Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Denis G. Zill) -Part2

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1 galhnin mezcla, 3 gal/min Secci??n 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 111

mezcla, 5 gal/min A loo gal Ll- 7- iY – mezcla, mezcla, 1 gal/min 4 gal/min

B 100 gal FIGURA 3.28 10. Dos tanques, A y B, contienen 1 OO galones de salmuera cada uno al principio del proceso. El l?¡quido, bien agitado, pasa entre ambos como muestra la figura 3.28. Con la informaci??n de la figura, formule un modelo matem?ítico para el n??mero de libras de sal XI y ~2, en los tanques A y B, respectivamente, en cualquier momento.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homog?®neas 4.1.3 Ecuaciones no homog?®neas 4.2 Reducci??n de orden 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 4.4 Coeficientes indeterminados, m?®todo de la superposici??n 4.5 Coeficientes indeterminados, m?®todo del anulador 4.6 Variaci??n de par?ímetros 4.7 Ecuaci??n de Cauchy-Euler 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 4.9 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del cap?¡tulo examinaremos algo de la teor?¡a y m?®todos para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la secci??n 4.8 presentamos el m?®todo de eliminaci??n, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porque es un m?®todo b?ísico, que simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable depen- diente. El cap?¡tulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior.

Sxci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones heales 1 1 3

TEOR?¡A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales n Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera n Ecuaciones diferenciales homog?®neas y no homog?®neas n Operador diferencial lineal H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones H Principios de superposici??n n Soluci??n general n Funci??n complementaria n Soluci??n particular 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera Problema de valores iniciales En la secci??n 1.2 definimos qu?® es un problema de valores iniciales para una ecuaci??n diferencial general de orden n. Para una ecuaci??n diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es

Sujeta f.7: y(n) = yo, y'(x0) = yl, . . ., y(ÔÇ£-`)XO = y,-1. (1)

Recu?®rdese que, para un problema como ?®ste, se busca una funci??n definida en alg??n intervalo I que contenga a XO, y satisfaga la ecuaci??n diferencial y las n condiciones iniciales especifi- cadasenxo:y(xo)=yo,y'(xo)=yl,. . .,y(*-`)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de soluci??n debe pasar por el punto (~0, yo) y tener ia pendiente y1 en ese punto.

Existencia y unicidad En la secci??n 1.2 enunciamos un teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una soluci??n de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de exis- tencia de soluci??n ??nica para el problema representado por las ecuaciones (1).

sean a,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x) cont?¼mutg edlm int%rvaio r, p toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i# ??nica.

Soluci??n ??nica de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales 3y’ÔÇØ + 5yÔÇØ – y’ + 7y = 0, y(l) = 0, y'(l) = 0, yÔÇØ(l) = 0 I

m Soluci??n ??nica de un problema de valores iniciales El lector debe comprobar que la funci??n y = 3e& + e-b – 3x es una soluci??n del problema de valores iniciales La ecuaci??n diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 1 f 0 en todo intervalo Z que contenga a x = 0. Seg??n el teorema 4.1, debemos concluir que la funci??n dada es la ??nica soluci??n en Z. n

Ambos requisitos del teorema 4.1: 1) que Q(X), i = 0, 1,2, . . . , n sean continuos, y 2) que u,(x) f 0 para toda x en Z, son importantes. En forma espec?¡fica, si u,,(x) = 0 para una x en el intervalo, la soluci??n de un problema lineal de valores iniciales quiz?í no sea ??nica o incluso no exkta; por ejemplo, el lector debe comprobar que la funci??n y = cx2 + x + 3 es una soluci??n del problema de valores iniciales ?yÔÇØ – 2xy’ + 2y = 6, y(O)=3, y'(O)= 1 para x en el intervalo (-, -) y cualquier valor del par?ímetro c. En otras palabras, no hay soluci??n ??nica para el problema. Aunque se satisface la mayor parte de las condiciones del teorema 4.1, las dificultades obvias estriban en que uz(x) = x2 es cero cuando x = 0, y en que las condiciones iniciales se han impuesto en ese valor.

Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuaci??n diferencial lineal de segundo ordeno mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est?®n especificadas en puntos distintos. Un problema como Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &)

Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1 se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo y y(b) = ~1, se denominan condiciones en la frontera. Una soluci??n del problema anterior es una funci??n que satisface la ecuaci??n diferencial en alg??n intervalo Z que contiene a u y b, cuya gr?ífica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr). V?®ase la figura 4.1.

Secci??n 4.1 Teor?¡a pdiminar: ecuaciones hales 115 Para una ecuaci??n diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podr?¡an ser Y'(U) = YO, y(b) =YI ~(4 = yo, y'(b) = y, Y'(U) = YO, y'(b) = YI, en donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones s??lo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: RY (4 + PlY `(a) = Yl w(b) + W(b) = ~2.

Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del teorema 4.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones (Fig. 4.1); ii) soluci??n ??nica, 0 iii) ninguna soluci??n.

Un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, – una 0 ninguna En el ejemplo 5 de la secci??n 1.1 vimos que la familia a dos par?ímetros de soluciones de la ecuaci??n diferencial xÔÇØ + 16x = 0 es x = cl cos 4t + c2 sen4t. (2) a) Supongamos que queremos determinar la soluci??n de la ecuaci??n que adem?ís satisfaga las condiciones de frontera x(O) = 0, x(7r/2) = 0. Obs?®rvese que la primera condici??n, 0 = cl cos 0 + c2 sen 0, implica que CI = 0, de modo que x = c2 sen 4t. Pero cuando t = ~12, 0 = c2 sen 27r es satisfactoria para cualquier elecci??n de ~2, ya que sen 27~ = 0. Entonces, el problema de valores en la frontera XÔÇØ + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 tiene una cantidad infinita de soluciones. En la figura 4.2 vemos las gr?íficas de algunos de los miembros de la familia a un par?ímetro x = c2 sen 4t que pasan por los dos puntos, (0,O) y (7a 0).

