Metrologia Industrial 6a

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Metrologia Industrial Fundamentos da Confirma?º?úo Metrol??gica 6a Edi?º?úo

Metrologia Industrial Fundamentos da Confirma?º?úo Metrol??gica

6a Edi?º?úo) Marco Ant??nio Ribeiro Quem pensa claramente e domina a fundo aquilo de que fala, exprime-se claramente e de modo compreens?¡vel. Quem se exprime de modo obscuro e pretensioso mostra logo que n?úo entende muito bem o assunto em quest?úo ou ent?úo, que tem raz?úo para evitar falar claramente (Rosa Luxemburg)

Autor Marco Ant??nio Ribeiro nasceu em Arax?í, MG, no dia 27 de maio de 1943, ?ás 7:00 horas A.M.. Formou-se pelo Instituto Tecnol??gico de Aeron?íutica (ITA), em Foi professor de Matem?ítica, no Instituto de Matem?ítica da Universidade Federal da Bahia (UFBA) (1974-1975), professor de Eletr??nica na Escola Polit?®cnica da UFBA (1976-1977), professor de Instrumenta?º?úo e Controle de Processo no Centro de Educa?º?úo Tecnol??gica da Bahia (CENTEC) (1978-1985) e professor convidado de Instrumenta?º?úo e Controle de Processo nos cursos da Petrobr?ís (desde 1978). Foi gerente regional Norte Nordeste da Foxboro (1973-1986). J?í fez v?írios cursos de especializa?º?úo em instrumenta?º?úo e controle na Foxboro Co., em Foxboro, MA, Houston (TX) e na Possui dezenas de artigos publicados em revistas nacionais e anais de congressos e semin?írios; ganhador do 2o pr?¬mio Bristol-Babcock, no Congresso do IBP, Desde agosto de 1987 ?® diretor da Tek Treinamento & Consultoria Ltda, firma dedicada ?á instrumenta?º?úo, controle de processo, medi?º?úo de vaz?úo, aplica?º?úo de instrumentos el?®tricos em ?íreas classificadas, Implanta?º?úo de normas ISO 9000 e Suas caracter?¡sticas metrol??gicas s?úo: cor dos olhos: castanhos (cor subjetiva, n?úo do arco ?¡ris)., cor dos cabelos Gosta de xadrez, corrida, fotografia, m??sica de Beethoven, leitura, trabalho, curtir os filhos e a vida. Corre, todos os dias, cerca de (10 ?? 2) km e joga xadrez rel?ómpago todos os fins de semana. ?ë provavelmente o melhor jogador de xadrez entre os corredores e o melhor corredor entre os jogadores de xadrez (o que n?úo ?® nenhuma vantagem e nem interessa ?á Metrologia).

B?¡blia e Metrologia Lev?¡tico, 19 ÔÇó 35: N?úo fa?ºais nada contra a equidade, nem no ju?¡zo, nem na regra, nem no peso, nem ÔÇó 36: Seja justa a balan?ºa e justos os pesos; seja justo o alqueire e justa a medida Deuteron??mio, 25, Pesos e medidas justas ÔÇó 13. N?úo ter?ís na tua bolsa pesos diferentes, um grande e outro pequeno. ÔÇó 15. Ter?ís peso inteiro e justo, ter?ís efa inteira e justa; para que se prolonguem os teus dias na ÔÇó 16. Porque ?® abomin?ível ao Senhor teu Deus todo aquele que faz tais coisas, todo aquele que pr?ítica a injusti?ºa.

Ezequiel, 45 ÔÇó 11. A efa e o bato ser?úo duma mesma medida, de maneira que o bato contenha a d?®cima parte do h??mer e a efa a d?®cima parte do h??mer; o h??mer ser?í a medida padr?úo.

Am??s, 8, ÔÇó 5. Quando passar?í a lua nova, para vendermos o gr?úo? E o s?íbado, para expormos o trigo, diminuindo a medida, e aumentando o pre?ºo, e procedendo dolosamente com balan?ºas enganadoras…

Conte??do 1.Sistema Internacional (SI) 1 Objetivos de Ensino 1 1. Sistema de Unidades 1 1.1. Unidades 1 1.2. Hist??ria 1 1.3. Sistema Internacional (SI) 3 1.4. Pol?¡tica IEEE e SI 5 2. M??ltiplos e Subm??ltiplos 5 Prefixo 5 S?¡mbolo 5 Fator de 10 5 3. Estilo e Escrita do SI 6 3.1. Introdu?º?úo 6 3.2. Mai??sculas ou Min??sculas 6 3.3. Pontua?º?úo 7 3.4. Plural 8 3.5. Agrupamento dos D?¡gitos 8 3.6. Espa?ºamentos 9 3.7. ?ìndices 10 3.8. Unidades Compostas 10 3.9. Uso de Prefixo 11 3.10. ?éngulo e Temperatura 11 3.11. Modificadores de S?¡mbolos 11 4. Algarismos Significativos 12 4.1. Introdu?º?úo 12 4.2. Conceito 12 4.3. Algarismo Significativo e o Zero 12 4.4. Nota?º?úo cient?¡fica 13 4.5. Algarismo Significativo e a Medi?º?úo 14 4.6. Algarismo Significativo e o Display 15 4.7. Algarismo Significativo e Calibra?º?úo 16 4.8. Algarismo Significativo e a Toler?óncia 16 4.9. Algarismo Significativo e Convers?úo17 4.10. Computa?º?úo matem?ítica 18 4.11. Algarismos e resultados 21 2. Estat?¡stica da Medi?º?úo 23 Objetivos de Ensino 23 1. Estat?¡stica Inferencial 23 1.1. Introdu?º?úo 23 1.2. Conceito 23 1.3. Variabilidade da Quantidade 24 2. Popula?º?úo e Amostra 25 3. Tratamento Gr?ífico 26 3.1. Distribui?º?úo de Freq???¬ncia 26 3.2. Histograma 28 3.3. Significado metrol??gico 28 4. M?®dias 29 4.1. M?®dia Aritm?®tica 29 4.2. Raiz da Soma dos Quadrados 30 5. Desvios 30 5.1. Dispers?úo ou Variabilidade 30 5.2. Faixa (Range) 30 5.3. Desvio do Valor M?®dio 31 5.4. Desvio M?®dio Absoluto 31 5.5. Desvio Padr?úo da Popula?º?úo 31 5.6. Desvio Padr?úo da Amostra 32 5.7. F??rmulas Simplificadas 32 5.8. Desvios da popula?º?úo e da amostra 32 5.9. Desvio padr?úo de opera?º?Áes 33 5.10.Coeficiente de varia?º?úo 33 5.11. Desvio Padr?úo Das M?®dias 33 5.12. Vari?óncia 34 6. Distribui?º?Áes dos dados 35 6.1. Introdu?º?úo 35 6.2. Par?ómetros da Distribui?º?úo 35 6.3. Tipos de distribui?º?Áes 35 6.4. Distribui?º?úo normal ou de Gauss 36 7. Intervalos Estat?¡sticos 39 7.1. Intervalo com n grande (n > 20) 39 7.2. Intervalo com n pequeno (n < 20) 39 7.3. Intervalo com n pequeno (n < 10) 39 7.4. Intervalo para v?írias amostras 40 8. Conformidade das Medi?º?Áes 41 8.1. Introdu?º?úo 41 8.2. Teste Q 41 8.3. Teste do ?2 (qui quadrado) 41 8.4. Teste de Chauvenet 43 8.5. Outros Testes 44 8.6. Conformidade (goodness of fit) 44 8.7. N?úo-Conformidades 44

Metrologia Industrial 3. Quantidades Medidas 45 Objetivos de Ensino 45 1. Quantidade F?¡sica 45 1.1. Conceito 45 1.2. Valor da quantidade 45 1.3. Classifica?º?úo das Quantidades 45 1.4. Faixa das Vari?íveis 48 1.5. Fun?º?úo Matem?ítica 49 2. Quantidades de Base do SI 50 2.1. Comprimento 51 2.2. Massa 53 2.3. Tempo 56 2.4. Temperatura 58 2.5. Corrente El?®trica 66 2.6. Quantidade de Mat?®ria 67 2.7. Intensidade Luminosa 68 2.8. Quantidades Suplementares 68 4 69 Instrumentos de Medi?º?úo 69 Objetivos de Ensino 69 1. Medi?º?úo 70 1.1. Metrologia 70 1.2. Resultado da Medi?º?úo 70 1.3. Aplica?º?Áes da Medi?º?úo 70 1.4. Tipos de Medi?º?úo 72 2. Instrumentos da Medi?º?úo 73 2.1. Manual e Autom?ítico 73 2.2. Contato e N?úo-Contato 74 2.3. Alimenta?º?úo dos Instrumentos 74 2.4. Anal??gico e Digital 75 2.5. Instrumento Microprocessado 78 3. Sistema de Medi?º?úo 81 3.1. Conceito 81 3.2. Sensor 82 3.3. Condicionador do Sinal 83 3.4. Apresenta?º?úo do Sinal 87 4. Desempenho do Instrumento 90 4.1. Introdu?º?úo 90 4.2. Caracter?¡sticas do Instrumento 90 4.3. Exatid?úo 91 4.4. Precis?úo 92 4.5. Par?ómetros da Precis?úo 93 4.6. Especifica?º?úo da Precis?úo 97 4.7. Rangeabilidade 98 4.8. Precis?úo Necess?íria 99 4.9. Rela?º?úo entre padr?úo e instrumento 100 4.10. Projeto, Produ?º?úo e Inspe?º?úo 105 5. Erros da Medi?º?úo 106 5.1. Introdu?º?úo 106 5.2. Tipos de Erros 106 5.3. Erro Absoluto e Relativo 107 5.4. Erro Din?ómico e Est?ítico 107 5.5. Erro Grosseiro 108 5.6. Erro Sistem?ítico 109 5.7. Erro Aleat??rio 114 5.8. Erro Resultante Final 115 6. Incerteza na Medi?º?úo 116 6.1. Conceito 116 6.2. Princ?¡pios Gerais 116 6.3. Fontes de Incerteza 118 6.4. Estimativa das Incertezas 118 6.4. Incerteza Padr?úo 118 6.5. Incerteza Padr?úo Combinada 118 6.6. Incerteza Expandida 119 5. Confirma?º?úo Metrol??gica 121 Objetivos de Ensino 121 1. Confirma?º?úo Metrol??gica 121 1.1. Conceito 121 1.2. Necessidade da confirma?º?úo 121 1.3. Terminologia 121 1.4. Calibra?º?úo e Ajuste 122 1.5. Tipos de calibra?º?úo 123 1.6. Erros de calibra?º?úo 126 1.7. Calibra?º?úo da Malha 126 1.8. Par?ómetros da Calibra?º?úo 127 3. Padr?Áes 133 3.1. Padr?Áes f?¡sicos e de receita 133 3.1. Rastreabilidade 134 4. Normas e Especifica?º?Áes 137 4.1. Norma 137 4.2. Especifica?º?Áes 138 4.3. Hierarquia 138 4.4. Tipos de Normas 138 4.5. Abrang?¬ncia das Normas 138 4.6. Rela?º?úo Comprador-Vendedor 138 4.7. Organiza?º?Áes de Normas 139 4.8. INMETRO 139

Metrologia Industrial A. Vocabul?írio de Metrologia 141 1. Grandezas e Unidades 142 1.1. Grandeza (mensur?ível) 142 1.2. Grandeza medida (Mensurando) 142 1.3. Grandeza de base 142 1.4. Grandeza suplementar 142 1.5. Grandeza derivada 142 1.6. Grandeza, dimens?úo de uma 142 1.7. Unidade (de medi?º?úo) 143 1.8. Unidade, s?¡mbolo de 143 1.9. Unidade, sistema de 143 1.10. Valor (de uma grandeza) 143 1.11. Valor verdadeiro (de uma grandeza) 143 1.12. Valor verdadeiro convencional (de uma grandeza) 144 1.13. Valor verdadeiro, erro e incerteza 144 1.14. Valor num?®rico (de uma grandeza) 145 2. Medi?º?úo 145 2.1. Metrologia 145 2.2. Medi?º?úo 145 2.3. Princ?¡pio de medi?º?úo 145 2.4. M?®todo de medi?º?úo 145 2.5. Procedimento de medi?º?úo 145 2.6. Mensurando (mensurand) 145 2.7. Grandeza de influ?¬ncia 145 2.8. Grandeza de modifica?º?úo 145 2.9. Sinal de medi?º?úo (measurement signal) 146 2.10. Ru?¡do (noise) 146 3. Resultado da Medi?º?úo 146 3.1. Resultado de uma medi?º?úo 146 3.2. Resultado n?úo corrigido 146 3.3. Resultado corrigido 146 3.4. Erro (da medi?º?úo) 146 3.5. Erro relativo 147 3.6. Erro aleat??rio 147 3.7. Erro sistem?ítico 147 3.8. Corre?º?úo (do erro) 147 3.9. Fator de corre?º?úo 147 3.10. Incerteza 147 3.11. Incerteza (da medi?º?úo) 147 3.12. Incerteza padr?úo 148 3.13. Incerteza padr?úo combinada 148 3.14. Incerteza expandida 148 3.15. Avalia?º?úo Tipo A (de incerteza) 148 3.16. Avalia?º?úo Tipo B (de incerteza) 148 3.17. Fator de cobertura 148 4. Instrumento de Medi?º?úo 149 4.1. Instrumento de medi?º?úo (measuring instrument) 149 4.2. Medida materializada (material measure) 149 4.3. Transdutor de Medi?º?úo (measuring transducer) 149 4.4. Transmissor (transmitter) 149 4.5. Cadeia de medi?º?úo (measuring chain) 149 4.6. Sistema de medi?º?úo (measuring system) 149 4.7. Indicador (indicator) 149 4.8. Registrador (recorder) 150 4.9. Totalizador (totalizer) 150 4.10. Instrumento anal??gico (analog instrument) e digital (digital instrument) 150 4.11. Mostrador (display, dial) 150 4.12. ?ìndice (index) 150 4.13. Escala (scale) 151 4.14. Escala com zero suprimido (supressed zero scale) 151 4.15. Escala com zero elevado (elevated zero scale) 151 4.16. Escala expandida (expanded scale) 151 4.17. Sensor (sensor) 151 4.18. Faixa de indica?º?úo (range of indication) 151 4.19. Amplitude de faixa (span of indication) 151 4.20. Escala linear (linear scale) 152 5. Caracter?¡sticas do Instrumento de Medi?º?úo 152 5.1. Faixa nominal (nominal range) 152 5.2. Valor nominal (nominal value) 152 5.3. Condi?º?Áes de Utiliza?º?úo (rated operating conditions) 152 5.4. Condi?º?Áes Limites (limiting conditions) 152 5.5. Condi?º?Áes de Refer?¬ncia (reference conditions) 152 5.6. Constante de um instrumento (instrument constant) 152 5.7. Caracter?¡stica de resposta (response characteristic) 153 5.8. Sensibilidade (sensitibility) 153 5.9. Limiar de mobilidade (discrimination, threshold) 153 5.10. Resolu?º?úo (resolution) 153 5.11. Zona morta (dead zone) 153 5.12. Estabilidade (stability) 153 5.13. Discrimina?º?úo (transparency) 153 5.14. Deriva (drift) 153 5.15. Tempo de resposta 153 5.16. Exatid?úo da medi?º?úo 153 5.17. Classe de exatid?úo 153 5. 18. Repetitividade (de resultados de medi?º?Áes) 154

Metrologia Industrial 5.19. Reprodutibilidade 154 5.20. Erro 154 5.22. Limite de Erro Admiss?¡vel 154 5.23. Erro de um instrumento de medi?º?úo 154 5.24. Erro no ponto de controle 154 5.25. Erro no zero (zero error) 154 5.26. Erro no span (span error) 155 5.27. Erro intr?¡nseco (intrinsic error) 155 5.28. Tend?¬ncia (bias) 155 5.29. Isen?º?úo de Tend?¬ncia (freedom from bias) 155 5.30. Erro fiducial (fiducial error) 155 6. Conceitos estat?¡sticos 156 6.1. Estat?¡stica 156 6.2. Probabilidade 156 6.3. Vari?ível aleat??ria 156 6.5. Fun?º?úo distribui?º?úo 156 6.6. Par?ómetro 157 6.7. Caracter?¡stica 157 6.8. Popula?º?úo 157 6.9. Freq???¬ncia 157 6.10. Expectativa (de uma vari?ível aleat??ria ou de uma distribui?º?úo de probabilidade; valor esperado; m?®dia 157 6.11. Desvio padr?úo 157 6.12. Estimativa 158 6.13. Vari?óncia 158 6.14. Covari?óncia 159 6.15. Correla?º?úo 159 6.16. Independ?¬ncia 160 6.17. Representa?º?úo gr?ífica 160 B. Normas ISO 9000 163 1. Introdu?º?úo 163 2. Aspectos Legais 163 3. Hist??rico 164 4. Normas ISO 164 4.1. ISO 9000 164 4.2. ISO 9001 165 4.3. ISO 9002 165 4.4. ISO 9003 165 4.5. ISO 9004 165 4.6. Outras normas ISO 165 5. Filosofia da Norma 166 5.1. Controle e manuten?º?úo do equipamento 166 5.2. Controle do equipamento de medi?º?úo e ensaio 166 5.3. Calibra?º?úo do equipamento 166 6. Equipamento de Inspe?º?úo, Medi?º?úo e Teste 167 7. Certifica?º?úo pela ISO 9000 170 7.1. Projeto 170 7.2. Implementa?º?úo 172 7.3. Comprova?º?úo Metrol??gica 175 Revis?úo 2000 da ISO 9000 177 Conclus?úo final 178 C. Rede Brasileira de Calibra?º?úo 179 D. Fundamentos da Qualidade 181 Objetivos de Ensino 181 1. Hist??ria da Qualidade 181 1.1. Prim??rdios 181 1.2. Qualidade Moderna 181 2. Conceito de Qualidade 183 2.1. Conformidade 183 2.2. Adequa?º?úo ao uso 183 2.3. Satisfa?º?úo do comprador a um pre?ºo competitivo 183 3. Caracter?¡sticas da Qualidade 183 3.1. Vari?ível 184 3.2. N?úo-conformidade 184 3.3. Atributo 184 3.4. Defeito 184 3.5. Padr?úo e Especifica?º?úo 184 4. Aspectos da Qualidade 185 4.1. Qualidade de Projeto 185 4.2. Qualidade de conformidade 185 4.3. Qualidade de Desempenho 185 5. Gerenciamento da Qualidade Total 186 5.1. Introdu?º?úo 186 5.2. Sistema de Qualidade Total 186 5.3. Malha da Qualidade 186 6. Inspe?º?úo e Preven?º?úo 191 6.1. Inspe?º?úo 191 6.2. Modo Preven?º?úo 191 7. Medi?º?úo 191 8. Algumas Filosofias de Qualidade 191 8.1. Introdu?º?úo 191 8.2. W. Edwards Deming e sua filosofia191 8.3. Philip B. Crosby e sua filosofia 193 8.4. Joseph M. Juran e sua filosofia 193 8.5. Compara?º?úo das Tr?¬s Filosofias 194 Refer?¬ncias Bibliogr?íficas 197 Normas 199

Objetivos de Ensino 1. Relatar como apareceram as unidades e se desenvolveu o sistema m?®trico, que se tornou o 2. Apresentar as unidades, s?¡mbolos, prefixos e modificadores das quantidades f?¡sicas. 3. Recomendar as regras de formata?º?úo e escrita correta das quantidades, unidades e s?¡mbolos do 5. Conceituar valor exato e aproximado atrav?®s de algarismos significativos. 6. Mostrar as regras de arredondamento, soma, subtra?º?úo, multiplica?º?úo e divis?úo de algarismos 8. Discutir os m?®todos apropriados para fazer os c?ílculos e apresentar o resultado de modo conveniente e entendido para todos os ramos da engenharia.

1. Sistema de Unidades 1.1. Unidades Unidade ?® uma quantidade precisamente estabelecida, em termos da qual outras quantidades da mesma natureza podem ser estabelecidas. Para cada dimens?úo h?í uma ou mais quantidades de refer?¬ncia para descrever quantitativamente as propriedades f?¡sicas de algum objeto ou material. Por exemplo, a dimens?úo de comprimento pode ser medida em unidades de kil??metro, metro, cent?¡metro, p?® ou a dist?óncia entre o nariz e a ponta do dedo de uma pessoa. A dimens?úo do tempo pode ser medida em unidades segundos, minutos, horas, dias, meses, anos.

