. temperatura em que a ?ígua ferve, valor de ?, etc.); b) constantes param?®tricas que t?¬m o mesmo valor em cada problema dado, mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Tais Exemplo: 1) Na equa?º?úo da ?írea de um c?¡rculo, A = ?r2 temos que: A e r s?úo vari?íveis .

xy 2) Na equa?º?úo segmentaria da reta + = 1 , temos: ab x e y s?úo vari?íveis

NOTA: Na matem?ítica aplicada freq??entemente convenciona-se representar uma vari?ível pela primeira letra do seu nome ÔÇô por exemplo: p para pre?ºo, q para quantidade, c para custo, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante.

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FUN?ç?òES 1. Defini?º?úo ÔÇô dizemos que uma rela?º?úo f de um conjunto A em um conjunto B, n?úo vazios, ?® uma fun?º?úo de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A se relaciona com um ??nico elemento (y) de B. Essa rela?º?úo ?® denotada por y = f(x). Nota?º?úo: f:A B x y = f(x) NOTA: x ?® denominado de vari?ível independente e y de vari?ível dependente, ou seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente ?® expresso por uma lei de forma?º?úo ou lei de depend?¬ncia, por exemplo: y = 2.x + 3 2. Dom?¡nio ÔÇô o conjunto A ?® denominado de dom?¡nio da fun?º?úo , indicado por D(f) e 3. Contradom?¡nio ÔÇô o conjunto B ?® denominado contradom?¡nio da fun?º?úo, indicado 4. Imagem ÔÇô o conjunto imagem da fun?º?úo ?® o conjunto de valores que a vari?ível AB A ?® o dom?¡nio ou seja, conjunto de partida B ?® o contradom?¡nioÔÇô conjunto de chegada xfy Conjunto Imagem da fun?º?úo : Im (f) y ?® a imagem do dom?¡nio x Im(f) = { y ? B | ? x ? A com y = f(x) } Observa?º?Áes: 1. Uma fun?º?úo definida em valores reais f: A B , A e B s?úo subconjuntos reais; 2. Por simplifica?º?úo, deixamos muitas vezes de explicitar o dom?¡nio e o contradom?¡nio da fun?º?úo f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica impl?¡cito que o contradom?¡nio ?® real e o dom?¡nio o ÔÇ£maiorÔÇØ subconjunto dos reais para o qual a 3. Algumas fun?º?Áes que comumente s?úo usadas na matem?ítica e por serem utilizadas muitas vezes em opera?º?Áes na pr??pria matem?ítica ou nas aplica?º?Áes de fen??menos f?¡sicos, qu?¡micos ou biol??gicos, ou na ?írea econ??mica, s?úo denominadas fun?º?Áes elementares. No estudo de tais fun?º?Áes, necessitamos sempre de informa?º?Áes, tais como: Dom?¡nio, Imagem, Ra?¡zes, gr?íficos e suas principais propriedades.

I. FUN?ç?âO CONSTANTE 1. Defini?º?úo ÔÇô f: R R ?® uma fun?º?úo constante se para cada x ? D(f) existe um ??nico y tal que f(x) = k ou y = k, k ?® uma constante real f: R R x y=k 2. O gr?ífico da fun?º?úo constante ?® uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k) y

k (0; k) ? Im(f) = { k }

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II. FUN?ç?âO AFIM (ou fun?º?úo polinomial do 1?? grau) 1. Defini?º?úo ÔÇô denomina-se fun?º?úo afim a fun?º?úo f: R R x y = ax + b , com a ? 0

2. Gr?ífico ÔÇô o gr?ífico da fun?º?úo afim ?® uma reta (n?úo vertical)de coeficiente angular a e coeficiente linear b, ou seja, a reta que ÔÇ£passaÔÇØ pelos pontos (0 ; b) e (?b/a ; 0). Para y a>0 (f ?® estritamente Para crescente) y

?b/a ? (?b/a ; 0) x b ? b ? (0 ; b) a<0 (f ?® estritamente decrescente) (0 ; b)

(?b/a ; 0) ? ?b/a x Nota: o ponto onde a reta ÔÇ£cortaÔÇ£ o eixo x recebe o nome de raiz da fun?º?úo e ?® obtido fazendo y = o Temos: y = ax + b se y = 0 ax + b = 0 ax = ? b x = ? b/a que ?® a raiz ou zero da fun?º?úo se x = 0 y = 0.x + b y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta ÔÇ£cortaÔÇØ o eixo dos y .

3. Inclina?º?úo A inclina?º?úo da reta ?® o ?óngulo ÔÇ£convexoÔÇØ? entre o eixo x e a reta r, sempre medido de x para r no sentido anti-hor?írio. As ??nicas situa?º?Áes poss?¡veis s?úo: Reta Horizontal

y ?r x ? = 0?? Reta ÔÇ£CrescenteÔÇØ y r ? x 0?? < ? < 90?? Reta Vertical

y r ? ? x ? = 90?? Reta ÔÇ£DecrescenteÔÇØ y r ? x 90?? < ? < 180?? 4. Coeficiente angular da reta O coeficiente angular, ou declividade da reta r, n?úo vertical, ?® a tangente trigonom?®trica do ?óngulo ?, ou seja, a = tg ? NOTA: Alguns autores denotam a fun?º?úo do 1?? grau por y = mx + n, neste caso: m = tg ?

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y P y (0 ; n) ? ?À y=yÔÇôn ? x 0 xx A partir do ponto (0 ; n), para uma varia?º?úo x de x haver?í uma correspondente No tri?óngulo ret?óngulo do gr?ífico acima temos que: y y-n tg ? = = x . tg ? = y ÔÇô n y = tg ? . x + n xx m Portanto, m = tg ? 4.1. Como obter o coeficiente angular ÔÇ£mÔÇØ sendo dados dois pontos: y r P2 y2 ?

y2 ÔÇô y1 y1 P1 ? ? ?À ? x2 ÔÇô x1 x1 x2 x

Seja r uma reta, n?úo vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r. No tri?óngulo ret?óngulo da figura, temos: y-y tg ? = 2 1 x2 – x1 y2 – y1 m= x2 – x1

5. Equa?º?úo da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo) Se Q(x ; y) ?® qualquer outro ponto da reta (isto ?®, um ponto gen?®rico), ent?úo pode ser usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou y – yo declividade da reta: m = e, como a declividade ?® constante, podemos x – xo escrever: y ÔÇô yo = m . (x ÔÇô xo)

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III. FUN?ç?âO QUADR?üTICA (ou polinomial do 2?? grau) 1. Defini?º?úo ÔÇô denomina-se fun?º?úo quadr?ítica ou fun?º?úo polinomial do 2?? grau a fun?º?úo f:R R x y = ax2 + bx + c , com a ? 0

2. Gr?ífico ÔÇô o gr?ífico da fun?º?úo polinomial do 2?? grau ?® uma par?íbola nas seguintes condi?º?Áes: >0 =0 <0 a>0

a<0 y x1 x2 x x1 ? x2 y x x1 ? x2 y x1 = x2 x

y x1 = x2 x y x ?x? R y ?x? R x Os pontos onde o gr?ífico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-se interceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto (0 ; c).

= b2 ÔÇô 4ac ?® o discriminante (determina o n?? de ra?¡zes reais da fun?º?úo). As ra?¡zes ou zeros da fun?º?úo polinomial do 2?? grau s?úo obtidas atrav?®s da f??rmula de -b ?? B?íscara : x = 2a NOTA 1: Se > 0, a fun?º?úo tem duas ra?¡zes reais e distintas: -b+ -b- x1 = e x2 = , podemos escrever: 2a 2a f(x) = a . (x ÔÇô x1) . (x ÔÇô x2)

NOTA 2: Se = 0, a fun?º?úo tem uma ??nica raiz real de multiplicidade 2: -b x1 = x2 = , neste caso, podemos escrever: 2a f(x) = a . (x ÔÇô x1)2

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NOTA 3 : y a>0 y a<0 (Concavidade para baixo) (Concavidade para cima) yV V(xV ; yV) ?

xV xV x yV x ? V (xV ; yV) eixo de simetria As coordenadas do v?®rtice da par?íbola s?úo : -b – xV = e yV = 2a 4a ?-b – ? , logo: V = ? ; ? ? 2a 4a ? OBSERVA?ç?âO: 1. Se a > 0 , V ?® ponto de m?¡nimo (ou minimante) da fun?º?úo. A imagem da ?- ? fun?º?úo neste caso, ser?í: Im(f) = ? ; + ? ? ? 4a ? 2. Se a < 0 , V ?® ponto de m?íximo (ou maximante) da fun?º?úo. A imagem da ? -? fun?º?úo neste caso, ser?í: Im(f) = ? - ? ; ? ? 4a ? EXERC?ìCIOS GERAIS DE FUN?ç?âO 1. Se (a + 2b, a ÔÇô 4) e (2 ÔÇô a, 2b) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, determine o valor de ab.

2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de flechas as seguintes rela?º?Áes bin?írias de A em B: c. h = { (x; y) ? A x B | y = 2x ÔÇô 1} 3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gr?ífico cartesiano de A x B a rela?º?úo y = x + 1, com x ? A e y ? B.

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6. ÔÇ£Quando uma m?íquina tem t anos de idade, seu valor de revenda ?® de: v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.ÔÇØ Qual era o pre?ºo, em reais, da m?íquina nova?

