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Operações Unitárias

Operações Indústri Escoamento de Fluid Bombas Centrífugas Caracterização de Pa Fuidodinâmica de Si Mistura e Agitação Unitárias da a Química I os rtículas stemas Particulados

Revisão 1.1

UNIDADES E DIMENSÕES A medida de qualquer grandeza física pode ser expressa como o produto de dois valores, sendo um a grandeza da unidade escolhida e o outro o número dessas unidades. Assim, a distância entre dois pontos pode ser expressa com 1 m, ou como 100 cm ou então como 3,28 ft. O metro, o centímetro e o pé (foot) são respectivamente as grandezas das unidades e 1, 100 e 3,28 são os correspondentes números de unidades. Quando a magnitude da quantidade medida depende da natureza da unidade escolhida para se efetuar a medida, diz-se que a quantidade em questão possui dimensão.

Dimensões: são conceitos básicos de medidas tais como: comprimento (L), massa (M), força (F), tempo (T) e temperatura (?).

Unidades: são as diversas maneiras através das quais se pode expressar as dimensões. Exs: Comprimento ? centímetro (cm), pé (ft), polegada (in) Massa ? grama (g), libra massa (lbm), tonelada (ton) Força ? dina (di), grama força (gf), libra força (lbf) Tempo ? hora (h), minuto (min), segundo (s)

? Regra para se trabalhar corretamente com as unidades: Tratar as unidades como se fossem símbolos algébricos.

Não se pode somar, subtrair, multiplicar ou dividir unidades deferentes entre si e depois 1 cm + 1 s é 1 cm + 1s

No entanto, em se tratando de operações cujos termos apresentam unidades diferentes, mas com as mesmas dimensões, a operação pode ser efetuada mediante uma simples transformação de unidades.

1 m + 30 cm (dois termos com dimensões de comprimento) 1 m = 100 cm então, 1 m + 30 cm = 100 cm + 30 cm = 130 cm

SISTEMAS DE UNIDADES As grandezas básicas e as derivadas podem ser expressas nos vários sistemas de unidades.

Revisão 1.2

I. Dimensões básicas MLT? (sistema absoluto) I.a ? Sistema Internacional de Unidades (S.I.)

Este sistema está sendo adotado internacionalmente e baseia-se no anterior sistema metro-quilograma-segundo (M. K. S.) no qual as unidades básicas são as seguintes:

Comprimento ? metro (m) L Massa ? quilograma (kg) M Tempo ? segundo (s) T Temperatura ? Kelvin (K) ?

Este sistema é uma modificação do sistema C.G.S. em que se usam unidades maiores. A unidade de força, chamada Newton, é a que dará uma aceleração de 1 metro por segundo por segundo e uma massa de 1 quilograma.

7 I.b ? Sistema pé-libra-segundo (F.P.S.) Neste sistema usam-se as seguintes unidades básicas:

Comprimento ? pé (ft) L Massa ? libra massa (lbm) M Tempo ? segundo (s) T Temperatura ? Rankine (R) ?

A unidade de força, o poundal, é a força que provocará uma aceleração de 1 pé por segundo por segundo a uma massa de 1 libra massa, ou seja:

-2 1 poundal = 1 (libra massa) (pé) (segundo) Neste sistema as unidades básicas são as seguintes

Comprimento ? centímetro (cm) L Massa ? grama (g) M Tempo ? segundo (s) T Temperatura ? Kelvin (K) ?

A unidade de força é a força que dará a uma massa de 1 grama aceleração de 1 -2 Portanto, 1 dina = 1 (grama) (centímetro) (segundo) A unidade de energia correspondente é o dina-cm que se chama erg.

Revisão 1.3

II. Dimensões básicas FLT? (sistema gravitacional) II.a. Sistema Britânico Gravitacional

Este sistema usa também o pé e o segundo para unidades de comprimento e tempo, A libra força é definida como a força que imprime à massa de uma libra uma Portanto, as unidades fundamentais são:

Comprimento ? pé (ft) L Força ? libra força (lbf) F Tempo ? segundo (s) T Temperatura ? Rankine (R) ?

A unidade de massa neste sistema chama-se slug e é a massa que recebe uma aceleração de 1 pé por segundo por segundo com a aplicação de 1 libra força, isto é:

-1 2 1 slug = 1 (libra força) (pé) (segundo)

II.b ? M.K.S. técnico ou gravitacional Este sistema tem como unidade de força o quilograma força (kgf), que é a força que dará uma aceleração de 9,81 metro por segundo por segundo a uma massa de 1 quilograma. Sua unidades são:

Comprimento ? metro (m) L Força ? quilograma força (kgf) F Tempo ? segundo (s) T Temperatura ? Kelvin (K) ?

No sistema absoluto, a unidade de força é definida pela lei de Newton em termos de massa e aceleração, ou seja:

2 F = m a (F) = (ML/T ) Então o quilograma (kg) e a libra massa (lbm) são definidas independentemente da lei de Newton, enquanto que o Newton (N) e o poundal são unidades de força derivadas pela própria lei.

Revisão 1.4

Já no sistema gravitacional a unidade de massa é que passa a ser definida pela lei de Newton em termos de força e aceleração. Então:

2 m = F/a (M) = (FT /L) Desse modo resulta que o quilograma força (kgf) e a libra força (lbf) são definidas independentemente da lei de Newton enquanto que UTM e slug são unidades derivadas. Como unidades de força e massa podem ser definidas independentemente da lei de Newton, surge a necessidade de utilizar-se um fator de conversão para tornar a equação dimensionalmente consistente.

F = K m a ou F = 1 ma g c

=F=1 Então: K ma g c No sistema internacional de unidades S.I. por exemplo, a unidade de força é o Newton então:

= 1N = 1 kg m K ou g 2 c2 kg m s N s

Deste modo : ? 1N ?( )( ) F = ? 2 ? 1kg 1 m s = 1 N 2

? kg m s ? No sistema C.G.S. a unidade de força é a dina, portanto:

K = 1 dina ou g = 1 g cm 2c2 g cm s dina s

Sendo assim : ? 1 dina ?(1 g)(1 cm ) F = ? ? 2 = ? s 1 dina ? g cm s2 ?

Revisão 1.5

III. Dimensões básicas FMLT? (sistema híbrido) III.a. No sistema Inglês de Engenharia (English Engineering System), a unidade de força é a libra força (lbf), a unidade de massa é a libra massa (lbm), a unidade de comprimento é o pé (ft), a unidade de tempo é o segundo (s) e a unidade de temperatura o grau Rankine (R). Neste sistema exige-se que o valor numérico da força e da massa sejam os mesmos na Então: 2 F = K 1 lbm g ft/m = 1 lbf

e K = 1 lbf g lbm ft s2 O valor numérico escolhido para o K é de 1/32,174 que é o mesmo valor da aceleração 2 da gravidade em ft/s ao nível do mar e a 45 de latitude.

Resulta que: K = 1 , g c = lbm ft onde g 32,174 c2 lbf s

III.b. Da mesma forma é definido o gc para um outro sistema híbrido que tem como unidade de força o quilograma força (kgf), de massa o quilograma (kg), de comprimento o metro (m), de tempo o segundo (s) e de temperatura o grau Kelvin (K).

= kg m Portanto, g 9,81 c2 kgf s SISTEMA Dimensões básicas Unidades Comprimento Força Massa Tempo Temperatura SI

FPS CGS MLT? Metro Pé Centímetro Newton* poundal* dina* Quilograma

libra massa grama segundo segundo segundo Kelvin Rankine Kelvin British Gravitacional System

MKS técnico FLT? Pé Metro libra força quilograma força Slug*

Revisão 1.6

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICA ENG 184 ? OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA INDÚSTRIA QUÍMICA I Notas Complementares

CRANE ? Nomenclature, pags. 3-2, A-3, A-6, A-23, A-24, A-25, A-26, A-27, A-28, A-29, A-30, B-10, B-11, B-16, B-17, B-18, B-19.

RIVETED STEEL ? aço rebitado CONCRETE ? concreto WOOD STAVE ? madeira aparelhada CAST IRON ? ferro fundido GALVANIZED IRON ? ferro galvanizado ASPHALTED CAST IRON ? ferro fundido asfaltado COMMERCIAL STEEL ? aço comercial DRAWN TUBING ? tubo estirado (tubulação moldada por extrusão) CARBON STEEL ? aço carbono ALLOY STEEL ? aço liga STAINLESS STEEL ? aço limpo inoxidável GATE VALVES ? válvula gaveta WEDGE DISC, DOUBLE DISC, PLUG DISC ? disco de cunha, disco duplo, tipo plug GLOBE AND ANGLE VALVES ? válvulas globos e válvula ângulo SWING CHECK VALVES ? válvulas de retenção de portinhola LIFT CHECK VALVES ? válvulas de retenção de levantamento TILTING DISC CHEC VALVES ? válvulas de retenção de disco inclinado STOP-CHECK VALVES ? válvulas de retenção tipo bloqueio FOOT VALVES WITH STRAINER ? válvulas de pé com crivo BALL VALVES ? válvulas esferas BUTTERFLY VALVES ? válvulas borboleta PLUG VALVES AND COCKS ? válvulas plug e registro STRAIGHT-WAY ? passagem reta 3-WAY ? três vias MITRE BENDS ? curvas em gomos STANDARD ELBOWS ? cotovelos ou joelhos padrões STANDARD TEE ? te padrão 90 PIPE BENDS ? curvas de 90 FLANGED OR BUTT-WELDING 90 ELBOWS ? joelho de 90 (flangeado ou soldado) POPPET DISC ? disco corrediço HINGED DISC ? disco com articulação FLOW THRU RUN ? com fluxo direto FLOW THRU BRANCH ? com fluxo ramal

Revisão 1.7

FONTE: ?Tubulações Industriais? ? Pedro C. Silva Telles Os diâmetros comerciais dos ?tubos para condução? de aço-carbono e de aço-liga estão definidos pela norma americana ANSI.B.36.10 e para os tubos de aços inoxidáveis pela norma ANSI.B.36.19. Todos esses tubos são designados por um número chamado ?Diâmetro A norma ANSI.B.36.10 abrange tubos desde 1/8? até 36? e a norma ANSI.B.36.19 abrange tubos de 1/8? até 12?. De 1/8? até 12? o diâmetro nominal não corresponde a nenhuma dimensão física dos tubos; de 14? até 36? o diâmetro nominal coincide com o Para cada diâmetro nominal fabricam-se tubos com várias espessuras de parede. Entretanto para cada diâmetro nominal, o diâmetro externo é sempre o mesmo variando apenas o diâmetro interno, de acordo com a espessura dos tubos. Por exemplo os tubos de aço de 8? de diâmetro nominal, tem todos um diâmetro externo de 8,625?. Quando a espessura deles corresponde à série 20, a mesma vale 0,250? e o diâmetro interno vale 8,125?. Para a série 40, a espessura vale 0,322? e o diâmetro interno 7,981?, para a série 80, a espessura vale A série completa de 1/8? até 36? inclui um total de cerca de 300 espessuras diferentes. Dessas todas, cerca de 100 apenas são usuais na prática e são fabricadas corretamente. As demais espessuras fabricam-se apenas por encomenda. Os diâmetros nominais padronizados pela norma ANSI.B.36.10 são os seguintes: 1/8?, 1/4", 3/8?, 1/2", 3/4", 1?, 1 1/4?, 1 1/2", 2?, 2 1/2?, 3?, 3 1/2?, 4?, 5?, 6?, 8?, 10?, 12?, 14?, 16?, 18?, 20?, 22?, 24?, 26?, 30?, 36?. Os diâmetros nominais de 1 ¼?, 2 ½?, 3 ½? e 5?, embora constem nos catálogos, não Antes da norma ANSI.B.36.10 os tubos de cada diâmetro nominal eram fabricados em três espessuras diferentes conhecidas como: ?Peso Normal? (Standard-STD), ?Extra Forte? (Extra-strong-XS) e ?Duplo Extra Forte? (Double extra-strong-XXS). Estas designações Pela norma ANSI.B.36.10 foram adotadas as séries Schedule Number para designar a espessura (ou peso) dos tubos. O número de série é um número obtido aproximadamente pela seguinte expressão: Série (Schedule Number) = 1000 P/S em que: P = pressão interna de trabalho em psig S = tensão admissível do material em psia A citada norma padronizou as séries 10, 20, 30, 40, 60, 80, 100, 120, 140 e 160 sendo que, para a maioria do diâmetros nominais apenas algumas dessas espessuras são fabricadas. A série 40 corresponde ao antigo ?peso normal? nos diâmetros até 10? e são espessuras mais comumente usadas na prática para os diâmetros de 3? ou maiores. Para os tubos acima de 10?, a série 40 é mais pesada do que o antigo peso normal. Para os tubos até 8? a série 80 corresponde ao antigo XS. Fabricam-se ainda os tubos até 8? com a espessura XXS, que não tem correspondente exato nos números de série, sendo próximo da série 160.

Revisão 1.8

ENG184 ? Operações Unitárias I : Revisão Exercícios: 1. O sistema abaixo indica uma bomba retirando água de uma lagoa de abastecimento para um reservatório. Determinar a perda de carga entre a lagoa e o tanque para uma vazão de 3o 142 m /h. A temperatura da água é 27 C e a tubulação de aço carbono.

Ø =4?sch 40 L = 250 ft 3 J 90o 1 válvula gaveta (aberta) Tanque

Ø = 6?sch 40 L = 200 ft 2 J 90o 1 válvula gaveta (aberta) Redução 6? para 4?

8 ft Ø = 6?sch 40 L = 75 ft lagoa 2. Calcular a perda de carga entre os pontos (1) e (2) no sistema abaixo:

L = 12' 4 (1) Válvula de retenção L = 8' 2 L = 10' 3 Curvas de 90o de raio longo.

L = 4' 5 (2) L = 20' 1 Válvula gaveta

Dados: líquido = água retenção = swing check valves ?água = 62,371 lbm/ft o3 Temperatura = 60 F Diâmetro = 4? sch 40 µágua = 1,2 cp Perry 5-36 Material = aço carbono Vazão = Q = 300 gpm

Revisão 1.9

UNIDADES E DIMENSÕES Quantidade Física Dimensões Sistemas métricos Sistema MLT Sistema FLT Sistema CGS Sistema Internacional comprimento L L cm m área 2 L 2 L 2 cm 2 m massa M -1 2 FL T g kg volume 3 L 3 L 3 cm 3 m tempo T T s s vazão 3 -1 LT 3 -1 LT 3 cm /s 3 m /s velocidade -1 LT -1 LT cm/s m/s aceleração -2 LT -2 LT 2 cm/s 2 m/s força -2 MLT F g cm/s = dina 2 kg m/s = N impulso -1 MLT FT g cm/s = dina s kg m/s = N s energia, trabalho 2 -2 ML T FL 22 g cm /s = dina cm = erg 22 kg m /s = N m = Joule potência 2 -3 ML T -1 FLT 23 g cm /s = dina cm/s = erg/s 23 kg m /s = Joule/s = Watt densidade -3 ML -4 2 FL T 3 g/cm 3 kg/m velocidade angular -1 T -1 T rad/s rad/s aceleração angular -2 T -2 T 2 rad/s 2 rad/s torque 2 -2 ML T FL 22 g cm /s = dina cm 22 kg m /s = Nm momento angular 2 -1 ML T FLT 2 g cm /s 2 kg m /s momento de inércia 2 ML 2 FLT 2 g cm 2 kg m pressão -1 -2 ML T -2 FL 2 g/(cm s ) = 2 dina/cm 2 kg/(m s ) = 2 N/m viscosidade (µ) -1 -1 ML T -1 FL T g/(cm s) = 1 poise = 2 1 dina s/cm kg/(m s) = 2 N s/m viscosidade cinemática (?) 2 -1 LT 2 -1 LT 2 cm /s 2 m /s pressão superficial -2 MT -1 FL 2 g/s = dina/cm 2 kg/s = N/m

Revisão 1.10

CONVERSÃO DE UNIDADES Comprimento 1 Km = 1000 m 1 m = 100 cm = 39,37 in = 3,28 ft -2 1 cm = 10 m -3 1 mm = 10 m 1 µ = 10 m -6

1 mµ = 10 m -9 -10 1 Å = 10 m 1 in = 2,54 cm 1 ft = 30,48 cm = 12 in Area 2 -6 2 1 mm = 10 m 2 -4 2 1 cm = 10 m 2 32 1 m = 1,55 x 10 in 2 62 1 Km = 10 m 22 1 in = 6,45 cm 2 -3 2 1 ft = 92,9 x 10 m Volume -3 1 ml = 10 l 33 1 l = 10 cm 3 -3 3 1 mm = 10 cm 3 1 cm = 1 ml 333 1 dm = 10 cm 393633 1 m = 10 mm = 10 cm = 10 l 33 1 in = 16,39 cm 33 1 ft = 28,32 x 10 cm3 Massa -3 1 g = 10 Kg 33 1 Kg = 10 cm = 2,2 lbm 3 1 ton = 10 Kg 1 lbm = 453,6 g 1 slug = 32.17 lbm = 14,59 Kg 1 onça = 28.35 g (avdp) Velocidade 1 Km/h = 0.2778 m/s = 0,9113 ft/s = 27.78 cm/s 1 mm/s = 3.6 m/h 1 cm/s = 26 m/h 1 m/s = 3600 m/h = 100 cm/s 1 m/min = 60 m/h = 0,017 m/s = 3.28 ft/min 1 m/h = 3,28 ft/h = 0,0109 in/s 1 ft/s = 1097,28 m/h = 18,288 m/min = 0,3048 cm/s = 12 in/s

Revisão 1.11

Densidade 3333 1 g/cm = 1000 Kg/m = 62.43 lbm /ft = 1 g/ml = 0.003613 lbm /in 33 1 Kg/cm = 32,13 lbm/in 3333 1 Kg/m = 0,001 g/cm = 0.06243 lbm /ft = 3.61 lbm /in 33 lbm/in = 27,68 g/cm 3 -4 3 lbm/ft = 5.79 x 10 lbm/in Vazão 333 1 l/s = 3600 l/h = 60 l/min = 61,02 in /s = 2,12 ft /min = 0,035 ft /s 3 -3 3 1cm /s = 2.12 x 10 ft /min 33 1 m /min = 1000 l/min = 35,31 ft /min 33 1 in /s = 58,99 l/h = 0,03472 ft /min 3 3333 1 f t /s = 101940,26 l/ h = 28 , 32 cm /s = 3600 ft /h = 1728 in /s = 60 ft /min Tensão superficial -3 1 dina/cm = 10 N/m 1 gf/cm = 98.07 N/m 1 Kgf/m = 9,81 N/m 1 lbf/ft = 14.59 N/m Pressão 2 2 -4 1 dina/cm = 0,01 Kgf/m = 0,001 cm H20 = 7,5 cm de Hg = 4 x 10 in de H20 = -3 2 2 -5 -8 = 2,09 x 10 lbf/ft = 1,45 lb /in = 2,95 x 10 in de Hg = 10 atm 2 2 -3 -4 2 -7 1 N/m = 1 pasca1 = 0,101 Kgf/m = 7,5 x 10 m de Hg = 1.45 x 10 lbf/in = 10 atm 2222 2 1 gf/cm = 981 din/cm = 98,07 N/m = 10 Kgf/m = 0,736 mm de Hg = 2,048 lb /ft = -2 2 -4 = 0.029 in de Hg = 1,4 x 10 lbf/in = 9,68 x 10 atm 232523242 1 Kgf/cm = 981 x 10 din/cm = 10 Kgf/m = 10 gf/cm = 981 x 10 N/m = 4 22 = 10 mm de H2O = 736 mm de Hg, = 2,05 x 103 lbf/ft = 14.22 lbf/in = = 0,968 atm 232 22 1 m de H2O = 9806,6 N/m = 10 Kgf/m = 73,6 mm Hg = 0,1 Kgf/cm = 204,8 lbf/ft = 2 = 3,28 ft de H20 = 2.9 in de Hg = 1,42 lbf/in = 0,097 atm 2222 1 mm de Hg = 1 torr = 1333,2 din/cm = 13,59 Kgf/m = 1,36 gf/cm = 133,32 N/m = 2 = 13,59 mm de H20 = 2,78 lbf/ft = 0,54 in de H20 = 0,045 ft de H20 = -3 = 0.019 lbf/in2 = 1,31 x 10 atm 24222 1 lbf/in = 6,89 x 10 din/cm = 6.89 N/m = 703,07 Kgf/m = 703,07 mm de H20 = 2 22 = 70,31 gf/cm = 0,7031 m de H20 = 0,0703 Kgf/cm = 144 lbf/ft = -2 = 0,1701 ft de Hg = 6.8 x 10 atm 62 52 42 1 atm = 1.013 x 10 din/cm = 1,013 x 10 N/m = 1,033 x 10 Kgf/m = 4 22 = 1,033 x 10 mm de H2O = 1,033 x 103 gf/cm = 10,13 N/cm = 22 = 1,033 Kgf/cm = 14,7 lbf/in = 14,7 psi 1 psia = 1 psi + 1 psig Força 5 1 N = 10 dina = 0,1020 Kgf = 0,2248 lbf 1 pound force (lbf ) = 4,448 N = 0,454 Kgf = 32,17 pounda1s 1 Kgf = 2,205 lb = 9,81 N

Revisão 1.12

Energia 7 -4 1 joule = 1 N.m = 10 ergs = 0,7376 lbf.ft = 0,2309 cal = 9,481 x 10 Btu -3 1 cal = 4,186 joules = 3,968 x 10 Btu 6 1 KWh = 3,6 x 10 joule = 860 Kcal -3 1 eV = 1,602 x 10 joule Potência 7 1 Watt = 1 joule/s = 10 erg/s = 0,2389 cal/s 1 hp = 745,7 Watt 1 KW = 1,341 hp = 0,9483 Btu/s Viscosidade cinemática, difusividade e difusividade térmica 242 426 1 m /s = 10 cm /s = 3,875 x 10 ft /h = 10 centistokes Constante dos gases -1 -1 3 -1 -1 7 2 -2 -1 -1 R = 1,987 cal g.mole K = 82,05 cm atm g.mole K = 8,314 x 10 g cm s g.mole K = 3 2 -2 -1 -1 4 2 -2 -1 -1 = 8,314 x 10 Kg m s Kg.mole K = 4,968 x 10 Lbm ft s lb.mole °R = 3 -1 -1 = 1,544 x 10 lbf lb.mole K °R ft Condutividade térmica -3 -1 -1 -1 -1 -5 -3 -1 -5 -1 -1 1 g cm s K = 1 ergs s cm K = 10 Kg m s K = 10 Watts m K = -5 -3 -1 -6 -l -1 = 4,0183 x 10 lbm ft s °F = 1,2489 x 10 lb s °F = -8 -l -1 -1 -6 -1 -1 -1 = 2,3901 x 10 cal s cm K = 5,7780 x 10 Btu h ft °F -3 -1 5 -1 -1 -1 -3 -1 -1 -1 -1 1 Kg m s K = 10 ergs s cm K = 4,0183 lb ft s °F = 1,2489 x 10 lbf s °F = -3 -l -1 -1 -1 -1 -1 -l = 2,3901 x 10 cal s cm K = 5,7780 x 10 Btu h ft °F -3 -1 4 -3 -1 -1 -3 -1 1 lbm ft s °F = 2,4886 x 10 g cm s K = 2,4886 x 10 Kg m s K = -2 -1 -1 -4 -1 -1 -1 = 3,1081 x 10 lbf s F = 5,9479 x 10 cal s cm K = -1 -1 -1 -1 = 1,4379 x 10 Btu h ft °F -1 -1 5 -3 -1 -3 -1 1 -3 -1 1 lbf s °F = 8,0068 x 10 g cm s K = 8,0068 Kg m s K = 3,2174 x 10 lb ft s °F = -2 -1 -1 -1 -1 -1 -1 = 1,9137 x 10 cal s cm K = 4,6263 8tu h ft °F -1 -1 -1 -3 -1 2 -3 -1 1 cal s cm K = 4,1840 x 107 g cm s K = 4,1840 x 10 Kg m s K = 3 -3 -1 1 -1 -1 2 -1 -1 -1 = 1,6813 x 10 lb ft s °F = 5,2256 x 10 lbf s °F = 2,4175 x 10 Btu h ft °F -1 -1 -1 5 -3 -1 -3 -1 -3 -1 1 Btu h ft °F = 1,7307 x 10 g cm s K = 1,7307 Kg m s K = 6,9546 lbm ft s °F = -1 -1 -1 -3 -1 -1 -1 = 2,1616 x 10 lbf s °F = 4,1365 x 10 cal s cm °K Coeficiente de transferência de calor -3 -1 -3 -3 -1 -3 -2 -1 -3 -3 -1 1 g s K = 10 Kg s K = 10 Watts m K = 1,2248 x 10 lbm s °F = -5 -1 -1 -1 -8 -2 -1 -1 -7 -2 -1 = 3,8068 x 10 lbf ft s °F = 2,3901 x 10 cal cm s K = 10 Watts cm K -4 -2 -1 -1 = 1, 7611 x 10 Btu ft h °F -3 -1 3 -3 -1 -3 -1 -2 -1 -1 -1 1 Kg s K = 10 g s K = 1,2248 lbm s °F = 3,8068 x 10 lbf ft s °F = -5 -2 -1 -1 -4 -2 -1 -1 -2 -1 -1 = 2,3901 x 10 cal cm s K = 10 Watt cm K = 1,7611 x 10 Btu ft h °F -3 -1 2 -3 -1 -1 -3 -1 -2 -1 -1 -1 1 lbm s °F = 8,1647 x 10 g s K = 8,1647 x 10 Kg s K = 3,1081 x 10 lb ft s °F = -5 -2 -1 -1 -5 -2 -1 = 1,9514 x 10 cal cm s K = 8,1647 x 10 Watts cm K = -1 -2 -1 -1 = 1,4379 x 10 Btu ft h °F -1 -l -1 1 -3 -1 1 -3 -1 -3 ?1 1 lbf ft s °F = 2,.6269 x 10 t g s K = 2,6269 x 10 Kg s K = 3 ,1740 lbm s ° F = -4 -2 -l -1 -3 -2 -1 -2 -1 -1 = 6,2784 x 10 cal cm s K = 2,6269 x 10 Watts cm K = 4,6263 Btu ft h °F -2 -l -1 7 -3 -1 1 -3 -1 4 -3 -1 1 cal cm s K = 4,1840 x 10 g s K = 4,1840 x 10 Kg s K = 5,1245 x 10 lbm s °F 3 -1 -l -1 -2 -1 3 -2 -1 -1 = 1,5928 x 10 lbf ft s °F = 4,1840 Watts cm K = 7,3686 x 10 Btu ft h °F

Revisão 1.13

-2 -1 7 -3 -1 4 -3 -1 4 -3 -1 1 Watts cm K = 10 g s K = 10 Kg s K = 1,2248 x 10 lbm s °F = 2 -1 -l -1 -1 -2 -l -1 = 3,8068 x 10 lbf ft s °F = 2,3901 x 10 cal cm s K = 3 -2 -1 -1 = 1,7611 x 10 Btu ft h °F -2 -1 -1 3 -3 -1 -3 -1 -3 -1 1 Btu ft h °F = 5,6782 x 10 g s K = 5,6782 Kg s K = 6,9546 lbm s °F = -1 -1 -l -1 -4 -2 -l -1 = 2,1616 x 10 lbf ft s °F = 1,3571 x 10 cal cm s K = -4 -2 -1 = 5,6782 x 10 Watts cm °K Temperatura TR = 1,8 TK TF = TR - 459,67 TF = 1,8TC + 32 TC = TK ? 273,15

Bombas centrífugas 2.1

2. BOMBAS CENTRÍFUGAS 2.1. Descrição do equipamento · Fluidos movem-se através de canos, equipamentos ou a atmosferas ambiente por bombas, ventiladores, sopradores e compressores. Estes equipamentos aumentam a energia · O aumento de energia pode ser utilizado para aumentar a velocidade, a pressão ou a · Existem duas classes principais de máquinas que movem fluidos: 1. Aplicando a pressão direta para o fluido ? equipamento de deslocamento positivo. 2. Usando um torque para gerar rotação ? bombas centrífugas, sopradores e compressores.

- A maioria das bombas cai em umas das duas classes principais: Bombas de deslocamento positivo. Bombas centrífugas.

- As bombas de deslocamento positivo impelem uma quantidade definida do fluido em cada golpe ou volta do dispositivo.

- As bombas centrífugas impelem um volume que depende da pressão de descarga ou da energia adicionada.

Bombas de deslocamento positivo Bombas alternativas: - A taxa de fornecimento do líquido é uma função do volume varrido pelo pistão no cilindro e do número de golpes do pistão por unidade de tempo. Para cada golpe do pistão, um volume fixo de líquido é descarregado da bomba.

a A partícula a de fluido é aspirada e de- pois sai com a pressão comunicada pe- lo êmbolo.

Bombas centrífugas 2.2

- eficiência volumétrica = (descarga real)/(descarga baseada no deslocamento do pistão) ? até 95%

- simplex de duplo efeito: possui um único cilindro, utilizando os dois lados do seu volume para impelir o líquido no golpe para a frente e no golpe para trás.

vazão Descarga Descarga Descarga p/ frente p/ trás p/ frente

Dúplex de duplo efeito: possui dois cilindros, com êmbolos separados em cada um deles, o fluido é bombeado no golpe para frente e para trás de cada êmbolo.

vazão Vazão total Cilindro 1 Cilindro 2 - A vazão de descarga do líquido numa bomba alternativa varia com o tempo, em virtude da natureza periódica do movimento do pistão.

- As bombas alternativas imprimem ao fluido as pressões mais elevadas entre todos os tipos de bombas. Por outro lado sua capacidade é relativamente pequena.

Bombas rotativas: - O rotor da bomba provoca uma pressão reduzida no lado da entrada o que possibilita a admissão do líquido na bomba.

- À medida que o elemento gira, o líquido fica retido entre os componentes do rotor e a carcaça da bomba. Finalmente, depois de uma determinada rotação do rotor o líquido é ejetado pelo lado de descarga da bomba.

Bombas centrífugas 2.3

- São utilizadas com líquidos de quaisquer viscosidade, desde que não contenham sólidos abrasivos.

- Operam em faixas moderadas de pressão e tem capacidade que ficam entre as pequenas e as médias.

- Bombas rotatórias: Bombas de engrenagem. Bombas parafusos. Bombas com cavidades caminhantes.

Bombas centrífugas 2.4

Exemplo 2.1: Bombear a uma vazão constante um líquido de densidade igual a da água para um reator. Taxa de 90 gal/min, pressão de 200 psi Capac dade ,r Capac dade i,r r pa a 400 pm

Capac dade i,r r pa a 200 Capacidade, gal/min pm hp para 600 rpm hp para 400 rpm hp para 200 rpm Pressão de descarga, psi

BOMBAS CENTRÍFUGAS i pa a 600 r pm Horsepower ·A velocidade de operação esta entre 400 e 600 rpm ? 450 rpm ·A potência necessária para manter o escoamento ? 21 HP

- As bombas centrífugas são amplamente usadas nas indústrias de processos em virtude da simplicidade do modelo, do pequeno custo inicial, da manutenção barata e da - Vazões de alguns galões/min até vários milhares de galões/min, operando a várias - fluido entra na bomba nas vizinhanças do eixo rotor propulsor e é lançado para a periferia pela ação centrífuga. A energia cinética aumenta do centro do rotor para as pontas das palhetas propulsoras. Esta energia cinética é convertida em pressão quando o fluido sai do impulsor e entra na voluta do difusor.

Carcaça Difusor Eixo motriz Palheta do rotor Rotor Voluta Eixo motriz Carcaça de bomba centrífuga, com voluta Carcaça de bomba centrífuga, com difusor

Bombas centrífugas 2.5

- coração da bomba centrífuga é o rotor. É constituído por diversas palhetas, ou lâminas, conformadas de modo a proporcionarem um escoamento suave do fluido entre cada uma delas.

- As carcaças das bombas centrífugas podem ser feitas de diversas formas, mas a função principal é a de converter a energia cinética impressa ao fluido pelo rotor em uma carga de pressão.

Principais vantagens: 1- É de construção simples. Pode ser construída numa vasta gama de materiais. 8- Não sofre qualquer deterioração se a tubagem de saída entupir durante um período muito longo.

Principais desvantagens: 2- Se não incorporar uma válvula de retenção na tubagem de sucção, o líquido voltará a 3- Não consegue operar eficientemente com líquidos muito viscosos.

- Problemas que podem se a apresentar ao engenheiro químico: c) Projetar um novo sistema para uso com uma bomba existente.

Bombas centrífugas 2.2. Curvas características do sistema (AMT e SCR)

2.2.1 Altura Manométrica Total (AMT) Considerando a bomba instalada no sistema abaixo:

Descarga ou recalque P S (a) Z D Z S 2 1 Sucção 2.6 P D (b) Aplicando a equação da energia (Bernoulli + perdas + W?) entre os pontos (a) e (b), resulta:

PS + Z + VS2 = PD + Z + 2 VD + h + W? (1) ? S 2g ? D 2g f

Onde W representa o trabalho aplicado por um agente externo no eixo da bomba e ? a eficiência mecânica da bomba. Assim, W? já leva em conta a perda de carga do fluido através da bomba.

W? = trabalho aplicado ao fluido Como os termos de energia cinética são desprezíveis em relação aos outros nos casos correntes: ? W? = PD ? P + ? + S Z Z h (2) ?DSf

Os termos do lado direito da igualdade representam alturas. São as chamadas:

PD ? PS = altura manométrica de pressão ? Z ? Z = altura manométrica de elevação DS h = altura manométrica de fricção f

Bombas centrífugas 2.7

Por esta razão -W? é chamado de ALTURA MANOMÉTRICA TOTAL a vencer: AMT = ?H = P ? PS + Z ? Z + h (3) D ?DSf

ZD e ZS ? terão sinais negativos se os dois pontos considerados estiverem abaixo da linha O termo hf pode ser desmembrado: hfD ? perda de carga na descarga.

A equação (3) pode ser reescrita como: ?P ? ?P ? ?H = ? D + ZD + hf D ? ? ? S + ZS ? hf S ? (4) ?1?4424443? ?1?442443? Altura manométrica Altura manométrica a vencer na descarga disponível na sucção

?H pode ser obtido em função de P1 e P2, aplicando-se a equaçãode Bernoulli entre a entrada P ?P ? W? = ?H = + Z ? Z (5) 21 ?21

As perdas através da bomba são incluídas em ?. Como Z2 - Z1 é desprezível em comparação com P1 - P2,, logo:

?H = P ? P1 (6) 2 ?

Colocando em gráfico a equação (3) Função polinomial de grau 2 ?H (m.c.l.) h f

Bombas centrífugas 2.8

2.2.2 Saldo de Carga de Sucção (SCS) ou Net Positive Suction Head (NPSH) - Se a pressão é somente levemente maior que a pressão de vapor, algum líquido pode vaporizar no interior da bomba, reduzindo a capacidade da bomba e causando severas erosões.

- Para evitar a cavitação, a pressão na entrada da bomba deve exceder a pressão de vapor por um certo valor chamado de `saldo de carga de sucção' (SCS).

O saldo de carga de sucção é definido como: P ?P SCS = 1 v (7) ?

Ou, aplicando a equação de Bernoulli (conservação da energia) entre (a) e a sucção da bomba

2 de (desprezando V /2g) }0 P+ =P+ + SZ1Zh ? S ? 1 fS

P1 = PS + Z ? h (8) ? ? S {f S perda de carga na sucção

Substituindo (8) em (7) P ?P SCS = S v + Z ? h (9) ? S fS

SCS disponível que o sistema oferece a bomba Colocando em gráfico SCS em função da vazão, resulta:

Bombas centrífugas 2.9

SCS (m.c.l.) SCS = PS ? Pv + Z ? h ? S fS 14243 independe da vazão

P ?P S v+Z ?S h fS Q(m3/h) A equação (9) dá o SCS disponível ou seja o saldo ou a quantidade mínima de energia em termos absolutos que deve existir no flange de sucção, para que a pressão neste ponto esteja acima da pressão de vapor do líquido e não haja cavitação.

NO QUADRO EXEMPLO 2.2: Na especificação de uma nova bomba a ser instalada no sistema abaixo 3o calcular, para uma vazão de 20 m /h de ácido sulfúrico a 98% em peso a 25 C (?=1840kg/m3, µ=15 cp, e pressão de vapor = 0,0015mmHg), a) a altura manométrica total, b) NPSH (SCS) disponível.

constante 2 m 14 m 2?sch 40 (aço comercial) 2?sch 40 (aço comercial) ?L = 4 m (incluindo o comprimento ?L = 120 m (incluindo o comprimento equivalente) equivalente)

Bombas centrífugas 2.10

a) ?H x Q b) Potência absorvida x Q c) Rendimento x Q d) SCS requerido x Q

Estas curvas podem ser obtidas: - teoricamente utilizando a teoria da mecânica geral em relação ao efeito do rotor sobre o fluido.

Dois parâmetros da bomba - diâmetro do rotor e velocidade de rotação são considerados no estudo das curvas características das bombas. Uma bomba centrífuga desenvolverá para cada velocidade de rotação (w) e para um determinado diâmetro do rotor (Drotor) uma determinada altura manométrica para uma vazão especificada. Da mesma forma, para cada w e Drotor, haverá um SCS requerido pela bomba em função da vazão, ou seja, para uma determinada vazão, uma determinada bomba requererá um SCS mínimo, abaixo da qual ocorrerá cavitação.

Um outro parâmetro a considerar é a potência desenvolvida pela bomba:

P = Trabalho ? P = m g ?H = m& g ?H tempo tempo

m& = vazão mássica = ?Q (?W) = ?H = = = P PP m& g ?Q g ? Q

BHP = a potência a ser desenvolvida no eixo da bomba (pelo motor) é chamada de potência absorvida ou potência de eixo (Pabs ou BHP - brake horse power).