1.2. Hist??ria B?¡blia A preocupa?º?úo de se ter um ??nico sistema de unidades est?í na B?¡blia, onde se tem v?írias passagens, como: ter dois pesos e duas medidas ?® abomin?ível para o Senhor (Prov?®rbios, 20, 10). A B?¡blia tamb?®m tinha preocupa?º?Áes metrol??gicas: N?úo fa?ºais nada contra a equidade, nem no ju?¡zo, nem na regra, nem no peso, nem na medida. Seja justa a balan?ºa e justos os pesos; seja justo o alqueire e justa a medida (Lev?¡tico, 19, 35-36) Antig??idade As antigas civiliza?º?Áes j?í tinham percebido a necessidade de cria?º?úo de unidades para a troca de mercadorias. Os padr?Áes de peso datam de 7000 A.C. e os padr?Áes de comprimento datam de 3000 A.C. Os babil??nicos e os romanos j?í haviam Originalmente, os padr?Áes e unidades eram escolhidos por conveni?¬ncia pr?ítica e se Depois, verificou-se que era prefer?¡vel desenvolver padr?Áes baseados em fen??menos naturais reprodut?¡veis em vez de padr?Áes Como existe um grande n??mero de dimens?Áes, ?® necess?írio um sistema de unidades para se ter medi?º?Áes confi?íveis e reprodut?¡veis e para uma boa comunica?º?úo entre todos os envolvidos com as medi?º?Áes. O desenvolvimento tecnol??gico em transportes e comunica?º?Áes e o aumento do com?®rcio globalizado tem mostrado a necessidade de uma linguagem comum de medi?º?úo, um sistema capaz de medir qualquer quantidade f?¡sica com unidades que tenham defini?º?úo clara e precisa e uma rela?º?úo l??gica com as outras Sistema ingl?¬s O sistema ingl?¬s, tamb?®m chamado de imperial, ?® usado na Inglaterra, Estados Unidos e Canad?í, mas mesmo nestes pa?¡ses h?í

Sistema Internacional muitas diferen?ºas em seus detalhes. O insuspeito cientista ingl?¬s William Thompson, Bar?úo Kelvin (1824-1907), dizia que o Sistema Imperial Ingl?¬s de unidades era absurdo, rid?¡culo, demorado e destruidor de c?®rebro. De fato, a maioria das unidades se baseava em medidas do corpo humano, geralmente do corpo do rei de plant?úo. Por exemplo, a jarda (yard) era a dist?óncia do nariz ao polegar com o bra?ºo estendido do rei ingl?¬s Henry I (circa O sistema ingl?¬s n?úo ?® coerente e h?í v?írios m??ltiplos entre a maioria das unidades. Por exemplo, para o comprimento tem-se 12 polegadas para um p?® 3 p?®s para uma jarda Algumas pessoas tem a id?®ia errada que o sistema m?®trico atual, o SI, seja uma cria?º?úo recente e intencional para confrontar a tecnologia americana. Ele apareceu antes de os Estados Unidos se tornarem uma pot?¬ncia tecnol??gica. A tecnologia americana pode Em 1975, nos Estados Unidos, foi decretado o Ato de Convers?úo M?®trica, dando ?á ind??stria americana a oportunidade de se mudar voluntariamente para o sistema SI. Nos Estados Unidos ainda h?í uma resist?¬ncia para mudar as unidades, principalmente pelos segmentos da ind??stria que s?úo estritamente dom?®sticos e pelo p??blico em geral. Isto ?® natural, pois a mudan?ºa altera um modo de vida consagrado e requer uma reeduca?º?úo e Sistema Decimal A id?®ia de um sistema decimal de unidades foi concebida pelo ingl?¬s Simon Stevin (1548- 1620). Em 1671, o padre franc?¬s Gabriel Mouton, definiu uma proposta para um sistema decimal, baseando-se em medidas da Terra, em vez de medidas relacionadas com As unidades decimais foram tamb?®m consideradas no primeiros dias da Academia Francesa de Ci?¬ncias, fundada em 1666. O que tornou o sistema m?®trico uma realidade foi a aceita?º?úo social e pol?¡tica da Revolu?º?úo Francesa. Em seu entusiasmo para romper as tradi?º?Áes europ?®ias existentes, os l?¡deres da Revolu?º?úo acreditaram que at?® o sistema de medi?º?úo deveria ser mudado porque o existente fora criado pela monarquia. Uma comiss?úo de cientistas franceses foi formada para estabelecer um novo sistema de medi?º?úo baseado em normas absolutas e constantes encontradas no universo f?¡sico. Tayllerand prop??s um sistema decimal internacional de pesos e medidas a tous de temps, a tous les peuples. Embora este trabalho tenha iniciado nesta ?®poca, a finaliza?º?úo da comiss?úo foi Sistema CGS O primeiro sistema m?®trico oficial, chamado de cent?¡metro-grama-segundo (CGS), foi proposto em 1795 e adotado na Fran?ºa em 1799. Em 1840 o governo franc?¬s, em resposta a uma falta do entusiasmo p??blico para o uso volunt?írio do sistema, tornou obrigat??rio o sistema CGC. Outros pa?¡ses do mundo Em 1866, no in?¡cio de seu desenvolvimento tecnol??gico, os Estados Unidos promulgaram Em 1873 a Associa?º?úo Brit?ónica do Avan?ºo da Ci?¬ncia recomendou o uso do sistema CGS e desde ent?úo ele foi aplicado em todas as ?íreas da ci?¬ncia. Por causa do uso crescente do sistema m?®trico atrav?®s da Europa, o governo franc?¬s convidou v?írias na?º?Áes para uma confer?¬ncia internacional para discutir um novo prot??tipo do metro e um n??mero de Em 1875, o Tratado do Metro definiu os padr?Áes m?®tricos para o comprimento e peso e estabeleceu procedimentos permanentes para melhorar e adotar o sistema m?®trico. Este tratado foi assinado por 20 pa?¡ses, inclusive o Foi constitu?¡da a organiza?º?úo internacional Conference Generale des Poids et Mesures (CGPM), para fornecer uma base razo?ível de unidades de medi?º?úo precisa e universal. Esta organiza?º?úo consiste do Comit?¬ International des Poids et Mesures (CIPM) que fornece a base t?®cnica e que possui o laborat??rio de trabalho Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). A CGPM ?® constitu?¡da pelos delegados de todos os estados membros da Conven?º?úo do Metro e se re??ne de seis em seis anos para: 1. garantir a propaga?º?úo e aperfei?ºoamento do SI, 2. sancionar os resultados de novas determina?º?Áes metrol??gicas fundamentais 3. adotar decis?Áes que se relacionem com a organiza?º?úo e desenvolvimento do Sistema MKSA Depois do Tratado do Metro, tornou-se necess?írio definir claramente os significados e as unidades de massa, peso e for?ºa. Em 1901, a 3a CGPM declara que o kilograma ?® uma unidade de massa e o termo peso denota uma quantidade de for?ºa. A decis?úo de definir o kilograma (e grama) de um modo diferente do que foi definido no sistema CGS requer um

Sistema Internacional novo sistema, MKS, baseado no metro- Em 1935, a Comiss?úo Internacional de Eletrot?®cnica (IEC) incorpora uma quarta unidade base de corrente, o amp?¿re. Com esta adi?º?úo, o sistema ficou conhecido como MKSA (ou Giorgi).

1.3. Sistema Internacional (SI) Em 1960, a 11a CGPM deu formalmente o nome de Systeme International d'Unites, simbolizado como SI (Sistema Internacional) e o estabeleceu como padr?úo universal de unidades de medi?º?úo. SI ?® um s?¡mbolo e n?úo a abreviatura de Sistema Internacional e por isso O SI ?® um sistema de unidades com as seguintes caracter?¡sticas desej?íveis: Coerente Ser coerente significa que o produto ou o quociente de quaisquer duas unidades ?® a unidade da quantidade resultante. Por exemplo, o produto da for?ºa de 1 N pelo Decimal, No sistema decimal, todos os fatores envolvidos na convers?úo e cria?º?úo de unidades s?úo somente pot?¬ncias de 10. No SI, as ??nicas exce?º?Áes se referem ?ás unidades de tempo baseadas no calend?írio, onde se tem 1 dia 24 horas 1 hora 60 minutos 1 minuto 60 segundos ?Ünico, No sistema, h?í somente uma unidade para cada tipo de quantidade f?¡sica, independente Joule ?® unidade de energia el?®trica, mec?ónica, Poucas Unidades de base As sete unidades de base s?úo separadas e independentes entre si, por defini?º?úo e Unidades com tamanhos razo?íveis, Os tamanhos das unidades evitam a complica?º?úo do uso de prefixos de m??ltiplos e Completo O SI ?® completo e pode se expandir indefinidamente, incluindo nomes e s?¡mbolos de unidades de base e derivadas e prefixos necess?írios.

Simples e preciso, O SI ?® simples, de modo que cientistas, engenheiros e leigos podem us?í-lo e ter no?º?úo das ordens de grandeza envolvidas. N?úo possui ambig??idade entre nomes de grandezas N?úo degrad?ível O SI n?úo se degrade, de modo que as mesmas unidades s?úo usadas ontem, hoje e Universal Os s?¡mbolos e nomes de unidades formam um ??nico conjunto b?ísico de padr?Áes Conclus?úo O SI oferece v?írias vantagens nas ?íreas de com?®rcio, rela?º?Áes internacionais, ensino e Atualmente, mais de 90% da popula?º?úo do mundo vive em pa?¡ses que usam correntemente ou est?úo em vias de mudar para o SI. Os Estados Unidos, Inglaterra, Austr?ília, Nova Zel?óndia, ?üfrica do Sul adotaram legalmente o SI. Tamb?®m o Jap?úo e a China est?úo atualizando seus sistemas de medidas A utiliza?º?úo do SI ?® recomendada pelo BIPM, ISO, OIML, CEI e por muitas outras organiza?º?Áes ligadas ?á normaliza?º?úo, metrologia e instrumenta?º?úo.

?ë uma obriga?º?úo de todo t?®cnico entender, respeitar e usar o SI corretamente.

Sistema Internacional Tab. 1.1. Decis?Áes da Confer?¬ncia Geral de Pesos e Medidas 1a CGPM (1889) 3a CGPM (1901) Diferencia kilograma massa do kilograma forca. Define litro como o volume ocupado por 1 kg de ?ígua com densidade m?íxima. Estabelece a acelera?º?úo normal da gravidade como g = 9,806 65 7a CGPM (1927) Define com maiores detalhes o metro f?¡sico (*). Define unidades fotom?®tricas de vela nova e 9a CGPM (1948) Define unidade de forca no MKS, joule e watt. Define amp?¿re, volt, ohm, coulomb, farad, henry e weber. Diferencia o ponto tr?¡plice do ponto de gelo da ?ígua (0,01 oC). Estabelece a unidade de calor como joule. Escolhe grau Celsius entre grau cent?¡grado, centesimal e Celsius. Padroniza a 10a CGPM (1954) Define o ponto tr?¡plice da ?ígua como igual a 273,15 K. Define atmosfera normal como 101,325 Define seis unidades de base (metro, kilograma, segundo, grau Kelvin*, amp?¿re e candela. 11a CGPM (1960) Estabelece o Sistema Internacional de Unidades, SI. Redefine o metro baseando-se no comprimento de onda da radia?º?úo do Kr-86. Define segundo como 1/31 556 925,974 7 do ano tr??pico para 0 janeiro 1900*. Estabelece 1 L = 1,000 028 dm3. Introduz as unidades suplementares: 12a CGPM (1964) Prop?Áe mudan?ºa no segundo. Recomenda uso de unidades SI para volume e abole o litro para aplica?º?Áes de alta precis?úo. Abole curie (Ci) como unidade de atividade dos radionucl?¡deos. 13a CGPM (1968) Define segundo como dura?º?úo de 9 192 631 770 per?¡odos da radia?º?úo de 133Ce*. Muda a unidade de temperatura termodin?ómica de grau kelvin (oK) para kelvin (K). Define candela (*). Aumenta o n??mero de unidades derivadas. Revoga e suprime o micron e vela nova. 14a CGPM (1971) Adota pascal (Pa) como unidade SI de press?úo, siemens (S) de condut?óncia el?®trica. Define mol 15a CGPM (1975) Recomenda o tempo universal coordenado. Recomenda o valor da velocidade da luz no v?ícuo como c = 299 792 458 m/s. Adota becquerel (Bq) para atividade ionizante e gray (Gy) para dose absorvida. Introduz os prefixos peta (1015) e exa (1018) 16a CGPM (1979) Redefine candela como intensidade luminosa e revoga vela nova. Adota sievert (Sv) como unidade SI de equivalente de dose. Aceita os s?¡mbolos l e L para litro. 17a CGPM (1983) Redefine o metro em rela?º?úo ?á velocidade da luz no v?ícuo * - Decis?úo a ser revista, revogada, modificada ou completada posteriormente.

A pol?¡tica (Policy 9.20) adotada pelo IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers). A pol?¡tica de transi?º?úo para as unidades SI come?ºou em 01 JAN 96, est?ígio 1, que requer que todas as normas novas e revis?Áes submetidas para aprova?º?úo devem ter No est?ígio 2, a partir de 01 JAN 98, d?í-se preferencia ?ás SI. A pol?¡tica n?úo aprova a alternativa de se colocar a unidade SI seguida pela unidade n?úo SI em par?¬ntesis, pois isto torna mais dif?¡cil a leitura do texto. ?ë recomend?ível usar notas de rodap?® ou tabelas No est?ígio 3, para ocorrer ap??s 01 JAN 2000, prop?Áe-se que todas as normas novas e revistas devem usar obrigatoriamente unidades SI. AS unidades n?úo SI s?? podem aparecer em Foram notadas tr?¬s exce?º?Áes: 1. Tamanhos comerciais, como s?®ries de bitola de fios AWG 2. Conex?Áes baseadas em polegadas 3. Soquetes e plugs Quando houver conflitos com normas ou pr?íticas de ind??stria existentes, deve haver uma avalia?º?úo individual e aprovado A implementa?º?úo do plano n?úo requer que os produtos j?í existentes, com par?ómetros em unidades n?úo SI, sejam substitu?¡dos por produtos com par?ómetros em unidades SI.

2. M??ltiplos e Subm??ltiplos Como h?í unidades muito pequenas e muito grandes, elas devem ser modificadas por prefixos fatores de 10. Por exemplo, a dist?óncia entre S?úo Paulo e Rio de Janeiro expressa em metros ?® de 4 x 109 metros. A espessura da Para evitar estes n??meros muito grandes e muito pequenos, compreens?¡veis apenas para os cientistas, usam-se prefixos decimais ?ás unidades SI. Assim, a dist?óncia entre S?úo Paulo e Rio se torna 400 kil??metros (400 km) e a espessura da folha de papel, 0,1 mil?¡metros Os prefixos para as unidades SI s?úo usados para formar m??ltiplos e subm??ltiplos decimais das unidades SI. Deve-se usar apenas um prefixo de cada vez. O s?¡mbolo do prefixo deve ser combinado diretamente com o s?¡mbolo da unidade.

Tab. 1.2 - M??ltiplos e Subm??ltiplos Prefixo S?¡mbolo Fator de 10 yotta Y +24 zetta Z +21 exa E +18 peta P +15 tera T +12 giga G + 9 mega** M +6 kilo** k + 3 hecto* H +2 deca* da +1 deci* d -1 centi* c -2 mili** m -3 micro** ?Á -6 nano n -9 pico p -12 femto f -15 atto a -18 zepto z -21 yocto y -24 Observa?º?Áes * Exceto para o uso n?úo t?®cnico de cent?¡metro e em medidas especiais de ?írea e volume, devem-se evitar estes ** Estes prefixos devem ser os preferidos, por terem pot?¬ncias m??ltiplas de 3

3.1. Introdu?º?úo O SI ?® uma linguagem internacional da medi?º?úo. O SI ?® uma vers?úo moderna do sistema m?®trico estabelecido por acordo internacional. Ele fornece um sistema de refer?¬ncia l??gica e interligado para todas as Para ser usado sem ambig??idade por todos os envolvidos, ele deve ter regras simples e claras de escrita. Parece que o SI ?® exageradamente rigoroso e possui muitas regras relacionadas com a sintaxe e a escrita dos s?¡mbolos, quantidades e n??meros. Esta impress?úo ?® falsa, ap??s uma an?ílise. Para realizar o potencial e benef?¡cios do SI, ?® essencial evitar a falta de aten?º?úo na escrita e no uso dos Os principais pontos que devem ser lembrados s?úo: 1. O SI usa somente um s?¡mbolo para qualquer unidade e somente uma unidade ?® tolerada para qualquer 2. O SI ?® um sistema universal e os s?¡mbolos s?úo usados exatamente da mesma forma em todas as l?¡nguas, de modo an?ílogo aos s?¡mbolos para os 3. Para o sucesso do SI deve-se evitar a tenta?º?úo de introduzir novas mudan?ºas ou inventar s?¡mbolos. Os s?¡mbolos escolhidos foram aceitos internacionalmente, depois de muita Ser?úo apresentadas aqui as regras b?ísicas para se escrever as unidades SI, definindo-se o tipo de letras, pontua?º?úo, separa?º?úo sil?íbica, agrupamento e sele?º?úo dos prefixos, uso de espa?ºos, v?¡rgulas, pontos ou h?¡fen em s?¡mbolos compostos. Somente respeitando-se estes princ?¡pios se garante o sucesso do SI e se obt?®m um conjunto eficiente e simples de No Brasil, estas recomenda?º?Áes est?úo contidas na Resolu?º?úo 12 (1988) do Conselho Nacional de Metrologia, Normaliza?º?úo e Qualidade Industrial.

3.2. Mai??sculas ou Min??sculas Nomes de Unidades Os nomes das unidades SI, incluindo os prefixos, devem ser em letras min??sculas quando escritos por extenso, exceto quando no in?¡cio da frase. Os nomes das unidades com nomes de gente devem ser tratados como nomes comuns e tamb?®m escritos em letra min??scula. Quando o nome da unidade fizer parte de um t?¡tulo, escrever o nome das unidades SI do mesmo formato que o resto do t?¡tulo. Exemplos: Temperatura No termo grau Celsius, grau ?® considerado o nome da unidade e Celsius ?® o modificador da unidade. O grau ?® sempre escrito em letra min??scula, mas Celsius em mai??scula. O nome de unidade de temperatura no SI ?® o kelvin, escrito em letra min??scula. Mas quando se Antes de 1967, se falava grau Kelvin, hoje, o correto ?® kelvin. Exemplos: A temperatura da sala ?® de 25 graus A escala Kelvin ?® defasada da Celsius de 273,15 graus S?¡mbolos S?¡mbolo ?® a forma curta dos nomes das unidades SI e dos prefixos. ?ë incorreto cham?í- lo de abrevia?º?úo ou acr??stico. O s?¡mbolo ?® invari?ível, n?úo tendo plural, modificador, ?¡ndice Deve-se manter a diferen?ºa clara entre os s?¡mbolos das grandezas, das unidades e dos prefixos. Os s?¡mbolos das grandezas fundamentais s?úo em letra mai??scula. Os s?¡mbolos das unidades e dos prefixos podem ser de letras mai??sculas e min??sculas. A import?óncia do uso preciso de letras min??sculas e mai??sculas ?® mostrada nos seguintes exemplos: G para giga; g para grama K para kelvin, k para kilo N para newton; n para nano T para tera; t para tonelada e T para a S para siemens, s para segundo M para mega e M para a grandeza massa P para peta e Pa para pascal e p para pico L para a grandeza comprimento e L para a m para mili e m para metro H para henry e Hz para hertz

Sistema Internacional W para watt e Wb para weber Os s?¡mbolos s?úo preferidos quando as unidades s?úo usadas com n??meros, como nos valores de medi?º?Áes. N?úo se deve misturar ou combinar partes escritas por extenso com Letra romana para s?¡mbolos Quase todos os s?¡mbolos SI s?úo escritos em letras romanas. As duas ??nicas exce?º?Áes s?úo as letras gregas ?Á (mi ) para micro (10-6) e ? Nomes dos s?¡mbolos em letra min??scula S?¡mbolos de unidades com nomes de pessoas tem a primeira letra mai??scula. Os outros s?¡mbolos s?úo escritos com letras min??sculas, exceto o s?¡mbolo do litro que pode ser escrito tamb?®m com letra mai??scula (L), Exemplos: S?¡mbolos com duas letras H?í s?¡mbolos com duas letras, onde somente a primeira letra deve ser escrita como Exemplos: Hz ?® s?¡mbolo de hertz, H ?® s?¡mbolo de Wb ?® s?¡mbolo de weber, W ?® s?¡mbolo de Pa ?® s?¡mbolo de pascal, P ?® prefixo peta (1015) Uso do s?¡mbolo e do nome Deve-se usar os s?¡mbolos somente quando escrevendo o valor da medi?º?úo ou quando o nome da unidade ?® muito complexo. Nos outros casos, usar o nome da unidade. N?úo misturar s?¡mbolos e nomes de unidades por Exemplo correto: O comprimento foi medido Exemplo incorreto: O comprimento foi S?¡mbolos em t?¡tulos Os s?¡mbolos de unidades n?úo devem ser Quando for necess?írio, deve-se usar o nome da unidade por extenso, em vez de seu Correto: ENCONTRADO PEIXE DE 200 KILOGRAMAS Incorreto: ENCONTRADO PEIXE DE 200 KG S?¡mbolo e in?¡cio de frase N?úo se deve come?ºar uma frase com um s?¡mbolo, pois ?® imposs?¡vel conciliar a regra de se come?ºar uma frase com mai??scula e de Exemplo correto: Grama ?® a unidade comum Exemplo incorreto: g ?® a unidade de pequenas Prefixos Todos os nomes de prefixos de unidades SI s?úo em letras min??sculas quando escritos por extenso em uma senten?ºa. A primeira letra do prefixo ?® escrita em mai??scula apenas quando no in?¡cio de uma frase ou parte de um t?¡tulo. No caso das unidades de massa, excepcionalmente o prefixo ?® aplicado ?á grama Assim, se tem miligrama (mg) e n?úo microkilograma (?Ákg); a tonelada corresponde Aplica-se somente um prefixo ao nome da unidade. O prefixo e a unidade s?úo escritos Exemplo correto: O comprimento ?® de 110 km Exemplos incorretos: O comprimento da estrada ?® de 110 Km.

3.3. Pontua?º?úo Ponto N?úo se usa o ponto depois do s?¡mbolo das unidades, exceto no fim da senten?ºa. Pode-se usar um ponto ou h?¡fen para indicar o produto de dois s?¡mbolos, por?®m, n?úo se usa o ponto Exemplos corretos (incorretos): (O cabo de 10 m. tinha massa de 20 kg..) A unidade de momentum ?® newton metro (A unidade de momentum ?® newton.metro) A unidade de momentum ?® o produto N.m A unidade de momentum ?® o produto N-m Marcador decimal No Brasil, usa-se a v?¡rgula como um marcador decimal e o ponto como separador de grupos de 3 algarismos, em condi?º?Áes onde n?úo se quer deixar a possibilidade de preenchimento indevido. Quando o n??mero ?® menor que um, escreve-se um zero antes da v?¡rgula. Nos Estados Unidos, usa-se o ponto

Sistema Internacional como marcador decimal e a virgula como Exemplo (Brasil) O valor do cheque ?® de R$2.345.367,00 Exemplo (Estados Unidos) O valor do cheque ?® de US$2,345,367.00 3.4. Plural Nomes das unidades com plural Quando escrito por extenso, o nome da unidade m?®trica admite plural, adicionando-se um s, for 1. palavra simples. Por exemplo: amp?¿res, candelas, joules, kelvins, kilogramas, 2. palavra composta em que o elemento complementar do nome n?úo ?® ligado por h?¡fen. Por exemplo: metros quadrados, metros c??bicos, unidades astron??micas, 3. termo composto por multiplica?º?úo, em que os componentes s?úo independentes entre si. Por exemplo: amp?¿res-horas, newtons-metros, watts-horas, pascals- Valores entre +1 e -1 s?úo sempre singulares. O nome de uma unidade s?? passa A medi?º?úo do valor zero fornece um ponto de descontinuidade no que as pessoas escrevem e dizem. Deve-se usar a forma singular da unidade para o valor zero. Por exemplo, 0 oC e 0 V s?úo reconhecidamente singulares, por?®m, s?úo lidos como plurais, ou seja, zero graus Celsius e zero volts. O correto Exemplos: 1 metro 23 metros 0,1 kilograma 1,5 kilograma 34 kilogramas 1 hertz 60 hertz 1,99 joule 8 x 10-4 metro 4,8 metros por segundo Nomes das unidades sem plural Certos nomes de unidades SI n?úo possuem plural por terminarem com s, x ou z. Exemplos: Certas partes dos nomes de unidades compostas n?úo se modificam no plural por: 1. corresponderem ao denominador de unidades obtidas por divis?úo. Por exemplo, kil??metros por hora, lumens 2. serem elementos complementares de nomes de unidades e ligados a eles por h?¡fen ou preposi?º?úo. Por exemplo, anos- luz, el?®tron-volts, kilogramas-for?ºa.

S?¡mbolos Os s?¡mbolos das unidades SI n?úo tem plural. Exemplos: 2,6 m 1 m 0,8 m -30 oC 0 oC 100 oC 3.5. Agrupamento dos D?¡gitos Numerais Todos os n??meros s?úo constitu?¡dos de d?¡gitos individuais, entre 0 e 9. Os n??meros s?úo separados em grupos de tr?¬s d?¡gitos, em cada N?úo se deve usar v?¡rgula ou ponto para Deve-se deixar um espa?ºo entre os grupos em vez do ponto ou v?¡rgula, para evitar a confus?úo com os diferentes pa?¡ses onde o ponto ou v?¡rgula ?® usado como marcador N?úo deixar espa?ºo entre os d?¡gitos e o marcador decimal. Um n??mero deve ser tratado do mesmo modo em ambos os lados do marcador decimal.

Exemplos: Correto Incorreto 23 567 23.567 567 890 098 567.890.098 34,567 891 34,567.891 345 678,236 89 345.678,236.89 345 678,236 89 345 678,23 689 N??meros de quatro d?¡gitos Os n??meros de quatro d?¡gitos s?úo considerados de modo especial e diferente dos outros. No texto, todos os n??meros com quatro ou menos d?¡gitos antes ou depois da v?¡rgula Exemplos: 1239 1993 1,2349 2345,09 1234,5678 1 234,567 8 Tabelas As tabelas devem ser preenchidas com n??meros puros ou adimensionais. As suas respectivas unidades devem ser colocadas no cabe?ºalho das tabelas. Ver Tab.1.3.