7. Considere as fun?º?Áes f(x) = 3x ÔÇô 5, g(x) = 3×2 + 2x ÔÇô 4, h(x) = x ÔÇô x2 e o n??mero real ? f(0) ?À g(-1) ? -1 A = ? ? . Determine o valor de 5 . A ? h(2) ? 8. O pre?ºo a ser pago por uma corrida de t?íxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei- rada, e uma parcela que depende da dist?óncia percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quil??metro rodado custa R$ 0,86, calcule: b) a dist?óncia percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

Solu?º?úo: De acordo com o enunciado, temos: P(x) = 3,44 + 0,86 . x a) Para x = 11 P(11) = 3,44 + 0,86 . 11 = 3,44 + 9,46 P(11) = R$ 12,90 b) Para P(x) = 21,50, teremos: 3,44 + 0,86 . x = 21,50 0,86x = 18,06

9. O diagrama abaixo representa uma fun?º?úo f de AB f 0 2 D(f) = 14 2 10 Im(f) = 30 9

10. Determine o dom?¡nio das fun?º?Áes: 2 a) y = b) f(x) = x-4 d) f(x) = (2x ÔÇô 6) 0,333… e) y = 5 x-5 2-x x-2 g) y = h) f(x) = x2 – 4x + 4 x – 3 x-5 x = 21 km

A em B. Determine o dom?¡nio e a 2 c) y = 2-4 x x-2 f) f(x) = x-3 x-2 i) y = x-3

11. Qual dos gr?íficos seguintes representa uma fun?º?úo f de R *+ em R ? RRR a) b) c)

R R R

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RR d) e) R R 12. O gr?ífico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c s?úo constantes, passa pelos pontos (0; 0) e (1; 2). Determine a imagem do dom?¡nio x = -2/3 13. Seja f: R R a fun?º?úo definida por f(x) = 2x ÔÇô 4. Construa o gr?ífico de f e complete as senten?ºas abaixo: a) O conjunto solu?º?úo da equa?º?úo f(x) = 0 ou 2x ÔÇô 4 = 0 ?® S = { } b) O conjunto solu?º?úo de f(x) > 0 ou 2x ÔÇô 4 > 0 ?® S = { } c) O conjunto solu?º?úo de f(x) < 0 ou 2x ÔÇô 4 < 0 ?® S = { } 14. Seja g: R R a fun?º?úo definida por g(x) = ÔÇô x + 3. Construa o gr?ífico de g e complete as senten?ºas abaixo: a) O conjunto solu?º?úo da equa?º?úo g(x) = 0 ou ÔÇô x + 3 = 0 ?® S = { } b) O conjunto solu?º?úo de g(x) > 0 ou ÔÇô x + 3 > 0 ?® S = { } c) O conjunto solu?º?úo de g(x) < 0 ou ÔÇô x + 3 < 0 ?® S = { } 15. A fun?º?úo f, do 1?? grau, ?® definida por f(x) = 3x + k. Determine: a) O valor de k para que o gr?ífico de f ÔÇ£corteÔÇØ o eixo das ordenadas no ponto de b) O ponto em que o gr?ífico de f ÔÇ£cortaÔÇØ o eixo das abscissas.

16. Determine a fun?º?úo polinomial do 1?? grau que cont?®m os pontos (1; 3) e (3; 7)

17. Esboce o gr?ífico da fun?º?úo f :R R definida por f(x) = x2 ÔÇô 4x + 3 e determine o conjunto solu?º?úo das inequa?º?Áes abaixo: a) x2 ÔÇô 4x + 3 > 0 b) x2 ÔÇô 4x + 3 ? 0 c) x2 ÔÇô 4x + 3 < 0 d) x2 ÔÇô 4x + 3 ? 0 18. Esboce o gr?ífico da fun?º?úo f :R R definida por f(x) = x2 ÔÇô 4x + 4 e determine o conjunto solu?º?úo das inequa?º?Áes abaixo: a) x2 ÔÇô 4x + 4 > 0 b) x2 ÔÇô 4x + 4 ? 0 c) x2 ÔÇô 4x + 4 < 0 d) x2 ÔÇô 4x + 4 ? 0 19. Um homem-bala ?® lan?ºado de um canh?úo e sua trajet??ria descreve uma par?íbola. Considerando que no instante de lan?ºamento (t = 0) ele est?í a 3 metros do solo, 1 segundo ap??s ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos ap??s o lan?ºamento ele atinge o solo, pede-se: a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do ch?úo, em fun?º?úo do tempo t, medido em segundos; Resp.: h(t) = - t2 + 2t + 3 b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros

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1 20. Determine o v?®rtice da par?íbola de fun?º?úo y = (x + 4) (x ÔÇô 8) 4

21. Obtenha o v?®rtice e o conjunto-imagem da fun?º?úo f : R R definida por f(x) = x2 ÔÇô 6x + 5 22. Determine o conjunto-imagem da fun?º?úo f : R R definida por f(x) = -x2 + 8x ÔÇô 12.

23. Esbo?ºar o gr?ífico e obter o conjunto-imagem da fun?º?úo f : [-1; 4] R definida por f(x) = x2 ÔÇô 2x ÔÇô 3.

24. Esboce o gr?ífico da fun?º?úo f : [0; 5] R definida por f(x) = x2 ÔÇô 4x + 3. Ache o 25. Nas fun?º?Áes polinomiais do 2?? grau abaixo, determine os interceptos e construa o seu gr?ífico: a) f(x) = x2 ÔÇô 2x b) f(x) = x2 ÔÇô 4 c) y = ÔÇô x2 + 2x + 3 d) y = x2 ÔÇô 6x + 8 26. Uma ind??stria produz ??culos de sol pelo pre?ºo de R$ 20,00 cada. Calcula-se que se cada ??culos for vendido por p reais, os consumidores comprar?úo 120 ÔÇô p unidades. c) calcular o pre?ºo para o qual o lucro ser?í m?íximo Resolu?º?úo: a) O lucro ?® expresso pelo produto : (pre?ºo vendido ÔÇô custo de fabrica?º?úo) . (unidades vendidas) , ou seja: L(p) = (p ÔÇô 20) . (120 ÔÇô p) L(p) = ÔÇô p2 + 140 p ÔÇô 2400 b) As ra?¡zes ou zeros da fun?º?úo s?úo dadas por ÔÇô p2 + 140 p ÔÇô 2400 = 0 ou ent?úo, por (p ÔÇô 20) . (120 ÔÇô p) = 0 p ÔÇô 20 = 0 ou 120 ÔÇô p = 0 p1 = R$ 20,00 I1 (20 ; 0)

p2 = R$ 120,00 I2 (120 ; 0) p + p 20 + 120 O v?®rtice ?® dado por : xV = 1 2 = = 70 xV = R$ 70,00 e 22 yV = L(xV) = L(70) = (70 ÔÇô 20) . ( 120 ÔÇô 70) = 50 . 50 yV = R$ 2500,00 que representa o pre?ºo m?íximo de lucro, ou seja, LM?ÇX = R$ 2.500,00 L(p)

2500 20 70 120 p c) do gr?ífico e do c?ílculo do item (b) , conclu?¡mos que o lucro ser?í m?íximo quando o pre?ºo p for igual ao xV , ou seja:

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IV. FUN?ç?òES TRIGONOM?ëTRICAS 1. FUN?ç?âO SENO f : IR IR | y = sen x Geometricamente, o valor do seno de x ?® a medida alg?®brica do segmento ON obtido pela proje?º?úo ortogonal do raio OP em que AP ?® um arco trigonom?®trico. Eixo dos senos Sinal do Seno : P N? Sen x 1 ? II?? Q ? xA I?? Q ? O ?? III?? Q? IV?? Q y = sen x = ON B) Gr?ífico: O gr?ífico da fun?º?úo seno ?® uma curva chamada ÔÇ£sen??ideÔÇØ.

1 -2? ? – 2 ? 3? ? 2 3? ?? – 2 0?? ? 2 2? ? 4? -1 Do gr?ífico, temos: x y 0?? = 0 rad 0 30?? = ?/6 1/2 45?? = ?/4 2 /2 60?? = ?/3 3 /2 90?? = ?/2 1 180?? = ? 0 270?? = 3?/2 -1 360?? = 2? 0 1) sen x = sen (x ?? 2?), pois x e (x ?? 2?) s?úo arcos de mesma extremidade no 6) a fun?º?úo seno ?® ?¡mpar, pois sen (?x) = ?sen x 2. FUN?ç?âO CO-SENO A) Defini?º?úo: ?® uma fun?º?úo de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x.

f : IR IR | y = cos x Geometricamente, o valor do co-seno de x ?® a medida OM obtido pela proje?º?úo ortogonal do raio OP em que AP alg?®brica do segmento ?® um arco trigonom?®trico.

Sinal do co-seno : P Eixo dos co-senos O 1 ? II?? Q x?A ? M I?? Q ?

cos x ? ? III?? Q? IV?? Q

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues B) Gr?ífico: O gr?ífico da fun?º?úo co-seno ?® uma curva chamada ÔÇ£co-sen??ideÔÇØ. y

1 -2? 3? – 2 ?? ??? ? – 2 0? ? 2 3? 2? ? 2 4? x -1 Do gr?ífico, temos: x y 0?? = 0 rad 1 30?? = ?/6 3 /2 45?? = ?/4 2 /2 60?? = ?/3 1/2 90?? = ?/2 0 180?? = ? -1 270?? = 3?/2 0 360?? = 2? 1 1) cos x = cos (x ?? 2?), pois x e (x ?? 2?) s?úo arcos de mesma extremidade no 6) a fun?º?úo co-seno ?® par, pois cos (?x) = cos x.

3. FUN?ç?âO TANGENTE A) Defini?º?úo: ?® uma fun?º?úo de IR ÔÇô { ? + n ?, n ? Z } em IR, tal que a cada x associa 2 um ??nico y = tg x, ou seja: f : IR ÔÇô { ? + n ?, n ? Z } IR | y = tg x 2 Geometricamente, o valor da tangente de x ?® a medida alg?®brica do segmento AT obtido pela proje?º?úo ortogonal do segmento OT no eixo das tangentes, em que AP ?® um arco trigonom?®trico, conforme figura: Eixo das tangentes T Sinal da tangente: P ?À 1 tg x II?? Q ?? I?? Q ? x A O ? ? III?? Q? IV?? Q

y = tg x = AT y ? ?2??? 2 3? ? 2 ? ? 2 0 ? D(f) = { x ? IR| x ? 2+ n ?, n ? Z }, ? 2?