b) Si se modifica como sigue el problema de valores en la frontera expresado por (3),

xÔÇØ + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 x(O) = 0 sigue determinando que cl = 0 en la soluci??n (2). Pero al aplicar x(7rl8) = 0 a x = c2 sen 4t se requiere que 0 = c2 sen(rr/2) = c2 1; en consecuencia, x = 0 es una soluci??n de este nuevo problema de valor en la frontera. En realidad, se puede demostrar que x = 0 es la c) Por ??ltimo, al transformar el problema en

xÔÇØ + 16x = 0, x(O) = 0, x ; = 1 (5) 0

vemos, que cr = 0 porque x(O) = 0 pero, al aplicar x(rr/2) = 1 a x = c2 sen 4t, llegamos a la contradicci??n 1 = c2 sen 2n = c2 . 0 = 0. En consecuencia, el problema de valores en la frontera descrito por (5) no tiene soluci??n. n 4.1.2 Ecuaciones homog?®neas Una ecuaci??n lineal de orden n de la forma dÔÇØ-`y a,(x) 2 + a,-](x) – + . + al(x) 2 + ao(x)y = 0 (6) & n-l

se llama homog?®nea, mientras que una ecuaci??n dÔÇØ-`y a,(x) $ + a,-l(x) -& n-l + . . + al(x) f$ + ao(xly = g(x) (7)

donde g(x) no es id?®nticamente cero, se llama no homog?®nea; por ejemplo, 2~ÔÇØ + 3y’ – 5y = 0 es una ecuaci??n diferencial de segundo orden, lineal y homog?®nea, mientras que x3yÔÇØ’ + 6y’ + 1 Oy = ex es una ecuaci??n diferencial de tercer orden, lineal y no homog?®nea. En este contexto, la palabra homog?®nea no indica que los coeficientes sean funciones homog?®neas, como suced?¡a Para resolver una ecuaci??n lineal no homog?®nea como la (7), en primera instancia debemos poder resolver la ecuaci??n homog?®nea asociada (6).

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 117

Operadores diferenciales En c?ílculo, la diferenciaci??n suele indicarse con la D ma- y??scula; esto es, u’y/uk = Dy. El s?¡mbolo D se llama operador diferencial porque transforma una funci??n diferenciable en otra funci??n; por ejemplo, D(cos 4x) = -4 sen 4x y D(5×3 – 6x*) = 15×2 – 12~. Las derivadas de orden superior se pueden exp! esar en t?®rminos de D en forma natural: y en general z = D ÔÇ£y, d”y = 2 = D(Dy) = Dzy

en dondey representa una funci??n suficientemente diferenciable. Las expresiones polinomiales donde interviene D, como D + 3, fl+ 3D- 4 y 5x3D3 – 6x*d + 4xD f 9 tambi?®n son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define: L = a,(x)D” + a,&)D”-‘ + e.0 + a&)D f@(x). (8) Como consecuencia de dos propiedades b?ísicas de la diferenciaci??n, D(cf(x)) = cDf(x), donde c es una constante y D{f(x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L, operando sobre una combinaci??n lineal de dos f??ncio- nes diferenciables, es lo mismo que una combinaci??n lineal de L operando sobre las funciones individuales. En s?¡mbolos, esto significa que Lkf~~) + k%(x)1 = ~Jw-(x)) + mg(x)), (9) en donde Q y ,B son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el operador diferencial de orden n, L, es un operador lineal.

Ecuaciones diferenciales Toda ecuaci??n diferencial lineal se puede expresar en nota- ci??n D; por ejemplo, la ecuaci??n diferencial yÔÇØ + 5y’ + 6y = Sx – 3 se puede escribir en la forma o’y + 5Dy `+ 6y = 5x – 3 o como (I? + 5D + 6)y = 5x – 3. Al aplicar la ecuaci??n (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden escribir en forma compacta como UY) =o Y aY) = g(x), respectivamente.

Principio de superposici??n En el siguiente teorema veremos que la suma o superpo- sici??n de dos o m?ís soluciones de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea tambi?®n es una soluci??n.

Principio de superposici??n, ecuaciones homogbneus sean Yl, Y2, * . . , yk soluciones de la ecuaci??n diferencial homog?®nea de ardm n, ~~~~ ,.< (6), do& x esta en un intervalo 1. La combinaci??n lineal al `j

Y = ClYl w + w2c4 + . . ' + wm ' endondelasc~,i=1,2 ,..., R son constantes arbitrarias, tambi?®n es una soluci?óa cmm&t x est?í en el intervalo.

DEMOSTRACI?ôN Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean yt(x) y yz(x) soluciones de la ecuaci??n homog?®nea L(y) = 0. Si definimos y = ct yt(x) + c2y&), entonces, por la linealidad de L,

Superposici??n, ecuaci??n diferencial homog?®nea Las funciones yt = x2 y y2 = x2 In x son soluciones de la ecuaci??n lineal homog?®nea X3Y"' - 2xy' + 4y = 0 para x en el intervalo (0, -). Seg??n el principio de superposici??n, la combinaci??n lineal y = c1x2 + c2.x' In x tambi?®n es una soluci??n de la ecuaci??n en el intervalo. n

La funci??n y = e7' es una soluci??n de yÔÇØ - 9y' + 14y = 0. Como la ecuaci??n diferencial es lineal y homog?®nea, el m??ltiplo constante y = ceÔÇØ tambi?®n es una soluci??n. Cuando c tiene diversos valores, y = 9e7x, y = 0, y = -6 e7x, . . . son soluciones de la ecuaci??n.

Dependencia e independencia lineal Citaremos un par de conceptos b?ísicos para estudiar ecuaciones diferenciales lineales.

Se dice que un conjunto de fum3ones,~(~~&&~, un intervalo I si existen constantes, CI, . . ,, C, no to&s

para toda x S i e l conjunto intervalo, s e dice que es linealmente En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las ??nicas constantes para las que se cumple c,f,(x) + czfi(x> + . . . + cnh(x) = 0 para toda x en el intervalo son cl = c2 = . . . = c, = 0.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 1 1 9

Es f?ícil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, h(x) y fz(x). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, CI y ~2, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, clfl(x) + c&(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que CI f 0, entonces ji(x) = – $c2 iw;

esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un m??ltiplo constante de la otra. Al rev?®s, sifi(x) = c*&(x) para alguna constante CZ, entonces (-1) .fi(x) + c2.f!44 = 0

para toda x en alg??n intervalo. As?¡, las funciones son linealmente dependientes porque al menos una de las constantes no es cero (en este caso CI = -1). Llegamos a la conclusi??n de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es m??ltiplo constante de la otra en un intervalo. Por ejemplo, las funciones f,(x) = sen 2x y yi = sen x cos x son linealmente dependientes en (–, -) porquefi(x) es m??ltiplo constante defi(x). Con base en la f??rmula de doble ?íngulo para el seno, recu?®rdese que sen 2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones fl(x) = x yfi(x) = 1×1 son linealmente independientes en (-, -). Al ver la figura 4.3 el lector se debe convencer de que ninguna de las funciones es un m??ltiplo constante de la otra, en el intervalo.