Sistema Internacional Tab.1.3. Varia?º?úo da temperatura e volume espec?¡fico com a press?úo para a ?ígua pura Press?úo, P Temperatura, T Volume, V kPa K m3/kg 50,0 354,35 3,240 1 60,0 358,95 2,731 7 70,0 362,96 2,364 7 80,0 366,51 2,086 9

Normalmente, em tabelas ou listagens, todos os n??meros usam agrupamentos de tr?¬s d?¡gitos e espa?ºos. Adotando este formato, se Assim, a primeira linha da tabela significa Press?úo P = 50,0 kPa Temperatura T = 354,35 K Volume espec?¡fico V = 3,240 m3/kg Gr?íficos Os n??meros colocados nos eixos do gr?íficos (abcissa e ordenada) s?úo puros ou adimensionais. As unidades e s?¡mbolos das quantidades correspondentes s?úo colocadas O gr?ífico da tabela anterior fica assim

Fig. 1.1. Varia?º?úo da temperatura e volume com a press?úo N??meros especiais H?í certos n??meros que possuem regras de agrupamento especificas. N??meros envolvendo n??meros de pe?ºa, documento, telefone e dinheiro, que n?úo devem ser alterados, devem ser escritos na forma original. V?¡rgulas, espa?ºos, barras, par?¬ntesis e outros s?¡mbolos aplic?íveis podem ser usados para preencher Exemplos: R$ 21.621,90 dinheiro (real) 16HHC-656/9978 n??mero de pe?ºa 610.569.958-15 CPF (071) 359-3195 telefone 3.6. Espa?ºamentos M??ltiplos e subm??ltiplos N?úo se usa espa?ºo ou h?¡fen entre o prefixo e o nome da unidade ou entre o prefixo e o s?¡mbolo da unidade. Por exemplo, kiloamp?¿re, kA milivolt, mV megawatt, MW Valor da medi?º?úo da unidade A medi?º?úo ?® expressa por um valor num?®rico, uma unidade, sua incerteza e os limites de probabilidade. O valor ?® expresso por um n??mero e a unidade pode ser escrita pelo nome ou pelo s?¡mbolo. Deve-se deixar um espa?ºo entre o n??mero e o s?¡mbolo ou nome da unidade. Os s?¡mbolos de grau, minuto e segundo s?úo escritos sem espa?ºo entre os n??meros e os s?¡mbolos. Exemplos: 670 kHz 670 kilohertz 20 mm 10 N 36' 36 oC Modificador da unidade Quando uma quantidade ?® usada como adjetivo, pode-se usar um h?¡fen entre o valor num?®rico e o s?¡mbolo ou nome. N?úo se deve usar h?¡fen com o s?¡mbolo de ?óngulo (o) ou grau Celsius (oC). Exemplos: Temperatura de 36 oC Produtos, quocientes e por Deve-se evitar confus?úo, principalmente em n??meros e unidades compostos envolvendo produto (.) e divis?úo (/) e por . O bom senso e a clareza devem prevalecer no uso de h?¡fens nos S?¡mbolos alg?®bricos Deve-se deixar um espa?ºo de cada lado dos sinais de multiplica?º?úo, divis?úo, soma e subtra?º?úo e igualdade. Isto n?úo se aplica aos s?¡mbolos compostos que usam os sinais N?úo se deve usar nomes de unidades por usam-se os s?¡mbolos. Exemplos: 4 km + 2 km = 6 km 6N x 8 m = 48 N.m 26 N : 3 m2 = 8,67 Pa 100 W : (10 m x 2 K) = 5 W/(m.K) 10 kg/m3 x 0,7 m3 = 7 kg 15 kW.h

Sistema Internacional 3.7. ?ìndices ? S?¡mbolos S?úo usados ?¡ndices num?®ricos (2 e 3) para ? indicar quadrados e c??bicos. N?úo se deve usar ? abrevia?º?Áes como qu., cu, c. Quando se escrevem s?¡mbolos para unidades m?®tricas com expoentes, como metro quadrado, cent?¡metro c??bico, um por segundo, escrever o Exemplos: 10 metros quadrados = 10 m2 1 por segundo = s-1 ? Nomes de unidades Quando se escrevem unidades compostas, aparecem certos fatores com quadrado e c??bico. Quando aplic?ível, deve-se usar ? par?¬ntesis ou s?¡mbolos exclusivos para evitar Por exemplo, para kilograma metro quadrado por segundo quadrado, o s?¡mbolo correto ?® kg.m2/s2. Seria incorreto interpretar como (kg.m)2/s2 ou (kg.m2/s)2 ?

3.8. Unidades Compostas As unidades compostas s?úo derivadas como quocientes ou produtos de outras As regras a serem seguidas s?úo as seguintes: ? N?úo se deve misturar nomes extensos e s?¡mbolos de unidades. N?úo usar o travess?úo (/) como substituto de por, quando escrevendo os nomes por extenso. ? Por exemplo, o correto ?® kil??metro por hora ou km/h. N?úo usar kil??metro/hora ou km ? Deve-se usar somente um por em qualquer combina?º?úo de nomes de unidades ? m?®tricas. A palavra por denota a divis?úo ? matem?ítica. N?úo se usa por para significar ? por unidade ou por cada (al?®m do ? cac??fato). Por exemplo, a medi?º?úo de ? corrente de vazamento, dada em microamp?¿res por 1 kilovolt da voltagem entre fases, deveria ser escrita em microamp?¿res por cada kilovolt da voltagem entre fases. No SI, 1 mA/kV ?® igual a 1 nanosiemens (nS). Outro exemplo, usa-se metro por segundo quadrado e n?úo metro por segundo por ? segundo. ? ? os prefixos podem coexistir num s?¡mbolo composto por multiplica?º?úo ou divis?úo. Por exemplo, kN.cm, k?.mA, kV/mm, M?, kV/ms, mW/cm2.

os s?¡mbolos de mesma unidade podem coexistir em um s?¡mbolo composto por N?úo se misturam unidades SI e n?úo-SI. Por Para eliminar o problema de qual unidade e m??ltiplo deve-se expressar uma quantidade de rela?º?úo como percentagem, fra?º?úo decimal ou rela?º?úo de escala. Como exemplos, a inclina?º?úo de 10 m por 100 m pode ser expressa como 10%, 0.10 ou 1:10 e a tens?úo mec?ónica de 100 ?Ám/m pode Deve-se usar somente s?¡mbolos aceitos das unidades SI. Por exemplo, o s?¡mbolo correto para kil??metro por hora ?® km/h. N?úo N?úo se usa mais de uma barra (/) em qualquer combina?º?úo de s?¡mbolos, a n?úo ser que haja par?¬ntesis separando as barras. Como exemplos, escrever m/s2 e n?úo m/s/s; escrever W/(m.K) ou (W/m)/K e Para a maioria dos nomes derivados como um produto, na escrita do nome por extenso, usa-se um espa?ºo ou um h?¡fen para indicar a rela?º?úo, mas nunca se usa um ponto (.). Algumas unidades compostas podem ser escritas como uma ??nica palavra, sem espa?ºo ou h?¡fen. Por exemplo, a unidade de momento pode ser escrita como newton metro ou newton- metro e nunca newton.metro. Tamb?®m, ?® correto escrever watt hora, watt-hora ou Para s?¡mbolos derivados de produtos, usa- se um ponto (.) entre cada s?¡mbolo individual. N?úo usar o ponto (.) como s?¡mbolo de multiplica?º?úo em equa?º?Áes e c?ílculos. Exemplos: N.m (newton metro) Pa.s (pascal segundo) kW.h ou kWh (kilowatthora) Use 7,6 x 6,1 cosa e n?úo 7,6.6,1.cosa Deve-se ter cuidado para escrever Os modificadores quadrado e c??bico devem ser colocados ap??s o nome da unidade a qual eles se aplicam. Para pot?¬ncias maiores que tr?¬s, usar somente s?¡mbolos. Deve-se usar s?¡mbolos sempre Por exemplo, kg/m2 , N/m2 Para representa?º?Áes complicadas com s?¡mbolos, usar par?¬ntesis para simplificar e esclarecer. Por exemplo, m.kg/(s3.A)

Sistema Internacional 3.9. Uso de Prefixo Deve-se usar os prefixos com 10 elevado a pot?¬ncia m??ltipla de 3 (10-3, 10-6, 103, 106). Deve-se usar a nota?º?úo cient?¡fica para simplificar os casos de tabelas ou equa?º?Áes com valores num?®ricos com v?írios d?¡gitos antes do marcador decimal e para eliminar a ambig??idade da quantidade de d?¡gitos significativos. Por exemplo, usam-se: kPa (kilopascal) para press?úo kg/m3 (kilograma por metro c??bico) Quando conveniente escolhem-se prefixos resultando em valores num?®ricos entre 0,1 e 1000, por?®m, sem violar as recomenda?º?Áes Em c?ílculos t?®cnicos deve-se tomar muito cuidado com os valores num?®ricos dos dados usados. Para evitar erros nos c?ílculos, os prefixos devem ser convertidos em pot?¬ncias de 10 (exceto o kilograma, que ?® uma unidade b?ísica da massa). Exemplos: 5 MJ = 5 x 106 J 4 Mg = 4 x 103 kg 3 Mm = 3 x 106 m Devem ser evitados prefixos no denominador (exceto kg). Exemplos: Escrever kJ/s e n?úo J/ms Escrever kJ/kg e n?úo J/g Escrever MJ/kg e n?úo kJ/g N?úo se misturam de prefixos, a n?úo ser que a diferen?ºa em tamanho seja extrema ou uma norma t?®cnica o requeira. Exemplos: Correto: A ferramenta tem 44 mm de Incorreto: A ferramenta tem 44 mm de N?úo se usam unidades m??ltiplas ou prefixos m??ltiplos. Por exemplo, Usa-se 15,26 m e n?úo 15 m 260 mm; usa-se miligrama (mg) e n?úo microkilograma (?Ákg) Usar kilograma e n?úo kilo Usar megohm e n?úo megs 3.10. ?éngulo e Temperatura Os s?¡mbolos de grau (o) e grau Celsius (oC) devem ser usados quando se escreve uma medi?º?úo. Quando se descreve a escala de medi?º?úo e n?úo uma medi?º?úo, deve-se usar o nome por extenso.Exemplos: Os ?óngulos devem ser medidos em N?úo se deve deixar espa?ºo entre o e C, devendo se escrever oC e n?úo o C.

A maioria das temperaturas ?® dada na escala Celsius; a escala Kelvin ?® usada somente em aplica?º?Áes cient?¡ficas. Exemplo: A temperatura normal do corpo humano ?® Quando se tem uma s?®rie de valores de temperatura ou uma faixa de temperatura, usar o s?¡mbolo de medi?º?úo somente ap??s o ??ltimo valor. Exemplos: A temperatura em Salvador varia de 18 a 39 As leituras do term??metro s?úo: 100, 150 e ?ë tecnicamente correto usar prefixos SI com os nomes e s?¡mbolos, como grau Celsius (oC), kelvin (K) e grau angular (o). Por?®m, ?® prefer?¡vel evitar esta pr?ítica, pois os nomes resultantes s?úo confusos e dif?¡ceis de serem reconhecidos. ?ë prefer?¡vel ajustar o coeficiente Um m?®todo simples para comparar altas temperaturas Celsius com temperaturas Fahrenheit ?® que o valor Celsius ?® aproximadamente a metade da temperatura Fahrenheit. O erro percentual nesta aproxima?º?úo ?® relativamente pequeno para valores Fahrenheit acima de 250. Para valores menores, subtrair 30 antes de dividir por 2; isto fornece uma precis?úo razo?ível at?® valores Fahrenheit de -40.

3.11. Modificadores de S?¡mbolos As principais recomenda?º?Áes relacionadas com os modificadores de s?¡mbolos s?úo: N?úo se pode usar modificadores dos s?¡mbolos SI. Quando ?® necess?írio o uso de modificadores das unidades, ele deve ser separado do s?¡mbolo ou ent?úo escrito por extenso. Por exemplo, n?úo se usam Acc ou Aca, para diferenciar a corrente cont?¡nua da alternada. O correto ?® escrever 10 A cc ou 10 A Como o modificador n?úo ?® SI, pode ser escrito de modo arbitr?írio, como cc., c.c., dc ou Nas unidades inglesas, ?® comum usar sufixos ou modificadores nos s?¡mbolos e abrevia?º?Áes para dar uma informa?º?úo adicional. Por exemplo, usam-se psia e psig para indicar respectivamente, press?úo absoluta e manom?®trica. Psia significa pound square inch absolute e psig significa pound square inch gauge. No sistema SI, ?® incorreto colocar sufixos para identificar a medi?º?úo. Exemplos: Usar press?úo manom?®trica de 13 kPa ou 13 Usar press?úo absoluta de 13 kPa ou 13 kPa (absoluta) e n?úo 13 kPaA ou 13 kPaa.

Sistema Internacional Sempre deixar espa?ºo ap??s o s?¡mbolo da Exemplo: Usar 110 V c.a. ou 110 V (ca) e n?úo 110 V CA ou 110 V ca, para voltagem de corrente A pot?¬ncia e a energia s?úo medidas em uma unidade SI determinada e n?úo h?í necessidade de identificar a fonte da quantidade, desde que 100 watts ?® igual a 100 watts, independente da pot?¬ncia ser el?®trica, mec?ónica ou t?®rmica. Exemplos: Usar MW e n?úo MWe (pot?¬ncia el?®trica ou Usar kJ e n?úo kJt (kilojoule termal).

4. Algarismos Significativos 4.1. Introdu?º?úo O mundo da Metrologia ?® quantitativo e Atualmente, os c?ílculos s?úo feitos com calculadoras eletr??nicas e computadores, que executam desde opera?º?Áes simples de aritm?®tica at?® opera?º?Áes que um engenheiro nunca seria capaz de fazer manualmente. Os microcomputadores se tornam uma parte dominante da tecnologia, n?úo apenas para os engenheiros mas para toda sociedade. As calculadoras e computadores podem apresentar os resultados com muitos algarismos, por?®m o resultado final deve ter o n??mero de algarismos significativos de acordo Quando se executam c?ílculos de engenharia e apresentam-se os dados, deve- se ter em mente que os n??meros sendo usados tem somente um valor limitado de precis?úo e exatid?úo. Quando se apresenta o resultado de um c?ílculo de engenharia, geralmente se copiam 8 ou mais d?¡gitos do display de uma calculadora. Fazendo isso, deduz-se que o resultado ?® exato at?® 8 d?¡gitos, um tipo de exatid?úo que ?® raramente poss?¡vel na pr?ítica da engenharia. O n??mero de d?¡gitos que podem ser apresentados ?® usualmente muito menos que 8, por que ele depende de problemas particulares e envolve outros conceitos de algarismos significativos, precis?úo, toler?óncia, resolu?º?úo e convers?úo.

4.2. Conceito D?¡gito ?® qualquer um dos numerais ar?íbicos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Algarismo ou d?¡gito significativo em um n??mero ?® o d?¡gito que pode ser considerado confi?ível como um resultado de medi?º?Áes ou c?ílculos. O algarismo significativo correto expressa o resultado de uma medi?º?úo de forma consistente com a precis?úo medida. O n??mero de algarismos significativos em um resultado indica o n??mero Os algarismos significativos s?úo todos aqueles Qualquer d?¡gito, entre 1 e 9 e todo zero que n?úo anteceda o primeiro d?¡gito n?úo zero e alguns que n?úo sucedam o ??ltimo d?¡gito n?úo zero ?® um algarismo significativo. O status do zero ?® amb?¡guo, por que o zero tamb?®m ?® Por exemplo, n?úo h?í dificuldade em determinar a quantidade de algarismos significativos dos seguintes n??meros: 708 3 algarismos significativos 54,9 3 algarismos significativos 3,6 2 algarismos significativos 8,04 3 algarismos significativos 980,9 4 algarismos significativos 0,830 06 5 algarismos significativos Em um n??mero, o d?¡gito menos significativo ?® o mais ?á direita, d?¡gito mais significativo ?® o mais ?á esquerda. Por exemplo, no n??mero 2345, 2 ?® o d?¡gito mais significativo e 5 ?® o Para qualquer n??mero associado ?á medi?º?úo de uma grandeza, os algarismos significativos devem indicar a qualidade da medi?º?úo ou computa?º?úo sendo apresentada. Os dados de engenharia e os resultados de sua computa?º?úo devem ser apresentados com um n??mero correto de algarismos significativos, para evitar A quantidade de algarismos significativos est?í associado ?á precis?úo, exatid?úo e ao m?®todo de obten?º?úo destes dados e resultados.

4.3. Algarismo Significativo e o Zero O zero nem sempre ?® algarismo significativo, quando inclu?¡do em um n??mero, pois ele pode ser usado como parte significativa da medi?º?úo ou pode ser usado Por exemplo, no n??mero 804,301 os dois zeros s?úo significativos pois est?úo intercalados Por?®m, no n??mero 0,0007, os zeros s?úo necess?írios para posicionar a v?¡rgula e dar a ordem de grandeza do n??mero e por isso pode ser ou n?úo significativo. Por?®m, se o n??mero 0,0007 for a indica?º?úo de um instrumento digital, ele possui quatro algarismos Tamb?®m no n??mero 20 000 os zeros s?úo necess?írios para dar a ordem de grandeza do n??mero e por isso nada se pode dizer acerca de ser ou n?úo ser significativo. Assim o status do zero nos n??meros 20 000 e 0,007 ?®

Sistema Internacional amb?¡guo e mais informa?º?úo ?® necess?íria para dizer se o zero ?® significativo ou n?úo. Quando n?úo h?í informa?º?úo adicional, se diz que 0,0007 e 20 000 possuem apenas 1 algarismo No n??mero 2,700, os zeros n?úo s?úo necess?írios para definir a magnitude deste n??mero mas s?úo usados propositadamente para indicar que s?úo significativos e por isso 2,700 possui quatro d?¡gitos significativos..

4.4. Nota?º?úo cient?¡fica Para eliminar ou diminuir as ambig??idades associadas ?á posi?º?úo do zero, o n??mero deve ser escrito na nota?º?úo cient?¡fica, com um n??mero entre 1 e 10 seguido pela pot?¬ncia de 10 conveniente. Usar a quantidade de algarismos significativos v?ílidos no n??mero entre 1 e 10, cortando os zeros no fim dos inteiros quando n?úo forem significativos ou mantendo os zeros no fim dos inteiros, quando forem significativos. Deste modo, se o n??mero 20 000 for escrito na nota?º?úo cient?¡fica como De modo an?ílogo, 20 000 = 2 x 103 1 d?¡gito significativo 20 000 = 2,0 x 103 2 d?¡gitos significativos 20 000 = 2,00 x 103 3 d?¡gitos significativos 20 000 = 2,000 x103 4 d?¡gitos significativos A ambig??idade do zero em n??meros decimais tamb?®m desaparece, quando se escreve os n??meros na nota?º?úo cient?¡fica. Os zeros ?á direita, em n??meros decimais s?? devem ser escritos quando forem garantidamente significativos. Por exemplo, 0,567 000 possui 6 algarismos significativos, pois se os tr?¬s zeros foram escritos ?® porque Assim, o n??mero decimal 0,007 pode ser escrito de diferentes modos, para expressar diferentes d?¡gitos significativos: 7 x 10-3 1 d?¡gito significativo 7,0 x 10-3 2 d?¡gitos significativos 7,000 x 10-3 4 d?¡gitos significativos 7,000 00 x 10-3 6 d?¡gitos significativos A nota?º?úo cient?¡fica serve tamb?®m para se escrever os n??meros extremos (muito grandes ou muito pequenos) de uma forma mais conveniente Por exemplo, seja a multiplica?º?úo dos n??meros: 1 230 000 000 x 0,000 000 000 051 = 0,063 ?ë mais conveniente usar a nota?º?úo cient?¡fica: (1,23 x 109) x (5,1 x 10-11) = 6,3 x 10-2 Na multiplica?º?úo acima, o resultado final ?® arredondado para dois algarismos significativos, que ?® o menor n??mero de A multiplica?º?úo dos n??meros com pot?¬ncia de 10 ?® feita somando-se algebricamente os Na nota?º?úo cient?¡fica, os n??meros s?úo escritos em uma forma padr?úo, como o produto de um n??mero entre 1 e 10 e uma pot?¬ncia Por exemplo, os n??meros acima podem ser escritos como: 10 000 000 = 1,00 x 107 (3 d?¡gitos significativos) 0,000 000 12 = 1,2 x 10-7(2 d?¡gitos significativos).

Pode-se visualizar o expoente de 10 da nota?º?úo cient?¡fica como um deslocador do ponto decimal. Por exemplo, o expoente +7 significa mover o ponto decimal sete casas para a direita; o expoente -7 significa mover o Para fazer manualmente os c?ílculos de n??meros escritos na nota?º?úo cient?¡fica, as vezes, ?® conveniente coloc?í-los em forma n?úo convencional com o objetivo de fazer contas de somar ou subtrair. Estas formas s?úo obtidas simplesmente ajustando simultaneamente a posi?º?úo do ponto decimal e os expoentes, a fim Nesta opera?º?úo, perde-se o conceito de Por exemplo: 1,2 x 10-4 + 4,1 x 10-5 + 0,3 x 10-3 = 1,2 x 10-4 + 0,41 x 10-4 + 3,0 x 10-4 = (1,2 + 0,41 + 3,0) x 10-4 = 4,6 x 10-4

Deve-se evitar escrever express?Áes como M = 1800 g, a n?úo ser que se tenha o erro absoluto m?íximo de 1 g. Rigorosamente, 1800 Quando n?úo se tem esta precis?úo e quando h?í suspeita do segundo d?¡gito decimal ser incorreto, deve-se escrever M = (1,8 ?? 0,1) x 103 g Se o quarto d?¡gito decimal ?® o duvidoso, ent?úo, o correto ?® escrever M = (1,800 ?? 0,001) x 103 g

Sistema Internacional 4.5. Algarismo Significativo e a Medi?º?úo Todos os n??meros associados ?á medi?º?úo de uma grandeza f?¡sica devem ter os algarismos significativos correspondentes ?á precis?úo do instrumento de medi?º?úo. Observar as tr?¬s indica?º?Áes anal??gicas apresentadas na O volt?¡metro anal??gico (a) indica uma voltagem de 1,45 V. O ??ltimo algarismo, 5, ?® Algu?®m poderia ler 1,49 e a leitura estaria igualmente correta. Os algarismos confi?íveis s?úo apenas o 1 e o 4; o ??ltimo ?® estimado e duvidoso. O volt?¡metro com uma escala com esta gradua?º?úo pode dar, no m?íximo, tr?¬s algarismos significativos. ?ë errado dizer que a indica?º?úo ?® de 1,450 ou 1,4500, pois est?í se superestimando a precis?úo do instrumento. Do mesmo modo, ?® impreciso dizer que a indica?º?úo ?® de 1,4 pois ?® agora est?í se subestimando a precis?úo do indicador e n?úo usando toda sua capacidade. Na medi?º?úo 1,45, o d?¡gito 4 ?® garantido e no n??mero 1,4 o d?¡gito 4 ?® duvidoso. Para que o d?¡gito 4 seja garantido ?® necess?írio que haja qualquer outro algarismo duvidoso depois dele.

