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Apostila de Concreto Armado I

ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS ? DEEs

Para todo professor de concreto é uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula, principalmente nesse momento de mudança de norma em que existe uma carência natural de livros e apostilas contemplando as mudanças da nova NB 1, NBR-6118 de Março de 2003.

Essa é a terceira edição da apostila destinada aos alunos do curso de graduação em Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peço a gentileza que me informem todos os erros encontrados para serem consertados edições posteriores.

Os capítulos de flexão simples e fissuração seguem as mesmas formulações das apostilas do Professor José de Miranda Tepedino, de saudosa memória, adaptadas para as mudanças inseridas pela nova norma. No caso da flexão simples essa adaptação foi feita pelo Pof Sebastião Salvador Real Pereira e já utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003. Nesses capítulos os trechos entre ?aspas?, quando não referenciados de forma diferente, são transcrições das suas apostilas originais.

Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a apostila de Domínios de Deformação, do Professor. José Celso da Cunha, além naturalmente das notas de aula.

Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca de idéias e nas correções, e com certeza continuarão a contribuir nas próximas edições desta apostila.

Índice ASSUNTOS Página

Capítulo 1 ? Materiais 01

Capítulo 2 ? Flexão Normal Simples 29

Capítulo 3 ? Laje 55

Capítulo 4 ? Controle da Fissuração 94

Capítulo 5 ? Cisalhamento 113

Capítulo I ? MATERIAIS I.1 ? Histórico O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou neste período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, conforme Rusch(1981).

1824 ? O empreiteiro escocês Josef ASPDIM desenvolveu um processo industrial para fabricação do cimento portland, assim chamado devido à semelhança com a cor das pedras calcáreas encontradas na ilha de Portland.

1849/1855 ? O francês Joseph Louiz LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia entremeados por fios de arame. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a industria naval, patenteou o novo produto, apresentando-o na feira internacional de Paris em 1855.

1861 ? O paisagista e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste produto a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier, que a partir desta data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçadas com uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte tino comercial e viu no novo produto grandes possibilidades passando a divulgar o concreto inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado por muitos como o pai do concreto armado. Em 1865 construiu nos arredores de Paris uma ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura.

1867 ? Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes e pontes. Construções construídas de forma empírica mostram que o inventor não possuía uma noção clara da função estrutural das armaduras de aço no concreto.

1877 ? O advogado americano Thaddeus HYATT publicou sobre seus ensaios com construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço- concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça de concreto.

1884 ? Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam- 1886 ? As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o ?Sistema Monier?. Realiza ensaios em ?Construções Monier? e mostra através de provas de carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887. Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de ?Construções Monier?, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armaduras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo das armaduras de aço.

1888 ? O alemão DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno porte tem sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idéia da protensão deliberada.

1900 ? A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas distintos, geralmente patenteados. O alemão E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensionamento de peças de concreto armado.

1906 ? O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto Koenen e Morsh reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão devido à retração e deformação lenta do concreto.

o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importância bem maior da protensão na construção civil. Estuda as perdas devido a retração e deformação lenta do concreto e registra várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto protendido.

I.2 ? Viabilidade do concreto armado As três propriedades abaixo em conjunto é que viabilizam o material concreto armado:

? Aderência aço-concreto ? esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois ? Coeficiente de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais ? esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita ? Proteção da armadura contra a corrosão ? Esta proteção que está intimamente relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das intempéries. A proteção química ocorre devido a presença da cal no processo químico de produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. Quando a frente de carbonatação, que acontece devido a presença de gás carbônico (CO2) do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o ph desta camada para níveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condições favoráveis para o processo eletro-químico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl-), ou sulfatos (S--).

I.3 ? Vantagens do concreto armado ? Economia ? é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo. ? Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução ? a produção do concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue ? Estrutura monolítica ? (monos ? única, litos ? pedra) esta propriedade garante à estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além disso quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às ? Manutenção e conservação praticamente nulas ? a idéia que a estrutura de concreto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo no entanto ? Resistência a efeitos térmicos-atmosféricos e a desgaste mecânicos.

I.4 ? Desvantagens do concreto armado ? Peso próprio ? a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua ? Dificuldade de reformas e demolições (hoje amenizada com tecnologias avançadas e ? Baixo grau de proteção térmica ? embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos para proporcionar um conforto térmico adequado a construção.

? Fissuração ? a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças de concreto armado tracionadas, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por muitas décadas considerado uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuição das bitolas da armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo na diminuição das tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a fissuração não foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas máximas na face do concreto de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado.

I.5 - Concreto I.5.1 ? Propriedades mecânicas do concreto Resistência à compressão A resistência mecânica do concreto a compressão devido a sua função estrutural assumida no material composto concreto armado é a principal propriedade mecânica do material concreto a ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples realizados em corpos de provas (CPs), com dimensões e procedimentos previamente A resistência a compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela Em outros paises, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência a compressão ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da máquina de ensaio, confina de forma mais efetiva o CP cúbico que o cilíndrico, devido a uma maior restrição ao deslocamento Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85 , que quando aplicado ao CP cúbico transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto.

Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se a partir dos ensaios realizados pelo alemão Rusch, que este valor é ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito ampliado devido a interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente do CP a compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma estrutura é de longa duração deve-se corrigir os resultados do ensaio de curta duração por um fator, denominado coeficiente de Rusch, igual a 0,85.

Resistência característica do concreto a compressão (fck) Quando os resultados dos ensaios a compressão de um determinado número de CPs são colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências obtidas e nas ordenadas a freqüência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior freqüência de ocorrência é a resistência média fcj, aos ?j? dias, e que o valor eqüidistante entre a resistência média e os pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão ?s? (ver fig. 1.1), cujos valores são dados respectivamente por:

?f f cj = ci (1.1) n

? (f ? f )2 s = ci cj (1.2) n?1

Frequência Freq,max s s Resist. média fcj Resistência do concreto fc Figura 1.1 ? Curva normal de distribuição de freqüências (Curva de Gauss)

Frequência 5% 95% fck Figura 1.2 ? Resistência característica do concreto à compressão

Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial: a resistência característica (fck) do lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrência)(ver fig. 1.2).

Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss: fck = fcj ? 1,65 s (1.3)

A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo percebe-se que o desvio-padrão ?s? é principalmente dependente da qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e recebimento do concreto, define baseada na sua expressão (2.3) que o cálculo da resistência de dosagem deve ser feito segundo a equação:

fcj = fck + 1,65 sd (1.4)

De acordo com a NBR-12655(1996) o cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir:

? Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo ? Condição B ? Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa ? Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de ? Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em

Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no início da obra ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor Tabela 1.1 ? Desvio- padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto Condição Desvio-padrão MPa A 4,0 B 5,5 C1) 7,0

1) Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico.

Módulo de elasticidade longitudinal O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama ?x? (tensão x deformação) é obtido pela derivada d?/d? no ponto considerado, que representa a inclinação da tangente à curva no ponto..De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura não devem superar a 40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama ?x? é praticamente linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial é dado por:

Eci = 5600 (fck)1/2 (1.5)

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites de serviço, deve ser calculado por:

Ecs = 0,85 Eci (1.6)

Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118(2003) para tensões de compressão inferiores a 0,5.fc e para tensões de tração inferiores a fct, o coeficiente de Poisson e o módulo de elasticidade transversal são dados respectivamente por:

? = 0,2 (1.7)

Gc = 0,4 Ecs (1.8)

Diagramas tensão-deformação (?x?) Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118(2003) o diagrama ?x? na compressão para tensões inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tensões calculadas com a lei de Hooke, Para os estados limites últimos o diagrama ?x? na compressão é dado pela figura (1.3) abaixo, onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de segundo grau, com deformações inferiores a 0,2%, e o segundo constante, com deformações variando de 0,2% a 0,35%. Para o trecho curvo a tensão no concreto é dada por:

? ? ? ?2 ? ?c=0,85fcd?1??1?c?? (1.9) ?? ? 0,002 ? ??

fck 0,85fcd ?c = 0,8 ??? 5f ?1 ? ?1 ? c cd ?? ? 0,0 ?2 ? ?? 02 ? ??

2? 3,5? ?c Figura 1.3 ? Diagramas tensão-deformação do concreto na compressão

Na equação (1.9) fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da NBR-6118(2003).

Na tração o diagrama ?x? é bilinear conforme a figura (1.4) abaixo: ?ct fct 0,9fct Eci 0,15? ?ct Figura 1.4 ? Diagrama tensão-deformação bi-linear do concreto à tração

Resistência à tração Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistência a tração direta do concreto (fct) é dado por:

fct = 0,9 fct,st (1.10) ou fct = 0,7 fct,f (1.11)

onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta desses valores pode-se obter a resistência média a tração dada por:

fct,m = 0,3 (fck)2/3 (MPa) (1.12)

Os valores inferior e superior para a resistência característica a tração (fctk) são dados por:

fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a)

fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b)

I.5.2 ? Características reológicas do concreto Segundo o dicionário Aurélio reologia é ?parte da física que investiga as propriedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos?.

Retração (shrinkage) A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento (e, portanto, de direção, sendo, pois, uma deformação volumétrica) que ocorre devido à perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este ?seca? em contato com o ar.

A deformação específica de retração do concreto ?cs pode ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada simplificadamente através da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior da

deformação específica de retração entre os instantes to e t?, ?cs(t?, to), em função da umidade relativa do ar e da espessura equivalente ou fictícia em , dada por:

em = (2 Ac) /u (1.14)

Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum.

Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na NBR-6118(2003), o valor de ?cs(t?, to) pode ser adotado igual a ?15x10-5. Esse valor admite elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%.

Fluência (creep) A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada. Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando este fato uma expulsão de água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante.

Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a tensão ?c(to) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão:

? 1 ? (t ? t 0 ) ? ?(t?,t0)=?c(t0)? + , ? (1.15) ? E ci (t 0 ) E ci (28) ?

onde: - ?c(t?, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t?; - ?c(to) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to; - ?(t?, to) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em to.

O valor de ?(t?, to) pode ser calculado por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluência ?(t?, to). O seu valor característico inferior é considerado nulo.

Tabela 1.2 - Valores característicos superiores da deformação especifica de retração ?cs(t?,to) e do coeficiente de fluência ?(t?,to)

Umidade Ambiente % 40 55 75 90 Espessura fictícia 2 Ac/u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60 ?(t?, to) to dias 5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 ?cs(t?, to) %o 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

I.6.1 ? Categoria Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela NBR-7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço em kN/cm2. Os valores nominais dos diâmetros, das seções transversais e da massa por metro são os estabelecidos pela NBR-7480(1996), cujos valores mais usados estão na tabela 1.3.

Tabela 1.3 ? Valores nominais para fios e barras de aço Diâmetro nominal (mm) Massa Nominal (kg/m) Área nominal da seção (cm2) Fios Barras 5,0 5,0 0,154 0,196 6,0 0,222 0,283 6,3 0,245 0,312 6,4 0,253 0,322 7,0 0,302 0,385 8,0 8,0 0,395 0,503 9,5 0,558 0,709 10,0 10,0 0,617 0,785 - 12,5 0,963 1,227 - 16 1,578 2,011 - 20,0 2,466 3,142 - 22,0 2,984 3,801 - 25,0 3,853 4,909 - 32,0 6,313 8,042 - 40,0 9,865 12,566

I.6.2 ? Tipo de superfície Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, ?b , deve atender ao indicado na Para os efeitos desta norma, a conformação superficial é medida pelo coeficiente ?1 , cujo valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ?b , como estabelecido na tabela 1.3, conforme tabela 8.2 da NBR-6118.

Tabela 1.3 - Relação entre ?1 e ?b Tipo de Barra Coeficiente de conformação superficial ?b ?1 Lisa (CA-25) 1 1 Entalhada (CA-60) 1.2 1.4 Alta aderência (CA-50) ? 1,5 2.25

Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor 7850 kg/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre 20 oC e 150 oC pode ser adotado como 10-5/ oC. O módulo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.

I.6.3 ? Diagrama tensão-deformação O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento fyk , da resistência a tração fstk e da deformação última de ruptura ?uk devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR-6152. O valor de fyk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 ?.

Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão- deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

?s Es ?yd 10? ?s

Fig. 1.5 ? Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas

I.7 ? Definições da NBR 6118(2003) Concreto estrutural ? termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto como material estrutural

Elementos de concreto simples estrutural ? elementos estruturais produzidos com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos estabelecidos nesta norma.

Elementos de concreto armado ? elementos estruturais produzidos com concreto cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam deformações iniciais nas armaduras.

Elementos de concreto protendido ? elementos estruturais produzidos com concreto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU( estado limite último).

Armadura passiva ? qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.

Armadura ativa (de protensão) ? armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento inicial.

Estados limites ? Estado limite último (ELU) ? estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como 2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no 3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no 6. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos ? Estados limites de serviço (ELS) 1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) ? estado que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida anteriormente como a 2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) ? estado em que as fissuras se 3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) ? estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados 4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) ? estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção.

I.8 ? Ações Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. As ações são classificadas conforme a NBR-8681(2003) em permanente, variáveis e excepcionais.

I.8.1 ? Ações permanentes Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança.

I.8.1.1 ? Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos ? Peso próprio ? Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes NBR 6120(1980) ? Empuxos permanentes

I.8.1.2 ? Ações permanentes indiretas As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão. ? Retração do concreto ? Fluência do concreto ? Deslocamentos de apoio ? Imperfeições geométricas 1. Imperfeições globais 2. Imperfeições locais ? Momento mínimo ? Protensão

I.8.2 ? Ações variáveis I.8.2.1 ? Ações variáveis diretas As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da ? Cargas acidentais previstas para o uso da construção ? Ação do vento ? Ação da água ? Ações variáveis durante a construção

I.8.2.2 ? Ações variáveis indiretas ? Variações uniformes de temperatura ? Variações não uniformes de temperatura ? Ações dinâmicas

I.8.3 ? Ações excepcionais No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas.

I.8.4 ? Valores das ações I.8.4.1 ? Valores característicos Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118 (2003) em função da variabilidade de suas intensidades.

Para as ações permanentes Fgk , os valores característicos devem ser adotados iguais aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores ou inferiores. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6118(2003).

Os valores característicos das ações variáveis Fqk , estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6118(2003).

I.8.4.2 ? Valores representativos As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser: 2. valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações 3. valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: ? verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina com a ação principal.Os valores reduzidos são determinados a partir da expressão ?oFk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; ? verificação de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir de ?1Fk , que estima um valor freqüente e ?2Fk , que estima valor quase permanente, de uma ação que acompanha a ação principal.

I.8.4.3 ? Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação ?f definidos a seguir.

I.8.5 ? Coeficientes de ponderação das ações As ações devem ser majoradas pelo coeficiente ?f dado por:

?f = ?f1 . ?f2 . ?f3 (1.16) onde:

? ?f1 ? parte do coeficiente de ponderação das ações ?f , que considera a variabilidade das ações ? ?f2 ? parte do coeficiente de ponderação das ações ?f , que considera a simultaneidade de atuação das ações ? ?f3 ? parte do coeficiente de ponderação das ações ?f , que considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações

I.8.5.1 ? Coeficientes de ponderação das ações no ELU Tabela 1.4 ? Valores de ?f1 . ?f3

Combinações de ações Ações Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) Recalques de apoio e retração D1) F G T D F D F Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0 Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0 Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0 Onde: 1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

I.8.5.2 ? Coeficientes de ponderação no ELS Em geral , o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão: ?f = ?f2 (1.17)

onde ?f2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.5) ? ?f2 = 1 para combinações raras ? ?f2 = ?1 para combinações freqüentes

I.8.6 ? Combinações de ações Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido.

Tabela 1.5 ? Valores do coeficiente ?f2 Ações ?f2 ?0 ? 1) 1 ?2 Cargas acidentais de edifícios Locais em que não há predominância de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas 2) 0,5 0,4 0,3 Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas 3) 0,7 0,6 0,4 Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0 Temperatura Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 1) Para os valores ?1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção 2) Edifícios residenciais 3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos

I.8.6.1 ? Combinações últimas 1. Combinações últimas normais ? Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, 2. Combinações últimas especiais ou de construção ? Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR- 8681(2003) 3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR- 8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso 4. Combinações últimas usuais ? para facilitar a visualização, essas combinações estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003)

I.8.6.2 ? Combinações de serviço São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como:

1. Quase permanente ? podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações 2. Freqüentes ? se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que 3. Raras ? ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras.

listadas na tabela 11.4 da NBR 6118(2003) I.8.7 ? Resistências

I.8.7.1 ? Valores característicos Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material , têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Pode ser de interesse determinar a resistência característica inferior fk,inf e a superior fk,sup , que são respectivamente menor e maior que a resistência média fm . Para efeito da NBR-6118 (2003), a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.

I.8.7.2 ? Valores de cálculo 1. Resistência de cálculo A resistência de cálculo fd é dada pela expressão:

fd = fk / ?m (1.18)

2. Resistência de cálculo do concreto A resistência de cálculo do concreto fcd é obtida em duas situações distintas: ? quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias

fcd = fck / ?c (1.19)

? quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias

fcd = fckj / ?c = (?1).(fck / ?c) (1.19)

sendo ?1 a relação (fckj / fck ) dada por: ?1 = exp{s{1-(28/t)1/2]} (1.20)

s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI I.8.7.3 ? Coeficientes de ponderação das resistências

As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente: ?m = ?m1 . ?m2 . ?m3 (1.21)

onde: ?m1 é a parte o coeficiente de ponderação das resistência ?m , que considera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos.

?m2 é a parte do coeficiente de ponderação das resistência ?m , que considera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura.

?m3 é a parte co coeficiente de ponderação das resistência ?m , que considera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências.

Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último (ELU)

Os valores para verificação no ELU estão indicados na tabela 1.6

Tabela 1.6 ? Valores dos coeficientes ?c e ?s Combinações Concreto ?c Aço ?s Normais 1.4 1.15 Especiais ou de construção 1.2 1.15 Excepcionais 1.2 1

Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço (ELS)

Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não necessitam de minoração, portanto ?m= 1.

I.9 ? Referências Bibliográficas ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) ? NBR 6118 ? Projeto de estruturas de concreto

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980) ? NBR 6120 ? Cargas para cálculo de estruturas de edificações ? Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987) ? NBR 6123 ? Forças devidas ao vento em edificações ? Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) ? NBR 7480 ? Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado ? Especificação

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) ? NBR 8681 ? Ações e segurança nas estruturas ? Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) ? NBR 12655 ? Concreto ? Preparo, controle e recebimento ? Procedimento

RUSCH, H. (1981) ? Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e dimensionamento ? Editora Campus, Rio de Janeiro

Capítulo 2 - FLEXÃO NORMAL SIMPLES 2.1 - Introdução Dentre os esforços solicitantes o momento fletor M é em condições normais o esforço preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção transversal, a flexão é dita normal . Se simultaneamente atua uma força normal N ela é dita normal composta e na ausência desta, flexão normal simples.

Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo no entanto em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga.

Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites últimos (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo: Sd ? Rd MS,d ? MR,d (2.1)

Md Rcc z Nd=0Rst Seção Transversal Figura 2.1 ? Esforços externos e internos na seção transversal Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compressão no concreto e por Rst a resultante de tração na armadura (aço = steel), na seção em que atua o momento solicitante de cálculo Md. Como é flexão simples, Nd = 0, tem-se que o momento interno resistente é equivalente a ação do binário: Rcc . z = Rst . z = Md (2.2) Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento

PP As Figura 2.2 ? Fissuras de flexão fletor capaz de produzir tensões de tração superiores às que o concreto possa suportar, surgem fissuras de flexão transversais, conforme mostrado na figura 2.2.

A ?costura? dessas fissuras pela armadura de flexão As impede que as mesmas cresçam indefinidamente ocasionando a ruptura total da peça. Conforme será visto no capítulo 4, a abertura dessas fissuras dependerá substancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão.

A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente a complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que essa tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingido a ruptura do concreto à compressão ou da armadura à tração. Para seções parcialmente comprimidas, admite-se que ocorra a ruptura do concreto quando o mesmo atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite (último) ?cc,u=3,5 ?. Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um alongamento limite (último) ?s,u = 10 ?. O alongamento máximo de 10 ? se deve a uma limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de ruptura do aço, que é bem superior a esse valor.

Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do concreto comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura.O momento fletor Md é o momento de ruptura, enquanto o momento de serviço será o de ruptura dividido pelo coeficiente de ponderação das ações ?f, ou seja:

Msev = Md / ?f (2.3)

Conforme o item 17.2 da NBR 6118, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:

1. As seções transversais se mantêm planas após a deformação; os vários casos possíveis são 2. a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do 3. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas, 4. Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente comprimidas considera-se o valor convencional de 3,5 ? (domínios 3,4 e 4a da figura 3). Nas seções inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5 ? a 2 ?, mantendo-se inalterado e igual a 2 ? a deformação a 3/7 da altura da seção, a partir da borda mais comprimida. 5. Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de 10 ? (domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica excessiva. 6. A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo da figura 2.4. Permite-se a substituição desse por um diagrama retangular simplificado de altura y=0,8 x (x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

0,85 . fcd = 0,85 . fck / ?c = ?cd = fc (2.4)

no caso em que a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminua a partir desta para a borda comprimida;

0,80 . fcd = 0,80 . fck / ?c = ?cd = fc (2.5)

7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo.

d h Alongamento Encurtamento d' 2,0%o 3,5%o a

2 1 34 A 10,0% ?yd 5 4a B C b 3 h 7

h Figura 2.3 ? Domínios de deformação (Tepdino/NBR-6118) ?cd=0,85fcd 3,5%o ?cd=0,85fcd ou 0,80fcd

2,0%o x y = 0.8x Figura 2.4 ? Diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado do concreto (Tepedino)

2.2 - Seção subarmada, normalmente armada e superarmada No caso particular de flexão simples, dos domínios existentes ficam eliminados os de número 1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os domínios possíveis 2,3 e 4.

Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção sub-armada (a armadura escoa antes da ruptura do concreto à compressão: ?sd ? ?yd). O domínio 4 corresponde ao que se

denomina seção superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura antes da armadura escoar: ?sd < ?yd).

Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas situações acima, isto é, no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4.

Segundo Tepedinio ?em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas, sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118?.

A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade:

?A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor é x/d, maior é essa capacidade.

Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoios das vigas ou de ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites: a) x/d ? 0,50 para concretos com fck ? 35 MPa; ou b) x/d ? 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;?

E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: ?Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão que garante a posição adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3

A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de x (posição da linha neutra), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está associada a posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.?

2.3 - Seção retangular à flexão simples Segundo Tepedino ?no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118, representado na figura 2.5.?

A's h d' As d ?s??yd x ?c ? 0,0035 ?'s Md y = 0.8x fc = ?cd = 0,85fcd

A's?'s Rcc = fc.b.y Asfyd b Figura 2.5 ? Seção retangular à flexão simples

Para que a tensão ?sd na armadura tracionada seja igual a fyd, é necessário e suficiente que a profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual à profundidade relativa limite do domínio 3, dada por:

? x ? 0,035 ? 3,lim = ? ? = (2.6) ? d ? 3,lim ? yd + 0,035

com ?yd, deformação de cálculo ao escoamento da armadura, dada por:

?yd = fyd / Es (2.7)

De acordo a figura 2.5 pode-se escrever as seguintes equações de equilíbrio:

? MAs = 0 ? Md = Rcc . (d ? y/2) + A's . ?'sd . (d ? d') (2.8)

? Fh = 0 ? Nd = 0 = Rcc + A's . ?'sd ? As . fyd (2.9)

Ao dividir todos os termos da equação (2.8), de equilíbrio em termos de momentos, por uma quantidade que tem a mesma dimensão de um momento, como o termo fc.b.d2, obtém-se uma equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois de substituído o valor de Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica:

A' ?' ? d' ? K = K'+ s sd ?1 ? ? (2.10) fcbd ? d ? Onde: M K = d (2.11) fcbd2 é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo) de cálculo;

? y? fcby?d ? ? ? 2? y? y ? ? ?? K'= = ?1? ?=???? ? (2.12) fcbd2 d? 2d? ? 2?

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido à armadura A's comprimida.

Na equação (2.12), ? é o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, ou seja:

? = (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . ? (2.13)

A equação (2.12) representa uma equação do segundo grau em ? e ,portanto, conforme (2.13), em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:

? = 1 ? 1 ? 2K' (2.14)

Voltando-se à equação (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o último termo simultaneamente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A's:

f bd K ? K' A' = c ÷ ? (2.15) s f yd 1 ? d' d Onde ? representa o nível de tensão na armadura comprimida, dada por:

? = ?'sd / fyd ? 1 (2.16)

A partir da equação de equilíbrio (2.9) determina-se a armadura de tração As dada por:

As = fcby + s sd (2.17) A' ?' f yd f yd

Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e substituindo a relação ?'sd / fyd do terceiro termo pela equação (2.16), obtém-se:

fcbd y As = + A's ? (2.18) f yd d

De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = ? = 1 ? (1 ? 2.K')1/2 que levado em(2.18) fornece:

As = As1 + As2 (2.19) com

A =fcbd(1? 1?2K') (2.20) s1 f yd

fcbd ? (2.21) K K' As2 = A's ? = f d' yd 1 ? d Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A's dada por:

A's = As2 / ? (2.22)

As expressões (2.19) a (2.22) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção retangular.

A armadura de compressão A's nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por K'). A única possibilidade matemática de se ter armadura A's nula e conseqüentemente também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K'. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja: - quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao concreto comprimido, (K'), isto é K = K', não é necessário armadura de compressão.

Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente K'L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a partir da equação (2.12), obtém-se:

KL = K'L = ?L (1 - ?L / 2) (2.23)

Com ?L = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ?3,lim (2.24)

O valor de ?3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela 2.1 abaixo.

Tabela 2.1 ? Valores de KL sem a consideração da dutilidade Aço fyd (kN/cm2) ?yd (?) ?3,lim (x/d)3,lim ?L KL CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427 CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376 CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358

A relação ? = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1, deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em:

?lim = (x/d)lim ? 0,50 para concretos com fck ? 35 MPa (2.25) ?lim = (x/d)lim ? 0,40 para concretos com fck ? 35 MPa

Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ?3,lim são superiores aos das equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa.

Tabela 2.2 ? Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade fck KL ? 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269

A partir da equação (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se: Md,L = KL . (fc.b.d2) (2.26)

M d = d (2.27) L K Lfcb onde: ? Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples ? dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples

Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de compressão A's. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de compressão A's, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla.

Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final do domínio 3.

Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.22), K' = KL. Essa igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimido K' é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura tracionada As1. A diferença (Md ? Md,L), que em termos adimensionais fica (K ? KL), será absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A's.

No cálculo da armadura A's aparece o nível de tensão ? na armadura comprimida, que normalmente vale 1, ou seja ?'sd = fyd. A tensão na armadura comprimida ?'sd é função da deformação ?'sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra ? = (x/d). Na situação de armadura dupla (onde A's ? 0) essa profundidade relativa é constante e igual a ?lim = (x/d)lim dado na equação (2.25), para cada uma das duas faixas de resistência do concreto (fck? 35 MPa ou fck> 35 MPa).

d d' xlim ?s ?c,max=0,035 ?'s Figura 2.6 ? Diagrama de deformação na armadura dupla

Considerando os valores limites da equação (2.25) nota-se que ambos, (x/d)=0,4 e (x/d)=0,5, são menores que os valores de ?3,lim = (x/d)3,lim da tabela 2.1, para as três categorias de aço CA-25, CA-50 e CA-60. Além disso, o valor da profundidade relativa do domínio 2 é dado por ?2,lim = (x/d)2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Pode-se concluir, portanto, que para as três categorias de aço empregados em peças de concreto armado, a profundidade relativa limite que define a armadura dupla estará no domínio 3, ou seja:

?2,lim = 0,259 < ?lim = (x/d)lim < ?3,lim (2.28)

A definição do ELU para o domínio 3 é ?c,max = 3,5 ?, conforme indicado na figura 2.6. A deformação ?'s pode ser calculada a partir da seguinte equação, retirada por semelhança de triângulos na figura 2.6:

?' 0,035 s = (2.29) xlim ? d' xlim

? x ? d' ??? x ? d' ? d ? d ?'s = × 0,035 = × 0,035 (2.30) lim lim x ?x? lim ? ? ? d ?lim

Caso ?'s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento ?yd, a tensão ?'sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, ?'sd = Es . ?'s, o que implica em valor

de ? menor que 1. Caso contrário ?'sd = fyd, o que implica em ? = 1. Fazendo ?'s ? ?yd em (2.30) obtém-se a inequação (2.31) que expressa a relação (d'/d) abaixo da qual se tem ? = 1:

? d' ? ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? × ?1 ? yd ? (2.31) ? d ? ? d ?lim ? 0,035 ?

O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes, onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é o mais utilizado para flexão em vigas. Para esse aço ?yd = 2,07 ?, e considerando (x/d)lim = 0,5 (fck?35 MPa) a equação (2.31) fica:

(d'/d) ? 0,204 ou (d/d') ? 4,896 (2.32) Esse valor expresso por (2.32), assim como para outros tipos de aço e (x/d)lim, estão indicados na tabela 2.3.

Tabela 2.3 ? Valores das relações entre d e d', para se ter ? = 1(nível de tensão em A's) Aço fck ? 35 MPa (x/d)lim = 0,5 fck > 35 MPa (x/d)lim = 0,40 (d'/d) ? (d/d') ? (d'/d) ? (d/d') ? CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616

Os valores da tabela 2.3 são as relações usuais para vigas de concreto armado, ou seja, geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, para situações pouco comuns, não contempladas na tabela 2.3, o valor de ? = ?'sd / fyd ? 1, pode ser obtido com ?'sd = Es . ?'s ? fyd, a partir da equação (2.30):

? x ? d' ??? ? d ? d 0,035 × E ? = lim × s ? 1 (2.33) ?x? f ? ? yd ? d ?lim

Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de forma resumida na próxima página.

FLEXÃO NORMAL SIMPLES ? SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO) A's d' ?cd=fc=0,85fcd

y=0,8x As Md A's.?'s d Rcc=fcby

Asfyd d-y/2 d-d' b K ? KL ? K' = K K = Md fcbd 2 K > KL ? K' = KL As1=fcbd(1? 1?2K') f yd As ? As1 + As2

fc bd K ? K' As2 = d' f yd 1 ? d ?d A's=As2÷? ?=1? 1?2K' x= 0,8 Valores de KL fck KL ? 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 ?' ? = sd f yd

Aço fck ? 35 MPa fck > 35 MPa (d'/d) ? (d/d') ? (d'/d) ? (d/d') ? CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 735 (x ) ? (d' ) Relações entre d e d' para de ter o nível de tensão ? = 1 = d(xlim ) d ? f yd d lim fyd em kN/cm2

?Nas estruturas de concreto armado são muito freqüentes as seções em T ou L, uma vez que as nervuras das vigas são normalmente solidárias às lajes, que colaboram na resistência à compressão, conforme mostrado na figura 2.7.

É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção geométrica em T ou L, isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no cálculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrário a seção se comportará como retangular de largura bw?(Tepedino).

Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y ? hf), a seção será tratada como retangular, de largura bf.

bf d' ?c ?cd=fc=0,85fcd hf x ?'s y=0,8x d ?s Md

A's?'sd Rcc Asfyd bw Figura 2.7 ? Seção T à flexão simples Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado.

Para seções normalmente armadas ou subarmadas (?s ? ?yd ? ?s = fyd), podem ser montadas as seguintes equações de equilíbrio:

? y ? ( ) ? h ? (d ) Md=fcbwy?d??+fcbf?bwhf?d?f?+A's?'sd?d' (2.34) ? 2? ? 2 ?

Nd=fcbwy+fc(bf?bw)hf+A's?'sd?Asfyd=0 (2.35)

Transformando-se a equação (2.34) conforme procedimento análogo ao da seção retangular e lembrando-se que ? = y/d e ? = ?'sd/fyd obtém-se:

M ? ? ? ? b ? h ? h ? A' ?f ? d' ? 2 = ??1 ? ? + ? ? 1? ?1 ? ? + ?1 ? ? (2.36) d f f f s yd fbd ? 2? ?bw ?d? 2d? fcbd ? d? c

Fazendo-se M ?b ?h ? h ? K = 2 ? ? ? 1? ?1 ? ? (2.37) dfff f bd ? b w ? d ? 2d ? c

? ?? K' = ??1 ? ? (2.38) ? 2?

Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de cálculo Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o problema se transforma na flexão de uma seção retangular de largura bw.

Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtém-se: f b d K'?K A's = ÷ ? (2.39) cw f d' yd 1 ? d

Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto:

K ? KL ? K' = K K > KL ? K' = KL

Da equação (2.35) obtém-se: fbd? ?b ?h? As= ??+? ?1? ?+?A's (2.40) cw f f f yd ? ? b w ? d ?

O valor de ? pode ser obtido de (2.38) resultando como na seção retangular a expressão (2.14), que levada em (2.40) fica:

As = As1 + As2 (2.41)

fbd? ?b ?h? As1= ?1? 1?2K'+? ?1? ? (2.42) cw f f f yd ? ? b w ? d ?

f b d K ? K' As2 = (2.43) cw f d' yd 1 ? d

Da mesma forma que na seção retangular A's=As2÷? (2.44)

Fazendo-se bf = bw nas equações (2.41) a (2.44) elas se transformam nas equações (2.19) a (2.22) para a seção retangular, como era de se esperar.

Analisando-se a equação (2.37) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md é igual ao momento interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa. Como nesse caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra

será menor que hf, para se ter o equilíbrio. Isso significa que mesmo para pequenos valores de K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular de largura bf. O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é encontrado fazendo-se em (2.37) K = K',uma vez que para pequenos valores de K a armadura comprimida é igual a zero. Como K' = ?(1-?/2) e nesse caso y = hf, tem-se:

? ?? h ? h ? K=K'=??1??=f?1?f? (2.45) 0 ? 2 ? d ? 2d ?

Para valores de K ? K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retangular bf x h. Embora esse seja o valor correto, sabe-se que usando o limite do Prof. Tepedino, K ? 0, a armadura calculada como seção T com 0 ? K ? K0, dá o mesmo resultado que como seção retangular bf x h nesse mesmo intervalo. Portanto, para efeito dessa publicação será tomado como o limite para se ter a mesa parcialmente comprimida o estabelecido pelo Prof. Tepedino, K ? 0.

Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a valores de momentos resistentes internos, que dificilmente precisam de uma profundidade da linha neutra superior a hf. Nessa situação o melhor seria, determinar o máximo momento interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado Md,referência e dado por:

? h? Md,ref =fcbfhf?d? ? (2.46) f

? 2? Md ? Md,ref ? y ? hf ? seção retangular bf x h

Md > Md,ref ? y > hf ? seção T ou L 2.4.1 ? Determinação da largura colaborante da mesa - bf

Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe é solidária, que se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atuante. Adotando-se o

diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tensão na mesa comprimida correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a ?cd = fc = 0,85fcd.

Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tensão de compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR- 6118 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as distribuições sejam estaticamente equivalentes.

bf Distribuição simplificada equivalente fc Distribuição real de tensões na mesa

bw Figura 2.8 ? Distribuição real e simplificada de tensões na mesa

Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.

A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado,como se apresenta a seguir:

? viga simplesmente apoiada a = 1,00 l, ? tramo em balanço a = 2,00 l.

Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura.

bf bf

b3c b1b1 b1 b4 c b2 bw bw Figura 2.9 ? Largura da mesa colaborante

b1 ? 0,5 b2 b1 ? 0,1 a (2.47) b3 ? b4 b3 ? 0,1 a

FLEXÃO NORMAL SIMPLES ? SEÇÃO T OU L (TEPEDINO) bf d' ?cd=fc=0,85fcd hf

A's d As Md A's?'sd Rcc Asfyd bw K ? KL K' = K Md ?bf ?hf? h? K = ? ? ? 1? ?1 ? f ? K ? 0 seção retangular bf x h fcbwd2 ?bw ? d ? 2d?

K > KL K' = KL fcb d ? ? b ? h ? As1= ?1? 1?2K'+? ?1? ? w ff f yd ? ? b w ? d ?

As ? As1 + As2 f b d K ? K' As2 = cw f yd 1 ? d' d ?d A's=As2÷? ?=1? 1?2K' x= 0,8 Valores de KL fck KL ? 35 MPa 0,320 > 35 MPa 0,269 ?' ? = sd f yd

Aço fck ? 35 MPa fck > 35 MPa (d'/d) ? (d/d') ? (d'/d) ? (d/d') ? CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550 CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121 CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616 735 (x ) ? (d' ) Relações entre d e d' para de ter o nível de tensão ? = 1 = d(xlim ) d ? f yd d lim fyd em kN/cm2

2.5.1 ? Armadura longitudinal mínima de tração De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118, a armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %.

Md,min = 0,8 .W0 . fctk,sup (2.48)

Onde: ? W0 é o modulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à ? fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (item 8.2.5 da NBR-6118).

De 8.2.5 sabe-se que: fctk,sup = 1,3 . fctm = 0,39 . (fck)2/3 (MPa) (2.49)

O dimensionamento para Md,min deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas de armadura da tabela 2.4 abaixo.

A taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ?min, que aparece na tabela 2.4, é dada por: A s,min f yd f yd ?min = = ?min (2.50) Acfcd fcd De (2.50) pode-se obter ?min a partir do valor dado de ?min:

? = fcd ? (2.51) min f yd min

Tabela 2.4 ? Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas Forma da seção Valores de ?min1) = (As,min / Ac) - % fck ?min 20 MPa 25 MPa 30 MPa 35 MPa 40 MPa 45 MPa 50 MPa Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 T ? (Mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197 T ? (Mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 1) Os valores de ?min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, ?c=1,4 e ?s=1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ?min deve ser calculado com base no valor de ?min dado. NOTA ?Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

Os valores da tabela 2.4 foram obtidos para aço CA-50, ?c=1,4 e ?s=1,15. Como exemplo para esses valores, a taxa mínima para seção retangular com concreto fck=30 MPa, fica:

?min = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 % Para outros valores de tipo de aço ou de coeficientes de ponderações dos materiais, não se pode usar a tabela 2.4, devendo-se calcular a taxa mínima pela equação (2.51), que é o caso por exemplo, das lajes, onde se usa normalmente aço CA-60.

2.4.2 ? Armadura de pele Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118, a armadura mínima lateral deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da viga e composta por barras de alta aderência (?1?2,25) com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15?).

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de armadura de pele.

A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A's) não deve ter valor maior que 4%Ac, calculada na região fora da zona de emendas.

2.4.4 ? Distribuição transversal das armaduras longitudinais

O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:

? na direção horizontal (ah) ? na direção vertical (av) - 20 mm - 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.

Na figura 2.10 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical (av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil (bútil) da viga dada por:

bútil = bw ? 2 . (c + ?transv) (2.52) onde: ? c é o cobrimento nominal da armadura ? ?transv é o diâmetro da armadura transversal (estribo)

O número máximo de barras longitudinais com diâmetro ?long que cabem em uma mesma camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica:

b +a n barras/camada ? (2.53) útil h a h + ? long

?transv bútil ah c av ?long bw Figura 2.10 ? Distribuição transversal das armaduras longitudinais

Adota-se como valor final do número de barras por camada, a parcela inteira do número calculado em (53).

2.4.5 ? Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118, os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e alma devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos.

As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A

seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro.

Capítulo 3 -LAJE 3.1 ? Definição Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor que as outras duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a placa é de concreto armado ela normalmente é chamada de laje. Como exemplo pode-se citar lajes de piso e forro dos edifícios, lajes de reservatórios, muros de contenção.

3.2 ? Histórico As placas devido a sua importância como elemento de vedação, piso e de transferência de cargas para as vigas, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e constitui ainda hoje um tema inesgotável de pesquisas.

As placas podem ser classificadas segundo a sua espessura h, comprada com a sua menor dimensão em planta a como: ? Placas muito esbeltas, quando (h/a) ? (1/100) ? Placas esbeltas, quando (1/100) < (h/a) ? (1/5) ? Placas espessas, quando (h/a) < (1/5)

As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variação das placas esbeltas, cujo teoria clássica ou de Kirchhoff, interpreta razoavelmente os seus resultados, que são baseados na solução da seguinte equação diferencial de quarta ordem:

(?4w / ?x4) + 2 . (?4w / ?x2?y2) + (?4w / ?y4) = p/D (3.1)

? D é a rigidez da placa à flexão, dada por: D = Ec . h3 / 12(1 - ?2) (3.2)

Onde Ec e ? são respectivamente, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do concreto.

A solução analítica da equação (3.1) só é possível para situações particulares de condições de contorno e de carregamento. Para a maioria dos casos recorre-se a soluções numéricas para a solução da placa baseada nos Métodos das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos Finitos (MEF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC).

Normalmente as lajes de concreto dos edifícios residenciais são retangulares e para essas foram produzidas desde o início tabelas para cálculo de reações de apoio e de momentos fletores. Estas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se integração numérica ou séries duplas de Fourier para a solução da equação (3.1).

As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema, substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitárias perpendiculares e independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empíricos para levar em conta a torção entre as mesmas, contemplada na equação (3.1) pela derivada cruzada, ou seja em x e y. O processo de cálculo desprezando-se a torção entre as faixas perpendiculares é normalmente conhecido como teoria da grelha ou dos quinhões de carga para cálculo de lajes retangulares.

Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a solução de lajes nervuradas, seja a figura 3.1 onde uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os quatro lados e submetida a uma carga total p, que será distribuída em pa e pb, parcelas ou quinhões da carga total que atuarão nas direções a e b respectivamente. Trata-se de um problema estaticamente indeterminado cuja única equação de equilíbrio é dada por:

p = pa + pb (3.3)

Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que nesse caso consiste em igualar as flechas ?a e ?b no centro da placa, correspondente às flechas máximas nas direções a e b, respectivamente (figura 3.1).

1 ?b 1 pb b pa ?a a Figura 3.1 ? Quinhões de cargas 5p a4 5p b4 ?a = a = ?b = b (3.4) 384EI 384EI

De (3.4) obtém-se: pa = pb . (b / a)4 (3.5)

Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b:

p pb = = kbp (3.6) ? b ?4 1+? ? ?a?

k b = ka = 1 - kb (3.7) ? b ?4 1+? ? ?a?

Onde ka e kb são os coeficientes para se determinar os quinhões de cargas nas direções a e b respectivamente.

Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos.

Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 ? 0,06 e conseqüentemente ka ? 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor a. Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em uma direção, ou seja a dimensão menor, sendo que para relações menores, a laje será considerada armada em duas direções ou em cruz.

Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos bastante utilizadas são as tabelas de Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico.

Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou das charneiras plásticas (Ingerslev -1923 e Johansen -1932), onde o diagrama tensão- deformação do material constituinte da laje é elasto-plástico perfeito, com um trecho linear elástico seguido por um trecho perfeitamente plástico. Este processo extremamente simples de cálculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino, que originou tanto as tabelas para cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico, quanto no elástico, mostradas adiante.

3.3 ? Laje retangular armada em uma direção Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre lados for maior que 2, será calculada como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Estas lajes são calculadas supondo vigas unitárias com o comprimento correspondente ao vão menor da laje e

com as condições de contorno iguais às do lado maior. Desta forma as configurações possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2.

b a 1 a a XX X MMM R R Ra Re R R Figura 3.2 ? Lajes armadas em uma direção

As reações e os momentos para as três lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1 abaixo, para o cálculo no regime elástico e no regime rígido-plástico, com a carga total p atuando na faixa unitária.

Os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os valores conhecidos da análise das estruturas, já os valores do regime rígido?plástico são obtidos a partir da relação entre o momento negativo e do positivo atuantes numa mesma direção, que no caso da tabela 3.1 foi adotado igual a 1,5. Assim para a laje apoiada-engastada o momento máximo positivo é dado por:

M = (Ra)2 / 2 . p (3.8)

com Ra = p.l / 2 ? X / l = p.l / 2 ? 1,5.M / l (3.9)

M = Ra2 / 2.p = (p.l / 2 ? 1,5.M / l)2 / 2.p (3.10)

Resolvendo-se a equação de segundo grau em M, equação (3.10), chega-se ao valor possível de M dado por:

M = p.l2 / 13,33 (3.11)

Tabela 1 ? Reações e momentos para laje armada em uma direção Tipo da laje Regime Elástico Regime rígido-plástico Apoiada-apoiada R = 0,5 . p.a R = 0,5 . p.a M = pa2/8 M = pa2/8 Apoiada-engastada Rapoio = 0,375 p.a Rapoio = 0,387 p.a Rengaste = 0,625 p.a Rengaste = 0,613 p.a M = p .a2/14,22 X = p.a2/8 M = p.a2/13,33 X = 1,5 . M Engastada-engastada R = 0,5 p.a R = 0,5 p.a M = p.a2/24 X = p.a2/12 M = p.a2/20 X = 1,5 . M

Para a placa engastada-engastada com o momento negativo X igual a 1,5 vez o momento positivo M, tem-se:

M = Ra2 / 2.p ? X = (pl/2)2 / 2.p ? 1,5.M = pl2 / 8 ?1,5.M (3.12)

De (3.12) obtém-se o valor de M: M = p.l2 / 20 (3.13)

Conforme visto anteriormente, quando a relação entre os lados de uma laje retangular é menor ou igual a 2, considera-se a mesma armada em duas direções ou em cruz

3.4.1 ? Tipos de lajes retangulares Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados na figura 3.3, onde a é o vão cuja direção tem o maior número de engastes. Caso nas duas direções o número de engaste seja o mesmo, a será considerado o menor vão.

A a?b b B C a a?b D a b E F a a?b

As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas de acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118, seguindo as aproximações: 1. as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos 2. quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: ? 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado ? 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

A partir dos ângulos definidos acima são produzidas tabelas para os 6 tipos de lajes retangulares da figura 3.3, para as diversas relações b/a (tabela 3.8,adiante). Nessas tabelas a reação em cada lado é obtida multiplicando-se os coeficientes tabelados sempre pelo produto p.a.

R'a = pA1 / a R?a = pA2 / a R'b = pA4 / b R?b = pA3 / b R'a = pA2 / a R?a = pA3 / a a Rb = pA1 a R' b?a R?b

a 60o 45o 3 12 45o 4 30o R?a R'b b Rb R'a 60o 45o

1 23 90o 90o R?a Bordo livre Figura 3.4 ? Reações de apoio para lajes retangulares

3.4.3 ? Momentos fletores Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também através de tabelas produzidas tanto para o regime elástico como para o regime rígido-plástico. No regime elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta multiplicar os valores tabelados tanto para os momentos positivos (armadura de flexão na parte inferior da laje) quanto para os momentos negativos (idem para a parte superior) pelo

produto p.a2. Já para o regime rígido-plástico apenas são tabelados os coeficientes para os momentos positivos nas duas direções, que são obtidos multiplicando-se esses coeficientes pelo produto p.a2. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido multiplicando-se por 1,5 o momento positivo da mesma direção.

As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino, salientando que as do regime rígido-plástico foram produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de plastificação nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5.

3.5 ? Cálculo da flecha em lajes retangulares O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de serviço ? ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas, definido no item 3.2.4 da NBR-6118.

As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combinações quase permanentes (ELS- DEF):

?f = ?f2 = ?2 (3.14)

Conforme a tabela 11.2 da NBR-6118 para cargas acidentais de edifícios, ?2 = 0,3 para edifícios residenciais, ?2 = 0,4 para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios públicos e ?2 = 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.

Mserv = Mg + ?2 . Mq (3.15)

Caso o momento de serviço dado em (3.15) seja menor que o momento de fissuração Mr determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118 a laje está trabalhando no estádio I (concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão ? concreto não fissurado), caso

contrário, no estádio II (concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as tensões de tração são desprezadas ? concreto fissurado). O momento de fissuração pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada:

Mr = ? . fct . Ic / yt (3.16)

Onde: ? ? é o fator que relaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para seções retangulares (caso da laje); ? yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada; ? fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme o item 8.2.5 da NBR-6118,sendo considerada igual a fctm no estado limite de deformação excessiva.

Para o cálculo de lajes, cuja seção transversal retangular é dada por 100xh, o valor de yt no estádio I é aproximadamente igual a h/2, onde h é a altura da laje, ficando a relação Ic/yt ? W0 (módulo de resistência à flexão) dada por:

W0 = 100 . h2 / 6 (cm3) (3.17)

O valor correto de yt é obtido do cálculo da seção homogeneizada, mas tendo em vista a pequena quantidade de armadura das lajes, esse valor é muito próximo ao da seção plena de concreto, justificando-se pois adotar yt = h/2.

Levando-se os valores de ?, fct = fctm, e W0 em (3.16) obtém-se finalmente o momento de fissuração para lajes maciças dado por:

Mr = 150.fctm . h2 / 6 (3.18)

Para o valor de fctm dado em KN/cm2, a unidade de Mr será KN.cm. Deve-se salientar que a equação (3.18) refere-se a uma faixa de laje de largura b = 100 cm = 1 m.

Para essas lajes as flechas são calculadas com as expressões obtidas da resistência dos materiais para os três tipos possíveis de condições de contorno ilustrados na figura 3.2. Assim essas três flechas podem ser agrupadas em uma única expressão genérica dada por:

f = K pia4 (3.19) i 384(EI )eq

com K = 5 para laje apoiada-apoiada K = 2* para laje apoiada-engastada K = 1 para laje engastada-engastada * o valor inteiro 2 foi adotado por ser aproximadamente igual ao valor correto 2,079...

onde ? a é o vão da laje armada em uma direção; ? (E.I)eq é a rigidez equivalente.

Normalmente as lajes em edifícios residenciais armadas em uma direção têm vãos pequenos e conseqüentemente momentos solicitantes em situação de serviço menores que o momento de fissuração (equação 3.18), trabalhando, portanto no estádio I. Nesse caso a rigidez equivalente é obtida considerando-se a seção homogeneizada, utilizando-se a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Devido à pequena quantidade de armação utilizada nessas lajes, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta de concreto em substituição ao da seção homogeneizada. Isso se justifica pela pequena diferença entre as duas.

Caso o momento em serviço supere o momento de fissuração, deve ser considerado o estádio II. O item 19.3.1 da NBR-6118, estado limite de deformação em lajes, estabelece que devem ser usados os mesmos critérios dados para as vigas (item 17.3.2), tanto para o estádio I quanto para o estádio II.

Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela formulação de Branson, dada na NBR-6118 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças usuais dos edifícios residenciais armadas em uma ou duas direções, geralmente o momento máximo é menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre, apenas uma pequena área da laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. A maior parte da laje estará sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa publicação, deve-se considerar:

Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.20)

(EI ) ??? M ? 3 ? ? M ? ? ?? 3 Estádio II - = E ?? r ? I + ?1 ? ? r ? ?I ? ? E I (3.21) eq cs M a ? c ?? ? M a ?? II cs c ??? ? ??

Onde: ? III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II, ? Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em ? Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural.

3.5.2 ? Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções

O valor da flecha imediata para essas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas em lajes retangulares, baseadas nas tabelas de Bares. Segundo Tepedino, por meio de regressão polinomial, ajustou-se para a flecha imediata fi, a seguinte expressão:

fi = f1 . pi.a4 / (Ecs . h3 ) (3.22)

com pi o mesmo dado em (3.19) e f1 = [K1.(b/a)3 + K2.(b/a)2 + K3. (b/a) + K4] / 1000 (3.23)

onde K1, K2, K3 e K4 estão mostrados na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo valores de (b/a) inferiores a 0,5, nem superiores a 2.

Com os valores de K1 a K4 tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.9, mostrada adiante, para o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nessa tabela, a partir do tipo de laje e da relação (b/a), extrai-se o coeficiente f1 que permite o cálculo da flecha com o emprego da equação (3.22).

Tabela 3.2 ? Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino) LAJE K1 K2 K3 K4 A 0,4 -29,6 156,8 -79,8 B -1,0 -16,0 79,3 -29,9 C 14,4 -84,3 182,1 -87,9 D 7,2 -42,1 83,8 -26,6 E 1,9 -21,2 60,9 -23,3 F 2,0 23,0 69,2 -33,3

A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente, é mais acentuada nas lajes armadas em duas direções, tendo em vista que para as lajes armadas em uma, o modelo estrutural aproxima-se mais do comportamento de vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de Branson (equação 3.21). Para efeito dessa publicação, quando o momento em serviço for menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a mesma dada pela equação (3.20). Quando ocorrer o estádio II, deve-se adotar um valor médio aproximado para a rigidez equivalente, sem utilizar, no entanto a equação (3.21). Assim para lajes armadas em duas direções tem-se:

Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.24)

Estádio II - (EI)eq = 0,7 . Ecs.Ic (3.25)

O valor 0,7 da equação (3.25) pode ser justificado como sendo o mesmo fator utilizado no item 15.7.3 da NBR-6118, para consideração aproximada da não-linearidade física do concreto.

A equação (3.22), que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta apenas o valor do módulo de elasticidade Ecs e não a rigidez à flexão EI. Portanto para levar em conta a rigidez equivalente, conforme equações (3.24) e (3.25), basta somente substituir pelo valor 0,7.Ecs quando se tiver estádio II, ficando inalterada a equação (3.22) para o estádio I.

3.5.3 ? Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado

Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator ?f dado pela expressão:

?f = ?? / (1 + 50.?') (3.26)

onde: ?' = A's / (b.d) (3.27)

? é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 3.3, ou ser calculado pelas expressões seguintes:

?? = ?(t) - ?(t0) (3.28)

?(t) = 0,68.(0,996)t.t0,32 para t ? 70 meses (3.29)

?(t) = 2 para t > 70 meses (3.30)

sendo t o tempo dado em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida, t0 a idade em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso das parcelas de cargas de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir:

t0 = ? Pi . t0i / ? Pi (31)

onde Pi representa as parcelas de carga e t0i é a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em meses.

Tabela 3.3 ? Valores do coeficiente ? em função do tempo Tempo(t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ? 70 Coeficiente ?(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2

O valor da flecha total (flecha imediata fi mais a parcela adicional diferida ?f . fi) deve ser obtido multiplicando-se a flecha imediata por (1 + ?f). Assim para situações normais em que se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias, aproximadamente t0 = 0,5 mês, com ?' = 0 (não se tem armadura dupla em lajes), obtém-se para ?f o seguinte valor:

?f = ?(?) - ?(0,5) = 2 ? 0,54 = 1,46 (3.32)

portanto, a flecha total será dada por: ftotal = (1 + ?f) . fi = 2,46 . fi (3.33)

A expressão (3.33) se refere à carga de serviço pi = g + ?2.q (parcela permanente mais a parcela quase permanente da carga acidental da laje), ou seja, as parcelas afetadas pela fluência do concreto. Portanto, pode-se obter a flecha total no tempo infinito usando-se a equação (3.22), para os valores tabelados f1, em condições normais descritas acima, da seguinte forma:

f? = (1+?f).fi = f1 . [p? . a4 / (Ecs . h3)] (3.34)

com p? = (1 + ?f) . (g + ?2 . q) (3.35)

Para o valor (1 + ?f) = 2,46 e considerando-se edifícios residenciais ?2 = 0,3, obtém-se:

p? = 2,46.(g + 0,3.q) = 2,46.g + 0,738.q (3.36)

3.6 ? Prescrições de normas referentes às lajes 3.6.1 ? Espessura mínima das lajes maciças

Segundo o item 13.2.4.1 da NBR-6118, nas lajes maciças devem ser respeitados os seguintes limites mínimos para a espessura h: 3. 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 KN; 4. 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 KN; 5. 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, (l/42) para lajes de piso biapoiadas e (l/50) para lajes de piso contínuas;

lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis).

3.6.2 ? Deslocamentos limites Segundo o item 13.3 da NBR-6118, deslocamentos limites são valores práticos para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Esses valores devem obedecer aos limites estabelecidos na tabela 13.2 da NBR-6118. Para o caso das lajes, a flecha máxima em serviço quando atuar a totalidade das cargas deve ser l / 250, onde l é o menor vão da laje retangular. Quando atuar apenas a carga acidental esse limite deve ser considerado igual a l / 350. Para lajes em balanço o vão equivalente a ser considerado deve Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas, entretanto a sua atuação isolada não pode ocasionar um desvio do plano da laje maior que l / 350.