(W FIGURA 4.3 De lo anterior se concluye que el cocientef2(x)/fl(x) no es constante en un intervalo en que A(x) yfz(x) son linealmente independientes. En la siguiente secci??n utilizaremos este detalle.

m Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = cos2x, So = sen2x, f3(x) = sec2x, f4(x) = tan2x son linealmente dependientes en el intervalo (-7r/2,7r/2) porque c, cos2x + c2sen2x + c3 sec2x + c4 tan2x = 0, cuando CI = c2 = 1, cg = -1, c4 = 1. Hemos aplicado cos2x + sen2x = 1 y 1 + tan2x = sec2x. n

Un conjunto de fhnciones,fi(x),f2(x), . . . , fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo si se puede expresar al menos una funci??n como combinaci??n lineal de las funciones restantes.

Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = G + 5, fi(x) = C + 5x, h(x) = x – 1, h(x) = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, -) porquef2 se puede escribir como una combinaci??n lineal deji, f3 y f4. Obs?®rvese que ji(x) = 1 fl(X) + 5 . fj(X) + 0 . f4(x) para toda x en el intervalo (0, -). n

Soluciones de ecuaciones diferenciales Ante todo, nos interesan las funciones li- nealmente independientes o, con m?ís precisi??n las soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n diferencial lineal. Aunque siempre podemos recurrir a la definici??n 4.1, sucede que el asunto de si son linealmente independientes las n soluciones, ~1, ~2, . . . , yn de una ecuaci??n diferencial lineal de orden n como la (6) se puede definir mec?ínicamente recurriendo a un determinante.

El wronskiano Sup??ngase que cada una de las funciones h(x), h(x), . . . , J,(x) posee n – 1 derivadas al menos. El determinante fi f2 . . . fn f; f; `.’ si . 2

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 121 I Critario para soluciones linealmente independientes sean n soluciones,y~ ,y2, . . ., yn, de la ecuaci??n diferencial (6), lineal, homog&rea y de orden n, en un intervalo 1. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y ~610 si 4% Y2, – * *,Yn)+O para toda x en el intervalo.

De acuerdo con el teorema 4.3, cuandoyr,yz, . . ., yn son n soluciones de (6) en un intervalo I, el wronskiano W(y1, ~2, . . ., y,) es id?®ntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea de orden n tiene un nombre especial.

Conjunto fundamental de soluciones Todo conjunto yl, ~2, . . ., y,, de n soluciones linealmente independientes de la ecuaci6n diferencial lineal homog?®nea de orden n, ecuaci??n (6), en un intervalo 1, se llama conjunta fundamental de soluciones en el intervalo.

El asunto b?ísico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuaci??n lineal se contesta con el siguiente teorema.

Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial lineal homogenea de orden n, (6), en un intervalo 1.

As?¡ como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinaci??n lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda soluci??n de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea y de orden n, en un intervalo Z, se puede expresar como una combinaci??n lineal de n soluciones linealmente independientes en Z. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes (,vr , ~2, . . ., y,J son las unidades constructivas b?ísicas de la soluci??n general de la ecuaci??n.

Soluci6n general, ecuaciones homog?®neas Seww2,. . ., y,, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea de orden n, (6), en un intervalo 1. La soluci??n general de la ecuaci??n en el intervalo es > y = ClJo) + C2Y2c4 + . . . + WÔÇØ(X), dondeci, i= 1,2,. . ., n son constantes arbitrarias.

El teorema 4.5 establece que si Y(x) es cualquier soluci??n de (6) en el intervalo, siempre se pueden determinar las constantes Cr, C2, . . ., C,, de tal modo que Y(x) = Cly&) + C&x) + . . . + Cfln(x).

DEMOSTRACI?ôN Sea Y una soluci??n y seanyr y y2 soluciones linealmente independientes de g yÔÇØ + UI y’ + soy = 0 en un intervalo 1. Supongamos que x = t es un punto en 1 para el que W(yr(t), yz(l)) f 0. Consideremos, tambi?®n, que Y(r) = Kr y que Y'(t) = K2. Si examinamos las ecuaciones GYl(4 + GY2(f) = kl Gy;W + Gy;(f) = kz> veremos que podemos determinar CI y C2 en forma ??nica, siempre que el determinante de los coeficientes satisfaga

x(t) YzO) I Yi(O YW 1 Pero este determinante no es m?ís que el wronskiano evaluado en x = t, y, por hip??tesis, W+ 0. Si definimos G(x) = Cryr(x) + C&X), veremos que i) G(x) satisface la ecuaci??n diferencial porque es una superposici??n de dos soluciones conocidas, ii) G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) = C,y&) + GY&) = kl G'(t) = Cly; + Gy;(t) = kz;

iii) Y(x) satisface Za misma ecuaci??n lineal y Zus mismas condiciones iniciales. Como la soluci??n de este problema lineal de valor inicial es ??nica (teorema 4. l), entonces Y(x) = G(x), o bien Y(x) = Cryr(x) + C&x). n

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones heales 123

Soluci??n obtenida a partir de una soluci??n general 1 La funci??n y = 4 senh 3x – 5e3* es una soluci??n de la ecuaci??n diferencial del ejemplo 7. (Conf?¡e esta afirmaci??n.) Seg??n el teorema 4.5, podremos obtener esta soluci??n a partir de la soluci??n general y = ct e3* + cse -3X . Obs?®rvese que si elegimos cl = 2 y c2 = -7, entonces y = 2e3X – 7e-3X se puede escribir en la forma y = xe3x- &-3~ – 5e-3~ = 4 – 5e-3X.

Esta ??ltima expresi??n es y = 4 senh 3x – 5e-3X. n

Soluci??n general de una ecuaci??n diferencial homog?®nea Las funciones yl = 8, y2 = eti y y3 = e3′ satisfacen la ecuaci??n de tercer orden

Como W(ex, eÔÇØ, eÔÇØ) = ex ek e3* ex 2e*X 3e3X = 2@ # Cl ex 4e2′ 9e3X para todo valor real de x, las funciones yr, y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (-, -). En conclusi??n, y = clex + c2e2′ + c3e3X es la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial en el intervalo.

