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Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado (Denis G. Zill) -Part2

1 galhnin mezcla, 3 gal/min Sección 3.3 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 111

mezcla, 5 gal/min A loo gal Ll- 7- iY - mezcla, mezcla, 1 gal/min 4 gal/min

B 100 gal FIGURA 3.28 10. Dos tanques, A y B, contienen 1 OO galones de salmuera cada uno al principio del proceso. El líquido, bien agitado, pasa entre ambos como muestra la figura 3.28. Con la información de la figura, formule un modelo matemático para el número de libras de sal XI y ~2, en los tanques A y B, respectivamente, en cualquier momento.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 4.2 Reducción de orden 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 4.6 Variación de parámetros 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 4.9 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

Ahora pasaremos a resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden o mayor. En las siete primeras secciones del capítulo examinaremos algo de la teoría y métodos para resolver ciertos tipos de ecuaciones lineales. En la sección 4.8 presentamos el método de eliminación, para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, porque es un método básico, que simplemente desacopla un sistema para llegar a ecuaciones lineales individuales, de orden superior, en cada variable depen- diente. El capítulo termina con un breve estudio de ecuaciones no lineales de orden superior.

Sxción 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones heales 1 1 3

TEORíA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES n Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior n Problema de valores iniciales n Existencia y unicidad n Problema de valores en lafiontera n Ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas n Operador diferencial lineal H Dependencia Zineal n Independencia lineal H Wronskiano n Conjuntofundamental de soluciones H Principios de superposición n Solución general n Función complementaria n Solución particular 4.1.1 Problemas de valor inicial y de valor en la frontera Problema de valores iniciales En la sección 1.2 definimos qué es un problema de valores iniciales para una ecuación diferencial general de orden n. Para una ecuación diferencial lineal, un problema de valores iniciales de orden n es

Sujeta f.7: y(n) = yo, y'(x0) = yl, . . ., y(?-`)XO = y,-1. (1)

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función definida en algún intervalo I que contenga a XO, y satisfaga la ecuación diferencial y las n condiciones iniciales especifi- cadasenxo:y(xo)=yo,y'(xo)=yl,. . .,y(*-`)(xg)=y,-1. Ya vimos que en el caso de un problema de valores iniciales de segundo orden, una curva de solución debe pasar por el punto (~0, yo) y tener ia pendiente y1 en ese punto.

Existencia y unicidad En la sección 1.2 enunciamos un teorema que especifica las condiciones para garantizar la existencia y unicidad de una solución de un problema de valores iniciales de primer orden. El teorema siguiente describe las condiciones suficientes de exis- tencia de solución única para el problema representado por las ecuaciones (1).

sean a,(x), ua-1 (Tc), . . ., q(x), a&) y g(x) contìmutg edlm int%rvaio r, p toda x del intervalo. Si x = xo es cualquier pu& en el iWerv8& @xis& @%I SJ intervalo y(x) del problema de valores i&i&ea representa& por &z!+ ~i# única.

Solución única de un problema de valores iniciales El problema de valores iniciales 3y'? + 5y? - y' + 7y = 0, y(l) = 0, y'(l) = 0, y?(l) = 0 I

m Solución única de un problema de valores iniciales El lector debe comprobar que la función y = 3e& + e-b - 3x es una solución del problema de valores iniciales La ecuación diferencial es lineal, los coeficientes y g(x) son continuos y q(x) = 1 f 0 en todo intervalo Z que contenga a x = 0. Según el teorema 4.1, debemos concluir que la función dada es la única solución en Z. n

Ambos requisitos del teorema 4.1: 1) que Q(X), i = 0, 1,2, . . . , n sean continuos, y 2) que u,(x) f 0 para toda x en Z, son importantes. En forma específica, si u,,(x) = 0 para una x en el intervalo, la solución de un problema lineal de valores iniciales quizá no sea única o incluso no exkta; por ejemplo, el lector debe comprobar que la función y = cx2 + x + 3 es una solución del problema de valores iniciales ?y? - 2xy' + 2y = 6, y(O)=3, y'(O)= 1 para x en el intervalo (-, -) y cualquier valor del parámetro c. En otras palabras, no hay solución única para el problema. Aunque se satisface la mayor parte de las condiciones del teorema 4.1, las dificultades obvias estriban en que uz(x) = x2 es cero cuando x = 0, y en que las condiciones iniciales se han impuesto en ese valor.

Problema de valor en la frontera Otro tipo de problema es resolver una ecuación diferencial lineal de segundo ordeno mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, estén especificadas en puntos distintos. Un problema como Resolver: 4~) $$ + UI(~) 2 +ao(x)Y = &)

Sujeta u: y(u) = yo, y(b) = y1 se llama problema de valores en la frontera. Los valores necesarios, y(u) = yo y y(b) = ~1, se denominan condiciones en la frontera. Una solución del problema anterior es una función que satisface la ecuación diferencial en algún intervalo Z que contiene a u y b, cuya gráfica pasa por los dos puntos (u, yo) y (b, yr). Véase la figura 4.1.

Sección 4.1 Teoría pdiminar: ecuaciones hales 115 Para una ecuación diferencial de segundo orden, otros pares de condiciones en la frontera podrían ser Y'(U) = YO, y(b) =YI ~(4 = yo, y'(b) = y, Y'(U) = YO, y'(b) = YI, en donde yo y y1 representan constantes arbitrarias. Estos tres pares de condiciones sólo son casos especiales de las condiciones generales en la frontera: RY (4 + PlY `(a) = Yl w(b) + W(b) = ~2.

Los ejemplos que siguen demuestran que aun cuando se satisfagan las condiciones del teorema 4.1, un problema de valor en la frontera puede tener i) varias soluciones (Fig. 4.1); ii) solución única, 0 iii) ninguna solución.

Un problema de valor en la frontera puede tener muchas soluciones, - una 0 ninguna En el ejemplo 5 de la sección 1.1 vimos que la familia a dos parámetros de soluciones de la ecuación diferencial x? + 16x = 0 es x = cl cos 4t + c2 sen4t. (2) a) Supongamos que queremos determinar la solución de la ecuación que además satisfaga las condiciones de frontera x(O) = 0, x(7r/2) = 0. Obsérvese que la primera condición, 0 = cl cos 0 + c2 sen 0, implica que CI = 0, de modo que x = c2 sen 4t. Pero cuando t = ~12, 0 = c2 sen 27r es satisfactoria para cualquier elección de ~2, ya que sen 27~ = 0. Entonces, el problema de valores en la frontera X? + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 tiene una cantidad infinita de soluciones. En la figura 4.2 vemos las gráficas de algunos de los miembros de la familia a un parámetro x = c2 sen 4t que pasan por los dos puntos, (0,O) y (7a 0).

b) Si se modifica como sigue el problema de valores en la frontera expresado por (3),

x? + 16~ = 0, x(O) = 0, x ; = 0 0 x(O) = 0 sigue determinando que cl = 0 en la solución (2). Pero al aplicar x(7rl8) = 0 a x = c2 sen 4t se requiere que 0 = c2 sen(rr/2) = c2 1; en consecuencia, x = 0 es una solución de este nuevo problema de valor en la frontera. En realidad, se puede demostrar que x = 0 es la c) Por último, al transformar el problema en

x? + 16x = 0, x(O) = 0, x ; = 1 (5) 0

vemos, que cr = 0 porque x(O) = 0 pero, al aplicar x(rr/2) = 1 a x = c2 sen 4t, llegamos a la contradicción 1 = c2 sen 2n = c2 . 0 = 0. En consecuencia, el problema de valores en la frontera descrito por (5) no tiene solución. n 4.1.2 Ecuaciones homogéneas Una ecuación lineal de orden n de la forma d?-`y a,(x) 2 + a,-](x) - + . + al(x) 2 + ao(x)y = 0 (6) & n-l

se llama homogénea, mientras que una ecuación d?-`y a,(x) $ + a,-l(x) -& n-l + . . + al(x) f$ + ao(xly = g(x) (7)

donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea; por ejemplo, 2~? + 3y' - 5y = 0 es una ecuación diferencial de segundo orden, lineal y homogénea, mientras que x3y?' + 6y' + 1 Oy = ex es una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea. En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas, como sucedía Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la (7), en primera instancia debemos poder resolver la ecuación homogénea asociada (6).

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 117

Operadores diferenciales En cálculo, la diferenciación suele indicarse con la D ma- yúscula; esto es, u'y/uk = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función; por ejemplo, D(cos 4x) = -4 sen 4x y D(5x3 - 6x*) = 15x2 - 12~. Las derivadas de orden superior se pueden exp! esar en términos de D en forma natural: y en general z = D ?y, d"y = 2 = D(Dy) = Dzy

en dondey representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones polinomiales donde interviene D, como D + 3, fl+ 3D- 4 y 5x3D3 - 6x*d + 4xD f 9 también son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define: L = a,(x)D" + a,&)D"-' + e.0 + a&)D f@(x). (8) Como consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación, D(cf(x)) = cDf(x), donde c es una constante y D{f(x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir, L, operando sobre una combinación lineal de dos füncio- nes diferenciables, es lo mismo que una combinación lineal de L operando sobre las funciones individuales. En símbolos, esto significa que Lkf~~) + k%(x)1 = ~Jw-(x)) + mg(x)), (9) en donde Q y ,B son constantes. A causa de la propiedad (9), se dice que el operador diferencial de orden n, L, es un operador lineal.

Ecuaciones diferenciales Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en nota- ción D; por ejemplo, la ecuación diferencial y? + 5y' + 6y = Sx - 3 se puede escribir en la forma o'y + 5Dy `+ 6y = 5x - 3 o como (I? + 5D + 6)y = 5x - 3. Al aplicar la ecuación (8), las ecuaciones diferenciales (6) y (7) de orden n se pueden escribir en forma compacta como UY) =o Y aY) = g(x), respectivamente.

Principio de superposición En el siguiente teorema veremos que la suma o superpo- sición de dos o más soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea también es una solución.

Principio de superposici¿n, ecuaciones homogbneus sean Yl, Y2, * . . , yk soluciones de la ecuación diferencial homogénea de ardm n, ~~~~ ,.< (6), do& x esta en un intervalo 1. La combinación lineal al `j

Y = ClYl w + w2c4 + . . ' + wm ' endondelasc~,i=1,2 ,..., R son constantes arbitrarias, también es una soluciâa cmm&t x está en el intervalo.

DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean yt(x) y yz(x) soluciones de la ecuación homogénea L(y) = 0. Si definimos y = ct yt(x) + c2y&), entonces, por la linealidad de L,

Superposición, ecuación diferencial homogénea Las funciones yt = x2 y y2 = x2 In x son soluciones de la ecuación lineal homogénea X3Y"' - 2xy' + 4y = 0 para x en el intervalo (0, -). Según el principio de superposición, la combinación lineal y = c1x2 + c2.x' In x también es una solución de la ecuación en el intervalo. n

La función y = e7' es una solución de y? - 9y' + 14y = 0. Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante y = ce? también es una solución. Cuando c tiene diversos valores, y = 9e7x, y = 0, y = -6 e7x, . . . son soluciones de la ecuación.

Dependencia e independencia lineal Citaremos un par de conceptos básicos para estudiar ecuaciones diferenciales lineales.

Se dice que un conjunto de fum3ones,~(~~&&~, un intervalo I si existen constantes, CI, . . ,, C, no to&s

para toda x S i e l conjunto intervalo, s e dice que es linealmente En otras palabras, un conjunto de funciones es linealmente independiente en un intervalo si las únicas constantes para las que se cumple c,f,(x) + czfi(x> + . . . + cnh(x) = 0 para toda x en el intervalo son cl = c2 = . . . = c, = 0.

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 1 1 9

Es fácil comprender estas definiciones en el caso de dos funciones, h(x) y fz(x). Si las funciones son linealmente dependientes en un intervalo, existen constantes, CI y ~2, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo, clfl(x) + c&(x) = 0; por consiguiente, si suponemos que CI f 0, entonces ji(x) = - $c2 iw;

esto es, si dos funciones son linealmente dependientes, entonces una es un múltiplo constante de la otra. Al revés, sifi(x) = c*&(x) para alguna constante CZ, entonces (-1) .fi(x) + c2.f!44 = 0

para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son linealmente dependientes porque al menos una de las constantes no es cero (en este caso CI = -1). Llegamos a la conclusión de que dos funciones son linealmente independientes cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en un intervalo. Por ejemplo, las funciones f,(x) = sen 2x y yi = sen x cos x son linealmente dependientes en (--, -) porquefi(x) es múltiplo constante defi(x). Con base en la fórmula de doble ángulo para el seno, recuérdese que sen 2x = 2 sen x cos x. Por otro lado, las funciones fl(x) = x yfi(x) = 1x1 son linealmente independientes en (-, -). Al ver la figura 4.3 el lector se debe convencer de que ninguna de las funciones es un múltiplo constante de la otra, en el intervalo.

(W FIGURA 4.3 De lo anterior se concluye que el cocientef2(x)/fl(x) no es constante en un intervalo en que A(x) yfz(x) son linealmente independientes. En la siguiente sección utilizaremos este detalle.

m Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = cos2x, So = sen2x, f3(x) = sec2x, f4(x) = tan2x son linealmente dependientes en el intervalo (-7r/2,7r/2) porque c, cos2x + c2sen2x + c3 sec2x + c4 tan2x = 0, cuando CI = c2 = 1, cg = -1, c4 = 1. Hemos aplicado cos2x + sen2x = 1 y 1 + tan2x = sec2x. n

Un conjunto de fhnciones,fi(x),f2(x), . . . , fn(x), es linealmente dependiente en un intervalo si se puede expresar al menos una función como combinación lineal de las funciones restantes.

Funciones linealmente dependientes Las funciones fi(x) = G + 5, fi(x) = C + 5x, h(x) = x - 1, h(x) = x2 son linealmente dependientes en el intervalo (0, -) porquef2 se puede escribir como una combinación lineal deji, f3 y f4. Obsérvese que ji(x) = 1 fl(X) + 5 . fj(X) + 0 . f4(x) para toda x en el intervalo (0, -). n

Soluciones de ecuaciones diferenciales Ante todo, nos interesan las funciones li- nealmente independientes o, con más precisión las soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Aunque siempre podemos recurrir a la definición 4.1, sucede que el asunto de si son linealmente independientes las n soluciones, ~1, ~2, . . . , yn de una ecuación diferencial lineal de orden n como la (6) se puede definir mecánicamente recurriendo a un determinante.

El wronskiano Supóngase que cada una de las funciones h(x), h(x), . . . , J,(x) posee n - 1 derivadas al menos. El determinante fi f2 . . . fn f; f; `.' si . 2

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 121 I Critario para soluciones linealmente independientes sean n soluciones,y~ ,y2, . . ., yn, de la ecuación diferencial (6), lineal, homog&rea y de orden n, en un intervalo 1. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y ~610 si 4% Y2, - * *,Yn)+O para toda x en el intervalo.

De acuerdo con el teorema 4.3, cuandoyr,yz, . . ., yn son n soluciones de (6) en un intervalo I, el wronskiano W(y1, ~2, . . ., y,) es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de n soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n tiene un nombre especial.

Conjunto fundamental de soluciones Todo conjunto yl, ~2, . . ., y,, de n soluciones linealmente independientes de la ecuaci6n diferencial lineal homogénea de orden n, ecuación (6), en un intervalo 1, se llama conjunta fundamental de soluciones en el intervalo.

El asunto básico de si existe un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación lineal se contesta con el siguiente teorema.

Existencia de un conjunto fundamental Existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogenea de orden n, (6), en un intervalo 1.

Así como cualquier vector en tres dimensiones se puede expresar en forma de una combinación lineal de los vectores i, j, k, linealmente independientes, toda solución de una ecuación diferencial lineal homogénea y de orden n, en un intervalo Z, se puede expresar como una combinación lineal de n soluciones linealmente independientes en Z. En otras palabras, n soluciones linealmente independientes (,vr , ~2, . . ., y,J son las unidades constructivas básicas de la solución general de la ecuación.

Soluci6n general, ecuaciones homogéneas Seww2,. . ., y,, un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, (6), en un intervalo 1. La solución general de la ecuación en el intervalo es > y = ClJo) + C2Y2c4 + . . . + W?(X), dondeci, i= 1,2,. . ., n son constantes arbitrarias.

El teorema 4.5 establece que si Y(x) es cualquier solución de (6) en el intervalo, siempre se pueden determinar las constantes Cr, C2, . . ., C,, de tal modo que Y(x) = Cly&) + C&x) + . . . + Cfln(x).

DEMOSTRACIÓN Sea Y una solución y seanyr y y2 soluciones linealmente independientes de g y? + UI y' + soy = 0 en un intervalo 1. Supongamos que x = t es un punto en 1 para el que W(yr(t), yz(l)) f 0. Consideremos, también, que Y(r) = Kr y que Y'(t) = K2. Si examinamos las ecuaciones GYl(4 + GY2(f) = kl Gy;W + Gy;(f) = kz> veremos que podemos determinar CI y C2 en forma única, siempre que el determinante de los coeficientes satisfaga

x(t) YzO) I Yi(O YW 1 Pero este determinante no es más que el wronskiano evaluado en x = t, y, por hipótesis, W+ 0. Si definimos G(x) = Cryr(x) + C&X), veremos que i) G(x) satisface la ecuación diferencial porque es una superposición de dos soluciones conocidas, ii) G(x) satisface las condiciones iniciales G(t) = C,y&) + GY&) = kl G'(t) = Cly; + Gy;(t) = kz;

iii) Y(x) satisface Za misma ecuación lineal y Zus mismas condiciones iniciales. Como la solución de este problema lineal de valor inicial es única (teorema 4. l), entonces Y(x) = G(x), o bien Y(x) = Cryr(x) + C&x). n

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones heales 123

Solución obtenida a partir de una solución general 1 La función y = 4 senh 3x - 5e3* es una solución de la ecuación diferencial del ejemplo 7. (Confíe esta afirmación.) Según el teorema 4.5, podremos obtener esta solución a partir de la solución general y = ct e3* + cse -3X . Obsérvese que si elegimos cl = 2 y c2 = -7, entonces y = 2e3X - 7e-3X se puede escribir en la forma y = xe3x- &-3~ - 5e-3~ = 4 - 5e-3X.

Esta última expresión es y = 4 senh 3x - 5e-3X. n

Solución general de una ecuación diferencial homogénea Las funciones yl = 8, y2 = eti y y3 = e3' satisfacen la ecuación de tercer orden

Como W(ex, e?, e?) = ex ek e3* ex 2e*X 3e3X = 2@ # Cl ex 4e2' 9e3X para todo valor real de x, las funciones yr, y2 y y3 forman un conjunto fundamental de soluciones en (-, -). En conclusión, y = clex + c2e2' + c3e3X es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo.

4.1.3 Ecuaciones no homogéneas Toda función yP libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yP = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea Siyby2,. . ., yk son soluciones de la ecuación (6) en un intervalo Zy y, es cualquier solución particular de la ecuación (7) en Z, entonces, la combinación lineal y = ClYl(X) + C2Yd-4 + * **+ CkYk(X) + Y P (10) también es una solución de la ecuación (7) no homogénea. Si el lector lo medita tiene sentido, ya que la combinación lineal ctyl(x) + czyy~(x) + . . + ckyk(x) se transforma en 0 mediante el operador L = u,D? + u,&?- + . . . + alD + ac, mientras que yP se convierte en g(x). Si usamos R = n soluciones linealmente independientes de la ecuación (6) de orden n, la expresión (10) viene a ser la solución general de (7).

1 Solución general, ecuaciones no homogbas Sea y,, cualquier solución particular de la ecuacibn diferenciai lineal, no homogénea, de orden n, ecuacion (7), en un intervalo 1, y sean yr,`y2, . . ., yn un conjunto fundanlental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada (6), en 1. Entonces, la solucián general de la ecuación en el intervalo es

y = ClyI(X) + c2yz(x) + * ' . + cnyfI(x) + yp,

DEMOSTRACIÓN Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean Y(x) y y&) soluciones particulares de la ecuación no homogénea L(y) = g(x). Si definimos u(x) = Y(x) - y&), por la linealidad de L se debe cumplir Esto demuestra que u(x) es una solución de la ecuación homogénea L(y) = 0; por consiguiente, según el teorema 4.5, u(x) = CV,(X) + c~yz(x) + . + cny,( y así Y(x) - Y,(X) = ClY&) + CzY2(X) + - * * + C?Y&) 0 sea Y(x) = ClY, + czy*(x) + * * * + c,y,(x) + y,(x). n Función complementaria En el teorema 4.6 vemos, que la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones: La combinación lineal yC = c~yt(x) + czyz(x) + . . . + cnyn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras,.para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 125

Pero en el ejemplo 9 vimos, que la solución general de esta última ecuación era yc = cre' + czf? + cse3' en el intervalo ( -00, -); por lo tanto, la solución general de (ll) en el intervalo es ll 1 12 2

Otro principio de superposición El último teorema en esta discusión nos será útil en la sección 4.4, cuando estudiemos un método para determinar soluciones particulares de ecuaciones no homogéneas.

Principio de sqetpsici6n, ecuackmes M) hamogkWaS Sean k soluciones particulares, ypz ypll, . . ., ym de la ecuacion (7), diferencial lineal no homogénea de orden n, en el interwlo I que, a su vez, corresponden a k funciones dWitas, gt,gz, * ' *, gk. Esto es, supongamos queyp, representa una sohrción particuk de la ecuati6n diferencial correspondiente .- u,(x)y@' + u, . *(x)y@- `f + . - *+ al (x)y' + uo(x)y = gdx), en donde i = 1,2, . . ., k. Entonces Yp = Yp,W + Yp&9 f ' **+ Y&) es una soluci6n particular de u,(x)y@' + u, - ,(x)y@ - l) + . . *+ ar(x)y' + u&)y = gdx) + gzw + *. *+ gkm. 5 @4)

DEMOSTRACIÓN Probaremos el caso en que k = 2. Sea L el operador diferencial definido en (8) y sean y&) y y,,,(x) soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas L(y) = g](x) y L(y) = gz(x), respectivamente. Si definimos y, = y&) + yp,(x), demostraremos que y,, es una solución particular de L(y) = gr(x) + gz(x). De nuevo, el resultado, es consecuencia de la linealidad del operador L:

De acuerdo con el teorema 4.7, la superposición de yP,, yh Y ym y = yp, + y,, + yp, = -4x* + e21 + xex,

es una solución de -i,r- &W gdx) &W

Si las y,,¡ son soluciones particulares de la ecuación (12) para i = 1,2, . . ., k, la combinación lineal

yp = Clyp, + czyp, + * ' * + ckYpk* en donde las ci son constantes, también es una solución particular de (14), cuando el lado derecho de la ecuación es la combinación lineal

C,&(X) + C&(x) + * * ' + ckgk(x)* Antes de comenzar a resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y no homogéneas, veamos algo de la teoría que presentaremos en la próxima sección.

I Esta observación es la continuación de la cita sobre los sistemas dinámicos que apareció al Un sistema dinámico cuya regla o modelo matemático es una ecuación diferencial lineal de orden n, a,(t)y(?) + u,l(t)y(?-`) + . . + a,(t)y' + ao(t)y = g(t) se llama sistema lineal de orden n. Las n funciones dependientes del tiempo, r(t), y'(t), . ., y@`+(t) son las variables de estada del sistema. Ya sabemos que sus valores, en el momento t, determinan el estado del sistema. La función g tiene varios nombres: función de entrada, forzamiento, entrada o función de excitación. Una solución r(t) de la ecuación diferencial se llama salida o respuesta del sistema. En las condiciones mencionadas en el teorema 4.1, la salida o respuesta y(t) está determinada en forma única, por la entrada y el estado del sistema en el momento to; esto es, por las condiciones iniciales Ato), y'(to), . . . , y(?`)(to). En la figura 4.4 vemos la dependencia entre la salida y la entrada.