Im(f) = IR e per?¡odo = ? x x y 0?? = 0 rad 0 30?? = ?/6 3 /3 45?? = ?/4 1 60?? = ?/3 3 90?? = ?/2 ? 180?? = ? 0 270?? = 3?/2 ? 360?? = 2? 0

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues 4. FUN?ç?âO COTANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE O estudo das fun?º?Áes Cotangente, Secante e Co-secante pode ser feito a partir das tr?¬s fun?º?Áes j?í vistas (seno, co-seno e tangente), pois elas s?úo fun?º?Áes inversas. Assim, podemos escrever: 1 sen x FUN?ç?âO COTANGENTE: f(x) = cotg x = , com tg x ? 0 e tg x = tg x cos x 1 FUN?ç?âO SECANTE: f(x) = sec x = , com cosx ? 0 cos x 1 FUN?ç?âO CO-SECANTE: f(x) = cossec x = , com sen x ? 0 sen x Dessa rela?º?úo, obtemos duas rela?º?Áes auxiliares: 1) sec 2 x = 1 + tg2 x 2) cossec2 x = 1 + cotg2x

EXERC?ìCIOS 1. Esboce os gr?íficos das fun?º?Áes e determine a sua imagem: a) y = | sen x| e) y = 2. cos x b) f(x) = | cos x| f) y = 1 + sen x ?? c) y = | tg x | , para – < x < g) f(x) = 1 + cos x 22 d) y = 2. sen x h) y = - sen x i) f(x) = - cos x 2. Fa?ºa o estudo do sinal das fun?º?Áes: a) y = sen x, para 0 ? x ? 2? b) f(x) = cos x, para 0 ? x ? 2? ?? c) y = tg x, para - ? x ? 22 3. Qual o ponto de m?íximo e de m?¡nimo das fun?º?Áes: a) y = sen x, para 0 ? x ? ? b) y = cos x , para ? ? x ? 2? ? c) y = tg x, para 0 ? x ? 2 d) y = | sen x |, para 0 ? x ? 2? e) y = | cos x |, para 0 ? x ? 2?

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V. FUN?ç?âO EXPONENCIAL Dado um n??mero real a > 0 e a ?1, chama-se fun?º?úo exponencial de base a ?á * f(x) = ax fun?º?úo f: IR IR + definida por ?À Dom?¡nio = IR ?À Contradom?¡nio = Conjunto Imagem = IR *+

Em a > 0 e a ?1, temos: 0 1 a 01 Gr?ífico: O gr?ífico da fun?º?úo exponencial ?® uma curva exponencial do tipo: A) Crescente se y a>1 B) Decrescente se 0

a 1? 1 ? a 1x 1x Exemplo 1.

Esbo?ºar o gr?ífico da fun?º?úo definida em IR por f(x) = 2x x y = 2x -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8

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PROPRIEDADES: P1 : ? x ? IR, ax > o P2 : f(0) = a o = 1

f(1) = a 1 = a Se x1 , x2 ? IR e 0 < a ? 1 , ent?úo: P3 : ax1 = ax2 ? x1 = x2

P4:ax1?ax2??x1?x2,sea>1 ? ? x1 ? x2 , se 0 < a < 1 x y=(1/2)x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8

NOTA: Um caso particular importante ?® o n??mero de Euler ÔÇ£eÔÇØ = 2, 7182818184…, que ?® usado no c?ílculo dos logaritmos naturais ou neperianos (em homenagem ao seu criador John Napier 1550 – 1617) cuja base usa a constante de ÔÇ£N?®perÔÇØ que ?® o n??mero de Euler. Assim, f(x) = ex ?® a fun?º?úo exponencial natural.

LOGARITMO ÔÇô Chama-se logaritmo de um n??mero N, numa base a o expoente x que se deve elevar a base a para se obter o n??mero N, ou seja: logN = x ? ax = N a , onde N e a s?úo n??meros reais, tais que N > 0 e 0 < a ? 1

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c) log x = 2 4 d) log 64 = 3 x e) log 3 (x2 ÔÇô 1) = 1 x = 42 x = 16 (x > 0) x3 = 64 x3 = 43 x2 ÔÇô 1 = 31 x2 = 4

VI. FUN?ç?âO LOGARITMO x = 4 (0 < x ? 1) x= ?? 2 Dado um n??mero real a, tal que, 0 < a ? 1, chama-se fun?º?úo logar?¡tmica de base a a fun?º?úo f: IR * IR definida por f(x) = log x + a

?À Dom?¡nio = IR *+ ?À Contradom?¡nio = Imagem = IR Gr?ífico: O gr?ífico da fun?º?úo logar?¡tmica ?® uma curva logar?¡tmica do tipo: A) Crescente se y a>1 B) Decrescente se y 0

1 1 ? 1a x ? a1 Esbo?ºar o gr?ífico da fun?º?úo definida em por IR *+ por f(x) = log x 2 4y

-1 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3

8x * Esbo?ºar o gr?ífico da fun?º?úo definida em IR + por f(x) = log x 1/ 2 x

x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues tabela x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3

PROPRIEDADES: P1 : log x1 = log x2 x1 = x2 , se 0 < a ? 1 aa P2 : log x1 ? log x2 0 < x1 ? x2 , se a > 1 aa P3 : log x1 ? log x2 x1 ? x2 , se 0 < a < 1 aa ? log x ? 0 ? x ? 1 P4 : para a > 1, temos: ? a ? log x ? 0 ? 0 < x ? 1 a ? log x ? 0 ? 0 < x ? 1 P5 : para 0 < a < 1 , temos: ? a ? loga x ? 0 ? x?1

DERIVADAS (Resumo) 1. TAXA DE VARIA?ç?âO Dada a fun?º?úo f(x) = 2x + 3, quando atribu?¡mos valores para a vari?ível x, obtemos valores correspondentes para a vari?ível y ou f(x):

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues x1 x2 x = x2 ÔÇô x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) y = y2 ÔÇô y1 y x 0 1 1ÔÇô0=1 3 5 5ÔÇô3=2 2 ?À1 = 2 1 3 3ÔÇô1=2 5 9 9ÔÇô5=4 4 ?À2 = 2 2 5 5ÔÇô2=3 7 13 13 ÔÇô 7 = 6 6 ?À3 = 2 3 6 6ÔÇô3=3 9 15 15 ÔÇô 9 = 6 6 ?À3 = 2 y Assim, a taxa de varia?º?úo = 2 , isto significa que o coeficiente angular da reta (m) x ?® constante e igual a 2, ou seja, m = 2 na reta de equa?º?úo y = mx + n.

Para uma fun?º?úo do 2?? grau, a taxa de varia?º?úo n?úo ser?í mais uma constante, por exemplo, seja a fun?º?úo f(x) 2×2 ÔÇô 1 x1 x2 x = x2 ÔÇô x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) y = y2 ÔÇô y1 y x 0 ÔÇô1 ÔÇô1 ÔÇô 0 = ÔÇô1 ÔÇô1 1 1 ÔÇô (ÔÇô1) = 2 ÔÇô2 1 ÔÇô2 ÔÇô2 ÔÇô 1 = ÔÇô3 1 7 7ÔÇô1=6 ÔÇô2 2 4 4ÔÇô2=2 7 31 31 ÔÇô 7 = 24 12 3 5 5ÔÇô3=2 17 49 49 ÔÇô 17 = 32 16

Veja a situa?º?úo dos dois gr?íficos: y y = x2 ÔÇô 1 y

7 5 3 y = 2x + 3 2=( y) =( y) 1=( x) 2=( y) = ( x) 1=( x) =( y) 12 x x =( x) Taxa de varia?º?úo constante: Taxa de varia?º?úo n?úo constante: y22 y62 = = =2 = ? x11 x11

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y Substituindo em (I) , teremos: = x Como x = x2 ÔÇô x1

y x2 = x1 + Q y2 P y1 x = x2 ÔÇô x1 x f(x2)-f(x1) f(x1 + x) – f(x1) = x 2 – x1 x f(x) reta secante

y = y2 ÔÇô y1 b a x1 x2 = x1 + x x

Sendo x um acr?®scimo dado em x (positivo ou negativo) e y um acr?®scimo dado y em y (positivo ou negativo), a taxa de varia?º?úo , que ?® um quociente de acr?®scimos, x pode ser tamb?®m positiva ou negativa, significando coeficiente angular ou inclina?º?úo y positiva ou negativa . Essa taxa de varia?º?úo tamb?®m ?® chamada de raz?úo x y incremental ou taxa m?®dia de varia?º?úo. Na figura acima, a taxa de varia?º?úo x representa o coeficiente angular da reta secante ?á curva determinada pelos pontos P(x1 ; y1) e Q(x2 ; y2). Quando o ponto Q tende a P, isto ?®, o ponto Q desloca-se sobre a curva at?® coincidir com o ponto P, a reta secante se aproxima da reta tangente ?á curva. Isto faz com que x 0 (l?¬-se: delta x tende a zero).

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y A esse limite, lim , que ?® o limite de uma taxa instant?ónea de varia?º?úo ou x?o x simplesmente, taxa de varia?º?úo quando x ? 0, chamamos de derivada da fun?º?úo f(x) no ponto x1?D(f) e indicamos por f'(x1), quando o limite existe e ?® finito.

Portanto: f(x1 + x) – f(x1) y f'(x1) = lim = lim x?o x x?o x

NOTA: Se um ponto P(x0 ; y0) pertence a uma fun?º?úo y = f(x), ent?úo o coeficiente angular da reta tangente ?á curva dada pela fun?º?úo ser?í: y f(x0 + x) – f(x0 ) m = f'(x0) = lim = lim x?o x x?o x

A derivada de uma fun?º?úo y = f(x) ?® a fun?º?úo denotada por y’ ou f'(x), tal que, seu valor em qualquer x do dom?¡nio de f ?® dado por: f(x + x) – f(x) y’ = f'(x) = lim x?o x , se o limite existir.

NOTA: Dizemos que uma fun?º?úo ?® deriv?ível quando existe a derivada para todos os pontos do seu dom?¡nio.