4.1.3 Ecuaciones no homog?®neas Toda funci??n yP libre de par?ímetros arbitrarios que satisface la ecuaci??n (7) se llama soluci??n particular o integral particular de la ecuaci??n; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la funci??n constante yP = 3 es una soluci??n particular de la ecuaci??n no homog?®nea Siyby2,. . ., yk son soluciones de la ecuaci??n (6) en un intervalo Zy y, es cualquier soluci??n particular de la ecuaci??n (7) en Z, entonces, la combinaci??n lineal y = ClYl(X) + C2Yd-4 + * **+ CkYk(X) + Y P (10) tambi?®n es una soluci??n de la ecuaci??n (7) no homog?®nea. Si el lector lo medita tiene sentido, ya que la combinaci??n lineal ctyl(x) + czyy~(x) + . . + ckyk(x) se transforma en 0 mediante el operador L = u,DÔÇØ + u,&ÔÇ£- + . . . + alD + ac, mientras que yP se convierte en g(x). Si usamos R = n soluciones linealmente independientes de la ecuaci??n (6) de orden n, la expresi??n (10) viene a ser la soluci??n general de (7).

1 Soluci??n general, ecuaciones no homogbas Sea y,, cualquier soluci??n particular de la ecuacibn diferenciai lineal, no homog?®nea, de orden n, ecuacion (7), en un intervalo 1, y sean yr,`y2, . . ., yn un conjunto fundanlental de soluciones de la ecuaci??n diferencial homog?®nea asociada (6), en 1. Entonces, la soluci?ín general de la ecuaci??n en el intervalo es

y = ClyI(X) + c2yz(x) + * ‘ . + cnyfI(x) + yp,

DEMOSTRACI?ôN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y y&) soluciones particulares de la ecuaci??n no homog?®nea L(y) = g(x). Si definimos u(x) = Y(x) – y&), por la linealidad de L se debe cumplir Esto demuestra que u(x) es una soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea L(y) = 0; por consiguiente, seg??n el teorema 4.5, u(x) = CV,(X) + c~yz(x) + . + cny,( y as?¡ Y(x) – Y,(X) = ClY&) + CzY2(X) + – * * + CÔÇØY&) 0 sea Y(x) = ClY, + czy*(x) + * * * + c,y,(x) + y,(x). n Funci??n complementaria En el teorema 4.6 vemos, que la soluci??n general de una ecuaci??n lineal no homog?®nea consiste en la suma de dos funciones: La combinaci??n lineal yC = c~yt(x) + czyz(x) + . . . + cnyn(x), que es la soluci??n general de (6), se llama funci??n complementaria para la ecuaci??n (7). En otras palabras,.para resolver una ecuaci??n diferencial lineal no homog?®nea primero se resuelve la ecuaci??n homog?®nea asociada y luego se determina cualquier soluci??n particular de la ecuaci??n no homog?®nea. La soluci??n general de la ecuaci??n no homog?®nea es, entonces,

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 125

Pero en el ejemplo 9 vimos, que la soluci??n general de esta ??ltima ecuaci??n era yc = cre’ + czf? + cse3′ en el intervalo ( -00, -); por lo tanto, la soluci??n general de (ll) en el intervalo es ll 1 12 2

Otro principio de superposici??n El ??ltimo teorema en esta discusi??n nos ser?í ??til en la secci??n 4.4, cuando estudiemos un m?®todo para determinar soluciones particulares de ecuaciones no homog?®neas.

Principio de sqetpsici6n, ecuackmes M) hamogkWaS Sean k soluciones particulares, ypz ypll, . . ., ym de la ecuacion (7), diferencial lineal no homog?®nea de orden n, en el interwlo I que, a su vez, corresponden a k funciones dWitas, gt,gz, * ‘ *, gk. Esto es, supongamos queyp, representa una sohrci??n particuk de la ecuati6n diferencial correspondiente .- u,(x)y@’ + u, . *(x)y@- `f + . – *+ al (x)y’ + uo(x)y = gdx), en donde i = 1,2, . . ., k. Entonces Yp = Yp,W + Yp&9 f ‘ **+ Y&) es una soluci6n particular de u,(x)y@’ + u, – ,(x)y@ – l) + . . *+ ar(x)y’ + u&)y = gdx) + gzw + *. *+ gkm. 5 @4)

DEMOSTRACI?ôN Probaremos el caso en que k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean y&) y y,,,(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homog?®neas L(y) = g](x) y L(y) = gz(x), respectivamente. Si definimos y, = y&) + yp,(x), demostraremos que y,, es una soluci??n particular de L(y) = gr(x) + gz(x). De nuevo, el resultado, es consecuencia de la linealidad del operador L:

De acuerdo con el teorema 4.7, la superposici??n de yP,, yh Y ym y = yp, + y,, + yp, = -4x* + e21 + xex,

es una soluci??n de -i,r- &W gdx) &W

Si las y,,?í son soluciones particulares de la ecuaci??n (12) para i = 1,2, . . ., k, la combinaci??n lineal

yp = Clyp, + czyp, + * ‘ * + ckYpk* en donde las ci son constantes, tambi?®n es una soluci??n particular de (14), cuando el lado derecho de la ecuaci??n es la combinaci??n lineal

C,&(X) + C&(x) + * * ‘ + ckgk(x)* Antes de comenzar a resolver ecuaciones diferenciales lineales homog?®neas y no homog?®neas, veamos algo de la teor?¡a que presentaremos en la pr??xima secci??n.

I Esta observaci??n es la continuaci??n de la cita sobre los sistemas din?ímicos que apareci?? al Un sistema din?ímico cuya regla o modelo matem?ítico es una ecuaci??n diferencial lineal de orden n, a,(t)y(ÔÇ£) + u,l(t)y(ÔÇ£-`) + . . + a,(t)y’ + ao(t)y = g(t) se llama sistema lineal de orden n. Las n funciones dependientes del tiempo, r(t), y'(t), . ., y@`+(t) son las variables de estada del sistema. Ya sabemos que sus valores, en el momento t, determinan el estado del sistema. La funci??n g tiene varios nombres: funci??n de entrada, forzamiento, entrada o funci??n de excitaci??n. Una soluci??n r(t) de la ecuaci??n diferencial se llama salida o respuesta del sistema. En las condiciones mencionadas en el teorema 4.1, la salida o respuesta y(t) est?í determinada en forma ??nica, por la entrada y el estado del sistema en el momento to; esto es, por las condiciones iniciales Ato), y'(to), . . . , y(ÔÇ£`)(to). En la figura 4.4 vemos la dependencia entre la salida y la entrada.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 1 2 7