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 1 2 7

Para que un sistema dinámico sea sistema lineal, se necesita que el principio de superpo- sición, teorema 4.7, sea válido en él; o sea, que la respuesta del sistema a una superposición de entradas sea una superposición de salidas. Ya examinamos algunos sistemas lineales sencillos en la sección 3.1 (ecuaciones lineales de primer orden); en la sección 5.1 examinare- mos los sistemas lineales para los cuales los modelos matemáticos son ecuaciones diferenciales de segundo orden.

- 4.1`1 1. Dado que y = cle' + cze-* es una familia a dos parhmetros de soluciones de y? - y = 0 en el intervalo (-00, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 2. Determine una solución de la ecuación diferencial del problema 1 que satisfaga las 3 . Dado que y = cI eAr + czeTX es una familia a dos parámetros de soluciones dey? - 3y' - 4y = 0 en el intervalo (-OD, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 4. Dado que y = CI + c2 cos x + c3 sen x es una familia a tres parhetros de soluciones de y?' + y' = 0 en el intervalo ( -00, -), defina un miembro de la familia que cumpla las 5 . Como y = CIX + czx ln x es una familia a dos parámetros de soluciones de x2y? - xy' + y = 0 en el intervalo (-, -), determine un miembro de la familia que satisfaga las condiciones 6. Puesto que y = CI + ~2x2 es una familia a dos parámetros de soluciones de xY? - y' = 0 en el intervalo (-, -), demuestre que las constantes cl y CL no pueden ser tales que un miembro de la familia cumpla las condiciones iniciales y(O) = 0, y'(O) = 1. Explique por 7. Determine dos miembros de la familia de soluciones de xy? - y' = 0, del problema 6, que 8. Halle un miembro de la familia de soluciones a xy? - y' = 0 del problema 6, que satisfaga las condiciones a la ffonteray(0) = 1, y'(l) = 6. ¿El teorema 4.1 garantiza que esta solución 9. Puesto que y = cle? cos x + C# sen x es una familia a dos parámetros de soluciones de y? - 2y' + 2y = 0 en el intervalo (--, -), determine si es posible que un miembro de la familia pueda satisfacer las siguientes condiciones en la contera: a) y(O) = 1, y'(O) = 0 b) y(O) = 1, Y(T) = -1 d)y(O)= 0, Y(T)= 0.

10. En virtud de iue; = c,x2 + c2x4 + 3 es una familia a dos parámetros de soluciones de x2y? - 5xy' + 8y = 24, en el intervalo (- =, -), determine si es posible que un miembro de la familia satisfaga estas condiciones en la frontera: a) y(-1) = 0, y(l) = 4 b)y(O) = 1, YU) = 2 c)y(O)=3, y(l)=0 d)y(l) = 3, ~(2) = 15.

En los problemas 11 y 12, defina un intervalo que abarque x = 0 para el cual el problema de ll. (x - 2)y?+ 3y =x, y(O)= 0, y'(O)= 1 12.y?+(tanx)y= e', y(O)= 1, y'(O)= 0 13. En vista de que x = cr cos wt + c2 sen wt es una familia a dos parámetros de soluciones de x? + Jx = 0 en el intervalo (--, -), demuestre que una solución que cumple las condiciones iniciales x(O) = XO, x'(O) = xr es

14. Use la familia a dos parámetros x = cl cos wt + c2 sen wt para probar que una solución de la ecuación diferencial que satisface x(h) = XO, x'(h) = x1 es la solución del problema de valor inicial en el ?problema 13?, desplazada o recorrida la cantidad to: x(t) = x. cos w(t - to) + z sen w(t - ro).

- 4.1.2 En los problemas 15 a 22 compruebe si las funciones respectivas son linealmente inde- 15. fi(X) = x, f*(x) = x2, fj(X) = 4x - 3xy 16. h(x) = 0, h(x) = x, h(x) = ex 17. fi(x) = 5, f*(x) = cos2x, f3(x) =sen*x 18. J(x) = cos 2x, h(x) = 1, h(x) = cos*x 19. fi(x) = x, f*(x) = x - 1, f3(x) = x + 3 20. fi(x) = 2 + x, fi(x) = 2 + 1x1 21. fi(X) = 1 + x, fz(x) = x, ji(x) = ir2 22. fi(x) = ex, f*(x) = emx, f3(x) = senh x En los problemas 23 a 30 compruebe que las funciones dadas forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la solución general. 23. y? - y' - 12y = 0; em3*, e4x, (-m, m) 24. y? - 4y = 0; cosh 2x, senh 2x, (- m, m) 25. y? - 2y' + 5y = 0; ex cos 2x. e?sen2x, (-m, m) 26. 4~? - 4y' + y = 0; ex'*, xex'*, (- m, m) 27. x*y? - 6xy' + 12~ = 0; x3, x4, (0, m) 28. x2y? + xy' + y = 0; cos(ln x),sen(ln x), (0, m) 29. x3y?' + 6x*y? + 4xy' - 4y = 0; x, x-*, xm2 In x, (0, m) 30. yc4) + y? = 0; l,x,cosx,senx, (-03, m) Problemas paro discusión 31. a) Compruebe que yl = x3 y y2 = lxl3 son soluciones linealmente independientes de la b) Demuestre que W(y,, y2) = 0 para todo numero real x. LEste resultado contradice el teorema 4.3? Explique su respuesta.

Sección 4.1 Teoría preliminar: ecuaciones lineales 129

c) Compruebe que Yl = x3 y Y2 = X? también son soluciones linealmente independientes d) Halle una solución de la ecuación diferencial que satisfaga y(O) = 0, y'(O) = 0. e) Según el principio de superposición, teorema 4.2, las combinaciones lineales y=clY1 +w2 Y Y= ClYl + CZYZ

son soluciones de la ecuación diferencial. Diga si una, ambas o ninguna de las combi- naciones lineales es una solución general de la ecuación diferencial en el intervalo 32. Suponga que yt = e? y y2 = e-' son dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea. Explique por qué y3 = cosh x y y4 = senh x también son soluciones de la ecuación.

- 4.1.3 Compruebe que la familia biparamétrica de funciones dadas en los problemas 33 a 36 sea la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el intervalo indicado.

33. y? - 7y' + 1Oy = 24e? y = cle2' + c2e5x + 6e?, (-00, m) 34. y? + y = sec x y = cl cos x + q sen x + x sen x + (cos x) ln(cos x), 35. y? - 4y' + 4y = 2e2? + 4x - 12 y = cle2? + c2xeh + x2@ + x - 2, (- 03, ?) 36. 2xZy? + 5xy' + y = x* - x 11 y = clx-ln + c*x-l + -x* - -x, (03 00) 15 6 37. Si y,, = 3ek y yP2 = x2 + 3x son soluciones particulares de y? - 6y' + 5y = -9e** y? - 6y' + 5y = 5x2 + 3x - 16, Y respectivamente, determine soluciones particulares de y? - 6y' + 5y = 5x2 + 3x - 16 - ge*' Y y" - 6~' + 5y = -lOx* - 6x + 32 + e*`.

REDUCCbN DE ORDEN n Reducción de una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden W Forma reducida de una ecuación dijèrencial lineal homogénea de segundo orden Uno de los hechos matemáticos más interesantes al estudiar ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden es que podemos formar una segunda solución, yz, de al(x + q(x)y' + a()(x)y = 0 (1) en un intervalo Z a partir de una solución yr no trivial. Buscamos una segunda solución, y&), de la ecuación (1) tal que yr y y2 sean lineahnente independientes en Z. Recordemos que si y1 y y2 son lineahnente independientes, su relacióny2/yr es no constante en r; esto es, yz/y~= u(x) o yz = u(x)yl(x). La idea es determinar la función u(x) sustituyendo yz(x) = u(x)yr(x) en la ecuación diferencial dada. Este método se llama reducción de orden porque debemos resolver una ecuación lineal de primer orden para hallar ü.

Segunda solución por reducción de orden Si yt = e? es una solución dey? -y = 0 en el intervalo ( -00, -), aplique la reducción de orden para determinar una segunda solución, ~2.

S O L U C I Ó N Si y = u(x)yr(x) = u(x) según la regla del producto y' = uex + exu', y' = ue? + 2e*u' + e?u?, y así y? - y = ex(u? + 2~`) = 0.

Puesto que e? # 0, para esta ultima ecuación se requiere que u? + 2~' = 0. Al efectuar la sustitución w = u', esta ecuacrón lineal de segundo orden en ZJ se transforma en w' + 2w = 0, una ecuación lineal de primer orden en w. Usamos el factor integrante eti y así podemos escribir -$ [e*Xw] = 0.

Despues de integrar se obtiene w = creT2', o sea que u' = cte-&. Integramos de nuevo y llegamos a 2

-3 - Por consiguiente, y = u(x)@ = 2 e X + c2eX. (2) Al elegir c2 = 0 y cl = -2 obtenemos la segunda solución que buscábamos, yz = e-`. Dado que W(eX, e?) # 0 para toda x, las soluciones son lineahnente independientes en (--, -). W L.

Sección 4.2 Reducción de orden 131 Como hemos demostrado que yt = e? y y2 = e-' son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, la ecuación (2) es la solución general de y? - y = 0 en (--, -).

Caso general Si dividimos por uz(x) para llevar la ecuación (1) a la forma estándar y? + P(x)y' + Q(x)y = 0, (3) en donde P(x) y Q(x) son continuas en algún intervalo 1. Supóngase, ademas, que yl(x) es una solución conocida de (3) en I y que JJ~(X) # 0 para toda x en el intervalo. Si definimos que y = u(x)yt(x), entonces y' = uy; + y,u', y? = uy; + 2y;zd + y& Y/ cero Para lo anterior se debe cumplir yd + (2yi + zJy,)u' = 0 0 sea y~w' + (2yi + Pyl)w = 0, (4) en donde hemos igualado w = u'. Observese que la última de las ecuaciones (4) es lineal y separable, a la vez. Al separar las variables e integrar obtenemos -- ~+2~dx+mx=o W

De la última ecuación despejamos w, regresamos a w = u' e integramos de nuevo: e-SPdx f Y12 Si elegimos ct = 1 y c2 = 0, vemos en y = u(x)yr(x) que una segunda solución de la ecuación (3) es (5) Un buen repaso de la derivación sera comprobar que la furici6n y&) definida en la ecuación (5) satisface la ecuación (3) y que yt y yz son lineahnente independientes en cualquier intervalo en que yt no sea cero. Vease el problema 29, de los ejercicios 4.2.

Segunda solución con la fórmula (5) La función yt = xz es una solución de gy? - 3xy' + 4y = 0. Determine la solución general en el intervalo (0, -).

SOLUCIÓN Partimos de la forma reducida de la ecuación, ,3 0) y?-xy'+xi4y=

e3Jdrlx y vemos, de acuerdo con (5), que y2 = x2 j x4 du t e31mlx = p x' = x3 Ix

La solución general en (0, -) esta definida por y = cryl + c2 yz; esto es, y = c1x2 + c2x2 In x.

l Hemos deducido la ecuación (5) e ilustrado cómo usarla porque esa fórmula aparecerá de nuevo en la siguiente sección y en la sección 6.1. Usamos la ecuación (5) sólo para ahorrar tiempo en la obtención del resultado deseado. El profesor dirá si se debe memorizar la ecuación (5) o dominar las bases de la reducción de orden,

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constontes 133

16. (1 - x')y? - 2xy' = 0; y, = 1 417. x2yn - xy' + 2y = 0; y1 = x sen(ln x) 18. x2yu - 3xy' + 5y = 0; y1 = x2 cos(ln x) 4 19. (1 + 2x)y? + 4xy' - 4y = 0; y1 = F2* 20. (1 + x)y? + xy' - y = 0; y1 = x J 21. x2y? - xy' + y = 0; y; = x 22. x2y? - 2oy = 0; y, = x-4 J23. x2y? - 5xy' + 9y = 0; y1 = x3 In x 24. x2yv + xy' + y = 0; yl = cos(ln x) Aplique el método de reducción para determinar una solución de la ecuación no homogénea dada en los problemas 25 a 28. La función indicada, y,(x), es una solución de la ecuación homogénea asociada. Determine una segunda solución de la ecuación homogénea y una 425. y? - 4y = 2; y1 = em2? J26. y? + y' = 1; y1 = 1 :z ;? 1 i;' 1 i; z *??;, = ; e? . II I 1 7 29. a) Compruebe por sustitución directa que la ecuación (5) satisface la ecuación (3). b) Demuestre que W(yr(x), yz(x)) = u'yt2 = e-Ip(X)dx.

Problema para discusión ! 30. a) Haga una demostración convincente de que la ecuación de segundo orden uy? + by' + cy = 0, a, b y c constantes siempre tiene cuando menos una solución de la forma b) Explique por qué la ecuación diferencial en la parte a) debe tener, en consecuencia, una segunda solución de la forma y2 = emp o de la forma y2 = xemlx, donde mr y m2 son c) Vuelva a revisar los problemas 1 a 10. ¿Puede explicar por qué las respuestas a los problemas 5 a 7 no contradicen las afirmaciones en las partes a) y b)?

es tratar de determinar si existen soluciones exponenciales en (-, -) de las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo a,y(?) + a,-ry(n-`) + * * * + a*y? + qy' + UOY = 0, (1) en donde los coeficientes ai, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales y u, # 0. Para nuestra sorpresa, todas las soluciones de la ecuación (1) son funciones exponenciales o están formadas rl partir de funciones exponenciales.

Método de solución Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden ay? + by' + cy = 0. (2) Si probamos con una solución de la forma y = emr, entonces y' = memr y y? = m2emï, de modo que la ecuación (2) se transforma en am2emr + bmem' + ce- = 0 o sea em'(am2 + bm + c) = 0.

Como emr nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de am2+bm+c=0.

Esta ecuación se llama ecuacián auxiliar o ecuación característica de (2). Examinaremos tres casos: las soluciones de la ecuación auxiliar que reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas.

la función exponencial la ecuación cuadrática (3) la ecuación diferencial corresponden a raíces

CASO 1: Raíces reales distintas Si la ecuación (3) tiene dos raíces reales distintas, rnl y mz, llegamos a dos soluciones, yt = emlx y y2 = emg. Estas funciones son lineahnente inde- pendientes en (-00, -) y, en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de la ecuación (2) en ese intervalo es y= cle mlx + c2emp. (4) CASO II: Raíces reales e iguales Cuando rn1 = m2 llegamos, necesariamente, sólo a una solución exponencial, yt = emlX. Según la fórmula cuadrática, rnl = -b/2a porque la única forma de que rnl = rn2 es que b* - 4ac = 0. Así, por lo argumentado en la sección 4.2, una segunda solución de la ecuación es

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135

CASO III: Raíces complejos conjugados Si rn1 y ma son complejas, podremos escribir ml=ff+ipymz=a- ip, donde cr y p > 0 y son reales, e i2 = -1. No hay diferencia formal entre este caso y el caso 1; por ello,

Sin embargo, en la práctica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la formula de Euler: e ?=cosB+isen8, en que 8 es un número real. La consecuencia de esta fórmula es que eiflX = cos Bx + i sen fix Y e+*x = cos /?x - i sen /3x, (7)

en donde hemos empleado cos = cos px y sen(-ox) = -sen @x. Obsérvese que si primero sumamos y después restamos las dos ecuaciones de (7), obtenemos respectivamente Y

Como y = CleCa + VW + C2eCa'-`@ es una las constantes Ct y C2, si Ci = C2 = 1 y YI = e (atip)x + e(a-iS)r Pero y, = e?(e'@ Y y2 = e?(e'@ solución de la ecuación (2) para cualquier elección de Ct = 1, C2 = -1 obtenemos las soluciones: Y

+ e -@?) = 2e? cos /3x En consecuencia, según el corolario (A) del teorema 4.2, los dos últimos resultados demuestran que las funciones reales eaï cos /?x y ear sen /3x son soluciones de la ecuación (2). Además, esas soluciones forman un conjunto fundamental en ( -00, -); por lo tanto, la solución general es y= cle `Ix cos /?x + c*e'* sen @x =ec w [ (cl cos j!Jx + c2 sen /?x). (8)

Ecuaciones diferenciales de segundo orden Resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: (a) 2~? - 5y' - 3y = 0 (b) y? - lOy' + 25~ = 0 (c) y? + y' + y = 0

-x? *Se puede deducir, formalmente, la fórmula de Euler a partir de la serie de Maclaurin k = I: -, con la sustitución x = ?ZO n! i0, utilizando ? = -1, i3 = - i, , y separando despu& la serie en sus partes real e imaginaria Luego de establecer esta posibilidad, podremos adoptar cm 6' + i sen 0 como definición de e?

SOLUCIÓN Presentaremos las ecuaciones auxiliares, raíces y soluciones generales co- rrespondientes.

(a) 2m2 - 5m - 3 = (2m + l)(m - 3) = 0, m, = - +, m2 = 3, y = C$ -?' + c2e3+ (b) m2 - 10m + 2.5 = (m - 15)~ = 0, m, = m2 = 5, y = cle sI + c2xesX ti 1 ti (c)m2+m+1=0, mI=-l+-i, mz=----i, 22 y = e-x'2 (ccos~2x+cse~-X2 '21

m' 0 Problema de valor inicial 4, Resuelva el problema de valor inicial ' y?-4y'+ 13y=o, y(O) = -1, y'(O) = 2.

SOLUCIÓN Las raíces de la ecuación auxiliar m2 - 4m + 13 = 0 son rnl = 2 + 3i y m2 = 2 - 3i, de modo que y = e2X(c1 cos 3x + c2 sen 3~).

Al aplicar la condición y(O) = -1, vemos que -1 = e'(ct cos 0 + c2 sen 0) y que CI = -1. Diferenciamos la ecuación de arriba y a continuación, aplicando y'(O) = 2, obtenemos 2 = 3~2 - 2, 0 sea, CT = :; por consiguiente, la solución es (31

Las dos ecuaciones diferenciales, y? + py = 0 y y? - .k2y = 0, k real, son importantes en las matemáticas aplicadas. Para la primera, la ecuación auxiliar m2 + k2 = 0 tiene las raíces ima- ginarias rnl = ki y m2 = -ki. Según la ecuación (8), con cx = 0 y 0 = k, la solución general es y = cl cos kx + c2 sen kx. (9) La ecuación auxiliar de la segunda ecuación, m2 - p = 0, tiene las raíces reales distintas rnl = k y m2 = -k; por ello, su solución general es y = cleh + c2e+. (10) Obsérvese que si elegimos cl = c2 = f y después ct = f, c2 = - f en (lo), llegamos a las soluciones particulares y = (ek? + eeh)/ = cosh kx y y = (ek? - emk?)/2 = senh k. Puesto que cosh kx y senh kx son linealmente independientes en cualquier intervalo del eje x, una forma alternativa de la solución general dey? - py = 0 es y = CI cosh kx + c2 senh kx.

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 137

Ecuaciones de orden superior En general, para resolver una ecuación diferencial de orden n como .Jn) + an-lyk-`) + . + Qy? + qy + soy = 0, (11) endondelasai,i=O,l,... , n son constantes reales, debemos resolver una ecuación polinomial de grado n: a,m? +a,-lrn 14 + . . + a2m2 + alm + ao = 0. (12) Si todas las raíces de la ecuación (12) son reales y distintas, la solución general de la ecuación (ll) es y= qemlx + c2emp + . . . + c,emn'.

Es más difícil resumir los análogos de los casos II y III porque las raíces de una ecuación auxiliar de grado mayor que dos pueden presentarse en muchas combinaciones. Por ejemplo, una ecuación de quinto grado podría tener cinco raíces reales distintas, o tres raíces reales distintas y dos complejas, o una real y cuatro complejas, cinco reales pero iguales, cinco reales pero dos iguales, etcétera. Cuando rn1 es una raíz de multiplicidad k de una ecuación auxiliar de grado n (esto es, k raíces son iguales a ml), se puede demostrar que las soluciones linealmente independientes son emI', xem) x2emix, . . ., x k - l emp y que la solución general debe contener la combinación lineal qemlx+ c2xemlx+ c3x2 ew + . . . + Ckxk-lemlx.

Por ultimo, recuérdese que cuando los coeficientes son reales, las raíces complejas de una ecuación auxiliar siempre aparecen en pares conjugados. Así, por ejemplo, una ecuación polinomial cúbica puede tener dos raíces complejas cuando mucho.

Ecuación diferencial de cuarto orden uY UT2 SOLUCIÓN La ecuación auxiliar es m4 + 2m2 + 1 = (m2 + 1)2 = 0 y tiene las raíces rn1 = m3 = i y rnz = rn4 = -i. Así, de acuerdo con el caso II, la solución es y = Cleu + C2emú + C3xek + C,xe+.

Según la fórmula de Euler, se puede escribir el agrupamiento Cleti + Cze-`? en la forma CI cos x + c2 sen x con un cambio de definición de las constantes. Igualmente, x(C3eL? + C4eei?)se puede expresar en la forma x(c3 cos x + q sen x). En consecuencia, la solución general es n

El ejemplo 4 mostró un caso especial en que la ecuación auxiliar tiene raíces complejas repetidas. En general, si rn1 = Q + i/3 es una raíz compleja de multiplicidad k de una ecuación auxiliar con coeficientes reales, su raíz conjugada, m2 = (Y - ip, también es una raíz de multiplicidad k. Con base en las 2k soluciones complejas

e(n+i/3)x, xe(u+iS)x, x2e(a+Wx . . . , &l&+iNx e(a-ij3)x, xe(cX-@)?, x2&iS)x' Xk-le(a-i/3)x > ...>

legamos a la conclusión, con ayuda de la fórmula de Euler, de que la solución general de la ecuación diferencial correspondiente debe contener una combinación lineal de las 2k solucio- nes reales y linealmente independientes e? cos ,bx, xe? cos Bx, x2em cos px, . . . , xk-`ear cos Bx e(lx sen ,Bx, xeux sen Bx, x2eux sen px, . . . , xk-`ear sen @x.

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 139

Con ello la fórmula cuadrática produce las demás raíces, m2 = -1 + 6 i y m3 = -1 - 6 i. Entonces, la solución general de 3~?' + 5~? + lOy' - 4y = 0 es y = cled3 + e?(c2 cos tix + c3,sen tix).

Empleo de computadoras Cuando se cuenta con una calculadora o un programa de computación adecuados, la determinación o aproximación de las raíces de ecuaciones polino- miales se convierte en un asunto rutinario. Los sistemas algebraicos de computación, como Mathematica y Maple, pueden resolver ecuaciones polinomiales (en una variable) de grado menor de cinco mediante fórmulas algebraicas. Para la ecuación auxiliar del párrafo anterior, los comandos Solve[3 m?3 + 5 mA2 + 10 m - 4 = = 0, m] (en Mathematica) solve(3*mA3 + 5*mA2 + lO*m - 4, m); (en Maple) dan, como resultado inmediato, sus representaciones de las raíces $ -1 + fii, -1 - 6i. Cuando las ecuaciones auxiliares son de orden mayor, quizá se reqmeran comandos numéricos, como NSolve y FindRoot en Mathematica. Por su capacidad de resolver ecuaciones polino- miales, no nos debe sorprender que algunos sistemas algebraicos de computación también son capaces de presentar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales, homogéneas y de coeficientes constantes; por ejemplo, al teclear DSolve [y?[x] + 2 y'[x] + 2 y[x] = = 0, y[x], x] (en Mathematica) dsolve(diff(y(x),x$2) + 2*diff(y(x),x) +2*y(x) = 0, y(x)); (en Maple) se obtiene, respectivamente yLxl -, WI Cos [XI - CPISen [XI E? y(x) = -Cl exp( -x)sen(x) + -C2 exp( -x) cos Y

Las expresiones anteriores quieren decir que y = cze-X cos x + cle-' sen x es una solución de y? + 5 + 5 = 0. Obsérvese que el signo menos frente a C[ 1 ] en el primer resultado es superfluo. En el texto clásico Dijkentid Equations, de Ralph Palmer Agnew,* que usó el autor de estudiante, se afirma que: No es razonable esperar que los alumnos de este curso tengan la destreza y el equipo computacional necesarios para resolver con eficiencia ecuaciones como

4.317 2 + 2.179 2 + 1.416 $$ + 1.295 2 + 3.1691, = 0. w

Aunque se puede discutir si la destreza en computación ha mejorado en todos estos aRos o no, el equipo sí es mejor. Si se tiene acceso a un sistema algebraico computacional, se puede *McGraw-Hill, New York, 1960.

considerar que la ecuación (13) es razonable. Después de simplificar y efectuar algunas sustituciones en los resultados, con Mathematica se obtiene la siguiente solución general (aproximada);

y = cle -0.728852r cos(O.6186O5x) + c2e-0~728852xsen (0.618605~) + c3eo.476278x cos(O.759081~) + c4e0.47M78x sen (0.759081~).

