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01. cálculo diferencial e integral de uma variável (cálculo i)

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues

UNIP UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE SOROCABA ENGENHARIA MECATRÔNICA / ELÉTRICA-1ºANO

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (CÁLCULO I) ALUNO:_______________________________ RA.:___________

TURMA:______________________________ SALA:__________ PROF. MACHADO

1. Sistema Cartesiano Ortogonal....................................................................................02

2. Variáveis e Constantes...............................................................................................02

3. Funções......................................................................................................................03

3.1. Função Constante...............................................................................................03

3.2. Função Afim.........................................................................................................04

3.3. Equação da reta que ?passa? por um ponto dado...............................................05

3.4. Função Quadrática..............................................................................................06

3.5. Exercícios de Funções........................................................................................07

3.6. Funções Trigonométricas....................................................................................11

3.6.1. Função Seno.............................................................................................11

3.6.2. Função Co-seno........................................................................................12

3.6.3. Função Tangente.......................................................................................13

3.6.4. Função Co-tangente, Secante e Co-secante............................................13

3.6.5. Exercícios propostos de trigonometria......................................................13

3.7. Função Exponencial............................................................................................14

3.8. Logaritmo.............................................................................................................15

3.9. Função Logaritmo................................................................................................16

4. Derivadas....................................................................................................................17

4.1. Taxa de variação.................................................................................................17

4.2. Noções intuitiva de Derivada...............................................................................18

4.3. A Derivada como Velocidade..............................................................................21

4.4. Regras de Derivação...........................................................................................23

4.5. Exercícios resolvidos...........................................................................................24

4.6. Exercícios propostos...........................................................................................25

4.7. Regra da Cadeia..................................................................................................26

4.8. Derivada Implícita................................................................................................27

4.9. Exercícios propostos...........................................................................................28

5. Noções de Integração.................................................................................................30

5.1. Integral Indefinida................................................................................................30

5.2. Regras de Integração..........................................................................................30

5.3. Exercícios Resolvidos..........................................................................................31

5.4. Exercícios Propostos...........................................................................................32

5.5. Método da Substituição.......................................................................................32

5.6. Exercícios Resolvidos..........................................................................................33

5.7. Método da Integração por Partes........................................................................34

5.8. Tabela de Integrais imediatas..............................................................................36

5.9. Integrais Definidas...............................................................................................36

5.10. Propriedades da Integral Definida.....................................................................38

5.11. Exercícios Resolvidos........................................................................................39

5.12. Exercícios Propostos.........................................................................................40

5.13. Exercícios Gerais de Integral.............................................................................41

5.14. Exercícios Resolvidos........................................................................................43

6. Gabarito dos Exercícios Propostos (livro indicado pela Unip)....................................48

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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL* 1. Coordenadas cartesianas ortogonais Seja ? o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adota- se a seguinte nomenclatura: c) Coordenadas de P são os números reais xP e yP indicados na forma de um par f) O plano formado pelo par de eixos Ox e Oy será chamado plano cartesiano; g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy é chamado sistema cartesiano y

P2 xP (abscissa de P) P(x ; y) · yP (ordenada de P) O P1 x

? NOTA: Os eixos coordenados Ox e Oy dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares que são denominadas quadrantes: y

2º quadrante (- ; +) 1º quadrante (+ ; +) O x

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Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A(4 ; 3) , B(?1; 3) , C(?3 ; ?4) , D(4 ; ?2) , E(2 ; 0) , F(0 ; 4) y

x VARIÁVEIS E CONSTANTES A grande finalidade dos números é sua utilização no sistema de medidas das Uma constante é uma quantidade cujo valor permanece invariável num problema particular, como por exemplo: altitude de uma região, temperatura em que a água Uma variável é uma quantidade que assume diversos valores num determinado problema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma distância A matemática trabalha basicamente com variáveis e constantes. As variáveis ou quantidades que mudam na realidade ou nas nossas simulações são em geral representadas pelas últimas letras do alfabeto: x, y, z, .... . As constantes são em geral Existem dois tipos de constantes: a) constantes absolutas que sempre têm o mesmo valor: números ou símbolos denotando números (ex. temperatura em que a água ferve, valor de ?, etc.); b) constantes paramétricas que têm o mesmo valor em cada problema dado, mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Tais Exemplo: 1) Na equação da área de um círculo, A = ?r2 temos que: A e r são variáveis .

xy 2) Na equação segmentaria da reta + = 1 , temos: ab x e y são variáveis

NOTA: Na matemática aplicada freqüentemente convenciona-se representar uma variável pela primeira letra do seu nome ? por exemplo: p para preço, q para quantidade, c para custo, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante.

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FUNÇÕES 1. Definição ? dizemos que uma relação f de um conjunto A em um conjunto B, não vazios, é uma função de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A se relaciona com um único elemento (y) de B. Essa relação é denotada por y = f(x). Notação: f:A B x y = f(x) NOTA: x é denominado de variável independente e y de variável dependente, ou seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente é expresso por uma lei de formação ou lei de dependência, por exemplo: y = 2.x + 3 2. Domínio ? o conjunto A é denominado de domínio da função , indicado por D(f) e 3. Contradomínio ? o conjunto B é denominado contradomínio da função, indicado 4. Imagem ? o conjunto imagem da função é o conjunto de valores que a variável AB A é o domínio ou seja, conjunto de partida B é o contradomínio? conjunto de chegada xfy Conjunto Imagem da função : Im (f) y é a imagem do domínio x Im(f) = { y ? B | ? x ? A com y = f(x) } Observações: 1. Uma função definida em valores reais f: A B , A e B são subconjuntos reais; 2. Por simplificação, deixamos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio da função f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica implícito que o contradomínio é real e o domínio o ?maior? subconjunto dos reais para o qual a 3. Algumas funções que comumente são usadas na matemática e por serem utilizadas muitas vezes em operações na própria matemática ou nas aplicações de fenômenos físicos, químicos ou biológicos, ou na área econômica, são denominadas funções elementares. No estudo de tais funções, necessitamos sempre de informações, tais como: Domínio, Imagem, Raízes, gráficos e suas principais propriedades.

I. FUNÇÃO CONSTANTE 1. Definição ? f: R R é uma função constante se para cada x ? D(f) existe um único y tal que f(x) = k ou y = k, k é uma constante real f: R R x y=k 2. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k) y

k (0; k) ? Im(f) = { k }

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II. FUNÇÃO AFIM (ou função polinomial do 1º grau) 1. Definição ? denomina-se função afim a função f: R R x y = ax + b , com a ? 0

2. Gráfico ? o gráfico da função afim é uma reta (não vertical)de coeficiente angular a e coeficiente linear b, ou seja, a reta que ?passa? pelos pontos (0 ; b) e (?b/a ; 0). Para y a>0 (f é estritamente Para crescente) y

?b/a ? (?b/a ; 0) x b ? b ? (0 ; b) a<0 (f é estritamente decrescente) (0 ; b)

(?b/a ; 0) ? ?b/a x Nota: o ponto onde a reta ?corta? o eixo x recebe o nome de raiz da função e é obtido fazendo y = o Temos: y = ax + b se y = 0 ax + b = 0 ax = ? b x = ? b/a que é a raiz ou zero da função se x = 0 y = 0.x + b y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta ?corta? o eixo dos y .

3. Inclinação A inclinação da reta é o ângulo ?convexo?? entre o eixo x e a reta r, sempre medido de x para r no sentido anti-horário. As únicas situações possíveis são: Reta Horizontal

y ?r x ? = 0º Reta ?Crescente? y r ? x 0º < ? < 90º Reta Vertical

y r ? ? x ? = 90º Reta ?Decrescente? y r ? x 90º < ? < 180º 4. Coeficiente angular da reta O coeficiente angular, ou declividade da reta r, não vertical, é a tangente trigonométrica do ângulo ?, ou seja, a = tg ? NOTA: Alguns autores denotam a função do 1º grau por y = mx + n, neste caso: m = tg ?

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y P y (0 ; n) ? · y=y?n ? x 0 xx A partir do ponto (0 ; n), para uma variação x de x haverá uma correspondente No triângulo retângulo do gráfico acima temos que: y y-n tg ? = = x . tg ? = y ? n y = tg ? . x + n xx m Portanto, m = tg ? 4.1. Como obter o coeficiente angular ?m? sendo dados dois pontos: y r P2 y2 ?

y2 ? y1 y1 P1 ? ? · ? x2 ? x1 x1 x2 x

Seja r uma reta, não vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r. No triângulo retângulo da figura, temos: y-y tg ? = 2 1 x2 - x1 y2 - y1 m= x2 - x1

5. Equação da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo) Se Q(x ; y) é qualquer outro ponto da reta (isto é, um ponto genérico), então pode ser usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou y - yo declividade da reta: m = e, como a declividade é constante, podemos x - xo escrever: y ? yo = m . (x ? xo)

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III. FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2º grau) 1. Definição ? denomina-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau a função f:R R x y = ax2 + bx + c , com a ? 0

2. Gráfico ? o gráfico da função polinomial do 2º grau é uma parábola nas seguintes condições: >0 =0 <0 a>0

a<0 y x1 x2 x x1 ? x2 y x x1 ? x2 y x1 = x2 x

y x1 = x2 x y x ?x? R y ?x? R x Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-se interceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto (0 ; c).