Bombas centrífugas 2.11

BHP = m& g ?H ? = ?Q g ?H ? Existe uma série de fórmulas prontas para o uso :

BHP = Q ?H d 3960 ? onde : d = densidade relativa do fluido; BHP = (HP); Q = (GPM); ?H = (ft) BHP = ?Q?H 75? onde : BHP = (CV); Q = (m3 s); ?H = (m); ? = (kgf/m3 ) Finalmente, cada bomba tem uma eficiência - definida como ? = P/BHP - variando com a vazão e é fabricada dentro de uma faixa de operação de modo que fora desta faixa, para menos e para mais da vazão de projeto, a eficiência, cai.

Em resumo, para cada W e Drotor ?H BHP BHP ? SCS SCS ?H ? BHP SCS W D rotor

Q Uma outra forma de apresentar a curva de rendimento é a seguinte:

Bombas centrífugas 2.12

2.4. Determinação da curva do sistema e ponto de operação de uma bomba centrífuga

2.4.1. Determinação da curva do sistema Denominamos por curva do sistema uma curva que mostra a variação da altura manométrica total com a vazão ou, em outras palavras, mostra a variação da energia por unidade de peso que o sistema solicita em função da vazão. Para determinar a curva do sistema, vamos considerar a situação sitada no item 2.2.1 sobre AMT. Como vimos, a altura manométrica total pode ser expressa por: H = hd ? hs ? ?P ?P ? ( ) ( ) H=? ?+ZD?ZS+hfd+hfs DS ? ? ? 14243 1444244443 H fricção = f (Q) H estático não varia com a vazão O procedimento, em detalhes, será então o seguinte: - Fixam-se arbitrariamente os valores de vazão, em torno de seis, estando entre estes a vazão zero e a vazão com a qual desejamos que o sistema opere. Objetivando a cobertura de uma ampla faixa de vazões, as quatro vazões restantes devem ser fixadas da seguinte forma: ¾ duas de valor inferior à vazão pretendida para operação ¾ duas de valor superior à vazão pretendida para operação - Observando a equação acima, vemos claramente, que para a vazão zero,

? PD ? PS ? ( ) H = Hestático = ? ? + ZD ? ZS ??? - Para as demais vazões, a determinação de H é feita somando ao valor de H estático a perda de carga do sistema para cada vazão.

Bombas centrífugas 2.13

Q1 = 0 ? H estático Q2 < Q3 ? H estático + (hf2 para vazão Q2) Q2 < Q4 ? H estático + (hf3 para vazão Q3) Q4 = vazão pretendida ? H estático + (hf4 para vazão Q4) para operação Q5 > Q4 ? H estático + (hf5 para vazão Q5) Q6 > Q5 ? H estático + (hf6 para vazão Q6)

- De posse dos pares de valores (Q, H) resta-nos apenas locar os pontos e construir uma curva que apresenta uma forma semelhante à da figura abaixo.

H H6 H5 H4 H3 H2 H1 hf5 hf4 hf3 hf2 hf6 Hestático Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q

Curva do sistema 2.4.2 ? Determinação do ponto de trabalho Se colocarmos as curvas do sistema no mesmo gráfico onde estão as curvas características da bomba, obteremos o ponto normal de trabalho na interseção da curva Q x ?H da bomba com a curva do sistema.

Bombas centrífugas 2.14

H, ?, Pot ?T H x Q do sistema ?xQ HT Pot x Q PotT HxQ QT Q

Ponto de trabalho (QT, HT, PT, ?T) Então, a bomba teria como ponto normal de trabalho: - vazão (QT) - carga ou head (HT) - potência absorvida (PotT) - rendimento da bomba no ponto de trabalho (?T) Deve-se considerar que existem diversos recursos para modificar o ponto de trabalho e deslocar o ponto de encontro das curvas Q x H da bomba e do sistema. Estes recursos consistem em modificar a curva do sistema, ou modificar a curva da bomba conforme veremos no item 2.5.

2.5. Fatores que influenciam nas curvas características de uma bomba 2.5.1. Velocidade de rotação - a partir da análise dimensional dos fatores que influenciam na `performance' de uma bomba com diâmetro do rotor fixo, as seguintes relações são obtidas: Para Drotor fixo: a) A vazão é proporcional à rotação

Q=W QW 11 b) A altura manométrica total varia com o quadrado da velocidade de rotação

?H ? W ?2 ? ? ? = H ?W ? 11 c) A potência absorvida varia com o cubo da velocidade de rotação

Bombas centrífugas 2.15

P ? W ?3 = ? ? P ?W? 11 Sempre que alteramos a rotação deve ser feito a correção das curvas características através das relações anteriormente apresentadas para determinação do novo ponto de trabalho, sendo normal o fabricante fornecer as curvas para diferentes velocidades. Por exemplo:

?H ? BHP ?H a W O rendimento é igual para pontos homólogos: ?H a W Q, ?H ? ? 11 Q , ?H ? ? = ? 111 onde Q, ?H , Q e ?H estão ligados 11 pelas relações acima.

aW 1 aW ? ? BHP a W BHP a W 1 2.5.2. Diâmetro do rotor Mantendo-se constante a velocidade de rotação, o efeito do diâmetro do rotor pode ser obtido das relações: Para W constante: a) A vazão é proporcional ao diâmetro do rotor:

Q=D QD 11 b) A altura manométrica total varia com o quadrado do diâmetro do rotor:

?H ? D ?2 = ? ? ?H ? D ? 11 c) A potência absorvida varia com o cubo do diâmetro do rotor:

Bombas centrífugas 2.16

P ? D ?3 = ? ? P ?D ? 11 Ou seja: D = Q = ?H = 3 P D Q ?H P 1111

Observação: Dmax - limitado pelo tamanho da carcaça Dmin - 80% do rotor original

Da mesma forma que com a velocidade de rotação, os fabricantes fornecem curvas para vários diâmetros de rotor.

2.5.3. Efeito da natureza do líquido: Densidade - uma bomba centrífuga tem uma velocidade de rotação constante porque depende somente das características do motor e estas só variam se houver variação na amperagem ou voltagem da linha (rede elétrica). Um aumento ou diminuição da perda de carga no sistema (exemplo: fechamento ou abertura maior de uma válvula), variação na densidade do fluido, enfim, qualquer variação não afeta a velocidade de rotação do motor.

Do ponto de vista da bomba é a velocidade de rotação que imprime altura manométrica ao fluido através da força centrífuga. Como a altura manométrica é expressa por unidade de peso do líquido ela só depende da velocidade de rotação que é constante.

2 22 ?=V=WR H rotor 2g 2g Portanto, qualquer que seja o líquido, a curva ?H x Q da bomba é a mesma, já a curva BHP x Q sofre alterações quando se trabalha com outro líquido.

Bombas centrífugas 2.17

Variando a densidade do fluido Curva ?H x Q ? constante bomba

Curva BHP x Q ? varia EXEMPLO 2.3: Uma bomba que opera com água (d=1,0) num determinado ponto Q x ?H desenvolverá a mesma vazão contra o mesmo ?H quando bombear H2SO4 (d=1,84). Porém o motor terá que desenvolver uma potência 1,84 vezes maior.

Viscosidade - as curvas características fornecidas pelos fabricantes retratam a `performance' das bombas quando operando com água. Entretanto estas curvas sofrem modificações quando a bomba opera com líquidos muito viscosos. No exemplo anterior foi dito que não haveria variação em Q e ?H para H2SO4 apesar deste possuir viscosidade maior que a da água (? 8 cp contra 1 cp da água) porque a diferença não é marcante. As diferenças aparecem com viscosidade acima de 50 cp aproximadamente.

O gráfico da página seguinte, editado pelo `Hydraulic Institute', permite a determinação do desempenho da bomba operando com líquido viscoso quando seu desenvolvimento com água é conhecido.

Limites do gráfico: b) Usar somente para bombas de projeto convencional dentro da faixa de operação normal (em torno de ? máximo). Não usar para bombas tipo fluxo misto ou axial ou para líquidos não uniformes.

Bombas centrífugas 2.18

Bombas centrífugas 2.19

Qvis = QwCQ (vazão do fluido viscoso = vazão de água x fator de correção) ?Hvis = ?HwCH ?vis = ?wC? A potência pode ser obtida de: BHP = Qvis?Hvisd 3960? vis vis

INSTRUÇÕES PARA A SELEÇÃO PRELIMINAR DE UMA BOMBA PARA UMA a) Conhecida a capacidade viscosa desejada, a altura manométrica viscosa e a viscosidade e densidade na temperatura de bombeamento, a carta de correção pode ser usada para encontrar a equivalente capacidade e altura manométrica quando bombeando água.

b) Entrar na carta, pela parte inferior com a capacidade viscosa (Qvis) e seguir verticalmente até encontrar a altura manométrica viscosa (?Hvis). Prosseguir em seguida horizontalmente até a viscosidade do fluido em estudo, então subir verticalmente até as curvas de correção para tirar os valores de CQ, C? e CH para 1,0Q?w (capacidade aquosa na qual a máxima eficiência é obtida).

c) Os valores para entrar nas curvas características das bombas, que são referidas às condições aquosas seriam: Q =Q C w vis Q ?H = ?H C w vis H

EXEMPLO 2.4: Selecionar uma bomba para operar 750 gpm contra uma altura manométrica de 100 pés de um líquido que possui uma viscosidade de 1000 SSU (Saybolt Seconds Universal) e uma densidade de 0,90 na temperatura de bombeamento.

Bombas centrífugas 2.20

C? = 0,635 Então: Qw = Qvis/CQ = 750/0,95 = 790 gpm ?Hw = ?Hvis/CH = 100/0,92 = 108,8 = 109

Selecionar, então, uma bomba para uma vazão de água de 790 gpm contra uma altura manométrica total de 109 pés. A seleção deve ser feita de modo que a eficiência seja bem próxima da máxima eficiência. Então, se a bomba selecionada possui uma eficiência de 81% operando 790 gpm de água contra uma carga de 109 pés, a sua eficiência operando o líquido viscoso será: ? = ? × C? ? ? = 81× 0,635 = 51,5% vis w vis E o BHP nas condições viscosas, será : BHP = Qvis × ?Hvis × d ? BHP = 750× 100× 0,90 vis × ? vis × 3960 3960 0,515 vis BHP = 33,1 HP vis

DETERMINAÇÃO DAS CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO DA BOMBA COM LÍQUIDOS DE ALTA VISCOSIDADE, QUANDO SE CONHECEM AS CONDIÇÕES DE FUNCIONAMENTO COM ÁGUA.

EXEMPLO 2.5: Dadas as curvas características de uma bomba, obtidas em ensaio com água, traçar a curva para o caso de um óleo de densidade igual a 0,90 e viscosidade de 1000 SSU na temperatura de bombeamento.

Bombas centrífugas 2.21

0,6 x Q(água) 0,8 x Q(água) 1,0 x Q(água) 1,2 x Q(água) DADOS DO CATÁLOGO DO FABRICANTE Descarga Q Alt. Manométrica ?H Rendimento ? 450 114 72,5 600 108 80 750 100 82 900 86 79,5 Viscos. do líquido 1000 SSU 1000 SSU 1000 SSU 1000 SSU CQ (do gráfico) CH (do gráfico) C? (do gráfico) 0,95 0,96 0,635 0,95 0,94 0,635 0,95 0,92 0,635 0,95 0,89 0,635 Q x CQ (óleo) ?H x CH (óleo) ? x C? (óleo) 427,5 109,4 46,0 570 101,5 50,8 712,5 92 52,1 855 76,5 50,5 Densidade do líquido 0,90 0,90 0,90 0,90 Potência (líq. viscoso) 23,1 25,9 28,6 29,4

Bombas centrífugas 2.22

2.6. Perda de carga variável Considerando o sistema representado na figura abaixo (o nível do tanque de sucção permanece constante).

(nível constante) V As curvas do sistema e bomba estão representadas abaixo:

?HSistema Bomba Q Para posições da válvula V mais fechada, teremos para uma mesma vazão perdas de carga maiores ao passo que o termo:

Bombas centrífugas ?H 2.23 Sistema h 2 h 1 P ?P D S+Z ?Z ?DS

Q Isto significa a existência de várias curvas, cada uma representando uma situação de perda de carga maior para uma determinada vazão, com o mesmo ponto de interseção com o eixo ?H para Q = 0.

Válvula V na posição mais fechada Válvula V toda aberta ?H Q

Bombas centrífugas nível variável (nível constante) c b a Z S 2.24

Z a Z Zc b À medida que o nível no tanque de descarga varia tem-se uma variação no termo ZD - ZS, o

que significa a existência de várias curvas se deslocando na direção vertical do gráfico ?H x Q.

Obs.: para uma dada vazão, a perda é a mesma, por isso as curvas deslocam-se na vertical e são paralelas umas às outras.

(c) (b) ?H (a) Z- c Z S Z-Z bS Z-Z aS Q 0 AMT = ?H = PD ? P + ? + SZZh ?DSf

Bombas centrífugas 2.25

AMT = ?H = Z ? Z + h aaaSf AMT = ?H = Z ? Z + h bbbSf AMT = ?H = Z ? Z + h cccSf

2.8. Associação de bombas Dois tipos de associação podem existir: - Em série (altura manométrica exigida por um sistema for muito elevada) - Em paralelo (vazão exigida por um sistema for muito elevada) O uso de bombas em associação oferecem maior flexibilidade e segurança operacional.

2.8.1. Bombas em série Neste caso a descarga de cada bomba é ligada à sucção da seguinte, de modo que a vazão do sistema associado é limitada pela bomba de menor vazão, ou, no caso de bombas iguais, a vazão do sistema será igual à vazão de uma bomba enquanto que a altura manométrica desenvolvida será a soma da altura manométrica desenvolvida por cada unidade. Uma bomba de vários estágios funciona como uma associação de bombas em série.

Analisando as alturas manométricas desenvolvidas em termos das pressões de descarga e sucção de cada bomba e desprezando a perda de carga entre uma bomba e outra, temos:

Bombas centrífugas 2.26

?H = P2 ? P ( desprezando ? Z) 1 1? ?H = P3 ? P ? 2 ( desprezando Z) 2? Somando : ?H + ?H = P2 ? P1 + P3 ? P2 = P ?P 31 12???

P ?P ? Como a vazão através da bomba 1 é a mesma da bomba 2 podemos a partir das curvas individuais de cada bomba, determinar a curva ?H x Q para a associação.

?H H T Curva da associação Curva do sistema 2 1 Ponto de trabalho: Q, H T

A bomba (1) irá operar com Q, H 1 A bomba (2) irá operar com Q, H 2

H =H +H T12 H 1 H 2 Q 2.8.2. Bombas em paralelo Esta associação é usada quando a vazão exigida for muito elevada. Para tal sistema a curva ?H `versus' Q pode ser determinada da seguinte maneira.

Bombas centrífugas Q Q 1 P 12 P 1 Q 2 2.27 Q 2 Desprezando as perdas de carga nos trechos individuais pode-se escrever para cada bomba:

P ?P P ?P ?H = 2 1 , ?H = 2 1 1? 2? Como P e P são comuns a ambas as bombas : 12 ?H = ?H Q + Q = Q 1212 Da mesma maneira como foi feito para bombas em série, podemos partir das curvas individuais e das relações acima obtidas, chegar à curva ?H x Q para a associação.

?H Pto. de trabalho caso só a bomba 1 opere Curva do sistema

H Ponto de trabalho

Curva da associação Pto. de trabalho caso só (1) (2) a bomba 2 opere QQQQ 12T

Bombas centrífugas 2.28

A bomba (1) irá operar com: Q1, H A bomba (2) irá operar com: Q2, H

QT = Q1 + Q2 Q 1 1 Q Q 2 2 2.8. Estudos de casos especiais I) Bomba enchendo um reservatório, havendo uma descarga livre intermediária na linha de recalque Suponhamos uma instalação de bombeamento do reservatório B. No recalque existe uma derivação de onde se pretende sangrar uma descarga Q2 = 5 l/s.

Traçamos primeiramente a curva característica para o trecho 1 (curva c1). Marcamos a descarga Q2 a partir do eixo das ordenadas e obtemos o ponto D. A partir deste ponto, traçamos a curva c3 do trecho 3 do encanamento. Deslocamos, na vertical, o ponto D para D' sobre a curva c1 e traçamos a partir da curva c1 a curva (c1 + c3) cujas ordenadas são (J1 + J3).

Obteremos em P o ponto de funcionamento. Por ele, tracemos a ordenada PE. Ficarão determinadas as descargas Q1 (total) = 12,5 l/s e Q3 (no reservatório B), igual a 7,5 l/s, uma vez que Q2 = 5 l/s já era conhecido.

Bombas centrífugas 2.29

Figura 2.8 II) Encanamento de recalque alimentando dois reservatórios* III) Duas bombas em paralelo, em níveis diferentes* * Macintyre, A.J., Bombas e instalações de bombeamento, Editora Guanabara, Segunda edição, 1987. pg. 188 -192.

Bombas centrífugas 2.30

ENG184 ? Operações Unitárias I Exercícios: 1. A água deve ser bombeada de um rio para um tanque como mostra a figura. Uma bomba centrífuga com as características abaixo deve ser usada:

Q (gpm) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 H (ft) 280 260 220 160 110 63 28 10 5 ? (%) 0 45 60 60 56 50 43 37 30

Tubulação de sucção Ø = 3?sch 40 ?L = 180 ft (incluindo o comprimento equivalente)

Bombas centrífugas 2.31 Q GPM H ft ? % Re e/D f (A-24) Moody hL ft H ft 0 20 40 60 80 100 120 140 160 280 260 220 160 110 63 28 10 5 0 45 60 60 56 50 43 37 30 0,000 17419,451 34838,903 52258,354 69677,805 87097,257 104516,708 121936,159 139355,611 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0270 0,0240 0,0230 0,0220 0,0210 0,0210 0,0205 0,0200 0 1,0874018 3,8663174 8,3367470 14,1764973 21,1439235 30,4472499 40,4553737 51,5508993 65,0000000 66,0874018 68,8663174 73,3367470 79,1764973 86,1439235 95,4472499 105,4553737 116,5508993

300 250 200 H, Hsist, 150 100 50 0 H Eficiência H (sistema) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 Q (GPM)

Bombas centrífugas 2.32

2. Abaixo tem-se um sistema onde esta instalada a bomba com as características indicadas na página seguinte. Determinar o tempo necessário para se encher o reservatório com água a 25oC.

17 m 2m ?=4m Nível constante 3m ? = 3? sch 40 3,068?ID ?L = 10 m

?H (m) 70 60 50 40 30 20 10 0 1 6m ? = 2? sch 40 2,067?ID ?L = 100 m

40 SCS (m) 6 5 4 3 2 1 20 40 60 80 100 120 Q(gpm)

Bombas centrífugas 2.33

ABCDEFGHIJ1 3 Q (GPM) Q(m /s) Re1 (e/D)1 f1 (A-24) Re2 (e/D)2 f2(A-24) hf H 2 0 0 0 0,0006 0 0,0009 0 13,000 3 20 0,0012616 20567,80 0,0006 0,027 30518,70 0,0009 0,025 13,836 4 40 0,0025232 41135,61 0,0006 0,024 61037,41 0,0009 0,023 3,077 16,077 5 60 0,0037848 61703,41 0,0006 0,022 91556,11 0,0009 0,022 6,617 19,617 6 80 0,0050464 82271,22 0,0006 0,021 122074,82 0,0009 0,0215 11,493 24,493 7 100 0,0063080 102839,02 0,0006 0,0205 152593,52 0,0009 0,021 17,540 30,540 8 120 0,0075696 123406,83 0,0006 0,0205 183112,23 0,0009 0,0205 24,665 37,665 9 0,836

altura do tanque de 0 a 2 m altura do tanque = 19 m Q (GPM) H 0 30,000 20 30,836 40 33,077 60 36,617 80 41,493 100 47,540 120 54,665

teste para ver se ocorre cavitação Q (GPM) NPSHd 0 13,000 20 12,988 40 12,956 60 12,909 80 12,846 100 12,765 120 12,662

Bombas centrífugas 2.34

?f L f L ? = 2?11+22? h 0,0826 Q f ?? D5 5 ?? D 12

I4 funções: comando f x do menu =0.0826*POTÊNCIA(B4,2)*(E4*10/POTÊNCIA(0.0779,5)+H4*100/POTÊNCIA(0.0525,5)) - resultado: as células coladas darão o resultado automaticamente.

Bombas centrífugas 2.35

3. Um cano tanque deve ser esvaziado de 10000 gal de benzeno a 80oF em 3h. A bomba centrífuga disponivel tem as seguintes características:

QQHH? gpm m3/h ft m %

0 0 110 33 0 20 4,5 106 31,8 29,2 40 9 90 27 40 60 13,5 63 19 45 80 18 41 12,3 47 100 22,5 22 6,6 48,3 120 27,2 12 3,6 46,5 140 32 7 2,1 40

35 ft Ø=3? sch 40 + 3J 90o + 1 válvula gaveta 6,5 ft 15 ft 6?

4 ft Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa Ø = 20 ft 15 ft 5 0 ft

Bombas centrífugas 2.36

Para zs=4.5ft Q H Eficiência Re e/D f hf Hsist GPM ft % ft ft 0 110 0,00 0,00 0,0006 0,0000 45,5000 20 106 29,20 31888,00 0,0006 0,0250 0,2400 45,7400 40 90 40,00 63776,00 0,0006 0,0220 0,8448 46,3448 60 63 45,00 95664,00 0,0006 0,0210 1,8144 47,3144 80 41 47,00 127552,00 0,0006 0,0205 3,1488 48,6488 100 22 48,30 159440,00 0,0006 0,0200 4,8000 50,3000 120 12 46,50 191328,00 0,0006 0,0195 6,7392 52,2392 140 7 40,00 223216,00 0,0006 0,0190 8,9376 54,4376

Para zs=10.5 ft Q Hsist GPM ft 0 39,5000 20 39,7400 40 40,3448 60 41,3144 80 42,6488 100 44,3000 120 46,2392 140 48,4376

Bombas centrífugas 2.37

120 100 80 ?, Hsist 60 H, 40 20 0 H Eficiê Hsist Hsist ncia (zs = 4.5ft (zs = 10.5 ) ft) ? = 47 %

0 20 40 60 80 100 120 140 160 Q (GPM)

Compressores 2A.1

2A - COMPRESSORES: Os compressores visam conseguir que a pressão do gás venha a alcançar uma pressão consideravelmente maior do que a pressão atmosférica.

Conforme a pressão pi (pressão inicial) e pf (pressão final) e a pressão efetiva pef = pf ? pi (1) podemos ter: a) Bombas de vácuo: pef < 0 b) Ventiladores: pef > 0 e da ordem de alguns cm de coluna d'água.

2 c) Sopradores: pef > 0 até cerca de 0,2 kgf/cm 2 d) Compressores: pressões de 0,2 a 30 kgf/cm

2 e) Supercompressores: pressões acima de 30 kgf/cm Os compressores se classificam em: a) Compressores de deslocamento positivo: O gás é admitido em uma câmara de compressão, que é, por isso, isolada do exterior. Por meio da redução do volume útil da câmara sob a ação de uma peça móvel, alternativa ou rotativa, realiza- se a compressão do gás. Quando a pressão na câmara atinge valor compatível com a pressão no tubo de descarga, abre-se uma válvula ou uma passagem, e o gás da câmara é descarregado para o exterior. A válvula nos compressores alternativos é desnecessária.

b) Compressores dinâmicos (centrífugos): O gás penetra em uma câmara onde um rotor em alta rotação comunica às partículas gasosas aceleração tangencial e, portanto, energia. Através da descarga por um difusor, grande parte da energia cinética se converte em energia de pressão, forma adequada para a transmissão por tubulações a distâncias consideráveis e à realização de propriedades específicas.

Compressores 2A.2

Figura 1. Compressor de ar de um estágio e pistão de duplo efeito. Este modelo se faz em diversos tamanhos, até o que tem o cilindro de 14 in e golpe de pistão de 11 in, capaz de fornecer 3 521 ft /min a 100 psi, que é a pressão máxima atingível. O cilindro tem uma camisa de água, para remover o calor da compressão. A unidade é operada, na maioria das aplicações, por uma correia motriz ligada a um motor.

Compressores 2A.3

2A.1. Compressão Para um gás ideal numa evolução isentrópica adiabática, isto é, sem troca de calor com o exterior.

p??? = cte (2) Tp ?(1?1 ? ) = cte (3)

? = Calor específico a pressão cte = cp (4) Calor específico a volume cte c v ? é uma constante que depende da massa e natureza do gás.

gás ? ar 1,40 metano 1,31 SO2 1,29 etano 1,20 N2 1,40

Quando a pressão de um fluido compressível aumenta adiabaticamente, a temperatura do fluido também aumenta ? trabalho de compressão é maior do que num processo isotérmico.

A relação entre as temperaturas de entrada e saída do compressor é obtida da equação (3)

Tb ? p ?1?1 ? = ? b ? (4) Ta ? p a ? Para um determinado gás, a razão de temperatura aumenta com o aumento na razão de compressão pb/pa.

Compressores 2A.4

Se a compressão é maior que 10, a temperatura isentrópica torna-se excessiva. Como o compressor ideal não possui trabalho de fricções, o calor gerado pelas fricções é também absorvido pelo gás. Desta maneira é necessário resfriar o gás através de camisas com água fria ou refrigerantes. Neste caso a temperatura de saída pode se aproximar da temperatura de entrada e a compressão será isotérmica.

2A.2. Equações para compressores 1. Devido à mudança na densidade durante o escoamento compressível, a forma integral da equação de Bernoulli, é inadequada.

2. Em sopradores e compressores as energias mecânica, cinética e potencial não mudam apreciavelmente.

Com estas simplificações temos que a forma diferencial da equação de Bernolli é: dW = d p (5) ?

A integração da equação (5) entre a pressão de sucção pa e a descarga pb da o trabalho de compressão de um gás ideal sem fricção.

= ?pb dp W (6) pa ? A integral da equação (6) é avaliada pelo caminho seguido pelo fluido na máquina a partir da sucção a descarga. O procedimento é o mesmo para compressores recíprocos, deslocamento positivo, rotatório ou centrífugo.

2A.2.1. Compressão adiabática p = pa ? = ?a 1 ? Como : ou p (7) ?? ?? 1 ? a pa

Compressores 2A.5

?? ?1?1 ? ? ?? ?1?1 ? ? W = ? p a ?? p b ? ? 1? = ? RTa b ? ? 1? ? ? 1 ? ?? p ? ? ? ? 1 M ?? p ? ?? (8) a a ? ?? a

Onde: R = 8314,3 J/kg mol?K (SI) R= 1545,3 ft.lbf/lb mol?°R (English units) pb/pa = razão de compressão.

2A.2.2. Compressão isotérmica Quando o resfriamento durante a compressão é completo, a temperatura é constante e o processo é isotérmico. A relação entre a pressão e a densidade, fica:

pp ? = a ou ? = a p (9) ? ?a pa

p p RT p W = a ln b = a ln b (10) ?a pa M pa

O trabalho isotérmico (? = 1) é menor que o trabalho adiabático (? > 1)

2A.2.3. Compressão politrópica Com compressores grandes não isotérmicos e nem adiabáticos, vale a relação:

p pa ?a 1 n = ou ? = p (11) ?n ?n 1 n a pa

Compressores 2A.6

P = Wm (13) ? EXEMPLO 1: Compressão do metano -3 o Um compressor de um estágio comprime 7,56 x 10 kg mol/s de gás metano a 26,7 C e 137,9 kPa abs para 551,6 kPa abs.

a) Calcular a potencia requerida se a eficiência mecânica é 80 % e a compressão é adiabática.

3 EXEMPLO 2: Um compressor de efeito simples fornece 0,1 m /s de ar (a P.T.N.) comprimido a 22 380 KN/m , a partir de 101,3 KN/m , pressões absolutas. Se a temperatura da sucção for de 289 K, o curso de 0,25 m e a velocidade de 4 Hz. Supor que a compressão e re-expansão são isentrópicas (? = 1,4). Qual a potencia teoricamente necessária para compressão?

22 EXEMPLO 3: Comprime-se ar a 290 K de 101,3 KN/m a 2065 KN/m , pressão absoluta, num compressor de 2 estágios, que funciona com um rendimento mecânico de 85 %. A relação entre 1,25 pressão e volume durante o curso de compressão e expansão do gás na folga é PV = constante.

O quociente de compressão é o mesmo em ambos os cilindros e pode considerar-se o arrefecedor entre os estágios como perfeitamente eficiente. As folgas nos dois cilindros são de 4 e 5%, respectivamente. Calcular: a) O trabalho de compressão por unidade de massa de gás comprimido.

b) O rendimento isotérmico c) O rendimento isentrópico (? = 1,4)

Caracterização da partícula sólida 3.1

3. CARACTERIZAÇÃO DA PARTÍCULA SÓLIDA Referência: Tópicos Especiais de Sistemas Particulados: Alguns aspectos da separação sólido- fluido, Giulio Massarani, volume 2, UFSCar, 1986.

3.1. INTRODUÇÃO O projeto e a análise do desempenho de separação sólido-fluido requer a caracterização físico-química da fase dispersa bem como o conhecimento da dinâmica de suspensão.

A tarefa é tão difícil que no estágio atual do conhecimento, o projeto de filtros e sedimentadores é feito a partir de resultados experimentais alcançados diretamente na filtração e sedimentação do sistema em estudo e o mesmo ocorre na especificação da centrífuga e do hidrociclone.

Apesar de todas as dificuldades, o levantamento da dinâmica das partículas sólidas sempre serve de base ao estudo científico do processo de separação e mesmo tecnológico, quando se trata de suspensões diluídas.

3.1. TAMANHO DE PARTÍCULA Os tamanhos de partículas podem ser medidos de várias maneiras: PARTÍCULAS GRANDES: d > 5 mm, medida diretamente com paquímetro, micrômetro, picnômetro, etc...

PARTÍCULAS MUITO PEQUENAS: d < 0,04 mm, métodos de medida indireta utilizando sedimentação, movimento Browniano, etc...

PARTÍCULAS INTERMEDIÁRIAS: entre os tamanhos extremos, à medida mais conveniente é a análise da peneira.

Para partículas não esféricas, isométricas, três eixos perpendiculares entre si iguais, costuma-se especificar a partícula de modo:

A determinação experimental de dp para partículas não regulares é feita por: a) Picnômetria : partículas grandes b) Couter-counter: partículas pequenas

Caracterização da partícula sólida 3.2

II) d# = diâmetro da peneira (peneiras padronizadas) Para partículas irregulares, aproximadamente esféricas, a análise de peneira fornece um valor estimado de dp.

Para partículas regulares, não esféricas, a análise de peneira pode subestimar (lâminas,discos) ou superestimar (barras) o dp, e em geral, fornece a segunda maior dimensão da partícula.

III) dst = diâmetro de Stokes (elutriador e sedimentador, cyclosizer)

O diâmetro de Stokes representa o diâmetro da esfera que tem o mesmo comportamento dinâmico da partícula no movimento lento, isto é, no regime de Stokes.

Como na região de Stokes a velocidade terminal é dada por: (? ? ?) ? µ? ?1 2 g d 2 18 ? = s st ? d = ? t ? 18µ ? (? ? ?)? t st g s

Desta forma o diâmetro de Stokes representa o diâmetro da esfera (mesmo material) que possui a mesma velocidade terminal da partícula.

?t ?t IV) da = diâmetro da esfera com a mesma superfície projetada da partícula (técnica de microscopia ótica) Superfície projetada A da partícula = ? da 2 /4

Só é possível fazer a conversão de uma dimensão característica para outra, com o conhecimento da forma da partícula.

Caracterização da partícula sólida 3.3

Para partículas de formas conhecidas, valem as seguintes relações: dst/dp ? 0,92 d#/dp ? 0,94 da/dp ? 1,27 d#/dst ? 1,02 ( o diâmetro de peneira para partículas de forma usual é aproximadamente o diâmetro de Stokes)

3.3. DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHOS DAS PARTÍCULAS: ANÁLISE GRANULOMÉTRICA

A análise granulométrica estuda a composição granular das misturas de partículas, com a finalidade específica de descrever seu tamanho e superfície.

Os resultados de uma análise granulométrica são representados geralmente por curva acumulativa da fração em peso, na qual expressa a fração de partículas menores do que um certo tamanho D (d#, dp, dst, ...) em função desta dimensão das partículas.

1 x Distribuição Acumulativa 0 dx dD D A partir da curva acumulativa é dificil visualizar a distribuição de tamanhos e por isso é útil traçar uma curva de tamanhos que é simplesmente a derivada da curva acumulativa e se obtém portanto, representando graficamente a inclinação da curva:

Caracterização da partícula sólida 3.4

dx dD Distribuição de frequências D Perry, pag 21-43: Tabela 21-12 ? Série de peneiras, norma americana ASTM, E11.61, e equivalente da série Tyler.

No peneiramento as partículas submetem-se à ação de uma série de peneiras. O tamanho das partículas que passam por uma peneira de abertura de malha L1 e ficam retidas em outra abertura L2, é a média aritmética da abertura das malhas L1 e L2.

A seqüência de peneiras é padronizada. A série Tyler Standart é formada por peneiras com uma razão de abertura entre peneiras subsequentes de 2 (área). A dimensão linear varia com a razão 4 2 .

Nos países que adotam o sistema decimal, toma-se como unidade linear o centímetro e nos que adotam o sistema inglês toma-se a polegada.

Caracterização da partícula sólida 3.5

SITEMA DIÂMETRO MASSA RETIDA FRAÇÃO FRAÇÃO TYLER MÉDIO (D#) PODERAL PONDERAL DE RETIDA PARTÍCULAS (MESH) (mm) (g) (MRETIDA / MTOTAL) QUE PASSAM PELA PENEIRA ***** -8 +10 2,03 6 0,03 0,97 -10 +14 1,44 28 0,14 0,83 -14 +20 1,02 50 0,25 0,58 -20 +28 0,718 40 0,20 0,38 -28 +35 0,508 28 0,14 0,24 -35 +48 0,359 18 0,09 0,15 -48 +65 0,254 12 0,06 0,09 -65 +100 0,180 8 0,04 0,05 -100 +150 0,127 6 0,03 0,02 -150 +200 0,090 4 0,02 0,00 TOTAL 200 1,00 * mais utilizado

SITEMA MASSA DIÂMETRO % DIÂMETRO % TYLER RETIDA (peneira inferior) ACUMULATIVA (peneira superior) ACUMULATIVA (MESH) (g) (mm) ( > que D#) (mm) ( < que D#)

** * * -8 +10 6 1,68 (10 mesh) 3 -10 +14 28 1,19 (14 mesh) 17 -14 +20 50 0,841 (20 mesh) 42 -20 +28 40 0,595 (28 mesh) 62 -28 +35 28 0,420 (35 mesh) 76 -35 +48 18 0,297 (48 mesh) 85 -48 +65 12 0,210 (65 mesh) 91 -65 +100 8 0,149 (100 mesh) 95 -100 +150 6 0,105 (150 mesh) 98 -150 +200 4 0,074 (200 mesh) 100 2,38 (8 mesh) 97 1,68 (10 mesh) 83 1,19 (14 mesh) 58 0,841 (20 mesh) 38 0,595 (28 mesh) 24 0,420 (35 mesh) 15 0,297 (48 mesh) 9 0,210 (65 mesh) 5 0,149 (100 mesh) 2 0,105 (150 mesh) 0

Caracterização da partícula sólida ?X ?X?X X X Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa 3.6

Histograma da análise granulométrica Dimensão da partícula ou abertura da peneira

Diâmetro médio das aberturas D = D1 + D2 2 MENOR QUE D MAIOR QUE D

Caracterização da partícula sólida 3.7

DIÂMETRO MÉDIOS Com os dados da análise granulométrica definem-se os seguintes médios para uma população de partícula.

Seja: xi = fração ponderal relativa ao diâmetro Di Ni = número de partículas relativa ao diâmetro Di C = fator tal que CD forneça o volume da partícula (C = ?/6 para esferas,C = 1 para cubos) 3

B = fator tal que BD forneça a superfície da partícula (B = ? para esferas, B = 6 para cubos) 2

a) Diâmetro médio de Sauter, D A superfície específica Sw, propriedade importante no escoamento de fluidos através de meios porosos , é definida como: ? ? BD2 dN dD dD S =0 w m

onde N é o número de partículas de diâmetro D e m a massa do conjunto de partículas. Sendo

dN = m dX dD ? CD3 dD s resulta ? = B ? 1 dX = B S dD w ? C D dD CD? s0 s

D é o diâmetro médio de Sauter, D= 1 ? ? 1 dX dD D dD 0

Caracterização da partícula sólida 3.8

D= 1 ? 1 # 1 ? ?X ? ? 1 ? ? ? dX D ?D ? 0#i#i

MODELOS DE DISTRIBUIÇÃO DE TAMANHOS Para fins computacionais torna-se conveniente a representação da análise granulométrica através de um modelo de distribuição.

Os modelos de distribuição mais comuns são: I) Modelo Gate-Gaudin-Schumann ? D ?m X=? ? , D

Parâmetros: m > 0 (adimensional) K = D100 (com dimensão L) Representação gráfica:

X 1 01 - Para m = 1 a distribuição é uniforme - Nos casos usuais m > 1

- Recai na distribuição RRB para KD Verificação: se os dados da análise granulométrica quando `plotados' na forma ln D `versus' ln X representarem uma reta.

Caracterização da partícula sólida II) Modelo Rosin-Rammler-Bennet

= ? ?(D D?)n X1e Parâmetros: n > 0 (adimensional) D' = D63,2 (com dimensão de L)

Representação gráfica: X 1 01 D63,2 D

? ? 1 ?? Verificação: Reta na representação gráfica ln D `versus' ln?ln? ?? . ? ? 1 ? X ??

III) Modelo log-normal [1 + erf (Z)] X= 2 Z = ln ( ) ?D? ? ? 2 ln ? ? 50 ? D

(? ) Z erf (Z) = ? 22 exp Z dZ ? 0 ? = D84,1 = D50 ? 1 (adimensional) Parâmetros: DD 50 15,9

D50 (com dimensão L) Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa 3.9

Caracterização da partícula sólida 3.10 Representação gráfica

X 1 0,841 0,500 0,159 ?>1 Para ? = 1 todas as partículas tem o mesmo tamanho

D15,9 D50 D84,1 D Verificação: reta na representação gráfica ln D `versus'X em escala de probabilidades

Conhecido o modelo da distribuição, o diâmetro médio de Sauter pode ser calculado através das expressões:

Modelo D GGS (m ?1) k ,m>1 m RRB ? 1? D' ??1 ? ? , n > 1 ? n? LN ?1 ? D exp?? ln2 ?? 50 ? 2 ?

