Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Denis G. Zill) -Part2

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1 galhnin mezcla, 3 gal/min Secci??n 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 111

mezcla, 5 gal/min A loo gal Ll- 7- iY – mezcla, mezcla, 1 gal/min 4 gal/min

B 100 gal FIGURA 3.28 10. Dos tanques, A y B, contienen 1 OO galones de salmuera cada uno al principio del proceso. El l?¡quido, bien agitado, pasa entre ambos como muestra la figura 3.28. Con la informaci??n de la figura, formule un modelo matem?ítico para el n??mero de libras de sal XI y ~2, en los tanques A y B, respectivamente, en cualquier momento.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homog?®neas 4.1.3 Ecuaciones no homog?®neas 4.2 Reducci??n de orden 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 4.6 Variaci??n de par?ímetros 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Euler 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 4.9 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del cap?¡tulo examinaremos algo de la teor?¡a y m?®todos para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la secci??n 4.8 presentamos el m?®todo de eliminaci??n, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porque es un m?®todo b?ísico, que simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable depen- diente. El cap?¡tulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior.

Sxci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones heales 1 1 3

TEOR?¡A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales n Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera n Ecuaciones diferenciales homog?®neas y no homog?®neas n Operador diferencial lineal H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones H Principios de superposici??n n Soluci??n general n Funci??n complementaria n Soluci??n particular 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera Problema de valores iniciales En la secci??n 1.2 definimos qu?® es un problema de valores iniciales para una ecuaci??n diferencial general de orden n. Para una ecuaci??n diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es

Sujeta f.7: y(n) = yo, y'(x0) = yl, . . ., y(ÔÇ£-`)XO = y,-1. (1)

Recu?®rdese que, para un problema como ?®ste, se busca una funci??n definida en alg??n intervalo I que contenga a XO, y satisfaga la ecuaci??n diferencial y las n condiciones iniciales especifi- cadasenxo:y(xo)=yo,y'(xo)=yl,. . .,y(*-`)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de soluci??n debe pasar por el punto (~0, yo) y tener ia pendiente y1 en ese punto.

Existencia y unicidad En la secci??n 1.2 enunciamos un teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una soluci??n de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de exis- tencia de soluci??n ??nica para el problema representado por las ecuaciones (1).

sean a,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x) cont?¼mutg edlm int%rvaio r, p toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i# ??nica.

Soluci??n ??nica de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales 3y’ÔÇØ + 5yÔÇØ – y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y'(l) = 0, yÔÇØ(l) = 0 I

m Soluci??n ??nica de un problema de valores iniciales El lector debe comprobar que la funci??n y = 3e& + e-b – 3x es una soluci??n del problema de valores iniciales La ecuaci??n diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 1 f 0 en todo intervalo Z que contenga a x = 0. Seg??n el teorema 4.1, debemos concluir que la funci??n dada es la ??nica soluci??n en Z. n

Ambos requisitos del teorema 4.1: 1) que Q(X), i = 0, 1,2, . . . , n sean continuos, y 2) que u,(x) f 0 para toda x en Z, son importantes. En forma espec?¡fica, si u,,(x) = 0 para una x en el intervalo, la soluci??n de un problema lineal de valores iniciales quiz?í no sea ??nica o incluso no exkta; por ejemplo, el lector debe comprobar que la funci??n y = cx2 + x + 3 es una soluci??n del problema de valores iniciales ?yÔÇØ – 2xy’ + 2y = 6, y(O)=3, y'(O)= 1 para x en el intervalo (-, -) y cualquier valor del par?ímetro c. En otras palabras, no hay soluci??n ??nica para el problema. Aunque se satisface la mayor parte de las condiciones del teorema 4.1, las dificultades obvias estriban en que uz(x) = x2 es cero cuando x = 0, y en que las condiciones iniciales se han impuesto en ese valor.

Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuaci??n diferencial lineal de segundo ordeno mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est?®n especificadas en puntos distintos. Un problema como Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &)

Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1 se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo y y(b) = ~1, se denominan condiciones en la frontera. Una soluci??n del problema anterior es una funci??n que satisface la ecuaci??n diferencial en alg??n intervalo Z que contiene a u y b, cuya gr?ífica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr). V?®ase la figura 4.1.

Secci??n 4.1 Teor?¡a pdiminar: ecuaciones hales 115 Para una ecuaci??n diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podr?¡an ser Y'(U) = YO, y(b) =YI ~(4 = yo, y'(b) = y, Y'(U) = YO, y'(b) = YI, en donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones s??lo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: RY (4 + PlY `(a) = Yl w(b) + W(b) = ~2.

Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del teorema 4.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones (Fig. 4.1); ii) soluci??n ??nica, 0 iii) ninguna soluci??n.

Un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, – una 0 ninguna En el ejemplo 5 de la secci??n 1.1 vimos que la familia a dos par?ímetros de soluciones de la ecuaci??n diferencial xÔÇØ + 16x = 0 es x = cl cos 4t + c2 sen4t. (2) a) Supongamos que queremos determinar la soluci??n de la ecuaci??n que adem?ís satisfaga las condiciones de frontera x(O) = 0, x(7r/2) = 0. Obs?®rvese que la primera condici??n, 0 = cl cos 0 + c2 sen 0, implica que CI = 0, de modo que x = c2 sen 4t. Pero cuando t = ~12, 0 = c2 sen 27r es satisfactoria para cualquier elecci??n de ~2, ya que sen 27~ = 0. Entonces, el problema de valores en la frontera XÔÇØ + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 tiene una cantidad infinita de soluciones. En la figura 4.2 vemos las gr?íficas de algunos de los miembros de la familia a un par?ímetro x = c2 sen 4t que pasan por los dos puntos, (0,O) y (7a 0).

b) Si se modifica como sigue el problema de valores en la frontera expresado por (3),

xÔÇØ + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 x(O) = 0 sigue determinando que cl = 0 en la soluci??n (2). Pero al aplicar x(7rl8) = 0 a x = c2 sen 4t se requiere que 0 = c2 sen(rr/2) = c2 1; en consecuencia, x = 0 es una soluci??n de este nuevo problema de valor en la frontera. En realidad, se puede demostrar que x = 0 es la c) Por ??ltimo, al transformar el problema en

xÔÇØ + 16x = 0, x(O) = 0, x ; = 1 (5) 0

vemos, que cr = 0 porque x(O) = 0 pero, al aplicar x(rr/2) = 1 a x = c2 sen 4t, llegamos a la contradicci??n 1 = c2 sen 2n = c2 . 0 = 0. En consecuencia, el problema de valores en la frontera descrito por (5) no tiene soluci??n. n 4.1.2 Ecuaciones homog?®neas Una ecuaci??n lineal de orden n de la forma dÔÇØ-`y a,(x) 2 + a,-](x) – + . + al(x) 2 + ao(x)y = 0 (6) & n-l

se llama homog?®nea, mientras que una ecuaci??n dÔÇØ-`y a,(x) $ + a,-l(x) -& n-l + . . + al(x) f$ + ao(xly = g(x) (7)

donde g(x) no es id?®nticamente cero, se llama no homog?®nea; por ejemplo, 2~ÔÇØ + 3y’ – 5y = 0 es una ecuaci??n diferencial de segundo orden, lineal y homog?®nea, mientras que x3yÔÇØ’ + 6y’ + 1 Oy = ex es una ecuaci??n diferencial de tercer orden, lineal y no homog?®nea. En este contexto, la palabra homog?®nea no indica que los coeficientes sean funciones homog?®neas, como suced?¡a Para resolver una ecuaci??n lineal no homog?®nea como la (7), en primera instancia debemos poder resolver la ecuaci??n homog?®nea asociada (6).

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 117

Operadores diferenciales En c?ílculo, la diferenciaci??n suele indicarse con la D ma- y??scula; esto es, u’y/uk = Dy. El s?¡mbolo D se llama operador diferencial porque transforma una funci??n diferenciable en otra funci??n; por ejemplo, D(cos 4x) = -4 sen 4x y D(5×3 – 6x*) = 15×2 – 12~. Las derivadas de orden superior se pueden exp! esar en t?®rminos de D en forma natural: y en general z = D ÔÇ£y, d”y = 2 = D(Dy) = Dzy

en dondey representa una funci??n suficientemente diferenciable. Las expresiones polinomiales donde interviene D, como D + 3, fl+ 3D- 4 y 5x3D3 – 6x*d + 4xD f 9 tambi?®n son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define: L = a,(x)D” + a,&)D”-‘ + e.0 + a&)D f@(x). (8) Como consecuencia de dos propiedades b?ísicas de la diferenciaci??n, D(cf(x)) = cDf(x), donde c es una constante y D{f(x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L, operando sobre una combinaci??n lineal de dos f??ncio- nes diferenciables, es lo mismo que una combinaci??n lineal de L operando sobre las funciones individuales. En s?¡mbolos, esto significa que Lkf~~) + k%(x)1 = ~Jw-(x)) + mg(x)), (9) en donde Q y ,B son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el operador diferencial de orden n, L, es un operador lineal.

Ecuaciones diferenciales Toda ecuaci??n diferencial lineal se puede expresar en nota- ci??n D; por ejemplo, la ecuaci??n diferencial yÔÇØ + 5y’ + 6y = Sx – 3 se puede escribir en la forma o’y + 5Dy `+ 6y = 5x – 3 o como (I? + 5D + 6)y = 5x – 3. Al aplicar la ecuaci??n (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden escribir en forma compacta como UY) =o Y aY) = g(x), respectivamente.

Principio de superposici??n En el siguiente teorema veremos que la suma o superpo- sici??n de dos o m?ís soluciones de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea tambi?®n es una soluci??n.

Principio de superposici??n, ecuaciones homogbneus sean Yl, Y2, * . . , yk soluciones de la ecuaci??n diferencial homog?®nea de ardm n, ~~~~ ,.< (6), do& x esta en un intervalo 1. La combinaci??n lineal al `j

Y = ClYl w + w2c4 + . . ‘ + wm ‘ endondelasc~,i=1,2 ,…, R son constantes arbitrarias, tambi?®n es una soluci?óa cmm&t x est?í en el intervalo.

DEMOSTRACI?ôN Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean yt(x) y yz(x) soluciones de la ecuaci??n homog?®nea L(y) = 0. Si definimos y = ct yt(x) + c2y&), entonces, por la linealidad de L,

Superposici??n, ecuaci??n diferencial homog?®nea Las funciones yt = x2 y y2 = x2 In x son soluciones de la ecuaci??n lineal homog?®nea X3Y”‘ – 2xy’ + 4y = 0 para x en el intervalo (0, -). Seg??n el principio de superposici??n, la combinaci??n lineal y = c1x2 + c2.x’ In x tambi?®n es una soluci??n de la ecuaci??n en el intervalo. n

La funci??n y = e7′ es una soluci??n de yÔÇØ – 9y’ + 14y = 0. Como la ecuaci??n diferencial es lineal y homog?®nea, el m??ltiplo constante y = ceÔÇØ tambi?®n es una soluci??n. Cuando c tiene diversos valores, y = 9e7x, y = 0, y = -6 e7x, . . . son soluciones de la ecuaci??n.

Dependencia e independencia lineal Citaremos un par de conceptos b?ísicos para estudiar ecuaciones diferenciales lineales.

Se dice que un conjunto de fum3ones,~(~~&&~, un intervalo I si existen constantes, CI, . . ,, C, no to&s

para toda x S i e l conjunto intervalo, s e dice que es linealmente En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las ??nicas constantes para las que se cumple c,f,(x) + czfi(x> + . . . + cnh(x) = 0 para toda x en el intervalo son cl = c2 = . . . = c, = 0.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 1 1 9

Es f?ícil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, h(x) y fz(x). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, CI y ~2, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, clfl(x) + c&(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que CI f 0, entonces ji(x) = – $c2 iw;

esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un m??ltiplo constante de la otra. Al rev?®s, sifi(x) = c*&(x) para alguna constante CZ, entonces (-1) .fi(x) + c2.f!44 = 0

para toda x en alg??n intervalo. As?¡, las funciones son linealmente dependientes porque al menos una de las constantes no es cero (en este caso CI = -1). Llegamos a la conclusi??n de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es m??ltiplo constante de la otra en un intervalo. Por ejemplo, las funciones f,(x) = sen 2x y yi = sen x cos x son linealmente dependientes en (–, -) porquefi(x) es m??ltiplo constante defi(x). Con base en la f??rmula de doble ?íngulo para el seno, recu?®rdese que sen 2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones fl(x) = x yfi(x) = 1×1 son linealmente independientes en (-, -). Al ver la figura 4.3 el lector se debe convencer de que ninguna de las funciones es un m??ltiplo constante de la otra, en el intervalo.

(W FIGURA 4.3 De lo anterior se concluye que el cocientef2(x)/fl(x) no es constante en un intervalo en que A(x) yfz(x) son linealmente independientes. En la siguiente secci??n utilizaremos este detalle.

m Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = cos2x, So = sen2x, f3(x) = sec2x, f4(x) = tan2x son linealmente dependientes en el intervalo (-7r/2,7r/2) porque c, cos2x + c2sen2x + c3 sec2x + c4 tan2x = 0, cuando CI = c2 = 1, cg = -1, c4 = 1. Hemos aplicado cos2x + sen2x = 1 y 1 + tan2x = sec2x. n

Un conjunto de fhnciones,fi(x),f2(x), . . . , fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo si se puede expresar al menos una funci??n como combinaci??n lineal de las funciones restantes.

Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = G + 5, fi(x) = C + 5x, h(x) = x – 1, h(x) = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, -) porquef2 se puede escribir como una combinaci??n lineal deji, f3 y f4. Obs?®rvese que ji(x) = 1 fl(X) + 5 . fj(X) + 0 . f4(x) para toda x en el intervalo (0, -). n

Soluciones de ecuaciones diferenciales Ante todo, nos interesan las funciones li- nealmente independientes o, con m?ís precisi??n las soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n diferencial lineal. Aunque siempre podemos recurrir a la definici??n 4.1, sucede que el asunto de si son linealmente independientes las n soluciones, ~1, ~2, . . . , yn de una ecuaci??n diferencial lineal de orden n como la (6) se puede definir mec?ínicamente recurriendo a un determinante.

El wronskiano Sup??ngase que cada una de las funciones h(x), h(x), . . . , J,(x) posee n – 1 derivadas al menos. El determinante fi f2 . . . fn f; f; `.’ si . 2

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 121 I Critario para soluciones linealmente independientes sean n soluciones,y~ ,y2, . . ., yn, de la ecuaci??n diferencial (6), lineal, homog&rea y de orden n, en un intervalo 1. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y ~610 si 4% Y2, – * *,Yn)+O para toda x en el intervalo.

De acuerdo con el teorema 4.3, cuandoyr,yz, . . ., yn son n soluciones de (6) en un intervalo I, el wronskiano W(y1, ~2, . . ., y,) es id?®ntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea de orden n tiene un nombre especial.

Conjunto fundamental de soluciones Todo conjunto yl, ~2, . . ., y,, de n soluciones linealmente independientes de la ecuaci6n diferencial lineal homog?®nea de orden n, ecuaci??n (6), en un intervalo 1, se llama conjunta fundamental de soluciones en el intervalo.

El asunto b?ísico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuaci??n lineal se contesta con el siguiente teorema.

Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial lineal homogenea de orden n, (6), en un intervalo 1.

As?¡ como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinaci??n lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda soluci??n de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea y de orden n, en un intervalo Z, se puede expresar como una combinaci??n lineal de n soluciones linealmente independientes en Z. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes (,vr , ~2, . . ., y,J son las unidades constructivas b?ísicas de la soluci??n general de la ecuaci??n.

Soluci6n general, ecuaciones homog?®neas Seww2,. . ., y,, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea de orden n, (6), en un intervalo 1. La soluci??n general de la ecuaci??n en el intervalo es > y = ClJo) + C2Y2c4 + . . . + WÔÇØ(X), dondeci, i= 1,2,. . ., n son constantes arbitrarias.

El teorema 4.5 establece que si Y(x) es cualquier soluci??n de (6) en el intervalo, siempre se pueden determinar las constantes Cr, C2, . . ., C,, de tal modo que Y(x) = Cly&) + C&x) + . . . + Cfln(x).

DEMOSTRACI?ôN Sea Y una soluci??n y seanyr y y2 soluciones linealmente independientes de g yÔÇØ + UI y’ + soy = 0 en un intervalo 1. Supongamos que x = t es un punto en 1 para el que W(yr(t), yz(l)) f 0. Consideremos, tambi?®n, que Y(r) = Kr y que Y'(t) = K2. Si examinamos las ecuaciones GYl(4 + GY2(f) = kl Gy;W + Gy;(f) = kz> veremos que podemos determinar CI y C2 en forma ??nica, siempre que el determinante de los coeficientes satisfaga

x(t) YzO) I Yi(O YW 1 Pero este determinante no es m?ís que el wronskiano evaluado en x = t, y, por hip??tesis, W+ 0. Si definimos G(x) = Cryr(x) + C&X), veremos que i) G(x) satisface la ecuaci??n diferencial porque es una superposici??n de dos soluciones conocidas, ii) G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) = C,y&) + GY&) = kl G'(t) = Cly; + Gy;(t) = kz;

iii) Y(x) satisface Za misma ecuaci??n lineal y Zus mismas condiciones iniciales. Como la soluci??n de este problema lineal de valor inicial es ??nica (teorema 4. l), entonces Y(x) = G(x), o bien Y(x) = Cryr(x) + C&x). n

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones heales 123

Soluci??n obtenida a partir de una soluci??n general 1 La funci??n y = 4 senh 3x – 5e3* es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial del ejemplo 7. (Conf?¡e esta afirmaci??n.) Seg??n el teorema 4.5, podremos obtener esta soluci??n a partir de la soluci??n general y = ct e3* + cse -3X . Obs?®rvese que si elegimos cl = 2 y c2 = -7, entonces y = 2e3X – 7e-3X se puede escribir en la forma y = xe3x- &-3~ – 5e-3~ = 4 – 5e-3X.

Esta ??ltima expresi??n es y = 4 senh 3x – 5e-3X. n

Soluci??n general de una ecuaci??n diferencial homog?®nea Las funciones yl = 8, y2 = eti y y3 = e3′ satisfacen la ecuaci??n de tercer orden

Como W(ex, eÔÇØ, eÔÇØ) = ex ek e3* ex 2e*X 3e3X = 2@ # Cl ex 4e2′ 9e3X para todo valor real de x, las funciones yr, y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (-, -). En conclusi??n, y = clex + c2e2′ + c3e3X es la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial en el intervalo.

4.1.3 Ecuaciones no homog?®neas Toda funci??n yP libre de par?ímetros arbitrarios que satisface la ecuaci??n (7) se llama soluci??n particular o integral particular de la ecuaci??n; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la funci??n constante yP = 3 es una soluci??n particular de la ecuaci??n no homog?®nea Siyby2,. . ., yk son soluciones de la ecuaci??n (6) en un intervalo Zy y, es cualquier soluci??n particular de la ecuaci??n (7) en Z, entonces, la combinaci??n lineal y = ClYl(X) + C2Yd-4 + * **+ CkYk(X) + Y P (10) tambi?®n es una soluci??n de la ecuaci??n (7) no homog?®nea. Si el lector lo medita tiene sentido, ya que la combinaci??n lineal ctyl(x) + czyy~(x) + . . + ckyk(x) se transforma en 0 mediante el operador L = u,DÔÇØ + u,&ÔÇ£- + . . . + alD + ac, mientras que yP se convierte en g(x). Si usamos R = n soluciones linealmente independientes de la ecuaci??n (6) de orden n, la expresi??n (10) viene a ser la soluci??n general de (7).

1 Soluci??n general, ecuaciones no homogbas Sea y,, cualquier soluci??n particular de la ecuacibn diferenciai lineal, no homog?®nea, de orden n, ecuacion (7), en un intervalo 1, y sean yr,`y2, . . ., yn un conjunto fundanlental de soluciones de la ecuaci??n diferencial homog?®nea asociada (6), en 1. Entonces, la soluci?ín general de la ecuaci??n en el intervalo es

y = ClyI(X) + c2yz(x) + * ‘ . + cnyfI(x) + yp,

DEMOSTRACI?ôN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y y&) soluciones particulares de la ecuaci??n no homog?®nea L(y) = g(x). Si definimos u(x) = Y(x) – y&), por la linealidad de L se debe cumplir Esto demuestra que u(x) es una soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea L(y) = 0; por consiguiente, seg??n el teorema 4.5, u(x) = CV,(X) + c~yz(x) + . + cny,( y as?¡ Y(x) – Y,(X) = ClY&) + CzY2(X) + – * * + CÔÇØY&) 0 sea Y(x) = ClY, + czy*(x) + * * * + c,y,(x) + y,(x). n Funci??n complementaria En el teorema 4.6 vemos, que la soluci??n general de una ecuaci??n lineal no homog?®nea consiste en la suma de dos funciones: La combinaci??n lineal yC = c~yt(x) + czyz(x) + . . . + cnyn(x), que es la soluci??n general de (6), se llama funci??n complementaria para la ecuaci??n (7). En otras palabras,.para resolver una ecuaci??n diferencial lineal no homog?®nea primero se resuelve la ecuaci??n homog?®nea asociada y luego se determina cualquier soluci??n particular de la ecuaci??n no homog?®nea. La soluci??n general de la ecuaci??n no homog?®nea es, entonces,

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 125

Pero en el ejemplo 9 vimos, que la soluci??n general de esta ??ltima ecuaci??n era yc = cre’ + czf? + cse3′ en el intervalo ( -00, -); por lo tanto, la soluci??n general de (ll) en el intervalo es ll 1 12 2

Otro principio de superposici??n El ??ltimo teorema en esta discusi??n nos ser?í ??til en la secci??n 4.4, cuando estudiemos un m?®todo para determinar soluciones particulares de ecuaciones no homog?®neas.

Principio de sqetpsici6n, ecuackmes M) hamogkWaS Sean k soluciones particulares, ypz ypll, . . ., ym de la ecuacion (7), diferencial lineal no homog?®nea de orden n, en el interwlo I que, a su vez, corresponden a k funciones dWitas, gt,gz, * ‘ *, gk. Esto es, supongamos queyp, representa una sohrci??n particuk de la ecuati6n diferencial correspondiente .- u,(x)y@’ + u, . *(x)y@- `f + . – *+ al (x)y’ + uo(x)y = gdx), en donde i = 1,2, . . ., k. Entonces Yp = Yp,W + Yp&9 f ‘ **+ Y&) es una soluci6n particular de u,(x)y@’ + u, – ,(x)y@ – l) + . . *+ ar(x)y’ + u&)y = gdx) + gzw + *. *+ gkm. 5 @4)

DEMOSTRACI?ôN Probaremos el caso en que k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean y&) y y,,,(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homog?®neas L(y) = g](x) y L(y) = gz(x), respectivamente. Si definimos y, = y&) + yp,(x), demostraremos que y,, es una soluci??n particular de L(y) = gr(x) + gz(x). De nuevo, el resultado, es consecuencia de la linealidad del operador L:

De acuerdo con el teorema 4.7, la superposici??n de yP,, yh Y ym y = yp, + y,, + yp, = -4x* + e21 + xex,

es una soluci??n de -i,r- &W gdx) &W

Si las y,,?í son soluciones particulares de la ecuaci??n (12) para i = 1,2, . . ., k, la combinaci??n lineal

yp = Clyp, + czyp, + * ‘ * + ckYpk* en donde las ci son constantes, tambi?®n es una soluci??n particular de (14), cuando el lado derecho de la ecuaci??n es la combinaci??n lineal

C,&(X) + C&(x) + * * ‘ + ckgk(x)* Antes de comenzar a resolver ecuaciones diferenciales lineales homog?®neas y no homog?®neas, veamos algo de la teor?¡a que presentaremos en la pr??xima secci??n.

I Esta observaci??n es la continuaci??n de la cita sobre los sistemas din?ímicos que apareci?? al Un sistema din?ímico cuya regla o modelo matem?ítico es una ecuaci??n diferencial lineal de orden n, a,(t)y(ÔÇ£) + u,l(t)y(ÔÇ£-`) + . . + a,(t)y’ + ao(t)y = g(t) se llama sistema lineal de orden n. Las n funciones dependientes del tiempo, r(t), y'(t), . ., y@`+(t) son las variables de estada del sistema. Ya sabemos que sus valores, en el momento t, determinan el estado del sistema. La funci??n g tiene varios nombres: funci??n de entrada, forzamiento, entrada o funci??n de excitaci??n. Una soluci??n r(t) de la ecuaci??n diferencial se llama salida o respuesta del sistema. En las condiciones mencionadas en el teorema 4.1, la salida o respuesta y(t) est?í determinada en forma ??nica, por la entrada y el estado del sistema en el momento to; esto es, por las condiciones iniciales Ato), y'(to), . . . , y(ÔÇ£`)(to). En la figura 4.4 vemos la dependencia entre la salida y la entrada.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 1 2 7

Para que un sistema din?ímico sea sistema lineal, se necesita que el principio de superpo- sici??n, teorema 4.7, sea v?ílido en ?®l; o sea, que la respuesta del sistema a una superposici??n de entradas sea una superposici??n de salidas. Ya examinamos algunos sistemas lineales sencillos en la secci??n 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la secci??n 5.1 examinare- mos los sistemas lineales para los cuales los modelos matem?íticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

– 4.1`1 1. Dado que y = cle’ + cze-* es una familia a dos parhmetros de soluciones de yÔÇØ – y = 0 en el intervalo (-00, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 2. Determine una soluci??n de la ecuaci??n diferencial del problema 1 que satisfaga las 3 . Dado que y = cI eAr + czeTX es una familia a dos par?ímetros de soluciones deyÔÇØ – 3y’ – 4y = 0 en el intervalo (-OD, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 4. Dado que y = CI + c2 cos x + c3 sen x es una familia a tres parhetros de soluciones de yÔÇØ’ + y’ = 0 en el intervalo ( -00, -), defina un miembro de la familia que cumpla las 5 . Como y = CIX + czx ln x es una familia a dos par?ímetros de soluciones de x2yÔÇØ – xy’ + y = 0 en el intervalo (-, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 6. Puesto que y = CI + ~2×2 es una familia a dos par?ímetros de soluciones de xYÔÇØ – y’ = 0 en el intervalo (-, -), demuestre que las constantes cl y CL no pueden ser tales que un miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales y(O) = 0, y'(O) = 1. Explique por 7. Determine dos miembros de la familia de soluciones de xyÔÇØ – y’ = 0, del problema 6, que 8. Halle un miembro de la familia de soluciones a xyÔÇØ – y’ = 0 del problema 6, que satisfaga las condiciones a la ffonteray(0) = 1, y'(l) = 6. ??El teorema 4.1 garantiza que esta soluci??n 9. Puesto que y = cleÔÇØ cos x + C# sen x es una familia a dos par?ímetros de soluciones de yÔÇØ – 2y’ + 2y = 0 en el intervalo (–, -), determine si es posible que un miembro de la familia pueda satisfacer las siguientes condiciones en la contera: a) y(O) = 1, y'(O) = 0 b) y(O) = 1, Y(T) = -1 d)y(O)= 0, Y(T)= 0.