= b2 ? 4ac é o discriminante (determina o nº de raízes reais da função). As raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau são obtidas através da fórmula de -b ± Báscara : x = 2a NOTA 1: Se > 0, a função tem duas raízes reais e distintas: -b+ -b- x1 = e x2 = , podemos escrever: 2a 2a f(x) = a . (x ? x1) . (x ? x2)

NOTA 2: Se = 0, a função tem uma única raiz real de multiplicidade 2: -b x1 = x2 = , neste caso, podemos escrever: 2a f(x) = a . (x ? x1)2

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NOTA 3 : y a>0 y a<0 (Concavidade para baixo) (Concavidade para cima) yV V(xV ; yV) ?

xV xV x yV x ? V (xV ; yV) eixo de simetria As coordenadas do vértice da parábola são : -b - xV = e yV = 2a 4a ?-b - ? , logo: V = ? ; ? ? 2a 4a ? OBSERVAÇÃO: 1. Se a > 0 , V é ponto de mínimo (ou minimante) da função. A imagem da ?- ? função neste caso, será: Im(f) = ? ; + ? ? ? 4a ? 2. Se a < 0 , V é ponto de máximo (ou maximante) da função. A imagem da ? -? função neste caso, será: Im(f) = ? - ? ; ? ? 4a ? EXERCÍCIOS GERAIS DE FUNÇÃO 1. Se (a + 2b, a ? 4) e (2 ? a, 2b) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, determine o valor de ab.

2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B: c. h = { (x; y) ? A x B | y = 2x ? 1} 3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gráfico cartesiano de A x B a relação y = x + 1, com x ? A e y ? B.

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6. ?Quando uma máquina tem t anos de idade, seu valor de revenda é de: v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.? Qual era o preço, em reais, da máquina nova?

7. Considere as funções f(x) = 3x ? 5, g(x) = 3x2 + 2x ? 4, h(x) = x ? x2 e o número real ? f(0) ÷ g(-1) ? -1 A = ? ? . Determine o valor de 5 . A ? h(2) ? 8. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandei- rada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

Solução: De acordo com o enunciado, temos: P(x) = 3,44 + 0,86 . x a) Para x = 11 P(11) = 3,44 + 0,86 . 11 = 3,44 + 9,46 P(11) = R$ 12,90 b) Para P(x) = 21,50, teremos: 3,44 + 0,86 . x = 21,50 0,86x = 18,06

9. O diagrama abaixo representa uma função f de AB f 0 2 D(f) = 14 2 10 Im(f) = 30 9

10. Determine o domínio das funções: 2 a) y = b) f(x) = x-4 d) f(x) = (2x ? 6) 0,333... e) y = 5 x-5 2-x x-2 g) y = h) f(x) = x2 - 4x + 4 x - 3 x-5 x = 21 km

A em B. Determine o domínio e a 2 c) y = 2-4 x x-2 f) f(x) = x-3 x-2 i) y = x-3

11. Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de R *+ em R ? RRR a) b) c)

R R R

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RR d) e) R R 12. O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0; 0) e (1; 2). Determine a imagem do domínio x = -2/3 13. Seja f: R R a função definida por f(x) = 2x ? 4. Construa o gráfico de f e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação f(x) = 0 ou 2x ? 4 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de f(x) > 0 ou 2x ? 4 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de f(x) < 0 ou 2x ? 4 < 0 é S = { } 14. Seja g: R R a função definida por g(x) = ? x + 3. Construa o gráfico de g e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação g(x) = 0 ou ? x + 3 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de g(x) > 0 ou ? x + 3 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de g(x) < 0 ou ? x + 3 < 0 é S = { } 15. A função f, do 1º grau, é definida por f(x) = 3x + k. Determine: a) O valor de k para que o gráfico de f ?corte? o eixo das ordenadas no ponto de b) O ponto em que o gráfico de f ?corta? o eixo das abscissas.

16. Determine a função polinomial do 1º grau que contém os pontos (1; 3) e (3; 7)

17. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 ? 4x + 3 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x2 ? 4x + 3 > 0 b) x2 ? 4x + 3 ? 0 c) x2 ? 4x + 3 < 0 d) x2 ? 4x + 3 ? 0 18. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 ? 4x + 4 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x2 ? 4x + 4 > 0 b) x2 ? 4x + 4 ? 0 c) x2 ? 4x + 4 < 0 d) x2 ? 4x + 4 ? 0 19. Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. Considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, 1 segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se: a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do tempo t, medido em segundos; Resp.: h(t) = - t2 + 2t + 3 b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros

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1 20. Determine o vértice da parábola de função y = (x + 4) (x ? 8) 4

21. Obtenha o vértice e o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = x2 ? 6x + 5 22. Determine o conjunto-imagem da função f : R R definida por f(x) = -x2 + 8x ? 12.

23. Esboçar o gráfico e obter o conjunto-imagem da função f : [-1; 4] R definida por f(x) = x2 ? 2x ? 3.

24. Esboce o gráfico da função f : [0; 5] R definida por f(x) = x2 ? 4x + 3. Ache o 25. Nas funções polinomiais do 2º grau abaixo, determine os interceptos e construa o seu gráfico: a) f(x) = x2 ? 2x b) f(x) = x2 ? 4 c) y = ? x2 + 2x + 3 d) y = x2 ? 6x + 8 26. Uma indústria produz óculos de sol pelo preço de R$ 20,00 cada. Calcula-se que se cada óculos for vendido por p reais, os consumidores comprarão 120 ? p unidades. c) calcular o preço para o qual o lucro será máximo Resolução: a) O lucro é expresso pelo produto : (preço vendido ? custo de fabricação) . (unidades vendidas) , ou seja: L(p) = (p ? 20) . (120 ? p) L(p) = ? p2 + 140 p ? 2400 b) As raízes ou zeros da função são dadas por ? p2 + 140 p ? 2400 = 0 ou então, por (p ? 20) . (120 ? p) = 0 p ? 20 = 0 ou 120 ? p = 0 p1 = R$ 20,00 I1 (20 ; 0)

p2 = R$ 120,00 I2 (120 ; 0) p + p 20 + 120 O vértice é dado por : xV = 1 2 = = 70 xV = R$ 70,00 e 22 yV = L(xV) = L(70) = (70 ? 20) . ( 120 ? 70) = 50 . 50 yV = R$ 2500,00 que representa o preço máximo de lucro, ou seja, LMÀX = R$ 2.500,00 L(p)

2500 20 70 120 p c) do gráfico e do cálculo do item (b) , concluímos que o lucro será máximo quando o preço p for igual ao xV , ou seja:

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IV. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNÇÃO SENO f : IR IR | y = sen x Geometricamente, o valor do seno de x é a medida algébrica do segmento ON obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico. Eixo dos senos Sinal do Seno : P N? Sen x 1 ? IIº Q ? xA Iº Q ? O ?? IIIº Q? IVº Q y = sen x = ON B) Gráfico: O gráfico da função seno é uma curva chamada ?senóide?.

1 -2? ? - 2 ? 3? ? 2 3? ?? - 2 0?? ? 2 2? ? 4? -1 Do gráfico, temos: x y 0º = 0 rad 0 30º = ?/6 1/2 45º = ?/4 2 /2 60º = ?/3 3 /2 90º = ?/2 1 180º = ? 0 270º = 3?/2 -1 360º = 2? 0 1) sen x = sen (x ± 2?), pois x e (x ± 2?) são arcos de mesma extremidade no 6) a função seno é ímpar, pois sen (?x) = ?sen x 2. FUNÇÃO CO-SENO A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x.

f : IR IR | y = cos x Geometricamente, o valor do co-seno de x é a medida OM obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP algébrica do segmento é um arco trigonométrico.

Sinal do co-seno : P Eixo dos co-senos O 1 ? IIº Q x?A ? M Iº Q ?

cos x ? ? IIIº Q? IVº Q

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues B) Gráfico: O gráfico da função co-seno é uma curva chamada ?co-senóide?. y

1 -2? 3? - 2 ?? ??? ? - 2 0? ? 2 3? 2? ? 2 4? x -1 Do gráfico, temos: x y 0º = 0 rad 1 30º = ?/6 3 /2 45º = ?/4 2 /2 60º = ?/3 1/2 90º = ?/2 0 180º = ? -1 270º = 3?/2 0 360º = 2? 1 1) cos x = cos (x ± 2?), pois x e (x ± 2?) são arcos de mesma extremidade no 6) a função co-seno é par, pois cos (?x) = cos x.