Fig. 1.2 - V?írias escalas de indica?º?úo Na Fig. 2 (b) tem-se a medi?º?úo de uma espessura por uma escala graduada. ?ë poss?¡vel se ler 0,26, pois a espessura cai exatamente no terceiro tra?ºo depois de 0,2 e a medi?º?úo possui apenas dois algarismos significativos. Se pudesse perceber o ponteiro entre o terceiro e o quarto tra?ºo, a medi?º?úo poderia ser 0,265 e a medi?º?úo teria tr?¬s Na Fig. 2(c), a indica?º?úo ?® 48,6 ou 48,5 ou As medi?º?Áes da Fig. 2(a) e 1(c) possuem tr?¬s algarismos significativos e o terceiro d?¡gito de cada medi?º?úo ?® duvidoso. A medi?º?úo da Fig. 2(b) possui apenas dois algarismos significativos. Para se ter medi?º?Áes mais precisas, com um maior n??mero de algarismos significativos, deve-se ter novo medidor com uma escala maior e com maior n??mero de Na Fig. 3, tem-se duas escalas de mesmo comprimento, por?®m, a segunda escala possui maior n??mero de divis?Áes. Para medir o mesmo comprimento, a primeira escala indicar?í 6,2 onde o d?¡gito 2 ?® o duvidoso, pois ?® escolhido arbitrariamente, pois est?í entre 6 e 7, muito pr??ximo de 6. A leitura de 6,3 estaria igualmente correta. A leitura da segunda escala ser?í 6,20 pois a leitura cai entre as divis?Áes 2 e 3, tamb?®m muito pr??ximo de 2. Tamb?®m poderia ser lido 6,21 ou 6,22, que seria igualmente aceit?ível.

Fig. 1.3. Escalas de mesmo tamanho mas com Em paqu?¡metros e micr??metros, medidores de pequenas dimens?Áes, ?® cl?íssico se usar a escala vernier, para melhorar a precis?úo da medida. A escala vernier ?® uma segunda escala que se move em rela?º?úo ?á principal. A segunda escala ?® dividida em unidades um Por exemplo, observar a escala da Fig. 3, que possui duas partes: a unidade principal e a unidade decimal s?úo lidas na escala superior e Para fazer a medi?º?úo da dist?óncia X, primeiro

Sistema Internacional se l?¬ as unidades ?á esquerda da linha de indica?º?úo da r?®gua, que s?úo 4,4. Depois a leitura continua no cent?®simo, que ?® a linha da escala inferior que se alinha perfeitamente com a linha da escala principal. Neste exemplo, elas se alinham na 6a linha, de modo que elas Na express?úo da medi?º?úo, o valor ?® sempre aproximado e deve ser escrito de modo que todos os d?¡gitos decimais, exceto o ??ltimo, sejam exatos. O erro admiss?¡vel para o ??ltimo Por exemplo, uma resist?¬ncia el?®trica de 1,35 ? ?® diferente de uma resist?¬ncia de 1,3500 ?. Com a resist?¬ncia el?®trica de R = 1,35 ?, tem-se erro de ??0,01 ?, ou seja, 1,34 ? Para a outra resist?¬ncia de R = 1,3500 ? a precis?úo ?® de 0,0001 ?, ou seja, 1,3499 ? < R < 1,3501 ? Se o resultado de um c?ílculo ?® R = 1,358 ? e o terceiro d?¡gito depois da v?¡rgula decimal ?® Devem ser seguidas regras para apresentar e aplicar os dados de engenharia na medi?º?úo e nos c?ílculos correspondentes. As vezes, os engenheiros e t?®cnicos n?úo est?úo preocupados com os algarismos significativos. Outras vezes, as regras n?úo se aplicam. Por exemplo, quando se diz que 1 p?® = 0,3048 metro ou 1 libra = 0,454 kilograma, o d?¡gito 1 ?® usado sozinho. O mesmo se aplica quando se usam n??meros inteiros em equa?º?Áes alg?®bricas. Por exemplo, o raio de um circuito ?® a metade do di?ómetro e se escreve: r = d/2. Na equa?º?úo, n?úo ?® necess?írio escrever que r = d/2,0000, pois se entende que o 2 ?® um n??mero inteiro Outra confus?úo que se faz na equival?¬ncia se refere ao n??mero de algarismos significativos. Obviamente, 1 km equivale a 1.000 metros por?®m h?í diferen?ºas pr?íticas. Por exemplo, o od??metro do carro, com 5 d?¡gitos pode indicar 89.423 km rodados, por?®m isso n?úo significa 89.423 000 metros, pois ele deveria ter 8 d?¡gitos. Se o od??metro tivesse 6 d?¡gitos, com medi?º?úo de 100 metros, ele Por exemplo, as corridas de atletismo de As corridas de pista s?úo de 100 m, 800 m, 5000 m e 10 000 m. Quem corre 10 km numa corrida de rua correu aproximadamente 10 000 metros. A dist?óncia foi medida por carro, por bicicleta com hod??metro calibrado ou por outros meios, por?®m, n?úo ?® poss?¡vel dizer que a dist?óncia ?® exatamente de 10.000 m. Por?®m, quem corre 10 000 metros em uma pista ol?¡mpica de 400 metros, deve ter corrido exatamente 10 000 metros. A dist?óncia desta pista foi medida com uma fita m?®trica, graduada em cent?¡metros. Poucas maratonas no mundo s?úo reconhecidas e certificadas como de 42 195 km, pois a medi?º?úo desta dist?óncia ?® complicada e cara.

4.6. Algarismo Significativo e o Display Independente da tecnologia ou da fun?º?úo, um instrumento pode ter display anal??gico ou O indicador anal??gico mede uma vari?ível que varia continuamente e apresenta o valor medido atrav?®s da posi?º?úo do ponteiro em uma escala. Quanto maior a escala e maior o n??mero de divis?Áes da escala, melhor a precis?úo do instrumento e maior quantidade de algarismos significativos do resultado da O indicador digital apresenta o valor medido atrav?®s de n??meros ou d?¡gitos. Quanto maior a quantidade de d?¡gitos, melhor a precis?úo do instrumento. O indicador digital conta d?¡gitos ou pulsos. Quando o indicador digital apresenta o valor de uma grandeza anal??gica, internamente h?í uma convers?úo anal??gico-digital e finalmente, uma contagem dos pulsos Atualmente, a eletr??nica pode contar pulsos sem erros. Por?®m, n?úo se pode dizer que o indicador digital n?úo apresenta erros, pois ?® Ou seja, a precis?úo do instrumento eletr??nico digital est?í relacionada com a qualidade dos circuitos que convertem os sinais anal??gicos Tamb?®m os indicadores digitais possuem uma precis?úo limitada. Neste caso, ?® direto o entendimento da quantidade de algarismos significativos. Nos displays digitais, o ??ltimo d?¡gito ?® o tamb?®m duvidoso. Na pr?ítica, ?® o Um indicador digital com quatro d?¡gitos pode indicar de 0,001 at?® 9999. Neste caso, os zeros s?úo significativos e servem para mostrar que ?® poss?¡vel se medir com at?® quatro algarismos significativos. O indicador com 4 d?¡gitos possui 4 d?¡gitos significativos.

Sistema Internacional Em eletr??nica digital, ?® poss?¡vel se ter indicadores com 4 ?¢ d?¡gitos. O meio d?¡gito est?í associado com a percentagem de sobrefaixa de indica?º?úo e somente assume os valores 0 ou 1. O indicador com 4 ?¢ d?¡gitos pode indicar, no m?íximo, 19 999, que ?® aproximadamente 100% de 9999 (20 000/10 000). Os quatro d?¡gitos variam de 0 a 9; o meio d?¡gito s?? pode Embora exista uma correla?º?úo entre o n??mero de d?¡gitos e a precis?úo da medi?º?úo, tamb?®m deve existir uma consist?¬ncia entre a precis?úo da malha e o indicador digital do display. Por exemplo, na medi?º?úo de temperatura com termopar, onde a precis?úo da medi?º?úo inclui a precis?úo do sensor, dos fios de extens?úo, da junta de compensa?º?úo e do display. Como as incertezas combinadas do sensor, dos fios e da junta de compensa?º?úo s?úo da ordem de unidades de grau Celsius, n?úo faz nenhum sentido ter um display que indique, por exemplo, d?®cimo ou cent?®simo de grau Celsius. Por exemplo, na medi?º?úo de temperatura com termopar tipo J, onde a precis?úo resultante do sensor, fios e junta de compensa?º?úo ?® da ordem de ??5 oC, na faixa de 0 a 100 oC, o display digital basta ter 2 ?¢, para indicar, por exemplo, 101 oC. N?úo faz sentido ter um display indicando 98,2 ou 100,4 oC pois O mesmo racioc?¡nio vale para um display anal??gico, com escala e ponteiro.

4.7. Algarismo Significativo e Calibra?º?úo Todos os instrumentos devem ser Mesmo os instrumentos de medi?º?úo, mesmo os instrumentos padr?úo de refer?¬ncia devem ser periodicamente aferidos e calibrados. Por exemplo, na instrumenta?º?úo, tem-se os instrumentos de medi?º?úo e controle, que s?úo Quando previsto pelo plano de manuten?º?úo preventiva ou quando solicitado pela opera?º?úo, Para se fazer esta calibra?º?úo, devem ser usados tamb?®m instrumentos de medi?º?úo, como volt?¡metros, amper?¡metros, man??metros, term??metros, d?®cadas de resist?¬ncia, fontes de alimenta?º?úo. Estes instrumentos, geralmente port?íteis, tamb?®m devem ser calibrados por outros da oficina. Os instrumentos da oficina devem ser calibrados por outros de laborat??rios do fabricante ou laborat??rios nacionais. E ?ë fundamental entender que a precis?úo do padr?úo de refer?¬ncia deve ser melhor que a do instrumento sob calibra?º?úo. Quanto melhor? A resposta ?® um compromisso entre custo e precis?úo. Como recomenda?º?úo, a precis?úo do padr?úo deve ser entre quatro a dez (NIST) ou tr?¬s a dez (INMETRO) vezes melhor que a precis?úo do instrumento sob calibra?º?úo. Abaixo de tr?¬s ou quatro, a incerteza do padr?úo ?® da ordem do instrumento sob calibra?º?úo e deve ser somada ?á incerteza dele. Acima de dez, os instrumentos come?ºam a ficar caro demais e Assim, para calibrar um instrumento com precis?úo de 1%, deve-se usar um padr?úo com Quando se usa um padr?úo de 1% para calibrar um instrumento de medi?º?úo com precis?úo de 1%, o erro do instrumento de medi?º?úo passa para 2%, por que 1% + 1% = 2% ou (0,01 + 0,01 = 0,02) Quando se usa um padr?úo de 0,1% para calibrar um instrumento de medi?º?úo com precis?úo de 1%, o erro do instrumento de medi?º?úo permanece em 1%, porque 1% + Al?®m da precis?úo do padr?úo de refer?¬ncia, ?® tamb?®m importante definir a incerteza do procedimento de calibra?º?úo, para que ele seja confi?ível.

4.8. Algarismo Significativo e a Toler?óncia O n??mero de d?¡gitos decimais colocados ?á direita da v?¡rgula decimal indica o m?íximo erro absoluto. O n??mero total de d?¡gitos decimais corretos, que n?úo incluem os zeros ?á esquerda do primeiro d?¡gito significativo, indica o m?íximo erro relativo. Quanto maior o n??mero de algarismos significativos, menor ?® o erro A precis?úo pretendida de um valor deve se relacionar com o n??mero de algarismos significativos mostrados. A precis?úo ?® mais ou menos a metade do ??ltimo d?¡gito significativo retido. Por exemplo, o n??mero 2,14 pode ter sido arredondado de qualquer n??mero entre 2,135 e 2,145. Se arredondado ou n?úo, uma quantidade deve sempre ser expressa com a nota?º?úo da precis?úo em mente. Por exemplo, 2,14 polegadas implica uma precis?úo de ?? 0,005 polegada, desde que o ??ltimo algarismo Pode haver dois problemas: 1. Quantidades podem ser expressas em d?¡gitos que n?úo pretendem ser significativos. A dimens?úo 1,1875" pode realmente ser muito precisa, no caso do quarto d?¡gito depois da v?¡rgula ser

Sistema Internacional significativo ou ela pode ser uma convers?úo decimal de uma dimens?úo como 1 3/16, no caso em que a dimens?úo ?® dada 2. Quantidades podem ser expressas omitindo-se os zeros significativos. A dimens?úo de 2" pode significar cerca de 2" ou pode significar uma express?úo muito precisa, que deveria ser escrita como 2,000". No ??ltimo caso, enquanto os zeros acrescentados n?úo s?úo significativos no estabelecimento do valor, elas s?úo muito significativos em expressar a precis?úo Portanto, ?® necess?írio determinar uma precis?úo implicada aproximada antes do arredondamento. Isto pode ser feito pelo conhecimento das circunst?óncias ou pela informa?º?úo da precis?úo do equipamento de Se a precis?úo da medi?º?úo ?® conhecida, isto fornecer?í um menor limite de precis?úo da dimens?úo e alguns casos, pode ser a ??nica base para estabelecer a precis?úo. A precis?úo final nunca pode ser melhor que a precis?úo da A toler?óncia em uma dimens?úo d?í uma boa indica?º?úo da precis?úo indicada, embora a precis?úo, deva ser sempre menor que a toler?óncia. Uma dimens?úo de 1,635 ??0,003" possui precis?úo de ??0,0005", total 0,001" . Uma dimens?úo 4,625 ??0,125" est?í escrita incorretamente, provavelmente por causa da decimaliza?º?úo das fra?º?Áes. O correto seria 4,62 ??0,12, com uma precis?úo indicada de ?? 0,005 (precis?úo total de 0,01) Uma regra ??til para determinar a precis?úo indicada a partir do valor da toler?óncia ?® assumir a precis?úo igual a um d?®cimo da toler?óncia. Como a precis?úo indicada do valor convertido n?úo deve ser melhor do que a do original, a toler?óncia total deve ser dividida por 10 e convertida e o n??mero de algarismos significativos retido.

4.9. Algarismo Significativo e Convers?úo Uma medi?º?úo de vari?ível consiste de um valor num?®rico e de uma unidade. A unidade Na convers?úo de um sistema para outro, o estabelecimento do n??mero correto de algarismos significativos nem sempre ?® entendido ou feito adequadamente. A reten?º?úo de um n??mero excessivo de algarismos significativos resulta em valores artificiais indicando uma precis?úo inexistente e exagerada. O corte de muitos algarismos significativos resulta na perda da precis?úo necess?íria. Todas as convers?Áes devem ser manipuladas logicamente, considerando-se cuidadosamente a precis?úo pretendida da quantidade original. A precis?úo indicada ?® usualmente determinada pela toler?óncia especifica ou por algum conhecimento da quantidade original. O passo inicial na convers?úo ?® determinar a precis?úo necess?íria, garantindo que n?úo ?® nem exagerada e nem sacrificada. A determina?º?úo do n??mero de algarismos significativos a ser retido ?® dif?¡cil, a n?úo ser que sejam observados alguns A literatura t?®cnica apresenta tabelas contendo fatores de convers?úo com at?® 7 A convers?úo de quantidades de unidades entre sistemas de medi?º?úo envolve a determina?º?úo cuidadosa do n??mero de d?¡gitos Converter 1 quarto de ??leo para 0,046 352 9 litros de ??leo ?® rid?¡culo, por que a precis?úo pretendida do valor n?úo garante a reten?º?úo de tantos d?¡gitos. Todas as convers?Áes para serem feitas logicamente, devem depender da precis?úo estabelecida da quantidade original insinuada pela toler?óncia especifica ou pela natureza da quantidade sendo medida. O primeiro passo ap??s o c?ílculo da convers?úo ?® O procedimento correto da convers?úo ?® multiplicar a quantidade especificada pelo fator de convers?úo exatamente como dado e depois arredondar o resultado para o n??mero apropriado de algarismos significativos ?á direita da v?¡rgula decimal ou para o n??mero inteiro real?¡stico de acordo com o grau de precis?úo Por exemplo, seja um comprimento de 75 ft, onde a convers?úo m?®trica ?® 22,86 m. Se o comprimento em p?®s ?® arredondado para o valor mais pr??ximo dentro de 5 ft, ent?úo ?® razo?ível aproximar o valor m?®trico pr??ximo de 0,1 m, obtendo-se 22,9 m. Se o arredondamento dos 75 ft foi feito para o valor inteiro mais pr??ximo, ent?úo o valor m?®trico correto seria de 23 m. Enfim, a convers?úo de 75 ft para 22,86 m ?® exagerada e incorreta; o recomend?ível ?® dizer que 75 ft eq??ivalem a 23 Outro exemplo envolve a convers?úo da press?úo atmosf?®rica padr?úo, do valor nominal de 14,7 psi para 101,325 kPa. Como o valor envolvido da press?úo ?® o nominal, ele poderia ser expresso com mais algarismos significativos, como 14,693 psi, onde o valor m?®trico correspondente seria 101,325, com tr?¬s d?¡gitos depois da v?¡rgula decimal. Por?®m, quando se estabelece o valor nominal de 14,7

Sistema Internacional o valor correspondente m?®trico coerente ?® de 101,3, com apenas um d?¡gito depois da v?¡rgula.

4.10. Computa?º?úo matem?ítica Na realiza?º?úo das opera?º?Áes aritm?®ticas, cada n??mero no c?ílculo ?® fornecido com um determinado n??mero de algarismos significativos e o resultado final deve ser expresso com um n??mero correto de algarismos significativos. Quando se fazem as opera?º?Áes aritm?®ticas, deve-se seguir as 1. Fazer a computa?º?úo de modo que haja 2. Arredonde o n??mero correto de algarismos significativos. Para arredondar, aumente o ??ltimo n??mero retido de 1, se o primeiro n??mero descartado for maior que 5. Se o d?¡gito descartado for igual a 5, o ??ltimo d?¡gito retido deve ser aumentado de 1 somente se for ?¡mpar. Se o d?¡gito descartado for menor que 5, o ??ltimo d?¡gito retido 3. Para multiplica?º?úo e divis?úo, arredonde de modo que o n??mero de algarismos significativos no resultado seja igual ao menor n??mero de algarismos significativos contidos nas parcelas da 4. Para adi?º?úo e subtra?º?úo, arredonde de modo que o d?¡gito menos significativo (da direita) do resultado corresponda ao algarismo mais significativo duvidoso 5. Para combina?º?Áes de opera?º?Áes aritm?®ticas, fazer primeiro as multiplica?º?Áes e divis?Áes, arredondar quando necess?írio e depois fazer a somas e subtra?º?Áes. Se as somas e subtra?º?Áes est?úo envolvidas para posterior multiplica?º?úo e divis?úo, faze- las, arredondar e depois multiplicar e 6. Em c?ílculos mais complexos, como solu?º?úo de equa?º?Áes alg?®bricas simult?óneas, quando for necess?írio obter resultados intermedi?írios com algarismos significativos extras, garantir que os resultados finais sejam razoavelmente exatos, usando o bom senso e deixando de lado as regras 7. Quando executar os c?ílculos com calculadora eletr??nica ou microcomputador, tamb?®m ter bom senso e n?úo seguir as regras rigorosamente. N?úo ?® necess?írio interromper a computa?º?úo em cada est?ígio para estabelecer o n??mero de algarismos significativos. Por?®m, depois de completar a computa?º?úo, considerar a precis?úo global e arredondar os 8. Em qualquer opera?º?úo, o resultado final deve ter uma quantidade de algarismos significativos igual ?á quantidade da parcela envolvida com menor n??mero de Exemplos de arredondamento para tr?¬s algarismos significativos: 1,8765 1,88 8,455 8,46 6,965 6,96 10,580 10,6 Soma e Subtra?º?úo Quando se expressam as quantidades de massa como M = 323,1 g e m = 5,722 g significa que as balan?ºas onde foram pesadas as massas tem classes de precis?úo muito diferentes. A balan?ºa que pesou a massa m ?® cem vezes mais precisa que a balan?ºa de M. A precis?úo da balan?ºa de M ?® 0,1 g; a precis?úo Somando-se os valores de (m + M) obt?®m- se o valor correto de 328,8 g. O valor 328,822 g ?® incorreto pois a precis?úo do resultado n?úo pode ser melhor que a precis?úo da pior balan?ºa. Para se obter este resultado, considerou-se a massa M = 323,100, inventando-se por conta pr??pria dois zeros. Em vez de se inventar zeros arbitr?írios, desprezam-se os d?¡gitos conhecidos da O valor correto de 328,8 pode ser obtido atrav?®s de dois caminhos diferentes: 1. arredondando-se os dados M = 323,1 g m = 5,7 g --------------- M + m = 328,8 g 2. arredondando-se o resultado final M = 323,1 g m = 5,722 g --------------- M + m = 328,822 g = 328,8 g Deste modo, o n??mero de algarismos significativos da soma ?® igual ao n??mero da parcela com o menor n??mero de algarismos Quando h?í v?írias parcelas sendo somadas, o erro pode ser maior se as parcelas forem arredondadas antes da soma. Recomenda-se usar a regra do d?¡gito decimal de reserva,

Sistema Internacional quando os c?ílculos s?úo feitos com um d?¡gito extra e o arredondamento ?® feito somente no Exemplo 1 Seja a soma: 132,7 + 1,274 + 0,063321 + 20,96 + 46,1521 Com qualquer m?®todo, o resultado final deve ter apenas um algarismo depois da v?¡rgula, pois a parcela 132,7 tem apenas um Se todas as parcelas forem arredondadas antes da soma, se obt?®m 132,7 + 1,3 + 0,1 + 21,0 + 46,2 = 201,3 Usando-se a regra do d?¡gito reserva, tem-se 132,7 + 1,27 + 0,06 + 20,96 + 46,15 = 201,14 Fazendo-se o arredondamento no final, tem- Exemplo 2 Achar a soma das ra?¡zes quadradas dos seguintes n??meros, com precis?úo de 0,01 N= 5+ 6+ 7+ 8 Usando-se a regra do d?¡gito decimal reserva, tomam-se os dados com precis?úo de 0,001.