3.6.3 ? Cobrimento nominal mínimo Segundo o item 7.4.7.2 da NBR-6118, cobrimento nominal cnom é o cobrimento mínimo cmin acrescido da tolerância de execução ?c, que para obras correntes deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor ?c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Nesse caso permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais dados abaixo em 5 mm.

Segundo a tabela 7.2 da NBR-6118 a correspondência entre a classe de agressividade ambiental (CAA) e o cobrimento nominal para lajes, com ?c = 10 mm, é dada a seguir:

CAA I cnom = 20 mm CAA II cnom = 25 mm CAA III cnom = 35 mm CAA IV cnom = 45 mm

Para a face superior de lajes que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos do tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, os cobrimentos acima podem ser substituídos pelo item 7.4.7.5 da NBR-6118, respeitado um cobrimento nominal cnom ? 15 mm. Esse item da norma estabelece que o cobrimento nominal de uma barra deve sempre ser maior que o diâmetro da barra (cnom ? ?barra).

3.6.4 ? Vãos efetivos de lajes Segundo o item 14.7.2.2 da NBR-6118, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:

lef = l0 + a1 + a2 (3.37)

onde: ? a1 e a2 são em cada extremidade do vão o menor entre os valores: 0,3.h e t1/2 ou t2/2, com h a espessura da laje e ti o comprimento do apoio i.

3.6.5 ? Aproximações para diagramas de momento fletor Este é o item 14.7.6.2 da NBR-6118, que trata da compensação de negativos entre lajes contíguas.

? Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada.

X1 ?X Xfinal X2 ?M ? 0,3.?X Laje 1 Laje 2 Figura 3.5 ? Compensação de negativos - regime elástico Na figura 3.5 está indicado esquematicamente o diagrama de momentos fletores de duas lajes contíguas calculadas isoladamente no regime elástico e representado pelo diagrama tracejado descontínuo. Os valores máximos dos momentos fletores sobre o apoio central são respectivamente X1 e X2 para as lajes L1 e L2. Depois da compensação dos negativos o diagrama final contínuo apresenta sobre o apoio central o valor Xfinal dado pelo maior entre os valores:

0,8 . Xi,max Xfinal ? (3.38) Xmed = (X1 + X2) / 2

No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de engaste e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés Devido a dificuldade de se fazer o procedimento iterativo nas lajes calculadas no regime rígido-plástico, adota-se para essas o maior valor entre os dois sobre um mesmo apoio. Já para as lajes calculadas no regime elástico deve-se adotar o valor Xfinal dado em (3.38). No caso da laje L1 o momento positivo deve ser acrescido de ?M ? 0,3.?X (fig. 3.5)

Os princípios básicos para o estabelecimento de armaduras mínimas para lajes são os mesmos dados para elementos estruturais lineares (item 17.3.5.1) da NBR-6118. Como as lajes armadas em duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para elementos lineares (vigas).

Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 3.4. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Tabela 3.4 ? Valores mínimos para armadura passivas em lajes Tipo de armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas Armaduras negativas ?s ? ?min Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções ?s ? 0,67 . ?min Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção ?s ? ?min Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção As,séc ? 0,20 . As,princ As,séc ? 0,9 cm2/m ?s ? 0,5 . ?min Onde: ?s = As/(bw.h) (3.39) Os valores de ?min constam da tabela 17.3 da NBR-6118 (armadura mínima para vigas)

Tabela 3.5 ? Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tab. 17.3 NBR-6118) Seção Valores de ?min = As,min / Ac - % (Superior CA-50 Inferior CA-60*) fck ?min 20 25 30 35 40 45 50 Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 0,150* 0,150* 0,150* 0,168* 0,192* 0,216* 0,240* Os valores de ?min estabelecidos na tabela 3.5 pressupõem o uso de aço CA-50, ?c = 1,4 e ?s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ?min deve ser recalculado com base no valor da taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ?min, dada por:

?min = As,min . fyd / (Ac . fcd) = (?min / 100) . (fyd / fcd) (3.40)

De (3.40) obtém-se o valor de ?min em função da taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas ?min, dado por:

?min = 100 . ?min . (fcd / fyd) ? 0,15% (3.41)

Para aço CA-60, ?c = 1,4 e ?s = 1,15, situação comum no dimensionamento de lajes, os valores de ?min são os mostrados na parte inferior da tabela 3.5. O valor mínimo da equação (3.41) refere-se às vigas, ou seja, 0,15%, podendo-se no caso de momentos positivos em lajes armadas em duas direções reduzir esse valor conforme a tabela 3.4 (0,67x0,15%=0,10%).

3.6.7 ? Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes ? As armaduras devem ser dispostas de forma que se possa garantir o seu ? Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8;

? As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no máximo igual a 2h ou 20 cm, prevalecendo o menor desse dois valores na ? A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo 33 cm. A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda de barras da armadura principal.

3.6.8 ? Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120)

Quando forem previstas paredes divisórias,cuja posição não esteja definida no projeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal de carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 KN/m2.

Tabela 3.6 ? Peso específico de alguns materiais de construção Materiais Peso específico aparente KN/m3 Rochas Arenito Basalto Gneiss Granito Mármore e calcáreo 26 30 30 28 28 Blocos artificiais Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos 22 20 18 13 18 20 Revestimentos e concretos Argamassa de cimento, cal e areia Argamassa de cimento e areia Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado 19 21 12,5 24 25 Madeiras Pinho, cedro Angico, cabriúva, ipê róseo 5 10 Metais Aço Alumínio e ligas Bronze Chumbo 78,5 28 85 114

Tabela 3.7 ? Valores mínimos de carga vertical Local Carga KN/m2 1- Arquibancadas 4 2- Balcões Mesma carga da peça com a qual se comunica e as previstas para parapeitos e balcões (ver adiante) - 3- Bancos Escritórios e banheiros Salas de diretoria e de gerência 2 1,5 4- Bibliotecas Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor mínimo de 2,5 4

6 5- Casa de máquinas (incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em caso, porém com o valor mínimo de 7,5 6- Cinemas Platéia com assentos fixos Estúdio e platéia com assentos móveis Banheiro 3 4 2 7- Clubes Sala de refeição e assembléia com assentos fixos Sala de assembléia com assentos móveis Salão de danças e salão de esportes Sala de bilhar e banheiro 3 4 5 2 8- Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público 3 2 9- Cozinhas não residenciais A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 10- Depósitos A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais conforme a tabela 1 da NBR-6120 - 11- Edifícios residenciais Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia 1,5 2 12- Escadas Com acesso ao público 3

Sem acesso ao público 2,5 13- Escolas Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula Outras salas 3 2 14- Escritório Salas de uso geral e banheiro 2 15- Forros Sem acesso a pessoas 0,5 16- Galerias de arte A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 17- Galeria de lojas A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 18- Garagens e estacionamento Para veículos de passageiros ou semelhante com carga máxima de 25 kN. Valores de ? indicados adiante 3 19- Ginásio de esporte 5 20- Hospitais Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, saal de cirurgia, sala de raio X e banheiro Corredor 2 3 21- Laboratórios Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3 22- Lavanderias Incluindo equipamentos 3 23- Lojas 4 24- Restaurantes 3 25- Teatros Palco Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas 5 - 26- Terraços Sem acesso ao público Com acesso ao público Inacessível a pessoas Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica 3 2 0,5

- 27- Vestíbulo Sem acesso ao público Com acesso ao público 1,5 3

? Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser considerados aplicadas, uma carga horizontal de ? O valor do coeficiente ? de majoração das cargas acidentais a serem consideradas no projeto de garagens e estacionamentos de veículos deve ser determinado do seguinte modo:

? = 1,00 quando l ? l0 ? = l0 / l quando l ? l0

sendo l o vão de uma viga ou o menor vão de uma laje, com l0 = 3 m para o caso das lajes e l0 = 5m para o caso das vigas. O valor de ? não precisa ser considerado no cálculo das paredes e pilares.

3.7 ? Tabelas para cálculo de reações de apoio e momentos fletores

Tabela 8 ? Coeficientes para cálculo das reações de apoio, conforme figura 3.4 R = r . (p.a) Tabela 9 ? Coeficientes para cálculo dos momentos fletores, regime rígido-plástico M = (p.a2)/m X = 1,5 . M (se tiver!) Tabela 10 ? Coeficientes para cálculo da flecha elástica (Bares) f = f1 . (p.a4) / (Ecs . h3) Tabela 11 ? Coeficientes para cálculo dos momentos fletores, regime elástico M = (p.a2) / m X = (p.a2) / n

Tabela 3.8 ? Reações de apoio em lajes retangulares (Tepedino) Tipo de laje A F ra=0,25 B C r'a = 0,183 r''a = 0,317 D

ra = 0,144 E b/a rb ra r'b r''b r'b r''b rb r'a r''a rb 0,50 - 0,165 0,125 0,217 - - 0,217 0,125 0,217 0,158 0,55 - 0,172 0,138 0,238 - - 0,238 0,131 0,227 0,174 0,60 - 0,177 0,150 0,260 - - 0,259 0,136 0,236 0,190 0,65 - 0,181 0,163 0,281 - - 0,278 0,140 0,242 0,206 0,70 - 0,183 0,175 0,302 - - 0,294 0,143 0,247 0,222 0,75 - 0,183 0,187 0,325 - - 0,308 0,144 0,249 0,238 0,80 - 0,183 0,199 0,344 - - 0,320 0,144 0,250 0,254 0,85 - 0,183 0,208 0,361 - - 0,330 0,144 0,250 0,268 0,90 - 0,183 0,217 0,376 - - 0,340 0,144 0,250 0,281 0,95 - 0,183 0,225 0,390 - - 0,348 0,144 0,250 0,292 1,00 0,250 0,183 0,232 0,402 0,183 0,317 0,356 0,144 0,250 0,303 1,05 0,262 0,183 0,238 0,413 0,192 0,332 0,363 0,144 0,250 0,312 1,10 0,273 0,183 0,244 0,423 0,200 0,346 0,369 0,144 0,250 0,321 1,15 0,283 0,183 0,250 0,432 0,207 0,358 0,374 0,144 0,250 0,329 1,20 0,292 0,183 0,254 0,441 0,214 0,370 0,380 0,144 0,250 0,336 1,25 0,300 0,183 0,259 0,448 0,220 0,380 0,385 0,144 0,250 0,342 1,30 0,308 0,183 0,263 0,455 0,225 0,390 0,389 0,144 0,250 0,348 1,35 0,315 0,183 0,267 0,462 0,230 0,399 0,393 0,144 0,250 0,354 1,40 0,321 0,183 0,270 0,468 0,235 0,408 0,397 0,144 0,250 0,359 1,45 0,328 0,183 0,274 0,474 0,240 0,415 0,400 0,144 0,250 0,364 1,50 0,333 0,183 0,277 0,479 0,244 0,423 0,404 0,144 0,250 0,369 1,55 0,339 0,183 0,280 0,484 0,248 0,429 0,407 0,144 0,250 0,373 1,60 0,344 0,183 0,282 0,489 0,252 0,436 0,410 0,144 0,250 0,377 1,65 0,348 0,183 0,285 0,493 0,255 0,442 0,413 0,144 0,250 0,381 1,70 0,353 0,183 0,287 0,497 0,258 0,448 0,415 0,144 0,250 0,384 1,75 0,357 0,183 0,289 0,501 0,261 0,453 0,418 0,144 0,250 0,387 1,80 0,361 0,183 0,292 0,505 0,264 0,458 0,420 0,144 0,250 0,390 1,85 0,365 0,183 0,294 0,509 0,267 0,463 0,422 0,144 0,250 0,393 1,90 0,368 0,183 0,296 0,512 0,270 0,467 0,424 0,144 0,250 0,396 1,95 0,372 0,183 0,297 0,515 0,272 0,471 0,426 0,144 0,250 0,399 2,00 0,375 0,183 0,299 0,518 0,275 0,475 0,428 0,144 0,250 0,401 O valor da reação é dado por: R = r . p.a a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

Tabela 3.9 ? Momentos fletores, regime rígido-plástico (Tepedino) Tipo de laje A B C D E F b/a ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb ma mb 0,50 - - 122,1 50,9 - - 103,2 64,5 215,6 80,8 - - 0,55 - - 92,2 46,5 - - 81,4 61,6 161,2 73,2 - - 0,60 - - 72,6 43,6 - - 66,9 60,2 125,6 67,8 - - 0,65 - -- 59,2 41,7 - - 56,9 60,1 101,4 64,2 - - 0,70 - - 49,7 40,6 - - 49,7 60,8 84,2 61,9 - - 0,75 - - 42,7 40,1 - - 44,3 62,3 71,8 60,6 - - 0,80 - - 37,6 40,1 - - 40,3 64,5 62,5 60,0 - - 0,85 - - 33,6 40,5 - - 37,2 67,2 55,5 60,1 - - 0,90 - - 30,5 41,2 - - 34,8 70,4 50,0 60,8 - - 0,95 - - 28,1 42,3 - - 32,8 74,0 45,7 61,8 - - 1,00 24,0 24,0 26,1 43,6 40,0 40,0 31,2 78,0 42,2 63,3 60,0 60,0 1,05 21,8 24,1 24,5 45,1 36,4 40,1 29,9 82,4 39,4 65,2 54,6 60,2 1,10 20,1 24,3 23,2 46,8 33,5 40,5 28,8 87,1 37,1 67,3 50,2 60,7 1,15 18,6 24,6 22,1 48,8 31,0 41,0 27,9 92,2 35,2 69,8 46,6 61,6 1,20 17,4 25,1 21,2 50,9 29,0 41,8 27,1 97,6 33,5 72,5 43,5 62,7 1,25 16,4 25,6 20,4 53,2 27,3 42,7 26,4 103,2 32,2 75,4 41,0 64,4 1,30 15,5 26,3 19,8 55,6 25,9 43,8 25,9 109,2 31,0 78,6 38,8 65,6 1,35 14,8 27,0 19,2 58,2 24,7 44,9 25,4 115,5 30,0 82,0 37,0 67,4 1,40 14,2 27,8 18,7 61,0 23,6 46,3 24,9 122,1 29,1 85,6 35,4 69,4 1,45 13,6 28,6 18,2 63,9 22,7 47,7 24,5 128,9 28,4 89,4 34,0 71,6 1,50 13,1 29,6 17,8 66,9 21,9 49,3 24,2 136,1 27,7 93,4 32,8 73,9 1,55 12,7 30,6 17,5 70,1 21,2 50,9 23,9 143,5 27,1 97,6 31,8 76,4 1,60 12,4 31,6 17,2 73,4 20,6 52,7 23,6 151,1 26,6 102,0 30,9 79,0 1,65 12,0 32,7 16,9 76,8 20,0 54,5 23,4 159,1 26,1 106,6 30,0 81,8 1,70 11,7 33,9 16,7 80,3 19,5 56,5 23,2 167,3 25,7 111,3 29,3 84,7 1,75 11,5 35,1 16,5 84,0 19,1 58,5 23,0 175,7 25,3 116,2 28,7 87,8 1,80 11,2 36,4 16,3 87,8 18,7 60,6 22,8 184,5 25,0 121,3 28,1 91,0 1,85 11,0 37,7 16,1 91,7 18,4 62,9 22,6 193,5 24,7 126,6 27,6 94,3 1,90 10,8 39,1 15,9 95,8 18,0 65,2 22,5 202,7 24,4 132,0 27,1 97,7 1,95 10,7 40,5 15,8 99,9 17,8 67,5 22,3 212,2 24,1 137,6 26,6 101,3 2,00 10,5 42,0 15,6 104,2 17,5 70,0 22,2 222,0 23,9 143,3 26,3 105,0 O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (pa2)/m O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: Xi = 1,5 . Mi a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

Tabela 3.10 ? Flecha elástica em lajes retangulares (Tepedino) Tipo de laje A B C D E F b/a f1 f1 f1 f1 f1 f1 0,50 - 0,0068 - 0,0062 0,0033 - 0,55 - 0,0090 - 0,0080 0,0045 - 0,60 - 0,011 - 0,0098 0,0058 - 0,65 - 0,014 - 0,012 0,0073 - 0,70 - 0,017 - 0,014 0,0090 - 0,75 - 0,020 - 0,015 0,011 - 0,80 - 0,022 - 0,017 0,012 - 0,85 - 0,025 - 0,019 0,014 - 0,90 - 0,028 - 0,020 0,015 - 0,95 - 0,030 - 0,021 0,017 - 1,00 0,048 0,033 0,025 0,023 0,018 0,015 1,05 0,053 0,035 0,027 0,024 0,020 0,016 1,10 0,057 0,037 0,029 0,024 0,021 0,018 1,15 0,062 0,039 0,032 0,025 0,022 0,019 1,20 0,066 0,041 0,034 0,026 0,023 0,020 1,25 0,071 0,043 0,036 0,027 0,024 0,021 1,30 0,075 0,044 0,038 0,027 0,025 0,022 1,35 0,079 0,046 0,040 0,028 0,026 0,023 1,40 0,083 0,047 0,041 0,028 0,026 0,024 1,45 0,087 0,049 0,043 0,029 0,027 0,025 1,50 0,090 0,050 0,045 0,029 0,027 0,026 1,55 0,094 0,051 0,046 0,029 0,028 0,027 1,60 0,097 0,052 0,047 0,029 0,028 0,027 1,65 0,100 0,053 0,048 0,030 0,028 0,027 1,70 0,103 0,053 0,049 0,030 0,028 0,028 1,75 0,106 0,054 0,050 0,030 0,028 0,028 1,80 0,109 0,055 0,050 0,030 0,028 0,028 1,85 0,112 0,056 0,051 0,030 0,029 0,029 1,90 0,114 0,056 0,052 0,030 0,029 0,029 1,95 0,116 0,057 0,054 0,030 0,029 0,029 2,00 0,119 0,058 0,055 0,030 0029 0,029 O valor da flecha é dada por: f = f1 . (p.a4) / (Ecs . h3) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