3. FUNÇÃO TANGENTE A) Definição: é uma função de IR ? { ? + n ?, n ? Z } em IR, tal que a cada x associa 2 um único y = tg x, ou seja: f : IR ? { ? + n ?, n ? Z } IR | y = tg x 2 Geometricamente, o valor da tangente de x é a medida algébrica do segmento AT obtido pela projeção ortogonal do segmento OT no eixo das tangentes, em que AP é um arco trigonométrico, conforme figura: Eixo das tangentes T Sinal da tangente: P · 1 tg x IIº Q ?? Iº Q ? x A O ? ? IIIº Q? IVº Q

y = tg x = AT y ? ?2??? 2 3? ? 2 ? ? 2 0 ? D(f) = { x ? IR| x ? 2+ n ?, n ? Z }, ? 2?

Im(f) = IR e período = ? x x y 0º = 0 rad 0 30º = ?/6 3 /3 45º = ?/4 1 60º = ?/3 3 90º = ?/2 ? 180º = ? 0 270º = 3?/2 ? 360º = 2? 0

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 4. FUNÇÃO COTANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE O estudo das funções Cotangente, Secante e Co-secante pode ser feito a partir das três funções já vistas (seno, co-seno e tangente), pois elas são funções inversas. Assim, podemos escrever: 1 sen x FUNÇÃO COTANGENTE: f(x) = cotg x = , com tg x ? 0 e tg x = tg x cos x 1 FUNÇÃO SECANTE: f(x) = sec x = , com cosx ? 0 cos x 1 FUNÇÃO CO-SECANTE: f(x) = cossec x = , com sen x ? 0 sen x Dessa relação, obtemos duas relações auxiliares: 1) sec 2 x = 1 + tg2 x 2) cossec2 x = 1 + cotg2x

EXERCÍCIOS 1. Esboce os gráficos das funções e determine a sua imagem: a) y = | sen x| e) y = 2. cos x b) f(x) = | cos x| f) y = 1 + sen x ?? c) y = | tg x | , para - < x < g) f(x) = 1 + cos x 22 d) y = 2. sen x h) y = - sen x i) f(x) = - cos x 2. Faça o estudo do sinal das funções: a) y = sen x, para 0 ? x ? 2? b) f(x) = cos x, para 0 ? x ? 2? ?? c) y = tg x, para - ? x ? 22 3. Qual o ponto de máximo e de mínimo das funções: a) y = sen x, para 0 ? x ? ? b) y = cos x , para ? ? x ? 2? ? c) y = tg x, para 0 ? x ? 2 d) y = | sen x |, para 0 ? x ? 2? e) y = | cos x |, para 0 ? x ? 2?

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V. FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a > 0 e a ?1, chama-se função exponencial de base a à * f(x) = ax função f: IR IR + definida por · Domínio = IR · Contradomínio = Conjunto Imagem = IR *+

Em a > 0 e a ?1, temos: 0 1 a 01 Gráfico: O gráfico da função exponencial é uma curva exponencial do tipo: A) Crescente se y a>1 B) Decrescente se 0

a 1? 1 ? a 1x 1x Exemplo 1.

Esboçar o gráfico da função definida em IR por f(x) = 2x x y = 2x -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0 1 1 2 2 4 3 8

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PROPRIEDADES: P1 : ? x ? IR, ax > o P2 : f(0) = a o = 1

f(1) = a 1 = a Se x1 , x2 ? IR e 0 < a ? 1 , então: P3 : ax1 = ax2 ? x1 = x2

P4:ax1?ax2??x1?x2,sea>1 ? ? x1 ? x2 , se 0 < a < 1 x y=(1/2)x -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 3 1/8

NOTA: Um caso particular importante é o número de Euler ?e? = 2, 7182818184..., que é usado no cálculo dos logaritmos naturais ou neperianos (em homenagem ao seu criador John Napier 1550 - 1617) cuja base usa a constante de ?Néper? que é o número de Euler. Assim, f(x) = ex é a função exponencial natural.

LOGARITMO ? Chama-se logaritmo de um número N, numa base a o expoente x que se deve elevar a base a para se obter o número N, ou seja: logN = x ? ax = N a , onde N e a são números reais, tais que N > 0 e 0 < a ? 1

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c) log x = 2 4 d) log 64 = 3 x e) log 3 (x2 ? 1) = 1 x = 42 x = 16 (x > 0) x3 = 64 x3 = 43 x2 ? 1 = 31 x2 = 4

VI. FUNÇÃO LOGARITMO x = 4 (0 < x ? 1) x= ± 2 Dado um número real a, tal que, 0 < a ? 1, chama-se função logarítmica de base a a função f: IR * IR definida por f(x) = log x + a

· Domínio = IR *+ · Contradomínio = Imagem = IR Gráfico: O gráfico da função logarítmica é uma curva logarítmica do tipo: A) Crescente se y a>1 B) Decrescente se y 0

1 1 ? 1a x ? a1 Esboçar o gráfico da função definida em por IR *+ por f(x) = log x 2 4y

-1 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -3

8x * Esboçar o gráfico da função definida em IR + por f(x) = log x 1/ 2 x

x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues tabela x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3

PROPRIEDADES: P1 : log x1 = log x2 x1 = x2 , se 0 < a ? 1 aa P2 : log x1 ? log x2 0 < x1 ? x2 , se a > 1 aa P3 : log x1 ? log x2 x1 ? x2 , se 0 < a < 1 aa ? log x ? 0 ? x ? 1 P4 : para a > 1, temos: ? a ? log x ? 0 ? 0 < x ? 1 a ? log x ? 0 ? 0 < x ? 1 P5 : para 0 < a < 1 , temos: ? a ? loga x ? 0 ? x?1

DERIVADAS (Resumo) 1. TAXA DE VARIAÇÃO Dada a função f(x) = 2x + 3, quando atribuímos valores para a variável x, obtemos valores correspondentes para a variável y ou f(x):

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues x1 x2 x = x2 ? x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) y = y2 ? y1 y x 0 1 1?0=1 3 5 5?3=2 2 ÷1 = 2 1 3 3?1=2 5 9 9?5=4 4 ÷2 = 2 2 5 5?2=3 7 13 13 ? 7 = 6 6 ÷3 = 2 3 6 6?3=3 9 15 15 ? 9 = 6 6 ÷3 = 2 y Assim, a taxa de variação = 2 , isto significa que o coeficiente angular da reta (m) x é constante e igual a 2, ou seja, m = 2 na reta de equação y = mx + n.

Para uma função do 2º grau, a taxa de variação não será mais uma constante, por exemplo, seja a função f(x) 2x2 ? 1 x1 x2 x = x2 ? x1 y1 = f(x1) y2 = f(x2) y = y2 ? y1 y x 0 ?1 ?1 ? 0 = ?1 ?1 1 1 ? (?1) = 2 ?2 1 ?2 ?2 ? 1 = ?3 1 7 7?1=6 ?2 2 4 4?2=2 7 31 31 ? 7 = 24 12 3 5 5?3=2 17 49 49 ? 17 = 32 16

Veja a situação dos dois gráficos: y y = x2 ? 1 y

7 5 3 y = 2x + 3 2=( y) =( y) 1=( x) 2=( y) = ( x) 1=( x) =( y) 12 x x =( x) Taxa de variação constante: Taxa de variação não constante: y22 y62 = = =2 = ? x11 x11

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y Substituindo em (I) , teremos: = x Como x = x2 ? x1

y x2 = x1 + Q y2 P y1 x = x2 ? x1 x f(x2)-f(x1) f(x1 + x) - f(x1) = x 2 - x1 x f(x) reta secante

y = y2 ? y1 b a x1 x2 = x1 + x x

Sendo x um acréscimo dado em x (positivo ou negativo) e y um acréscimo dado y em y (positivo ou negativo), a taxa de variação , que é um quociente de acréscimos, x pode ser também positiva ou negativa, significando coeficiente angular ou inclinação y positiva ou negativa . Essa taxa de variação também é chamada de razão x y incremental ou taxa média de variação. Na figura acima, a taxa de variação x representa o coeficiente angular da reta secante à curva determinada pelos pontos P(x1 ; y1) e Q(x2 ; y2). Quando o ponto Q tende a P, isto é, o ponto Q desloca-se sobre a curva até coincidir com o ponto P, a reta secante se aproxima da reta tangente à curva. Isto faz com que x 0 (lê-se: delta x tende a zero).

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y A esse limite, lim , que é o limite de uma taxa instantânea de variação ou x?o x simplesmente, taxa de variação quando x ? 0, chamamos de derivada da função f(x) no ponto x1?D(f) e indicamos por f'(x1), quando o limite existe e é finito.

Portanto: f(x1 + x) - f(x1) y f'(x1) = lim = lim x?o x x?o x

NOTA: Se um ponto P(x0 ; y0) pertence a uma função y = f(x), então o coeficiente angular da reta tangente à curva dada pela função será: y f(x0 + x) - f(x0 ) m = f'(x0) = lim = lim x?o x x?o x

A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por y' ou f'(x), tal que, seu valor em qualquer x do domínio de f é dado por: f(x + x) - f(x) y' = f'(x) = lim x?o x , se o limite existir.