10. En virtud de iue; = c,x2 + c2x4 + 3 es una familia a dos par?ímetros de soluciones de x2yÔÇØ – 5xy’ + 8y = 24, en el intervalo (- =, -), determine si es posible que un miembro de la familia satisfaga estas condiciones en la frontera: a) y(-1) = 0, y(l) = 4 b)y(O) = 1, YU) = 2 c)y(O)=3, y(l)=0 d)y(l) = 3, ~(2) = 15.

En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de ll. (x – 2)yÔÇØ+ 3y =x, y(O)= 0, y'(O)= 1 12.yÔÇØ+(tanx)y= e’, y(O)= 1, y'(O)= 0 13. En vista de que x = cr cos wt + c2 sen wt es una familia a dos par?ímetros de soluciones de xÔÇØ + Jx = 0 en el intervalo (–, -), demuestre que una soluci??n que cumple las condiciones iniciales x(O) = XO, x'(O) = xr es

14. Use la familia a dos par?ímetros x = cl cos wt + c2 sen wt para probar que una soluci??n de la ecuaci??n diferencial que satisface x(h) = XO, x'(h) = x1 es la soluci??n del problema de valor inicial en el ÔÇ£problema 13ÔÇØ, desplazada o recorrida la cantidad to: x(t) = x. cos w(t – to) + z sen w(t – ro).

– 4.1.2 En los problemas 15 a 22 compruebe si las funciones respectivas son linealmente inde- 15. fi(X) = x, f*(x) = x2, fj(X) = 4x – 3xy 16. h(x) = 0, h(x) = x, h(x) = ex 17. fi(x) = 5, f*(x) = cos2x, f3(x) =sen*x 18. J(x) = cos 2x, h(x) = 1, h(x) = cos*x 19. fi(x) = x, f*(x) = x – 1, f3(x) = x + 3 20. fi(x) = 2 + x, fi(x) = 2 + 1×1 21. fi(X) = 1 + x, fz(x) = x, ji(x) = ir2 22. fi(x) = ex, f*(x) = emx, f3(x) = senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial en el intervalo indicado. Forme la soluci??n general. 23. yÔÇØ – y’ – 12y = 0; em3*, e4x, (-m, m) 24. yÔÇØ – 4y = 0; cosh 2x, senh 2x, (- m, m) 25. yÔÇØ – 2y’ + 5y = 0; ex cos 2x. eÔÇØsen2x, (-m, m) 26. 4~ÔÇØ – 4y’ + y = 0; ex’*, xex’*, (- m, m) 27. x*yÔÇØ – 6xy’ + 12~ = 0; x3, x4, (0, m) 28. x2yÔÇØ + xy’ + y = 0; cos(ln x),sen(ln x), (0, m) 29. x3yÔÇØ’ + 6x*yÔÇØ + 4xy’ – 4y = 0; x, x-*, xm2 In x, (0, m) 30. yc4) + yÔÇØ = 0; l,x,cosx,senx, (-03, m) Problemas paro discusi??n 31. a) Compruebe que yl = x3 y y2 = lxl3 son soluciones linealmente independientes de la b) Demuestre que W(y,, y2) = 0 para todo numero real x. LEste resultado contradice el teorema 4.3? Explique su respuesta.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 129

c) Compruebe que Yl = x3 y Y2 = X? tambi?®n son soluciones linealmente independientes d) Halle una soluci??n de la ecuaci??n diferencial que satisfaga y(O) = 0, y'(O) = 0. e) Seg??n el principio de superposici??n, teorema 4.2, las combinaciones lineales y=clY1 +w2 Y Y= ClYl + CZYZ

son soluciones de la ecuaci??n diferencial. Diga si una, ambas o ninguna de las combi- naciones lineales es una soluci??n general de la ecuaci??n diferencial en el intervalo 32. Suponga que yt = eÔÇØ y y2 = e-‘ son dos soluciones de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea. Explique por qu?® y3 = cosh x y y4 = senh x tambi?®n son soluciones de la ecuaci??n.

– 4.1.3 Compruebe que la familia biparam?®trica de funciones dadas en los problemas 33 a 36 sea la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial no homog?®nea en el intervalo indicado.

33. yÔÇØ – 7y’ + 1Oy = 24eÔÇØ y = cle2′ + c2e5x + 6eÔÇØ, (-00, m) 34. yÔÇØ + y = sec x y = cl cos x + q sen x + x sen x + (cos x) ln(cos x), 35. yÔÇØ – 4y’ + 4y = 2e2ÔÇØ + 4x – 12 y = cle2ÔÇØ + c2xeh + x2@ + x – 2, (- 03, ÔÇ£) 36. 2xZyÔÇØ + 5xy’ + y = x* – x 11 y = clx-ln + c*x-l + -x* – -x, (03 00) 15 6 37. Si y,, = 3ek y yP2 = x2 + 3x son soluciones particulares de yÔÇØ – 6y’ + 5y = -9e** yÔÇØ – 6y’ + 5y = 5×2 + 3x – 16, Y respectivamente, determine soluciones particulares de yÔÇØ – 6y’ + 5y = 5×2 + 3x – 16 – ge*’ Y y” – 6~’ + 5y = -lOx* – 6x + 32 + e*`.

REDUCCbN DE ORDEN n Reducci??n de una ecuaci??n diferencial de segundo orden a una de primer orden W Forma reducida de una ecuaci??n dij?¿rencial lineal homog?®nea de segundo orden Uno de los hechos matem?íticos m?ís interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda soluci??n, yz, de al(x + q(x)y’ + a()(x)y = 0 (1) en un intervalo Z a partir de una soluci??n yr no trivial. Buscamos una segunda soluci??n, y&), de la ecuaci??n (1) tal que yr y y2 sean lineahnente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son lineahnente independientes, su relaci??ny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x) o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la funci??n u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la ecuaci??n diferencial dada. Este m?®todo se llama reducci??n de orden porque debemos resolver una ecuaci??n lineal de primer orden para hallar ??.

Segunda soluci??n por reducci??n de orden Si yt = eÔÇØ es una soluci??n deyÔÇØ -y = 0 en el intervalo ( -00, -), aplique la reducci??n de orden para determinar una segunda soluci??n, ~2.

S O L U C I ?ô N Si y = u(x)yr(x) = u(x) seg??n la regla del producto \ y’ = uex + exu’, y’ = ueÔÇØ + 2e*u’ + eÔÇØuÔÇØ, y as?¡ yÔÇØ – y = ex(uÔÇØ + 2~`) = 0.

Puesto que eÔÇØ # 0, para esta ultima ecuaci??n se requiere que uÔÇØ + 2~’ = 0. Al efectuar la sustituci??n w = u’, esta ecuacr??n lineal de segundo orden en ZJ se transforma en w’ + 2w = 0, una ecuaci??n lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante eti y as?¡ podemos escribir -$ [e*Xw] = 0.

Despues de integrar se obtiene w = creT2′, o sea que u’ = cte-&. Integramos de nuevo y llegamos a 2

-3 – Por consiguiente, y = u(x)@ = 2 e X + c2eX. (2) Al elegir c2 = 0 y cl = -2 obtenemos la segunda soluci??n que busc?íbamos, yz = e-`. Dado que W(eX, eÔÇØ) # 0 para toda x, las soluciones son lineahnente independientes en (–, -). W L.

Secci??n 4.2 Reducci??n de orden 131 Como hemos demostrado que yt = eÔÇØ y y2 = e-‘ son soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n lineal de segundo orden, la ecuaci??n (2) es la soluci??n general de yÔÇØ – y = 0 en (–, -).

Caso general Si dividimos por uz(x) para llevar la ecuaci??n (1) a la forma est?índar yÔÇØ + P(x)y’ + Q(x)y = 0, (3) en donde P(x) y Q(x) son continuas en alg??n intervalo 1. Sup??ngase, ademas, que yl(x) es una soluci??n conocida de (3) en I y que JJ~(X) # 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y = u(x)yt(x), entonces y’ = uy; + y,u’, yÔÇØ = uy; + 2y;zd + y& \Y/ cero Para lo anterior se debe cumplir yd + (2yi + zJy,)u’ = 0 0 sea y~w’ + (2yi + Pyl)w = 0, (4) en donde hemos igualado w = u’. Observese que la ??ltima de las ecuaciones (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos — ~+2~dx+mx=o W

De la ??ltima ecuaci??n despejamos w, regresamos a w = u’ e integramos de nuevo: e-SPdx f Y12 Si elegimos ct = 1 y c2 = 0, vemos en y = u(x)yr(x) que una segunda soluci??n de la ecuaci??n (3) es (5) Un buen repaso de la derivaci??n sera comprobar que la furici6n y&) definida en la ecuaci??n (5) satisface la ecuaci??n (3) y que yt y yz son lineahnente independientes en cualquier intervalo en que yt no sea cero. Vease el problema 29, de los ejercicios 4.2.

Segunda soluci??n con la f??rmula (5) La funci??n yt = xz es una soluci??n de gyÔÇØ – 3xy’ + 4y = 0. Determine la soluci??n general en el intervalo (0, -).

SOLUCI?ôN Partimos de la forma reducida de la ecuaci??n, ,3 0) yÔÇØ-xy’+xi4y=

e3Jdrlx y vemos, de acuerdo con (5), que y2 = x2 j x4 du t e31mlx = p x’ = x3 Ix

La soluci??n general en (0, -) esta definida por y = cryl + c2 yz; esto es, y = c1x2 + c2x2 In x.

l Hemos deducido la ecuaci??n (5) e ilustrado c??mo usarla porque esa f??rmula aparecer?í de nuevo en la siguiente secci??n y en la secci??n 6.1. Usamos la ecuaci??n (5) s??lo para ahorrar tiempo en la obtenci??n del resultado deseado. El profesor dir?í si se debe memorizar la ecuaci??n (5) o dominar las bases de la reducci??n de orden,

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constontes 133

16. (1 – x’)yÔÇØ – 2xy’ = 0; y, = 1 417. x2yn – xy’ + 2y = 0; y1 = x sen(ln x) 18. x2yu – 3xy’ + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x) 4 19. (1 + 2x)yÔÇØ + 4xy’ – 4y = 0; y1 = F2* 20. (1 + x)yÔÇØ + xy’ – y = 0; y1 = x J 21. x2yÔÇØ – xy’ + y = 0; y; = x 22. x2yÔÇØ – 2oy = 0; y, = x-4 J23. x2yÔÇØ – 5xy’ + 9y = 0; y1 = x3 In x 24. x2yv + xy’ + y = 0; yl = cos(ln x) Aplique el m?®todo de reducci??n para determinar una soluci??n de la ecuaci??n no homog?®nea dada en los problemas 25 a 28. La funci??n indicada, y,(x), es una soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea asociada. Determine una segunda soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea y una 425. yÔÇØ – 4y = 2; y1 = em2ÔÇØ J26. yÔÇØ + y’ = 1; y1 = 1 :z ;ÔÇØ 1 i;’ 1 i; z *ÔÇ£ÔÇ£;, = ; eÔÇØ . II I 1 7 29. a) Compruebe por sustituci??n directa que la ecuaci??n (5) satisface la ecuaci??n (3). b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u’yt2 = e-Ip(X)dx.

Problema para discusi??n ! 30. a) Haga una demostraci??n convincente de que la ecuaci??n de segundo orden uyÔÇØ + by’ + cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una soluci??n de la forma b) Explique por qu?® la ecuaci??n diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una segunda soluci??n de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ??Puede explicar por qu?® las respuestas a los problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)?

es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales homog?®neas de orden superior del tipo a,y(ÔÇ£) + a,-ry(n-`) + * * * + a*yÔÇØ + qy’ + UOY = 0, (1) en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuaci??n (1) son funciones exponenciales o est?ín formadas rl partir de funciones exponenciales.

M?®todo de soluci??n Comenzaremos con el caso especial de la ecuaci??n de segundo orden ayÔÇØ + by’ + cy = 0. (2) Si probamos con una soluci??n de la forma y = emr, entonces y’ = memr y yÔÇØ = m2em?», de modo que la ecuaci??n (2) se transforma en am2emr + bmem’ + ce- = 0 o sea em'(am2 + bm + c) = 0.

Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la ??nica forma en que satisface la ecuaci??n diferencial es eligiendo una m tal que sea una ra?¡z de am2+bm+c=0.

Esta ecuaci??n se llama ecuaci?ín auxiliar o ecuaci??n caracter?¡stica de (2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuaci??n auxiliar que reales distintas, ra?¡ces reales e iguales y ra?¡ces complejas conjugadas.

la funci??n exponencial la ecuaci??n cuadr?ítica (3) la ecuaci??n diferencial corresponden a ra?¡ces

CASO 1: Ra?¡ces reales distintas Si la ecuaci??n (3) tiene dos ra?¡ces reales distintas, rnl y mz, llegamos a dos soluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnente inde- pendientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la soluci??n general de la ecuaci??n (2) en ese intervalo es y= cle mlx + c2emp. (4) CASO II: Ra?¡ces reales e iguales Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, s??lo a una soluci??n exponencial, yt = emlX. Seg??n la f??rmula cuadr?ítica, rnl = -b/2a porque la ??nica forma de que rnl = rn2 es que b* – 4ac = 0. As?¡, por lo argumentado en la secci??n 4.2, una segunda soluci??n de la ecuaci??n es

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 135

CASO III: Ra?¡ces complejos conjugados Si rn1 y ma son complejas, podremos escribir ml=ff+ipymz=a- ip, donde cr y p > 0 y son reales, e i2 = -1. No hay diferencia formal entre este caso y el caso 1; por ello,

Sin embargo, en la pr?íctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la formula de Euler: e ÔÇ£=cosB+isen8, en que 8 es un n??mero real. La consecuencia de esta f??rmula es que eiflX = cos Bx + i sen fix Y e+*x = cos /?x – i sen /3x, (7)

en donde hemos empleado cos = cos px y sen(-ox) = -sen @x. Obs?®rvese que si primero sumamos y despu?®s restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos respectivamente Y

Como y = CleCa + VW + C2eCa’-`@ es una las constantes Ct y C2, si Ci = C2 = 1 y YI = e (atip)x + e(a-iS)r Pero y, = eÔÇØ(e’@ Y y2 = eÔÇØ(e’@ soluci??n de la ecuaci??n (2) para cualquier elecci??n de Ct = 1, C2 = -1 obtenemos las soluciones: Y

+ e -@ÔÇ£) = 2eÔÇØ cos /3x En consecuencia, seg??n el corolario (A) del teorema 4.2, los dos ??ltimos resultados demuestran que las funciones reales ea?» cos /?x y ear sen /3x son soluciones de la ecuaci??n (2). Adem?ís, esas soluciones forman un conjunto fundamental en ( -00, -); por lo tanto, la soluci??n general es y= cle `Ix cos /?x + c*e’* sen @x =ec w [ (cl cos j!Jx + c2 sen /?x). (8)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: (a) 2~ÔÇØ – 5y’ – 3y = 0 (b) yÔÇØ – lOy’ + 25~ = 0 (c) yÔÇØ + y’ + y = 0

-xÔÇØ *Se puede deducir, formalmente, la f??rmula de Euler a partir de la serie de Maclaurin k = I: -, con la sustituci??n x = ÔÇ£ZO n! i0, utilizando ? = -1, i3 = – i, , y separando despu& la serie en sus partes real e imaginaria Luego de establecer esta posibilidad, podremos adoptar cm 6′ + i sen 0 como definici??n de e?

SOLUCI?ôN Presentaremos las ecuaciones auxiliares, ra?¡ces y soluciones generales co- rrespondientes.

(a) 2m2 – 5m – 3 = (2m + l)(m – 3) = 0, m, = – +, m2 = 3, y = C$ -ÔÇ£’ + c2e3+ (b) m2 – 10m + 2.5 = (m – 15)~ = 0, m, = m2 = 5, y = cle sI + c2xesX ti 1 ti (c)m2+m+1=0, mI=-l+-i, mz=—-i, 22 y = e-x’2 (ccos~2x+cse~-X2 ’21

m’ 0 Problema de valor inicial 4, Resuelva el problema de valor inicial ‘ yÔÇØ-4y’+ 13y=o, y(O) = -1, y'(O) = 2.

SOLUCI?ôN Las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar m2 – 4m + 13 = 0 son rnl = 2 + 3i y m2 = 2 – 3i, de modo que y = e2X(c1 cos 3x + c2 sen 3~).

Al aplicar la condici??n y(O) = -1, vemos que -1 = e'(ct cos 0 + c2 sen 0) y que CI = -1. Diferenciamos la ecuaci??n de arriba y a continuaci??n, aplicando y'(O) = 2, obtenemos 2 = 3~2 – 2, 0 sea, CT = :; por consiguiente, la soluci??n es (31

Las dos ecuaciones diferenciales, yÔÇØ + py = 0 y yÔÇØ – .k2y = 0, k real, son importantes en las matem?íticas aplicadas. Para la primera, la ecuaci??n auxiliar m2 + k2 = 0 tiene las ra?¡ces ima- ginarias rnl = ki y m2 = -ki. Seg??n la ecuaci??n (8), con cx = 0 y 0 = k, la soluci??n general es y = cl cos kx + c2 sen kx. (9) La ecuaci??n auxiliar de la segunda ecuaci??n, m2 – p = 0, tiene las ra?¡ces reales distintas rnl = k y m2 = -k; por ello, su soluci??n general es y = cleh + c2e+. (10) Obs?®rvese que si elegimos cl = c2 = f y despu?®s ct = f, c2 = – f en (lo), llegamos a las soluciones particulares y = (ekÔÇØ + eeh)/ = cosh kx y y = (ekÔÇØ – emkÔÇØ)/2 = senh k. Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x, una forma alternativa de la soluci??n general deyÔÇØ – py = 0 es y = CI cosh kx + c2 senh kx.

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 137

Ecuaciones de orden superior En general, para resolver una ecuaci??n diferencial de orden n como .Jn) + an-lyk-`) + . + QyÔÇØ + qy + soy = 0, (11) endondelasai,i=O,l,… , n son constantes reales, debemos resolver una ecuaci??n polinomial de grado n: a,mÔÇØ +a,-lrn 14 + . . + a2m2 + alm + ao = 0. (12) Si todas las ra?¡ces de la ecuaci??n (12) son reales y distintas, la soluci??n general de la ecuaci??n (ll) es y= qemlx + c2emp + . . . + c,emn’.

Es m?ís dif?¡cil resumir los an?ílogos de los casos II y III porque las ra?¡ces de una ecuaci??n auxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuaci??n de quinto grado podr?¡a tener cinco ra?¡ces reales distintas, o tres ra?¡ces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etc?®tera. Cuando rn1 es una ra?¡z de multiplicidad k de una ecuaci??n auxiliar de grado n (esto es, k ra?¡ces son iguales a ml), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son emI’, xem) x2emix, . . ., x k – l emp y que la soluci??n general debe contener la combinaci??n lineal qemlx+ c2xemlx+ c3x2 ew + . . . + Ckxk-lemlx.

Por ultimo, recu?®rdese que cuando los coeficientes son reales, las ra?¡ces complejas de una ecuaci??n auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. As?¡, por ejemplo, una ecuaci??n polinomial c??bica puede tener dos ra?¡ces complejas cuando mucho.

Ecuaci??n diferencial de cuarto orden uY UT2 SOLUCI?ôN La ecuaci??n auxiliar es m4 + 2m2 + 1 = (m2 + 1)2 = 0 y tiene las ra?¡ces rn1 = m3 = i y rnz = rn4 = -i. As?¡, de acuerdo con el caso II, la soluci??n es y = Cleu + C2em?? + C3xek + C,xe+.

Seg??n la f??rmula de Euler, se puede escribir el agrupamiento Cleti + Cze-`ÔÇØ en la forma CI cos x + c2 sen x con un cambio de definici??n de las constantes. Igualmente, x(C3eLÔÇØ + C4eeiÔÇØ)se puede expresar en la forma x(c3 cos x + q sen x). En consecuencia, la soluci??n general es n

El ejemplo 4 mostr?? un caso especial en que la ecuaci??n auxiliar tiene ra?¡ces complejas repetidas. En general, si rn1 = Q + i/3 es una ra?¡z compleja de multiplicidad k de una ecuaci??n auxiliar con coeficientes reales, su ra?¡z conjugada, m2 = (Y – ip, tambi?®n es una ra?¡z de multiplicidad k. Con base en las 2k soluciones complejas

e(n+i/3)x, xe(u+iS)x, x2e(a+Wx . . . , &l&+iNx e(a-ij3)x, xe(cX-@)ÔÇ£, x2&iS)x’ Xk-le(a-i/3)x > …>

legamos a la conclusi??n, con ayuda de la f??rmula de Euler, de que la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial correspondiente debe contener una combinaci??n lineal de las 2k solucio- nes reales y linealmente independientes eÔÇØ cos ,bx, xeÔÇØ cos Bx, x2em cos px, . . . , xk-`ear cos Bx e(lx sen ,Bx, xeux sen Bx, x2eux sen px, . . . , xk-`ear sen @x.

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 139

Con ello la f??rmula cuadr?ítica produce las dem?ís ra?¡ces, m2 = -1 + 6 i y m3 = -1 – 6 i. Entonces, la soluci??n general de 3~ÔÇ£’ + 5~ÔÇØ + lOy’ – 4y = 0 es y = cled3 + e?(c2 cos tix + c3,sen tix).

Empleo de computadoras Cuando se cuenta con una calculadora o un programa de computaci??n adecuados, la determinaci??n o aproximaci??n de las ra?¡ces de ecuaciones polino- miales se convierte en un asunto rutinario. Los sistemas algebraicos de computaci??n, como Mathematica y Maple, pueden resolver ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor de cinco mediante f??rmulas algebraicas. Para la ecuaci??n auxiliar del p?írrafo anterior, los comandos Solve[3 mÔÇØ3 + 5 mA2 + 10 m – 4 = = 0, m] (en Mathematica) solve(3*mA3 + 5*mA2 + lO*m – 4, m); (en Maple) dan, como resultado inmediato, sus representaciones de las ra?¡ces $ -1 + fii, -1 – 6i. Cuando las ecuaciones auxiliares son de orden mayor, quiz?í se reqmeran comandos num?®ricos, como NSolve y FindRoot en Mathematica. Por su capacidad de resolver ecuaciones polino- miales, no nos debe sorprender que algunos sistemas algebraicos de computaci??n tambi?®n son capaces de presentar soluciones expl?¡citas de ecuaciones diferenciales lineales, homog?®neas y de coeficientes constantes; por ejemplo, al teclear DSolve [yÔÇØ[x] + 2 y'[x] + 2 y[x] = = 0, y[x], x] (en Mathematica) dsolve(diff(y(x),x$2) + 2*diff(y(x),x) +2*y(x) = 0, y(x)); (en Maple) se obtiene, respectivamente yLxl -, WI Cos [XI – CPISen [XI EÔÇØ y(x) = -Cl exp( -x)sen(x) + -C2 exp( -x) cos Y

Las expresiones anteriores quieren decir que y = cze-X cos x + cle-‘ sen x es una soluci??n de yÔÇØ + 5 + 5 = 0. Obs?®rvese que el signo menos frente a C[ 1 ] en el primer resultado es superfluo. En el texto cl?ísico Dijkentid Equations, de Ralph Palmer Agnew,* que us?? el autor de estudiante, se afirma que: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la destreza y el equipo computacional necesarios para resolver con eficiencia ecuaciones como

4.317 2 + 2.179 2 + 1.416 $$ + 1.295 2 + 3.1691, = 0. w

Aunque se puede discutir si la destreza en computaci??n ha mejorado en todos estos aRos o no, el equipo s?¡ es mejor. Si se tiene acceso a un sistema algebraico computacional, se puede *McGraw-Hill, New York, 1960.

considerar que la ecuaci??n (13) es razonable. Despu?®s de simplificar y efectuar algunas sustituciones en los resultados, con Mathematica se obtiene la siguiente soluci??n general (aproximada);

y = cle -0.728852r cos(O.6186O5x) + c2e-0~728852xsen (0.618605~) + c3eo.476278x cos(O.759081~) + c4e0.47M78x sen (0.759081~).

De paso haremos notar que los comandos DSolve y dsolve, en Mathematica y Maple, al igual que la mayor parte de los aspectos de cualquier sistema algebraico computacional, tienen sus limitaciones.