Para que un sistema din?ímico sea sistema lineal, se necesita que el principio de superpo- sici??n, teorema 4.7, sea v?ílido en ?®l; o sea, que la respuesta del sistema a una superposici??n de entradas sea una superposici??n de salidas. Ya examinamos algunos sistemas lineales sencillos en la secci??n 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la secci??n 5.1 examinare- mos los sistemas lineales para los cuales los modelos matem?íticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

– 4.1`1 1. Dado que y = cle’ + cze-* es una familia a dos parhmetros de soluciones de yÔÇØ – y = 0 en el intervalo (-00, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 2. Determine una soluci??n de la ecuaci??n diferencial del problema 1 que satisfaga las 3 . Dado que y = cI eAr + czeTX es una familia a dos par?ímetros de soluciones deyÔÇØ – 3y’ – 4y = 0 en el intervalo (-OD, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 4. Dado que y = CI + c2 cos x + c3 sen x es una familia a tres parhetros de soluciones de yÔÇØ’ + y’ = 0 en el intervalo ( -00, -), defina un miembro de la familia que cumpla las 5 . Como y = CIX + czx ln x es una familia a dos par?ímetros de soluciones de x2yÔÇØ – xy’ + y = 0 en el intervalo (-, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 6. Puesto que y = CI + ~2×2 es una familia a dos par?ímetros de soluciones de xYÔÇØ – y’ = 0 en el intervalo (-, -), demuestre que las constantes cl y CL no pueden ser tales que un miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales y(O) = 0, y'(O) = 1. Explique por 7. Determine dos miembros de la familia de soluciones de xyÔÇØ – y’ = 0, del problema 6, que 8. Halle un miembro de la familia de soluciones a xyÔÇØ – y’ = 0 del problema 6, que satisfaga las condiciones a la ffonteray(0) = 1, y'(l) = 6. ??El teorema 4.1 garantiza que esta soluci??n 9. Puesto que y = cleÔÇØ cos x + C# sen x es una familia a dos par?ímetros de soluciones de yÔÇØ – 2y’ + 2y = 0 en el intervalo (–, -), determine si es posible que un miembro de la familia pueda satisfacer las siguientes condiciones en la contera: a) y(O) = 1, y'(O) = 0 b) y(O) = 1, Y(T) = -1 d)y(O)= 0, Y(T)= 0.

10. En virtud de iue; = c,x2 + c2x4 + 3 es una familia a dos par?ímetros de soluciones de x2yÔÇØ – 5xy’ + 8y = 24, en el intervalo (- =, -), determine si es posible que un miembro de la familia satisfaga estas condiciones en la frontera: a) y(-1) = 0, y(l) = 4 b)y(O) = 1, YU) = 2 c)y(O)=3, y(l)=0 d)y(l) = 3, ~(2) = 15.

En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de ll. (x – 2)yÔÇØ+ 3y =x, y(O)= 0, y'(O)= 1 12.yÔÇØ+(tanx)y= e’, y(O)= 1, y'(O)= 0 13. En vista de que x = cr cos wt + c2 sen wt es una familia a dos par?ímetros de soluciones de xÔÇØ + Jx = 0 en el intervalo (–, -), demuestre que una soluci??n que cumple las condiciones iniciales x(O) = XO, x'(O) = xr es

14. Use la familia a dos par?ímetros x = cl cos wt + c2 sen wt para probar que una soluci??n de la ecuaci??n diferencial que satisface x(h) = XO, x'(h) = x1 es la soluci??n del problema de valor inicial en el ÔÇ£problema 13ÔÇØ, desplazada o recorrida la cantidad to: x(t) = x. cos w(t – to) + z sen w(t – ro).

– 4.1.2 En los problemas 15 a 22 compruebe si las funciones respectivas son linealmente inde- 15. fi(X) = x, f*(x) = x2, fj(X) = 4x – 3xy 16. h(x) = 0, h(x) = x, h(x) = ex 17. fi(x) = 5, f*(x) = cos2x, f3(x) =sen*x 18. J(x) = cos 2x, h(x) = 1, h(x) = cos*x 19. fi(x) = x, f*(x) = x – 1, f3(x) = x + 3 20. fi(x) = 2 + x, fi(x) = 2 + 1×1 21. fi(X) = 1 + x, fz(x) = x, ji(x) = ir2 22. fi(x) = ex, f*(x) = emx, f3(x) = senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuaci??n diferencial en el intervalo indicado. Forme la soluci??n general. 23. yÔÇØ – y’ – 12y = 0; em3*, e4x, (-m, m) 24. yÔÇØ – 4y = 0; cosh 2x, senh 2x, (- m, m) 25. yÔÇØ – 2y’ + 5y = 0; ex cos 2x. eÔÇØsen2x, (-m, m) 26. 4~ÔÇØ – 4y’ + y = 0; ex’*, xex’*, (- m, m) 27. x*yÔÇØ – 6xy’ + 12~ = 0; x3, x4, (0, m) 28. x2yÔÇØ + xy’ + y = 0; cos(ln x),sen(ln x), (0, m) 29. x3yÔÇØ’ + 6x*yÔÇØ + 4xy’ – 4y = 0; x, x-*, xm2 In x, (0, m) 30. yc4) + yÔÇØ = 0; l,x,cosx,senx, (-03, m) Problemas paro discusi??n 31. a) Compruebe que yl = x3 y y2 = lxl3 son soluciones linealmente independientes de la b) Demuestre que W(y,, y2) = 0 para todo numero real x. LEste resultado contradice el teorema 4.3? Explique su respuesta.

Secci??n 4.1 Teor?¡a preliminar: ecuaciones lineales 129

c) Compruebe que Yl = x3 y Y2 = X? tambi?®n son soluciones linealmente independientes d) Halle una soluci??n de la ecuaci??n diferencial que satisfaga y(O) = 0, y'(O) = 0. e) Seg??n el principio de superposici??n, teorema 4.2, las combinaciones lineales y=clY1 +w2 Y Y= ClYl + CZYZ

son soluciones de la ecuaci??n diferencial. Diga si una, ambas o ninguna de las combi- naciones lineales es una soluci??n general de la ecuaci??n diferencial en el intervalo 32. Suponga que yt = eÔÇØ y y2 = e-‘ son dos soluciones de una ecuaci??n diferencial lineal homog?®nea. Explique por qu?® y3 = cosh x y y4 = senh x tambi?®n son soluciones de la ecuaci??n.

– 4.1.3 Compruebe que la familia biparam?®trica de funciones dadas en los problemas 33 a 36 sea la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial no homog?®nea en el intervalo indicado.