NOTA: Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada para todos os pontos do seu domínio.

OBSERVAÇÃO: A derivada de uma função pode ser denotada por: dy df y' ou f'(x) ou ou ou Dx(y) ou Df(x) dx dx Exemplos:notação de Leibniz

1) Calcular a derivada da função f(x) = 3x2 f(x + x) - f(x) 3.(x + x)2 - 3x2 f'(x) = lim = lim x?o x x?o x

3.(x2+2xx+x2)-3x2 3x2+6xx+3x2-3x2 f'(x) = lim = lim x?o x x?o x

0 6x x+3 x2 x.(6x+3 x) f'(x) = lim = lim = lim 6x + 3 x = 6x + 3.0 x?o x x?o x x?o

Portanto : f'(x) = 6x ou y' = 6x 2) Calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) = 3x2 no ponto P( 1 ; 3 ) Solução: xo yo Da questão (1) vimos que f'(x) = 6x e, sabendo que m = f'(x0) , onde xo é a abscissa de um ponto pertencente à curva dada, concluímos que: m = f'(xo) = f'(1) = 6 .1 m=6

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y reta tangente (y = mx + n) 3 P(1 ; 3) x 1 3) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = 3 x2, no ponto P(1; 3) Solução: A equação da reta tangente pode ser obtida pela fórmula: y ? yo = m . ( x ? xo ) Das questões (1) e (2) , temos que: m = 6, xo = 1 e yo = 3 Portanto: y ? 3 = 6 . (x ? 1) y ? 3 = 6x ? 6 y = 6x ? 3 que é a equação da reta tangente representada no gráfico acima.

A) A DERIVADA COMO VELOCIDADE S(t) S(t + ?t) ?S S(t) ?S = S(t+?t) ? S(t) é o deslocamento

t t (t + ?t) ?t S S(t + t) - S(t) Temos que: = = vm tt

Quando ?t?0 , obtemos a velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, que é o limite das velocidades médias, ou seja: S(t + t) - S(t) dS dS v(t) = lim = ou v(t) = = S' (t) t?0 t dt dt

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v(t + t) - v(t) am = t Quando ?t?0 , obtemos a aceleração instantânea, ou aceleração no instante t, que é o limite das acelerações médias, ou seja: v(t + t) - v(t) dv dv a(t) = lim = ou a(t) = = v'(t) t?0 t dt dt

EXEMPLO 1: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua Determinar: d) a aceleração no instante t = 4 Resolução: - - 2 - - 2 - S S(4) S(2) (16.4 4 ) (16.2 2 ) 48 28 a) Vm = = = = = 10 unid. vel. t 4 - 2 2 2 b) V(t) = S'(t) = 16 ? 2t V v(4) - v(0) (16 - 2.4) - (16 - 2.0) 8 - 16 - 8 c) am = = = = = = - 2 unid. acel. t 4 - 0 4 4 4 d) a(t) = V'(t) = S''(t) = -2 no instante t = 4, temos: a(4) = -2 unid. acel.

2. Calcular a taxa de variação da função f(x) = x2 + 3x ? 1, quando - 2 + - - 2 + - - y f(3) f(1) (3 3.3 1) (1 3.1 1) 17 3 14 = = = = = 7 x 3 - 1 2 2 2

3. Dada a função y = x2 + x + 1, determinar a taxa de variação da - 2 + + - 2 + + - y f(1) f(0) (1 1 1) (0 0 1) 3 1 2 = = = = = 2 x 1- 0 1 1 1

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Para um tempo t qualquer, a taxa é dada por f'(t) = 64 ? t2 a) no tempo t = 4 , temos: f'(4) = 64 ? 42 = 64 ? 16 = 48 pessoas / dia; b) no tempo t = 8 , temos: f'(8) = 64 ? 82 = 64 ? 64 = 0 a epidemia está c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia foi: ? 53 ? ? 43 ? 125 64 f(5)?f(4) = ? 64 . 5 - ? - ? 64 . 4 - ? = 320 - - 256 + ? 43 pessoas ? 3?? 3? 3 3 ? ?? ? OBSERVAÇÃO: dS * A taxa de variação da função horária é chamada de velocidade escalar = V ; dt dv * A taxa de variação da velocidade é chamada de aceleração escalar = a . dt Para facilitar o cálculo das derivadas das funções, evitando o uso da definição, podemos usar as regras de derivação a seguir: REGRAS DE DERIVAÇÃO: (derivadas de algumas funções elementares) Função Derivada y=k y' = 0 y=x y' = 1 y=k.x y' = k y=xn y' = n . x n ? 1 y=k.xn y' = k . n . x n - 1 y=k.u y' = k . u' y=un y' = n . u n ? 1 . u' y=u±v y' = u' ± v' y=u.v y' = u'.v + v'. u u y= v u'. v - v' . u y' = v2 y = eu y' = eu . u' y = ln u u' y' = u y = au y' = au . ln a . u' y = log u a u' u' y' = . log e ou y' = u a u . ln a y = sen u y' = u' . cos u y = cos u y' = - u' . sen u y = tg u y' = u' . sec2 u y = cotg u y' = - u' . cossec2 u n é um número natural.

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1) f(x) = 5 2) f(x) = 3 . x 3) f(x) = x3 4) f(x) = 3x + 2 5) f(x) = (2x + 3)3

6) y = x3 ? 12x + 5 7) y = x 2 - 3x f'(x) = D(k) = 0 f'(x) = D(k . x) = k f'(x) = 3 f'(x) = D(xn) = n . x n ? 1 , n = 3 f'(x) = 3 . x 3 ? 1 f'(x) = 3 x2 f'(x) = D(u + v) = u' + v' = 3 + 0 = 3 f'(x) = D(un) = n . un ? 1 . u' n=3 u = 2x + 3 u' = 2 + 0 = 2 f'(x) = 3 . (2x + 3)3 ? 1 . 2 f'(x) = 6 . (2x + 3)2 y' = 3x2 ? 12

1 y = (x2 ? 3x) 2 y' = D(un) = n . un?1 . u' n = 1/2 u = x2 ? 3x u' = 2x ? 3 1 -1 1 -1 1 y' = . (x2 ? 3x) 2 . (2x ? 3) y' = . (x2 ? 3x) 2 . (2x ? 3) 22 8) y = (2 + 3x).(5 ? 2x) y' = D(u . v) = u'.v + v'. u u = 2 + 3x u' = 3 v = 5 ? 2x v' = -2 y' = 3 . (5 ? 2x) + (-2) . (2 + 3x) = 15 ? 6x ? 4 ? 6x 2x + 4 ? u ? u'. v - v' . u 9) y = y' = D ? ? = 3x - 1 ? v ? v 2 u = 2x + 4 u' = 2 v = 3x ? 1 v' = 3 y' = 11 ? 12x

2 . (3x - 1) - 3 . (2x + 4) y' = = (3x - 1)2 10) f(x) = ln (x3 ? 2)

u = x3 ? 2 u' f'(x) = D(ln u) = u (3x - 1)2 u' = 3x2 11) f(x) = e5x ?2 f'(x) = D(eu) = eu . u' u = 5x ? 2 6x - 2 - 6x - 12 - 14 y' = (3x - 1)2

3x2 y' = x3 - 2 u' = 5 y' = 5. e5x ? 2 12) y = 2 x2 -3x

13) y = log (2x + 3) u = 2x + 3 14) y = sen 5x y' = D(au) = au . ln a . u' a = 2 , u = x2 ? 3x y' = 2 x2 -3x . ln 2 . (2x ? 3) u' y' = D(log u) = u . ln a 2 u' = 2 y' = (2x + 3) . ln 10 y' = D(sen u) = u' . cos u u' = 2x ? 3

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues u = 5x u' = 5 y' = 5 . cos 5x 15) y = cos (2x + 3) y' = D(cos u) = - u' . sen u u = 2x + 3 u' = 2 y' = - 2 . sen (2x + 3) 16) y = tg (x2 ? 4x) u = x2 ? 4x y' = D(tg u) = u' . sec2 u u' = 2x ? 4 y' = (2x ? 4) . sec2 (x2 ? 4x) II) Dada a função f(x) = x2 + 2x ?1 , determine: 1) a variação de y quando x aumenta de 1 para 3 para x1 = 1 , temos: y1 = 12 + 2 . 1 ? 1 = 1 + 2 ? 1 para x2 = 3 , temos: y2 = 32 + 2 . 3 ? 1 = 9 + 6 ? 1 Temos: quando x varia de 1 para 3, y varia de 2 para 14 y1 = 2 y2 = 14

y 2) a taxa de variação x y y2 - y1 14 - 2 12 = = = =6 x x 2 - x1 3 - 1 2

EXERCÍCIOS 1) Calcular a primeira derivada das seguintes funções: a) f(x) = ? 10 b) f(x) = 4x c) y = 5x2 + 6x - 2 d) f(x) = x e) y = (x2 ? 3x).(x + 1) x-2 f) y = x+3 1 g) y = x 3 1 h) y = x+2 i) y = 3 x + 3 j) f(x) = (2x + 3)5 k) y = 4x2 + 2x l) y = x + 4 1 - m) y = 9x3 + 5 x 4 n) y = (7 ? x)(7 + x) x2-3 o) y = x p) y = 4x3 + 5x2 +10x ? 3 q) y = (2x + 2)2 + (x ?1)2 r) y = (2x + 4)0,5 x2 s) y = x+4 t) y = (x + 3)5 . x + 3 1 ?1+2x?3 u) y = ? ? ?x? 2x + 4 v) y = 3 x) f(x) = log (x2 +5) 3 z) y = ln (x3 ? 3x) 2) Se ? é a curva de equação y = x3 ? 12x, determine a equação da reta tangente à curva, no ponto de abscissa 4, ou seja, xo = 4.