OBSERVA?ç?âO: A derivada de uma fun?º?úo pode ser denotada por: dy df y’ ou f'(x) ou ou ou Dx(y) ou Df(x) dx dx Exemplos:nota?º?úo de Leibniz

1) Calcular a derivada da fun?º?úo f(x) = 3×2 f(x + x) – f(x) 3.(x + x)2 – 3×2 f'(x) = lim = lim x?o x x?o x

3.(x2+2xx+x2)-3×2 3×2+6xx+3×2-3×2 f'(x) = lim = lim x?o x x?o x

0 6x x+3 x2 x.(6x+3 x) f'(x) = lim = lim = lim 6x + 3 x = 6x + 3.0 x?o x x?o x x?o

Portanto : f'(x) = 6x ou y’ = 6x 2) Calcular o coeficiente angular da reta tangente ?á curva f(x) = 3×2 no ponto P( 1 ; 3 ) Solu?º?úo: xo yo Da quest?úo (1) vimos que f'(x) = 6x e, sabendo que m = f'(x0) , onde xo ?® a abscissa de um ponto pertencente ?á curva dada, conclu?¡mos que: m = f'(xo) = f'(1) = 6 .1 m=6

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y reta tangente (y = mx + n) 3 P(1 ; 3) x 1 3) Determine a equa?º?úo da reta tangente ?á curva f(x) = 3 x2, no ponto P(1; 3) Solu?º?úo: A equa?º?úo da reta tangente pode ser obtida pela f??rmula: y ÔÇô yo = m . ( x ÔÇô xo ) Das quest?Áes (1) e (2) , temos que: m = 6, xo = 1 e yo = 3 Portanto: y ÔÇô 3 = 6 . (x ÔÇô 1) y ÔÇô 3 = 6x ÔÇô 6 y = 6x ÔÇô 3 que ?® a equa?º?úo da reta tangente representada no gr?ífico acima.

A) A DERIVADA COMO VELOCIDADE S(t) S(t + ?t) ?S S(t) ?S = S(t+?t) ÔÇô S(t) ?® o deslocamento

t t (t + ?t) ?t S S(t + t) – S(t) Temos que: = = vm tt

Quando ?t?0 , obtemos a velocidade instant?ónea, ou velocidade no instante t, que ?® o limite das velocidades m?®dias, ou seja: S(t + t) – S(t) dS dS v(t) = lim = ou v(t) = = S’ (t) t?0 t dt dt

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v(t + t) – v(t) am = t Quando ?t?0 , obtemos a acelera?º?úo instant?ónea, ou acelera?º?úo no instante t, que ?® o limite das acelera?º?Áes m?®dias, ou seja: v(t + t) – v(t) dv dv a(t) = lim = ou a(t) = = v'(t) t?0 t dt dt

EXEMPLO 1: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua Determinar: d) a acelera?º?úo no instante t = 4 Resolu?º?úo: – – 2 – – 2 – S S(4) S(2) (16.4 4 ) (16.2 2 ) 48 28 a) Vm = = = = = 10 unid. vel. t 4 – 2 2 2 b) V(t) = S'(t) = 16 ÔÇô 2t V v(4) – v(0) (16 – 2.4) – (16 – 2.0) 8 – 16 – 8 c) am = = = = = = – 2 unid. acel. t 4 – 0 4 4 4 d) a(t) = V'(t) = S”(t) = -2 no instante t = 4, temos: a(4) = -2 unid. acel.

2. Calcular a taxa de varia?º?úo da fun?º?úo f(x) = x2 + 3x ÔÇô 1, quando – 2 + – – 2 + – – y f(3) f(1) (3 3.3 1) (1 3.1 1) 17 3 14 = = = = = 7 x 3 – 1 2 2 2

3. Dada a fun?º?úo y = x2 + x + 1, determinar a taxa de varia?º?úo da – 2 + + – 2 + + – y f(1) f(0) (1 1 1) (0 0 1) 3 1 2 = = = = = 2 x 1- 0 1 1 1

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Para um tempo t qualquer, a taxa ?® dada por f'(t) = 64 ÔÇô t2 a) no tempo t = 4 , temos: f'(4) = 64 ÔÇô 42 = 64 ÔÇô 16 = 48 pessoas / dia; b) no tempo t = 8 , temos: f'(8) = 64 ÔÇô 82 = 64 ÔÇô 64 = 0 a epidemia est?í c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1?? dia de epidemia, o 5?? dia O n??mero de pessoas atingidas pela mol?®stia durante o 5?? dia foi: ? 53 ? ? 43 ? 125 64 f(5)ÔÇôf(4) = ? 64 . 5 – ? – ? 64 . 4 – ? = 320 – – 256 + ? 43 pessoas ? 3?? 3? 3 3 ? ?? ? OBSERVA?ç?âO: dS * A taxa de varia?º?úo da fun?º?úo hor?íria ?® chamada de velocidade escalar = V ; dt dv * A taxa de varia?º?úo da velocidade ?® chamada de acelera?º?úo escalar = a . dt Para facilitar o c?ílculo das derivadas das fun?º?Áes, evitando o uso da defini?º?úo, podemos usar as regras de deriva?º?úo a seguir: REGRAS DE DERIVA?ç?âO: (derivadas de algumas fun?º?Áes elementares) Fun?º?úo Derivada y=k y’ = 0 y=x y’ = 1 y=k.x y’ = k y=xn y’ = n . x n ÔÇô 1 y=k.xn y’ = k . n . x n – 1 y=k.u y’ = k . u’ y=un y’ = n . u n ÔÇô 1 . u’ y=u??v y’ = u’ ?? v’ y=u.v y’ = u’.v + v’. u u y= v u’. v – v’ . u y’ = v2 y = eu y’ = eu . u’ y = ln u u’ y’ = u y = au y’ = au . ln a . u’ y = log u a u’ u’ y’ = . log e ou y’ = u a u . ln a y = sen u y’ = u’ . cos u y = cos u y’ = – u’ . sen u y = tg u y’ = u’ . sec2 u y = cotg u y’ = – u’ . cossec2 u n ?® um n??mero natural.

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1) f(x) = 5 2) f(x) = 3 . x 3) f(x) = x3 4) f(x) = 3x + 2 5) f(x) = (2x + 3)3

6) y = x3 ÔÇô 12x + 5 7) y = x 2 – 3x f'(x) = D(k) = 0 f'(x) = D(k . x) = k f'(x) = 3 f'(x) = D(xn) = n . x n ÔÇô 1 , n = 3 f'(x) = 3 . x 3 ÔÇô 1 f'(x) = 3 x2 f'(x) = D(u + v) = u’ + v’ = 3 + 0 = 3 f'(x) = D(un) = n . un ÔÇô 1 . u’ n=3 u = 2x + 3 u’ = 2 + 0 = 2 f'(x) = 3 . (2x + 3)3 ÔÇô 1 . 2 f'(x) = 6 . (2x + 3)2 y’ = 3×2 ÔÇô 12

1 y = (x2 ÔÇô 3x) 2 y’ = D(un) = n . un?1 . u’ n = 1/2 u = x2 ÔÇô 3x u’ = 2x ÔÇô 3 1 -1 1 -1 1 y’ = . (x2 ÔÇô 3x) 2 . (2x ÔÇô 3) y’ = . (x2 ÔÇô 3x) 2 . (2x ÔÇô 3) 22 8) y = (2 + 3x).(5 ÔÇô 2x) y’ = D(u . v) = u’.v + v’. u u = 2 + 3x u’ = 3 v = 5 ÔÇô 2x v’ = -2 y’ = 3 . (5 ÔÇô 2x) + (-2) . (2 + 3x) = 15 ÔÇô 6x ÔÇô 4 ÔÇô 6x 2x + 4 ? u ? u’. v – v’ . u 9) y = y’ = D ? ? = 3x – 1 ? v ? v 2 u = 2x + 4 u’ = 2 v = 3x ÔÇô 1 v’ = 3 y’ = 11 ÔÇô 12x

2 . (3x – 1) – 3 . (2x + 4) y’ = = (3x – 1)2 10) f(x) = ln (x3 ÔÇô 2)

u = x3 ÔÇô 2 u’ f'(x) = D(ln u) = u (3x – 1)2 u’ = 3×2 11) f(x) = e5x ÔÇô2 f'(x) = D(eu) = eu . u’ u = 5x ÔÇô 2 6x – 2 – 6x – 12 – 14 y’ = (3x – 1)2

3×2 y’ = x3 – 2 u’ = 5 y’ = 5. e5x ÔÇô 2 12) y = 2 x2 -3x

13) y = log (2x + 3) u = 2x + 3 14) y = sen 5x y’ = D(au) = au . ln a . u’ a = 2 , u = x2 ÔÇô 3x y’ = 2 x2 -3x . ln 2 . (2x ÔÇô 3) u’ y’ = D(log u) = u . ln a 2 u’ = 2 y’ = (2x + 3) . ln 10 y’ = D(sen u) = u’ . cos u u’ = 2x ÔÇô 3

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues u = 5x u’ = 5 y’ = 5 . cos 5x 15) y = cos (2x + 3) y’ = D(cos u) = – u’ . sen u u = 2x + 3 u’ = 2 y’ = – 2 . sen (2x + 3) 16) y = tg (x2 ÔÇô 4x) u = x2 ÔÇô 4x y’ = D(tg u) = u’ . sec2 u u’ = 2x ÔÇô 4 y’ = (2x ÔÇô 4) . sec2 (x2 ÔÇô 4x) II) Dada a fun?º?úo f(x) = x2 + 2x ÔÇô1 , determine: 1) a varia?º?úo de y quando x aumenta de 1 para 3 para x1 = 1 , temos: y1 = 12 + 2 . 1 ÔÇô 1 = 1 + 2 ÔÇô 1 para x2 = 3 , temos: y2 = 32 + 2 . 3 ÔÇô 1 = 9 + 6 ÔÇô 1 Temos: quando x varia de 1 para 3, y varia de 2 para 14 y1 = 2 y2 = 14

y 2) a taxa de varia?º?úo x y y2 – y1 14 – 2 12 = = = =6 x x 2 – x1 3 – 1 2

EXERC?ìCIOS 1) Calcular a primeira derivada das seguintes fun?º?Áes: a) f(x) = ÔÇô 10 b) f(x) = 4x c) y = 5×2 + 6x – 2 d) f(x) = x e) y = (x2 ÔÇô 3x).(x + 1) x-2 f) y = x+3 1 g) y = x 3 1 h) y = x+2 i) y = 3 x + 3 j) f(x) = (2x + 3)5 k) y = 4×2 + 2x l) y = x + 4 1 – m) y = 9×3 + 5 x 4 n) y = (7 ÔÇô x)(7 + x) x2-3 o) y = x p) y = 4×3 + 5×2 +10x ÔÇô 3 q) y = (2x + 2)2 + (x ÔÇô1)2 r) y = (2x + 4)0,5 x2 s) y = x+4 t) y = (x + 3)5 . x + 3 1 ?1+2x?3 u) y = ? ? ?x? 2x + 4 v) y = 3 x) f(x) = log (x2 +5) 3 z) y = ln (x3 ÔÇô 3x) 2) Se ? ?® a curva de equa?º?úo y = x3 ÔÇô 12x, determine a equa?º?úo da reta tangente ?á curva, no ponto de abscissa 4, ou seja, xo = 4.