Caracterização da partícula sólida 3.11

Exemplo 3.1: Os resultados da peneiração de uma areia empregada em construção civil encontram-se reunidos na tabela 1.

TABELA 1 Sistema o Tyler (n ) Abertura D#(mm) Massa retida m(g) -6 +8 -8 +10 -10 +14 -14 +20 -20 +28 -28 +35 -35 +48 -48 +65 -65 +100 -100 +150 -150 +200 -200 2,380 1,680 1,190 0,841 0,595 0,420 0,297 0,210 0,149 0,105 0,074 10,5 21,9 34,5 61,6 70,5 77,6 45,5 42,1 30,3 8,9 4,1 2,7

Tabela 2 - Análise de peneira (areia) Sistema o Tyler (n ) Abertura D#(mm) Massa retida m(g) D # Fração em massa retida ?X Fração em massa < D#, X Z MATLAB X [1+erf(Z)]/2 -6 +8 -8 +10 -10 +14 -14 +20 -20 +28 -28 +35 -35 +48 -48 +65 -65 +100 -100 +150 -150 +200 -200 2,380 1,680 1,190 0,841 0,595 0,420 0,297 0,210 0,149 0,105 0,074 10,5 21,9 34,5 61,6 70,5 77,6 45,5 42,1 30,3 8,9 4,1 2,7 2,854 2,030 1,435 1,016 0,718 0,508 0,359 0,254 0,180 0,127 0,090 pó 0,026 0,053 0,084 0,150 0,172 0,189 0,111 0,103 0,074 0,022 0,010 0,007 0,974 0,921 0,837 0,687 0,515 0,326 0,215 0,112 0,038 0,017 0,007 0,000 1,322 1,002 0,676 0,350 0,024 -0,303 -0,630 -0,956 -1,281 -1,606 -1,936 0,969 0,922 0,831 0,690 0,514 0,334 0,187 0,088 0,035 0,012 0,003 410,2 1,000

Caracterização da partícula sólida 3.12

Distribuição acumulativa de tamanhos (areia, tab1) X 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 Experimental log-normal 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 D#(mm)

MATLAB: >> Z = [1,322 1,002 0,676 0,350...] (enter) >> (1 + erf(Z))/2 (enter)

Caracterização da partícula sólida 3.13

3.4. FATOR DE FORMA DA PARTÍCULA: ESFERICIDADE Para partículas não esféricas, isométricas, define-se esfericidade como:

? área superfícial da esfera ? ? = esfericidade = ? ? ? área superfícial da partícula ? ambas com o mesmo volume

? = 1 para esferas 0 < ? < 1, para todas as outras formas de partículas

A esfericidade foi definida pela primeira vez por `Wadell H., Volume, Shape and Roundness of Roch Particles, J. of Ecology, 40, 443,1932'.

A esfericidade pode ser determinada através da medida da superfície específica que pode ser feita por diferentes técnicas como o BET, a permeametria e por meio da difusão de Knudsen.

Como: S = B , onde B = ? / ? e C = ? / 6 ; portanto: CD ? w ps

?= 6 D?S psw No tratamento de leito fixos e fluidizados o produto dp? frequentemente aparece e pode ser tratado como um único parâmetro Dp.

Este produto é o único que define convenientemente as características de tamanho e forma para uma mistura de partículas de diferentes formas e tamanhos.

A determinação experimental de ? para partículas não regulares é feita através de: a) medida da superfície específica b) medida de vazão contra queda de pressão (Q x ?P) em meio poroso constituido de partículas.

Caracterização da partícula sólida 3.14

A ? ?P µ Q Q = L KA L PP 12 onde: ?P = queda de pressão através do meio poroso, ML-1 -2 t L = comprimento do meio poroso, L

2 K = permeabilidade do meio poroso, L µ = viscosidade dinâmica do fluido, ML t -1 -1

3 -1 Q = vazão voumétrica do fluido, L t 2 A = área da seção transversal do meio poroso, L

Para obter o valor da esfericidade, faz-se um experimento para a medida da queda de pressão contra a vazão em um escoamento através de um meio poroso constituido das partículas em questão:

?P L Coloca-se em gráfico os valores ?P/L contra a µ Q/A e a inclinação da reta é o valor µ/K. Com a = b K permeabilidade K e utilizando aexpressão de Kozeny-Carman para a determinação da mesma, obtém a esfericidade ? a b

Caracterização da partícula sólida 3.15

(d ?)2 ?3 = p ?? K 36?(1??)2 , 5

onde: dp = diâmetro da esfera de igual volume que a partícula, L ? = esfericidade da partícula, adimensional ? = volume de vazios , porosidade do meio, adimensional volume total ? = constante que é função do meio poroso Dp = dp?, diâmetro característico da partícula, L

NO QUADRO Exemplo Determinar a esfericidade de um cilindro equilátero (D = H)

Caracterização da partícula sólida 3.16

Exemplos do capítulo 3: caracterização de partícula sólida 1. Foram os seguintes os resultados obtidos na elutriação de 25 g de um pó industrial com o3 água a 30 C, numa vazão de 37 cm /min:

S Elutriador diâmetro massa do tubo recolhida (cm) (g)1 2 3 4

1 3,0 4,62 2 4,0 6,75 F 3 6,0 7,75 4 12,0 4,42

Determinar a distribuição granulométrica (dSt x 100X) sabendo-se que a densidade do sólido é 3 de 1,8 g/cm . (4, pag3, Massarani).

elutriador massa retida (g) ?X X Diâmetro tubo (cm) V. terminal (m/s) dst (mm) X * 100 1 2 3 4 4,62 6,75 7,75 4,42 1,46 25 0,1848 0,2700 0,3100 0,1768 0,0584 1,0000 0,8152 0,5452 0,2352 0,0584 3 4 6 12 8,72E-04 4,91E-04 2,18E-04 5,45E-05 0,0399 0,0299 0,0199 0,0100 81,5200 54,5200 23,5200 5,8400

Caracterização da partícula sólida 3.17 curva de distribuição granulométrica 100 X 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 32 y = -3E+06x + 241248x - 3415,6x + 18,8 2 R =1 0,000 0,010 0,020 0,030 0,040 0,050 dst (mm)

2. Uma amostra da barita foi analisada no Coulter Counter (fornece, como dimensão característica, o diâmetro da esfera de igual volume que a partícula, dp):

dp(µ) 8,2 13,0 15,7 18,2 22,1 26,7 32,6 100 X 10 20 30 40 50 60 70

Com esta mesma barita foram conduzidos ensaios de permeametria e determinada a superfície específica pelo método da difusão de Knudsen.

a) Permeametria o Resultados dos ensaios de queda de pressão e vazão conduzidos com ar a 25 C e 1 atm numa célula de 5,2 cm de altura e 3 cm de diâmetro, porosidade da amostra c = 0,422:

3 Q (cm /min) 12,3 15,1 20,5 25,3 29,2 ?p(cm H2O) 19,1 23,2 31,9 39,0 45,3

Caracterização da partícula sólida 3.18

b) Medida da superfície específica pelo método da difusão de Knudsen, através de aparelhagem montada no laboratório de Sistemas Particulados da COPPE/UFRJ (N.G.Stanley-Wood, Powder Technology 21, 97, 1978):

S = 0,1454 ± 0,0058 m2 g w 3 Determinar a esfericidade ? das partículas de barita a partir das seguintes equações que relacionam este fator de forma com os resultados da permeametria e com o valor da superfície específica da amostra.

?p µ (d ?)2 ?3 = ? Q , sendo k = p L k A 150(1? ?)2

S = ? 6 ?) (d w sp d = diâmetro médio de Sauter baseado no diâmetro da esfera de igual volume que a p 1

Caracterização da partícula sólida 3.19

dp (µ) X ln(dp) ln X ln(1/1-X) ln(ln(1/1-X)) X 8,2 0,1 2,1041 -2,3026 0,1054 -2,2504 0,1 13,0 0,2 2,5649 -1,6094 0,2231 -1,4999 0,2 15,7 0,3 2,7537 -1,2040 0,3567 -1,0309 0,3 18,2 0,4 2,9014 -0,9163 0,5108 -0,6717 0,4 22,1 0,5 3,0956 -0,6931 0,6931 -0,3665 0,5 26,7 0,6 3,2847 -0,5108 0,9163 -0,0874 0,6 32,6 0,7 3,4843 -0,3567 1,2040 0,1856 0,7

dp (µ) X ?X ?X/dp 32,6 0,7 0,3000 0,0092025 Q (cm3/min) ?P (cm água) 26,7 0,6 0,1000 0,0037453 12,3 19,1 22,1 0,5 0,1000 0,0045249 15,1 23,2 18,2 0,4 0,1000 0,0054945 20,5 31,9 15,7 0,3 0,1000 0,0063694 25,3 39,0 13,0 0,2 0,1000 0,0076923 29,2 45,3 8,2 0,1 0,2000 0,0243902 TOTAL 1,0000 0,0614191 Diâmetro de Sauter 16,281569 d= 1 p ?? ? X ? ?? ?? d ? p? P ( cm água) 50,0 45,0 40,0 35,0 30,0 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0 y = 1,5481x R2 = 0,9998 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 Q (cm3/min)

Caracterização da partícula sólida 3.20

X 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 D50 D63,2 D15,9 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 d p (m) LOG-NORM A L X 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,0 y = 0,458x - 0,921 2 R = 0,9687

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 ln d p GGS 0,0

-0,5 -1,0 ln X -1,5 -2,0 -2,5 y = 1,4583x - 5,2906 2 R = 0,9772

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 ln d p RRB ln(ln(1/1-X)) 0,5

0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 y = 1,8219x - 6,072 2 R = 0,9916 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 ln d p

Caracterização da partícula sólida 3.21

Exercícios 1) Uma amostra de areia (243,1g) apresentou a seguinte análise de peneiras

Sistema Massa Tyler retida (mesh) (g) +8 -8 +10 -10 +13 -14 +20 -20 +28 -28 +35 -35 +48 -48 +65 -65 +100 -100 +150 -150 +200 -200 12,6 38,7 50,0 63,7 32,5 17,4 11,2 7,8 3,7 2,6 1,8 1,1

b) Verificar se a distribuição granulométrica segue um dos seguintes modelos: Gates-Gaudin- Schumann, Rosin-Rammler-Bennet e log-normal. Calcular os parâmetros do modelo que melhor se ajuste às circunstâncias.

c) Calcular o diâmetro médio de Sauter, =1=1 D ? ?X ? #1 ? 1 dX ? ? ? D ?D ? 0#i#i

onde X é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que D# e ?X a fração em massa das partículas de diâmetro D#.

Resposta: b) melhor modelo: RRB (n = 1,7955 e D' = 1,601) c) Diâmetro de Sauter: pelo modelo: 0,801, aproximado: 0,688 usando o pó remanescente como 0,0370 mm de diâmetro médio.

Caracterização da partícula sólida 3.22

2) Deseja-se peneirar areia, 4 ton/h, no sistema de peneiras vibratórias abaixo esquematizado. Deterninar a produção A, B e C em ton/h, sabendo-se que a análise granulométrica da areia é a mesma do problema 1.

Resp: 1,67 ton/h, 1,87 ton/h e 0,46 ton/h # 14 # 35 A C B

3) Na técnica de sedimentação, versão incremental, X(d ) = c St c o

onde X é a fração em massa das partículas de diâmetro menor que dSt,

1 ? 18µh ? 2 d = ? ( ) ? , ?g???t? St s sendo co a concentração da suspensão em t = 0 e c a concentração medida no tempo t a uma distância h abaixo do nível da suspensão da proveta.

h = 25 cm Medidas realizadas com o auxilio dos raios-? na sedimentação de uma amostra de barita (?s = 4,2 g/cm ) em benzeno a 25 C conduziram aso seguintes resultados: 3o t(min) 3,77 4,88 6,08 7,43 8,95 10,8 13,2 16,6 31,7 c/co 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

Caracterização da partícula sólida 3.23

o 4) Uma suspensão aquosa de caulim a 25 C apresentou as seguintes velocidades de sedimentação, v, a diferentes concentrações de sólido, c, 3 c (g/cm ) 0,056 0,083 0,147 0,193 0,218 0,226 V (cm/min) 4,22 3,37 2,27 1,84 1,55 1,40

a) Determinar, por extrapolação de dados, a velocidade de sedimentação das partículas de caulim à diluição infinita, v?;

b) Determinar o diâmetro médio de Stokes, dSt, das partículas de caulim através da fórmula de Stokes,

1 ? 18µv ? 2 d = ? ( ?) ? ????g? St s onde µ - viscosidade do fluido ?s ? densidade da partícula sólida g ? aceleração da gravidade

3 v? =5,78 cm/s (c?0, curva de tendência polinômino do 2 grau do Excel) o Resp: dSt =0,00315 mm

5) Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2O3 em o água, a 25 C: 3 c (g Al2O3/cm de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435 v (cm/min) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7

3 a) Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular dp (diâmetro da esfera de igual volume que a partícula);

b) Comparar os resultados experimentais de velocidade de sedimentação em função da concentração com os valores estimados pelas correlações da literatura. Como estas correlações se referem às particulas esféricas, caracterizar as partículas através do produto dp?.

Dinâmica da partícula 4.1

4. DINÂMICA DA PARTÍCULA 4.1. Formulação básica e equações empíricas para partículas isométricas Seja uma partícula de massa m, volume V e massa específica ?s movendo-se com a velocidade ? (velocidade do centro de massa da partícula) em um fluido de massa específica ?. Seja u a velocidade do fluido. A equação do movimento da partícula é:

r m d? = (? ? ?)Vbr + r l (1) s dt

rr onde b é a intensidade do campo exterior e l a força resistiva que o fluido exerce sobre a partícula (não inclui o empuxo).

r No campo gravitacional b = g r r ( r r) No campo centrífugo b = ?w × w × r , r onde: w é a velocidade angular da partícula e r r é o vetor posição.

Admitiremos que a partícula apresente ?um certo grau de uniformidade? em sua forma, tornando aceitáveis as seguintes suposições: r a) A posição relativa partícula-fluido não afeta o valor da força resistiva l ;

r (r r ) b) l tem a direção da velocidade relativa u ? ?

Dentro destas hipóteses: r=1A l 2 rr u?? ?C D onde: CD é o coeficiente de arraste da partícula (Bird, Stewart e Lightfoot, 1960, pg. 181)

Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa 2 r u?? rr u?? (2)

Dinâmica da partícula 4.2

Seja o diâmetro da esfera de igual volume, dp, a dimensão característica da partícula e seja a área A definida do modo: ?d2 =p A (3) 4

A medida da velocidade terminal ?t leva à determinação experimental do coeficiente de arraste CD, pois resulta das equações (1) e (2): 0 = (? ? ?)Vg ? A C ?2 (4) s Dt 2

4 d (? ? ?)g =ps e portanto: C (5) D 3 ??2 t

Foi dentro deste procedimento que Pettyjohn e Christiansen (1948) levantaram uma quantidade substancial de dados sobre o coeficiente de arraste para partículas isoméricas (aquelas que apresentam 3 eixos perpendiculares entre si iguais, como a partícula esférica, cúbica, tetraédrica regular, etc...). O resultado é extrapolado comumente para partículas que apresentam um ?certo grau de uniformidade?.

Os problemas de dimensionamento de equipamentos de separação de partículas que comumente aparecem na engenharia química exigem que se avalie o dp a partir de ?t ou então o inverso. No entanto estes cálculos cairiam no processo iterativo, visto que:

C = f (Re, ?) D Ud ? =p = Re e U µ rr u??

2 Para fazer o processo iterativo, as relações entre grupos CDRe e Re, CD/Re e Re são de utilidade para o cálculo, respectivamente, da velocidade relativa U e do diâmetro da partícula, dp, pois:

d3?(? ? ?)b 2=4 p s C Re (6) D 3 µ2

Dinâmica da partícula 4.3

não encerra U 4 µ(? ? ?)b e C Re = s (7) D 3 ?2U3

não contém dp e ambos fazem parte do número de Reynolds: Ud ? =p Re (8) µ

Massarani et al (1996) correlacionou os dados de Pettyjohn e Christiansen usando a técnica das assíndotas de Churchill (1983). Desta forma, as equações permitem estimar o Re e a partir do valor deste, pode-se calcular dp e ?t. As correlações apresentadas nas tabelas 4.1 à 4.3 referem-se à fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em fluido Newtoniano.

Embora a tabela 4.2 inclua a partícula esférica, recomenda-se neste caso, para maior precisão, a utilização da tabela 4.1. A tabela 4.3 fornece diretamente as expressões para a velocidade relativa fluido-partícula e para o diâmetro da partícula quando prevalece o regime de Stokes 35 ou de Newton, isto é, quando Re < 0,5 ou 10 < Re < 2 x 10 .

Em algumas situações foram levantadas correlações específicas para descrever a fluidodinâmica da partícula não-isométrica (Concha e Christiansen, 1986), porém, na falta destas, utilizam-se os resultados relativos à partícula isométrica, caracterizando a forma da partícula não-isométrica da esfericidade.

Dinâmica da partícula 4.4

Tabela 4.1 ? Fluidodinâmica da partícula esférica isolada: correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Lapple & Shepherd (1940) e Pettyjohn & Christiansen (1948).

4 Re < 5 x 10 Descrição n Valor médio e desvio padrão ?? ? n ?1 n = ?? 24 ? + n ? cD 0,43 ??? Re ? ?? 0,63 (Re) exp = ± (Re) 1,00 0,09 cor ?? ? ? ? ?1 n ?n ? ?n2 c Re2 c Re2 Re = ?? D ? + ? D ? ? ??? ? ??? ? 24 ? ? 0,43 ? ? 0,95 (Re) exp = ± (Re) 1,00 0,06 cor ?? ?n 2 ? ?n ?1 n = ?? 24 ? + ? 0,43 ? ? Re ??? c Re ? ? c Re ? ?? DD 0,88 (c ) D exp = ± (c ) 1,00 0,09 D cor

Tabela 4.2 ? Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: correlações de Coelho & Massarani (1996) com base nos dados de Pettyjohn & Christiansen (1948).

0,65 < ? ? 1 e Re < 5 x 104 Descrição n Valor médio e desvio padrão ?? ?n ?1 n c = ?? 24 ? + K n ? D ??? ? 2 ?? K Re 1 0,85 (c ) D exp = ± (c ) 1,00 0,13 D cor ?? ?n 2 ? ?n ?1 n = ?? 24 ? + ? K ? ? Re (c ) 2 ??? K Re ? ? c Re ? ?? 1D D 1,2 (Re) exp = ± (Re) 1,00 0,10 cor ?? ? ? ? ?1 n ?n ? ?n2 K c Re2 c Re2 Re = ?? 1 D ? + ? D ? ? ??? ? ??? ? 24 ? ? K ? ? 2 1,3 (Re) exp = ± (Re) 1,00 0,14 cor K1 = 0,843log10(? / 0,065), K2 = 5,31 ? 4,88? Udp? 4µ(? ??)b 4d3?(? ??)b Re = , C Re = s , C Re2 = p s µ D 3 ?2U3 D µ2 3

Dinâmica da partícula 4.5

Tabela 4.3 ? Fluidodinâmica da partícula isométrica isolada: cálculo da velocidade e do diâmetro da partícula (Pettyjohn & Christiansen, 1948).

0,65< ?? 1 Variável a ser estimada Regime de Stokes Re < 0,5 Regime de Newton 3 < Re< 5x104 10 cD 24 K Re 1 K2 U (? ? ? )bK D2 s F 1p 18µ ? (? ? ? )bD ?1 2 4 sFp ?? ? 3? K ? F2 Dp ? 18µU ?1 2 ? (? )bK ? ? s ? ?F 1 ? 3? K U2 F2 4(? ? ? )b sF K1 = 0,843log10(? / 0,065), K2 = 5,31 ? 4,88?

Influência da concentração de partículas Um grande número de dados experimentais apresentados na literatura evidencia que a velocidade terminal de uma partícula tem seu valor substancialmente reduzido pela presença de outras partículas. Esta redução, tanto mais sensível quanto maior a concentração de sólidos, é da ordem de 5% para concentrações de apenas 2%, como mostra a equação de Einstein.

?1 t= ?? 1+ 2,5c v onde: ?? é a velocidade terminal da partícula isolada e cv a fração volumétrica da fase sólida na suspensão.

O efeito da presença da fase particulada na fluidodinâmica de suspensões é comumente expresso através de correlação do tipo (Richardson e Zaki, 1954).

Dinâmica da partícula 4.6

onde U é o módulo da velocidade relativa fluido-partícula, rr U=??u, Re? o número de Reynolds referente à velocidade terminal da partícula isolada, D ??? Re? = , pF

µ ?, a porosidade, é a fração volumétrica de fluido na suspensão, ? = 1 - cv As correlações referentes à equação (i) podem ser determinadas através da experimentação conduzida na sedimentação em batelada e na fluidização homogênea: no primeiro caso U = ?/?, onde ? é a velocidade da frente de sedimentação; no segundo caso U = QF/(?A), sendo QF a vazão de fluido e A a área da seção transversal de fluidização. A experimentação torna-se imprecisa quando a faixa granulométrica das partículas sólidas é extensa e quando a concentração de sólidos é reduzida, inferior a 5% em volume, resultando nas duas situações uma interface fluido-suspensão pouco nítida por problemas de segregação de partículas. A maioria das correlações apresentadas na literatura referem-se a amostras com partículas arredondadas, em faixa granulométrica estreita representada por um diâmetro médio que possivelmente não caracteriza a fluidodinâmica da suspensão. Como conseqüência da caracterização incompleta do sistema particulado, as correlações da literatura podem diferir substancialmente entre si.

Dinâmica da partícula 4.7

Tabela 4.4 ? Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de supensões A. Correlação de Richardson e Zaki (1954) para partículas arredondadas:

U ?? = ?n , n = n(Re? ) Re? 0,2 0,2 ? 1 1 ? 500 > 500 n 3,65 4,35Re?0,03?1 ? 4,45Re?0,1?1 ? 1,39 B. Correlação Politis e Massarani (1989) para partículas irregulares(areia, hematita, itabirito, dolomita e quartzo, 0,47 < ? < 0,80)

?0,14 U ?? = ? , 9,5 < Re? < 700 5,93Re? O diâmetro médio é a média aritmética da abertura das peneiras de corte. C. Correlações empíricas estabelecidas com base nos dados experimentais reunidos por Concha e Almendra (1978) (Massarani e Santana, 1994)

< U = ??0,83?3,94 , 0,5 < ? ? 0,9 Re? 0,2, ? ?? ??4,8??3,8, 0,9

1 < Re? < 500, U = 1 , 0,5 < ? ? 0,95 ? 1+ARe?B ??

= 0,28??5,96 = ? 0,33? A , B 0,35

Dinâmica da partícula 4.8

Figura ? Influência da concentração de partículas na fluidodinâmica de suspensões: comparação entre os resultados de Richardson e Zaki (1954) e Almendra (1979).

4.2. Separação sólido-sólido: elutriação Um elutriador é um tubo vertical através do qual ascende um fluido a uma determinada velocidade enquanto a mistura sólida que se quer separar é alimentada no topo da coluna.

alimentação água Partículas As partículas grandes que caem a uma pequenas velocidade maior que a de ascenção e leves do fluido, são coletados na parte inferior da coluna, enquanto que as partículas menores são carregadas para o topo da coluna com o fluido.

Dinâmica da partícula 4.9

Deseja-se separar partículas de mesma massa específica e diâmetros d1 e d2

1 2 ? = velocidade terminal da partícula 1 t1

? = velocidade terminal da partícula 2 t2 d 1d 2 Para produzir-se separações adicionais, várias colunas de diferentes diâmetros podem ser usadas.

Alimentação (partículas) Sólidos muito finos água Sólidos Partículas Sólidos finos grosseiros menos grosseiras

NO QUADRO Exemplo 4.1: (problema 2-Massarani pg.16) Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção de 1 para 4 em peso é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água de 0,5 cm/s. A distribuição granulométrica dos dois materiais é a mesma:

dp (µ) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 43 54 64 72 78 88

Calcular a porcentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Dados: densidade das partículas ?G = 7,5g/cm e ?C = 2,7 g/cm ; esfericidade ?G = 0,8 e ?C = 0,7; 33

Dinâmica da partícula 4.10 dp (µ) 100 X 20 30 40 50 60 70 80 100 15 28 43 54 64 72 78 88 100 X 100

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 2 y = -0,0078x + 1,8509x - 19,275 2 R = 0,9993 0 20 40 60 80 100 120 dp

Dinâmica da partícula 4.11

4.3. Dinâmica da partícula que se desloca em um fluido entre placas paralelas sob a ação do campo gravitacional

4.3.1. Sedimentador lamelado obs: comportamento de uma partícula no seio de um fluido escoando entre duas placas paralelas

sobrenadante L H r ? Largura B Largura b y g ? g ?g y x g ?x

g cos ? = y ? g = g cos ? y g sen ? = g x ? g = g sen ? x g

Equação do movimento da partícula: r m d? = (? ? ?)Vgr + 1 ?A s dt 2 rr u?? (r r ) C u?? D

Dinâmica da partícula Componente x 0 = ?(? ? ?)Vg sen ? + 1 ?A s 2 rr u?? C 4.12

(u ? ? ) (1) Dxx Componente y (obs. fluido na direção x somente, portanto uy = 0)

0 = ?(? ? ?)Vg cos ? + 1 ?A s 2 rr u?? C (0 ? ? ) (2) Dy

Rearranjando: (? ? ?)Vg sen ? = 1 ?AC sD 2 rr u?? (u ? ? ) (1A) xx

(? ? ?)Vg cos ? = 1 ?AC sD 2 rr u?? (? ? ) (2A) y

Elevando ao quadrado cada termo das equações (1A) e (2A) e somando:

[(? ? ?) ?]2 + [(? ? ?) ?]2 = Vg sen Vg cos ss

?1 r r ?2( ) ?1 r r ? ( ??ACDu???ux??x2+??ACDu???2??)2 ?2 ? ?2 ? y

[(???)Vg]2?(sen2?+cos2?)=?1 rr?2[(u )2+(??)2] s ? ?AC u ? ? ? ? ? ?2 D ? x x y [(? ? ?)Vg]2 = ?? 1 ?AC r r ?2 r r 2 u??? u?? s ?2 D ?

Porque: Então:rr u?? r r (u )2 (u )2 u ? ? = ? ? + ? ? , como u = 0 xxyyy

Dinâmica da partícula 4.13

Logo: rr u?? ? ?2 4 ? (? ? ?)Vg ? =? s ? ??A? ? ? ? ??CD ? ??2? ?

rr u?? ? 2(? ? ?)Vg ? 12 =? s ? =? A?C t ? D?

Vem da equação (1) 0 = ?(? ? ?)Vg sen ? + 1 ?A r r u?? s 2

(? ? ?)Vg sen ? (u ) s =? ?? A ?C t x y D 2 C (u ? ? ) Dxx

?2 sen ? = ? (u ? ? ) t txx ? = u ? ? sen ? xxt (3)

E da equação (2) 0 = (?s ? ?)Vg cos ? ? r r u?? A ?C D 2 0 = ?2 cos ? ? ? ? t ty ? y

Dinâmica da partícula 4.14

? = ? cos ? yt (4) ? ?x ?y 0 ux ?t Placas horizontais - ?t 0 Fluxo ascendente o 90 ux + ?t o 270 ux 0 Fluxo descendente

CÁLCULO DO MENOR DIÂMETRO DA EFICIÊNCIA DE 100% L x PARTÍCULA QUE É COLETADA COM H Largura B Largura b Trajetória crítica y ? Tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra a direção x a distância L.

t= L = L = L = L ? H 2 H 2 u ? ? sen ? ? ? dy ? (u ? ? sen ?)dy t x xt ?H 2 ?H 2

HH onde: u = Q HB H2B2 H2 ? = 1 ? ?dA = 1 ? ? ?dydz = 1 ? ? (y)dy x A HB H ?H 2 ?B 2 ?H 2

Dinâmica da partícula 4.15

? Tempo necessário para que a partícula de diâmetro crítico percorra na direção y a distância H.

t= H ? cos ? t Portanto, para a trajetória crítica: t =t residência queda

L=H u ? ? cos ? ? cos ? tt Hu ?= t ?+ ? L cos H sen

Conhecendo-se ? ? C Re = 4 (?s ? ?)gµ ? Re ? d t D 3 ?2?3t p,crítico Situação de interesse prático: L>>H (L ? 20H) Sistema lamelado ? usualmente: H = ±5cm, ? = 60o

Sistema ? Contracorrente o ~ 60 concorrente o ~ 40 Resulta para as duas configurações

Hu ? ? o H sen? é desprezivel frente ao L cos? t? L cos

Dinâmica da partícula 4.16

L ? Lcos? Q = mBH u = (mBL cos ?)? t área projetada onde m é o número de lamelas ativas

BLcos? ? área projetada mBLcos? ? total de áreas projetadas das lamelas

Dinâmica da partícula 4.17

NO QUADRO Exemplo 4.2 ( 3-pg16-Massarani) O separador de poeira abaixo esquematizado opera em 3 compartimentos. Estimar a faixa de diâmetros das partículas em cada compartimento. Dados: 3o a) Vazão de gás : 5000 ft /min (ar a 20 C e 1 atm) 3

3 ft 3 ft 3 ft B = 10 ft 1 ft

L(ft) L (cm) Vt (cm/s) CD/Re Re dp (cm) dp (µ) 3 91,44 84,6760717 0,8075758 6 182,88 42,3380359 6,4606066 9 274,32 28,2253572 21,8045474 7,1161439 0,01260594 126,0594132 2,1768673 0,00771245 77,1245260 1,1457116 0,00608874 60,8873571

=POTÊNCIA(POTÊNCIA(24/(0,895*D4);0,6)+POTÊNCIA(1,65/D4;1,2);1/1,2)

Dinâmica da partícula 4.18

Exemplo 4.3 (5-pg17-Massarani) Uma suspensão diluída de cal em água contém areia como produto indesejável. Determinar: 3 a) A capacidade da unidade para a separação completa da areia (m de suspensão /h); Dados: - Faixa granulométrica da areia: 70 < dp < 250 µ (esfericidade 0,7). - Análise granulométrica das partículas de cal (esfericidade 0,8).

dp(µ) 20 30 40 50 60 70 80 100 100X 15 28 48 54 64 72 78 88

33 o alimentação 0,3 m 4m Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa produto

Dinâmica da partícula 4.19

Problema: Suspensão discreta - eficiência de coleta L B y x ? h H Seja conhecida a análise granulométrica das partículas sólidas na alimentação

X = X(D) Hipóteses: H B =u h ?y ?y?? 2 Perfil parabólico h u = 6 u ? ? ? ? ? Fox, cap. 8 , 4a edição ?? H ? H ? ?? Velocidade média na h seção B x H u = 1 ? udy hh 0

?y ? ? u = 1 ?h 6 u ? ? ? y ?2 ?dy ? h h ?? H ? H ? ?? 0

1 ? y2 y3 ?h u =6u ? ? ? h h ?2H 3H2 ?0 h ?1 1 h ? H ?? 2 ? 3 H ?? u =6u h Velocidade média nesta seção

Dinâmica da partícula 4.20

3) A partícula movimenta-se no regime de Stokes g(? ? ?)D2 ? ? = K s , K = 0,843log 18µ t 1 1 10 0,065 A eficiência de coleta das partículas de diâmetro D com a trajetória crítica assinalada na figura é:

?(D) = Bh (relação entre áreas) BH L ? cos ? tD ?(D) h h u 1 ? u = = = h = t D H2 H 2H 2 L ? * cos ? 2 ? * u 2 tD tD h u H2

Pois, foi visto anteriormente que: h u (? ) L cos ? (? ) = h ?h = D t

t D L cos ? u h Então: ?(D) = h = ? D ?2 u ?? H ?D*? h?1?1h ? 12 u ? ? H?2 3H?

Resultando: (3 2?)? 1 ? D ?2 ? 2 = ? ? , Função eficiência de coleta 2?D*?

Se D ? 2, ?=1 D* A eficiência para o sedimentador lamelado - regime de Stokes - escoamento laminar de fluido

Sendo D* o diâmetro da partícula coletada com eficiência de 50%

Dinâmica da partícula 4.21

OBS.: A velocidade média em H/2 é a mesma velocidade média em toda a seção porque o perfil é simétrico.

Conhecida a eficiência individual de coleta e a análise granulométrica X = X(D), pode-se calcular a eficiência global de coleta ? .

1 ? = ? ?dX 0 D* esta relacionado com as propriedades físicas do sistema sólido-fluido, com as condições de operação e com as dimensões do equipamento de separação.

(V ) = H u t D* ? 2L cos e prevalecendo o regime de Stokes:

(V ) K g(? ? ?)D *2 =1s 18µ t D* K g(? ? ?)D *2 Q=1s 2A 18µ projetada

? Q9µ ?1 2 D* = ? (? ? ?)A ? ?? K g ?? 1 s projetada

No caso em que o escoamento do fluido entre as placas paralelas é turbulento:

? = 0,5(D D *) ? 2 , D D* 2 D* ? diâmetro de corte ? ? eficiência da coleta Caracterizam completamente o desempenho do equipamento de separação

Dinâmica da partícula 4.22

CÂMARA DE POEIRA a REF.: Perry 5 edição, 20-77 Gupta,S.K., Momentum Transfer Operations, Tata McGRAW- HILL, 1979 pag. 211 A câmara de poeira é, provavelmente, o tipo de equipamento mais simples, para coletar partículas sólidas.

Consiste de uma câmara, na qual a velocidade do gás é reduzida para facilitar a deposição das partículas pela ação da gravidade.

Sua construção é muito simples, no entanto sua utilização industrial é limitada para remover partículas maiores que 25 mesh (43µ). Para remover partículas menores, seria necessário um tamanho excessivamente grande.

A câmara de poeira é, geralmente, constituída na forma de uma longa caixa retangular horizontal e vazia, com entrada e saída em lados opostos.

L B H A altura deve ser suficiente para que o fluido não arraste a partícula coletada. De maneira : velocidade do fluido na direção x definindo: tempo de residência: tempo que a partícula gasta dentro da câmara (para percorrer L).

Dinâmica da partícula 4.23

t =L res u t =H queda ? t ?t = velocidade terminal A condição mais desfavorável para a separação ocorre quando: tqueda = tresisdência pois é muito pouco provável que a partícula esteja na altura H da câmara

assim L = H u? t Como : ? = 2V(?s ? ?)g ?AC t D H u 2V(? ? ?)g =s L ?AC D

Dinâmica da partícula 4.24

Partículas com d < dcrítico são arrastadas Partículas com d < dcrítico sedimentam provavelmente dz < dy < dk Se a partícula estiver a uma altura menor que H sedimenta ( a probabilidade de sedimentar é bem maior daquela que esta numa altura H )

Muito menos provável de sedimentar H Para o regime de Stokes (Re < 0,4)

d2(? ??)g H u d2(? ??)g ?=ps ? =ps 18µ 18µ t L

L = 18Hµ u d2(? ??)g ps Como a vazão na câmara = Q = u A = u BH ? u = Q (BH) Logo : 18µH LBH = d2(? ??)g Q ps

onde : LBH = volume da câmara ? 18µHQ ?1 2 d =?(? ??)gV ? p ? s câmara ?

O mesmo procedimento pode ser feito para outros regimes (utiliza-se outra ?t), no entanto, de dados práticos sabe-se que a câmara recomendável, para a separação da partícula com dp > 50 µ, a velocidade do fluido não ultrapassa 10 ft/s (3,05 m/s). Nestas condições:

Dinâmica da partícula 4.25

d?u Re = < ? p pµ SEPARAÇÃO SÓLIDO - FLUIDO: CENTRIFUGAÇÃO

Introdução: Vamos examinar o comportamento de uma partícula no seio de um fluido escoando entre 2 placas paralelas:

x u y Vimos que: r d? ( )r 1 r r (r r ) m = V ? ? ? g + u ? ? AC u ? ? sD dt 2 Abrindo em seus componentes e lembrando que uy = 0, vem:

0 m d?x = V(? ? ?)g + 1 ? r r ( ) u ? ? AC u ? ? sx Dxx dt 2

d? ( ) 1 r r ( ) m =V???g+ ?? ?? y u AC sy Dy dt 2

a Desprezando a aceleração da partícula, vem da 1 u =? xx A partícula na direção do escoamento do fluido tem a mesma velocidade que a velocidade do fluido

a Resulta da 2 equação: sy 2 Obs. : rr u?? = (u )? (? ) rrrr i+u j i+? j xyxy=

ourr u?? = (u ? ? )2 + (u ? ? )2 xxyy Samuel Luporini e Letícia Suñe ? DEQ/UFBa 0 = V(? ? ?)g ? 1 ?AC ?2 Dy

Dinâmica da partícula 4.26 2V(? ? ?)g ?= s y ?AC D Na direção y, a velocidade da partícula é a velocidade terminal.

?r ?? ur = 0 ? ur ? 0 se o cesto for perfurado u? = r? (Bird pg. 97) r 0 d?? = (? ? ?)b + 1 ? Vs ? m dt 2 rr u?? AC (u????) D

0 d? (? ? ?)b + 1 ? r r AC (u ) m r=V u?? ?? sr Drr dt 2

?2 b = ? Aceleração centrífuga r 2 Desprezando a aceleração, vem: ?? = u ? A partícula tem na direção de escoamento do fluido, a mesma velocidade que o fluido.

= ??2 = ? 2 r 2 = ? 2 r b r 2r 2V(? ? ?)b 2V(? ? ?)?2r e?= s r= s ?AC ?AC r DD

Velocidade terminal no campo centrifugo NO QUADRO: EXEMPLO 4.3: Qual o tempo necessário para a partícula ir de R0 a R1? Admitir regime de Stokes e partícula esférica.

Dinâmica da partícula 4.27

CENTRIFUGAÇÃO : Princípios gerais Líquido Sólido Sólido

Líquido Sólido Líquido

(a) (b) (c)

(a) vaso cilíndrico estacionário que contém certa quantidade de líquido e sólidos (com massa específica maior que o líquido). Com o vaso não está em rotação, a superfície líquida é horizontal e após certo tempo quaisquer sólidos pesados se acumulam no fundo do vaso.