Tabela 3.11 ? Momentos fletores, regime elástico (Tepedino) Tipo de laje A B C D E F b/a ma mb ma mb na ma mb na nb ma mb na ma mb na nb ma mb na nb 0,50 - - 119,0 44,1 32,8 - - - - 113,6 47,9 33,7 222,2 72,7 49,3 35,2 - - - - 0,55 - - 91,7 40,0 27,6 - - - - 88,5 44,8 28,6 161,3 64,3 40,5 30,7 - - - - 0,60 - - 74,1 37,2 23,8 - - - - 73,0 42,9 25,0 123,5 58,4 34,4 27,2 - - - - 0,65 - - 61,7 35,3 20,9 - - - - 60,2 42,0 22,2 99,0 54,3 29,8 24,6 - - - - 0,70 - - 52,1 34,1 18,6 - - - - 53,5 41,7 20,1 82,0 51,3 26,2 22,5 - - - 0,75 - - 45,2 33,4 16,8 - - - - 47,2 42,0 18,5 69,0 49,5 23,4 21,0 - - - - 0,80 - - 40,2 33,1 15,4 - - - - 42,9 43,0 17,3 59,2 48,4 21,2 19,7 - - - - 0,85 - - 36,1 33,2 14,2 - - - - 39,4 44,2 16,3 52,4 47,9 19,5 19,2 - - - - 0,90 - - 32,9 33,5 13,3 - - - - 36,5 45,7 15,5 47,4 48,0 18,1 18,7 - - - - 0,95 - - 30,3 33,9 12,5 - - - - 34,2 47,8 14,8 43,1 48,6 17,1 18,4 - - - - 1,00 23,6 23,6 28,2 34,4 11,9 37,2 37,2 14,3 14,3 32,4 49,8 14,3 39,7 49,5 16,2 18,3 49,5 49,5 19,4 19,4 1,10 20,0 23,6 25,1 36,2 10,9 31,3 37,4 12,7 13,6 29,9 54,7 13,5 34,8 52,3 14,8 17,7 41,3 50,4 17,1 18,4 1,20 17,4 23,7 22,8 38,6 10,2 27,4 38,2 11,5 13,1 28,0 61,5 13,0 31,6 56,5 13,9 17,4 34,8 53,0 15,6 17,9 1,30 15,5 24,2 21,2 41,4 9,7 24,6 40,0 10,7 12,8 26,7 67,2 12,6 29,4 61,6 13,2 17,4 32,7 56,4 14,5 17,6 1,40 14,1 25,0 20,0 44,4 9,3 22,6 41,8 10,1 12,6 25,8 75,0 12,3 27,9 68,0 12,8 17,4 30,1 60,7 13,7 17,5 1,50 13,0 25,7 19,1 47,3 9,0 21,1 44,4 9,6 12,4 25,3 83,9 12,3 26,7 74,1 12,5 17,5 28,3 67,3 13,2 17,5 1,60 12,1 26,8 18,4 51,4 8,8 20,0 48,2 9,2 12,3 24,8 93,0 12,1 25,9 81,4 12,3 17,7 27,1 73,7 12,8 17,5 1,70 11,4 27,9 17,8 55,8 8,6 19,2 52,4 9,0 12,3 24,4 101,8 12,0 25,3 88,7 12,1 17,9 26,1 82,4 12,5 17,5 1,80 10,9 28,8 17,4 59,4 8,4 18,5 56,1 8,7 12,2 24,2 110,2 12,0 24,9 99,6 12,0 18,0 25,5 88,2 12,3 17,5 1,90 10,5 30,4 17,1 63,0 8,3 18,0 60,2 8,6 12,2 24,0 120,4 12,0 24,5 106,5 12,0 18,0 25,1 98,9 12,1 17,5 2,00 10,1 31,6 16,8 67,6 8,2 17,5 62,5 8,4 12,2 24,0 131,6 12,0 24,3 113,6 12,0 18,0 24,7 104,2 12,0 17,5 O valor do momento positivo e dado por:, M = pa2/m e do negativo por X = pa2/n a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão

Para a fôrma abaixo pede-se: a) Calcular as reações de apoio e os momentos fletores (regime rígido-plástico) das lajes, indicando-os em planta b) Calcular a flecha final nas lajes L1 e L2 c) Calcular as armaduras e fazer o detalhamento das lajes d) Fazer as letras a e c considerando o regime elástico

Dados: Concreto fck = 20 MPa Aço CA-60 para as lajes Edifício residencial Revestimento = 1 kN/m2 sobrecarga = 2 kN/m2 Adotar ? = 5 mm para os momentos positivos e ? = 6,3 mm para os negativos

P1-20x20 -a- P2-20x20 V1b-20x40 P3-20x20 20

600 20 L1L2 h=10 V4-20x60 V5-20x60 V3-20x60 P3-20x20 -a- P4-20x20 P5-20x20 V2b-20x40

20 200 20 400 20 Figura 3.6 ? Fôrma do exemplo (planta ? unidade - cm) Solução Peso próprio da laje: pp = (1 m)x(1 m)x(0,1 m)x(25 kN/m3) = 2,5 kN, ou seja, cada m2 de laje pesa 2,5 kN. Portanto o pp da laje por m2 é pp = 2,5 kN/m2.

pp ? 2,5 kN/m2 Carga acidental q = 2,0 kN/m2 Rev. ? 1,0 kN/m2 Carga permanente g = 3,5 kN/m2 Carga total p = g+q = 5,50 kN/m2 2,20 m a)Reações e momentos Laje L1 6,2/2,2 > 2 ? laje armada em uma direção 6,20 m De acordo a tabela 3.1, para laje apoiada-engastada no regime rígido plástico tem-se:

Ra = 0,387 x p.a = 0,387 x 5,5 x 2,2 ? 4,68 kN/m] Re = 0,613 x p.a = 0,613 x 5,5 x 2,2 ? 7,42 kN/m M = p.a2 / 13,33 = 5,5 x (2,2)2 / 13,33 ? 2,00 kN.m X = 1,5.M = 1,5 x 2,00 ? 3,00 kN.m

Laje L2 b = 6,2 m laje tipo A (teoricamente essa laje poderia ser tipo B, ou seja, engastada na continuidade com L1. Por nor- ma a armadura negativa estende-se para cada lado do apoio comum, 0,25 x 420 = 105 cm, que é menor que o vão de L1 = 220 cm. Fazendo-se uma análise a = 4,2 m numérica desse exemplo observa-se que o diagrama de momentos fletores negativos de L2 para L1 estende-se praticamente à viga de contorno V3, o que justifica considerá-la como tipo A) b/a = 6,2/4,2 = 1,48 p.a = 5,5 x 4,2 = 23,1 p.a2 = 5,5 x 4,22 = 97,02 Reações de apoio Na tabela 3.8 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para b/a=1,48, obtém-se: ra = 0,250 rb = 0,331 Ra= 0,250 x 23,1 = 5,78 kN/m Rb= 0,331 x 23,1 = 7,65 kN/m

Momentos fletores Na tabela 3.9 para laje tipo A, interpolando-se linearmente para b/a=1,48, obtém-se: ma = 13,3 mb = 29,2 Ma = 97,02 / 13,3 = 7,29 kN.m Mb = 97,02 / 29,2 = 3,32 kN/m

Xa = Xb = 0 (não há engaste nas direções a e b) Os valores das reações de apoio e dos momentos fletores estão indicados na figura 3.7. Os valores dos momentos foram indicados em planta na direção correspondente a armadura a ser calculada para combatê-los.

4,68 7,42 7,65 2,00 3,00 3,32 5,78 7,65 7,29 5,78 Figura 3.7 ? Reações e momentos indicados em planta

b) Cálculo da flecha Laje L1 Como a laje é armada em uma direção, segundo a equação (3.19), para K=2 (laje apoiada- engastada) tem-se para a flecha imediata: fi = K .pi . a4 / 384 . (E.I)eq com pi = g + ?2 . q

o valor de (E.I)eq vai depender se em situação de serviço a laje L1 estará no estádio I ou no estádio II. Para isso, deve-se calcular o valor de Mserv dado pela equação (3.15), lembrando-se que para obras residenciais ?2 = 0,3: Mserv = Mg + ?2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x 2,22/13,33 = 1,49 kN.m = 149 kN.cm Pela equação (3.18) determina-se o valor do momento de fissuração para as lajes: Mr = 150.fctm . h2 / 6 fctm = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa = 0,221 kN/cm2

Mr = 150 x 0,221 x 102 / 6 = 553 kN.cm Mr > Mserv = 149 kN.cm ? estádio I, portanto: EIeq = Ecs . Ic Ecs = 0,85 x 5600 x (20)1/2 = 21287 MPa = 2129 kN/cm2 EIeq = 2129 x 100 x 103 / 12 = 1,774 x 107 kN.cm2

fi = 2 x (3,5 x 10-2 + 0,3 x 2 x 10-2) x (220)4 / (384 x 1,774 x 107) = 0,03 cm

De acordo equação (3.34), com ?f = 1,46 obtém-se para a flecha no tempo infinito: f? = (1+?f).fi = 2,46 x (0,03) = 0,074 cm

Laje L2 Ma,serv = Mg + ?2 . Mq = (3,5 + 0,3 x 2) x (4,2)2 / 13,3 = 5,44 kN.m = 544 kN.cm Mr = 553 kN.cm > Ma,serv = 544 kN.cm estádio I De (3.36) p? = 2,46 . (g + 0,3 . q) = (2,46 x 3,5 + 0,738 x 2) x 10-4 = 10,09 x 10-4 kN/cm2 De (3.34) com f1 = 0,089 obtido interpolando-se na tabela 3.10, para laje tipo A e relação b/a = 1,48 , obtém-se: f? = 0,089 x 10,09 x 10-4 x (420)4 / (2129 x 103) = 1,31 cm < l/250 = 420/250 = 1,68 cm ok!

c) Cálculo das armaduras e detalhamento seção retangular bw.h = 100 x 10 cm2, com d = h ? 2,5 = 7,5 cm fc=?cd = 0,85 x 2 / 1,4 = 1,21 kN/cm2, fyd = 60/1,15 = 52,17 kN/cm2 ,K = M / fc . b . d2) ? As d

M (kN.cm) K (Kl = 0,211)* As (cm2/m) ? a c/ 729 0,149 2,84 ? 6,0 c/ 10 cm 332 0,068 1,23** ? 5,0 c/ 16 cm 300 0,061 1,11 (1,50)*** ? 6,0 c/ 16 cm**** 200 0,041 0,73 (1,50)*** ? 5,0 c/ 13 cm

* De acordo o item 14.7.4 da NBR 6118, quando a análise dos esforços no ELU for realizada através da teoria das charneiras plásticas (caso do regime rígido-plástico), para garantia de

condições apropriadas de dutilidade, dispensa-se a verificação explícita da capacidade de rotação plástica, se a posição da linha neutra for limitada em (x/d) ? 0,30, o que implica em um valor de Kl = 0,211.

As,min = ?s x 100 x 10 De (3.41) ?min = 100 . ?min . (fcd / fyd) = 100 x 0,035 x [(2/1,4) / (60/1,15)] = 0,096% Como deu menor, adota-se ?min = 0,15% (valor dado na tab. 3.5) ** Para momento positivo em laje armada em duas direções ?s = 0,67 . ?min = 0,10% As,min** = 0,10% x 100x 10 = 1,0 cm2/m 1,23 > 1,00 *** Para momentos, negativo em geral e positivo em laje armada em uma direção, ?s = ?min = 0,15% As,min*** = 0,15% x 100x 10 = 1,5 cm2/m **** Optou-se por uma bitola de 6,0 mm por ser armadura negativa espaçamento máximo smax = 2h = 20 cm As,sec = 0,2 x As,princ = 0,2 x 0,73 = 0,15 cm2/m < 0,9 cm2/m (tab. 4) ? 5,0 c/ 22 cm < 33 cm ok! N1 ? 47 ? 5,0 c/ 13 - 235

N3 ? 60 ? 6,0 c/10 - 435 N4 ? 34 ? 6,0 c/18 - 125 N2 -10 ? 5,0 c/22 - 635 8 8 109

55 N2 c/16 25 Figura 3.8 ? Desenho de armação, regime rígido-plástico

O detalhamento da posição N4 é feito da seguinte forma: Comprimento reto l1 / 4 para cada lado do eixo do apoio, onde l1 é o vão da laje L1. l1 / 4 = 220/4 = 55 cm Dobras o comprimento da dobra é h-c = 10 ? 2 = 8 cm O comprimento total é: 2 x (55 + 8) = 126 cm.Adotou-se 125 cm por ser múltiplo de 5 cm.

Lista de ferros N ? (mm) Quant. Comp. (cm) 1 5 47 235 2 5 35 635 3 6 60 435 4 6 34 125 Resumo CA-60 ? Comp. (m) Peso (kgf) 5 333 53 6,3 304 68 Total 121 Consumo 121/4,22 = 29 kg/m3

d) Regime elástico As lajes são as mesmas das letras a e c, mudando-se apenas para a tabela 3.11, no cálculo da laje L2.

Laje L1 pela tabela 3.1, para laje apoiada-engastada no regime elástico tem-se: M = p.a2./.14,22 = 5,5 x 2,22 / 14,22 = 1,87 kN.m X = p.a2 / 8 = 5,5 x 2,22 / 8 = 3,33 kN.m Ra = 0,375 . p.a = 0,375 x 5,5 x 2,2 = 4,54 kN/m Re = 0,625 . p.a = 0,625 x 5,5 x 2,2 = 7,56 kN/m

Laje L2 As reações de apoio são as mesmas já calculadas Ra= 0,250 x 23,1 = 5,78 kN/m Rb= 0,331 x 23,1 = 7,65 kN/m

Para os momentos fletores deve-se usar a tabela 3.11, para a relação b/a = 1,48 e laje tipo A, que depois de interpolado fornece: ma = 13,9 com pa2 = 97,02 tem-se: Ma = 97,02/13,9 = 6,98 kN.m mb = 25,6 Mb = 97,02/25,6 = 3,79 kN.m

Compensação de negativos entre L1 e L2 Como só L1 está engastada bastaria apenas considerar 0,8 Xmax Xmed = (3,33 + 0,00) / 2 = 1,67 kN.m 0,8 . Xmax = 0,8 x 3,33 = 2,66 kN.m X = 2,66 kN.m

Compensação do positivo da L1 M = 1,87 + 0,3 x (3,33 ? 2,66) = 2,07 kN.m

Para o dimensionamento de lajes no regime elástico, Kl = 0,32 para fck ? 35 MPa Kl = 0,269 para fck >35 MPa

M (kN.cm) K As (cm2/m) ? a c/ 698 0,143 2,71 > 1,00 ? 6,0 c/ 10 cm 379 0,078 1,41 > 1,00 ? 5,0 c/ 14 cm 266 0,055 0,98 < (1,50)*** ? 6,0 c/ 18 cm**** 207 0,042 0,76 <(1,50)*** ? 5,0 c/ 13 cm N1 ? 47 ? 5,0 c/ 13 - 235

N3 ? 60 ? 6,0 c/10 - 435 N4 ? 34 ? 6,0 c/18 - 125 N2 -10 ? 5,0 c/22 - 635 8 8 109

Lista de ferros N ? (mm) Quant. Comp. (cm) 1 5 47 235 2 5 39 635 3 6 60 435 4 6 34 125 Resumo CA-60 ? Comp. (m) Peso (kgf) 5 606 96 6 132 30 Total 126

Consumo = 125/4,22 = 30 kg/m3 Obs.: Tanto no regime rígido-plástico quanto no plástico a ferragem negativa pode ser alternada. Já as positivas nunca poderão ser alternadas no regime plástico, pois pressupõe-se momento de plastificação positivo constante. No regime elástico as armaduras positivas podem também ser alternadas, usando-se em termos práticos os valores 0,85 . L, 0,80 . L e 0,75 . L para lajes respectivamente engastadas-engastadas, engastadas-apoiadas e apoiadas-apoiadas, onde L é o vão da laje onde se está alternando a armação. Pode-se simplificadamente adotar um valor médio único de 0,80 . L para as três condições de contorno acima.

Capítulo 4 - CONTROLE DA FISSURAÇÃO 4.1 ? Introdução A fissuração é um fenômeno inevitável no concreto armado (não protendido), devido à baixa resistência do concreto à tração, normalmente desprezada no projeto. Mesmo sob as ações de serviço (utilização), valores críticos de tensões de tração no concreto são atingidos e visando um melhor desempenho na proteção das armaduras contra a corrosão e uma aceitabilidade sensorial dos usuários, devem-se controlar adequadamente as aberturas das fissuras, dentro de valores pré-estabelecidos de acordo com a classe de agressividade ambiental ? CAA (tabela 4.1).

Tabela 4.1 ? Classes de agressividade ambiental Classe de agressividade ambiental Agressividade Classificação geral do tipo de ambiente para efeito de projeto Risco de deterioração da estrutura I Fraca Rural Insignificante Submersa II Moderada Urbana Pequeno III Forte Marinha Grande Industrial IV Muito forte Industrial Elevado Respingos de maré

Segundo o Prof. Tepedino, ?De uma maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites dados na tabela 4.2, em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às cargas previstas na normalização, não denotam perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos.

As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do concreto?.

A fissuração inevitável não deve prejudicar a estética (sensibilidade sensorial dos usuários), nem sua estanqueidade, quando requerida, além de não comprometer a proteção da armadura contra a corrosão.

Segundo Tepedino ?as aberturas máxima das fissuras, que se pode admitir sem detrimento à aparência de uma peça e sem acarretar sentimentos de alarma, depende da posição, profundidade, textura superficial e condições de iluminação das mesmas. Fatores tais como o tipo e a finalidade da estrutura, bem como o próprio ponto de vista dos usuários e seu condicionamento psicológico face ao problema, influem decisivamente na fixação de limites de aceitabilidade das fissuras, sob o aspecto estético.A máxima abertura que em quaisquer condições jamais causaria impacto psicológico está provavelmente compreendida entre 0,2 mm a 0,4 mm.?

Segundo a NBR-6118 (2003),desde que a abertura máxima característica wk das fissuras não exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, conforme a tabela 4.2 sob ação das combinações freqüentes, isso não contribui significativamente na corrosão das armaduras passivas.

Tabela 4.2 ? Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e proteção da Tipo de concreto estrutural Classe de agressividade ambiental (CAA) Exigências relativas à fissuração Combinações de ações em serviço a utilizar Concreto simples CAA I a CAA IV Não há - Concreto armado CAA I ELS-W wk ? 0,4 mm Combinação freqüente CAA II a CAA III ELS-W wk ? 0,3 mm CAA IV ELS-W wk ? 0,2 mm

Embora as estimativas de abertura de fissuras feitas a seguir devam respeitar os limites da tabela 4.2, não se deve esperar que as aberturas de fissuras reais correspondam aos valores estimados, ou seja, fissuras reais podem ultrapassar eventualmente esses limites.

A estanqueidade é dos aspectos mais importantes nos projetos de reservatórios. Ela pode ser bastante prejudicada por fissuração além de certo limite, além disso, a percolação de água acarreta corrosão da armadura. Neste caso pode até ser necessário verificar-se o estado limite de formação de fissuras.

Segundo a NBR-6118 (2003) entende-se controle da fissuração quanto a aceitabilidade sensorial, a situação em que as fissuras passa a causar desconforto psicológico aos usuários, sem entretanto comprometer a segurança da estrutura. Limites mais severos de abertura de fissuras podem ser adotados, de comum acordo com o contratante, devendo-se, porém o mesmo ser alertado do possível aumento significativo do custo da estrutura.