2,236 + 2,449 + 2,646 + 2,828 = 10,159 Sem a regra do d?¡gito decimal reserva seria Quando o n??mero de parcelas ?® muito grande (centenas ou milhares), recomenda-se usar dois d?¡gitos decimais reservas. Quando se somam v?írias parcelas com o mesmo n??mero de algarismos depois da v?¡rgula decimal, deve- se considerar que o m?íximo erro absoluto da soma ?® maior do que das parcelas. Por isso, ?® Exemplo 3 Determinar a soma 1,38 +8,71 + 4,48 + 11,96 + 7,33 = 33,86 Por?®m, o resultado mais conveniente ?® 33,9, com tr?¬s algarismos significativos, que ?® O m?íximo erro absoluto de uma soma ou diferen?ºa ?® igual ?á soma dos erros m?íximos absolutos das parcelas. Por exemplo, tendo-se duas quantidades com precis?Áes de 0,1 ?® l??gico entender que a soma ou diferen?ºa destas quantidades s?úo determinadas com precis?úo de 0,2, por que, na pior situa?º?úo, os erros se somam. Quando h?í muitas parcelas, ?® Nestes casos, usam-se m?®todos de probabilidade para estimar o erro da soma. Um crit?®rio ?® arredondar, desprezando-se o ??ltimo algarismo significativo. Ou seja, quando todas as parcelas tiverem n algarismos significativos, dar o resultado com (n-1) algarismos As regras da subtra?º?úo s?úo essencialmente as mesmas da soma. Deve-se tomar cuidado quando se subtraem dois n??meros muito pr??ximos, pois isso provoca um grande Exemplo 4 (327,48 ?? 0,01) - (326,91 ?? 0,01) = (0,57 ?? 0,02) O erro relativo de cada parcela vale O erro relativo do resultado vale cerca de (0,02/0,57) = 3,5%, que ?® mais de 1000 vezes Quanto mais ?á esquerda, mais significativo ?® o d?¡gito. O d?¡gito na coluna dos d?®cimos ?® mais significativo que o d?¡gito na coluna dos cent?®simos. O d?¡gito na coluna das centenas ?® mais significativo que o d?¡gito na coluna das O resultado da soma ou subtra?º?úo n?úo pode ter mais algarismos significativos ou d?¡gitos depois da v?¡rgula do que a parcela com Multiplica?º?úo e Divis?úo Quando se multiplicam ou dividem dois n??meros com diferentes quantidades de d?¡gitos corretos depois da v?¡rgula decimal, o n??mero correto de d?¡gitos decimais do resultado deve ser igual ao menor dos n??meros de d?¡gitos Exemplo 5 Achar a ?írea S do ret?óngulo com a = 5,2 m b = 43,1 m ?ë incorreto dizer que a ?írea S = 224,12 m2. Na realidade, a est?í entre 5,1 e 5,3 b est?í entre 43,0 e 43,2 Assim, a ?írea S est?í contida entre 219,3 cm2 (5,1 x 43,0) 228,96 cm2 (5,3 x 43,2)

Sistema Internacional Assim, os d?¡gitos depois do segundo algarismo significativo s?úo duvidosos e a resposta correta para a ?írea ?®: S = 2,2 x 102 cm2 O n??mero de d?¡gitos decimais corretos e o m?íximo erro relativo indicam qualidades semelhantes ligadas com o grau de precis?úo relativa. A multiplica?º?úo ou divis?úo de n??meros aproximados provocam a adi?º?úo dos erros No exemplo do c?ílculo da ?írea do ret?óngulo, o erro relativo de a (5,1) ?® muito maior que o de b ( 43,1) e por isso o erro relativo da ?írea S ?® aproximadamente igual ao de a. S tem a mesma quantidade de algarismos significativos que a; ambos tem dois Se os fatores do produto s?úo dados com quantidades diferentes de algarismos decimais corretos, deve-se arredondar os n??meros antes da multiplica?º?úo, deixando um algarismo decimal reserva, que ?® descartado no arredondamento do resultado final. quando h?í mais que 4 fatores com igual n??mero de d?¡gitos decimais corretos (n), o resultado deve ter (n-1) Exemplo 6 Calcular o calor gerado por uma corrente el?®trica I percorrendo uma resist?¬ncia R durante o tempo t, atrav?®s de Q = 0,24 I2 R t Como a constante (0,24) tem dois d?¡gitos decimais corretos, o resultado final s?? poder?í ter dois d?¡gitos depois da v?¡rgula. Assim, n?úo se justifica praticamente tomar valores de I, R e t com mais de tr?¬s d?¡gitos decimais corretos (o terceiro d?¡gito j?í ?® o decimal reserva a ser As constantes n?úo afetam o n??mero de Por exemplo, o per?¡metro do c?¡rculo com raio r, dado pela express?úo L = 2 ? r, o valor de 2 ?® exato e pode ser escrito como 2,0 ou 2,000 ou como se quiser. A precis?úo dos c?ílculos depende apenas da quantidade de d?¡gitos decimais da medi?º?úo do raio r. O n??mero ? tamb?®m ?® conhecido e a quantidade de Exemplo 7 Calcular D = 11,32 x 5,4 + 0,381 x 9,1 + 7,43 x 21,1 para estimar o valor das parcelas, calculam-se Como 5,4 possui apenas dois algarismos significativos, tomam-se as parcelas com tr?¬s algarismos (com um d?¡gito decimal reserva) e arredonda-se o resultado final para dois 11,32 = 127,7 x 5,4 = 690 0,381 x 9,1 = 3,47 = 3 7,43 x 21,1 = 157 Resultado final = 850 Resultado correto: 8,5 x 102 O c?ílculo com d?¡gitos desnecess?írios ?® in??til e pode induzir a erros, pois podem dar a ilus?úo de uma precis?úo maior que a realmente Todos os graus de precis?úo devem ser coerentes entre si e em cada est?ígio dos c?ílculos. Nenhum dos graus de precis?úo deve Exemplo 8 Seja x = 215 y = 3,1 Calcular: x + y x - y x.y x/y y/x determinando: 1. resultado calculado 2. limite superior calculado 3. limite inferior calculado 4. resultado final correto Tab. 1.4. Resultados Opera?º?úo Resultado Limite sup Limite inf Resultado x + y 218,1 219,2 217,0 218 x - y 211,9 213,0 210,8 212 x.y 666,5 691,2 642,0 6,7x102 x/y 69,3548 72,0000 66,8750 69 y/x 0,01442 0,01495 0,01389 0,014

A quantidade x = 215 ?® definida por tr?¬s algarismos significativos de modo que o d?¡gito 5 ?® o menos significativo e duvidoso. Como ele ?® incorreto por ??1, ent?úo o limite superior ?® 216 A quantidade y = 3,1 tem dois algarismos significativos e tem incerteza de ??0,1, variando entre 3,2 e 3,3. Os limites superiores mostrados na tabela s?úo a soma dos limites inferiores de x e y. No resultado final, se deve considerar s?? um d?¡gito duvidoso, e quando poss?¡vel, com apenas dois d?¡gitos significativos.

Sistema Internacional Exemplo 9 Determinar a ?írea de um quadrado com A ?írea nominal do quadrado ?® igual a 100, que ?® o produto de 10 x 10. Por?®m, a incerteza de ??1 metro em cada lado do quadrado ?® multiplicada pelo outro lado, de modo que a incerteza total da ?írea do quadrado ?® de ??21 metros! Chega-se a este resultado multiplicando-se 10 ?? 1 por 10 ?? 1: 10 ?? 1 10 ?? 1 _____ 100 ?? 10 ??10 ?? 1 _________ 100 ?? 20 ?? 1 portanto 100 ?? 21 ou mais rigorosamente (100 -19 + 21) m2.

Outro modo de se chegar a este resultado ?® considerar que cada lado de 10 ?? 1 metro varia de 9 a 11 metros e por isso as ?íreas finais variam de um m?¡nimo de 81 (9 x 9) e um m?íximo de 121 (11 x 11) e como a ?írea nominal ?® de 100, o valor com a toler?óncia ?® de Este exemplo ?® interessante pois ?® an?ílogo ao c?ílculo da incerteza de uma grandeza que depende de duas outras grandezas. A incerteza da grandeza resultante ?® igual ?á derivada parcial da grandeza principal em rela?º?úo a uma grandeza vezes a incerteza desta grandeza mais a derivada parcial da grandeza principal em rela?º?úo a outra grandeza vezes a incerteza desta outra grandeza. Ou seja, em matem?ítica, quando z = f(x, y) com x = x ?? ?x y = y ?? ?y a incerteza ?z ?® igual a ?f ?f ?z = y + x ?x ?y 4.11. Algarismos e resultados Devem ser estabelecidas algumas regras para determinar as incertezas para que todas informa?º?Áes contidas na express?úo sejam entendidas universalmente e de modo Como a quantidade ?x ?® uma estimativa de uma incerteza, obviamente ela n?úo deve ser estabelecida com precis?úo excessiva. Por exemplo, ?® estupidez expressar o resultado da medi?º?úo da acelera?º?úo da gravidade g como gmedida = 9,82 ?? 0,0312 956 m/s2 A express?úo correta seria gmedida = 9,82 ?? 0,03 m/s2

Regra para expressar incertezas: Incertezas industriais devem ser quase sempre arredondadas para um ??nico algarismo significativo.

Uma conseq???¬ncia pr?ítica desta regra ?® que muitos c?ílculos de erros podem ser feitos mentalmente, sem uso de calculadora ou Esta regra tem somente uma exce?º?úo importante. Se o primeiro algarismo na incerteza ?x ?® 1, ent?úo ?® recomend?ível se Por exemplo, se um c?ílculo resulta em uma incerteza final de ?x = 0,14, um arredondamento para ?x = 0,1 ?® uma redu?º?úo proporcional muito grande de modo que ?® razo?ível reter dois algarismos significativos para expressar ?x = 0,14. O mesmo argumento poderia ser usado se o primeiro n??mero for 2, por?®m a redu?º?úo n?úo ?® t?úo grande (metade da redu?º?úo se o algarismo Assim que a incerteza na medi?º?úo ?® estimada, os algarismos significativos do valor medido devem ser considerados. Uma express?úo como velocidade medida = 6 051,78 ?? 30 m/s ?® certamente bem rid?¡cula. A incerteza de 30 significa que o d?¡gito 5 pode ser realmente t?úo Claramente, os d?¡gitos 1, 7 e 8 que vem depois Assim, a express?úo correta seria velocidade medida = 6050?? 30 m/s Regra para expressar resultados O ??ltimo algarismo significativo em qualquer express?úo do resultado deve ser usualmente da mesma ordem de grandeza (mesma posi?º?úo decimal) que a incerteza.

Sistema Internacional Por exemplo, para uma express?úo de resultado 78,43 com uma incerteza de 0,04 seria arredondada para 78,43 ?? 0,04 Se a incerteza fosse de 0,4 ent?úo ficaria 78,4 ?? 0,4 Se a incerteza fosse de 4, a express?úo ficaria 78 ?? 4 Finalmente, se a incerteza fosse de 40, seria 80 ?? 40 Para reduzir incertezas causadas pelo arredondamento, quaisquer n??meros usados nos c?ílculos intermedi?írios devem normalmente reter, no m?¡nimo, um algarismo a mais do que o finalmente justificado. No final dos c?ílculos, faz o ??ltimo arredondamento para A incerteza em qualquer quantidade medida tem a mesma dimens?úo que a quantidade medida em si. Assim, escrevendo as unidades (m/s2, g/cm3, A, V, oC ) ap??s o resultado e a Exemplo densidade medida = 8,23 ?? 0,05 g/cm3 ou densidade medida = (8,23 ?? 0,05) g/cm3 Quando se usa a nota?º?úo cient?¡fica, com n??meros associados a pot?¬ncias de 10, ?® tamb?®m mais simples e claro colocar o Por exemplo: corrente medida = (2,54 ?? 0,02) x 10-6 A

?® mais f?ícil de ler e interpretar do que na forma: corrente medida = 2,54 x 10-6 ?? 2 x 10-8 A

Apostilas\Metrologia 2SistemsSI.DOC 22 SET 98 (Substitui 05 ABR 98)

Objetivos de Ensino 1. Apresentar os fundamentos de estat?¡stica aplicados ?á medi?º?úo, como m?®dia, desvio, 2. Mostrar as express?Áes matem?íticas e significados f?¡sicos das diferentes m?®dias: 3. Apresentar os diferentes tipos de desvio: desvio do valor m?®dio, de popula?º?úo e da 4. Conceituar os par?ómetros de medida da precis?úo: desvio padr?úo e vari?óncia. 8. Conceituar o m?®todo de regress?úo para curvas de calibra?º?úo.

1. Estat?¡stica Inferencial 1.1. Introdu?º?úo A premissa b?ísica da metrologia ?®: nenhuma medi?º?úo ?® sem erro. Ou na l??gica positiva: toda medi?º?úo possui erro. Por isso, nem o valor exato da medi?º?úo e nem o erro associado com a medi?º?úo pode ser conhecido exatamente. Na metrologia, como na f?¡sica, existe o princ?¡pio desconfort?ível da indetermina?º?úo. As incertezas e os erros da medi?º?úo devem ser tratados metodicamente para que as medi?º?Áes pr?íticas tenham alguma A confiabilidade da medi?º?úo n?úo depende somente das varia?º?Áes nas entradas controladas mas tamb?®m das varia?º?Áes em O operador ?® quem faz a medi?º?úo e toma nota do resultado. Ele pode cometer erros grosseiros e acidentais nestas tarefas. O equipamento de suporte do instrumento de medi?º?úo incluem outros instrumentos auxiliares. As condi?º?Áes de contorno do instrumento de medi?º?úo podem influir no seu desempenho. Estas condi?º?Áes incluem a temperatura, umidade, press?úo ambiente, vibra?º?úo, choque mec?ónico, alimenta?º?úo externa. O instrumento de medi?º?úo ?® o elo ?ë ele que faz a medi?º?úo e espera-se que ele n?úo influa no valor da medi?º?úo feita.

1.2. Conceito A ci?¬ncia da estat?¡stica envolve a coleta, organiza?º?úo, descri?º?úo, an?ílise e interpreta?º?úo de dados num?®ricos. A estat?¡stica ?® a parte da matem?ítica que fornece um m?®todo organizado para manipular dados que apresentem varia?º?Áes aleat??rias. A estat?¡stica revela somente a informa?º?úo que j?í est?í presente em um conjunto de dados. Nenhuma informa?º?úo nova ?® criada pela estat?¡stica. O tratamento estat?¡stico de um conjunto de dados permite fazer julgamentos objetivos relacionados com a validade de resultados. A estat?¡stica permite olhar os dados de modos diferentes e tomar decis?Áes objetivas e A metrologia usa estat?¡stica por v?írios objetivos: 1. entender, controlar e determinar os erros da medi?º?úo 2. facilitar a coleta de dados adequados e confi?íveis relacionados com a medi?º?úo 3. entender e calcular melhor as incertezas associadas ?á medi?º?úo 4. controlar a qualidade da m?úo de obra e Os m?®todos estat?¡sticos podem ser ??teis para determinar 1. o valor mais prov?ível de uma medi?º?úo, a partir de um conjunto limitado de medi?º?Áes, 2. o erro prov?ível de uma medi?º?úo e 3. o valor da incerteza na melhor resposta Um dado individual ?® imprevis?¡vel e aleat??rio. Por?®m, grupos de dados aleat??rios s?úo previs?¡veis e determin?¡sticos. Por exemplo,

Estat?¡stica da Medi?º?úo o lan?ºamento de um ??nico dado ?® aleat??rio e n?úo determin?¡stico. Qualquer um dos lados, 1- 2-3-4-5-6, ?® igualmente prov?ível. Por?®m, quando se lan?ºam dois dados, a soma dos lados j?í ?® determin?¡stica e n?úo aleat??ria. A soma 2 (1+1) ou 12 (6+6) ?® menos prov?ível A base da estat?¡stica na medi?º?úo ?® a replica?º?úo, que ?® a tomada m??ltipla e repetida da medi?º?úo em valores individuais da quantidade. Quando se faz apenas uma medi?º?úo sujeita aos erros aleat??rios, obt?®m-se pouca informa?º?úo. Quando se fazem muitas medi?º?Áes repetidas da mesma quantidade, os erros aleat??rios aparecem como um espalhamento em torno da m?®dia destas medi?º?Áes. O espalhamento ?® causado pelas varia?º?Áes da medi?º?úo, que devem ser consideradas e pelas varia?º?Áes das caracter?¡sticas do sistema de medi?º?úo, que devem ser eliminadas. As varia?º?Áes aleat??rias podem ser uma conseq???¬ncia natural das experi?¬ncias ou uma inevit?ível defici?¬ncia do sistema de medi?º?úo das varia?º?Áes de processo e a estat?¡stica tem meios de identificar e O objetivo do tratamento estat?¡stico n?úo ?® o de eliminar a variabilidade das medi?º?Áes - o que ?® imposs?¡vel - mas o de restringir esta variabilidade dentro de limites economicamente realiz?íveis e estabelecer graus de A an?ílise estat?¡stica n?úo melhora a precis?úo de uma medi?º?úo. As leis da probabilidade usadas pela estat?¡stica se aplicam somente em erros aleat??rios e n?úo nos erros sistem?íticos ou do operador. Assim, antes de fazer o tratamento estat?¡stico dos erros aleat??rios, deve-se cuidar de eliminar ou diminuir os erros A precis?úo de um instrumento que descreve a concord?óncia entre v?írias medi?º?Áes replicadas pode ser medida atrav?®s dos par?ómetros estat?¡sticos como desvio padr?úo, Por exemplo, se um instrumento est?í com um erro de calibra?º?úo de zero, um tratamento estat?¡stico n?úo remover?í este erro. Por?®m, a an?ílise estat?¡stica de dois m?®todos de medi?º?úo diferentes pode demonstrar a discrep?óncia A estat?¡stica descritiva usa tabelas, gr?íficos e m?®todos num?®ricos para resumir conjuntos A estat?¡stica inferencial pode 1. definir o intervalo em torno da m?®dia de um conjunto dentro do qual a m?®dia da popula?º?úo deve estar, com uma dada probabilidade;

2. determinar o n??mero de medi?º?Áes replicadas necess?írias para garantir, com uma dada probabilidade, que uma m?®dia experimental caia dentro de um intervalo predeterminado em torno da 3. decidir se um valor distante no conjunto de resultados replicados deve ser mantido ou rejeitado no c?ílculo da m?®dia 4. manipular os dados da calibra?º?úo.

Fig. 2.1. Infer?¬ncia estat?¡stica 1.3. Variabilidade da Quantidade As medi?º?Áes repetidas de um mesmo valor exibem varia?º?Áes. Estas varia?º?Áes s?úo causadas por diferen?ºas em materiais, equipamentos, instrumentos, instala?º?Áes, opera?º?Áes, condi?º?Áes, problemas, rea?º?Áes Geralmente se tem muitas varia?º?Áes pequenas e poucas grandes varia?º?Áes (diagrama de ?Çs vezes, ocorre uma varia?º?úo n?úo usual, maior que todas as outras, por uma ou pela combina?º?úo das seguintes causas: 1. material diferente da batelada, 2. novo ajuste do equipamento 3. nova calibra?º?úo do instrumento de medi?º?úo 4. substitui?º?úo do operador 5. jogo da sele?º?úo brasileira de futebol A experi?¬ncia mostra que h?í diferen?ºas definidas detect?íveis entre o padr?úo natural e o n?úo natural. ?ë poss?¡vel descobrir e estudar estas diferen?ºas por meio de c?ílculos simples baseados na estat?¡stica. Assim que se conhece o padr?úo natural, ?® poss?¡vel encontrar as As medi?º?Áes de uma mesma vari?ível do processo tendem a se agrupar em torno de um valor central, tipicamente a m?®dia aritm?®tica,

Estat?¡stica da Medi?º?úo com uma certa varia?º?úo de dispers?úo em cada lado. O padr?úo ou formato desenhado pelas medi?º?Áes agrupadas ?® chamado de Se as causas que produzem as medi?º?Áes permanecem inalteradas, a distribui?º?úo tende a ter certas caracter?¡sticas est?íveis, que se tornam ainda mais definidas quando se aumenta o n??mero de medi?º?Áes. Se o sistema de causa ?® constante, a distribui?º?úo observada tende a se aproximar de um limite estat?¡stico, A experi?¬ncia mostra que a distribui?º?úo e a A distribui?º?úo ?® uma massa composta de flutua?º?Áes e a flutua?º?úo est?í confinada dentro Com rela?º?úo ?ás distribui?º?Áes e flutua?º?Áes, pode-se dizer que 3. Os grupos de coisas de um sistema constante de causas tendem a ser Por exemplo, 3. As companhias de seguro podem prever com precis?úo a percentagem de pessoas Outro exemplo, 1. Ningu?®m escreve a letra a duas vezes 2. N?úo se pode saber como o pr??ximo a 3. O grafologista sabe reconhecer a letra de uma pessoa.

2. Popula?º?úo e Amostra Uma premissa b?ísica da teoria da probabilidade ?® que ela trata somente de eventos aleat??rios. Um evento aleat??rio ?® aquele em que as condi?º?Áes s?úo tais que cada membro da popula?º?úo tem uma chance igual A popula?º?úo ou universo ?® o conjunto de todos os itens (produtos, indiv?¡duos, firmas, A amostra ?® uma parte da popula?º?úo, tirada aleatoriamente do universo de modo que o represente. A amostra deve ser aleat??ria, onde cada membro da popula?º?úo tem uma igual chance de ser selecionado. Embora a amostra seja representativa, ela n?úo ?® uma r?®plica exata, em miniatura, da popula?º?úo de onde ela foi retirada. Isto ?® imposs?¡vel de se conseguir e Estes erros devem ser minimizados ou ent?úo previstos, atrav?®s de distribui?º?Áes de amostras.

Trabalhar com amostras em vez de estudar a popula?º?úo total ?® uma t?®cnica bem estabelecida e usada, resultando na vantagem de assumir um risco definido de aceitar uma pequena percentagem de alguns dados com n?úo-conformidade em troca da grande redu?º?úo Muita inspe?º?úo de aceita?º?úo ?® por amostragem. Geralmente a inspe?º?úo de 100% ?® impratic?ível e antiecon??mica. Tamb?®m, a qualidade do produto aceito pode realmente ser melhor com amostragem estat?¡stica do que a conseguida por inspe?º?úo de 100%. A amostragem tem vantagens psicol??gicas e menos cansa?ºo dos inspetores. Muitos tipos de inspe?º?úo de 100% n?úo eliminam todos os No caso de medi?º?Áes replicadas, quando se faz a computa?º?úo estat?¡stica de um n??mero muito elevado de dados (milhares), h?í uma alta probabilidade de se cometer erros na entrada As leis da estat?¡stica se aplicam estritamente a uma popula?º?úo formada apenas de dados aleat??rios. Para usar estas leis, deve- se assumir que o conjunto de dados que formam uma amostra representa a popula?º?úo infinita de resultados. Infelizmente, esta hip??tese n?úo ?® garantidamente v?ílida. Como resultado, a estimativa estat?¡stica acerca do valor dos erros aleat??rios tamb?®m est?í sujeita a incerteza e por isso ela ?® expressa somente Em qualquer decis?úo que se toma, baseando-se em poucos dados, corre-se o risco de que ela seja errada. Por exemplo, quando se sai de casa, carregando ou n?úo um guarda-chuva, coletam-se certos dados: olha- se o c?®u, l?¬-se a previs?úo do tempo do jornal, escuta-se a televis?úo. Depois de avaliar rapidamente todos estes dados dispon?¡veis, incluindo a previs?úo do r?ídio de "30% de probabilidade de haver chuva", toma-se uma decis?úo. De qualquer modo, faz-se o compromisso entre a inconveni?¬ncia de carregar um guarda-chuva e a possibilidade de tomar uma chuva, sujando-se a roupa e pegando um resfriado. Neste exemplo, tomou- se uma decis?úo baseando-se na incerteza. A incerteza n?úo implica falta de conhecimento, mas somente que o resultado exato n?úo ?® Infer?¬ncia estat?¡stica ?® o processo de se deduzir algo acerca de um universo baseando- se em dados obtidos de uma amostra retirada deste universo. Partindo-se dos par?ómetros da amostra, calculados e obtidos mais facilmente, estimam-se as faixas onde devem estar estes mesmos par?ómetros da popula?º?úo. Quando o tamanho da amostra aumenta, os valores dos

Estat?¡stica da Medi?º?úo par?ómetros da amostra tendem para os valores dos par?ómetros da popula?º?úo. Assim, a escolha do tamanho da amostra ?® um compromisso entre a facilidade dos c?ílculos (amostra muito pequena) e a validade dos valores (amostra muito grande). O tamanho conveniente da amostra depende de v?írios fatores, como: 1. desvio permitido entre o par?ómetro e o valor verdadeiro, 2. o grau de variabilidade da popula?º?úo fornecido pela experi?¬ncia anterior, 3. o risco assumido ou o grau de probabilidade Na pr?ítica, amostra com n ? 20 ?® considerada de bom tamanho e representativa do universo. Alguns autores consideram ideal n ? 30. Na pr?ítica, por conveni?¬ncia, trabalha-se com amostras contendo cerca de 4 a 10 pontos, e aplicando a estat?¡stica t do Student, que compensa os erros das amostras A metodologia da infer?¬ncia estat?¡stica envolve 1. o problema: estimativa dos par?ómetros da popula?º?úo (m?®dia e vari?óncia) com os dados dispon?¡veis, 2. a solu?º?úo: usa da informa?º?úo da amostra para obter as estimativas, mesmo tendo de conviver com os erros da amostragem, 3. o resultado final: estimativa dos par?ómetros da popula?º?úo e os graus de confian?ºa associados.