De paso haremos notar que los comandos DSolve y dsolve, en Mathematica y Maple, al igual que la mayor parte de los aspectos de cualquier sistema algebraico computacional, tienen sus limitaciones.

En los problemas 1 a 36 determine la 1. 4y? + y' = 0 3 . y? - 36y = 0 5. y? + 9y = 0 7 . y? - y' - 6y = 0 9. $$+8g+16y=o ll. y? + 3y' - 5y = 0 1 3 . 12y? - 5y' - 2y = 0 1 5 . y? - 4y' + 5y = 0 17. 3y? + 2y' + y = 0 1 9 . y ?' - 4y? - 5y' = 0 21. y ?' - y = 0 / 23. y?' - 5y? + 3y' + 9y = 0 25. y ?' + y ? - 2y = 0 27. y ?' + 3~? + 3y' + y = 0 29 !!3+!iY+!!b!=o ' dx4 dx3 dx2 31. 16%+24%+9y=O solución general de cada ecuación diferencial.

Sección 4.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 1 4 1

En los problemas 37 a 52 resuelva cada ecuación diferencial, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

37. y? + 16~ = 0, y(O) = 2, y'(O) = -2 38. y? - y= 0, y(O) = y'(O) = 1 3 9 . y? + 6y' + 5y = 0, y(O) = 0, y'(O) = 3 40. y? - 8y' + 17y = 0, y(O) = 4, y'(O) = -1 41. 2y? - 2y' + y= 0, y(O) = -1, y'(O) = 0 42. y? - 2y' + y= 0, y(o) = 5, y'(o) = 10 43. y? + y' + 2y = 0, y(O) = y'(O) = 0 44. 4y? - 4y' - 3y = 0, y(O) = 1, y'(O) = 5 45. y? - 3y' + 2y = 0, y(l) = 0, y'(l) = 1 46y?+y=O, y(g)=o,Y'(9)=2 47. y?' + 12~? + 36~' = 0, y(O) = 0, y'(O) = 1, y?(o) = -7 48. y ? ' + 2~? - 5y' - 6y = 0, y(O) = y'(O) = 0, y?(O) = 1 49. y ?' - 8y = 0, y(O) = 0, y'(O) = -1, y?(o) = 0 50. fj$ = 0, y(O) = 2,y'(O) = 3,y?(O) = 4,y?(O) = 5 51. 2 - 3 2 + 3 2 - g = 0, y(O) = y'(O) = O,y?(O) = y?`(O) = 1 52. 2 - y = 0, y(O) = y'(O) = y?(O) = 0, y?`(O) = 1

En los problemas 53 a 56 resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales señaladas.

53. y? - lOy' + 25~ = 0, y(O) = 1, y(l) = 0 54. y? + 4y = 0, y(O) = 0, y(r) = 0 55. y? + y = 0, y'(O) = 0, y' ; = 2 ,0 5 6 . y? - y = 0, y(O) = 1, y'(l) = 0

Problemas para discusión 61. a) Las raíces de una ecuación auxiliar cuadrática son mt = 4 y rnz = -5. ¿Cuál es la ecuación b) Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica, con coeficientes reales, son rnl = f y rnz = 3 + i. ¿CuAl es la ecuación diferencial lineal homogénea correspondiente? c) y1 = t?+ cos x es una solución de y?' + 6y? + y' - 34y = 0. ¿Cuál es la solución general 62. ¿Qué condiciones deben llenar los coeficientes constantes u, b y c para garantizar que todas las soluciones de la ecuación diferencial de segundo orden uy? + by' + cy = 0 sean 63. Describa cómo la ecuación diferencial xy? + y' + xy = 0 (o sea, y? + (l/x)y' + y = 0), para x > 0 nos permite discernir el comportamiento cualitativo de las soluciones cuando x + 00. Compruebe sus conjeturas con un ODE solver.

COEFICIENTES INDETERMINADOS, MÉTODO DE LA SUPERPOSICIÓN n Solución general para una ecuación diferencial lineal no homogéneam Forma de una solución particular n Principio de superposición para ecuaciones diferenciales no homogéneas W Casos para aplicar coeficientes indeterminados %%Z+w.ad~ En esta sección se desarrolla el método de los coeficientes inde- terminados a partir del principio de superposición para ecuaciones diferenciales no homoge- neas (teorema 4.7). En la seccion 4.5 presentaremos un método totalmente distinto, donde se utiliza el concepto de operadores diferenciales anuladores. Haga su elección.

Para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea u~(")+u,~*y("-')+.~.+a,y'+aoy=g(x) (1) debemos pasar por dos etapas: ii) Establecer cualquier solución particular, yp, de la ecuación no homogénea.

Entonces, como vimos en la sección 4.1, la solución general de (1) en un intervalo es y =yc + yp. La función complementaria yc es la solución general de la ecuación homogénea asociada ,#(?) + an-tvw) + . . . + aty' + acy = 0. En la última sección vimos cómo resolver estas ecuaciones cuando los coeficientes son constantes. El primero de dos metodos que debe- mos considerar para obtener una solución particular, yp, se llama método de los coeficientes indeterminados. La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la forma de yp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El metodo es básicamente di- recto, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogeneas, como la ecuación (l), en que W Los coeficientes Ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes n g(x) es una constante k, una función polinomial, una función exponencial ear, funciones seno o coseno como sen /3x, cos Bx, o sumas y productos finitos de esas funciones.

Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 1 4 3

En términos estrictos, g(x) = k (una constante) es una función polinomial. Como es probable que una función constante no sea lo primero que se viene a la mente con el concepto de funciones polinomiales, en lo sucesivo, para recordar citaremos la redundpncia ?funciones constantes, polinomios . . ? A continuación veremos algunos ejemplos de las clases de funciones g(x) adecuadas para nuestra descripción: g(x) = 10, g(x) = x2 - 5x, g(x) = 1% - 6 + 8eeX, g(x) = sen 3x - 5x cos 2x, g(x) = ex cos x + (3x2 - l)e-`, etc.: esto es, g(x) es una combinación lineal de funciones del tipo k (constante), x?, Ye?, PP cos /3x y x?eLw[ sen @XT, en donde n es un entero no negativo y cr y ,0 son números reales. El método de los coeficientes indeterminados no se aplica a ecuaciones de la forma (1) cuando g(x) = lnx, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-%,

etc. En la sección 4.6 se trataran ecuaciones diferenciales en que la ?entrada? (input) de la El conjunto de funciones formado por constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos tiene la notable propiedad de que las derivadas de sus sumas y productosson, de nuevo, sumas y productos de constantes, polinomios, exponenciales eax, senos y cosenos. Como la combinacion lineal de las derivadas u,&`) + a,typ-`) + . . . + a& + UQQ debe ser idéntica a Ilustraremos el metodo básico con dos ejemplos.

Solución general con coeficientes indeterminados Resolver y? + 4y' - 5 = w ! - 3x + 6. (2) SOLUCIÓN Paso 1. Primero resolveremos la ecuación homogénea asociada y? + 4y' - 2y = 0. Al aplicar la fórmula cuadrática tenemos que las raíces de la ecuación auxiliar rn2 + 4m - 2 = 0 son rnl = -2 - Gy rn2 = -2 + 6 Entonces, la función complementaria es yc = cle-(2+G)x + c2e(-2+ti)x*

Paso 2. Como la función g(x) es un polinomio cuadrático, supondremos una solución particular que también tenga la forma de un polinomio cuadr&ico: yp = Ax2 + Bx + C.

Tratamos de determinar coeficientes A, B y C especzjhs para los que y, sea una solución de (2). Sustituimos yP y las derivadas y;=2Ax+B y y;=2A s en la ecuación diferencial dada, la ecuación (2), y obtenemos y;+4y;-2yp=2A+8Ax+4B-2Ax*-2Bx-2C = 2x2 - 3x + 6.

Como se supone que esta ecuación es una identidad, los coeficientes de potencias de x de igual grado deben ser iguales:

igual Esto es, Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen A = -1, B = - i y C = -9. Así, una solución particular es y,=-x*-Ix-g 2* Paso 3. La solución general de la ecuación dada es y = Y, + Y, = cle-(2+6)* + qe(-2+ti)x - X2 - s x - 9. n 3

Solución particular mediante coeficientes indeterminados Determine una solución particular de y? - y' + y = 2 sen 3~.

S O L U C I Ó N Una primera estimación lógica de una solución particular sería A sen 3~; pero como las diferenciaciones sucesivas de sen 3x dan sen 3x y también cos 3x, tenemos que suponer una solución particular que posea ambos términos: y,=Acos3xi-Bsen3x.

Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 1 4 5 th Figual -8A-3B cos3x+ 3A-8B sen3x=O cos3xi-2 sen3x.

Del sistema -8A-3B=O, 3A-8B=2, obtenemos A = 4 y B = - g. Una solución particular de la ecuación es 6 16 y, = 73cos3x - Esen3x.

Como ya mencionamos, la forma que supongamos para la solución particular y, es una estimación coherente, no a ciegas. Dicha estimación ha de tener en cuenta no sólo los tipos de funciones que forman a g(x), sino (como veremos en el ejemplo 4), las funciones que forman la función complementaria yf.

Formación de y,, por superposición Resuelva y? - 2y' - 3y = 4x - 5 + 6xek. (3) SOLUCIÓN Paso 1. Primero se determina la solución de la ecuación homogénea asocia- da, y? - 2y' - 3y = 0, solución que es yc = cte-' + c2e3', Paso 2. A continuación, la aparición de 4x - 5 en g(x) sugiere que la solución particular contiene un polinomio lineal. Además, como la derivada del producto xeti produce 2xea y eZX, también supondremos que en la solución particular hay términos en x? y en e?; en otras palabras, g es la suma de dos tipos básicos de funciones: g(x) = gl(x) + gx(x) = polinomio + exponenciales.

En consecuencia, el principio de superposición para ecuaciones no homogéneas (teorema 4.7) sugiere que busquemos una solución particular

De esta identidad se obtienen cuatro ecuaciones: La ultima ecuación del sistema proviene de la interpretación de que el coeficiente de e> en el lado derecho de (4) es cero. Al resolver el sistema llegamos a A = - f, B = $, C = - 2 y E = - 4. En consecuencia,

Paso 3. La solución general de la ecuación es y = qe-? + c2e SLx4 +z?- zx+4 e2x 3 9 ( 3) .

De acuerdo con el principio de superposición, teorema 4.7, también podemos atacar al ejemplo 3 resolviendo dos problemas más sencillos. El lector debe comprobar que al sustituir yp, = Ax + B Y yp2 = CxeZX + Eek

se tiene, y,, = - 5 x+yyy,,=-(2x+,;)e 4 En el próximo ejemplo veremos que, una conjetura correcta.

Un tropiezo del método en y? - 2y' - 3y = 4x - 5 en y? - 2y' - 3y = 6xek 2r. Entonces, una solución particular de la ecuación a veces, la hipótesis ?obvia? de la forma de yp no es

SOLUCIÓN Al derivar d; no se obtienen funciones nuevas. Así, si procedemos como en los ejemplos anteriores, es lógico suponer una solucibn particular de la forma yp = Ae?. Pero al sustituir esta expresion en la ecuación diferencial obtenemos la afirmación contradictoria 0 = Se', Aqui, la dificultad se aclara al examinar la función complementaria yC = cle' + cze&. Vemos que la supuesta Ad( ya está presente en yC. Esto quiere decir que e' es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, y al sustituir un múltiplo constante Ae? en LEntonces, cuál debe ser la forma dey,? Siguiendo el caso II de la sección 4.3, veamos si podemos tener una solución particular de la forma yp = Axe?.

Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 1 4 7

Sustituimos yP = Axër + Ae' y y; = AxeT + 248 en la ecuación diferencial, simplificamos y obtenemos y; - 5r;, + 4yp = -3Ae? = 8e?.

En esta ecuación vemos que el valor de A es A = - t; por consiguiente, una solución particuhr de la ecuación dada es

8 ¿a diferencia entre los procedimientos que empleamos en los ejemplos 1 a 3 y 4 nos lleva a considerar dos casos. El primero refleja lo que sucede en los ejemplos 1 a 3.

CASO 1: Ninguna función en la solución particular supuesta es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

En la tabla 4.1 mostramos algunos ejemplos específicos de g(x) en (l), con la forma correspondiente de la solución particular. Naturalmente, suponemos que ninguna función, en la solución particular yP supuesta esta duplicada (o reproducida) por una función en la solución complementaria yti

TABLA 4.1 Soluciones particulares tentativas g(x) Forma de yP 1 . 1 (una constante) A 2. 5x+ 7 Ax+B 3. 3x2-2 Ax'+Bx+C 4. x3-x+ 1 Ax3+B$+Cx+E 5. sen 4x Aws4x+Bsen4x á./ cos 4x Aws4x+Bsen4x 7. eIr AP 8. (9x - 2) esx (Ax+B)eSX 9. x2e5x (Ax2+Bx+C)eSX 10. e3xsen4x At? ws 4x + Bek sen 4x ll. 5x2 sen 4x , (Ax2+Bx+C)cos4x+(hk2+Fx+G)sen4x 12. XP ws 4x (Ax+B)e3xws4x+(Cx+E)e3Xsen4x

SOLUCIÓN a) Podemos escribir g(x) = (5x3 - 7)e?. Tomamos nuestro modelo del renglón 9 de la tabla 4.1, y suponemos que una solución particular tiene la forma y, = (Ax3 + Bx* + Cx + E)e-*.

Obsérvese que no hay duplicación entre los términos dey,, y los de la función complemen- b) La función g(x) = x cos x se parece a la del renglón ll de la tabla 4.1 excepto que usamos un polinomio lineal y no cuadrático, y cos x y sen x en lugar de cos 4x y sen 4x, en la forma dey,: y, = (Ax + B) cos x + (Cx + E) sen x.

Nótese que no hay duplicación de términos entre y,, y yC = ct cos 2x + c2 sen 2x. n

Si g(x) está formada por una suma de, digamos, m términos del tipo de los de la tabla, entonces, como en el ejemplo 3, la hipótesis de una solución particular yp consiste en la suma de las formas tentativas yp,, yp2, . . . , yp, que corresponden a los términos Y,=Y,,+Y,,+--*+Ypm.

Lo que acabamos de decir se puede formular también como Regla de formación para el caso I La forma dey,, es una combinación lineal de todas las funciones linealmente independientes generadas por diferenciaciones repetidas de g(x).

Formación de y, por superposición, caso I Determine la forma de una solución particular de y? - 9y' + 14y = 3x2 SOLUCIÓN Suponemos que 3x2 corresponde a Suponemos que -5 sen 2x corresponde a Suponemos que 7xe6X corresponde a Entonces, la propuesta de solución particular es - 5 sen 2x + 7xe61.

Ningún término de esta propuesta repite, o duplica, un término de yC = ctezx + c2e7'. n

CASO II: Una función en la solución particular supuesta también es una solución de la ecuación diferencial homogénea asociada.

Sección 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 149

Solución particular, caso II S O L U C I Ó N La solución complementaria es y, = cte? + ~2x8. Al igual que en el ejemplo 4, la hipótesis yp = Ae? no dará resultado porque se ve, en yC, que e? es una solución de la ecuación homogénea asociada y? - 2y' + y = 0. Además, no podremos determinar una solución particular de la forma yp = Anti, ya que el término xex también está duplicado en yc. Probaremos a continuación con yp = Ax2eX.

Al sustituir en la ecuación diferencial dada se obtiene 2Ae? = e?, de modo que A=+.

Entonces, una solución particular es y, = i x2ex. n

Supongamos de nuevo que g(x) está formada por m términos de los tipos que aparecen en la tabla 4.1 y que la hipótesis normal de una solución particular es YP = YP, + YP, + ' * . + YP m' endondelasyp,,i= 1,2,. . ., m son formas tentativas de solución particular que corresponden a esos términos. En las condiciones descritas en el caso II podemos establecer la siguiente regla general: Regla de multiplicacidn para el caso II Si alguna yPi contiene términos que duplican los términos en y, entonces yPi se debe multiplicar por A?`, donde n es el entero positivo mhimo que elimina esa duplicación.

Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valores iniciales y? + y = 4x + losenx, y(n) = 0, y'(n) = 2.

Al derivar esta expresión y sustituir los resultados en la ecuación diferencial se obtiene yj: + y, = Ax + B - 2Csenx + 2Ecosx = 4x + lOsenx, y así A = 4 , B = 0 , - 2 C = 1 0 , 2E = 0 .

Las soluciones del sistema se ven de inmediato: A = 4, B = 0, C = -5 y E = 0. Entonces, de acuerdo con (6), obtenemos yp = 4x - 5x cos x. La solución general de la ecuación dada es

Ahora aplicaremos las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación. Primero, y(r)-CI cosrr+c2senrr+4r-5rrcos7r=Odact=9rr,porquecos7r=-l ysenrr=O.A continuación, a partir de la derivada y' = -9rrsenx + c2cosx + 4 + 5xsenx - 5cosx Y y'(?r)=-97rsenn+c2cosn+4+5nsenn-5cosa=2 llegamos a c2 = 7. La solución del problema de valor inicial es y = 97r cos x + 7 sen x + 4x - 5x cos x.

Empleo de la regla de multiplicación S O L U C I Ó N La función complementaria es yc = cl e3' + c2xe3X. Entonces, basándonos en los renglones 3 y 7 de la tabla 4.1, la hipótesis normal de una solución particular sería -ir' Y4 h Al revisar estas funciones vemos que un término de yp2 está repetido en yE. Si multiplicamos yp2 por x el término xe3* sigue siendo parte de yc. Pero si multiplicamos yp2 por 2 se eliminan todas las duplicaciones. Así, la forma operativa de una solución particular es y, = Ax2 + Bx + C + Ex2e3X.

kcción 4.4 Coeficientes indeterminados, método de la superposición 1 5 1

Ecuación diferencial de tercer orden, caso I S O L U C I Ó N Partimos de la ecuación característica m3 + m2 = 0 y vemos que rnl= m2 = 0, y ms = -1. Entonces, la función complementaria de la ecuación es yc = CI + czx + che-`. Si g(x) = ex cos n, de acuerdo con el renglón 10 de la tabla 4.1, deberíamos suponer y, = Ae? cos x + Bexsen x.

Como no hay funciones en yp que repiten las funciones de la solución complementaria, procederemos normalmente. Partimos de y; + y; = (-2A + 4B)e?cosx + (-4A - 2B)e?senx = e'cosx y obtenemos -2A + 4B = 1, -4A - 2B = 0.

Con este sistema tenemos A = -i y B = +, de tal suerte que una solución particular es yp = - hti cos x + $z? sen x. La solución general de la ecuación es

1 y=y,+y,=cI+crx+c3e-`-,e?cosx+ke'senx. n IV J

Ecuación diferencial de cuarto orden, caso II SOLUCIÓN Comparamos y, = ct + c2x + ~3x2 + c4eeX con nuestra tentativa normal de solución particular y, = A + Bx2emX + Cxe-? + Ee-?, +- Y4 YP* vemos que se eliminan las duplicaciones entre yc y yp cuando se multiplica yp, por x3 y yp, por x. Así, la hipótesis correcta de una solución particular es yp = Ax3 + Bx3emX + CxW f Exe-?. n

En los problemas 27 a 36 de los ejercicios 4.4 se pide al lector resolvix problemas de valores iniciales, y los problemas 37 y 38 son de valores en la frontera. Según se expuso en el ejemplo 8, el lector se debe asegurar de aplicar las condiciones iniciales (o las condiciones en la frontera) a la solución general y =yc + yP. Con frecuencia se cae en el error de aplicar esas condiciones sólo a la función complementaria yc porque es la parte de la solución donde aparecen las constantes.

EJERCKiOS 4.4 1. y ? + 3y' + 2y = 6 2. 4y? + 9y = 15 3. y? - 1Oy' + 25y = 3ox + 3 4. y? + y' - 6y = 2x 5. ;yvy+y=x2-2x 6. y? `- 8y' + 2Oy = lOOx2 - 26xe? 7. y ? + 3y = -48x2e3r 8. 4y? - 4y' - 3 y = cos 2x 9. y" - y' = - 3 10. y? + 2y' = 2x + 5 - ew2X ll. y? - y' + i y = 3 + ex'2 12. y? - 16y = 2e4X 13. y? + 4y = 3 sen 2x 14. y? + 4y = (x' - 3) sen 2x 15. y? + y = 2x sen x 16. y? - 5y' = 2x3 - 4x2 - x + 6 17. y? - 2y' + 5y = ex cos 2x 18. y? - 2y' + 2y = e21(cos x - 3 sen x) 19. y? + 2y' + y = senx + 3 cos 2x 20. y? + 2y' - 24y = 16 - (x + 2)e4? 21. y ?' - 6y? = 3 - cos x 22. y ?' - 2~? - 4y' + 8y = 6xezx 23. y ?' - 3y? + 3y' - y= x - 4e? 24. y ?' - y? - 4y' + 4y = 5 - ex + e2r 25. yc4) + 2~? + y = (x - l)* 26. yc4) - y? = 4x + 2xeex En los problemas 27 a 36, resuelva la ecuación diferencial respectiva, sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 153

35. y?' - 2~? + y' = 2 - 24e? + 40eS?, y(O) = i, y'(O) = g, y?(O) = - i 36. y ?' + 8y = 2x - 5 + 8em21, y(O) = -5, y'(O) = 3, y?(O) = -4 En los problemas 37 y 38, resuelva la ecuación diferencial sujeta a las condiciones en la frontera 37. y? + y = 2 + 1, y(O) = 5, y(l) = 0 38. y? - 2y' + 2y = 2x - 2, y(O) = 0, y(r) = ã 39. Muchas veces, la función g(x) es discontinua en las aplicaciones. Resuelva el problema de valores iniciales y? + 4y = g(x), y(O) = 1, y'(O) = 2, senx, 0 5 x 9 t en donde g(x) = 0, X>E i2

[Sugerencia: resuelva el problema en los dos intervalos y después determine una solución tal que y y y' sean continuas en x = 7ri2.1 Problemas paro discusión 40. a) Describa cómo resolver la ecuación uy? + by' = g(x) de segundo orden sin ayudarse con coeficientes indeterminados. Suponga que g(x) es continua. También tenga en cuenta que.

c) Describa cuando se puede aplicar el método de la parte a) a las ecuaciones diferenciales 41. Describa cómo se puede emplear el método de esta sección para determinar una solución particular de y? + y = sen x cos 2x. Ponga en práctica su idea.