4.2 ? Tipos de fissuras As fissuras podem ser classificadas em dois grupos conforme elas sejam ou não produzidas pela ação de cargas:

4.2.1 ? Fissuras não produzidas por cargas ? Fissuras devidas a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos), ? Fissuras devidas à corrosão das armaduras.

Tração Flexão Cisalhamento Figura 4.1 ? Fissuras produzidas por cargas

4.3 ? Estado limite de fissuração 4.3.1 - Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras

O item 17.3.3 da NBR-6118 estabelece as condições necessárias para a verificação dos valores limites para abertura das fissuras (tabela 4.2) nos elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme o item 11, dessa mesma norma.

O valor final da abertura das fissuras pode sofrer a influência de fatores de difícil determinação, como por exemplo, as restrições às variações volumétricas e também a das condições de execução da estrutura. Por essas razões os critérios definidos a seguir, devem ser encarados como uma avaliação aceitável para o comportamento geral da estrutura, mas não garantem com precisão a abertura específica de uma fissura.

Para cada elemento isolado ou grupo de elementos da armadura passiva que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, formada por um retângulo cujos lados não distam mais que 7,5? do eixo do elemento da armadura, conforme mostrado na figura 4.2.

A abertura estimada da fissura, w, determinada para cada parte da área de envolvimento, é a menor entre as obtidas pelas expressões abaixo:

? ? 3? w = i si si 12,5?1 E si f ctm ?i ? ? 4 ? w = si ? + 45 ? 12,5?1 Esi ? ?ri ?

Linha neutra 7,5?i (4.1)

(4.2) Região de envolvimen- to de ?i com área Acri 7,5?i ?i Figura 4.2 ? Concreto de envolvimento da armadura

Onde: ? ?i, ?si , Esi são definidos para cada área de envolvimento em exame; ? ?ri é a taxa de armadura passiva em relação à área da região de envolvimento Acri; ? ?si é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no ? ?1 é o coeficiente de conformação superficial da armadura considerada. ? fctm é o valor da resistência média ou característica do concreto à tração daa por:

fctm = 0,3 . fck(2/3) (4.3)

O coeficiente de conformação superficial ?1 é dado na NBR6118 na seção 8.3,cujos valores estão apresentados na tabela 4.3 abaixo:

Tabela 4.3 ? Coeficientes de conformação superficial Tipo de barra Coeficiente de conformação superficial ?b ?1 Lisa (CA 25) 1,0 1,0 Entalhada (CA 60) 1,2 1,4 Alta aderência (CA 50) ? 1,5 2,25 4.3.1.1 ? Cálculo da tensção ?si de forma aproximada (Tepedino)

A tensão ?si deve ser calculada no estádio II, ou seja, o diagrama de tensões de compressão no concreto linear, desprezando-se as tensões de tração. Uma maneira de se obter de forma simples e aproximada essa tensão é segundo o prof. Tepedino:

fA ?si = yd s,cal (4.4) ?f Ase

onde fyd é a tensão de cálculo ao escoamento da armadura, As,cal e Ase são respectivamente, as armaduras de tração calculada e efetivamente colocada ou existente na seção transversal que se está verificando a fissuração. O coeficiente ?f de ponderação das ações pode ser obtido de forma aproximada (combinação freqüente, obra residencial ?1=0,4) como: S 1,4Sgk+1,4Sqk 1,4(Sgk+Sqk)=1,4S 1,4S ? f = = = = ? 1,7 (4.4a) d

SservSgk+?1Sqk1Sgk+0,4Sqk=0,7S+0,4×0,3S0,82S 1 A área total interessada na fissuração Acr pode ser obtida pelo somatório das áreas de envolvimento Acri de cada barra tracionada e, portanto a taxa total ?r pode também ser dada como o somatório das taxas da armadura ?ri envolvida em cada área Acri. Assim:

Acr = ? Acri (4.5)

?r = ? ?ri = Ase / Acr (4.6)

Analogamente ?r,cal = As,cal / Acr (4.7)

Como conseqüência a equação 4.4 pode ser reescrita: f? ? si = yd r,cal (4.8) ?f ?r

Levando-se a equação (4.8) nas expressões das aberturas w estimadas de fissuras, equações (4.1) e (4.2), e substituindo w por wk (aberturas limites de fissuras), obtém-se duas novas equações onde a única incógnita será a relação (?rcal / ?r), ou inversamente (?r /?rcal) = (As /As,cal). Como para calcular a abertura estimada, adota-se o menor valor de w, agora para atender a fissuração para o valor limite wk, será adotada a menor relação (As /As,cal), lembrando-se que em nenhuma hipótese essa relação poderá ser menor que 1. Do exposto vem:

f ? ? fyd ?r,cal ? yd r,cal 3? ? w = ?i ?f ?r ? ?f ?r ? (4.9) k 12,5?1 Esi fctm

fyd ?r,cal ? ? ? ?4 ? wk = i f r ? + 45? (4.10) 12,5?1 Esi ? ?r ?

Reescrevendo-se a equação (4.9) para (?r /?r,cal) = (As /As,cal) e fazendo-se conforme Tepedino: ?f aw = i yd (4.11) 12,5?1?fEsiwk

?ffctm ?? As ?? 1 = w yd s,cal (4.12) Portanto a primeira relação entre as áreas efetivamente colocada e calculada fica:

A 3a f s = w yd ? 1 (4.13) As,cal ?ffctm

Analogamente reescrevendo-se a equação 4.10 em função de aw, obtém-se:

1=aw?r,cal?4+45? aw?r,cal(4+45?r) (4.14) ? ? ? ? = ? 2 r?r ? r

Resolvendo-se a equação acima do segundo grau em ?r, obtém-se o valor possível para ?r:

? = 22,5a ? + (22,5a ? )2 + 4a ? (4.15) r w r,cal w r,cal w r,cal

ou ? A 22,5a + (22,5a )2 + 4aw (4.16) r = s = ?1 ?Aww? r,cal s,cal r,cal

Para atender a fissuração deve-se adotar a menor relação obtida nas equações (4.13) e (4.16). Caso uma delas inicialmente dê um número menor que 1, significa que a armadura já calculada à flexão As,cal, atende à fissuração e portanto naturalmente não precisa achar a outra relação. Não se pode adotar uma relação menor que 1, o que significaria usar uma armadura inferior àquela calculada à flexão, atendendo aos requisitos do estado limite último.

Particularizando a verificação da fissuração para aço CA 50, o valor de aw dado na equação (4.11) fica: aw = 7,361×10?5 ?i (4.17) ? f Wk

As equações (4.15) e (4.16) são as mesmas da formulação do Prof. Tepedino, com o valor de

4.3.1.2 ? Cálculo da tensção ?si no Estádio II A tensão de serviço ?si, foi calculada no item anteriore com o valor aproximado dado pela equação (4.4). Essa tensão será calculada agora, como recomenda a NBR-6118, ou seja, no estádio II. Para isso seja a figura 4.3, onde uma seção transversal está apresentada com sua armadura de compressão A's e de tração As, assim como a profundidade da linha neutra no estádio II, xII.

?eA's d' xII d ?eAs b Figura 4.3 ? Seção fissurada (estádio II)

Da Resistência dos Materiais deve-se inicialmente homogeneizar a seção, normalmente pelo material com menor módulo de elasticidade, no caso o concreto, usando a seguinte relação entre os módulos:

?e = Es / Ecs (4.18)

Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra xII, que passa pelo centro geométrico da seção homogeneizada, igualando-se por definição de CG, o momento estático das áreas acima da LN (b.xII e ?eA's) com o da área abaixo (?eAs).

Dessa forma vem: (b.xII).xII / 2 - A's.(xII-d') + ?e.A's.(xII-d') = ?e.As.(d-xII) (4.19)

O segundo termo de (4.19) refere-se ao momento estático da área A's que está sendo retirado do momento estático da área de concreto comprimido, que já o contempla. O terceiro termo é o momento estático da área homogeneizada ?e.A's em relação a LN. Esses dois termos reunidos dão:

(?e ? 1).(xII ? d') = ?'e . (xII ? d') com ?'e = ?e ? 1 (4.20)

Levando-se (4.20) em (4.19) obtém-se a seguinte equação do segundo grau em xII:

(b/2)xII2 + (?eAs + ?'eA's)xII ? (?eAsd + ?'eA'sd') = 0 (4.21)

que depois de resolvida fornece: xII = ?A + A + B (4.22) 2

Com A = (?eAs + ?'eA's) / b (4.23)

B = 2 . (?eAsd + ?'eA'sd') / b (4.24)

I II = bx II 3 + ?'e A's (x II ? d')2 + ? e A s (d ? x II )2 (4.25) 3

As fórmulas (4.22) a (4.25) são as mesmas, deduzidas de forma análoga, encontradas na apostila de Deformações do Prof. Tepedino.

As tensões no concreto e nas armaduras são as tensões no estádio II, dadas por:

M ?c = xII (4.26) I II

?'s = ? e M (x II ? d') (4.27) I II

? si = ? e M (d - x II ) (4.28) I II

4.3.2 ? Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras

Para dispensar a avaliação da grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado limite de fissuração (aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado e 0,2mm para o concreto com armaduras ativas), um elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições da tabela 4.4 quanto ao diâmetro máximo (?max) e ao espaçamento máximo (smax) das armaduras, bem como as exigências de cobrimento e de armadura mínima. A tensão ?s deve ser determinada no estádio II.

Tensão na barra Valores máximos Concreto sem armaduras ativas Concreto com armaduras ativas ?s (MPa) ?max (mm) smax (cm) ?max (mm) smax (cm) 160 32 30 25 20 200 25 25 16 15 240 16 20 12,5 10 280 12,5 15 8 5 320 10 10 6 - 360 8 6 - -

4.4.1 ? Exemplo 1 Estimar o valor da abertura de fissura para uma viga de seção retangular 20X40 cm2, fck = 20 MPa, aço CA 50, momento fletor solicitante M = 4000 kN.cm, obra urbana, para as seguintes bitolas: a) ? = 16 mm b) ? = 12,5 mm c) ? = 10 mm

Cálculo da armadura de flexão Para fck = 20 MPa, ?cd = fc = 1,21 kN/cm2 ? k = 4000X1,4 / (1,21 . 20 . 362) = 0,178

Como k< kl = 0,32 ? Ascal = 3,97 cm2 2 ? 16 mm (4,0 cm2) 4 ? 12,5 mm (5,0 cm2) 5 ? 10 mm (4,0 cm2)

Acr Acr 12 4* 9,375 4*7,5 4* 4* 6** 4* 4** 4* 3** Figura 4.4 ? Detalhamento da seção transversal para as 3 opções do exemplo 1

? * o valor correto para essa distância seria o cobrimento c do concreto, mais o diâmetro do estribo, mais a metade do diâmetro da barra longitudinal. Como para o cálculo

? ** caso houvesse espaço esses valores seriam 7,5 .?, respectivamente 12 cm, 9,375 cm e 7,5 cm para os diâmetros ?=16 mm, ?=12,5 mm e ?=10 mm.

Os valores de Acr, ?r e ?s (aproximado) para as 3 opções de detalhamento são:

para ? = 16 mm Acr = 20x16 = 320 cm2 ?r = 4/320 = 0,0125 ?s = (43,5/1,7)x(3,97 /4) = 25,40 kN/cm2

para ? = 12,5 mm Acr = 20x13,375 = 267,5 cm2 ?r = 5/267,5 = 0,0187 ?s = (43,5/1,7)x(3,97 /5) = 20,32 kN/cm2

para ? = 10 mm Acr = 20x11,5 = 230 cm2 ?r = 4/230 = 0,0174 ?s = (43,5/1,7)x(3,97 /4) = 25,40 kN/cm2

Assim para fctm = 0,3x(20)(2/3) = 2,21 MPa = 0,221 kN/cm2 tem-se:

a) ? = 16 mm w1 = (16/(12,5x2,25))x(3x25,402)/(21000x0,221) = 0,237 mm

w2 = (16/(12,5x2,25))x(25,40/21000)x(4/0,0125+45) = 0,251 mm

b) ? = 12,5 mm w1 = (12,5/(12,5x2,25))x(3x20,322)/(21000x0,221) = 0,119 mm

w2 = (12,5/(12,5x2,25))x(20,32/21000)x(4/0,0187+45) = 0,111 mm

c) ? = 10 mm w1 = (10/(12,5x2,25))x(3x25,402)/(21000x0,221) = 0,148 mm

w2 = (10/(12,5x2,25))x(25,40/21000)x(4/0,0174+45) = 0,118 mm

Como a obra é urbana, CAA II ? wk ? 0,3 mm, todas as 3 bitolas verificam a fissuração. Caso esse exemplo fosse feito com ?f=1,4, os valores estimados das aberturas de fissuras seriam wk=0,305 mm, wk=0,135 mm wk=0,143 mm, respectivamente para as bitolas de 16mm, 12,5 mm e 10 mm.

4.4.2 ? Exemplo 2 Com os mesmos dados do exemplo 1, verificar a fissuração para a bitola ? = 12,5 mm, usando agora as fórmulas (4.13) e (4.16).

Como foi visto no exemplo 1, a bitola de 12,5 mm atende à fissuração para uma abertura limite de 0,3 mm para as duas equações de cálculo estimado de fissuras. Portanto ao se fazer a verificação pelas fórmulas (4.13) e (4.16), em ambas, a relação de áreas calculada e existente tem que dar menor que 1, embora não se possa adotar finalmente esta relação menor que 1, para atender ao ELU de flexão.

Para ?f = 1,7, aço CA 50 ? aw = 7,361x10-5.?i/?f.wk = 7,361x10-5x12,5/1,7x0,3 = 1,804 x 10-3

?r,cal = As,cal / Acr = 3,97 / 267,5 = 0,0148 = 1,48 % (As/As,cal) = (3.aw . fyd /(?f . fctm))(1/2) = ( 3 x 1,804x10-3 x 43,5 /(1,7 x 0,221))(1/2) (As/As,cal) = 0,79 ? (As/As,cal) = 1

A verificação poderia parar aqui, sem precisar usar a segunda equação (4.16), uma vez que se deve adotar a menor relação (As/As,cal). Com o intuito apenas de checar a outra relação que devido aos resultados do exemplo anterior sabe-se que também tem que dar menor que 1, será usada agora a equação (4.16). Assim:

(As/As,cal) = 22,5 . aw + ((22,5 . aw)2 + 4.aw / ?rcal)(1/2) (As/As,cal) = 22,5 x 1,804 x 10-3 + ((22,5 x 1,804 x 10-3)2 + 4 x 1,804x10-3 / 0,0148)(1/2) (As/As,cal) = 0,74 ? (As /Ascal) = 1

Portanto As = As,cal = 3,97 cm2 ? 4 ? 12,5 mm = 5 cm2

4.4.3 ? Exemplo 3 Verificar a fissuração para uma viga bi-apoiada com 6m de vão, carga total p = 40 kN/m, sendo a carga permanente g = 28 kN/m e a acidental q = 12 kN/m, seção de 20x60 cm2, concreto fck = 20 MPa, aço CA 50, destinada a edifício residencial com revestimento de argamassa e pintura. Adotar ? = 20 mm.

Obra urbana (CAA II) ? wk = 0,3 mm Cobrimento ? c = 3 cm Como é ambiente interno e seco e ,além disso, ainda tem revestimento, pode-se de acordo com a tabela 6.1 da NBR-6118 admitir um micro clima com uma classe de agressividade mais branda (um nível acima) ou seja CAA I, e portanto o cobrimento nominal a ser adotado será 2,5 cm, conforme a tabela 7.2 da NBR-6118. Assim para o cálculo à flexão será adotada uma altura útil: d = h ?c - ?estribo - (0,5 . ?longitudinal) = 60 - 2,5 ? 0,5 ? 0,5 x 2 = 56 cm

Cálculo à flexão ?cd = fc = 0,85 x 2 / 1,4 = 1,21 kN / cm2 M = 40 x 62 / 8 = 180 kN.m = 126 (Mg) + 54 (Mq)

k = 18000 x 1,4 / (1,21 x 20 x 562) = 0,331 > kl = 0,32 As1 = (1,21 x 20 x 56 / 43,5) x (1 ? 2 x 0,32)(1/2) = 12,51 cm2 As2 = (1,21 x 20 x 56 / 43,5) x (0,331 ? 0,32) / (1 ? 4 / 56) = 0,37 cm2 ________ As = 12,88 cm2

n barras = 12,88 / 3,142* = 4,1 ? 5 ? 20 mm Ase = 15,71 cm2 * valor da área nominal do ? = 20 mm em cm2, segundo a NBR 7480(ver tabela 1.3 dessa publicação, pág. 15)

A' = As2 = 0,37 cm2 2 ? 5 mm (0,392 cm2) ? (tabela 1.3) s

Cálculo do valor ?f ?f = Fd / Fd,serv = Md / Md,serv Segundo as tabelas 11.1 (tabela 1.4, pág. 22) e 11.3 da NBR-6118 a combinação última normal no ELU é dada por:

Md = ?g . Mgk + ?q . Mqk = 1,4 x 126 + 1,4 x 54 = 252 kN.m Para combinação freqüente (ELS ? w ,estado limite de serviço correspondente à abertura de fissuras) segundo a tabela 11.4 da NBR 6118, tem-se:

Md,serv = Mg,k + ?1 . Mq1k = 126 + 0,4 x 54 = 147,6 kN.m Portanto ?f = 252 / 147,6 = 1,707 ? 1,71

De qualquer forma o valor final de Md é sempre 252 kN.m, ou seja:

Md = 1,4 x 180 = 1,71 x 147,6 = 252 KN.m Verificação da fissuração

cálculo de Acr bútil = b ? 2.(c + ?est.) = 20 ? 2 x (2,5 + 0,5) = 14 cm

De acordo ao item 2.4.4, página 52 dessa publicação, o espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais desse exemplo ah = av = 2 cm, portanto o número máximo de barras de 20 mm em uma só camada será:

n barras/camada ? ( bútil + ah ) / ( ah + ?long. ) = (14 + 2) / (2 + 2) = 4 ? 4 barras/camada

2 ? 5 mm 15 4 4 ah 4 12 4 5 ? 20 mm Acr av Figura 4.5 ? Detalhamento da seção transversal

A armadura conforme detalhada na fig. 4.5 mostra que o valor correto de d é:

dcor = h ? d``, com d`` = (4 x 4 + 1 x 8) / 5 = 4,8 cm ? dcor = 60 ? 4,8 = 55,2 cm ?d = d-dcor = 56-55,2 = 0,8 cm < 5%h = 3 cm ? não é necessário redimensionar

Conforme a fig. 4.5, tem-se: Acr = 20 x (8 + 15) = 460 cm2 ? ?r,cal = 12,88 / 460 = 0,028 = 2,8 %

Verificação para ?si aproximado aw = (?i . fyd / 12,5 . ?1 . ?f . Esi . wk) = 20 x 43,5 / (12,5 x 2,25 x 1,71 x 21000 x 0,3) = 2,871x10-3 (As /As,cal) = 22,5 . aw + ((22,5 . aw)2 + 4.aw / ?rcal)(1/2) = 0,708 (As /As,cal) = 1*

Portanto As = As,cal = 12,88 cm2 ? 5 ? 20 mm

* como uma das relações já deu 1, não precisa fazer a outra (começa-se a verificação por essa relação porque normalmente ela fornece a menor relação).

