Cálculo Diferencial e Integral

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EMBED PBrush

DERIVADAS

PROPRIEDADES

EMBED Equation.3

Exemplo: f(x) = 3

EMBED Equation.3

Exemplo: f(x) = x³

EMBED Equation.3

Exemplo: f(x) = 3x²

EMBED Equation.3 (soma e subtração de derivadas)

Exemplo: f(x) =  EMBED Equation.3

EXERCÍCIOS

Derive:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PROBLEMAS DA DERIVADA

Denominador algébrico

2) Raiz(numerador e denominador)

DENOMINADOR ALGÉBRICO

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3  EMBED Equation.3

RAÍZ (NUMERADOR E DENOMINADOR)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3

EXERCÍCIOS

Derive:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DAS DERIVADAS

A propriedade de somar e subtrair funções a serem derivadas já vimos nos exercícios anteriores. Agora veremos as propriedades do produto e quociente de funções a serem derivadas.

Produto

EMBED Equation.3  EMBED Equation.3

Exemplo:  EMBED Equation.3

Quociente

EMBED Equation.3

Exemplo:  EMBED Equation.3

EXERCÍCIOS

Derive:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3  EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

FUNÇÕES COMPOSTAS (REGRA DA CADEIA)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EXERCÍCIOS

Derive:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

DERIVADAS SUCESSIVAS

DERIVADA 2ª

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

DERIVADAS PARCIAIS (1ª ORDEM)

EMBED Equation.3  2) EMBED Equation.3  EMBED Equation.3

DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

Função inicial

1ª derivada

2ª derivada

3ª derivada

4ª derivada

5ª derivada

6ª derivada

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3  2) EMBED Equation.3

TEOREMA DE CLAIRAUT

EMBED Equation.3

1) EMBED Equation.3  2) EMBED Equation.3

TEOREMA DE LAPLACE (HARMONIA DE FUNÇÕES)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3  2) EMBED Equation.3

TAXA DE VARIAÇÃO = f´(x)

1)Estima-se que daqui a x minutos uma reação entre carbono e oxigênio para formação de CO2 seguirá a equação R(x)=x²+20x mols.

a)Qual será a taxa de variação da reação daqui a 15 minutos?

b)Qual será a variação da reação durante o 16° minuto?

2)Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por S(t)= t³-6t²+9t+5.

a)Determine a equação da velocidade e a equação da aceleração no instante t.

b)Em que instante o corpo está estacionário?

TAXA DE VARIAÇÃO PERCENTUAL

EMBED Equation.3

1)O produto interno bruto(PIB) de um certo país é dado por N(t) = t²+5t+106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1990.

a)Qual foi a taxa de variação do PIB em 1998?

b)Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 1998?

2)Um químico que trabalha em uma companhia petrolífera analisa a expansão de gases retirados do poço de petróleo, segue uma função que controla a análise. A função é:  EMBED Equation.3 .

a)Qual será a taxa de variação do gás daqui a 9 horas?

b)Qual será a taxa de variação percentual do gás no mesmo intervalo de tempo?

TAXA DA TAXA DE VARIAÇÃO = f´´(x)

Taxa é derivada 1ª. Taxa da taxa é derivada 2ª

1)Um corpo se move em linha reta de tal forma que em t segundos percorre uma distância de D(t) = t³-12t²+12 metros. Calcule a aceleração do corpo após 3 segundos.

2)A distância percorrida por um carro em t(h) de viagem é:

D(t) =  EMBED Equation.3 Km

a)Escreva a equação da aceleração.

b)Qual é a taxa de variação da velocidade em 6 horas de viagem?

c)Qual é a variação da velocidade do carro durante a 7ª hora de viagem?

d)A velocidade está aumentando ou diminuindo?

APLICAÇÕES ADICIONAIS DAS DERIVADAS

ESTUDO DA VARIAÇÃO DE FUNNÇÕES

ESTUDO DA CONCAVIDADE

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

SHAPE \* MERGEFORMAT

1)Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento, ponto de Maximo e ponto de mínimo( extremos relativos), pontos críticos, inflexão, estude a concavidade e esboce o gráfico de  EMBED Equation.3

EXERCÍCIOS

Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, extremos relativos, pontos de inflexão e esboce o gráfico das funções:

a) f (x) = x3 + 6×2 –15x f) f (x) =  EMBED Equation.3  +  EMBED Equation.3  – 6x + 8

b) f (x) = x3 + 2×2 – 3x – 4 g) f (x) =  EMBED Equation.3 + 2×3 – 7,5×2 + 40

c) f (x) = x3 – 2×2 + x + 2 h) f (x) = x2 – 7x + 10

d) f (x) = x3 – 3×2 + 3 i) f (x) = – x2 + 8x – 12

e) f (x) = x3 – 6×2 – 13x + 1 j) f (x) = 3×4 – 8×3 + 6×2 + 2

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