4) O lucro semanal de uma f?íbrica em fun?º?úo do pre?ºo de venda, ?® dado pela lei denominada fun?º?úo lucro por: L(p) = 20.(10 ÔÇô p).(p ÔÇô 2) . Determinar a taxa de varia?º?úo do lucro se o pre?ºo p variar de R$ 2,00 para R$ 6,00.

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REGRA DA CADEIA (Derivada da fun?º?úo composta) dy du Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadas e existem, ent?úo a du dx fun?º?úo composta y = g[f(x)] tem derivada que ?® dada por: dy dy du ‘ = . ou y'(x) = g'(u) . f (x) dx du dx dy Exemplo: Determine as derivadas : dx a) y = (x2 + 3x + 4)5. A fun?º?úo equivale a y = u5 , ent?úo: dy du = 5.u4 ; sendo u = x2 + 3x + 4, temos = 2x + 3 . Logo: du dx dy dy du = . = 5. u4 . (2x + 3) = 5.(x2 + 3x + 4)4.(2x + 3) dx du dx Obs.: Note que: se y = un, ent?úo y’ = n.un-1.u’ b) y = (2x +1)100 y = un du dy u = 2x + 1 = 2 e = 100.u99 dx du dy du dx du dx c) y = ln(x2 + 1) u = x2 + 1 dy du dx du dx

d) y = 5 . x2 + 3 dy y’ = dx a=5 = 100.u99.2 = 200.(2x + 1)99

y = ln u du dy 1 = 2x e = dx du u 1 2x dy 2x = . 2x = = y’ = u x2 + 1 dx x2 + 1

y = 5 . (x2 + 3)1/2 y = a.un n-1 = a.n.u .u’ , n=?¢ du u = x2 + 3 u’ = = 2x dx dy 1 1 -1 -1 5x = y’ = 5 . . (x2 + 3) 2 . 2x = 5x . (x2 + 3) 2 = ou dx 2 1 (x2 + 3)2 dy 5x = y’ = dx 2 + x3

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DERIVADA IMPL?ìCITA Seja F(x; y) = 0 uma equa?º?úo nas vari?íveis x e y. Se existir uma fun?º?úo f, tal que para todo x pertencente ao seu dom?¡nio [?x?D(f)] se tenha F(x; y) = 0, dizemos que f ?® dada implicitamente por essa equa?º?úo.

Exemplos: a) A equa?º?úo x2 + 1 y – 1 = 0 define implicitamente a fun?º?úo y = 2.(1- x2) 2 Verifica?º?úo: substituindo y = 2.(1 ÔÇô x2) na equa?º?úo dada, temos: x2 + 1 . 2 . (1 ÔÇô x2) ÔÇô 1 = 0 x2 + 1 ÔÇô x2 ÔÇô 1 = 0 0 = 0 (V) 2

b) A equa?º?úo x2 + y2 = 4 (que ?® a equa?º?úo de uma circunfer?¬ncia de centro na origem e raio igual a 2) define, implicitamente, as fun?º?Áes: x2 + y2 = 4 y2 = 4 ÔÇôx2 y = ?? 4 – x2

y = 4 – x2 ou fun?º?Áes na forma impl?¡cita y = – 4 – x2

A DERIVADA DE UMA FUN?ç?âO NA FORMA IMPL?ìCITA Suponhamos que F(x; y) = 0 defina implicitamente uma fun?º?úo deriv?ível y = f(x). Podemos determinar y’, sem explicitar y (sem precisar isolar y), usando a regra da cadeia.

Exemplos: 1) Determinar as derivadas implicitamente: a) x2 + y2 = 4 derivando ambos os membros em rela?º?úo a x, temos: d 2 + 2 d(4) (x y ) 2 2 = ou (x + y )’ = (4)’ dx dx 22 dx dy 2 2 + = 0 ou (x )’ + (y )’ = 0 dx dx dy 2x + 2y . = 0 ou 2x + 2y . y’ = 0 dx dy isolando-se ou y’ , temos: dx dy 2y . = – 2x ou 2y . y’ = – 2x dx dy – 2x x – 2x x = = – ou y’ = = – dx 2y y 2y y

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues ” ? 2 1 ? ?1 ? ?1 ? ? x + y – 1? = 0′ (x2)’ + ? y ? – (1)’ = 0 2x + ? y’? – 0 = 0 ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 1 y ‘ = – 2x y’ = – 4x 2

c) x2 + 5y3 ÔÇô x = 5 temos: (x2 + 5y3 ÔÇô x )’ = 5’2x + 15y2.y’ ÔÇô 1 = 0 1 – 2x 15y2 . y’ = 1 ÔÇô 2x y’ = 2 15y

d) x . y ÔÇô ln y = 2 1 temos: (x . y ÔÇô ln y)’ = 2′ 1 . y + y’ . x – . y’ = 0 y ?1 ? ?1-xy? y2 y’ . ? – x ? = y y’ . ? ? = y y’ = ? y ? ? y ? 1 – xy

e) x2.y + 3x.y3 ÔÇô 3 = x temos: (x2.y + 3x.y3 ÔÇô 3)’ = x’ (x2.y)’ + 3(x.y3)’ ÔÇô 3′ = 1 2x.y + x2.y’ + 3.(1.y3 + 3×2.y’) ÔÇô 0 = 1 2xy + x2y’ + 3y3 + 9×2.y’ = 1 y’.(x2 + 9xy2) = 1 ÔÇô 2xy ÔÇô 3y3 1 – 2xy – 3y3 y’ = x2 + 9xy 2

1 2) Determinar a equa?º?úo da reta tangente ?á curva x2 + y ÔÇô 1 = 0 no 2 ponto (-1 ; 0).

Solu?º?úo: I) Derivando implicitamente em rela?º?úo a x, temos: 11 2x + y’ = 0 y’ = -2x y’ = – 4x ou f'(x) = – 4x 22 II) No ponto de abscissa xo = -1 determinamos o coeficiente angular da reta: m = f'(xo) = f'(-1) = -4.(-1) m = 4 III) Equa?º?úo da reta: y ÔÇô yo = m.(x ÔÇô xo) y ÔÇô 0 = 4 . [x ÔÇô (-1)]

y = 4 . (x + 1) y = 4x + 4 EXERC?ìCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE C?üLCULO ÔÇô HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa.

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues Exerc?¡cios 7.3 2. Calcule g'(x) sendo g dada por: 1 a) g(x) = x6 b) g(x) = x100 c) g(x) = d) g(x) = x2 x e) g(x) = f) g(x) = 1 h) g(x) = x-3 1 g) g(x) = x x3 x7

P?ígina 159: Exerc?¡cios 7.7 a) f(x) = 3×2 + 5x b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3×3 ÔÇô 2×2 + 4 d) f(x) = 3x + x e) f(x) = 5 + 3x-2 f) f(x) = 2 3 x 1 45 231 g) f(x) = 3x + h) f(x) = + i) f(x) = x + x2 x x x2 3 4 11 33 j) f(x) = 3 x + x l) f(x) = 2x + + m) f(x) = 6x + x x x2 n) f(x) = 5×4 + bx3 + cx2 + k, onde a, b, c e k s?úo constantes.

7. Calcule F'(x) onde F(x) ?® igual a: x x2-1 3×2+3 x a) b) c) d) x2+1 x+1 5x-3 x+1 P?ígina 160: Exerc?¡cios 7.7 9. Calcule f ‘(x) onde f(x) ?® igual a: 2 cos x a) 3x + 5cos x b) c) x . sen x d) x2. tgx x2 +1 a) f(x) = x2. ex b) f(x) = 3x + 5 ln x c) f(x) = ex . cos x lnx e) f(x) = x2. ln x + 2ex i) f(x) = x P?ígina 179: Exerc?¡cios 7.11 a) y = sen 4x b) y = cos 5x c) f(x) = e3x d) f(x) = cos 8x e) y = sen t3 f) g(t) = ln (2t + 1) g) y = esen t h) f(x) = cos ex i) y = (sen x + cos x)3 j) y = 3x + 1

P?ígina 180: Exerc?¡cios 7.11 (regra da cadeia – fun?º?Áes compostas) a) y = x e3x b) y = ex cos 2x c) y = e-x sen x -2t -x2 cos 5x d) y = e sen 3t e) f(x) = e + ln (2x + 1) g) y = sen 2x

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NO?ç?òES DE INTEGRA?ç?âO I) INTEGRAL INDEFINIDA A integral ?® a opera?º?úo inversa da derivada, ou seja, conhecida a derivada de uma fun?º?úo, a integra?º?úo ou antideriva?º?úo desta gera a fun?º?úo que originou a derivada. Exemplo: a derivada da fun?º?úo f(x) = x3 + C ?® a fun?º?úo f'(x) = 3×2 , ent?úo a integral ou integra?º?úo da fun?º?úo f'(x) = 3×2 ?® a fun?º?úo f(x) = x3 + C , onde C = constante real. Simbolicamente podemos escrever: dy = 3×2 , cuja diferencial ?® representada por dy = 3×2 . dx dx ?dy=?3×2.dxy = x3 + C ou f(x) = x3 + C

? s?¡mbolo da opera?º?úo integra?º?úo (l?¬-se: integral)

Defini?º?Áes: I. Uma fun?º?úo F(x) ?® chamada uma primitiva da fun?º?úo f(x) em um intervalo dado, se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F'(x) = f(x);

II. Se F(x) ?® uma primitiva de f(x), a express?úo F(x) + C, onde C ?® uma constante ?® chamada integral indefinida da fun?º?úo f(x) e ?® denotada por:

? f(x) dx = F(x) + C (nota?º?úo de Leibniz) III. Da defini?º?úo de integral indefinida, decorre que:

? f(x) dx = F(x) + C F'(x) = f(x) C ?® uma constante de integra?º?úo Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma fun?º?úo ?® chamado Integra?º?úo.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA I. ?k.f(x)dx=k?f(x)dx, k=constantereal II. ?[f(x)??g(x)].dx = ?f(x)dx ?? ?g(x)dx d[?f(x).dx] III. = f(x) , ou seja, a derivada da integral de uma fun?º?úo ?® a pr??pria dx fun?º?úo.