?si = [(50 / 1,15) / 1,71].(12,88 / 15,71) = 20,85 kN/cm2 Verificação para ?si no estádio II

Para o cálculo de ?si no estádio II tem-se: ?e = 21000/2129 = 9,86 ?'e = 8,86 A = (9,86 x 12,88 + 8,86 x 0,37) / 20 = 6,52 B = 2 x (9,86 x 12,88 x 56 + 8,86 x 0,37 x 4) / 20 = 712,77 xII = - 6,52 + [(6,52)2 + 712,77]1/2 = 20,97 cm III = 20 x 20,973 / 3 + 8,86 x 0,37 x (20,97 ? 4)2 + 9,86 x 12,88 x (56-20,97)2 III = 218318 cm4 = 0,61 Ic ?si = 9,86 x (14760 / 218318)(56-20,97) = 23,36 kN/cm2

Os valores acima foram obtidos para as armaduras calculadas, caso sejam obtidos para as armaduras existentes ( As=15,71 cm2 e A's = 0,4 cm2), que é o mais natural, obtém-se os seguintes valores:

xII = 22,59 cm III = 250968 cm2 ?si = 19,37 kN / cm2

A diferença quando se considera armaduras existentes, comparado com a forma aproximada, fica em torno de 7%.

Estimando-se a abertura de fissura pelo menor valor obtido pela s equações (4.1) e (4.2), vem:

?si,aproximado = 20,85 kN/cm2 wk1 = 0,20 mm wk2 = 0,11 mm

?si,Ase = 19,37 kN/cm2 wk1 = 0,17 mm wk2 = 0,12 mm

A diferença nesse exemplo quando se usa o valor aproximado da tensão de serviço ?si, comparado com o valor calculado no Estádio II, ficou abaixo de 10% tanto no cálculo da tensão quanto na abertura estimada de fissuras (valores em negrito acima). Do exposto nota-se que ao trabalhar com o valor simplificado, obtido com ?f,real > 1,4 , obtém-se valores satisfatórios, com bem menos trabalho.

Capítulo 5 - CISALHAMENTO 5.1 ? Tensões de cisalhamento Considere-se apenas por simplicidade, uma seção retangular submetida à flexão simples e inicialmente com o concreto ainda não fissurado, ou seja estádio I (fig. 5.1). Conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais, o diagrama de tensões de cisalhamento (ou tangenciais) e o diagrama de tensões normais estão indicados respectivamente nas fig. 5.1b e fig.5.1c. Na fig. 5.1b, ? representa a tensão de cisalhamento para pontos distantes y da linha neutra LN dada por:

? = V.Q / (bw . I) (5.1)

onde V é a força cortante atuante na seção transversal, Q e I são, respectivamente, o momento estático da área A1 acima de y e o momento de inércia da seção, ambos em relação à linha neutra LN.

h y ? M N o A1 Rcc ? z L Rtc

bw a) seção transversal b) diagrama de tensões c) diagrama de tensões tangenciais ? normais ? Figura 5.1 ? Viga de seção retangular submetida à flexão simples (estádio I)

O valor de ? atinge o seu valor máximo ?o, quando y = 0, ou seja, na linha neutra. Nessas condições, para um diagrama linear de tensões normais, conforme a fig. 5.1c, a relação (I / Qo) representa o braço de alavanca z, entre as resultantes de compressão Rcc e de tração Rtc no concreto, podendo a equação (5.1) ser reescrita como:

?o = V.Qo / (bw . I) = V / bw.(I/Qo) = V / (bw . z) (5.2)

As equações (5.1) e (5.2) foram obtidas com as hipóteses da Resistência dos Materiais considerando-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurado, sendo portanto só aplicáveis no estádio I, situação de ocorrência pouco comum para peças de concreto armado.

Considerando-se agora o concreto já fissurado, funcionando no estádio II, as equações (5.1) e (5.2) serão válidas desde que se despreze a resistência do concreto tracionado abaixo da LN, considere distribuição linear de tensões de compressão no concreto e, além disso, que a armadura de tração As seja homogeneizada para uma nova área equivalente em concreto igual a (?eAs), com ?e igual a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Nesse caso, ainda conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais compostos, a determinação da LN, que coincide com a profundidade da área comprimida, é obtida pela igualdade entre os momentos estáticos dessa área e da área tracionada (?e As) em relação à LN.

O dimensionamento no estado limite último para flexão simples, estádio III, pressupõe diagrama parabólico (simplificado em retangular) de tensões de compressão no concreto oriundas do momento fletor de cálculo Md, de modo que não valem mais as equações (5.1) e (5.2), caso se pretenda obter com as mesmas o braço de alavanca z, como relação entre I e Qo. No entanto a equação (5.2) continua válida desde que se adote para z no estado limite último, o mesmo valor já obtido no dimensionamento à flexão, ou seja:

z = d ? 0,4.x = Kz . d (5.3)

No intuito de simplificar o cálculo adota-se um valor médio para Kz conforme a NBR 6118 (2003) igual a 0,9, ficando portanto a tensão máxima de cisalhamento, equação (5.2), agora na situação de cálculo, dada por:

?od = Vd / (bw . 0,9.d) = 1,11 . Vd / (bw . d) (5.4)

onde ?od e Vd são, respectivamente a tensão máxima de cisalhamento e a força cortante de cálculo.

Define-se a partir da equação (5.4) uma tensão convencional de cisalhamento de cálculo, dada por:

?wd = Vd / (bw . d) (5.5)

que não tem significado físico, apenas servirá de referência para verificações futuras da resistência da peça ao cisalhamento. Já a tensão dada pela equação (5.4) tem significado físico, representando a máxima tensão de cisalhamento na seção transversal, que pode ser reescrita conforme (5.5) como:

?od = 1,11 . ?wd (5.6)

5.2 ? Elementos lineares sujeitos à força cortante (Item 17.4 da NBR 6118)

5.2.1 ? Hipóteses básicas ? As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armados ou protendidos, submetidos à força cortante, eventualmente combinados com outros esforços.

? Não se aplicam portanto a elementos de volume (ex.: bloco de fundação), lajes (tratada separadamente), vigas parede e consolos curtos.

h l<2h Figura 5.2 ? Viga-parede isostática Figura 5.3 ? Consolo curto

As condições fixadas pela NBR-6118 admitem dois modelos de cálculo em função da inclinação das ?bielas? de compressão, conforme fig. 5.4, que pressupõem a analogia com o modelo em treliça de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural, representado por uma componente adicional denominada Vc.

biela comprimida s (espaçamento das barras tracionadas) banzo comprimido

h ?? zcotg? zcotg? Vsd z(cotg?+cotg?) h banzo tracionado Figura 5.4 ? Modelo de funcionamento de viga como treliça

5.2.2 ? Condições gerais d Todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos casos indicados no item seguinte, devem conter armadura transversal mínima Asw,min constituída por estribos com taxa geométrica dada por:

?sw = (Asw,min / bw . s . sen?) > 0,2 . fctm / fywk (5.7)

onde bw é a largura média da alma, s é o espaçamento longitudinal dos estribos inclinados de um ângulo ?, fctm é a resistência média à tração do concreto e fywk é resistência ao escoamento do aço da armadura transversal.

A resistência média à tração fctm é dada no item 8.2.5 da NBR 6118. A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em ensaios realizados de acordo as normas NBR 7222 e NBR 12142, respectivamente.

A resistência à tração direta fct pode ser dada por: fct = 0,9 . fct,sp (5.8a)

fct = 0,7 . fct,f (5.8b)

ou na falta de ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f , pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por meio das seguintes equações:

fctm = 0,3 . fck(2/3) (5.9a)

fctk,inf = 0,7 . fctm (5.9b)

fctk,sup = 1,3 . fctm (5.9c)

A resistência ao escoamento do aço da armadura transversal Asw é dada por:

fywk = fyk => estribos (5.10a) ? 500 MPa fywk = 0,7.fyk => barras dobradas (5.10b)

fywd = fyd => estribos (5.10c) ? 435 MPa fywd = 0,7.fyd => barras dobradas (5.10d) A partir das equações (5.7) e (5.9a) para espaçamento s = 100 cm e estribos verticais, ? = 90o, obtém-se: Asw,min ? (bw . 100 . 1) . (0,2 . 0,3 .fck2/3) / 500 = ?w,min . bw (5.11)

onde ?w,min é a taxa mínima de armadura transversal, constituída por estribos, dada por:

?w,min = 0,012 . fck (2/3) (5.12)

A partir da equação (5.12) , com fck expresso em MPa pode-se tabelar o valor de ?w,min :

TABELA 5.1 ? Valores de ?w,min fck (MPa) ?w,min 15 0,073 20 0,088 25 0,103 30 0,116 35 0,128

- Os elementos estruturais lineares com bw > 5.d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser tratado com laje (ver item 19.4 da NBR 6118)] - As nervuras de lajes nervuradas, quando espaçadas de menos de 60 cm, também podem ser - Os pilares e elementos estruturais de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações no ELU, calculada a seção em estádio I, as seguintes condições:

?c ? fctk (5.13) VSd ? Vc 5.2.4 ? Verificação do estado limite último

5.2.4.1 ? Cálculo da resistência A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando verificadas simultaneamente as ruínas por esmagamento da biela comprimida (eq. 5.14) e a ruptura da armadura transversal tracionada (eq. 5.15), traduzidas pelas seguintes condições:

VSd ? VRd2 (5.14)

VSd ? VRd3 = Vc +Vsw (5.15)

Onde VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas, obtida de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante.

VRd3 = Vc +Vsw é a força cortante de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal, ambas obtidas de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante.

5.2.4.2 ? Modelo de cálculo I O modelo de cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de ? =45o em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto: VRd2 = 0,27 . ?v2 . fcd . bw . d = ?wd2 . bw . d (5.16)

onde: ?v2 = ( 1 ? fck / 250 ) (fck em MPa) (5.17)

?wd2 = 0,27 . ?v2 . fcd (5.18)

obs.: - embora para o cálculo de ?v2 a unidade utilizada seja o MPa , para a obtenção do esforço VRd2 em kN, deve-se transformar o ?wd2 para kN/cm2.

Analogamente a tensão convencional de cisalhamento ?wd ,equação (5.5), ?wd2 representa a tensão máxima convencional de cisalhamento, de tal forma que para se verificar a resistência da diagonal comprimida, equação (5.14), escrita em termos de esforços, basta atender a seguinte expressão, escrita em termos de valores convencionais de tensão de cisalhamento:

?wd ? ?wd2 (5.19)

TABELA 5.2 ? Valores de ?wd2 (Modelo I) fck (MPa) ?wd2 (MPa) 15 0,181.fck = 2,72 20 0,177.fck = 3,55 25 0,174.fck = 4,34 30 0,170.fck = 5,09 35 0,166fck = 5,81

VRd2 = Rcc,Max . sen? z(1+cotg?)sen? Rcc,max ? = 45o ? z = 0,9d z(1+cotg?)

FIGURA 5.5 ? Diagonal comprimida do concreto Da fig. 5.5 nota-se que a resistência máxima na diagonal comprimida, Rcc,max, pode ser dada por:

Rcc,max = ?cc,max . bw . z . (1 + cotg?) . sen? (5.20)

Vsd = VRd2 = Rcc,max . sen? = ?cc,max . bw . 0,9.d . (1 + cotg?) . sen2? (5.21) De (5.16) e (5.21) com ? = 45o , obtém-se:

?wd2 . (bw . d) = ?cc,max . 0,45. (1 + cotg?) .(bw .d) (5.22)

?cc,max = ?wd2 / 0,45. (1 + cotg?) (5.23a)

2,22 . ?wd2 para ? = 90o ?cc,max = (5.23b) 1,11 . ?wd2 para ? = 45o

com os valores de ?wd2 dados na tabela 5.2, obtém-se os valores da tensão máxima de compressão na diagonal comprimida para ? = 90o e ? = 45o.

Dividindo-se a equação 5.21 por (bw.d) chega-se ao valor da tensão convencional de cisalhamento ?wd2 . Para a situação de compressão da biela de concreto em que transversalmente tem-se uma região tracionada, a tensão ?cc,max deve ser obtida, segundo o CEB, por ?cc,max = 0,6 . ?v2 . fcd . Para ? = 45o e ? = 90o chega-se a expressão (5.18), dada pela NBR 6118.

b) cálculo da armadura transversal Da equação (5.15) VRd3 = Vc +Vsw, a primeira parcela correspondente à força cortante resistente absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, que é dada no modelo I por:

Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção Vc = Vc0 . (1 + M0 / MSd,max) ? 2 . Vc0 na flexo-compressão

com Vc0 = 0,6 . fctd . bw . d = ?c0 . bw . d (5.24)

para fctd = fctk,inf / ?c (5.25)

onde fctk,inf é dada na eq. (5.9b) e tomando-se para o coeficiente de ponderação do concreto ?c=1,4, a tensão convencional de cisalhamento correspondente aos mecanismos complementares, ?c0, pode ser dada pela seguinte expressão:

?c0* = 0,6 . fctd = 0,6 . 0,7 .0,3 . fck2/3 . / 1,4 (MPa) (5.26)

com ?c0 = ?c0* / 10 = 0,009 . fck2/3 (kN/cm2) (5.27)

onde ?c0* e ?c0 representam a mesma tensão convencional expressa em MPa e kN/cm2, respectivamente. Na equação (5.27) deve-se usar fck em MPa, para se obter ?c0 em kN/cm2.

TABELA 5.3 ? Valores de ?c0 fck (MPa) ?c0 (kN/cm2) 15 0,0547 20 0,0663 25 0,0769 30 0,0869 35 0,0963

Da equação (5.15) a parcela resistida pela armadura transversal tracionada Vsw é determinada conforme o esquema mostrado na fig. 5.6.

VRd3 = Vc + Vsw = Vc + RSt sen? RSt Asw

? ? z(cotg? + cotg?) s VSd z Figura 5.6 ? Diagonal tracionada da armadura transversal

Para ? = 45o estabelecido no modelo I, obtém-se: Vsw = RSt . sen? = (Asw / s) . z . (1 + cotg?) . fywd . sen? (5.28)

De (5.28) com z=0,9.d, considerando-se estribos verticais (? = 90o) para vigas submetidas à flexão simples (Vc = Vc0) , a equação (5.15), VSd ? Vc + Vsw , dividida por (bw .d) para transformar esforços em tensões convencionais de cisalhamento fica:

?wd ? ?c0 + (Asw / s) . 0,9.d .43,5 / (bw .d) (5.29)

com (Asw / s) ? [ (?wd - ?c0) / 39,15] . bw = ?w* . bw (cm2 / cm) (5.30)

Para s=100 cm a taxa ?w* se transforma na taxa ?w dada por :

?w = 100 . ?w* = 100 . (?wd - ?c0) / 39,15 (5.31)

e finalmente Asw ? ?w . bw (cm2 / m) (5.32)

Fazendo na equação 5.31 ?w = ?w,min = 0.012.fck2/3 obtém-se um valor mínimo de ?wd ,para o modelo I, abaixo do qual a colocação da armadura mínima Asw,min = ?w,min.bw, absorve a totalidade do esforço de cisalhamento. Assim substituindo-se o valor de ?c0 pela equação 5.27, obtém-se:

?wd,min = (39,15/100) . 0.012.fck2/3 +0,009 . f = 0,0137 . f (5.33) 2/3 2/3 ck ck

Tabela 5.4 ? Valores de ?wd,min para o Modelo I Fck (MPa) ?wd,min (kN/cm2) 15 0,083 20 0,101 25 0,117 30 0,132

c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado Quando a armadura longitudinal de tração (flexão) for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:

? VSd,max (1 )?? al=d?2(VSd,max? ) +cotg? (5.34) ?? Vc ??

onde: al ? 0,5 . d no caso geral al ? 0,2 . d para estribos inclinados a 45º

Essa decalagem do diagrama de esforços do banzo tracionado pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.

Alternativamente essa decalagem pode também ser obtida simplesmente aumentando-se a força de tração, em cada seção, pela expressão:

RSd,cor = MSd / z + ?VSd? . ( cotg? - cotg? ) . (1/2) (5.35)

5.2.4.3 ? Modelo de cálculo II O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de ?, em relação ao eixo longitudinal da peça, variando livremente entre 30o e 45o. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto: VRd2 = 0,54 . ?v2 . fcd . bw . d . sen2? .(cotg? + cotg?) = ?wd2 . bw . d (5.36)

Com ?v2 dado na equação (5.17) e ?wd2 dado por: ?wd2 = 0,54 . ?v2 . fcd . sen2? .(cotg? + cotg?) (5.37)

Para estribos verticais, ou seja ? = 90o, os valores de ?wd2 são dados na tabela 5.5

TABELA 5.5 ? Valores de ?wd2 (Modelo II) fck (MPa) ?wd2 (MPa) ? = 30o ? = 45o 15 0,157.fck = 0,181. fck = 2,72 20 0,154.fck = 3,08 0,177. fck = 3,55 25 0,150.fck = 3,75 0,174 fck = 4,34 30 0,147.fck = 0,170. fck = 5,09

b) ? cálculo da armadura transversal VRd3 = Vc +Vsw (5.38)

Onde: Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção Vc = Vc1 na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção Vc = Vc1 . (1 + M0 / MSd,max) < 2 . Vc1 na flexo-compressão

Com Vc1 = Vc0 quando VSd ? Vc0 Vc1 = 0 quando VSd = VRd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários

Definindo-se analogamente uma tensão convencional de cisalhamento proveniente de Vc1, tem-se:

?c1 = Vc1 / (bw . d) (5.39)

Os valores de Vc1, ou os correspondentes valores de ?c1, podem ser representados no gráfico seguinte:

?c1 ?c1 = ?c0 [ 1 ? (?wd - ?c0) / (?wd2 - ?c0) ] ?c0 ?c1=?c0

(5.40) ?co ?wd2 ?wd FIGURA 5.6 ? Valores de ?c1

A parcela de tração absorvida pela armadura transversal Vsw é dada por:

Vsw = (Asw / s) . z . (cotg? + cotg?) . fywd . sen? (5.41)

De (5.15),VSd ? Vc + Vsw , dividindo-se por bw . d, fazendo-se em (5.41) z = 0,9 . d, ? = 90o e s = 100 cm, obtém-se a equação para a armadura transversal Asw.