3. Tratamento Gr?ífico Os dados estat?¡sticos podem ser apresentados e arranjados em tabelas e gr?íficos. O objetivo destes m?®todos ?® o de condensar a informa?º?úo de uma grande quantidade de n??meros, mostrando as Os dados consistem de n??meros, que devem ser ??teis e confi?íveis. Para isso, ?® importante definir a fonte dos dados, qual o escopo do estudo, como eles s?úo coletados, qual a sua exatid?úo e precis?úo, como s?úo arredondados. Os dados podem mostrar propriedades f?¡sicas vari?íveis.

3.1. Distribui?º?úo de Freq???¬ncia O processo para construir uma matriz e uma distribui?º?úo de freq???¬ncia ?® simples e direto. Os passos s?úo os seguintes: 2. Arranjar os dados em uma matriz, colocando-os em ordem crescente ou 3. Determinar o n??mero de classes ou c?®lulas.

6. Construir um gr?ífico com as classes e os O n??mero de grupos n?úo pode nem ser muito grande nem muito pequeno. Como regra, pode-se tomar a raiz quadrada do n??mero dos dados, o que na pr?ítica, resulta em 5 a 15 grupos. Por exemplo, se h?í 100 dados, escolhem-se 10 classes ( 100 = 10 ). Quando o n??mero n?úo for exato, arredonda-se para o inteiro mais pr??ximo; por exemplo, para 200 dados, usam-se 14 classes ( 200 = 14,1). Os limites inferior e superior devem ser escolhidos de modo a n?úo se ter superposi?º?Áes ou dados O intervalo da classe pode ser determinado dividindo-se a diferen?ºa do maior dado pelo Matematicamente, tem-se:

onde xh ?® o maior n??mero da matriz xl ?® o menor n??mero da matriz Exemplo Para fixar id?®ias, ser?í apresentado o exemplo, onde se quer desenvolver uma controle de qualidade para a fabrica?º?úo de l?ómpadas de 100-watt. S?úo tomados 50 registros de uma lote da produ?º?úo e s?úo feitos testes de falha das l?ómpadas. A confiabilidade ?® medida em termos de horas para falhar. As confiabilidades s?úo as seguintes: Tab. 2.1. Dados completos 1983 2235 2414 2465 2510 2329 2414 2697 2567 2270 2321 2214 2130 2174 2553 2438 2356 2299 2238 2350 2450 2454 2452 2543 2544 2026 2237 2248 2643 2544 2326 2320 2293 2234 2343 2027 2175 2346 2438 2652 2420 2355 2362 2146 2124

Estat?¡stica da Medi?º?úo Tab.2.2. Dados em ordem crescente 1983 2235 2329 2414 2510 2026 2237 2343 2417 2544 2027 2238 2346 2420 2543 2124 2248 2350 2438 2564 2130 2270 2353 2438 2567 2146 2293 2355 2438 2565 2174 2299 2356 2450 2643 2175 2320 2362 2454 2652 2214 2321 2387 2452 2680 2234 2326 2414 2465 2697 Os dados agora devem ser agrupados em O n??mero adequado de classes ?® de O intervalo da classe ?® calculado como: 2697 - 1983 Intervalo da classe = = 102 7 Assim, deveria se ter: maior dado = 2697 horas menor dado = 1983 horas faixa = 2697 - 1983 = 714 horas n??mero de classes = 7 intervalo da classe = 102 Pode-se fazer alguns ajustes finos: 1. o intervalo da classe pode ser igual a 100, para facilitar os c?ílculos, 2. a primeira classe ?® de 1900 a 1999, 3. a segunda classe ?® de 2000 a 2099, 5. deve-se ter uma oitava classe, de 2600 a ?Ç primeira vista se pensa que o intervalo ?® de 99 e n?úo de 100, por?®m como a contagem come?ºa de 0, tem-se realmente 100 pontos Constr??i-se agora a tabela com os n??meros em cada intervalo de classe. O arranjo pode ser horizontal ou vertical. No arranjo horizontal, colocam-se as classes ?á esquerda e uma marca de contagem (X, ou marcas m??ltiplas de Tem-se Tab. 2.3. Contagens Horas Marcas de contagem 1900-1999 X 2000-2099 XX 2100-2199 XXXXX 2200-2299 XXXXXXXXX 2300-2399 XXXXXXXXXXXX 2400-2499 XXXXXXXXXXX 2500-2599 XXXXXX 2600-2699 XXXX As marcas de contagem s?úo convertidas em n??meros, resultando na distribui?º?úo de freq???¬ncia absoluta.

Tab. 2.4. Distribui?º?úo da freq???¬ncia absoluta Horas N??mero de falhas 1900-1999 1 2000-2099 2 2100-2199 5 2200-2299 9 2300-2399 12 2400-2499 11 2500-2599 6 2600-2699 4 Pode-se obter as seguintes informa?º?Áes sobre a folha de distribui?º?úo de freq???¬ncia: 1. a menor taxa de queima da l?ómpada ?® de de 1900 horas e a maior, de 2700, 2. a maioria das l?ómpadas queima entre 2200 e 2500 horas, 3. a maior concentra?º?úo de falhas ?® entre Fazendo-se um gr?ífico (abcissa = horas de ordenada = freq???¬ncia), percebe-se o centro da distribui?º?úo (2350 horas) e como os valores Se ainda se quer a distribui?º?úo da freq???¬ncia relativa, para prever o n??mero de l?ómpadas que iriam falhar dentro de um determinado intervalo, calcula-se a freq???¬ncia relativa, dividindo-se cada freq???¬ncia absoluta pelo n??mero total de freq???¬ncias. O valor total da freq???¬ncia relativa ?® 1,0. A f??rmula da freq???¬ncia relativa ?®: n??mero de observa?º?Áes no intervalo Frequ?¬ncia relativa = n??mero total de observa?º?Áes No exemplo da l?ómpada, a freq???¬ncia relativa de falhas para o intervalo de classe de 2100-2199 ?® de 0,01 ou 10% (5/50).

Tab. 2.5. A freq???¬ncia relativa em cada intervalo de classe das confiabilidades das l?ómpadas Horas Falhas Freq???¬ncia relativa 1900-1999 1 1/50 = 0,02 2000-2099 2 2/50 = 0,04 2100-2199 5 5/50 = 0,10 2200-2299 9 9/50 = 0,18 2300-2399 12 12/50 = 0,24 2400-2499 11 11/50 = 0,22 2500-2599 6 6/50 = 0,12 2600-2699 4 4/50 = 0,08 1,00

Estat?¡stica da Medi?º?úo 3.2. Histograma Histograma ?® o gr?ífico da distribui?º?úo de freq???¬ncia que ilustra os resultados obtidos da matriz e da folha dos resultados. Um gr?ífico comunica a informa?º?úo mais facilmente que a an?ílise num?®rica. Vendo o gr?ífico pode-se contar diretamente os dados em cada intervalo de classe e determinar o centro e o O histograma ?® um gr?ífico de barras que mostra os resultados da an?ílise da distribui?º?úo da freq???¬ncia, comprimindo os dados em O eixo horizontal dos x (abcissa) mostra os intervalos das classes e o eixo vertical dos y (ordenada) mostra a freq???¬ncia, absoluta ou relativa. Cada intervalo de classe tem um limite inferior e um limite superior. Geralmente o menor limite da primeira classe ?® abaixo do primeiro n??mero e o limite maior da ??ltima classe ?® acima do ??ltimo n??mero da matriz.

3.3. Significado metrol??gico Quando se tem n medi?º?Áes, pode-se quantizar estes n resultados em valores iguais Plotando a freq???¬ncia das ocorr?¬ncias (n??mero de medi?º?Áes dentro das faixas) e os valores das medi?º?Áes, obt?®m-se um histograma, ou gr?ífico com barras. ?ë interessante observar os tamanhos destas barras: no centro da curva est?úo as maiores freq???¬ncias correspondendo a valores pr??ximos da m?®dia das medi?º?Áes. Ou seja, as medi?º?Áes se distribuem em torno do valor m?®dio das medi?º?Áes, com maior quantidade de medi?º?Áes pr??ximas da m?®dia e Aumentando o n??mero de medi?º?Áes e diminuindo a largura da faixa, o histograma se aproxima de uma curva continua, chamada de fun?º?úo de distribui?º?úo da densidade da Quando os erros s?úo puramente aleat??rios, os resultados das n medi?º?Áes sucessivas s?úo espalhados em torno do valor verdadeiro, com a metade dos resultados acima e a outra metade abaixo do valor verdadeiro . Este valor verdadeiro ?® tamb?®m chamado de valor m?®dio.

Exemplo Sejam os 50 dados replicados obtidos na Tab. 2.6. Dados da pipeta de 10 mL Dado # Volume , ml Dado # Volume, ml Dado # Volume, ml 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9,988 9,973 9,986 9,980 9,975 9,982 9,986 9,982 9,981 9,990 9,980 9,989 9,978 9,971 9,982 9,983 9,988 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 9,975 9,980 9,994 9,992 9,984 9,981 9,987 9,978 9,983 9,982 9,991 9,981 9,968 9,985 9,977 9,976 9,983

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 9,976 9,990 9,988 9,971 9,986 9,978 9,986 9,982 9,977 9,977 9,986 9,978 9,983 9,980 9,983 9,979

A partir destes dados foram encontrados: Volume m?®dio = 9,982 ml Volume mediano = 9,982 ml Afastamento = 0,025 ml Desvio padr?úo = 0,0056 ml A partir dos dados da Tab.2.6, pode-se elaborar uma outra tabela (Tab. 2.7) mostrando a distribui?º?úo da freq???¬ncia usando-se c?®lulas com largura de 0,003 mL e calculando-se a percentagem de medi?º?Áes caindo em cada c?®lula. Nota-se que 26% dos dados residem na c?®lula contendo a m?®dia e a mediana de 9 982 mL e que mais da metade dos dados est?úo Tab. 2.7. Freq???¬ncia dos dados da Tab. 2.6 Faixa volume, N??mero na % na mL faixa faixa 9 969 a 9 971 3 6 9.972 a 9 974 1 2 9 975 a 9977 7 14 9 978 a 9980 9 18 9 981 a 9983 13 26 9 984 a 9 986 7 14 9 987 a 9 989 5 10 9 990 a 9 992 4 8 9 993 a 9 995 1 2

Os dados da distribui?º?úo da freq???¬ncia da Tab. 7 podem ser plotados em um gr?ífico de barras ou histograma. Pode-se perceber que quando o n??mero de dados medidos aumenta, o histograma se aproxima da curva cont?¡nua da distribui?º?úo normal, gerada com um n??mero infinito de dados.

Estat?¡stica da Medi?º?úo 4. M?®dias Os dados podem ser reduzidos a um ??nico n??mero, para fins de compara?º?úo. A m?®dia ou valor m?®dio ?® o mais representativo de um conjunto de dados ou medi?º?Áes. A m?®dia ?® o valor esperado de uma quantidade medida do conjunto das medi?º?Áes tomadas. Valor esperado n?úo ?® o valor mais prov?ível. A m?®dia tende a ficar no centro dos dados quando eles s?úo arranjados de acordo com as magnitudes e por isso a m?®dia ?® tamb?®m chamada de tend?¬ncia central das medidas. Quanto maior o n??mero de medi?º?Áes feitas, melhor ser?í o resultado. O valor m?®dio ?® a expectativa Nas distribui?º?Áes formadas pelos dados, quase sempre h?í uma tend?¬ncia central destes dados. Esta tend?¬ncia central, em torno da qual os dados se agrupam pode ser medida por algum tipo de m?®dia. As m?®dias t?¡picas s?úo: m?®dia aritm?®tica, ponderada, eficaz, geom?®trica, harm??nica, mediana e moda.

Fig. 2.2. Histograma da Tab. 2.7 4.1. M?®dia Aritm?®tica A m?®dia mais usada ?® a aritm?®tica, que ?® calculada matematicamente como a soma de todas as medidas de um conjunto dividida pelo n??mero total de medidas. A m?®dia aritm?®tica de um conjunto de medidas ?® dada por: x + x +...+x xm = x = 1 2 n n onde xm = x = valor m?®dio ou a m?®dia x1, x2, ... xn = valor de cada medi?º?úo Tamb?®m pode se escrever, de modo abreviado: n ?xi x m = i=1 n

Diz-se que a m?®dia ?® a somat??ria dos valores de x, come?ºando de i igual a 1 e terminando em n dividido por n. ? ?® a letra ?ë comum denotar a m?®dia como x (diz-se x barra), por?®m este s?¡mbolo ?® dif?¡cil de se obter Quando se tem uma popula?º?úo com o n??mero muito grande de dados (n tende para infinito), o s?¡mbolo da m?®dia ?® expresso como:

n ?xi ?Á = i=1 com n ? ? n Atrav?®s do conceito dos m?¡nimos quadrados do erro pode-se demonstrar matematicamente que a m?®dia aritm?®tica ?® a melhor estimativa do valor verdadeiro de um dado conjunto de O instrumentista deve sempre fazer de duas a cinco replica?º?Áes de uma medi?º?úo. Os resultados individuais de um conjunto de medi?º?Áes s?úo raramente os mesmos e usa-se a m?®dia ou o melhor valor para o conjunto. O valor m?®dio central ?® sempre mais confi?ível do que qualquer resultado individual. A varia?º?úo nos dados deve fornecer uma medida da incerteza associada com o resultado central. A m?®dia serve como o valor central para um A m?®dia de dados aleat??rios n?úo ?® mais aleat??ria mas ?® determin?¡stica. Por exemplo, a m?®dia das somas dos pontos obtidos pelo lan?ºamento de dois dados ?® um n??mero O valor m?®dio tem as seguintes propriedades matem?íticas pr?íticas e ??teis ?á metrologia: 1. a m?®dia ?® a melhor estimativa para um 2. a m?®dia tem a mesma dimens?úo das medi?º?Áes e fica entre os valores m?¡nimo e 3. quando se multiplica uma vari?ível aleat??ria por uma constante, sua m?®dia ser?í 4. a m?®dia da soma de duas vari?íveis 5. se uma constante ?® somada ?á vari?ível aleat??ria, a mesma constante ?® somada ao seu valor m?®dio.

Estat?¡stica da Medi?º?úo 6. a m?®dia do produto de duas vari?íveis aleat??rias independentes ?® igual ao 7. mesmo que a distribui?º?úo dos valores seja sim?®trica, a distribui?º?úo da ?írea n?úo ?® sim?®trica, pois, se 5 est?í no meio de 0 e Exemplo As medi?º?Áes do valor do resistor d?úo: 52,3 ? 51,7 ? 53,4 ? 53,1 ? 80,0 ? O valor m?®dio destas medi?º?Áes, desprezando o 52,3 + 51,7 + 53,4 + 53,1 R m = = 52,6 ? 4

4.2. Raiz da Soma dos Quadrados Quando se tem dados com sinais positivos e negativos e as suas influ?¬ncias se somam, n?úo se pode tirar a m?®dia aritm?®tica pois a soma alg?®brica dos dados cancelam seus valores. Por isso, inventou-se a m?®dia Raiz quadrada da Soma dos Quadrados (RSQ), que ?® dada pela express?úo:

XRSQ= (x2+x2+...+x2) 12n Em metrologia, esta rela?º?úo matem?ítica (algoritmo) ?® a mais usada para determinar o erro final resultante de v?írios erros componentes aleat??rios e independentes entre Em estat?¡stica, o desvio padr?úo (?) ?® calculado atrav?®s de uma rela?º?úo que tamb?®m envolve a raiz quadrada da soma dos Tem-se

( d + d 2 +...+ d ) 22 ?= 1 n n 5. Desvios Como ocorre com as m?®dias, h?í tamb?®m v?írios tipos de desvios, embora o mais usado seja o desvio padr?úo.

5.1. Dispers?úo ou Variabilidade A medida do ponto central isolado n?úo d?í uma descri?º?úo adequada dos dados experimentais. Deve-se considerar tamb?®m a variabilidade ou espalhamento dos dados. Por exemplo, se algu?®m tem os p?®s na geladeira e a cabe?ºa no forno, pode-se dizer que a m?®dia da temperatura ?® boa, mas a sensa?º?úo ser?í horr?¡vel, por causa da grande faixa de Por isso foram desenvolvidos outros par?ómetros importantes de dados experimentais associados ao grau de espalhamento do conjunto de dados, como faixa, desvio m?®dio, vari?óncia, desvio padr?úo, coeficiente de varia?º?úo, desvio padr?úo ajustado.

5.2. Faixa (Range) A faixa ou espalhamento de um conjunto de dados ?® a diferen?ºa entre o maior e o menor valor do conjunto. A faixa ?® o modo mais simples para representar a dispers?úo dos dados. As desvantagens associadas com a faixa como medida da dispers?úo s?úo: 1. ela se baseia somente na dispers?úo dos valores extremos, 2. ela deixa de fornecer informa?º?úo acerca do ajuntamento ou dispers?úo dos valores Mesmo assim, ela ?® empregada para se ter uma id?®ia aproximada da extens?úo dos valores espalhados dos dados dispon?¡veis. Ela ?® fundamental nas cartas para o controle Por exemplo, para um conjunto de medi?º?Áes de um comprimento, em mm, 194, 195, 196, 198, 201, 203 O desvio padr?úo para conjuntos com pequeno n??mero de dados (N) pode ser rapidamente estimado multiplicando-se a faixa No conjunto anterior, o desvio padr?úo estimado pelo fator k da tabela (N = 6) ?® igual a 9 x 0,38 = 3,5. O desvio padr?úo calculo de modo convencional ?® igual a 3,6.

Tab. 2.8. Fatores para estimar desvio padr?úo Nk 2 0,89 3 0,59 4 0,49 5 0,43 6 0,39 7 0,37 8 0,35 9 0,34 10 0,32

Estat?¡stica da Medi?º?úo 5.3. Desvio do Valor M?®dio O desvio ?® a diferen?ºa entre cada medida e a m?®dia aritm?®tica. O desvio do valor m?®dio indica o afastamento de cada medi?º?úo do valor m?®dio. O valor do desvio pode ser positivo ou negativo. Os desvios das medidas x1, x2, ... xn da m?®dia aritm?®tica xm s?úo: d1 = x1 - xm d2 = x2 - xm dn = xn - xm Teoricamente, a soma alg?®brica de todos os desvios de um conjunto de medidas em rela?º?úo ao seu valor m?®dio ?® zero. Na pr?ítica, nem sempre ele ?® zero, por causa dos Para as medi?º?Áes da resist?¬ncia acima, Ri Rm di 52,3 52,6 -0,3 51,7 52,6 -0,9 53,4 52,6 +0,8 53,1 52,6 +0,5 Onde Ri ?® o valor de cada resist?¬ncia Rm ?® o valor m?®dio das resist?¬ncias di ?® o desvio de cada resist?¬ncia A soma dos desvios n?úo deu zero pois h?í um erro de arredondamento, pois a m?®dia ?® de 52,63 aproximado para 52.6.

5.4. Desvio M?®dio Absoluto O grau de espalhamento em torno do valor Uma medida esta varia?º?úo ?® o desvio m?®dio. O desvio m?®dio pode fornecer a precis?úo da medi?º?úo. Se h?í um grande desvio m?®dio, ?® uma indica?º?úo que os dados tomados variam O desvio m?®dio ?® a soma dos valores absolutos dos desvios individuais, dividido pelo n??mero de medi?º?Áes. Se fosse tomada a soma alg?®brica, respeitando os sinais, e n?úo havendo O desvio m?®dio absoluto ?® dado por: [x ] + [x ] + ... + [x ] D= 1 2 n n Exemplo De novo, a resist?¬ncia acima Ri Rm di 52,3 52,6 -0,3 51,7 52,6 -0,9 53,4 52,6 +0,8 53,1 52,6 +0,5 O desvio m?®dio absoluto ?® calculado tomando-se os di em valor absoluto (positivo)

0,3 + 0,9 + 0,8 + 0,5 D = = 0,67 ? 0,7 ? 4 Para distribui?º?Áes sim?®tricas de freq???¬ncia, h?í uma rela?º?úo emp?¡rica entre o desvio m?®dio e o desvio padr?úo como: 4 desvio m?®dio = (desvio padr?úo) 5

5.5. Desvio Padr?úo da Popula?º?úo O desvio m?®dio de um conjunto de medi?º?Áes ?® somente um outro m?®todo para O desvio m?®dio n?úo ?® matematicamente conveniente para manipular as propriedades estat?¡sticas pois sua soma geralmente se anula e por isso o desvio padr?úo ?® mais adequado e O desvio padr?úo de uma popula?º?úo, ?, ?® calculado raiz quadrada da m?®dia dos quadrados dos desvios individuais. Tem-se

?(xi??Á) 2 ?= n onde O desvio padr?úo pode expressar a precis?úo do instrumento que fornece o conjunto de medi?º?Áes. Quando o desvio padr?úo (?) ?® pequeno, a curva da probabilidade das amplitudes ?® estreita e o valor de pico ?® grande e as medi?º?Áes s?úo feitas por um instrumento muito preciso. Quando o desvio padr?úo (?) ?® grande, a curva da probabilidade das amplitudes ?® larga e o valor de pico ?® pequeno e as medi?º?Áes s?úo feitas por um instrumento pouco preciso. Em qualquer caso, a ?írea sob a curva ?® igual a 1, pois a soma das probabilidades ?® igual a 1.

Estat?¡stica da Medi?º?úo 5.6. Desvio Padr?úo da Amostra O desvio padr?úo da amostra com pequeno n??mero de dados (n ? 20 ou para alguns, n < 30) ou desvio padr?úo ajustado ?® dado por:

n ?(xi?x)2 s = i=1 (n ? 1) Usa-se o denominador (n - 1) por que agora se tem (n - 1) vari?íveis aleat??rias e a na ?® O desvio padr?úo usado para medir a dispers?úo dos dados sobre de uma lacuna que ?® sua polariza?º?úo quando o n??mero de dados ?® pequeno. Por exemplo, quando se tem somente uma medida, o valor do desvio se reduz a zero. Isto implica que a medi?º?úo n?úo tem dispers?úo e como conseq???¬ncia, n?úo tem nenhum erro. Obviamente este resultado ?® altamente polarizado, quando se toma somente uma medi?º?úo nos c?ílculos. Quando se tomam duas ou mais medi?º?Áes, a polariza?º?úo no paramento diminui progressivamente at?® se tornar desprez?¡vel para n grande. Assim, o valor do desvio padr?úo ?® ajustado para dar uma estimativa n?úo polarizada da precis?úo. Isto ?® conseguido dividindo-se a soma dos Diz-se que (n-1) ?® o n??mero de grau de O n??mero de graus de liberdade se refere ao n??mero de dados independentes gerados de Um conjunto com duas medi?º?Áes tem somente uma entrada ??til com rela?º?úo a estimativa da dispers?úo em torno da m?®dia da popula?º?úo, por que o conjunto deve fornecer informa?º?úo acerca da dispers?úo e acerca da m?®dia. Assim, uma amostra de dois dados fornece s?? uma observa?º?úo independente com rela?º?úo ?á dispers?úo. Para uma amostra de 10 dados, pode-se ter 10 desvios. Por?®m, somente 9 s?úo independentes, por que o ??ltimo pode ser deduzido do fato que a soma dos desvios ?® igual a zero. Assim, um conjunto de n dados fornece (n - 1) observa?º?Áes independentes com rela?º?úo ao desvio padr?úo da popula?º?úo. De um modo mais geral ainda, tem-se (n - m) graus de liberdade em um conjunto com n dados e m Na popula?º?úo, quando m ?® desconhecido, duas quantidades podem ser calculadas de um conjunto cm n dados replicados, x e s. Um grau de liberdade ?® usado para calcular x , porque, retendo os sinais dos desvios, a soma dos desvios individuais deve ser zero. Assim, computados (n - 1) desvios, o ??ltimo desvio (no) fica conhecido. Como conseq???¬ncia, somente (n - 1) desvios fornecem medida independente da precis?úo do conjunto de medi?º?Áes. Em pequenas amostras (n < 20), quando se usa n em vez de (n - 1) para calcular s, obt?®m-se um O desvio padr?úo das medi?º?Áes da resist?¬ncia ?® de 0,8 ?. Como ainda ser?í visto, o valor da resist?¬ncia deve estar entre o valor m?®dio e uma toler?óncia de n desvios padr?úo. O n est?í relacionado com o n?¡vel de probabilidade associado. Assim, o valor da resist?¬ncia ?® de 51,6 ?? 0,8 (1s) ?, com 68% de probabilidade ou 51,6 ?? 1,6 (2s) ? com 95% de probabilidade.