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1. ? dx = x + C 2. ? k dx = k ? dx = k . x + C 3.?xndx=xn+1+C 4.?x-1dx=?1dx=ln|x|+C n+1 x 5.?axdx=ax+C,0

a) ? 5 dx = 5 ? dx = 5 x + C , C?IR 1+1 2 ? ? x + C – 2 + C , C?IR x b) – x dx = – x dx = – = 1+1 c) ? (3x + 5) dx = ? 3x dx + ? 5 dx = 3 ? x dx + 5 ? dx = x1+1 3 = 3 . + 5 x + C = x2 + 5x + C 1+1 2

d)?(x2+x3-2x)dx=?x2dx+?x3dx-2?xdx= 2+1 3+1 1+1 xxx = + -2 +C= 2+1 3+1 1+1 x3 x4 = + – x 2 + C , C?IR 34

e)?(x+1).(x-1)dx=?(x2-1)dx=?x2dx-?dx=x3-x+CC?IR , 3 f)?(x2+3)2dx=?(x4+6×2+9)dx=?x4dx+6?x2dx+9?dx= x5 x3 x5 = + 6 + 9x + C = + 2 x3 + 9x + C , C?IR 53 5 g) ? 1 dx = ?x-2 dx = x + C = x-1 C = 1 + C, C?IR -2 + 1 +- x2 -2+1 -1 x h) ? x -1 dx = ? 1 dx = ln | x | + C , C?IR x 13 1 +1 3 x2 x2 2 2 i)?xdx=?x2dx= +C= +C= x2+C= x3+C,C?IR 1+1 3 3 3 22

? x x ? x ? x = 2 ex 2x + , C?IR j) (2 e + 2 ) dx = 2 e dx + 2 dx + C ln 2

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? ? ?2 a) x dx b) 5x dx c) 6x dx

? ? 4 . 3 f) ? x -1/ 3 dx 1/ 2 d) x dx e) x dx 3

g)?t-2dt h)?32dx ?3t.dt 2 . x i)

?+ ?+ ?2 j) (2x 3) dx k) 1 x . dx l) 3x dx

? 2+ + ? 2- ? 2- + m) (0,1x 3x 4) . dx n) (x 9) . dx o) (3x 4x 5). dx

p)?x2(x-1).dx q)?(2t+3)2.dt r)?(x+3).(2x-1).dx

s) ? dt t) ? dx u) ? 1 . dx t x+1 x+3 3

Respostas: 12+ 52+ 3+ a) . x C b) . x C c) 2x C 22 2 2 3 2/3 d) . x + C e) x 3 + C f) . x + C 3 4

32 g) – 1 + 6 . x 53 C i) 2 3 . t3/2 C C h) + . + t53 j) x2 + 3x + C k) 2 .(1+ x)3/2 + C l) x3 + C 3

1 3+3.x2 + 1.x3 9x C o) 3 2+5x C m) . x + 4x C n) – + x – 2x + 30 2 3

1 4 1 3 4 3 2 2 3 5 . x2 – C p) . x – . x + C q) . t + 6t + 9t + C r) . x + 3x + 43 3 32

s) – 1 + C t) 2(x + 1/2 + u) Ln |x + 3| 1) C + C 2 2t

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? f [ g (x) ] . g'(x) dx = F[g(x)] + C Fazendo u = g(x), du = g'(x) dx, temos: ? f [ g (x) ] . g'(x) dx = ? f(u) du = F(u) + C Exemplos: Calcular as integrais por substitui?º?úo: a) ? (x + 3)2 dx Fazendo u = x + 3 du=dx,ent?úo,?(x+3)2dx=?undu=un n+1

? 2 (x + 3)3 (x + 3) dx = + C 3

b) ? (2x + 3)2 dx 1 22 ? (2x + 3)2 dx = 1 . (2x + 3)3 + C = (2x + 3)3 + C 23 6

? ?1 c) 5x – 1 dx = (5x – 1) 2 dx du = 5 dx 1 ? 1 1 ? n 1 un+1 dx = . (5x – 1) 2 .5dx = u du = . + C 5 5 5 n+1 Fazendo u = 5x ÔÇô 1

?1 Ent?úo: (5x – 1) 2 1 +1 3 +1 +C

un+1 +C n+1 (5x – 1) 2 1 (5x – 1) 2 2 + C = . + C = . (5x -1)3 + C 1 + 1 5 3 15 22

d) ?9t2 . 3 3 +10 dt = ?( 3 +10) 12 t t 3 . 9t dt

Fazendo u = t3 + 10 du = 3t2 dt ?3 1 Ent?úo: (t + 10) 3 .

? 2 3 3 + 10 9t . t dt ?1+2×2 dx x e) Fazendo u = 1 + x2 ? 2x Ent?úo: dx = 1+ x2 9t2dt=3.?(t3+10)13.3t2dt=3.?undu=3.un+ 1 +C n+1 (t3 +10)31+1 3 4 (t + 10) 3 9 4 = 3 . + C = 3 . + C = . (t3 +10) 3 + C 1 +1 4 4 33

du = 2x dx ? du = ln |u| + C = ln |1 + x2| + C ? (x32 +d1x) f) x =3.?(x2+1) -2 . x dx 2

Fazendo u = x2 + 1 du = 2x dx ?(x2+1)-2.xdx=3.?(x2+1)-2.2xdx=3.?undu=3.un+ 1 Ent?úo: 3 . + C 2 2 2 n+1

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? 32x dx2 = 3 . (x2-+ +-2+1 + C = 3 . (x2-+1)-1 + C = + C 1) 3 – (x +1) 2 2 1 2 1 2.(x2 +1)

?4xdx=4.?xdx1=4.?(8-x2)-13.xdx g) 3 8-x2 (8-x2) 3 Fazendo u = 8 ÔÇô x2 du = – 2x dx Ent?úo:4.?(8-x2)-3.xdx=4.?(8-x2)-3.(-2)xdx ? un+1 11n = -2. u du = -2 . + C -2 n+1 2 – 1 +1 2 2

? 4x dx = -2 . (8 – x ) 3 + C = -2 . (8 – x ) 3 2 + C = – 3 . (8 ÔÇô x2) 3 + C 3 8 – x 2 – 31 + 1 3 2

h) ? cos(5x) dx Fazendo u = 5x du = 5 dx Ent?úo: ? cos(5x) dx = 1 . ? cos(5x) . 5 dx = 5 51 . ? cosu du = 1 . senu + C 5

? cos(5x) dx = 1 . sen(5x) + C 5 i) ? sen (3x – 1) dx Fazendo u = 3x ÔÇô 1 du = 3 dx Ent?úo:?sen(3x-1)dx=1.?sen(3x-1).3dx= .?senu 1.(-cosu)+C 1 du = 333 ? sen (3x – 1) dx = – 1 . cos (3x ÔÇô 1) + C 3

j) ? sen2x . cos x dx Fazendo u = sen x du = cos x dx un+1 (sen x)2+1 sen3x Ent?úo:?sen2x.cosxdx=?undu= +C= +C= +C n+1 2+1 3

M?ëTODO DE INTEGRA?ç?âO POR PARTES Sejam f(x) e g(x) duas fun?º?Áes deriv?íveis num intervalo. A derivada do produto [f(x) . g(x)]’ = f(x) . g'(x) + g(x) . f'(x) f(x) . g'(x) = [f(x) . g(x)]’ ÔÇô g(x) . f'(x) .