4) O lucro semanal de uma fábrica em função do preço de venda, é dado pela lei denominada função lucro por: L(p) = 20.(10 ? p).(p ? 2) . Determinar a taxa de variação do lucro se o preço p variar de R$ 2,00 para R$ 6,00.

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REGRA DA CADEIA (Derivada da função composta) dy du Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadas e existem, então a du dx função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por: dy dy du ' = . ou y'(x) = g'(u) . f (x) dx du dx dy Exemplo: Determine as derivadas : dx a) y = (x2 + 3x + 4)5. A função equivale a y = u5 , então: dy du = 5.u4 ; sendo u = x2 + 3x + 4, temos = 2x + 3 . Logo: du dx dy dy du = . = 5. u4 . (2x + 3) = 5.(x2 + 3x + 4)4.(2x + 3) dx du dx Obs.: Note que: se y = un, então y' = n.un-1.u' b) y = (2x +1)100 y = un du dy u = 2x + 1 = 2 e = 100.u99 dx du dy du dx du dx c) y = ln(x2 + 1) u = x2 + 1 dy du dx du dx

d) y = 5 . x2 + 3 dy y' = dx a=5 = 100.u99.2 = 200.(2x + 1)99

y = ln u du dy 1 = 2x e = dx du u 1 2x dy 2x = . 2x = = y' = u x2 + 1 dx x2 + 1

y = 5 . (x2 + 3)1/2 y = a.un n-1 = a.n.u .u' , n=½ du u = x2 + 3 u' = = 2x dx dy 1 1 -1 -1 5x = y' = 5 . . (x2 + 3) 2 . 2x = 5x . (x2 + 3) 2 = ou dx 2 1 (x2 + 3)2 dy 5x = y' = dx 2 + x3

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DERIVADA IMPLÍCITA Seja F(x; y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. Se existir uma função f, tal que para todo x pertencente ao seu domínio [?x?D(f)] se tenha F(x; y) = 0, dizemos que f é dada implicitamente por essa equação.

Exemplos: a) A equação x2 + 1 y - 1 = 0 define implicitamente a função y = 2.(1- x2) 2 Verificação: substituindo y = 2.(1 ? x2) na equação dada, temos: x2 + 1 . 2 . (1 ? x2) ? 1 = 0 x2 + 1 ? x2 ? 1 = 0 0 = 0 (V) 2

b) A equação x2 + y2 = 4 (que é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio igual a 2) define, implicitamente, as funções: x2 + y2 = 4 y2 = 4 ?x2 y = ± 4 - x2

y = 4 - x2 ou funções na forma implícita y = - 4 - x2

A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA Suponhamos que F(x; y) = 0 defina implicitamente uma função derivável y = f(x). Podemos determinar y', sem explicitar y (sem precisar isolar y), usando a regra da cadeia.

Exemplos: 1) Determinar as derivadas implicitamente: a) x2 + y2 = 4 derivando ambos os membros em relação a x, temos: d 2 + 2 d(4) (x y ) 2 2 = ou (x + y )' = (4)' dx dx 22 dx dy 2 2 + = 0 ou (x )' + (y )' = 0 dx dx dy 2x + 2y . = 0 ou 2x + 2y . y' = 0 dx dy isolando-se ou y' , temos: dx dy 2y . = - 2x ou 2y . y' = - 2x dx dy - 2x x - 2x x = = - ou y' = = - dx 2y y 2y y

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues '' ? 2 1 ? ?1 ? ?1 ? ? x + y - 1? = 0' (x2)' + ? y ? - (1)' = 0 2x + ? y'? - 0 = 0 ? 2 ? ?2 ? ?2 ? 1 y ' = - 2x y' = - 4x 2

c) x2 + 5y3 ? x = 5 temos: (x2 + 5y3 ? x )' = 5'2x + 15y2.y' ? 1 = 0 1 - 2x 15y2 . y' = 1 ? 2x y' = 2 15y

d) x . y ? ln y = 2 1 temos: (x . y ? ln y)' = 2' 1 . y + y' . x - . y' = 0 y ?1 ? ?1-xy? y2 y' . ? - x ? = y y' . ? ? = y y' = ? y ? ? y ? 1 - xy

e) x2.y + 3x.y3 ? 3 = x temos: (x2.y + 3x.y3 ? 3)' = x' (x2.y)' + 3(x.y3)' ? 3' = 1 2x.y + x2.y' + 3.(1.y3 + 3x2.y') ? 0 = 1 2xy + x2y' + 3y3 + 9x2.y' = 1 y'.(x2 + 9xy2) = 1 ? 2xy ? 3y3 1 - 2xy - 3y3 y' = x2 + 9xy 2

1 2) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 + y ? 1 = 0 no 2 ponto (-1 ; 0).

Solução: I) Derivando implicitamente em relação a x, temos: 11 2x + y' = 0 y' = -2x y' = - 4x ou f'(x) = - 4x 22 II) No ponto de abscissa xo = -1 determinamos o coeficiente angular da reta: m = f'(xo) = f'(-1) = -4.(-1) m = 4 III) Equação da reta: y ? yo = m.(x ? xo) y ? 0 = 4 . [x ? (-1)]

y = 4 . (x + 1) y = 4x + 4 EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO ? HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa.

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues Exercícios 7.3 2. Calcule g'(x) sendo g dada por: 1 a) g(x) = x6 b) g(x) = x100 c) g(x) = d) g(x) = x2 x e) g(x) = f) g(x) = 1 h) g(x) = x-3 1 g) g(x) = x x3 x7

Página 159: Exercícios 7.7 a) f(x) = 3x2 + 5x b) f(x) = x3 + x2 + 1 c) f(x) = 3x3 ? 2x2 + 4 d) f(x) = 3x + x e) f(x) = 5 + 3x-2 f) f(x) = 2 3 x 1 45 231 g) f(x) = 3x + h) f(x) = + i) f(x) = x + x2 x x x2 3 4 11 33 j) f(x) = 3 x + x l) f(x) = 2x + + m) f(x) = 6x + x x x2 n) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde a, b, c e k são constantes.

7. Calcule F'(x) onde F(x) é igual a: x x2-1 3x2+3 x a) b) c) d) x2+1 x+1 5x-3 x+1 Página 160: Exercícios 7.7 9. Calcule f '(x) onde f(x) é igual a: 2 cos x a) 3x + 5cos x b) c) x . sen x d) x2. tgx x2 +1 a) f(x) = x2. ex b) f(x) = 3x + 5 ln x c) f(x) = ex . cos x lnx e) f(x) = x2. ln x + 2ex i) f(x) = x Página 179: Exercícios 7.11 a) y = sen 4x b) y = cos 5x c) f(x) = e3x d) f(x) = cos 8x e) y = sen t3 f) g(t) = ln (2t + 1) g) y = esen t h) f(x) = cos ex i) y = (sen x + cos x)3 j) y = 3x + 1

Página 180: Exercícios 7.11 (regra da cadeia - funções compostas) a) y = x e3x b) y = ex cos 2x c) y = e-x sen x -2t -x2 cos 5x d) y = e sen 3t e) f(x) = e + ln (2x + 1) g) y = sen 2x

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NOÇÕES DE INTEGRAÇÃO I) INTEGRAL INDEFINIDA A integral é a operação inversa da derivada, ou seja, conhecida a derivada de uma função, a integração ou antiderivação desta gera a função que originou a derivada. Exemplo: a derivada da função f(x) = x3 + C é a função f'(x) = 3x2 , então a integral ou integração da função f'(x) = 3x2 é a função f(x) = x3 + C , onde C = constante real. Simbolicamente podemos escrever: dy = 3x2 , cuja diferencial é representada por dy = 3x2 . dx dx ?dy=?3x2.dxy = x3 + C ou f(x) = x3 + C

? símbolo da operação integração (lê-se: integral)

Definições: I. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo dado, se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F'(x) = f(x);

II. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C, onde C é uma constante é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

? f(x) dx = F(x) + C (notação de Leibniz) III. Da definição de integral indefinida, decorre que:

? f(x) dx = F(x) + C F'(x) = f(x) C é uma constante de integração Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado Integração.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA I. ?k.f(x)dx=k?f(x)dx, k=constantereal II. ?[f(x)±g(x)].dx = ?f(x)dx ± ?g(x)dx d[?f(x).dx] III. = f(x) , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria dx função.