En los problemas 1 a 36 determine la 1. 4yÔÇØ + y’ = 0 3 . yÔÇØ – 36y = 0 5. yÔÇØ + 9y = 0 7 . yÔÇØ – y’ – 6y = 0 9. $$+8g+16y=o ll. yÔÇØ + 3y’ – 5y = 0 1 3 . 12yÔÇØ – 5y’ – 2y = 0 1 5 . yÔÇØ – 4y’ + 5y = 0 17. 3yÔÇØ + 2y’ + y = 0 1 9 . y ÔÇ£’ – 4yÔÇØ – 5y’ = 0 21. y ÔÇ£’ – y = 0 / 23. yÔÇ£’ – 5yÔÇØ + 3y’ + 9y = 0 25. y ÔÇ£’ + y ÔÇØ – 2y = 0 27. y ÔÇ£’ + 3~ÔÇØ + 3y’ + y = 0 29 !!3+!iY+!!b!=o ‘ dx4 dx3 dx2 31. 16%+24%+9y=O soluci??n general de cada ecuaci??n diferencial.

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 1 4 1

En los problemas 37 a 52 resuelva cada ecuaci??n diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

37. yÔÇØ + 16~ = 0, y(O) = 2, y'(O) = -2 38. yÔÇØ – y= 0, y(O) = y'(O) = 1 3 9 . yÔÇØ + 6y’ + 5y = 0, y(O) = 0, y'(O) = 3 40. yÔÇØ – 8y’ + 17y = 0, y(O) = 4, y'(O) = -1 41. 2yÔÇØ – 2y’ + y= 0, y(O) = -1, y'(O) = 0 42. yÔÇØ – 2y’ + y= 0, y(o) = 5, y'(o) = 10 43. yÔÇØ + y’ + 2y = 0, y(O) = y'(O) = 0 44. 4yÔÇØ – 4y’ – 3y = 0, y(O) = 1, y'(O) = 5 45. yÔÇØ – 3y’ + 2y = 0, y(l) = 0, y'(l) = 1 46yÔÇØ+y=O, y(g)=o,Y'(9)=2 47. yÔÇØ’ + 12~ÔÇØ + 36~’ = 0, y(O) = 0, y'(O) = 1, yÔÇØ(o) = -7 48. y ÔÇØ ‘ + 2~ÔÇØ – 5y’ – 6y = 0, y(O) = y'(O) = 0, yÔÇØ(O) = 1 49. y ÔÇ£’ – 8y = 0, y(O) = 0, y'(O) = -1, yÔÇØ(o) = 0 50. fj$ = 0, y(O) = 2,y'(O) = 3,yÔÇØ(O) = 4,yÔÇØ(O) = 5 51. 2 – 3 2 + 3 2 – g = 0, y(O) = y'(O) = O,yÔÇØ(O) = yÔÇØ`(O) = 1 52. 2 – y = 0, y(O) = y'(O) = yÔÇØ(O) = 0, yÔÇØ`(O) = 1

En los problemas 53 a 56 resuelva la ecuaci??n diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales se??aladas.

53. yÔÇØ – lOy’ + 25~ = 0, y(O) = 1, y(l) = 0 54. yÔÇØ + 4y = 0, y(O) = 0, y(r) = 0 55. yÔÇØ + y = 0, y'(O) = 0, y’ ; = 2 ,0 5 6 . yÔÇØ – y = 0, y(O) = 1, y'(l) = 0

Problemas para discusi??n 61. a) Las ra?¡ces de una ecuaci??n auxiliar cuadr?ítica son mt = 4 y rnz = -5. ??Cu?íl es la ecuaci??n b) Dos ra?¡ces de una ecuaci??n auxiliar c??bica, con coeficientes reales, son rnl = f y rnz = 3 + i. ??CuAl es la ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea correspondiente? c) y1 = t?+ cos x es una soluci??n de yÔÇØ’ + 6yÔÇØ + y’ – 34y = 0. ??Cu?íl es la soluci??n general 62. ??Qu?® condiciones deben llenar los coeficientes constantes u, b y c para garantizar que todas las soluciones de la ecuaci??n diferencial de segundo orden uyÔÇØ + by’ + cy = 0 sean 63. Describa c??mo la ecuaci??n diferencial xyÔÇØ + y’ + xy = 0 (o sea, yÔÇØ + (l/x)y’ + y = 0), para x > 0 nos permite discernir el comportamiento cualitativo de las soluciones cuando x + 00. Compruebe sus conjeturas con un ODE solver.

COEFICIENTES INDETERMINADOS, M?ëTODO DE LA SUPERPOSICI?ôN n Soluci??n general para una ecuaci??n diferencial lineal no homog?®neam Forma de una soluci??n particular n Principio de superposici??n para ecuaciones diferenciales no homog?®neas W Casos para aplicar coeficientes indeterminados %%Z+w.ad~ En esta secci??n se desarrolla el m?®todo de los coeficientes inde- terminados a partir del principio de superposici??n para ecuaciones diferenciales no homoge- neas (teorema 4.7). En la seccion 4.5 presentaremos un m?®todo totalmente distinto, donde se utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Haga su elecci??n.

Para resolver una ecuaci??n diferencial lineal no homog?®nea u~(“)+u,~*y(“-‘)+.~.+a,y’+aoy=g(x) (1) debemos pasar por dos etapas: ii) Establecer cualquier soluci??n particular, yp, de la ecuaci??n no homog?®nea.

Entonces, como vimos en la secci??n 4.1, la soluci??n general de (1) en un intervalo es y =yc + yp. La funci??n complementaria yc es la soluci??n general de la ecuaci??n homog?®nea asociada ,#(ÔÇ£) + an-tvw) + . . . + aty’ + acy = 0. En la ??ltima secci??n vimos c??mo resolver estas ecuaciones cuando los coeficientes son constantes. El primero de dos metodos que debe- mos considerar para obtener una soluci??n particular, yp, se llama m?®todo de los coeficientes indeterminados. La idea b?ísica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El metodo es b?ísicamente di- recto, pero est?í limitado a ecuaciones lineales no homogeneas, como la ecuaci??n (l), en que W Los coeficientes Ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes n g(x) es una constante k, una funci??n polinomial, una funci??n exponencial ear, funciones seno o coseno como sen /3x, cos Bx, o sumas y productos finitos de esas funciones.

Secci??n 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 1 4 3

En t?®rminos estrictos, g(x) = k (una constante) es una funci??n polinomial. Como es probable que una funci??n constante no sea lo primero que se viene a la mente con el concepto de funciones polinomiales, en lo sucesivo, para recordar citaremos la redundpncia ÔÇ£funciones constantes, polinomios . . ÔÇØ A continuaci??n veremos algunos ejemplos de las clases de funciones g(x) adecuadas para nuestra descripci??n: g(x) = 10, g(x) = x2 – 5x, g(x) = 1% – 6 + 8eeX, g(x) = sen 3x – 5x cos 2x, g(x) = ex cos x + (3×2 – l)e-`, etc.: esto es, g(x) es una combinaci??n lineal de funciones del tipo k (constante), xÔÇØ, YeÔÇØ, PP cos /3x y xÔÇØeLw[ sen @XT, en donde n es un entero no negativo y cr y ,0 son n??meros reales. El m?®todo de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma (1) cuando g(x) = lnx, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-%,

etc. En la secci??n 4.6 se trataran ecuaciones diferenciales en que la ÔÇ£entradaÔÇØ (input) de la El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productosson, de nuevo, sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos. Como la combinacion lineal de las derivadas u,&`) + a,typ-`) + . . . + a& + UQQ debe ser id?®ntica a Ilustraremos el metodo b?ísico con dos ejemplos.

Soluci??n general con coeficientes indeterminados Resolver yÔÇØ + 4y’ – 5 = w ! – 3x + 6. (2) SOLUCI?ôN Paso 1. Primero resolveremos la ecuaci??n homog?®nea asociada yÔÇØ + 4y’ – 2y = 0. Al aplicar la f??rmula cuadr?ítica tenemos que las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar rn2 + 4m – 2 = 0 son rnl = -2 – Gy rn2 = -2 + 6 Entonces, la funci??n complementaria es yc = cle-(2+G)x + c2e(-2+ti)x*

Paso 2. Como la funci??n g(x) es un polinomio cuadr?ítico, supondremos una soluci??n particular que tambi?®n tenga la forma de un polinomio cuadr&ico: yp = Ax2 + Bx + C.

Tratamos de determinar coeficientes A, B y C especzjhs para los que y, sea una soluci??n de (2). Sustituimos yP y las derivadas y;=2Ax+B y y;=2A s en la ecuaci??n diferencial dada, la ecuaci??n (2), y obtenemos y;+4y;-2yp=2A+8Ax+4B-2Ax*-2Bx-2C = 2×2 – 3x + 6.

Como se supone que esta ecuaci??n es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben ser iguales:

igual Esto es, Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen A = -1, B = – i y C = -9. As?¡, una soluci??n particular es y,=-x*-Ix-g 2* Paso 3. La soluci??n general de la ecuaci??n dada es y = Y, + Y, = cle-(2+6)* + qe(-2+ti)x – X2 – s x – 9. n 3

Soluci??n particular mediante coeficientes indeterminados Determine una soluci??n particular de yÔÇØ – y’ + y = 2 sen 3~.

S O L U C I ?ô N Una primera estimaci??n l??gica de una soluci??n particular ser?¡a A sen 3~; pero como las diferenciaciones sucesivas de sen 3x dan sen 3x y tambi?®n cos 3x, tenemos que suponer una soluci??n particular que posea ambos t?®rminos: y,=Acos3xi-Bsen3x.

Secci??n 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 1 4 5 th Figual -8A-3B cos3x+ 3A-8B sen3x=O cos3xi-2 sen3x.

Del sistema -8A-3B=O, 3A-8B=2, obtenemos A = 4 y B = – g. Una soluci??n particular de la ecuaci??n es 6 16 y, = 73cos3x – Esen3x.

Como ya mencionamos, la forma que supongamos para la soluci??n particular y, es una estimaci??n coherente, no a ciegas. Dicha estimaci??n ha de tener en cuenta no s??lo los tipos de funciones que forman a g(x), sino (como veremos en el ejemplo 4), las funciones que forman la funci??n complementaria yf.

Formaci??n de y,, por superposici??n Resuelva yÔÇØ – 2y’ – 3y = 4x – 5 + 6xek. (3) SOLUCI?ôN Paso 1. Primero se determina la soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea asocia- da, yÔÇØ – 2y’ – 3y = 0, soluci??n que es yc = cte-‘ + c2e3′, Paso 2. A continuaci??n, la aparici??n de 4x – 5 en g(x) sugiere que la soluci??n particular contiene un polinomio lineal. Adem?ís, como la derivada del producto xeti produce 2xea y eZX, tambi?®n supondremos que en la soluci??n particular hay t?®rminos en x? y en eÔÇØ; en otras palabras, g es la suma de dos tipos b?ísicos de funciones: g(x) = gl(x) + gx(x) = polinomio + exponenciales.

En consecuencia, el principio de superposici??n para ecuaciones no homog?®neas (teorema 4.7) sugiere que busquemos una soluci??n particular

De esta identidad se obtienen cuatro ecuaciones: La ultima ecuaci??n del sistema proviene de la interpretaci??n de que el coeficiente de e> en el lado derecho de (4) es cero. Al resolver el sistema llegamos a A = – f, B = $, C = – 2 y E = – 4. En consecuencia,

Paso 3. La soluci??n general de la ecuaci??n es y = qe-ÔÇØ + c2e SLx4 +z?- zx+4 e2x 3 9 ( 3) .

De acuerdo con el principio de superposici??n, teorema 4.7, tambi?®n podemos atacar al ejemplo 3 resolviendo dos problemas m?ís sencillos. El lector debe comprobar que al sustituir yp, = Ax + B Y yp2 = CxeZX + Eek

se tiene, y,, = – 5 x+yyy,,=-(2x+,;)e 4 En el pr??ximo ejemplo veremos que, una conjetura correcta.

Un tropiezo del m?®todo en yÔÇØ – 2y’ – 3y = 4x – 5 en yÔÇØ – 2y’ – 3y = 6xek 2r. Entonces, una soluci??n particular de la ecuaci??n a veces, la hip??tesis ÔÇ£obviaÔÇØ de la forma de yp no es

SOLUCI?ôN Al derivar d; no se obtienen funciones nuevas. As?¡, si procedemos como en los ejemplos anteriores, es l??gico suponer una solucibn particular de la forma yp = AeÔÇØ. Pero al sustituir esta expresion en la ecuaci??n diferencial obtenemos la afirmaci??n contradictoria 0 = Se’, Aqui, la dificultad se aclara al examinar la funci??n complementaria yC = cle’ + cze&. Vemos que la supuesta Ad( ya est?í presente en yC. Esto quiere decir que e’ es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial homog?®nea asociada, y al sustituir un m??ltiplo constante AeÔÇØ en LEntonces, cu?íl debe ser la forma dey,? Siguiendo el caso II de la secci??n 4.3, veamos si podemos tener una soluci??n particular de la forma yp = AxeÔÇØ.

Secci??n 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 1 4 7

Sustituimos yP = Ax?½r + Ae’ y y; = AxeT + 248 en la ecuaci??n diferencial, simplificamos y obtenemos y; – 5r;, + 4yp = -3AeÔÇØ = 8eÔÇØ.

En esta ecuaci??n vemos que el valor de A es A = – t; por consiguiente, una soluci??n particuhr de la ecuaci??n dada es

8 ??a diferencia entre los procedimientos que empleamos en los ejemplos 1 a 3 y 4 nos lleva a considerar dos casos. El primero refleja lo que sucede en los ejemplos 1 a 3.

CASO 1: Ninguna funci??n en la soluci??n particular supuesta es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial homog?®nea asociada.

En la tabla 4.1 mostramos algunos ejemplos espec?¡ficos de g(x) en (l), con la forma correspondiente de la soluci??n particular. Naturalmente, suponemos que ninguna funci??n, en la soluci??n particular yP supuesta esta duplicada (o reproducida) por una funci??n en la soluci??n complementaria yti

TABLA 4.1 Soluciones particulares tentativas g(x) Forma de yP 1 . 1 (una constante) A 2. 5x+ 7 Ax+B 3. 3×2-2 Ax’+Bx+C 4. x3-x+ 1 Ax3+B$+Cx+E 5. sen 4x Aws4x+Bsen4x ?í./ cos 4x Aws4x+Bsen4x 7. eIr AP 8. (9x – 2) esx (Ax+B)eSX 9. x2e5x (Ax2+Bx+C)eSX 10. e3xsen4x At? ws 4x + Bek sen 4x ll. 5×2 sen 4x , (Ax2+Bx+C)cos4x+(hk2+Fx+G)sen4x 12. XP ws 4x (Ax+B)e3xws4x+(Cx+E)e3Xsen4x

SOLUCI?ôN a) Podemos escribir g(x) = (5×3 – 7)eÔÇØ. Tomamos nuestro modelo del rengl??n 9 de la tabla 4.1, y suponemos que una soluci??n particular tiene la forma y, = (Ax3 + Bx* + Cx + E)e-*.

Obs?®rvese que no hay duplicaci??n entre los t?®rminos dey,, y los de la funci??n complemen- b) La funci??n g(x) = x cos x se parece a la del rengl??n ll de la tabla 4.1 excepto que usamos un polinomio lineal y no cuadr?ítico, y cos x y sen x en lugar de cos 4x y sen 4x, en la forma dey,: y, = (Ax + B) cos x + (Cx + E) sen x.

N??tese que no hay duplicaci??n de t?®rminos entre y,, y yC = ct cos 2x + c2 sen 2x. n

Si g(x) est?í formada por una suma de, digamos, m t?®rminos del tipo de los de la tabla, entonces, como en el ejemplo 3, la hip??tesis de una soluci??n particular yp consiste en la suma de las formas tentativas yp,, yp2, . . . , yp, que corresponden a los t?®rminos Y,=Y,,+Y,,+–*+Ypm.

Lo que acabamos de decir se puede formular tambi?®n como Regla de formaci??n para el caso I La forma dey,, es una combinaci??n lineal de todas las funciones linealmente independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g(x).

Formaci??n de y, por superposici??n, caso I Determine la forma de una soluci??n particular de yÔÇØ – 9y’ + 14y = 3×2 SOLUCI?ôN Suponemos que 3×2 corresponde a Suponemos que -5 sen 2x corresponde a Suponemos que 7xe6X corresponde a Entonces, la propuesta de soluci??n particular es – 5 sen 2x + 7xe61.

Ning??n t?®rmino de esta propuesta repite, o duplica, un t?®rmino de yC = ctezx + c2e7′. n

CASO II: Una funci??n en la soluci??n particular supuesta tambi?®n es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial homog?®nea asociada.

Secci??n 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 149

Soluci??n particular, caso II S O L U C I ?ô N La soluci??n complementaria es y, = cteÔÇØ + ~2×8. Al igual que en el ejemplo 4, la hip??tesis yp = AeÔÇØ no dar?í resultado porque se ve, en yC, que eÔÇØ es una soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea asociada yÔÇØ – 2y’ + y = 0. Adem?ís, no podremos determinar una soluci??n particular de la forma yp = Anti, ya que el t?®rmino xex tambi?®n est?í duplicado en yc. Probaremos a continuaci??n con yp = Ax2eX.

Al sustituir en la ecuaci??n diferencial dada se obtiene 2AeÔÇØ = eÔÇØ, de modo que A=+.

Entonces, una soluci??n particular es y, = i x2ex. n

Supongamos de nuevo que g(x) est?í formada por m t?®rminos de los tipos que aparecen en la tabla 4.1 y que la hip??tesis normal de una soluci??n particular es YP = YP, + YP, + ‘ * . + YP m’ endondelasyp,,i= 1,2,. . ., m son formas tentativas de soluci??n particular que corresponden a esos t?®rminos. En las condiciones descritas en el caso II podemos establecer la siguiente regla general: Regla de multiplicacidn para el caso II Si alguna yPi contiene t?®rminos que duplican los t?®rminos en y, entonces yPi se debe multiplicar por A?`, donde n es el entero positivo mhimo que elimina esa duplicaci??n.

Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valores iniciales yÔÇØ + y = 4x + losenx, y(n) = 0, y'(n) = 2.

Al derivar esta expresi??n y sustituir los resultados en la ecuaci??n diferencial se obtiene yj: + y, = Ax + B – 2Csenx + 2Ecosx = 4x + lOsenx, y as?¡ A = 4 , B = 0 , – 2 C = 1 0 , 2E = 0 .

Las soluciones del sistema se ven de inmediato: A = 4, B = 0, C = -5 y E = 0. Entonces, de acuerdo con (6), obtenemos yp = 4x – 5x cos x. La soluci??n general de la ecuaci??n dada es

Ahora aplicaremos las condiciones iniciales a la soluci??n general de la ecuaci??n. Primero, y(r)-CI cosrr+c2senrr+4r-5rrcos7r=Odact=9rr,porquecos7r=-l ysenrr=O.A continuaci??n, a partir de la derivada y’ = -9rrsenx + c2cosx + 4 + 5xsenx – 5cosx Y y'(?r)=-97rsenn+c2cosn+4+5nsenn-5cosa=2 llegamos a c2 = 7. La soluci??n del problema de valor inicial es y = 97r cos x + 7 sen x + 4x – 5x cos x.

Empleo de la regla de multiplicaci??n S O L U C I ?ô N La funci??n complementaria es yc = cl e3′ + c2xe3X. Entonces, bas?índonos en los renglones 3 y 7 de la tabla 4.1, la hip??tesis normal de una soluci??n particular ser?¡a -ir’ Y4 h Al revisar estas funciones vemos que un t?®rmino de yp2 est?í repetido en yE. Si multiplicamos yp2 por x el t?®rmino xe3* sigue siendo parte de yc. Pero si multiplicamos yp2 por 2 se eliminan todas las duplicaciones. As?¡, la forma operativa de una soluci??n particular es y, = Ax2 + Bx + C + Ex2e3X.

kcci??n 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 1 5 1

Ecuaci??n diferencial de tercer orden, caso I S O L U C I ?ô N Partimos de la ecuaci??n caracter?¡stica m3 + m2 = 0 y vemos que rnl= m2 = 0, y ms = -1. Entonces, la funci??n complementaria de la ecuaci??n es yc = CI + czx + che-`. Si g(x) = ex cos n, de acuerdo con el rengl??n 10 de la tabla 4.1, deber?¡amos suponer y, = AeÔÇØ cos x + Bexsen x.

Como no hay funciones en yp que repiten las funciones de la soluci??n complementaria, procederemos normalmente. Partimos de y; + y; = (-2A + 4B)eÔÇØcosx + (-4A – 2B)eÔÇØsenx = e’cosx y obtenemos -2A + 4B = 1, -4A – 2B = 0.

Con este sistema tenemos A = -i y B = +, de tal suerte que una soluci??n particular es yp = – hti cos x + $z? sen x. La soluci??n general de la ecuaci??n es

1 y=y,+y,=cI+crx+c3e-`-,eÔÇØcosx+ke’senx. n IV J

Ecuaci??n diferencial de cuarto orden, caso II SOLUCI?ôN Comparamos y, = ct + c2x + ~3×2 + c4eeX con nuestra tentativa normal de soluci??n particular y, = A + Bx2emX + Cxe-ÔÇØ + Ee-ÔÇ£, +- Y4 YP* vemos que se eliminan las duplicaciones entre yc y yp cuando se multiplica yp, por x3 y yp, por x. As?¡, la hip??tesis correcta de una soluci??n particular es yp = Ax3 + Bx3emX + CxW f Exe-ÔÇ£. n

En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide al lector resolvix problemas de valores iniciales, y los problemas 37 y 38 son de valores en la frontera. Seg??n se expuso en el ejemplo 8, el lector se debe asegurar de aplicar las condiciones iniciales (o las condiciones en la frontera) a la soluci??n general y =yc + yP. Con frecuencia se cae en el error de aplicar esas condiciones s??lo a la funci??n complementaria yc porque es la parte de la soluci??n donde aparecen las constantes.

EJERCKiOS 4.4 1. y ÔÇØ + 3y’ + 2y = 6 2. 4yÔÇØ + 9y = 15 3. yÔÇØ – 1Oy’ + 25y = 3ox + 3 4. yÔÇØ + y’ – 6y = 2x 5. ;yvy+y=x2-2x 6. yÔÇØ `- 8y’ + 2Oy = lOOx2 – 26xeÔÇØ 7. y ÔÇØ + 3y = -48x2e3r 8. 4yÔÇØ – 4y’ – 3 y = cos 2x 9. y” – y’ = – 3 10. yÔÇØ + 2y’ = 2x + 5 – ew2X ll. yÔÇØ – y’ + i y = 3 + ex’2 12. yÔÇØ – 16y = 2e4X 13. yÔÇØ + 4y = 3 sen 2x 14. yÔÇØ + 4y = (x’ – 3) sen 2x 15. yÔÇØ + y = 2x sen x 16. yÔÇØ – 5y’ = 2×3 – 4×2 – x + 6 17. yÔÇØ – 2y’ + 5y = ex cos 2x 18. yÔÇØ – 2y’ + 2y = e21(cos x – 3 sen x) 19. yÔÇØ + 2y’ + y = senx + 3 cos 2x 20. yÔÇØ + 2y’ – 24y = 16 – (x + 2)e4ÔÇØ 21. y ÔÇ£’ – 6yÔÇØ = 3 – cos x 22. y ÔÇ£’ – 2~ÔÇØ – 4y’ + 8y = 6xezx 23. y ÔÇ£’ – 3yÔÇØ + 3y’ – y= x – 4eÔÇØ 24. y ÔÇ£’ – yÔÇØ – 4y’ + 4y = 5 – ex + e2r 25. yc4) + 2~ÔÇØ + y = (x – l)* 26. yc4) – yÔÇØ = 4x + 2xeex En los problemas 27 a 36, resuelva la ecuaci??n diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

Secci??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 153

35. yÔÇØ’ – 2~ÔÇØ + y’ = 2 – 24eÔÇØ + 40eSÔÇØ, y(O) = i, y'(O) = g, yÔÇØ(O) = – i 36. y ÔÇ£’ + 8y = 2x – 5 + 8em21, y(O) = -5, y'(O) = 3, yÔÇØ(O) = -4 En los problemas 37 y 38, resuelva la ecuaci??n diferencial sujeta a las condiciones en la frontera 37. yÔÇØ + y = 2 + 1, y(O) = 5, y(l) = 0 38. yÔÇØ – 2y’ + 2y = 2x – 2, y(O) = 0, y(r) = ?ú 39. Muchas veces, la funci??n g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el problema de valores iniciales yÔÇØ + 4y = g(x), y(O) = 1, y'(O) = 2, senx, 0 5 x 9 t en donde g(x) = 0, X>E i2

[Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y despu?®s determine una soluci??n tal que y y y’ sean continuas en x = 7ri2.1 Problemas paro discusi??n 40. a) Describa c??mo resolver la ecuaci??n uyÔÇØ + by’ = g(x) de segundo orden sin ayudarse con coeficientes indeterminados. Suponga que g(x) es continua. Tambi?®n tenga en cuenta que.

c) Describa cuando se puede aplicar el m?®todo de la parte a) a las ecuaciones diferenciales 41. Describa c??mo se puede emplear el m?®todo de esta secci??n para determinar una soluci??n particular de yÔÇØ + y = sen x cos 2x. Ponga en pr?íctica su idea.