33. yÔÇØ – 7y’ + 1Oy = 24eÔÇØ y = cle2′ + c2e5x + 6eÔÇØ, (-00, m) 34. yÔÇØ + y = sec x y = cl cos x + q sen x + x sen x + (cos x) ln(cos x), 35. yÔÇØ – 4y’ + 4y = 2e2ÔÇØ + 4x – 12 y = cle2ÔÇØ + c2xeh + x2@ + x – 2, (- 03, ÔÇ£) 36. 2xZyÔÇØ + 5xy’ + y = x* – x 11 y = clx-ln + c*x-l + -x* – -x, (03 00) 15 6 37. Si y,, = 3ek y yP2 = x2 + 3x son soluciones particulares de yÔÇØ – 6y’ + 5y = -9e** yÔÇØ – 6y’ + 5y = 5×2 + 3x – 16, Y respectivamente, determine soluciones particulares de yÔÇØ – 6y’ + 5y = 5×2 + 3x – 16 – ge*’ Y y” – 6~’ + 5y = -lOx* – 6x + 32 + e*`.

REDUCCbN DE ORDEN n Reducci??n de una ecuaci??n diferencial de segundo orden a una de primer orden W Forma reducida de una ecuaci??n dij?¿rencial lineal homog?®nea de segundo orden Uno de los hechos matem?íticos m?ís interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda soluci??n, yz, de al(x + q(x)y’ + a()(x)y = 0 (1) en un intervalo Z a partir de una soluci??n yr no trivial. Buscamos una segunda soluci??n, y&), de la ecuaci??n (1) tal que yr y y2 sean lineahnente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son lineahnente independientes, su relaci??ny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x) o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la funci??n u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la ecuaci??n diferencial dada. Este m?®todo se llama reducci??n de orden porque debemos resolver una ecuaci??n lineal de primer orden para hallar ??.

Segunda soluci??n por reducci??n de orden Si yt = eÔÇØ es una soluci??n deyÔÇØ -y = 0 en el intervalo ( -00, -), aplique la reducci??n de orden para determinar una segunda soluci??n, ~2.

S O L U C I ?ô N Si y = u(x)yr(x) = u(x) seg??n la regla del producto \ y’ = uex + exu’, y’ = ueÔÇØ + 2e*u’ + eÔÇØuÔÇØ, y as?¡ yÔÇØ – y = ex(uÔÇØ + 2~`) = 0.

Puesto que eÔÇØ # 0, para esta ultima ecuaci??n se requiere que uÔÇØ + 2~’ = 0. Al efectuar la sustituci??n w = u’, esta ecuacr??n lineal de segundo orden en ZJ se transforma en w’ + 2w = 0, una ecuaci??n lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante eti y as?¡ podemos escribir -$ [e*Xw] = 0.

Despues de integrar se obtiene w = creT2′, o sea que u’ = cte-&. Integramos de nuevo y llegamos a 2

-3 – Por consiguiente, y = u(x)@ = 2 e X + c2eX. (2) Al elegir c2 = 0 y cl = -2 obtenemos la segunda soluci??n que busc?íbamos, yz = e-`. Dado que W(eX, eÔÇØ) # 0 para toda x, las soluciones son lineahnente independientes en (–, -). W L.

Secci??n 4.2 Reducci??n de orden 131 Como hemos demostrado que yt = eÔÇØ y y2 = e-‘ son soluciones linealmente independientes de una ecuaci??n lineal de segundo orden, la ecuaci??n (2) es la soluci??n general de yÔÇØ – y = 0 en (–, -).

Caso general Si dividimos por uz(x) para llevar la ecuaci??n (1) a la forma est?índar yÔÇØ + P(x)y’ + Q(x)y = 0, (3) en donde P(x) y Q(x) son continuas en alg??n intervalo 1. Sup??ngase, ademas, que yl(x) es una soluci??n conocida de (3) en I y que JJ~(X) # 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y = u(x)yt(x), entonces y’ = uy; + y,u’, yÔÇØ = uy; + 2y;zd + y& \Y/ cero Para lo anterior se debe cumplir yd + (2yi + zJy,)u’ = 0 0 sea y~w’ + (2yi + Pyl)w = 0, (4) en donde hemos igualado w = u’. Observese que la ??ltima de las ecuaciones (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos — ~+2~dx+mx=o W

De la ??ltima ecuaci??n despejamos w, regresamos a w = u’ e integramos de nuevo: e-SPdx f Y12 Si elegimos ct = 1 y c2 = 0, vemos en y = u(x)yr(x) que una segunda soluci??n de la ecuaci??n (3) es (5) Un buen repaso de la derivaci??n sera comprobar que la furici6n y&) definida en la ecuaci??n (5) satisface la ecuaci??n (3) y que yt y yz son lineahnente independientes en cualquier intervalo en que yt no sea cero. Vease el problema 29, de los ejercicios 4.2.

Segunda soluci??n con la f??rmula (5) La funci??n yt = xz es una soluci??n de gyÔÇØ – 3xy’ + 4y = 0. Determine la soluci??n general en el intervalo (0, -).

SOLUCI?ôN Partimos de la forma reducida de la ecuaci??n, ,3 0) yÔÇØ-xy’+xi4y=

e3Jdrlx y vemos, de acuerdo con (5), que y2 = x2 j x4 du t e31mlx = p x’ = x3 Ix

La soluci??n general en (0, -) esta definida por y = cryl + c2 yz; esto es, y = c1x2 + c2x2 In x.

l Hemos deducido la ecuaci??n (5) e ilustrado c??mo usarla porque esa f??rmula aparecer?í de nuevo en la siguiente secci??n y en la secci??n 6.1. Usamos la ecuaci??n (5) s??lo para ahorrar tiempo en la obtenci??n del resultado deseado. El profesor dir?í si se debe memorizar la ecuaci??n (5) o dominar las bases de la reducci??n de orden,

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constontes 133

16. (1 – x’)yÔÇØ – 2xy’ = 0; y, = 1 417. x2yn – xy’ + 2y = 0; y1 = x sen(ln x) 18. x2yu – 3xy’ + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x) 4 19. (1 + 2x)yÔÇØ + 4xy’ – 4y = 0; y1 = F2* 20. (1 + x)yÔÇØ + xy’ – y = 0; y1 = x J 21. x2yÔÇØ – xy’ + y = 0; y; = x 22. x2yÔÇØ – 2oy = 0; y, = x-4 J23. x2yÔÇØ – 5xy’ + 9y = 0; y1 = x3 In x 24. x2yv + xy’ + y = 0; yl = cos(ln x) Aplique el m?®todo de reducci??n para determinar una soluci??n de la ecuaci??n no homog?®nea dada en los problemas 25 a 28. La funci??n indicada, y,(x), es una soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea asociada. Determine una segunda soluci??n de la ecuaci??n homog?®nea y una 425. yÔÇØ – 4y = 2; y1 = em2ÔÇØ J26. yÔÇØ + y’ = 1; y1 = 1 :z ;ÔÇØ 1 i;’ 1 i; z *ÔÇ£ÔÇ£;, = ; eÔÇØ . II I 1 7 29. a) Compruebe por sustituci??n directa que la ecuaci??n (5) satisface la ecuaci??n (3). b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u’yt2 = e-Ip(X)dx.