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1. ? dx = x + C 2. ? k dx = k ? dx = k . x + C 3.?xndx=xn+1+C 4.?x-1dx=?1dx=ln|x|+C n+1 x 5.?axdx=ax+C,0

a) ? 5 dx = 5 ? dx = 5 x + C , C?IR 1+1 2 ? ? x + C - 2 + C , C?IR x b) - x dx = - x dx = - = 1+1 c) ? (3x + 5) dx = ? 3x dx + ? 5 dx = 3 ? x dx + 5 ? dx = x1+1 3 = 3 . + 5 x + C = x2 + 5x + C 1+1 2

d)?(x2+x3-2x)dx=?x2dx+?x3dx-2?xdx= 2+1 3+1 1+1 xxx = + -2 +C= 2+1 3+1 1+1 x3 x4 = + - x 2 + C , C?IR 34

e)?(x+1).(x-1)dx=?(x2-1)dx=?x2dx-?dx=x3-x+CC?IR , 3 f)?(x2+3)2dx=?(x4+6x2+9)dx=?x4dx+6?x2dx+9?dx= x5 x3 x5 = + 6 + 9x + C = + 2 x3 + 9x + C , C?IR 53 5 g) ? 1 dx = ?x-2 dx = x + C = x-1 C = 1 + C, C?IR -2 + 1 +- x2 -2+1 -1 x h) ? x -1 dx = ? 1 dx = ln | x | + C , C?IR x 13 1 +1 3 x2 x2 2 2 i)?xdx=?x2dx= +C= +C= x2+C= x3+C,C?IR 1+1 3 3 3 22

? x x ? x ? x = 2 ex 2x + , C?IR j) (2 e + 2 ) dx = 2 e dx + 2 dx + C ln 2

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? ? ?2 a) x dx b) 5x dx c) 6x dx

? ? 4 . 3 f) ? x -1/ 3 dx 1/ 2 d) x dx e) x dx 3

g)?t-2dt h)?32dx ?3t.dt 2 . x i)

?+ ?+ ?2 j) (2x 3) dx k) 1 x . dx l) 3x dx

? 2+ + ? 2- ? 2- + m) (0,1x 3x 4) . dx n) (x 9) . dx o) (3x 4x 5). dx

p)?x2(x-1).dx q)?(2t+3)2.dt r)?(x+3).(2x-1).dx

s) ? dt t) ? dx u) ? 1 . dx t x+1 x+3 3

Respostas: 12+ 52+ 3+ a) . x C b) . x C c) 2x C 22 2 2 3 2/3 d) . x + C e) x 3 + C f) . x + C 3 4

32 g) - 1 + 6 . x 53 C i) 2 3 . t3/2 C C h) + . + t53 j) x2 + 3x + C k) 2 .(1+ x)3/2 + C l) x3 + C 3

1 3+3.x2 + 1.x3 9x C o) 3 2+5x C m) . x + 4x C n) - + x - 2x + 30 2 3

1 4 1 3 4 3 2 2 3 5 . x2 - C p) . x - . x + C q) . t + 6t + 9t + C r) . x + 3x + 43 3 32

s) - 1 + C t) 2(x + 1/2 + u) Ln |x + 3| 1) C + C 2 2t

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? f [ g (x) ] . g'(x) dx = F[g(x)] + C Fazendo u = g(x), du = g'(x) dx, temos: ? f [ g (x) ] . g'(x) dx = ? f(u) du = F(u) + C Exemplos: Calcular as integrais por substituição: a) ? (x + 3)2 dx Fazendo u = x + 3 du=dx,então,?(x+3)2dx=?undu=un n+1

? 2 (x + 3)3 (x + 3) dx = + C 3

b) ? (2x + 3)2 dx 1 22 ? (2x + 3)2 dx = 1 . (2x + 3)3 + C = (2x + 3)3 + C 23 6

? ?1 c) 5x - 1 dx = (5x - 1) 2 dx du = 5 dx 1 ? 1 1 ? n 1 un+1 dx = . (5x - 1) 2 .5dx = u du = . + C 5 5 5 n+1 Fazendo u = 5x ? 1

?1 Então: (5x - 1) 2 1 +1 3 +1 +C

un+1 +C n+1 (5x - 1) 2 1 (5x - 1) 2 2 + C = . + C = . (5x -1)3 + C 1 + 1 5 3 15 22

d) ?9t2 . 3 3 +10 dt = ?( 3 +10) 12 t t 3 . 9t dt

Fazendo u = t3 + 10 du = 3t2 dt ?3 1 Então: (t + 10) 3 .

? 2 3 3 + 10 9t . t dt ?1+2x2 dx x e) Fazendo u = 1 + x2 ? 2x Então: dx = 1+ x2 9t2dt=3.?(t3+10)13.3t2dt=3.?undu=3.un+ 1 +C n+1 (t3 +10)31+1 3 4 (t + 10) 3 9 4 = 3 . + C = 3 . + C = . (t3 +10) 3 + C 1 +1 4 4 33

du = 2x dx ? du = ln |u| + C = ln |1 + x2| + C ? (x32 +d1x) f) x =3.?(x2+1) -2 . x dx 2

Fazendo u = x2 + 1 du = 2x dx ?(x2+1)-2.xdx=3.?(x2+1)-2.2xdx=3.?undu=3.un+ 1 Então: 3 . + C 2 2 2 n+1

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? 32x dx2 = 3 . (x2-+ +-2+1 + C = 3 . (x2-+1)-1 + C = + C 1) 3 - (x +1) 2 2 1 2 1 2.(x2 +1)

?4xdx=4.?xdx1=4.?(8-x2)-13.xdx g) 3 8-x2 (8-x2) 3 Fazendo u = 8 ? x2 du = - 2x dx Então:4.?(8-x2)-3.xdx=4.?(8-x2)-3.(-2)xdx ? un+1 11n = -2. u du = -2 . + C -2 n+1 2 - 1 +1 2 2

? 4x dx = -2 . (8 - x ) 3 + C = -2 . (8 - x ) 3 2 + C = - 3 . (8 ? x2) 3 + C 3 8 - x 2 - 31 + 1 3 2

h) ? cos(5x) dx Fazendo u = 5x du = 5 dx Então: ? cos(5x) dx = 1 . ? cos(5x) . 5 dx = 5 51 . ? cosu du = 1 . senu + C 5

? cos(5x) dx = 1 . sen(5x) + C 5 i) ? sen (3x - 1) dx Fazendo u = 3x ? 1 du = 3 dx Então:?sen(3x-1)dx=1.?sen(3x-1).3dx= .?senu 1.(-cosu)+C 1 du = 333 ? sen (3x - 1) dx = - 1 . cos (3x ? 1) + C 3

j) ? sen2x . cos x dx Fazendo u = sen x du = cos x dx un+1 (sen x)2+1 sen3x Então:?sen2x.cosxdx=?undu= +C= +C= +C n+1 2+1 3

MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam f(x) e g(x) duas funções deriváveis num intervalo. A derivada do produto [f(x) . g(x)]' = f(x) . g'(x) + g(x) . f'(x) f(x) . g'(x) = [f(x) . g(x)]' ? g(x) . f'(x) .

Integrando membro a membro, temos: ? f(x) . g'(x) dx = ? [f(x) . g(x)]' dx - ? g(x) . f'(x) dx ? u = f(x) du = f'(x) dx Fazendo ? temos: ? v = g(x) dv = g'(x) dx dx ?u.dv=u.v-?vdu Exemplos: Calcular as integrais por partes:

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a) ? x . eX dx u=x Fazendo x x dv = e dx v = e du = dx

Temos: ? x . eX dx = x . ex - ? ex dx = x . ex ? ex + C = ex . (x ? 1) + C

b) ? ln x dx 1 Fazendo u = ln x du = dx e dv = dx v=x x

Temos: ? ln x dx = u . v - ? v du = ln x . x - ? x . 1 dx = x . ln x - ? dx = x . ln x ? x + C x

c) ? x . sen x dx Fazendo: u = x du = dx e dv = sen x dx v = - cos x Então: ? x . sen x dx = u . v - ? v du = x . (-cos x) - ? (- cos x) dx = - x cosx + ? cos x dx ? x . sen x dx = - x cosx + senx + C d) ? x . cos x dx Fazendo: u = x du = dx e dv = cos x dx v = sen x Então: ? x . cos x dx = u . v - ? v du = x . sen x - ? sen x dx = x sen x -(-cos x) + C ? x . cos x dx = x sen x + cos x + C e) ? x . sen(3x) dx Fazendo: u = x du = dx e 1? 1 dv = sen(3x) dx v = . sen (3x) . 3dx = - . cos (3x) 33 ? ? ? 1.cos(3x)??- ? 1 Temos: x . sen(3x) dx = u . v - v du = x . ? - - .cos(3x) dx = ?3 ? 3 1 . ? cos (3x) dx = 1 = - x . cos (3x) + 33 . 31 . ? cos (3x 11 = - x . cos (3x) + ) . 3dx = 33 11 = - x . cos (3x) + . sen (3x) + C 39 ? x . 1+ x dx ? x . (1+ x) 1 f) = 2 dx Fazendo: u = x du = dx e 1 +1 v=?(1+x) dx = + 2 3 1 1 (1 x) 2 dv = (1 + x) 2 dx 2 = . (1 + x) 2 1 +1 3 2