COEFICIENTES n Factorizaci??n de H Determinaci??n de En la secci??n 4.1 como sigue: INDETERMINADOS, M?ëTODO DEL ANULADOR un operador diferencial H Operador anulador la forma de una soluci??n particular W Coeficientes indeterminados planteamos que una ecuaci??n diferencial lineal de orden n se puede escribir

endonde&=dky/dxk,k=O, l,… , n. Cuando nos convenga, representaremos tambi?®n esta ecuaci??n en la forma L(x) = g(x), donde L representa el operador diferencial lineal de orden n: L = an DÔÇØ + u,-lDÔÇØ-l + * **+ fqD + ao. (2) La notaci??n de operadores es m?ís que taquigraf?¡a ??til; en un nivel muy pr?íctico, la aplicaci??n de los operadores diferenciales nos permite llegar a una soluci??n particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homog?®neas. Antes de hacerlo, necesitamos examinar dos concepto%: Factorizaci??n de operadores Cuando las ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales, se puede factor-izar un operador diferencial lineal (2) siempre que se factorice el polinomio caracter?¡stico u,mÔÇØ + un-lmÔÇØ-‘ + . . . + ulm + UO. En otras palabras, si 1-1 es una ra?¡z de la ecuaci??n UÔÇØrnÔÇØ + uÔÇØ-gnÔÇØ-l + *. *+ U]nz f uo = 0, entonces L = (D – @(II), donde la expresi??n polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n – 1; por ejemplo, si manejamos D como una cantidad algebraica, el operador ti + SD + 6 se puede factorizar como (D + 2)(D + 3) o bien (D + 3)(D + 2). As?¡, si una funci??n y = f(x) tiene segunda derivada, (ll* + SD + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)~.

Lo anterior es un ejemplo de una propiedad general: Los factores de un operador diferencial lineal con coejicientes constantes son conmutativos.

Una ecuaci??n diferencial como yÔÇØ + 4~’ + 4y = 0 se puede escribir en la forma (ll* + 40 + 4)y = 0 o sea (D + 2)(D + 2)y = 0 o sea (D + 2)*y = 0.

Operador anulador Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una funci??n suficientemente diferenciable tal que Jww = 0, se dice que L es un anulador de la funci??n; por ejemplo, una funci??n constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La funci??n y = x es anulada por el operador diferencial 02 porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, D3x2 = 0 7 etc?®tera.

El operador diferencial DÔÇØ anula cada una de las siguientes funciones: 1, x, 2, . . ., X=-l.

Secci??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 1 5 5

se puede anular definiendo un operador que anule la potencia m?íxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de orden n son aquellas que se pueden obtener de la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial homog?®nea Lb) = 0.

El operador d?¡ferenCaL (D – aY $nula cada una de las siguientes funciones eÔÇØÔÇ£r, Xe?=, 2e) . . . , f-`e*. (3 Para comprobarlo, observemos que la ecuaci??n auxiliar de la ecuaci??n homog?®nea (D – 0)ÔÇ£~ = 0 es (m – a)ÔÇØ = 0. Puesto que cy es una ra?¡z de multiplicidad n, la soluci??n general es y = c,eÔÇØ + c2xeax + **. + cnxÔÇØ-leax. (6)

Operadores anuladores Determine un operador diferencial que anule la funci??n dada (a) 1 – 5×2 + 8×3 (b) e-3X (c) 4e2ÔÇØ – 10xe2X x SOLUCI?ôN a) De acuerdo con (3), sabemos que D4x3 = 0 y, como consecuencia de (4), D4( 1 – 5×2 + 8×3) = 0.

b) De acuerdo con (5), con cr = -3 y n = 1, vemos que c) Seg??n (5) y (6), con a! = 2 y n = 2, tenemos (D – 2)2(4eÔÇØ – 10×8) = 0. w Cuando cr y fl son n??meros reales, la f??rmula cuadr?ítica indica que [m2 – 2am + (cr2 + @)]ÔÇØ = 0 tiene las ra?¡ces complejas Q: + ip, Q – ip, ambas de multiplicidad n. De acuerdo con la explicaci??n al final de la secci??n 4.3 llegamos al siguiente resultado.

SOLUCI?ôN Al examinar las funciones e-‘ cos 2x y e-‘ sen 2x se ve que cy = -1 y ,R = 2. Entonces, seg??n (7), llegamos a la conclusi??n de que d + 20 + 5 anulara cada funci??n. Dado que d + 20 + 5 es un operador lineal, an@r?í cualquier combinaci??n lineal de esas funciones, como 5eÔÇØ cos 2x – 9eÔÇØ sen 2x. n

Cuando (-Y = 0 y n = 1 se tiene el caso especial de (7): Por ejemplo, D* + 16 anula cualquier combinaci??n lineal de sen 4x y cos 4x. .I Con frecuencia desearemos anular la suma de dos o m?ís funciones. Seg??n acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal que Lo/t) = 0 y L&) = 0, entonces anula la combinaci??n lineal CI yr(x) + CZJQ(X). Esto es consecuencia directa del teorema 4.2. Supongamos que Ll y L2 son operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes, tales que Lr anula ay,(x) y L2 anula ay&), pero Ll&) f 0 y Lz(y1) # 0. Entonces, elproducto de los operadores lineales, LI&, anula la suma CI yt(x) + c&x). Esto se demuestra con facilidad aplicando la linealidad y el hecho de que L& = L2Lr: ~IL(Yl + Y2) = LJqYl) + ~lL(Y2) = L-L(Yl) + LL(Y2) \I\I cero cero Por ejemplo, de acuerdo con (3), sabemos que 02 anula a 7 – x y seg??n (8), 02 + 16 anula sen 4x. Entonces, el producto de los operadores, que es @(d + 16), anula la combinaci??n lineal 7-x+6sen4x.

El operador diferencial que anula a una funci??n no es ??nico. En la parte b) del ejemplo 1 se??ala- mos que D + 3 anula a ev3′, pero tambi?®n la anulan operadores diferenciales de orden superior, siempre que D + 3 sea uno de los factores del operador; por ejemplo, (D + 3)(D + l), (D + 3)* y D~(D + 3) anulan, todos, a ee3′. (Compru?®belo.) Para este curso, cuando busquemos un anulador de una funci??n y =f(x) obtendremos el operador del orden m?¡nimo posible que lo haga.

Secci??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 1 5 7

de orden superior LrL(,v) = 0, descubriremos la forma de una soluci??n particular, y,, de la ecuaci??n original no homog?®nea L(y) = g(x). A continuaci??n sustituimos esa forma supuesta en L(y) = g(x) para determinar una soluci??n particular expl?¡cita. Este procedimiento de deter- minaci??n de yp se llama mbtodo de los coeficientes indeterminados y lo aplicaremos en los Antes de seguir, recordemos que la soluci??n general de una ecuaci??n diferencial lineal no homog?®nea Uy) = g(x) es y = yc + yp, donde yc es la funci??n complementaria; esto es, la soluci??n general de la ecuaci??n homog?®nea asociada L(y) = 0. La solucion general de cada ecuaci??n L(y) = g(x) est?í definida en el intervalo (-, oo).

mm Soluci??n general mediante coeficientes indeterminados 1 Resuelva yÔÇØ + 3y’ + 2y = 4×2. (9) S O L U C I ?ô N Paso 1. Primero resolvemos la ecuaci??n homog?®nea yÔÇØ + 3y’ + 5 = 0. A continuaci??n, a partir de la ecuaci??n auxiliar m* + 3m + 2 = (m + l)(m + 2) = 0, determinamos que rnl = -1 y m2 = – 2; por lo tanto, la funci??n complementaria es y, = ele-X + c2e?

Como se supone que esta ultima ecuaci??n tiene que ser una identidad, los coeficientes de las potencias de igual grado en x deben ser iguales: igual

Esto es, 2C=4, 2B+6C=O, 2A+3B+2C=O. (13) Resolvemos las ecuaciones en (13), para obtener A = 7, B = -6 y C = 2. En esta forma, yP = Paso 3. La soluci??n general de la ecuaci??n (9) es y = yc + yP, o sea Y = clevx -t c2e-2x + 7 – 6x + 2×2. n

Soluci??n general empleando coeficientes indeterminados Resuelva yÔÇØ – 3y’ = 8e3′ + 4 sen x. (14) S O L U C I ?ô N Paso 1. La ecuaci??n auxiliar de la ecuaci??n homog?®nea asociadayÔÇØ – 3y’ = 0 Paso 2. En vista de que (D – 3)e3X = 0 y (0ÔÇØ + 1) senx = 0, aplicamos el operador diferencial (D – 3)(@ + 1) a ambos lados de (14): (D – 3)(02 + l)(W – 3D)y = 0. (15) La ecuaci??n auxiliar de la ecuaci??n (15) es h – 3)(m2 + l)(m2 – 3m) = 0 0 sea m(m – 3)2(m2 f 1) = 0.

Despu?®s de excluir la combinaci??n lineal de t?®rminos indicada en gris que corresponde ay,, llegamos a la forma de yP: yp=Axe3’+Bcosx+Csenx.

Secci??n 4.5 Coeficientes indeterminados, rn&do del anulador 1 5 9 Vemos que A = 5, B = ! y C = – 7 y, en consecuencia, 86 yP=3xe3ÔÇØ+Jcosx-$senx.

Paso 3. Entonces, la soluci??n general de (14) es y = cl f c2e 3x 8 6 2 + -xe3* + -cosx – -senx 355 n *

Soluci??n general mediante coeficientes indeterminados Resuelva yÔÇØ + y = x cos x – cns x. (16) SOLUCI?ôN La funci??n complementaria es yc = cl cos x + c2 sen x. Si comparamos cos x y x cos x con las funciones del primer rengl??n de (7), veremos que a = 0 y n = 1, as?¡ que (0′ + 1)2 es un anulador del lado derecho de la ecuaci??n (16). Aplicamos ese operador a la ecuaci??n y tenemos (02 + l)ÔÇ£(o’ + 1)y = 0, 0 sea (02 + 1)3y = 0.

Como i y -i son, a la vez, ra?¡ces complejas de multiplicidad 3 de la ecuaci??n auxiliar de la ultima ecuaci??n diferencial, concluimos que + c3x cos x + cqx sen x c5x2 cos x + c&u2 sen x.

Sustituimos yp = Axcosx + Bxsenx + Cx2cosx + Ex2senx en la ecuaci??n (16) y simplificamos: y; +y, = 4Excosx – 4Cxsenx + (2B + 2C)cosx + (-2A + 2E)sax = xcosx – cosx.

Igualamos los coeficientes y obtenemos las ecuaciones 4E = 1, -4C = 0, 2B + 2C = -1, -2A + 2E = 0, cuyas soluciones son A = $, B = – i, C = 0 y E = $. En consecuencia, la soluci??n general de (16) es y = clcosx + c2senx + ~xcosx – ixsenx + ix2senx.

Forma de una soluci??n particular Determine la forma de una soluci??n particular de yÔÇØ – 2y’ + y = 1 oc-2X cos X. (17) S O L U C I ?ô N La funci??n complementaria, para la ecuaci??n dada, es yc = cl$ + czx$. De acuerdo con (7), con cx = – 2, /3 = 1 y n = 1, sabemos que (02 + 40 + 5)f+ cos x = 0.

Aplicamos el operador L? + 40 + 5 a la ecuaci??n 17 para obtener (D* + 40 + 5)(D* – 20 + 1)y = 0. (18) Como las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar de (18) son -2 – i, -2 + i, 1 y 1,

Se llega a una soluci??n particular de (17) de la forma y, = Ae-2X cos x + Be-** sen x. n

Forma de una soluci??n particular Determine la forma de una soluci??n particular de YÔÇØ’ – 4yÔÇØ + 4y’ = 5×2 – 6x + 4x*eÔÇØ + 3eSX. (1% S O L U C I ?ô N Primero vemos que D3(5×2 – 6~) = 0 , ( D – 2)3x2e2ÔÇØ = 0 , y (Ll – 5)eSÔÇØ = 0.

Entonces, al aplicar D3(D – 2)3(D – 5) a (19) se obtiene D3(D – 2)3(D – 5)(D3 – 4D2 + 4D)y = 0 0 sea D4(D – 2)`(D – 5)y = 0.

F?ícilmente se advierte que las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar de la ??ltima ecuaci??n diferencial son 0, 0 , 0 , 0 , 0,2,2,2,2,2 y 5. De aqu?¡ que

Secci??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 1 6 1

Resumen del m?®todo Para comodidad del lector resumiremos el m?®todo de los coeti- tientes indeterminados.

Caficicantes inde??srminados, mittodo deI anulpdor La ecuaci??n diferencial Uy) g(x) tiene @nci??n Ic` ~ons?¡ste = coeficientes con@antes y la g(x) r+xxu&te en sumas y productos fUos de eonsmntes, polinomios, funciones e~~~~i~~s e) 8seno8s i) Se determina la soluci??n complementaria, yc, :, de la ecuac?¡6n homog?®nea J;(F) == 0. ?¡i) Ambos lados de la ecuaci??n no homog?®nea Lo/) = g(x) se Someten a Ia acci??n de anule funci??n iii) Se determina la solueidn general la ecuaci??n diferencial homog?®nea de orrden ‘ de ci??n homog?®nea iv) De la soluci??n obtenida en el paso iii), se eliminan todos los t?®rminos duplicados en la solucion complementaria, yc, que se determin~ en el paso ?¼). Se forma una com- binaci??n lineal, y,, con los terrnbms restantes. Esta ser?í la forma de una soluci&r v) Se sustituye yp que se determin?? en el paso iv) en Ltjo = g(x). Se ignalan los coeficientes de las d?¡versas funciones a cada lado de la igualdad y se despejan los coeficientes desconocidos enyp del sistema de ecuaciones resultante. vi) Con la soluci??n particular que se determino en el paso v), se forma la soluci??n general y = yc + yF de la ecuaci??n diferencial dada.

El m?®todo de los coeficientes indeterminados no se puede aplicar a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) sea una funci??n como las siguientes: g(x) = In x, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-`x, etc. En la pr??xima secci??n trataremos las ecuaciones diferenciales en que la entrada g(x) es una funci??n como estas ??ltimas.

En los problemas 1 a 10 escriba la ecuaci??n diferencial dada en la forma L(y) = g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L.

En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial mencionado anula la funci??n ll. 04; y = 10×3 – 2x 12. 20 – 1; y = 4eX’* 13. (D – 2)(0 + 5); y = eh + 3emsX 1 4 . D* + 6 4 ; y = 2 cos 8x – 5 sen 8x En los problemas 15 a 26, determine un operador diferencial lineal que anule la funci??n dada. 1 5 . 1 + 6x – 2×3 1 6 . n'(1 – 5~) 1 7 . 1 + 7e** 1 8 . x + 3xe6X 19. cos 2x 20. 1 +sen x 21. 13~ + 9×2 – sen 4x 22. 8x – sen x + 10 cos 5x 23 . emx + 2xe* – x2ex 24. (2 – ex)* 25. 3 + ex cos 2x 26 . evx sen x – ezX cos x En los problemas 27 a 34, determine funciones linealmente independientes que anulen el operador diferencial dado.

Secci??n 4.6 Variaci??n de par?ímetros 163 62. 2~”‘ – 3yÔÇØ – 3y’ + 2y = (ex + e-X)2 6 3 . yc4) – 2~ÔÇ£’ + yR = ex + 1 64. y (4) – 4yÔÇØ = 5×2 – e*x Resuelva la ecuaci??n diferencial de cada uno de los problemas 65 a 72, sujeta a las condiciones 65. y” – 64y = 16, y(O) = 1, y'(O) = 0 66. yÔÇØ -t y’ = x, y(O) = 1, y'(O) = 0 67. yÔÇØ – 5y’ = x – 2, y(O) = 0, y'(O) = 2 68. yÔÇØ + 5y’ – 6y = loe*ÔÇ£, y(O) = 1, y'(O) = 1 69. yÔÇØ +y = 8 cos 2x – 4senx, y(q) = -l,y'(I) = 0 70. y ÔÇ£’ – 2~ÔÇØ + y’ = xex + 5, y(O) = 2, y'(O) = 2, yÔÇØ(O) = -1 71. yÔÇØ – 4y’ + 8y = x3, y(O) = 2, y'(O) = 4 72. y y(O) = 0, y'(O) = 0, yÔÇØ(O) = 0, yyo) = 0 yc4) – ÔÇ£’ = x + ex, Problema para discusi??n 73. Suponga que L es un operador diferencial lineal factorizable, pero que tiene coeficientes variables. iLos factores de L se conmutan? Defienda su aseveraci??n.

VARIAdN DE PAR?üMitROS W Forma reducida de una ecuaci??n diferencial lineal, no homog?®nea y de segundo orden n Una soluci??n particular con par?ímetros variables n Determinaci??n por integracidn de parcimetros variables n El wronskiano n Ecuaciones diferenciales de orden superior

El procedimiento que seguimos en la secci??n 2.3 para llegar a una soluci??n particular de una ecuaci??n diferencial lineal de primer orden

2 + WY = f(x) (1) en un intervalo se aplica tambi?®n a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar el m?®todo de variaci??n de par?ímetros a una ecuaci??n diferencial de segundo orden, a*(x)y M + &)Y’ + @o( = gw (2)

dividi?®ndola por el primer coeficiente, u&). Suponemos que P(x), Q(x) yf(x) son continuas en alg??n intervalo 1. La ecuaci??n (3) es el an?ílogo de la ecuaci??n (1). Seg??n vimos en la secci??n 4.3, no hay dificultad en obtener la funci??n complementaria, yc, de (2), cuando los coeficientes son constantes.

Hip??tesis Es similar a la hip??tesis yp = u(x)yl(x) que usamos en la secci??n 2.3 a fin de hallar una soluci??n particular, yp, de la ecuaci??n lineal de primer orden (1). Para la ecuaci??n lineal de segundo orden (2) se busca una soluci??n de la forma

en que yt y y2 formen un conjunto fundamental de soluciones, en 1, de la forma homog?®nea asociada de (2). Aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar y, y obtenemos JJ; = u1.Y; + YlU?¡ + UzYl + Y24 yp = u1yy + y; u; + y1l.d; + u?¡y; + uzy; + y; 2.4; + y*u; + u;y;.

Sustituimos (4), las derivadas de arriba en la ecuacion (2) y agrupamos los t?®rminos:

cero cero Y,ÔÇØ + P(x)Y; + QY, = ul[ yt + Py?¡ + Qy11 + uz[ y; + Py; + Qyz] = 2 [y1u?¡l+ $ [Y&l + P[y*ul + y&] + y?¡u; + y;u;

= & [YlU?¡ + Y&] + P[y,u?¡ + y24] + y?¡u; + y;u; =f(x). (5) Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, UI y UZ, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hip??tesis adicional de que las funciones ~1 y u2 satisfacen ylu; + y& = 0. Esta hip??tesis es pertinente porque si pedimos que ylu; +y2& = 0, la ecuaci??n (5) se reduce ay;u; + y;u; =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que dese?íbamos, aunque sea para determinar las derivadas U; y u;. Aplicamos la regla de Cramer y la soluci??n del sistema y*u?¡ + y*u; = 0 Y?¡U?¡ + y;u; = f(x)

Secci??n 4.6 Variaci??n de par?ímetros 165 Las funciones ut y 2.~ se determinan integrando los resultados en (6). Se ve que el determinante IV es el wronskiano de yl y y2. Sabemos, por la independencia lineal entre yt y y2 en Z, que W(`yt(x), yz(x)) # 0 para toda x en el intervalo.

Resumen del m?®todo Por lo general, no se aconseja memorizar f??rmulas, sino m?ís bien comprender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para recurrir a ?®l cada que deseemos resolver una ecuaci??n diferencial. En este caso lo m?ís eficaz es usar las formulas (6). As?¡, para resolver avÔÇØ + aty’ + soy = g(x), primero se halla la funci??n complementaria y, = ctyt + ~2~2, y despu?®s se calcula el wronskiano W(yr(x), y&)). Se divide entre a2 para llevar la ecuaci??n a su forma reducidayÔÇØ + Py’ + Qy =f(x) para hallar-f(x). Se determinan ut y u2 integrando, respectivamente, u; = WtIWy u; = WzIW, donde se definen WI y W 2 de acuerdo con (7). Una soluci??n particular es y, = ulyl + 2~2~2. La soluci??n general de la ecuaci??n es, por consiguiente, y = yc + y,.

Soluci??n general mediante variaci??n de par?ímetros S O L U C I ?ô N Partimos de la ecuaci??n auxiliar m2 – 4m + 4 = (m – 2)2 = 0, y tenemos que yc = qe2 + c2xP. Identificamos yt = e& y y2 = xeti y calculamos el wronskiano

W(e*ÔÇ£, XeÔÇØ) =e2* Xe** 2e2* 2xe2X + e**= e4x Como la ecuaci??n diferencial dada est?í en la forma reducida (3) (esto es, el coeficiente de yÔÇØ es l), vemos quef(x) = (x + 1)eÔÇØ. Aplicamos (7) y efectuamos las operaciones 0 xe*X w1 = (x + l)e*ÔÇØ 2xe2X + e*X= -(x + 1)xe4X, w, = e** 0 2e*ÔÇØ (x + l)e*ÔÇØ y as?¡, seg??n (6),

u; = – ( e4x — x* -x, u; = t x `,-`ÔÇ£ÔÇØ x3 2 2 En consecuencia, u1=-3-2, y u2=5+x.

Entonces, y,= (-$-ZT)++ ($+x).,U= ($+g)eL1 Y y = y, + y, = clezx + c2xe2* +

SOLUCI?ôN Primero llevamos la ecuaci??n a su forma reducida (6) dividi?®ndola por 4: yÔÇØ + 9y = $ csc 3x.

En virtud de que las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar rn2 + 9 = 0 son ml = 3i y m2 = -3i, la funci??n complementaria es yC = CI cos 3x + c2 sen 3~. Sustituimos y1 = cos 3x, y2 = sen 3x yf(x) = $ csc 3x en las definiciones (7) y obtenemos

w,= Al integrar obtenemos As?¡, una soluci??n W(cos O sen 3x f csc 3x 3 cos 3x cos 3x sen 3x 3 -3sen3x 3 cos3x = =–1 cos 3x 0 w, = 4 ‘ -3 sen 3x f csc 3x

w*- 1 cos3x u;=—-1 – – Wl- W 12 y ÔÇØ = W- 12sen3x 1 ul=-?zx y particular es 3x, sen 3~) = 4 sen 3x

YP = – 12 La soluci??n general de la ecuaci??n es y=y,+yp=cIcos3x+czsen3x – Ix cos 3x + $ (sen3x) lnjsen3xlt (8) . 12 La ecuaci??n (8) representa la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial en, por ejemplo, el intervalo (0,7r/6).

Constantes de integraci??n Al determinar las integrales indefinidas de u; y u;, no necesitamos introducir constantes. Porque Y = Yc + Yp = WI + c2y2 + (Ul + al) y1 + (U2 + b,)yz = (Cl + a1)v1+ cc2 + WY2 + WY1 + u2y2 = ClYl + c2y2 + Ulyl + u2y2.

Secci6n 4.6 Variaci??n de par6metros 167 S O L U C I ?ô N La ecuaci6n auxiliar, m2 – 1= 0 da como resultado ml = -1 y rn2 = 1. Entonces, YC = qe?» + czemX. Tenemos W(eX, e-ÔÇ£> = – 2 y P(llx) `z-p, Ul – 2

Se sabe bien que las integrales que definen a ut y u2 no se pueden expresar en t?®rminos de funciones elementales. En consecuencia, escribimos

y as?¡ En el ejemplo 3 podemos integrar en cualquier intervalo xg I t S x que no contenga al origen.

Ecuaciones de orden superior El m?®todo que acabamos de describir para las ecua- ciones diferenciales no homog?®neas de segundo orden, se puede generalizar a ecuaciones lineales de orden n escritas en su forma est&ndar y'”‘ f P”&)y(“-‘) + * – * -+ e(x f zl(4Y = f(x). (9) Siyc= qy1+ c2 y2 + *. . + c,, yn es la funci??n complementaria de (9), una soluci??n particular es

Yp = W>Yl(X) + ~Z(XlYZ(X) + . . . + UntxlYntx), enquelas&k= 1,2,. . . , n est?ín determinadas por ias n ecuaciones Yl4 + y2u; + * * * + y,u; = 0 y?¡u; + y;u; f * * * + yAu,: = 0

en donde W es el wronskiano de yt, y2, . . . , yn, y wk es el determinante obtenido al sustituir la k-?®sima columna del wronskiano por la columna

i) El m?®todo de variaci??n de par?ímetros tiene una clara ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre llega a una soluci??n particular, yP, cuando se puede resolver la ecuaci??n homog?®nea relacionada. Este m?®todo no se limita a una funci??nf(x) que sea una combinaci??n de los cuatro tipos de funciones de la p?ígina 121. En las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables tambi?®n se puede aplicar el m?®todo de la variaci??n de par?ímetros, ii) En los problemas que siguen, no se debe vacilar en simplificar la forma de yp. De acuerdo con la forma en que se haya llegado a las antiderivadas de u?¡ y ui, quiz?í el lector no llegue a la misma yP que aparece en la parte de respuestas; por ejemplo, en el problema 3 tanto y,, = f sen x – f x cos x como yP = f sen x – f x cos x son respuestas v?ílidas. En cualquiera de los casos, la soluci??n general y = y, + yP se simplifica ay = c1 cos x + cz sen x – f x cos x. iPor qu?®?

Resuelva cada una de las ecuaciones par?ímetros. Proponga un intervalo en 1. yÔÇØ + y = sec x 3. yÔÇØ + y = sen x 5. yÔÇØ + y = co& 7. yÔÇØ – y = cosh x 9. y” – 4y = 5 ll. yv + 3jJ’ + 2y = & 13. yÔÇØ + 3y’ + 2y = sen ex E yÔÇØ-2y’+y=& 17. yÔÇØ + 2y’ + y = e-x In x 19. 3~ÔÇØ – 6y’ + 3Oy = ex tan 3x diferenciales en los problemas 1 a 24 por variaci??n de que la soluci??n general est?® definida.