COEFICIENTES n Factorización de H Determinación de En la sección 4.1 como sigue: INDETERMINADOS, MÉTODO DEL ANULADOR un operador diferencial H Operador anulador la forma de una solución particular W Coeficientes indeterminados planteamos que una ecuación diferencial lineal de orden n se puede escribir

endonde&=dky/dxk,k=O, l,... , n. Cuando nos convenga, representaremos también esta ecuación en la forma L(x) = g(x), donde L representa el operador diferencial lineal de orden n: L = an D? + u,-lD?-l + * **+ fqD + ao. (2) La notación de operadores es más que taquigrafía útil; en un nivel muy práctico, la aplicación de los operadores diferenciales nos permite llegar a una solución particular de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas. Antes de hacerlo, necesitamos examinar dos concepto%: Factorización de operadores Cuando las ui, i = 0, 1, . . . , n son constantes reales, se puede factor-izar un operador diferencial lineal (2) siempre que se factorice el polinomio característico u,m? + un-lm?-' + . . . + ulm + UO. En otras palabras, si 1-1 es una raíz de la ecuación U?rn? + u?-gn?-l + *. *+ U]nz f uo = 0, entonces L = (D - @(II), donde la expresión polinomial P(D) es un operador diferencial lineal de orden n - 1; por ejemplo, si manejamos D como una cantidad algebraica, el operador ti + SD + 6 se puede factorizar como (D + 2)(D + 3) o bien (D + 3)(D + 2). Así, si una función y = f(x) tiene segunda derivada, (ll* + SD + 6)y = (D + 2)(D + 3)y = (D + 3)(D + 2)~.

Lo anterior es un ejemplo de una propiedad general: Los factores de un operador diferencial lineal con coejicientes constantes son conmutativos.

Una ecuación diferencial como y? + 4~' + 4y = 0 se puede escribir en la forma (ll* + 40 + 4)y = 0 o sea (D + 2)(D + 2)y = 0 o sea (D + 2)*y = 0.

Operador anulador Si L es un operador diferencial con coeficientes constantes y f es una función suficientemente diferenciable tal que Jww = 0, se dice que L es un anulador de la función; por ejemplo, una función constante como y = k es anulada por D porque Dk = 0. La función y = x es anulada por el operador diferencial 02 porque la primera y segunda derivadas de x son 1 y 0, respectivamente. En forma similar, D3x2 = 0 7 etcétera.

El operador diferencial D? anula cada una de las siguientes funciones: 1, x, 2, . . ., X=-l.

Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 1 5 5

se puede anular definiendo un operador que anule la potencia máxima de x. Las funciones que anula un operador diferencial lineal L de orden n son aquellas que se pueden obtener de la solución general de la ecuación diferencial homogénea Lb) = 0.

El operador díferenCaL (D - aY $nula cada una de las siguientes funciones e??r, Xe?=, 2e) . . . , f-`e*. (3 Para comprobarlo, observemos que la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea (D - 0)?~ = 0 es (m - a)? = 0. Puesto que cy es una raíz de multiplicidad n, la solución general es y = c,e? + c2xeax + **. + cnx?-leax. (6)

Operadores anuladores Determine un operador diferencial que anule la función dada (a) 1 - 5x2 + 8x3 (b) e-3X (c) 4e2? - 10xe2X x SOLUCIÓN a) De acuerdo con (3), sabemos que D4x3 = 0 y, como consecuencia de (4), D4( 1 - 5x2 + 8x3) = 0.

b) De acuerdo con (5), con cr = -3 y n = 1, vemos que c) Según (5) y (6), con a! = 2 y n = 2, tenemos (D - 2)2(4e? - 10x8) = 0. w Cuando cr y fl son números reales, la fórmula cuadrática indica que [m2 - 2am + (cr2 + @)]? = 0 tiene las raíces complejas Q: + ip, Q - ip, ambas de multiplicidad n. De acuerdo con la explicación al final de la sección 4.3 llegamos al siguiente resultado.

SOLUCIÓN Al examinar las funciones e-' cos 2x y e-' sen 2x se ve que cy = -1 y ,R = 2. Entonces, según (7), llegamos a la conclusión de que d + 20 + 5 anulara cada función. Dado que d + 20 + 5 es un operador lineal, an@rá cualquier combinación lineal de esas funciones, como 5e? cos 2x - 9e? sen 2x. n

Cuando (-Y = 0 y n = 1 se tiene el caso especial de (7): Por ejemplo, D* + 16 anula cualquier combinación lineal de sen 4x y cos 4x. .I Con frecuencia desearemos anular la suma de dos o más funciones. Según acabamos de ver en los ejemplos 1 y 2, si L es un operador diferencial lineal tal que Lo/t) = 0 y L&) = 0, entonces anula la combinación lineal CI yr(x) + CZJQ(X). Esto es consecuencia directa del teorema 4.2. Supongamos que Ll y L2 son operadores diferenciales lineales con coeficientes constantes, tales que Lr anula ay,(x) y L2 anula ay&), pero Ll&) f 0 y Lz(y1) # 0. Entonces, elproducto de los operadores lineales, LI&, anula la suma CI yt(x) + c&x). Esto se demuestra con facilidad aplicando la linealidad y el hecho de que L& = L2Lr: ~IL(Yl + Y2) = LJqYl) + ~lL(Y2) = L-L(Yl) + LL(Y2) II cero cero Por ejemplo, de acuerdo con (3), sabemos que 02 anula a 7 - x y según (8), 02 + 16 anula sen 4x. Entonces, el producto de los operadores, que es @(d + 16), anula la combinación lineal 7-x+6sen4x.

El operador diferencial que anula a una función no es único. En la parte b) del ejemplo 1 señala- mos que D + 3 anula a ev3', pero también la anulan operadores diferenciales de orden superior, siempre que D + 3 sea uno de los factores del operador; por ejemplo, (D + 3)(D + l), (D + 3)* y D~(D + 3) anulan, todos, a ee3'. (Compruébelo.) Para este curso, cuando busquemos un anulador de una función y =f(x) obtendremos el operador del orden mínimo posible que lo haga.

Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 1 5 7

de orden superior LrL(,v) = 0, descubriremos la forma de una solución particular, y,, de la ecuación original no homogénea L(y) = g(x). A continuación sustituimos esa forma supuesta en L(y) = g(x) para determinar una solución particular explícita. Este procedimiento de deter- minación de yp se llama mbtodo de los coeficientes indeterminados y lo aplicaremos en los Antes de seguir, recordemos que la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea Uy) = g(x) es y = yc + yp, donde yc es la función complementaria; esto es, la solución general de la ecuación homogénea asociada L(y) = 0. La solucion general de cada ecuación L(y) = g(x) está definida en el intervalo (-, oo).

mm Solución general mediante coeficientes indeterminados 1 Resuelva y? + 3y' + 2y = 4x2. (9) S O L U C I Ó N Paso 1. Primero resolvemos la ecuación homogénea y? + 3y' + 5 = 0. A continuación, a partir de la ecuación auxiliar m* + 3m + 2 = (m + l)(m + 2) = 0, determinamos que rnl = -1 y m2 = - 2; por lo tanto, la función complementaria es y, = ele-X + c2e?

Como se supone que esta ultima ecuación tiene que ser una identidad, los coeficientes de las potencias de igual grado en x deben ser iguales: igual

Esto es, 2C=4, 2B+6C=O, 2A+3B+2C=O. (13) Resolvemos las ecuaciones en (13), para obtener A = 7, B = -6 y C = 2. En esta forma, yP = Paso 3. La solución general de la ecuación (9) es y = yc + yP, o sea Y = clevx -t c2e-2x + 7 - 6x + 2x2. n

Solución general empleando coeficientes indeterminados Resuelva y? - 3y' = 8e3' + 4 sen x. (14) S O L U C I Ó N Paso 1. La ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociaday? - 3y' = 0 Paso 2. En vista de que (D - 3)e3X = 0 y (0? + 1) senx = 0, aplicamos el operador diferencial (D - 3)(@ + 1) a ambos lados de (14): (D - 3)(02 + l)(W - 3D)y = 0. (15) La ecuación auxiliar de la ecuación (15) es h - 3)(m2 + l)(m2 - 3m) = 0 0 sea m(m - 3)2(m2 f 1) = 0.

Después de excluir la combinación lineal de términos indicada en gris que corresponde ay,, llegamos a la forma de yP: yp=Axe3'+Bcosx+Csenx.

Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, rn&do del anulador 1 5 9 Vemos que A = 5, B = ! y C = - 7 y, en consecuencia, 86 yP=3xe3?+Jcosx-$senx.

Paso 3. Entonces, la solución general de (14) es y = cl f c2e 3x 8 6 2 + -xe3* + -cosx - -senx 355 n *

Solución general mediante coeficientes indeterminados Resuelva y? + y = x cos x - cns x. (16) SOLUCIÓN La función complementaria es yc = cl cos x + c2 sen x. Si comparamos cos x y x cos x con las funciones del primer renglón de (7), veremos que a = 0 y n = 1, así que (0' + 1)2 es un anulador del lado derecho de la ecuación (16). Aplicamos ese operador a la ecuación y tenemos (02 + l)?(o' + 1)y = 0, 0 sea (02 + 1)3y = 0.

Como i y -i son, a la vez, raíces complejas de multiplicidad 3 de la ecuación auxiliar de la ultima ecuación diferencial, concluimos que + c3x cos x + cqx sen x c5x2 cos x + c&u2 sen x.

Sustituimos yp = Axcosx + Bxsenx + Cx2cosx + Ex2senx en la ecuación (16) y simplificamos: y; +y, = 4Excosx - 4Cxsenx + (2B + 2C)cosx + (-2A + 2E)sax = xcosx - cosx.

Igualamos los coeficientes y obtenemos las ecuaciones 4E = 1, -4C = 0, 2B + 2C = -1, -2A + 2E = 0, cuyas soluciones son A = $, B = - i, C = 0 y E = $. En consecuencia, la solución general de (16) es y = clcosx + c2senx + ~xcosx - ixsenx + ix2senx.

Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular de y? - 2y' + y = 1 oc-2X cos X. (17) S O L U C I Ó N La función complementaria, para la ecuación dada, es yc = cl$ + czx$. De acuerdo con (7), con cx = - 2, /3 = 1 y n = 1, sabemos que (02 + 40 + 5)f+ cos x = 0.

Aplicamos el operador L? + 40 + 5 a la ecuación 17 para obtener (D* + 40 + 5)(D* - 20 + 1)y = 0. (18) Como las raíces de la ecuación auxiliar de (18) son -2 - i, -2 + i, 1 y 1,

Se llega a una solución particular de (17) de la forma y, = Ae-2X cos x + Be-** sen x. n

Forma de una solución particular Determine la forma de una solución particular de Y?' - 4y? + 4y' = 5x2 - 6x + 4x*e? + 3eSX. (1% S O L U C I Ó N Primero vemos que D3(5x2 - 6~) = 0 , ( D - 2)3x2e2? = 0 , y (Ll - 5)eS? = 0.

Entonces, al aplicar D3(D - 2)3(D - 5) a (19) se obtiene D3(D - 2)3(D - 5)(D3 - 4D2 + 4D)y = 0 0 sea D4(D - 2)`(D - 5)y = 0.

Fácilmente se advierte que las raíces de la ecuación auxiliar de la última ecuación diferencial son 0, 0 , 0 , 0 , 0,2,2,2,2,2 y 5. De aquí que

Sección 4.5 Coeficientes indeterminados, método del anulador 1 6 1

Resumen del método Para comodidad del lector resumiremos el método de los coeti- tientes indeterminados.

Caficicantes indeñsrminados, mittodo deI anulpdor La ecuación diferencial Uy) g(x) tiene @nción Ic` ~onsíste = coeficientes con@antes y la g(x) r+xxu&te en sumas y productos fUos de eonsmntes, polinomios, funciones e~~~~i~~s e) 8seno8s i) Se determina la solución complementaria, yc, :, de la ecuací6n homogénea J;(F) == 0. íi) Ambos lados de la ecuación no homogénea Lo/) = g(x) se Someten a Ia acción de anule función iii) Se determina la solueidn general la ecuación diferencial homogénea de orrden ' de ción homogénea iv) De la solución obtenida en el paso iii), se eliminan todos los términos duplicados en la solucion complementaria, yc, que se determin~ en el paso ì). Se forma una com- binación lineal, y,, con los terrnbms restantes. Esta será la forma de una soluci&r v) Se sustituye yp que se determinó en el paso iv) en Ltjo = g(x). Se ignalan los coeficientes de las díversas funciones a cada lado de la igualdad y se despejan los coeficientes desconocidos enyp del sistema de ecuaciones resultante. vi) Con la solución particular que se determino en el paso v), se forma la solución general y = yc + yF de la ecuación diferencial dada.

El método de los coeficientes indeterminados no se puede aplicar a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables ni a ecuaciones lineales con coeficientes constantes cuando g(x) sea una función como las siguientes: g(x) = In x, g(x) = i, g(x) = tan x, g(x) = sen-`x, etc. En la próxima sección trataremos las ecuaciones diferenciales en que la entrada g(x) es una función como estas últimas.

En los problemas 1 a 10 escriba la ecuación diferencial dada en la forma L(y) = g(x), donde L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes. Si es posible, factorice L.

En los problemas 11 a 14 compruebe que el operador diferencial mencionado anula la función ll. 04; y = 10x3 - 2x 12. 20 - 1; y = 4eX'* 13. (D - 2)(0 + 5); y = eh + 3emsX 1 4 . D* + 6 4 ; y = 2 cos 8x - 5 sen 8x En los problemas 15 a 26, determine un operador diferencial lineal que anule la función dada. 1 5 . 1 + 6x - 2x3 1 6 . n'(1 - 5~) 1 7 . 1 + 7e** 1 8 . x + 3xe6X 19. cos 2x 20. 1 +sen x 21. 13~ + 9x2 - sen 4x 22. 8x - sen x + 10 cos 5x 23 . emx + 2xe* - x2ex 24. (2 - ex)* 25. 3 + ex cos 2x 26 . evx sen x - ezX cos x En los problemas 27 a 34, determine funciones linealmente independientes que anulen el operador diferencial dado.

Sección 4.6 Variación de parámetros 163 62. 2~"' - 3y? - 3y' + 2y = (ex + e-X)2 6 3 . yc4) - 2~?' + yR = ex + 1 64. y (4) - 4y? = 5x2 - e*x Resuelva la ecuación diferencial de cada uno de los problemas 65 a 72, sujeta a las condiciones 65. y" - 64y = 16, y(O) = 1, y'(O) = 0 66. y? -t y' = x, y(O) = 1, y'(O) = 0 67. y? - 5y' = x - 2, y(O) = 0, y'(O) = 2 68. y? + 5y' - 6y = loe*?, y(O) = 1, y'(O) = 1 69. y? +y = 8 cos 2x - 4senx, y(q) = -l,y'(I) = 0 70. y ?' - 2~? + y' = xex + 5, y(O) = 2, y'(O) = 2, y?(O) = -1 71. y? - 4y' + 8y = x3, y(O) = 2, y'(O) = 4 72. y y(O) = 0, y'(O) = 0, y?(O) = 0, yyo) = 0 yc4) - ?' = x + ex, Problema para discusión 73. Suponga que L es un operador diferencial lineal factorizable, pero que tiene coeficientes variables. iLos factores de L se conmutan? Defienda su aseveración.

VARIAdN DE PARÁMitROS W Forma reducida de una ecuación diferencial lineal, no homogénea y de segundo orden n Una solución particular con parámetros variables n Determinación por integracidn de parcimetros variables n El wronskiano n Ecuaciones diferenciales de orden superior

El procedimiento que seguimos en la sección 2.3 para llegar a una solución particular de una ecuación diferencial lineal de primer orden

2 + WY = f(x) (1) en un intervalo se aplica también a ecuaciones lineales de orden superior. Para adaptar el método de variación de parámetros a una ecuación diferencial de segundo orden, a*(x)y M + &)Y' + @o( = gw (2)

dividiéndola por el primer coeficiente, u&). Suponemos que P(x), Q(x) yf(x) son continuas en algún intervalo 1. La ecuación (3) es el análogo de la ecuación (1). Según vimos en la sección 4.3, no hay dificultad en obtener la función complementaria, yc, de (2), cuando los coeficientes son constantes.

Hipótesis Es similar a la hipótesis yp = u(x)yl(x) que usamos en la sección 2.3 a fin de hallar una solución particular, yp, de la ecuación lineal de primer orden (1). Para la ecuación lineal de segundo orden (2) se busca una solución de la forma

en que yt y y2 formen un conjunto fundamental de soluciones, en 1, de la forma homogénea asociada de (2). Aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar y, y obtenemos JJ; = u1.Y; + YlUí + UzYl + Y24 yp = u1yy + y; u; + y1l.d; + uíy; + uzy; + y; 2.4; + y*u; + u;y;.

Sustituimos (4), las derivadas de arriba en la ecuacion (2) y agrupamos los términos:

cero cero Y,? + P(x)Y; + QY, = ul[ yt + Pyí + Qy11 + uz[ y; + Py; + Qyz] = 2 [y1uíl+ $ [Y&l + P[y*ul + y&] + yíu; + y;u;

= & [YlUí + Y&] + P[y,uí + y24] + yíu; + y;u; =f(x). (5) Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, UI y UZ, es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones ~1 y u2 satisfacen ylu; + y& = 0. Esta hipótesis es pertinente porque si pedimos que ylu; +y2& = 0, la ecuación (5) se reduce ay;u; + y;u; =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos, aunque sea para determinar las derivadas U; y u;. Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema y*uí + y*u; = 0 YíUí + y;u; = f(x)

Sección 4.6 Variación de parámetros 165 Las funciones ut y 2.~ se determinan integrando los resultados en (6). Se ve que el determinante IV es el wronskiano de yl y y2. Sabemos, por la independencia lineal entre yt y y2 en Z, que W(`yt(x), yz(x)) # 0 para toda x en el intervalo.

Resumen del método Por lo general, no se aconseja memorizar fórmulas, sino más bien comprender un procedimiento. Sin embargo, el procedimiento anterior es demasiado largo y complicado para recurrir a él cada que deseemos resolver una ecuación diferencial. En este caso lo más eficaz es usar las formulas (6). Así, para resolver av? + aty' + soy = g(x), primero se halla la función complementaria y, = ctyt + ~2~2, y después se calcula el wronskiano W(yr(x), y&)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reduciday? + Py' + Qy =f(x) para hallar-f(x). Se determinan ut y u2 integrando, respectivamente, u; = WtIWy u; = WzIW, donde se definen WI y W 2 de acuerdo con (7). Una solución particular es y, = ulyl + 2~2~2. La solución general de la ecuación es, por consiguiente, y = yc + y,.

Solución general mediante variación de parámetros S O L U C I Ó N Partimos de la ecuación auxiliar m2 - 4m + 4 = (m - 2)2 = 0, y tenemos que yc = qe2 + c2xP. Identificamos yt = e& y y2 = xeti y calculamos el wronskiano

W(e*?, Xe?) =e2* Xe** 2e2* 2xe2X + e**= e4x Como la ecuación diferencial dada está en la forma reducida (3) (esto es, el coeficiente de y? es l), vemos quef(x) = (x + 1)e?. Aplicamos (7) y efectuamos las operaciones 0 xe*X w1 = (x + l)e*? 2xe2X + e*X= -(x + 1)xe4X, w, = e** 0 2e*? (x + l)e*? y así, según (6),

u; = - ( e4x -- x* -x, u; = t x `,-`?? x3 2 2 En consecuencia, u1=-3-2, y u2=5+x.

Entonces, y,= (-$-ZT)++ ($+x).,U= ($+g)eL1 Y y = y, + y, = clezx + c2xe2* +

SOLUCIÓN Primero llevamos la ecuación a su forma reducida (6) dividiéndola por 4: y? + 9y = $ csc 3x.

En virtud de que las raíces de la ecuación auxiliar rn2 + 9 = 0 son ml = 3i y m2 = -3i, la función complementaria es yC = CI cos 3x + c2 sen 3~. Sustituimos y1 = cos 3x, y2 = sen 3x yf(x) = $ csc 3x en las definiciones (7) y obtenemos

w,= Al integrar obtenemos Así, una solución W(cos O sen 3x f csc 3x 3 cos 3x cos 3x sen 3x 3 -3sen3x 3 cos3x = =--1 cos 3x 0 w, = 4 ' -3 sen 3x f csc 3x

w*- 1 cos3x u;=----1 - - Wl- W 12 y ? = W- 12sen3x 1 ul=-?zx y particular es 3x, sen 3~) = 4 sen 3x

YP = - 12 La solución general de la ecuación es y=y,+yp=cIcos3x+czsen3x - Ix cos 3x + $ (sen3x) lnjsen3xlt (8) . 12 La ecuación (8) representa la solución general de la ecuación diferencial en, por ejemplo, el intervalo (0,7r/6).

Constantes de integración Al determinar las integrales indefinidas de u; y u;, no necesitamos introducir constantes. Porque Y = Yc + Yp = WI + c2y2 + (Ul + al) y1 + (U2 + b,)yz = (Cl + a1)v1+ cc2 + WY2 + WY1 + u2y2 = ClYl + c2y2 + Ulyl + u2y2.

Secci6n 4.6 Variación de par6metros 167 S O L U C I Ó N La ecuaci6n auxiliar, m2 - 1= 0 da como resultado ml = -1 y rn2 = 1. Entonces, YC = qeï + czemX. Tenemos W(eX, e-?> = - 2 y P(llx) `z-p, Ul - 2

Se sabe bien que las integrales que definen a ut y u2 no se pueden expresar en términos de funciones elementales. En consecuencia, escribimos

y así En el ejemplo 3 podemos integrar en cualquier intervalo xg I t S x que no contenga al origen.

Ecuaciones de orden superior El método que acabamos de describir para las ecua- ciones diferenciales no homogéneas de segundo orden, se puede generalizar a ecuaciones lineales de orden n escritas en su forma est&ndar y'"' f P"&)y("-') + * - * -+ e(x f zl(4Y = f(x). (9) Siyc= qy1+ c2 y2 + *. . + c,, yn es la función complementaria de (9), una solución particular es

Yp = W>Yl(X) + ~Z(XlYZ(X) + . . . + UntxlYntx), enquelas&k= 1,2,. . . , n están determinadas por ias n ecuaciones Yl4 + y2u; + * * * + y,u; = 0 yíu; + y;u; f * * * + yAu,: = 0

en donde W es el wronskiano de yt, y2, . . . , yn, y wk es el determinante obtenido al sustituir la k-ésima columna del wronskiano por la columna

i) El método de variación de parámetros tiene una clara ventaja sobre el de los coeficientes indeterminados, porque siempre llega a una solución particular, yP, cuando se puede resolver la ecuación homogénea relacionada. Este método no se limita a una funciónf(x) que sea una combinación de los cuatro tipos de funciones de la página 121. En las ecuaciones diferenciales con coeficientes variables también se puede aplicar el método de la variación de parámetros, ii) En los problemas que siguen, no se debe vacilar en simplificar la forma de yp. De acuerdo con la forma en que se haya llegado a las antiderivadas de uí y ui, quizá el lector no llegue a la misma yP que aparece en la parte de respuestas; por ejemplo, en el problema 3 tanto y,, = f sen x - f x cos x como yP = f sen x - f x cos x son respuestas válidas. En cualquiera de los casos, la solución general y = y, + yP se simplifica ay = c1 cos x + cz sen x - f x cos x. iPor qué?

Resuelva cada una de las ecuaciones parámetros. Proponga un intervalo en 1. y? + y = sec x 3. y? + y = sen x 5. y? + y = co& 7. y? - y = cosh x 9. y" - 4y = 5 ll. yv + 3jJ' + 2y = & 13. y? + 3y' + 2y = sen ex E y?-2y'+y=& 17. y? + 2y' + y = e-x In x 19. 3~? - 6y' + 3Oy = ex tan 3x diferenciales en los problemas 1 a 24 por variación de que la solución general esté definida.

Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 169 21. y?' + y' = tan x 2 2 . y? + 4y' = sec 2x 2 3 . y?' - 2~? - y ' + 2y = e3x 2 4 . 2~?' - 6y? = x2 En los problemas 25 a 28 resuelva por variación de parámetros la ecuación respectiva, sujeta 2 5 . 4y? - y = xeX12 26. 2~? + y ' - y = x + 1 2 7 . y ? + 2y' - 8y = 2e-2x - e-? 2 8 . y ? - 4y' + 4y = (12~~ - 6x)e2? 29. Si y1 = x-l'* cos x y yz = x-l'* sen x forman un conjunto fundamental de soluciones de x'y? + xy' + (x* - i)y = 0 en (0, -), determine la solución general de

( 11 30. Si yl= cos(ln x) y y2 = sen@ x) son soluciones conocidas, linealmente independientes, de x*y? + xy' + y = 0, en (0, -), determine una solución particular de x2y? + xy' + y = sec(ln x).

Problemas para discusión 31. Determine la solución general de la ecuación diferencial del problema 30. Diga por qué el 32. Describa cómo se pueden combinar los métodos de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros para resolver la ecuación diferencial

ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER n Una ecuación diferencial lineal con coejcientes variables especiales n Ecuación auxiliarm Raíces de una ecuación auxiliar cuadr&ica n Formas de la solución general de una ecuación diferencial de Cauchy-Euler, lineal, homogénea y de segundo orden n Uso de variación de parámetros n Ecuaciones diferenciales de orden superiorm Reducción a ecuaciones con coeficientes constantes

exponenciales. Es más, este metodo de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes.

Ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional Toda ecuación dife- rencial lineal de la forma a,xn d?y - + un-p n-l -d?+-`v + al + a0y = g(x), ti UY- 2 donde los coeficientes a,,, a,,-1, . , , , ao son constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy-Euler, ecuación de Euler-Cauchy, ecuación de Euler o ecuación equidimensional. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k = n, n - 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciación, dky/&: iguales iguales 1 J 1,1, a,x ndzyn + anmlx ?I=, + *' *.

Al igual que en la sección 4.3, comenzaremos el desarrollo examinando detalladamente las formas de las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden ax2 2 + bx 2 + CY = 0.

La solución de ecuaciones de orden superior será an&loga. Una vez determinada la función complementaria y,(x) también podemos resolver la ecuación no homogenea m*y? + bxy' + cy = g(x) con el método de variación de parametros.

El coeficiente de d2yldx2 es cero cuando x = O; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuación de Cauchy-Euler, concentraremos nuestra atención en determinar la solución general en el intervalo (0, A). Se pueden obtener las soluciones en e/ intervalo (-, 0) sustituyendo t = -x en la ecuación diferencial.

Método de solución Intentaremos una determinar. La primera y segunda derivadas

-dyCmm-l Y dx En consecuencia solucibn de la forma y = x?, donde m esta por son, respectivamente, dx*

Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Eulsr 171 Así, y = x? es una solución de la ecuación diferencial siempre que m sea una soluci6n de la ecuación auxiliar am(m-l)+bm+c=O o am2+(b-a)m+c=O. (1) Hay tres casos distintos por considerar que dependen de si las raíces de esta ecuación cuadrática son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas. En el último caso las raíces seran un par conjugado.

CASO 1: raíces reales distintas Sean rnl y m2 las raíces reales de (l), tales que rn1 f m2. Entonces y, = ~`?1 y ys = x?* forman un conjunto fundamental de soluciones. Así pues, la solución general es y = c,xm' + c2P'. (2)

Ecuación de Cauchy-Euler: raíces distintas -1 B & S O L U C I Ó N En Iugar de memorizar la ecuación (l), para comprender el origen y la diferencia entre esta nueva forma de la ecuación auxiliar y la que obtuvimos en la sección 4.3 las primeras veces es preferible suponer que la solucibn es y = xm. Diferenciamos dos veces bu, mm-`, $ = m(m - l)xm-*, dx y sustituimos en la ecuación diferencial &Q - 2x dzY - 4y = x2 - m(m - l)x?-* - 2x *mii?-' - 4x? dx2 =x?(m(m-l)-2m-4)=x?(m2-3m-4)=0 si m2 - 3m - 4 = 0. Pero (m + l)(m - 4) = 0 significa que m1 = -1 y m2 = 4, así que y = c,x-' + c2x4. n

e identificamos P(x) = b/u.x e j (b/ux)dx = (Mu) In x. Así = Xm, x-bla . +m, dx c e-(bk,lnx = elnr-b'? = X-bla

X-blo . x(b-+ dx c -2m, = b = Xm, ( - a)/a I

x Entonces, la solución general es y = clPI + c2Xm' In x (3)

Ecuación de Cauchy-Euler: raíces repetidas Resuelva 4x2 fi + 8x !!?! + y = 0 u!2AC S O L U C I Ó N La sustitución y = xm da

cuando 4m2 + 4m + 1 = 0, o (2m + 1)2 = 0. Como ~tll= -$ la solución general es y = c1x-112 + c~x-?~ In x. n Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si rnl es raíz de multiplicidad k, entonces PI, x?' In x, fl'(ln x)~, . . ., z?l(ln x)!+l son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de esas k soluciones.

Sección 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 173 que, según la fórmula de Euler, es lo mismo que De igual manera, x-@ = cos@ In x) - isen@ In x).

Sumamos y restamos los últimos dos resultados para obtener x@ + x+ = 2 cos@ In x) y xiP - x-i!3 = 2i sen@ In x), respectivamente. Basándonos en quey = C#+@ + CzxcriO es una solución para todos los valores de las constantes vemos, a la vez, para CI = C2 = 1 y CI = 1, Cz = -1, que

yl = Xn(XiS + x-iB) o bien y1 = 2x? cos@ In x) también son soluciones. Como W(.P cos(/3lnx), (0, -), llegamos a la conclusión yl = xa cos@ In x) y, = XqxiP - x-`P) Y y y, = 2ix?sen(@ In x) xa sen@ In x)) = @?' f 0, ,0 > 0 en el intervalo

y y2 = xa sen@ In x) forman un conjunto fundamental de soluciones reales de la ecuación diferencial; por lo tanto, la solución general es y = xa[cl cos (p In x) + c2 sen(p In x)]. (4)

Un problema de valores iniciales Resuelva el problema de valor inicial xZ~+3x~+3y=0, y(l)=l,y'(l)=-5.

S O L U C I Ó N Tenemos que x&+ 3xdY,+3y=x?(m(m-1)+3m+3)=xm(m2+2m+3)=0 ak2 cuando m2 + 2m + 3 = 0. Aplicamos la fórmula cuadrática y vemos que rnl = -1 + 6i y m2 = -1 - fii. Si identificamos CY = -1 y p = fi, de acuerdo con (4), la solución general de - la ecuación diferencial es y = .rl[cl cos( ti In x) + c,sen( ti In x)].

Al aplicar las condiciones y(l) = 1, y'(l) = -5 a la solución anterior, resulta que cl = 1 y c2 = - 2 6 Así, la solución al problema de valores iniciales es

FIFURA 4.5 A continuación mostraremos un ejemplo de solución de una ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden.

Ecuación de Cauchy-Euler de tercer orden Resuelvax 3 d3y iz a!x3 a!2 SOLUCIÓN Las primeras tres derivadas dey = x? son $ = m?-l, $$ = m(m - ~)AF, $$ = mcrn - l)trn - 2p-3

así que la ecuación diferencial del problema se transforma en

? + 8y = x3m(m - l)(m - 2) .x?-~ + 5x2m(m - 1)~~ + ~xI>zT~-~ + 8~? = x*(m(m - l)(m - 2) + 5m(m - 1) + 7m -k 8) = xm(m3 f 2m2 + 4m + 8) = xm(m + 2)(m2 + 4) = 0.

En este caso vemos que y = x?' será una solución de la ecuación cuando mt = -2, m2 = 2i y ms = -2i. En consecuencia, la solución general es y = c1,c2 + c2 cos(2 In x) + qsen(2 In x). n

Dado que el método de los coeficientes indeterminados solo se puede aplicar a ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, no es aplicable directamente a una ecuación no En nuestro ultimo ejemplo emplearemos el método de variacion de parámetros.

Método de variación Resuelva la ecuación no homogénea x2y? SOLUCIÓN Sustituimos y = xm y kción 4.7 Ecuación de Cauchy-Euler 175

de parámetros llegamos a la ecuación auxiliar Antes de emplear variación de parámetros para encontrar una solución particular yp = uryt + ~2~2, recordemos que las fórmulas u; = WtIW y ui = W2/W (donde WI, IV2 y W son los determinantes definidos en la pagina 164) se dedujeron segun la hipótesis de que la ecuación diferencial se había puesto en la forma reducida, y? + P(x)y' + Q(x)y =f(x); por consiguiente, dividiremos la ecuación dada entre x2 y, de

identificamosf(x) = 2.~~8. Entonces, con y1 = x, yz = x3 y x 2 0 x3 0 WCI13x2I=2x3,w,=/2x2eX3x2/=-2x5eX,W,=I12x2eXl=2x3eJ encontramos 2x5eX -x2eX Y I - 2x3eX - ex ui=-2x3= u2 2x3 * La integral de la última función es inmediata; pero en el caso de u; integraremos dos veces por partes. Los resultados son ul= -28 + 2x8 -28 y 2.42 = 8; por consiguiente, y, = Wl f U2Y2 = (- x2ex + 2xex - 2e?)x + eJx3 = 2x2eX - 2xe?.

Por ultimo, llegamos ay = yC + yp = ctx + c2x3 + 2x2eX - 2xe'. n

donde t = III x. Este último resultado ilustra otro hecho matemático: toda ecuación de Cauchy-Euler siempre se puede escribir en la forma de una ecuación difereriial lineal con coeficientes constantes, mediante la sustitución x = e'. La idea es resolver la nueva ecuación diferencial en términos de la variable t siguiendo los métodos de las secciones anteriores, y una vez obtenido la solución general, restituir t = un x. Dado que con este procedimiento se repasa muy bien la regla de la cadena para diferenciación, se recomienda no dejar de resolver los problemas 35 a 40 en los ejercicios 4.7.

En los problemas 1 a 22 resuelva la 1. x2y? - 2y = 0 3. xy? + y' = 0 5. x2yn + xy' + 4y = 0 7 . x2y? - 3xy' - 2y = 0 9. 2Wy? + 25xy' + y = 0 ll. x2yv + 5xy' + 4y = 0 13. x2yM - xy' + 2y = 0 15. 3x2y? + 6xy' + y = 0 1 7 . x3y?' - 6y = 0 19. x3~-2x'd;2zy-2x~+8y=o

20. x3$2x2~+4xf$4y=0 21. .%+6$$=0 2. 4xZy? +y= 0 4. xy? - y' = 0 6. x2y? + 5xy' + 3y = 0 8 . x2yn + 3xy' - 4y = 0 1 0 . 4x2y? + 4xy' -y = 0 12. x2y? + 8xy' + 6y = 0 14. x2yN - 7xy' + 41y = 0 16. 2x2y? + xy' + y = 0 1 8 . x3y?' + xy' -y = 0

d4y dp3y+9x ,d2y dy 22. x~~+~x , dxZ+3xz+y=0

Resuelva los problemas 29 a 34 por el 29. xy? + y' = x 31. 2Sy? + 5xy' + y = x* - x 33. x*yn - xy' + y = 2x Sección 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 177

30. xy? - 4y' = x4 32. x*y? - 2xy' + 2y = x4ex 34. x*y? - 2xy' + 2y = x3 In x En los problemas 35 a 40 use la sustitución x = et para transformar la ecuación respectiva de Cauchy-Euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación mediante los procedimientos de las secciones 4.4 y 4.5.

35. d2Y dr x*-+10xdx+8y=x2 36. x2y? - 4xy' + 6y = In x* dx* 37. x2y? - 3xy' + 13y = 4 + 3x 38. 2x2y? - 3xy' - 3y = 1 + 2x + x* 39. x2y? + 9xy' - 2oy = 5 40. x3dlv -3x2$$+6xg-6y=3+lnx3 dx3 Problema para discusión 41. El valor del primer coeficiente, u,$, de toda ecuación de Cauchy-Euler es cero cuando x = 0. Se dice que 0 es un punto singular de la ecuación diferencial (véase sec. 6.2). Un punto singular es potencialmente problemático porque las soluciones de la ecuación diferencial pueden llegar a ser no acotadas o presentar algún comportamiento peculiar cerca del punto. Describa la naturaleza de los pares de raíces mt y m2 de la ecuación auxiliar de (1) en cada uno de los siguientes casos: 1) reales distintas (por ejemplo, rnl positiva y m2 positiva); 2) reales repetidas, y 3) complejas conjugadas. Determine las soluciones correspondientes y, con una calculadora graficadora o software graficador, trace `esas soluciones. Describa el comportamiento de esas soluciones cuando x + O+.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES W Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales W Operadores diferenciales lineales W Eliminación sistemática n Solución con determinantes Las ecuaciones diferenciales ordinarias simultaneas consisten en dos o más ecuaciones con derivadas de dos o más funciones desconocidas de una sola variable independiente. Si x, y y z son funciones de la variable f, 4%= -5x+y x'-3x+y'+ z'=5 Y x' - y' + 22' = t* 2d-2-y$=3x-y x + y' - 6~' = t - 1 son dos ejemplos de sistemas de ecuaciones diferenciales simultáneas.

Solución de un sistema Una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de funciones suficientemente diferenciables x = &(t), y = &(t), z = &(t), etc., que satisfacen cada ecuación del sistema en un intervalo común 1.

Eliminación sistemática El primer m&odo que describiremos para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes se basa en el principio alge- braico de la eliminación sistemhtica de variables. El análogo de multiplicar una ecuación algebraica por una constante es operar una ecuación diferencial con alguna combinación de derivadas. Para este fin, se reformulan las ecuaciones de un sistema en thninos del operador diferencial D. Recuérdese que, según la sección 4.1, una ecuación lineal única any@) + a,-,y@-`) + * * * -t aIyr + soy = g(t), endondelasat,i=O,l,..., n son constantes, se puede escribir en la forma (a,D? + a,-IDn-l + * * * + aID + ao)y = g(t).

El operador diferencial lineal de orden n, a,D? + a,-JY-' f 3. . + A&I + ao se representa en la forma abreviada P(D). Como P(D) es un polinomio en el símbolo D, podremos factorizarlo en operadores diferenciales de orden menor. Ademas, los factores de P(D) son conmutativos.

Sistema escrito en notacih de operador Escriba el sistema de ecuaciones diferenciales x?i2x'+y?-x+3y+sent x' + y' = -4x f 2y + e-l en notación de operador.

SOLUCIÓN El sistema dado se reescribe como sigue: x? f 2x' - x -k y? - 3y = sen t (02 + 20 - 1)~ + (D2 - 3)y = sen t de modo que x' + 4x + y' - 2y = e-' (D f 4)~ f (D - 2)y = e-`. H

Método de solución Se tiene el sistema sencillo de ecuaciones lineales de primer orden Dy=2n (1) Dx=3y 0, lo que es igual, 2x-Dy=0 (2) Dx - 3y = 0.

Sedn 4.8 Sistemor de ecuaciones heales 179 Si aplicamos D a la primera de las ecuaciones (2) y multiplicamos por 2 la segunda, para luego restar, se elimina la x del sistema. Entonces -D*y + 6y = 0 o sea D2y - 6y = 0.

Puesto que las raices de la ecuación auxiliar son ml = í16y rn2 = -$, se obtiene y(t) = c,efif + Qf+. (3) Si multiplicamos por -3 la primera de las ecuaciones (2) y aplicamos D a la segunda para despu& sumar, llegamos a la ecuación diferencial dx - 6~ = 0 en X. De inmediato resulta que x(t) = cîefit + c#?-+ (4) Las ecuaciones (3) y (4) no satisfacen el sistema (1) para cualquier elección de cl, CZ, ~3 y ~4. Sustituimos x(t) y y(t) en la primera ecuación del sistema original (1) y, después de simplificar, el resultado es (6, - 2c3)e/6' + (- tiC2 - 2c,)e-fi/6' = 0.

Como la última expresión debe ser cero para todos los valores de t, se deben cumplir las condiciones VGC, - 2c3 = 0 y -G,-2c,=o

es decir, c3 =v-zcl, ,23 (5) 2 2 c2* En consecuencia, una solución del sistema será

El lector puede sustituir las ecuaciones (3) y (4) en la segunda de las expresiones (l), para comprobar que rige la misma relación, (5), entre las constantes.

Solución por eliminación Resuelva Dx + (D + 2)y = 0 (D - 3)~ - 2y = 0. (6)

SOLUCIÓN Al operar con D - 3 en la primera ecuación, con D en la segunda y restando, se elimina la x del sistema. Entonces, la ecuación diferencial para y es [(D - 3)(D + 2) + 2DJy = 0 o sea (D2 + D - 6)~ = 0.

Dado que la ecuación característica de la ultima ecuación diferencial es m2 + m - 6 = (m - 2)(m + 3) = 0, llegamos a la solución y(t) = clezl + c2e-31. (7) Eliminamos y en forma similar y vemos que (0' + D - 6)~ = 0, de donde se obtiene x(t) = c3e2' + c4e-3t. (8) Como hicimos notar en la descripción anterior, una solución de (6) no contiene cuatro constantes independientes, porque el sistema mismo establece una restricción en el numero de constantes que se puede elegir en forma arbitraria. Al sustituir los resultados (7) y (8) en la primera ecuación de (6), el resultado es (4Cl + 2c3)e2' + (-c2 - 3c4)em3' = 0.

De 4cl + 2~3 = 0, y -c2 - 3~4 = 0 se obtiene cg = -2ct y q = - $ ~2. En consecuencia, una solución del sistema es

1 x(t) = -2cle2t - - c2em3' 3 n Como también pudimos despejar c3 y q en términos de CI y ~2, la solución del ejemplo 2 puede tener la forma alternativa x(t) = c3e2' + c4em3' y(t) = - ; c3e2' - 3c4em3'.

Al resolver los sistemas de ecuaciones conviene fijarse bien en lo que se hace pues a veces se consiguen ventajas. Si hubiéramos resuelto primero para x, luego podríamos haber hallado y y la relación entre las constantes mediante la última ecuación de (6). El lector debe comprobar que sustituir x(t) en y = $0~ - 3~) da como resultado y = - icse2' - 3c4eV3'.

Solución por eliminación Resuelva x' - 4x + y? = t* x'+ x+y'=O.

SOLUCIÓN Primero expresamos el sistema en notación de operadores diferenciales: (D - 4)x + LPy = t* (10) (D + 1)x + Dy = 0.

Sección 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 1 8 1

A continuación eliminamos x y obtenemos [(D + 1)W - (D - 4)D]y = (D + l)t2 - (D - 4)O 0 sea (D3 + 4D)y = tz + 2t.

Como las raíces de la ecuación auxiliar m(m2 + 4) = 0 son rnl = 0, rn2 = 2i y m3 = -2i, la función complementaria es y, =`CI.+ c2 cos 2t + c3sen2t.

Para determinar la solución particular y aplicaremos el método de los coeficientes indeter- minados, suponiendo que yp = A? + Bt !2 + Ct. Entonces y; = 3@ + 2Bt + C, y; = 6At + 2B, y; = 6A, y,?`+4y;=12At2+8Bt+6A+4C=t2+2t.

La última igualdad implica que 12A=l, 8B=2 y 6A+4C=O, porloqueA=$B=fyC=-$.Así

Y = yc + YjJ = Cl + c2 cos 2t + c3 sen2t `t3 + (11) $2 - + 12 Eliminamos y del sistema (10) y se llega a [(D - 4) - D(D + l)]x = t2 o sea (D2 + 4)~ = -t2.

Es obvio que xc = c4 cos 2t + c5 sen 2t y que el m&odo de los coeficientes indeterminados se puede aplicar para obtener una solucih particular de la forma Xi = A? + Bt + C. En este caso, al diferenciar y efectuar operaciones ordinarias de Igebra, se llega a x,., = - + ? + i, así que

Ahora bien, c4y c5 se pueden expresar en términos de cz y c3 sustituyendo las ecuaciones (ll) y (12) en alguna de las ecuaciones (9). Si empleamos la segunda ecuación obtendremos, despu& de combinar los términos, (c5 - 2c, - 2c2) sen 2t + (2~ + c4 + 2c3) cos 2t = 0 de modo que c5 - 2c4 -2cz=o y 2c5 + c4 + 2c3 = 0.

Si despejamos c4 y cs en términos de c2 y cs, el resultado es c4 = - 5 (4c* + 2c3) y c5 = ; (2c* - 4c3).

Finalmente se llega a una solución de (9), que es x(t) = - 5 (4Cz + 2Cj) COS 2t + 5 (2c, - 4c3)sen2t - + t2 + i y(t)=c~+c~cos2t+c3sen2t+~t3+$t2-it.

Regreso a un modelo matemático Según la sección 3.3, el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3) describe las cantidades de libras de sal q(t) y xz(t), en una salmuera que circula entre dos tanques. En aquella ocasión no pudimos resolver el sistema. Pero ahora lo haremos escri- biendo el sistema en términos de operadores diferenciales:

Operamos la primera ecuación con D + -;?;, multiplicamos la segunda por $,, las sumamos y simplificamos. El resultado es (625D2 + 1000 + 3)x, = 0.

FOITIIU~XIIQS la ecuación auxkrr, que es 625m2 + 100m + 3 = (25m + 1)(25m + 3) = 0, y vemos de inmediato que q(t) = c1e-t'z + c2e-3t'25.

De igual forma legamos a (6259 + 1000 + 3)~ = 0, así que Sustituimos XI(~) y x&) en, digamos, la primera ecuación del sistema y obtenemos (2cr - c3)e-t'2s + ( -2c2 - c4)e-3?25 * 0.

De acuerdo con esta ecuación, cg = 2ct y c4 = -2~. Entonces, una solución del sistema es q(t) = cl e-r'25 + c2e-3t'25 x2(t) = 2cle-?25 - 2c2e-3t'z.

Seccián 4.8 Sistemas de ecuaciones lineales 183 En la descripción original supusimos que las condiciones iniciales eran XI(O) = 25 y ~(0) = 0. Aplicamos esas condiciones a la solución, por lo que CI + cz = 25 y 2ct - 2~2 = 0. Al resolver simultáneamente esas ecuaciones, llegamos a cl = c2 = `;-. Así tenemos una solución del problema de valor inicial:

n Uso de determinantes Si Ll, L2, L3 y L4 representan operadores con coeficientes constantes, es factible escribir un sistema de ecuaciones les en las dos variables x y y como sigue: LlX + L2Y = g,(O L3x + L4y = g20).

Eliminamos variables, como lo haríamos en las ecuaciones algebraicas, y diferenciales lineales diferenciales linea-

(13) tenemos (LA - Jx3)x = fi(4 Y (LlL4 - uJ3)Y = mr (14) en donde fa) = L4gdO - Lzgz(t) Y Ji(t) = Lg2(0 - L3g*(O.

Los resultados de (14) se pueden expresar formalmente en términos de determinantes anftlogos a los que se usan en la regla de Cramer: (W El determinante del lado izquierdo de cada una de las ecuaciones (15) se puede desarrollar en el sentido algebraico usual y el resultado opera sobre las funciones x(t) y y(t). Sin embargo, hay que tener cuidado al desarrollar los determinantes del lado derecho de las ecuaciones ( 15). Se deben desarrollar cuidando que operadores diferenciales internos actúen realmente sobre las funciones gt(t) y g2(t).

Si I l Ll L2 fo L3 L4 en (15) y es un operador diferencial de orden n, entonces n El sistema (13) se puede descomponer y formar dos ecuaciones diferenciales de orden n Las ecuaciones características y, por lo tanto las funciones complementarias de esas n Como x y y contienen n constantes cada una, aparece un total de 2n constantes. n La cantidad total de constantes independientes en la solución del sistema es n.

Si 0 en (13), el sistema puede tener una solución que contiene cualquier cantidad de constantes independientes e incluso carecer de solución. Observaciones análogas se aplican a sistemas mayores que el de las ecuaciones (13).