(b) O vaso gira em torno do seu eixo vertical. Líquidos e sólidos ficam agora sujeitos a ação da gravidade que age para baixo, e da força centrífuga, que age horizontalmente. Num centrifugador industrial, a força centrífuga é tão grande que a da gravidade pode ser desprezada. Sob a ação da força centrífuga, a camada líquida assume a posição de equilíbrio, com uma superfície interna quase vertical. As partículas sólidas se depositam horizontalmente para fora e são pressionadas contra a parede vertical do vaso.

(c) A parede do vaso é perfurada e revestida com um meio filtrante, como uma tela de arame fino. O líquido pode escoar livremente para fora, mas os sólidos são retidos.

Dinâmica da partícula 4.28

EQUIPAMENTOS DE SEDIMENTAÇÃO CENTRÍFUGA CENTRÍFUGA TUBULAR CENTRÍFUGA MULTICÂMERA CENTRÍFUGA DE CESTO NÃO PERFURADO CENTRÍFUGA EM CARACOL CENTRÍFUGA DE DISCO

OPERAÇÃO SEMI- OPERAÇÃO EM BATELADA CONTÍNUA, DESCARGA OPERAÇÃO E (DESCARGA NANUAL) INTERMITENTE (FREQUEN- DESCARGA TEMENTE AUTOMÁTICA) CONTÍNUAS

TIPO QUE RETEM SÓLIDOS TIPO QUE DESCARREGA SÓLIDOS TIPO BOCAL

OPERAÇÃO DESCARGA DESCARGA BATELADA INTERMITENTE CONTÍNUA

Centrífuga tubular (batelada) A alimentação entra pelo fundo do vaso, sob pressão através de um bocal de alimentação estacionário. O líquido sobe em forma anular pelas paredes do vaso e é descarregado no topo. Os sólidos se movem com o líquido para cima e tem, ao mesmo tempo, uma velocidade radial dependente de seu tamanho e do seu peso, no campo de um força centrífuga. Se a partícula entercepta a parede do vaso ele é removido do líquido.

A espessura da camada líquida é controlada pela posição radial do orifício de drenagem no topo do vaso. Os sólidos que sedimentam nas paredes do vaso são removidos manualmente quando a quantidade coletada já é suficiente para prejudicar a qualidade de clarificação ou de separação. Como a limpeza do vaso requer 0,25 homens-hora, a principal utilidade do equipamento é no tratamento de sistemas que contém não mais que 1% de sólidos sedimentáveis.

Dinâmica da partícula 4.29

Motor Líquido Líquido pesado leve

Cesto giratório Sólidos Alimentação Centrífuga tubular Centrífuga de disco (batelada)

A alimentação é feita no fundo do vaso e sobe através de uma pilha de discos, na forma de troncos de cones, espaçados de 0,015 a 0,125 in. Cada disco tem vários orifícios que formam vários canais para a ascensão do líquido, quando os discos estão montados no vaso. A pilha pode conter 100 ou mais discos.

A finalidade principal dos discos é reduzir a distância de sedimentação, pois uma partícula sólida percorre apenas uma pequena distância até atingir a face inferior de um disco.

Dinâmica da partícula 4.30

No entanto, a partícula continua a se mover para fora, em virtude da força centrífuga, até ser depositada na parede do vaso.

Os sólidos acumulados devem ser removidos periodicamente de forma manual, como nas centrífugas tubulares. Isto requer a paralisação da unidade, a desmontagem do vaso e a remoção da pilha de discos.

O líquido pode ser descarregado do vaso por orifício de trasbordamento, como na centrífuga tubular.

Os centrifugadores a discos tem diâmetros de 4 a 30 in e desenvolvem uma força 4000 a 14000 vezes maior que a gravidade.

Sua eficácia é quase a mesma que a de uma centrífuga tubular apesar da menor força centrífuga. Comparada a uma centrífuga tubular são, com alguns sólidos, mais eficazes.

Alimentação Overflow Sólidos Diagrama esquemático da seção transversal de uma centrífuga de disco

Dinâmica da partícula 4.31

Centrifugador a disco com descarga periférica (contínuo) Alimentação

Overflow Underflow Diagrama esquemático de uma centrífuga de disco com descarga periférica

A altura vertical relativamente pequena torna possível reclinar as paredes do vaso de modo a dirigir os sólidos para uma seção anular na periferia. Daí os sólidos podem ser descarregados continuamente através de bocais.

O desempenho ótimo é obtido quando o diâmetro da pilha de discos é 3 do diâmetro interno máximo do casco do vaso.

Dinâmica da partícula 4.32

Ejeção de sólidos intermitente: Um número de portas periféricas, as quais são fechadas com válvulas, estas são controladas por `timer' ou por um sistema de gatilho que opera automaticamente dependendo da quantidade de sólido formada.

Centrifugador decantador com transportador helicoidal (caracol) Constitui: ? Vaso cilíndrico ? Transportador ? parafuso interno que se ajusta estreitamente ao interior do vaso, girando 1 a 2 rpm menor que o vaso.

? A alimentação é injetada pelo parafuso central e entra no vaso, mais ou menos na região mediana.

? As forças centrífugas forçam a fase sólido e líquido contra as paredes do cilindro. Os sólidos concentram-se contra as paredes e também no líquido que fica retido no vaso na posição dos bocais de descarga do filtrado.

? Um transportador parafuso raspa o sólido da parede do cone, o qual é lavado e descarregado pela parte estreita da seção cônica do vaso.

Dinâmica da partícula 4.33

Fatores que afetam a escolha do equipamento centrífugo (Svarovsky)

O equipamento pode ser localizado na figura acima em sua região de operação normal (região de maior utilidade) com a base na vazão do efluente (escoamento para uma boa e econômica clarificação nas aplicações padrões)

Dinâmica da partícula 4.34

A CENTRÍFUGA referência: - Coulson & Richardson - pag.118 - Volume II - Perry, pag. 19-82

a A centrífuga consiste num cesto na qual rodam a alta velocidade uma mistura de sólido e líquido ou uma mistura de 2 líquidos, de tal maneira que a mistura é separada nos seus constituintes pela ação da força centrífuga. O cesto pode ser:

Não perfurado (cesto não filtrante) - líquido é removido através de um tubo de transbordamento.

Em separação sólido-líquido, a força centrífuga é empregada nas operações de decantação e filtração. Em ambos os casos ela substitui a fraca força de gravidade, resultando em uma operação mais rápida e bolos de sólidos contendo menos líquido.

Teoria da sedimentação centrífuga 0ver flow Trajetória da partícula L

Dinâmica da partícula 4.35

Como a eficiência de separação é afetada principalmente pelo comportamento das pequenas

o partículas no sistema e como as partículas finas movendo-se no líquido tem baixo n de Reynolds (na região de resistência viscosa) é comum assumir, quando se descreve o movimento da partícula em líquidos em movimentos rotativos, que segue a Lei de Stokes.

Isto pode no entanto restringir a seguinte análise para somente ser aplicável ao movimento lento de partículas finas com Re menor que 0,4. Sabe-se no entanto que a resistência ao movimento de grandes partículas pode ser transiente ou eventualmente estar na região de Newton, porem neste caso todas estas partículas podem ser separadas com 100 % de eficiência.

A análise é feita para uma única centrífuga tubular porem o mesmo tratamento, com leves modificações, poderá ser usado para outros tipos de centrífugas.

Da dinâmica da partícula no campo centrífugo, resulta: ? ?1 2 ? (? ? ?)Vb ? ? = ? = ? s r ? , b r = r? 2 rtA ? ?C ? ? D? 2

?(r)=K1?2r(?s??)D2(Stokes)K=0,843 ? log 18µ t1 0,065 L L ?(R ? R )L 22

t = = ?(R 2 ) = 0 res u Q ? R 2 Q 0

18µ R t = ln queda K (? ? ?)D2?2 R 1s 0

t =t res queda ?(R 2 ? R 2 )L 18µ R 0 = ? ?)D2?2 ln R Q K (? 1s 0 D ? diâmetro crítico da partícula (situação mais desfavorável)

Dinâmica da partícula 4.36

No caso de R >> H, recaímos nas equações da câmara de poeira, porque a partícula tem que percorrer a distância H no tempo de residência.

H= L ? (aproximação considerando constante) ? QA t t

?(R 2 ? R 2 )L H= L = (R 2 ) 0 ? Q ? ?R2 Q t0

K ?2R(? ? ?)D2 ? = HQ = HQ = (R )L 1s t ? 2 ? R 2 V 18µ 0

De onde : D = 18µHQ ?Diâmetro crítico ? ?2R(? ? ?)VK 100% s1

Sendo V o volume do líquido na centrífuga, ou seja: V=?(R2?R2)L=?[R2?(R?H)2]L=?[R2?R2+2RH?H2]L= 0

?H[2R ? H]L ? 2?HRL · Diâmetro de corte Dc é aquele no qual a maior parte das partículas de D > Dc ficará retida na centrífuga, a maior parte de D < Dc passará no efluente e as partículas D = Dc são coletadas na proporção de 50%.

Deste modo, no regime de Stokes: 9µHQ Seria uma aproximação considerando que em D = H/2 o anel do líquido esta dividido em duas 2 R s

Valor de br nas centrífugas D ? 2? ? 2 g ? b=R?2=??n??=5,6x106n2Dg(cm/s2) r 2 60 981

Dinâmica da partícula 4.37

Onde: n = (RPM) D = diâmetro da centrífuga (cm) g = aceleração da gravidade Nas centrífugas industriais: 600 g < br < 20000 g

O conceito sigma para a centrífuga decantadora (solução rigorosa para a centrífuga tubular)

Vai-se estabelecer a relação entre o diâmetro de corte (Dc), as propriedades físicas do sistema, dimensões do equipamento e condições de operação as hipóteses de cálculo são: (1) As partículas estão igualmente espalhadas em z = 0, independentemente do tamanho.

Trajetória de D c ? z L Um importante parâmetro é o tamanho correspondente a 50% na curva de eficiência, isto é o provável diâmetro de corte Dc. O raio correspondente a R1 é aquele que divide a região anular entre Ro e R em áreas iguais.

Então: ?(R2?R2)=?(R2?R2)? 110 ? R 2 ? R 2 ?1 2 R = ? 0 ? 1? ?2?

Dinâmica da partícula 4.38

Tempo de residência t =L= L res u Q ?(R 2 ? R 2 ) 0

18µ R t = ln queda K (? ? ?)D2?2 1 R 1s c

? com K = 0,843log 1 10 0,065 R Expandindo ln em série (coleção Schawn) R 1

??? ? ? ? ? ?3 ? ? ?5 ?? ln x = 2?? x 1 ? + 1 ? x 1 ? + 1 ? + ...?, x > 0 1x ? ???x+1? 3?x+1? 5?x+1? ??

ln x = ? x ? 1 ? para 0,5 < x < 2 2? ? ? x +1? ? ?1 2 ? ?1 2 ???? lnR=ln R =ln? R2 ? =ln? 2 ? R ? + 2 ? ? R + R ? ? ? ?2 12 2 2 ? 1 R 2 R 0 ?? ?1 + ? 0 ? ? 2 0 ? ?? 2 ?? ? R ? ? ? ? ?? ?? ?? = 1 ln? 2 ? 2 ? ? ?2 ? ?1 + ? R 0 ? ? ?? ? R ? ??

Dinâmica da partícula 4.39

Fazendo x = 2 , resulta para 0 ? R 0 < 1 2R ?R ? 1+? 0? ?R? ?2? ? ?1? ? R ? ? ?2 1+?R0?2 ? 2?1?? 0?2 ? +1+?R ? ?? ?? ?20 R=1??R??=?R???R?= ? ln 2? ? ? ? R 2 ? 2 + ? ? R ?2 ? ? R ?2 ? 1 ? 2 1? 1 + ? 0 ? ?? 1 + ? 0 ? ? +?R ? ? R ? ? R ? ? ?1 ? 0 ? ? ? ?R? ?

? R ?2 1-? 0 ? =?R?=R2?R2 0 ? ?2 3R2+R2 3+?R0? 0 ?R?

Como t = t = t, então : res queda 18µ L?(R 2 ? R 2 ) t = ln R = 0 K (? ? ?)D2?2 R Q 1s c 1

? com K = 0,843log 1 10 0,065 18µ (R 2 ? R 2 ) L?(R 2 ? R 2 ) ?K(???)D2?2(3R2 02)= Q 0 +R 1s c 0

? 18µQ ?1 2 Dc = ?(? )L?? (3R )? ?? s?? 2K1 2+R2?? 0

Tirando o valor de Q e multiplicando e dividindo por 2g, temos:

Dinâmica da partícula 4.40

2(???)D2gK?L(3R2+R2)?2 Q= s c 1? 0 18µ 2g

Velocidade terminal da partícula de diâmetro Dc no campo gravitacional ?, uma característica da centrífuga (no caso tubular) [L2]

NO QUADRO EXEMPLO 4.4 Determinar a capacidade de uma centrífuga tubular na separação de partículas de diâmetro maior que 4µ, operando com uma suspensão aquosa a 30 C. Admitir como válido o regime de o

Stokes e considerar as partículas como esferas. Dados: 3 ****************************** A centrífuga decantadora O conceito ? (sigma): fator teórico de capacidade O fator sigma ( ? ) é uma característica do sedimentador centrífugo e teoricamente representa a área de um tanque de sedimentação capaz de fornecer o mesmo desempenho de separação no campo gravitacional.

O fator teórico de capacidade ? fornece a comparação entre os desempenhos de centrífugas geometricamente e hidrodinamicamente similares, operando com o mesmo material de alimentação.

Q =Q 12 ?? 12 O critério é confiavel para a comparação de centrifugadores de geometria e proporções similares que desenvolvem a mesma força centrífuga. Deve ser, no entanto, usado com precaução para a ampliação de escala entre diferentes tipos de centrifugadores ou quando a força centrífuga varia por um fator maior que 2.

Dinâmica da partícula 4.41

Na comparação de desempenhos de centrifugadores de diferentes configurações o valor calculado de ? de cada um deve ser multiplicado por seu fator de eficiência.

Q=Q= ?E ?E 11 22 Segundo Svarovsky: Centrífuga tubular: E = 90% Centrífuga de cesto perfurado: E = 75% Centrífuga de transportador helicoidal: E = 60% Centrífuga de disco: E = 45%

Centrifugador tubular: (3R ) ?L?2 ?= 2+R2 0 2g Centrífuga de disco: 2?(N?1)(R3?R3)?2 ?= b a 3g tg?

onde : N = número de discos na pilha R = Raio interno da pilha de discos a

R = Raio externo da pilha de discos b ? = semi - ângulo do cone

Centrifugador de transportador helicoidal Overflow Underflow (sólidos) alimentação R 1 R 2

1 L L2 ?2 ? ? 3 1 ? ? + + 4R ?? ? = ??L ? R 2 + 2 R 3R R 12 ?? 2

Dinâmica da partícula NO QUADRO EXEMPLO 4.5 (6.18-Massarani) Deduzir a expressão da eficiência centrífuga tubular: 4.42

teórica de captura para partículas de diâmetro D em ? = ?(D D ) c

onde: Dc é o diâmetro da partícula coletada com eficiência de 50% hipóteses: a) As partículas sólidas estão igualmente espalhadas em z = 0;

clarificado Trajetória de uma partícula z L R 0 R alimentação

Dinâmica da partícula Trajetória de uma partícula z 4.43 clarificado

r L R 1 R 0 R alimentação O valor da eficiência teórica para uma partícula de tamanho D é a fração contida na região anular compreendida entre os raios r e R, onde r é o menor raio no qual a partícula que inicia sua sedimentação a z = 0, possa atingir a parede do cilindro a z= L.

?(D) = R 2 ? r 2 (1) R2?R2 0 ?(D ) = R 2 ? R12 (2) e R = ?? R 2 + R 2 ?1 2 0 ? (3) c R2?R2 1 ? ? 0 ?2?

NO QUADRO EXEMPLO 4.6: Utilização do fator sigma 3 Uma suspensão a baixa concentração de Clay (massa específica 2640 kg/m ) em água, -2 3 com uma viscosidade de 0,001 Nsm e massa específica 1000 kg/m deverá ser separada por centrifugação. Experiências em uma centrífuga tubular de laboratório operando a 20000 rpm -6 3 indicaram que um satisfatório ?overflow? é obtido com uma vazão de 8 x 10 m /s.

Dinâmica da partícula R = 0,0521 m e R ?overflow?, qual o diâmetro de corte Dc.

4.44 - R0 = 0,0295 m, operando a 15000 rpm com a mesma qualidade fluxo de produção que deverá ser esperado? Determinar também o

********************************** CICLONES E HIDROCICLONES Entre os equipamentos de separação do tipo centrífugo, o mais amplamente usado é o ciclone separador, para separar poeira ou névoa do gás.

Overflow vórtice Alimentação Classificador Espessador Underflow Figura: padrão de escoamento

O gás sujo é introduzido tangencialmente no ciclone a uma velocidade de cerca de 100ft/s. Os sólidos são atirados contra as paredes do ciclone no movimento espiral descendente do gás e recolhido na base cônica do vaso. O gás limpo ascende, saindo no tubo central no topo do equipamento.

Nas velocidades tangenciais elevadas, a força centrífuga é maior que a gravitacional e os ciclones efetuam uma separação mais rápida e mais eficiente as câmaras de poeira.

A entrada de gás mais utilizada é a retangular por proporcionar maior área num espaço mais reduzido.

Dinâmica da partícula TEORIA DO CICLONE a) Diâmetro de corte

Bc 4.45 Dc A partícula com diâmetro de corte dpc atravessa a espessura de separação Bc/2 no tempo de residência do fluido no ciclone.

t = Va = Bc = c (1) 2 B2 res Q ? (? ? ?)d2 b r s pc r 18µ Onde: ?r = velocidade terminal da partícula na direção r (campo centrífugo) valendo o regime

Va = volume ativo do ciclone Q = vazão volumétrica de suspensão

br ? r? 2 (2) 2?N ? = e (3) Va Q Resulta das equações (1), (2) e (3) a expressão para o diâmetro de corte.

? 9µBc ?1 2 d pc = ? ( )? (4) ?2?Neu ?s ?? ? Onde: u = valor médio da velocidade da suspensão na seção de entrada.

Dinâmica da partícula 4.46

Os diferentes modelos de ciclones caracterizam-se pelas proporções peculiares entre suas dimensões.

· As partículas com diâmetro acima do valor dado pela equação (4) terão raio de rotação fora do núcleo central e serão coletadas.

· As partículas que possuem o diâmetro menor que o valor da equação (4) terão um raio de rotação menor que Do/4 e sairão com os gases.

· A eficiência de coleta é dada por um gráfico como: teórica 100% experimental eficiência de coleta

Diâmetro 100% de corte Experimental ? forma senoidal: aglomeração de partículas e batida das partículas contra a parede.

O modelo de ciclone Lapple, destina-se a separação sólido-gás. É o modelo que se submeteu ao estudo mais aprofundado. Para ele as condições de operação recomendada é:

5 < u < 20 m/s Verifica-se experimentalmente que Ne ? 5 Portanto a equação (4), fica:

? 9µBc ?1 2 dpc=? ?u(?s??)? (5) ?10 ?

Dinâmica da partícula 4.47

Para ciclones Lapple: Bc = Dc/4 e Hc = Dc/2 onde: Dc = é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone e BcHc = a área da seção transversal da alimentação de suspensão.

u= Q HcBc Substituindo em (5), temos: d ? µD ?1 2 pc = 0,095 ? c ? (6) D ?Q(? ? ?)? cs Lapple

d ? µD ?1 2 pc = K ? c ? (7) D ?Q(? ? ?)? cs Geral gás

Tabela 1 - Parâmetros de configuração do ciclone e condições operacionais recomendadas Configuração K A B C ? u* ou Re** Du/Dc Lapple 0,095 - - - 315 5 < u < 20m/s 0,25 Staimand 0,041 - - - 400 10 < u < 30m/s 0,37 Rietema 0,039 1,73 145 4,75 1200 34 5x10 < Re < 5x10 0,10-0,30 Bradley 0,016 1,73 55,3 2,63 7500 34 3x10 < Re < 2x10 0,07-0,15 *u é a velocidade média do fluido na seção de entrada do ciclone, u = Q BH cc Du? Re = c c ** , onde uc é a velocidade média do fluido na seção cilíndrica do µ ciclone, u = Q c ?D2 4 c

Dinâmica da partícula 4.48

Estão especificadas na figura 1 as configurações dos ciclones a gás Lapple e Stairmand, e na figura 2 as configurações dos hidrociclones Rietema e Bradley.

Para hidrociclones, que trabalham com suspensões mais concentradas, d pc ? µD ?1 2 (R ) g(c ) = K ? c ? f ? (8) Dc ?Q(?s ??)? L v

Onde Dc é o diâmetro da parte cilíndrica do ciclone, K um parâmetro que depende da configuração, µ e Q são a viscosidade e a vazão de fluido que alimenta o hidrociclone, f é um fator de correção que leva em conta o fato de que uma fração das partículas sólidas é coletada no `underflow' sem a ação do campo centrífugo ( efeito ?T?) e g um fator que leva em conta a concentração volumétrica de sólidos na alimentação, cv.

O fator f está relacionado ao quociente entre as vazões de fluido no underflow e na alimentação, RL, f (R L ) = 1 + AR L (9)

= B(D )C R L u Dc , (10) e os parâmetros A, B, e C relacionados à configuração do ciclone, Du e Dc respectivamente os diâmetros do underflow e da parte cilíndrica do equipamento.

Para partículas arredondadas o fator g pode ser expresso através da seguinte equação empírica:

g(c v = [4,8(1 ? c v )2 ?13,8(1 ? c v )] 0,5 (11) )

Os ciclones a gás operam com suspensões mais diluídas do que os hidrociclones e freqüentemente a descarga de sólido é feita de modo intermitente a partir do barril acoplado ao underflow do equipamento. Por estas razões, considera-se que para os ciclones a gás f e g não influenciam o valor do diâmetro de corte, equação (8), ou seja, f = g = 1.

Os valores dos parâmetros de configuração A, B, C e K estão reunidos na tabela 1, cuja validade está restrita às condições operacionais assinaladas na própria tabela.

Dinâmica da partícula 4.49

Figura 1 - Configuração dos ciclones a gás Lapple e Stairmand

Dinâmica da partícula 4.50

Dinâmica da partícula 4.51

Função eficiência individual de coleta no campo centrífugo A eficiência individual de coleta relativa à partícula com diâmetro D pode ser expressa pelas correlações empíricas: Ciclones Lapple e Stairmand

( ) (D / d pc )2 D / d pc = 1 + (D / d pc )2 (12) ?

Hidrociclones Rietema e Bradley ( ) exp(5D/dpc)?1 ?D/dpc=exp(5D/dpc)+146 (13) Conhecida a distribuição granulométrica das partículas, X = X(D), é possível estabelecer o valor da eficiência global de coleta no campo centrífugo,

1 I = ? ?dX (14) 0 e a eficiência global alcançada no ciclone, incluindo o efeito ?T?, ?=(1?RL)I+RL (15) sendo RL o quociente entre as vazões de fluido no underflow e na alimentação.

A integração da equação (14) para a situação bastante comum em que a distribuição granulométrica pode ser representada pelo modelo Rosin-Rammler-Bennet, ( ) = ? ?(D D') n XD 1 e

toma a forma: Ciclones Lapple e Stairmand 1,11n 0,118 + n D' I = (D' d ) ? (16) 1,81?0,332n+ pc dpc

Hidrociclones Rietema e Bradley 1,13n 0,138 + n D' I = 0,279n + (D' d ) ? (17) 1,44? pc dpc

Dinâmica da partícula 4.52

Os cálculos de ? para ciclones Lapple também podem ser obtidos por gráficos, elaborados por Massarani, para os modelo de distribuição GGS (figura 3), RRB (figura 4) e Log-Normal (figura 5).

Dinâmica da partícula 4.53

Dinâmica da partícula 4.54

Cabe ressaltar que na equação do modelo RRB X é a fração em massa das partículas com diâmetro menor que D e que D' e n são os parâmetros do modelo, respectivamente o diâmetro da partícula que corresponde a X = 0,632 e a dispersão.

A relação vazão - queda de pressão A expressão clássica que relaciona vazão e queda de pressão na mecânica dos fluidos, regime turbulento estabelecido, é utilizada também para os ciclones,

? ?p ? = (18) ?u 2 c2 uc = Q (19) ?D 2 c4

Sendo a queda de pressão medida entre o overflow e a alimentação. O valor depende da configuração do ciclone, como mostra a tabela (1).

Cálculo da potência do soprador Considerando apenas as perdas de carga no ciclone, a potência requerida para a separação é dada pela equação Q?p P = 1 (20) 75? onde: P = (cv)

3 Q = vazão total (m /s) ?p1 = queda de pressão num ciclone (mm de coluna de água) ? = eficiência elétrica do motor, da ordem de 0,5 para motores de baixa potência

Dinâmica da partícula 4.55

NO QUADRO 3o Deseja-se projetar um ciclone Lapple para manipular 2100 ft /min de ar a 300 C contendo partículas em suspensão. Deve operar com uma perda de carga de 3? de água. Estimar a eficiência de coleta e fornecer as dimensões do ciclone. A massa específica do sólido é de 2,6

3 g/cm e a analise granulométrica é: D(µ) 5 10 20 40 % acumulada > D 79,7 60,2 25,5 1,8

A B C D E F G % acumulada D(µ) > D D/Dc ? 10 5 0,797 0,897666068 0,44623016 10 0,602 1,795332136 0,76321371 20 0,255 3,590664273 0,92802063 40 0,018 7,181328546 0,98097828 ?X ?X 4 5 0,195 0,60472193 6 0,347 0,84561717 0,237 0,95449946 0,203 0,22311508 0,04529236 0,11792078 0,29342916 0,22621637 7 8 ? global 0,68285867 =B5-B6 =(D5+D6)/2

?(global): A1 = A2 1?D? ? = ? ?? ?dX ? ? ? ? ? ?X 0 ?Dc? i ? = valor médio

Dinâmica da partícula 4.56 Eficiência 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 % acumulativa >D

EXEMPLO 4. (13-22: Massarani) Deseja-se especificar a bateria de ciclones Lapple (ciclones iguais em paralelo) para operar 3o com 3500 ft /min de ar (520 C e 1 atm) contendo cinzas de carvão. A eficiência global de coleta deve ser da ordem de 75%. A densidade das partículas sólidas é ?s = 2,3 g/cm . 3

Análise granulométrica D(µ) 5 10 15 20 30 40 X 0,12 0,27 0,48 0,63 0,80 0,88

D(µm) X ln D A=1/(1-X) B = ln A ln B 5 0,12 1,6094379 1,1363636 0,1278334 -2,0570276 10 0,27 2,3025851 1,3698630 0,3147107 -1,1561013 15 0,48 2,7080502 1,9230769 0,6539265 -0,4247604 20 0,63 2,9957323 2,7027027 0,9942523 -0,0057643 30 0,8 3,4011974 5,0000000 1,6094379 0,4758850 40 0,88 3,6888795 8,3333333 2,1202635 0,7515404

Dinâmica da partícula 4.57

Curva de distribuição X 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0,632 D' 0 10 20 30 40 50

D Modelo RRB ln[ln(1/(1-X)] 1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 -2,5 y = 1,3902x - 4,2734 2 R = 0,9935 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 ln D

Dinâmica da partícula 4.58

Exercícios: Dinâmica da partícula 1. Calcular o diâmetro da menor partícula que é coletada com eficiência de 100% na câmara de poeira abaixo esquematizada.

-3 3 -2 Propriedades físicas do fluido: densidade 1,2 x 10 g/cm e viscosidade 1,8 x 10 cP.

3 3 Considerar as seguintes situações diferentes: 16 m 2m Trajetória crítica da menor partícula coletada com eficiênica de 100% Duas lamelas ativas.

Resp. Velocidade terminal da menor partícula coletada com eficiência de 100%: 0,625 cm/s Diâmetro da menor partícula coletada com eficiência de 100%, diluição infinita: 9,74µm Idem, 5% em volume de sólidos: 8,49 µm.

2. Estuda-se a possibilidade de reduzir o teor de cinzas de um carvão através da separação em hidrociclone operando em fase densa. A alimentação contém 2 partes de carvão para 1 de cinzas, em massa. A concentração volumétrica de carvão e cinzas na alimentação é de 5%. Carvão e cinzas apresentam a mesma distribuição granulométrica,

Dinâmica da partícula 4.59

??D?? 1,35 ?? ? 21,5 ? ?? Estimar o teor de cinzas do concentrado de carvão (overflow) que deve ser obtido numa bateria de hidrociclones em paralelo com 2 in de diâmetro, nas configurações (a)Bradley, (b) Ritema operando a uma queda de pressão de 45 psi. Fornecer também a capacidade de cada hidrociclone

3 3 Resposta: Fixando a relação entre os diâmetros de descarga underflow e da parte cilíndrica do hidrociclone em 0,15, na operação a 45 psi: Configuração Bradley Rietema 3 Capacidade por hidrociclone (m /h) 1,90 4,74 Relação % vazões overflow/alimentação 62,3 98,2 % carvão no underflow 58,8 41,1 % carvão no overflow 75,4 75,6 % do carvão da alimentação perdida pelo underflow 46,4 16,0

Do livro: Problemas de Sistemas particulados (Massarani) 3. Exercício 11 página 21 O ferro-velho ?Dois Irmãos? da Pavuna dispõe de um conjunto de 3 ciclones Lapple em paralelo, estado de conservação razoável. O diâmetro do ciclone é de 20?. Preparar um anúncio de jornal fornecendo:

3 o Considerar que o gás seja ar a 200 C e 1 atm e que as partículas sólidas tenham uma

Dinâmica da partícula 4.60

Resposta: 3 Q (m /h) u (m/s) D?=0,95 (µm) P (CV) ?=0,5 Máximo 1741,9 5 19,48 0,094 Mínimo 6967,7 20 9,72 6,05

4. Exercício 12 página 22 Uma usina de Campos pretende secar bagaço-de-cana com gás de chaminé (propriedades

o do ar a 210 C e 1 atm). Especificar a bateria de ciclones Lapple para a recuperação de

3 finos secos, sabendo-se que a vazão de gás é de 5000 ft /min e que as partículas maiores que 40µ devem ser coletadas com eficiência superior a 95%. A densidade do bagaço seco

3 5. Exercício 7 página 19 No ?scrubber? centrífugo operando a 100g com gotas de água de 100µ, verifica-se a seguinte eficiência de coleta para partículas sólidas de diâmetro D:

D(µ) 0,2 0,5 1 2 3 4 5 ?(D) 0,01 0,09 0,22 0,55 0,81 0,96 1,0 Determinar a eficiência global de coleta para a poeira com a seguinte análise granulométrica

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.1

5. ESCOAMENTO DE FLUIDOS ATRAVÉS DE MEIOS POROSOS RÍGIDOS 5.1. Teoria

( r ) (1) ?? = ? ? ? ?? Equação da continuidade ?t

? r ( r r) r r ??=????????p????+?g Movimentodofluido (2) ?t

? taxa de incremento ? ? taxa de momento ganho ? ? força de pressão ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? de momento por volume? ? por convecção por volume? ? no elemento por volume?

? taxa de momento ganho ? ? força de gravidade no elemento? ? ? + ? ? ? por dissipação viscosa por volume? ? por volume ?

r ? r ?? r ?? Mas, ?? = ? + ? (A) ?t ?t ?t

r De (1) multiplicando-se por ? : r ?? r( r) ? =?????? (B) ?t

rr ?????(*) Abrindo o termo , temos: r ?? r( r) r( r) r r r r ? ??????=??????????????p????+?g ?t

r ?? r( r) r( r) r r r r ? ??????+?????+?????=??p????+?g ?t

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.2

r ??? r r? r r ?? +?????=??p????+?g ? ?t ?

(*) propriedades da divergência de um tensor rr r( r) r( r) ? ? ab = a ? ? b + b ? ? a

A equação da continuidade descreve a taxa de variação da massa específica em um r ponto fixo, resultante das variações do vetor velocidade mássica ?? .

r ?M??L? ? M ? ?? = ?? ???? ?? = ?? ?? velocidade mássica 3T 2 L LT

A integração destas equações nos poros é uma tarefa muito difícil, deste modo aplica- se a teoria das misturas.

Teoria das misturas Para escoamento saturado, temos: ¾ Equação da continuidade para o fluido

??? ( r) +?????=0 (1A) ?t

¾ Equação do movimento para o fluido r ??? r r? r r r ??? +?????=??p?????m+?g (2A) ?? ? t ?

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.3

r ? = velocidade intersticial do fluido relativo a um referencial fixo às partículas. r m = força exercida pelo fluido sobre o sólido, por unidade de volume do meio poroso.

Deste modo, perdemos informações na escala do poro, porem o problema é mais tratável. As condições limites passam a ser dadas no contorno do meio.

meio poroso 5.2. Equação empírica de Forchheimer r ? A pequena quantidade de dados experimentais disponíveis parece indicar que ? não é importante no escoamento de fluidos Newtonianos.

r ? Em relação à força resistiva m chega-se, a partir de um grande número de experiências, que a forma quadrática de Forccheimer (1901) é válida:

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.4

onde `k' e `c' dependem somente da matriz porosa 2 -3 2 k = permeabilidade do meio poroso, [L ], 1 Darcy = 10 cm rr q = ?? = velocidade superficial do fluido c = fator adimensional µ = viscosidade do fluido ? = massa específica do fluido

No escoamento lento, o termo: c k?r q µ e a equação (3) reduz-se a:

r µr m= q k << 1 (4) Lei de Darcy Obs: A experiência mostra que o escoamento pode ser laminar fora da região de Darcy, para altos Re os escoamentos laminar e turbulento coexistem.

r ??? ( r) r? O termo ??? + grad ? ? ?? representa os efeitos inerciais, que normalmente são ??t ? desprezados , logo de (2A)

r 0 = ?grad p ? m + ?g , substituindo a equação (4), temos

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.5

µr r r k( r) 0 = ?grad p ? q + ?g ou q = - grad p ? ?g kµ Obs.: A equação de Darcy não leva em conta a aceleração do fluido na percolação através da matriz porosa, o que parece ser aceitável na maioria dos problemas de interesse tecnológico, -5 2 quando a permeabilidade é inferior a 10 cm .

No escoamento incompressível podemos escrever que: 0 0 0 =1

?(?gh)= ? (?gh) ? (? ) ? (?gh)r ? ?g ?h? r+ ghr+ =??h +?g ? ?x i ?y j ?x k ? ?y ?y ?r j r = ?gj = ??g ?j e ?h Então: estática gradp??r=grad(p+?gh)=gradP g

energia potencial Então a equação resume-se a: ? grad P = m r

L MEIO POROSO MP PP 12 ? Escoamento incompressível ?dP=?µ+c?qq ? ?? dz ? k k ?

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.6

Se colocarmos a equação na forma: 1 ? ?P ? µ c ?? ?= + ?q q? L ? k k

1 ? ? ?P ? ?? q? L ? ? A µµ = A?k = kA c? k tg? tg? = ?c = k?

q ? Escoamento isotérmico de gás ideal ? ? ?p ? µ c ?? ?= + G G? L ? k k G = ?q ? + ? M ? ?p ? ? = 1 2 = ?p + ? 2 RT ? 2 2 ?

Assim como na equação para escoamento incompressível , pode-se estimar os valores de k e c por meio de uma reta, devido a linearidade das duas equações.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos Medida de porosidade (meios não consolidados)

Adição deLíquido 1 h partículas Líquido 5.7 h 3 h 2 Meio poroso (MP) volume MP - volume sólidos volume sólidos h ? h ?= =1? =1? 3 1 volume MP volume MP h 2

Exemplo 5.1: Experiências com fluido Newtoniano através de meio de areia artificialmente consolidada conduziram aos resultados:

q (cm/s) ?p (cm Hg) ?p (dyn/cm2) 1 ? ?p ? ?? ? q? L? 6,33 4,69 62528,956 4703,901 7,47 6,24 83194,176 5303,383 10,18 10,37 138256,988 6467,255 12,66 15,15 201985,860 7597,452 15,2 21,07 280913,668 8800,554 17,73 28,02 373573,848 10033,407 20,26 35,89 478499,836 11246,647 23,93 48,90 651954,360 12973,442

Dados:µ = 1,177 cp: ? = 1g/cm3, L = 2,1 cm A = 16,8 cm2, ? = 0,28

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.8 p/L) (1/q)(- 14000 12000 10000 8000 6000 4000 2000

0 y = 468,75x + 1725,1 2 R = 0,9998 0 5 10 15 20 25 30 q (cm/s)

5.3. Correlações empíricas e o fator adimensional c ? Fórmula de Kozeny-Carman ?3D2 k= p

36?(1? ?)2 onde: D = 6 = d ? , dp = diâmetro equivalente (diâmetro de uma esfera tendo o mesmo pp a v

volume da partícula) = superfície da partícula = a superfície específica da partícula v volume da partícula

?d2 ? a=p=6 v ?d3 6 ? d pp ? = esfericidade (fator de forma)

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.9 Forma ? esferas 1,0 cubos 0,81 cilindros (Dp = h) 0,87 celas de Berl 0,3 anéis de Raschig 0,3

4 < ? < 5 ? para meios granulares de 0,3 < ? < 0,5 (Coulson e Richardson) O valor de ? cresce com a porosidade. Para esferas (COPPE): ? 0,510 0,645 0,744 0,849 ? 5,70 5,96 6,19 6,85

? Correlação empírica para k ? D ?2 D2 k=? ? = ? 31,7 ? 1000 onde: D = diâmetro médio de peneira para partículas granulares D = dp = diâmetro equivalente para recheios industriais

? Correlação de Ergun para c c = 0,14 ?3 2 (Ergun, S., ?Fluid Flow through packed columns?, CEP 48, 89 (1952)) -5 < k < 10-4 2 0,35 < ? < 0,45 para 10 cm e

? Correlação empírica de Massarani 1 ? ? k ?0,37 ? k ? ?0,98 0,01 c = ?0,13? o ? + 0,10? o ? ? ?3 2 ?? ? k ? ? k ? ??