Secci??n 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Euler 169 21. yÔÇØ’ + y’ = tan x 2 2 . yÔÇØ + 4y’ = sec 2x 2 3 . yÔÇØ’ – 2~ÔÇØ – y ‘ + 2y = e3x 2 4 . 2~ÔÇ£’ – 6yÔÇØ = x2 En los problemas 25 a 28 resuelva por variaci??n de par?ímetros la ecuaci??n respectiva, sujeta 2 5 . 4yÔÇØ – y = xeX12 26. 2~ÔÇØ + y ‘ – y = x + 1 2 7 . y ÔÇØ + 2y’ – 8y = 2e-2x – e-ÔÇØ 2 8 . y ÔÇØ – 4y’ + 4y = (12~~ – 6x)e2ÔÇØ 29. Si y1 = x-l’* cos x y yz = x-l’* sen x forman un conjunto fundamental de soluciones de x’yÔÇØ + xy’ + (x* – i)y = 0 en (0, -), determine la soluci??n general de

( 11 30. Si yl= cos(ln x) y y2 = sen@ x) son soluciones conocidas, linealmente independientes, de x*yÔÇØ + xy’ + y = 0, en (0, -), determine una soluci??n particular de x2yÔÇØ + xy’ + y = sec(ln x).

Problemas para discusi??n 31. Determine la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial del problema 30. Diga por qu?® el 32. Describa c??mo se pueden combinar los m?®todos de coeficientes indeterminados y de variaci??n de par?ímetros para resolver la ecuaci??n diferencial

ECUACI?ôN DE CAUCHY-EULER n Una ecuaci??n diferencial lineal con coejcientes variables especiales n Ecuaci??n auxiliarm Ra?¡ces de una ecuaci??n auxiliar cuadr&ica n Formas de la soluci??n general de una ecuaci??n diferencial de Cauchy-Euler, lineal, homog?®nea y de segundo orden n Uso de variaci??n de par?ímetros n Ecuaciones diferenciales de orden superiorm Reducci??n a ecuaciones con coeficientes constantes

exponenciales. Es m?ís, este metodo de soluci??n es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes.

Ecuaci??n de Cauchy-Euler o ecuaci??n equidimensional Toda ecuaci??n dife- rencial lineal de la forma a,xn dÔÇØy – + un-p n-l -dÔÇØ+-`v + al + a0y = g(x), ti UY- 2 donde los coeficientes a,,, a,,-1, . , , , ao son constantes, tiene los nombres de ecuaci??n de Cauchy-Euler, ecuaci??n de Euler-Cauchy, ecuaci??n de Euler o ecuaci??n equidimensional. La caracter?¡stica observable de este tipo de ecuaci??n es que el grado k = n, n – 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciaci??n, dky/&: iguales iguales 1 J 1,1, a,x ndzyn + anmlx ÔÇ£I=, + *’ *.

Al igual que en la secci??n 4.3, comenzaremos el desarrollo examinando detalladamente las formas de las soluciones generales de la ecuaci??n homog?®nea de segundo orden ax2 2 + bx 2 + CY = 0.

La soluci??n de ecuaciones de orden superior ser?í an&loga. Una vez determinada la funci??n complementaria y,(x) tambi?®n podemos resolver la ecuaci??n no homogenea m*yÔÇØ + bxy’ + cy = g(x) con el m?®todo de variaci??n de parametros.

El coeficiente de d2yldx2 es cero cuando x = O; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuaci??n de Cauchy-Euler, concentraremos nuestra atenci??n en determinar la soluci??n general en el intervalo (0, A). Se pueden obtener las soluciones en e/ intervalo (-, 0) sustituyendo t = -x en la ecuaci??n diferencial.

M?®todo de soluci??n Intentaremos una determinar. La primera y segunda derivadas

-dyCmm-l Y dx En consecuencia solucibn de la forma y = xÔÇØ, donde m esta por son, respectivamente, dx*

Secci??n 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Eulsr 171 As?¡, y = xÔÇØ es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial siempre que m sea una soluci6n de la ecuaci??n auxiliar am(m-l)+bm+c=O o am2+(b-a)m+c=O. (1) Hay tres casos distintos por considerar que dependen de si las ra?¡ces de esta ecuaci??n cuadr?ítica son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas. En el ??ltimo caso las ra?¡ces seran un par conjugado.

CASO 1: ra?¡ces reales distintas Sean rnl y m2 las ra?¡ces reales de (l), tales que rn1 f m2. Entonces y, = ~`ÔÇ£1 y ys = xÔÇØ* forman un conjunto fundamental de soluciones. As?¡ pues, la soluci??n general es y = c,xm’ + c2P’. (2)

Ecuaci??n de Cauchy-Euler: ra?¡ces distintas -1 B & S O L U C I ?ô N En Iugar de memorizar la ecuaci??n (l), para comprender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de la ecuaci??n auxiliar y la que obtuvimos en la secci??n 4.3 las primeras veces es preferible suponer que la solucibn es y = xm. Diferenciamos dos veces bu, mm-`, $ = m(m – l)xm-*, dx y sustituimos en la ecuaci??n diferencial &Q – 2x dzY – 4y = x2 – m(m – l)xÔÇØ-* – 2x *mii?-‘ – 4xÔÇØ dx2 =xÔÇØ(m(m-l)-2m-4)=xÔÇØ(m2-3m-4)=0 si m2 – 3m – 4 = 0. Pero (m + l)(m – 4) = 0 significa que m1 = -1 y m2 = 4, as?¡ que y = c,x-‘ + c2x4. n

e identificamos P(x) = b/u.x e j (b/ux)dx = (Mu) In x. As?¡ = Xm, x-bla . +m, dx c e-(bk,lnx = elnr-b’ÔÇØ = X-bla

X-blo . x(b-+ dx c -2m, = b = Xm, ( – a)/a I

x Entonces, la soluci??n general es y = clPI + c2Xm’ In x (3)

Ecuaci??n de Cauchy-Euler: ra?¡ces repetidas Resuelva 4×2 fi + 8x !!?! + y = 0 u!2AC S O L U C I ?ô N La sustituci??n y = xm da

cuando 4m2 + 4m + 1 = 0, o (2m + 1)2 = 0. Como ~tll= -$ la soluci??n general es y = c1x-112 + c~x-ÔÇ£~ In x. n Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si rnl es ra?¡z de multiplicidad k, entonces PI, xÔÇØ’ In x, fl'(ln x)~, . . ., z?l(ln x)!+l son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia, la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial debe contener una combinaci??n lineal de esas k soluciones.

Secci??n 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Euler 173 que, seg??n la f??rmula de Euler, es lo mismo que De igual manera, x-@ = cos@ In x) – isen@ In x).

Sumamos y restamos los ??ltimos dos resultados para obtener x@ + x+ = 2 cos@ In x) y xiP – x-i!3 = 2i sen@ In x), respectivamente. Bas?índonos en quey = C#+@ + CzxcriO es una soluci??n para todos los valores de las constantes vemos, a la vez, para CI = C2 = 1 y CI = 1, Cz = -1, que

yl = Xn(XiS + x-iB) o bien y1 = 2xÔÇØ cos@ In x) tambi?®n son soluciones. Como W(.P cos(/3lnx), (0, -), llegamos a la conclusi??n yl = xa cos@ In x) y, = XqxiP – x-`P) Y y y, = 2ixÔÇØsen(@ In x) xa sen@ In x)) = @?’ f 0, ,0 > 0 en el intervalo

y y2 = xa sen@ In x) forman un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuaci??n diferencial; por lo tanto, la soluci??n general es y = xa[cl cos (p In x) + c2 sen(p In x)]. (4)

Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valor inicial xZ~+3x~+3y=0, y(l)=l,y'(l)=-5.

S O L U C I ?ô N Tenemos que x&+ 3xdY,+3y=xÔÇØ(m(m-1)+3m+3)=xm(m2+2m+3)=0 ak2 cuando m2 + 2m + 3 = 0. Aplicamos la f??rmula cuadr?ítica y vemos que rnl = -1 + 6i y m2 = -1 – fii. Si identificamos CY = -1 y p = fi, de acuerdo con (4), la soluci??n general de – la ecuaci??n diferencial es y = .rl[cl cos( ti In x) + c,sen( ti In x)].

Al aplicar las condiciones y(l) = 1, y'(l) = -5 a la soluci??n anterior, resulta que cl = 1 y c2 = – 2 6 As?¡, la soluci??n al problema de valores iniciales es

FIFURA 4.5 A continuaci??n mostraremos un ejemplo de soluci??n de una ecuaci??n de Cauchy-Euler de tercer orden.

Ecuaci??n de Cauchy-Euler de tercer orden Resuelvax 3 d3y iz a!x3 a!2 SOLUCI?ôN Las primeras tres derivadas dey = xÔÇØ son $ = mÔÇØ-l, $$ = m(m – ~)AF, $$ = mcrn – l)trn – 2p-3

as?¡ que la ecuaci??n diferencial del problema se transforma en

ÔÇØ + 8y = x3m(m – l)(m – 2) .xÔÇØ-~ + 5x2m(m – 1)~~ + ~xI>zT~-~ + 8~ÔÇØ = x*(m(m – l)(m – 2) + 5m(m – 1) + 7m -k 8) = xm(m3 f 2m2 + 4m + 8) = xm(m + 2)(m2 + 4) = 0.

En este caso vemos que y = xÔÇØ’ ser?í una soluci??n de la ecuaci??n cuando mt = -2, m2 = 2i y ms = -2i. En consecuencia, la soluci??n general es y = c1,c2 + c2 cos(2 In x) + qsen(2 In x). n

Dado que el m?®todo de los coeficientes indeterminados solo se puede aplicar a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, no es aplicable directamente a una ecuaci??n no En nuestro ultimo ejemplo emplearemos el m?®todo de variacion de par?ímetros.

M?®todo de variaci??n Resuelva la ecuaci??n no homog?®nea x2yÔÇØ SOLUCI?ôN Sustituimos y = xm y kci??n 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Euler 175

de par?ímetros llegamos a la ecuaci??n auxiliar Antes de emplear variaci??n de par?ímetros para encontrar una soluci??n particular yp = uryt + ~2~2, recordemos que las f??rmulas u; = WtIW y ui = W2/W (donde WI, IV2 y W son los determinantes definidos en la pagina 164) se dedujeron segun la hip??tesis de que la ecuaci??n diferencial se hab?¡a puesto en la forma reducida, yÔÇØ + P(x)y’ + Q(x)y =f(x); por consiguiente, dividiremos la ecuaci??n dada entre x2 y, de

identificamosf(x) = 2.~~8. Entonces, con y1 = x, yz = x3 y x 2 0 x3 0 WCI13x2I=2×3,w,=/2x2eX3x2/=-2x5eX,W,=I12x2eXl=2x3eJ encontramos 2x5eX -x2eX Y I – 2x3eX – ex ui=-2×3= u2 2×3 * La integral de la ??ltima funci??n es inmediata; pero en el caso de u; integraremos dos veces por partes. Los resultados son ul= -28 + 2×8 -28 y 2.42 = 8; por consiguiente, y, = Wl f U2Y2 = (- x2ex + 2xex – 2eÔÇØ)x + eJx3 = 2x2eX – 2xeÔÇØ.

Por ultimo, llegamos ay = yC + yp = ctx + c2x3 + 2x2eX – 2xe’. n

donde t = III x. Este ??ltimo resultado ilustra otro hecho matem?ítico: toda ecuaci??n de Cauchy-Euler siempre se puede escribir en la forma de una ecuaci??n difereriial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustituci??n x = e’. La idea es resolver la nueva ecuaci??n diferencial en t?®rminos de la variable t siguiendo los m?®todos de las secciones anteriores, y una vez obtenido la soluci??n general, restituir t = un x. Dado que con este procedimiento se repasa muy bien la regla de la cadena para diferenciaci??n, se recomienda no dejar de resolver los problemas 35 a 40 en los ejercicios 4.7.

En los problemas 1 a 22 resuelva la 1. x2yÔÇØ – 2y = 0 3. xyÔÇØ + y’ = 0 5. x2yn + xy’ + 4y = 0 7 . x2yÔÇØ – 3xy’ – 2y = 0 9. 2WyÔÇØ + 25xy’ + y = 0 ll. x2yv + 5xy’ + 4y = 0 13. x2yM – xy’ + 2y = 0 15. 3x2yÔÇØ + 6xy’ + y = 0 1 7 . x3yÔÇØ’ – 6y = 0 19. x3~-2x’d;2zy-2x~+8y=o

20. x3$2×2~+4xf$4y=0 21. .%+6$$=0 2. 4xZyÔÇØ +y= 0 4. xyÔÇØ – y’ = 0 6. x2yÔÇØ + 5xy’ + 3y = 0 8 . x2yn + 3xy’ – 4y = 0 1 0 . 4x2yÔÇØ + 4xy’ -y = 0 12. x2yÔÇØ + 8xy’ + 6y = 0 14. x2yN – 7xy’ + 41y = 0 16. 2x2yÔÇØ + xy’ + y = 0 1 8 . x3yÔÇØ’ + xy’ -y = 0

d4y dp3y+9x ,d2y dy 22. x~~+~x , dxZ+3xz+y=0

Resuelva los problemas 29 a 34 por el 29. xyÔÇØ + y’ = x 31. 2SyÔÇØ + 5xy’ + y = x* – x 33. x*yn – xy’ + y = 2x Secci??n 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177

30. xyÔÇØ – 4y’ = x4 32. x*yÔÇØ – 2xy’ + 2y = x4ex 34. x*yÔÇØ – 2xy’ + 2y = x3 In x En los problemas 35 a 40 use la sustituci??n x = et para transformar la ecuaci??n respectiva de Cauchy-Euler en una ecuaci??n diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuaci??n original a trav?®s de la nueva ecuaci??n mediante los procedimientos de las secciones 4.4 y 4.5.

35. d2Y dr x*-+10xdx+8y=x2 36. x2yÔÇØ – 4xy’ + 6y = In x* dx* 37. x2yÔÇØ – 3xy’ + 13y = 4 + 3x 38. 2x2yÔÇØ – 3xy’ – 3y = 1 + 2x + x* 39. x2yÔÇØ + 9xy’ – 2oy = 5 40. x3dlv -3×2$$+6xg-6y=3+lnx3 dx3 Problema para discusi??n 41. El valor del primer coeficiente, u,$, de toda ecuaci??n de Cauchy-Euler es cero cuando x = 0. Se dice que 0 es un punto singular de la ecuaci??n diferencial (v?®ase sec. 6.2). Un punto singular es potencialmente problem?ítico porque las soluciones de la ecuaci??n diferencial pueden llegar a ser no acotadas o presentar alg??n comportamiento peculiar cerca del punto. Describa la naturaleza de los pares de ra?¡ces mt y m2 de la ecuaci??n auxiliar de (1) en cada uno de los siguientes casos: 1) reales distintas (por ejemplo, rnl positiva y m2 positiva); 2) reales repetidas, y 3) complejas conjugadas. Determine las soluciones correspondientes y, con una calculadora graficadora o software graficador, trace `esas soluciones. Describa el comportamiento de esas soluciones cuando x + O+.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES W Soluci??n de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales W Operadores diferenciales lineales W Eliminaci??n sistem?ítica n Soluci??n con determinantes Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas consisten en dos o m?ís ecuaciones con derivadas de dos o m?ís funciones desconocidas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable f, 4%= -5x+y x’-3x+y’+ z’=5 Y x’ – y’ + 22′ = t* 2d-2-y$=3x-y x + y’ – 6~’ = t – 1 son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simult?íneas.

Soluci??n de un sistema Una soluci??n de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciables x = &(t), y = &(t), z = &(t), etc., que satisfacen cada ecuaci??n del sistema en un intervalo com??n 1.

Eliminaci??n sistem?ítica El primer m&odo que describiremos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se basa en el principio alge- braico de la eliminaci??n sistemhtica de variables. El an?ílogo de multiplicar una ecuaci??n algebraica por una constante es operar una ecuaci??n diferencial con alguna combinaci??n de derivadas. Para este fin, se reformulan las ecuaciones de un sistema en thninos del operador diferencial D. Recu?®rdese que, seg??n la secci??n 4.1, una ecuaci??n lineal ??nica any@) + a,-,y@-`) + * * * -t aIyr + soy = g(t), endondelasat,i=O,l,…, n son constantes, se puede escribir en la forma (a,DÔÇØ + a,-IDn-l + * * * + aID + ao)y = g(t).

El operador diferencial lineal de orden n, a,DÔÇØ + a,-JY-‘ f 3. . + A&I + ao se representa en la forma abreviada P(D). Como P(D) es un polinomio en el s?¡mbolo D, podremos factorizarlo en operadores diferenciales de orden menor. Ademas, los factores de P(D) son conmutativos.

Sistema escrito en notacih de operador Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales xÔÇØi2x’+yÔÇØ-x+3y+sent x’ + y’ = -4x f 2y + e-l en notaci??n de operador.

SOLUCI?ôN El sistema dado se reescribe como sigue: xÔÇØ f 2x’ – x -k yÔÇØ – 3y = sen t (02 + 20 – 1)~ + (D2 – 3)y = sen t de modo que x’ + 4x + y’ – 2y = e-‘ (D f 4)~ f (D – 2)y = e-`. H

M?®todo de soluci??n Se tiene el sistema sencillo de ecuaciones lineales de primer orden Dy=2n (1) Dx=3y 0, lo que es igual, 2x-Dy=0 (2) Dx – 3y = 0.

Sedn 4.8 Sistemor de ecuaciones heales 179 Si aplicamos D a la primera de las ecuaciones (2) y multiplicamos por 2 la segunda, para luego restar, se elimina la x del sistema. Entonces -D*y + 6y = 0 o sea D2y – 6y = 0.

Puesto que las raices de la ecuaci??n auxiliar son ml = ?¡16y rn2 = -$, se obtiene y(t) = c,efif + Qf+. (3) Si multiplicamos por -3 la primera de las ecuaciones (2) y aplicamos D a la segunda para despu& sumar, llegamos a la ecuaci??n diferencial dx – 6~ = 0 en X. De inmediato resulta que x(t) = c?«efit + c#?-+ (4) Las ecuaciones (3) y (4) no satisfacen el sistema (1) para cualquier elecci??n de cl, CZ, ~3 y ~4. Sustituimos x(t) y y(t) en la primera ecuaci??n del sistema original (1) y, despu?®s de simplificar, el resultado es (6, – 2c3)e\/6′ + (- tiC2 – 2c,)e-fi/6′ = 0.

Como la ??ltima expresi??n debe ser cero para todos los valores de t, se deben cumplir las condiciones VGC, – 2c3 = 0 y -G,-2c,=o

es decir, c3 =v-zcl, ,23 (5) 2 2 c2* En consecuencia, una soluci??n del sistema ser?í

El lector puede sustituir las ecuaciones (3) y (4) en la segunda de las expresiones (l), para comprobar que rige la misma relaci??n, (5), entre las constantes.

Soluci??n por eliminaci??n Resuelva Dx + (D + 2)y = 0 (D – 3)~ – 2y = 0. (6)

SOLUCI?ôN Al operar con D – 3 en la primera ecuaci??n, con D en la segunda y restando, se elimina la x del sistema. Entonces, la ecuaci??n diferencial para y es [(D – 3)(D + 2) + 2DJy = 0 o sea (D2 + D – 6)~ = 0.

Dado que la ecuaci??n caracter?¡stica de la ultima ecuaci??n diferencial es m2 + m – 6 = (m – 2)(m + 3) = 0, llegamos a la soluci??n y(t) = clezl + c2e-31. (7) Eliminamos y en forma similar y vemos que (0′ + D – 6)~ = 0, de donde se obtiene x(t) = c3e2′ + c4e-3t. (8) Como hicimos notar en la descripci??n anterior, una soluci??n de (6) no contiene cuatro constantes independientes, porque el sistema mismo establece una restricci??n en el numero de constantes que se puede elegir en forma arbitraria. Al sustituir los resultados (7) y (8) en la primera ecuaci??n de (6), el resultado es (4Cl + 2c3)e2′ + (-c2 – 3c4)em3′ = 0.

De 4cl + 2~3 = 0, y -c2 – 3~4 = 0 se obtiene cg = -2ct y q = – $ ~2. En consecuencia, una soluci??n del sistema es

1 x(t) = -2cle2t – – c2em3′ 3 n Como tambi?®n pudimos despejar c3 y q en t?®rminos de CI y ~2, la soluci??n del ejemplo 2 puede tener la forma alternativa x(t) = c3e2′ + c4em3′ y(t) = – ; c3e2′ – 3c4em3′.

Al resolver los sistemas de ecuaciones conviene fijarse bien en lo que se hace pues a veces se consiguen ventajas. Si hubi?®ramos resuelto primero para x, luego podr?¡amos haber hallado y y la relaci??n entre las constantes mediante la ??ltima ecuaci??n de (6). El lector debe comprobar que sustituir x(t) en y = $0~ – 3~) da como resultado y = – icse2′ – 3c4eV3′.

Soluci??n por eliminaci??n Resuelva x’ – 4x + yÔÇØ = t* x’+ x+y’=O.

SOLUCI?ôN Primero expresamos el sistema en notaci??n de operadores diferenciales: (D – 4)x + LPy = t* (10) (D + 1)x + Dy = 0.

Secci??n 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 1 8 1

A continuaci??n eliminamos x y obtenemos [(D + 1)W – (D – 4)D]y = (D + l)t2 – (D – 4)O 0 sea (D3 + 4D)y = tz + 2t.

Como las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar m(m2 + 4) = 0 son rnl = 0, rn2 = 2i y m3 = -2i, la funci??n complementaria es y, =`CI.+ c2 cos 2t + c3sen2t.

Para determinar la soluci??n particular y aplicaremos el m?®todo de los coeficientes indeter- minados, suponiendo que yp = A? + Bt !2 + Ct. Entonces y; = 3@ + 2Bt + C, y; = 6At + 2B, y; = 6A, y,ÔÇ£`+4y;=12At2+8Bt+6A+4C=t2+2t.

La ??ltima igualdad implica que 12A=l, 8B=2 y 6A+4C=O, porloqueA=$B=fyC=-$.As?¡

Y = yc + YjJ = Cl + c2 cos 2t + c3 sen2t `t3 + (11) $2 – + 12 Eliminamos y del sistema (10) y se llega a [(D – 4) – D(D + l)]x = t2 o sea (D2 + 4)~ = -t2.

Es obvio que xc = c4 cos 2t + c5 sen 2t y que el m&odo de los coeficientes indeterminados se puede aplicar para obtener una solucih particular de la forma Xi = A? + Bt + C. En este caso, al diferenciar y efectuar operaciones ordinarias de Igebra, se llega a x,., = – + ? + i, as?¡ que

Ahora bien, c4y c5 se pueden expresar en t?®rminos de cz y c3 sustituyendo las ecuaciones (ll) y (12) en alguna de las ecuaciones (9). Si empleamos la segunda ecuaci??n obtendremos, despu& de combinar los t?®rminos, (c5 – 2c, – 2c2) sen 2t + (2~ + c4 + 2c3) cos 2t = 0 de modo que c5 – 2c4 -2cz=o y 2c5 + c4 + 2c3 = 0.

Si despejamos c4 y cs en t?®rminos de c2 y cs, el resultado es c4 = – 5 (4c* + 2c3) y c5 = ; (2c* – 4c3).

Finalmente se llega a una soluci??n de (9), que es x(t) = – 5 (4Cz + 2Cj) COS 2t + 5 (2c, – 4c3)sen2t – + t2 + i y(t)=c~+c~cos2t+c3sen2t+~t3+$t2-it.

Regreso a un modelo matem?ítico Seg??n la secci??n 3.3, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) describe las cantidades de libras de sal q(t) y xz(t), en una salmuera que circula entre dos tanques. En aquella ocasi??n no pudimos resolver el sistema. Pero ahora lo haremos escri- biendo el sistema en t?®rminos de operadores diferenciales:

Operamos la primera ecuaci??n con D + -;ÔÇ£;, multiplicamos la segunda por $,, las sumamos y simplificamos. El resultado es (625D2 + 1000 + 3)x, = 0.

FOITIIU~XIIQS la ecuaci??n auxkrr, que es 625m2 + 100m + 3 = (25m + 1)(25m + 3) = 0, y vemos de inmediato que q(t) = c1e-t’z + c2e-3t’25.

De igual forma legamos a (6259 + 1000 + 3)~ = 0, as?¡ que Sustituimos XI(~) y x&) en, digamos, la primera ecuaci??n del sistema y obtenemos (2cr – c3)e-t’2s + ( -2c2 – c4)e-3ÔÇØ25 * 0.

De acuerdo con esta ecuaci??n, cg = 2ct y c4 = -2~. Entonces, una soluci??n del sistema es q(t) = cl e-r’25 + c2e-3t’25 x2(t) = 2cle-ÔÇ£25 – 2c2e-3t’z.

Secci?ín 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 183 En la descripci??n original supusimos que las condiciones iniciales eran XI(O) = 25 y ~(0) = 0. Aplicamos esas condiciones a la soluci??n, por lo que CI + cz = 25 y 2ct – 2~2 = 0. Al resolver simult?íneamente esas ecuaciones, llegamos a cl = c2 = `;-. As?¡ tenemos una soluci??n del problema de valor inicial:

n Uso de determinantes Si Ll, L2, L3 y L4 representan operadores con coeficientes constantes, es factible escribir un sistema de ecuaciones les en las dos variables x y y como sigue: LlX + L2Y = g,(O L3x + L4y = g20).