5.7. F??rmulas Simplificadas ?üs vezes, ?® mais c??modo e r?ípido calcular os desvios padr?úo da popula?º?úo e da amostra com f??rmulas que envolvem somente a computa?º?úo de xi , ? xi e ? xi . Estas 22 f??rmulas s?úo:

?(x2)?(?x) 2 /n ?2 = i i n ?(x2)?(?x) 2 /n s2 = i i n?1

5.8. Desvios da popula?º?úo e da amostra Como o desvio padr?úo da popula?º?úo envolve n e o desvio padr?úo da amostra envolve (n - 1), obt?®m-se facilmente a rela?º?úo entre os dois desvios, como n s= ?ù? n?1 n onde o fator ?® conhecido como fator n?1 de corre?º?úo de Bessel.

Quando n aumenta, o fator de Bessel se aproxima de 1, e o s se iguala a ?. Na pr?ítica, para n ? 20, pode-se considerar s igual a ?. O desvio padr?úo da amostra ?® tamb?®m chamado de desvio padr?úo ajustado.

Estat?¡stica da Medi?º?úo 5.9. Desvio padr?úo de opera?º?Áes matem?íticas Para uma soma ou diferen?ºa, o desvio padr?úo absoluto da opera?º?úo ?® a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padr?Áes absolutos individuais dos n??meros envolvidos na soma ou subtra?º?úo. Ou seja, na computa?º?úo de y = a(??s a ) + b(??s b ) ? c(??s c )

o desvio padr?úo do resultado ?® dado por: sy = s2 + s2 + s2 abc

Para a multiplica?º?úo e divis?úo, o desvio padr?úo relativa da opera?º?úo ?® a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desvios padr?úo relativos dos n??meros envolvidos na multiplica?º?úo e divis?úo. Ou seja, na computa?º?úo de a?ùb y= c o desvio padr?úo relativo a y vale

s ?s ?2 ?s ?2 ?s ?2 y=?a?+?b?+?c? y ?a? ?b? ?c? 5.10.Coeficiente de varia?º?úo Define-se como desvio padr?úo relativo a divis?úo do desvio padr?úo absoluto pela m?®dia do conjunto de dados. O desvio padr?úo relativo ?® geralmente expresso em ppm (parte por mil), multiplicando-se esta rela?º?úo por 1000 ppm ou em percentagem, multiplicando-se a rela?º?úo por 100%. O coeficiente de varia?º?úo (CV) ?® definido como o desvio padr?úo relativo multiplicado por 100%: Como o valor m?®dio est?í no denominador, n?úo de pode usar o coeficiente de varia?º?úo quando o valor m?®dio se aproxima de zero.

desvio padr?úo CV (%) = ?ù 100% valor m?®dio ? CV = ?ù 100% , para toda a popula?º?úo ?Á s CV = ?ù 100% , para uma amostra x

O coeficiente de varia?º?úo ?® mais conveniente que o desvio padr?úo absoluto para medir a dispers?úo relativa de um conjunto de medi?º?Áes. Quando se quer comparar a varia?º?úo de dois conjuntos separados de dados onde as unidades de medi?º?úo n?úo s?úo as mesmas ou quando as unidade s?úo as Por exemplo, se uma amostra contem cerca de 50 mg de cobre e o desvio padr?úo ?® de 2 mg, o coeficiente de varia?º?úo (CV) para esta Para uma amostra contendo 10 mg, o CV ?® de 20%.

5.11. Desvio Padr?úo Das M?®dias Os n??meros calculados da distribui?º?úo da percentagem se referem ao erro prov?ível de uma ??nica medi?º?úo. Quando se fazem n s?®ries de medi?º?Áes replicadas, cada uma com N dados, e acham-se as m?®dias de cada conjunto, estas m?®dias tamb?®m se espalham em torno de um valor m?®dio e este espalhamento pode tamb?®m ser expresso por um desvio padr?úo, chamado de desvio padr?úo O desvio padr?úo da m?®dia de cada conjunto ?® chamado de erro padr?úo da m?®dia e ?® inversamente proporcional ?á raiz quadrada do n??mero de s?®ries replicadas de medi?º?Áes com N dados (N ? 20).

? ?= n De um modo an?ílogo, tem-se para uma n amostras com N dados (N ? 20),

s s= n O desvio padr?úo das m?®dias ?® uma melhor estimativa da incerteza interna e ?® chamado Pode-se notar que a distribui?º?úo normal das medi?º?Áes de uma amostra tem menor precis?úo que a correspondente distribui?º?úo normal da amostra das m?®dias da popula?º?úo. A distribui?º?úo normal das m?®dias tem um formato mais estreito e um pico maior que a distribui?º?úo normal de uma amostra.

Estat?¡stica da Medi?º?úo Fig. 2.3. Desvio padr?úo das m?®dias Deve-se ter o cuidado para n?úo confundir os n??meros envolvidos. ?ë poss?¡vel ter um conjunto com N dados (base de c?ílculo do desvio padr?úo do universo), N ?(xi??Á)2 ? = i=1 N dos quais se tira uma amostra com k dados (base de c?ílculo do desvio padr?úo da amostra)

k ?(xi?x)2 s = i=1 (k ? 1) e se tira a m?®dia de um n conjuntos de dados (base de c?ílculo para o desvio padr?úo das n m?®dias).

s s= n 5.12. Vari?óncia A vari?óncia (V) ?® simplesmente o quadrado do desvio padr?úo (s2). A vari?óncia tamb?®m mostra a dispers?úo das medi?º?Áes aleat??rias A unidade da vari?óncia ?® o quadrado da A vari?óncia (s2) ?® definida para popula?º?úo muito grande (essencialmente infinita) de Tem-se n ?(xi ? x)2 ? 2 = i=1 n para grandes popula?º?Áes (n > 20) e onde n ?® o Tem-se, para pequenas popula?º?Áes (n < 20) n ?(x ? x)2 i s 2 = i=1 (n ? 1) Enquanto a unidade do desvio padr?úo ?® a mesma dos dados, a vari?óncia tem a unidade dos dados ao quadrado. Mesmo com esta desvantagem, a vari?óncia possui as seguintes vantagens: 1. ela ?® aditiva, 2. ela n?úo tem os problemas associados com os sinais alg?®bricos dos erros, 3. ela emprega todos os valores dos dados e ?® sens?¡vel a qualquer varia?º?úo no valor de qualquer dado, 4. ela ?® independente do ponto central ou do valor m?®dio, por que ela usa os desvios em rela?º?úo ao valor m?®dio, Exemplo Sejam os dados obtidos de uma an?ílise: Tab. 2.9. Dados da an?ílise qu?¡mica xi ppm Fe xi ? x ( xi ? x )2 x1 19,4 0,38 0,1444 x2 19,5 0,28 0,0784 x3 19,6 0,18 0,0324 x4 19,8 0,02 0,0004 x5 20,1 0,32 0,1024 x6 20,3 0,52 0,2704 Efetuando-se os c?ílculos, chega-se a ? xi = 118,7

?(xi?x)2=0,6284 M?®dia x = 118,7/6 = 19,78 ppm Fe Desvio padr?úo s = xi

Vari?óncia s2 = 0,352 = 0,13 (ppm Fe)2 Desvio padr?úo relativo 0,354 xi = ?ù 1000 = 17,9 ? 18 ppt 19,78 Coeficiente de varia?º?úo 0,354 xi = ?ù 100% = 1,79 ? 1,8% 19,78 Erro absoluto Assumindo que o valor verdadeiro da amostra seja de 10,00 ppm Fe: 19,78 - 20,00 = 0,011 ppm Fe Erro relativo 19,78 ? 20,00 ?ù 100% = -1,1% 20,00

Estat?¡stica da Medi?º?úo 6. Distribui?º?Áes dos dados 6.1. Introdu?º?úo A determina?º?úo de probabilidades associadas com eventos complexos pode ser simplificada com a constru?º?úo de modelos matem?íticos que descrevam a situa?º?úo Estes modelos s?úo a distribui?º?úo da probabilidade ou fun?º?úo probabilidade. A distribui?º?úo da probabilidade pode ser calculada a partir de dados de amostra retirada Por causa de suas caracter?¡sticas, a distribui?º?úo da probabilidade est?í relacionada com as distribui?º?Áes de freq???¬ncia. Por?®m, na distribui?º?úo de freq???¬ncia, as freq???¬ncias s?úo n??meros observados de eventos ocorridos e na distribui?º?úo da probabilidade, a freq???¬ncia ?® derivada da probabilidade de eventos que podem ocorrer.

6.2. Par?ómetros da Distribui?º?úo A distribui?º?úo das freq???¬ncias mostra os dados em formas e formatos comuns. Os n??meros tem uma tend?¬ncia de se agrupar e mostrar padr?Áes semelhantes. Estes padr?Áes Na an?ílise dos dados de uma distribui?º?úo de freq???¬ncias h?í quatro par?ómetros importantes: tend?¬ncia central, dispers?úo, assimetria e kurtosis Tend?¬ncia central A tend?¬ncia central ?® a caracter?¡stica que localiza o meio da distribui?º?úo. A tend?¬ncia central natural ?® a m?®dia dos pontos. As curvas podem ter diferentes simetrias e dispers?Áes, mas a mesma tend?¬ncia central. Tamb?®m, pode-se ter curvas com a mesma simetria e mesma dispers?úo, mas com diferente Dispers?úo Dispers?úo ?® a caracter?¡stica que indica o grau de espalhamento dos dados. A dispers?úo Assimetria (Skewness) Skewness ?® a caracter?¡stica que indica o grau de distor?º?úo em uma curva sim?®trica ou o grau de assimetria. Uma curva sim?®trica possui os lados direito e esquerdo da lei de centro iguais. Os dois lados de uma curva sim?®trica s?úo imagens espelhadas de cada lado. Uma curva se distorce para a direita quando a maioria dos valores est?úo agrupados no lado direito da distribui?º?úo.

Curtose (Kurtosis) A curtose (kurtosis) ?® a caracter?¡stica que descreve o pico em uma distribui?º?úo. ?ë uma medida relativa para comparar o pico de duas distribui?º?Áes. Uma maior curtose significa um pico maior de freq???¬ncia relativa, n?úo maior H?í tr?¬s classes de curtose: platic??rtica (curva plana e esparramada), leptoc??rtica (curva com pico estreito e alto) e mesoc??rtica (intermedi?íria entre as duas outras).

6.3. Tipos de distribui?º?Áes H?í tr?¬s distribui?º?Áes de probabilidade usadas: 1. binomial 2. retangular Distribui?º?úo Binomial A distribui?º?úo binomial se refere a vari?íveis discretas e se aplica, principalmente, ?á contagem de eventos, onde as duas sa?¡das poss?¡veis podem ser sucesso ou falha, pe?ºa Sendo n o n??mero de tentativas, p a probabilidade de sucesso em cada tentativa, q a probabilidade de falha em cada tentativa, P(x) a probabilidade de se obter x sucessos, P(x) = Cnx (px )(qn?x )

onde n! Cn = x x!(n ? x)! Cnx ?® a combina?º?úo de n elementos tomados x vezes n! ?® o fatorial de n, n! = n.(n-1)(n-2)...3.2.1 Para evitar os enfadonhos c?ílculos, principalmente quando n for grande, pode-se usar tabelas dispon?¡veis na literatura t?®cnica, Distribui?º?úo Retangular Na distribui?º?úo retangular os valores poss?¡veis s?úo igualmente prov?íveis. Uma vari?ível aleat??ria que assume cada um dos n valores, x1, x2, ...,xn com igual probabilidade de Em metrologia, os erros sistem?íticos possuem distribui?º?úo retangular de probabilidade. Para qualquer valor da medi?º?úo, ele ?® constante.

Estat?¡stica da Medi?º?úo 1/A A Fig. 2.4. Distribui?º?úo retangular 6.4. Distribui?º?úo normal ou de Gauss Conceito A distribui?º?úo normal ?® uma distribui?º?úo cont?¡nua de probabilidade, fundamental para a infer?¬ncia estat?¡stica e an?ílise de dados. Sua import?óncia vem dos seguintes fatos: 1. muitos fen??menos f?¡sicos e muitos conjuntos de dados seguem uma distribui?º?úo normal. Por exemplo, as distribui?º?Áes de freq???¬ncia de alturas, pesos, leituras de instrumentos, desvios em torno de valores estabelecidos 2. pode-se mostrar que v?írias estat?¡sticas de amostras (como a m?®dia) seguem a distribui?º?úo normal, mesmo que a popula?º?úo de onde foram tiradas as 3. mesmo a distribui?º?úo binomial tende para a distribui?º?úo normal, quando o n??mero de dados aumenta muito. E os c?ílculos relacionados com a distribui?º?úo binomial s?úo muito mais complexos que 4. a distribui?º?úo normal possui propriedades matem?íticas precisas e id?¬nticas para todas as distribui?º?Áes normais.

Fig. 2.5. Distribui?º?úo normal ou de Gauss Rela?º?úo matem?ítica Quando se tem uma vari?ível continua, a fun?º?úo distribui?º?úo normal ou fun?º?úo de Gauss tem a seguinte express?úo matem?ítica, envolvendo os n??meros naturais 2, ? e exponencial de e: 1 ? 1?x??Á? ? 2 F(x) = exp?? ? ? ? ? 2? ? 2 ? ? ? ?? ?

A express?úo matem?ítica para uma amostra pequena, tem-se: ? ? ? ?2? 1 1xx F(x) = exp?? ? ? ? s 2? ? 2 ? s ? ? ??

Quando a vari?ível for discreta, pode-se construir a curva a partir dos dados. No eixo x, colocam-se os valores dos dados divididos em classes e no eixo y, o n??mero de vezes que aparecem os dados. Quando o n??mero de dados ?® muito grande (tendendo para infinito) e sujeito somente ?ás varia?º?Áes aleat??rias, os dados produzidos caem dentro da curva de distribui?º?úo normal. Os erros aleat??rios de uma medi?º?úo formam uma distribui?º?úo normal por que eles resultam da superposi?º?úo m??tua de uma grande quantidade de pequenos erros independentes que n?úo podem ser Caracter?¡sticas O formato de uma curva de distribui?º?úo de probabilidade normal ?® sim?®trico e como um sino. A curva de distribui?º?úo deve ter as seguintes caracter?¡sticas: 1. sim?®trica em rela?º?úo ?á m?®dia, indicando que os erros negativos de determinado valor s?úo igualmente freq??entes quanto os 2. formato mostrando que ocorreram muitos desvios pequenos e poucos desvios grandes, 3. valor de pico m?íximo igual ao valor 4. pontos de inflex?úo da curva s?úo x = x ?? ? 5. por causa da simetria da curva, a mediana ?® igual ?á m?®dia e como a m?®dia ocorre no pico da densidade de probabilidade, ele tamb?®m representa a moda. Tem-se m?®dia 7. quando normalizada, a ?írea total sob a curva ?® igual a 1 englobando 100% dos 8. para o mesmo valor m?®dio, a distribui?º?úo tem um pico estreito para pequenos valores do desvio padr?úo e ?® larga para grandes valores do desvio padr?úo. Como a ?írea ?® sempre igual a 1, quando o formato 9. a equa?º?úo do valor m?íximo da densidade de probabilidade vale:

Estat?¡stica da Medi?º?úo {p(x)} = 1 = 0,399 max 2?? ?

10. a probabilidade que o valor m?®dio x fique entre um intervalo de x1 e x2 ?® a ?írea Aplica?º?Áes Pode-se determinar a probabilidade de as medi?º?Áes replicadas ca?¡rem dentro de determinada faixa em torno da m?®dia. Esta probabilidade serve como medida da confiabilidade da medi?º?úo em rela?º?úo aos erros aleat??rios. Os limites de confian?ºa servem para definir a faixa do erro aleat??rio da Para estabelecer se os erros aleat??rios ou desvios se aproximam da distribui?º?úo de Estes testes fornecem meios para 1. detectar se as diferen?ºas entre os conjuntos de medi?º?Áes s?úo devidas a uma raz?úo real (sistem?ítica) ou aleat??ria, 2. detectar uma chance em um caracter?¡stica de distribui?º?úo, 3. avaliar as diferentes medi?º?Áes, distinguindo as mais e menos confi?íveis, 4. distinguir os erros dependentes e ?ürea Sob a Curva de Erro Normal A ?írea total sob a curva de distribui?º?úo normal ?® 1, entre os limites -? e +? pois todos os resultados caem dentro dela. Independente de sua largura, tem-se 68,3% da ?írea sob a curva do erro normal fica dentro de um desvio padr?úo (???) a partir da m?®dia. Ou seja, 68,3% dos dados que formam a popula?º?úo ficam dentro destes limites. Do mesmo modo, 95,5% de todos os dados caem dentro dos limites de ??2? da m?®dia e 99,7% caem dentro de ??3?.

Tab. 2.10 Limites para grandes popula?º?Áes Limites Percentagem Probabilidade ??0,67? 50,0 0,500 ??1,00? 68,3 0,683 ??1,29? 80,0 0,800 ??1,64? 90,0 0,900 ??1,96? 95,0 0,950 ??2,00? 95,4 0,954 ??2,58? 99,0 0,990 ??3,00? 99,7 0,997

Por causa destas rela?º?Áes de ?írea, o desvio padr?úo de uma popula?º?úo de dados ?® um ferramenta ??til de previs?úo. Por exemplo, pode- se dizer h?í uma probabilidade de 68,3% que a incerteza de qualquer medi?º?úo isolada n?úo seja maior que ??1?. Do mesmo modo, a chance ?® de 95,5% que o erro seja menor que ??2?.

Fig.2. 6. Limites da distribui?º?úo Distribui?º?úo Normal, Precis?úo e Exatid?úo A an?ílise do formato da curva de distribui?º?úo normal das medi?º?Áes pode mostrar a distin?º?úo entre exatid?úo e precis?úo. As medi?º?Áes de um instrumento muito preciso, quando pilotadas, d?úo uma curva de distribui?º?úo estreita e com o pico grande. As medi?º?Áes de um instrumento pouco preciso d?úo uma curva de distribui?º?úo larga e com o pico pequeno. Quando a largura aumenta, o valor do pico deve diminuir, porque a ?írea sob As medi?º?Áes muito exatas de um instrumento, quando pilotadas, d?úo uma curva de distribui?º?úo com o valor m?®dio pr??ximo do melhor valor estimado. Ou seja, a soma dos quadrados dos desvios dos dados de seus valores estimados ?® m?¡nimo (princ?¡pio dos m?¡nimos quadrados). Quando as medi?º?Áes s?úo pouco exatas, a sua curva de distribui?º?úo tem o Ou seja, a soma dos quadrados dos desvios dos dados de seus valores estimados ?® maior Deste modo ?® poss?¡vel ter quatro combina?º?Áes de boa, ruim, precis?úo e As medi?º?Áes s?úo muito exatas e o instrumento ?® muito preciso quando a curva ?® estreita, o pico ?® elevado e o valor m?®dio ?® igual (ou pr??ximo) do valor verdadeiro.

Estat?¡stica da Medi?º?úo N?úo preciso e n?úo exato N?úo preciso e exato Fig.2. 7. ÔÇô Exatid?úo

As medi?º?Áes s?úo pouco exatas e o instrumento ?® muito preciso quando a curva ?® estreita, o pico ?® elevado e o valor m?®dio ?® As medi?º?Áes s?úo muito exatas e o instrumento ?® pouco preciso quando a curva ?® larga, o pico ?® baixo e o valor m?®dio ?® igual (ou As medi?º?Áes s?úo pouco exatas e o instrumento ?® pouco preciso quando a curva ?® larga, o pico ?® baixo e o valor m?®dio ?® distante do valor verdadeiro.

Preciso e n?úo exato Preciso e exato Fig.2. 8. Precis?úo Distribui?º?úo Normal e Erro Prov?ível Se um conjunto aleat??rio de erros em torno de um valor m?®dio ?® examinado, acha-se que sua freq???¬ncia de ocorr?¬ncia relativa ao seu tamanho ?® descrita por uma curva conhecida Gauss foi o primeiro a descobrir a rela?º?úo expressa por esta curva. Ela mostra que a ocorr?¬ncia de pequenas desvios aleat??rios da m?®dia s?úo muito mais prov?íveis que grandes desvios. Ela tamb?®m mostra que estes grandes O desvio padr?úo de uma distribui?º?úo normal 1. mede o espalhamento da medi?º?úo em uma dada entrada 2. tem a mesma unidade da medi?º?úo 3. ?® a raiz quadrada da m?®dia da soma dos quadrados dos desvios de todas as medi?º?Áes poss?¡veis da m?®dia aritm?®tica verdadeira.

A curva tamb?®m indica que os erros aleat??rios s?úo igualmente prov?íveis serem positivos e negativos. Quando se usa o desvio padr?úo para medir o erro, pode-se usar a curva para determinar qual a probabilidade de um erro ser maior ou menor que um certo valor ? Pode-se calcular o erro prov?ível quando se tem apenas uma medi?º?úo. Como o erro aleat??rio pode ser positivo ou negativo, um erro maior que 0,675? ?® prov?ível em 50% das observa?º?Áes. Assim, o erro prov?ível de uma medi?º?úo ?® e = ?? 0,675 ? Assim, uma medi?º?úo possui tr?¬s partes: 1. um valor indicado 2. uma margem de incerteza ou erro ou toler?óncia, que ?® o intervalo de confian?ºa, expresso em ??n?, onde n ?® uma constante e ? ?® o desvio padr?úo 3. uma probabilidade, que ?® a indica?º?úo da confian?ºa que se tem quanto ao erro real estar dentro da margem de incerteza escolhida; p. ex., 99,73% quando se Distribui?º?úo Normal Padr?úo Existe uma infinidade de curvas e fun?º?Áes distribui?º?úo normal, diferentes de acordo com o valor da m?®dia central (?Á) e do desvio padr?úo (?). O desvio padr?úo para a popula?º?úo que produz a curva mais larga e com menor pico (B) ?® o dobro do desvio padr?úo da curva mais estreita com o pico maior (A). O eixo dos x das curvas ?® em afastamento da m?®dia em Plotando as mesmas curvas, por?®m usando como abscissa o desvio da m?®dia em m??ltiplos de desvio padr?úo [(x-?Á)/?] obt?®m-se uma curva Qualquer distribui?º?úo normal pode ser transformada em uma forma padr?úo. Para fazer isso, a vari?ível x ?® expressa como o desvio de sua m?®dia ?Á e dividida por seu desvio padr?úo ?, ou seja, muda-se a vari?ível x para outra vari?ível z dada por: x??Á z= ? Para uma amostra da popula?º?úo, tem-se x?x z? s A vari?ível z ?® o desvio da m?®dia dado em unidades de desvio padr?úo. Assim, quando

Estat?¡stica da Medi?º?úo Quando (x - ?Á) = 2?, z ?® igual a dois desvios Quando se tem uma particular destrui?º?úo normal de uma vari?ível aleat??ria x, com uma dada m?®dia (?Á) e desvio padr?úo (?), achar a probabilidade de x cair dentro de um determinado intervalo ?® equivalente a encontrar Por?®m, pode-se achar diretamente esta ?írea A curva da distribui?º?úo normal padr?úo apresenta as seguintes propriedades: 1. A m?®dia ocorre no ponto central de 2. H?í uma distribui?º?úo sim?®trica de desvios 3. H?í uma diminui?º?úo exponencial na freq???¬ncia quando o valor dos desvios aumenta, de modo que pequenas incertezas s?úo observadas muito mais freq??entemente A estat?¡stica z ?® normalizada e sua express?úo matem?ítica vale

z2 ?? ? F(z) = 2 e?? 2 ? ?? 2? 7. Intervalos Estat?¡sticos O valor exato da m?®dia de uma popula?º?úo de dados, ?Á, nunca pode ser determinado exatamente por que tal determina?º?úo requer um n??mero infinito de medi?º?Áes. O que se faz ?® tirar uma amostra significativa da popula?º?úo, com n dados (n > 20) e achar a m?®dia aritm?®tica dos dados desta amostra, ?Á. Na pr?ítica, usa-se uma amostra com (n < 20) e tem-se a m?®dia x . Nesta situa?º?úo, a teoria estat?¡stica permite estabelecer limites em torno da m?®dia da amostra, x , e garantir que a m?®dia da popula?º?úo, ?Á, caia dentro destes Estes limites s?úo chamados de limites de confian?ºa e o intervalo que eles definem ?® conhecido como o intervalo de confian?ºa. Estes limites s?úo determinados multiplicando-se o desvio padr?úo dispon?¡vel (da popula?º?úo ou da amostra) por um fator de cobertura, f, que est?í Os limites de confian?ºa definem um intervalo em torno da m?®dia da amostra que provavelmente contem a m?®dia da popula?º?úo total.