Integrando membro a membro, temos: ? f(x) . g'(x) dx = ? [f(x) . g(x)]’ dx – ? g(x) . f'(x) dx ? u = f(x) du = f'(x) dx Fazendo ? temos: ? v = g(x) dv = g'(x) dx dx ?u.dv=u.v-?vdu Exemplos: Calcular as integrais por partes:

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a) ? x . eX dx u=x Fazendo x x dv = e dx v = e du = dx

Temos: ? x . eX dx = x . ex – ? ex dx = x . ex ÔÇô ex + C = ex . (x ÔÇô 1) + C

b) ? ln x dx 1 Fazendo u = ln x du = dx e dv = dx v=x x

Temos: ? ln x dx = u . v – ? v du = ln x . x – ? x . 1 dx = x . ln x – ? dx = x . ln x ÔÇô x + C x

c) ? x . sen x dx Fazendo: u = x du = dx e dv = sen x dx v = – cos x Ent?úo: ? x . sen x dx = u . v – ? v du = x . (-cos x) – ? (- cos x) dx = – x cosx + ? cos x dx ? x . sen x dx = – x cosx + senx + C d) ? x . cos x dx Fazendo: u = x du = dx e dv = cos x dx v = sen x Ent?úo: ? x . cos x dx = u . v – ? v du = x . sen x – ? sen x dx = x sen x -(-cos x) + C ? x . cos x dx = x sen x + cos x + C e) ? x . sen(3x) dx Fazendo: u = x du = dx e 1? 1 dv = sen(3x) dx v = . sen (3x) . 3dx = – . cos (3x) 33 ? ? ? 1.cos(3x)??- ? 1 Temos: x . sen(3x) dx = u . v – v du = x . ? – – .cos(3x) dx = ?3 ? 3 1 . ? cos (3x) dx = 1 = – x . cos (3x) + 33 . 31 . ? cos (3x 11 = – x . cos (3x) + ) . 3dx = 33 11 = – x . cos (3x) + . sen (3x) + C 39 ? x . 1+ x dx ? x . (1+ x) 1 f) = 2 dx Fazendo: u = x du = dx e 1 +1 v=?(1+x) dx = + 2 3 1 1 (1 x) 2 dv = (1 + x) 2 dx 2 = . (1 + x) 2 1 +1 3 2

? 1 ? 2 3 – ? 32 3 Temos: x . (1+ x) 2 dx = u . v – v du = x . . (1 + x) 2 .(1+ x) 2 dx= 3

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3 +1 2 3 2 (1+x)2 = x . . (1 + x) 2 – . + C = 3 3 3 +1 2 23225 = x . . (1 + x) 2 – . . (1 + x) 2 + C = 3 35 2x 3 4 5 = . (1 + x) 2 – . (1 + x) 2 + C 3 15 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS:

1) ? du = u + C 2) ? du = ln |u| + C 3) ? eu du = eu + C ?undu=un+1+C(n?®constante?-1) 5)?audu=au+C 4) n + 1 ln a 6) ? sen u du = – cos u + C 7) ? cos u du = sen u + C 8)?sec2udu=tgu+C 9)?cosec2udu=-cotgu+C 10) ? sec u . tg u du = sec u + C 11) ? cos ec u . cotg u du = -cosec u + C II) INTEGRAIS DEFINIDAS No desenvolvimento do c?ílculo integral uma das suas aplica?º?Áes ?® o c?ílculo das ?íreas de figuras de formas variadas, que ?® uma forma de se apresentar a integral Seja y = f(x) uma fun?º?úo cont?¡nua num intervalo real [a ; b]. A integral definida de f(x), de a at?® b , ?® um n??mero real, simbolizado por: ? bf(x) dx , onde: a ?À f(x) ?® o integrando Geometricamente, a integral definida corresponde a ?írea destacada na figura:

y f(x) A a bx A ?írea limitada pela curva cont?¡nua positiva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b ?® obtida dividindo-se a base [a ; b] em n subintervalos: a = x1 , x2 , x3 , ….. , xn , xn+1 = b e os comprimentos dos n subintervalos por xi = xi + 1 ÔÇô xi , i = 1 ; 2 ; … ; n. A partir da?¡, a ?írea destacada (figura acima) ser?í a soma das ?íreas dos ret?óngulos obtidos nesses subintervalos.

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y f(ci) f(x) c i a=x1 xi xi + 1 xn+1= b x

xi = xi+1 ÔÇô xi A medida que cada ret?óngulo ?® constru?¡do com a menor base poss?¡vel, a base superior do mesmo se confundi com a curva da fun?º?úo, ou seja, se aproxima de uma reta. Isto significa que quando n ? ? , xi ? 0 e a ?írea total da curva, no intervalo [a ; b] ser?í o limite das somas das ?íreas de todos os ret?óngulos poss?¡veis de serem inscritos na mesma, ou seja: n

A= lim ?f(ci). xi = ?bf(x)dx n?? a i=1 OBS: Esse somat??rio ?® chamada soma de Riemann (Geog Friedrich Bernhard Para facilitar o c?ílculo da integral definida de uma maneira r?ípida e simples, considere a ?írea das figuras abaixo quando deslocamos a extremidade direita: y y

f(x) A(x) y f(x) A(b) f(x) A(x+ x) ÔÇô A(x) x x x ax ab a x x+ x

?axf(x)dx ?bf(x)dx ?x+x f(x) dx ax dA A(x + x) – A(x) Temos: A'(x) = = lim , ent?úo A(x) ?® uma das dx x?0 x antiderivadas de f(x). Se F(x) ?® a antiderivada qualquer de f(x), ent?úo A(x) = F(x) + C.

Fazendo x = a , teremos: A(a) = F(a) + C. Por outro lado, A(a) = ? af(x) dx = 0 a Logo : F(a) + C = 0 C = ÔÇô F(a) Ent?úo: A(x) = F(x) ÔÇô F(a) Portanto: ? bf(x) dx = A(b) = F(b) ÔÇô F(a) a

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues Casos particulares: 1. Se f(x) ? 0 , ? bf(x) dx representa a ?írea entre o eixo x e a curva f(x), para a a?x?b y f(x)

A A = ? bf(x) dx a a bx 2.Sef(x)?g(x),?ab[f(x)-g(x)]dxrepresentaa?íreaentreascurvas,para a?x?b y f(x)

A g(x) A=?b[f(x)-g(x)]dx a a bx 3. Se f(x) ? 0 para a ? x ? c e f(x) ? 0 para c ? x ? b , ent?úo a ?írea entre f(x) e o eixo x, para a ? x ? b ?® dada por:

y f(x) A cb ac x ?c ?b A= f(x)dx+ [-f(x)]dx ac

4. Se f(x) ? g(x), a ? x ? c e f(x) ? g(x), c ? x ? b , ent?úo a ?írea entre f(x) e g(x), para a ? x ? b ?® dada por: y g(x) ?c ?b A= [f(x)-g(x)]dx + [g(x)-f(x)]dx ac

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II. ? a ? a f(x) dx = 0 , pois f(x) dx = F(x) a a = F(a) ? F(a) = 0 a

III. ? ab f(x) dx = – ? ba f(x) dx , pois ? a f(x) dx = F(a) – F(b) b

? a ? ac ? c bb IV. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx , a ? c ? b Exemplos: 1. Calcular as integrais definidas:

a)?01×2.dx= x3 3 1 03 1 1 3 1 = – = -0= 3333 0

b) ?12 x5.dx = x6 6 2 26 6 1 64 1 63 =-=-= 66666 1

c) ?24×3.dx = 4×4 = x 4 4 2 = 24 – 4 = 20 2 d)?12(x2+4).dx=x3+4x 3 2?3??3? =? ?-?1+4.1?= 2 +4.3 1 ?3 ? ?3 ? ? ?? ? 8 1 7 31 = + 12 – – 4 = + 8 = 3333 2. Calcular a ?írea limitada pela curva y = 2x ÔÇô x2 e o eixo x Solu?º?úo: Os pontos interceptos da curva com o eixo x s?úo obtidos fazendo y = 0.

3. no intervalo [0 ; 4] x=0Logo: 2x ÔÇô x2 = 0 y

A x . (2 ÔÇô x) = 0 f(x) 02x A=?2(2x-x2).dx=22-x33= 2x 0 84 33 Determine a ?írea da curva f(x) = x3 y f(x) = x3 3 x2 – x 3 ou x = 2

2 ?? 2 2 3? ? 3? = 2 – ? – ?02 – 0 ? = 0?3??3? ? ?? ? (unidades de ?írea)

A = ? 04 3 x4 x . dx = 4 4 44 0 4 256 = – = -0 0444 A 04x

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues 4. Calcular a ?írea limitada pelas curvas : y = x2 e y = 3x Solu?º?úo: Os pontos de intersec?º?úo entre as curvas dadas s?úo obtidos resolvendo- se o sistema de equa?º?Áes formado pelas curvas: ?? = 2 yx 2 2 ? x = 3x x ÔÇô 3x = 0 ??y = 3x ?x = 0 x . (x ÔÇô 3) = 0 ? ?x = 3 Como n?úo usaremos os valores de y, os mesmos n?úo ser?úo por n??s obtidos.

y y = x2 y = 3x A = ? 03 (3x – x 2 ). dx = 3x 2 – 3 x 23 ? 3.3 ? ? ? 23 23 A = ? – 3 ? – ? 3.0 – 0 ? ?2 3??2 3? ? ?? ? A 27 27 27 A= – -0= -9 232 2

EXERC?ìCIOS 1. Calcular as intergrais definidas: a) ? 2 x 4 dx , Resp.: 6,2 ? 1 , b) x dx Resp.: 0 1 -1

?2 3 c) 4x dx , Resp.: 0 2 e) ? 1 1+ t dt , Resp.: 2 (2 03

g) ? 1 e2x dx , Resp.: 1 ( e 02 3 0 d) ? 1 (x2 + 2x + 3) dx , Resp.: 13/3 0

2-1) f)?1(2-x-x2)dx,Resp.:4,5 -2 2 – 1) h) ? 31 . dx , Resp.: ln 2 0 x+3

2. Calcular a ?írea limitada pela curva y = 2x + 3 , o eixo x e as retas x = 3 e x = 4 Resp.: 10 u.a.

x 3. Determinar a ?írea limitada pela curva y = + 1 e o eixo x, no intervalo [0 ; 5]. 2 Resp.: 11,25 u.a.

2 x 4. Achar a ?írea limitada pela par?íbola y = e o eixo x, no intervalo [0 ; 2]. 2 Resp.: 4/3 u.a.

3 5. Determine a ?írea limitada pela par?íbola c??bica y = x e o eixo x , no intervalo [0 ;4]. Resp.: 64 u.a.