Eliminamos variables, como lo har?¡amos en las ecuaciones algebraicas, y diferenciales lineales diferenciales linea-

(13) tenemos (LA – Jx3)x = fi(4 Y (LlL4 – uJ3)Y = mr (14) en donde fa) = L4gdO – Lzgz(t) Y Ji(t) = Lg2(0 – L3g*(O.

Los resultados de (14) se pueden expresar formalmente en t?®rminos de determinantes anftlogos a los que se usan en la regla de Cramer: (W El determinante del lado izquierdo de cada una de las ecuaciones (15) se puede desarrollar en el sentido algebraico usual y el resultado opera sobre las funciones x(t) y y(t). Sin embargo, hay que tener cuidado al desarrollar los determinantes del lado derecho de las ecuaciones ( 15). Se deben desarrollar cuidando que operadores diferenciales internos act??en realmente sobre las funciones gt(t) y g2(t).

Si I l Ll L2 fo L3 L4 en (15) y es un operador diferencial de orden n, entonces n El sistema (13) se puede descomponer y formar dos ecuaciones diferenciales de orden n Las ecuaciones caracter?¡sticas y, por lo tanto las funciones complementarias de esas n Como x y y contienen n constantes cada una, aparece un total de 2n constantes. n La cantidad total de constantes independientes en la soluci??n del sistema es n.

Si 0 en (13), el sistema puede tener una soluci??n que contiene cualquier cantidad de constantes independientes e incluso carecer de soluci??n. Observaciones an?ílogas se aplican a sistemas mayores que el de las ecuaciones (13).

Soluci??n con determinantes Resuelva x’ = 3x – y – 12 (16) y’ = x + y + 4e’.

SOLUCI?ôN Escribimos el sistema en notaci??n de operadores diferenciales: (D – 3)x + y= -12 –ix + (D – 1)y = 4e’.

Aplicamos los determinantes ÔÇ£-1′ D!&= 1, D!,I ÔÇ£-1′ .`,ly= IDi3 ,;l( Desarrollamos y llegamos a (D – 2)2x = 12 – 4e’ y (D – 2)2y = -12 – 8e’.

Secci??n 4.6 Sistemas de ecuaciones lineales 185 De ser posible resuelva cada sistema de ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 22 mediante eliminaci??n sistem?ítica o por determinantes.

En los problemas 23 y 24 resuelva el sistema respectivo, sujeto a las condiciones iniciales indicadas.

23. $ = -5x-y ÔÇØ = 4x – y; x(l) = 0, y(l) = 1 2.Pd;=y-1 -d$y = -3x + 2y; x(O) = 0, y(O) = 0 25. Un caf?¡??n dispara un proyectil cuyo peso es w = mg y cuya velocidad v es tangente a su trayectoria. Sin tener en cuenta la resistencia del aire y dem?ís fuerzas, salvo su peso, formule un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento (Fig. 4.6). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: emplee la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] 26. Deduzca un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento del problema 2.5, si el proyectil se encuentra con una fuerza de retardo k (de magnitud 4, que obra tangente a la trayectoria, pero opuesta al movimiento (Fig. 4.7). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: k es un m??ltiplo de la velocidad, es decir, CV.]

FIGURA 4.6 FIGURA 4.7

Secci??n 4.9 Ecuaciones no lineales 187 En el cap?¡tulo 2 se??alamos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, si son exactas, separables, homog?®neas o quiz?í de Bernoulli. Aun cuando las soluciones estaban en forma de una familia a un par?ímetro, esta familia no representaba invariablemente la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial. Por otra parte, al poner atenci??n en ciertas condiciones de continuidad obtuvimos soluciones generales de ecuaciones lineales de primer orden. Dicho de otra manera, las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden tener soluciones singulares, mientras que las ecuaciones li- neales no. Pero la diferencia principal entre las ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden o mayor es la posibilidad de resolverlas. Dada una ecuaci??n lineal, hay la posibilidad de establecer alguna forma manejable de soluci??n, como una soluci??n expl?¡cita o una que tenga la forma de una serie infinita. Por otro lado, la soluci??n de las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior es todo un desafio. Esto no quiere decir que una ecuaci??n diferencial no lineal de orden superior no tenga soluci??n, sino m?ís bien que no hay m?®todos generales para llegar a una soluci??n expl?¡cita o impl?¡cita. Aunque esto parece desalentador, hay algunas cosas que se pueden hacer. Siempre es factible analizar cuantitativamente una ecuaci??n no lineal (aproximar una soluci??n con un procedimiento num?®rico, graficar una soluci??n con un Para empezar, aclaremos que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior son importantes -incluso m?ís que las lineales-, porque a medida que se afina un modelo matem?ítico (por ejemplo, el de un sistema f?¡sico) se aumenta la posibilidad de que ese mode- Comenzaremos ejemplificando un m?®todo de sustituci??n que a veces permite determinar las soluciones expl?¡citas o impl?¡citas de tipos especiales de ecuaciones no lineales.

Uso de sustituciones Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y’, yÔÇØ) = 0 en que falta la variable dependiente y, y las F(Y, y’, yÔÇØ) = 0 donde falta la variable in- dependiente,x, se pueden reducir a ecuaciones de primer orden mediante la sustituci??n u = y’. El ejemplo 1 muestra la t?®cnica de sustituci??n para una ecuaci??n tipo F(x, y’, yÔÇØ) = 0. Si u = y’, la ecuaci??n diferencial se transforma en F(x, U, u’) = 0. Si resolvemos esta ??ltima ecuaci??n podremos determinar y por integraci??n. Dado que estamos resolviendo una ecuaci??n de segundo orden, su soluci??n tendr?í dos constantes arbitrarias.

Falta la variable dependiente y 1 S O L U C I ?ô N Si u = y’, entonces du/a!x = yÔÇØ. Despu?®s de sustituir, la ecuaci??n de segundo orden se reduce a una de primer orden con variables separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es U:

Por comodidad, la constante de integraci??n se expresa como ct2. En los pr??ximos pasos se aclarar?í la raz??n. Como 24-1 = Uy’, entonces L&- 1 –~ dx 2+C,2′ ak y=-I m o bien Y= – i tan-‘ : + c2. n

A continuaci??n mostraremos la forma de resolver una ecuaci??n de la forma F@, y’, yÔÇØ) = 0. De nuevo haremos u = y’, pero como falta la variable independiente x, usaremos esa sustituci??n para transformar la ecuaci??n diferencial en una en que la variable independiente sea y y la dependiente sea u. Con este fin usaremos la regla de la cadena para determinar la segunda derivada dey: yt, d-u du – du du d x dydx=`d;* Ahora, la ecuaci??n de primer orden que debemos resolver es F(y, u, u du/dy) = 0.

Falta la variable independiente x S O L U C I ?ô N Con la ayuda de u = y’ y de la regla de la cadena que mostramos arriba, la ecuaci??n diferencial se transforma en du dy =u2 osea u=y.

&= Y Al despejar u de la ??ltima ecuaci??n en funci??n de y, obtenemos u = cu, en donde hemos redefinido la constante fec como ~2. A continuaci??n restituimos u = Gy/dr, separamos va- riables, integramos y de nuevo redefinirnos las constantes:

Uso de la serie de Taylor En algunos casos se puede aproximar una soluci??n a un problema de valor inicial en que las condiciones iniciales se especifiquen en xe mediante una serie de Taylor centrada en xc.

Secci??n 4.9 Ecuaciones no hales 1 8 9 Si adem?ís suponemos que la soluci??n y(x) del problema es anal?¡tica en 0, entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:

N??tese que los valores del primero y segundo t?®rminos en la serie (2) son conocidos, ya que se establecen en las condiciones iniciales y(O) = -1, y'(O) = 1. Adem?ís, la misma ecuaci??n diferencial define el valor de la segunda derivada en 0: yÔÇØ(O) = 0 + y(O) -y(O)* = 0 + (-1) – (-l)* = -2. A continuaci??n se pueden determinar expresiones para las derivadas superiores yÔÇØ`, yy . . , calculando las derivadas sucesivas de la ecuaci??n diferencial:

yÔÇØ(x)=$(x+y-y~)=l+y’-2yy’ (3) yÔÇØÔÇ£`(X) = g (1 + y’ – 2yy’) = yÔÇØ – 2yyÔÇØ – 2(y’)ÔÇØ (4) y'”‘(x) = $y” -2yy”-2(y’)2) = y”‘ – 2yy”‘-fjy’y” (5)

etc. Sustituimos y(O) = -1 y y'(O) = 1 y vemos, de acuerdo con (3), que yÔÇØ`(O) = 4. Con base en los valores y(O) = -1, y'(O) = 1 y yÔÇØ(O) = -2, determinamos y@)(O) = -8 con la ecuaci??n (4). Con la informaci??n adicional de que yÔÇØ`(O) = 4 aplicamos la ecuaci??n (5) y llegamos a y(ÔÇ£)(O) = 24. Entonces, seg??n (2), los seis primeros t?®rminos de una solucih en serie del problema de valores iniciales (1) son 1 y(x)= -1 +x-xÔÇØ+;x3-3×4+~x5+. . . . n

Empleo de un programa ODE soh?r Es posible examinar la ecuaci??n del ejemplo 3 usando un ODE solver. En la mayor parte de los programas de c??mputo, a fm de examinar num&icamente una ecuacih diferencial de orden superior se necesita expresar la ecuaci??n diferencial en forma de un sistema de ecuaciones. Para aproximar la curva de soluci??n de un problema de valores iniciales de segundo orden g =f(x,y,y’), Y (xo) = Yo, Y'(Xo) = Yl se sustituye dy/& = u y entonces d *y/& = du/ak La ecuaci??n de segundo orden se transforma en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, en las variables dependientes YYU:

An?ílisis gr?ífico del ejemplo 3 De acuerdo con el procedimiento anterior, el problema de valores iniciales de segundo orden, del ejemplo 3, equivale a

du -=x+y-y2 dx cuyas condiciones iniciales Sony(O) = -1, u(O) = 1. Con ayuda de estos programas se obtiene la curva soluci??n que aparece en gris en la figura 4.8. Para comparar se muestra tambi?®n la curva en negro del polinomio de Taylor de quinto grado ?¡ÔÇØs(x) = -1 + x -x2 + %3 – $xÔÇØ + 9′. Aunque no conocemos el intervalo de convergencia de la serie de Taylor que obtuvimos en el ejemplo 3, la cercan?¡a de las dos curvas en la vecindad del origen sugiere la posibilidad de convergencia de la serie en el intervalo (-1, 1). w

La gr?ífica en gris de la figura 4.8 origina algunas preguntas cualitativas: ??La soluci??n del problema original de valor inicial cuando x + 00 es oscilatoria? La gr?ífka, generada con un programa en el intervalo m?ís grande de la figura 4.9 parecer?¡a sugerir que la respuesta es s?¡. Pero este solo ejemplo por s?¡ solo, o hasta un conjunto de ejemplos, no contesta la pregunta b?í- sica de si todas las soluciones de la ecuaci??n diferencial yÔÇØ = x + y – y’ son de naturaleza oscilatoria. Tambi?®n, iqu?® sucede con la curva de soluci??n en la figura 4.8 cuando x est?í cerca de -l? ??Cu?íl es el comportamiento de las soluciones de la ecuaci??n diferencial cuando x + =? En general, Llas soluciones son acotadas cuando x + m? Preguntas como las anteriores

Y t I polinomio de Tavlor ll/ – curva de soluci??n generada con un programa

Secci??n 4.9 Ecuaciones no lineales 191 no tienen respuesta f?ícil cuando se trata de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, pero algunos tipos de estas ecuaciones se prestan a un anhlisis cualitativo sistem?ítico. Las ecuaciones no lineales de segundo orden de la forma

JYY, Y’, Y’? = 0 0 sea $$ =f((Y, Y’) (esto es, ecuaciones diferenciales sin dependencia expl?¡cita de la variable independiente X) se llaman aut??nomas. La ecuacih diferencial del ejemplo 2 es aut??noma; la ecuaci??n del ejemplo 3 es no authoma.

En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuaci??n diferencial dada, pero que y = CVI + c2y2 no lo es, en general.

1. (yU) = y2; y, = ex, yz = cos x 2. yyÔÇØ = + (y’)2; y1 = 1, y2 = xz

Resuelva la ecuaci??n diferencial correspondiente a cada uno de los problemas 3 a 8, con la 3. yÔÇØ + (y’)ÔÇØ + 1 = 0 4 y ÔÇØ = 1 + (y’)ÔÇØ 5. x2yÔÇØ + (y’)’ = 0 6. (y + 1)~ÔÇØ = (y’)ÔÇØ 7. yÔÇØ + 2y(y’)3 = 0 8. yÔÇØyÔÇØ = y’ 9. Determine la soluci??n del problema de valor inicial yÔÇØ + yy’ = 0, y(O) = 1, y'(O) = -1.

Use un programa ODE solver para graficar la curva de soluci??n. Trace la soluci??n explicita con una calculadora graficadora. Determine un intenialo de validez de la soluci6n. 10. Establezca dos soluciones al problema de valor inicial

valor inicial. Use un ODE solver y una calculadora graficadora para comparar la curva soluci??n 13. yÔÇØ = x + y*, y(O) = 1, y'(O) = 1 14. yÔÇØ + y* = 1, y(O) = 2, y'(O) = 3 15. yv = x2 + y* – 2y’, y(O) = 1, y'(O) = 1 16. yÔÇØ = ey, y(O) = 0, y'(O) = -1 1 7 . En clculo diferencial, la curvatura de una curva representada por y =f(x) se define como sigue:

Determine una funci??n, y =f(x), para la cual K = 1. [Sugerencia: por simplicidad, no tenga en cuenta las constantes de integraci??n.] 1 8 . Un modelo matemhtico de la posici??n, x(t), de un cuerpo con movimiento rectil?¡neo en el eje x dentro de un campo de fuerzas que varhn con la inversa del cuadrado de la distancia es d2x k2 -=–* dt2 x2 Suponga que cuando t = 0, el cuerpo parte del reposo en la posici??nx =xo, xg > 0. Demuestre que la velocidad del objeto en cualquier momento est?í definida por

Use esa ecuaci??n en un sistema algebraico de computaci??n para llevar a cabo la integraci??n y expresar al tiempo t en funci??n de x.

Secci??n 4.9 Ecuaciones no hea~es 193 conocimientos acerca de las ecuaciones lineales. Sin tratar de comprobar, describa por qu?® las dos combinaciones lineales especiales, y = ctd; + csemX y yz = cg cos x + q sen x, deben satisfacer la ecuaci??n diferencial.

Resuelva los problemas 1 a 10 sin consultar el texto. Llene el espacio en blanco o conteste cierto o falso. En algunos casos quiz?ís haya m?ís de una respuesta correcta. 1. La soluci??n ??nica deyÔÇØ + x’y = 0, y(O) = 0, y'(O) = 0 es 2. Si dos funciones diferenciables, J(x) y b(x), son linealmente independientes en un intervalo, WY;(x),fz(x)) # 0 para cuando menos un punto en el intervalo. 3. Dos funciones,ft(x) yf,(x), son linealmente independientes en un intervalo si una no es 4. Las funcionesft(x) = x2,f2(x) = 1 – x2 yf3(x) = 2 + x2 son linealmente en el 5. Las funciones fi(x) = x2 y fi(x) =xx11son linealmente independientes en el intervalo y lineahnente dependientes en el intervalo 6. Dos soluciones, yt y ~2, de yÔÇØ + y’ + y = 0 son linealmente dependientes si W@r, yz) = 0 7 . Un m??ltiplo constante de una soluci??n de una ecuaci??n diferencial tambi?®n es una soluci??n.

8 . Existe un conjunto fundamental de dos soluciones de (x – 2)~ÔÇØ +y = 0 en cualquier intervalo que no contenga al punto 9. Para el m?®todo de los coeficientes indeterminados, la forma supuesta de la soluci??n particular, y,, deyÔÇØ – y = 1 + ex es 10. Un operador diferencial que anula a e2ÔÇØ(x + sen x) es En los problemas ll y 12 determine una segunda soluci??n de la ecuaci??n diferencial, si YI ll. yÔÇØ + 4y = 0, y, = cos 2x 12. xyÔÇØ – 2(x + 1)~’ + (x + 2)y = 0, yl = ex En los problemas 13 a 20 determine la soluci??n general de cada ecuaci??n diferencial. w. yÔÇØ – 2y’ – 2y = 0 14. 2yÔÇØ + 2y’ + 3y = 0 15. yÔÇØ’ + lOyÔÇØ + 25~’ = 0 16. 2~ÔÇ£’ + 9~ÔÇØ + 12~’ + 5y = 0 17. 3y’ÔÇØ + 1OyÔÇØ + 15y’ + 4y = 0 18 2!!Y+3tJ!+2blY+6dyz-4y=o l dx4 aY dx2

En los problemas 21 a 24 resuelva cada ecuaci??n, con el m?®todo de los coeficientes indetermi- 21. yÔÇØ – 3y’ + 5y = 4×3 – 2x 22. yÔÇØ – 2y’ + y = x2ex 23. y ÔÇ£’ – 5yÔÇØ+6y’=2senx+8 24.yÔÇØ-yÔÇØ=6 En los problemas 25 a 28 resuelva la ecuaci??n diferencial correspondiente sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

25. yÔÇØ – 2y’ + 2y = 0, 0 ; = 0, y(a) = -1 y 26. yÔÇØ – y= x + 3en x, = 2, y'(O) = 3 y(O) 27. y’yÔÇØ = 4x, y(l) = 5, y'(l) = 2 28. ayu = 3y2, y(O) = 1, y'(O) = 1 Resuelva cada ecuaci??n de los problemas 29 a 32 aplicando el m?®todo de variaci??n de parhmetros.

29. yÔÇØ – 2y’ + 2y = e’ tan x 30. y-y=& 31. x2yÔÇØ – 4xy’ + 6y = 2×4 + x2 32. x2yÔÇØ – xy’ + y = x3 En los problemas 33 y 34 resuelva la ecuaci??n diferencial respectiva sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

34, yÔÇØ + y = sec3x, y(O) = 1, y'(O) = $ En los problemas 35 a 38 aplique el mdtodo de eliminaci??n sistemhtica o el de determinantes para resolver ca& uno de los sistemas.

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 5.1.4 Sistemas an&logos 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera 5.3 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

Hemos visto que una sola ecuaci??n diferencial puede servir como modelo matem?ítico de distintos fen??menos. Por este motivo, en la secci??n 5.1 examinaremos con mayor de- talle una aplicaci??n, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la terminolog?¡a y las interpretaciones f?¡sicas de los cuatro t?®rminos de la ecuaci??n lineal ayÔÇØ + by’ + cy = g(t), veremos que los procedimientos matem?íticos para manejar, por ejemplo, un circuito el?®ctrico en serie son id?®nticos a los que se emplean en un sistema vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuaci??n diferencial de segundo orden surgen en el an?ílisis de problemas en muchas y diversas ?íreas de la ciencia y la ingenier?¡a. En la secci??n 5.1 s??lo estudiaremos problemas devalor inicial. En la secci??n 5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera, adem?ís de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores propios y funciones propias. La secci??n 5.3 se inicia con una descripci??n de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra c??mo el p?®ndulo simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales.

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL n Sistema lineal din?ímico H Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento w Sistema de resorte y masa w Movimiento libre no amortiguado W Movimiento arm??nico simple n Ecuaci??n del movimiento w Amplitud n ?üngulo de f2ue n Resorte desgastable w Movimiento libre amortiguado w Movimiento forzado w T?®rminos transitorios y de estado estable W Resonancia pura W Circuitos en serie

En esta secci??n revisaremos varios sistemas dinhicos lineales (p?íg. 127) en donde cada modelo matem?ítico es una ecuaci??n diferencial de segundo orden con coeficientes constantes d*y dy `2% + al dt No olvidemos que la funci??n g es la entrada (funci??n de entrada o funci??n forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial en un intervalo que contiene a co que satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = yo, y'(to) =y1.

5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 est?í unida a un resorte flexible colgado de un soporte r?¡gido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongaci??n o alargamiento del resorte cambiar?í.

soporte rfgido resorte sin estirar 8 Ib en reposo 64 0.4 Cc) FIGURA 5.1

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineoles: problemas de valor inicial 197

esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirar?í el resorte f de pie.

Segunda ley de Newton Despu?®s de unir una masa M a un resorte, ?®sta lo estira una longitud s y llega a una posici??n de equilibrio, en la que su peso, W, est?í equilibrado por la fuerza de restauraci??n AZS. Recu?®rdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2(b), la condici??n de equilibrio es mg = ks o mg – ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posici??n de equilibrio, la fuerza de restituci??n del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que act??en sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restituci??n y el peso: mf$=-k(s+n)+ mg= -kx+mg-ks= -kx. (1) cero

El signo negativo de la ecuaci??n (1) indica que la fuerza de restituci??n del resorte act??a en la direcci??n opuesta del movimiento. Adem?ís, podemos adoptar la convenci??n que los desplaza- mientos medidos abajo de la posici??n de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).

c;:, c;:, c;:, c;:, (27 r,-+-Le—– LI I: t xo posici??n de equilibrio —1– mg-h=0 !m!!f movimiento (al (b) (cl FIGURA 5.2 FIGURA 5.3

Ecuaci??n diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuaci??n (1) por la masa m, obtendremos la ecuaci??n diferencial de segundo orden d2xldt 2 + (k/m)x = 0, 0 sea

x(O) = o, la cantidad de desplazamiento inicial, y x'(O) = ,B, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si QI > 0, ,LI < 0, la masa parte de un punto abajo de la posici??n de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si cr < 0, ,0 = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado IcyJ unidades arriba de la posici??n de equilibrio, etc?®tera.

Soluci??n y ecuaci??n del movimiento Para resolver la ecuaci??n (2) observemos que las soluciones de la ecuaci??n auxiliar m2 + w2 = 0 son los n??meros complejos mt = wi, m2 = -wi. As?¡, seg??n (8) de la secci??n 4.3, la soluci??n general de (2) es x(t) = cl cos wt + c2 sen of. (3) El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 27r/w, y la frecuencia es f = l/T = wl2n. Por ejemplo, para x(t) = 2 cos 3t – 4 sen 3t, el periodo es 21rf3 y la frecuencia es 3l21r. El n??mero anterior indica que la gr?ífica de x(t) se repite cada 27r/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gr?ífica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/27r vibraciones completas por unidad de tiempo. Adem?ís, se puede demostrar que el periodo 27r/w es el intervalo entre dos m?íximos sucesivos de x(t). T?®ngase en mente que un m?íximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia m?íxima abajo de la posici??n de equilibrio, mientras que un m?¡nimo de x(t) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura m?íxima arriba de esa posici??n. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa. Por ??ltimo, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes ct y c:! en la ecuaci??n (3), se dice que la soluci??n particular que resulta es la ecuaci??n del movimiento.

Interpretaci??n de un problema de valor inicial Resuelva e interprete el problema de valor inicial 2 + 16~ = 0, x(O) = 10, x'(O) = 0.

SOLUCI?ôN El problema equivale a tirar hacia abajo.una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posici??n de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la soluci??n x(t) = CI cos 4t + c2 sen 4t se obtiene x(O) = 10 = ct 1 + c2 . 0, y entonces ct = 10; por consiguiente x(t) = 10 cos 4t + c2 sen 4t.

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 1 9 9

ta) X masa abajo de la posici??n de equilibrio t/ I masa arribha de la posicibn de equilibrio (b) FIGURA 5.4

Movimiento libre no amortiguado Una masa que pesa 2 Ib hace que un resorte se estire 6 in. Cuando t = 0, la masa se suelta desde un punto a 8 in abajo de la posici??n de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de f ft/s. Deduzca la ecuaci??n del movimiento libre.

SOLUCI?ôN Como empleamos el sistema t?®cnico de unidades inglesas, las medidas expresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 ?¡n = i ft; 8 in = 3 ft. Adem?ís, debemos convertir las unidades de peso, que est?ín en libras, en unidades de masa. Partimos de m = W/g y, en este caso, m = 1?; = h slug. Tambi?®n, seg??n la ley de Hooke, 2 = k(i) implican que la constante del resorte es k = 4 lb/ft; por lo tanto, la ecuaci??n (1) se transforma en hS=-4x 0 $ + 64.~ = 0.

Forma alternativa de x(t) Cuando CI # 0 y c2 # 0, la amplitud A de las vibraciones libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuaci??n (3). Esto es, aunque la masa tiene un desplazamiento inicial de : de pie respecto a la posici??n de equilibrio en el ejemplo 2, la amplitud de las vibraciones es mayor de f; por lo anterior, a menudo conviene pasar una soluci??n de la forma (3) a la forma m?ís simple x(t) = A sen(wt + 4), (6) donde A = dm y (b es un ?íngulo de fase definido por

(7) Para comprobarlo, desarrollamos la ecuaci??n (6) aplicando la f??rmula del seno de la suma: A senot cos 6 + A cos ot sen 4 = (A sen 4) cos wt + (A cos 4) sen wt. (8) En la figura 5.5 tenemos que si definimos 4 mediante sen4=v&=2, la ecuaci??n (8) se transforma en

FIGURA 5.5 Forma alternativa de soluci??n de (5) En vista de lo que acabamos de explicar, podemos escribir la soluci??n (5) del ejemplo 2 como sigue: x(t) = 5 cos 8t – i sen 8r 0, lo que es lo mismo, x(t) = A sen@ + 4 ).