Problema para discusi??n ! 30. a) Haga una demostraci??n convincente de que la ecuaci??n de segundo orden uyÔÇØ + by’ + cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una soluci??n de la forma b) Explique por qu?® la ecuaci??n diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una segunda soluci??n de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ??Puede explicar por qu?® las respuestas a los problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)?

es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales homog?®neas de orden superior del tipo a,y(ÔÇ£) + a,-ry(n-`) + * * * + a*yÔÇØ + qy’ + UOY = 0, (1) en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuaci??n (1) son funciones exponenciales o est?ín formadas rl partir de funciones exponenciales.

M?®todo de soluci??n Comenzaremos con el caso especial de la ecuaci??n de segundo orden ayÔÇØ + by’ + cy = 0. (2) Si probamos con una soluci??n de la forma y = emr, entonces y’ = memr y yÔÇØ = m2em?», de modo que la ecuaci??n (2) se transforma en am2emr + bmem’ + ce- = 0 o sea em'(am2 + bm + c) = 0.

Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la ??nica forma en que satisface la ecuaci??n diferencial es eligiendo una m tal que sea una ra?¡z de am2+bm+c=0.

Esta ecuaci??n se llama ecuaci?ín auxiliar o ecuaci??n caracter?¡stica de (2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuaci??n auxiliar que reales distintas, ra?¡ces reales e iguales y ra?¡ces complejas conjugadas.

la funci??n exponencial la ecuaci??n cuadr?ítica (3) la ecuaci??n diferencial corresponden a ra?¡ces

CASO 1: Ra?¡ces reales distintas Si la ecuaci??n (3) tiene dos ra?¡ces reales distintas, rnl y mz, llegamos a dos soluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnente inde- pendientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la soluci??n general de la ecuaci??n (2) en ese intervalo es y= cle mlx + c2emp. (4) CASO II: Ra?¡ces reales e iguales Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, s??lo a una soluci??n exponencial, yt = emlX. Seg??n la f??rmula cuadr?ítica, rnl = -b/2a porque la ??nica forma de que rnl = rn2 es que b* – 4ac = 0. As?¡, por lo argumentado en la secci??n 4.2, una segunda soluci??n de la ecuaci??n es

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 135

CASO III: Ra?¡ces complejos conjugados Si rn1 y ma son complejas, podremos escribir ml=ff+ipymz=a- ip, donde cr y p > 0 y son reales, e i2 = -1. No hay diferencia formal entre este caso y el caso 1; por ello,

Sin embargo, en la pr?íctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la formula de Euler: e ÔÇ£=cosB+isen8, en que 8 es un n??mero real. La consecuencia de esta f??rmula es que eiflX = cos Bx + i sen fix Y e+*x = cos /?x – i sen /3x, (7)

en donde hemos empleado cos = cos px y sen(-ox) = -sen @x. Obs?®rvese que si primero sumamos y despu?®s restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos respectivamente Y

Como y = CleCa + VW + C2eCa’-`@ es una las constantes Ct y C2, si Ci = C2 = 1 y YI = e (atip)x + e(a-iS)r Pero y, = eÔÇØ(e’@ Y y2 = eÔÇØ(e’@ soluci??n de la ecuaci??n (2) para cualquier elecci??n de Ct = 1, C2 = -1 obtenemos las soluciones: Y

+ e -@ÔÇ£) = 2eÔÇØ cos /3x En consecuencia, seg??n el corolario (A) del teorema 4.2, los dos ??ltimos resultados demuestran que las funciones reales ea?» cos /?x y ear sen /3x son soluciones de la ecuaci??n (2). Adem?ís, esas soluciones forman un conjunto fundamental en ( -00, -); por lo tanto, la soluci??n general es y= cle `Ix cos /?x + c*e’* sen @x =ec w [ (cl cos j!Jx + c2 sen /?x). (8)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: (a) 2~ÔÇØ – 5y’ – 3y = 0 (b) yÔÇØ – lOy’ + 25~ = 0 (c) yÔÇØ + y’ + y = 0

-xÔÇØ *Se puede deducir, formalmente, la f??rmula de Euler a partir de la serie de Maclaurin k = I: -, con la sustituci??n x = ÔÇ£ZO n! i0, utilizando ? = -1, i3 = – i, , y separando despu& la serie en sus partes real e imaginaria Luego de establecer esta posibilidad, podremos adoptar cm 6′ + i sen 0 como definici??n de e?

SOLUCI?ôN Presentaremos las ecuaciones auxiliares, ra?¡ces y soluciones generales co- rrespondientes.

(a) 2m2 – 5m – 3 = (2m + l)(m – 3) = 0, m, = – +, m2 = 3, y = C$ -ÔÇ£’ + c2e3+ (b) m2 – 10m + 2.5 = (m – 15)~ = 0, m, = m2 = 5, y = cle sI + c2xesX ti 1 ti (c)m2+m+1=0, mI=-l+-i, mz=—-i, 22 y = e-x’2 (ccos~2x+cse~-X2 ’21

m’ 0 Problema de valor inicial 4, Resuelva el problema de valor inicial ‘ yÔÇØ-4y’+ 13y=o, y(O) = -1, y'(O) = 2.

SOLUCI?ôN Las ra?¡ces de la ecuaci??n auxiliar m2 – 4m + 13 = 0 son rnl = 2 + 3i y m2 = 2 – 3i, de modo que y = e2X(c1 cos 3x + c2 sen 3~).