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues 8. Calcular a ?írea limitada por: 2 a) y = 2x ÔÇô x e o eixo x, acima do eixo x;

2 b) y = x e y = 2 ÔÇô x 22 c) y = x e y = 8 ÔÇô x 9. Calcule a ?írea da regi?úo indicada na figura: y y = ex

1 02x EXERC?ìCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE C?üLCULO ÔÇô HAMILTON P?ígina 296: (Integral) – Exerc?¡cios 10.2 1. Calcule.

a) ? x dx b) ? 3 dx c) ? (3x + 1) dx d)?(x2+x+1)dx e)?x3dx f)?(x3+2x+3)dx ? 1 ? ? x1 ? ? g) dx h) ?x + ? dx i) x dx x2 ? 3 ? ?3 ?? 1? ? 4 j) xdx l) ?x+ ?dx m) (2+ x)dx ? x? ? ? x ?? ?2 1 n) (ax+b)dx,aebconstantes o) ?3x +x+ dx ? 3? p)???+?dx q)??+?dx r)??52+3?dx 1 23 x ? ? ? ?3 x ? ? x2 ? ? x x2 ? ? ? ?? 3 1? ?x2+1 s) ? 2x – ? dx t) dx ? x4 ? x P?ígina 351: (Integral) – Exerc?¡cios 12.2 (m?®todos de integra?º?úo ÔÇô Substitui?º?úo) 1. Calcule.

a) ? (3x – 2)3 dx b) ? 3x – 2 dx c) ? 3×1- 2 dx d)?(3x-1 dx e)?xsenx2dx f)?xexdx 2

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q)?5+3x6x2dx r)?(1+4×2)2dx s)?x 1+3x2dx x

t)?ex1+exdxu)?(x-11)3dxv)?cos2xdxx)?xe-x sen 2 dx P?ígina 360: (Integral) – Exerc?¡cios 13.3 (m?®todos de integra?º?úo ÔÇô Partes) 1. Calcule.

a)?xexdx b)?xsenxdx c)?x2exdx d) ?x.lnxdx e) ?lnxdx f) ?x2.lnxdx g)?xsec2xdx h)?x.(lnx)2dx i)?(lnx)2dx j) ? x e2x dx l) ? ex cos x dx m) ? e sen x dx – 2x

n)?x3ex2dx o)?x3cosx2dx p)?e-xcos2xdx q)?x2senxdx

P?ígina 311: (Integral – soma de Geog Friedrich Bernhard Riemann , 1826 ÔÇô 1866) Exemplo1. Calcule a ?írea do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, Solu?º?úo: y y = x2 ?ürea A =

?1x2dx ?x3??1 13 03 1 0 ? 3 ?? 3 3 3 ?0

0 1x P?ígina 313: a) Calcule a ?írea da regi?úo limitada pelo gr?ífico de f(x) = x3, pelo eixo x e Solu?º?úo: ?ürea A = ?írea A1 + ?írea A2 y y = x3 ? o x3 dx x4 ?ürea A1 = – = – -1 4 01 = -1 4

-1A2 A1 0 1 x ?ürea A2 = ?o x3 dx = x4 1 11 = 04 Portanto: 111 442 x = -1 x = 1

1 ?x4?1 1 1 b) Calcule ? x3 dx = ? ? = – = 0 = ?ürea A2 ÔÇô ?ürea A1 -1 ?? 4 ?? 4 4 -1

C?ílculo Diferencial e Integral de uma vari?ível para os cursos de Engenharia e CC Anota?º?Áes de Aula Eur?¡pedes Machado Rodrigues P?ígina 314: Exemplo 4. Calcule a ?írea da regi?úo limitada pelas retas x = 0, x = 1, Solu?º?úo: y y = x2 ?ürea A =

?01(2-x2)dx=??2x-x3?1 ?= 2 y = 2 ?? 3 ?? 0

? 13 ? ? 03 ? 1 5 ?2.1- ?-?2.0- ?=2- = ?? 3 ? ? 3 ? ? ?? 3 3

1x 5 x=0 x=1 3 0

EXERC?ìCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular: a) ? 2 x5 dx = x6 16 2 26 = 16 1 +1 4 b)?-1x3dx=x13+1 1

3 ?3 ? ?3 ? 3 3 = ? .1? – ? .1? = – ?4 ? ?4 ? 4 4 1 x3 = -1 4 3

? c) ? senx dx = – cosx -? ? = -? 16 64 1 63 -=-= 6666

1 334 =x -1 4 1 ? 3 3 14 ? ? 3 3 4 ? = ? . ? – ? . (-1) ? = -1 ?4 ? ?4 ?

=0 (-cos?)-[-cos(-?)]=-(-1)+(-1)=1-1=0 ?0 d) cos x dx = sen x? = sen ? – sen 0 = 0 – 0 0

2. Achar a ?írea entre as curvas, em cada caso: a) y = x e y = x2 Pontos interceptos: x2 = x x2 ÔÇô x = 0 x = 0 ou x = 1 Gr?ífico: ? =0

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b) y = x e y = x3 Pontos interceptos: x3 = x x3 ÔÇô x = 0 x = 0 ou x2 = 1 x = 0 ou x = ?? 1 Gr?ífico: x(x2 ÔÇô 1) = 0

y = x y = x3 A1 A2 A1 = A2 AT =2.A1 A1 = ? 01 [x – x3 ] dx

x2 x4 A1 = – 24 1 0 ?? 1 14 2? A1 = – ? – 0 ?? 2 4 ? ? 111 244 11 42

OBS.: Se considerar A = ? -11 [x – x3 ] dx , obt?®m-se A = 0 (verifique.) c) y = x2 e y = x3 Pontos interceptos: x3 = x2 x3 ÔÇô x2 = 0 x2 = 0 ou x ÔÇô 1 = 0 x = 0 ou x = 1 x2 (x ÔÇô 1) = 0

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A1 A2 y = (x ÔÇô 1).(x ÔÇô 2).(x ÔÇô 3) y = (x-1)(x-2)(x-3) y = (x2ÔÇô3x+2)(x-3) y = x3 ÔÇô 6×2 + 11x ÔÇô 6

AT = A1 + A2 OBS.: Se considerar a Integral da fun?º?úo no intervalo 1 ? x ? 3 , obtemos ?írea igual a zero. Fa?ºa a Verifica?º?úo.

AT = ? 2f(x) dx + ? [-f(x)] dx 3 12 I)A1=?12(x3-6×2+11x-6)dx=x4-6×3+11×2-6x 22=x4-2×3+11×2-6x 14 2 2 1

?24 22 ? ?14 12 ? (4 ) ?1 11 ? A1=? -2.23+11. -6.2?-? -2.13+11. -6.1?= -16+22 12 ? + 6? – – -2 – 4 2 ?? 4 2 ? 4 2 ? ?? ??? 23 23 23 1 A1 = – 2 ÔÇô (4 + ) = – 2 + 8 – = 6 ÔÇô = u.a. 4444

II)A2=?3-(x3-6×2+11x-6)dx=-x4+6×3-11×2+6x 2 432 3 = 2 x4 3 x2 = – + 2x – 11 + 6x 42 3 2 ? 34 32 ? ? 24 22 ? A = ?- +2.33-11. +6.3?-?- +2.23-11. +6.2? 2 ?? 4 ? ? ? 2 ??4 2 ? ? 81 -99+18??-(- ) A2 = ? – + 54 4 + 16 – 22 + 12 ?4 2 ? 279 279 1 444 112 1 III) AT = A1 + A2 = + = AT = u.a. 444 2 4. Achar a ?írea entre a curva y = (x + 1).(x ÔÇô 1).(x + 2) e o eixo dos x. (esbo?ºar o gr?ífico) A curva intercepta o eixo x em y = 0 , logo: (x + 1).(x ÔÇô 1).(x + 2) = 0 x =- 1 ou x = 1 ou x =- 2 (que s?úo as abscissas dos pontos onde a curva ÔÇ£cortaÔÇØ o eixo x)

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Gr?ífico: A1 A2 y=(x+1)(x-1)(x+2) y=(x+1)(x-1)(x+2) y = (x2 ÔÇô1)(x+2) y = x3 ÔÇô x + 2×2 ÔÇô 2 A1 ? A2 , ent?úo: AT = A1 + A2

AT = ?-21f(x ?-1 ) dx + [-f(x)] dx -1 -1 x4 x2 x3 -1 ?-2 ?-2 I) A1 = f(x) dx = (x3 – x + 2×2 – 2) dx = – + 2. – 2x 4 2 3 -2 ?(-1)4 (-1)2 (-1)3 ? ?(-2)4 (-2)2 (-2)3 ? A1 = ? – + 2. – 2.(-1)? – ? – + 2. – 2.(-2)? ?? 4 2 3 ? ?? 4 2 3 ?? ? ? 1 1 2 ? ?16 4 – 8 ? ? 3 – 6 – 8 + 24 ? ? 16 ? A1=?–+2?-?-+2.+4?=? ?-?4-2-+4? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ? ? 12 ? ? 3 ? ? 13 ? ? 16 ? 13 2 13 – 8 5 ? 12 ? ? 3 ? 12 3 12 12

?-1[-f(x)]dx=?-1-(x3-x+2×2-2)dx=-x44 x2 x3 1 II) A2 = + – 2. + 2x 2 3 -1 ? 14 12 13 ? ? (-1)4 (-1)2 (-1)3 ? A2 = ?- + – 2. + 2.1? – ?- + – 2. + 2.(-1)? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ?? ? ?? ? 1 1 2 ? ? 1 1 2 ? ? – 3 + 6 – 8 + 24 ? ? – 3 + 6 + 8 – 24 ? A2 = ?- + – + 2? – ?- + + – 2? = ? ? – ? ? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ? ? 12 ? ? 12 ? ? 19 ? ? 13 ? 19 13 32 32 ? 12 ? ? 12 ? 12 12 12 12 5 32 III) AT = A1 + A2 = + 12 12 37 12

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5. Achar a ?írea entre as curvas y = senx, y = cosx, o eixo y e o primeiro ponto onde essas curvas se interceptam para x positivo (x>0).

Solu?º?úo: Gr?ífico: A y = senx

?/4 y = cosx ? A = ? 4 [cos x – senx] dx = senx – (- cos x) 0 ? ? 4 = senx + cos x o 4 o

? ? + cos ? ? (sen0 ) = ? 2 2 ? A=?sen ?- +cos0 ? + ? – (0 + 1) ? 4 4 ? ? 2 2 ??

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ENGENHARIA MECATR?öNICA/EL?ëTRICA ÔÇô C?üLCULO DIF. E INTEGRAL ÔÇô 1?? ANO GABARITO DOS EXERC?ìCIOS DO LIVRO DO GUIDORIZZI CAP?ìTULO 7 7.3

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CAP?ìTULO 10 CAP?ìTULO 12 10.2 12.2

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