Asw ? = ?w . bw (cm2 / m) (5.42)

?w = 100 . (?wd - ?c1) / (39,15 . cotg?) (5.43)

c) ? deslocamento do diagrama de momentos fletores: São mantidas as condições estabelecidas no modelo I, sendo o deslocamento do diagrama de momentos fletores no modelo II, dado por:

al = 0,5 . d . (cotg? -cotg?) (5.44)

onde al ? 0,5 . d, no caso geral 5.2.5 ? Cargas próximas aos apoios

Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (quando a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural), valem as seguintes prescrições:

a) ? a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção;

d/2 Vs,ma c x d Vp S,Red = VS,Max ? p.(c+d)/2 (5.45)

Figura 5.7 ? Redução do cortante devido à carga p b) ? a força cortante devida a uma carga concentrada a uma distância a ? 2.d do eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a / (2.d).

P p a l-a VS (força cortante solicitante devido p e P)

Figura 5.8 ? Redução do cortante devido a uma carga concentrada próxima ao apoio l-a V = V + V = V + P (5.46) S,max S(p) S (P) S(p) l

l-a a VSP,Red = VS(p) + VS(P),Red = VS(p) + P (5.47) l 2d

l-a? a? VS,max ? VSP(P),Red = P ?1 ? ? (5.48) l ? 2d ?

l-a? a? VSP(P),Red = VS,max ? P ?1 ? ? (5.49) l ? 2d ?

Conforme as figuras 5.7 e 5.8, a força cortante reduzida devido simultaneamente à carga distribuída e carga concentrada próximas ao apoio é dada por:

l-a? a? c+d VS(P+), = ? ? ? ? ? P p VS,max P 1 p (5.50) Red l ? 2d ? 2

5.2.6 ? Prescrições complementares da NBR 6118 - diâmetro da armadura transversal Asw ?t ? 5 mm ?t ? bw/10

- espaçamento máximo dos estribos para ?wd ? 0,67.?wd2 smax = 0,6.d ? 30 cm para ?wd > 0,67.?wd2 smax = 0,3.d ? 20 cm

- A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela combinação de estribos e barras dobradas, entretanto essas últimas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.

5.3 ? Exemplos Exemplo 1 Calcular a armadura de cisalhamento para uma viga de 4 m de vão, carga distribuída p = 25 kN/m, seção de 20X40 cm2, d=36 cm, fck = 20 MPa, aço CA-60.

? Modelo I a) verificação do concreto VS,Max = pl/2 = 50 kN ?wd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2

Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se ?wd2 = 0,177.fck = 3,55 MPa = 0,355 kN/cm2

Como ?wd = 0,097 KN/cm2 < ?wd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.

b) cálculo da armadura Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c0)/39,15

?c0 pode ser calculado pela eq. 5.27 ou obtido diretamente da tab. 5.3 para fck = 20 MPa, ?c0 = 0,0663 kN/cm2

?w = 100.(0,097 ? 0,0663)/39,15 = 0,0790 < ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = Asw,min = ?w,min . bw = 0,088 . 20 = 1,76 cm2/m Como ?wd = 0,097 kN/cm2 < ?wd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4), o cálculo de Asw = Asw,min já poderia ser feito sem a necessidade de calcular ?w.

Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm2/m ? 5 mm c/ 22 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,095 / 0,354 = 0,27 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ? 22 cm (OK!)

Modelo II (? = 30o) a) verificação do concreto ?wd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2 Pela tabela 5.5, para ? = 30o e fck = 20 MPa, obtém-se: ?wd2 = 0,154.fck = 0,154 . 2 = 0,308 kN/cm2

Como ?wd = 0,097 kN/cm2 < ?wd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.

b) cálculo da armadura Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd = 0,097 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de ?c1 é dado na eq. 5.40

?c1= ?c0 [1 ? (?wd - ?c0) / (?wd2 - ?c0)] = 0,0663 . [1 ? (0,097-0,0663) / (0,308 ? 0,0663)] = 0,0578 kN/cm2

?w = 100.(0,097 - .0,0578) / (39,15 . cotg30o) = 0,058 < ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = Asw,min = ?w,min . bw = 0,088 . 20 = 1,76 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,88 cm2/m ? 5 mm c/ 22 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,097 / 0,308 = 0,32 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ? 22 cm (OK!) Modelo II (? = 45o)

a) verificação do concreto ?wd = VSd / bw.d = 50 . 1,4 / (20 . 36) = 0,097 kN/cm2

Pela tabela 5.5, para ? = 45o e fck = 20 MPa, obtém-se: ?wd2 = 0,177.fck = 0,177 . 2 = 0,355 kN/cm2 Como ?wd = 0,097 kN/cm2 < ?wd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela b) cálculo da armadura

Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd = 0,097 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .?c1 é dado na eq. 5.40

?c1= ?c0 [1 ? (?wd - ?c0) / (?wd2 - ?c0)] = 0,0663 . [1 ? (0,097-0,0663) / (0,354 ? 0,0663)] = 0,0592 kN/cm2

?w = 100.(0,095 - .0,0592) / (39,15 . cotg45o) = 0,097 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = ?w . bw = 0,097 . 20 = 1,94 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 0,97 cm2/m ? 5 mm c/ 20 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,097 / 0,354 = 0,27 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 ?22 cm (OK!)

Exemplo II Mesmos dados do exemplo I, com carga distribuída p = 50 kN/m

Modelo I, sem redução do cortante no apoio a) verificação do concreto

VS,max = pl/2 = 100 kN ?wd = VSd,max / bw.d = 100 . 1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2

Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se ?wd2 = 0,355 kN/cm2

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.

b) cálculo da armadura Como ?wd = 0,194 kN/cm2 > ?wd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4)

Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c0)/39,15 ?c0 = 0,0663 kN/cm2

?w = 100.(0,194 ? 0,0663)/39,15 = 0,327 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = ?w . bw = 0,327 . 20 = 6,55 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 3,27 cm2/m ? 6 mm c/ 9 cm, ou ? 8 mm c/ 15 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,354 = 0,55 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)

Modelo I, com redução do cortante no apoio verificação do concreto

VS,max = pl/2 = 100 kN, VS,Red = VS,max ? p(c+d)/2 = 100 ?50.(0.2+0.36)/2 =86 kN

?wd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20.36) = 0,194 kN/cm2 ?wd,Red = VSd,Red / bw.d = 86 . 1,4 / (20 . 36) = 0,167 kN/cm2

Pela tabela 5.2, para fck = 20 MPa tem-se ?wd2 = 0,355 kN/cm2

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,355 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser usado o ?wd,Red)

b) cálculo da armadura ?wd,Red = 0,167 kN/cm2 > ?wd,min = 0,101 kN/cm2, então

Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd,Red - .?c0)/39,15 ?c0 = 0,0663 kN/cm2

?w = 100.(0,167 ? 0,0663)/39,15 = 0,258 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = 0,258 . 20 = 5,16 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,58 cm2/m ? 6 mm c/ 12 cm, ou ? 8 mm c/ 19 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,355 = 0,55 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)

Modelo II (? = 30o) sem redução do cortante próximo ao apoio

a) verificação do concreto ?wd = VSd / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,308 kN/cm2

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela b) cálculo da armadura

Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .?c1 é dado na eq. 5.40

?c1= ?c0 [1 ? (?wd - ?c0) / (?wd2 - ?c0)] = 0,0663 . [1 ? (0,194-0,0663) / (0,308 ? 0,0663)] = 0,0313 kN/cm2

?w = 100.(0,194 - .0,0313) / (39,15 . cotg30o) = 0,240 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = ?w . bw = 0,240 . 20 = 4,80 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,31 cm2/m ? 6 mm c/ 11 cm, ou ? 8 mm c/ 20 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,308 = 0,63 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)

a) verificação do concreto ?wd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2

VS,Red = VS,Max ? p(c+d) /2 = 100 - 50(0,2 + 0,36)/2 = 86 kN

?wd,Red = VSd,Red / bw.d = 85,75 . 1,4 / (20.36) = 0,167 kN/cm2 < ?wd2 = 0,308 kN/cm2

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,308 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser usado o ?wd,Red)

b) cálculo da armadura Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd,Red - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd,Red = 0,167 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .?c1 é dado na eq. 5.40

?c1= ?c0[1 ? (?wd,Red - ?c0) / (?wd2 - ?c0)]= 0,0663 . [1 ? (0,167-0,0663) / (0,308 ? 0,0663)]=0,0387 kN/cm2

?w = 100.(0,167 - .0,0387) / (39,15 . cotg30o) = 0,189 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = ?w . bw = 0,189 . 20 = 3,78 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 1,89 cm2/m ? 5 mm c/ 10 cm, ou ? 6 mm c/ 15 cm, ou ? 8 mm c/ 27 cm, 22 cm Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,308 = 0,63 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)

? = ângulo qualquer, por exemplo ? = 35o sem redução do cortante próximo ao apoio

a) verificação do concreto ?wd = VSd / bw.d = 100.1,4 / (20 . 36) = 0,194 kN/cm2

Pela eq. 5.37, para ? = 35o , ? = 90o (estribo vertical) e fck = 20 MPa, obtém-se:

?wd2 = 0,54 . ?v2 . fcd . sen2? .(cotg? + cotg?) = 0,54 . (1 ? 20 /250) . (2 / 1,4) .sen235o (0 + cotg35o) = ?wd2 = 0,333 kN/cm2

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,333 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.

b) cálculo da armadura Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd = 0,194 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .?c1 é dado na eq. 5.40

?c1= ?c0 [1 ? (?wd - ?c0) / (?wd2 - ?c0)] = 0,0663 . [1 ? (0,194-0,0663) / (0,333 ? 0,0663)] = 0,0346 kN/cm2

?w = 100.(0,194 - .0,0346) / (39,15 . cotg35o) = 0,285 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = ?w . bw = 0,285 . 20 = 5,70 cm2/m Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,85 cm2/m ? 6 mm c/ 10 cm, ou ? 8 mm c/ 17 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,333 = 0,58 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)

com redução do cortante próximo ao apoio a) verificação do concreto

?wd = VSd,max / bw.d = 100.1,4 / (20.36) = 0,194 kN/cm2 VS,Red = VS,Max ? p(c+d) /2 = 100 - 50(0,2 + 0,36)/2 = 86 kN

?wd,Red = VSd,Red / bw.d = 85,75 . 1,4 / (20.36) = 0,167 kN/cm2

?wd2 = 0,333 kN/cm2 valor calculado no exemplo anterior Como ?wd = 0,194 kN/cm2 < ?wd2 = 0,333 kN/cm2 , o concreto está verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá (obs.: para verificação do concreto não pode ser usado o ?wd,Red ) b) cálculo da armadura

Asw = ?w . bw com ?w = 100.(?wd,Red - .?c1) / (39,15 . cotg?)

Como ?wd,Red = 0,167 kN/cm2 > ?c0 = 0,0663 kN/cm2, o valor de .?c1 é dado na eq. 5.40

?c1=?c0 [1?(?wd,Red - ?c0) / (?wd2 - ?c0)]= 0,0663 . [1 ? (0,167-0,0663) / (0,333 ? 0,0663)] = 0,0413 kN/cm2

?w = 100.(0,162 - .0,0413) / (39,15 . cotg35o) = 0,225 > ?w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Para estribos simples (dois ramos) Asw/2 = 2,25 cm2/m ? 5 mm c/ 9 cm, ou ? 6 mm c/ 13 cm, ou ? 8 mm c/ 23 cm, 22 cm

Como ?wd / ?wd2 = 0,194 / 0,308 = 0,58 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 37 = 22 cm (OK!)

Capítulo 6 - VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA Segundo a NBR 6118 no capítulo 9, devem ser obedecidas no projeto as exigências estabelecidas nesse capítulo, relativas a aderência, ancoragem e emendas das armaduras.

6.1 ? Posição da barra durante a concretagem Consideram-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes:

b) horizontais ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que: ? para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1b); ? para elementos estruturais com h ? 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1c).

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser consideradas em má situação quanto à aderência.

h < 60 ? > 45o a)h ? 30 cm b) c) Figura 6.1 ? Zonas de boa e má aderência h ? 60 30

30 6.2 ? Valor da resistência de aderência A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

fbd = ?1 . ?2 . ?3 . fctd (6.1)

onde: ? fctd = fctk,inf / ?c = 0,7 . fctm / ?c = 0,21 . fck(2/3) / ?c (MPa) (6.2) ? ?3 = (132 - ?) / 100 , para ? > 32 mm , com ? (diâmetro da barra) em mm.

No escorregamento da armadura, em elementos estruturais fletidos, deve ser adotada a tensão de aderência dada acima multiplicada por 1,75.

6.3 ? Ancoragem das armaduras Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos.

6.3.1 ? Ancoragem por aderência Dá-se quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho.

A exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concreto, considerando-se este caso quando

o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3? e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3?.

6.3,2 ? Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos Acontece quando os esforços a ancorar são transmitidos ao concreto por meio de dispositivos mecânicos acoplados à barra.

6.3.3 ? Ancoragem de armaduras passivas por aderência As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições seguintes: ? as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ter ganchos ? com ou sem gancho, nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.

6.3.4 ? Ganchos das armaduras de tração Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser: ? em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4?; ? em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8?.

O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na tabela1.

Tabela 6.1 ? Diâmetro dos pinos de dobramento (D) Bitola mm Tipo de aço CA - 25 CA - 50 CA - 60 < 20 4? 5? 6? ? 20 5? 8? -

6.4 ? Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Fd = As . fyd nessa barra, admitindo-se ao longo desse comprimento uma tensão de aderência constante e igual a fbd, eq. (6.1).

? concreto fbd 2 Fd = ? . ? fyd / 4 = ? . ? . lb . fbd (6.3)

Fd lb Figura 6.2 ? Barra ancorada no concreto De (6.3) obtém-se:

l b = (? / 4) . (fyd / fbd) (6.4)

A partir da equação (6.4) pode-se tabelar os valores do comprimento de ancoragem básico para o aço CA-50, situação de boa aderência, ?s = 1,15, ?c = 1,4 e ? < 32 mm (tabela 6.2).

Tabela 6.2 ? Valores de l b para aço CA-50, ?s = 1,15, ?c = 1,4 e ? < 32 mm Bitola mm Classe do concreto Valores de l b em função do diâmetro C 15* (52,95?) C 20 (43,71?) C 25 (37,67?) C 30 (33,36?) C 35 (30,10?) C 40 (27,54?) C 45 (25,46?) C 50 (23,73?) 10 55 cm 50 cm 40 cm 35 cm 35 30 cm 30 cm 25 cm 12,5 70 cm 55 cm 50 cm 45 cm 40 cm 35 cm 35 cm 30 cm 16 85 cm 70 cm 65 cm 55 cm 50 cm 45 cm 45 cm 40 cm 20 110 cm 90 cm 80 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 50 cm 22 120 cm 100 cm 85 cm 75 cm 70 cm 65 cm 60 cm 55 cm 25 135 cm 110 cm 95 cm 85 cm 80 cm 70 cm 65 cm 60 cm

Os valores obtidos na tabela 6.2 foram arredondados para o múltiplo de 5 cm, imediatamente superior.

6.5 ? Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

l b,nec = ?1 . l b . (As,cal / As,ef) ? l b,min (6.5)

onde: ? ?1 = 1,0 para barras sem gancho, ? ?1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobrimento no plano normal ao do gancho ? 3?, ? l b,min é o comprimento mínimo de ancoragem, dado por:

l b,min > 10 . ? (6.6) 10 cm

6.6 ? Armadura transversal na ancoragem Para efeito desse item, observado o item 6.3.1, consideram-se as armaduras existentes ao longo do comprimento de ancoragem, caso a soma das áreas dessas armaduras seja maior ou igual às especificadas abaixo:

? Barras com ? < 32 mm ao longo do comprimento de ancoragem deve ser prevista armadura transversal capaz de resistir a 25 % da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a barra de maior diâmetro.

? Barras com ? ? 32 mm deve ser verificada a armadura em duas direções transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5 ?.

6.7 ? Ancoragem de feixes de barras, por aderência Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro equivalente igual a:

?n = ?f .( n )(1/2) (6.7)

A ancoragem dos estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas.

Os ganchos dos estribos (com diâmetro ?t) podem ser: ? Semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 ?t, ? Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 ?t, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual aos estabelecidos na tab. 6.3.

Tabela 6.3 ? Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Bitola mm Tipo de aço CA - 25 CA - 50 CA - 60 ? 10 3 ?t 3 ?t 3 ?t 10 < ? < 20 4 ?t 5 ?t - ? 20 5 ?t 8 ?t -

6.9 ? Emendas das barras 6.9.1 ? Tipos As emendas podem ser: ? Por outros dispositivos devidamente justificados.

Esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm, nem para tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada).

6.9.2.1 ? Proporção das barras emendadas Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20 % do comprimento do trecho do traspasse.

Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro.

l 01 > l 02 < 0,2 l 01 l 02 Figura 6.3?Emendas suposta na mesma seção transversal

A proporção máxima de barras tracionadas da armadura principal emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural está indicada na tabela 6.4 abaixo:

Tabela 6.4 ? Proporção de barras tracionadas emendadas Tipo de barra Situação Tipo de carregamento Estático Dinâmico Alta resistência Em uma camada 100 % 100 % Em mais de uma camada 50 % 50 % Lisa ? < 16 mm 50 % 25 % ? ? 16 mm 25 % 25 % Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.

6.9.2.2 ? Comprimento de traspasse para barras tracionadas, isoladas

Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 ?, o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser:

l 0t = ? 0t . l b,nec ? l 0t,min (6.8)

0,3 . ? 0t . l b onde: l 0t,min > 15 ? (6.9) 20 cm

? 0t é o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na mesma seção, conforme a tabela 6.3.

Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 ?, ao comprimento calculado acima, deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas. A armadura transversal na emenda deve ser justificada, atendendo ao estabelecido em 6.9.2.4.

Tabela 6.5 ? Valores do coeficiente ? 0t Barras emendadas na mesma seção % ? 20 25 33 50 > 50 Valores de ? 0t 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

6.9.2.3 ? Comprimento por traspasse de barras comprimidas, isoladas

Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para o cálculo do comprimento de traspasse:

l 0c = l b,nec ? l 0c,min (6.10)

0,6 . l b onde: l 0c,min > 15 . ? (6.11) 20 cm

6.9.2.4 ? Armadura transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas

6.9.2.4.1 ? Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver fig. 6.4)

Quando ? < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25 %, a armadura transversal deve satisfazer ao item 6.

Nos casos em que ? ? 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior ou igual a 25 %, a armadura transversal deve: ? Ser capaz de resistir a uma força igual à de uma barra emenda, considerando os ramos ? Ser constituída por barras fechadas se a distância entre as duas barras mais próximas de duas ? Concentrar-se nos terços extremos das emendas.

Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos uma barra de armadura transversal posicionada 4 ? além das extremidades da emenda.

? Ast/2 ? Ast/2 ? Ast/2 ? Ast/2

4? 4? l 0/3 l 0/3 l 0/3 l 0/3

l0 Barras tracionadas l0 Barras comprimidas Figura 6.4 ? Armadura transversal nas emendas

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