Solución con determinantes Resuelva x' = 3x - y - 12 (16) y' = x + y + 4e'.

SOLUCIÓN Escribimos el sistema en notación de operadores diferenciales: (D - 3)x + y= -12 --ix + (D - 1)y = 4e'.

Aplicamos los determinantes ?-1' D!&= 1, D!,I ?-1' .`,ly= IDi3 ,;l( Desarrollamos y llegamos a (D - 2)2x = 12 - 4e' y (D - 2)2y = -12 - 8e'.

Sección 4.6 Sistemas de ecuaciones lineales 185 De ser posible resuelva cada sistema de ecuaciones diferenciales en los problemas 1 a 22 mediante eliminación sistemática o por determinantes.

En los problemas 23 y 24 resuelva el sistema respectivo, sujeto a las condiciones iniciales indicadas.

23. $ = -5x-y ? = 4x - y; x(l) = 0, y(l) = 1 2.Pd;=y-1 -d$y = -3x + 2y; x(O) = 0, y(O) = 0 25. Un cafíón dispara un proyectil cuyo peso es w = mg y cuya velocidad v es tangente a su trayectoria. Sin tener en cuenta la resistencia del aire y demás fuerzas, salvo su peso, formule un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento (Fig. 4.6). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: emplee la segunda ley de Newton del movimiento en las direcciones x y y.] 26. Deduzca un sistema de ecuaciones diferenciales que describa el movimiento del problema 2.5, si el proyectil se encuentra con una fuerza de retardo k (de magnitud 4, que obra tangente a la trayectoria, pero opuesta al movimiento (Fig. 4.7). Resuelva ese sistema. [Sugerencia: k es un múltiplo de la velocidad, es decir, CV.]

FIGURA 4.6 FIGURA 4.7

Sección 4.9 Ecuaciones no lineales 187 En el capítulo 2 señalamos que se pueden resolver algunas ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden, si son exactas, separables, homogéneas o quizá de Bernoulli. Aun cuando las soluciones estaban en forma de una familia a un parámetro, esta familia no representaba invariablemente la solución general de la ecuación diferencial. Por otra parte, al poner atención en ciertas condiciones de continuidad obtuvimos soluciones generales de ecuaciones lineales de primer orden. Dicho de otra manera, las ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden pueden tener soluciones singulares, mientras que las ecuaciones li- neales no. Pero la diferencia principal entre las ecuaciones lineales y no lineales de segundo orden o mayor es la posibilidad de resolverlas. Dada una ecuación lineal, hay la posibilidad de establecer alguna forma manejable de solución, como una solución explícita o una que tenga la forma de una serie infinita. Por otro lado, la solución de las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior es todo un desafio. Esto no quiere decir que una ecuación diferencial no lineal de orden superior no tenga solución, sino más bien que no hay métodos generales para llegar a una solución explícita o implícita. Aunque esto parece desalentador, hay algunas cosas que se pueden hacer. Siempre es factible analizar cuantitativamente una ecuación no lineal (aproximar una solución con un procedimiento numérico, graficar una solución con un Para empezar, aclaremos que las ecuaciones diferenciales no lineales de orden superior son importantes -incluso más que las lineales-, porque a medida que se afina un modelo matemático (por ejemplo, el de un sistema físico) se aumenta la posibilidad de que ese mode- Comenzaremos ejemplificando un método de sustitución que a veces permite determinar las soluciones explícitas o implícitas de tipos especiales de ecuaciones no lineales.

Uso de sustituciones Las ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden F(x, y', y?) = 0 en que falta la variable dependiente y, y las F(Y, y', y?) = 0 donde falta la variable in- dependiente,x, se pueden reducir a ecuaciones de primer orden mediante la sustitución u = y'. El ejemplo 1 muestra la técnica de sustitución para una ecuación tipo F(x, y', y?) = 0. Si u = y', la ecuación diferencial se transforma en F(x, U, u') = 0. Si resolvemos esta última ecuación podremos determinar y por integración. Dado que estamos resolviendo una ecuación de segundo orden, su solución tendrá dos constantes arbitrarias.

Falta la variable dependiente y 1 S O L U C I Ó N Si u = y', entonces du/a!x = y?. Después de sustituir, la ecuación de segundo orden se reduce a una de primer orden con variables separables; la variable independiente es x y la variable dependiente es U:

Por comodidad, la constante de integración se expresa como ct2. En los próximos pasos se aclarará la razón. Como 24-1 = Uy', entonces L&- 1 --~ dx 2+C,2' ak y=-I m o bien Y= - i tan-' : + c2. n

A continuación mostraremos la forma de resolver una ecuación de la forma F@, y', y?) = 0. De nuevo haremos u = y', pero como falta la variable independiente x, usaremos esa sustitución para transformar la ecuación diferencial en una en que la variable independiente sea y y la dependiente sea u. Con este fin usaremos la regla de la cadena para determinar la segunda derivada dey: yt, d-u du - du du d x dydx=`d;* Ahora, la ecuación de primer orden que debemos resolver es F(y, u, u du/dy) = 0.

Falta la variable independiente x S O L U C I Ó N Con la ayuda de u = y' y de la regla de la cadena que mostramos arriba, la ecuación diferencial se transforma en du dy =u2 osea u=y.

&= Y Al despejar u de la última ecuación en función de y, obtenemos u = cu, en donde hemos redefinido la constante fec como ~2. A continuación restituimos u = Gy/dr, separamos va- riables, integramos y de nuevo redefinirnos las constantes:

Uso de la serie de Taylor En algunos casos se puede aproximar una solución a un problema de valor inicial en que las condiciones iniciales se especifiquen en xe mediante una serie de Taylor centrada en xc.

Sección 4.9 Ecuaciones no hales 1 8 9 Si además suponemos que la solución y(x) del problema es analítica en 0, entonces y(x) tiene un desarrollo en serie de Taylor centrado en 0:

Nótese que los valores del primero y segundo términos en la serie (2) son conocidos, ya que se establecen en las condiciones iniciales y(O) = -1, y'(O) = 1. Además, la misma ecuación diferencial define el valor de la segunda derivada en 0: y?(O) = 0 + y(O) -y(O)* = 0 + (-1) - (-l)* = -2. A continuación se pueden determinar expresiones para las derivadas superiores y?`, yy . . , calculando las derivadas sucesivas de la ecuación diferencial:

y?(x)=$(x+y-y~)=l+y'-2yy' (3) y??`(X) = g (1 + y' - 2yy') = y? - 2yy? - 2(y')? (4) y'"'(x) = $y" -2yy"-2(y')2) = y"' - 2yy"'-fjy'y" (5)

etc. Sustituimos y(O) = -1 y y'(O) = 1 y vemos, de acuerdo con (3), que y?`(O) = 4. Con base en los valores y(O) = -1, y'(O) = 1 y y?(O) = -2, determinamos y@)(O) = -8 con la ecuación (4). Con la información adicional de que y?`(O) = 4 aplicamos la ecuación (5) y llegamos a y(?)(O) = 24. Entonces, según (2), los seis primeros términos de una solucih en serie del problema de valores iniciales (1) son 1 y(x)= -1 +x-x?+;x3-3x4+~x5+. . . . n

Empleo de un programa ODE soh?r Es posible examinar la ecuación del ejemplo 3 usando un ODE solver. En la mayor parte de los programas de cómputo, a fm de examinar num&icamente una ecuacih diferencial de orden superior se necesita expresar la ecuación diferencial en forma de un sistema de ecuaciones. Para aproximar la curva de solución de un problema de valores iniciales de segundo orden g =f(x,y,y'), Y (xo) = Yo, Y'(Xo) = Yl se sustituye dy/& = u y entonces d *y/& = du/ak La ecuación de segundo orden se transforma en un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, en las variables dependientes YYU:

Análisis gráfico del ejemplo 3 De acuerdo con el procedimiento anterior, el problema de valores iniciales de segundo orden, del ejemplo 3, equivale a

du -=x+y-y2 dx cuyas condiciones iniciales Sony(O) = -1, u(O) = 1. Con ayuda de estos programas se obtiene la curva solución que aparece en gris en la figura 4.8. Para comparar se muestra también la curva en negro del polinomio de Taylor de quinto grado í?s(x) = -1 + x -x2 + %3 - $x? + 9'. Aunque no conocemos el intervalo de convergencia de la serie de Taylor que obtuvimos en el ejemplo 3, la cercanía de las dos curvas en la vecindad del origen sugiere la posibilidad de convergencia de la serie en el intervalo (-1, 1). w

La gráfica en gris de la figura 4.8 origina algunas preguntas cualitativas: ¿La solución del problema original de valor inicial cuando x + 00 es oscilatoria? La gráfka, generada con un programa en el intervalo más grande de la figura 4.9 parecería sugerir que la respuesta es sí. Pero este solo ejemplo por sí solo, o hasta un conjunto de ejemplos, no contesta la pregunta bá- sica de si todas las soluciones de la ecuación diferencial y? = x + y - y' son de naturaleza oscilatoria. También, iqué sucede con la curva de solución en la figura 4.8 cuando x está cerca de -l? ¿Cuál es el comportamiento de las soluciones de la ecuación diferencial cuando x + =? En general, Llas soluciones son acotadas cuando x + m? Preguntas como las anteriores

Y t I polinomio de Tavlor ll/ - curva de solución generada con un programa

Sección 4.9 Ecuaciones no lineales 191 no tienen respuesta fácil cuando se trata de ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden, pero algunos tipos de estas ecuaciones se prestan a un anhlisis cualitativo sistemático. Las ecuaciones no lineales de segundo orden de la forma

JYY, Y', Y'? = 0 0 sea $$ =f((Y, Y') (esto es, ecuaciones diferenciales sin dependencia explícita de la variable independiente X) se llaman autónomas. La ecuacih diferencial del ejemplo 2 es autónoma; la ecuación del ejemplo 3 es no authoma.

En los problemas 1 y 2 compruebe que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial dada, pero que y = CVI + c2y2 no lo es, en general.

1. (yU) = y2; y, = ex, yz = cos x 2. yy? = + (y')2; y1 = 1, y2 = xz

Resuelva la ecuación diferencial correspondiente a cada uno de los problemas 3 a 8, con la 3. y? + (y')? + 1 = 0 4 y ? = 1 + (y')? 5. x2y? + (y')' = 0 6. (y + 1)~? = (y')? 7. y? + 2y(y')3 = 0 8. y?y? = y' 9. Determine la solución del problema de valor inicial y? + yy' = 0, y(O) = 1, y'(O) = -1.

Use un programa ODE solver para graficar la curva de solución. Trace la solución explicita con una calculadora graficadora. Determine un intenialo de validez de la soluci6n. 10. Establezca dos soluciones al problema de valor inicial

valor inicial. Use un ODE solver y una calculadora graficadora para comparar la curva solución 13. y? = x + y*, y(O) = 1, y'(O) = 1 14. y? + y* = 1, y(O) = 2, y'(O) = 3 15. yv = x2 + y* - 2y', y(O) = 1, y'(O) = 1 16. y? = ey, y(O) = 0, y'(O) = -1 1 7 . En clculo diferencial, la curvatura de una curva representada por y =f(x) se define como sigue:

Determine una función, y =f(x), para la cual K = 1. [Sugerencia: por simplicidad, no tenga en cuenta las constantes de integración.] 1 8 . Un modelo matemhtico de la posición, x(t), de un cuerpo con movimiento rectilíneo en el eje x dentro de un campo de fuerzas que varhn con la inversa del cuadrado de la distancia es d2x k2 -=--* dt2 x2 Suponga que cuando t = 0, el cuerpo parte del reposo en la posiciónx =xo, xg > 0. Demuestre que la velocidad del objeto en cualquier momento está definida por

Use esa ecuación en un sistema algebraico de computación para llevar a cabo la integración y expresar al tiempo t en función de x.

Sección 4.9 Ecuaciones no hea~es 193 conocimientos acerca de las ecuaciones lineales. Sin tratar de comprobar, describa por qué las dos combinaciones lineales especiales, y = ctd; + csemX y yz = cg cos x + q sen x, deben satisfacer la ecuación diferencial.

Resuelva los problemas 1 a 10 sin consultar el texto. Llene el espacio en blanco o conteste cierto o falso. En algunos casos quizás haya más de una respuesta correcta. 1. La solución única dey? + x'y = 0, y(O) = 0, y'(O) = 0 es 2. Si dos funciones diferenciables, J(x) y b(x), son linealmente independientes en un intervalo, WY;(x),fz(x)) # 0 para cuando menos un punto en el intervalo. 3. Dos funciones,ft(x) yf,(x), son linealmente independientes en un intervalo si una no es 4. Las funcionesft(x) = x2,f2(x) = 1 - x2 yf3(x) = 2 + x2 son linealmente en el 5. Las funciones fi(x) = x2 y fi(x) =xx11son linealmente independientes en el intervalo y lineahnente dependientes en el intervalo 6. Dos soluciones, yt y ~2, de y? + y' + y = 0 son linealmente dependientes si W@r, yz) = 0 7 . Un múltiplo constante de una solución de una ecuación diferencial también es una solución.

8 . Existe un conjunto fundamental de dos soluciones de (x - 2)~? +y = 0 en cualquier intervalo que no contenga al punto 9. Para el método de los coeficientes indeterminados, la forma supuesta de la solución particular, y,, dey? - y = 1 + ex es 10. Un operador diferencial que anula a e2?(x + sen x) es En los problemas ll y 12 determine una segunda solución de la ecuación diferencial, si YI ll. y? + 4y = 0, y, = cos 2x 12. xy? - 2(x + 1)~' + (x + 2)y = 0, yl = ex En los problemas 13 a 20 determine la solución general de cada ecuación diferencial. w. y? - 2y' - 2y = 0 14. 2y? + 2y' + 3y = 0 15. y?' + lOy? + 25~' = 0 16. 2~?' + 9~? + 12~' + 5y = 0 17. 3y'? + 1Oy? + 15y' + 4y = 0 18 2!!Y+3tJ!+2blY+6dyz-4y=o l dx4 aY dx2

En los problemas 21 a 24 resuelva cada ecuación, con el método de los coeficientes indetermi- 21. y? - 3y' + 5y = 4x3 - 2x 22. y? - 2y' + y = x2ex 23. y ?' - 5y?+6y'=2senx+8 24.y?-y?=6 En los problemas 25 a 28 resuelva la ecuación diferencial correspondiente sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

25. y? - 2y' + 2y = 0, 0 ; = 0, y(a) = -1 y 26. y? - y= x + 3en x, = 2, y'(O) = 3 y(O) 27. y'y? = 4x, y(l) = 5, y'(l) = 2 28. ayu = 3y2, y(O) = 1, y'(O) = 1 Resuelva cada ecuación de los problemas 29 a 32 aplicando el método de variación de parhmetros.

29. y? - 2y' + 2y = e' tan x 30. y-y=& 31. x2y? - 4xy' + 6y = 2x4 + x2 32. x2y? - xy' + y = x3 En los problemas 33 y 34 resuelva la ecuación diferencial respectiva sujeta a las condiciones iniciales indicadas.

34, y? + y = sec3x, y(O) = 1, y'(O) = $ En los problemas 35 a 38 aplique el mdtodo de eliminación sistemhtica o el de determinantes para resolver ca& uno de los sistemas.

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado 5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre 5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado 5.1.4 Sistemas an&logos 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera 5.3 Ecuaciones no lineales Ejercicios de repaso

Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Por este motivo, en la sección 5.1 examinaremos con mayor de- talle una aplicación, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal ay? + by' + cy = g(t), veremos que los procedimientos matemáticos para manejar, por ejemplo, un circuito eléctrico en serie son idénticos a los que se emplean en un sistema vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuación diferencial de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. En la sección 5.1 sólo estudiaremos problemas devalor inicial. En la sección 5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera, además de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores propios y funciones propias. La sección 5.3 se inicia con una descripción de las diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cómo el péndulo simple y un alambre suspendido nos llevan a modelos no lineales.

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL n Sistema lineal dinámico H Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento w Sistema de resorte y masa w Movimiento libre no amortiguado W Movimiento armónico simple n Ecuación del movimiento w Amplitud n Ángulo de f2ue n Resorte desgastable w Movimiento libre amortiguado w Movimiento forzado w Términos transitorios y de estado estable W Resonancia pura W Circuitos en serie

En esta sección revisaremos varios sistemas dinhicos lineales (pág. 127) en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes d*y dy `2% + al dt No olvidemos que la función g es la entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a co que satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = yo, y'(to) =y1.

5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

soporte rfgido resorte sin estirar 8 Ib en reposo 64 0.4 Cc) FIGURA 5.1

Sección 5.1 Ecuaciones lineoles: problemas de valor inicial 197

esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira i pie un resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie.

Segunda ley de Newton Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración AZS. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32 ft/s2, 9.8 m/s2 o 980 cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura 5.2(b), la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso: mf$=-k(s+n)+ mg= -kx+mg-ks= -kx. (1) cero

El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplaza- mientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos (Fig. 5.3).

c;:, c;:, c;:, c;:, (27 r,-+-Le----- LI I: t xo posición de equilibrio ---1-- mg-h=0 !m!!f movimiento (al (b) (cl FIGURA 5.2 FIGURA 5.3

Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2xldt 2 + (k/m)x = 0, 0 sea

x(O) = o, la cantidad de desplazamiento inicial, y x'(O) = ,B, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si QI > 0, ,LI < 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si cr < 0, ,0 = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado IcyJ unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera.

Solución y ecuación del movimiento Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 + w2 = 0 son los números complejos mt = wi, m2 = -wi. Así, según (8) de la sección 4.3, la solución general de (2) es x(t) = cl cos wt + c2 sen of. (3) El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 27r/w, y la frecuencia es f = l/T = wl2n. Por ejemplo, para x(t) = 2 cos 3t - 4 sen 3t, el periodo es 21rf3 y la frecuencia es 3l21r. El número anterior indica que la gráfica de x(t) se repite cada 27r/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/27r vibraciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 27r/w es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t). Téngase en mente que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de esa posición. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes ct y c:! en la ecuación (3), se dice que la solución particular que resulta es la ecuación del movimiento.

Interpretación de un problema de valor inicial Resuelva e interprete el problema de valor inicial 2 + 16~ = 0, x(O) = 10, x'(O) = 0.

SOLUCIÓN El problema equivale a tirar hacia abajo.una masa unida a un resorte 10 unidades de longitud respecto de la posición de equilibrio, sujetarla hasta que t = 0 y soltarla desde el reposo en ese instante. Al aplicar las condiciones iniciales a la solución x(t) = CI cos 4t + c2 sen 4t se obtiene x(O) = 10 = ct 1 + c2 . 0, y entonces ct = 10; por consiguiente x(t) = 10 cos 4t + c2 sen 4t.

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 1 9 9

ta) X masa abajo de la posición de equilibrio t/ I masa arribha de la posicibn de equilibrio (b) FIGURA 5.4

Movimiento libre no amortiguado Una masa que pesa 2 Ib hace que un resorte se estire 6 in. Cuando t = 0, la masa se suelta desde un punto a 8 in abajo de la posición de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba, de f ft/s. Deduzca la ecuación del movimiento libre.

SOLUCIÓN Como empleamos el sistema técnico de unidades inglesas, las medidas expresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 6 ín = i ft; 8 in = 3 ft. Además, debemos convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de masa. Partimos de m = W/g y, en este caso, m = 1?; = h slug. También, según la ley de Hooke, 2 = k(i) implican que la constante del resorte es k = 4 lb/ft; por lo tanto, la ecuación (1) se transforma en hS=-4x 0 $ + 64.~ = 0.

Forma alternativa de x(t) Cuando CI # 0 y c2 # 0, la amplitud A de las vibraciones libres no se puede conocer de inmediato examinando la ecuación (3). Esto es, aunque la masa tiene un desplazamiento inicial de : de pie respecto a la posición de equilibrio en el ejemplo 2, la amplitud de las vibraciones es mayor de f; por lo anterior, a menudo conviene pasar una solución de la forma (3) a la forma más simple x(t) = A sen(wt + 4), (6) donde A = dm y (b es un ángulo de fase definido por

(7) Para comprobarlo, desarrollamos la ecuación (6) aplicando la fórmula del seno de la suma: A senot cos 6 + A cos ot sen 4 = (A sen 4) cos wt + (A cos 4) sen wt. (8) En la figura 5.5 tenemos que si definimos 4 mediante sen4=v&=2, la ecuación (8) se transforma en

FIGURA 5.5 Forma alternativa de solución de (5) En vista de lo que acabamos de explicar, podemos escribir la solución (5) del ejemplo 2 como sigue: x(t) = 5 cos 8t - i sen 8r 0, lo que es lo mismo, x(t) = A sen@ + 4 ).

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 0 1

El lector debe tener cuidado al calcular el ángulo de fase 4, definido por (7). Cuando cl = f y c2 = - t , resulta que tan 4 = -4 y con una calculadora obtenemos tan-`(-4) = -1.326 rad.* Pero este ángulo está en el cuarto cuadrante y, por consiguiente, contraviene el hecho que sen #J > 0 y cos 4 < 0 (recordemos que ct > 0 y c2 < 0). Entonces, debemos suponer que 4 es un ángulo que está en el segundo cuadrante, 4 = T + (-1.326) = 1.8 16 rad. Así llegamos a

La forma (6) es útil porque con ella es fácil determinar valores del tiempo para los cuales la gráfica de x(t) cruza el eje positivo de las t (la línea x = 0). Observamos que sen(wt + 4 ) = 0 cuando wt + 4 = mr, donde n es un entero no negativo.

Sistemas con constantes de resorte variables En el modelo anterior supusimos un mundo ideal, en que las características físicas del resorte no cambian con el tiempo. Sin embargo, en el mundo real es lógico esperar que cuando un sistema resorte y masa ha estado en movimiento durante largo tiempo, el resorte se debilite (o ?pierda brío?); en otras palabras, la ?constante? de resorte va a variar o, más concretamente, decaerá a través del tiempo. En el modelo del resorte desgastable, la función decreciente K(t) = ke?`, k > 0, Q! > 0 sustituye a la constante de resorte k en (1). La ecuación diferencial mx? + ke-?Ix = 0 no se puede resolver con los métodos que vimos en el capítulo 4; sin embargo, podemos obtener dos soluciones linealmente independientes con los métodos del capítulo 6. Véanse los problemas 15, ejercicios 5.1; el ejemplo 3, sección 6.4, y los problemas 39 y 40, ejercicios 6.4. Cuando un sistema de masa y resorte se somete a un ambiente en que la temperatura es rápidamente decreciente, la constante k se podrá cambiar con K(t) = kt, k > 0, función que crece con el tiempo. El modelo resultante, mx? + ktx = 0 es una forma de la ecuación diferencial de Airy. Al igual que la ecuación de un resorte envejecido, la de Airy se puede resolver con los métodos del capítulo 6. Véanse el problema 16, en los ejercicios 5.1; el ejemplo 4, en la sección 6.2, y los problemas 41 a 43, en los ejercicios 6.4.

5 1 . 2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Según se advierte en la figura 5.6, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectada a un dispositivo amortiguador.

Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre Enmecát&a, se COn- sidera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dr/dt. Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:

(b) FIGURA 5.6 donde p es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Al dividir la ecuación (10) por la masa m, la ecuacion diferencial del movimiento amortiguado libre es d *xldt * + (p/m)a!x/dt + (Wm)x = 0, o sea d*x ~ + 2x $ + w*x = 0, dt2 2h ,P w2 ,k m' m' El símbolo 2X sólo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda m* + 2Xm + w* = 0 y las raíces correspondientes son Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de X* - w*. Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento e-?, X > 0, los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 203

(al 7(4 x t L- (b) (b) FIGURA 5.7 FIGURA 5.8

Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura 5.7 muestra dos gráficas posibles de x(t).