7.1. Intervalo com n grande (n > 20) Quando se tem n > 20, a m?®dia das medi?º?Áes ?® ?Á e o desvio padr?úo ?® ?. A medi?º?úo pode ser reportada como: x = ?Á ?? f? (P%) onde x ?® o valor da medi?º?úo x ?® o valor m?®dio das n medi?º?Áes f ?® o fator de cobertura associado a P% ? ?® o desvio padr?úo da popula?º?úo P% ?® a probabilidade Pode-se dizer, com uma probabilidade de acerto de P% que a medi?º?úo x se encontra entre os limites: ?Á- f? < x < ?Á + f? Por exemplo, para uma probabilidade de 95%, o fator de cobertura ?® 2. Isto significa que quando se tem uma medi?º?úo com n replica?º?Áes, (n > 20) com desvio padr?úo ? e m?®dia ?Á, ent?úo a medi?º?úo x pode ser reportada como x = ?Á ?? 2? (95%) ou ?Á – 2? < x < ?Á + 2? (95%)

7.2. Intervalo com n pequeno (n < 20) Quando a amostra tem um n??mero pequeno de dados, n < 20, a m?®dia ?Á se torna x , o desvio padr?úo ? se torna s, torna-se s. As equa?º?Áes passam para x = x ?? fs (P%) ou x - fs < x < x + fs

Para o exemplo de probabilidade de 95%, para a amostra (n ? 20) com m?®dia x , a medi?º?úo pode ser reportada como x = x ?? 2s (95%) x - 2s < x < x + 2s (95%)

7.3. Intervalo com n pequeno (n < 10) Popula?º?Áes com n muito grande (n > 20) requerem muito tempo para a computa?º?úo de

Estat?¡stica da Medi?º?úo seus par?ómetros e h?í uma grande probabilidade de enganos nos c?ílculos. ?ë mais pratico e r?ípido trabalhar com popula?º?Áes com n??mero pequeno de dados (n < 10), por exemplo 5 medi?º?Áes. Foram desenvolvidos m?®todos cient?¡ficos para tornar m?¡nimos os erros quando se manipulam amostras com Neste caso, o desvio padr?úo aumenta, pois ele ?® inversamente proporcional a n, e tamb?®m a incerteza aumenta. Agora, o fator de cobertura ?® dado pelo t do Student, que ?® x = x ?? ts ou x - ts < x < x + ts (P%)

t obtido de uma tabela que relaciona o seu valor, a probabilidade associada e o n??mero de O par?ómetro estat?¡stico t ?® chamado de t do Student, por que Student foi o pseud??nimo usado por W. S. Gosset, quando ele escreveu o artigo cl?íssico, t, que apareceu na revista Biometrika, 1908, Vol. 6, Nr. 1. Gosset era empregado da Guinness Brewery e sua fun?º?úo era analisar estatisticamente os resultados da an?ílise de seus produtos. Com o resultado de seu trabalho, ele descobriu o famoso tratamento estat?¡stico de pequenos conjuntos de dados. Para evitar problemas com segredos profissionais, Gosset publicou o papel sob o A distribui?º?úo t-Student tem formato semelhante ao da distribui?º?úo normal, exceto que ?® mais achatada e se espalha mais O teste t permite descobrir se toda a variabilidade em um conjunto de medi?º?Áes Os valores de t caem muito rapidamente no in?¡cio e depois caem lentamente. Aumentar o n??mero de replica?º?Áes da medi?º?úo custa tempo e nem sempre o ganho ?® significativo. O n??mero compromisso sugere tr?¬s a quatro replica?º?Áes Tab. 2.11. Tabela Resumida de t ? t50 t90 t95 t99 1 1,00 6,31 12,71 63,66 2 0,82 2,92 4,30 9,92 3 0,76 2,35 3,18 5,84 4 0,74 2,13 2,78 4,60 5 0,73 2,02 2,57 4,03 6 0,72 1,94 2,45 3,71 7 0,71 1,90 2,36 3,50 8 0,71 1,86 2,31 3,36 9 0,70 1,83 2,26 3,25 10 0,70 1,81 2,23 3,17 15 0,69 1,75 2,13 2,95 20 0,69 1,72 2,09 2,84 30 0,68 1,70 2,04 2,75 60 0,68 1,67 2,00 2,66 ? 0,68 1,64 1,96 2,58 ? = (n-1), grau de liberdade ? = (1 - intervalo de confian?ºa) onde tP ?® o coeficiente de confian?ºa, obtido de tabelas, a partir do grau de liberdade (?) e da O grau de liberdade (?) ?® dado por n-1, onde n ?® o n??mero de dados da amostra e a Por exemplo, para 5 replica?º?Áes (grau de liberdade 4), probabilidade de 95%, t vale 2,78 (Tab. 2.11) e se tem 2,78 s < x < 2,78 s 7.4. Intervalo para v?írias amostras Quando se tem n conjuntos de amostras com N dados (N ? 20), ent?úo se obt?®m o desvio padr?úo das m?®dias ( s ) e o fator de x cobertura pode ser menor, porque o desvio padr?úo das m?®dias das amostras ?® mais confi?ível que o desvio de apenas uma amostra. Neste caso, divide-se o fator de cobertura, f, por n . Por exemplo, para probabilidade de P%, tem-se: ss x ? f x < x < x + f x (P%) nn Quando o n??mero de dados de cada amostra ?® pequeno, o fator de cobertura se torna o tP do Student e tem-se: s x = x ?? t P (P%) n

Estat?¡stica da Medi?º?úo Para o conjunto de medi?º?Áes abaixo, determinar: 1. m?®dia 2. desvio padr?úo estimado 3. desvio padr?úo relativo percentual 4. como os dados devem ser relatados para um n?¡vel de 99% de confian?ºa?

Medi?º?Áes Media Desvio 46,25 46,32 -0,07 46,40 46,32 +0,08 46,36 46,32 +0,04 46,28 46,32 -0,04 Respostas 1. M?®dia 46,25 + 46,40 + 46,36 + 46,28 x= 4

2. Desvio padr?úo estimado s = 0,0695 3. Coeficiente de varia?º?úo 0,0695 CV = ?ù 100% = 0,15% 46,32 4. Probabilidade de 99%, tem-se ? = 0,01 Grau de liberdade (4-1) = 3 Da tabela, tem-se t = 5,84 Ent?úo o melhor valor da m?®dia ?® 5,4 ?ù 0,0695 46,32 ?? = 46,32 ?? 0,20 4

8. Conformidade das Medi?º?Áes 8.1. Introdu?º?úo Mesmo com m?®todos v?ílidos, instrumentos calibrados e procedimentos cuidadosos, ainda h?í erros aleat??rios e longe da m?®dia. N?úo s?úo Um dado com erro grosseiro ?® marginal (outlier). Quando se encontra um erro marginal, deve-se: 1. retira-lo do conjunto de dados 2. identifica-lo 3. dar raz?Áes para sua rejei?º?úo ou reten?º?úo, Quando um conjunto de dados contem um resultado marginal que difere excessivamente da m?®dia, a decis?úo que deve ser tomada ?® rejeitar ou reter o dado. A escolha do crit?®rio para rejeitar um resultado suspeito tem seus perigos. Se estabelece uma norma rigorosa que torna a rejei?º?úo dif?¡cil, corre-se o risco de reter resultados que s?úo esp??rios e tem um efeito indevido na m?®dia. Se estabelecem limites indulgentes na precis?úo e torna f?ícil a rejei?º?úo, provavelmente se jogar?í fora medi?º?Áes que certamente pertencem ao conjunto, introduzindo um erro sistem?ítico aos dados. Infelizmente, n?úo existe uma regra para definir a reten?º?úo ou rejei?º?úo do dado.

Fig. 2.9. Pontos suspeitos ou outliers 8.2. Teste Q No teste Q, o valor absoluto (sem considerar o sinal) da diferen?ºa entre o resultado question?ível e seu vizinho mais pr??ximo ?® dividido pela largura de espalhamento do conjunto inteiro d?í a quantidade Qexp xq?xn Q exp = w

Se Qexp > Qcrit, rejeite o dado Se Qexp < Qcrit, retenha o dado question?ível.

8.3. Teste do ?2 (qui quadrado) O teste de ?2 (l?¬-se qui quadrado) ?® usado para verificar se um fen??meno observado se comporta como um modelo esperado ou te??rico. Por exemplo, ele pode ser usado para comparar o desempenho de m?íquinas ou outros itens. A vida ??til de l?ómpadas, localiza?º?Áes da linha de centro de furos em

Estat?¡stica da Medi?º?úo placas, localiza?º?Áes de tiros de artilharia e miss?Áes de bombardeio seguem a distribui?º?úo Quando se obt?®m um conjunto de medi?º?Áes, assume-se que as medi?º?Áes s?úo uma amostra de alguma distribui?º?úo conhecida, por exemplo, a normal. Para comparar as diferentes partes da distribui?º?úo observada, subdividem-se os dados em um n??mero de n classes e determina-se a freq???¬ncia observada em cada classe. Depois, estima-se a freq???¬ncia esperada de cada classe, assumindo que a distribui?º?úo est?í de conformidade com a distribui?º?úo original, por exemplo, a normal, atrav?®s dos seguintes passos: 1. calcule o valor m?®dio e o desvio padr?úo, 2. para cada intervalo da classe, assuma uma vari?ível normal padr?úo zh e zl para os limites superior e inferior, respectivamente, 3. da tabela da distribui?º?úo normal, determine as probabilidades da fun?º?úo entre (0 e zh) e (0 e zl).Os valores dependem se ?® tomado apenas um lado ou os dois lados 4. a soma dos valores acima d?í a probabilidade no dado intervalo, se o limite superior estiver entre (0 e +?) e o limite inferior estiver entre (0 e -?) e vice-versa. A diferen?ºa dos valores acima d?í a probabilidade se os dois limites cairem ou entre (0 e +?) ou (0 e -?), 5. multiplique a probabilidade da distribui?º?úo em um dado intervalo de classe pelo n??mero total de observa?º?Áes para obter a freq???¬ncia esperada de ocorr?¬ncias da vari?ível neste intervalo, 6. como a soma das freq???¬ncias esperadas em todas as classes n?úo ?® necessariamente igual ao numero total de observa?º?Áes, pois os arredondamentos devidos ?á interpola?º?úo na tabela das probabilidades provocam pequenas diferen?ºas, usa-se um fator de corre?º?úo para fazer a soma das freq???¬ncias esperadas igual ao n??mero de 7. a partir das freq???¬ncias esperadas em v?írias classes, determina-se o par?ómetro ? 2 pela equa?º?úo

? 2 = ?n ( fe1 ? fo1 ) 2 (n-m) ? i=1 fei onde n ?® o n??mero de valores que s?úo somados para produzir o valor de ?2 m ?® o n??mero de constantes usadas no c?ílculo das freq???¬ncias esperadas fe1, fe2, …fen s?úo as n freq???¬ncias esperadas, fo1, fo2, …fon s?úo as n freq???¬ncias observadas Pode tamb?®m se falar de uma distribui?º?úo ? 2, definida como: ? (O ? E ) 2 ? ?? i i ? ? Ei ?? ?

onde Oi ?® a freq???¬ncia da ocorr?¬ncia observada no io intervalo de classe Ei ?® a freq???¬ncia da ocorr?¬ncia esperada no io intervalo de classe , baseada em uma O objetivo ?® determinar se as freq???¬ncias observadas e esperadas est?úo pr??ximas o suficiente para se concluir se elas s?úo provenientes de mesma distribui?º?úo de O numerador da express?úo de ?2 representa os quadrados dos desvios entre as freq???¬ncias esperadas e observadas nas n classes e ?® sempre positivo. Estes valores s?úo normalizados em cada classe, dividindo-os pela respectiva freq???¬ncia esperada de cada A mesma ordem de desvio nas freq???¬ncias esperadas e observadas causa relativamente maior contribui?º?úo no par?ómetro ?2 nas extremidades da curva dos dados normalmente distribu?¡dos, em compara?º?úo com os valores pr??ximos do valor m?®dio da curva. Isto ?® explicado pelo fato de os valores relativamente grandes das freq???¬ncias esperadas pr??ximas do valor m?®dio dos dados estarem no Para evitar que as contribui?º?Áes anormalmente grandes no par?ómetro ?2 quando as freq???¬ncias esperadas forem pequenas, deve-se reagrupar as v?írias classes, de modo que a freq???¬ncia esperada Se a distribui?º?úo da amostra est?í de conformidade com a distribui?º?úo te??rica assumida, deve-se ter ?2 = 0. Quanto maior o valor de ?2, maior ?® a discord?óncia entre a Quanto maior o valor de ?2, menor ?® a probabilidade que a distribui?º?úo observada satisfa?ºa a distribui?º?úo observada. Deste modo, o par?ómetro ?2 ?® muito ??til na an?ílise estat?¡stica dos dados, para avaliar a validade Para a aplica?º?úo do teste do ?2,

Estat?¡stica da Medi?º?úo 1. determine o valor de ?2 para os dados dispon?¡veis 2. determine os valores dos graus de liberdade F que ?® igual a (n – m), 3. determine a probabilidade de a medi?º?úo real estar de conformidade com a distribui?º?úo esperada a partir das tabelas de ?2 ou do Exemplo Os coeficientes de atrito entre o vidro e a madeira foram medidos no laborat??rio com uma t?®cnica livre de erros sistem?íticos. Os dados obtidos s?úo:

Tab. 2.13 – Coeficientes e freq???¬ncia Coeficiente Freq???¬ncia observada 0,44-0,46 3 0,46-0,48 10 0,48-0,50 12 0,50-0,52 16 0,52-0,54 10 0,54-0,56 6 0,56-0,58 3

Determinar se os valores dos coeficientes Solu?º?úo 1. Determina?º?úo do valor m?®dio e do desvio padr?úo: x = 0,51 s = 0,03062 2. Usando a tabela da Distribui?º?úo Normal, determinam-se as probabilidades entre os intervalos das diferentes classes.

Tab. 2.14 – Tabela de freq???¬ncias # Classe f z z P(z ) P(z ) P(?z) f oi l h l h ei 1 0,44-0,46 3 -2,178 -1,525 0,485 0,4364 0,0489 2,99 2 0,46-0,48 10 -1,525 -0,872 0,436 0,3084 0,1280 7,83 3 0,48-0,50 12 -0,872 -0,219 0,308 0,0864 0,2217 13,57 4 0,50-0,52 16 -0,219 0,434 0,086 0,1678 0,2545 15,57 5 0,52-0,54 10 0,434 1,088 0,167 0,3617 0,1939 11,87 6 0,54-0,56 6 1,088 1,741 0,361 0,4592 0,0975 5,97 7 0,56-0,58 3 1,741 2,394 0,459 0,4952 0,0360 2,20

Na tabela acima, as freq???¬ncias esperadas da primeira e ??ltima classe s?úo menores que 5 e por isso elas devem ser combinadas com as classes adjacentes para faz?¬-las maiores que 5 e obt?®m os seguintes c?ílculos: Tab. 2.15 – Freq???¬ncias # foi fei foi-fei (foi-fei) /fei 2 1 13 10,82 2,18 0,439 2 12 13,57 -1,57 0,182 3 16 15,57 0,43 0,012 4 10 11,87 -1,87 0,295 5 9 8,17 8,83 0,084 Total: 1,012 Obt?®m-se ?2 = 1,012 O n??mero de grau de liberdade F ?® No problema, o n??mero de termos que s?úo somados para dar ?2 ?® n = 5. O n??mero m ?® igual ao n??mero de quantidades obtidas das observa?º?Áes que s?úo usadas no c?ílculos das freq???¬ncias esperadas. No problema, m = 3, porque h?í tr?¬s quantidades: n??mero total de observa?º?Áes, o valor m?®dio e o desvio padr?úo dos dados que s?úo usados no c?ílculo das freq???¬ncias esperadas, ent?úo F = 5 – 3 = 2 Para 2 graus de liberdade, o valor de ?2 ao n?¡vel de 10% de probabilidade do ?2, da tabela, tem-se 4,605. Como o valor de ?2 = 1,012 n?úo ?® muito grande e como a probabilidade P(?2) = 0,62 (obtida da curva onde ?2 =1,012 e F = 2) est?í entre 0,1 e 0,9, resulta que os dados devem ser aceitos ou que os dados est?úo conforme a distribui?º?úo normal.

8.4. Teste de Chauvenet O teste de Chauvenet estabelece que uma leitura pode ser rejeitada se a probabilidade de se obter um desvio particular da m?®dia ?® menor A tabela d?í o valor do desvio do ponto para m?®dia que deve ser excedido para rejeitar este ponto. Assim que todos os pontos esp??rios s?úo rejeitados, calcula-se uma nova m?®dia e um novo desvio padr?úo para a amostra.

Tab. 2.16. Rejei?º?úo de esp??rios pelo crit?®rio de Chauvenet Observa?º?Áes dmax/? 2 1,15 3 1,38 4 1,54 5 1,65 6 1,73 7 1,80 10 1,96 15 2,13 25 2,33 50 2,57 100 2,81 dmax ?® o desvio m?íximo aceit?ível ? desvio padr?úo da popula?º?úo

Estat?¡stica da Medi?º?úo 8.5. Outros Testes Existem v?írios outros testes estat?¡sticos para fornecer crit?®rios para rejei?º?úo ou reten?º?úo de outliers. Como o teste Q, estes outros tamb?®m assumem que a distribui?º?úo Infelizmente, esta condi?º?úo n?úo pode ser aprovada ou reprovada para amostras que tenham muito menos que 50 resultados. As regras estat?¡sticas que s?úo confi?íveis para distribui?º?úo normal de dados devem ser usados com extremo cuidado, quando A aplica?º?úo cega de testes estat?¡sticos para determinar a rejei?º?úo ou reten?º?úo de uma medi?º?úo suspeita em um pequeno conjunto de dados n?úo ?® provavelmente mais confi?ível do que uma decis?úo arbitr?íria. A aplica?º?úo de bom julgamento baseado na experi?¬ncia e conhecimento do processo envolvido ?® um enfoque v?ílido. Enfim, a ??nica raz?úo v?ílida para rejeitar um resultado de um pequeno conjunto de dados ?® a certeza que foi cometido um erro no processo da medi?º?úo. Deve-se ter cautela para rejeitar um dado, por qualquer raz?úo.

8.6. Conformidade (goodness of fit) Os crit?®rios estat?¡sticos para verificar se um conjunto de dados est?í de conformidade com as distribui?º?Áes te??ricas assumidas s?úo: 1. se os valores de probabilidade no teste ? 2 caem entre 0,1 e 0,9, ent?úo a distribui?º?úo observada segue a distribui?º?úo assumida, ou seja, n?úo h?í raz?úo de duvidar da hip??tese. Em certos casos, o limite inferior da probabilidade ? 2, chamado de n?¡vel de signific?óncia, 2. se o valor da probabilidade no teste ?2 est?í abaixo do limite inferior prescrito, ent?úo o resultado ?® significante e os dados da amostra s?úo considerados inteiramente diferentes da distribui?º?úo assumida. Neste caso, o par?ómetro ?2 ?® 3. Se o valor de ?2 ?® muito pequeno e pr??ximo de zero, ent?úo a probabilidade Embora isso seja dif?¡cil de se encontrar, na pr?ítica, quando ocorrer, os dados s?úo considerados suspeitosamente bons.

8.7. N?úo-Conformidades As recomenda?º?Áes para o tratamento de um pequeno conjunto de resultados que contem um valor suspeito s?úo: 1. Reexaminar cuidadosamente todos os dados relacionados com o outlier para ver se um erro grosseiro afetou seu 2. Se poss?¡vel, estimar a precis?úo que pode ser razoavelmente esperada para estar seguro que o resultado suspeito 3. Repetir a an?ílise, se for poss?¡vel. A concord?óncia ou discord?óncia entre o dado novo e o original suspeito serve 4. Se n?úo se tem nenhum dado adicional, aplicar o teste Q ao conjunto existente para ver se o resultado duvidoso deve ser retido ou rejeitado em base 5. Se o teste estat?¡stico indicar a reten?º?úo, considerar a mediana no lugar da m?®dia do conjunto. A mediana tem a grande virtude de permitir a inclus?úo de todos os dados em um conjunto sem influ?¬ncia indevida de um valor suspeito.

Apostilas\Metrologia 2Estat?¡stica.DOC 24 SET 98 (Substitui 01 ABR 98)

Objetivos de Ensino 1. Conceituar as quantidades f?¡sicas quanto a energia e propriedades: intensivas ou extensivas, vari?íveis ou constantes, continuas ou discretas, mec?ónicas ou el?®tricas, 2. Apresentar os conceitos e nota?º?úo da fun?º?úo e da correla?º?úo. Mostrar a fun?º?úo linear. 3. Listar as sete quantidades f?¡sicas de base e as duas complementares, mostrando seus 4. Listar as quantidades f?¡sicas derivadas mais comumente encontrada na Engenharia, de natureza mec?ónica, el?®trica, qu?¡mica e de instrumenta?º?úo, mostrando seus conceitos, unidades, padr?Áes e realiza?º?úo f?¡sica.

1. Quantidade F?¡sica 1.1. Conceito Quantidade ?® qualquer coisa que possa ser expressa por um valor num?®rico e uma unidade de engenharia. Como exemplos, 1. massa ?® uma quantidade f?¡sica expressa 2. velocidade ?® uma quantidade f?¡sica expressa em metros por segundo e 3. densidade relativa ?® uma quantidade O c?¡rculo n?úo ?® uma quantidade f?¡sica, pois ?® caracterizado por uma certa forma geom?®trica que n?úo pode ser expressa por Porem, a sua ?írea ?® uma quantidade f?¡sica que ex., ?, 5) e uma unidade (p. ex., metro Muitas no?º?Áes que antes eram consideradas somente sob o aspecto qualitativo foram recentemente transferidas para a classe de quantidade, como efici?¬ncia, informa?º?úo e probabilidade.

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