-6 2 -9 < k < 10-3 2 0,15 < ? < 0,75 ko = 10 cm ; 10 cm e

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.10

? Equação de Ergun A equação de Ergun (1952), extensamente utilizada na literatura de Engenharia Química, é a expressão geral: dp µq c?q2 ?=+ dz k k na qual a permeabilidade e o fator c são representados por:

(Dp?)2 ?3 0,14 k= e c= (1??)2 ?32 150

?P (1??)2 µq 1?? ?q2 ? =150 (D ?)2 +1,75 (D ?) ? ?p L33 p

Exemplo 5.2: Deseja-se estimar o valor da permeabilidade e do fator c para o meio poroso constituído por partículas que apresentam a seguinte análise de peneiras.

Sistema Tyler o (peneira n ) Diâmetro médio da abertura D# (mm) massa retida (g) Fração em massa retida ?X -35 +48 0,359 47,6 0,33 -48 +65 0,254 52,8 0,36 -65 +100 0,180 45,2 0,31 Total 145,6 1,00

A porosidade do meio é da ordem de 42% e a esfericidade das partículas é 0,78; confunde-se, neste cálculo aproximado, os valores do diâmetro médio de peneiras D# e do diâmetro volumétrico Dp.

Perda de carga em meio poroso No escoamento unidirecional e incompressível, a equação de movimento (2A) e a equação (3) de Forccheimer: r 0 = ?gradP ? m + ?g (2A)

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.11

r µ? ? r ckq m = ?1+ k ?? µ levam à equação da perda de carga no meio poroso, ?r ? q (3) ??

?P=?WA? =L?µ+c?q?q ?g ? g ? ?g ? k k ?? ? ?MP ?

expressa em termos da altura de coluna do fluido que escoa no meio. Nesta equação W é a A

o água areia (1) brita (2) 2 ft 1 2 ft (areia, -14 +28 Tyler)

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.12

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.13

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.14

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.15

Recheios comuns a) b) c) d) e)

a) Anéis de Raschig: são os mais utilizados na indústria química. Eles consistem de um cilindro oco com o comprimento igual ao diâmetro externo. São estruturalmente fortes, baratos e podem ser feitos de vários materiais (cerâmicos, metais e plásticos). São menos eficientes que os outros recheios.

b) Anéis de Lessing: eleva a eficiência, reduz a quantidade de canalizações, porém aumenta a queda de pressão.

c) Anéis de Pall: contato mais eficiente entre líquido e gás, são mais caros, e apresenta uma menor queda de pressão em relação aos anéis de Raschig.

d) Celas de Berl: diminui as canalizações, diminui a queda de pressão, porem são caros e frágeis.

e) Celas Intatox: são similares as celas de Berl mas permite um contato mais eficiente entre líquido e gás. São recheios para leito fixo mais eficiente disponível e fornece uma queda de pressão inferior comparado aos anéis de Raschig e celas de Berl.

Estes recheios são extensamente utilizados em equipamentos de transferência de massa, como torres de recheios por exemplo.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.16

APLICAÇÕES Reatores catalíticos b) Reatores de leito fluidizado: utilizados para reações muito exotérmica ? uniformizam a temperatura. Catalisadores em forma de grânulos (pellets).

Colunas de recheios É comum o enchimento em colunas de destilação, absorção, etc para facilitar o contato entre seus componentes .

Gás pobre Líquido recheios Anéis de Raschig Anéis de Lessing Anéis de Pall Celas de Berl Celas Intalox Gás rico Líquido + soluto

Filtração: Uma mistura sólido-líquido passa através de um meio poroso de forma que o líquido passa e o sólido fica retido.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.17

FILTRAÇÃO A separação se realiza pela passagem forçada do fluido através de uma membrana porosa. As partículas ficam retidas nos poros da membrana e acumulam-se, formando uma camada sobre a membrana. O fluido (gás ou líquido) passa pelo leito de sólidos e através da membrana retentora.

Para se obter uma produção razoável, com um filtro de dimensões moderadas, deve-se aumentar a queda de pressão, ou deve-se diminuir a resistência ao escoamento, para aumentar a vazão. O equipamento industrial opera mediante a diminuição da resistência ao escoamento, fazendo com que a área filtrante seja tão grande quanto possível.

A escolha do equipamento filtrante depende em grande parte da economia do processo, variando de acordo com o seguinte: 1. Viscosidade, densidade e reatividade química do fluido.

2. Dimensões das partículas sólidas, distribuição granulométrica, forma da partícula, tendência a floculação e deformidade.

Meios filtrantes granulados É constituído por uma ou mais camadas de sólidos particulados, suportados por um leito de cascalhos sobre uma grade, através da qual o material a ser filtrado flui por gravidade ou pressão.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.18

Quando a vazão cai, ou quando a queda de pressão se torna excessiva. Então a filtração cessa e o leito tem que ser limpo, mediante uma lavagem com corrente inversa de água, seguida por uma lavagem de ar.

FILTRO PRENSA DE PLACA E QUADRO O filtro prensa é projetado para realizar diversas funções, cuja seqüência é controlada manualmente. Durante a filtração o filtro prensa: 1. Permite a injeção da suspensão a filtrar até as superfícies filtrantes, por intermédios de canais apropriados.

3. Permite que o filtrado que passou pelas superfícies filtrantes seja expelido através dos canais apropriados.

Durante a seqüência de lavagem o filtro-prensa O modelo mais comum consiste em placas e quadros que se alternam numa armação e que são comprimidos fortemente, uns contra os outros, por meio de uma placa prensa- parafuso ou de uma prensa hidráulica.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.19 Entrada

Placa Saída Quadro Par de placa e quadro de um modelo simples, com um só furo, sem canal de lavagem, com a descarga fechada e a superfície da placa entelada.

? O meio filtrante é suspenso sobre as placas cobrindo as duas faces. ? O meio filtrante pode ser uma lona, ou um tecido sintético, ou papel de filtro ou tela metálica.

À medida que a filtração avança, formam-se tortas, ou bolos, sobre o meio filtrante, até que as tortas que se acumulam sobre cada face dos quadros encontram-se no centro.

Quando isto ocorre, a vazão do filtrado, que diminui continuamente à medida que as tortas aumentam, cai bruscamente e se reduz a um gotejamento. Em geral suspende-se a filtração antes desta ocorrência.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.20

Placa de lavagem Tecido Placa Quadro simples

Entrada da água de lavagem Cabeçote Bolo Bolo

Fechado Fechado Diagrama esquemático de um filtro-prensa com lavagem e descarga aberta. Observe a codificação com um, dois ou três botões no topo das placas e quadros.

- Os filtros-prensa podem ser feitos de : ? madeira ? ferro fundido ? borracha ? aço inoxidável - Operam com pressões até 68 atm.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.21

Constitui de uma placa oca, suportada internamente e que fica permanentemente coberta pelo meio filtrante. A suspensão a ser filtrada enche o espaço em torno da folha e é forçado, mediante pressão exercida sobre ela, ou pelo vácuo que se faz dentro da folha, a escoar através do meio filtrante.

A torta de filtração forma-se no exterior da folha e o filtrado passa para dentro da folha e daí para o sistema de descarga.

Quando se tem a torta de espessura desejada, abre-se o filtro, e as folhas ou são removidas para limpeza ou são limpas na própria unidade, manual ou automaticamente, pela lavagem hidráulica dos sólidos.

Torta do filtro Vista do Suspenção corte de de carga uma folha

Dispositivo de desmontagem Anel de borracha em O Filtrado Distribuidor de saída

Vista do corte de um filtro de folha vertical e corte transversal mostrando a estrutura da folha do filtro.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos É especialmente conveniente para a clarificação final quantidades diminutas de sólidos em virtude da facilidade de filtração.

Papel de filtro, tecido ou tela metática Placa perfurada Placa de filtragem

Placa polidora Solução de polimento Saída 5.22 de soluções que contém aplicação do adjuvante de

Suspiro de ar Entrada Diagrama esquemático do corte de um filtro de placa horizontal. São filtros patenteados com placas polidoras no final de cada batelada. A válvula polidora é aberta durante a etapa de pré- revestimento e fechada até o final do ciclo. Então, a válvula de descarga é fechada, a polidora é aberta e o líquido remanescente é filtrado pela placa polidora, mediante a injeção de ar ou gás sob pressão pelo duto de entrada.

Os adjuvantes, ou auxiliares, de filtração são sólidos incompressíveis, com a estrutura aberta, que podem ser depositados sobre os tecidos de filtração para servir de meio filtrante de alta eficiência.

- Filtros descontínuos ? processo cíclico, capacidade modesta

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.23

- As suspensões são injetada continuamente, e o bolo e o filtrado são produzidos também continuamente.

FILTRO ROTATÓRIO HORIZONTAL - Especialmente indicado para sólidos cristalinos - É constituído de uma mesa horizontal circular que gira em torno de um eixo central. A mesa é constituída de um conjunto de segmentos feito de tela metálica recoberto por meio filtrante conveniente, e está ligado a um mecanismo central de válvulas, que regulam os instantes apropriados de remoção do filtrado e dos líquidos de lavagem e do enxugamento da torta, durante cada volta da mesa.

FILTRO A VÁCUO E DISCO ROTATÓRIO - O elemento filtrante é, também, uma folha com a forma de um setor circular, recoberta pelo meio filtrante. A folha gira num plano vertical, em torno de um eixo horizontal. A suspensão a ser filtrada enche a bacia do filtro, até quase a altura do eixo horizontal. À medida que a folha mergulha na suspensão, coleta a torta na sua superfície, enquanto que o filtrado sai por um sistema central de descarga.

- Na parte superior a torta é seca por sopragem de ar e é raspada ou retirada a sopro antes dela mergulhar na suspensão.

FILTRO A VÁCUO COM TAMBOR ROTATÓRIO - O bolo de filtração é colhido no tanque de suspensão devido a imersão da superfície do tambor e a ação do vácuo.

- O bolo é levado pelo movimento do tambor e é sucessivamente lavado e enxugado pela aplicação contínua do vácuo no interior do tambor.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.24 Água de lavagem Secagem Paineis

Torta Faca Lama MEIOS FILTRANTES E AUXILIARES DE FILTRAÇÃO Os meios filtrantes podem ser: - tecidos - papel - metais porosos - tela metálica

Critério de escolha do meio filtrante: ? Os auxiliares, ou adjuvantes, de filtração são bastantes usados para acelerar a filtração ou para possibilitar a coleta mais completa das partículas mais finas da suspensão.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.25

? Terra diatomácea: consiste de esqueletos de animais marinhos pré-históricos muito pequenos.

? O auxiliar de filtração atua como meio filtrante primário e permite a remoção completa de partículas sólidas muito finas presentes na suspensão a filtrar.

EQUAÇÕES DE BALANÇO l : espessura do meio filtrante m q l(t): espessura da torta, que varia com o tempo l(t) l m

Escoamento unidimensional ?P µ Equação de Darcy: = q Lk

Torta: q = k ?P2 , onde ?P2 é a queda de pressão na torta. µ l (t ) q = q(t)

Meio filtrante: q = k m ?P1 µl m ?l l ? ?P = ?P + ?P = µq? + m ? 12 ?k m? k

Definindo: q = velocidade superficial (= Q/A) v = volume do filtrado A = área de filtração 1 ? dV ? ?P q= ? ? e q= A ? dt ? ? l l ? µ? + m ? ?k km?

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.26

1 ? dV ? 1 ?P Logo: ? ? = A ? dt ? ? l l ? µ ? + m ? ?k k ? m

m k m -1 [Rm] = L 1 ? dV ? 1 ?P ? ? ?= A ? dt ? ? l ? µ ? +R ? ?k m?

= massa de sólidos na suspensão = massa de sólidos na suspensão s massa de líquido na suspensão massa de líquido recolhido + massa de líquido retido na torta

s = (1 ? ?)A l ?s ?V + ?A l ? (1 ? ?)A l ? ?A l ? << ?V ? s = s ?V

? s? ?V l = ? (1 ? ?)? ?? ?s A Característica do sistema

1 ? dV ? 1 ?P Logo: ? ? = A ? dt ? ? s? V ? µ ? ? ?)? + R m ? ?s? k(1 A

definindo: ? = 1 ? resistência especifica da torta k(1 ? ?)? s

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.27

temos: 1 ? dV ? 1 ?P ? ?= A ? dt ? ? V ? µ ??s? +R ? ? A m? Equação da filtração

[?] = LM-1 Para algumas tortas ? é praticamente constante ? tortas incompressíveis

FILTRAÇÃO COM TORTAS INCOMPRESSÍVEIS (OU À PRESSÃO CONSTANTE) ?P é constante e ? é constante

1 ? dV ? 1 ?P ? ? = , integrando: A ? dt ? ? V ? µ ??s? +R ? ? A m? ? ? V ? ?P ? Vt ? ? s ? + R ?dV = A dt ?A?µ m 00

? s ? V 2 ?P + R V = A t ou A2 µ m

t ?µs? µ = V+ R V 2A2?P A?P m

Dados de v (volume do filtrado) `versus' t (tempo) µ b = R ? obtém - se R A?P mm t/V

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.28

FILTRAÇÃO À VAZÃO CONSTANTE 1 ? dV ? 1 ?P ? dV = A ?P ? ?= A ? dt ? V µ dt ? V ? ? ? ?µ ??s? +R ? ??s +R ? ? A m? ? A m?

dV = C ? V = Ct ou V = C dt t

V = A ?P ? A t?P = ? s ? V 2 + R V , mas ?P não é constante t ? V ?µ µ A m ??s? +R ? ? A m?

? ?V? V? 2 ?P = ?µ?s ?? ? + µR m ? ? 1 ?? ? A ? A ?? t

Como V = Ct, ?µ?s?C2? µR C ?P = ? ?t + m ? A2 ? A

?P b = µRmC ? obtém - se R m A ? b ?µs ?C2 tg? = ? obtém - se ? A2

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos 5.29

algumas vezes Rm é desprezível ?µ?s?C2? ?P = ? ?t ? passa pela origem ?2? ?A? Problemas 1 e 3: Lista de Filtração

FILTRAÇÃO COM TORTAS COMPRESSÍVEIS Observa-se que a porosidade e a resistência específica variam com a posição no interior da torta, devido às tensões mecânicas que tendem a comprimir a torta Admite-se que ? e ? são funções da pressão Ps, definida como: Ps = P ? P' onde: P é a pressão na cabeça da torta P' é a pressão na seção imediatamente anterior ao meio filtrante.

P P' P 1 l(t) l m Os testes de variação de ? e ? com Ps podem ser realizados no laboratório e as curvas são do tipo: ? = ? (?P) sendo ?P = P ? P1 n o

? = ? (?P)m o ou ?=?Pn os ?=?Pm os n? 0 ? tortas incompressíveis n? 1 ? tortas compressíveis

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.30

varia com cada ?P = P ? P 1 Tendo-se dados de t x V o vários ?P

V t ?P1 ?P2 ?P3 - - - - - - - - - - - - - - - -

temos que: dt µ ? ? s? ? = ? V + R ? , integrando a ?P constante, temos dV A?P ? m A? t µ ? s? V µR ? gráfico : t × V = +m V A ?P A?P 2 2V

?P 1 ?P 2 ?t/?Vt?P 3 V V obtêm-se para cada ?P ? pelo coeficiente angular das curvas obtidas. Pois: ? = ? (?P) ? n o

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.31

FILTRAÇÃO A PRESSÃO CONSTANTE (FILTRO-PRENSA) µ ? ? s? ? t = ? V2 + R V? ?? m? A P ? 2A ? A? é a área total de filtração ? cada quadro apresenta duas superfícies filtrantes - e Rm parâmetros específicos da torta e do meio filtrante.

Quadro Meio filtrante Filtrado Suspensão Filtrado Lavagem da torta Seja a pressão na lavagem a mesma que na filtração

Placa de lavagem Quadro Placa V 1 ? dV ? Ql = l = ? ? t 4 ? dt ? l final da filtração

Módulo com placa de lavagem (3 botões) Líquido de lavagem Desmantelamento, limpeza e montagem O tempo desta operação dependerá das dimensões do filtro, bem como do número e competência dos operários.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.32

Projeto O filtro industrial deve operar com uma produção de filtrado P, com uma queda de pressão ?P. Experiências conduzidas em filtro-piloto operando com o mesmo ?P levaram aos seguintes resultados para uma espessura de quadro lp: ? tempo de filtração para se ter o quadro cheio: tp ? volume de filtrado correspondente ao tempo tp: Vp ? relação entre volume do filtrado e volume da torta: (V/Vt)p ? porosidade média da torta: ? relação entre o volume de líquido de lavagem e de torta para se ter um produto na especificação desejada: Vl/Vt = ? ? havendo variação de temperatura entre a operação industrial e a unidade piloto, a correção deve ser feita na viscosidade.

Filtração no filtro prensa: (Massarani, G., Tópicos Especiais de Sistemas Particulados, volume 2 ? UFSCar)

O ciclo completo compreende 3 etapas ? A filtração (tempo t) ? A lavagem da torta, ocasionalmente desnecessária (tempo tl) ? Desmantelamento, limpeza e montagem (tempo td)

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.33

Placa A t e A = área total de filtração A = 8 At para o exemplo acima e = espessura do quadro Vt = volume contido nos quadros (torta)

8A e V = t assim : t 2 V=Ae t 2 = 2V onde V = volume do filtrado. V/Vt V mantem-se constante no `scale-up' V Ae t

Definindo: índice p = piloto índice i = industrial , onde ?Pi = ?Pp e Ti = Tp

? 2V ? ? 2V ? (V A) e ? ? = ? ? assim: ( ) i = i (1) ? ?p ?Ae?i VAp ep Ae

e V ep A =A i ip Ve pi (2) A pressão constante tem-se a equação:

µ ? ? s? ? t = ? V + R V ? 2 A?P ? 2A m ?

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.34

V2 t=B A2 Como Rm (resistência do meio filtrante) pode ser desprezada ? B2 = 0 e µ? s? (3), sendo: B = 2?P

Resulta das equações (1) e (3) ? (V A) ? ? e ? 22 t=t? i?=t?i? ?(V A) ? ? e ? ip p ? p? ? p?

? e ?2 t=t?i? i p? ? ? ep ? (4) Seja a filtração e a lavagem conduzidas a uma mesma queda de pressão ?P. Nestas condições, o tempo de filtração é dado por: µ ? ? s? ? t = ? V2 + R V? A?P ? 2A ? m ?? O tempo de lavagem com placas de ?3 botões?: µ ? ? s ? ? dt t = 4V ? V + R ? = 4V A?P ? 2A dV ll ml ?? onde: Vl = volume do líquido utilizado na lavagem Na lavagem com placas de 3 botões V 1 ? dV ? Q = l = ? ? (5) l t l 4 ? dt ? final da filtração Pela equação da filtração: dt µ ? ? s ? ? = ? V+R ? ? ? m? dV A P ? A ? desprezando a resistência do meio filtrante, temos:

dt V µ ? s ? = 2B onde B = dV A 2 2?P

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.35

8B ? V ?2 Portanto: t = V ? ? (6) ll?? VA ii ? V ?2 t Da equação (3) vem que: t = B? ? , logo: t = 8V i i ? A ?i l l V i

Sendo ? = Vl = do líquido de lavagem Volume V Volume da torta t

?V ? ?V ? t = 8?? t ? t = 8?? t ? t li ? ? i ? ? i VV ip (7)

?V ? Se na unidade industrial o ?P for o mesmo do piloto e a relação ? t ? mantém-se. ? V ?p Conhecidos ti, equação (4), e tl, equação (7), determina-se Vi e Ai para uma dada produção P.

V = P(t + t + t ) iild V ep A =A i ip Ve pi (2) Obs. :Lavagem da torta ? A velocidade de lavagem é igual a velocidade final de filtração ? O líquido de lavagem se desloca através de uma torta que é o dobro da espessura e pela metade da área com respeito a filtração, portanto: Taxa de lavagem = (1/4) Taxa final de filtração.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.36

FILTRO ROTATÓRIO Pano ? Suspensão

torta ? I= 360° Sendo: N = número de rotações por unidade de tempo I = fração imersa (geralmente 1/4 a 1/3 da área filtrante esta submersa) ? tempo de 1 ciclo será = 1/N ? tempo de filtração em cada ciclo (tf)

t=I f N ? por definição a capacidade do filtro Q é: Q = V = VN 1N

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.37

Exercícios I. Escoamento de fluidos em meios porosos 32 1. Determinar a capacidade (m /h.m ) do filtro de areia abaixo esquematizado operando com o água a 20 C. A primeira camada, de porosidade 0,37, é constituída de areia com a seguinte granulometria: Sistema Tyler (mesh) % em peso -14 +20 20 -20 +28 60 -28 +35 20 A Segunda camada é constituída de brita de 1,3 cm e apresenta a porosidade de 0,43. A esfericidade da areia e da brita pode ser tomada como sendo 0,7. (5.36-Massarani).

água areia brita 60 cm 60 cm 30 cm -6 2 3 2 Resposta: Dp = 0,69 mm (Sauter), K = 1,84 x 10 cm , c = 0,93, Capacidade = 18,18 m /m h.

Seja a filtração de um óleo de alta viscosidade (µ = 350 cp, ? = 0,9 g/cm ) através de um 3 leito fixo de carvão ativo. A pressão do ar comprimido é de 100 psig. Determinar o tempo para a percolação de 10 l de óleo. São conhecidos: 2. Análise granulométrica do carvão:

Sistema Tyler Fração retida -35 +48 0,15 -48 +65 0,65 -65 +100 0,20

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.38

Ar comprimido óleo O escoamento pode ser considerado como sendo Darcyano e a pressão hidrostática do óleo sobre o leito (variável!) pode ser desprezada face à pressão elevada do ar comprimido. Resposta: Dp = 0,245 mm, K = 3,17 x 10 cm , ?P = 5,88 x10 din/cm , tempo de -7d 2 6 2 percolação = 22,13 min.

3. Determinar a queda de pressão no reator catalítico em leito fixo sabendo-se que opera o isotermicamente a 550 C e que a pressão de descarga é de 1,5 atm: b) O catalisador constitui um leito de 30 cm de diâmetro e 1,2 m de altura, porosidade 0,44; c) As partículas de catalisador seguem a distribuição de Gates-Gaudin-Schumann,

? ?1,8 d = ? p ? µ X ,d em p ? 185 ? A esfericidade das partículas é de 0,65. (7.38 ? Massarani) Resposta: Dp = 82,22 µ (Sauter), K = 4,79 x 10 cm , c = 1,75, ?P = 19432 din/cm -8 2 2 .

Obs: utilizar escoamento isotérmico de um gás ideal, onde: ? ?P ? µ c ? G M ? ?P ? = ? + G?? ? e ? = ? P + ? L ?K K RT? 2 2 ?

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.39

o 4. Calcular a vazão de água, a 20 C, que a bomba centrífuga Bernet 1-FT-2140 (5HP) fornece à coluna de deionização abaixo esquematizada. A tubulação é de 1 ½?, aço comercial, # 40. Dados: Comprimento total da tubulação: 25 m Desnível entre os pontos 2 e 1: 3 m Altura da coluna: 1 m Diâmetro da coluna: 20 cm Características da bomba 1-FT-2140:

3 Q (m /h) 2,5 6,0 7,2 8,4 Carga ( m de água) 60 58 56 53

o Considerar: curva de 90 Leq/D = 30, válvula gaveta 75% aberta Leq/D = 35, válvula de retenção L/D = 135, entrada K = 0,50 , saída = K = 1,0, fonte(FOUST).

1 entrada 1 válvula de retenção 7 joelhos de 90o 1 válvula gaveta 1 saída

1 x x2 5. Deseja-se calcular o desnível H para que a vazão de água na coluna de ionização seja 4 3o m /h (30 C). A perda de carga na tubulação é 7,52 m de coluna de água. Dimensões da coluna: diâmetro Dc = 30 cm e altura L = 100 cm. Propriedades do meio poroso: porosidade ? = 0,42, permeabilidade k = 4 x 10-6 2 cm e fator c = 0,40.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.40

Patm 1 x H L Coluna de troca iônica 2 Patm

II. Filtração 1. Foram obtidos os seguintes resultados na filtração de uma suspensão aquosa de CaCO3 (50 g de sólido/l de água) em filtro prensa piloto operando com um quadro (6x6x1¼?) a o 25 C e com uma queda de pressão de 40 psi. Determinar a resistividade média da torta , a resistividade do meio filtrante RM e a relação entre os volumes de filtrado e da torta para o quadro cheio. Sabe-se que a densidade do sólido é ?s = 2,7 g/cm e que a 3

relação entre massa de torta molhada e massa de torta seca é 1,60. Dados de tempo de filtragem e volume de filtrado: Tempo de filtração (s) 3 Volume do filtrado (cm ) 18,0 700 40,7 1700 108,2 3700 160,0 4700 320,5 7700 466,7 9700 549,5 10700 637,7 11700 832,5 13700 942,5 14700 1084 15700 1215 16700 1425 17700 1702 18700 2344 19700 9 9 -1, ? (4.52-Massarani) Resposta: = 7,15 x 10 cm/g, RM = 2,51 x 10 cm = 0,618, VF/VT=20

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.41

Ensaios com filtro rotativo piloto de 2900 cm de área, operando a ?P = 10 psi, a 20 C, 2o conduziram aos seguintes resultados trabalhando-se com suspensão aquosa de hidróxido RPM 0,0106 0,0460 0,109 0,334 0,518 3 Vazão do filtrado (ft /min) 0,0166 0,0326 0,0403 0,0585 0,0659

o para 5% em peso de sólidos na suspensão, angulo de imersão: 90 32 Calcular a capacidade da unidade (ft de filtrado/hm ) operando com a mesma suspensão e o mesmo meio filtrante, a 35 C, ?P = 10 psi, 1 RPM e imersão de 120 . oo 32 Resposta: 24,87 ft /h por m de área filtrante.

3. Uma suspensão é filtrada em filtro prensa constituído de 12 quadros de 1 in de espessura e 2 2 ft de área filtrante. Durante os 3 primeiros minutos, nos quais a filtração ocorre a vazão constante, a pressão aumenta até atingir 60 psig. Depois a filtração se dá a pressão constante: em 15 min os quadros estão completamente cheios. Segue-se a lavagem da torta (o filtro dispõe de placas de 3 botões) a 60 psig durante 10 minutos. Qual o volume de filtrado coletado em um ciclo de filtração e qual o volume de água usada na lavagem?

2 A suspensão foi ensaiada em filtro-folha operando com uma área de filtração de 0,5 ft em 3 vácuo de 20 in Hg. O volume de filtrado coletado nos 5 primeiros minutos foi de 250 cm 3 e nos 5 minutos seguintes 150 cm . A torta pode ser considerada como sendo incompressível e o meio filtrante é o mesmo no filtro folha e no filtro prensa.

3 4. Um pequeno filtro de placas e quadros é usado para filtrar uma lama não compressível. Durante o período de vazão constante a pressão inicial é de 5 psig. Após 25 min de operação, 31,25 gal de filtrado é coletado e a pressão é 50 psig. Se a mesma lama é filtrada pelo mesmo equipamento a uma pressão constante de 50 psig, que quantidade de filtrado pode ser coletado em 20 min? Resposta: 38,37 gal

2 5. Foram obtidos os seguintes dados em filtro rotativo de laboratório de 2922 cm de superfície filtrante, operando com um vácuo de 3,56 psi: RPM 0,0106 0,0460 0,109 0,334 0,518 3 Vazão do filtrado (ft /min) 0,0166 0,0323 0,0403 0,0585 0,0659 % em peso de sólidos na suspensão: 4,69 o Angulo de imersão: 80 Massa da torta/massa da torta seca: 2,25 Viscosidade do filtrado: 1,08 cp 33 Densidade do fluido e das partículas sólidas: 1 g/cm e 3,2 g/cm Resposta: ? = 4,00 x 10 cm/g, RM = 3,705 x 10 s 98

6. Especificar o filtro prensa com quadros de metal para a filtração de 10 m3/h da suspensão do problema 1 (4.52 Massarani).

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.42

Considerar nas duas situações que o tempo de desmantelamento, limpeza e montagem do Índice 1 = unidade de laboratório Índice 2 = unidade industrial Dados de laboratório (problema 1): ?P = 4 psi e1 = 1 ¼?= 3,2 cm 2 A1 = 456 cm (15,1 x 15) (tf)1 = tempo de filtração (quadro cheio = final da reta) 14,5 l ? 920 s (ver gráfico) 3 volume do filtrado (Vf)1 = 14,5 l = 14500 cm .

?? VF ?? = ? ? 20 ? Vt ?1 Dimensões recomendadas para placas e quadros Área total de filtração 2 (ft ) Dimensão nominal dos elementos (in) 5-35 12 30-100 18 75-250 24 150-450 30 250-700 36 500-1100 43 1/4 >1000 48 e 56 Área filtrante efetiva por quadro Dimensão nominal dos elementos (in) 2 ft Metal Madeira 12 1.7 0.9 18 3.9 2.3 24 7.0 4.8 30 10.5 7.3 36 15.6 10.5 43 1/4 22.2 15.1 48 28.8 19.7 56 - 28.4

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.43

Resposta: a) A torta não requer lavagem Especificação da unidade industrial e2 in e2 cm (tf)2 min (tl)2 min (tf)2 + tl + td min (Vf)2 l A2 2 cm A2 2 ft 1 2,540 9,6580 0 29,6580 4854,132 192311,5 206,396 1 1/4 3,175 15,0907 0 35,0907 5743,294 182030,8 195,362 1 1/2 3,810 21,7306 0 41,7306 6830,048 180395,7 193,608 1 3/4 4,445 29,5778 0 49,5778 8114,393 183701,1 197,155 2 5,080 38,6322 0 58,6322 9596,329 190094,2 204,016 3 7,620 86,9224 0 106,9224 17499,990 231105,5 248,031 Solução possível: área filtrante, 193,6 ft2, 1 1/2 in, dimensão nominal dos elementos Número de quadros = 193.608/10.5 = 18.44 ( aproximado 19) b) A lavagem deve ser efetuada com volume duas vezes maior que o volume da torta Especificação da unidade industrial e2 in e2 cm (tf)2 min (tl)2 min (tf)2 + tl + td min (Vf)2 l A2 2 cm A2 2 ft 1 2,540 9,6580 7,72643616 37,3845 6118,718 242412,0 260,166 1 1/4 3,175 15,0907 12,0725565 47,1633 7719,209 244656,4 262,575 1 1/2 3,810 21,7306 17,38448136 59,1151 9675,366 255546,5 274,262 1 3/4 4,445 29,5778 23,66221074 73,2400 11987,187 271377,0 291,252 2 5,080 38,6322 30,90574464 89,5379 14654,672 290295,2 311,556 3 7,620 86,9224 69,53792544 176,4603 28881,263 381407,0 409,341 Solução possível: área filtrante, 274,26 ft2, 1 1/2 in, dimensão nominal dos elementos Número de quadros = 274.26/10.5 = 26.12 ( aproximado 27) 7. Especificar o filtro rotativo a vácuo a partir dos dados obtidos em filtro folha de laboratório com suspensão aquosa de carbonato de cálcio, 50 g de sólido/l de suspensão.

3 o Resultados obtidos no filtro folha operando com a mesma suspensão, nas condições 2 Tempo de filtração para se obter uma torta de 6 mm de espessura (volume de filtrado 3 950 cm ), 163 s;

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.44 Diâmetro do tambor, ft 2 Área da superfície do filtro, ft Comprimento, ft 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 6 76 113 151 189 226 8 200 250 300 350 400 10 310 372 434 496 558 620 12 456 532 608 684 760 836 912 (Perry e Green, 1984) Resposta: Sendo o tempo de um ciclo completo 453 s, resulta que a rotação do tambor deve ser 0,132 rpm.

o 2 Especificação do filtro considerando um fator de segurança de 10% no cálculo da área: diâmetro do tambor, 8 ft; comprimento do tambor 8 ft.

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.45

PROBLEMAS DE FILTRAÇÃO UTLIZANDO O EXCEL Exercício 1 (filtração)(filtro1.xls) Tempo de filtração Volume de filtrado 3 (s) (cm ) t/v 18,0 700 0,02571429 40,7 1700 0,02394118 108,2 3700 0,02924324 160,0 4700 0,03404255 320,5 7700 0,04162338 466,7 9700 0,04811340 549,5 10700 0,05135514 637,7 11700 0,05450427 832,7 13700 0,06078102 942,5 14700 0,06411565 1084,0 15700 0,06904459 1215,0 16700 0,07275449 1425,0 17700 0,08050847 1702,0 18700 0,09101604 2344,0 19700 0,11898477

0,12 0,10 0,08 t/V 0,06 0,04 0,02 0,00 y = 3E-06x + 0,0196 2 R = 0,9901

0 5000 10000 15000 20000

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.46

Exercício 2 (filtração)(filtro2.xls) N Q V t/V 333 rpm ft /min ft min/ft 0,0106 0,0166 1,5660377 15,0602410 0,046 0,0326 0,7086957 7,6687117 0,109 0,0403 0,3697248 6,2034739 0,334 0,0585 0,1751497 4,2735043 0,518 0,0659 0,1272201 3,7936267 t/V 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 y = 7,6618x + 2,8843 2 R = 0,9917

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Escoamento de fluidos através de meios porosos rígidos: Filtração 5.47

Exercício 3 (filtração) (filtro3.xls) t (min) 3 V (ft ) t/V 5 10 0,00882867 0,01412587 566,336932 707,921165

800 700 t/V 600 500 y = 26728x + 330,36 2 R =1 0 0,01 0,02 0,03

Sedimentação 6.1

SEDIMENTAÇÃO Pode ser realizada em batelada (um simples tanque) ou em equipamento contínuo. Na sedimentação de uma suspensão, as partículas movem-se para baixo sob ação da gravidade, deslocando um igual volume de líquido.

A separação de uma suspensão diluída pela sedimentação gravitacional, até se ter um fluido límpido e uma lama com maior teor de sólidos, é denominada de sedimentação.

O mecanismo da sedimentação pode ser descrito, através da observação dos efeitos que ocorrem num ensaio de sedimentação dos sólidos numa suspensão colocada numa proveta, da seguinte forma: 1) A solução é preparada de modo a Ter a concentração uniforme ao longo de toda a altura da proveta.

suspensão 2) Logo que o processo de sedimentação principia, todas as partículas começam a sedimentar. Por hipótese, aproximam-se rapidamente das velocidades terminais.

A B C D Líquido límpido Zona de concentração constante (concentração idêntica a inicial) Zona de concentração variável Zona de sedimento (sólido grosso)

Sedimentação 6.2

À medida que a sedimentação avança, as alturas de cada zona variam. A e D aumentam e B e C diminuem.

Chega-se a um ponto em que B e C desaparecem e todos os sólidos estão em D. Este ponto é conhecido como ponto crítico de sedimentação. Neste ponto, a única interface nítida forma-se entre o líquido limpo e o sedimento.

A B C D A B C D A C D A D 12345 A partir daí (estágio 5), na sedimentação, o processo passa a ser uma compressão lenta dos sólidos, com a expulsão do líquido retido entre os sólidos para a zona de líquido limpo (A).

Numa operação descontínua de sedimentação, conforme se ilustrou, as alturas das varias zonas variam com o tempo.

No entanto, uma vez que se tenha atingido o estado permanente (quando a suspensão da alimentação é injetada a uma taxa igual à taxa de remoção da lama e do líquido límpido do decantador), a altura de cada zona serão constantes.

Alimentação Líquido límpido Saída do liquido Límpido Zona de concentração. Uniforme Zona de transição Zona de concentração Variável

Sedimentação 6.3

As operações de sedimentação industrial podem ser efetuadas descontinuamente ou continuamente em equipamentos denominados tanques de decantação ou decantadores (espessadores ou clarificadores) Espessadores: o produto final é lama decantada Clarificadores: é quando a operação visa obter um líquido límpido, como no tratamento da água.

Os cálculos necessários para o projeto de um decantador contínuo são governados pelas características de sedimentação dos sólidos na suspensão. O projeto de um decantador exige a especificação da área da seção reta e da profundidade.

É possível, a partir da informações da sedimentação descontinua, projetar uma unidade capaz de produzir, de maneira contínua, um produto com características especificadas.

Medições no laboratório ? proveta ? útil para projetos de sedimentadores que operam continuamente.

Altura da interface, Z Altura da interface entre o líquido e os sólidos `versus` tempo de sedimentação

Tempo, ? Coeficiente angular da curva ? velocidades de sedimentação da suspensão Parte inicial da curva ? linear (velocidade constante) À medida que o tempo passa a velocidade de sedimentação diminui.

Profundidade comparável à profundidade que se terá na unidade projetada.

Sedimentação 6.4

O mecanismo da sedimentação em batelada Testes de laboratório: em geral são feitos em provetas graduadas de 1 a 2 litros e servem para determinar o par velocidade de sedimentação, concentração; necessários para determinar a área do sedimentador contínuo.

Um teste de batelada é feito colocando-se em um cilindro graduado (proveta) a suspensão em estudo, a uma concentração conhecida.

Agita-se a suspensão até que fique completamente homogênea e determina-se a altura da interface.

?=1 ?=? o ?=1 ?=1 ?=1 Altura da interface do líquido límpido Sedimentação livre A

B Transição Ponto crítico C Compressão D tt c Velocidade de sedimentação ? inclinações da tangente a curva

a Durante a 1 fase da sedimentação, contato A-B, o gráfico mostra uma linha reta indicando assim um trecho de velocidade de sedimentação constante.

Na região da curva que mostra o contato A-C, indica uma diminuição da velocidade, até atingir o ponto crítico.

A partir deste ponto, ocorre apenas uma compressão lenta dos sólidos e consequentemente a expulsão do líquido. O trecho mostra uma linha quase paralela ao eixo do tempo, o que indica velocidade de sedimentação praticamente nula.