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 0 1

El lector debe tener cuidado al calcular el ?íngulo de fase 4, definido por (7). Cuando cl = f y c2 = – t , resulta que tan 4 = -4 y con una calculadora obtenemos tan-`(-4) = -1.326 rad.* Pero este ?íngulo est?í en el cuarto cuadrante y, por consiguiente, contraviene el hecho que sen #J > 0 y cos 4 < 0 (recordemos que ct > 0 y c2 < 0). Entonces, debemos suponer que 4 es un ?íngulo que est?í en el segundo cuadrante, 4 = T + (-1.326) = 1.8 16 rad. As?¡ llegamos a

La forma (6) es ??til porque con ella es f?ícil determinar valores del tiempo para los cuales la gr?ífica de x(t) cruza el eje positivo de las t (la l?¡nea x = 0). Observamos que sen(wt + 4 ) = 0 cuando wt + 4 = mr, donde n es un entero no negativo.

Sistemas con constantes de resorte variables En el modelo anterior supusimos un mundo ideal, en que las caracter?¡sticas f?¡sicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin embargo, en el mundo real es l??gico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado en movimiento durante largo tiempo, el resorte se debilite (o ÔÇ£pierda br?¡oÔÇØ); en otras palabras, la ÔÇ£constanteÔÇØ de resorte va a variar o, m?ís concretamente, decaer?í a trav?®s del tiempo. En el modelo del resorte desgastable, la funci??n decreciente K(t) = keÔÇØ`, k > 0, Q! > 0 sustituye a la constante de resorte k en (1). La ecuaci??n diferencial mxÔÇØ + ke-ÔÇ£Ix = 0 no se puede resolver con los m?®todos que vimos en el cap?¡tulo 4; sin embargo, podemos obtener dos soluciones linealmente independientes con los m?®todos del cap?¡tulo 6. V?®anse los problemas 15, ejercicios 5.1; el ejemplo 3, secci??n 6.4, y los problemas 39 y 40, ejercicios 6.4. Cuando un sistema de masa y resorte se somete a un ambiente en que la temperatura es r?ípidamente decreciente, la constante k se podr?í cambiar con K(t) = kt, k > 0, funci??n que crece con el tiempo. El modelo resultante, mxÔÇØ + ktx = 0 es una forma de la ecuaci??n diferencial de Airy. Al igual que la ecuaci??n de un resorte envejecido, la de Airy se puede resolver con los m?®todos del cap?¡tulo 6. V?®anse el problema 16, en los ejercicios 5.1; el ejemplo 4, en la secci??n 6.2, y los problemas 41 a 43, en los ejercicios 6.4.

5 1 . 2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento arm??nico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuaci??n (1) supone que no hay fuerzas de retardo que act??an sobre la masa en movimiento. A menos que la masa est?® colgada en un vac?¡o perfecto, cuando menos habr?í una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Seg??n se advierte en la figura 5.6, la masa podr?¡a estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuaci??n diferencial del movimiento amortiguado libre Enmec?ít&a, se COn- sidera que las fuerzas de amortiguamiento que act??an sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instant?ínea. En particular, supondremos en el resto de la descripci??n que esta fuerza est?í expresada por un m??ltiplo constante de dr/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

(b) FIGURA 5.6 donde p es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora act??a en direcci??n opuesta a la del movimiento. Al dividir la ecuaci??n (10) por la masa m, la ecuacion diferencial del movimiento amortiguado libre es d *xldt * + (p/m)a!x/dt + (Wm)x = 0, o sea d*x ~ + 2x $ + w*x = 0, dt2 2h ,P w2 ,k m’ m’ El s?¡mbolo 2X s??lo se usa por comodidad algebraica, porque as?¡ la ecuaci??n auxiliar queda m* + 2Xm + w* = 0 y las ra?¡ces correspondientes son Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de X* – w*. Puesto que cada soluci??n contiene al factor de amortiguamiento e-ÔÇ£, X > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 203

(al 7(4 x t L- (b) (b) FIGURA 5.7 FIGURA 5.8

Esta ecuaci??n representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos gr?íficas posibles de x(t).

CASO II: X2 – J = 0. Se/dice que el sistema est?í cr?¡ticamente amortiguado puesto que cualquier peque??a disminuc$jn de la fuerza de amortiguamiento originar?¡a un movimiento oscilatorio. La soluci??n general de la ecuaci??n (ll) es x(t) = cr em1′ + c$emlf, es decir, `x(t) = emhf (CI + qt). (14) En la figura 5.8 vemos dos t?¡picos gr?íficos de este movimiento. Obs?®rvese que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado. Tambi?®n se aprecia, seg??n la ecuaci??n (14), que la masa puede pasar por la posici??n de equilibrio, a lo m?ís una vez.

CASO III: X2 – J < 0. Se dice que el sistema est?í subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es peque??o en comparaci??n con la constante del resorte. Ahora las ra?¡ces 1121 y m2 son complejas: ml=-h+VLTCi, mz=-h--i.

Entonces, la soluci??n general de la ecuaci??n (ll) es X(t) = e-ÔÇ£(cl COs 47TTt+ ~2 sen &FFt). (15) Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente emXf, las amplitudes de vibraci??n tienden a cero cuando t + M.

Movimiento sobreamortiguado Se comprueba f?ícilmente que la soluci??n del problema de valor inicial $+5$+4x=o, x(O) = 1, x'(O) = 1 e s x(t) = $ e-‘ – $ e-Q, El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posici??n 1 unidad abuso de la Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la funci??n tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuaci??n (16) se llega a x'(t) = – feef + $z~~, as?¡ que x'(t) = 0 implica que e3′ = :, o sea t = f In! = 0.157. De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuici??n f?¡sica, ~(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un m?íximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo Tambi?®n debemos comprobar si la gr?ífica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posici??n de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuaci??n x(t) = 0, o e3t = $ tiene la soluci??n t = i In t = -0.305 que es f?¡sicamente irrelevante. En la figura 5.10 mostramos la gr?ífica de x(t) y algunos de sus valores. n

1 0.601 1.5 0.370 2 0.225 2 . 5 0.137 3 0.083 (b) FIGURA 5.10

Movimiento cr?¡ticamente amortiguado Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento num?®ri- camente igual a 2 veces la velocidad instant?ínea act??a sobre el contrapeso, deduzca la ecuaci??n del movimiento si la masa se suelta de la posici??n de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 205

SOLUCI?ôN De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m = &. = 1 slug. Entonces la ecuaci??n diferencial del movimiento es 32 4

-1 d-*=x -4x-2& -dt2 4 dt2 d t ‘ sea cs~+l6x=o. (17) La ecuaci??n auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que rn1 = m2 = -4. Luego el sistema es cr?¡ticamente amortiguado y x(t) = cle-4f + c2te-41. (18) Al aplicar las condiciones iniciales x(O) = 0 y x'(O) = -3 vemos, a su vez, que cl = 0 y ca = -3. As?¡, la ecuaci??n del movimiento es x(t) = -3teL41. (19) Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x'(t) = -3eA'( 1 – 4t) tenemos que x'(t) = 0 cuando t = a. El desplazamierito extremo correspondiente es x(i) = -3(-$e-‘ = -0.276 ft. En la figura 5. ll vemos que poqemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura m?íxima de 0.276 ft sobre su posici??n de equilibrio.

m?íxima sobre la posici??n de equilibrio FIGURA 5.11 Movimiento subamortiguado Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posici??n de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posici??n de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento num?®ricamente igual a la velocidad instant?ínea.

Por ??ltimo, las condiciones iniciales x(O) = -2 y x'(O) = 0 determinan las constantes CI = -2 y c2 = – $ as?¡ que la ecuaci??n de movimiento es

Forma alternativa de x(t) De manera id?®ntica al procedimiento que empleamos en la p?ígina 200, podemos escribir cualquier soluci??n 44 = e-*`(cl cos VGFTiYt + c2 sen ViFA) en la forma alternativa x(t) = Ae-ÔÇØ sen (JZQFt + c$), (23) en donde A = wy el ?íngulo de fase C$ queda determinado por las ecuaciones

En ocasiones, el coeficiente AewX’ se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones. Dado que la ecuaci??n 23) no es una funci??n peri??dica, el m?¡mero 27rlm se llama cuasiperiodo y d3-X2/2n es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo entre dos m?íximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuaci??n de movi- miento del ejemplo 6, A = 2 m/3 y 4 = 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de (22) es 2m x(t) = -3 C’sen(3t + 4.391).

5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado Ecuaci??n diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa, f(t), que act??a sobre una masa oscilatoria en un resorte; por ejemplo,f(t) podr?¡a representar una fuerza de impulsi??n que causara un movimien- to oscilatorio vertical del soporte del resorte (Fig. 5.12). La inclusi??n dey(t) en la formulaci??n de la segunda ley de Newton da la ecuaci??n diferencial del movimiento forzado: d2x mz= -kx – /3$ + f(t).

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 207 r——–* I—,,—A `-2: ——2:?—- –

t FIGURA 5.12 donde F(t) =f(t)lm y, al igual que en la secci??n anterior, 2X = /3/m, w2 = Wm. Para resolver esta ecuaci??n no homog?®nea tenemos el m?®todo de los coeficientes indeterminados o el de la variaci??n de par?ímetros.

mm Interpretaci??n de un problema de valor inicial Interprete y resuelva el problema de valor inicial

;2+ 1.2% +2X=5cos4t, x(O) = ;, x'(O) = 0. (W

S O L U C I ?ô N Podemos ver el problema como la representaci??n de un sistema vibratorio formado por una masa (m = 5 slug o kg) unida aun resorte (k = 2 lb/ft o N/m). La masa parte del reposo a f unidad (ft o m) abajo de su posici??n de equilibrio. El movimiento es amortiguado (B = 1.2) y est?í impulsado por una fuerza externa peri??dica (T = 7r/2 s) que se inicia cuando t = 0. Cabr?¡a esperar, intuitivamente, que aun con amortiguamiento el sistema permanecer?í en movimiento hasta el momento en que la funci??n forzada se ÔÇ£desconectaraÔÇØ y en adelante las amplitudes disminuyeran; sin embargo, tal como est?í enunciado el proble- Primero multiplicamos por 5 la ecuaci??n diferencial (26)

y la resolvemos con los m?®todos acostumbrados. Dado que rnl = -3 + i, rn2 = -3 – i, entonces x,(t) = ev3′(c1 cos t + c2 sen t).

de modo que El sistema resultante de ecuaciones -6A + 24B = 25. -24A – 6B = 0 tiene las soluciones A = – $ y B = g. En consecuencia

x(t) = ew3′(c1 cos t + c*sen t) – $2 cos 4t + SDsen4t (27) 51 * Cuando hacemos t = 0 en la ecuacion de arriba obtenemos ct = $. Si diferenciamos la expresi??n y hacemos t = 0, obtenemos c2 = -$ por consiguiente, la ecuaci??n de movimiento es x(t) = e-3r – cos t – -sen t 38 86 -$jCOs4t+$sen4t. (28) n 51 51

T?®rminos transitorio JJ de estado estable Obs?®rvese que la funci??n complemen- taria x,(t) = ev3′ g cos t – Esen t (1 en la ecuaci??n (28) tiene la propiedad de que l?¡mt + _ xc(t) = 0. Como xc(t) se vuelve insignifi- cante (es decir, + 0) cuando t + 00, se dice que es un t?®rmino transitorio o soluci??n transitoria. As?¡, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema anterior son muy bien aproximados por la soluci??n particular x,,(t). Esta ??ltima funci??n se llama tambi?®n soluci??n de estado estable, de estado estacionario o de estado permanente. Cuando F es una funci??n peri??dica, como F(t) = FO sen yr o F(t) = FO cos -$, la soluci??n general de la ecuaci??n (25) esta formada por x(t) = parte transitoria + parte estable.

Soluciones transitorias y de estado estable Se demuestra con facilidad que la soluci??n del problema de valor inicial

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 209

ta) x(t) (b) FIGURA 5.13 Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento Cuando se ejerce una fuerza peri??dica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la soluci??n de un problema. Veremos tambi?®n que si se ejerce una fuerza peri??dica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mec?ínico oscilatorio.

Movimiento forzado no amortiguado Resuelva el problema de valor inicial g2 + w2x = Fo sen yt, x(O) = 0, x'(O) = 0, (2% 1 en donde FO es constante y y # w.

S O L U C I ?ô N La funci??n complementaria es xc(t) = cl cos wt + c2 sen wt. Para obtener una soluci??n particular supondremos que x,,(t) = A cos yt + B sen rt, de modo que xpÔÇØ + w2xp = A(w2 – 7ÔÇØ) cos yt + B(a2 – y2) sen yt = Fosen yt.

y obtenemos cl = 0 y c2 = -~F&J(w~ – y); por lo tanto, la soluci??n es

x(t) = flJ(w2Fo- yÔÇØ) (-ysenot + osenyt), y # 0. (30) n

Resonancia pura Aunque la ecuaci??n (30) no est?í definida cuando y = w, es interesante observar que su valor l?¡mite, cuando y + w, se puede obtener aplicando la regla de L’H??pital. Este proceso al l?¡mite equivale a una ÔÇ£sintonizaci??nÔÇØ de la frecuencia de la fuerza impulso- ra ($2~) con la de las vibraciones libres (w/27r). Esperamos intuitivamente que al paso del tiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vibraci??n. Para y = w, la soluci??n se define como sen ot + 0 sen yt) -ysenot + osenyt = F lfm%dy x ( t ) = l?¡mFo Y– w(wÔÇØ – y2) 0 Y-t0 -$ (03 – wy2) -sen ot + wt cos yt = Fol?¡m Y-w -2oy -sen ot + ot cos ot = Fo -202 Fo Fo =-senot–tcosot. (31) 202 20 Como lo esper?íbamos, cuando t + 00, los desplazamientos crecen; de hecho, Ix( + = cuando t,=n?riw,n=1,2,. . . El fen??meno que acabamos de describir se llama resonancia pura. La gr?ífica de la figura 5.14 muestra un movimiento caracter?¡stico de este caso. En conclusi??n, se debe notar que no hay una necesidad real de emplear un proceso al l?¡mite en (30) para llegar a la soluci??n para y = w. Tambi?®n, la ecuaci??n (31) es consecuencia de resolver el problema de valor inicial d2x 2 + 02x = Fo sen ot, x(O) = 0, x'(O) = 0 Si una fuerza como la (31) representa en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruir?¡a. En ??ltimo t?®rmino, las oscilaciones grandes de la masa forzar?¡an al resorte a rebasar su l?¡mite el?ístico. Tambi?®n se podr?¡a decir que el modelo

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 1 1

resonante de la figura 5.14 es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos retar- dantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. Si bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento m?¡nimo, tambi?®n es cierto que se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibraci??n (pero acotadas cuando t + -). V?®ase el problema 43 en los ejercicios 5.1.

5.1.4 Sistemas an?ílogos Circuitos en serie LRC Seg??n planteamos en la introducci??n a este cap?¡tulo, diversos sistemas f?¡sicos se pueden describir con una ecuaci??n diferencial lineal de segundo orden semejante a la de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento: m$+P$+kx=f(t). (32) Si i(t) representa la corriente en el circuito elhtrico en serie LRC de la figura 5.15, las ca?¡das de voltaje a trav?®s del inductor, resistor y capacitar son las que muestra la figura 1.13. De acuerdo con la segur@ ley de Kirchhoff, la suma de esas ca?¡das es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es,

Pero i = dq/&relaciona la corriente i(t) con la carga del capacitar q(t), de manera que la ecuaci??n (33) se transforma en la ecuaci??n diferencial lineal de segundo orden dt= La nomenclatura que se emplea en el an?ílisis de circuitos es similar a la que se usa en los Si E(t) = 0, las vibraciones elhctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuaci??n auxiliar de la (34) es Lm2 + Rm + l/C = 0, habr?í tres formas de la soluci??n cuando R # 0, dependiendo del valor del discriminante @ – 4L/C. Se dice que el circuito es sobreamortiguado si Rz-4L/C>O, cr?¡ticamente amortiguado si R2 – 4LIC = 0, Y subamortiguado si R2 – 4LIC < 0.

En cada uno de esos tres casos, la soluci??n de (34) contiene el factor eeRaL, as?¡ que q(t) + 0 cuando t + 00. En el caso subamortiguado, cuando q(O) = qo, la carga en el capacitar oscila seg??n decrece; en otras palabras, el capacitar se cargay descarga cuando t + 00. Cuando E(t) = 0 y R = 0, se dice que el circuito es no amortiguado, y las vibraciones el?®ctricas no tienden a cero cuando t aumenta sin l?¡mite; la respuesta del circuito es arm??nica simple.

Circuito en serie subamortiguado Determine la carga q(t) en el capacitar de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henry (h), R = 10 ohms (Q), C = 0.001 farad (f), E(t) = 0, q(O) = qo coulombs (C) e i(O) = 0 amperes (A).

S O L U C I ?ô N Como 1 lC = 1000, la ecuaci??n 34 se transforma en i qÔÇØ + 1Oq’ + 1OOOq = 0 0 sea qÔÇØ + 4Oq’ + 4oooq = 0.

Al resolver esta ecuaci??n homog?®nea como de costumbre, tenemos que el circuito es subamortiguado y que q(t) = e-`Ot(cr cos 60t + c2 sen 60t). Aplicamos las condiciones iniciales y obtenemos que cl = qo y c2 = qo/3. Entonces (1 Mediante la ecuaci??n (23) podemos escribir la soluci??n anterior en la forma qom – q(t) = 3 e 20’sen(60t + 1.249). n

Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones el?®ctricas son forzadas. Cuando R # 0, la ?¡unci??n complementaria qc(t) de (34) se llama soluci??n transitoria. Si E(t) es peri??dico o una constante, la soluci??n particular, q,(t), de (34), es una soluci??n de estado estable.

Corriente de estado estable Determine la soluci??n q,,(t) de estado estable y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando el voltaje aplicado es E(t) = EO sen y.

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 213

Al aplicar el m?®todo de los coeficientes indeterminados, suponemos una soluci??n particular de la forma qp(t) = A sen rt + B cos rt. Sustituimos esta expresi??n en la ecuaci??n diferencial, simplificamos e igualamos coeficientes y los resultados son

A= -y Conviene expresar a A y B en funci??n de nuevos s?¡mbolos: X=Ly-L 2L 1 &tenemcx X2 = L2y2 – – + – CY’ c C2y2′ Si Z = lh?TS, obtenemos Z2 = L2y2 – $ ?Àt & f R2.

Por consiguiente, A = E&/(-yZ2) y B = &R/(~Z2), de suerte que la carga de estado estable es EoX EoR yz2 YZ Ahora bien, la corriente de estado estable est?í definida por &(t) = qp'(t):

. (35) n Las cantidades X = Ly – l/Cy y Z = m, definidas en el ejemplo ll, se llaman, respectivamente, reactancia e impedancia del circuito. Ambas se expresan en ohms.

Barra de torsi??n La ecuaci??n diferencial que describe el movimiento de torsi??n de una masa colgada en el extremo de un eje el?ístico es `. – , ,W–)- (36) Como vemos en la figura 5.16, la funci??n O(t) representa la magnitud del giro de la masa en cualquier momento.

Al comparar las ecuaciones (25) y (34) con la (36) resulta que -excepto por la termino- log?¡a- no existe diferencia alguna entre la descripci??n matem?ítica de los resortes con masa, los circuitos simples en serie y las oscilaciones de torsi??n.

1. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ??Cu?íl es el periodo 2. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento arm??nico simple es 211~ oscilaciones por segundo, ??cu?íl es la constante k del resorte? ??Cu?íl es la frecuencia del movimiento arm??nico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg? 3 . Al fijar un contrapeso de 24 Ib al extremo de un resorte, lo estira 4 in. Deduzca la ecuaci??n del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que est?í 4. Formule la ecuaci??n del movimiento si el contrapeso del problema 3 parte de la posici??n de equilibrio con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia abajo, 5. Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta, a) Calcule la posici??n del contrapeso cuando t = 1rl12, ~rlS,?rl6,1rl4 y 9rl32 segundos. b) ??Cu?íl es la velocidad del contrapeso cuando t = 3n/16 s? ??Hacia d??nde se dirige el 6. Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Despu?®s, al extremo de ese resorte, se fija una masa de 50 kg y parte de la posici??n de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. 7. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte r?¡gido, pero en posici??n paralela a la del sistema resorte y masa del problema 6. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posici??n de equilibrio con una velocidad b) ??Cu?íl masa se mueve con m?ís rapidez cuando t = 7r/4 s? ??Y cuando t = 7r/2 s? c) ??En qu?® momento est?ín las dos masas en la misma posici??n? ??D??nde est?ín en ese 8. Un contrapeso de 32 Ib estira 2 ft a un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si el contrapeso parte de 1 ft arriba de la posici??n de equilibrio, con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia arriba. iCu?íntas vibraciones completas habr?í hecho el 9. Un contrapeso de 8 Ib, fijo a un resorte, tiene movimiento arm??nico simple. Deduzca la ecuaci??n del movimiento si la constante del resorte es 1 lb/ft y el contrapeso parte de 6 in abajo del punto de equilibrio, con una velocidad de f ft/s hacia abajo. Exprese la soluci??n en la forma de la ecuaci??n (6).

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 1 5

10. Una masa pesa 10 Ib, y estira f ft un resorte. Se quita esa masa y se reemplaza con una de 1 y 6 slugs que parte de 1 ft sobre la posici??n de equilibrio con una velocidad de : ft/s hacia abajo. Exprese la solu&n en la forma (6). ??En qu?® momento llega la masa a un desplaza- miento num?®ricamente igual a f de la amplitud abajo de la posici??n de equilibrio? ll. Un contrapeso de 64 Ib est?í unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 ft. Si parte de una posici??n 8 in sobre la posici??n de equilibrio, con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. c) ??Cu?íntas oscilaciones completas habr?í hecho el contrapeso a los 37r segundos? d) ??En qu?® momento pasa el contrapeso por la posici??n de equilibrio al ir hacia abajo por e) ??En qu?® momento alcanza el contrapeso su desplazamiento extremo en ambos lados de i) ??Cu?íl es la velocidad instant?ínea al pasar por la posici??n de equilibrio? k) LEn qu?® momentos est?í 5 in abajo de la posici??n de equilibrio y se mueve hacia arriba? 1 2 . Se cuelga una masa de 1 slug de un resorte cuya constante es 9 lb/ft. Al principio, la masa parte de un punto a 1 ft arriba de la posici??n de equilibrio, con una velocidad de fi ft/s hacia arriba. Determine los momentos en que la masa se dirige hacia abajo con una 13. En algunos casos, cuando dos resortes paralelos de constantes kt y kz sostienen un solo contrapeso W, la constante efectiva de resorte del sistema es k = 4krk2/(kr + k2). Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in un resorte y 2 in otro. Estos resortes est?ín fijos a un soporte r?¡gido com??n por su parte superior y a una placa met?ílica en su extremo inferior. Como se ve en la figura 5.17, el contrapeso de 20 Ib est?í fijo al centro de la placa del sistema. Determine la constante efectiva de resorte de este sistema. Deduzca la ecuaci??n del movimiento, si el contrapeso parte de la posici??n de equilibrio, con una velocidad de 14. Cierto contrapeso estira f ft un resorte, y i ft otro. Los dos resortes se fijan a un soporte r?¡gido, como se indic?? en el problema 13 y en la figura 5.17. El primer contrapeso se quita y en su lugar se pone uno de 8 lb. El periodo de movimiento es rr/l5 s; determine el valor num?®rico del primer contrapeso.

Problemas para discusi??n 1 5 . S??lo por inspecci??n de la ecuaci??n diferencial 4~ÔÇØ + durante un gran periodo de un sistema de resorte y 16. S??lo por inspecci??n de la ecuaci??n diferencial 4xÔÇØ durante un gran periodo de un sistema de resorte y

– 5.1.2 e -`.ÔÇ£,x = 0, describa el comportamiento + tx = 0, describa el comportamiento masa regido por la ecuaci??n.

En los problemas 17 a 20 la figura respectiva representa la gr?ífica de una ecuaci??n del movimiento de una masa unida a un resorte. El sistema masa-resorte es amortiguado. Con la gr?ífica, determine a ) Si el desplazamiento inicial de la masa ocurre arriba o abajo de la posici??n de equilibrio b) Si la masa est?í inicialmente en reposo o si est?í movi?®ndose hacia abajo o si est?í movi?®ndose hacia arriba.

FIGURA 5.18 FIGURA 5.19

FIGURA 5.20 FIGURA 5.2 1 21. Una pesa de 4 Ib se une a un resorte cuya constante es 2 lbkt. El medio presenta una resistencia al movimiento num?®ricamente igual a la velocidad instant?ínea. Si la pesa se suelta de un punto a 1 ft arriba de la posici??n de equilibrio con una velocidad de 8 ft/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posici??n de equilibrio. Encuentre el momento en que la pesa llega a su desplazamiento extremo respecto ala posici??n de equilibrio. ??Cu?íl 22. Un resorte de 4 ft alcanza 8 ft al colgarle una pesa de 8 lb. El medio a trav?®s del cual se mueve ofrece una resistencia num?®ricamente igual a fi veces su velocidad instant?ínea. Deduzca la ecuaci??n del movimiento si la pesa se suelta de la posici??n de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento ex- tremo respecto a la posici??n de equilibrio. ??Cu?íl es su posici??n en ese instante?