CASO II: X2 - J = 0. Se/dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminuc$jn de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (ll) es x(t) = cr em1' + c$emlf, es decir, `x(t) = emhf (CI + qt). (14) En la figura 5.8 vemos dos típicos gráficos de este movimiento. Obsérvese que se parecen mucho a los de un sistema sobreamortiguado. También se aprecia, según la ecuación (14), que la masa puede pasar por la posición de equilibrio, a lo más una vez.

CASO III: X2 - J < 0. Se dice que el sistema está subamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces 1121 y m2 son complejas: ml=-h+VLTCi, mz=-h--i.

Entonces, la solución general de la ecuación (ll) es X(t) = e-?(cl COs 47TTt+ ~2 sen &FFt). (15) Como se aprecia en la figura 5.9, el movimiento que describe (15) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente emXf, las amplitudes de vibración tienden a cero cuando t + M.

Movimiento sobreamortiguado Se comprueba fácilmente que la solución del problema de valor inicial $+5$+4x=o, x(O) = 1, x'(O) = 1 e s x(t) = $ e-' - $ e-Q, El problema se puede interpretar como representando el movimiento sobreamortiguado de una masa unida a un resorte. La masa comienza desde una posición 1 unidad abuso de la Para graficar x(t), se calcula el valor de t donde la función tiene un extremo; esto es, el valor del tiempo para el que la primera derivada (velocidad) es cero. Al derivar la ecuación (16) se llega a x'(t) = - feef + $z~~, así que x'(t) = 0 implica que e3' = :, o sea t = f In! = 0.157. De acuerdo con el criterio de la primera derivada y con la intuición física, ~(0.157) = 1.069 ft es, en realidad, un máximo. En otras palabras, la masa llega a un desplazamiento extremo También debemos comprobar si la gráfica cruza al eje t; esto es, si la masa pasa por la posición de equilibrio. Esto no puede suceder en este caso, porque la ecuación x(t) = 0, o e3t = $ tiene la solución t = i In t = -0.305 que es físicamente irrelevante. En la figura 5.10 mostramos la gráfica de x(t) y algunos de sus valores. n

1 0.601 1.5 0.370 2 0.225 2 . 5 0.137 3 0.083 (b) FIGURA 5.10

Movimiento críticamente amortiguado Una masa de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento numéri- camente igual a 2 veces la velocidad instantánea actúa sobre el contrapeso, deduzca la ecuación del movimiento si la masa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba de 3 ft/s.

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 205

SOLUCIÓN De acuerdo con la ley de Hooke, 8 = k(2) da k = 4 lb/ft. Entonces W = mg da m = &. = 1 slug. Entonces la ecuación diferencial del movimiento es 32 4

-1 d-*=x -4x-2& -dt2 4 dt2 d t ' sea cs~+l6x=o. (17) La ecuación auxiliar de (17) es m2 + 8m + 16 = (m + 4)2 = 0, de forma que rn1 = m2 = -4. Luego el sistema es críticamente amortiguado y x(t) = cle-4f + c2te-41. (18) Al aplicar las condiciones iniciales x(O) = 0 y x'(O) = -3 vemos, a su vez, que cl = 0 y ca = -3. Así, la ecuación del movimiento es x(t) = -3teL41. (19) Para graficar x(t) procedemos igual que en el ejemplo 4. De x'(t) = -3eA'( 1 - 4t) tenemos que x'(t) = 0 cuando t = a. El desplazamierito extremo correspondiente es x(i) = -3(-$e-' = -0.276 ft. En la figura 5. ll vemos que poqemos interpretar este valor como el punto en que el contrapeso alcanza una altura máxima de 0.276 ft sobre su posición de equilibrio.

máxima sobre la posición de equilibrio FIGURA 5.11 Movimiento subamortiguado Un objeto que pesa 16 Ib se une a un resorte de 5 ft de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 ft. Si el peso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 ft arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). Considere que el medio que rodea al sistema ofrece una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea.

Por último, las condiciones iniciales x(O) = -2 y x'(O) = 0 determinan las constantes CI = -2 y c2 = - $ así que la ecuación de movimiento es

Forma alternativa de x(t) De manera idéntica al procedimiento que empleamos en la página 200, podemos escribir cualquier solución 44 = e-*`(cl cos VGFTiYt + c2 sen ViFA) en la forma alternativa x(t) = Ae-? sen (JZQFt + c$), (23) en donde A = wy el ángulo de fase C$ queda determinado por las ecuaciones

En ocasiones, el coeficiente AewX' se denomina amplitud amortiguada de las vibraciones. Dado que la ecuación 23) no es una función periódica, el mímero 27rlm se llama cuasiperiodo y d3-X2/2n es la cuasifrecuencia. El cuasiperiodo es el intervalo de tiempo entre dos máximos sucesivos de x(t). El lector debe comprobar que en la ecuación de movi- miento del ejemplo 6, A = 2 m/3 y 4 = 4.391. En consecuencia, una forma equivalente de (22) es 2m x(t) = -3 C'sen(3t + 4.391).

5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forrado Ecuación diferencial del movimiento forzado con amortiguamiento Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa, f(t), que actúa sobre una masa oscilatoria en un resorte; por ejemplo,f(t) podría representar una fuerza de impulsión que causara un movimien- to oscilatorio vertical del soporte del resorte (Fig. 5.12). La inclusión dey(t) en la formulación de la segunda ley de Newton da la ecuación diferencial del movimiento forzado: d2x mz= -kx - /3$ + f(t).

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 207 r--------* I---,,---A `-2: ------2:?---- -

t FIGURA 5.12 donde F(t) =f(t)lm y, al igual que en la sección anterior, 2X = /3/m, w2 = Wm. Para resolver esta ecuación no homogénea tenemos el método de los coeficientes indeterminados o el de la variación de parámetros.

mm Interpretación de un problema de valor inicial Interprete y resuelva el problema de valor inicial

;2+ 1.2% +2X=5cos4t, x(O) = ;, x'(O) = 0. (W

S O L U C I Ó N Podemos ver el problema como la representación de un sistema vibratorio formado por una masa (m = 5 slug o kg) unida aun resorte (k = 2 lb/ft o N/m). La masa parte del reposo a f unidad (ft o m) abajo de su posición de equilibrio. El movimiento es amortiguado (B = 1.2) y está impulsado por una fuerza externa periódica (T = 7r/2 s) que se inicia cuando t = 0. Cabría esperar, intuitivamente, que aun con amortiguamiento el sistema permanecerá en movimiento hasta el momento en que la función forzada se ?desconectara? y en adelante las amplitudes disminuyeran; sin embargo, tal como está enunciado el proble- Primero multiplicamos por 5 la ecuación diferencial (26)

y la resolvemos con los métodos acostumbrados. Dado que rnl = -3 + i, rn2 = -3 - i, entonces x,(t) = ev3'(c1 cos t + c2 sen t).

de modo que El sistema resultante de ecuaciones -6A + 24B = 25. -24A - 6B = 0 tiene las soluciones A = - $ y B = g. En consecuencia

x(t) = ew3'(c1 cos t + c*sen t) - $2 cos 4t + SDsen4t (27) 51 * Cuando hacemos t = 0 en la ecuacion de arriba obtenemos ct = $. Si diferenciamos la expresión y hacemos t = 0, obtenemos c2 = -$ por consiguiente, la ecuación de movimiento es x(t) = e-3r - cos t - -sen t 38 86 -$jCOs4t+$sen4t. (28) n 51 51

Términos transitorio JJ de estado estable Obsérvese que la función complemen- taria x,(t) = ev3' g cos t - Esen t (1 en la ecuación (28) tiene la propiedad de que límt + _ xc(t) = 0. Como xc(t) se vuelve insignifi- cante (es decir, + 0) cuando t + 00, se dice que es un término transitorio o solución transitoria. Así, cuando el tiempo es grande, los desplazamientos de la masa del problema anterior son muy bien aproximados por la solución particular x,,(t). Esta última función se llama también solución de estado estable, de estado estacionario o de estado permanente. Cuando F es una función periódica, como F(t) = FO sen yr o F(t) = FO cos -$, la solución general de la ecuación (25) esta formada por x(t) = parte transitoria + parte estable.

Soluciones transitorias y de estado estable Se demuestra con facilidad que la solución del problema de valor inicial

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 209

ta) x(t) (b) FIGURA 5.13 Ecuaciones diferenciales del movimiento forzado sin amortiguamiento Cuando se ejerce una fuerza periódica y no existe fuerza de amortiguamiento, no hay parte transitoria en la solución de un problema. Veremos también que si se ejerce una fuerza periódica cuya frecuencia es igual o casi igual a la de las vibraciones no amortiguadas libres, se puede originar un grave problema en un sistema mecánico oscilatorio.

Movimiento forzado no amortiguado Resuelva el problema de valor inicial g2 + w2x = Fo sen yt, x(O) = 0, x'(O) = 0, (2% 1 en donde FO es constante y y # w.

S O L U C I Ó N La función complementaria es xc(t) = cl cos wt + c2 sen wt. Para obtener una solución particular supondremos que x,,(t) = A cos yt + B sen rt, de modo que xp? + w2xp = A(w2 - 7?) cos yt + B(a2 - y2) sen yt = Fosen yt.

y obtenemos cl = 0 y c2 = -~F&J(w~ - y); por lo tanto, la solución es

x(t) = flJ(w2Fo- y?) (-ysenot + osenyt), y # 0. (30) n

Resonancia pura Aunque la ecuación (30) no está definida cuando y = w, es interesante observar que su valor límite, cuando y + w, se puede obtener aplicando la regla de L'Hôpital. Este proceso al límite equivale a una ?sintonización? de la frecuencia de la fuerza impulso- ra ($2~) con la de las vibraciones libres (w/27r). Esperamos intuitivamente que al paso del tiempo podamos aumentar sustancialmente las ampitudes de vibración. Para y = w, la solución se define como sen ot + 0 sen yt) -ysenot + osenyt = F lfm%dy x ( t ) = límFo Y-- w(w? - y2) 0 Y-t0 -$ (03 - wy2) -sen ot + wt cos yt = Folím Y-w -2oy -sen ot + ot cos ot = Fo -202 Fo Fo =-senot--tcosot. (31) 202 20 Como lo esperábamos, cuando t + 00, los desplazamientos crecen; de hecho, Ix( + = cuando t,=n?riw,n=1,2,. . . El fenómeno que acabamos de describir se llama resonancia pura. La gráfica de la figura 5.14 muestra un movimiento característico de este caso. En conclusión, se debe notar que no hay una necesidad real de emplear un proceso al límite en (30) para llegar a la solución para y = w. También, la ecuación (31) es consecuencia de resolver el problema de valor inicial d2x 2 + 02x = Fo sen ot, x(O) = 0, x'(O) = 0 Si una fuerza como la (31) representa en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. En último término, las oscilaciones grandes de la masa forzarían al resorte a rebasar su límite elástico. También se podría decir que el modelo

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 1 1

resonante de la figura 5.14 es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos retar- dantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. Si bien es cierto que no se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, también es cierto que se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración (pero acotadas cuando t + -). Véase el problema 43 en los ejercicios 5.1.

5.1.4 Sistemas análogos Circuitos en serie LRC Según planteamos en la introducción a este capítulo, diversos sistemas físicos se pueden describir con una ecuación diferencial lineal de segundo orden semejante a la de las oscilaciones forzadas con amortiguamiento: m$+P$+kx=f(t). (32) Si i(t) representa la corriente en el circuito elhtrico en serie LRC de la figura 5.15, las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitar son las que muestra la figura 1.13. De acuerdo con la segur@ ley de Kirchhoff, la suma de esas caídas es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; esto es,

Pero i = dq/&relaciona la corriente i(t) con la carga del capacitar q(t), de manera que la ecuación (33) se transforma en la ecuación diferencial lineal de segundo orden dt= La nomenclatura que se emplea en el análisis de circuitos es similar a la que se usa en los Si E(t) = 0, las vibraciones elhctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuación auxiliar de la (34) es Lm2 + Rm + l/C = 0, habrá tres formas de la solución cuando R # 0, dependiendo del valor del discriminante @ - 4L/C. Se dice que el circuito es sobreamortiguado si Rz-4L/C>O, críticamente amortiguado si R2 - 4LIC = 0, Y subamortiguado si R2 - 4LIC < 0.

En cada uno de esos tres casos, la solución de (34) contiene el factor eeRaL, así que q(t) + 0 cuando t + 00. En el caso subamortiguado, cuando q(O) = qo, la carga en el capacitar oscila según decrece; en otras palabras, el capacitar se cargay descarga cuando t + 00. Cuando E(t) = 0 y R = 0, se dice que el circuito es no amortiguado, y las vibraciones eléctricas no tienden a cero cuando t aumenta sin límite; la respuesta del circuito es armónica simple.

Circuito en serie subamortiguado Determine la carga q(t) en el capacitar de un circuito en serie LRC, cuando L = 0.25 henry (h), R = 10 ohms (Q), C = 0.001 farad (f), E(t) = 0, q(O) = qo coulombs (C) e i(O) = 0 amperes (A).

S O L U C I Ó N Como 1 lC = 1000, la ecuación 34 se transforma en i q? + 1Oq' + 1OOOq = 0 0 sea q? + 4Oq' + 4oooq = 0.

Al resolver esta ecuación homogénea como de costumbre, tenemos que el circuito es subamortiguado y que q(t) = e-`Ot(cr cos 60t + c2 sen 60t). Aplicamos las condiciones iniciales y obtenemos que cl = qo y c2 = qo/3. Entonces (1 Mediante la ecuación (23) podemos escribir la solución anterior en la forma qom - q(t) = 3 e 20'sen(60t + 1.249). n

Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. Cuando R # 0, la íunción complementaria qc(t) de (34) se llama solución transitoria. Si E(t) es periódico o una constante, la solución particular, q,(t), de (34), es una solución de estado estable.

Corriente de estado estable Determine la solución q,,(t) de estado estable y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando el voltaje aplicado es E(t) = EO sen y.

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 213

Al aplicar el método de los coeficientes indeterminados, suponemos una solución particular de la forma qp(t) = A sen rt + B cos rt. Sustituimos esta expresión en la ecuación diferencial, simplificamos e igualamos coeficientes y los resultados son

A= -y Conviene expresar a A y B en función de nuevos símbolos: X=Ly-L 2L 1 &tenemcx X2 = L2y2 - - + - CY' c C2y2' Si Z = lh?TS, obtenemos Z2 = L2y2 - $ ·t & f R2.

Por consiguiente, A = E&/(-yZ2) y B = &R/(~Z2), de suerte que la carga de estado estable es EoX EoR yz2 YZ Ahora bien, la corriente de estado estable está definida por &(t) = qp'(t):

. (35) n Las cantidades X = Ly - l/Cy y Z = m, definidas en el ejemplo ll, se llaman, respectivamente, reactancia e impedancia del circuito. Ambas se expresan en ohms.

Barra de torsión La ecuación diferencial que describe el movimiento de torsión de una masa colgada en el extremo de un eje elástico es `. - , ,W--)- (36) Como vemos en la figura 5.16, la función O(t) representa la magnitud del giro de la masa en cualquier momento.

Al comparar las ecuaciones (25) y (34) con la (36) resulta que -excepto por la termino- logía- no existe diferencia alguna entre la descripción matemática de los resortes con masa, los circuitos simples en serie y las oscilaciones de torsión.

1. Se fija un contrapeso de 4 Ib a un resorte cuya constante es 16 lb/fi. ¿Cuál es el periodo 2. Se fija una masa de 20 kg a un resorte. Si la frecuencia del movimiento armónico simple es 211~ oscilaciones por segundo, ¿cuál es la constante k del resorte? ¿Cuál es la frecuencia del movimiento armónico simple si la masa original se reemplaza con una de 80 kg? 3 . Al fijar un contrapeso de 24 Ib al extremo de un resorte, lo estira 4 in. Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se suelta y parte del reposo desde un punto que está 4. Formule la ecuación del movimiento si el contrapeso del problema 3 parte de la posición de equilibrio con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia abajo, 5. Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in a un resorte. En ese sistema, el contrapeso se suelta, a) Calcule la posición del contrapeso cuando t = 1rl12, ~rlS,?rl6,1rl4 y 9rl32 segundos. b) ¿Cuál es la velocidad del contrapeso cuando t = 3n/16 s? ¿Hacia dónde se dirige el 6. Una fuerza de 400 N estira 2 m un resorte. Después, al extremo de ese resorte, se fija una masa de 50 kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10 m/s hacia arriba. 7. Otro resorte, cuya constante es 20 N/m, esta colgado del mismo soporte rígido, pero en posición paralela a la del sistema resorte y masa del problema 6. Al segundo resorte se le fija una masa de 20 kg, y ambas masas salen de su posición de equilibrio con una velocidad b) ¿Cuál masa se mueve con más rapidez cuando t = 7r/4 s? ¿Y cuando t = 7r/2 s? c) ¿En qué momento están las dos masas en la misma posición? ¿Dónde están en ese 8. Un contrapeso de 32 Ib estira 2 ft a un resorte. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si el contrapeso parte de 1 ft arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad inicial de 2 ft/s hacia arriba. iCuántas vibraciones completas habrá hecho el 9. Un contrapeso de 8 Ib, fijo a un resorte, tiene movimiento armónico simple. Deduzca la ecuación del movimiento si la constante del resorte es 1 lb/ft y el contrapeso parte de 6 in abajo del punto de equilibrio, con una velocidad de f ft/s hacia abajo. Exprese la solución en la forma de la ecuación (6).

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 2 1 5

10. Una masa pesa 10 Ib, y estira f ft un resorte. Se quita esa masa y se reemplaza con una de 1 y 6 slugs que parte de 1 ft sobre la posición de equilibrio con una velocidad de : ft/s hacia abajo. Exprese la solu&n en la forma (6). ¿En qué momento llega la masa a un desplaza- miento numéricamente igual a f de la amplitud abajo de la posición de equilibrio? ll. Un contrapeso de 64 Ib está unido al extremo de un resorte y lo estira 0.32 ft. Si parte de una posición 8 in sobre la posición de equilibrio, con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. c) ¿Cuántas oscilaciones completas habrá hecho el contrapeso a los 37r segundos? d) ¿En qué momento pasa el contrapeso por la posición de equilibrio al ir hacia abajo por e) ¿En qué momento alcanza el contrapeso su desplazamiento extremo en ambos lados de i) ¿Cuál es la velocidad instantánea al pasar por la posición de equilibrio? k) LEn qué momentos está 5 in abajo de la posición de equilibrio y se mueve hacia arriba? 1 2 . Se cuelga una masa de 1 slug de un resorte cuya constante es 9 lb/ft. Al principio, la masa parte de un punto a 1 ft arriba de la posición de equilibrio, con una velocidad de fi ft/s hacia arriba. Determine los momentos en que la masa se dirige hacia abajo con una 13. En algunos casos, cuando dos resortes paralelos de constantes kt y kz sostienen un solo contrapeso W, la constante efectiva de resorte del sistema es k = 4krk2/(kr + k2). Un contrapeso de 20 Ib estira 6 in un resorte y 2 in otro. Estos resortes están fijos a un soporte rígido común por su parte superior y a una placa metálica en su extremo inferior. Como se ve en la figura 5.17, el contrapeso de 20 Ib está fijo al centro de la placa del sistema. Determine la constante efectiva de resorte de este sistema. Deduzca la ecuación del movimiento, si el contrapeso parte de la posición de equilibrio, con una velocidad de 14. Cierto contrapeso estira f ft un resorte, y i ft otro. Los dos resortes se fijan a un soporte rígido, como se indicó en el problema 13 y en la figura 5.17. El primer contrapeso se quita y en su lugar se pone uno de 8 lb. El periodo de movimiento es rr/l5 s; determine el valor numérico del primer contrapeso.

Problemas para discusión 1 5 . Sólo por inspección de la ecuación diferencial 4~? + durante un gran periodo de un sistema de resorte y 16. Sólo por inspección de la ecuación diferencial 4x? durante un gran periodo de un sistema de resorte y

- 5.1.2 e -`.?,x = 0, describa el comportamiento + tx = 0, describa el comportamiento masa regido por la ecuación.

En los problemas 17 a 20 la figura respectiva representa la gráfica de una ecuación del movimiento de una masa unida a un resorte. El sistema masa-resorte es amortiguado. Con la gráfica, determine a ) Si el desplazamiento inicial de la masa ocurre arriba o abajo de la posición de equilibrio b) Si la masa está inicialmente en reposo o si está moviéndose hacia abajo o si está moviéndose hacia arriba.

FIGURA 5.18 FIGURA 5.19

FIGURA 5.20 FIGURA 5.2 1 21. Una pesa de 4 Ib se une a un resorte cuya constante es 2 lbkt. El medio presenta una resistencia al movimiento numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si la pesa se suelta de un punto a 1 ft arriba de la posición de equilibrio con una velocidad de 8 ft/s hacia abajo, calcule el tiempo en que pasa por la posición de equilibrio. Encuentre el momento en que la pesa llega a su desplazamiento extremo respecto ala posición de equilibrio. ¿Cuál 22. Un resorte de 4 ft alcanza 8 ft al colgarle una pesa de 8 lb. El medio a través del cual se mueve ofrece una resistencia numéricamente igual a fi veces su velocidad instantánea. Deduzca la ecuación del movimiento si la pesa se suelta de la posición de equilibrio con una velocidad de 5 ft/s hacia abajo. Calcule el tiempo en que llega a su desplazamiento ex- tremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es su posición en ese instante?

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 217

23. Una masa de 1 kg está unida a un resorte cuya constante es 16 N/m y todo el sistema se sumerge en un líquido que imparte una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Formule las ecuaciones del movimiento, si a) El contrapeso se suelta, partiendo del reposo a 1 m abajo de la posición de equilibrio b) El contrapeso se suelta partiendo de la posición de equilibrio con una velocidad de 24. En las partes a) y b) del problema 23, determine si la pesa pasa por la posición de equilibrio. En cada caso calcule el momento en que llega a su desplazamiento extremo respecto a la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la pesa en ese instante? 25. Una fuerza de 2 Ib estira 1 ft un resorte. A ese resorte se le une un contrapeso de 3.2 Ib y el sistema se sumerge en un medio que imparte una fuerza de amortiguamiento numérica- a) Deduzca la ecuación del movimiento si el contrapeso parte del reposo 1 ti arriba de a c) Calcule el primer momento en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio 26. Después de unir una pesa de 10 Ib a un resorte de 5 ft, éste mide 7 ft. Se quita y se reemplaza con otra de 8 Ib, y el sistema se coloca en un medio que ofrece una resistencia numérica- a) Deduzca la ecuación del movimiento, si se suelta la pesa a f ft abajo de la posición de c) Calcule los momentos en que el contrapeso pasa por la posición de equilibrio al dirigirse 27. Al unir una pesa de 10 Ib a un resorte, éste se estira 2 ft. La pesa también está unida a un amortiguador, que ofrece una resistencia numéricamente igual a ,B (p > 0) veces la velocidad instantánea. Calcule los valores de la constante de amortiguamiento p para que el movimiento que se produce sea a) sobreamortiguado; b) críticamente amortiguado, y c) 28. Una pesa de 24 Ib estira 4 ft un resorte. El movimiento que se produce se lleva a cabo en un medio que presenta una resistencia numéricamente igual a ,0 (p > 0) veces la velocidad instantánea. Si la pesa parte de la posición de equilibrio con una velocidad de 2 ft/s hacia arriba, demuestre que si /3 > 3 fi, la ecuación de movimiento es

se da en un medio cuya fuerza de amortiguamiento es numéricamente igual al doble de la a) Deduzca la ecuación del movimiento si una fuerza externa igual af(t) = 12 cos 2t + 3 b) Grafique las soluciones transitoria y de estado estable en el mismo conjunto de ejes 31. Cuando una masa de 1 slug se cuelga de un resorte, lo estira 2 ít, y llega al reposo en su posición de equilibrio. A partir de t = 0, se aplica una fuerza externa al sistema, igual a f(t) = 8 sen 4t. Formule la ecuación del movimiento si el medio presenta una fuerza amortiguadora numéricamente igual a 8 veces la velocidad instantánea. 32. En el problema 31, deduzca la ecuación del movimiento si la fuerza externa esf(t) = eet 33. Cuando una masa de 2 kg se cuelga de un resorte cuya constante es 32 N/m, llega a la posición de equilibrio. A partir de t = 0 se aplica al sistema una fuerza igual ay(t) = 68em2' cos 4t. Deduzca la ecuación del movimiento cuando no hay amortiguamiento. 34. En el problema 33, escriba la ecuación del movimiento en la forma x(t) = A sen(wt + 4 ) + Bee2' sen(4t + 0). iCuál es la amplitud de las oscilaciones cuando el tiempo es muy 35. Una masa m se une al extremo de un resorte cuya constante es k. Después de alcanzar el equilibrio, su soporte comienza a oscilar verticalmente a ambos lados de una línea horizontal, L, de acuerdo con una función h(t). El valor de h representa la distancia, en a) Deduzca la ecuación diferencial del movimiento si el sistema se mueve por un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a ,d(dx/dt). b) Resuelva la ecuación diferencial en la parte a) si un contrapeso de 16 Ib estira el resorte 4fiy/3=2,h(t)=5c0st,x(0)=x'(0)=0.