? 1 ? 2 3 - ? 32 3 Temos: x . (1+ x) 2 dx = u . v - v du = x . . (1 + x) 2 .(1+ x) 2 dx= 3

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3 +1 2 3 2 (1+x)2 = x . . (1 + x) 2 - . + C = 3 3 3 +1 2 23225 = x . . (1 + x) 2 - . . (1 + x) 2 + C = 3 35 2x 3 4 5 = . (1 + x) 2 - . (1 + x) 2 + C 3 15 TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS:

1) ? du = u + C 2) ? du = ln |u| + C 3) ? eu du = eu + C ?undu=un+1+C(néconstante?-1) 5)?audu=au+C 4) n + 1 ln a 6) ? sen u du = - cos u + C 7) ? cos u du = sen u + C 8)?sec2udu=tgu+C 9)?cosec2udu=-cotgu+C 10) ? sec u . tg u du = sec u + C 11) ? cos ec u . cotg u du = -cosec u + C II) INTEGRAIS DEFINIDAS No desenvolvimento do cálculo integral uma das suas aplicações é o cálculo das áreas de figuras de formas variadas, que é uma forma de se apresentar a integral Seja y = f(x) uma função contínua num intervalo real [a ; b]. A integral definida de f(x), de a até b , é um número real, simbolizado por: ? bf(x) dx , onde: a · f(x) é o integrando Geometricamente, a integral definida corresponde a área destacada na figura:

y f(x) A a bx A área limitada pela curva contínua positiva y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é obtida dividindo-se a base [a ; b] em n subintervalos: a = x1 , x2 , x3 , ..... , xn , xn+1 = b e os comprimentos dos n subintervalos por xi = xi + 1 ? xi , i = 1 ; 2 ; ... ; n. A partir daí, a área destacada (figura acima) será a soma das áreas dos retângulos obtidos nesses subintervalos.

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y f(ci) f(x) c i a=x1 xi xi + 1 xn+1= b x

xi = xi+1 ? xi A medida que cada retângulo é construído com a menor base possível, a base superior do mesmo se confundi com a curva da função, ou seja, se aproxima de uma reta. Isto significa que quando n ? ? , xi ? 0 e a área total da curva, no intervalo [a ; b] será o limite das somas das áreas de todos os retângulos possíveis de serem inscritos na mesma, ou seja: n

A= lim ?f(ci). xi = ?bf(x)dx n?? a i=1 OBS: Esse somatório é chamada soma de Riemann (Geog Friedrich Bernhard Para facilitar o cálculo da integral definida de uma maneira rápida e simples, considere a área das figuras abaixo quando deslocamos a extremidade direita: y y

f(x) A(x) y f(x) A(b) f(x) A(x+ x) ? A(x) x x x ax ab a x x+ x

?axf(x)dx ?bf(x)dx ?x+x f(x) dx ax dA A(x + x) - A(x) Temos: A'(x) = = lim , então A(x) é uma das dx x?0 x antiderivadas de f(x). Se F(x) é a antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C.

Fazendo x = a , teremos: A(a) = F(a) + C. Por outro lado, A(a) = ? af(x) dx = 0 a Logo : F(a) + C = 0 C = ? F(a) Então: A(x) = F(x) ? F(a) Portanto: ? bf(x) dx = A(b) = F(b) ? F(a) a

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues Casos particulares: 1. Se f(x) ? 0 , ? bf(x) dx representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para a a?x?b y f(x)

A A = ? bf(x) dx a a bx 2.Sef(x)?g(x),?ab[f(x)-g(x)]dxrepresentaaáreaentreascurvas,para a?x?b y f(x)

A g(x) A=?b[f(x)-g(x)]dx a a bx 3. Se f(x) ? 0 para a ? x ? c e f(x) ? 0 para c ? x ? b , então a área entre f(x) e o eixo x, para a ? x ? b é dada por:

y f(x) A cb ac x ?c ?b A= f(x)dx+ [-f(x)]dx ac

4. Se f(x) ? g(x), a ? x ? c e f(x) ? g(x), c ? x ? b , então a área entre f(x) e g(x), para a ? x ? b é dada por: y g(x) ?c ?b A= [f(x)-g(x)]dx + [g(x)-f(x)]dx ac

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II. ? a ? a f(x) dx = 0 , pois f(x) dx = F(x) a a = F(a) ? F(a) = 0 a

III. ? ab f(x) dx = - ? ba f(x) dx , pois ? a f(x) dx = F(a) - F(b) b

? a ? ac ? c bb IV. f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx , a ? c ? b Exemplos: 1. Calcular as integrais definidas:

a)?01x2.dx= x3 3 1 03 1 1 3 1 = - = -0= 3333 0

b) ?12 x5.dx = x6 6 2 26 6 1 64 1 63 =-=-= 66666 1

c) ?24x3.dx = 4x4 = x 4 4 2 = 24 - 4 = 20 2 d)?12(x2+4).dx=x3+4x 3 2?3??3? =? ?-?1+4.1?= 2 +4.3 1 ?3 ? ?3 ? ? ?? ? 8 1 7 31 = + 12 - - 4 = + 8 = 3333 2. Calcular a área limitada pela curva y = 2x ? x2 e o eixo x Solução: Os pontos interceptos da curva com o eixo x são obtidos fazendo y = 0.

3. no intervalo [0 ; 4] x=0Logo: 2x ? x2 = 0 y

A x . (2 ? x) = 0 f(x) 02x A=?2(2x-x2).dx=22-x33= 2x 0 84 33 Determine a área da curva f(x) = x3 y f(x) = x3 3 x2 - x 3 ou x = 2

2 ?? 2 2 3? ? 3? = 2 - ? - ?02 - 0 ? = 0?3??3? ? ?? ? (unidades de área)

A = ? 04 3 x4 x . dx = 4 4 44 0 4 256 = - = -0 0444 A 04x

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 4. Calcular a área limitada pelas curvas : y = x2 e y = 3x Solução: Os pontos de intersecção entre as curvas dadas são obtidos resolvendo- se o sistema de equações formado pelas curvas: ?? = 2 yx 2 2 ? x = 3x x ? 3x = 0 ??y = 3x ?x = 0 x . (x ? 3) = 0 ? ?x = 3 Como não usaremos os valores de y, os mesmos não serão por nós obtidos.

y y = x2 y = 3x A = ? 03 (3x - x 2 ). dx = 3x 2 - 3 x 23 ? 3.3 ? ? ? 23 23 A = ? - 3 ? - ? 3.0 - 0 ? ?2 3??2 3? ? ?? ? A 27 27 27 A= - -0= -9 232 2

EXERCÍCIOS 1. Calcular as intergrais definidas: a) ? 2 x 4 dx , Resp.: 6,2 ? 1 , b) x dx Resp.: 0 1 -1

?2 3 c) 4x dx , Resp.: 0 2 e) ? 1 1+ t dt , Resp.: 2 (2 03

g) ? 1 e2x dx , Resp.: 1 ( e 02 3 0 d) ? 1 (x2 + 2x + 3) dx , Resp.: 13/3 0

2-1) f)?1(2-x-x2)dx,Resp.:4,5 -2 2 - 1) h) ? 31 . dx , Resp.: ln 2 0 x+3

2. Calcular a área limitada pela curva y = 2x + 3 , o eixo x e as retas x = 3 e x = 4 Resp.: 10 u.a.

x 3. Determinar a área limitada pela curva y = + 1 e o eixo x, no intervalo [0 ; 5]. 2 Resp.: 11,25 u.a.

2 x 4. Achar a área limitada pela parábola y = e o eixo x, no intervalo [0 ; 2]. 2 Resp.: 4/3 u.a.

3 5. Determine a área limitada pela parábola cúbica y = x e o eixo x , no intervalo [0 ;4]. Resp.: 64 u.a.