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 217

23. Una masa de 1 kg est?í unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un l?¡quido que imparte una fuerza de amortiguamiento num?®ricamente igual a 10 veces la velocidad instant?ínea. Formule las ecuaciones del movimiento, si a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m abajo de la posici??n de equilibrio b) El contrapeso se suelta partiendo de la posici??n de equilibrio con una velocidad de 24. En las partes a) y b) del problema 23, determine si la pesa pasa por la posici??n de equilibrio. En cada caso calcule el momento en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posici??n de equilibrio. ??Cu?íl es la posici??n de la pesa en ese instante? 25. Una fuerza de 2 Ib estira 1 ft un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 Ib y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento num?®rica- a) Deduzca la ecuaci??n del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 ti arriba de \a c) Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posici??n de equilibrio 26. Despu?®s de unir una pesa de 10 Ib a un resorte de 5 ft, ?®ste mide 7 ft. Se quita y se reemplaza con otra de 8 Ib, y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia num?®rica- a) Deduzca la ecuaci??n del movimiento, si se suelta la pesa a f ft abajo de la posici??n de c) Calcule los momentos en que el contrapeso pasa por la posici??n de equilibrio al dirigirse 27. Al unir una pesa de 10 Ib a un resorte, ?®ste se estira 2 ft. La pesa tambi?®n est?í unida a un amortiguador, que ofrece una resistencia num?®ricamente igual a ,B (p > 0) veces la velocidad instant?ínea. Calcule los valores de la constante de amortiguamiento p para que el movimiento que se produce sea a) sobreamortiguado; b) cr?¡ticamente amortiguado, y c) 28. Una pesa de 24 Ib estira 4 ft un resorte. El movimiento que se produce se lleva a cabo en un medio que presenta una resistencia num?®ricamente igual a ,0 (p > 0) veces la velocidad instant?ínea. Si la pesa parte de la posici??n de equilibrio con una velocidad de 2 ft/s hacia arriba, demuestre que si /3 > 3 fi, la ecuaci??n de movimiento es

se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es num?®ricamente igual al doble de la a) Deduzca la ecuaci??n del movimiento si una fuerza externa igual af(t) = 12 cos 2t + 3 b) Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en el mismo conjunto de ejes 31. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ?¡t, y llega al reposo en su posici??n de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuaci??n del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora num?®ricamente igual a 8 veces la velocidad instant?ínea. 32. En el problema 31, deduzca la ecuaci??n del movimiento si la fuerza externa esf(t) = eet 33. Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posici??n de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 68em2′ cos 4t. Deduzca la ecuaci??n del movimiento cuando no hay amortiguamiento. 34. En el problema 33, escriba la ecuaci??n del movimiento en la forma x(t) = A sen(wt + 4 ) + Bee2′ sen(4t + 0). iCu?íl es la amplitud de las oscilaciones cuando el tiempo es muy 35. Una masa m se une al extremo de un resorte cuya constante es k. Despu?®s de alcanzar el equilibrio, su soporte comienza a oscilar verticalmente a ambos lados de una l?¡nea horizontal, L, de acuerdo con una funci??n h(t). El valor de h representa la distancia, en a) Deduzca la ecuaci??n diferencial del movimiento si el sistema se mueve por un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento num?®ricamente igual a ,d(dx/dt). b) Resuelva la ecuaci??n diferencial en la parte a) si un contrapeso de 16 Ib estira el resorte 4fiy/3=2,h(t)=5c0st,x(0)=x'(0)=0.

FIGURA 5.22 36. Una masa de 1 OO g se cuelga de un resorte cuya constante es 1600 dinas/cm. Luego que alcanza el equilibrio su soporte oscila de acuerdo con h(t) = sen 8t, donde h representa al desplazamiento respecto a la posici??n de equilibrio. Vea el problema 35 y la figura 5.22. a) Cuando no hay amortiguamiento, determine la ecuacion del movimiento si la masa parte e) Gratique la ecuaci??n del movimiento.

Secci??n 5.1 Ecuaciones hales: problemas de valor inicial 219

37. $ + 4x = -5sen 2t + 3 cos 2t, x(O) = -1, x'(O) = 1 38. $ + 9x = 5 sen 3t, x(O) = 2 , x'(O) = 0 39. a) Demuestre que la soluci??n al problema de valor inicial

2 $ + w2x = F,, cos yt, x(O) = 0, x'(O) = 0 Y2 40. Compare el resultado obtenido en la parte b) del problema 39, con la que se obtiene aplicando el m?®todo de variaci??n de par?ímetros, cuando la fuerza externa es FO cos wt. 41. a) Demuestre que x(t) expresada en la parte a) del problema 39 se puede expresar

Y2 b) Si definimos E = $7 – w), demuestre que cuando E es peque??o, una soluci??n aproxima- da es

2-v Cuando E es peque??o, la frecuencia, yl2n de la fuerza aplicada se acerca a la frecuencia, w/27r de las vibraciones libres. Cuando esto sucede, el movimiento es el que se ve en la figura 5.23. Las oscilaciones de este tipo se llaman pulsaciones o pulsos y se deben a que la fiecuencii de sen Et es bastante peque??a en comparaci??n con la de sen Tt. Las curvas punteadas, o envolvente de la gr?ífica de x(t), se obtienen de las gr?íficas de f(Fo/2&~) sen Et. Use una graf?¡cadora y con varios valores de FO, E y y compruebe la figura 5.23.

Problemas para discusi??n 4 2 . ??Puede haberpulsos cuando se agrega una fuerza de amortiguamiento al modelo en la parte a) del problema 39? Compruebe su respuesta con gr?íficas obtenidas de la soluci??n expl?¡cita del problema

2 ~+2l$+w?x=F,cosyt, x(O) = 0, x'(O) = 0 43. a) Demuestre que la soluci??n general de

2 + 2h$ + 02x = Fosen yt es x(t) = Ae-*`sen(mt + 4) + en que A = my los ?íngulos de fase sen 4 = cllA, cos q5 = c2IA y -2Ay sen 19 = qto2 _ y2)2 + 4~2~2′ FO sen(yt + e), L$lJ2 – y2)2 + 4Py2 $ y 6′ est?ín definidos, respectivamente, por

w2 – y2 `Os ‘ = dto2 1 y2)2 + 4~2~2′ b) La soluci??n de la parte a) tiene la forma x(t) = x,(t) + +(t). Por inspecci??n, se ve que xc(t) es transitoria y, por consiguiente, cuando los valores del tiempo son grandes, est?í definida aproximadamente por xp(t) = g(r) sen(yt + e), donde Fo g(Y) = d(oÔÇØ – Y’)~ + 4A2y2′ Aunque la amplitud g(y) de xp(t) est?í acotada cuando t + 00 demuestre que las oscilaciones m?íximas se resentar?ín en el valor yt = 67TZ ??Cu?íl es el valor m?íximo w – 2X /27r se llama frecuencia de resonancia del sistema. de g? El numero + c) CuandoFo=2,m=lyk=4,ges

2 g(y) = q4 _ y2)2 + pzy2′ Forme una tabla de valores de yt y g(n) que corresponda a los coeficientes de amortiguamiento @ = 2, p = 1, p = f, B = f y /? = a. Use una graficadora para trazar las gr?íficas de g que correspondan a esos coeficientes. Utilice las mismas coordenadas. Esta familia de gr?íficas se llama curva de resonancia o curva de respuesta a la frecuencia del sistema. ??Hacia qu?® tiende yt cuando ,8 + O? ??Qu?® sucede con las curvas de resonancia cuando j3 + O?

Secci??n 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 221

44. Se tiene un sistema resorte y masa forzado y no amortiguado, descrito por el problema de valor inicial $ + dx = FosenÔÇØ yt, x(O) = 0, x'(O) = 0.

a) Describa para n = 2 por qu?® hay una sola frecuencia, yt/27r, en que el sistema est?í en b) Para n = 3, explique por qu?® hay dos frecuencias, yt/27r y y2/27r en las cuales el sistema c) Suponga que w = 1 y FO = 1. Use un ODE solver para obtener la gr?ífica de la soluci??n del problema de valor inicial para n = 2 y y = yt en la parte a). Trace la gr?ífica de la soluci??n del problema de valor inicial para n = 3 que corresponde, sucesivamente, a y = yl y y = 72 en la parte b).

45. Determine la carga del capacitar en un circuito en serie LRC cuando t = 0.01 s, L = 0.05 h, R = 2 R, C = 0.01 f, E(t) = 0 V, q(O) = 5 C e i(O) = 0 A. Encuentre el primer momento 46. Determine la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 20 R, C = $ f, E(t) = 0 V, q(O) = 4 C e ?¡(O) = 0 A. x ??En alg??n momento la carga del capacitar En los problemas 47 y 48 determine la carga en el capacitar y la corriente en el circuito en serie 48. L = 1 h, R = 100 Q C = 0.0004 f, E(t) = 30 V, q(O) = 0 C, i(O) = 2 A. 49. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = 5 0 . Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito en serie LRC del ejemplo ll est?í expresada por Eol?¡?, donde 2 es la impedancia del circuito. 51. Demuestre que la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC est?í definida por ip(t) = (4.160) sen(60t – 0.588) cuando L = i h, R = 20 R, C = 0.001 f y E(t) = 100 sen 60t 52. Determine la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = i h, R = 5 3 . Calcule la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 10 Q C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(O) = 1 C e i(O) = 0 A. iCu?íl es la carga en el capacitar cuando ha 54. Demuestre que si L, R, C y EO son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable 55. Demuestre que si L, R, EO y y son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo ll es m?íxima cuando la capacitancia es C = l/Lg.

56. Determine la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando L = 0.1 h, C = 57. Calcule la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando E(t) = Eo cos -yr V, 58. En el problema 57 determine la corriente cuando el circuito se encuentre en resonancia.

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA W Ecuaci??n diferencial de la flexi??n de una vigam Condiciones en laji-ontera n Valores propios y finciones propias n Soluciones no triviales n Soluciones num?®ricas n Curvatura de una columna delgada n Carga de Euler n Ecuaci??n diferencial de la cuerda de brincar

La secci??n precedente se centr?? en sistemas en los que un modelo matem?ítico de segundo orden estaba acompa??ado con las condiciones iniciales prescritas; esto es, condiciones adjuntas de la funci??n desconocida y su primera derivada, que se especifican en un solo punto. Pero, con frecuencia, la descripci??n matem?ítica de un sistema f?¡sico requiere la soluci??n de una ecuaci??n diferencial sujeta a condiciones en la frontera; esto es, condiciones especificadas para la funci??n desconocida o una de sus derivadas, e incluso para una combinaci??n de la funci??n desconocida y una de sus derivadas, en dos o m?ís puntos distintos.

Desviaci??n de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se desv?¡an o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Seg??n veremos a continuaci??n, esta desviaci??n y(x) est?í determinada por una ecuaci??n Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homog?®nea y tiene secci??n transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetria. [Fig. 5.24(a)]. Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetr?¡a, sufre una distorsi??n y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de desviaci??n, curva ebtica o simplemente elhstica. La el?ística aproxima la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetr?¡a

Secci??n 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 223

y que la desviaci??n (o flecha) y(x), medida desde el eje, es positiva si es hacia abajo. En teor?¡a de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuaci??n d2M – = w(x). (1) dx2 Adem?ís, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, K, de la el?ística: M(x) = EIK, (2) en que E e 1 son constantes, E es el m??dulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la secci??n transversal de ?®sta (respecto de un eje llamado eje neutro). El producto EZ se denomina rigidez a la flexi??n de la viga. Seg??n el c?ílculo diferencial, la curvatura es K = ~ÔÇ£41 + (Y’)~]~ÔÇ£. Cuando la desviaci??n y(x) es pequena, la pendiente y’ = 0, de modo que [ 1 + (y’)2]3’2 = 1, Si K, = yÔÇØ, la ecuaci??n (2) se transforma en M = EIyÔÇØ. La segunda derivada de esta ecuaci??n es

Aplicamos el resultado de la ecuaci??n (1) para reemplazar d2M7drZ en la (3) y vemos que la desviaci??n y(x) satisface la ecuaci??n diferencial de cuarto orden

Las condiciones en la frontera asociadas a esta ecuaci??n dependen de la forma en que est?ín sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantil?¡ver) est?í empotrada en un extremo y libre en el otro. Un trampol?¡n, un brazo extendido, el ala de un avi??n y una marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los arboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que est?ín empotrados en su base y sufien la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la desviaci??n y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0: w y(O) = 0 porque no hay desviaci??n en ese lugar, y n y'(O) = 0 porque la curva de desviaci??n es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de desviaci??n es cero en ese punto).

Cuando x = L las condiciones del extremo libre son W yÔÇØ(L) = 0 porque el momento flexionante es cero W yÔÇØ`(L) = 0 porque la fuerza cortante es cero.

La funci??n F(x) = dWa!x = EI d3y/dx3 se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga est?í simplemente apoyado (a esto tambi?®n se le llama embisagrado, articulado o empernado), se debe cumplir que y = 0 y yÔÇØ =0 en ese extremo. La tabla siguiente es un resumen de las condiciones en la frontera asociadas con la ecuaci??n (4).

Extremos Condiciones de la viga en la frontera empotrado y=O,y’=O libre yÔÇØ = 0, yÔÇØ’ = 0 simplemente apoyado y=O,y’/=O

Viga empotrada Una viga de longitud L est?í empotrada en ambos extremos. Determine la desviaci??n de esa viga si sostiene una carga constante, WO, uniformemente distribuida en su longitud; esto es, w(x> = wo, 0 < x < L.

S O L U C I ?ô N Seg??n lo que acabamos de plantear, la desviaci??n y(x) satisface a &!Lw dx4 ÔÇØ Puesto que la viga est?í empotrada en su extremo izquierdo (X = 0) y en su extremo derecho (x = L), no hay desviaci??n vertical y la el?ística es horizontal en esos puntos. As?¡, las condiciones en la frontera son Y(O) = 0, y'(O) = 0, y(L) = 0, y'(L) = 0.

Podemos resolver la ecuaci??n diferencial no homog?®nea en la forma acostumbrada (deter- minar yC teniendo en cuenta que m = 0 es una ra?¡z de multiplicidad cuatro de la ecuaci??n auxiliar m4 = 0, para despu?®s hallar una soluci??n particular y, por el m?®todo de coeficientes indeterminados) o simplemente integramos la ecuaci??n d4y/dx4 = wo/EZ cuatro veces suce- sivas. De cualquier forma, legamos a que la soluci??n general de la ecuaci??n es y(x) = Cl + c2x + c3x2 + c4x3 + szx4.

Ahora bien, las condiciones y(O) = 0 y y'(O) = 0 dan cl = 0 y c2 = 0, mientras que las condiciones restantes, y(L) = 0 y y'(L) = 0, aplicadas ay(x) = csx2 + c4x3 + (wo/24EZ)x4 originan las ecuaciones qL2 + c4L3 + SzL’=O 2c3L + 3c4L2 + SzL3=0.

Al resolver este sistema se obtiene c3 = w,&~/~~EZ y c4 = -w~/12EZ. Entonces, la desvia- ci??n es y(x) = gzx2 – gzx3 + Szx’ = Szx2(x – L)2.

Secci??n 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 225

Si wa = 24EI y L = 1, se obtiene la gr?ífica de la el?ística de la figura 5.25. n

FIGURA 5.25 Valores propios y funciones propias (eigenvalores y eigenfunciones) En las aplicaciones hay muchos problemas, que son problemas de valor en la frontera en dos puntos, donde interviene una ecuaci??n diferencial que contiene un par?ímetro X. Se trata de hallar los valores de X para los cuales el problema de valor en la frontera tenga soluciones no triviales.

Soluciones no triviales de un problema de valor en la frontera Resuelva el problema de valor en la frontera yR + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = cl.

Caso 1. Cuando X = 0, la soluci??n de yÔÇØ = 0 es y = crx + ~2. Las condiciones y(O) = 0 y y(L) = 0 implican, a su vez, que c2 = 0 y cl = 0; por consiguiente, cuando X = 0, la ??nica Caso II. Cuando X < 0, y = cl cosh ax + c2 senh fix.* De nuevo, y(O) = 0 da ct = 0 y as?¡ y = c2 senh ax. La segunda condici??n, y(L) = 0 obliga a que c2 senh 6% = 0. Puesto Caso III. Cuando X > 0, la soluci??n general deyÔÇØ + Ay k 0 es y = CI cos fix + c2 sen 6 Como antes, y(O) = 0 conduce a cl = 0, pero y(L) = 0 ?¡mplica que c2 sen CL = 0.

Si c2 = 0, se tiene y = 0; empero, si c2 + 0, entonces sen CL = 0. La ??ltima condici??n indica que el argumento de la funci??n seno ha de ser un m??ltiplo entero de rr:

Por lo tanto, para todo real c2 distinto de cero, y = c2 sen(nrrx/l) es una soluci??n del problema para cada n. Puesto que la ecuaci??n diferencial es homog?®nea, no necesitamos escribir c2 si as?¡ lo deseamos; en otras palabras, para un numero dado de la sucesi??n –$–$-$…> la funci??n correspondiente en la sucesi??n 2n 37l LLL es una soluci??n no trivial del problema original. w Los n??meros X, = n2?/L2, n = 1,2,3, . . . para los que el problema de valor en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales se llaman valores caracter?¡sticos o valores propios. Las soluciones que se basan en esos valores de X,, como y,, = c2 sen(n&L), o simplemente yn = sen(nnx/Q se llaman funciones caracter?¡sticas, funciones propias.

Curvatura de una columna vertical esbelta En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matem?íticos en estudiar un problema de valores propios al analizar c??mo se curva una columna el?ística esbelta sometida a una fuerza axial de compresi??n. Examinemos una columna vertical larga y esbelta de secci??n transversal uniforme y longitud L. Seay la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresi??n, o carga, P, en su extremo superior (Fig.5.26). Al comparar los momentos flexionantes en cualquier punto de la columna obtenemos E& = -pJ) 0 sea E&+Py=O, o!? ak2 donde E es el m??dulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de una secci??n transversal con respecto a una recta vertical por el centroide.

Secci??n 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 227

Un problema de valores propios Determine la desviaci??n de una columna homog?®nea, delgada y vertical de altura L, sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra articulada en sus dos extremos.

S O L U C I ?ô N El problema de valor en la frontera que se debe resolver es

y = 0 es una soluci??n v?ílida para este problema. Tiene la sencilla interpretaci??n que si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexi??n. La pregunta, entonces, es la siguien- te: ??para qu?® valores de P se curva la columna? En t?®rminos matem?íticos: ipara qu?® valores de P el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales? Hacemos la sustituci??n X = PIEI y vemos que yÔÇØ + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 es id?®ntica al problema del ejemplo 2. En el caso III de ese problema vemos que las curvas de desviaci??n son yn = cz sen(nnx/l), que corresponden a los valores propios X, = PJEI = n2r21L2 n = 1 2 3 . . . Esto quiere decir, f?¡sicamente, que la columna se desvia solo cuando la fuerza de compresi??n tiene uno de los valores P,, = n2r2EZ/L2, n = 1, 2, 3, . . . . Esas fuerzas se llaman cargas cr?¡ticas. La curva de deflexi??n que corresponde a la m?¡nima carga cr?¡tica, PI= gEI/L2 se denomina carga de Euler y es y,(x) = c2 sen(rx/L); esta funci??n se conoce como primer modo de desviaci??n. n

Juego de la cuerda La simple ecuaci??n diferencial lineal y de segundo orden yÔÇØ + Ay = 0 (6) sirve de nuevo como modelo matem?ítico. En la secci??n 5.1 la vimos en las formas d*x/d? + (k-/m)x = 0 y d*q/dr! + (1ILC)q = 0 como modelos respectivos del movimiento arm??nico simple de un sistema de resorte y masa, y la respuesta arm??nica simple de un circuito en serie. Surge cuando el modelo de curvatura de una columna delgada en (5) se escribe en la forma d*yld.x* + (P/Elly = 0, que es igual a (6). Una vez m?ís, nos encontramos con la misma ecuaci??n (6) en esta secci??n: como modelo que define la curva de deflexi??n o la forma y(x) que adopta una cuerda que gira. El caso f?¡sico es an?ílogo a cuando dos personas sujetan una cuerda de saltar y la giran en forma sincr??nica [Fig.5.28(a) y (b)].

Secci??n 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 229

Cuando los ?íngulos 191 y 02, expresados en radianes, son peque??os, sen 192 = tan 92, y sen 01 = tan 01. Adem?ís, puesto que tan 02 y tan 81 son, a su vez, las pendientes de las l?¡neas que contienen a los vectores Tl y TI, tambi?®n podremos escribir tan e2 = y'(x + Ax) y tan 8, = y'(x).

De esta forma, la ecuaci??n (7) se transforma en F = T[ y `(x + Ax) – y'(x)]. (8) Luego podemos obtener una forma distinta de la misma fuerza neta recurriendo a la segunda ley de Newton, F = mu. En este caso, la masa de la cuerda en el intervalo es m = p Ax; la aceleraci??n centr?¡peta de un cuerpo que gira con velocidad angular w en un c?¡rculo de radio r es a = rw2. Si AX es peque??o, podemos hacer r = y. As?¡, la fuerza vertical neta tambi?®n est?í expresada aproximadamente por F= -(p Ax)yo2, (9) donde el signo menos proviene de que la aceleraci??n apunta en direcci??n opuesta a la direcci??n positiva de las y. Ahora, igualando las ecuaciones (8) y (9), T[y'(x + Ax) – y'(x)] = – (pAx)yw2 o sea ?¡ÔÇØÔÇ£(‘ + `Li – ÔÇ£(`) z – po2y. (10) Cuando AX tiende a cero, el cociente de la diferencia v(x + Ax) – y'(x)]/bx, en la ecuaci??n (lo), se puede aproximar por la segunda derivada, d 2yldx2. Por ??ltimo llegamos al modelo

dx2 Dado que la cuerda est?í tija en sus extremos x = 0 y x = L, esperamos que la soluci??n y(x) de la ??ltima de las ecuaciones en (ll) tambi?®n satisfaga las condiciones en la frontera y(O) = 0 y y(L) = 0.

1 . a) Resuelva la ecuaci??n (4) cuando la viga est?í empotrada en su extremo izquierdo y libre b) Con una graficadora, trace la el?ística de la viga cuando wa = 24EI y L = 1. 2 . a) Resuelva la ecuaci??n (4) cuando la viga s??lo est?í apoyada en ambos extremos y w(x) = b) Con una graficadora, trace la el?ística de la viga cuando wg = 24EI y L = 1. 3 . a) Resuelva la ecuaci??n (4) cuando la viga est?í empotrada en su extremo izquierdo y s??lo b) Con una graficadora, trace la el?ística de la viga cuando wg = 48EZ y L = 1.

4. a) Resuelva la ecuaci??n (4) cuando la viga est?í empotrada en su extremo izquierdo, ~610 b) Con una graficadora, trace la el?ística de la viga cuando wa = 27?EI y L = 1. 5. a) Determine la desviaci??n m?íxima de la viga en voladizo (o cantil?¡ver) del problema 1. b) ??C!??mo se compara la desviaci??n m?íxima de una viga de la mitad de la longitud con el 6 . a) Calcule la desviaci??n m?íxima de la viga simplemente apoyada del problema 2. b) ??C??mo se compara la desviaci??n m?íxima de la viga simplemente apoyada con la 7. Una viga en voladizo, de longitud L, est?í empotrada en su extremo derecho y se aplica al extremo izquierdo una fuerza horizontal de tensi??n de P lb. Si el origen se sit??a en su extremo libre (Fig. 5.29), se puede demostrar que la desviaci??n y(x) de la viga satisface la ecuaci??n diferencial ElyÔÇØ = Py – w(x) ;.

Calcule la desviaci??n de la viga en voladizo cuando W(X) = w@, 0 < x < L y y(O) = 0, y'(L) = 0.

FIGURA 5.29 8. Si se aplica una fuerza de compresi??n en lugar de la de tensi??n en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuaci??n diferencial de la el?ística es EZyÔÇØ = -Py – w(x) ;.

!kcci??n 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 231

1 4 . yÔÇØ + Ay = 0, y(-?T) = 0, y(r) = 0 15. yÔÇØ + 2y’ + (h + l)y = 0; y(O) = 0, y(5) = 0 16. yÔÇØ + (h + 1)y = 0, y'(O) = 0, y'(l) = 0 17. yÔÇØ + Py = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 1 8 . y ÔÇØ + A2y = 0, y(O) = 0, ~`(397) = 0 19. x2ya + xy’ + Ay = 0, y(l) = 0, y(P) = 0 20. x2yv + xy’ + Ay = 0, y'(e-‘) = 0, y(l) = 0 21. X~YÔÇØ + xy’ + Ay = 0, y'(l) = 0, y'(e’) = 0 22. ,t?yÔÇØ + 2xy’ + Ay = 0, y(l) = 0, y(e’) = 0 23. Demuestre que las funciones propias del problema de valor en la frontera yÔÇØ + Ay = 0, y(O) = 0, YO) + Y'(l) = 0

sonyn = sen fin*, en donde los valores propios X, del problema son X, = x,,* donde los x,,, n=l,2,3,… son las ra?¡ces positivas consecutivas de la ecuaci??n tan fi = -6 24. a) Conv?®nzase, usando una graticadora, de que la ecuaci??n tan x = -X tiene una cantidad infinita de ra?¡ces. Explique por qu?® se pueden pasar por alto las ra?¡ces negativas de la ecuaci??n y por qu?® X = 0 no es valor propio en el problema 23, aun cuando es una ra?¡z b) Aplique un procedimiento num?®rico o un sistema algebraico de computaci??n para 25. Se tiene el problema de valor en la frontera que presentamos como modelo matem?ítica de la forma de una cuerda de saltar:

Con T y p constantes, defina las velocidades cr?¡ticas de rotaci??n angular, w,,, como los valores de w para los que el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales. Calcule las velocidades cr?¡ticas w,, y las curvas correspondientes de desviaci??n, yn( 26. Cuando la magnitud de la tensi??n T no es constante, un modelo de la curva de desviaci??n o forma y(x) que toma una cuerda rotatoria es

$ 1Ti a) Si y(l) = 0, y(e) = 0 y pw* > 0.25, halle las velocidades cr?¡ticas w,, y las curvas correspondientes de desviaci??n yn( b) En la ecuaci??n de yn habr?í una constante arbitraria, por ejemplo, cz. Con una graficadora trace las curvas de desviaci??n en el intervalo [ 1, e], para n = 1,2,3. Haga c*= 1.

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