Sedimentação 6.5

CÁLCULO DA ÁREA DE UM SEDIMENTADOR Sedimentador contínuo Alimentação

Extravazante Lama Para realizar o balanço de massa macroscópico identificamos as correntes e concentrações da seguinte forma:

L O C O L V C =0 V LE L E L (1 - C ) LL L S C S

Sedimentação 6.6

3 -1 LV = vazão do extravazante, L T 33 C = concentração do sólido, L do sólido/ L da suspensão Subscritos: O = na alimentação, S = na lama espessa

2 A = área da seção transversal do sedimentador, L Balanço de massa do sólido: LOCO = LLCL = LSCS (1) ? C L ?? LS = LL? (2) ? CS ? Balanço de massa do líquido entre um nível qualquer e a saída do sedimentador: LE+LS(1?CS)=LL(1?CL) (3) Substituindo a equação (2) na equação (3), temos:

?C ?( ) ( ) LE+LL?L?1?CS=LL1?CL ? CS ? ?1 1? ?1 1? LE=LLCL? ? ?=LOCO? ? ? (4) ? CL CS ? ? CL CS ?

Dividindo a equação (4), em ambos os lados, pela área A da seção transversal do espessador, fica:

L LC?1 1? E = . O O ? ? ? (5) A A ?C C ? LS

L [=] L3 1 [=]LT ?1 (dimensão ) E de velocidade A T L2

L E = velocidade de ascenção do líquido (?) A Para que o extravazante seja límpido é necessário que a velocidade de ascensão do líquido ?, não exceda a velocidade de sedimentação do sólido.

Sedimentação 6.7

Para efeitos de cálculos, considera-se a velocidade de ascensão do líquido igual a velocidade de sedimentação do sólido, portanto: LE = ? = ? e L A

LOCO = ?L (6), equação da capacidade de sedimentação A ?1 1? ? ? ? ?C C ? LS

Os valores de A devem ser calculados para toda gama de concentrações presentes no espessador e o projeto deve se basear no maior valor de A obtido.

Classicamente, c x ? são determinados através de testes de proveta em 2 versões, ambos empregando a interface da região clarificada.

MÉTODO DE COE E CLEVENGER (1916) ? Testes de batelada a diversas concentrações, começando com a concentração inicial da suspensão, até a concentração final, ambas definidas como variáveis de projeto.

? Os pares (?L, CL) a serem usados na equação de projeto (6) eram determinados simplesmente calculando-os para cada concentração CL, a velocidade ?L, na zona de sedimentação livre (região retilínea).

Z O CL1 < CL2 < CL3 < CL4 C>C>C>C ? >? >? >? L1 L2 L3 L4 ? L2 > ? > ? L1 > ? L3 L4 L1 L2 L3 L4

? CL1 L1 ?L2 C L2 ? L3 C ? C L3 L4 L4

t Com ?L, CL conhecidos determina-se a capacidade de sedimentação (eq. 6), para cada par, o menor valor (mais desfavorável) é então escolhido para dimensionar o sedimentador.

Sedimentação 6.8

LC O O menor ou A maior A MÉTODO DE KYNCH (1952) ? Único teste de proveta com a concentração inicial igual a alimentação do sedimentador, medindo em diferentes pontos da curva t, Z e Zi , como descrito a seguir: Da equação para a determinação da área de sedimentação: LC ? = , necessitamos determinar os pares ?L e CL OO L A ?1 1? ? ? ? ?C C ? LS

Porém, segundo Kynch, de acordo com o gráfico altura da interface do líquido límpido `versus' tempo, temos que:

Z O Altura da interface do líquido Z i límpido Z ? = Zi ? Z L t

t e pelo balanço de massa temos: ZC C = O O (demonstração em Foust) L Z i

e assim para cada ponto Z x t traça-se a tangente a esse ponto e encontramos Zi com o Do mesmo modo, como no método de Coe e Clevenger usam-se os pares ?L e CL, assim calculados, na equação (6), escolhendo-se o maior valor de A ou o menor valor de LC A

Sedimentação Analisando a equação (6) LC?1 1? A = 0 0 ? ? ? ?L ? CL CS ?

Logo construindo o gráfico: A 6.9 Ponto de máximo CL Na realidade, o teste de proveta em batelada não pode simular convenientemente o sedimentador contínuo.

Além disto, como os campos de concentrações são diferentes nos dois métodos estes conduzem a resultados diversos. A experiência parece indicar que o método de Kynch é mais adequado ao projeto que o método de Coe & Clevenger.

Sedimentação 6.10

Exemplo 1: Determinar a área de um sedimentador para operar com 45.3 ton/h de CaCO3 de 236 g de sólido/litro de suspensão aquosa. O lodo deve ter 550 g/litro de suspensão. ?s = 2,8 g/cm3.

Teste de proveta com suspensão 236g/l t (h) z (cm) 0.00 36.00 0.25 32.40 0.50 28.60 1.00 21.00 1.75 14.70 3.00 12.30 4.75 11.50 12.00 9.80 20.00 8.80

z 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 t (h)

Sedimentação 6.11 40

35 30 25 z (cm) 20 15 10 5 0 zi z interceç com eix ão o de z

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t (h)

3? t (h) z (cm) zi (cm) CL* (g/cm ) L(cm/h) A 0,500 28,600 36,000 0,236 14,800 7404426,769 1,000 21,000 33,000 0,257 12,000 7825079,590 1,500 16,000 28,500 0,298 8,300 8391540,537 2,000 13,800 20,000 0,425 3,100 7814386,752 2,500 13,000 16,000 0,531 1,200 2455915,083

Sedimentação 6.12 ) 2 A (cm 1,0E+07 9,0E+06 8,0E+06 7,0E+06 6,0E+06 5,0E+06 4,0E+06 3,0E+06 2,0E+06 1,0E+06 0,0E+00 6 8,6 x 10 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600

3 CL* (g/cm ) MÉTODO DE TALMADGE E FITCH ? Amin quando se conhece o ponto PC de compressão na curva de decantação e a concentração da lama espessa CS. Segundo Talmadge e Fitch, se ZS > Zcritico, o tS é lido como na figura (a). Se ZS < Zcritico, obtém-se tS como mostrado na figura (b).

Z O Z S Z iC Ponto crítico Z C Z S t S tempo (a)

Samuel Luporini e Letícia Suñe - DEQ/UFBa Z O Z >Z S críticoZ

Sedimentação 6.13

ZC Temos que: C = O O (1) segundo Kynch C Z iC

Z ?Z ? = iC C (2) C t C onde: ZS = altura da interface correspondente `a concentração CS especificada para a lama espessa.

Pelas equações (1), (2) e a equação de projeto: ?Z 1? ? ZC? LOCO? iC ? ? ?Z ? O ? O

= ? ZOCO CS ? = L C t ? iC C ? A min ? ? ? ZO O S ? ? S ? ? ZiC ZS ? OCO ? iC ? ZZ S

?S? ? ? t Pelo balanço de massa do sólido: ZC Z C S = Z C S? Z = O O OO SS S C S

L C t Wt Logo: A = O O S = S min ZC ZC OO OO

Sedimentação 6.14

Exemplo A: Um lodo biológico proveniente de um tratamento secundário de rejeitos, deve ser concentrado de 2500 mg/l até 10900 mg/l, num decantador contínuo. A vazão de entrada na unidade é de 4,5 x 106 l/dia. Determinar a área do sedimentador.

t (min) z (cm) 0 51.0 1 43.5 2 37.0 3 30.6 5 23.0 8 17.9 12 14.3 16 12.2 20 11.2 25 10.7

OBTENÇÃO DO PONTO CRÍTICO: (Ver figura na próxima página) 1. A primeira porção da curva representa a sedimentação livre à velocidade quase constante. Traça-se uma tangente a esta porção da curva.

2. No término do ensaio de sedimentação, onde as concentrações são altas e as velocidades baixas, a curva mostra um comportamento de velocidade aproximadamente constante. Traça-se uma tangente a esta porção da curva.

4. Na interseção, traça-se a bissetriz do ângulo. Na interseção desta bissetriz com a curva de sedimentação obtém-se uma estimativa do tempo crítico, tC, em que os sólidos entram na zona de compressão, e a concentração em tC é CC.

Sedimentação 6.15

60 50 40 z (cm) 30 20 10 0 Z 0 Z IC Bissetriz Ponto crítico Z C

Z S t tS C 0 5 10 15 20 25 30 t(min)

Sedimentação 6.16

SEDIMENTADORES CONTÍNUOS Num projeto de um espessador, as áreas requeridas para as funções de espessamento ou clarificação são calculadas separadamente. A maior das duas áreas determina o tamanho necessário para encontrar o desempenho específico.

A área de clarificação é estimada a partir da velocidade inicial para a qual a interface diminui em altura, num teste em batelada. A área deve ser grande o bastante, de maneira que, a velocidade de subida do líquido `overflow' seja menor que a velocidade de sedimentação da interface.

A área mínima necessária para a clarificação é dada por: A = Le (1) c ?s onde: Ac = área da superfície de clarificação Le = vazão `overflow' do liquido clarificado ?s = velocidade de sedimentação inicial da suspensão para a concentração de alimentação.

Uma área maior pode ser desejada para minimizar a remoção de partículas finas que escampam da suspensão sedimentada.

Na região de compactação (ou espessamento), o sólido e algum líquido movem para o `underflow'. Como o sólido no `underflow' contem menos água que na região acima, a velocidade do liquido é menor que a velocidade do sólido.

O sólido sedimenta passando a água por uma velocidade diferencial que é suficiente para carrega-lo a partir da concentração da alimentação para a concentração `underflow'.

Os sólidos em um espessador contínuo passam através de um ponto mínimo entre as concentrações de alimentação e `underflow'. Se a taxa de sedimentação de sólidos relativa ao fluido não é grande o bastante para transmitir ao sólido para que alcance esta zona limite, os sólidos fluirão para cima e saem no `overflow'. A capacidade do espessador é controlada pela área necessária para passarem os sólidos através desta zona limite.

Sedimentação 6.17

Muitos modelos para a zona de espessamento são baseados nos trabalhos de Coe e Clevenger ou Kynch e assume que a velocidade de uma partícula é função da concentração local dos sólidos.

MÉTODO DE YOSHIOKA E DICK Num espessador contínuo, os sólidos são sedimentados por gravidade e por transporte `bulk' devido a remoção dos sólidos para o fundo. Para algum ponto no espessador o fluxo de massa dos sólidos para a sedimentação por gravidade é:

Gg = Xi?i (2) onde: Xi = concentração do sólido local ?i = velocidade de sedimentação do sólido com concentração Xi

O fluxo de massa para o movimento `bulk' da suspensão é: Gu = XiUb (3)

onde: Ub = velocidade `bulk' da suspensão Se Lu é o fluxo volumétrico deixando o fundo e A área da seção transversal, a velocidade `bulk' é:

Ub = Lu (4) A O fluxo mássico total de sólidos de concentração Xi é:

Sedimentação 6.18

Fluxo total Fluxo de escoamento `bulk' Fluxo de Fluxo limitante sólidos

Fluxo por gravidade Concentração de ólid Figura 1 ? Fluxo de massa dos sólidos em um espessador por gravidade e por movimento `bulk'.

A combinação dos fluxos por gravidade e `bulk' produzem uma curva de fluxo total com pontos de máximo e mínimo.

Em muitos casos, o mínimo do fluxo total ocorre entre as concentrações de alimentação e `underflow' e representa a capacidade limite dos sólidos na suspensão.

Wt = LoXo = LuXu (6) onde: Lo = vazão do influente Xo = Concentração dos sólidos no influente Lu = vazão do `underflow' Xu = Concentração dos sólidos no `underflow'

Sedimentação 6.19

= Wt = LoXo A (7) Gl Gl Um método mais conveniente para o projeto utiliza diretamente a curva de fluxo batelada . A equação (2) mostra que a velocidade de sedimentação por gravidade ?i, é a inclinação de uma linha a partir da origem para algum ponto da curva de fluxo batelada (figura 2).

Fluxo de Fluxo de escoament sólidos o `bulk' Fluxo total Fluxo por

Concentração de sólidos Figura 2 ? Fluxo de massa de sólidos em espessador a partir da curva de fluxo em batelada.

Se esta linha intercepta a tangente do fluxo em batelada, a intersecção no ponto de tangencia corresponde a concentração de sólidos limitante, X , e o fluxo por gravidade, l

Por combinação das equações (4) e (6), a velocidade `bulk' é:

Sedimentação 6.20

Ub = Lu = Wt = Gl (8) A XuA Xu Desta maneira, a velocidade `bulk' é a inclinação de uma reta tangente ligando o fluxo de sólidos G sobre a ordenada e a correspondente concentração `underflow' na abscissa. l

Portanto: Gg = fluxo de sólidos devido a sedimentação por gravidade Gl ? Gg = fluxo devido ao transporte `bulk' quando os sólidos são removidos para a concentração Xu

3 Exemplo 2: Um espessador recebe 0,044 m /s de uma suspensão contendo 2000 mg/l de sólidos. As velocidades iniciais da zona de sedimentação destes sólidos foram determinadas por testes de sedimentação em batelada (Coe e Clevenger) dadas abaixo.

Concentração de sólidos Velocidade de sedimentação (mg/l) (m/h) 1000 2,74 1500 2,01 2000 1,37 2500 0,73 3000 0,42 4000 0.22 5000 0,13 6000 0,07

Sedimentação 6.21

Concentração de Velocidade Xi .vi sólidos de sedimentação 32 (g/cm ) (cm/s) g/cm s 1000,00 0,0761111111 1500,00 0,0558333333 2000,00 0,0380555556 2500,00 0,0202777778 3000,00 0,0116666667 4000,00 0,0061111111 5000,00 0,0036111111 6000,00 0,0019444444 76,1111111111 83,7500000000 76,1111111111 50,6944444444 35,0000000000 24,4444444444 18,0555555556 11,6666666667

90 80 70 60 s) (g/cm2 50 40 i .v Xi 30 20 10 0 0 2000 4000 6000 8000 Xi (g/cm3)

Sedimentação 6.22

CÁLCULO DA ALTURA DO SEDIMENTADOR Pavlov, Romankov e Naskov (1981) propuseram para a altura do sedimentador a soma das parcelas indicadas na figura

H 1 ? Lama H=H +H +H 1C2 onde: H1 pode variar entre 0,45 e 0,75 m H2 = 0,146R (m) ? = 8,14o H C

H 2 Região de compactação Em relação à altura da região compactação HC, o seguinte procedimento é seguido:

? volume do ? ? volume do ? ? ? + ? ? H = ? ? ? ? (L ) sólido líquido 1 = C t + L C tX C OO OO AA

? volume do líquido ? onde: X = ?? volume do sólido ?? médio na região de compactação t = tempo de residência do sólido na região de compactação.

Sedimentação 6.23

L C t (1 ) Portanto: H = O O + X C A volume do líquido volume do sólido + volume do líquido 1+X=1+ = = volume do sólido volume do sólido

volume da suspensão = 1 volume do sólido Y Y = volume do sólido/volume da suspensão

1 ? ?? ? ?? ? = Y? + (1 ? Y)? ? = s f ? 1 + X = s f Y ? ?? ? ?? suspensão s f suspensão f suspensão f

L C t? ? ?? ? ?H = O O ? s f ? A ? ? ? ? ?? C ? suspensão f

Como ? é difícil de se determinar, fazemos: suspensão

4LCt????? H=OO?sf? C ?? ?? ? 3A lodo f

O fator 4/3 permite corrigir a imprecisão do emprego da densidade do lodo em vez da densidade média na região de espessamento

? >? lodo suspensão Resta obter o tempo de residência t, desde o início da compactação até que se atinja a concentração final.

Sedimentação 6.24

Pelo método sugerido por Coulson & Richardson t = 0 t = tempo de residência ponto crítico (sedimento com a concentração desejada) a altura total do sedimentador é normalmente tomada como H = 2HC ou H = H1 + HC + H2 Procedimento seguido por Lennertz (1976)

Altura Z O da interface Final da reta Z i t t tempo 1 fi

Sabemos que: Z = COZO (Kynch) i C L ? No ponto no qual termina a seção reta (ou a velocidade constante) tem-se t1, daí: t=t ?t fi 1

tfi ? tempo desde o início do processo até a concentração final desejada. t1 ? tempo somente até o ponto correspondente ao final da seção reta.

Sedimentação 6.25

Exemplo 3: Calcular a altura do seguinte sedimentador: ? Área da seção transversal = 240 ft 2

? Vazão de sólidos = 4800 lb/h ? Concentração da lama espessa = 1,5 lbm de H2O/lbm de sólido ? Tempo de compactação: 3h ? ?s = 2,7 g/cm 3

? ?f = 1 g/cm 3 Obs. use as formula: lbm H O g H O m ? V ? w lodo = 1,5 2 = 1,5 2 = f = f f = f ? X lbm sólido g sólido ms ?sVs ?s Hsed = 2Hc

Exemplo 4: Determinar a área de um sedimentador para operar com 45.3 ton/h de CaCO3 de 236 g de sólido/litro de suspensão aquosa. O lodo deve ter 550 g/litro de suspensão. ?s = 2,8 g/cm3.

Teste de proveta com suspensão 236g/l: t (h) z (cm) 0.00 36.00 0.25 32.40 0.50 28.60 1.00 21.00 1.75 14.70 3.00 12.30 4.75 11.50 12.00 9.80 20.00 8.80

t (h) t(s) z (cm) zi Xi (g/cm3) Vi (cm/s) Xi*Vi 0,00 0 36,00 36 0,25 900 32,40 36 0,50 1800 28,60 36 1,00 3600 21,00 32 1,75 6300 14,70 22 3,00 10800 12,30 15,5 4,75 17100 11,50 13 12,00 43200 9,80 12,5 20,00 72000 8,80 11,5 0,2360000000 0,2360000000 0,0040000000 0,0009440000 0,2360000000 0,0041111111 0,0009702222 0,2655000000 0,0030555556 0,0008112500 0,3861818182 0,0011587302 0,0004474805 0,5481290323 0,0002962963 0,0001624086 0,6535384615 0,0000877193 0,0000573279 0,6796800000 0,0000625000 0,0000424800 0,7387826087 0,0000375000 0,0000277043

Sedimentação 6.26 z (cm) 40

35 30 25 20 15 10 5 0 0 (g/cm2s) Xi i V 1,60E-03 1,40E-03 1,20E-03 1,00E-03 8,00E-04 6,00E-04 4,00E-04 2,00E-04 0,00E+00 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 t (s)

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 Xi (g/cm3)

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.1

FLUIDIZAÇÃO I. INTRODUÇÃO Um líquido ou gás que se move a baixa velocidade através de um leito poroso, como no caso de uma coluna de recheio, não produz movimento nas partículas. O fluido circula através de pequenos e tortuosos canais perdendo energia de pressão.

No entanto se aumentarmos constantemente a velocidade do fluido, alcançaremos um ponto em que as partículas não ficarão mais estacionárias, se separarão umas das outras e passarão a serem sustentadas no fluido. Diz-se então que o leito esta fluidizado.

Aumento da velocidade do fluido fluidofluido Leito fixo Leito fluidizado

MECANISMO DE FLUIDIZAÇÃO Quando um fluido escoa, de cima para baixo, através de um leito de partículas sólidas, não se verifica qualquer movimento das partículas. Se o fluxo for laminar a queda de pressão, através do leito, será diretamente proporcional a vazão.

Lei de Darcy: Darcy observou a vazão de fluido (água) através de um leito de areia, ?P Q ?P constatou que: q = K ou ? P L AL

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.2

fluido Porem quando o fluido escoa de baixo para cima, através do leito, teremos: 1. A baixas vazões ? O leito permanecerá em repouso.

2. Aumentando-se a vazão ? Chega-se a um estágio em que as partículas passam a rearranjar-se de maneira a oferecer menos resistência ao fluxo.

? O atrito entre as superfícies das partículas vai então diminuindo e o leito começara a se expandir.

3. Aumentando-se mais a vazão ? As partículas passam a se movimentar livremente sustentadas no fluido. ? A queda de pressão = peso aparente das partículas (peso ? empuxo)

FLUIDIZAÇÃO HOMOGÊNEA E HETEROGÊNEA COM GASES E LÍQUIDOS ? A baixas velocidades tanto gases como líquidos apresentam o mesmo comportamento. ? Para velocidades maiores:

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.3

Líquidos: a expansão do leito mantém seu caráter uniforme, com a intensidade de agitação das partículas aumentando progressivamente. Neste caso tem-se a fluidização homogênea.

Gases: o leito se divide em duas fases distintas: ? Fase contínua, densa e de emulsão ? Fase descontínua, empolada ou de bolhas (fluidização heterogênea ou agregativa)

Bolhas Homogênea Heterogênea ? Na fluidização heterogênea ou agregativa o sistema assemelha-se muito a um líquido em ebulição.

? Se a velocidade é alta e o recipiente é estreito, pode haver formação de bolsas de gás que ocupam toda a seção reta. Essas bolsas se alternam com as camadas de partículas sólidas e acontece então o fenômeno de fluidização empolada ou empistonada .

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.4

? Wilhelm e Kwauk, sugeriram que o número de Froude: = u 2 = energia cinética Fr mf gd energia gravitacional p

proporciona um critério para predizer o tipo de fluidização. Sendo: umf = velocidade mínima superficial de fluidização.

dp = diâmetro da partícula g ? aceleração da gravidade Segundo os autores, para: Fr < 0,13 ? fluidização homogênea ou particulada Fr > 0,13 ? fluidização heterogênea (bolhas ou agregativa)

Uma informação mais detalhada sobre o fenômeno mostra que (Foust):

( )( )? ? ? ? ?? L ? ? ? ?? D ? Fr, Re e a profundidade L ? devem ser tomados no ponto de fluidização mínima (ponto B).

Fr = Frmf (Rice e Wilhelm) Re = Rep,mf (Romero e Johansen) L =Lmf

? ?? L 4 grupos adimensionais: Frmf, Rep,mf, s , mf , ?D

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.5

Fluidização Fluidização Leito fixo incipiente homogênea (expansão)

L f L mf L m Gás ou líquido Gás ou líquido Líquido

Fluidização Transporte Fluidização empolada pneumático heterogênea e hidráulico

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.6

ANÁLISE DA QUEDA DE PRESSÃO COM O AUMENTO DE q Leito fixo Leito fluidizado ?P B AC D

E 0 q ? Região 0A - relação linear: ?P ? q ? leito fixo Queda de pressão aumenta até o ponto em que a força de pressão se iguala ao peso aparente da partícula.

? Região AB ? leito inicia a expansão ? Região BC ? A queda de pressão diminui um pouco devido ao aumento da porosidade. ? Região CD ? Partículas passam a se movimentar estanco suspensas no fluido = leito fluidizado.

? Região DE ? porosidade aumenta ainda mais nas proximidades do ponto D, já começa a existir o arraste e, no ponto E, a porosidade é próxima de 1.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.7

ANÁLISE DA QUEDA DE PRESSÃO COM A DIMINUIÇÃO DE q ?P ?P mf A E

0F q q mf

? O leito se contrai até a condição em que as partículas mal se apoiam umas sobre as outras (ponto E). Não existe mais a força de atrito entre as partículas que no caso anterior teria que ser vencida ? Diminuindo-se ainda mais a vazão, o leito permanece fixo e tem-se então o ?P proporcional a vazão, sendo que a linha EF é um pouco deslocada da linha A0 devido a não existência da perda de carga devido a ação de ruptura do leito, existindo somente a perda de carga devido ao atrito fluido-partícula.

No sentido contrário, quando atinge o ponto A a vazão deve ser aumentada ainda mais para as partículas se soltarem.

POROSIDADE MÍNIMA DO LEITO A porosidade para qual começa a haver fluidização é chamada de porosidade de ?mf depende da forma e tamanho das partículas.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.8

ALTURA DO LEITO Quando a vazão do fluido ultrapassa a velocidade mínima de fluidização (qmf), o leito se expande e aumenta sua porosidade. Se a área da seção transversal do recipiente não varia com a altura, a porosidade é uma função direta da altura do leito.

V A(L ? L ) L Como: ? = vazios = 0 = 1 ? 0 V AL L total

Em geral se conhece a porosidade do leito para uma condição (mínima fluidização ou a de leito fixo).

Sabendo-se a altura do leito nesta condição, a altura do leito para uma nova porosidade será: LL ? =1? 0 ? =1? 0 12 LL 12

L0=1???L=L(1??) 1011 L 1 L0=1???L=L(1??) 2022 L 2 L (1 ? ? ) = L (1 ? ? ) Logo : L = L (1 ? ? ) 11 (1 ? ? ) 1122 2 2

Por exemplo: Para determinar L2 , temos ?1 = ?mf , L1 = Lmf e ?2 a porosidade para a altura a determinar.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.9

QUEDA DE PRESSÃO, VELOCIDADE MÍNIMA DE FLUIDIZAÇÃO Equações básicas da mecânica do contínuo:

1. Continuidade ? (? ?) + ? ? (? ?r ) = 0 (fluido) (A) u ?f f t

[(1 ? ?)? ?] = [(1 ? ?)? ] + ? ? r 0 (sólido) (B) ? ?ss t

2. Movimento para o fluido: r ??u+(?r)r? r r r ?f ?? ? ? = ??p ? + ? g (C) u ?u ???? m ?t ? f f

para o sólido: r (1 )?? ? ? ( ) r ? r + r + (1 ? ?)(? ? ? )gr (D) + ?? ? ?? = ?? f ? ?? ?? m ??t ? s ss

rr onde: u e ? = velocidades intersticiais do fluido e sólido ? = porosidade do sistema p = pressão do fluido r ? = tensor tensão extra do fluido f

r ? = tensor tensão extra no sólido s r m = força resistiva devido a interação fluido-sólido

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.10

Desprezando os termos de aceleração das equações (C) e (D) de movimento para o rr fluido e partícula e tomando ? = 0 (pouco conhecida) e ? = 0 (só é importante para sf

alguns casos envolvendo fluidos não Newtonianos); então: Equação de movimento para o fluido simplificada

rr 0 = ??p ? m + ? g (1) f Equação de movimento para o sólido simplificada

0 = r + (1 ? ?)(? ? ? )gr (2) m sf No início da fluidização: Resulta da equação (1) ? d p = m (3) dz Resulta da equação (2) ? m = (1 ? ? )(? ? ? )g (4) mf s f

Combinando as equações (3) e (4) resulta: dp = (1 ? ? )(? ? ? )g mf s f dz

?p = (1 ? ? )(? ? ? )g mf s f L mf (5) ? Queda de pressão em leito fluidizado de partículas uniformes (fluidização de boa qualidade).

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.11

CURVA CARACTERÍSTICA ?P ?P mf W A 0F q q mf

Para o cálculo da velocidade mínima de fluidização, deve-se empregar a equação r constitutiva para m .

Fluido Newtoniano: r ? µ C? m=? + f ?K K r q?r ?q ? Da equação (4):

?µ+Cmf?fq??q=(1??)(???)g ? ?? mf ?? mf mf s f KK mf mf

Alguns dados de Kunii e Levenspiel para a fluidização com gás (Tabela 3 pag. 72) ?mf (experimentais) Partículas Dp (mm) 0,05 0,07 0,10 0,20 0,30 0,40 Areia (? = 0,67) 0,60 0,59 0,58 0,54 0,50 0,49 Areia (? = 0,86) 0,56 0,52 0,48 0,44 0,42 -

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.12

(d ?)2 ? 3 K mf = 180(1 ) Kozeny-Carman p mf ?? 2 mf

? ? K ? ? K ? 0,98 C=1?0,13?o?0,37+0,10?o?0,01? ? Massarani mf ? 3 2 ?? ? K ? ? K ? ?? mf mf mf

-6 2 Ko = 10 cm ESCOLHA DO TIPO DE DISTRIBUIDOR A qualidade de borbulhamento na fluidização é fortemente influenciada pelo tipo de distribuidor utilizado.

? Para poucas aberturas de entrada do ar: a densidade do leito flutua apreciavelmente para todas as vazões (20 a 50% do valor médio), sendo mais severa para altas vazões.

? Para muitas aberturas de entrada do ar: a flutuação no leito é desprezível para baixas vazões de ar mas torna-se apreciável para altas vazões.

A densidade do leito é mais uniforme, as bolhas são pequenas e o contato gás-sólido é mais intimo com menos canais de gás.

? Meio poroso densamente consolidado (placa sinterizada ou placas com muitos orifícios pequenos: o contato gás-sólido é superior. Mas a partir do ponto de vista industrial ou em larga escala tem a desvantagem da alta queda de pressão.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.13

Qualidade pobre Melhor qualidade muita flutuação menos flutuação na ? , com canais na ? , menos canais bb

(influência do distribuidor) Maior ?P

Um orifício multi-orifícios sinterizada Materiais do distribuidor: Cerâmicos: resistentes a corrosão de gases e altas temperaturas, mas são poucos resistentes a choque térmicos ou tensões de expansão.

PROJETO DO DISTRIBUIDOR O distribuidor deve ter suficiente queda de pressão para efetuar um escoamento equilibrado através dos orifícios.

Agarwal et al. ?P = 0,1?P (1) d,min leito

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.14

Procedimento: 1) Determinar a pressão necessária através do distribuidor pela equação (1) d ?u 2) Calcular: Re = t o (2) tµ Dt = diâmetro próximo a placa

uo= velocidade superficial do leito próximo a placa µ = viscosidade do gás Ret = Reynolds próximo à placa

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.15

3) u = C? ? 2g c ?Pd ??1 2 ? (3) or d ? ? ?

uor = velocidade no orifício ?Pd = queda de pressão no distribuidor

= número de orifícios ? 4) N escolher aleatoriamente or área do distribuidor

? u = d2 u N o or or or 4 encontrar

5) Para leitos de partículas finas: (0,70 )?? 2g ?P ?1 2 u = a 0,85 c d ? or ? ? ?

APLICAÇÕES INDUSTRIAIS DO LEITO FLUIDIZADO Operações químicas: reações de gases em catalisadores sólidos e reações de sólidos com gases.

OPERAÇÕES FÍSICAS: ? Transporte ? Mistura de finos pulverizados ? Trocador de calor ? Revestimento de materiais plásticos sobre superfícies metálicas ? Secagem ? Crescimento de partículas e condensação de materiais sublimados

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.16

? Adsorsão OPERAÇÕES QUÍMICAS ? Reações de síntese O leito fluidizado é utilizado em lugar do leito fixo para as reações de fase gasosa catalisadas por sólidos, em face da necessidade de um rigoroso controle de temperatura, visto que: a) A reação pode ser explosiva fora de um estreito limite de temperatura.

c) Pontos quentes no catalisador podem provocar uma rápida deterioração e desativação do catalisador que normalmente é estável e não requer regeneração.

d) O controle de temperatura é difícil nestas reações visto que as mesmas são altamente exotérmicas. Exemplo: Oxidação do etileno; Síntese do anidrido ftálico.

CRAQUEAMENTO E REFORMA DE HIDROCARBONETOS Reações de craqueamento: quebra das cadeias dos hidrocarbonetos para produzir substâncias de menor peso molecular.

As reações de craqueamento e reforma possuem duas características comuns: a) As reações são endotérmicas b) São acompanhadas da deposição de carbono nas superfícies sólidas

CARBONIZAÇÃO E GASEIFICAÇÃO ? Carbonização do óleo de xisto e do carvão ? Gaseificação do carvão e do coque ? Ativação do carvão vegetal

CALCINAÇÃO E REAÇÃO PARA FORMAÇÃO DO CLÍNQUER ? Calcinação de pedra calcária, dolomita e rocha fosfatada ? Produção do clínquer do cimento

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.17

REAÇÃO GÁS-SÓLIDO ? Queima de minérios sulfatados ? Redução do óxido de ferro

ALGUMAS APLICAÇÕES DO LEITO FLUIDIZADO Secador Ciclones Alimentação inferior a 4 mesh Inferior Mistura 2% a 325 mesh Produto fino 65-325 mesh Cerca Ar de 74oC

Combustível Ar Ar quente Produto grosso 4- 80 mesh Sistema Dorrco fluoSolids para secagem e classificação de tamanhos das partículas de dolomita Secagem de: Limestone, dolomita, carvão, plásticos (ex: partículas de polipropileno) Limestone: 2-3% de água ? 0 TLeito C DLeito = 2,74 m 125 ton/h o = 94-107 5% de água ? 0 o TLeito = 150-200 C DLeito = 3,66 m 150 ton/h

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.18

A eficiência térmica ? Tgas ? TLeito(vaporização do solvente ou água)

Reator químico catalisado Produto da reação Filtro Resfriador

Catalisador Água de refrigeração Etileno + ar H C CH 22

O + [O] + 6 [O] Na temperatura ótima + 5 [O] Acima da CH = CH 2CO + 2H O 2 2 2 2 temperatura ótima

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.19

Oxidação catalítica do etileno fornecendo etileno glicol ? rigoroso controle de temperatura para não ocorrer um decréscimo de rendimento.

Redução do óxido de ferro por hidrogênio 46 atm Minério de ferro em pó

98 % 87 % 47 % reduzido ? 50 tons/dia de ferro ? DR = 1,7 m, altura = 29 m ? Fe2O3 + 4 H2 ? Fe + 4H2O Magnetita

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.20

FCC (Fluid Catalyst Cracking Process) Cracking de hidrocarbonetos vaporizados em compostos de menor peso molecular:

Produto Regenerador Reator Ar Vapor Ar Óleo

Processo endotérmico o Reator a 480-540 C, onde o petróleo vaporizado alimentado é craqueado pelo contato com partículas quentes de catalisador.

Tempo de residência 5 a 10 min ? rápida deposição de carbono e desativação do ? Regenerador a 570 ? 590o catalisador C onde o carbono depositado é reduzido, através da queima com ar, de 1 a 2% para 0,4 ? 0,8%, 5 a 10 min.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.21

VANTAGENS DO LEITO FLUIDIZADO 1) O sistema tem comportamento semelhante aos ?líquidos? o que torna fácil a operação em grande escala e o controle automático.

Objeto leve flutua na superfície A superfície superior permanece horizontal quando o recipiente é inclinado

Escoamento em jato através de um orifício Níveis de dois leitos interligados se igualam

A queda de pressão no leito é proporcional ao peso do leito ?P

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.22

2) A mistura rápida das partículas faz com que se tenha praticamente um leito isotérmico, daí sua grande importância em relação aos reatores químicos. Permite evitar os pontos quentes nas reações exotérmicas.

3) Coeficiente de transferência de calor e massa elevados entre partículas/fluido e entre o leito/partículas nele imerso.

DESVANTAGEM DO LEITO FLUIDIZADO 2) Algumas partículas não permitem uma fluidização adequada: as que são frágeis e se pulverizam, as que se aglomeram e as que sinterizam.

Reatores de leito fluidizado Conclusões: ? A fluidização é uma ferramenta potente e versátil para os reatores. ? Processos são criados em decorrência dos avanços em catálise e projeto de reatores e de interação entre estes.

LEITO FLUIDIZADO `VERSUS' LEITO FIXO ? O leito fixo é mais simples (menor número de graus de liberdade para as fases: sólido não se move) ? O leito fixo deve ser utilizado sempre que apresente desempenho adequado

Operações de contato e/ou transporte: Fluidização 7.23

Para um leito fixo ? Desativação do catalisador ? Temperatura média do catalisador tende aumentar ? O controle é muito difícil

2) Para um leito fixo, seletividade e reatividade são constantes

3) Para um leito fixo tubular o coeficiente global de transferência de calor é baixo 2o U ~ 2-3 BTU/h ft F ? Para leitos fluidizados tem-se valores de coeficientes mais elevados 2o U ~ 50 BTU/h ft F

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.24

FLUIDODINÂMICA DO LEITO DE JORRO Leito de jorro: é formado pela penetração de um jato de fluido através de um leito de partículas sólidas.

Fonte Superfície do leito Jorro Região anular Interface jorro-região anular

Base cônica Entrada do fluido Figura 1: Diagrama esquemático do leito de jorro, as setas indicam a direção do movimento do sólido.

? Coluna cilíndrica assentada sobre uma base tronco cônica, em cuja extremidade fica localizado o orifício, através do qual dá-se a entrada do fluido no leito.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.25

? O leito de jorro é constituido de uma região central diluída, na qual os sólidos deslocam-se concorrentes com o fluido e de uma densa, região anular, com percolação de fluido contracorrente com as partículas.

Na interface entre o jorro e o espaço anular, as partículas sobem com alta velocidade através do jorro, atritam-se com as da fase densa, de modo que esta ação de choque faz com que as partículas desta fase penetrem no jorro e retornem juntamente com a corrente ascendente.

A maior parte dos sólidos da região anular desloca-se para baixo, através da coluna e da base cônica e só nas proximidades do orifício de entrada de ar invertem seu sentido de movimento retornando o deslocamento ascendente.

No jorro, as partículas na base do leito aceleram-se até a velocidade máxima e então desaceleram-se até atingir novamente a velocidade zero no topo da fonte, que é a região onde o jorro aflora através da superfície do leito.

A concentração das partículas no jorro aumenta com a distância ao orifício de entrada do fluido, devido ao efeito combinado de decréscimo da velocidade das partículas e do fluxo de sólidos proveniente do espaço anular.

CURVA CARACTERÍSTICA PARA LEITO DE JORRO ? Inicialmente o gás apenas percola entre as partículas ( figura 2 ) e o sistema comporta- se como um leito fixo.

? Com o aumento do fluxo, surge nas proximidades do oríficio de entrada do gás uma cavidade devido à ação do jato que já é suficiente para deslocar as partículas. Esta cavidade vai se alongando dando origem ao jorro interno, ao tempo em que a perda de carga aumenta até o ponto B, onde se verifica a queda de pressão máxima (-?PM).

Neste ponto B, a altura do jorro interno é bem maior que a de sólidos compactados na parte superior do leito, de modo que incrementos na vazão de gás implicam em decrescimo da queda de pressão através do leito. Continuando o aumento de fluxo, a queda de pressão prossegue diminuindo até o ponto C correspondente ao jorro

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.26

-?P M 2 Queda de pressão, kN/m Vazão de ar aumentando decrescendo Vazão de ar -?P S

Velocidade superficial do ar, m/s Figura 2: Curvas típicas de velocidade do ar `versus' queda de pressão (dp = 3,6 mm, Dc = 15,2 cm, Di = 1,27 cm, ? = 60).

incipiente, no qual existe uma instabilidade no jorro interno, em virtude da oscilação da altura do mesmo (formação de bolhas).