FIGURA 5.22 36. Una masa de 1 OO g se cuelga de un resorte cuya constante es 1600 dinas/cm. Luego que alcanza el equilibrio su soporte oscila de acuerdo con h(t) = sen 8t, donde h representa al desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. Vea el problema 35 y la figura 5.22. a) Cuando no hay amortiguamiento, determine la ecuacion del movimiento si la masa parte e) Gratique la ecuación del movimiento.

Sección 5.1 Ecuaciones hales: problemas de valor inicial 219

37. $ + 4x = -5sen 2t + 3 cos 2t, x(O) = -1, x'(O) = 1 38. $ + 9x = 5 sen 3t, x(O) = 2 , x'(O) = 0 39. a) Demuestre que la solución al problema de valor inicial

2 $ + w2x = F,, cos yt, x(O) = 0, x'(O) = 0 Y2 40. Compare el resultado obtenido en la parte b) del problema 39, con la que se obtiene aplicando el método de variación de parámetros, cuando la fuerza externa es FO cos wt. 41. a) Demuestre que x(t) expresada en la parte a) del problema 39 se puede expresar

Y2 b) Si definimos E = $7 - w), demuestre que cuando E es pequeño, una solución aproxima- da es

2-v Cuando E es pequeño, la frecuencia, yl2n de la fuerza aplicada se acerca a la frecuencia, w/27r de las vibraciones libres. Cuando esto sucede, el movimiento es el que se ve en la figura 5.23. Las oscilaciones de este tipo se llaman pulsaciones o pulsos y se deben a que la fiecuencii de sen Et es bastante pequeña en comparación con la de sen Tt. Las curvas punteadas, o envolvente de la gráfica de x(t), se obtienen de las gráficas de f(Fo/2&~) sen Et. Use una grafícadora y con varios valores de FO, E y y compruebe la figura 5.23.

Problemas para discusión 4 2 . ¿Puede haberpulsos cuando se agrega una fuerza de amortiguamiento al modelo en la parte a) del problema 39? Compruebe su respuesta con gráficas obtenidas de la solución explícita del problema

2 ~+2l$+w?x=F,cosyt, x(O) = 0, x'(O) = 0 43. a) Demuestre que la solución general de

2 + 2h$ + 02x = Fosen yt es x(t) = Ae-*`sen(mt + 4) + en que A = my los ángulos de fase sen 4 = cllA, cos q5 = c2IA y -2Ay sen 19 = qto2 _ y2)2 + 4~2~2' FO sen(yt + e), L$lJ2 - y2)2 + 4Py2 $ y 6' están definidos, respectivamente, por

w2 - y2 `Os ' = dto2 1 y2)2 + 4~2~2' b) La solución de la parte a) tiene la forma x(t) = x,(t) + +(t). Por inspección, se ve que xc(t) es transitoria y, por consiguiente, cuando los valores del tiempo son grandes, está definida aproximadamente por xp(t) = g(r) sen(yt + e), donde Fo g(Y) = d(o? - Y')~ + 4A2y2' Aunque la amplitud g(y) de xp(t) está acotada cuando t + 00 demuestre que las oscilaciones máximas se resentarán en el valor yt = 67TZ ¿Cuál es el valor máximo w - 2X /27r se llama frecuencia de resonancia del sistema. de g? El numero + c) CuandoFo=2,m=lyk=4,ges

2 g(y) = q4 _ y2)2 + pzy2' Forme una tabla de valores de yt y g(n) que corresponda a los coeficientes de amortiguamiento @ = 2, p = 1, p = f, B = f y /? = a. Use una graficadora para trazar las gráficas de g que correspondan a esos coeficientes. Utilice las mismas coordenadas. Esta familia de gráficas se llama curva de resonancia o curva de respuesta a la frecuencia del sistema. ¿Hacia qué tiende yt cuando ,8 + O? ¿Qué sucede con las curvas de resonancia cuando j3 + O?

Sección 5.1 Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial 221

44. Se tiene un sistema resorte y masa forzado y no amortiguado, descrito por el problema de valor inicial $ + dx = Fosen? yt, x(O) = 0, x'(O) = 0.

a) Describa para n = 2 por qué hay una sola frecuencia, yt/27r, en que el sistema está en b) Para n = 3, explique por qué hay dos frecuencias, yt/27r y y2/27r en las cuales el sistema c) Suponga que w = 1 y FO = 1. Use un ODE solver para obtener la gráfica de la solución del problema de valor inicial para n = 2 y y = yt en la parte a). Trace la gráfica de la solución del problema de valor inicial para n = 3 que corresponde, sucesivamente, a y = yl y y = 72 en la parte b).

45. Determine la carga del capacitar en un circuito en serie LRC cuando t = 0.01 s, L = 0.05 h, R = 2 R, C = 0.01 f, E(t) = 0 V, q(O) = 5 C e i(O) = 0 A. Encuentre el primer momento 46. Determine la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 20 R, C = $ f, E(t) = 0 V, q(O) = 4 C e í(O) = 0 A. x ¿En algún momento la carga del capacitar En los problemas 47 y 48 determine la carga en el capacitar y la corriente en el circuito en serie 48. L = 1 h, R = 100 Q C = 0.0004 f, E(t) = 30 V, q(O) = 0 C, i(O) = 2 A. 49. Determine la carga y la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = 5 0 . Demuestre que la amplitud de la corriente de estado estable en el circuito en serie LRC del ejemplo ll está expresada por Eolí?, donde 2 es la impedancia del circuito. 51. Demuestre que la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC está definida por ip(t) = (4.160) sen(60t - 0.588) cuando L = i h, R = 20 R, C = 0.001 f y E(t) = 100 sen 60t 52. Determine la corriente de estado estable en un circuito en serie LRC cuando L = i h, R = 5 3 . Calcule la carga en el capacitar de un circuito en serie LRC cuando L = f h, R = 10 Q C = 0.01 f, E(t) = 150 V, q(O) = 1 C e i(O) = 0 A. iCuál es la carga en el capacitar cuando ha 54. Demuestre que si L, R, C y EO son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable 55. Demuestre que si L, R, EO y y son constantes, la amplitud de la corriente de estado estable en el ejemplo ll es máxima cuando la capacitancia es C = l/Lg.

56. Determine la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando L = 0.1 h, C = 57. Calcule la carga en el capacitar y la corriente en un circuito LC cuando E(t) = Eo cos -yr V, 58. En el problema 57 determine la corriente cuando el circuito se encuentre en resonancia.

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALORES EN LA FRONTERA W Ecuación diferencial de la flexión de una vigam Condiciones en laji-ontera n Valores propios y finciones propias n Soluciones no triviales n Soluciones numéricas n Curvatura de una columna delgada n Carga de Euler n Ecuación diferencial de la cuerda de brincar

La sección precedente se centró en sistemas en los que un modelo matemático de segundo orden estaba acompañado con las condiciones iniciales prescritas; esto es, condiciones adjuntas de la función desconocida y su primera derivada, que se especifican en un solo punto. Pero, con frecuencia, la descripción matemática de un sistema físico requiere la solución de una ecuación diferencial sujeta a condiciones en la frontera; esto es, condiciones especificadas para la función desconocida o una de sus derivadas, e incluso para una combinación de la función desconocida y una de sus derivadas, en dos o más puntos distintos.

Desviación de una viga Una buena cantidad de estructuras se construyen a base de vigas, vigas que se desvían o distorsionan por su propio peso o la influencia de alguna fuerza externa. Según veremos a continuación, esta desviación y(x) está determinada por una ecuación Para empezar, supongamos que una viga de longitud L es homogénea y tiene sección transversal uniforme en toda su longitud. Cuando no recibe carga alguna, incluyendo su propio peso, la curva que une los centroides de sus secciones transversales es una recta que se llama eje de simetria. [Fig. 5.24(a)]. Si a la viga se le aplica una carga en un plano vertical que contenga al eje de simetría, sufre una distorsión y la curva que une los centroides de las secciones transversales se llama curva de desviación, curva ebtica o simplemente elhstica. La elástica aproxima la forma de la viga. Supongamos que el eje x coincide con el eje de simetría

Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 223

y que la desviación (o flecha) y(x), medida desde el eje, es positiva si es hacia abajo. En teoría de la elasticidad se demuestra que el momento flexionante M(x) en un punto x a lo largo de la viga, se relaciona con la carga por unidad de longitud w(x) mediante la ecuación d2M - = w(x). (1) dx2 Además, el momento flexionante M(x) es proporcional a la curvatura, K, de la elástica: M(x) = EIK, (2) en que E e 1 son constantes, E es el módulo de Young de elasticidad del material de la viga e I es el momento de inercia de la sección transversal de ésta (respecto de un eje llamado eje neutro). El producto EZ se denomina rigidez a la flexión de la viga. Según el cálculo diferencial, la curvatura es K = ~?41 + (Y')~]~?. Cuando la desviación y(x) es pequena, la pendiente y' = 0, de modo que [ 1 + (y')2]3'2 = 1, Si K, = y?, la ecuación (2) se transforma en M = EIy?. La segunda derivada de esta ecuación es

Aplicamos el resultado de la ecuación (1) para reemplazar d2M7drZ en la (3) y vemos que la desviación y(x) satisface la ecuación diferencial de cuarto orden

Las condiciones en la frontera asociadas a esta ecuación dependen de la forma en que están sostenidos los extremos de la viga. Una viga en voladizo (en cantilíver) está empotrada en un extremo y libre en el otro. Un trampolín, un brazo extendido, el ala de un avión y una marquesina son ejemplos comunes de este caso, pero hasta los arboles, las astas de banderas, los rascacielos y los monumentos pueden trabajar como vigas en voladizo, ya que están empotrados en su base y sufien la fuerza del viento, que los tiende a flexionar. Para una viga en voladizo, la desviación y(x) debe satisfacer las dos condiciones siguientes en el extremo empotrado en x = 0: w y(O) = 0 porque no hay desviación en ese lugar, y n y'(O) = 0 porque la curva de desviación es tangente al eje x (en otras palabras, la pendiente de la curva de desviación es cero en ese punto).

Cuando x = L las condiciones del extremo libre son W y?(L) = 0 porque el momento flexionante es cero W y?`(L) = 0 porque la fuerza cortante es cero.

La función F(x) = dWa!x = EI d3y/dx3 se llama fuerza cortante. Si un extremo de una viga está simplemente apoyado (a esto también se le llama embisagrado, articulado o empernado), se debe cumplir que y = 0 y y? =0 en ese extremo. La tabla siguiente es un resumen de las condiciones en la frontera asociadas con la ecuación (4).

Extremos Condiciones de la viga en la frontera empotrado y=O,y'=O libre y? = 0, y?' = 0 simplemente apoyado y=O,y'/=O

Viga empotrada Una viga de longitud L está empotrada en ambos extremos. Determine la desviación de esa viga si sostiene una carga constante, WO, uniformemente distribuida en su longitud; esto es, w(x> = wo, 0 < x < L.

S O L U C I Ó N Según lo que acabamos de plantear, la desviación y(x) satisface a &!Lw dx4 ? Puesto que la viga está empotrada en su extremo izquierdo (X = 0) y en su extremo derecho (x = L), no hay desviación vertical y la elástica es horizontal en esos puntos. Así, las condiciones en la frontera son Y(O) = 0, y'(O) = 0, y(L) = 0, y'(L) = 0.

Podemos resolver la ecuación diferencial no homogénea en la forma acostumbrada (deter- minar yC teniendo en cuenta que m = 0 es una raíz de multiplicidad cuatro de la ecuación auxiliar m4 = 0, para después hallar una solución particular y, por el método de coeficientes indeterminados) o simplemente integramos la ecuación d4y/dx4 = wo/EZ cuatro veces suce- sivas. De cualquier forma, legamos a que la solución general de la ecuación es y(x) = Cl + c2x + c3x2 + c4x3 + szx4.

Ahora bien, las condiciones y(O) = 0 y y'(O) = 0 dan cl = 0 y c2 = 0, mientras que las condiciones restantes, y(L) = 0 y y'(L) = 0, aplicadas ay(x) = csx2 + c4x3 + (wo/24EZ)x4 originan las ecuaciones qL2 + c4L3 + SzL'=O 2c3L + 3c4L2 + SzL3=0.

Al resolver este sistema se obtiene c3 = w,&~/~~EZ y c4 = -w~/12EZ. Entonces, la desvia- ción es y(x) = gzx2 - gzx3 + Szx' = Szx2(x - L)2.

Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 225

Si wa = 24EI y L = 1, se obtiene la gráfica de la elástica de la figura 5.25. n

FIGURA 5.25 Valores propios y funciones propias (eigenvalores y eigenfunciones) En las aplicaciones hay muchos problemas, que son problemas de valor en la frontera en dos puntos, donde interviene una ecuación diferencial que contiene un parámetro X. Se trata de hallar los valores de X para los cuales el problema de valor en la frontera tenga soluciones no triviales.

Soluciones no triviales de un problema de valor en la frontera Resuelva el problema de valor en la frontera yR + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = cl.

Caso 1. Cuando X = 0, la solución de y? = 0 es y = crx + ~2. Las condiciones y(O) = 0 y y(L) = 0 implican, a su vez, que c2 = 0 y cl = 0; por consiguiente, cuando X = 0, la única Caso II. Cuando X < 0, y = cl cosh ax + c2 senh fix.* De nuevo, y(O) = 0 da ct = 0 y así y = c2 senh ax. La segunda condición, y(L) = 0 obliga a que c2 senh 6% = 0. Puesto Caso III. Cuando X > 0, la solución general dey? + Ay k 0 es y = CI cos fix + c2 sen 6 Como antes, y(O) = 0 conduce a cl = 0, pero y(L) = 0 ímplica que c2 sen CL = 0.

Si c2 = 0, se tiene y = 0; empero, si c2 + 0, entonces sen CL = 0. La última condición indica que el argumento de la función seno ha de ser un múltiplo entero de rr:

Por lo tanto, para todo real c2 distinto de cero, y = c2 sen(nrrx/l) es una solución del problema para cada n. Puesto que la ecuación diferencial es homogénea, no necesitamos escribir c2 si así lo deseamos; en otras palabras, para un numero dado de la sucesión --$--$-$...> la función correspondiente en la sucesión 2n 37l LLL es una solución no trivial del problema original. w Los números X, = n2?/L2, n = 1,2,3, . . . para los que el problema de valor en la frontera del ejemplo 2 tiene soluciones no triviales se llaman valores característicos o valores propios. Las soluciones que se basan en esos valores de X,, como y,, = c2 sen(n&L), o simplemente yn = sen(nnx/Q se llaman funciones características, funciones propias.

Curvatura de una columna vertical esbelta En el siglo XVIII Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar un problema de valores propios al analizar cómo se curva una columna elástica esbelta sometida a una fuerza axial de compresión. Examinemos una columna vertical larga y esbelta de sección transversal uniforme y longitud L. Seay la curvatura de la columna al aplicarle una fuerza vertical de compresión, o carga, P, en su extremo superior (Fig.5.26). Al comparar los momentos flexionantes en cualquier punto de la columna obtenemos E& = -pJ) 0 sea E&+Py=O, o!? ak2 donde E es el módulo de elasticidad de Young e I es el momento de inercia de una sección transversal con respecto a una recta vertical por el centroide.

Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 227

Un problema de valores propios Determine la desviación de una columna homogénea, delgada y vertical de altura L, sometida a una carga axial P constante. La columna se encuentra articulada en sus dos extremos.

S O L U C I Ó N El problema de valor en la frontera que se debe resolver es

y = 0 es una solución válida para este problema. Tiene la sencilla interpretación que si la carga P no es suficientemente grande, no hay deflexión. La pregunta, entonces, es la siguien- te: ¿para qué valores de P se curva la columna? En términos matemáticos: ipara qué valores de P el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales? Hacemos la sustitución X = PIEI y vemos que y? + Ay = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 es idéntica al problema del ejemplo 2. En el caso III de ese problema vemos que las curvas de desviación son yn = cz sen(nnx/l), que corresponden a los valores propios X, = PJEI = n2r21L2 n = 1 2 3 . . . Esto quiere decir, físicamente, que la columna se desvia solo cuando la fuerza de compresión tiene uno de los valores P,, = n2r2EZ/L2, n = 1, 2, 3, . . . . Esas fuerzas se llaman cargas críticas. La curva de deflexión que corresponde a la mínima carga crítica, PI= gEI/L2 se denomina carga de Euler y es y,(x) = c2 sen(rx/L); esta función se conoce como primer modo de desviación. n

Juego de la cuerda La simple ecuación diferencial lineal y de segundo orden y? + Ay = 0 (6) sirve de nuevo como modelo matemático. En la sección 5.1 la vimos en las formas d*x/d? + (k-/m)x = 0 y d*q/dr! + (1ILC)q = 0 como modelos respectivos del movimiento armónico simple de un sistema de resorte y masa, y la respuesta armónica simple de un circuito en serie. Surge cuando el modelo de curvatura de una columna delgada en (5) se escribe en la forma d*yld.x* + (P/Elly = 0, que es igual a (6). Una vez más, nos encontramos con la misma ecuación (6) en esta sección: como modelo que define la curva de deflexión o la forma y(x) que adopta una cuerda que gira. El caso físico es análogo a cuando dos personas sujetan una cuerda de saltar y la giran en forma sincrónica [Fig.5.28(a) y (b)].

Sección 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 229

Cuando los ángulos 191 y 02, expresados en radianes, son pequeños, sen 192 = tan 92, y sen 01 = tan 01. Además, puesto que tan 02 y tan 81 son, a su vez, las pendientes de las líneas que contienen a los vectores Tl y TI, también podremos escribir tan e2 = y'(x + Ax) y tan 8, = y'(x).

De esta forma, la ecuación (7) se transforma en F = T[ y `(x + Ax) - y'(x)]. (8) Luego podemos obtener una forma distinta de la misma fuerza neta recurriendo a la segunda ley de Newton, F = mu. En este caso, la masa de la cuerda en el intervalo es m = p Ax; la aceleración centrípeta de un cuerpo que gira con velocidad angular w en un círculo de radio r es a = rw2. Si AX es pequeño, podemos hacer r = y. Así, la fuerza vertical neta también está expresada aproximadamente por F= -(p Ax)yo2, (9) donde el signo menos proviene de que la aceleración apunta en dirección opuesta a la dirección positiva de las y. Ahora, igualando las ecuaciones (8) y (9), T[y'(x + Ax) - y'(x)] = - (pAx)yw2 o sea í??(' + `Li - ?(`) z - po2y. (10) Cuando AX tiende a cero, el cociente de la diferencia v(x + Ax) - y'(x)]/bx, en la ecuación (lo), se puede aproximar por la segunda derivada, d 2yldx2. Por último llegamos al modelo

dx2 Dado que la cuerda está tija en sus extremos x = 0 y x = L, esperamos que la solución y(x) de la última de las ecuaciones en (ll) también satisfaga las condiciones en la frontera y(O) = 0 y y(L) = 0.

1 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo y libre b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wa = 24EI y L = 1. 2 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga sólo está apoyada en ambos extremos y w(x) = b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wg = 24EI y L = 1. 3 . a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo y sólo b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wg = 48EZ y L = 1.

4. a) Resuelva la ecuación (4) cuando la viga está empotrada en su extremo izquierdo, ~610 b) Con una graficadora, trace la elástica de la viga cuando wa = 27?EI y L = 1. 5. a) Determine la desviación máxima de la viga en voladizo (o cantilíver) del problema 1. b) ¿C!ómo se compara la desviación máxima de una viga de la mitad de la longitud con el 6 . a) Calcule la desviación máxima de la viga simplemente apoyada del problema 2. b) ¿Cómo se compara la desviación máxima de la viga simplemente apoyada con la 7. Una viga en voladizo, de longitud L, está empotrada en su extremo derecho y se aplica al extremo izquierdo una fuerza horizontal de tensión de P lb. Si el origen se sitúa en su extremo libre (Fig. 5.29), se puede demostrar que la desviación y(x) de la viga satisface la ecuación diferencial Ely? = Py - w(x) ;.

Calcule la desviación de la viga en voladizo cuando W(X) = w@, 0 < x < L y y(O) = 0, y'(L) = 0.

FIGURA 5.29 8. Si se aplica una fuerza de compresión en lugar de la de tensión en el extremo libre de la viga del problema 7, la ecuación diferencial de la elástica es EZy? = -Py - w(x) ;.

!kcción 5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la frontera 231

1 4 . y? + Ay = 0, y(-?T) = 0, y(r) = 0 15. y? + 2y' + (h + l)y = 0; y(O) = 0, y(5) = 0 16. y? + (h + 1)y = 0, y'(O) = 0, y'(l) = 0 17. y? + Py = 0, y(O) = 0, y(L) = 0 1 8 . y ? + A2y = 0, y(O) = 0, ~`(397) = 0 19. x2ya + xy' + Ay = 0, y(l) = 0, y(P) = 0 20. x2yv + xy' + Ay = 0, y'(e-') = 0, y(l) = 0 21. X~Y? + xy' + Ay = 0, y'(l) = 0, y'(e') = 0 22. ,t?y? + 2xy' + Ay = 0, y(l) = 0, y(e') = 0 23. Demuestre que las funciones propias del problema de valor en la frontera y? + Ay = 0, y(O) = 0, YO) + Y'(l) = 0

sonyn = sen fin*, en donde los valores propios X, del problema son X, = x,,* donde los x,,, n=l,2,3,... son las raíces positivas consecutivas de la ecuación tan fi = -6 24. a) Convénzase, usando una graticadora, de que la ecuación tan x = -X tiene una cantidad infinita de raíces. Explique por qué se pueden pasar por alto las raíces negativas de la ecuación y por qué X = 0 no es valor propio en el problema 23, aun cuando es una raíz b) Aplique un procedimiento numérico o un sistema algebraico de computación para 25. Se tiene el problema de valor en la frontera que presentamos como modelo matemática de la forma de una cuerda de saltar:

Con T y p constantes, defina las velocidades críticas de rotación angular, w,,, como los valores de w para los que el problema de valor en la frontera tiene soluciones no triviales. Calcule las velocidades críticas w,, y las curvas correspondientes de desviación, yn( 26. Cuando la magnitud de la tensión T no es constante, un modelo de la curva de desviación o forma y(x) que toma una cuerda rotatoria es

$ 1Ti a) Si y(l) = 0, y(e) = 0 y pw* > 0.25, halle las velocidades críticas w,, y las curvas correspondientes de desviación yn( b) En la ecuación de yn habrá una constante arbitraria, por ejemplo, cz. Con una graficadora trace las curvas de desviación en el intervalo [ 1, e], para n = 1,2,3. Haga c*= 1.

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