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues 8. Calcular a área limitada por: 2 a) y = 2x ? x e o eixo x, acima do eixo x;

2 b) y = x e y = 2 ? x 22 c) y = x e y = 8 ? x 9. Calcule a área da região indicada na figura: y y = ex

1 02x EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO ? HAMILTON Página 296: (Integral) - Exercícios 10.2 1. Calcule.

a) ? x dx b) ? 3 dx c) ? (3x + 1) dx d)?(x2+x+1)dx e)?x3dx f)?(x3+2x+3)dx ? 1 ? ? x1 ? ? g) dx h) ?x + ? dx i) x dx x2 ? 3 ? ?3 ?? 1? ? 4 j) xdx l) ?x+ ?dx m) (2+ x)dx ? x? ? ? x ?? ?2 1 n) (ax+b)dx,aebconstantes o) ?3x +x+ dx ? 3? p)???+?dx q)??+?dx r)??52+3?dx 1 23 x ? ? ? ?3 x ? ? x2 ? ? x x2 ? ? ? ?? 3 1? ?x2+1 s) ? 2x - ? dx t) dx ? x4 ? x Página 351: (Integral) - Exercícios 12.2 (métodos de integração ? Substituição) 1. Calcule.

a) ? (3x - 2)3 dx b) ? 3x - 2 dx c) ? 3x1- 2 dx d)?(3x-1 dx e)?xsenx2dx f)?xexdx 2

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q)?5+3x6x2dx r)?(1+4x2)2dx s)?x 1+3x2dx x

t)?ex1+exdxu)?(x-11)3dxv)?cos2xdxx)?xe-x sen 2 dx Página 360: (Integral) - Exercícios 13.3 (métodos de integração ? Partes) 1. Calcule.

a)?xexdx b)?xsenxdx c)?x2exdx d) ?x.lnxdx e) ?lnxdx f) ?x2.lnxdx g)?xsec2xdx h)?x.(lnx)2dx i)?(lnx)2dx j) ? x e2x dx l) ? ex cos x dx m) ? e sen x dx - 2x

n)?x3ex2dx o)?x3cosx2dx p)?e-xcos2xdx q)?x2senxdx

Página 311: (Integral - soma de Geog Friedrich Bernhard Riemann , 1826 ? 1866) Exemplo1. Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, Solução: y y = x2 Área A =

?1x2dx ?x3??1 13 03 1 0 ? 3 ?? 3 3 3 ?0

0 1x Página 313: a) Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x3, pelo eixo x e Solução: Área A = área A1 + área A2 y y = x3 ? o x3 dx x4 Área A1 = - = - -1 4 01 = -1 4

-1A2 A1 0 1 x Área A2 = ?o x3 dx = x4 1 11 = 04 Portanto: 111 442 x = -1 x = 1

1 ?x4?1 1 1 b) Calcule ? x3 dx = ? ? = - = 0 = Área A2 ? Área A1 -1 ?? 4 ?? 4 4 -1

Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC Anotações de Aula Eurípedes Machado Rodrigues Página 314: Exemplo 4. Calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, Solução: y y = x2 Área A =

?01(2-x2)dx=??2x-x3?1 ?= 2 y = 2 ?? 3 ?? 0

? 13 ? ? 03 ? 1 5 ?2.1- ?-?2.0- ?=2- = ?? 3 ? ? 3 ? ? ?? 3 3

1x 5 x=0 x=1 3 0

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcular: a) ? 2 x5 dx = x6 16 2 26 = 16 1 +1 4 b)?-1x3dx=x13+1 1

3 ?3 ? ?3 ? 3 3 = ? .1? - ? .1? = - ?4 ? ?4 ? 4 4 1 x3 = -1 4 3

? c) ? senx dx = - cosx -? ? = -? 16 64 1 63 -=-= 6666

1 334 =x -1 4 1 ? 3 3 14 ? ? 3 3 4 ? = ? . ? - ? . (-1) ? = -1 ?4 ? ?4 ?

=0 (-cos?)-[-cos(-?)]=-(-1)+(-1)=1-1=0 ?0 d) cos x dx = sen x? = sen ? - sen 0 = 0 - 0 0

2. Achar a área entre as curvas, em cada caso: a) y = x e y = x2 Pontos interceptos: x2 = x x2 ? x = 0 x = 0 ou x = 1 Gráfico: ? =0

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b) y = x e y = x3 Pontos interceptos: x3 = x x3 ? x = 0 x = 0 ou x2 = 1 x = 0 ou x = ± 1 Gráfico: x(x2 ? 1) = 0

y = x y = x3 A1 A2 A1 = A2 AT =2.A1 A1 = ? 01 [x - x3 ] dx

x2 x4 A1 = - 24 1 0 ?? 1 14 2? A1 = - ? - 0 ?? 2 4 ? ? 111 244 11 42

OBS.: Se considerar A = ? -11 [x - x3 ] dx , obtém-se A = 0 (verifique.) c) y = x2 e y = x3 Pontos interceptos: x3 = x2 x3 ? x2 = 0 x2 = 0 ou x ? 1 = 0 x = 0 ou x = 1 x2 (x ? 1) = 0

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A1 A2 y = (x ? 1).(x ? 2).(x ? 3) y = (x-1)(x-2)(x-3) y = (x2?3x+2)(x-3) y = x3 ? 6x2 + 11x ? 6

AT = A1 + A2 OBS.: Se considerar a Integral da função no intervalo 1 ? x ? 3 , obtemos área igual a zero. Faça a Verificação.

AT = ? 2f(x) dx + ? [-f(x)] dx 3 12 I)A1=?12(x3-6x2+11x-6)dx=x4-6x3+11x2-6x 22=x4-2x3+11x2-6x 14 2 2 1

?24 22 ? ?14 12 ? (4 ) ?1 11 ? A1=? -2.23+11. -6.2?-? -2.13+11. -6.1?= -16+22 12 ? + 6? - - -2 - 4 2 ?? 4 2 ? 4 2 ? ?? ??? 23 23 23 1 A1 = - 2 ? (4 + ) = - 2 + 8 - = 6 ? = u.a. 4444

II)A2=?3-(x3-6x2+11x-6)dx=-x4+6x3-11x2+6x 2 432 3 = 2 x4 3 x2 = - + 2x - 11 + 6x 42 3 2 ? 34 32 ? ? 24 22 ? A = ?- +2.33-11. +6.3?-?- +2.23-11. +6.2? 2 ?? 4 ? ? ? 2 ??4 2 ? ? 81 -99+18??-(- ) A2 = ? - + 54 4 + 16 - 22 + 12 ?4 2 ? 279 279 1 444 112 1 III) AT = A1 + A2 = + = AT = u.a. 444 2 4. Achar a área entre a curva y = (x + 1).(x ? 1).(x + 2) e o eixo dos x. (esboçar o gráfico) A curva intercepta o eixo x em y = 0 , logo: (x + 1).(x ? 1).(x + 2) = 0 x =- 1 ou x = 1 ou x =- 2 (que são as abscissas dos pontos onde a curva ?corta? o eixo x)

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Gráfico: A1 A2 y=(x+1)(x-1)(x+2) y=(x+1)(x-1)(x+2) y = (x2 ?1)(x+2) y = x3 ? x + 2x2 ? 2 A1 ? A2 , então: AT = A1 + A2

AT = ?-21f(x ?-1 ) dx + [-f(x)] dx -1 -1 x4 x2 x3 -1 ?-2 ?-2 I) A1 = f(x) dx = (x3 - x + 2x2 - 2) dx = - + 2. - 2x 4 2 3 -2 ?(-1)4 (-1)2 (-1)3 ? ?(-2)4 (-2)2 (-2)3 ? A1 = ? - + 2. - 2.(-1)? - ? - + 2. - 2.(-2)? ?? 4 2 3 ? ?? 4 2 3 ?? ? ? 1 1 2 ? ?16 4 - 8 ? ? 3 - 6 - 8 + 24 ? ? 16 ? A1=?--+2?-?-+2.+4?=? ?-?4-2-+4? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ? ? 12 ? ? 3 ? ? 13 ? ? 16 ? 13 2 13 - 8 5 ? 12 ? ? 3 ? 12 3 12 12

?-1[-f(x)]dx=?-1-(x3-x+2x2-2)dx=-x44 x2 x3 1 II) A2 = + - 2. + 2x 2 3 -1 ? 14 12 13 ? ? (-1)4 (-1)2 (-1)3 ? A2 = ?- + - 2. + 2.1? - ?- + - 2. + 2.(-1)? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ?? ? ?? ? 1 1 2 ? ? 1 1 2 ? ? - 3 + 6 - 8 + 24 ? ? - 3 + 6 + 8 - 24 ? A2 = ?- + - + 2? - ?- + + - 2? = ? ? - ? ? ? 4 2 3 ? ? 4 2 3 ? ? 12 ? ? 12 ? ? 19 ? ? 13 ? 19 13 32 32 ? 12 ? ? 12 ? 12 12 12 12 5 32 III) AT = A1 + A2 = + 12 12 37 12

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5. Achar a área entre as curvas y = senx, y = cosx, o eixo y e o primeiro ponto onde essas curvas se interceptam para x positivo (x>0).

Solução: Gráfico: A y = senx

?/4 y = cosx ? A = ? 4 [cos x - senx] dx = senx - (- cos x) 0 ? ? 4 = senx + cos x o 4 o

? ? + cos ? ? (sen0 ) = ? 2 2 ? A=?sen ?- +cos0 ? + ? - (0 + 1) ? 4 4 ? ? 2 2 ??

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ENGENHARIA MECATRÔNICA/ELÉTRICA ? CÁLCULO DIF. E INTEGRAL ? 1º ANO GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO LIVRO DO GUIDORIZZI CAPÍTULO 7 7.3

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CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 12 10.2 12.2

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