No ponto C, qualquer incremento de gás faz com que a queda de pressão caia bruscamente até o ponto D no qual o jorro aflora através da superfície do leito. A partir deste ponto, incrementos na vazão acarretam somente a elevação da fonte e a queda de pressão mantem constante (-?PS).

Processo inverso ( ---- decrescimo da vazão de ar) Com a redução do fluxo de gás o jorro mantém-se até o ponto C' correspondente ao jorro mínimo ( Ujm).

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.27

Prosseguindo a redução da vazão, chega-se a um ponto B' máximo de queda de pressão, no entanto bem abaixo do ponto B, pois no processo inverso a perda de carga é devida sómente a interação gás-sólido, não havendo mais a ação de rutura do jato através do leito.

A partir daí a queda de pressão volta a decrescer à medida que se processam as reduções da vazão de gás.

(a) (b) (c) (d) Figura 3 A figura 3 ilustra a transição a partir do leito fixo (a), para jorro (b), para leito de bolhas (c) e empistonado (d), que muitas vezes ocorrem com o aumento da velocidade do gás.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.28

DIAGRAMA DE FASE LEITO LEITO COM EMPISTONADO BOLHAS (SLUGGING) ALTURA DO LEITO, cm LEITO FIXO JORRO ESTÁVEL

JORRO PROGRESSIVAMENTE INSTÁVEL VELOCIDADE SUPERFICIAL DO AR (m/s) Figura 4: Diagrama de fases-Trigo, dp = 3,2 x 6,4 mm, Dc = 15,2 cm, Di = 1,25 cm

? A linha representa a transição entre o leito fixo e o agitado (jorro ou fluidizado). ? Mostra que para um dado material sólido em contato com um fluido específico numa vasilha de geometria fixa, existe uma altura máxima do leito de jorro HM, a qual a ação do jorro não ocorre mas sim uma fluidização de má qualidade.

? A velocidade mínima de leito de jorro para esta altura de leito (HM), pode ser 50% maior que a correspondente velocidade mínima de fluidização Umf.

? O diagrama indica também que para um dado sólido, gás, e diâmetro de coluna, há um máximo de entrada de ar em que o jorro não ocorre, o leito muda diretamente de fixo para o estado fluidizado agregativo.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.29

PRINCIPAIS PARÂMETROS ENVOLVIDOS NA FORMAÇÃO DO JORRO 1- tamanho da partícula 2- distribuição de tamanhos das partículas 3- diâmetro da entrada de gás 4- diâmetro da coluna 5- ângulo do cone 6- fluxo de gás 7- altura do leito

PRINCIPAIS PARÂMETROS DE PROJETO 1- queda de pressão 2- queda de pressão em condições de jorro mínimo: ?Pjm 3- velocidade do fluido em condições de jorro mínimo: qjm 4- altura máxima de jorro estável: HM

APLICAÇÕES DA TÉCNICA DO LEITO DE JORRO QUE SE ENCONTRAM EM USO INDUSTRIAL

1- Secagem de materiais granulares 2- Granulação 3- Secagem de suspensões e soluções 4- Pré aquecimento do carvão 5- Resfriamento de fertilizantes

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.30

6- Mistura de sólidos granulares 7- Ativação do carvão vegetal

APLICAÇÕES DA TÉCNICA DO LEITO DE JORRO QUE SE ENCONTRAM EM TESTES, OU OPERANDO EM ESCALA DE LABORATÓRIO

1- Reação-granulação 2- Operações de revestimento 3- Purificação de gases 4- Pulverização 5- Carbonização do carvão a baixas temperaturas 6- Redução do minério de ferro 7- Produção do clinquer de cimento 8- Craqueamento térmico do petróleo.

Os parâmetros relevantes na análise de operações envolvendo transferência de momento, calor e massa: ? Diâmetro de jorro ? Velocidade do fluido ? Velocidade das partículas sólidas

FUNDAMENTOS TEÓRICOS Leito de jorro ? sistema particulado: Fase densa (anular) Fase diluída (jorro) Equações básicas da mecânica do contínuo

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.31

? [(1 ? ?)? ] + ? ? [(1 ? ?)? ?r ] = 0 Sólido (2) ?ss t

Equação de movimento: Para o fluido r ??u+(?r)r? r r r ? ?? u ? u? = ??p ? ? ? ? ? m + ? g (3) f ?? ? f f t

Para o sólido r (1 )?? ? ? ( ) r ? r r (1 ? ?)(? )gr ? ? ? + ?? ? ?? = ?? ? ? + m + ? ? (4) s?ssf ?t ?

onde: rr u e ? = velocidades intersticiais do fluido e sólido ? = porosidade do sistema p = pressão do fluido r ? = tensor tensão extra do fluido f

r ? = tensor tensão extra no sólido s r m = força resistiva devido a interação fluido-sólido

As equações (3) e (4) pode ser resolvida com os conhecimentos dos termos constitutivos: r ? ? ? ? pouco conhecida s

r ? ? ? ? só é importante para alguns casos envolvendo fluidos não Newtonianos f

r m ? devido a um grande conjunto de dados experimentais para fluido Newtoniano ? forma quadratica de FORCHHEIMER.

r µ ? C? K m = ?1 + f ? K ?? µ rr u?? ?? (r ) r ? u ? ? (5) ??

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.32

k = permeabilidade, pode ser estimada pelo modelo capilar de Kozeni-Carman

?3D2 =p k 36?(1??)2 (6) onde: Dp = 6 = dp?, dp = diâmetro equivalente (diâmetro de uma esfera tendo o mesmo a v

volume da partícula) a = superfície da partícula = superfície específica da partícula v volume da partícula

? = f(forma,?), ? ? 5 para 0,3 ? ? ? 0,5 C = fator adimensional (Thirriot etal.)

1 ? ? k ?0,72 ? ? k ?0,13 2 3 ? c = ?0,10? o ? + 6 × 10 2 ? o ? ? (7) ?3 2 ? ? k ? ? k ? ?? ?

-6 2 ko = 10 cm (permeabilidade de referência) ANÁLISE DIMENSIONAL

? Sistemas diluidos: transporte hidraulico ou pneumático de partículas em dutos. ? Combinando as equações de movimento do sólido e do fluido com dados experimentais, chega-se a correlações do tipo:

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.33

d? =pf Re rr u?? ? (número de Reynolds) (9) µ d ?2g Ga = (número de Galileo) pf (10) µ2

? ?? Mv = s f (massa volumétrica) (11) ? f

Dinâmica do leito de jorro: ? Equação (1) a (4) mais termos constitutivos ? Condições de salto na interface espaço anular-jorro ? Condições de contorno Análise ? compreensão para algumas correlações da literatura.

1. Queda de pressão máxima de jorro ? ?PM deve se aproximar do ?P para a fluidização ? Desprezando os termos de aceleração na equação de movimento para o fluido e para as r partículas e tomando ? = 0 , temos s

r ?p = ?m (fluido) mr = ?(1 ? ?)(? ? ? )gr (sólido) sf

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.34

Combinando as duas equações, temos: ?p = ?(1 ? ?)(? ? ? )gr ou sf

?p = ?H(1 ? ? )(? ? ? )g = Mg (12) M mf s f A c

onde: H = altura do leito expandido M = massa do leito Ac = área da seção transversal da coluna

A equação (12) é o resultado de MALEK e LU (1965) 2. Queda de pressão em condições de jorro mínimo

A forma da equação (12) mantém-se na previsão de ?pjm ?p = ?H(1 ? ? )(? ? ? )g (13) jm mf s f

? Um número substâncial de resultados indica que ? = 2/3 (MALEK e LU)

3. Velocidade do fluido em condições de jorro mínimo ? Condições de altura máxima de jorro estável,

r ? µ C? r ? r m = ? + f q ?q ?K K ? e na equação (4) desprezando os termos de aceleração e de tensões, temos:

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.35

r ( )( )r m=?1?? ? ?? g sf ? µ C? Logo: ? + f ?K K q jm?q = (1 ? ?)(? ? ? )g (14) ? jm s f ?

Equação (14): fornece uma previsão razoável para qjm com erro de 20% BECKER: qjm esced qmf (mínima fluidização) por 10 à 33%.

MATHUR-GISHLER: Para valores fixos de DC/Di, empiricamente: q?1H jm D C

4. Vazão do gás no espaço anular e de jorro A vazão do gás no espaço anular pode ser estimada pela equação de movimento do fluido, medindo-se o gradiente de pressão nesta região e a velocidade das partículas sólidas.

?dp =m dz ?dp=µ?mf(u+?)+C?f?mf)(u+?)2 (15) (2 aa aa dz K K

A vazão do gás no jorro resulta: ? vazão volumétrica ? ? ? ? vazão volumétrica ? ? vazão do fluido ? ? do fluido no jorro ? = ? ? ? ? ? ? 3 ? ? total do fluido ? ? no espaço anular ? ? ms ?

Q = Q ? Q (16) fj f fa

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.36

5. Velocidade das partículas sólidas no espaço anular e no jorro

? Velocidade do sólido no espaço anular ? visualização direta ? Velocidade do sólido no jorro ? Vazão do sólido ? Vazão do fluido ? ?j Para regiões anular e de jorro

? = 0,33 (Ga )?021 para ?j 1,58 Re .Mv < 0,85 Angelino j

6. Altura máxima de jorro estável: HM MATHUR e GISHLER observaram que para uma dada coluna operando com determinado sistema gás-partícula, existe uma altura máxima do leito HM acima da qual não se verifica jorro estável.

H < HM ? a estabilidade do jorro pode ser mantida a vazões de gás maiores que a necessária ao jorro mínimo.

H = HM ? um incremento do fluxo de ar acima do requerido para o jorro mínimo, ocorre fluidização heterogênea ou de movimento empistonado.

0,192d D4 = pC H Mathur e Epstein (1974) M D2D2 ij

onde: Dj = diâmetro do jorro Di = diâmetro de entrada do ar D =1,07D23d13 j Cp

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro

MODIFICAÇÃO: TUBO CENTRAL ar 7.37 ar Vantagens da utilização do tubo central a) Jorro ocorre a menores queda de pressão.

d) A estabilidade do jorro é verificada para qualquer altura do leito, tanto na geometria cônica como na convencional.

Desvantagens: a) ausência de mistura pelo movimento lateral das partículas na secção anular com o jorro ? reduz a eficiência de mistura global.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.38

FORMA CÔNICA ? A seção inferior cônica facilita o escoamento do sólido a partir da região anular para dentro da região do jorro.

? Com uma base plana ao invés da cônica forma-se uma zona de sólidos estagnada, porém não afeta a estabilidade do jorro.

? Se o cone é tão ingreme, o jorro torná-se instável pois o leito inteiro tende a ascender com o jorro do gás.

? A limitação do ângulo do cône depende das características de fricção interna dos

o D c ? D i Numa dada coluna o HM decresce com o aumento de Di até que o valor limite é alcançado, onde o jorro não ocorre mais.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.39

APLICAÇÕES Ciclone ALIMENTAÇÃO Resfriador de leito fluidizado

Transportador Elevador Secador de leito de jorro Pré-aquecimento Armazenagem Soprador do ar Soprador do produto sêco

Figura 1: Secador de grãos para produtos agrícolas (ervilhas, lentilhas, linho)

Dc (secador: leito de jorro) = 61 cm , Altura = 1,78 m Dc (resfriador: leito fluidizado) = 76 cm

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.40

Sólido reciclado Fino Grosso Gás quente Produto Triturador Líquido quente

Figura 2: Sistema granulador por leito de jorro ? O leito neste processo consiste de partículas do material a ser granulado, a fase líquida é injetada na base junto com o gás quente.

? Uma fina camada de líquido é depositada sobre as partículas circulando quando elas passam no líquido spray, o qual é secado pela ação do gás quente sobre as partículas que ascendem pelo jorro e descem pela região anular.

Operações de contato e/ou transporte: Fluidodinâmica do leito de jorro 7.41

Cobertura de partículas (indústria farmacêutica) T = 26oC ar

Gás quente T = 63oC ar Líquido aquecido ? Operação em batelada, para assegurar um tempo de residência igual no leito para partículas individuais.

? Líquido de cobertura pré-aquecido e borrifado por bico de atomização pneumática. ? Após a quantidade desejada de solução para a cobertura se suprida pelo leito, é admitido um período de secagem para remover algum solvente individual, com uma redução da vazão do ar com o leito numa condição quiescente.

? Tempo de cobertura para 70 ? 100 kg de partículas de 10 mm: 1 a 1,5 horas. ? Espessura da cobertura (média) = 82 ?133 µm.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.42

TRANSPORTE PNEUMÁTICO ? Um dos métodos usados nas indústrias para transportar sólidos de um lugar para o outro utiliza ar a altas velocidades. Este processo é conhecido como transporte pneumático.

? O ar escoa através de dutos a altas velocidades (15 a 35 m/s) utilizando sopradores ou equipamentos que fazem vácuos. Diâmetro do duto 50 a 400 mm.

? Dois tipos comuns de sistema de transporte pneumático: 1. Pressão negativa (vácuo)

FILTRO DE AR CAIXA DE ARMAZENAGEM SOPRADOR CICLONE ENTRADA DE ARCAIXA

? São limitados à pequenos vácuos que podem ser criados quando os sólidos tem que serem transportados a partir de vários pontos em uma planta para um único ponto de distribuição.

? massa do sólido < 5 (McCabe) massa do gás

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas

2. Pressão positiva CAIXA DE ARMAZENAGEM CICLONE 7.43 FILTRO DE AR

ENTRADA DE AR SOPRADOR CAIXA ? Operam com sopradores ou compressores de ar (ou nitrogênio) com 1 a 5 atm dentro do sistema.

? Normalmente usado para transportar sólidos a partir de um único ponto para vários pontos de distribuição.

? massa de sólido > 5 massa de gás ? As vezes o gás é reciclado para a entrada do soprador ou compressor num sistema fechado ? gás valioso ou para prevenir a perda do pó pela atmosfera.

TRANSPORTE PNEUMÁTICO DE PARTÍCULAS (KUNII E LEVENSPIEL, FLUIDIZATION ENGINEERING)

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.44

? Queda de pressão friccional elevada ? Atrito rápido de partículas ? Erosões nas linhas de transferência Para minimizar estes efeitos a velocidade deve ser a mais baixa possível; este limite inferior é governado pelas condições onde os sólidos se ajustam ao escoamento.

ASPECTOS TEÓRICOS 1. Transporte pneumático em tubos verticais e horizontais

É de grande importância no dimensionamento as determinações: - da queda de pressão - do regime de escoamento, conhecidas as vazões Wf (fluido) e Ws (do sólido), o diâmetro do tubo e as características das partículas sólidas.

Regime de escoamento em tubos verticais Quando a vazão de fluido é suficiente para transportar os sólidos as baixas concentrações volumétricas ( < 5%), tem-se um regime em fase diluída.

Com a diminuição da vazão do fluido e mantendo a vazão dos sólidos pode-se obter um regime de transporte instável ? escoamento em bolhas, semelhante a fluidização heterogênea.

As vazões mais baixas de fluido, o leito de partículas se move em bloco com concentrações próxima ao do leito fixo, obtendo-se o transporte em fase densa.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.45

W? ss log q mfTransporte em fase Transporte densa com bolhas mf

chocking ?=? Transporte em fase diluída W? ff log q mf Linhas limites: métodos de previsão do ponto `chocking' e da fluidização insipiente

Velocidade mínima de escoamento horizontal do gás-sólido (saltitation velocity) (Zens and Othmer) Log (?p/l} F GC s3

E G s2 G =0 s G s1 D Saltitation velocity, u cs Log u o Gs = 0 representa a perda de fricção para um gás livre de partículas através de um cano

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.46

Gs1, Gs2 ? perda friccional da mistura gás-sólido transportando sólidos de velocidade mássica Gs1 e Gs2.

Para altas velocidades (Uo) todas as partículas são transportadas em suspensão sem sedimentar ( C na curva Gs1).

Mantendo a taxa de alimentação do sólido (Gs1) fixa e reduzindo lentamente a velocidade do gás do ponto C ao D ? o sólido move-se mais lentamente, os vazios da mistura tende a diminuir, e a perda friccional também diminuirá.

No ponto D as partículas começam a sedimentar no fundo do tubo e um equilíbrio é estabelecido entre a altura desta camada sedimentada e a camada de mistura acima.

A velocidade crítica do gás corresponde ao ponto D e é chamada de velocidade de saltitation, ucs.

A partir de D a resistência friccional pula para E e então aumenta estavelmente com o decréscimo da velocidade do gás.

Velocidade de escoamento vertical mínima para o gás-sólido (Choking velocity) (Zens and Othmer)

C E Gs2 log (?P/l) G s1 G =0 s D u , Choking velocity ch

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.47

A partir da maior velocidade de escoamento (ponto C) vertical de uma mistura gás- sólido (Gs1) reduz-se gradualmente a velocidade do gás uo.

Observa-se que: ? Quantidade de sólido aumenta lentamente, a fração de vazios diminui, e a pressão aumenta.

C ? D mudança na resistência friccional predomina e a pressão total diminui. ? Uma adicional diminuição no escoamento do gás causa um rápido aumento no sólido e a queda de pressão total aumenta.

? Perto de E a densidade da mistura torna-se elevada para suportar o sólido, e ocorre um estado agregado.

2. Transporte hidráulico Os principais objetivos no estudo de transporte de partículas consistem na determinação da queda de pressão e da velocidade de escoamento, o que permite o cálculo da potência da bomba ou soprador.

Transporte hidráulico vertical gráfico: queda de pressão piezométrica por unidade de comprimento `versus' velocidade média de escoamento VM da mistura no transporte hidráulico em dutos verticais.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.48 Log (?P/L) Parâmetros W : vazão S W >W ,W =0 S2 S1 S W >W S2 S1

W S2 W S1 W =0 S mistura fluido Log (VM)C Log VM

Como característica principal do escoamento tem-se nesse uma uniformidade de concentração na seção transversal do tubo, mesmo havendo uma diferença de velocidades intersticiais entre o fluido e as partículas, em toda a faixa de velocidade de transporte.

Nesse escoamento existe para a mistura, um limite inferior de velocidade (VM)C (figura), para qual a uma vazão fixada de sólidos cessa o transporte de um dado tipo de sólido, e que se denomina velocidade crítica de transporte vertical (?choking velocity?).

Transporte hidráulico horizontal Regimes de escoamentos No transporte horizontal, a ação do campo gravitacional provoca a existência de diversos regimes de escoamento que dependem, para um sistema, do nível de velocidade de escoamento, e para sistemas diferentes, também das propriedades físicas e dimensões das partículas transportadas.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas

Mistura VM4 V V V M3 M2 M1

WS2 1234 7.49 Fluido puro 1- leito estacionário 2- leito deslizante 3- escoamento assimétrico 4- escoamento simétrico

Diagrama típico do transporte hidráulico Log VM A) escoamento pseudo homogêneo ocorre a velocidade superiores a VM1, onde uma suspensão, apesar de possuir uma tendência a sedimentar, se mantém com uma distribuição uniforme concentrada na seção do tubo devido a valores elevados de velocidade, denominada de escoamento simétrico.

B) escoamento heterogêneo: observado nas velocidades entre VM1 e VM2, que se caracteriza por uma distribuição não uniforme das partículas sólidas na seção transversal do duto e sendo denominada também de escoamento assimétrico.

VM2 : ocorre o gradiente mínimo de pressão (velocidade crítica do transporte horizontal).

Nas vizinhanças de VM2 tem-se no sentido das velocidades decrescentes, o início da formação de um depósito de sólidos na tubulação.

O transporte de sólidos é normalmente realizado, por razões econômicas, neste regime heterogêneo.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.50

· escoamento bastante irregular => depósito de sólidos se desloca como `dunas' na parte inferior do tubo.

· Faixa de velocidade entre VM2 e VM3 D) escoamento com leito estacionário: ocorre com velocidades inferiores a VM3, ocorrendo sob elevado gradiente de pressão devido à formação de um depósito estático.

Escoamento laminar => obtenção de propriedades reológicas Escoamento turbulento => transporte de suspensões através de dutos (minerodutos)

ESCOAMENTO LAMINAR Caracterização da suspensão: 3 1 d ln Y ? = Y + Y (A) 4 4 d ln S

? = taxa de deformação Y = taxa de deformação aparente S = tensão de cisalhamento Y = 8V (B), S = D?P (C) D 4L

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.51

·Dados ?P/L `versus' V para um tubo de diâmetro D · Constroe-se a curva S `versus'Y · Obtém-se a taxa de deformação real, a partir da equação (A) · Obtendo-se S para cada ? => associa-se a modelos matemáticos

S = f(?) Modelos reológicos mais empregados · Modelo de Bingham

S S=S +µ? op So ? ? Modelo de Ostwald-de-Waele (lei das potências) Pela lei das potências S=M?Yn?lnS=lnM?+nlnY onde: S = tensão de cisalhamento, obtida da equação (C) e Y = taxa de deformação aparente, obtida da equação (B) M' = grau de consistência aparente do fluido

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.52

Obtem-se n = d ln S ln S d ln Y

ln Y Como n = d ln S a equação (A), fica: d ln Y 3 1Y ?3n+1? ? = Y + ? ? = ? ?Y , ou seja: 4 4 n ? 4n ? taxa de deformação aparente real = (fator de correção de Rabinowitch) ? (taxa de deformação aparente) , analogamente ? = S aparente Y

Pela lei das potências, temos que: S = M?n ? ln S = ln M + n ln ? n > 1, dilatante ? =S Re al ?

ln S n = 0, newtoniano V2?nDn? Re = M M M ? + ?n M ? 6n 2 ? 8? n ? n < 1, pseudo plástico

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.53

Ver exemplo: suspensão de minério de ferro: Tópicos Especiais em Sistemas Particulados, vol. 1, pag. 241.

Tensão cisalhante S (din/cm2) 30oC Cw = 75%, n=0,78, M=0,28 Cw = 65%, n=0,82, M=0,13 Cw = 25%, n=0,91, M=0,02

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.54

TRANSPORTE HIDRÁULICO E PNEUMÁTICO DE PARTÍCULAS: FORMULAÇÕES REF: Massarani, Giulio, Fluidodinâmica em sistemas particulados, Editora UFRJ, 1997.

O transporte de partículas sólidas por arraste em fluido conduz, de um modo geral, à formação de um campo de porosidade heterogêneo na seção transversal de escoamento da mistura sólido-fluido. Em algumas situações, no entanto, dependendo da natureza do problema em estudo, a formulação para o transporte de partículas pode ser substancialmente simplificada considerando que a mistura comporta-se como um fluido homogêneo: a) Transporte pneumático vertical em fase densa (fluidização incipiente) ou em fase diluída (porosidade superior a 95%); transporte vertical sem restrições;

b) Transporte hidráulico em qualquer configuração no caso em que as partículas são pequenas, verificando-se o critério empírico de Newitt;

Ne = 1800gD?? < 1 (1) V2 M Onde : D = diâmetro do tubo ? = velocidade terminal das partículas no fluido de arraste V = velocidade de mistura sólido - fluido M

V = QS + QF (2) M A onde : Q = vazão volumétrica de sólido S

Q = vazão volumétrica do fluido F A = área da seção transversal de transporte

A diferença entre as formulações para os casos a) e b) reflete na dificuldade na medida das propriedades reológicas da suspensão constituída por partículas relativamente grandes (caso a) e pelo fato de que nesta situação o valor da velocidade relativa fluido-partícula no transporte pneumático pode ser significativamente maior que

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.55

zero. Como conseqüência, o valor da porosidade no transporte depende da fluidodinâmica do sistema particulado.

Apesar destas considerações, há o consenso bem cristalizado na literatura de que o projeto e o estabelecimento das condições operacionais das linhas de transporte hidráulico e pneumático não podem prescindir de estudos conduzidos em unidade piloto bem instrumentada.

7.1 TRANSPORTE VERTICAL HOMOGÊNEO: PARTÍCULAS GRANDES p2 L p1

z Os efeitos causados pela aceleração do sistema não são considerados e o transporte é, por exemplo, vertical ascendente.

Equação do movimento para a mistura homogênea: ? 2? ? p = f VM M + ? g (3) M L 2D

SF f = f (Re , e D), Re = DVM?M (4) M Mµ M

? = ?? + (1 ? ?)? = (1 ? ?)(? ? ? ) + ? (5) MFSSFF

A equação do movimento para o fluido no sistema particulado, que permite calcular a porosidade no transporte é:

µ?(?)U+µ?(?)U2=(1??)(???)g (6) F1 F2 S F

U = QF ? QS (7) A? A(1 ? ?)

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.56

Nestas equações: ?M e µM densidade e viscosidade da mistura sólido-fluido, f é o fator de atrito na interação fluidodinâmica entre a mistura e a parede do duto onde ocorre o transporte.

A comparação entre os valores do gradiente de pressão calculados através da equação (3) e os valores resultantes da experimentação conduzida no transporte pneumático em fase densa, no transporte pneumático de fase diluída e no transporte hidráulico, segundo vários autores parecem indicar que a viscosidade e o fator de atrito da mistura podem ser expressos pela viscosidade e o fator de atrito do fluido, este último representado pela equação clássica:

1 ? e ? 6,81 ?0,9 ? =?2log ?0,27 +? ? ? (8) f 10 ?? D ? Re M ? ??

7.2 TRANSPORTE HIDRÁULICO HOMOGÊNEO Dependendo das condições fluidodinâmicas, o transporte hidráulico de partículas pequenas (Ne < 1) pode ser formulado do mesmo modo que o escoamento de fluidos homogêneos com características não-newtonianas. O balanço global de energia entre dois pontos da instalação leva a:

?p + g?z = W ? W (9) ?A M f(?L)V2 =M W (10) A 2D

= Q + Q ? = ?? + (1? ?)? V F S, MMFS A

? = QF (velocidade relativa entre as fases nula) Q +Q FS

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.57

A viscosidade efetiva da suspensão, µef, depende da natureza da mistura, através da relação entre a taxa de distensão (?) e tensão cisalhante,

?* = 6,25 VM (taxa de distensão característica) (11) D

S(?* ) µ = (12) ef ?*

W = energia (por unidade de massa de suspensão) fornecida pela bomba instalada W = energia (por unidade de massa de suspensão) dissipada pelo atrito no escoamento. A

A equação 12, tem natureza empírica e o procedimento sugerido para o cálculo da viscosidade efetiva independe do tipo do modelo reológico associado à suspensão.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.58

QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS DE OPERAÇÕES UNITÁRIAS DA INDÚSTRIA QUÍMICA I Sedimentação, Fluidização e Transporte Pneumático e Hidráulico de partículas Professor Samuel Luporini 1. A indústria de papel Bananal Paulista estuda a possibilidade da utilização de um sedimentador Dorr-Oliver com 23 m de diâmetro e 3 m de altura para o tratamento de licor negro. Calcular a capacidade do sedimentador para as seguintes condições operacionais: 6,7 g/l a concentração do sólido na alimentação e 19 g/l a 3 concentração de sólidos no lodo. Densidade do sólido, 2,8 g/cm . Temperatura: o 25 C.

o Ensaio de proveta a 25 C (6,7g/l de suspensão): t (min) 0 2,5 5 10 15 20 30 50 70 z (cm) 30 26,5 23,2 16,6 13,5 12,4 11,2 10,4 10,2 Resposta: O fator limitante é a altura do sedimentador: a capacidade recomendada é da 3 ordem de 20 m /h de alimentação.

3 2. Determinar o diâmetro e a altura de um espessador DORR para operar com 20m /h de uma suspensão aquosa de barita (?s = 4,1 g/cm ) a 30 C. A concentração de 3o sólidos na alimentação é de 103 g/l de suspensão e o lodo final deve Ter 346 g/l de o suspensão. Ensaio de proveta a 30 C conduziu aos seguintes resultados: tempo de sedimentação (min) Altura da interface de clarificação (cm) 0 40,0 2 37,0 5 32,4 10 24,9 14 18,8 18 12,6 23 8,5 26 7,4 30 6,3 33 5,6 40 4,8 45 4,5 Resposta: Diâmetro do sedimentador = 3,08 m, H = 1,05 m.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.59 t (min) 0 3 7 13 18 25 30 35 40 45 z (cm) 35 32,2 27,4 20,6 16,2 11,2 8,5 6,4 5,0 4,2 O procedimento para o cálculo da área de sedimentação do sistema lamelado é o mesmo do sedimentador Dorr-Oliver, devendo-se considerar a soma das áreas projetadas das lamelas ativas na horizontal.

2 Resposta: Área de sedimentação: 54 m , capacidade do sedimentador lamelado : 35 3 m /h de alimentação.

4. Calcular a altura do seguinte sedimentador: ? Área da seção transversal = 240 ft 2

? Vazão de sólidos = 4800 lb/h ? Concentração da lama espessa = 1,5 lbm de H2O/lbm de sólido ? Tempo de compactação: 3h ? ?s = 2,7 g/cm 3

? ?f = 1 g/cm 3 Obs. use as fórmula: lbm H O g H O m ? V ? w = 1,5 2 = 1,5 2 = f = f f = f ? X lodo ? ? lbm sólido g sólido m V s ss s H = 2H sed c

Resposta: 1,46 m 5. Os seguintes dados foram obtidos por Leva et al. (?Fluid flow throught packed and fluidized systems?, Bureau of Mines, Boletim 504, p.142, 1951) para a fluidização o com ar de catalisador Fischer-Tropsch (massa de sólidos 7234g, operação a 91 F e 3

Velocidade mássica 2 do gás (lb/ft h) Queda de pressão 2 no leito (lb/ft ) Altura do leito (ft) 228 200 1,51 194 190 1,40 160 187 1,34 142 184 1,29 127 181 1,26 109 179 1,22 94,7 166 1,21 82,8 137 1,21 69,1 115 1,21 55,3 90,6 1,21 41,2 67,5 1,21 27,6 45,6 1,21 14,2 22,8 1,21 7,95 11,4 1,21

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.60

a) Determinar (dp?) efetivo do sistema a partir dos dados de leito fixo. b) Determinar através dos dados experimentais a porosidade e a velocidade na mínima c) Verificar o resultado clássico da fluidização

? ?p = W A onde ?p é a queda de pressão no leito, W o peso do leito e A a área da seção de d) Estimar o valor da velocidade na mínima fluidização através de correlações fornecidas pela literatura e comparar os resultados com o valor experimental.

?P lb/ft2 Po L ft ?P/L G lb/ft2h G lb/ft2s lbm/ft3 q ft/s ?P/L ?P lb/ft2 200.00 190.00 187.00 184.00 181.00 179.00 166.00 137.00 115.00 90.60 67.50 45.60 22.80 11.40 2316.80 2306.80 2303.80 2300.80 2297.80 2295.80 2282.80 2253.80 2231.80 2207.40 2184.30 2162.40 2139.60 2128.20 1.51 1.40 1.34 1.29 1.26 1.22 1.21 1.21 1.21 1.21 1.21 1.21 1.21 1.21 132.450331 135.714286 139.552239 142.635659 143.650794 146.721311 137.190083 113.223140 95.041322 74.876033 55.785124 37.685950 18.842975 9.421488 228.00 194.00 160.00 142.00 127.00 109.00 94.70 82.80 69.10 55.30 41.20 27.60 14.20 7.95 0.06333333 0.05388889 0.04444444 0.03944444 0.03527778 0.03027778 0.02630556 0.02300000 0.01919444 0.01536111 0.01144444 0.00766667 0.00394444 0.00220833 0.0755 0.0754 0.0753 0.0753 0.0752 0.0752 0.0749 0.0745 0.0741 0.0737 0.0733 0.0729 0.0725 0.0723 0.838559 0.715124 0.590193 0.524152 0.469102 0.402798 0.350988 0.308919 0.259110 0.208533 0.156197 0.105172 0.054400 0.030538 132.450 135.714 139.552 142.636 143.651 146.721 137.190 113.223 95.041 74.876 55.785 37.686 18.843 9.421 200.00 190.00 187.00 184.00 181.00 179.00 166.00 137.00 115.00 90.60 67.50 45.60 22.80 11.40

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.61 P/L ? 160 140

120 100 80 60 40 20 0 y = 386.26x - 3.4035 2 R = 0.9969 0.000 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 q

1000 P 100 10 (0.402798; 179.00) 0.01 0.10 1.00 q

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.62

6. Sobreiro (1980) estudou experimentalmente a influência da pressão na fluidização o de partículas esféricas de vidro com ar a 20 C:

Pressão (atm) Porosidade na fluidização mínima Velocidade na fluidização mínima (cm/s) 1 0,502 0,147 5 0,491 0,143 10 0,483 0,146 15 0,483 0,147 20 0,480 0,147 25 0,476 0,145 30 0,476 0,145 35 0,472 0,146

Sabendo-se que o diâmetro médio das partículas é 30,4 µm, estimar pela equação teórica os valores da velocidade de fluidização mínima e comparar com os resultados 3 experimentais. A densidade das partículas de vidro é 2,443 g/cm .

Resposta: P atm ? qmin cm/s ? do ar 3 (g/cm ) K -2 cm C q Forccheimer cm/s q Darcy cm/s 1 0.502 0.147 1.21E-03 2.683E-08 1.703 0.181 0.181 5 0.491 0.143 6.05E-03 2.403E-08 1.820 0.165 0.165 10 0.483 0.146 1.21E-02 2.217E-08 1.912 0.154 0.154 15 0.483 0.147 1.82E-02 2.217E-08 1.912 0.153 0.154 20 0.48 0.147 2.42E-02 2.151E-08 1.948 0.149 0.150 25 0.476 0.145 3.03E-02 2.066E-08 1.997 0.144 0.145 30 0.476 0.145 3.63E-02 2.066E-08 1.997 0.143 0.144 35 0.472 0.146 4.24E-02 1.984E-08 2.048 0.138 0.139

7. Deseja-se projetar um sistema de fluidização destinado à secagem de produto Diâmetro do secador: 30 cm Carga de sólido: 39 kg Propriedades das partículas: diâmetro médio 90 µm, esfericidade 0,8 e densidade 3 2,1 g/cm Estimativa do valor da porosidade na fluidização mínima: 0,48.

Para uma velocidade superficial de ar duas vezes maior que a fluidização mínima, estimar:

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.63

a) altura do distribuidor formado por esferas de aço com diâmetro 200 µm tal que a queda de pressão através deste seja 10% da queda de pressão do leito b) A potência do soprador para o serviço.

o Resposta: Estimativa do valor da velocidade de fluidização mínima, admitindo o escoamento como sendo darcyano: 0,56 cm/s.

Cálculo da queda de pressão no leito fluidizado: 109 cm H2º Cálculo da altura do distribuidor: 13,42 cm Potência do soprador: 0,051 cv.

8. Deseja-se projetar um reator em leito fluidizado Diâmetro do reator: 35 cm Carga de sólido: 75 kg 3 Densidade do sólido: 3 g/cm Diâmetro da partícula: 40µ (? = 0,7) o Fluido com as propriedades do ar a 350 e 1 atm Altura do leito na fluidização mínima: 50 cm -9 2 e ? = 0,32 Distribuidor: placa sinterizada de 6 mm de espessura: k = 5 x 10 cm Calcular: b) Potência do soprador para uma velocidade superficial 2,5 vezes maior que Resposta: a) 0,0964 cm/s. b) 0,017 cv (? = 0,5) 9. Seja o transporte pneumático vertical ascendente de alumina em tubo liso de 1,27 cm de diâmetro interno. Calcular o gradiente de pressão no transporte sabendo que a vazão mássica das fases fluida e sólida é de respectivamente 0,0514 g/s e 8,42 g/s. O transporte ocorre em fase densa com porosidade da ordem daquela da fluidização mínima, no caso 0,48 (Santana, 1982).

3 Propriedades das partículas sólidas: densidade 3,97 g/cm , diâmetro médio, 0,20 mm e esfericidade 0,7.

o 32 10. Estimar a potência de bombeamento no mineroduto da SAMARCO: - 12 milhões de toneladas de minério de ferro /ano (polpa com 65% de minério, em peso) o - Parâmetros reológicos da suspensão a 30 C (G.L.V.Coelho, C.Costapinto Santana e G.Massarani, ?Reologia de Suspensões de Minério de Ferro?, Anais do IX ENEMP, Salvador, 1981).

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.64

S=7,12+2,17x10?2? dyn/cm2 (fluidodeBingham) S = 0,13?0,82 dyn / cm2 (fluido de Ostwald - de - Waele)

3 Resposta: Binghan : 20661 HP (? = 70%), Ostwald-de Wale : 23495 HP (? = 70%).

11. Uma suspensão de minério finamente dividido em água tem o seguinte comportamento reológico:

-1 Taxa de distensão (s ) 0 3 10 50 100 200 300 600 2 Tensão cisalhante (g/cms ) 0 1,54 4,90 20,4 33,2 53,9 71,9 116

P atm Calcular o tempo necessário para carregar com a suspensão um caminhão com 10 m3 de capacidade. A tubulação é de aço comercial e tem 2? de diâmetro (#40) Densidade da suspensão: 1,3 g/cm3.

P atm 15 m 2 , 5m -2 3 Resposta: fator de atrito (f) = 2,88 x 10 ; velocidade da mistura, VM = 429 cm /s; Taxa de distensão característica, ?* = 516 s-1 3 Tempo para carregar o caminhão: 18 min.

3 12. Seja o transporte hidráulico de dolomita, 65/100# Tyler, densidade 2,8 g/cm e o esfericidade das partículas 0,59. O transporte é feito a 30 C em tubulação de aço, 4? de diâmetro: 1500 m na horizontal e 150 m na vertical ascendente. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 20% das perdas nos dutos. Vazão mássica de Calcular: a) A vazão de água sabendo que a velocidade da mistura deve ser 20% superior b) A potência da bomba para o serviço.

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas 7.65

? Transporte vertical (formulação das anotações de aula) ? Transporte horizontal (formulação das anotações de aula ? cálculo aproximado) ? Transporte vertical (formulação de Santana ? cálculo rigoroso)

Velocidade crítica da mistura, abaixo da qual ocorre o depósito de partículas,

? ? ?0,46 ? ?0,077 D V = 6,34c1 3 gD ? s ? 1? ? p ? MC v ? ?F ? ? D ?