Al aplicar la condici??n y(O) = -1, vemos que -1 = e'(ct cos 0 + c2 sen 0) y que CI = -1. Diferenciamos la ecuaci??n de arriba y a continuaci??n, aplicando y'(O) = 2, obtenemos 2 = 3~2 – 2, 0 sea, CT = :; por consiguiente, la soluci??n es (31

Las dos ecuaciones diferenciales, yÔÇØ + py = 0 y yÔÇØ – .k2y = 0, k real, son importantes en las matem?íticas aplicadas. Para la primera, la ecuaci??n auxiliar m2 + k2 = 0 tiene las ra?¡ces ima- ginarias rnl = ki y m2 = -ki. Seg??n la ecuaci??n (8), con cx = 0 y 0 = k, la soluci??n general es y = cl cos kx + c2 sen kx. (9) La ecuaci??n auxiliar de la segunda ecuaci??n, m2 – p = 0, tiene las ra?¡ces reales distintas rnl = k y m2 = -k; por ello, su soluci??n general es y = cleh + c2e+. (10) Obs?®rvese que si elegimos cl = c2 = f y despu?®s ct = f, c2 = – f en (lo), llegamos a las soluciones particulares y = (ekÔÇØ + eeh)/ = cosh kx y y = (ekÔÇØ – emkÔÇØ)/2 = senh k. Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x, una forma alternativa de la soluci??n general deyÔÇØ – py = 0 es y = CI cosh kx + c2 senh kx.

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 137

Ecuaciones de orden superior En general, para resolver una ecuaci??n diferencial de orden n como .Jn) + an-lyk-`) + . + QyÔÇØ + qy + soy = 0, (11) endondelasai,i=O,l,… , n son constantes reales, debemos resolver una ecuaci??n polinomial de grado n: a,mÔÇØ +a,-lrn 14 + . . + a2m2 + alm + ao = 0. (12) Si todas las ra?¡ces de la ecuaci??n (12) son reales y distintas, la soluci??n general de la ecuaci??n (ll) es y= qemlx + c2emp + . . . + c,emn’.

Es m?ís dif?¡cil resumir los an?ílogos de los casos II y III porque las ra?¡ces de una ecuaci??n auxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuaci??n de quinto grado podr?¡a tener cinco ra?¡ces reales distintas, o tres ra?¡ces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etc?®tera. Cuando rn1 es una ra?¡z de multiplicidad k de una ecuaci??n auxiliar de grado n (esto es, k ra?¡ces son iguales a ml), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son emI’, xem) x2emix, . . ., x k – l emp y que la soluci??n general debe contener la combinaci??n lineal qemlx+ c2xemlx+ c3x2 ew + . . . + Ckxk-lemlx.

Por ultimo, recu?®rdese que cuando los coeficientes son reales, las ra?¡ces complejas de una ecuaci??n auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. As?¡, por ejemplo, una ecuaci??n polinomial c??bica puede tener dos ra?¡ces complejas cuando mucho.

Ecuaci??n diferencial de cuarto orden uY UT2 SOLUCI?ôN La ecuaci??n auxiliar es m4 + 2m2 + 1 = (m2 + 1)2 = 0 y tiene las ra?¡ces rn1 = m3 = i y rnz = rn4 = -i. As?¡, de acuerdo con el caso II, la soluci??n es y = Cleu + C2em?? + C3xek + C,xe+.

Seg??n la f??rmula de Euler, se puede escribir el agrupamiento Cleti + Cze-`ÔÇØ en la forma CI cos x + c2 sen x con un cambio de definici??n de las constantes. Igualmente, x(C3eLÔÇØ + C4eeiÔÇØ)se puede expresar en la forma x(c3 cos x + q sen x). En consecuencia, la soluci??n general es n

El ejemplo 4 mostr?? un caso especial en que la ecuaci??n auxiliar tiene ra?¡ces complejas repetidas. En general, si rn1 = Q + i/3 es una ra?¡z compleja de multiplicidad k de una ecuaci??n auxiliar con coeficientes reales, su ra?¡z conjugada, m2 = (Y – ip, tambi?®n es una ra?¡z de multiplicidad k. Con base en las 2k soluciones complejas

e(n+i/3)x, xe(u+iS)x, x2e(a+Wx . . . , &l&+iNx e(a-ij3)x, xe(cX-@)ÔÇ£, x2&iS)x’ Xk-le(a-i/3)x > …>

legamos a la conclusi??n, con ayuda de la f??rmula de Euler, de que la soluci??n general de la ecuaci??n diferencial correspondiente debe contener una combinaci??n lineal de las 2k solucio- nes reales y linealmente independientes eÔÇØ cos ,bx, xeÔÇØ cos Bx, x2em cos px, . . . , xk-`ear cos Bx e(lx sen ,Bx, xeux sen Bx, x2eux sen px, . . . , xk-`ear sen @x.

Secci??n 4.3 Ecuaciones lineales homog?®neas con coeficientes constantes 139

Con ello la f??rmula cuadr?ítica produce las dem?ís ra?¡ces, m2 = -1 + 6 i y m3 = -1 – 6 i. Entonces, la soluci??n general de 3~ÔÇ£’ + 5~ÔÇØ + lOy’ – 4y = 0 es y = cled3 + e?(c2 cos tix + c3,sen tix).

Empleo de computadoras Cuando se cuenta con una calculadora o un programa de computaci??n adecuados, la determinaci??n o aproximaci??n de las ra?¡ces de ecuaciones polino- miales se convierte en un asunto rutinario. Los sistemas algebraicos de computaci??n, como Mathematica y Maple, pueden resolver ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor de cinco mediante f??rmulas algebraicas. Para la ecuaci??n auxiliar del p?írrafo anterior, los comandos Solve[3 mÔÇØ3 + 5 mA2 + 10 m – 4 = = 0, m] (en Mathematica) solve(3*mA3 + 5*mA2 + lO*m – 4, m); (en Maple) dan, como resultado inmediato, sus representaciones de las ra?¡ces $ -1 + fii, -1 – 6i. Cuando las ecuaciones auxiliares son de orden mayor, quiz?í se reqmeran comandos num?®ricos, como NSolve y FindRoot en Mathematica. Por su capacidad de resolver ecuaciones polino- miales, no nos debe sorprender que algunos sistemas algebraicos de computaci??n tambi?®n son capaces de presentar soluciones expl?¡citas de ecuaciones diferenciales lineales, homog?®neas y de coeficientes constantes; por ejemplo, al teclear DSolve [yÔÇØ[x] + 2 y'[x] + 2 y[x] = = 0, y[x], x] (en Mathematica) dsolve(diff(y(x),x$2) + 2*diff(y(x),x) +2*y(x) = 0, y(x)); (en Maple) se obtiene, respectivamente yLxl -, WI Cos [XI – CPISen [XI EÔÇØ y(x) = -Cl exp( -x)sen(x) + -C2 exp( -x) cos Y

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