Gradiente de pressão, ? ?p ? ? ?p ? ?? ? ??? ? ? ? ?32? ?0,23?? ?1,38 ? L ? L ? = V 2 ? ? s ? 1? T ? F 385? M p D ? ? c ? ? ?p ? ? gD ? ? D ? ? ?F ? v? ? ? ?F L

Resposta: Velocidade crítica de mistura, VMC = 189 cm/s; velocidade da mistura no 3 transporte, VM = 227 cm/s; vazão de água, QF = 63,4 m /h; vazão de mistura, QM = 66,2 m /h; carga da bomba, 300 m de coluna de suspensão com densidade µM = 1,08 3 3 g/cm ; potência da bomba (eficiência 0,7), 115 cv (método rigoroso), 85 cv (método aproximado).

13. Calcular a vazão da água e a potência de bombeamento requeridas para o transporte hidráulico de 40 ton/h de areia na instalação abaixo esquematizada. Os dutos são de aço com diâmetro 5? e o sistema deve operar com uma velocidade de mistura 20% maior que a velocidade crítica de deposição. A perda de carga nos acidentes pode ser estimada em 25% daquela proporcionada pelos dutos. Temperatura no o3 bombeamento: 30 C. Densidade e esfericidade da areia: 2,6 g/cm e 0,78.

# Tyler Fração retida 35 + 48 0,30 48 + 65 0,40 65 + 100 0,30

Operações de contato e/ou transporte: Transporte de partículas

80 m 15 m 100 m 7.66 15 m 3m 9m Resposta: A solução deste problema é obtida através da formulação indicada no problema anterior. 33 Conclusões: vazão de água, 136 m /h; vazão da mistura areia-água, 151 m /h; concentração volumétrica de sólido no transporte, 10,2%; potência da bomba, 50 cv (eficiência 0,6)(pelo cálculo rigoroso de Santana).

Agitação e mistura de líquidos 8.1

8. AGITAÇÃO E MISTURA DE LÍQUIDOS Referências: th Agitação: refere-se ao movimento induzido de um material num caminho específico, usualmente circulatório, no interior de um tanque.

Mistura: é uma distribuição ao acaso, de um material com outro, de duas ou mais fases inicialmente separadas.

O termo mistura é aplicado a uma grande variedade de operações, diferindo no grau de homogeneidade do material misturado.

8.1. AGITAÇÃO DE LÍQUIDOS A agitação depende do objetivo do processo que inclui: 1. Suspensão de partículas sólidas.

4. Dispersão de um segundo líquido, imiscível com o primeiro, para formar uma emulsão ou suspensão de gotas finas.

5. Melhorar a transferência de calor entre o líquido e uma serpentina (coil) ou camisa (jacket).

Agitação e mistura de líquidos 8.2

agitador é montado sobre um eixo, a qual gira através de um motor, conectado diretamente ao eixo ou através de um redutor de velocidade. Inclue-se também acessórios como linhas de entrada e saídas, serpentinas, camisa e recipiente para termômetros (poço) ou termopares.

O agitador cria um escoamento padrão para o sistema, fazendo com que o líquido circule no tanque e retorne eventualmente ao agitador.

Motor Redutor de velocidade Superfície do líquido Dip leg Termopar Camisa Eixo

Chicana Agitador

Válvula de dreno Figura 8-1. Tanque típico para processos de agitação

Movimento do liquido em função do tipo de agitador Os agitadores são divididos em duas classes: 1. Agitadores para escoamento axial: geram uma corrente paralela com o eixo agitador.

2. Agitadores para escoamento radial: geram uma corrente na direção tangencial ou radial.

Os três tipos principais de agitadores são: hélices, palhetas e turbinas. Cada um apresenta vários subtipos (fig. 8-2).

Os outros tipos de agitadores especiais são úteis em certas situações, mas estes três tipos resolvem 95% dos casos de agitação.

Agitação e mistura de líquidos 8.3

Figura 8-2. Tipos de agitadores: (1) Turbina, lâminas planas; (2) turbina, lâminas planas inclinadas; (3) turbina, lâminas curvas; (4) turbina, disco com lâminas planas; (5) turbina, disco com lâminas curvas; (6) turbina, ventoinha; (7) hélice; (8) palheta.

8.2.1. Agitadores tipo hélice Provocam um escoamento axial do fluido e são usados em altas rotações e para líquidos de baixa viscosidade; dependem da altura de líquido dentro do tanque, mais de uma hélice podem ser montadas sobre o mesmo eixo. Na figura 8-3 vemos o tipo mais comum de hélice, bem como a principal direção de escoamento do fluido dentro do tanque. Esse tipo de agitador é usado quando correntes verticais fortes são necessárias, como, por exemplo, para colocar e manter em suspensão partículas relativamente pesadas. Não são usadas quando a viscosidade do líquido ultrapassa os 5000 cP

8.2.2. Agitadores tipo palheta Esses agitadores produzem um movimento radial e tangencial do líquido, sem que se note um movimento longitudinal pronunciado. Devido a esse fato, são pouco utilizados, tanto para dispersão de gases como de partículas sólidas.

Agitação e mistura de líquidos 8.4

Em tanques profundos varias palhetas é montada uma sobre a outra no mesmo eixo. Controe-se palheta em forma de ancora úteis para prevenir estagnação sobre a superfície de transferência de calor em tanques encamisados, porem produzem uma mistura pobre. Trabalham entre 20 e 150 rpm. O comprimento total é de 50 a 80% do diâmetro interno do tanque. A largura da palheta é 1/6 a 1/10 de seu comprimento. Não exige chicanas para baixas velocidades, mas no caso de altas faz-se necessária para prevenir a formação de movimento circulatório do líquido, produzindo pouca mistura.

8.2.3. Agitadores de turbina As correntes principais produzidas por esses tipos de agitadores são radiais e tangenciais. O líquido é empurrado contra as paredes do tanque e, ao se chocar contra estas, divide-se, indo uma parte para cima e outra para baixo (movimento longitudinal) para, em seguida, retornarem em direção ao eixo e novamente para a turbina. Forma-se, dessa maneira, um movimento circulatório vertical impedindo que haja, dentro do tanque, zonas de estagnação. Como dissemos anteriormente, chicanas ou tipos especiais de turbinas são necessários para evitar-se a formação de movimento circulatório horizontal e de vórtice. Na figura 8.4, vemos o tipo mais comum de turbina, bem como a principal direção de escoamento do fluido dentro do tanque. Esses tipos de agitadores são efetivos em líquidos cuja viscosidade varia numa faixa bastante grande e podem ser movidos em altas e baixas rotações.

Agitação e mistura de líquidos 8.5

Um desses tipos de agitadores é constituído por um disco chato que contém lâminas verticais, soldadas na parte de baixo, diametralmente opostas (vaned disk); é muito utilizado quando se quer promover a dissolução de um gás no líquido.

Geralmente, o gás é borbulhado na parte inferior do disco e este se encarrega de apanhar as bolhas grandes do gás, quebrá-las e dispersa-las através do líquido, aumentando, dessa maneira, a eficiência do transporte de massa por aumento da superfície específica gás-líquido. Outro tipo bastante utilizado e que apresenta características semelhantes às do anterior (quanto à dispersão de gases) é aquele constituído de uma turbina abrigada por um anel externo, que constitui o rotor e, concêntrico a esse anel, por fora, um outro estacionário todo perfurado, que constitui o difusor. O difusor pode também ser constituído de um anel com palhetas. Geralmente o gás é borbulhado pela parte inferior do agitador e produz-se o mesmo efeito de dispersão citado anteriormente. Esse tipo de agitador mostra-se também bastante efetivo quando se quer produzir dispersão de líquidos não-miscíveis (fig. 8-5).

Agitação e mistura de líquidos 8.6

8.2.4. Tubos de aspiração (`draft tube') Quando se quer controlar a direção do escoamento do fluido em sua volta para o agitador, costuma-se utilizar um tubo ao redor do eixo do agitador, de modo a fazer com que o líquido, que se chocou com a parede do recipiente, suba até próximo a sua superfície livre e, em seguida, desça por dentro do tubo e incida sobre o agitador, aumentando, assim, por aproveitamento das altas velocidades do agitador e do grande esforço cortante existente nessa zona, a eficiência da agitação. Esse tubo é largamente empregado quando se quer produzir suspensões de partículas sólidas que tem tendência a se aglomerar, ou suspensão de líquidos imiscíveis.

Quando o agitador é do tipo hélice, o tubo de aspiração deve envolve-lo totalmente, de modo que o líquido circule longitudinalmente, como mostra a figura 8-6.

Caso o agitador seja do tipo turbina, o tubo de aspiração é colocado logo acima da superfície do disco da turbina como mostra a figura 8-7.

Esses tubos de aspiração podem ser construídos de diversas maneiras, quando possuem furos ou janelas longitudinais, eles provocam um movimento circulatório vertical ao redor desses orifícios ou janelas e praticamente não se observa o movimento circulatório horizontal da massa total de fluido.

Fig. 8-6. Tubo de aspiração com Fig. 8-7. Tubo de aspiração com agitador tipo hélice. agitador tipo turbina.

Agitação e mistura de líquidos 8.7

na direção perpendicular ao eixo, longitudinal que atua na direção paralela ao eixo e tangencial ou rotacional, que age na direção tangente circulando o eixo.

No caso de eixo vertical, os componentes radial e tangencial estão num plano horizontal, e o componente longitudinal esta no plano vertical.

Os componentes radial e longitudinal são úteis e fornecem o escoamento necessário para a ação de mistura, enquanto que o componente tangencial é geralmente desvantajoso.

O escoamento tangencial permiti um movimento circular ao redor do eixo, criando um vórtice na superfície do líquido , como mostrado na figura 8-8, e ficando perpetuamente como um escoamento circulatório laminar. Para altas velocidades o vórtice pode ser tão profundo que alcança o agitador, e o gás gerado acima do líquido é dirigido para baixo para dentro da carga, geralmente isto é indesejável.

Agitação e mistura de líquidos 8.8

tanque depende especificamente do tipo de agitador empregado. Contudo devemos lembrar que, ao falarmos, mais adiante, em caminho percorrido pelo fluido, estaremos referindo à corrente principal do fluido e que, independente desta, sempre existirão correntes secundárias, cuja direção de movimento não é muito bem definida.

Figura 8-9. Agitador fora do centro Figura 8-10. Agitador por entrada lateral

Agitação e mistura de líquidos 8.9

8.4. PROJETO DE TURBINAS ?STANDARD? O projeto de um tanque de agitação tem muitas alternativas como o tipo e a localização do agitador, as proporções do tanque, os números e proporções das chicanas e assim por diante. Cada uma dessas decisões afetam a circulação do líquido, a velocidade padrão, e a potência consumida. Como ponto de partida para projetos em problemas de agitação, um agitador turbina mostrado na figura 8-11 é comumente utilizado. As proporções típicas são:

Da = 1 H = J = 1 1 D t 3 D t D t 12

E= W=1 L=1 1 Da Da 5 Da 4

Figura 8- . Medidas da turbina (por Rushton et al.) H JJ W Da E L

Dt O número de chicanas é usualmente 4; o número de lâminas do agitador variam de 4 a 16 mas geralmente é 6 ou 8. As vezes é melhor estudar o desempenho desejado para um determinado processo. As proporções padrão, nunca foram bem aceitas e isto é a base de grande números de publicações relacionadas com o desempenho de agitadores.

Agitação e mistura de líquidos 8.10

8.5. O NÚMERO DE ESCOAMENTO Os agitadores turbina e hélice é em essencia, uma bomba agitadora operando sem uma carcaça como limite, e com entrada indireta de escoamentos de entrada e saída. As relações governantes das turbinas são similares a aquelas das bombas centrífugas. Considerando a lâmina da turbina apresentada na figura 8-12

V'2 V'r2 ?'2 V'u2 u2 V'u2,V'r2 = velocidades tangencial e radial dos líquidos deixando a extremidade da lâmina.

Assumindo que a velocidade tangencial do líquido é proporcional a velocidade da extremidade da lâmina.

Vu?2 = ku2 = k?Dan (1)

Agitação e mistura de líquidos 8.11

q = Vr?2Ap (2) onde Ap = ?DaW , área cilíndrica varrida pelas extremidades das lâminas do agitador.

A partir da geometria da figura 8-12 V? = (u ? V? ) tan ?? (3) r2 2 u2 2

Substituindo por V'u2 na equação (1), temos: Vr?2=?Dan(1?k)tan2 ?? (4) A vazão, equação (2), após substituir a equação (4), fica: = ?2 2 ( ? ) ?? q Da nW 1 k tan 2 (5) Para agitadores geometricamente similares W é proporcional a Da, e para um

dado valor de k e ?'2 q? 3 nD (6) a

O razão entre estas duas quantidades é chamado número de escoamento, NQ, definido como:

NQ = q (7) 3 nDa As equações (5) e (7) mostram que se ?'2 é fixo, NQ é constante. Para hélices, ?'2 e NQ podem ser considerados constantes, para turbinas NQ é função do tamanho relativo do agitador e do tanque.

Para tanques agitados com chicanas os seguintes valores são recomendados: Hélice (inclinada) NQ = 0,5 o Turbinas 4 lâminas 45 (W/Da = 1/6) NQ = 0,87 Turbinas 6 lâminas planas (W/Da = 1/5) NQ = 1,3 Estas equações dão a razão de descarga a partir da extremidade do agitador e não vazão total produzida. Para lâminas de turbinas, a vazão total, estimada a partir do tempo médio de circulação para partículas dissolvidas é: ?? = 3? Dt ? q 0,92nDa ? ? (8) ? Da ? Se Dt/Da = 3 ? q = 2,76nDa ou 2,61 vezes o valor para o agitador (NQ = 1,3). 3

Agitação e mistura de líquidos 8.12

8.6. POTENCIA CONSUMIDA Uma consideração importante no projeto de tanques agitados é a potencia consumida pelo motor do agitador. Quando a vazão no tanque é turbulenta, a potencia requerida pode ser estimada a partir do produto da vazão (q) produzida pelo agitador e a energia cinética Ek por unidade de volume, isto é: q= 3 nDaNQ

e Ek = ?(V2 )2 ?

2gc A velocidade V'2 é levemente menor que a velocidade de extremidade u2. Se a razão ? = ? ? = ?? V2 u2 , V2 nDa e a potencia requerida é

? ( ) ? 3 5 ? ?2?2 ? = 3 ?? 2 = n Da ? ? P nDaNQ nDa ? NQ? (9) 2gc gc ? 2 ?

Na forma adimensional Pgc = ? ? NQ (10) 22

3 5? n Da 2 O lado esquerdo da equação (10) é chamado de número de potência, Np, definido

por: Np = Pgc (11) n? 35 Da Para a turbina de 6 lâminas padrão, NQ = 1,3, e se ? é tomado como 0,9, Np = 5,2, que é um bom acordo com observações experimentais.

8.7. AGITAÇÃO DE LÍQUIDO NEWTONIANO É somente no caso de agitação obtida por agitadores constituídos de palheta, hélice ou turbina que existem resultados quantitativos, mas, mesmo esses dados, só podem ser usados no caso particular em que foram obtidos; a análise dimensional permite uma apresentação racional, mas sempre incompleta.

Como veremos a seguir, sabe-se, que se relacionam entre si as variáveis que intervêm na agitação de um líquido num dado recipiente ou em recipientes geometricamente

Agitação e mistura de líquidos 8.13

semelhantes, mas não é possível ainda ligar quantitativamente esses resultados à qualidade da agitação obtida.

Para discutirmos como varia a energia posta em jogo na agitação de um líquido newtoniano, vamos considerar o recipiente com chicanas esquematizado na figura 8-11, no qual se encontra um líquido mecanicamente agitado. A experiência mostra que a potência absorvida pelo agitador depende do sistema tanque-agitador, de suas dimensões, da altura do líquido, da densidade e viscosidade do líquido, da velocidade angular do rotor e da aceleração da gravidade, ou seja: P = f(n, Da, µ, g, ?, Dt, H, E, W, J) Pela análise dimensional, pode-se chegar a ? 2? 2 ? P = ? nDa n Da ? f , ,S ,S ,LS (12) ? 1 2 n? 3 3? ? µ ? n Da g

ou Np = f(NRe, NFr, S1, S2, ... Sn)

Os fatores de forma do misturador são: = Da = E = L = W = J = H S1 , S2 , S3 , S4 , S5 , e S6 . Dt Dt Da Da Dt Dt Adicionalmente o número de chicanas e o número de lâminas do agitador devem ser especificados. Se uma hélice é utilizada a inclinação, pitch, e o número de lâminas é importante.

O número de Reynolds é: nDa2? (nD )D ? u D ? N==aa?2a Re µµµ onde u2 é a velocidade do agitador.

Agitação e mistura de líquidos 8.14

apenas pelo fato de, em uma, não haver chicanas e, na outra, haver determinadas chicanas, obtêm-se experimentalmente curvas do tipo representado na figura 8-13. Esse tipo de representação, ou seja, curvas da relação Np em função do número de Reynolds, constitui a maneira mais cômoda para representar resultados relativos à potência de agitação.

Curva curva 35 Np = Pgc/ n Da A B C D S1 S2 S3 S4 S5 S6 0,33 1,0 0,25 0,25 0,1 1,0 0,33 1,0 0,25 0,125 0,1 1,0 0,33 1,0 0,25 0,125 0,1 1,0 0,33 1,0 0,25 0,25 1,0

4 chicanas A B C D 2n?/µ NRe = Da ? Figura 8-13. Número de potência Np vs. NRe para turbinas de 6 lâminas, com a porção m tracejada da curva D, Np lido a partir da figura deve ser multiplicado por NFr .

As curvas da figura 8-13 podem ser divididas em quatro trechos: a) NRe < 10 ? o movimento é laminar e, como é comum nesse caso, tem-se uma reta de coeficiente angular ?1; não há formação de vórtice;

b) 10 < NRe < 300 ? há uma transição de movimento laminar para turbulento, ainda sem vórtice;

c) 300 < NRe < 10000 ? se não há chicanas no recipiente, começa a se formar um vórtice e o número de Froude passa a influir; nesse caso, empiricamente, chegou-se à seguinte expressão de m: a ? log N m = Re (14) b onde a e b dependem da geometria do agitador; se há chicanas, tem-se o ramo superior da curva; não há formação de vórtice e o número de Froude não influi sobre o de potencia (m = 0); linha D da fig. 8-13: a = 1,0 e b = 40,0.

Agitação e mistura de líquidos 8.15

d) NRe > 10000 ? o escoamento é completamente turbulento; se não há chicanas, continua valendo a mesma expressão de m; se há chicanas, m continua nulo e o número de potência torna-se independente também do número de Reynolds.

Como vimos anteriormente é conveniente usar chicanas, evitando, assim, o vórtice, pois, nessas condições, agitação é muito mais eficiente.

Agitadores tipo hélices ou turbinas consomem menos potência quando se utilizam laminas inclinadas no lugar das verticais.

8.8. CALCULO DO CONSUMO DE POTÊNCIA O consumo de potência é calculado pela combinação da equação (12) e a definição de Np para dar: 3 5? Npn Da P= gc Para número de Reynolds elevados em tanques sem chicanas vale a relação:

Np = ( L ) f NRe,S1,S2, Sn m N Fr m EXEMPLOS 8.1 e 8.2 (exercícios 1 e 2)

8.8.1. Agitação de líquido Newtoniano contendo bolhas (Borzani) Se, como acontece comumente na industria de fermentação, há bolhas no líquido e a agitação é turbulenta, a potência para a agitação é inferior à necessária na ausência de bolhas. Isso é particularmente importante se a quantidade de ar é apreciável (10 a 20% em volume) e se ele se encontra nas vizinhanças do agitador; é o que ocorre se o gás é introduzido no tanque por orifícios situados abaixo do agitador. Visualmente, observa-se que o gás se concentra nas proximidades do eixo do agitador; com isso, a densidade do meio cai nessa região e, portanto, a potência necessária também diminui. Há exemplos em que 5% de ar no liquido podem reduzir a potência de 75%. Se as bolhas que sobem através do liquido não entram em contacto efetivo com o agitador, a redução da potência é muito pequena.

Agitação e mistura de líquidos 8.16

Vários estudos experimentais foram feitos com o objetivo de obter fórmulas que permitam o cálculo da potência de agitação em líquidos com bolhas. Entretanto esses estudos foram geralmente feitos com água e com líquidos simples. Pouquíssimo existe para outros líquidos; pode-se citar Sachs, que trabalhou com óleos, e Bimbenet, com corn syrup.

Ohyama e colaboradores, trabalhando com o sistema água-ar, chegaram á conclusão de que a redução de potência devida a bolhas pode ser expressa por Pg P = f (Na ) onde Na é um adimensional chamado, por esses pesquisadores, de 'número de aeração', e

definido por Na = Q 3 nDa Nas experiências que realizaram, Na variou de 0 a 0,12, e Pg/P de 1,0 a 0,3; resultaram, para o sistema ar-água e diversos tipos de agitadores, as curvas da Fig. 8-13A. Calderbank e Moo-Young, para o sistema água-ar, também obtiveram correlações válidas em pequenos intervalos das variáveis. Mais tarde, Michel e Miller , estudando a agitação de sistemas líquido-gás numa faixa relativamente larga de valores das variáveis,

3 densidade do liquido, entre 0,8 e 1,65 g/cm , viscosidade do liquido, entre 0,9 e 100 cp, e tensão superficial, entre 27 e 72 dyn/cm,

obtiveram a correlação Pg ? (P nDa /Q ) 2 3 0,56 0,45

Essa expressão empírica não correlaciona adimensionais e, portanto, não se mantém necessariamente válida quando mudam as dimensões do sistema, mesmo se for mantida a semelhança geométrica. Evidentemente, é falha para valores extremos de Q. Além disso, para soluções de substâncias tenso-ativas, podem variar os valores da constante de pro- porcionalidade e do expoente. Apesar disso, é a melhor correlação que se possui para sistemas líquido-gás, pois é pouco sensível às propriedades do fluido, ao modo de introduzir o ar no liquido e, mesmo, à geometria do sistema.

Agitação e mistura de líquidos 8.17 /P Pg 2 Na x 10

para diversos tipos de agitadores. A: turbina de pás planas (np = 8), B: ventoinha (np = 8), C: ventoinha (np = 6), D: ventoinha (np = 16), E: ventoinha (np = 4), F: palheta ( Dt/Da = 3, J/Dt = 0,1, Dt/E = 3).

O fato de ainda não se possuir sequer uma correlação entre adimensionais e as considerações feitas acima mostram bem como são pouco conhecidos tais sistemas. Michel e Miller tentaram introduzir, nas correlações, a tensão interfacial que, à primeira vista, parece ser uma variável importante no fenômeno, mas concluíram que ela parece não influir.

Agitação e mistura de líquidos 8.18

8.8.2. Potência consumida em líquidos não Newtonianos O número de potência para líquidos não Newtonianos é definido da mesma maneira dos fluidos Newtonianos. O número de Reynolds não é facilmente definido, porque a viscosidade aparente do fluido varia com o gradiente de velocidade e este varia consideravelmente de um ponto a outro no tanque. Temos que a viscosidade aparente é: ?y µa = (15) ? du dy Para líquidos dilatantes e pseudoplasticos, temos pela lei da potência: n?

?y = ? Combinando a equação (15) e (16), µa = k k du(16) dy n??1 du(17) dy

Dados experimentais para uma variedade de líquidos dilatantes e pseudoplásticos indicam que a taxa de deformação é uma função linear da velocidade do agitador, isto é: du= 11n (18) dyav

Combinando (17) e (18) µa = k(11n)n ??1 (19) O NRe fica 2? 2?n? 2? NRe = nDa = n Da (20) µa n??1 11 k

Para NRe < 10 e acima de 100 os resultados com fluidos pseudoplasticos são os mesmos dos Newtonianos. Na faixa intermediaria 10 < NRe <100 o líquido pseudoplastico consome menor potência.

Agitação e mistura de líquidos 8.19

Não Newtoniano Newtoniano 5? a 3D /n c = Pg 4 Chicanas p N Sem Chicanas

NRe = nDa2?/µ ou NRe n = nDa2?/µa Figura 8-14. Correlação de potencia para uma turbina de 6 lâminas em líquidos não- Newtonianos.

EXEMPLO 8.4 (exercício 4) 8.9. MISTURA Depende de medidas sobre como é definida para o experimento em particular. Muitas vezes o critério para uma boa mistura é visual, como pela mudança de cor num indicador ácido-base para se determinar o tempo de mistura. Outro critério inclui a taxa de decaimento das flutuações da concentração seguido pela injeção de um contaminante no escoamento do fluido, as variações nas análises de pequenas amostras tomadas ao acaso a partir de varias partes da mistura, a taxa de transferência de uma fase liquida para outra, e, na mistura sólido-líquido, a observação visual da uniformidade da suspensão.

8.9.1. Tempo de mistura de líquidos miscíveis Um dos métodos de estudar a mistura de dois líquidos miscíveis, é injetar uma quantidade de HCl para um equivalente de NaOH e o tempo requerido para o indicador mudar de cor. Esta é uma medida da mistura molécula-molécula. A mistura próxima ao agitador é rápida, com uma mistura mais lenta em outras regiões dependendo da taxa de circulação no bombeamento.

Agitação e mistura de líquidos 8.20

A figura 8.15 mostra uma correlação para o tempo de mistura de uma turbina. O fator de mistura adimensional ft é definido como: ( 2 )2 3 1 6 1 2 ? ?2 ? ?1 2 ? ?1 6 ft=tTnDagDa=ntT?Da??Dt??g? (21) 12 32 ? ? ? ? ? 2 ? H Dt ? Dt ? H ? ? n Da ? Onde tT é o tempo de mistura em segundos. O número de Froude na eq. (21) implica a formação de vórtice, a qual pode estar presente para baixos número de Reynolds, mas é duvidoso o quanto este termo deve contribuir em tanques com chicanas para números de

5 fT 2? N Re = nDa µ Figura 8-15. Correlação para o tempo chicanas e agitador tipo turbina. Onde:

Agitação e mistura de líquidos 8.21

8.10. SCALE-UP Em sistemas de agitação existem muitos problemas complexos como: mistura de fluidos altamente não Newtonianos e processos multifases, porem são utilizados projetos padrão. O objetivo no projeto de agitadores durante o scale-up é obter o mesmo resultado do processo em pequena escala com o processo em grande escala.

Similaridade geométrica: Manter a mesma similaridade geométrica durante o scale-up permite a definição do fator de escala R: R = Da2 Da1 = Dt2 Dt1 = W2 W1 = H2 H1 = E2 E1 = J2 J1 (21) Onde o subscrito 1 é o pequeno agitador e o 2 o grande agitador.

= ?D 2 = ?D 3 Como V t H, usualmente Dt = H, logo V t , e o fator de escala em termos de volume fica:

= Dt2 = ( )1 3 R V2 V1 Dt1 O tamanho da unidade de agitação é determinado pelo tempo de processamento. Por exemplo: ? Num reator o tamanho do tanque é governado pela vazão de produto desejada e a cinética da reação (tempo de reação).

? Para dispersar um sólido num liquido, o tamanho é governado pela vazão desejada do sólido e do liquido e o tempo requerido para dispersar os sólidos.

8.10.1. Procedimento Scale-up para escoamento turbulento com três ou mais testes de volume

Neste caso o Scale-up (ou scale-down) é obtido pela analise experimental em recipientes de vários tamanhos.

O teste começa a ser feito no menor diâmetro recomendado, cerca de 1 ft com um volume de 5 a 10 galões, seguido por um recipiente de 2 ft de diâmetro e assim por diante.

Cada tanque é equipado com um motor de velocidade variável e um dinamômetro para medir a potência.

Agitação e mistura de líquidos 8.22

Os dados são expressos como P/V e V ou Tq/V e V. Faz-se então dois gráficos log (P/V) versus log V e log(Tq/V) versus log V. Aquele que apresentar o comportamento mais linear é usado para extrapolar até o volume final. As equações utilizadas são:

(P V) = (P V)1(Dt2 Dt1) = (P V) ss R (22) 21

(Tq V)2 = (Tq V)1(Dt2 Dt1)x = (Tq V) (23) x R 1 Onde: s, x = expoentes do scale-up P/V = potência por unidade de volume Tq/V = torque por unidade de volume R = fator de escala Subscritos 1 e 2 = recipientes de diferentes tamanhos

8.10.2. Procedimento Scale-up para escoamento turbulento com dois testes de volume A equação utilizada é de Rautzen, Corpstein e Dickey:

? ??n ? ?n = ? Da1 = ? 1 ? N2 N1? ? N1?? ? (24) ? Da2 ? R ? Onde n é o expoente de scale-up, resolvendo a equação (24) para n, temos: ln(N N ) n = 1 2 (25) ln(Da 2 D ) a1 O diâmetro do agitador do tanque do processo (Da3) é determinado assumindo similaridade geométrica (eq. 21) e a equação (24) é utilizada para a determinação da velocidade do agitador N3.

8.10.3. Procedimento para scale-up para escoamento turbulento com um teste de volume

É menos recomendável em relação aos anteriores. Baseia-se nos seguintes procedimentos: 1. Igual movimento dos líquidos Neste caso a similaridade cinemática será mantida especialmente para processos sensíveis ao escoamento, assim o torque por unidade de volume é constante.

Agitação e mistura de líquidos 8.23

(T V) (Tq V)1 = 1 (26) 2

Fazendo uso da similaridade geométrica, eq. (21), temos que: (T V) 2 2 2 ( q ) = N2Da22 = u2 = 1 (27) 2

Tq 1 1 a1 1 V ND u A eq. (27) mostra que a velocidade na extremidade da turbina é a mesma para o volume 1 e 2 para um torque por unidade de volume constante.

Usando a equação (24), ? ?1 ? ?n 2 2 = 2 2 ? = ? Da1 ? = ? 1 ? N2Da2 N1Da1 N2 N1? ? N1? ? (28) ? Da2 ? ? R ? A eq. (28) mostra que o expoente n = 1, porém pela eq. (26) x = 0.

= P =P Como Tq Cf ; substituindo em (26): 2?N N (Tq V) P (N V ) P V N P V D P V 2 = 2 2 2 = 2 2 1 = 2 2 t2 = 2 2 R1 = 1 (29) (Tq V P1 N1V1 P1 V1 N2 P1 V1 Dt1 P1 V1 )() 1

A eq. (29) mostra que o expoente da potencia por unidade de volume, s = -1

2. Igual transferência de massa Neste caso, a potencia por unidade de volume é mantida constante, e os diâmetros das bolhas ou gotas são mantidos (ocorre transferência de massa na superfície da bolha).

(P V) 2 = 1 (30) (P V) 1

Como P/V ? N3 2 ? N 2/3 3. Igual tempo de mistura Neste caso a velocidade do agitador permanece constante, logo N1 = N2.

Como P/V ? N Da , então: 32 ( ) = ( ) ( )2 P V 2 P V 1 Da2 Da1 (31)

Agitação e mistura de líquidos 8.24

n Um sumário dos valores dos expoentes s, x e n das equações (22), (23) e (24) é apresentado na tabela 8.1.

TABELA 8.1 Expoentes scale-up para escoamento turbulento Critério scale-up Valor de s para Valor de x para Valor de n para mais importante eq. (22) eq. (23) eq. (24) (1) movimento igual do fluido -1,0 0.0 1.0 (2) suspensões de sólidos iguais -0,55 0.5 3/4 (3) Transferência de massa igual 0.0 2/3 2/3 (4) superfície igual 0.45 1.0 0,5 (5) tempo de mistura iguais 2.0 2.0 0.0

8.11. PROCEDIMENTO SCALE-UP PARA ESCOAMENTO LAMINAR Na agitação laminar, os dados experimentais confirmam que o número de potência e o numero de Reynolds estão relacionados por:

Np = KL (32) N Re 2 3µ = KLn Da Logo, P (33) gc Em tanques com chicanas e número de Reynolds elevados (> 10000) o número de potência é independente do número de Reynolds, e a viscosidade não é um fator, neste caso: Np = KT (34) 3 5? = KTn Da Logo, P (35) gc As magnitudes das constantes KT e KL para vários tipos de agitadores e tanques são mostrados na tabela 8.2.

Agitação e mistura de líquidos 8.25

TABELA 8.2 Valores das constantes KL e KT nas equações (33) e (35) para tanques com chicanas, com 4 chicanas de largura de 10% do diâmetro do tanque.

Tipo de agitador KL KT

Hélice, três laminas Pitch 1,0 41 0,32 Pitch 1,5 55 0,87 Turbina Disco, 6 laminas (S3 = 0,25, S4 = 0,2) 65 5,75 Curva, 6 laminas (S4 = 0,2) 70 4,80 o Inclinada, 6 laminas (45 , S4 = 0,2) - 1,63 o Inclinada, 4 laminas (45 , S4 = 0,2) 44,5 1,27 Palheta plana, 2 laminas (S4 = 0,2) 36,5 1,70 Ancora 300 0,35

O procedimento de scale-up em escoamento laminar é exatamente o mesmo do escoamento turbulento, porem para o projeto em um único tanque vale os seguintes expoentes para a potencia por unidade de volume (s), equação (22).

TABELA 8.3 Scale-up para escoamento laminar, utilizando a eq. (22) Critério Expoente s (1) Transferência de calor igual por unidade de volume 8 (2) Coeficiente de transferência de calor igual 2 (3) Tempo de mistura iguais 0 (4) Velocidades iguais -2 (5) Número de Reynolds iguais -4

Agitação e mistura de líquidos 8.26

Exercícios: 1. Uma turbina de 6 laminas planas é instalada no centro de um tanque vertical. O tanque tem 1,83 m de diâmetro; a turbina tem 0,61 m de diâmetro e é posicionada 0,61 m do fundo do tanque. As laminas da turbina tem 127 mm de largura. O tanque é cheio com

o uma profundidade de 1,83 m com uma solução de 50 % de soda caustica, a 65,6 C, com

3 uma viscosidade de 12 cP e uma densidade de 1498 kg/m . A turbina opera a 90 rpm. O tanque possui chicanas. Qual a potencia para operar o misturador?

2. Qual seria a potencia requerida no tanque descrito no exercício 1 se ele não possuísse chicanas?

3. O misturador do exercício 1 é usado para uma misturar um composto de borracha de

3 látex com uma viscosidade de 1200 cP e uma densidade de 1120 kg/m . Qual a potencia requerida?

4. Calcular a potencia necessária para a agitação num tanque cilíndrico, mediante uma turbina de laminas simples, em cada uma das situações dadas abaixo. A densidade do

3 a) Líquido pseudoplástico (k = 1,0, n = 0,9) b) Fluido newtoniano (µ = 1,0 lb/ft s) c) Fluido dilatante (k = 1,0, n = 1,1)

5. Um tanque agitado de 1,83 m de diâmetro possui uma turbina de 0,61 m de diâmetro e 6 laminas, fixa no agitador acima do fundo do tanque, com uma rotação de 80 rpm. É proposto utilizar este tanque para neutralizar uma solução aquosa diluída de NaOH a

o 70 F com uma quantidade estiquiometricamente equivalente de acido nítrico concentrado (HNO3). A profundidade final do liquido no tanque é 1,83 m. Assumindo que o acido é adicionado no tanque num mesmo instante, qual o tempo para a neutralização ser completa?

Agitação e mistura de líquidos 8.27

in com um fluido de viscosidade de 10 cP e gravidade especifica de 1,1. O agitador opera a uma velocidade de 300 rpm. Calcular a potencia por unidade de volume e o torque por unidade de volume se a razão E/Dt = 0,3.

7. Uma engenheira tem que projetar um reator com capacidade de 12000 gal para agitar o material do exercício 6. Ela é capaz de obter os mesmos resultados do processo nas seguintes unidades geometricamente similares sob as condições dadas na tabela.

Descrição Unidade do laboratório Unidade planta piloto Diâmetro do tanque, in 10 30 Diâmetro do agitador, ft 0,25 0,75 o Tipo de agitador-4 laminas, tipo turbina, 45 de pitch SIM SIM H/Dt 1,0 1,0 Dt/J 12 12 Número de chicanas 4 4 Velocidade, rpm 690 271 Número de Reynolds 7342 4 2,595 x 10 Volume da unidade, gal 3,40 91,79 Potencia, hp -3 9,33 x 10 0,1374 Torque, in. lbf 0,8525 31,95 P/V, hp/gal -3 2,744 x 10 -3 1,497 x 10 Tq/V, in.lbf/gal 0,2507 0,3481

Um detergente líquido com densidade de 1400 kg/m , µ = 1kg/m.s, ? = 0,0756 N/m é 3 8.

misturado num tanque de 2,75 m de diâmetro. Os experimentos foram realizados num tanque de pequena escala com diâmetro de 0,228 m e a potencia requerida para encontrar o mesmo resultado do processo é medida em vários valores de razões geométricas. A mínima potencia para o resultado do processo constante foi encontrado com os valores padrão.

Tendo fixado a geometria para experimentos preliminares, três tanques de Dt = 0,228, 0,457 e 0,915 m são usados e a rpm do agitador determinado experimentalmente de

Agitação e mistura de líquidos 8.28

maneira a encontrar o mesmo resultado do processo. As velocidades cíclicas são encontradas com os seguintes valores: Tanque No. Dt N (rpm) para o mesmo resultado do processo 1 0,228 1273 2 0,457 637 3 0,915 318

Obter NRe, NFr, NWe, velocidade na extremidade do agitador, potencia, potencia por unidade de volume, etc. como uma função do volume do tanque e decidir qual a melhor regra para o scale-up.

Agitação e mistura de líquidos 8.29

Resultado do exercício 8.8 3 densidade= 1400 kg/m viscosidade = 1 kg/m s tanque 1.000 2.000 3.000 Dt (m) 0.228 0.457 0.915 n (rpm) 1276.000 637.000 318.000 NRe 171.971 344.910 690.246 NFr 3.504 1.750 0.873 v (m/s) 5.080 5.083 5.080 Np 3.700 3.700 4.000 P (W) 126.327 508.474 2200.467 3 P/V (W/m ) 13577.562 6786.577 3659.164 P (HP) 0.169 0.682 2.951

American Gear Manufacturesrs' Association: AGMA - velocidades e potências de motores padrão n (rpm) 30 37 45 56 68 84 100 125 155 190 230 etc...

Potência (hp) 1 1/2 2 3 5 7 1/2 10 15 20 25 30 40 50 60 75 100 125 150 200 250 300 350 400 450 500 600

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